CONTINUE WISKUNDE 1, 2020

5e college: Limieten (vervolg), asymptoten

Jan-Hendrik EvertseUniversiteit Leiden

evertse@math.leidenuniv.nl

2/38

Deel 1: Limieten voor x →∞ of x → −∞.

3/38

Limieten voor x → ±∞

We schrijven limx→∞

f (x) = ` als het volgende geldt: wanneer we x naar ∞laten gaan (dat wil zeggen boven iedere grens uitstijgt) dan nadert f (x)naar `.

We schrijven limx→−∞

f (x) = ` als het volgende geldt: wanneer we x naar

−∞ laten gaan (dat wil zeggen onder iedere grens daalt) dan nadertf (x) naar `.

Als limx→∞

f (x) = ` dan heeft f (x) een horizontale asymptoot y = ` voor

x →∞, dat wil zeggen, de grafiek van f (x) nadert de lijn y = ` steedsdichter als x naar ∞ gaat.Als lim

x→−∞f (x) = ` dan heeft f (x) een horizontale asymptoot y = ` voor

x → −∞.

4/38

Limieten voor x → ±∞

We schrijven limx→∞

f (x) = ` als het volgende geldt: wanneer we x naar ∞laten gaan (dat wil zeggen boven iedere grens uitstijgt) dan nadert f (x)naar `.

We schrijven limx→−∞

f (x) = ` als het volgende geldt: wanneer we x naar

−∞ laten gaan (dat wil zeggen onder iedere grens daalt) dan nadertf (x) naar `.

Als limx→∞

f (x) = ` dan heeft f (x) een horizontale asymptoot y = ` voor

x →∞, dat wil zeggen, de grafiek van f (x) nadert de lijn y = ` steedsdichter als x naar ∞ gaat.Als lim

x→−∞f (x) = ` dan heeft f (x) een horizontale asymptoot y = ` voor

x → −∞.

5/38

Limieten voor x → ±∞ (vervolg)

Het is duidelijk dat

limx→∞

x−α = 0 als α > 0,

limx→∞

a−x = 0 als a > 1, limx→∞

ax = 0 als a < 1.

We kunnen dit gebruiken om ingewikkelder limieten uit te rekenen.

Voorbeeld. Bereken limx→∞

3x2 + 7

7x2 − 12x.

De truc is om teller en noemer te delen door de snelst groeiende termvan de noemer, waarbij we niet op constanten letten.

In het voorbeeld is de snelst groeiende term in de noemer x2, deze groeitsneller dan x (de constante 7 is niet belangrijk). Dus we delen teller ennoemer door x2:

limx→∞

3x2 + 7

7x2 − 12x= lim

x→∞

3 + 7x−2

7− 12x · x−2= lim

x→∞

3 + 7x−2

7− 12x−1=

3

7,

want x−2 en x−1 gaan naar 0 als x naar oneindig gaat.

6/38

Limieten voor x → ±∞ (vervolg)

Het is duidelijk dat

limx→∞

x−α = 0 als α > 0,

limx→∞

a−x = 0 als a > 1, limx→∞

ax = 0 als a < 1.

We kunnen dit gebruiken om ingewikkelder limieten uit te rekenen.

Voorbeeld. Bereken limx→∞

3x2 + 7

7x2 − 12x.

De truc is om teller en noemer te delen door de snelst groeiende termvan de noemer, waarbij we niet op constanten letten.

In het voorbeeld is de snelst groeiende term in de noemer x2, deze groeitsneller dan x (de constante 7 is niet belangrijk). Dus we delen teller ennoemer door x2:

limx→∞

3x2 + 7

7x2 − 12x= lim

x→∞

3 + 7x−2

7− 12x · x−2= lim

x→∞

3 + 7x−2

7− 12x−1=

3

7,

want x−2 en x−1 gaan naar 0 als x naar oneindig gaat.

7/38

Limieten voor x → ±∞ (vervolg)

Het is duidelijk dat

limx→∞

x−α = 0 als α > 0,

limx→∞

a−x = 0 als a > 1, limx→∞

ax = 0 als a < 1.

