Meetkunde met Algebra

Aad Goddijn (Fisme)

Winter 2014

2

Overzicht

• Wat was Analytische Meetkunde?– Achtergronden vroeger en nu– Descartes: Meetkunde via algebra– Later: coördinaten, algebra, het klassieke programma

• Wat wordt het nu?– Vier opgaven van nu: meetkunde met Algebra– Vorm, vervorming, hoeken, beweging– Bedoeling: startpunten voor verder ontwikkelen.

• Samenvatting, – Terugblik, overzicht, achtergronden

3

A: Wat was Analytische Meetkunde?

4

La Géométrie

• Dover, tweetalig (F,E)(used from $0.89 (2nd)

• Voorplaat: bij oplossen 6e-graadsvergelijkingen.

• De traditie zegt:

Descartes vond de AM uit.

• Is dat zo ????????????

5

Descartes’ filosofie achter La Géométrie uit 1637

• (elk vraagstuk dat over grootheden gaat, kan worden teruggebracht tot een meetkundig probleem)

• elk meetkundig probleem kan worden teruggebracht tot een algebraïsch probleem;

• dat kan worden teruggebracht tot het oplossen van een of meer vergelijkingen met één of meer onbekenden.

• weet je de oplossing, dan kun je de afstanden (meetkundig) construeren

• Samengevat: Meetkunde via de algebra

Hoe doet ie dat?

1. De analytische methode

2. Localisering via afstanden x en y, ( ~ coördinaten)

3. Het nieuwe vermenigvuldigen

6

7

Descartes 1: de analytische methodeNeem aan dat het probleem opgelost

is

Geef namen aan bekenden en

onbekenden; a, b, c, x,y,z

Ver-gelijkingenopstellen

algebra

8

Vlaggemast, probleem en oplossing

Aan de top van een rechtopstaande vlaggemast zit een koord. Eén meter vanaf het losse eind zit een knoop. Als het koord los naar beneden hangt, komt de knoop precies op de grond. Je trekt aan het eind van het touw en brengt dat eind zover mogelijk van de mast naar de grond. Het koord raakt nu de grond op 5 meter van de voet van de mast.VraagHoe hoog is de vlaggemast?

Stap 1

Stap 2: x, x+1, 5

x

15

x

Stap 3: (x+1)2 = x2 + 52

Stap 4: ………. X = 12

9

Descartes 2: ‘coördinaten ??’

• Curve, mechanisch beschreven door punt C

•x en y zijn afstanden tot twee vaste lijnen

• Het abc van Descartes:• x, y, z: onbekenden• a, b, c: bekenden

x

(CB) y

3: Het nieuwe vermenigvuldigenvan lijnstukken

10

11

Euclides: lijnstuk * lijnstuk is oppervlakte

Natuurlijk verband tussen graad (aantal factoren) en dimensie

12

Descartes: lijnstuk * lijnstuk = lijnstuk

AB : BD = BC : BE

AB * BE = BD * BC

AB = 1

1

AB * BE = BD * BCBE = BD * BC

13

Niet-homogene

vormen

z

q

NP =: q

QNP=TOP

SR = z3

Etc…

14

Niet-homogene

vormen

Cursus AM okt-nov 2008

Historiegaat vooraf

15

Hilbert, rond 1900

OE

B

A

C

construeer

C= OA * OB

OE = 1

OE

B

A

C

B'

A'

construeer

C= OA * OB

OE = 1

Voeg toeB' en A'met OA ::: OA'en OB' ::: OB

construeerOB' * OA'

OA * OB* = C = OB' * OA'

Waarom??Hilbert weet dat de stelling van Pappos

een noodzakelijk axioma is.

Cursus AM okt-nov 2008

Geometrisch of papagaai?

16

(a + b)( c + d)

17

Later …

• Coördinatengebruik kenmerkt de AM. Figuur en vergelijking zijn gelijkwaardig. Maar …

figuur Vergelijking

F(x, y) = 0

snijden Los x en y op uitG(x, y) = H(x, y) =0

figuur

snijden

18

Uw meetkundeboek ziet er voortaan zo uit

19

Mijn zelftoets: Torus analytisch doorsnijden

• Torus: wentel cirkel (r, (R,0,0)) om z-as.

y

x

z

20

Twee aanzichten,

• Snijden met dubbelraakvlak

• Op de wijze van BM(anno 1939)

• In het bovenaanzicht zie je twee cirkels !!!!!!!!

• Bewijs dat met algebra!

Speeltuin? Martelkamer?

21

22

Vroeger op school:

Noodgedwongen bijna geheel beperkt tot 1e- en 2e-graadsvergelijkingen.

Microscopie van de tweedegraadsvergelijking, die allemaal kegelsneden als figuur hebben.

Hoogste punt:

Determineer (gegeven A, B, C) de aard van :

Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0

23

Inhoud, overzicht van de boeken

• (Grondslagen)• Lijnen • Cirkels• (Macht en machtlijn)• (Meetkundige plaatsen)• Ellipsen• Parabolen• Hyperbolen• (Bundels, coordinaat-

transformaties)

• (Grondslagen)• Lijnen • Cirkels• (Macht en machtlijn)• (Meetkundige plaatsen)• Parabolen• Ellipsen• Hyperbolen• (Bundels, coordinaat-

transformaties)

Revolutievariant:

Standpunt nu

• Wel algebra gebruiken!

• Liefst geïntegreerd

• Focus op conceptverwerving meetkunde MET algebra.

