Formularium Wiskunde - Telenet.beusers.telenet.be/hraoul/bestand/Vademecum2.pdf · 1. Getallenleer...
38
Klas: Naam: Formularium Wiskunde Vakwerkgroep Wiskunde T. I. SINT-LAURENS MARIA MIDDELARES Patronagestraat 51 9060 Zelzate Tel. (09)345 73 12 Fax (09)345 40 65 Internet: http://tislmm.pandora.be E-mail: [email protected]
Transcript of Formularium Wiskunde - Telenet.beusers.telenet.be/hraoul/bestand/Vademecum2.pdf · 1. Getallenleer...
Klas: Naam:
Formularium Wiskunde
Vakwerkgroep Wiskunde
T. I. SINT-LAURENS MARIA MIDDELARES Patronagestraat 51 9060 Zelzate
Tel. (09)345 73 12 Fax (09)345 40 65 Internet: http://tislmm.pandora.be
E-mail: [email protected]
INHOUDSOPGAVE
1. GETALLENLEER............................................................................................................... 6
1.1 Getallenverzamelingen ................................................................................................................................... 6 1.1.1 De verzameling der natuurlijke getallen.................................................................................................... 6 1.1.2 De verzameling van de gehele getallen ..................................................................................................... 6 1.1.3 De verzameling van de rationale getallen.................................................................................................. 6 1.1.4 De verzameling van de irrationale getallen ............................................................................................... 6 1.1.5 De verzameling van de reële getallen........................................................................................................ 6 1.1.6 De verzameling van de complexe getallen ................................................................................................ 6
1.2 Decimale Vormen............................................................................................................................................ 7
1.3 Deelverzamelingen .......................................................................................................................................... 7
1.4 Definitie van een macht .................................................................................................................................. 7
1.5 Rekenregels...................................................................................................................................................... 8
1.6 Vierkantswortel............................................................................................................................................... 8 1.6.1 Definitie..................................................................................................................................................... 8 1.6.2 Rekenregels ............................................................................................................................................... 8
1.7 De n-demachtswortel ...................................................................................................................................... 9 1.7.1 Definitie..................................................................................................................................................... 9 1.7.2 Rekenregels ............................................................................................................................................... 9
1.8 Evenredigheid.................................................................................................................................................. 9
1.9 Vergelijkingen ................................................................................................................................................. 9 1.9.1 Vergelijkingen oplossen ............................................................................................................................ 9 1.9.2 Oplossingsverzameling van een vergelijking noteren ............................................................................. 10
1.10 Merkwaardige producten........................................................................................................................... 10
2. MEETKUNDE.................................................................................................................... 10
2.1 Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren ................................................................................................ 10
2.2 Oppervlakte van ruimtefiguren ................................................................................................................... 11
2.3 Inhoud van ruimtefiguren ............................................................................................................................ 11 2.3.1 Lichamen met grond- en bovenvlak ........................................................................................................ 11 2.3.2 Lichamen met een grondvlak en eindigend op een spits ......................................................................... 11 Piramide en Kegel: ........................................................................................................................................... 11 Bol.................................................................................................................................................................... 11
2.4 Driehoeken..................................................................................................................................................... 11 2.4.1 Congruente driehoeken............................................................................................................................ 11 2.4.2 Congruentiekenmerken voor driehoeken................................................................................................. 12 2.4.3 Gelijkvormige driehoeken....................................................................................................................... 12 2.4.4. Gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken ..................................................................................... 12 2.4.5 Toepassingen op gelijkvormige driehoeken ............................................................................................ 13 2.4.6 Metrische betrekkingen in een rechthoekige driehoek ............................................................................ 14
2.5 Cirkel.............................................................................................................................................................. 14 2.5.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken................................................................................................... 14
2
2.5.2 Cirkelsector en cirkelboog....................................................................................................................... 15
2.6 Regelmatige Veelhoeken............................................................................................................................... 15 2.6.1. Definitie.................................................................................................................................................. 15 2.6.2 Benamingen............................................................................................................................................. 16 2.6.3 Formules.................................................................................................................................................. 16
3. GONIOMETRIE............................................................................................................... 17
3.1 Rechthoekige driehoek: sinus, cosinus, tangens van een scherpe hoek .................................................... 17
3.2 Grondformule................................................................................................................................................ 17
3.3 Goniometrische cirkel................................................................................................................................... 17
3.4 Verwante hoeken........................................................................................................................................... 18
3.5. Bijzondere waarden ..................................................................................................................................... 18
3.6. Willekeurige driehoeken.............................................................................................................................. 19
3.7. Som- en verschilformules ............................................................................................................................ 19
3.8. De dubbele-hoek-formules........................................................................................................................... 19
3.9. De halve-hoek-formules ............................................................................................................................... 20
3.10. Formules van Simpson............................................................................................................................... 20
4. ANALYTISCHE MEETKUNDE ..................................................................................... 20
4.1 Richtingscoëfficiënt....................................................................................................................................... 20
4.2 Vergelijking van rechten .............................................................................................................................. 21 4.2.1 Cartesiaanse vergelijking ........................................................................................................................ 21 4.2.2 Algemene vergelijking van een rechte .................................................................................................... 22
4.3 Opstellen van de vergelijking van een rechte ............................................................................................. 22 4.3.1 Rechte met richtingscoëfficiënt m en door punt A (x1,y1) ..................................................................... 22 4.3.2 Rechte door de punten A (x1,y1) en B (x2,y2)....................................................................................... 22
4.4 De afstandsformule: de afstand tussen A(x1, y1) en B(x2, y2) ..................................................................... 22
4.5 De afstand tussen een punt A(x1, y1) en de rechte l ≡ ax+by+c=0 ............................................................ 22
4.6 Coördinaat van het midden tussen A(x1, y1) en B(x2, y2) ........................................................................... 22
4.7 Vergelijking van een cirkel met middelpunt M(xM, yM) en straal r .......................................................... 22
