Complexe stromen NWD 2009 – Aad Goddijn 1. Complexe stromen NWD 2009 – Aad Goddijn 2 Complexe...

1

Com

plexe stromen

NWD 2009 – Aad Goddijn

2

Com

plexe stromen


Complexe Stromen

Complexe getallen en

elektrische netwerken

VWO 6: Wis-D en NLT

Nationale Wiskunde Dagen XV, 6 februari 2009

Aad Goddijn (Fi, Junior College Utrecht)[Joost van Hoof (Julius instituut, UU)]

3

Com

plexe stromen


1956: Herman luistert naar het weerbericht

4

Com

plexe stromen


Kristalonvanger

• Wikipedia• http://www.qsl.net/pd2acw/nummer012002/kristalontvanger.html

Afstem-kring

demodulatie

5

Com

plexe stromen


Amplitudo (de-)Modulatie

Na gelijkrichting door de diode heeft het signaal wél een trage component

6

Com

plexe stromen


Diodes, bout, afstemcondensator en harskernsoldeer

• De Muiderkring• Het Radio Bulletin• AMROH

• http://www.techna.nl/Techniek/mobiele%20telefoon/kristalontvanger.pdf

7

Com

plexe stromen


Alle energie kwam uit de

antenne,die aan

mijn vlieger hing!

8

Com

plexe stromen


50 jaar later: nieuwe CD-DVD-speler

9

Com

plexe stromen


Weerstand R, Condensator C , Spoel L

R C L

10

Com

plexe stromen


0: Feiten Complexe Stromen• Samenontwikkeling en uitvoering van

module natuur+wiskunde• Joost van Hoof (Julius Instituut, UU)• Aad Goddijn (Fi, JCU)

• JCU: • pittig exact gemotiveerde leerlingen omgeving Utrecht

• NLT en Wis-D • 8 keer 2 75 minuten• 2 keer op JCU gedaan (19 ll.)• experimenten elders aan de gang• certificatie NLT beoogd zomer 2009

11

Com

plexe stromen


• T. Ik heb een film gezien over complexe getallen en ik wil wel eens zien hoe je die kunt gebruiken.

• J. Ik hoop dat ik, door deze module te kiezen, de vorige hoofdstukken van natuurkunde wat beter ga begrijpen.

• S. 'Complexe stromen' vind ik mysterieus klinken. Vooral de complexe getallen lijken mij erg interessant. Ik ben erg benieuwd hoe zoiets vreemds als het getal i kan helpen bij het beschrijven van een realistisch natuurkundige situatie.

• A. Ik ben al lange tijd anti-fan van aardrijkskunde. En ook al zit er ontzettend veel beta bij, het blijft aardrijkskunde voor mij. Wiskunde en natuurkunde zijn gewoon ontzettend tof!

• T. Ik heb altijd al willen weten wat nou niet reele getallen zijn. Het lijkt me ook leuk weer les te krijgen van A.

Motivaties keuze voor deze module

12

Com

plexe stromen


Verschillen in aanpak mogelijk

wiskundig

natuurkundig

gescheiden

Complexe Stromen JCU

13

Com

plexe stromen


Wiskundige opzet

• Vaak: – Sterk algebraïsche aanzet – Start met oploswens bij de vergelijking x2 = -1– Vliegende start met i.

• “Een complex getal is een uitdrukking van de vorm a + bi, met a en b reëel i2 = -1.“

– Start met Cartesische representatie

• Soms:– Meer meetkundig vanuit draaien en gelijkvormigheid.