We kunnen dit gebruiken om ingewikkelder limieten uit te rekenen.

Voorbeeld. Bereken limx→∞

3x2 + 7

7x2 − 12x.

De truc is om teller en noemer te delen door de snelst groeiende termvan de noemer, waarbij we niet op constanten letten.

In het voorbeeld is de snelst groeiende term in de noemer x2, deze groeitsneller dan x (de constante 7 is niet belangrijk). Dus we delen teller ennoemer door x2:

limx→∞

3x2 + 7

7x2 − 12x= lim

x→∞

3 + 7x−2

7− 12x · x−2= lim

x→∞

3 + 7x−2

7− 12x−1=

3

7,

want x−2 en x−1 gaan naar 0 als x naar oneindig gaat.

8/38

Limieten voor x → ±∞ (vervolg)

Het is duidelijk dat

limx→∞

x−α = 0 als α > 0,

limx→∞

a−x = 0 als a > 1, limx→∞

ax = 0 als a < 1.

We kunnen dit gebruiken om ingewikkelder limieten uit te rekenen.

Voorbeeld. Bereken limx→∞

3x2 + 7

7x2 − 12x.

De truc is om teller en noemer te delen door de snelst groeiende termvan de noemer, waarbij we niet op constanten letten.

In het voorbeeld is de snelst groeiende term in de noemer x2, deze groeitsneller dan x (de constante 7 is niet belangrijk). Dus we delen teller ennoemer door x2:

limx→∞

3x2 + 7

7x2 − 12x= lim

x→∞

3 + 7x−2

7− 12x · x−2= lim

x→∞

3 + 7x−2

7− 12x−1=

3

7,

want x−2 en x−1 gaan naar 0 als x naar oneindig gaat.

9/38

Nog een voorbeeld

Bereken limx→∞

3x + 2x + 5

4x + 9.

We delen teller en noemer weer door de snelst groeiende term van denoemer, dat is 4x . Dit geeft

limx→∞

3x + 2x + 5

4x + 9= lim

x→∞

3x · 4−x + 2x · 4−x + 5 · 4−x

1 + 9 · 4−x

= limx→∞

(3/4)x + (2/4)x + 5 · 4−x

1 + 9 · 4−x= 0

want (3/4)x , (2/4)x = (1/2)x en 4−x gaan naar 0 als x naar ∞ gaat.

10/38

Nog een voorbeeld

Bereken limx→∞

3x + 2x + 5

4x + 9.

We delen teller en noemer weer door de snelst groeiende term van denoemer, dat is 4x .

Dit geeft

limx→∞

3x + 2x + 5

4x + 9= lim

x→∞

3x · 4−x + 2x · 4−x + 5 · 4−x

1 + 9 · 4−x

= limx→∞

(3/4)x + (2/4)x + 5 · 4−x

1 + 9 · 4−x= 0

want (3/4)x , (2/4)x = (1/2)x en 4−x gaan naar 0 als x naar ∞ gaat.

11/38

Nog een voorbeeld

Bereken limx→∞

3x + 2x + 5

4x + 9.

We delen teller en noemer weer door de snelst groeiende term van denoemer, dat is 4x . Dit geeft

limx→∞

3x + 2x + 5

4x + 9= lim

x→∞

3x · 4−x + 2x · 4−x + 5 · 4−x

1 + 9 · 4−x

= limx→∞

(3/4)x + (2/4)x + 5 · 4−x

1 + 9 · 4−x= 0

want (3/4)x , (2/4)x = (1/2)x en 4−x gaan naar 0 als x naar ∞ gaat.

12/38

Nog een voorbeeld

Bereken limx→∞

3x + 2x + 5

4x + 9.

We delen teller en noemer weer door de snelst groeiende term van denoemer, dat is 4x . Dit geeft

limx→∞

3x + 2x + 5

4x + 9= lim

x→∞

3x · 4−x + 2x · 4−x + 5 · 4−x

1 + 9 · 4−x

= limx→∞

(3/4)x + (2/4)x + 5 · 4−x

1 + 9 · 4−x

= 0

want (3/4)x , (2/4)x = (1/2)x en 4−x gaan naar 0 als x naar ∞ gaat.