4.8 Algemene vergelijking van de cirkel met middelpunt M(xM, yM) en straal r ........................................... 23
5. FUNCTIES......................................................................................................................... 23
5.1. Functie........................................................................................................................................................... 23
5.2 Eerstegraadsfuncties : de rechte ................................................................................................................. 23 5.1.1 Definitie................................................................................................................................................... 23
3
5.1.2 Nulpunt van de functie ( )f x ax b= + ................................................................................................. 23 5.1.3 Stijgende en dalende functie.................................................................................................................... 23
5.3 Tweedegraadsfuncties: de parabool ............................................................................................................ 24 5.2.1 Definitie................................................................................................................................................... 24 5.2.2 Nulpunten................................................................................................................................................ 25 5.2.3 Vergelijking van de symmetrieas van de parabool.................................................................................. 25 5.2.4 De coördinaat van de top van de parabool .............................................................................................. 25 5.2.5 Tekenschema........................................................................................................................................... 25
5.4 Goniometrische functies ............................................................................................................................... 26 5.3.1 De radiaal ................................................................................................................................................ 26 5.3.2 De elementaire sinusfunctie f (x) sin x= ............................................................................................ 26 5.3.3 De algemene sinusfunctie: [ ]f (x) a.sin b(x c) d= − + ...................................................................... 27
5.4 Exponentiële functies .................................................................................................................................... 28 5.4.1 Definitie................................................................................................................................................... 28 5.4.2 De algemene exponentiële functie........................................................................................................... 28
5.5 Logaritmische functies.................................................................................................................................. 29 5.5.1 Definitie................................................................................................................................................... 29 5.5.2 Verloop.................................................................................................................................................... 29 5.5.3 Speciale logaritmen ................................................................................................................................. 29 5.5.4 Rekenregels voor logaritmen:.................................................................................................................. 30
6. COMPLEXE GETALLEN................................................................................................ 30
6.1 Definitie.......................................................................................................................................................... 30
6.2 Voorstelling van een complex getal in het vlak van Gauss ....................................................................... 30
6.3 Goniometrische vorm van een complex getal ............................................................................................. 30
6.4 Rekenen met complexe getallen ................................................................................................................... 31 6.4.1 In de gewone schrijfwijze........................................................................................................................ 31 6.4.2 In de goniometrische schrijfwijze ........................................................................................................... 31
6.4 Vierkantsvergelijkingen ............................................................................................................................... 31
7. AFGELEIDEN ................................................................................................................... 32
7.1 Definitie.......................................................................................................................................................... 32
7.2 Afgeleide functie............................................................................................................................................ 32
7.3 Rekenregels.................................................................................................................................................... 32
7.4 Afgeleide van enkele basisfuncties ............................................................................................................... 32
8. INTEGRALEN................................................................................................................... 33
8.1 Rekenregels.................................................................................................................................................... 33
8.2 OVERZICHT VAN PRIMITIEVE FUNCTIES........................................................... 33
4
9. STATISTIEK...................................................................................................................... 34
9.1 Begrippen....................................................................................................................................................... 34 9.1.1 Populatie.................................................................................................................................................. 34 9.1.2 Steekproef................................................................................................................................................ 34 9.1.3 Variabele ................................................................................................................................................. 34
9.2 Frequenties .................................................................................................................................................... 34 9.2.1 Absolute frequentie ................................................................................................................................. 35 9.2.2 Relatieve frequentie................................................................................................................................. 35 9.2.3 Cumulatieve absolute frequentie ............................................................................................................. 35 9.2.4 Cumulatieve relatieve frequentie............................................................................................................. 35
9.3 Centrummaten .............................................................................................................................................. 35 9.3.1 Gemiddelde ............................................................................................................................................. 35 9.3.2 Mediaan................................................................................................................................................... 35 9.3.3 Kwartielen ............................................................................................................................................... 36 9.3.4 Modus...................................................................................................................................................... 36
9.4 Spreidingsmaten............................................................................................................................................ 36 9.4.1 Variatiebreedte ........................................................................................................................................ 36 9.4.2 Interkwartielafstand................................................................................................................................. 36 9.4.3 Variantie .................................................................................................................................................. 36 9.4.4 De standaarddeviatie ............................................................................................................................... 37
10. FINANCIËLE ALGEBRA .............................................................................................. 37
10.1 Enkelvoudige intrest ................................................................................................................................... 37
10.2 Samengestelde intrest.................................................................................................................................. 37
10.3 Gelijkwaardige rentevoeten ....................................................................................................................... 37
10.4 Annuïteiten .................................................................................................................................................. 38 10.4.1 Postnumerando ...................................................................................................................................... 38 10.4.2 Prenumerando........................................................................................................................................ 38 10.4.3 Termijnbedrag ....................................................................................................................................... 38
5
1. Getallenleer
1.1 Getallenverzamelingen
1.1.1 De verzameling der natuurlijke getallen IN = { }0,1,2,3,4,...
1.1.2 De verzameling van de gehele getallen
Een geheel getal is een natuurlijk getal of zijn tegengestelde. Z = { }0,1, 1,2, 2,3, 3,...− − − = { }..., 4, 3, 2, 1,0,1,2,3,4,...− − − −
1.1.3 De verzameling van de rationale getallen Een rationaal getal is het quotiënt van een geheel getal en een van nul verschillend geheel getal.
