Filoso e en wiskunde in het werk van Gerrit...

Faculteit Letteren en Wijsbegeerte

Academiejaar 2011-2012

Filosofie en wiskunde in het werk van Gerrit Krolof

hoe wiskunde zich in literatuur vertaalt

Stijn Cooman

Studentennummer: 19997316

Promotor: Prof. Dr. Jean Paul Van BendegemCommissarissen: Prof. Dr. Bart Vervaeck en Dr. Sofie Gielis

Masterproef neergelegd tot het behalen van de graad vanMaster in de Wijsbegeerte

Inhoudsopgave

Lijst van figuren vii

Inleiding ix

1 Over kloven en sprongen 11.1 Een gapende kloof . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Schrijven met sprongen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

2 Het gemillimeterde hoofd 52.1 Wat voorafging. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

2.2 Wiskunde in Het gemillimeterde hoofd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.1 Beschouwende passages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

2.2.2 Wiskundige elementen in verhalende tekst . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2.3 De eerste pogingen tot versmelting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.3 Terugblik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.1 De functie van wiskunde in verhalende tekst . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.3.2 Een korte blik op de receptiegeschiedenis van Het gemillimeterde hoofd 18

3 Verondersteld gekend 213.1 Dit had u moeten weten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.1 Wiskundige termen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.1.2 Wiskundige formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.2 Voor welk publiek schrijft Krol? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.1 Uit het leven van enkele beroemde wiskundigen . . . . . . . . . . . . . 25

3.2.2 Wiskunde voor wiskundigen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.2.3 Enkele fragmenten uit Rondo Veneziano . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.3 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

4 De functie van wiskunde in de romans van Krol 394.1 (Schijnbare) randopmerkingen over wiskunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.1.1 Waarom haalt Krol dit aan? Opmerkingen geheel terzijde . . . . . . . . 40

4.1.2 Randopmerkingen die het verhaal kleur geven . . . . . . . . . . . . . . 40

4.1.3 Wiskunde handig gebruikt om gaatjes op te vullen . . . . . . . . . . . . 41

4.1.4 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

4.2 Vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.1 Kleurende vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.2 Functionele vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

iii

iv Inhoudsopgave

4.2.3 Homerische vergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

4.2.4 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3 Mathematics: connecting people . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3.1 Wiskunde als verleidingstruc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.3.2 Wiskunde brengt mensen dichterbij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4 Wiskundig denken en doen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

4.4.1 Dromer Krol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

4.4.2 En nu serieus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

4.4.3 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.5 Wiskunde in de hoofdrol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.5.1 Wiskunde studeren en studenten wiskunde . . . . . . . . . . . . . . . . 50

4.5.2 Wiskunde als inspiratiebron voor het verhaal . . . . . . . . . . . . . . . 52

4.5.3 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.6 Schrijven op wiskundige wijze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.6.1 Verhalende tekst in wiskundige vorm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4.6.2 Wiskundige termen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

4.6.3 Formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.6.4 Tekeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.6.5 Wiskundige symbolen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.6.6 De structuur van de roman . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

4.6.7 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.7 Technische stukken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.7.1 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

4.8 Algemeen besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5 Rondo Veneziano 655.1 Zeven functies van wiskunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.1 Iedereen kent iedereen! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

5.1.2 Wiskunde toegepast . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

5.1.3 Wiskunde studeren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.1.4 Wiskundig schrijven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.1.5 Beschouwende passages . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.2 De Riemann-hypothese . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2.1 Priemgetallen tellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2.2 Het getal van Skewes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71

5.2.3 Van priemgetallen naar de Riemann-zeta-functie . . . . . . . . . . . . . 72

5.2.4 De Riemann-zeta-functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

5.2.5 Terug naar Krol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5.3 Wat is ‘waar’ in een roman? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.4 Het slot van Rondo Veneziano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

5.5 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

6 Wat is dat toch met die wiskunde bij Krol? 876.1 Wiskunde is de max! . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.2 Filosofie van de wiskunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89

6.3 Wiskunde in de literatuur als brug tussen alfa en beta . . . . . . . . . . . . . . 91

6.4 Besluit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

Inhoudsopgave v

Conclusie 97

A Wiskundige fragmenten in de romans van Krol 99

B Grondtekst van enkele passages uit “Oom Petros” 193

Bibliografie 195

Index 198

Lijst van figuren

1.1 Schema overgenomen uit Vervaeck (2007): 29. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2 Percentage van de pagina’s waar er wiskundige verwijzingen zijn, per roman. . 4

2.1 Krols figuur 10, op p. 43 in Het gemillimeterde hoofd . . . . . . . . . . . . . . . 13

5.1 De priemtelfunctie π(x). Figuur overgenomen uit van der Veen & van de Craats(2011): 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

5.2 Van onder naar boven: de functie L(x); de (trapvormige) priemtelfunctie π(x)en de functie Li(x). Figuur overgenomen uit van der Veen & van de Craats(2011): 18. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

5.3 De logaritmische priemtelfunctie ψ(x) samen met de rechte y = x , op tweeverschillende schalen. Figuur overgenomen uit van der Veen & van de Craats(2011): 13. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5.4 Grafiek van ψ(x) en de benadering waarbij de twintig eerste termen van desommatie zijn opgenomen. Figuur overgenomen uit van der Veen & van deCraats (2011): 62. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

5.5 Het complexe vlak. Horizontaal zien we de reele getallenas; verticaal de imagi-naire. Figuur overgenomen uit van der Veen & van de Craats (2011): 38. . . . 75

5.6 Het complexe vlak met de kritische strook en de kritische lijn. Figuur overge-nomen uit van der Veen & van de Craats (2011): 42. . . . . . . . . . . . . . . 76

5.7 Krols “stuiterende tennisballen”; de absolute waardes van ζ(z) op de kritischelijn tussen 1

2(+0i) en 12 + 29i (links; overgenomen uit van der Veen & van de

Craats (2011): 44) en tussen 12(+0i) en 1

2 + 100i (rechts; overgenomen uitDerbyshire (2003): 398). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

A.1 Van links naar rechts: figuren 4, 5, 7 (allen §33) en 10 (§34). Overgenomenuit Krol (1967), p. 40, 42 en 43. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

A.2 Figuren 38a en 38b; overgenomen uit Krol (1967), p. 160. . . . . . . . . . . . . 117A.3 Tekening overgenomen uit Krol (1969): 114. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122A.4 Pagina uit de katalogus, overgenomen uit Krol (1969): 127. . . . . . . . . . . . 123

vii

Inleiding

Kies ik voor talen of kies ik voor wiskunde? Het lijkt wel the story of my life: om de zoveeljaar lijk ik opnieuw met deze vraag geconfronteerd te worden.

Het begon al in het middelbaar onderwijs. Ik was helemaal gebeten door Griekse taal-en letterkunde, en had dat liefst van al gecombineerd met dat andere lievelingsvak van me:wiskunde. Maar helaas, Grieks-wiskunde werd op mijn school niet aangeboden, wegens ‘gebrekaan interesse’. Zo komt het dat ik na het vierde jaar voor een heel eigenaardige keuze gesteldwerd: wordt het volgend jaar wetenschappen-wiskunde of Grieks-Latijn?

Twee jaar later stond ik voor hetzelfde probleem: als ik naar de universiteit ga, kies ik danvoor een opleiding wiskunde of een opleiding Grieks en Latijn? Beide waren reele opties, maarhet lot heeft er anders over beslist: pas acht jaar later ben ik aan een universitaire opleidingbegonnen. Het is wijsbegeerte geworden; een van de weinige richtingen waar ik een beetjevan al mijn interessegebieden terug kon vinden. Maar die keuze bracht ook weerom dezelfdevraag met zich mee: welke minor kies ik? Grieks, wiskunde, of iets helemaal anders? Zoalszal blijken in deze masterproef, is het wiskunde geworden.

Toch heb ik in de loop der jaren heel wat vakken Oud- en Nieuwgriekse taal- en letterkundeafgelegd. Wat me daarbij steeds is opgevallen, is dat taal- en letterkunde, tenslotte twee zeerverschillende zaken, toch vaak hand in hand kunnen gaan. Wie bijvoorbeeld als taalkundige hetOudgriekse Eolische dialect wil bestuderen, is bijna verplicht om dit aan de hand van poeziete doen. Zo las ikzelf ooit in lessen Eolische taalkunde gedichten van Sapfo. De lesgever,professor in de taalkunde, kon zo zijn lessen dubbel boeiend maken. Enerzijds schetste hij deevolutie van het Eolisch binnen het bredere kader van de evolutie van de Griekse (en Indo-Europese) dialecten (en talen). Anderzijds konden we genieten van het beste wat de klassiekepoezie ons te bieden heeft. Het allermooiste uit twee werelden, hand in hand.

Het menselijk intellect biedt mooie zaken in overvloed: wie vertrouwd is met complexeanalyse, door vele wiskundigen aanzien als het knapste wat de wiskunde te bieden heeft, kanhaast niet anders dan genoten hebben toen hij of zij voor het eerst in aanraking kwam metpakweg eenduidigheid van holomorfe functies of de residustelling. En dan hebben we het nogniet gehad over het prachtige universum dat ligt te wachten op wie zich wil gaan verdiepenin de wereld van de natuurkunde. De wiskundige die enkel uit wiskundig oogpunt verstomdstaat van de kracht van het getal i , moet dringend zijn horizonten verruimen en te wetenkomen hoe datzelfde getal in de kwantummechanica ingewikkelde berekeningen uiterst elegantvereenvoudigt.

Ze bestaan dus: kruisbestuivingen tussen verschillende domeinen. Meer nog: ze behorentot de mooiste menselijke scheppingen. Maar blijkbaar zijn er grenzen: waar het haast voor dehand ligt om Eolische taal- en letterkunde aan elkaar te koppelen, en een cursus kwantumme-chanica steeds van start zal gaan met een blik op de wondere wereld van de complexe getallen,ligt het minder voor de hand hogere wiskunde te gaan zoeken in taal- en letterkunde.

ix

x Inleiding

We moeten constateren dat we vandaag leven in een wereld waar het onderscheid tussenzogenaamde ‘cultuurwetenschappen’ en, ook al zogenaamde, ‘exacte’ wetenschappen haastniet breder kan zijn. Dat is erg jammer: beide zijn meer dan de moeite van het ontdekkenwaard. Wie goed thuis is binnen zijn vakgebied, is daar dikwijls vol lof over, ongeacht datvakgebied nu tot de alfa-wereld (de zogenaamde cultuurwetenschappen) of tot de beta-wereld(de zogenaamde exacte wetenschappen) behoort. Maar thuis zijn in verschillende vakgebieden,dat schijnt bijna niemand meer te lukken.

De situatie schijnt jammer genoeg nog erger te zijn dan hier geschetst. Zo beschrijft JeanPaul Van Bendegem in zijn Hamlet en Entropie (2009) hoe het landschap tussen de alfa-wetenschappers enerzijds en de beta-wetenschappers anderzijds, er uit ziet. Meer nog: VanBendegem betrekt hier ook de gewone burger bij. Waar bevindt die zich ergens in dit plaatje?Het resultaat is niet erg fraai te noemen: het water tussen alfa’s en beta’s is haast onmetelijkdiep. Beta’s denken niet zelden dat alfa’s met onzin bezig zijn, en alfa’s menen nogal eens datbeta’s arrogant zijn. De burger staat er bij en kijkt er naar. Hoewel, hij kijkt waarschijnlijkniet meer, want de alfa’s vertellen te vreemde dingen en de beta’s te moeilijke. En zowel alfa’sals beta’s vinden dat misschien nog zo erg niet, want aan die burger, daar krijg je toch nooitiets aan uitgelegd. Einde verhaal.

Daar sta ik dan met de billen bloot. Zich interesseren voor wiskunde, voor natuurweten-schap en voor talen en literatuur, wie doet dat nu? Het ergste van al: lange tijd heb ik hetgevoel gehad daar maar alleen te staan, ergens in het niemandsland tussen alfa en beta.