13/38

Nog een voorbeeld

Bereken limx→∞

3x + 2x + 5

4x + 9.

We delen teller en noemer weer door de snelst groeiende term van denoemer, dat is 4x . Dit geeft

limx→∞

3x + 2x + 5

4x + 9= lim

x→∞

3x · 4−x + 2x · 4−x + 5 · 4−x

1 + 9 · 4−x

= limx→∞

(3/4)x + (2/4)x + 5 · 4−x

1 + 9 · 4−x= 0

want (3/4)x , (2/4)x = (1/2)x en 4−x gaan naar 0 als x naar ∞ gaat.

14/38

Een ander soort limiet

Bereken limx→∞

(√1 + x2 − x

).

We mogen niet schrijven limx→∞

(√1 + x2 − x

)= lim

x→∞

√1 + x2 − lim

x→∞x .

Namelijk de eerste limiet gaat naar ∞, de tweede limiet gaat naar ∞ enhet verschil is ∞−∞ wat niet is gedefinieerd.

We moeten dus√

1 + x2 en x bij elkaar houden.

15/38

Een ander soort limiet

Bereken limx→∞

(√1 + x2 − x

).

We mogen niet schrijven limx→∞

(√1 + x2 − x

)= lim

x→∞

√1 + x2 − lim

x→∞x .

Namelijk de eerste limiet gaat naar ∞, de tweede limiet gaat naar ∞ enhet verschil is ∞−∞ wat niet is gedefinieerd.

We moeten dus√

1 + x2 en x bij elkaar houden.

16/38

Een ander soort limiet

Bereken limx→∞

(√1 + x2 − x

).

We gebruiken weer de worteltruc.In de limiet staat iets van de vorm

√...−√..., als we x als

√x2 opvatten.

We vermenigvuldigen dit weer met

√...+

√...

√...+

√...

en gebruiken dat

(√a−√b)(√a +√b) = a− b.

limx→∞

(√1 + x2 − x

)= lim

x→∞

(√

1 + x2 − x)(√

1 + x2 + x)√1 + x2 + x

= limx→∞

1 + x2 − x2√1 + x2 + x

= limx→∞

1√1 + x2 + x

= 0

want√

1 + x2 en x gaan naar ∞ als x naar ∞ gaat.

17/38

Een ander soort limiet

Bereken limx→∞

(√1 + x2 − x

).

We gebruiken weer de worteltruc.In de limiet staat iets van de vorm

√...−√..., als we x als

√x2 opvatten.

We vermenigvuldigen dit weer met

√...+

√...

√...+

√...

en gebruiken dat

(√a−√b)(√a +√b) = a− b.

limx→∞

(√1 + x2 − x

)= lim

x→∞

(√

1 + x2 − x)(√

1 + x2 + x)√1 + x2 + x

= limx→∞

1 + x2 − x2√1 + x2 + x

= limx→∞

1√1 + x2 + x

= 0

want√

1 + x2 en x gaan naar ∞ als x naar ∞ gaat.

18/38

Een ander soort limiet

Bereken limx→∞

(√1 + x2 − x

).

We gebruiken weer de worteltruc.In de limiet staat iets van de vorm

√...−√..., als we x als

√x2 opvatten.

We vermenigvuldigen dit weer met

√...+

√...

√...+

√...

en gebruiken dat

(√a−√b)(√a +√b) = a− b.

limx→∞

(√1 + x2 − x

)= lim

x→∞

(√

1 + x2 − x)(√

1 + x2 + x)√1 + x2 + x

= limx→∞

1 + x2 − x2√1 + x2 + x

= limx→∞

1√1 + x2 + x

= 0

want√

1 + x2 en x gaan naar ∞ als x naar ∞ gaat.

19/38

Een ander soort limiet

Bereken limx→∞

(√1 + x2 − x

).

We gebruiken weer de worteltruc.In de limiet staat iets van de vorm

√...−√..., als we x als

√x2 opvatten.