0|a a enbb
⎧ ⎫∈ ∈⎨ ⎬⎩ ⎭
Elk rationaal getal kan geschreven worden als een repeterende decimale vorm en omgekeerd.
Vb: 3 0,75 0,750000...0... 0,7499999...9...4= = =
1.1.4 De verzameling van de irrationale getallen Elk getal dat kan geschreven worden als een onbegrensde niet-repeterende decimale vorm is een irrationaal getal.
Vb: ; 2; 2,12345678....;1, 424224222...π
{ }\ = x|x is een irrationaal getal
1.1.5 De verzameling van de reële getallen Een reëel getal is een rationaal of een irrationaal getal.
{ }|x x is een rationaal of irrationaal getal=
1.1.6 De verzameling van de complexe getallen Een complex getal is een getal de van de vorm a bi+ waarbij a en b reële getallen zijn en ² 1i = −
{ }|x x is eencomplex getal=
6
1.2 Decimale Vormen
3 0,1258
40 1,6363...11
2 0,133...15
3,1415...π
=
=
=
=
Decimaal getal Zuiver repeterende decimale vorm (periode = 63) Gemengd repeterende decimale vorm (periode = 3, niet-periode = 1) Irrationaal getal (onbegrensd en niet-repeterend)
1.3 Deelverzamelingen
IN 0 = { }1,2,3,4,5,...
Z 0 = { }..., 3, 2, 1,1,2,3,...− − −
+ Z = { }0,1,2,3,4,5,6,...
Z - = { }0, 1, 2, 3, 4,...− − − − I R+
0 is de verzameling van alle positieve reële getallen uitgezonderd nul.
Intervallen: [-2,12] het gesloten interval { }| 2 12x x∈ − ≤ ≤
]-∞ ; 2,7] het halfopen interval { }| 2,7x x∈ ≤
1.4 Definitie van een macht
{ }\ 0,1 :a en n IN∀ ∈ ∀ ∈
1
0
1
. ....
11
1
n
nn
n n
n
a a a met n factorea aa
aa
aa
a bb a
−
−
−
=
=
=
=
=
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
n
7
1.5 Rekenregels
0, ,
.
:
( . ) .
+
−
∀ ∈ ∀ ∈
=
= =
=
⎛ ⎞ =⎜ ⎟⎝ ⎠
x y x y
xx y x y
y
x x x
x x
x
a b en x y
a a aaa a aa
a b a b
a ab b
:
1.6 Vierkantswortel
1.6.1 Definitie 2:a a b b+ a∀ ∈ = ⇔ =
12a a=
1.6.2 Rekenregels
( )2
1
, , ,
. .
+∀ ∈ ∀ ∈
=
=
=
=
=
=
n n
n n
n n
mn m n
a b n m
a b a b
a a
a a
a ab b
a a
a a
:
8
1.7 De n-demachtswortel
1.7.1 Definitie n
0a,b : a nen n IN b b a∀ ∈ ∈ = ⇔ =
1.7.2 Rekenregels
( )
0
0
.
. .
, :
, : . .
, :
, :
:
:
+
+ +
+
+
+
∀ ∈
∀ ∈ =
∀ ∈ ∀ ∈ =
∀ ∈ ∀ ∈ =
∀ ∈ =
∀ ∈ =
n n n
nn
n
mn m n
n m n m
n p m p n m
m n en p
a b a b a b
a aa bb b
a m a a
a a a
a a a
1.8 Evenredigheid
0, : , : a ca c b d ad bcb d
∀ ∈ ∀ ∈ = ⇔ =
Deze regel noemt men ook wel eens het kruisproduct.
1.9 Vergelijkingen
1.9.1 Vergelijkingen oplossen
( )75( 3) 43
7 285 153 3
15 45 7 283 3 3 3
15 45 7 28
15 45 7 28
1
x x
werk de haakjes weg
x x
breng alle termen op de zelfde noemerx x
laat de noemers wegx x
breng alle termen in x in het zelfde lidx x
breng de termen zonder x in het andere lid
− = +
⇔ − = +
⇔ − = +
⇔ − = +
⇔ − − =
⇔ 5 7 28 45
8 73
738
738
x xwerk beide leden uit
xdeel beide leden door de coëfficiënt van x
x
schrijf de oplossingsverzameling
V
− = +
⇔ =
⇔ =
⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭
9
1.9.2 Oplossingsverzameling van een vergelijking noteren
x = a ⇓
{ }V a=
0x = 0 ⇓
{ }|V x x= ∈ Identieke vergelijking
0x = 5 ⇓ { }V =
Valse vergelijking
1.10 Merkwaardige producten
Product van toegevoegde tweetermen (a+b).(a-b) = a² - b²
Het kwadraat van de gelijke term min het kwadraat van de verschillende term.
Kwadraat van een tweeterm (a+b)² = a²+2ab+b² (a-b)² = a²-2ab+b² Het kwadraat van de eerste term vermeerderd met het dubbel product plus het kwadraat van de tweede term.