• Vandaag: – dit standpunt verkennen via vier (drie, één) opgaven en

discussie.

24

Opgave 1:Vierkanten voltooien

25

Eerst berekening invullen, later pas resultaat!

26

Twee liggingen

Berekening als gids naar formules voor xD en yD

27

(Rood óók !!)

Rode resultaat als controle voor groene formule xD

28

Punten van overweging en discussie (1)

• Rekenen met absolute verschillen uitgelokt door numeriek voorbeeld.

• Algebraformule blijkt mooi onafhankelijk van ligging.• Verschillen als Gerichte Grootheden.• P, Q, R op één lijn:

Afst(P,Q) + Afst(Q,R) =? Afst(P,R) GG(P,Q) + GG(Q,R) = GG(P,R)

• Gerichte grootheden maken het huwelijk van meetkunde en algebra gelukkig.

• Descartes begreep hier nog niet veel van!• Freudenthal:

– Algebraisch-meetkundig permanentie-principe

• Waarom dit niet met vectoren? ……. 29

Punten van overweging en discussie (2)

• Is één karakteristiek numeriek voorbeeld genoeg?

• xD = xA + (yA – yB) is betekenisvoller dan 91 = 58+ 52-19

• Namen maken algebra betekenisvol, getallen niet.

• Alle niet-wiskundigen weten dat beter dan wij..

30

31

Intermezzo: Cirkelvergelijking opstellen

D: Waarom doe je dat?

l: “Ik dacht dat ‘t moest.”

D: Welke regel vertelt het best dat het een cirkel is?

l: De eerste.

Stel de vergelijking op van de cirkel met middelpunt (4,1) die door (6,2) gaat.

Commentaar: Met de haakjes mee wordt de wiskunde verdreven.

Opgave 2: een cirkel vervormen.

• Onderwerp:

Verwantschap figuur en vergelijking

• Van figuur 1 naar figuur 2en van vergelijking 1 naar vergelijking 2

• Inleidende voorbeelden met vaste structuur.

32

Algebra, transformaties, terugkijken

Vergelijking origineel: F(x, y ) = 0

Verschuiven over (16, 5).

Vergelijking beeld: F(x-16, y-5 ) = 0

Dus (x-16, y-5) in origineel.

(x, y)

34

Para-I draait 90 graden om O naar para-II

I: y= x (x-4)/4

(x, y) op II komt van (y, -x) op I.Die ligt op het origineel. Dus:

II: (-x) = y(y-4)/4

x = y(4-y)/4

(x, y)

(y, -x)

35

Cirkel: x2 + y2 = 36

(x, y) komt van (x, 2y).

(x, 2y). ligt op de originele cirkel. Dus:

Ellips: x2 + (2y) 2 = 36

Terzijde: is dat dezelfde ellips als de echte?

Opgave 2 (pittig ..)

• Transformeer in enkele stappen de vergelijking van de eenheidscirkel naar die van deze ellips met assen 2 en 4.

(laatste schuifstap misschien als huiswerk)36

Discussie …..

• Terugkijkmethode generiek aanbieden.

• Per transformatiesoort oefenen lijkt aardig

• .. Maar helpt niet bij methode-transfer van schuiven naar draaien (bij para I>>II)

• ‘Uitwerken’ van vergelijkingen hier niet echt van belang.

37

38

Opgave 3: Hoeken en spiegelen

39

Commentaar

• Hoeken, ook graag georienteerd bij AM• Hoek van een lijn: rc, en 0 -180. De tangens heeft

periode 180.• Hoek van een straal: volle cirkel. Dit is de GGB-

hoek. • In de formule staat de factor 2 bij de hoek die zelf

maar tot 180 mag gaan!• Antwoord toegevoegde vraag c:

JA. Georienteerde hoeken en algebra gaan net zo samen als georienteerde afstanden en algebra.

40

Opgave 4: Bewegen en vectoren

41

GGB-ontwerp, schuifjes, glijden

42

Schuivende lijn

43

Onderzoek het verband tussende snelheden van boven- en onderkant van de glijdende ladderlijn.

P(t)

Q(t)

Vragen

• Wat ga je meer vastleggen in de vraagstelling?

• Intuitief: als de ladder stil staat de bovenkant … maar met .. Toepassingen hiervan?

• Vectoren? Probeer.

• Of: de lengte verandert niet in de tijd.

• Afgeleide gebruiken?

44

Mogelijke antwoorden

• Projecteer de bewegingen op de ladderlijn zelf.

• P(t)2 + Q(t)2 is vast. Differentieëer dat.

45

Nadere discussie vectoren

• Vectoren: optimaal bij beweging. Minder bij positie.

• Wezen van de vector: een verplaatsbaar verschil. Zie opgave 1; snelheid is ook een verschil, een tijdgeschaald verschil.

• Samenstellen én verdelen. (Zoals hier)

• Kracht van inproduct eigenlijk pas in 3D.• In 2D kan al het belangrijke evengoed zonder:

Loodrechte standen, lengte, cosinusregel.

46

C: Terugblik, samenvatting

• Historische inleiding met didactisch accent: de methode Descartes.

• Algebra is betekenisvol in de meetkunde via zijn eigen structuur. (Dat is heel wat meer dan het lijken van de eb-vloed grafiek op een sinuslijn)

• Relativering van de waarde van losse numeriek voorbeelden om tot generalisatie te komen. Formules liever opstellen via variabelen met namen.

• Vier voorbeelden met centraal idee. Mogelijk verder ontwikkelbaar …

47