Technische Universiteit Delft

Faculteit Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica

Mekelweg 4, Delft

Toelatingstest Wiskunde,dinsdag 18 januari 2011, 9.30-12.00 uur.

Het gebruik van een telefoon is niet toegestaan.Een woordenboek zonder aantekeningen en een rekenmachine mogen wel worden gebruikt.

Elk antwoord moet duidelijk gemotiveerd worden en berekeningen exact uitgevoerd, tenzij andersis vermeld.

1. Voor a > 0 wordt de functie fa op (0,∞) geven door fa(x) = x +a

x.

Voor een aantal waarden van a is de grafiek van fa getekend in figuur 1.

figuur 1

Ox-as

y-as

(2) (a) Toon aan dat de grafiek van fa voor elke a > 0 een top heeft en bepaal de coordinaten van deze toppen.

In de figuur lijkt het alsof alle toppen op een rechte lijn liggen.

(1) (b) Toon aan dat dit klopt en bepaal een vergelijking van deze lijn.

B en C zijn de snijpunten van de grafiek van fa en de lijn ld met als vergelijking y = −x + d.

(2) (c) Bepaal a en d als xB = 1 en xC = 2 respectievelijk de x-coordinaten zijn van B en C.

De lijn m met als vergelijking y = 4 heeft twee snijpunten met de grafiek van f3.

(2) (d) Bereken de x-coordinaten van deze snijpunten.

(3) (e) Bereken de oppervlakte van het gebied ingesloten door lijn m en de grafiek van f3.

het vervolg vindt u op de achterzijde

2. Voor x ≥ 0 worden de functies f en g gegeven doorf(x) = e−x en g(x) = e−2x.

Va is het vlakdeel ingesloten door de grafieken van f en g en de lijn x = a.

In figuur 3 is dit vlakdeel grijs gekleurd.

figuur 3

Ox-as

y-as

a

(3) (a) Voor welke waarde van a is de oppervlakte van Va gelijk aan1

8?

(3) (b) Bereken de inhoud Ia van het omwentelingslichaam dat ontstaat door Va te wentelen om de x-as.

(1) (c) Bereken lima→∞

Ia.

3. Op een fietswiel met een straal R (in meter) wordt een rode sticker geplakt in P . Dit wiel draait met een

constante hoeksnelheid ω (in radialen per seconde).

figuur 3a

figuur 3b

Px-as

figuur 3c

O

P

ωt

x-as

figuur 3d

O

Pωt

x-as

figuur 3e

Ox-as

y-as

het vervolg vindt u op de volgende bladzijde

De vergelijkingen die de positie van het punt P weergeven zijn:

{x(t) = Rωt − R sin(ωt)

y(t) = R − R cos(ωt)(t ≥ 0). (Zie figuur 3a t/m e)

(2) (a) Toon dit aan. Hierbij kunnen duidelijk getekende figuren als hulpmiddel dienen.

De grootte van de snelheid van P op tijdstip t wordt gegeven door v(t) =√

(x′(t))2 + y′(t))2.

(3) (b) Toon aan dat v(t) =√

2ωR√

1 − cos(ωt).

(2) (c) Op welke tijdstippen is de snelheid van P zo groot mogelijk?

Wat is dan de snelheid van P?

(1) (d) Toon aan dat v(t) = 2ωR | sin(ωt

2)|.

(2) (e) Bereken de lengte van de afgelegde weg van P voor 0 ≤ t ≤ 4π

ω.

(Houd hierbij rekening met de absoluutstrepen.)

N.B.: Realistische waarden voor R en ω zijn 0.28 (meter) en 15 (radialen per seconde).

Cijfer: (aantal behaalde punten + 3)/3 met gebruikelijke afronding.