Tot ik op donderdag 23 december 2004 de krant kocht, eerlijk gezegd enkel om de lite-ratuurbijlage te kunnen lezen. Die dag ging er een wereld voor mij open: ik was niet langeralleen. Er bestond vanaf die dag voor mij een illustere onbekende, die romans schreef waarinonderwerpen zoals fysica en wiskunde aan bod komen. Die alom bekende persoon — waaromhij mij tot voor 2004 een onbekende was is mij een compleet raadsel — is uiteraard Gerrit Krol,die op dat moment net zijn Rondo Veneziano gepubliceerd had. Ik heb het boek verslonden.

Ze bestaan: de bruggenbouwers tussen alfa en beta. En gelukkig heb ik ondertussen geleerddat Gerrit Krol niet helemaal alleen staat hierin. Wat hem misschien wel vrij uniek maakt, is— zeer specifiek — de brug die hij slaat tussen wiskunde en literatuur. Weinigen doen hetKrol na.

In deze masterproef zal ik het hebben over de verschillen tussen alfa en beta, maar nog veelmeer zal ik het hebben over hun gelijkenissen en over de bruggen die er tussen de twee bestaanof mogelijk zijn. Omdat ‘alfa’ en ‘beta’ zeer brede en zelfs niet eens mooi afgelijnde begrippenzijn, en omdat we maar een beperkte ruimte hebben, zal ik me voornamelijk beperken totliteratuur, als typisch alfa-product, en wiskunde, de ongekroonde maar alom geroemde koninginder beta’s. Dit alles zeer specifiek binnen de romans van Gerrit Krol.

Want hoe doe je dat, bruggen bouwen? Op welke verschillende wijzen slaagt Krol er inom de gapende kloof tussen wiskunde en literatuur, tussen beta en alfa, te dichten? Datis de onderzoeksvraag die doorheen deze masterproef centraal zal staan. Deze vraag werptautomatisch nieuwe vragen op. Heeft Krol bijvoorbeeld zelf nieuwe technieken ontwikkeld, ofgebruikt hij aloude, beproefde methodes? Of wil hij literatuurliefhebbers wakker schudden voormeer inzicht in de wiskunde; of eerder wiskundigen aanzetten om eens een boek te lezen?

Om een antwoord te krijgen op deze vragen, grijp ik zoals gezegd in eerste instantie naarde romans van Gerrit Krol terug. Er bestaan nochtans goede redenen om ook Krols essays,columns en poezie in dit onderzoek te betrekken: ook die vertellen ons veel over Krols visieop alfa en beta. Zelfs als we ons specifiek tot wiskunde beperken, moeten we constateren datKrol vaak wiskunde verwerkt in zijn essays, en soms zelfs in zijn columns en poezie. Waarom

Het water tussen alfa en beta xi

beperk ik me dan tot de romans?Ten eerste is er natuurlijk het feit dat deze masterproef dan boven mijn hoofd zou gegroeid

zijn: twintig romans, want zoveel heeft Krol er geschreven, is al een flink corpus. Maar eris meer: de confrontatie tussen literair proza en wiskunde is oneindig veel explosiever dan deconfrontatie wiskunde – essay. Die laatste categorie vinden we op een aantal plaatsen wel nogterug; maar wiskunde als onderdeel van romanliteratuur, is wel hoogst ongewoon.

Hoewel: onbestaand is die niet. In romans zoals Der Zahlenteufel (Enzenberger 201111),Oom Petros en het vermoeden van Goldbach (Doxiadis 2010) en De stelling van de papegaai(Guedj 1999) speelt wiskunde wel degelijk een hoofdrol. Ik zal gretig gebruik maken van ditfeit en meer dan eens een vergelijking trekken tussen hoe Enzenberger, Doxiadis en Guedjwiskunde verwerken in hun romans en hoe Krol dat doet.

Dit alles verklaart mijn keuze voor de romans van Krol als studieobject. Het feit dat ik Krolspoezie daar niet bij betrokken heb — een botsing tussen poezie en wiskunde is waarschijnlijknog heftiger dan die tussen literair proza en wiskunde — valt vooral te zoeken in het feit datKrol hier blijkbaar ook op een manier op zijn grenzen stuit: nu en dan verwerkt hij wel eenstukje wiskunde in zijn gedichten, maar dat is eerder uitzonderlijk. Ik zal daar verder in dezemasterproef ook niet meer op terugkomen.

In aanloop naar deze masterproef, heb ik Krols twintig romans gelezen, en er zo goed alsalle wiskundige fragmenten uitgefilterd. Waar nodig, heb ik die fragmenten becommentarieerd.Dit onderzoek heeft geleid tot een fraai overzicht van de wiskundige stukken in Krols romans;dit overzicht is integraal opgenomen in deze masterproef als bijlage A.

Maar niet alleen via zijn romans komt Krol aan het woord: wat heeft hij ook in eigen naamgeschreven en gezegd over de bruggen die hij wou bouwen, de kloven die hij wou dichten? Enuiteraard zijn er ook andere mensen die mij veel over Krol geleerd hebben, en die allemaal hunsteentje willen bijdragen aan de dichting van de kloof tussen alfa en beta. Er stond mij danook een schat aan secundaire literatuur ter beschikking, waar ik gretig gebruik van gemaaktheb.

We zullen van wal steken door te bekijken wat het alfa-beta-probleem precies inhoudt,en waar Krol zich ergens in dit plaatje bevindt. We schetsen ook kort welke evolutie Krolsliteraire oeuvre doorgemaakt heeft, en we zullen proberen enkele labels op Krols stijl te plakken.Voornamelijk dat laatste zal niet eenvoudig blijken.

Het grootste deel van deze masterproef zullen we Krols twintig romans van naderbij bekijkenen onderzoeken hoe specifiek wiskunde in Krols werk doorheen de jaren evolueert. Welke rolis er voor wiskunde weggelegd in Krols literaire oeuvre, en zit daar een evolutie in? Zijn erparallellen te trekken met de algemene evolutie in Krols romans?

Uiteindelijk zullen we ons zo een algemeen beeld vormen van Krol als persoon, Krol alswiskundeliefhebber en Krol als filosoof. Dit zal ons in staat stellen een antwoord te formulerenop de vraag hoe Krol nu precies tracht wiskunde en literatuur te verzoenen.

Zo zie ik mijzelf, na jaren van hartverscheurende keuzes, voor de eerste keer in staat omverschillende van mijn passies in een werkstuk te verwerken. Ik hoop dat ik in de komendejaren nog veel gelijkgestemden mag ontmoeten. In het allerbeste geval, hoop ik zelf hier endaar een geest wakker te schudden. Want ze zijn nodig, die alfa’s die ook beta zijn; zekerin deze tijd van klimaatproblematiek, wereldwijde crisis en (want ik wil zeker geen pessimistzijn) ongeziene mogelijkheden, geboden door de hedendaagse communicatiemiddelen en, al-vast toch in grote delen van de wereld, politieke en culturele vrijheid.

xii Inleiding

Graag geef ik nog een drietal praktische zaken mee over deze masterproef.Het is interessant zich af te vragen in hoeverre de verhalende elementen uit Krols romans

autobiografisch zijn; zie bijvoorbeeld Zuiderent (2010): 10-11, waaruit blijkt dat zeker nietalle schijnbaar autobiografische elementen in het werk van Krol ook effectief historisch zijn.1

Daarom zullen we, net als Ineke Bulte (1986) doet voor Het gemillimeterde hoofd , de schijnbaarautobiografische hoofdpersonen uit Het gemillimeterde hoofd , De chauffeur verveelt zich, Indienst van de ‘Koninklijke’, De weg naar Sacramento, Scheve levens, De oudste jongen en60000 uur aanduiden met GK. Soms is het nochtans erg moeilijk om te bepalen of nu netGK of Gerrit Krol aan het woord is. Wie is bijvoorbeeld de schrijver van Het gemillimeterdehoofd? ‘Officieel’ is de auteur uiteraard Gerrit Krol, maar de ik-persoon van de roman (inmijn terminologie dus ‘GK’) beweert dat hij de roman schrijft. Dit kan belangrijk zijn, wantGerrit Krol kan GK zaken in de mond (of in de pen) leggen die hij eigenlijk zelf niet meent.In dergelijke gevallen, zeker in gevallen waar het onderscheid helemaal niet duidelijk is, heb ik(in tegenstelling tot Ineke Bulte) toch vaak ‘(Gerrit) Krol’ geschreven.

Deze masterproef is gezet in het computerprogramma LaTeX; gezien de hoeveelheid wis-kundige formules die er moesten in verwerkt worden, leek dat de meest aangewezen keuze.Nu is het zo dat LaTeX automatisch (zoals overigens gebruikelijk is in wiskundige teksten)letters gebruikt in wiskundige formules, cursief afdrukt. Nochtans houdt Krol zelf zich niet aandeze regel; dat is niet verwonderlijk, aangezien hij literair proza schrijft, en geen academischeteksten over wiskunde. Dat heeft mij voor een aantal praktische problemen geplaatst om Krolsteksten letterlijk over te nemen. Uiteindelijk heb ik er voor geopteerd om, ook daar waar ikKrol citeer, LaTeX alle wiskundige letters cursief te laten weergeven. Hoewel dit verder nergensmeer vermeld wordt, zijn alle dergelijke cursiveringen dus van mijn hand, en niet van Krol.

Wanneer er bij een citaat geen auteur maar enkel een jaartal vermeld staat, dan is GerritKrol zelf de auteur. Alle citaten die voorkomen in lopende tekst in deze masterproef staanduidelijk aangegeven door dubbele aanhalingstekens (op enkele uitzonderingen in bijlage A na;zie p. 99). Waar er, om wat voor reden dan ook, enkele aanhalingstekens in doorlopende tekstgebruikt worden, ben ik zelf aan het woord.

1Wat betreft die schijnbare autobiografieen: zie, onder veel meer, Gielis (2007b): 174; Gielis (2007a):109+111-2; Zuiderent (1989), hoofdstuk 2: ‘De roman als zelfportret’, p. 139-172.

Hoofdstuk 1

Over kloven en sprongen

1.1 Een gapende kloof

“Het hotel was gebouwd op de oude vestingwal, op de stadsplattegrond met krachtiger lijnenaangegeven dan de werkelijkheid te zien gaf. Er was een gracht, een middeleeuwse poort eneen terras dat uitzicht gaf over de velden.” Een prachtige openingszin voor een roman.

Aangezien we hebben aangetoond dat er een nulpunt van de Riemann-zeta-functie gevon-den hebben waarvoor het imaginaire deel het getal van Skewes is, en waarvoor het reele deelniet gelijk is aan 1

2 , kunnen we hier dus besluiten dat de Riemann-hypothese niet waar is. Eenconclusie van een artikel dat de wiskundewereld op zijn kop zou zetten.

In elk geval twee zaken die mijlenver uit mekaar liggen. Het spreekt voor zich dat deliteratuurliefhebber automatisch zal beginnen huiveren als hij het artikel van de weerleggingvan de Riemann-hypothese in handen krijgt. Net zoals een echte wiskundige zijn energie nietzal willen verliezen in het lezen van een nutteloze roman van het soort waarvan we zopas eenmogelijke openingszin zagen. Of goed; misschien leest hij die eens per jaar ter ontspanning.Maar we gaan toch geen gemeenschapsgeld stoppen in zinloos literatuuronderzoek?

Scherper dan dit kunnen we het verschil tussen de zogenaamde ‘alfa-’ of ‘cultuurweten-schappen’ en ‘beta-’ of ‘natuurwetenschappen’ waarschijnlijk niet stellen. Aangezien dat ereen kloof van jewelste gaapt tussen de twee, ligt het voor de hand dat een boek dat begintmet de geciteerde openingszin, onmogelijk kan eindigen met de aangehaalde verondersteldewiskundige stelling.

Reeds op jonge leeftijd worden we geconfronteerd met deze gapende wonde tussen de tweeculturen: op school blijken we misschien goed in talen, of eventueel wel goed in wiskunde,maar zelden zullen we uitblinken in de twee. Misschien wel omdat die andere ‘de vijand’ is.Om met Sofie Gielis te spreken (Gielis 2007b: 251): “Iemand met een talenknobbel is zeldeneen wiskundig wonder.” Einde verhaal.

