Formuleverzameling...Afgeleiden f(x) f0(x) g(x) 0h(x) g(x) h0(x) g(x)h(x) g0(x)h(x)+g(x)h0(x) g(x)...

3
IJkingstoets burgerlijk ingenieur - Formuleverzameling - p. 1 Formuleverzameling 2 1, 41; 3 1, 73 Logaritmische en exponenti¨ ele functie e = lim x→∞ (1 + 1/x) x 2, 72 log a x = a log x = y x = a y (a R + 0 \{1}) ln x = log e x; exp(x)= e x log a (xy) = log a x + log a y log a x y = log a x - log a y log a (x n )= n log a x log a b log b c = log a c a x+y = a x a y ; a xy =(a x ) y Trigonometrische functies tg α = tan α = sin α cos α ; cotg α = cot α = cos α sin α = 1 tan α sec α = 1 cos α ; cosec α = 1 sin α Bgsin x = arcsin x, (|x|≤ 1) Bgcos x = arccos x, (|x|≤ 1) Bgtan x = arctg x = arctan x; Bgcot x = arccot x Bgsec x = arcsec x, (|x|≥ 1) Bgcosec x = arccosec x (|x|≥ 1) sin 2 α + cos 2 α = 1; tan 2 α + 1 = sec 2 α; 1 + cot 2 α = cosec 2 α cos(α ± β) = cos α cos β sin α sin β sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β tan(α ± β) = (tan α ± tan β)/(1 tan α tan β) sin 2α = 2 sin α cos α = 2 tan α 1+tan 2 α cos 2α = cos 2 α - sin 2 α =1 - 2 sin 2 α = 2 cos 2 α - 1= 1-tan 2 α 1+tan 2 α tan 2α = 2 tan α 1-tan 2 α α cos α 1 sin α 1 0 cotgα tgα 1 1 sin α + sin β = 2 sin α+β 2 cos α-β 2 ; sin α - sin β = 2 sin α-β 2 cos α+β 2 cos α + cos β = 2 cos α+β 2 cos α-β 2 ; cos α - cos β = -2 sin α+β 2 sin α-β 2 2 sin α cos β = sin(α + β) + sin(α - β) 2 cos α cos β = cos(α + β) + cos(α - β) -2 sin α sin β = cos(α + β) - cos(α - β) Sinus-en cosinusregel in een driehoek a sin α = b sin β = c sin γ c 2 = a 2 + b 2 - 2ab cos γ a b c α β γ Verzamelingenleer A B is de verzameling van alle elementen die tot A of tot B behoren. A B is de verzameling van alle elementen die tot A en tot B behoren. A \ B is de verzameling van alle elementen die tot A maar niet tot B behoren. A B als alle elementen van A ook tot B behoren. Partieelsom meetkundige reeks met reden q 6=1 en eerste term u 1 . s n = u 1 + qu 1 + ... + q n-1 u 1 = n X i=1 q i-1 u 1 = 1 - q n 1 - q u 1

Transcript of Formuleverzameling...Afgeleiden f(x) f0(x) g(x) 0h(x) g(x) h0(x) g(x)h(x) g0(x)h(x)+g(x)h0(x) g(x)...

Page 1: Formuleverzameling...Afgeleiden f(x) f0(x) g(x) 0h(x) g(x) h0(x) g(x)h(x) g0(x)h(x)+g(x)h0(x) g(x) h(x) g0(x)h(x) g(x)h0(x) (h(x))2 xq;q2Q qxq 1 ex ex ax axlna sinx cosx cosx sinx

IJkingstoets burgerlijk ingenieur - Formuleverzameling - p. 1

Formuleverzameling√2 ≈ 1, 41;