2. Meetkunde
2.1 Omtrek en oppervlakte van vlakke figuren
10
figuur Omtrek (p) Oppervlakte (A) Vierkant 4.z z.z=z²
Rechthoek 2.(l+b) l.b
Driehoek Som van de zijden bh
2
Parallellogram 2.(b+sz) b.h
Ruit 4.z .D d
2
Trapezium Som van de zijden ( )B b2+
Regelmatige n-hoek
z.n . .n z a2
a: apothema z: zijde n: aantal hoeken of zijden
Cirkel 2.r.π = d.π 22
4dr ππ =
2.2 Oppervlakte van ruimtefiguren
Maak de ontvouwing en bereken met de formule van de oppervlakte van de vlakke figuren de totale oppervlakte. Bijzondere gevallen: r : de straal s : de schuine hoogte Kegel: . .( )A r r sπ= + Bol : 24A rπ=
2.3 Inhoud van ruimtefiguren
A : de oppervlakte van het grondvlak h : de hoogte
2.3.1 Lichamen met grond- en bovenvlak
Kubus, Balk, Cilinder en Prisma: .V A h=
2.3.2 Lichamen met een grondvlak en eindigend op een spits
Piramide en Kegel:
.3
A hV =
Bol 34
3rV π
=
2.4 Driehoeken
2.4.1 Congruente driehoeken Twee driehoeken zijn congruent als de overeenkomstige hoeken even groot zijn en de overeenkomstige zijden even lang.
11
ˆ ˆ | | |ˆ ˆ | | | |ˆ ˆ | | |
|
|
∆ ≅ ∆
= =
= =
= =
ABC XYZ
A X en AB XY
B Y en BC YZ
C Z en AC XZ
2.4.2 Congruentiekenmerken voor driehoeken
ZZZ Twee driehoeken zijn congruent als ze 3 zijden gelijk hebben
ZHZ Twee driehoeken zijn congruent als ze 2 zijden en de ingesloten hoek gelijk hebben
HZH Twee driehoeken zijn congruent als ze 2 hoeken en de zijde die ertussen ligt, gelijk hebben
RS90° Twee rechthoekige driehoeken zijn congruent als ze de schuine zijde, één rechthoekszijde en de rechte hoek gelijk hebben.
2.4.3 Gelijkvormige driehoeken
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de overeenkomstige zijden evenredig zijn en de overeenkomstige hoeken even groot.
ˆ ˆ
| | | | | |ˆ ˆ| | | | | |
ˆ ˆ
ABC XYZ
A XAB BC ACB Y en kXY YZ XZ
C Zis de gelijkvormigheidsfactor van ABC tegenover XYZ
∆ ∆
=
= = = =
=∆ ∆
∼
k
2.4.4. Gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken
Z Z ZZ Z Z
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als de zijden van de ene driehoek evenredig zijn met de zijden van de tweede driehoek
Z ZHZ Z
Twee driehoeken zijn gelijkvormig als twee zijden van de ene driehoek evenredig zijn met twee zijden van de tweede driehoek en als de ingesloten hoek gelijk is.
HH Twee driehoeken zijn gelijkvormig als 2 hoeken van de ene driehoek even groot zijn als 2 hoeken van de tweede driehoek
12
2.4.5 Toepassingen op gelijkvormige driehoeken 2.4.5.1 De stelling van Thales
Evenwijdige rechten snijden van twee snijdende rechten lijnstukken af waarvan de lengten evenredig zijn.
| | | | | | | | | | | || | | | | | | | | | | |AB DE AB DE BC EFen enBC EF AC DF AC DF
= = =
2.4.5.2 De stelling van de middenparallel
Definitie: Een middenparallel is een lijnstuk dat de middens van twee zijden van de driehoek verbindt.
Eigenschappen van een middenparallel:
- elke middenparallel is evenwijdig met de derde zijde - elke middenparallel is half zo lang als de derde zijde
13
2.4.6 Metrische betrekkingen in een rechthoekige driehoek
2.4.6.1 Eigenschap van de hoogte op de schuine zijde ( hypothenusa)
2| | | | . | | AD BD DC=
||
2.4.6.2 Eigenschap van de rechthoekszijden
2
2
| | | | . || | | | . |AB BD BCAC DC BC
=
=
2.4.6.3 De stelling van Pythagoras
2 2| | | | | |2BC AB AC= +
2.5 Cirkel
2.5.1 Omtrekshoeken en middelpuntshoeken Definities:
Een middelpuntshoek van een cirkel is een hoek die het middelpunt van de cirkel als hoekpunt heeft.
Een omtrekshoek is een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt en waarvan de beide benen de cirkel snijden.
14
Eigenschappen:
Een omtrekshoek is de helft van de middelpuntshoek op dezelfde boog.
ˆˆ2MO =
Een omtrekshoek op een middellijn is 90°
ˆ 90O = °
2.5.2 Cirkelsector en cirkelboog
Een cirkelsector is een deel van de cirkelschijf begrensd door een cirkelboog en de benen van de corresponderende middelpuntshoek.
2
sec.
360torrA π α°
=°
2.5.2.1 Lengte van een cirkelboog
Een boog is een deel van de cirkel.
2 .| |360
°=
°rL π α
2.5.2.2 Cirkelsegment
Een cirkelsegment is het deel van een cirkelschijf begrensd door een Een koorde en de bijhorende cirkelboog.
2.6 Regelmatige Veelhoeken
2.6.1. Definitie
Een regelmatige veelhoek is een veelhoek met gelijke zijden en gelijke hoeken.