Of toch? Lezen we even verder bij Gielis, dan komen we dit te weten: “Maar ze bestaan wel:de uitzonderingen die met een been in de exacte en het andere in de humane wetenschappenstaan. Gerrit Krol is een van de rariteiten die alfa en beta combineert.” En Gerrit Krol isdan ook de man die een roman begint met de beschrijving van een hotel en eindigt meteen (mogelijke) wiskundige stelling. De openingszin van dit hoofdstuk is namelijk ook deopeningszin van zijn Rondo Veneziano; de roman die eindigt met de hoofdpersoon die rondrijdtin. . . tja, de ‘wiskundewereld’, en daar ziet dat alvast een koppel nulpunten van de zeta-functieniet op de middellijn van de kritische strook ligt.

Oke, er is een verschil: Krol bewijst geen nieuwe wiskundige stelling in zijn boek; hij stelt

1

2 Hoofdstuk 1. Over kloven en sprongen

alleen voor wat er eventueel het geval zou kunnen zijn. Maar hij heeft het in zijn roman wel vlotover de Riemann-zeta-functie en haar eigenaardigheden, over de distributie van priemgetallen,en over het eerste vacuum ter wereld, gecreeerd door Torricelli. Allemaal onderwerpen die weenkel in (eventueel populair-) wetenschappelijke geschriften denken te zullen vinden.

En er is meer. Deelt Krol ons in zijn Rondo Veneziano niet heel wat mee over zijn visieop filosofie van de wiskunde? Over wereldgeschiedenis, het waarom de geschiedenis gelopen iszoals ze gelopen is, en niet anders? Zijn romans als Maurits en de feiten en De vitalist geenaantijgingen tegen de straffeloosheid die volgens Krol in Nederland heerst; kunnen we ze zelfsniet lezen als essays om de doodstraf weer bediscussieerbaar te maken? Kortom, verwerkt Krolniet zowel fictie als non-fictie in zijn werk? En in welk van beide categorieen plaatsen we zijnwerk dan primair?

1.2 Schrijven met sprongen

De vraag tot welke categorie men Krols werk moet rekenen, is al meermaals gesteld. BartVervaeck schreef zelfs een artikel met de veelzeggende titel Het werk van Gerrit Krol: fictie,essay of wetenschap? (Vervaeck 2007).

In dit artikel ontwikkelt Bart Vervaeck een schema waarin (onder veel meer) wiskunde,poezie, essay en verhaal allemaal hun plaats krijgen; dit schema staat opgenomen in figuur1.1.

Figuur 1.1: Schema overgenomen uit Vervaeck (2007): 29.

Gerrit Krol, aldus Vervaeck, is niet geınteresseerd in zuiver een essay of zuiver een verhaalte schrijven. Eerder wil Krol van het ene element uit schema 1.1 naar het andere springen:“Schrijver en lezer worden verondersteld sprongsgewijs te denken” (p. 28). Meer nog:

Sprongsgewijs denken, dat is de beste omschrijving voor de activiteit die literatuur,filosofie en wetenschap verbindt. Een verhaal zonder sprongen interesseert Krolniet. Er moet een verticale dimensie aan toegevoegd worden, of die van de poeziekomt, van het essay of van de wetenschap.

1.2. Schrijven met sprongen 3

Vervaeck merkt verder op dat verticale sprongen in dit schema opvallender zijn dan ho-rizontale; diagonale trekken zelfs nog meer de aandacht. “Zo is een verhaal in de vorm vaneen gedicht minder ontwrichtend voor de lezer dan een verhaal in de vorm van een wiskundigbewijs,” stelt hij (p. 29).

Wat voor ons nog meer van belang is, is het feit dat Vervaeck beweert dat je de evolutiedoorheen Krols werk kunt “zien al een verandering in de aard van de sprong” (p. 29). Zobegint Krol vrij braaf: waar zijn debuutroman De rokken van Joy Scheepmaker erg weinigsprongen bevat,1 gaat hij des te wilder tekeer in Het gemillimeterde hoofd en De ziekte vanMiddleton. Nog steeds volgens Vervaeck is er vanaf De chauffeur verveelt zich (1973) sprakevan een integratie die zich blijft doorzetten doorheen de jaren tachtig, en neemt het aandeelvan bijvoorbeeld wiskundige formules sterk af. “Het lijkt wel alsof de verschillende genres, deverschillende vormen van samenvatting steeds meer in elkaar opgaan. Ze worden als het warezelf samengevat.” (p. 30). Met romans als Middletons dood en De vitalist krijgen we als hetware essays in romanvorm: Krols ideeen omtrent de doodstraf, krijgen we hier in verhaalvormgegoten. En “ook het exact wetenschappelijke wordt steeds meer een verhaal”, merkt Vervaeckop; hij verwijst overigens expliciet naar Rondo Veneziano (Vervaeck 2007: 30). Net omdat weons hier vooral over de wiskunde in Krols werk willen buigen, zullen we daar in hoofdstuk 5uitgebreid op terugkomen.

Daarmee is Vervaecks analyse echter nog niet afgerond. Hij maakt bij dit alles immers nogeen belangrijke opmerking (p. 31-2):

Om terug te keren naar de sprongen van Krol en de ontwikkeling daarin: ik wilniet de indruk wekken dat dit een rechtlijnige en onomkeerbare evolutie is. Desprong is in de ene roman al wat explicieter dan in de andere. En ik wil zekerniet beweren dat Krols capriolen steeds minder groot zijn geworden. De sprongenzijn misschien minder opvallend, maar je moet als lezer nog steeds zeer beweeglijkkunnen overstappen tussen literatuur, filosofie en wetenschap.

En wiskunde, zouden we daar in onze gedachten kunnen aan toevoegen. Want daar willenwe het in deze masterproef specifiek over hebben: in hoeverre is de evolutie van Krols werk,zoals Vervaeck die hier voorstelt, herkenbaar, specifiek als het op wiskunde aankomt? Om ditte weten te komen heb ik, in elk van de twintig romans van Krol, geteld op hoeveel pagina’ser verwijzingen naar wiskunde, op welke wijze dan ook,2 voorkomen. Per roman heb ik datuitgedrukt in een percentage, en deze gegevens heb ik uitgezet in een grafiek.3 Deze grafiekis weergegeven in figuur 1.2.

1Wat specifiek wiskunde betreft: er zijn ook weinig verwijzingen naar wiskunde in De rokken van JoyScheepmaker ; we komen hierop terug in sectie 2.1.

2Hieronder versta ik gebruik van strikt wiskundige termen of tekens, of verwijzingen naar wiskunde in eenheel brede zin. Ook teksten geschreven in bijvoorbeeld de vorm van een wiskundig bewijs zijn opgenomen.Verwijzingen naar louter logica of fysica zijn, hoewel ze meestal wel vermeld worden in bijlage A, niet opgenomenin deze telling.

3De resultaten zijn, in absolute cijfers en in procenten uitgedrukt: De rokken van Joy Scheepmaker (1962):3/96 (=3%); Het gemillimeterde hoofd (1967): 90/157 (=57%); De ziekte van Middleton (1969): 31/211(=15%); De laatste winter (1970): 8/91 (=9%); De chauffeur verveelt zich (1973): 19/131 (=15%); In dienstvan de ‘Koninklijke’ (1974): 27/122 (=22%); De weg naar Sacramento (1977): 23/118 (=19%); Een Fries huiltniet (1980): 27/126 (=21%); De man achter het raam (1982): 19/115 (=17%); Scheve levens (1983): 27/186(=15%); Maurits en de feiten (1986): 1/154 (=1%); De Hagemeijertjes (1990): 1/126 (=1%); Omhelzingen(1993): 8/245 (=3%); Okoka’s Wonderpark (1994): 2/165 (=1%); Middletons dood (1996): 8/232 (=3%);De oudste jongen (1998a): 12/147 (=8%); 60000 uur (1998b): 12/106 (=11%); De vitalist (2000): 19/126(=15%); Rondo Veneziano (2004c): 64/247 (=26%); Duivelskermis (2007): 4/89 (=4%).

4 Hoofdstuk 1. Over kloven en sprongen

Figuur 1.2: Percentage van de pagina’s waar er wiskundige verwijzingen zijn, per roman.

Verschillende zaken vallen in deze grafiek op. De grote piek helemaal in het begin verwijstuiteraard naar Het gemillimeterde hoofd . Hoewel het aandeel van de wiskunde zeker in hettweede deel van de jaren ’70 opvallend stabiel is, kalft die in de jaren ’80 geleidelijk aan af.Dat sluit goed aan bij de opmerking van Vervaeck dat in de jaren tachtig het aandeel vanwiskundige formules en tekeningen afneemt omdat de integratie zich voortzet, maar eigenlijkhoeft dit strikt genomen niet: uit de grafiek lezen we af dat Krol het minder over wiskundeheeft of op minder wiskundige wijze schrijft tout court. Met andere woorden: in de jarentachtig hebben we wel een integratie van essay, wetenschappen, wiskunde en verhaal, maardaarmee wordt weinig gezegd over het aandeel van wiskunde in dit geheel. Of nog, in deromans van deze periode (en later) zal wiskunde enkel gebruikt worden als die er echt toedoet. Een niet-wiskundig verhaal vertellen in de vorm van een bewijs, lijkt er dan niet meerbij te zijn.

In de periode ’85-’95 vinden we zo goed als geen wiskundige elementen in Krols werk. Na-dien kruipen we langzaam uit dit dal, om in 2004 met Rondo Veneziano een nieuw hoogtepuntte bereiken. Een nader onderzoek dringt zich hier dan ook op.

De twee pieken worden zoals gezegd gevormd door Het gemillimeterde hoofd en RondoVeneziano, respectievelijk Krols tweede en Krols voorlaatste roman. Omdat de evolutie vanKrols schrijverschap zich grotendeels tussen deze twee mijlpalen afspeelt, en omdat wiskundenergens zo belangrijk is als in deze twee werken, zullen we aan allebei een hoofdstuk besteden.Meer bepaald zullen we het in het volgende hoofdstuk hebben over Het gemillimeterde hoofden zal heel hoofdstuk 5 handelen over Rondo Veneziano. In de tussenliggende hoofdstukkenzullen we het hebben over wat Krol op wiskundig vlak nu precies van zijn lezers verwacht, enover de evolutie van Krols oeuvre tussen beide belangrijke romans. Cruciaal hierbij zal de vraagzijn of er veel verandert aan de rol die wiskunde speelt in Krols werken. Zoals opgemerkt hoeftzuiver het percentage bladzijden waarop wiskunde ter sprake komt, daarvoor niet bepalend tezijn. Desalniettemin valt op dat de tweede piek merkelijk lager ligt dan de eerste: in RondoVeneziano speelt, procentueel gezien, ‘slechts’ op half zoveel pagina’s wiskunde een rol als inHet gemillimeterde hoofd . Het is moeilijk aan te nemen dat dit zuiver op toeval berust. Latenwe dan ook van wal steken door een blik op Het gemillimeterde hoofd te werpen.

Hoofdstuk 2

Het gemillimeterde hoofd

2.1 Wat voorafging. . .

Het gemillimeterde hoofd is zonder twijfel de roman waarmee Krol de eerste keer luid enduidelijk van zich laat horen, maar zijn debuutroman is het niet. Het gemillimeterde hoofdverscheen pas vijf jaar na zijn debuut, De rokken van Joy Scheepmaker .

In deze roman is er voor de wiskunde, in vergelijking met het werk dat er op volgt, slechtseen bescheiden rol weggelegd: er zijn maar drie wiskundige elementen of verwijzingen, eneigenlijk telkens als randopmerking. Zo lezen we op p. 38: “Kraus [. . . ] schreef op: (a+b)2 =a2 + b2. Hij trok er een cirkel om.” waarna Krol de draad van het verhaal weer oppikt. Webekijken dit stukje van naderbij op pagina 23; het volstaat hier om op te merken dat dieopmerking hier eigenlijk wat verloren staat, en zeker niet tot de spil van het verhaal behoort.Al zal ze zonder twijfel de wiskundige lezer wakker schudden.