We vermenigvuldigen dit weer met

√...+

√...

√...+

√...

en gebruiken dat

(√a−√b)(√a +√b) = a− b.

limx→∞

(√1 + x2 − x

)= lim

x→∞

(√

1 + x2 − x)(√

1 + x2 + x)√1 + x2 + x

= limx→∞

1 + x2 − x2√1 + x2 + x

= limx→∞

1√1 + x2 + x

= 0

want√

1 + x2 en x gaan naar ∞ als x naar ∞ gaat.

20/38

Standaardlimieten

We noemen zonder bewijs:

limx→∞

xa

bx= 0 als b > 1

(exponentiele functies groeien veel harder dan machten van x).

Voorbeeld. limx→∞

x1000000

1, 0000001x= 0.

limx→∞

(ln x)a

xc= 0 als c > 0

(machten van x groeien veel harder dan machten van ln x).

Dit leiden we eenvoudig uit de eerste limiet af. Substitueer y = ln x . Danis x = ey . Als x naar ∞ gaat dan gaat y ook naar ∞, dus

limx→∞

(ln x)a

xc= lim

y→∞

y a

(ey )c= lim

y→∞

y a

ecy= lim

y→∞

y a

(ec)y= 0.

21/38

Standaardlimieten

We noemen zonder bewijs:

limx→∞

xa

bx= 0 als b > 1

(exponentiele functies groeien veel harder dan machten van x).

Voorbeeld. limx→∞

x1000000

1, 0000001x= 0.

limx→∞

(ln x)a

xc= 0 als c > 0

(machten van x groeien veel harder dan machten van ln x).

Dit leiden we eenvoudig uit de eerste limiet af. Substitueer y = ln x . Danis x = ey . Als x naar ∞ gaat dan gaat y ook naar ∞, dus

limx→∞

(ln x)a

xc= lim

y→∞

y a

(ey )c= lim

y→∞

y a

ecy= lim

y→∞

y a

(ec)y= 0.

22/38

Standaardlimieten

We noemen zonder bewijs:

limx→∞

xa

bx= 0 als b > 1

(exponentiele functies groeien veel harder dan machten van x).

Voorbeeld. limx→∞

x1000000

1, 0000001x= 0.

limx→∞

(ln x)a

xc= 0 als c > 0

(machten van x groeien veel harder dan machten van ln x).

Dit leiden we eenvoudig uit de eerste limiet af. Substitueer y = ln x . Danis x = ey . Als x naar ∞ gaat dan gaat y ook naar ∞, dus

limx→∞

(ln x)a

xc= lim

y→∞

y a

(ey )c= lim

y→∞

y a

ecy= lim

y→∞

y a

(ec)y= 0.

23/38

Standaardlimieten

We noemen zonder bewijs:

limx→∞

xa

bx= 0 als b > 1

(exponentiele functies groeien veel harder dan machten van x).

Voorbeeld. limx→∞

x1000000

1, 0000001x= 0.

limx→∞

(ln x)a

xc= 0 als c > 0

(machten van x groeien veel harder dan machten van ln x).

Dit leiden we eenvoudig uit de eerste limiet af. Substitueer y = ln x . Danis x = ey . Als x naar ∞ gaat dan gaat y ook naar ∞, dus

limx→∞

(ln x)a

xc= lim

y→∞

y a

(ey )c= lim

y→∞

y a

ecy= lim

y→∞

y a

(ec)y= 0.

24/38

Nog een standaardlimiet

limx↓0

xa ln x = 0 als a > 0.

Merk op dat ln x naar −∞ gaat als x naar 0 daalt.Bijvoorbeeld ln e−1000 = −1000, ln e−10

100

= −10100,. . .

xa daalt veel sneller naar 0 dan dat ln x naar −∞ gaat, de macht van x’slaat ln x plat.’

We leiden dit af uit de tweede limiet van de vorige dia. Substitueery = x−1. Dan gaat y naar ∞. Dus

limx↓0

xa ln x = limy→∞

y−a ln(y−1) = limy→∞

−y−a ln y = − limy→∞

ln y

y a= 0.