(Argand)– Start met polaire representatie

14

Com

plexe stromen


• Wis en Na-deel samen/afwisselend opgebouwd

• Argand-aanpak, uitgelokt door gebruik in natuurkunde

• Notatie: overlap en verschil– Schakelingen: R, C, L, U, I , en t – Complexe getallen: i– Wiskunde: soms signaal i.p.v. functie– Natuurkunde: bevat de meeste oefeningen in algebra

• Vak-visieverschillen: – interessante confrontatie, ook voor de leerlingen

Complexe Stromen JCU; Wi+Na

15

Com

plexe stromen


7 hoofdstukken

1: Componenten in complexe schakelingen

2: De sinus en cosinus onder de loep

3: Een condensator in een wisselstroomnetwerk

4: Constructie van de complexe getallen

5: Complexe stromen en impedanties in netwerken met een spoel

6: Complexe getallen en transformaties

7: Netwerken met zowel condensatoren als spoelen

16

Com

plexe stromen


Uit hfst 1: Componenten in de schakeling

• Voorkennis:

–Wet van Ohm: U = I R– Parallelschakeling en serie schakeling weerstanden

• Condensator en spoel

• Herhalingsoefening rekenen in netwerken

17

Com

plexe stromen

NWD 2009 – Aad Goddijn JuCo 2008

Netwerken en Overdracht

• Schakeling met een ingang (input) en een uitgang (output)

• De overdracht H van het netwerk (voorlopig!)

uit

in

UH

U

18

Com

plexe stromen


De algebra van de

spanningsdeler:met de wet van Ohm

1 2

inUI

R R

• Stroom door R1 en R2:

• Uitgangsspanning berekenen: 22

1 2uit in

RU I R U

R R

• De overdracht is dus:uit 2

in 1 2

U RH =

U R + R

19

Com

plexe stromen


Vervangingsweerstand; serie- en parallelschakeling

2 3 4 sR R R

1 1 2

1 1 1

sR R R

2 3 4

1 21 23 4

1 2

s

s s

R R RH

R RR R R RR R

!!! Belangrijk !!!

1. Reductie en rekenwerk berusten op de WET van OHM: U = I R

2. Bij weerstanden: tijdsonafhankelijk!

20

Com

plexe stromen


Vervangingsweerstand

JuCo 2008JuCo 2008

A: Bereken de vervangingsweerstand

B: Bedenk een netwerk dat zich zo niet laat reduceren ….

!! OPGAVE !!

21

Com

plexe stromen


A: 15 B: Voorbeeld

R1

R3

R5R4

R2

V

Ohm, ohm … oplosbaar via stelsel lineaire vergelijkingen >>

22

Com

plexe stromen

NWD 2009 – Aad Goddijn (Etc. ….)

23

Com

plexe stromen


De condensator

• Twee geleiders met een isolerende tussenstof.• Als er lading op een condensator staat is er ook

een spanning:

• C is de capaciteit. Eenheid: de farad (F).

C C

QQ U C U

C

24

Com

plexe stromen


De condensator: op- en ontladen

Blokspanning op een condensator

• Hoe ziet UC er uit?

25

Com

plexe stromen


Veranderende lading, spanning en stroom bij de Condensator

• We weten:

• Stroom is verandering van lading:

• Op een ‘moment’ geldt:

• Dus:

C C

QQ U C , U

C

QI

t

0limt

Q dQI

t dt

C CC

dQ dUI C

dt dt

26

Com

plexe stromen


De Spoel in een notedop

• Een opgerolde draad.

• Constante stroom door spoel levert een magnetisch veld B; evenredig met de stroom I. De spoel omvat flux .

27

Com

plexe stromen


Stroom en spanning bij de spoel

Als de omvatte flux verandert, verzet de spoel zich daartegen (wet van Lenz) door een spanning te genereren: de inductiespanning.

N windingen tellen de spanning op.

Uiteindelijk vind je:

L heet de coëfficient van zelfinductie. Eenheid van L is de henry (H).

indU Nt

L

dIU L

dt

28

Com

plexe stromen


Demonstratie: Wisselspanning op een Schakeling

Niets aan de hand!

De multimeter laat zien :

Uin = Ur1 + Ur2

ALARM!!