Op p. 54-5 vinden we een verwijzing naar een wiskundig concept weer dat iets meer terzakedoet. Kraus probeert Joy Scheepmaker te verleiden, en als zij bij hem op bezoek komt, verteltKrol ons dan ook het volgende: “Hij had haar het Raam laten zien, het Raam van Moebius,dat hij gemaakt had van die beukenhouten latten en dat hij keerde en wentelde tussen tweevingertoppen. (Onder welke hoek je het ook ziet.)” Ook deze opmerking is vrij kort, maardeze keer ligt het waarom ervan voor de hand: Kraus wil Joy verleiden, en dat doet hij ondermeer door haar zijn kunnen te tonen. Hij is blijkbaar fier op wat hij gemaakt heeft, en hooptdan ook dat dit indruk zal maken.

Dat een wiskundig concept hierbij centraal staat, vertelt ons twee zaken. Ten eerste datKraus een passie heeft voor wiskunde, iets wat we al enigzins konden vermoeden na de eersteopmerking. Maar ten tweede zegt ons dit ook iets over het evidente belang dat wiskundeblijkbaar heeft voor Kraus. Een meisje verleiden, daar ga je niet licht over: Kraus denkt hier,door het raam te tonen, een (mogelijk beslissende) troefkaart uit te spelen. Blijkbaar vindthij dit belang inderdaad evident, want hij staat er nergens bij stil dat Joy zijn constructiemisschien niet zo goed begrijpt.

De derde en laatste maal dat Krol in zijn debuutroman wiskunde aanwendt, is tegelijk ookde meest terloopse (p. 76): “Kraus beklom de enorme kogelvanger; men kon hem zien opde diagonaal van het trapezium naar omhoog”. Krol gebruikt een dankbare vergelijking metmeetkundige concepten om een beeld uit de realiteit (van de roman) aanschouwelijk te maken.

Maar zoals opgemerkt gaat De rokken van Joy Scheepmaker over de liefde, meer bepaaldover het feit hoe Kraus Joy probeert te verleiden. Deze roman laat zich ook perfect zo lezen.We komen daarbij gewoon te weten dat de hoofdpersoon blijkbaar geınteresseerd is in wiskunde

5

6 Hoofdstuk 2. Het gemillimeterde hoofd

(en logica: er staat een verwijzing daarnaar op p. 38), maar daar blijft het dan ook bij. Bij wijzevan spreken kon Krol van Kraus’ hobby postzegels verzamelen gemaakt hebben, en dan haddenwe gewoon twee of drie verwijzingen naar zeldzame postzegels gehad, in plaats van nu naarwiskunde. Het enige wat enigzins in het oog springt is de eigenaardige formule (a+b)2 = a2+b2

die op het eerste zicht ‘niet lijkt te kloppen’. Maar die formule wordt zo zijdelings opgemerkt,dat daar eigenlijk weinig kan blijven van hangen.

Alles beschouwd schemert in deze debuutroman wel iets door van Krols beta-achtergrond,maar in de eerste plaats blijft De rokken van Joy Scheepmaker een mooi liefdesverhaal datzich zonder probleem in de alfa-cultuur laat catalogeren. Om met Nicoline Timmer te spreken(2001: 29):

Gerrit Krol (1934) debuteerde in 1962 met de kleine roman De rokken van JoyScheepmaker , een nog ‘redelijk normaal’ boek, met een begin en een einde: jongenverveelt zich, wordt verliefd en krijgt via omzwervingen het meisje. De daaropvol-gende romans laten zich niet meer zo makkelijk samenvatten.

Laten we dan ook snel doorgaan!

2.2 Wiskunde in Het gemillimeterde hoofd

In Het gemillimeterde hoofd schrijft Gerrit Krol een pagina “Ter inleiding” (1967: 5), waaruitons minstens twee dingen bijblijven. Ten eerste merkt Krol op dat zijn roman handelt over“het mechanisme van de taal, in het bijzonder van de wiskunde en de mogelijkheden die dewiskunde biedt aan een mens zich verstaanbaar te maken [. . . ]”. De rol van de wiskunde (envan de logica) in dit boek zal dus niet te onderschatten zijn. Ten tweede vermeldt Krol heelexpliciet het volgende:

Dit boek is, ik weet het, niet voor iedereen geschreven. Het bevat gedeeltendie zich ‘laten lezen als een roman’, maar op andere plaatsen was ik gedwongende wereld terug te brengen tot de meest eenvoudige vorm, daar heb ik formulesingevoerd. Deze formules vragen, evenals de figuren in de tekst, een zorgvuldigeaandacht. Wie ze niet begrijpt, heeft niets begrepen.

De laatste zin is van toepassing op ongeveer elke cursus wiskunde: wie op een gegevenmoment de draad verliest, loopt een ernstig risico om verderop helemaal niet meer mee tekunnen. Kunnen we deze vergelijking doortrekken? Of, met andere woorden, is Krols Hetgemillimeterde hoofd een cursus wiskunde? En wil dat dan ook zeggen dat hij voor wiskun-digen schrijft? In elk geval merkt hij zelf op dat hij alvast niet voor iedereen schrijft. Ommeer hierover te weten te komen, kijken we eerst naar de beschouwende passages uit Hetgemillimeterde hoofd .

2.2.1 Beschouwende passages

Laten we beginnen met het begin en lezen we de — op de inleiding na — allereerste alineavan het boek (1967: 7):

Er leefde in de vorige eeuw in Zwitserland een geniaal wiskundige, genaamd Schlafli.Deze Schlafli kwam op de gedachte, de bekende drie-dimensionale meetkunde uit

2.2. Wiskunde in Het gemillimeterde hoofd 7

te bouwen tot een vier-dimensionale meetkunde, waarin vlakken niet meer een lijnmaar een punt gemeen hebben, tot een vijf-dimensionale meetkunde, tot een n-dimensionale meetkunde. Hij liet zien dat in zo’n ruimte de meest curieuze dingengebeuren. Hij heeft het allemaal uitgewerkt, hij heeft het allemaal opgeschreven.Dertig delen. Een geniaal werk. Het is vergeten.

Dit is niet de aanhef van een doorsnee roman. Drie-, vier- zelfs vijf-dimensionale meet-kunde, vlakken, lijn, punt, . . . de technische begrippen vliegen ons om de oren. Krol brengt onskort even in herinnering wat een vier-dimensionale meetkunde is: “waarin vlakken niet meereen lijn maar een punt gemeen hebben”; alsof we allemaal genoeg getraind zijn in de wiskundeom zo’n omschrijving zonder verpinken te begrijpen. Krol had ons al gewaarschuwd in zijninleiding: hij schrijft niet voor iedereen.

Maar dit is ook niet de aanhef van een doorsnee cursus wiskunde. Dat Schlafli in de 19eeeuw in Zwitserland woonde, is een feit waar een wiskundige die n-dimensionale meetkundeswil bestuderen, niet veel aan heeft. En de typering van Schlafli als een “geniaal wiskundige”(mijn cursivering) zal men ook niet gauw terugvinden in een wetenschappelijk werk over deman en zijn onderzoek. Eerder dan Schlafli’s werk wereldkundig te maken, lijkt Krol de manop een voetstuk te willen plaatsen, en aan de kaak te stellen dat wiskundigen zo’n “geniaalwerk” uit het oog konden verliezen.

Dus gaat Krol dit goedmaken, en gaat Krol het in deze paragraaf over Schlafli hebben enons misschien zelfs iets over zijn werk leren — niet, dus. Want de tweede alinea begint alsvolgt (1967: 7):

Een tweede manier om het gebied van de drie-dimensionale ruimte uit te breidenis: een eigenschap weglaten waardoor deze ruimte werd bepaald, het evenwijdig-heidsaxioma. We treden dan in de projectieve ruimte, hetgeen is: de euclidischeruimte vermeerderd met het oog.

Ook verder in de roman komt Schlafli niet meer ter sprake. Met andere woorden: Krolgebruikt Schlafli als welgekomen opstapje, en maakt gretig van de situatie gebruik om de manuit de vergeethoek te halen.

In de aanhef van de tweede alinea worden we opnieuw overvallen met een aantal technischetermen, waarbij Krol niet de minste moeite doet om te vertellen wat het (toch niet zo evidente)evenwijdigheidsaxioma is. Meer nog: op p. 8 heeft hij het over het “paralellenaxioma” (sic)en gaat hij er blijkbaar verder van uit dat iedereen wel weet dat dat een andere naam voorhetzelfde axioma is.

Wat echter nog meer in het oog springt, is Krols definitie van een projectieve ruimte: “deeuclidische ruimte vermeerderd met het oog”. Het is duidelijk dat deze definitie niet strikt wis-kundig is: externe elementen zoals een oog, kunnen in de wiskunde nooit een rol spelen. Krolgebruikt deze alternatieve formulering omdat die hem nu eenmaal in deze context uitkomt; ditboek gaat immers over “de mogelijkheden die de wiskunde biedt aan een mens zich verstaan-baar te maken, zich op een heldere wijze uit te drukken aangaande de dingen die men ziet,maar ook aangaande de dingen die men niet ziet.” (1967: 5). De wisselwerking tussen mensen wiskunde staat dus centraal, waarbij wiskunde begrepen wordt als een communicatiemiddeltussen mensen. Dat een centrale rol in de meetkunde dan ook weggelegd is voor het oog, lijktuit die optiek niet gek: we zien als mensen immers niet oneindig ver en we zien alles in eenbepaald perspectief. Wat ver van ons af staat, nemen we kleiner waar dan het is. En “twee


lijnen die in de verte bij elkaar komen zijn evenwijdig” (1967: 7-8) is een uitspraak die kan1

waar zijn uit menselijk standpunt, maar die duidelijk niet kan verwijzen naar de Euklidischemeetkunde. Niet alleen omwille van het snijden van twee parallelle rechten, maar ook al omdat“in de verte” daar geen vastomlijnde betekenis heeft.

Met andere woorden: de beperkingen van ons oog maken dat wat wij zien niet doorEuklidische meetkunde te vatten is, maar wel door hyperbolische meetkunde. “Door elk puntzijn er dan twee lijnen te trekken evenwijdig aan een gegeven lijn,” (1967: 8) vertelt Krolons over de hyperbolische meetkunde, iets wat hij illustreert aan de hand van twee figuren.Maar veel meer uitleg krijgen we daar alweer niet over; het ligt niet in Krols bedoeling eenniet-Euklidische meetkundes voor dummies te schrijven. De hyperbolische meetkunde is eentool die hij nodig heeft om het hoe van de menselijke perceptie te kunnen beschrijven, maardaar blijft het bij. Een kleine duiding van wat hyperbolische meetkunde ongeveer is, moetvolstaan om te weten waarover Krol het heeft.

Wat hierbij opvalt, is dat Krol wel de volgende toevoeging maakt:

Toen in het begin van de negentiende eeuw de Hongaar Bolyai in Boedapest, ente dierzelfder tijd, 2000 km daarvandaan, in Kazan, de Rus Lobatsjewski de niet-euclidische meetkunde ontdekten, had Gauss deze ontdekking al geruime tijd inzijn bureaula liggen.

Een toevoeging waar op het eerste zicht niemand iets aan heeft. Of misschien moeten wezeggen: waar iedereen iets aan heeft. Want hier leren we iets uit: wiskundige ‘ontdekkingen’2

worden vaak meerdere keren tegelijkertijd gedaan. En geheel terloops hebben we nog maareens gehoord hoe geniaal en ook bescheiden Gauss wel niet is: hij wist dat zelf natuurlijkallang, maar wou blijkbaar niet (nog eens) met de eer gaan lopen. In ieder geval behoort dittot het soort opmerkingen dat we eerder denken terug te vinden in een geschiedenis van dewiskunde dan in een cursus wiskunde.

Dat laatste schrijft Krol met deze roman dus duidelijk niet; integendeel, enige voorkenniswaar het ongeveer over gaat is zelfs haast noodzakelijk. Krol merkt zelf in zijn inleiding op (p.5): “Dit boek is de uitwerking van notities die ik aanvankelijk slechts ter mijner gerieve schreef.”En dat verklaart veel: eerder dan voor iemand schrijft Krol misschien wel over iemand, namelijkover zichzelf en zijn zoektocht. Het ligt dan voor de hand dat voornamelijk de gelijkgestemdedit boek zal lezen, en zo’n lezer zal weinig behoefte hebben aan verduidelijkingen van technischetermen.