25/38

Nog een standaardlimiet

limx↓0

xa ln x = 0 als a > 0.

Merk op dat ln x naar −∞ gaat als x naar 0 daalt.Bijvoorbeeld ln e−1000 = −1000, ln e−10

100

= −10100,. . .

xa daalt veel sneller naar 0 dan dat ln x naar −∞ gaat, de macht van x’slaat ln x plat.’

We leiden dit af uit de tweede limiet van de vorige dia. Substitueery = x−1. Dan gaat y naar ∞. Dus

limx↓0

xa ln x = limy→∞

y−a ln(y−1) = limy→∞

−y−a ln y = − limy→∞

ln y

y a= 0.

26/38

Nog een standaardlimiet

limx↓0

xa ln x = 0 als a > 0.

Merk op dat ln x naar −∞ gaat als x naar 0 daalt.Bijvoorbeeld ln e−1000 = −1000, ln e−10

100

= −10100,. . .

xa daalt veel sneller naar 0 dan dat ln x naar −∞ gaat, de macht van x’slaat ln x plat.’

We leiden dit af uit de tweede limiet van de vorige dia. Substitueery = x−1. Dan gaat y naar ∞. Dus

limx↓0

xa ln x = limy→∞

y−a ln(y−1) = limy→∞

−y−a ln y = − limy→∞

ln y

y a= 0.

27/38

Voorbeeld

Bereken limx→∞

3x + x

2 · 3x − x10.

We delen teller en noemer door de snelst groeiende term van de noemer,dat is 3x , want 3x groeit veel sneller dan x10.

limx→∞

3x + x

2 · 3x − x10= lim

x→∞

1 + x · 3−x

2− x103−x=

1

2

want x · 3−x = x/3x en x103−x = x10/3x gaan naar 0 als x naar ∞ gaat.

28/38

Voorbeeld

Bereken limx→∞

3x + x

2 · 3x − x10.

We delen teller en noemer door de snelst groeiende term van de noemer,dat is 3x , want 3x groeit veel sneller dan x10.

limx→∞

3x + x

2 · 3x − x10= lim

x→∞

1 + x · 3−x

2− x103−x=

1

2

want x · 3−x = x/3x en x103−x = x10/3x gaan naar 0 als x naar ∞ gaat.

29/38

Deel 2: Verticale asymptoten

30/38

Limieten die naar ±∞ gaan

Bekijk f (x) =1

x.

Als we x van de positieve kant naar 0 laten dalen dan gaat1

xnaar +∞,

als we x van de negatieve kant naar 0 laten stijgen dan gaat1

xnaar −∞,

met andere woorden limx↓0

1

x=∞, lim

x↑0

1

x= −∞.

De grafiek van f (x) =1

xheeft een verticale asymptoot x = 0. Van de

rechterkant gaat de grafiek langs de verticale asymptoot omhoog, van delinkerkant omlaag.

31/38

Verticale asymptoten

We bekijken functies f (x) = p(x)q(x) . Als q(a) = 0 en p(a) 6= 0 dan heeft

f (x) een verticale asymptoot in x = a.

We moeten voor elke verticale asymptoot x = a van f nog nagaan oflimx↓a

f (x) gelijk is aan +∞ of −∞ en of limx↑a

f (x) gelijk is aan +∞ of −∞.

Als f (x) > 0 direct rechts van de lijn x = a dan is limx↓a

f (x) =∞,

als f (x) < 0 direct rechts van de lijn x = a dan is limx↓a

f (x) = −∞.

Als f (x) > 0 direct links van de lijn x = a dan is limx↑a

f (x) =∞,

als f (x) < 0 direct links van de lijn x = a dan is limx↑a

f (x) = −∞.

Om dit te bepalen is het handig een tekenoverzicht van f (x) te maken,dat is een schema waarin is aangegeven voor welke x geldt dat f (x) > 0en voor welke x geldt dat f (x) < 0.

32/38

Verticale asymptoten

We bekijken functies f (x) = p(x)q(x) . Als q(a) = 0 en p(a) 6= 0 dan heeft

f (x) een verticale asymptoot in x = a.