De multimeter laat zien :

Uin UL + UC

29

Com

plexe stromen


Sinusoiden(?) optellen: klopt wel

30

Com

plexe stromen


Van Teleurstelling naar Toekomstmuziek

• Bij wisselstroom op C en L (nog) geen eenvoudige rekenregels voor schakelingen

• Maar de sinussignalen lijken kansrijk!

• Kunnen we ‘eenvoudig’ leren rekenen met die signalen?

• Bestaat er een ‘betere’ Wet van Ohm?

31

Com

plexe stromen


Hoofdstuk 2: Rekenen met Sinusoiden

• Deels bekend, deels uitbreiding– sin2x+ cos2x= 1– radialen en graden– boog/straal

• Het gedraai van het duo sin&cos

• Vektoriele blik op de afgeleide

• Optellen sinusoiden? Ja, we kunnen.

32

Com

plexe stromen


De wind steekt op!

Vóór- en zijaanzicht van de cirkelbeweging

33

Com

plexe stromen


Twee beelden; algemene formule

Amplitudo – Hoeksnelheid – fasehoek

(periode, frequentie)

34

Com

plexe stromen


Opgave (uit de thuistoets)

• Bepaal R, en

• Vergelijk daarna 2 oplossingen (z.o.z)

!! OPGAVE !!

35

Com

plexe stromen


Twee oplossingen

Jeroen

36

Com

plexe stromen


Twee oplossingen (bis)

We willen echt de hoek en niet het tijdsverschil!

Jeroen

37

Com

plexe stromen


Sin&Co

38

Com

plexe stromen


De optelmanoeuvre zelf(gelijke hoeksnelheden)

• Op te tellen:

• Verrijk met horizontale component:

• Tel draaiende vektoren op:

• Kies component van Q3.

• Gekozen moment t is niet belangrijk!!!

1 1 2 2enA sin t A sin t

1 1 2 2enA cos t A cos t

1 2 3Q t Q t Q t

39

Com

plexe stromen


Opgave (toets)

• Toon aan:

• Geldt de formule ook met cos-cos-cos ?– Er zijn minstens twee verschillende argumenten ..

• Bekijk het werk van Jeroen en Rosalinde

40

Com

plexe stromen


Jeroen

41

Com

plexe stromen


Jeroen (vervolg)

42

Com

plexe stromen


Rosalinde

43

Com

plexe stromen


Ware snelheid en afgeleide

Plaatsdiagram

snelheidssdiagram

44

Com

plexe stromen


Muzikaal intermezzo met ongelijke frequenties

sin 62 sin 60t t ??????

Zie ook:Gunther Cornelissen: zaterdag 9.15-10.00 Heinz Hansmann: zaterdag 10.30-11.15

Winplotdemo

+

=

62 60 62 60sin 62 sin 60 2 cos sin

2 2t t t t

AM!

45

Com

plexe stromen


Hfst 3: Wisselspanning op de condensator (en spoel)

• We weten:C

C

dUI C

dt

• Wisselspanning IN:

0 sinCU t U t

• Dus: 0 sinC

d U tI t C

dt

0 cosI t 0 sin( / 2)I t

0 cosC U t

IC

1o oU I

C

Alléén

voor d

e

amplituden

!

46

Com

plexe stromen


Stroom en spanning zijn uit fase!

IC loopt /2 vóór op UC

47

Com

plexe stromen


Impedantie

• Quotiënt van spanning en stroom in weerstand R: weerstand R.

• Quotiënt van de amplitudes van de wisselspanning en -stroom door een element (R, C, L) heet

impedantie Z

CZ 1

CRRZ

• Algemeen:0 oU Z I

LZ L

LIL

UL

48

Com

plexe stromen


Hoe werkt dit RC-netwerk?

• We weten:

1. IR = IC !!

2.UR is in fase met IR en dus met IC

3.UC loopt /2 achter op IC en dus ook achter op UR

4.UC + UR = UIN

49

Com

plexe stromen


Pittige opgave: maak het verhaal af!

• Bepaal de verhouding tussen de amplitudes van UC en UR . (Impedanties!)