Die gelijkgestemde kan zelf op het eerste zicht zowel wiskundige als taalkundige als beidezijn; herinneren we ons dat Krol wiskunde hier beschouwt als taal. Heel wat passages in hetboek laten zich inderdaad zo lezen. Er zijn de verhalende passages, die er voor zorgen datdit boek nog steeds een roman is en geen filosofisch essay. De tweedeling tussen beide valtzeer sterk op: de meeste paragrafen zijn of beschouwend, of vertellend. De zopas besproken§00 is duidelijk beschouwend; pakweg §01 en §02 zijn zonder meer vertellingen. Maar hoeweldeze tweedeling paragraaf per paragraaf duidelijk is, wil dat niet zeggen dat Krol geen kruis-bestuivingen toelaat. We zagen al dat Krol enkele malen anekdotische informatie meegaf in

1Maar niet steeds moet: Krol is niet rigoureus in zijn definitie, wat een wiskundige (idealiter) wel zou zijn.2Hiermee gebruik ik Krols terminologie, die op het eerste zicht platonisch overkomt. Nochtans is Krol het

wiskundig platonisme (hoogstwaarschijnlijk) nooit erg genegen geweest; iets waar we op terugkomen in sectie6.2. De reden waarom Krol hier dan toch de termen ‘ontdekken’ en ‘ontdekking’ gebruikt, mogen we danook niet zien in een strikt filosofisch kader. Doorheen zijn werk springt Krol wel vaker nogal slordig om metterminologie. We komen daar later nog kort op terug; voorlopig volstaat het op te merken dat iedereen weldoorheeft wat Krol wil zeggen.


§00; denken we bijvoorbeeld aan Gauss en wat hij in zijn bureaula klaarliggen had. Omgekeerdlezen we in §02 over Evelyn, een vriendin van GK (1967: 11):

‘Ca va,’ zei ze [=Evelyn, SC], toen ik haar vroeg hoe het ermee ging. Ca va en datglimlachje, alsof ze zich verontschuldigde voor dit antwoord. Van de weeromstuitbegon ik mezef te verontschuldigen, maar ik kon het toch niet voor me houden:de doorsnede van een volledig vijfvlak geeft de 103 configuratie van Desargues.

Krol weert dus geen wiskundige elementen in verhalende tekst.Maar dit brengt minder schade toe aan de tweedeling der paragrafen dan men op het eerste

zicht zou zeggen. Ten eerste zijn de anekdotische elementen in de beschouwende paragrafenvaak historische anekdotes over het hoe en het waarom van het tot stand komen van eenstelling of een ontdekking die Krol daar aanhaalt. Ten tweede haalt Krol soms wiskunde aanin (schijnbaar autobiografische) verhalende stukken, maar die stukken zijn niet beschouwendin de zin dat ze niet de bedoeling hebben een stelling te helpen onderbouwen. Slechts in eendrietal paragrafen lopen beide toch in mekaar over.

Op beschouwende passages in Het gemillimeterde hoofd zullen we verder zo goed als nietmeer terugkomen. In wat volgt zullen we eerst en vooral wiskundige passages uit de verhalendeparagrafen van Het gemillimeterde hoofd halen, om na te gaan wat hun functie in het verhaalprecies is. In de sectie nadien bekijken we de weinige paragrafen die zowel verhalend alsbeschouwend zijn.

2.2.2 Wiskundige elementen in verhalende tekst

Reeds in De rokken van Joy Scheepmaker , nochtans onbetwistbaar een verhalende roman,vonden we drie verwijzingen naar wiskunde: een toevallige randopmerking die op het eerstezicht net zo goed zou kunnen zijn weggelaten (over de formule a2+b2 = (a+b)2); eens als ver-gelijking (tussen een kogelvanger en een trapezium) en een derde maal opnieuw een zijdelingseverwijzing, waarbij Kraus met zijn kunnen tracht een meisje te versieren. Opvallend genoeghebben we ook in Het gemillimeterde hoofd al een passage besproken waar de hoofdpersoonzijn wiskundige kennis aan een meisje uitstalt: de passage uit §02. Zijn er ook voorbeelden vanrandopmerkingen en vergelijkingen in de verhalende passages van Het gemillimeterde hoofdterug te vinden?

Wiskundige randopmerkingen

Die zijn er zeker. Als GK Sybrandy voor de eerste keer ontmoet, vermeldt hij dat hij “sommenzat te maken” (p. 10), iets waar verder niet meer aan gerefereerd wordt. Op p. 34 krijgen wete horen dat GK Marie tijdens een bezoekje de vierkantsvergelijking uitlegt, en op p. 36 merkthij over zichzelf op dat hij in een andere tijd op een andere plaats misschien wel stadsrekenaargeworden was. Op p. 94, dan weer, heeft GK’s hospita het over Shell en Philips, volgenshaar allebei een “groot lichaam” (p. 94). “Lichaam. Ik denk bij een lichaam aan een ring dieonder vermenigvuldiging een groep is. Zo heeft ieder zijn eigen wereld” is GK’s reactie in zijngedachten daarop, iets wat verderop er uiteraard niet meer toe doet.

Wanneer GK’s vader een brief ontvangt die hem niet bevalt, lezen we (p. 117-8): “Hijscheurde het met op elkaar geperste lippen in 64 stukjes en liet de snippers in de prullenmandvallen”. Elke andere schrijver zou hier een spreekwoordelijke ‘honderd’ of ‘duizend’ stukjesgebruiken, maar Krol gebruikt 64, niet toevallig een macht van twee (64 = 26). Praktisch


gezien is het erg eenvoudig (namelijk door zes keer doormidden te scheuren en de stukkenpapier weer op elkaar te leggen) om een papier in 64 te scheuren; in (exact) honderd ofduizend stukken is veel lastiger. Uiteraard gebruiken we ‘honderd’ of ‘duizend’ metaforisch;net zoals in het vorige voorbeeld, over het lichaam, komt Krols gedrag als haast obsessief over.

In elk van deze gevallen schijnt de verwijzing naar wiskunde op weinig meer te duiden danop het feit dat de schrijver (soms haast overdreven) door wiskunde gebeten is. Daarbij gaik er van uit dat voor Krol dergelijke verwijzingen niet functioneel zijn, behalve het feit dathun veelvuldige voorkomen de lezer wel iets leert over Krol. Maar in elk van deze gevallenzou de verhaallijn zelf op geen enkele manier geschonden worden door het weglaten van dezepassages.

Nochtans zijn sommige van die passages niet volledig onschuldig. Bekijken we bijvoorbeeldde aanhef van §15:

Zaterdag. Ach, hoe men toch door de duisternis heen weer tot het licht komt. Dehele middag zitten rekenen en zie, het is aangetoond: de drie punten A, B en Cliggen op een lijn.

Als vanaf hier het verhaal weer opgepikt wordt, kan men veronderstellen dat deze randop-merking er alweer niet veel toe deed. Maar wie verder leest, krijgt deze zinnen voorgeschoteld:

Ik was er dermate mee in mijn nopjes, dat ik de straat op ben gegaan, de windwaaide en ik was weer een vrij mens. Boekenwinkel ingegaan, een ila, meer om hetmeisje dan om de boeken. Wat zag ze d’r weer leuk uit, pony over het voorhoofd,en die grote blauwe ogen. . .

Deze keer had het gebruik van wiskunde in deze passage wel degelijk zin: om te verklarenwaarom GK zo blij is. Dankzij al wat we voor deze paragraaf gelezen hebben, kunnen we onsimmers goed voorstellen dat GK blij wordt wanneer hij een wiskundig bewijs vindt, en pastzo’n vondst perfect binnen de beschrijving van een mooie dag. In die zin kan in deze passagede wiskundeverwijzing niet zomaar weggelaten worden, zonder tenminste enige schade toe tebrengen aan de verhaallijn.

Vergelijkingen met wiskundige concepten

Net als in De rokken van Joy Scheepmaker bedient Krol zich ook in Het gemillimeterde hoofdweer van wiskunde om vergelijkingen te maken.

Zo beschrijft Krol in §50 hoe GK voor de eerste maal door Londen loopt. GK is sterk onderde indruk, en we krijgen onder andere mee dat (p.65-6): “je denkt dat je een film ziet en methet linkse verkeer is het een film die achteruit draait.” Krol vergelijkt hier het verkeer nietrechtstreeks met een wiskundig concept, maar zijn gedachten zijn hier duidelijk wel wiskundiggeınspireerd.

Een andere keer is de vergelijking wel direct merkbaar. In §83 hebben zijn collega Bosmaen GK een probleem. Ze begrijpen allebei heel goed hoe bepaalde computerprogramma’swerken — ze werken beiden als programmeur. Maar, hoe overduidelijk alles ook voor hunzelfis, ze kunnen het niet communiceren, zelfs niet met elkaar. Als GK bijvoorbeeld een nieuwprogramma geschreven heeft, lezen we (p. 134):

Bosma moest weten hoe het werkte. ‘Heel eenvoudig,’ zei ik. Ik legde het hemuit, met mijn handen tekeningen in de lucht makend. Hij begreep het niet. Ik ook


niet. Ik had met de machine gepraat en ik kon het niet vertalen. Ik nam Bosmaten slotte naar de machine, liet het programma snorren, de beeldbuizen flikkerenen daarin kon hij zien gebeuren wat ik hem niet meedelen kon.

Het bedrijf waar ze voor werken krijgt het programma zelfs niet verkocht aan derden,omdat GK en Bosma aan eventuele kopers niet uitgelegd krijgen waarom het programma nueigenlijk zo fantastisch is (p. 135). En dan maakt Krol een vergelijking met de wiskunde, meerbepaald met de analyse (p. 135-6):

Als iemand een wiskundig artikel leest moet hij eerst weten waar het over gaat.Iemand die bij voorbeeld functietheorie studeert en zich niet bekommert om debetekenis van begrippen als ‘pool’, ‘functie’, enz., als hij alleen maar naar deformules kijkt, ze substitueert en afleidt kan hij in een middag bekend zijn met dehele functietheorie, maar hij kan deze theorie niet inpassen in zijn wereld, want hijweet niet wat het betekent, hij weet niets. Omgekeerd moet iemand die een nieuwefunctie heeft gevonden ervoor zorgen dat hij dit aan zijn collega’s kan meedelen ineen notatie die men voor dat soort functies aanhoudt. De wiskunde is een taal.Wij, Bosma en ik, slaagden er niet in elkaar duidelijk te maken wat wij, steedsweer, zo duidelijk in de machine zagen gebeuren.

Zijn er in Het gemillimeterde hoofd nog andere manieren waarop Krol wiskunde in verha-lende tekst verwerkt? Jazeker; Krol gebruikt wiskunde in deze roman op heel wat meer wijzendan hij in De rokken van Joy Scheepmaker al deed.

Wiskundig denken en doen

In tegenstelling tot in De rokken van Joy Scheepmaker , is wiskunde in Het gemillimeterdehoofd vaak prominent aanwezig als belangrijk element in een bepaalde verhaallijn (binnen eenverhalende paragraaf). Zo bedenkt GK (of Krol?) in §17 een wiskundige (!!) manier om uitte rekenen wat op relationeel vlak de beste aller werelden moet zijn. Welke vrouw moet metwelke man een relatie aangaan, opdat het totale geluk zo groot mogelijk zij? GK schrijft danook effectief een programma om dit te berekenen en laat alle collega’s al hun collega’s van hetandere geslacht punten geven. Maar het boontje van deze utilitaristische zienswijze komt omhaar loontje:

Wat mij bovendien verbaasde was dat ik Agnes kreeg en niet Evelyn. Evelyn, methaar figuur, was voor Bosma, die slechts voor 25% met haar tevreden kon zijn,maar die alle andere vrouwtjes een nul gegeven had en ik kreeg dus Agnes, als eenkaartje dat door een machine, waarop je je laat wegen, wordt uitgeworpen en datbehalve je gewicht je toekomst geeft. Zo zit ik nu met de uitkomsten van mijnkoppelingsprobleem en ik geloof er in.

Waarbij vooral opvalt dat GK (en dus Krol?) beweert te blijven geloven in zijn systeem.Zuiverder komen de wiskundigen niet.