√3 ≈ 1, 73

Logaritmische en exponentiele functie

e = limx→∞

(1 + 1/x)x ≈ 2, 72

loga x =a log x = y ↔ x = ay(a ∈ R+0 \ {1})

lnx = loge x; exp(x) = ex

loga(xy) = loga x+ loga yloga

xy = loga x− loga y

loga(xn) = n loga x

loga b logb c = loga cax+y = ax ay; axy = (ax)

y

Trigonometrische functies

tgα = tanα = sinαcosα ; cotgα = cotα = cosα

sinα = 1tanα

secα = 1cosα ; cosecα = 1

sinαBgsinx = arcsinx, (|x| ≤ 1)Bgcosx = arccosx, (|x| ≤ 1)Bgtanx = arctg x = arctanx; Bgcotx = arccotxBgsecx = arcsecx, (|x| ≥ 1)Bgcosecx = arccosecx (|x| ≥ 1)sin2 α+ cos2 α = 1; tan2 α+ 1 = sec2 α; 1 + cot2 α = cosec 2αcos(α± β) = cosα cosβ ∓ sinα sinβsin(α± β) = sinα cosβ ± cosα sinβtan(α± β) = (tanα± tanβ)/(1∓ tanα tanβ)sin 2α = 2 sinα cosα = 2 tanα

1+tan2 α

cos 2α = cos2 α− sin2 α = 1− 2 sin2 α = 2 cos2 α− 1 = 1−tan2 α1+tan2 α

tan 2α = 2 tanα1−tan2 α

α

cosα 1

sinα1

0

cotgα

tgα

1

1

sinα+ sinβ = 2 sin α+β2 cos α−β2 ; sinα− sinβ = 2 sin α−β

2 cos α+β2cosα+ cosβ = 2 cos α+β2 cos α−β2 ; cosα− cosβ = −2 sin α+β

2 sin α−β2

2 sinα cosβ = sin(α+ β) + sin(α− β)2 cosα cosβ = cos(α+ β) + cos(α− β)−2 sinα sinβ = cos(α+ β)− cos(α− β)

Sinus-en cosinusregel in een driehoek

a

sinα=

b

sinβ=

c

sin γc2 = a2 + b2 − 2ab cos γ a

bcα

βγ

Verzamelingenleer

A ∪B is de verzameling van alle elementen die tot A of tot B behoren.A ∩B is de verzameling van alle elementen die tot A en tot B behoren.A \B is de verzameling van alle elementen die tot A maar niet tot B behoren.A ⊂ B als alle elementen van A ook tot B behoren.

Partieelsom meetkundige reeks met reden q 6= 1 en eerste term u1.

sn = u1 + qu1 + ...+ qn−1u1 =

n∑i=1

qi−1u1 =1− qn

1− qu1

Page 2: Formuleverzameling...Afgeleiden f(x) f0(x) g(x) 0h(x) g(x) h0(x) g(x)h(x) g0(x)h(x)+g(x)h0(x) g(x) h(x) g0(x)h(x) g(x)h0(x) (h(x))2 xq;q2Q qxq 1 ex ex ax axlna sinx cosx cosx sinx

IJkingstoets burgerlijk ingenieur - Formuleverzameling - p. 2

Afstanden en hoeken in het vlak en in de ruimte

(cartesiaans assenstelsel)

Afstand tussen twee punten p1(x1, y1) en p2(x2, y2) in het vlak: |p1p2| =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2

Afstand van het punt p(x0, y0) tot de rechte L↔ ax+ by + c = 0 in het vlak: d(p, L) =|ax0 + by0 + c|√

a2 + b2

Hoek α tussen twee vectoren ~u(x1, y1) en ~v(x2, y2) in het vlak: cosα =~u · ~v‖~u‖ ‖~v‖

=x1x2 + y1y2√x21 + y21

√x22 + y22

Afstand tussen twee punten p1(x1, y1, z1) en p2(x2, y2, z2) in de ruimte:

|p1p2| =√

(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2 + (z2 − z1)2

Afstand van het punt p(x0, y0, z0) tot het vlak γ ↔ ax+ by + cz + d = 0 in de ruimte:

d(p, γ) =|ax0 + by0 + cz0 + d|√

a2 + b2 + c2

Hoek α tussen twee vectoren ~u(x1, y1, z1) en ~v(x2, y2, z2) in de ruimte:

cosα =~u · ~v‖~u‖ ‖~v‖

=x1x2 + y1y2 + z1z2√

x21 + y21 + z21√x22 + y22 + z22

Inhoud van enkele objecten

Kegel met hoogte h en cirkelvormig grondvlak met straal r: I = πr2h/3.