15
2.6.2 Benamingen
Het apothema: a Een zijde: z Het aantal zijden: n Een hoek : A De omgeschreven cirkel: c(M,r)
2.6.3 Formules som van alle hoeken (n - 2).180°
één hoek (n - 2).180°n
middelpuntshoek 360°n
de zijde n180°z = 2r.sin
n
het apothema n180°a = r.cos
n
de omtrek n np = n.z
de oppervlakte n nn
z .aA = n.2
16
3. Goniometrie
3.1 Rechthoekige driehoek: sinus, cosinus, tangens van een scherpe hoek
a
c
b
overstaande rechthoekszijdesin α =schuine zijde
bsinB =a
ˆ csinC =a
ˆ
aanliggende rechthoekszijdecosα =schuine zijde
ccosB =a
ˆ bcosC =a
ˆ
overstaande rechthoekszijdetanα =aanliggende rechthoekszijde
btanB =c
ˆ cˆtanCb
=
3.2 Grondformule 2 2sin α+cos α = 1
3.3 Goniometrische cirkel
17
Het eerste coördinaatgetal van het beeldpunt A van een hoek α van een
goniometrische cirkel, noemt men de cosinus van de hoek α.
Het tweede coördinaatgetal van het beeldpunt A van een hoek α van een goniometrische cirkel, noemt men de sinus van de hoek α.
De tangens van de hoek α wordt gedefinieerd als:
sinαtanα =cosα
( )cosα 0≠
De cotangens van de hoek α wordt gedefinieerd als:
coscotsin
αα =
α ( )sinα 0≠
3.4 Verwante hoeken
gelijke hoeken ( )sin α + k.360° = sinα
( )cos α + k.360° = cosα
( )tan α + k.360° = tanα
tegengestelde hoeken (som is 0°)
( )sin -α = -sinα
( )cos -α = cosα
( )tan -α = -tanα
supplementaire hoeken (som is 180°)
( )sin 180° - α = sinα
( )cos 180° - α = -cosα
( )tan 180° - α = -tanα antisupplementaire hoeken (verschil is 180°)
( )sin 180° + α = -sinα
( )cos 180° + α = -cosα
( )tan 180° + α = tanα
complementaire hoeken (som is 90°)
( )sin 90° - α = cosα
( )cos 90° - α = sinα
( )tan 90° - α = cotα
3.5. Bijzondere waarden
α
0° = 0
π30° =6
π45° =4
π60° =3
π90° =2
180° = π
3π270° =2
sinα 0 12
22
32
1 0 -1
cosα 1 32
22
12
0 -1 0
tanα 0 33
1 3 0
18
3.6. Willekeurige driehoeken
b
som van de hoeken: A + B + C = 180°ˆ ˆˆ verband tussen de zijden: a < b + c
sinusregel: a b c= =sinBsinA sinCˆ ˆ ˆ
cosinusregel: 2 2 2a = b + c - 2 b.c.cosA 2 2 2b = a + c - 2a .c.cosB 2 2 2c = a + b - 2 a b.cosC.
oppervlakte: ˆ ˆ. .sin . sin
2 2b c A a c BA = = =
3.7. Som- en verschilformules
( )sin α +β = sinα.cosβ + sinβ.cosα
( )sin α -β = sinα.cosβ - sinβ.cosα
( )cos α +β = cosα.cosβ - sinα.sinβ
( )cos α -β = cosα.cosβ + sinα.sinβ
(tan α +
(tan α -β
3.8. De dubbele-hoek-formules
sin2α = 2.sinα.cosα
2 2 2cos2α = cos α - sin α = 2cos α -1 = 1-
2
2tanαtan2α =1- tan α
a
c
ˆˆ. sin
2a b C
) tanα + tanββ =1- tanα.tanβ
) tanα - tanβ=1+ tanα.tanβ
2sin α2
19
3.9. De halve-hoek-formules
2 1- cos2αsin α =2
2 1+ cos2αcos α =2
α 1- cosαsin = ±2 2
α 1+ cosαcos = ±2 2
α 1- cosαtan = ±2 1+ cosα
3.10. Formules van Simpson
α + β α -βsinα + sinβ = 2.sin .cos2 2
α + β α -βsinα - sinβ = 2.cos .sin
2 2
α + β α -βcosα + cosβ = 2.cos .cos
2 2
α + β α -βcosα - cosβ = 2.sin .sin
2 2
4. Analytische Meetkunde 4.1 Richtingscoëfficiënt
α
20
richtingscoëfficiënt van de rechte door (x1, y1) en (x2, y2) :
2 1
2 1
y - ym =x - x
met α de positieve hoek die de rechte maakt met de x-as m = tanα Als m > 0: AB is een stijgende rechte m < 0: AB is een dalende rechte m = 0: AB is een rechte // x-as
4.2 Vergelijking van rechten
4.2.1 Cartesiaanse vergelijking 4.2.1.1 Rechte door de oorsprong
α
≡ =a y mx
( )1,m a∈ richtingscoëfficiënt van de rechte m = tan α
4.2.1.2 Rechte niet door de oorsprong
2,0,
qm
9975
==
a y
.m x q≡ = +
21
4.2.2 Algemene vergelijking van een rechte Elke rechte kan geschreven worden als een vergelijking van de vorm
l ax by c 0 als a en b niet gelijktijdig nul zijnwaarbij als a 0 dan l // xwaarbij als b 0 dan l // ywaarbij als c 0 dan gaat l door de oorsprong
≡ + + ====
4.3 Opstellen van de vergelijking van een rechte
4.3.1 Rechte met richtingscoëfficiënt m en door punt A (x1,y1)
1 1a y - y = m.(x - x )≡
4.3.2 Rechte door de punten A (x1,y1) en B (x2,y2)
2 11 1
2 1
y - ya y - y = (x - x )x - x
≡
4.4 De afstandsformule: de afstand tussen A(x1, y1) en B(x2, y2)
( ) ( )2 22 1 2 1AB = x - x + y - y
4.5 De afstand tussen een punt A(x1, y1) en de rechte l ≡ ax+by+c=0
1 1
2 2
ax by cd(P, l)
a b
+ +=
+
4.6 Coördinaat van het midden tussen A(x1, y1) en B(x2, y2)
1 2 1 2x + x y + yco(M) = ,2 2
⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
4.7 Vergelijking van een cirkel met middelpunt M(xM, yM) en straal r
( ) ( )2 2 2M Mc x - x + y - y = r≡
22
4.8 Algemene vergelijking van de cirkel met middelpunt M(xM, yM) en straal r
2 2
M
M2 2 2M M
c x y 2ax 2by c 0met a x
b y
c x y r
≡ + + + + =
= −= −
= + −
5. Functies
5.1. Functie Een functie is een verband tussen x en y waarbij met elke x-waarde nooit meer dan één y-waarde overeenstemt.