Soms laat Krol er zich dus toe verleiden om zaken te herleiden tot wiskunde, terwijl datop het eerste zicht onmogelijk of onwenselijk is. Een ander voorbeeld daarvan vinden we terugin §38. Wanneer Marie GK in deze paragraaf vertelt dat liefde volgens haar “eenvoudig tweehuiden tegen elkaar” zijn, gaat hij daar iets verder op door (p. 48-9):


De stelling had van mij kunnen zijn. [. . . ] en er is slechts een lichaam dat aan hunsamenzijn deelneemt: de ruimte tussen hen in. Of, waar deze ruimte nul is, hetgebied waar ze elkaar raken, dus het lichaam dat zij gemeen hebben - daar begintde liefde. Zo heb ik het, toen ik naar huis ging, bedacht: dat de liefde datgeneis wat twee mensen gemeen hebben, het gebied waarvan de objectieve waarnemerniet meer kan zeggen of het behoort tot het ene of tot het andere lichaam.

Ook hier tracht Krol met wiskundige concepten niet-wiskundige feiten te verklaren. Hoewel.Aan het einde van deze paragraaf houdt Krol de erg wiskundige stijl wel aan — hij spreektdaar over twee geliefden als over “mens A” en “vrouw B” (sic; p. 47) — maar rondt af met:“[. . . ] een vrouw B die hem [=mens A, SC] gadeslaat hem ziet als. . . A, en dat verschijnsel,dat twee wezens elkaar in de gaten krijgen, dat noem ik liefde en dan zijn de huiden allangtegen elkaar. Al lang.” (p. 49) Enerzijds schijnt Krol hiermee te willen aantonen dat zijn (enbij uitbreiding ‘om het even welke’) ‘wiskundige definitie’ voor het begrip liefde niet werkt;anderzijds, een beetje paradoxaal, toont hij dit juist op wiskundige manier aan!

Wiskunde studeren

Doorheen het werk van Krol blijft het opvallen hoeveel, meestal falende, studenten wiskundeer op de voorgrond treden, en hoe vaak historische of verzonnen wiskundigen (of logici) een(hoofd)rol toebedeeld krijgen.3 We komen daar later op terug, maar we overlopen nu enkeleparagrafen uit Het gemillimeterde hoofd waarin Krol het zeer expliciet over de wiskundestudievan GK heeft.

In §57 vertelt GK ons dat hij na zijn diensttijd een universitaire studie wiskunde aanvatte.We krijgen daarbij een overzicht van welke vakken hij zo al volgde, en komen te weten dat hijerg vlijtig was: zo las hij “de Grote Werken, dag en nacht” (p. 81) en ging hij zelfs al op zoeknaar een onderwerp voor zijn dissertatie.4 Alle vlijt ten spijt, realiseert GK zich op een dag dathij wel veel leest, maar er eigenlijk niets van opsteekt. “Diep ongelukkig keerde ik terug naarmijn kamer.” (p. 81). Waarna GK besluit een poos met zijn handen te gaan werken.

Maar in §68 keert het tij nogmaals: “Intussen kan ik het grote nieuws mededelen: ik gaweer college lopen, de beslissing is gevallen. Vanmiddag de eerste les bijgewoond. Niet inGroningen, maar hier, in Amsterdam.” (p. 101). Hij geeft ons zelfs mee dat hij een schemavan de permutatiegroep S4 in z’n kamer heeft opgehangen, en dat hij voortdurend nieuweverbanden vindt.5 En we lezen: “De colleges van Heyting zijn een belevenis.” (p. 101).Heyting is een beroemd wiskundige, onder meer bekend van het intuıtionisme, een stromingbinnen de filosofie van de wiskunde. Krol beschrijft diens lessen en besluit met: “De wiskundeis een methode onze voorstellingen te doen wennen aan het onmogelijke en daarin te geloven,want het wordt bewezen.” (p. 102; cursivering in origineel).

In §73 verhaalt GK ons over zijn verhouding met Marie, waar blijkbaar iets is foutgelopen.GK beklaagt zich dat hij haar nooit meer over zichzelf heeft verteld. Deze paragraaf eindigtmet deze alinea (p. 113-114):

(Wat ook een idioterie om elke keer weer een collegekaart te kopen, naar deRoeterstraat [sic] te fietsen en de zaterdagmiddag sommen zitten maken, het heeftgeen einde. Het heeft ook nergens een begin gehad: ik kom er niet achter wat

3Zie hiervoor onder meer Zuiderent 2010: 324-5; ik kom hier ook zelf op terug in sectie 4.5.1.4Voor de relevante passages: zie bijlage A, punt 47.5Voor de relevante passages: zie bijlage A, punt 52.


ik aan het doen ben. Van de hele wiskunde weet ik geen flikker af. Het enigewat ik na al die jaren van studie heb verworven is enig inzicht in de stelling vanDesargues, in de bewijzen ervan en de zekerheid dat ik, wil ik mijn studie naar eeren geweten uitvoeren, nooit verder zal komen dan deze stelling van Desargues.)

Waarmee er definitief een einde lijkt te komen aan GK’s plannen om zijn wiskundestudienetjes af te ronden.

Deze verhaallijn kan men moeilijk wegcijferen. Het gaat duidelijk niet om ‘opmerkingenterzijde’; daarvoor zijn de scenes te lang en vertellen ze ons teveel over GK’s (en zelfs Krols?)leven en wat hem drijft. Zo komen we op p. 81 (§57) te weten dat hij eigenlijk al een onderwerpvoor zijn dissertatie achter de kiezen heeft: “de meerduidigheid in de taal.” Hoewel hij nooitzover geraakt is om die dissertatie te schrijven als student, heeft de lezer wel letterlijk hetresultaat van deze drang tot onderzoek in handen: de meerduidigheid in de taal is, althanstoch volgens GK, net het onderwerp van Het gemillimeterde hoofd!

Schrijven op wiskundige wijze

In §15 stelt GK zich de vraag hoe zijn buurmeisje, die een abortus achter de rug heeft, ooitnog kan lachen. Niets wiskundig aan, zou men zeggen, tot GK zijn intentie duidelijk maakt tewillen bewijzen hoe dat komt (p. 22):

Ik heb eens een verhaal geschreven, dat de omvang had van een roman, maar hetwas geen roman, het was een gedachte, 240 bladzijden lang, het was een bewijs.[. . . ] Dit was de opgave die ik wilde oplossen: hoe kan zo’n meisje nog lachen.

In dat verhaal, dat Krol ons hier bondig samenvat, wordt het meisje publiekelijk ten schandegemaakt. Krol besluit: “Einde. Het bewijs was geleverd, het kwade was openbaar en watopenbaar is is goed.” Erg opvallend in deze passage zijn de wiskundige termen die Krolgebruikt: bewijs, opgave, “Het bewijs was geleverd”, haast hetzelfde als qed.

Dit is een voorbeeld van een “verhaal dat de vorm van een wiskundig bewijs krijgt”, omnogmaals met Vervaeck (2007: 29) te spreken. Omdat een dergelijke passage volgens hetschema van Vervaeck “niet alleen een verticale sprong, maar ook een diagonale beweging”(Vervaeck 2007: 29) behelst, is dat een wel erg wilde sprong.

Ook in de technische passages van Het gemillimeterde hoofd zal Krol soms onnodig eenduidelijk wiskundige manier van schrijven aanhouden. Zo beschouwt Krol in §34 deze figuurvan Escher:

Figuur 2.1: Krols figuur 10, op p. 43 in Het gemillimeterde hoofd .

Krol vertelt ons over deze tekening (1967: 43-4):


De kubus, waarvan zich het principe van de onmogelijkheid het beste laat bekijken(fig. 10) wordt tegelijk van rechtsboven en van linksonder bekeken, voorkant enachterkant in een oogopslag. Men stelle zich die beide ogen voor. Dat moet eenoneindig groot wezen zijn. We brengen nu die ogen bij elkaar door de ene helftvan het heelal een slag te draaien, dan zien die ogen, nu naast elkaar geplaatst,hetzelfde. We kunnen ook de andere helft een slag draaien, het blijft een afbeel-ding van twee werelden waarvan eerst de ene en dan de andere bekeken moetenworden. Maar waar die werelden aan elkaar zitten gaan ze (die halve draai) doorhet oneindige.

De manier waarop Krol deze passage formuleert, komt haast weggelopen uit een cursuswiskunde. Een zinssnede als “men stelle zich die beide ogen voor” zou vormelijk perfectkunnen voorkomen als eerste zin van een wiskundig bewijs (let bijvoorbeeld op het gebruik vande aanvoegende wijs!). “Dat moet een oneindig groot wezen zijn” is dan een eerste conclusie,waar je in de rest van het bewijs kunt (en zal) op terugbogen. Ter afsluiting van de paragraafzou een qed dan ook helemaal niet misstaan.

Tenslotte moeten we nog opmerken dat Krol in deze roman voor het eerst wiskundigesymbolen in lopende verhalende tekst gebruikt: we krijgen een /=-teken op p. 48, op p. 60 lezenwe “Een mens = een dier + het woord”, en op p. 74 een +-teken.

2.2.3 De eerste pogingen tot versmelting

Uit het voorgaande is duidelijk gebleken dat we, in Vervaecks terminologie, het inderdaad over“wilde sprongen” mogen hebben. Er blijft daarbij een erg scherpe snijlijn tussen beschouwendepassages in het werk, en verhalende stukken: een enkele uitzondering niet te na gesproken,kunnen we over elke paragraaf zeggen tot welke familie hij behoort. De drie opvallendsteuitzonderingen zullen we hier kort van naderbij bekijken.

Een eenvoudige manier om binnen het bestek van een paragraaf een erg wilde sprong temaken, is in de paragraaf zelf over te springen van verhalende naar beschouwende passage ofomgekeerd. Zo begint §30 onbetwistbaar als verhalende paragraaf, maar worden we op heteinde overvallen met dit stukje (p. 37):

0.30 uur. Gelezen: opstellen van Kurt Godel. Alles kunnen we gebruiken. Elkestelling brengt uitspraken voort waarvan op grond van deze stelling niet kan wordenbeslist of ze waar zijn of niet. Elke stelling heeft een gat. Het is zijn kern. Weereen onderwerp voor dissertatie.

We hebben dus een sprong van verhalende naar beschouwende passage, terwijl daar nietde minste aanleiding toe was. Ook het omgekeerde komt voor: zo is §51 een technischeparagraaf die voornamelijk handelt over snijpunten. Krol gaat daarbij de metafysische toer open beweert het volgende: “We hebben onze zichtbare wereld, met zijn gaten, afgebeeld op eenwereld zonder gat, een formele wereld waarin alles bestaat [. . . ]” (p. 69). De laatste alineavan deze paragraaf begint met de zin “De dingen hebben hun verband.” (p. 69). Men denktdan nog steeds aan de wiskunde waar Krol het net over had, en is dus enigzins verrast doorhet vervolg en slot van de alinea (p. 69-70):

Mijn leven op deze kamer en het leven van Evelyn op haar kamer, onze levenshebben zeker een verband met elkaar. Wat dat is, niemand weet ’t, maar het


heeft met elkaar te maken. Ergens, in een andere wereld, ligt het verband voor hetgrijpen en er moet zelfs een wereld wezen waar zij en ik precies dezelfde persoonzijn.

Opvallend genoeg is er deze keer, in tegenstelling tot in §30, wel een voor de hand liggendereden om over te springen van beschouwend naar verhalend stuk: eens te meer lijkt Krol ervanovertuigd dat hij wiskundige ideeen rechtstreeks op de wereld kan transponeren.

Maar misschien een van de mooiste paragrafen van het boek, en zeker de paragraaf waarde overgang van verhalend naar beschouwend het zachtst en meest gerechtvaardigd gebeurt,is §09 (p. 16; cursivering in origineel. Integrale inhoud):

Het is alweer vier jaar geleden. Dinsdagmorgen, half tien. Professor R. heeft juisteen bewijs voltooid, hij heeft laten zien: a → b. Het hele bord is volgeschrevenen hij staat terzijde, het gezicht naar ons gericht en hij hipt op zijn tenen vangenoegen. ‘Dat was een bewijs op het nippertje’ zegt hij. Dat gevoel had ik ook,maar ik kon zijn enthousiasme niet delen. Ik vond het helemaal geen bewijs . Watik wilde zien was een bewijs dat door dik en dun ging en mij in een keer, als hetware machinaal, liet zien dat a b tot gevolg had.