Piramide met hoogte h en oppervlakte grondvlak G: I = Gh/3.

Bol met straal r: I = 4πr3/3.

Afgeleiden

f(x) f ′(x)

g(x)± h(x) g′(x)± h′(x)

g(x)h(x) g′(x)h(x) + g(x)h′(x)

g(x)

h(x)

g′(x)h(x)− g(x)h′(x)(h(x))2

xq, q ∈ Q qxq−1

ex ex

ax ax ln a

sinx cosx

cosx − sinx

tanx sec2 x

cotx −cosec 2x

secx tanx secx

cosecx − cotx cosecx

f(x) f ′(x)

g(h(x)) g′(h(x))h′(x)

g−1(x)(inverse)1

g′(g−1(x))

lnx1

x

a log x1

x ln a

Bgsinx1√

1− x2(|x| < 1)

Bgcosx − 1√1− x2

(|x| < 1)

Bgtanx1

1 + x2

Bgcotx − 1

1 + x2

Bgsecx1

|x|√x2 − 1

, (|x| > 1)

Bgcosecx − 1

|x|√x2 − 1

, (|x| > 1)

Page 3: Formuleverzameling...Afgeleiden f(x) f0(x) g(x) 0h(x) g(x) h0(x) g(x)h(x) g0(x)h(x)+g(x)h0(x) g(x) h(x) g0(x)h(x) g(x)h0(x) (h(x))2 xq;q2Q qxq 1 ex ex ax axlna sinx cosx cosx sinx

IJkingstoets burgerlijk ingenieur - Formuleverzameling - p. 3

Primitieven

f(x)

∫f(x)dx

g′(x) g(x) + C

1x , x 6= 0 ln |x|+ C

lnx x lnx− x+ C

f(x)

∫f(x)dx

1√k2−x2

Bgsin xk + C

1√k2+x2

ln |x+√k2 + x2|+ C

1x2−a2 , a 6= 0 1

2a ln∣∣∣x−ax+a

∣∣∣+ C

Substitutie:∫f(g(x))g′(x) dx =

∫f(u) du

Partiele integratie:∫u(x)v′(x) dx = u(x)v(x)−

∫v(x)u′(x) dx

Complexe getallen

Een complex getal is een getal van de vorm a+ ib, waarbij a en b reele getallen zijn en i2 = −1De goniometrische vorm van een complex getal is r cos θ+ir sin θ, waarbij r de modulus van het complex getal genoemdwordt en θ het argument.Als a+ ib = r cos θ + ir sin θ dan geldt

r =√a2 + b2

θ = arctanb

aals a > 0

=

(arctan

b

a

)+ π als a < 0

= π/2 als a = 0 en b > 0

= −π/2 als a = 0 en b < 0

ProductHet product van z1 = r1(cos θ1 + i sin θ1) en z2 = r2(cos θ2 + i sin θ2) is gegeven door

z1z2 = r1r2[cos(θ1 + θ2) + i sin(θ1 + θ2)]

InverseDe inverse van een complex getal z = r(cos θ + i sin θ) is gegeven door

z−1 =1

r(cos(−θ) + i sin(−θ))

De formule van De MoivreVoor alle n ∈ Z geldt

[r(cos θ + i sin θ)]n = rn[cos(nθ) + i sin(nθ)]

Tweedegraadsvergelijkingen met reele coefficienten ax2 + bx+ c = 0, a 6= 0ax2 + bx+ c = a(x− x1)(x− x2) = ax2 − a(x1 + x2)x+ ax1x2D = b2 − 4acAls D > 0; x1,2 = −b±

√D

2a .

Als D = 0, x1 = x2 = −b2a .

Als D < 0, x1,2 = −b±√−Di

2a .