Functies van een veranderlijke (191512600) - Homepage Serverstoorvogelaa/151260/college2.pdf · We...

Functies van één veranderlijke 191512600

Docent : Anton Stoorvogel

E-mail: [email protected]

1/60 Elektrotechniek, Wiskunde en Informatica EWI

Een functie f W A ! B is injectief of one-to-one als voor a1; a2 2 A

met a1 ¤ a2 geldt dat f .a1/ ¤ f .a2/.

Een functie f W A ! B is surjectief of onto als voor alle b 2 B geldt

dat er een a 2 A is met f .a/ D b.


A

B

f


f W A ! B

� f .x/ D sin.x/, A D R, B D R.

� f .x/ D sin.x/, A D�

��2

; �2

�

, B D R.

� f .x/ D sin.x/, A D R, B D Œ�1; 1�.

� f .x/ D sin.x/, A D�

��2

; �2

�

, B D Œ�1; 1�.


-2 0 2 4 6 8

-1

-0.5

0

0.5

1

f(x)=sin(x)


Inverse functie

Een functie f heeft een inverse f �1 als f injectief en surjectief is:

f�

f �1.b/�

D b; f �1�

f .a/�

D a

f W A ! B met f .x/ D sin.x/, A D�

��2

; �2

�

, B D Œ�1; 1� heeft

een inverse

f �1.x/ D arcsin.x/

We hebben:

arcsin W Œ�1; 1� !�

��2

; �2

�


-2 0 2 4 6 8

-1

-0.5

0

0.5

1

f(x)=sin(x)


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

f(x)=arcsin(x)


f W A ! B met f .x/ D cos.x/, A D Œ0; ��, B D Œ�1; 1� heeft een

inverse

f �1.x/ D arccos.x/

We hebben:

arccos W Œ�1; 1� ! Œ0; ��


-2 0 2 4 6 8

-1

-0.8

-0.6

-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

f(x)=cos(x)


-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5

2

2.5

3

f(x)=arccos(x)


f W A ! B met f .x/ D tan.x/, A D�

��2

; �2

�

, B D R heeft een

inverse

f �1.x/ D arctan.x/

We hebben:

arctan W R !�

��2

; �2

�


-2 0 2 4 6 8-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5f(x)=tan(x)


-6 -4 -2 0 2 4 6

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

f(x)=arctan(x)


In het boek gebruiken ze:

sin�1 x; cos�1 x; tan�1 x

in plaats van

arcsin x; arccos x; arctan x

Gevaar:

Verschil tussen:

tan�1 x en1

tan x


Inverse functie

Een functie f heeft een inverse f �1 als f injectief en surjectief is:

f�

f �1.b/�

D b; f �1�

f .a/�

D a


f W A ! B met f .x/ D ax (a > 0), A D R, B D .0; 1/ heeft een

inverse, de logaritme

f �1.x/ D loga.x/

In het geval dat a D e krijgen we de natuurlijke logaritme:

loge.x/ D ln.x/

loga.x/ D ln.x/

ln.a/


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5f(x)=ln(x)


Eigenschappen logaritmen

eaeb D eaCb ln.ab/ D ln.a/ C ln.b/

ln�a

b

�

D ln.a/ � ln.b/

Œea�b D eab ln.ax/ D x ln.a/


ab D ab H) eln.ab/ D eln aeln b D eln aCln b

ex ln.a/ D Œeln a�x D ax D eln.ax/


We zeggen:

limx!a

f .x/ D b

als voor alle " > 0 er een ı > 0 bestaat zodanig dat

jf .x/ � bj < " voor alle x met jx � aj < ı


A

B

f

a b


limx!3

x2


x2 � 9 D .x � 3/.x C 3/

Als

jx � 3j < ı

Dan

jx C 3j < 6 C ı

Dus als ı < "7

en ı < 1 dan geldt:

jx2 � 9j D jx � 3jjx C 3j <"

77 D "

Dus voor alle " > 0 bestaat er een ı zodanig dat jx � 3j < ı

impliceert dat jx2 � 9j < ".


limx!a

f .x/ C g.x/ D limx!a

f .x/ C limx!a

g.x/

limx!a

f .x/g.x/ D�

limx!a

f .x/�

��

limx!a

g.x/�

limx!a

f .x/

g.x/D limx!a f .x/

limx!a g.x/als lim

x!ag.x/ ¤ 0


limx!a

1 D 1; limx!a

x D a

limx!3

x2 C 2x C 2

x2 C 3x C 5D 17

23


Als:

limx!a

f .x/ D b; limy!b

g.y/ D L

dan:

limx!a

.g ı f /.x/ D L

limx!a

�

x

x C 1

�10


limx!3

�

x

x C 1

�10

Als:

g.y/ D y10; f .x/ D x

x C 1

dan:

.g ı f /.x/ D�

x

x C 1

�10


g.y/ D y10; f .x/ D x

x C 1

limx!3

f .x/ D 3

4; lim

y!3=4g.y/ D

�

3

4

�10

dan:

limx!3

�

x

x C 1

�10

D�

3

4

�10


Voorbeeld

limx!0

px2 C 9 � 3

x2


We hebben:

.a C b/.a � b/ D a2 � b2


limx!0

px2 C 9 � 3

x2

limx!0

.p

x2 C 9 � 3/.p

x2 C 9 C 3/

x2.p

x2 C 9 C 3/


limx!0

.p

x2 C 9 � 3/.p

x2 C 9 C 3/

x2.p

x2 C 9 C 3/

limx!0

.x2 C 9/ � 9

x2.p

x2 C 9 C 3/


limx!0

.x2 C 9/ � 9

x2.p

x2 C 9 C 3/

limx!0

1px2 C 9 C 3

D 1

6


Insluitstelling

Als

f .x/ 6 g.x/ 6 h.x/

voor alle x en

limx!a

f .x/ D c D limx!a

h.x/

dan geldt:

limx!a

g.x/ D c


Voorbeeld

limx!0

x2 sin 1x


�x26 x2 sin 1

x6 x2

We hebben:

limx!0

�x26 lim

x!0x2 sin 1

x6 lim

x!0x2 D 0

Dus:

limx!0

x2 sin 1x

D 0


Verticale asymptoten

We hebben in eerste instantie limieten bekeken van de vorm:

limx!a

f .x/ D b

We kunnen echter ook definiëren:

limx!a

f .x/ D 1; limx!a

f .x/ D �1

of

limx!a�

f .x/ D limx"a

f .x/ D 1

limx!aC

f .x/ D limx#a

f .x/ D 1


We zeggen:

limx!a

f .x/ D 1

als voor alle M > 0 er een ı > 0 bestaat zodanig dat

f .x/ > M voor alle x met jx � aj < ı

We zeggen:

limx!a

f .x/ D �1


f .x/ < �M voor alle x met jx � aj < ı


We zeggen:

limx!aC

f .x/ D 1


f .x/ > M voor alle x met a < x < a C ı


Voorbeeld

f1.x/ D tan.x/

limx#�=2

f1.x/


-2 0 2 4 6 8-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5f(x)=tan(x)


Voorbeeld

f2.x/ D 1

x � a

limx"a

f2.x/


Voorbeeld

f3.x/ D x sin x

limx!0

f3.x/


�x 6 x sin x 6 x


Horizontale asymptoten

We kunnen ook kijken naar:

limx!1

f .x/ D a limx!�1

f .x/ D b


Voorbeeld

f1.x/ D 1

.x � a/2;

limx!1

f1.x/


Voorbeeld

f2.x/ D arctan.x/;

limx!�1

f2.x/


-6 -4 -2 0 2 4 6

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

f(x)=arctan(x)


“Worteltruc”

limx!1

p

4x2 C 7x C 2 � 2x;


limx!1

p

4x2 C 7x C 2 � 2x;

limx!1

.p

4x2 C 7x C 2 � 2x/.p

4x2 C 7x C 2 C 2x/p4x2 C 7x C 2 C 2x


limx!1

p

4x2 C 7x C 2 � 2x;

limx!1

.p

4x2 C 7x C 2 � 2x/.p

4x2 C 7x C 2 C 2x/p4x2 C 7x C 2 C 2x

limx!1

.4x2 C 7x C 2/ � 4x2/p4x2 C 7x C 2 C 2x


limx!1

.4x2 C 7x C 2/ � 4x2/p4x2 C 7x C 2 C 2x

limx!1

7x C 2p4x2 C 7x C 2 C 2x


limx!1

7x C 2p4x2 C 7x C 2 C 2x

limx!1

7 C 2 1x

q

4 C 7 1x

C 2 1x2

C 2D 7

4


Voorbeeld

f3.x/ D ln.x/;

limx!1

f3.x/


0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5f(x)=ln(x)


Continuïteit

Een functie f is continu in a als

limx!a

f .x/ D f .a/

Een functie f W A ! B heet continu als de functie continu is voor

elke a 2 A.


Voor een continue functie g geldt:

limx!a

.g ı f /.x/ D g�

limx!a

f .x/�

limx!1

arcsin

�

1 �p

x

1 � x

�


Gegeven de volgende functie:

f .x/ D x2 � 2x � 8

x � 4

Deze functie heeft een singulariteit in 4.

We noemen dit een ophefbare singulariteit omdat:

limx!4

f .x/

bestaat.

g.x/ D x2 � 2x � 8

x � 3


Zelfstudie gaat met behulp van MathXL.

http://www.utwente.mylabsplus.com/

Usercode: s-nummer

Password:


http://www.utwente.mylabsplus.com/

Functies van een veranderlijke (191512600) - Homepage Serverstoorvogelaa/151260/college2.pdf · We...

Documents

Transcript of Functies van een veranderlijke (191512600) - Homepage Serverstoorvogelaa/151260/college2.pdf · We...