Nu weet ik dat dit onmogelijk is. Elk bewijs kan door een machine geleverd worden.De machine bewijst zelfs dingen die niet kunnen, die onmogelijk zijn. De machinebewijst ons dat (a + b)2 = a2 + b2. Dat is fout, maar dit is alleen fout als wedenken dat a en b getallen zijn. Als a en b vectoren zijn die loodrecht op elkaarstaan, vinden we de stelling van Pythagoras beschreven. Bij elke formule is eenafbeelding te vinden in de werkelijkheid die deze formule waar maakt. De waarheidvan een stelling bewijzen we alleen met behulp van de aanschouwelijkheid. En nubegrijp ik ook de geestdrift van Prof. R. Het machinale bewijs dat mij voor ogenstond, toen, is een onding. Het heeft geen inhoud, het heeft per definitie geeninhoud, het kan dus niet begrepen worden.

(Terloops kunnen we opmerken dat, net zoals in De rokken van Joy Scheepmaker , Krolhier weer refereert aan de formule a2 + b2 = (a + b)2, en deze keer met iets meer uitleg. Wekomen hierop terug op p. 23.)

Wat deze paragraaf zo uniek maakt, is onder meer wat je ‘wiskundige menselijkheid’ zoukunnen noemen: de professor die duidelijk geniet van het feit dat een bewijs dat een hele tijdonhaalbaar leek, het uiteindelijk toch gehaald heeft. Elke wiskundige zal dit gevoel herkennen,net zoals velen onder hen ook GK’s gevoel zullen herkennen: bewijzen die door dik en dun gaan,zijn misschien wel de krachtigste die er bestaan.6 Volgens mij vinden we hier de grondslag

6Men zou kunnen opmerken dat dit vanuit strikt logisch oogpunt nergens op slaat. Maar wiskundige bewijzenzijn zeer zelden (zoniet nooit) teruggebracht tot een zuivere formeel-logische grondvorm. Zo lezen we in JeanPaul Van Bendegems Over wat ik nog wil schrijven (2008: 229-230):

Mathematici redeneren op een mathematische wijze, niet op een streng logische wijze, al was hetmaar omwille van het simpele feit dat een wiskundig bewijs, indien volgens de regels van het spelexact uitgeschreven, de neiging heeft te verduizendvoudigen in lengte (ik overdrijf niet! [. . . ].)

Om hier een persoonlijke anekdote bij te vertellen: toen ik in juli 2011 per email feedback kreeg op mijn examenComplexe Analyse, gaf professor Hans Vernaeve op een van mijn antwoorden woordelijk dit commentaar: “deuitleg waarom de contourintegraal van 1/z over een cirkelboog zich herleidt tot i arg z was nogal intuıtief (envolgens mij twijfelachtig)”. Let op de woorden volgens mij en twijfelachtig, wat zeker niet hetzelfde is als onjuist.Als het er op aankomt is de wijdvermaarde wiskundige zekerheid dus soms wel net iets verder te zoeken.


voor wat zo kenmerkend zal worden voor Krols latere werk: het verhalen over wiskunde enwiskundige schoonheid, de vreugde die daarmee vaak gepaard gaat, of de onmacht die er somsdoor opgeroepen wordt. Denken we bijvoorbeeld aan Rondo Veneziano, waar de onmacht omhet vermoeden van Riemann te bewijzen, uiteindelijk zelfs omslaat in de uitzinnige vreugdevan het vinden van een schitterende conjunctie die het probleem oplost.7 Dat laatste weliswaarin negatieve zin, maar wat doet dat ertoe voor de echte wiskundige?8

Ook Krol zelf wil waarschijnlijk in 1967 al zo kunnen schrijven; getuige daarvan het fragmentin het volgende onderdeeltje.

Wat Krol wil, maar (nog!) niet kan

Op p. 94-95 vertelt GK (Krol?) ons namelijk meer over wat hij voor Het gemillimeterde hoofdal wel niet allemaal geschreven heeft:

Een verhaal over computers. Ik, met mijn exacte natuur, moet goed zijn voor eensience fiction verhaal [sic]. Ik heb hier vaak over nagedacht, computers, robots,ik weet er per slot wel iets van. Maar ik kom nooit verder dan Agnes die meteen scheef hoofd haar programmeerpapier afvloeit en zegt: ‘ik geloof dat ik weervlechtjes wil.’ Elke keer als ik over computers wil schrijven kom ik uit bij Agnes diehaar papier afvloeit. Ik heb geen fantasie. Ik heb ’s een verhaal willen beschrijvenover een parabool. Omdat een parabool de kegelsnede is die de rechte op oneindigraakt. Hij schiet er niet overheen, want dan zou het een hyperbool zijn, nee,precies in het oneindige keert hij om en dat zou dan een verhaal moeten worden,maar het is hiermee al verteld.

Waarmee Krol een zeer belangrijk punt aanhaalt: literaire verhalen schrijven waarin nietmensen, maar wiskundige concepten de hoofdrol spelen, is inderdaad zeer moeilijk, en zo goedals niemand gegeven. Nochtans zal Krol zelf hierin net heel erg groeien doorheen de jaren.Om nogmaals terug te grijpen naar de passage aan het einde van zijn Rondo Veneziano: die isheel wat meer dan een (mogelijke) wiskundige bewering ‘het eerste (dit wil zeggen, het dichtstliggend bij nul) niet-triviale nulpunt van de zeta-functie dat niet op de as Re(z) = 1

2 ligt, heeftals imaginair deel het getal van Skewes.’

Krol besluit dan ook: “Ik ben geen kunstenaar. Ik zal het ook nooit worden.” (p. 95),waaruit we enkel kunnen besluiten dat hij geen goed visionair is.

2.3 Terugblik

2.3.1 De functie van wiskunde in verhalende tekst

We hebben zeven verschillende functies onderscheiden die wiskunde vervult in de verhalendepassages van Het gemillimeterde hoofd (en, zoals uit de eerste drie punten blijkt, van Derokken van Joy Scheepmaker):

7Zie bijlage A, punt 339.8Heel veel, zou men kunnen beargumenteren, want dat zou de ondergang betekenen voor een heel aantal

verhoopte stellingen uit de getaltheorie. Zo ziet de ψ-functie er minder elegant uit als de Riemann-hypothesegefalsifieerd wordt. Maar feit is wel dat elke wiskundige uitkijkt naar een oplossing voor het probleem, en latenwe niet vergeten dat Pipper een schitterende conjunctie ontdekt: de eerste dwarsligger van Riemann heeft alsimaginair deel het Getal van Skewes!

2.3. Terugblik 17

1. (Schijnbare) randopmerkingen. Vele zinnetjes (of zelfs zinsdelen) waar Krol wiskundeaanbrengt, kunnen zonder het verhaal enige schade aan te brengen, gewoon weggelatenworden. Denken we aan Kraus die in De rokken van Joy Scheepmaker een formule in zijnagenda noteert, of aan Sybrandy, die “sommen zat te maken”. Hierbij dient aangestiptte worden dat deze passages ons tot in de kleinste vezel van ons lichaam doen bewustworden van Krols interesse in en passie voor wiskunde. Dat mag eigenlijk al voor zichspreken in een werk als Het gemillimeterde hoofd , maar dit is niet altijd het geval (denkenwe bijvoorbeeld aan De rokken van Joy Scheepmaker en latere werken). In sommigegevallen kunnen we zelfs eerder gaan spreken van een obsessie, als Krol bijvoorbeeldhet woord lichaam niet meer neutraal kan opvatten, of het heeft over papiertjes in 64stukken scheuren.

Nochtans zijn niet alle randopmerkingen steeds even neutraal; sommigen kleuren hetverhaal heel duidelijk. Zo hebben we gezien dat het vinden van een bewijs een prachtigemanier is voor Krol om een mooie dag te beschrijven.

2. Vergelijkingen met wiskunde. Als Krol beschrijvingen, feiten of gebeurtenissen nader wiltoelichten aan de hand van vergelijkingen, dan vormt de wiskunde voor hem daartoeeen prachtige tool omdat hij goed thuis is in de wiskunde. Sommige van die vergelijkin-gen zouden we ook kunnen katalogeren bij de ‘randopmerkingen’, bijvoorbeeld wanneerKrol een kogelvanger vergelijkt met een trapezium; andere vergelijkingen zijn echt welgeslaagd, tenminste, als we even goed thuis zijn in de wiskunde als Krol. Wie niets vanwiskundige analyse kent, heeft uiteraard niet veel aan Krols vergelijking tussen hoe jemet analyse kan omgaan en hoe je met programmeren kan omgaan.

3. Wiskunde brengt mensen dichterbij. Zowel in De rokken van Joy Scheepmaker als inHet gemillimeterde hoofd speelt wiskunde een rol als verleidingstruc; waarbij automatischde vraag naar boven komt of dit wel zo geslaagd is. Wiskunde als gemeenschappelijkeinteresse kan ook kennissen of vrienden dichter bij elkaar brengen, zoals uit latere romansvan Krol nog zal blijken. We kunnen ons hier de vraag stellen of de opmerkingen overSybrandy en de vierkantsvergelijking die Krol uitlegt aan Marie, niet in die optiek moetengezien worden. Eens te meer blijkt dat (schijnbare) randopmerkingen dit ook dikwijlszijn: schijnbaar.

4. Wiskundig denken en doen. Krol is vol van wiskundig denken — getuige (nogmaals)zijn reactie op het woordje lichaam en de 64 stukjes papier. Zijn denken is er blijkbaarzo van doordrongen, dat hij (of althans zijn romanpersonages) denkt (of denken) datwiskunde zo goed als overal praktisch toepasbaar is. Theoretisch gezien zijn die toe-passingen misschien wel goed gezien, maar als oplossing van bijvoorbeeld problemen uithet gevoelsleven van de mens, moeten we ons toch bedenkingen maken bij Krols haastobsessionele doorzetting van zijn ideeen. We hebben het dan natuurlijk onder meer overhet utilitaristische wie-te-koppelen-aan-wie-programma.

5. Wiskunde als belangrijke verhaallijn: wiskunde studeren. Het is, in tegenstelling totDe rokken van Joy Scheepmaker , onmogelijk om de wiskunde weg te denken uit Hetgemillimeterde hoofd . Dat is uiteraard zo in de technische paragrafen van het boek,maar zelfs de verhalende passages zouden een deel van hun waarde en inhoud verliezenmochten we de wiskunde er uitgooien. De meeste wiskundige stukken uit de verhalendeparagrafen staan nochtans los van de rode draad van het verhaal. Een belangrijke


uitzondering hierop vormen de verwijzingen naar de wiskundestudie van GK/Krol.9 Diewiskundestudie blijft in een groot deel van de roman (en van vele andere van Krolsromans) een belangrijke verhaallijn, en verwijzingen naar wiskundevakken, (beroemde)wiskundeproffen of verworven wiskundige inzichten zijn dan ook nooit ver te zoeken indeze passages.

In latere romans zal Krol er ook in slagen om op andere manieren een wiskundig conceptte verwerken als hoofdlijn in het verhaal, maar voorlopig is hij daar dus niet aan toe —en we zullen zien dat dat eventjes zo zal blijven.10

6. Schrijven op wiskundige wijze. Wie denkt dat de aanvoegende wijs in het Nederlandsuitgestorven is, opene eens een (Nederlandstalige) cursus wiskunde. Zo goed als elkbewijs in een ‘degelijke’ cursus wiskunde begint met een zin waarvan het hoofdwerkwoordin de aanvoegende wijs staat, iets wat in niet-wiskundig Nederlands hoogst ongebruikelijkis.11 Als Krol een zin schrijft als “Men stelle zich die beide ogen voor”, dan heeft hijinderdaad de intentie om op wiskundige wijze iets niet-wiskundigs te bewijzen.