We moeten voor elke verticale asymptoot x = a van f nog nagaan oflimx↓a

f (x) gelijk is aan +∞ of −∞ en of limx↑a

f (x) gelijk is aan +∞ of −∞.

Als f (x) > 0 direct rechts van de lijn x = a dan is limx↓a

f (x) =∞,

als f (x) < 0 direct rechts van de lijn x = a dan is limx↓a

f (x) = −∞.

Als f (x) > 0 direct links van de lijn x = a dan is limx↑a

f (x) =∞,

als f (x) < 0 direct links van de lijn x = a dan is limx↑a

f (x) = −∞.

Om dit te bepalen is het handig een tekenoverzicht van f (x) te maken,dat is een schema waarin is aangegeven voor welke x geldt dat f (x) > 0en voor welke x geldt dat f (x) < 0.

33/38

Voorbeeld

Bekijk f (x) =x

x2 − 1=

x

(x + 1)(x − 1).

De noemer van f (x) is 0 voor x = 1 en x = −1 en daar is de teller vanf (x) ongelijk aan 0.

Dus x = 1, x = −1 zijn de verticale asymptoten van f (x).

Tekenoverzicht van f (x)(NG betekent dat f (x) niet gedefinieerd is voor die waarde van x)

Uit het tekenoverzicht valt af te lezen dat

limx↓1

f (x) =∞ limx↑1

f (x) = −∞

limx↓−1

f (x) =∞ limx↑−1

f (x) = −∞

34/38

Voorbeeld

Bekijk f (x) =x

x2 − 1=

x

(x + 1)(x − 1).

De noemer van f (x) is 0 voor x = 1 en x = −1 en daar is de teller vanf (x) ongelijk aan 0.

Dus x = 1, x = −1 zijn de verticale asymptoten van f (x).

Tekenoverzicht van f (x)(NG betekent dat f (x) niet gedefinieerd is voor die waarde van x)

Uit het tekenoverzicht valt af te lezen dat

limx↓1

f (x) =∞ limx↑1

f (x) = −∞

limx↓−1

f (x) =∞ limx↑−1

f (x) = −∞

35/38

Voorbeeld

Bekijk f (x) =x

x2 − 1=

x

(x + 1)(x − 1).

De noemer van f (x) is 0 voor x = 1 en x = −1 en daar is de teller vanf (x) ongelijk aan 0.

Dus x = 1, x = −1 zijn de verticale asymptoten van f (x).

Tekenoverzicht van f (x)(NG betekent dat f (x) niet gedefinieerd is voor die waarde van x)

Uit het tekenoverzicht valt af te lezen dat

limx↓1

f (x) =∞ limx↑1

f (x) = −∞

limx↓−1

f (x) =∞ limx↑−1

f (x) = −∞

36/38

Voorbeeld

Bekijk f (x) =x

x2 − 1=

x

(x + 1)(x − 1).

De noemer van f (x) is 0 voor x = 1 en x = −1 en daar is de teller vanf (x) ongelijk aan 0.

Dus x = 1, x = −1 zijn de verticale asymptoten van f (x).

Tekenoverzicht van f (x)(NG betekent dat f (x) niet gedefinieerd is voor die waarde van x)

Uit het tekenoverzicht valt af te lezen dat

limx↓1

f (x) =∞ limx↑1

f (x) = −∞

limx↓−1

f (x) =∞ limx↑−1

f (x) = −∞

37/38

Voorbeeld (vervolg)

Hierboven is de grafiek van f (x) getekend. Hierin zijn de verticaleasymptoten x = 1 en x = −1 aangegeven.

Verder heeft f (x) de horizontale asymptoot y = 0 voor zowel x →∞ alsx → −∞, want

limx→±∞

x

x2 − 1= lim

x→±∞

x · x−2

1− x−2= lim

x→±∞

x−1

1− x−2= 0.

We hebben teller en noemer door x2 gedeeld omdat dat de snelstgroeiende term van de noemer is.

38/38

Einde van het college