Grafisch kan dit nagegaan worden door de ‘verticale-lijn-test’
5.2 Eerstegraadsfuncties : de rechte
5.1.1 Definitie
Een eerstegraadsfunctie is een functie van de vorm ( )f x ax b= + met 0≠a
5.1.2 Nulpunt van de functie ( )f x ax b= +
De nulwaarde of het nulpunt van een functie is die waarde van x waarvoor f(x)= 0.
Op de grafiek is dit het snijpunt van de functie met de x-as.
bx
a−
=
5.1.3 Stijgende en dalende functie
( )f x ax b= + is dalend als 0a <
23
tekenschema:
x ba−
( )f x + 0 -
( )f x ax b= + is stijgend als 0>a
x ba−
( )f x - 0 +
Algemeen
x ba−
( )f x Teken van -a 0 Teken van a
5.3 Tweedegraadsfuncties: de parabool
5.2.1 Definitie Een tweedegraadsfunctie is een functie met als voorschrift
2( )f x ax bx c= + + waarbij a 0≠
Als : een dalparabool 0a > 0a < : een bergparabool
24
5.2.2 Nulpunten De discrimant
als : 2 nulwaarden:
2 4D b ac= −
0D > 1 2b Dx
a− +
= en 2 2b Dx
a− −
=
als : geen nulwaarden
als : dubbele nulwaarde:
0D <
0D = 1 2 2bx xa−
= =
5.2.3 Vergelijking van de symmetrieas van de parabool
2−
≡ =bs xa
5.2.4 De coördinaat van de top van de parabool
24( , ) ( ,2 4 2 4− − − −
=b D b ac bT Ta a a a
)
Het tweede coördinaatgetal bereken je ook met ( )2
bfa−
5.2.5 Tekenschema
Overal het teken van a behalve als er twee nulpunten zijn, tussen de nulpunten heeft de functie het teken van –a.
25
5.4 Goniometrische functies
5.3.1 De radiaal Een radiaal is een boog van een cirkel die zolang is als de straal van de cirkel en die positief ( tegenwijzerzin ) georiënteerd is. Ook de middelpuntshoek die op deze boog staat, noemen we één radiaal.
180 rad
1 r180
1801 rad
° = ππ
° =
°=
ad
π
5.3.2 De elementaire sinusfunctie f (x) sin x=
26
[ ]dom fber f 1,1nulpunten : k. met kperiode p 2amplitude : max imale uitwijking t.o.v. x as : a 1
=
= −
π ∈= π
− =
x 0
2π π 3
2π 2π
f(x) 0
+ 1 + 0 - -1 - 0
Max min
5.3.3 De algemene sinusfunctie: [ ]f (x) a.sin b(x c) d= − +
de amplitude : a2de periode : pb
de faseverschuiving : chet max imum : a d
het min imum : a d
π=
+
−
27
5.4 Exponentiële functies
5.4.1 Definitie
Is { }0a IR \ 1+∈ dan noemen we de functie met als voorschrift de exponentiële functie met grondtal a.
xf(x) = a
a wordt ook de groeifactor genoemd a > 0: exponentiële groei, stijgende functie a < 0: exponentiële afname, dalende functie dom f = I R ber f = IR+
De horizontale asymptoot is de x-as: HA y = 0↔ Voorbeelden:
xy = 2x1y =
2⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠
5.4.2 De algemene exponentiële functie
x -dcy = b × a + e
b: verticale uitrekking of inkrimping, spiegeling om x-as c: horizontale uitrekking of inkrimping d: horizontale verschuiving e: verticale verschuiving
28
5.5 Logaritmische functies
5.5.1 Definitie
Is { }+0a \∈ 1 dan noemen we de functie met als voorschrift af(x) = log x
de logaritmische functie met grondtal a.
De a-logaritme van een reëel getal x is het reëel getal y tot hetwelke we het grondtal a moeten verheffen om x te bekomen.