• Pas de draai- optelmanoeuvre (Q1+ Q2= Q3) toe op UC + UR = UIN .Dat levert een ‘schets’.

• De amplitudes U0,C , U0,R en U0,IN hangen samen . Hoe?

• Druk de overdracht in R, C en uit.

• Laat het faseverschil van UC met UIN zijn. Bepaal , of tan().

0,

0,

( ) C

in

UH

U

!! OPGAVE !!

50

Com

plexe stromen


De som van UR en UC

U R

U R +

UC

U C

51

Com

plexe stromen


UR

UR + UC

UC

De som van UR en UC; fase

52

Com

plexe stromen


H hangt af van af.

• Gelukkig maar. Daar hebben we iets aan!

• Dub-belloga-rit-misch:H van

• Lowpassfilter (kristalontvanger!)

0,

2 2 2 220,

1/ 1( )

11/

uit

in

U CH

U R CR C

0

2 2 2( ) sin( )

1C

UU t t

R C

0, 0

0, 0

tan1/( )

R

C

U I RRC

U I C

53

Com

plexe stromen


Nasleep bij de berekening

• Achteraf: behoorlijk achterstevoren!

• En er iets iets mis met deze aanpak …– Kijk kritisch naar de twee paginas waar de oplossing

op staat.– Wat is de verborgen aanname ??

!! OPGAVE !!

54

Com

plexe stromen


Aanvulling met d.v.

• We weten wel dat

• En dat UR + UC = UIN

• differentiaalvergelijking:

• Onze UC(t) ís een oplossing!

• Afwijkingen van onze oplossing voldoen aan

• Dat zijn juist de (uitdovende) inschakel-verschijnselen:

CR C

dUI I C

dt

0C

C

dU tR C U t U sin t

dt

0CC

dUR C U

dt

1

0tRC

cU t U e

55

Com

plexe stromen


O, simpele spanningsdeler!

Uin = U1 + U2 en U (t) = I(t)·R

uit 2

in 1 2

U RH =

U R + R

1 2

inUI

R R

Wel: UR + UC = UIN

Ook : ,0,R R oU Z I 0,C C oU Z I

Niet:

Zelfs : R R RU t Z I t

C C CU t Z I t

Ach, ellendige RC- kring!

56

Com

plexe stromen


Die wet van Ohm, voor C en L,wordt dat nog wat?

57

Com

plexe stromen


Hfst.4: Complexe Getallen vanuit complexe overdracht H

Z en H krijgen een draai

en

de Complexe Getallen

verschijnen.

58

Com

plexe stromen

NWD 2009 – Aad Goddijn JuCo 2008

Netwerken en Overdracht (herhaling)

• Schakeling met een ingang (input) en een uitgang (output)

• De overdracht H van het netwerk (voorlopig!)

uit

in

UH

U

59

Com

plexe stromen


Overdracht bij wisselspanningen?

• Echte overdracht is een koppel van:

– Verhoudingsgetal van de amplituden (positief getal)– Verschil van de fasen (hoek)

60

Com

plexe stromen


Twee netwerken ná elkaar

( A, ) ( A, )

( A, ) = ( …… , ..….. )

Netwerk 1In UitNetwerk 2

In Uit

Netwerk 3

( A, ) = (A A , )

61

Com

plexe stromen


Complexe getallen …….,

• Dat ‘zijn’ deze koppels!

• Je hebt zelf de vermenigvuldiging afgesproken.

• Weerstandsnetwerken: alle fasehoeken zijn 0. – De gewone vermenigvuldiging!

• De complexe vermenigvuldiging sluit bij de gewone aan en breidt hem uit.

62

Com

plexe stromen


Het worden ‘getallen’, als je het rekenen oefent!!

• Aan de notatie hangen we een kleine p, om verwarring te voorkomen.

• Eventueel: doe 4.8 ook met S 2 = -1.• Commentaar: veel details worden door de ll . zel f ‘besl is t’ .

!! OPGAVE !!

63

Com

plexe stromen


Complexe VlakEen complex getal is een punt in het vlak

64

Com

plexe stromen


Geometrisch vermenigvuldigen

• intieme vrienden:– Gelijkvormige driehoeken,Vermenigvuldigen, draai-strekking om O

• Bereken z16

!! OPGAVE !!

65

Com

plexe stromen


Absolute waarde, conjugeren (1)

• Absolute waarde en argument van z = (A, )p

– Notaties |z| en arg( ) [arg niet frequent]

– Afstand tot 0 (Verwarrend tov voorkennis). ( ….. A)– Hoek vanaf positieve reele as. (………

• Conjugeren: – Spiegelen t.o.v. reële as.

– Dus: z = (A, )p . , = (A, -)p

• Toon aan: (en diverse anderen ..)

z

2z z z 1 2 1 2z z z z 1 2 1 2z z z z

66

Com

plexe stromen


Optellen, het getal i, Cartesische notatie

• Geometrisch optellen: – vektoroptelling– sluit aan bij optellen

sinusoiden

• i = (1, /2)p is al bekend.– Goede helper bij:

• Cartesisch coordinatenstelsel– En de representatie

a + bi

• Etc. etc. etc.– Er zijn in de klas

allerlei details en kleine hobbels.

67

Com

plexe stromen


Absolute waarde, conjugeren (2)

• Absolute waarde en argument van z = (a + bi)– Notaties |z| en arg( ) [arg niet frequent]

– Afstand tot 0 (Verwarrend tov voorkennis)……– Hoek vanaf positieve reele as. (……… = arctan(b/a))

• Conjugeren: – Spiegelen t.o.v. reele as.

– Dus: z = a + bi . , = a – bi

• Toon aan: (en diverse andere ..)

z

2z z z 1 2 1 2z z z z 1 2 1 2z z z z

2 2a b

68

Com

plexe stromen


Cartesisch rekenen

• (1 + 2i) · (3-4i) = 11 + 2i; (a +bi) · (c + di) = (ac –bd) + i (ad +bc)

• Een trucje voor delen:

• Ontbind a2 + b2 in twee factoren!

• Gebruik om te ‘bewijzen’:(dwz: werk het rechterlid NIET uit)

• (5 + 2i) · (5-2i) = 29 was toch priem?? Of toch niet? Of niet meer?

3 5 43 5 7 17 7

4 4 4 17 17i ii i

ii i i

1 2 1 2z z z z 2 22 2 2 2a b c d ac bd ad bc

!! OPGAVE !!

69

Com

plexe stromen


Intermezzo Priemgetallen van Gauss

• Gehele getallen van Gauss: a + bi; a en b gewone gehele getallen.

• 2 is in zulke getallen ontbindbaar, maar 3 blijft priem!

• Op de theedoek: – wit is priem.– Middenkruiskje: 0 , 1I– http://www.sannydezoete.nl/index.htm– In steenrood, lavendelblauw, goudgeel en wit

• Achtergrondbehang van deze slide:– Priemgetallen met |a| < 400, |b|<300– Kun je met een begrensde stapgrootte

van 0 naar oneindig?(onopgelost probleem)

70

Com

plexe stromen


Cartesisch en polair; omrekenen

71

Com

plexe stromen


De wetten van de Algebra gaan dóór

72

Com

plexe stromen


Complexgewijs oplossen of niet (1)

73

Com

plexe stromen


De kroonjuwelen van het complexe vlak (1)

1 2 1 21 1 1p p p

, , ,

1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2

cos cos sin sin cos

sin cos cos sin sin

1p

, cos i sin

(a +bi) · (c + di) = (ac –bd) + i (ad +bc)

ncos i sin cos n i sin n

1 1 2 2 1 2 1 2cos i sin cos i sin cos i sin

74

Com

plexe stromen


De kroonjuwelen van het complexe vlak (2)

• Eenheidswortels: wortels van zn = 1 = …… in Euler – De Moivre Nog meer! Toon aan: ze zijn samen 0.