{ }+ +
0 0a \ 1 , x∀ ∈ ∀ ∈ : a ylogx = y a = x⇔
bv.: 3 want log 9 = 2 23 = 9
5.5.2 Verloop +
0dom f = ber f = verticale asymptoot is de y-as: VA x = 0↔ stijgend als a > 1 en dalend als a < 1 Voorbeelden:
2y = logx12y = logx
5.5.3 Speciale logaritmen : 10-delige logaritme = Briggse logaritme = gewone logaritme 10 log x = log x : e-logaritme = Neperiaanse logaritme = natuurlijke logaritme e log x = ln x
29
5.5.4 Rekenregels voor logaritmen: a a alog(x y) = log x + log y⋅ a k alog x = k log x⋅
a a axlog = log x - log yy
b
ab
log xlog x =log a
‘veranderen van grondtal’
6. Complexe getallen
6.1 Definitie Een getal van de vorm a+bi waarbij a en b reële getallen zijn en i²=-1 Als k een natuurlijk getal is dan geldt: 4 4 1 4 2 4 31 1k k k ki i i i i+ + += = = − i= −De verzameling der complexe getallen: C |
IN Z⁄ ⊂ ⊂ Q | I R ⊂ ⊂ C |
6.2 Voorstelling van een complex getal in het vlak van Gauss
6.3 Goniometrische vorm van een complex getal
( )r. cosα + isinα = a + bi α
a = r.cosα b = r.sinα
30
modulus 2 2r = a + b
argument α : btanα =a
6.4 Rekenen met complexe getallen
6.4.1 In de gewone schrijfwijze
( ) ( ) ( ) ( )
( ).( ) ( ) ( )
:
( ).( ) ² ²
( ).( ) ( ).(( )( ) ² ²
+ + + = + + +
+ + = − + +
+ −+ − = +
+ + − + −= =
+ + − +
a bi c di a c b d i
a bi c di ac bd ad bc i
Toegevoegde complexe getallena bi en a bia bi a bi a b
a bi a bi c di a bi c dic di c di c di c d
)
6.4.2 In de goniometrische schrijfwijze Als 1 1 1 1z = r (cosα + isinα ) 2 2 2 2z = r (cosα + isinα ) z = r (cosα + isinα)
dan geldt ( ) ( )1 2 1 2 1 2 1 2z .z = r .r cos α + α + isin α + α⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) (1 11 2 1 2
2 2
z r= cos α - α + isin α - αz r
)⎡ ⎤⎣ ⎦
( ) ( )( )n nz = r cos nα + isin nα
(formule van de Moivre) ( )ncosα + isinα = cos(nα) + isin(nα)
6.4 Vierkantsvergelijkingen
De vierkantsvergelijking met de discriminant heeft 2 toegevoegde complexe oplossingen:
2az + bz + c = 0 D < 0
1-b + i -Dz =
2a en 2
-b - i -Dz =2a
31
7. Afgeleiden
7.1 Definitie Afgeleide van een functie in een punt ( , : ( )f x ( ))a f a
( ) ( )'( ) limx a
f x f af ax a→
−=
−
7.2 Afgeleide functie
Afgeleide functie van een functie '( )f x ( )f x
' : '( )f x f x→
Notatie: '( ) ( )f x Df x= of 'f Df=
7.3 Rekenregels De afgeleide van een som: ( )D f g Df Dg+ = + De afgeleide van een veelvoud: met a( . ) .D a f a Df= ∈R De afgeleid van een product: ( . ) . .D f g f Dg g Df= +
De afgeleide van een quotient: 2
. .f g Df f DgDg g
−=
De afgeleide van een samengestelde functie:
( ) '( ).Dg u g u Du= met ( )u u x=
7.4 Afgeleide van enkele basisfuncties
Afgeleide van een constante functie: 0Dc = Afgeleide van de identieke functie: 1Dx =
Afgeleide van een machtfunctie: 1.n nDx n x −=
Afgeleide van goniometrische functies: sin cosD x x=
cos sinD x x= −
2
1tancos
D xx
=
2
1cotansin
D xx
−=
Afgeleide van de logaritmische functies: 1logln
=aD xx a
32
1lnD xx
=
Afgeleide van de exponentiële functies: lnx xDa a a=
x xDe e=
8. Integralen
8.1 Rekenregels
Hoofdstelling: [( ) ( )b
b
aa
]f x dx F x=∫ als DF f=
Integraal van een som: ( ( ) ( )) ( ) ( )b b
a a
b
a
f x g x dx f x dx g x dx+ = +∫ ∫ ∫
Integraal van een veelvoud: . ( ) . ( )b b
a a
a f x dx a f x dx=∫ ∫
Partiële integratie: [ ]( ). '( ) ( ). ( ) ( ). '( )b b
b
aa a
f x g x dx f x g x g x f x dx= −∫ ∫
8.2 Overzicht van primitieve functies fu ncties f (x) Functies F(x)
1 x c+
x 2
2x c+
nx
1
1
nx cn
+
++
sin x cos x c− + cos x sin x c+
2
1cos x
tan x c+
2
1sin x
cotanx c− +
1x
ln x c+
xe xe c+
33
xa ln
xa ca+
1x
2 x c+
9. Statistiek
9.1 Begrippen
9.1.1 Populatie De verzameling personen of objecten waarop een waarneming wordt uitgevoerd.
9.1.2 Steekproef Is de populatie groot dan zal men er een deel van selecteren en hierop het onderzoek uitvoeren. Het deel van de populatie waarop we de waarneming uitvoeren noemen we de steekproef. Een steekproef is representatief als alle deelgroepen van de populatie in de juiste verhouding zijn opgenomen.