• Diverse methoden bij ll.– (Jeroen, zoz) Ze vormen een regelmatige ster. Tel

de vectoren op: je krijgt een regelmatige veelhoek, die sluit.– Bij even n staan er steeds twee tegenover elkaar.– De sin-componenten vallen twee aan twee weg.

De cos componenten ook. { ????????? Niet bij oneven!}– Werken met som van meetkundige rij– n-afhankelijke methoden (bijvoorbeeld in kwartetten samen

nemen.

75

Com

plexe stromen


Eenheidswortels kopstaart

76

Com

plexe stromen


Gevalsafhankelijk (niet goed …)

77

Com

plexe stromen


Wortels, Meetkundige rij en e-macht

Formule voor de som:

(1-( e2πi/n)n)/ (1- e2πi/n)= (1- e2πi/)/ (1-e2πi/n)=0(want e2πi = 1)

De som van alle eenheidswortels bij één n is dus, onafhankelijk van n, 0.

78

Com

plexe stromen


De notatie(?) eit

Hetzelfde? Met P kun je ook rekenen!

Dat ziet er bekend uit:

Je kunt rekenen alsof:

Protest ! !Hoe zit dat dan met die machten van e ?

79

Com

plexe stromen


Afscheid van de poolnotatie

• Maar het bleef nog lang onrustig!

• [ In laatste hoofdstuk ook met ipv t ]

• Vervolg: Rekenen (helpt dat begrijpen?) met deze notatie:

In een RLC - schakeling

80

Com

plexe stromen


Hfst 5 en 7: Schakelingen en eit

Op en neer van een Draaibeweging:

Wisselstroom ‘is’ Reële deel van Complexe Stroom:

*0( ) (cos sin )U t U t i t 0( ) cosU t U t

*0( ) i tU t U e

81

Com

plexe stromen


Complexe Impedantie van Condensator

0

0

1

CC

** CC

i t

i t

*C

* * * *C C C

dUI C

dt

dUI C

dt

d U eC

dt

i C U e

i C U

U I Z Ii C

Bekend!

Want: beide componenten …

Idem!

KettingregelDe Wetten van de Algebra

De COMPLEXE WET VAN OHM !!

82

Com

plexe stromen


Complexe impedanties bij R, C, L

• Je kunt rekenen als met weerstanden.– De complexe vermenigvuldiging doet het fasewerk– De complexe optelling doet het optellen van de uit

fase lopende sinusoidale spanningen en stromen

• Onzichtbaar via de complexe overdracht

Voor alledrie geldtDe Complexe Wet van Ohm

RZ R 1CZ

i C LZ i L

83

Com

plexe stromen


O, simpele spanningsdeler!

1

11 1

C

in

U i CH =U i RCR +

i C

En net zo simpele RC-kring!

uit 2

in 1 2

U RH =

U R + R

84

Com

plexe stromen


| Overdracht | en fase RC-kring

2

1 1

1 1H =

i RC RC

2

1 1arg arg( ) arg( ) arctan( )

1 1

i RCH = RC

i RC RC

85

Com

plexe stromen


De harde vraag over eit komt bij de schakelingen!

• Ja, maar die elektronentreintjes in die draad, dat snap ik. Hoe zit dat dan met die complexe stromen die draaien in die draad?

• Antwoord …….

86

Com

plexe stromen


Resonantie; alleen resultaten

2

1( )

( 1)1

HR LC

iL

Amplitudo karakteristiek

0

1

LC

Resonantie-frequentie

(kristalontvanger!)

87

Com

plexe stromen


!! OPGAVE !!

88

Com

plexe stromen


Richard (2007)

89

Com

plexe stromen


Saskia (2008); |H| tegen

90

Com

plexe stromen


H(), |H()| en een veel gemaakte fout

22 2

22

2

2 2

2

2

11

1 1

1

1

1

1

1

1

R C LC

R C

i CHRi C LCR i

LC

Li C

H

Of

H

moet zijn

HLC RC

!! OPGAVE !!