9.1.3 Variabele Een statistisch onderzoek heeft steeds betrekking op één of meer eigenschappen of kenmerken van personen, objecten of verschijnselen. Het onderzochte kenmerk noemen we de variabele. De gegevens die volgen uit de waarneming van een kenmerk, noemen we de waarnemingsgetallen of data. We onderscheiden kwalitatieve en kwantitatieve data.
9.2 Frequenties
i xi fi rfi
rfi ( in %) cfi crfi
crfi ( in %)
1 0 12 0,120 12,0% 12 0,120 12,0% 2 1 15 0,150 15,0% 27 0,270 27,0% 3 2 32 0,320 32,0% 59 0,590 59,0% 4 3 20 0,200 20,0% 79 0,790 79,0% 5 4 14 0,140 14,0% 93 0,930 93,0% 6 5 6 0,060 6,0% 99 0,990 99,0% 7 6 1 0,010 1,0% 100 1 100%
Totaal 100 1 100%
34
9.2.1 Absolute frequentie
De absolute frequentie van de waarde is gelijk aan het aantal gegevens die gelijk zijn aan de waarde
if ix
ix .Het aantal ruwe gegevens stellen we voor door n. (Vb.: n =100) Het aantal verschillende waarden die de gegevens kunnen hebben stellen we voor door k. (Vb.: k = 7)
9.2.2 Relatieve frequentie n : het aantal gegevens of data
ii
frfn
=
9.2.3 Cumulatieve absolute frequentie
i 1 2cf f f ... f= + + + i
n
i ii 1
cf f=
= ∑
9.2.4 Cumulatieve relatieve frequentie
ii
cfcrfn
=
9.3 Centrummaten
9.3.1 Gemiddelde
Het gemiddelde is de som van alle data gedeeld door het aantal data.
n
ii 1
k
i ii 1
xx
n
x .fx
n
=
=
=
=
∑
∑
9.3.2 Mediaan
De mediaan Me van een oneven aantal gegevens die in stijgende volgorde gerangschikt zijn is gelijk aan het middelste gegeven.
35
De mediaan Me van een even aantal gegevens die in stijgende volgorde gerangschikt zijn is gelijk aan het gemiddelde van de twee middelste gegevens.
9.3.3 Kwartielen Het eerste kwartiel is de mediaan van de eerste helft van de gegevens. 1
Het tweede kwartiel is gelijk aan de mediaan. 2
Het derde kwartiel is gelijk aan de mediaan van de tweede helft van de gegevens.
3
1 1 2 3 4 5 7 Mediaan: 3 Eerste kwartiel: 1,5 Derde kwartiel: 4,5 Modus: 1
9.3.4 Modus De modus Mo van een reeks gegevens is het gegegeven met de grootste absolute frequentie
9.4 Spreidingsmaten
9.4.1 Variatiebreedte
De variatiebreedte R is het verschil tussen het grootste en het kleinste gegeven.
max minR x x= −
9.4.2 Interkwartielafstand
De interkwartielafstand is het verschil tussen het derde en het eerste kwartiel.
3 1= −
9.4.3 Variantie De variantie van een reeks gegevens is gelijk aan het gemiddelde van de kwadraten van de afwijkingen van de gegevens tegenover het gemiddelde;
2n
i2 2 i 1
(X x)s
n=
−= σ =
∑
36
9.4.4 De standaarddeviatie De standaarddeviatie van een reeks gegevens is gelijk aan de positieve vierkantswortel van de variantie van die reeks gegevens.
n
2i
i 1(X x)
sn
=
−= σ =
∑
10. Financiële Algebra
10.1 Enkelvoudige intrest
Hoofdformule: . .I k i n=
Eindwaarde K: K k I= +
Afgeleide formule: beginwaarde: 1 .
Kki n
=+
10.2 Samengestelde intrest
Eindwaarde: . nnk k u=
Beginwaarde: nn
kku
=
Rentevoet i: 1 1nnki uk
= − = −
Tijd: log
log
nkknu
=
10.3 Gelijkwaardige rentevoeten
( ) ( ) ( ) ( ) (12 4 212 4 21 1 1 1 1
p
pi i i i i+ = + = + = + = + )
37
10.4 Annuïteiten
10.4.1 Postnumerando
Slotwaarde: 1.n
nuA a
i−
=
Beginwaarde: 01.
nuA ai
−−=
10.4.2 Prenumerando
Slotwaarde: ' 1. .n
nuA a
i−
= u
Beginwaarde: '0
1. .nuA a u
i
−−=
10.4.3 Termijnbedrag
Vanuit de eindwaarde
Vanuit de beginwaarde
postnumerando 1.n
nuA a
i−
=
.1
nn
A iau
=−
01.
nuA ai
−−=
0.1 n
A iau−=
−
prenumerando ' 1. .
n
nuA a
i−
= u
( )'.1 .
n
n
A ia
u u=
−
'0
1. .nuA a u
i
−−=
( )'
0 .1 .n
A iau u−
=−
Versie : 2005-06-04
38
![INSTALLATIE- EN GEBRUIKSHANDLEIDING - Telenet.beusers.telenet.be/adbv/PPG_ECOHEAT-Handleiding_NL[1].pdf · INSTALLATIE- EN GEBRUIKSHANDLEIDING Wij feliciteren u met de aankoop van](https://static.fdocuments.nl/doc/165x107/5b15f3537f8b9a85498bebf1/installatie-en-gebruikshandleiding-1pdf-installatie-en-gebruikshandleiding.jpg)