91

Com

plexe stromen


Toegift: Meetkunde en Complexe getallen

• Hfst 6 van CS; maar onder tijdsdruk• In Wis D-(2013):

– Analytische Meetkunde en Complexe getallen apart.– Gemiste kans?

• Veel literatuur beschikbaar:– Meetkundigheid bij C zelf; veel nadruk op hyperbolische

meetkunde (Schwerdtfeger, Hahn, Pedoe) – Functietheorie met veel meetkundigs (Ahlfors, Tristan Needham)

• Nu: – drie voorbeelden– De HSA tot slot

92

Com

plexe stromen


A: Loodrechte stand, Gelijkvormigheid

• Gegeven twee punten z en d. Bepaal w zo, dat (zdw) klok-mee 90 graden is. (‘druk w in z en d uit’)

• Gebruik i!

• (w – d) = -i (z – d)

w = d + (-i) (z – d)

!! OPGAVE !!

93

Com

plexe stromen


Teleurstellings Eiland

Bij aankomst: Wel stenen, geen eik!

Kies steen1 : -1 steen2 : 1De eik : z.

Vind de schat toch!

!! OPGAVE !!

94

Com

plexe stromen


Afbeeldingen, Gelijkvormigheid

• Algemeen:• Elke afbeelding z w met

w = a z + bis een gelijkvormigheids-afbeelding.

95

Com

plexe stromen


Bewijs 1 en 2, voorbeeld

• Neem aan a 1.

• (1) Herschrijf

w = a z + b

in dekpuntvorm

w = d + a ( z- d) , a = ( F, )p

• (2) Bewijs en interpreteer als zhz:

• Voorbeeld: Teleurstellings Eiland

w = d + (-i) (z – d)

1 3 1 3

2 3 2 3

w w z zw w z z

96

Com

plexe stromen


B: De Limaçon van Pascal

De baan van z2 + z als z over de cirkel |z| = 1 loopt.

Construeer z2; test of z2 + z correct is getekend.

Teken construeer een snelheidsvector voor z.

Construeer de bijhorende snelheidsvectoren van z2 en z2 + z .

Construeer de raaklijn aan de limacon in z2 + z .

!! OPGAVE !!

97

Com

plexe stromen


De verbeterde Limaçon van Marise

• Geruststellend dat ik de snelheidsvector inderdaad aan de baan van Z^2 + Z zag raken. […] Het was even puzzelen, maar ik vergeet nooit meer wat de Limacon van Blaise Pascal is.

98

Com

plexe stromen


Kwadrateren? Parabool! ?

• Toon aan dat de lijn van de punten t + i (t reëel) door z z2 op een parabool wordt afgebeeld.

• (Onderzoek of het ook voor andere lijnen geldt.)

!! OPGAVE !!

99

Com

plexe stromen


Te korte bocht ….

100

Com

plexe stromen


Echt ‘complex’ werken bij algemeen geval

• Tip:– Een andere lijn kun je met een geschikte

vermenigvuldigfactor a horizontaal krijgen.

• Tessa: – Stap één:

elke horizontale lijn levert een parabool– Stap twee:

draai met a, kwadrateer, draai terug met a2.– Als verhaal, maar ook als formule:

z w = (z*a)2 / a2 = z2

101

Com

plexe stromen


Demo tot slot: de HSA

Hoofdstelling van de algebra

Elke veelterm-vergelijking heeft in het complexe vlak een oplossing.

102

Com

plexe stromen


einde

Complexe stromen NWD 2009 – Aad Goddijn 1. Complexe stromen NWD 2009 – Aad Goddijn 2 Complexe...

Documents

Transcript of Complexe stromen NWD 2009 – Aad Goddijn 1. Complexe stromen NWD 2009 – Aad Goddijn 2 Complexe...