Dit ‘wiskundig schrijven’ kent erg gevarieerde vormen: het gaat van verhalende tekstin de vorm van een formeel bewijs, over het ongewoon gebruik van typisch wiskundigetermen of formules in doorlopende tekst, tot het gebruik van wiskundige symbolen, zoals‘=’ om ‘is’ te omschrijven of door ‘+’ te gebruiken waar men ‘en’ of ‘met’ bedoelt.Merk hierbij op, en dat is zeker niet onbelangrijk, dat ook de structuur van het boeksterk geınspireerd is door de wiskunde: het begint bij §00 (en niet bij §1); Krol heefthet nadien over §01, §02, enz. . . (en niet over §1, §2,. . . ); en zo loopt het tot §99, metandere woorden: er zijn exact honderd paragrafen. Te mooi om toevallig te zijn.12

7. Beschouwende stukken. In Het gemillimeterde hoofd nemen de beschouwende stukkeneen erg belangrijke plaats in. Ze staan (althans vormelijk) geheel los van de verhaallijn enzijn dus niet literair omkaderd. Gooien we de verhalende stukken uit Het gemillimeterdehoofd weg, dan houden we gewoon een wiskundig essay over, zo lijkt het wel.

In latere hoofdstukken zullen we zien hoe deze zeven functies die we op het eerste zicht inKrols werk kunnen onderscheiden, verder evolueren, en of er eventueel bijkomen of wegvallen.

2.3.2 Een korte blik op de receptiegeschiedenis van Het gemillimeterde hoofd

Dat Het gemillimeterde hoofd een bijzondere roman is, zal wellicht niemand ontkennen. Het isook Krols enige roman die in vertaling is gepubliceerd, en wel in het Italiaans (Zuiderent 2010:307-8). Maar wie wou Krol eigenlijk bereiken met zijn roman, en is hij daar ook in geslaagd?

9Het verhaal over de wiskundestudie lijkt inderdaad grotendeels autobiografisch: zie, bijvoorbeeld, Zuiderent(2010): 325.

10De mogelijke opmerking dat Het gemillimeterde hoofd toch handelt over wiskunde als communicatiemiddelof over de afbeelding, doet hier weinig afbreuk aan. Beide komen niet prominent naar voren als rode draadof belangrijk element in het verhaal op zich (in zoverre je al kunt praten van een echte verhaallijn in Hetgemillimeterde hoofd).

11Dit verschijnsel is niet beperkt tot het Nederlands. Het kan zelfs straffer: is in het Nederlands de aanvoe-gende wijs hier en daar als versteende vorm nog terug te vinden, zo is de Oudgriekse imperatief derde persoonal eeuwenlang verdwenen zonder een spoor na te laten. Behalve nu net in de wiskunde, waar de oude Attischevorm ἔστω nog steeds gebruikelijk is.

12Ook dit was in De rokken van Joy Scheepmaker nog niet het geval: die roman telt tien ‘gewone’ hoofd-stukken.

2.3. Terugblik 19

Er is een bekend citaat van Krol, waarin hij zegt: “Ik wil dat mijn boeken zowel alpha alsbeta [sic] zijn. Ik wil een hele wereld beschrijven en niet een helft.” (1985: 41). Maar spijtiggenoeg stelt Krol vast dat Het gemillimeterde hoofd niet door zowel alfa’s als beta’s gesmaaktwordt. Wanneer hij het heeft over het verschijnen van Het gemillimeterde hoofd , merkt Krolhet volgende op (1985: 40):

Van de kant van mijn collega-schrijvers hebben mij vele betuigingen van bijvalbereikt, van de kant van mijn collega-wiskundigen geen enkele. Ik mag daaruitafleiden dat mijn ideeen over wiskunde meer een illusie waren dan mijn ideeen overhet schrijven. Toch zie ik tussen het ene en het andere weinig verschil. Ik geloofin beide. En de lezer die mijn boek leest ook.

Maar die lezer, wie is dat? Een alfa of een beta? Van de andere kant wierpen we aleens op dat het misschien correcter is te stellen dat Krol over zichzelf schrijft in plaats vanvoor iemand anders; de lezer is dan (enkel) Krols gelijkgestemde. Dat zou ook aansluitingvinden in de laatste twee zinnen van het pas aangehaalde citaat. Spijtig genoeg is het woord‘gelijkgestemde’ ongeveer het meest vage dat we ons kunnen bedenken; deze probleemstellingzal ons dan ook blijven bezighouden doorheen ons onderzoek.

Desalniettemin valt moeilijk te ontkennen dat Het gemillimeterde hoofd literair over ’talgemeen hoog angeslagen wordt (zo ontving Krol de Prozaprijs van de gemeente Amsterdamvoor dit boek),13 terwijl we voor reacties uit wiskundige hoek toch iets verder moeten gaanzoeken. Onbestaande zijn die echter niet (Bulte 1986: 17):

Via Hugo Brandt Corstius weten we dat HGH [=Het gemillimeterde hoofd , SC]bevriende wiskundigen tegenviel, omdat ze wiskunde verwachtten en ‘dus bevoor-oordeeld’ waren. Zelf las hij het, staande op het kruispunt tussen de literaire,de wiskundige en de taalfilosofische wereld, als literatuur; [. . . ]. Prof. Dr. HansFreudenthal kreeg ‘het boekje’ tot zijn verrassing ter bespreking voorgelegd. Hijveronderstelde niet alleen dat de ironie van de summary door de toezenders nietonderkend was, maar ook dat Hillenius en Mulder [die de commentaren op de ach-terflap van de roman geschreven hebben, SC] ‘er ingelopen’ waren. Zelf liet hij zichniet verleiden het ‘aanvallig mathematisch brabbeltaaltje’ te ontleden, en deeldemee dat er nog genoeg aardigs te beleven was voor de lezer die ‘de onbegrijpelijkewiskunde en de platvloerse filosofie’ oversloeg14.

Verder ontving Krol “uit de hoek van de — vooral Utrechtse — mathematici ook geregeldwaarderend en aanvullend commentaar” (Zuiderent 2010: 327); Zuiderent noemt met nameFrederik van der Blij en Dirk van Dalen. Maar feit blijft dat de aardschok die Het gemillimeterdehoofd in literair Nederland veroorzaakt heeft, geen evenknie had binnen de wiskundewereld.

Mogen we hieruit concluderen dat Het gemillimeterde hoofd zuiver tot de alfacultuurmag/moet gerekend worden? Ineke Bulte lijkt in haar artikel over Het gemillimeterde hoofd(Bulte 1986) te willen suggereren van wel; zij vindt dat Het gemillimeterde hoofd , inclusiefde inleiding, de Summary en de index (p. 18), als literatuur moeten gelezen worden (p. 17).Hoewel ze opmerkt dat de J.J.A. Mooij de literatuurcriticus Kees Fens ervan verzekerde datde wiskunde in Het gemillimeterde hoofd klopte (p. 17), merkt Bulte op dat dat eigenlijk geen

13Zuiderent 2010: 27014[Voetnoot van Ineke Bulte] Freudenthal in Wetenschap en Samenleving 21(1967), nr.3/4 (april/mei) 63-64.

[. . . ].


vereiste is als we Het gemillimeterde hoofd als roman lezen (p. 20). Dit laatste is een zeerinteressante opmerking van Bulte, die ons later nog van pas zal komen.

Heeft Krol als wiskundige als het ware gefaald? Literair Nederland verheerlijkt hem, maarde meeste wiskundigen zijn verre van overtuigd. Krol zelf beweert dat hij zowel alfa alsbeta wil zijn, maar spijtig genoeg hebben we in dit hoofdstuk moeten constateren dat hij beideweliswaar opneemt in Het gemillimeterde hoofd , maar er niet lijkt in te slagen ze te versmelten:we kunnen de paragrafen, meestal zonder veel problemen, indelen in typische alfa- of typischebeta-paragrafen. Als Krol dan wiskunde aanhaalt in de alfa-paragrafen, is er meestal desalsnogsprake van een bruuske overgang binnen de paragraaf zelf. Zelden slaagt hij er in de alfa enbeta letterlijk hand in hand te laten gaan.

Onder de keren dat hij daar wel in gelukt is, kunnen we misschien passages beschouwen alsdie met de 64 stukjes papier, hoe het vinden van een bewijs een dag mooier maakt of hoe eenprof hipt op zijn tenen van geluk als hij toch slaagt in iets dat voor lange tijd “op het randje”scheen te zijn. In elk van dergelijke passages wringt er niets tegen, laat de tekst zich lezen alseen verhaal en herkennen we typisch menselijke reacties. Dat die reacties op de een of anderemanier uitgelokt zijn door wiskunde, hoeft daarbij niet van belang te zijn. Maar anderzijdsgeldt voor al deze voorbeelden ook weer dat de wiskundige er meer zal aan hebben: zij of hijzal zich meer kunnen inleven in de vreugde, gepaard gaand met het vinden van een bewijs, enzal hartelijk lachen met Krols fijnzinnige mopje over de 64 stukjes papier. Of net heel ernstigreageren en denken: eindelijk iemand die het begrepen heeft!

Om na te gaan of Krol nu eigenlijk voor wiskundigen, voor literatuurliefhebbers of voor eencombinatie van de twee schrijft, zullen we in het volgende hoofdstuk onderzoeken of hij teneerste veel wiskundige kennis vooronderstelt, en ten tweede misschien zijn lezers iets probeertbij te brengen over wiskunde.

Hoofdstuk 3

Verondersteld gekend

Verhalend proza over wiskunde of wiskundigen is vrij zeldzaam. Daar waar het toch voorkomt,heeft het niet zelden als bedoeling om de lezer onder meer wat wiskunde bij te brengen. Voorromans zoals De stelling van de papegaai (Guedj 1999) is dit zelfs de enige bestaansreden:de lezer op creatieve manier wiskundige kennis aanreiken (in dit geval meer bepaald over degeschiedenis van de wiskunde). In andere romans — denken we aan Oom Petros en hetvermoeden van Goldbach (Doxiadis 2010) of zelfs aan een strip zoals Logicomix (Doxiadis2008) — leert de auteur ons (terzijde) iets bij over een bepaald wiskundig probleem of concepten zijn geschiedenis, terwijl het wel de bedoeling van de roman blijft om een verhaal te brengen,waar wiskunde op de een of andere manier een rol in speelt. In al deze gevallen is het bijnasteeds zo dat de auteur schrijft voor een breed publiek van niet-wiskundigen, en zal de schrijverzo goed als geen wiskundige voorkennis veronderstellen.

Het is dan ook een interessante vraag of ook Gerrit Krol ons in zijn romans eigenlijkiets tracht bij te leren over wiskunde. We zullen van dichtbij bekijken waar Krol dat eventueelprobeert, maar voor we daartoe overgaan, staan we stil bij de volgende vraag: welke voorkennisverwacht Krol van ons? Met andere woorden, gaat hij er, net zoals zijn meeste collega’s, vanuit dat zijn gemiddelde lezer zo goed als geen wiskundige achtergrond heeft? Dit kan onsimmers veel bijbrengen over de vraag voor welk publiek Krol eigenlijk wil schrijven.

Wat betreft Het gemillimeterde hoofd hebben we bij deze vraag al even stilgestaan (na-melijk in het begin van sectie 2.2.1), en onze conclusie daar was dat Krol weinig moeite doetom wiskundige termen uit te leggen. Althans in grote delen van Het gemillimeterde hoofd ,schijnt Krol dus tamelijk wat wiskundige voorkennis te vooronderstellen.

3.1 Dit had u moeten weten. . .

3.1.1 Wiskundige termen

Vijf jaar voordat Krols eerste roman verscheen, had hij al een kortverhaal met de naam TheGreat Pretender gepubliceerd in het Groniger studentenblad Der Clercke Cronike (2004a: 5).Ook in dit kortverhaal (in de heruitgave van 2004 amper zes en een halve bladzijde lang)vinden we tweemaal een wiskundige passage terug.1 De eerste hiervan, en dus de allereerstewiskundige passage in Krols gepubliceerde verhalen, gaat als volgt (1957, p. 7):

Haai ging terug naar zijn tafel, tekende op het papier de takken af van een smalle

1Beide passages zijn integraal terug te vinden in bijlage A.

21

22 Hoofdstuk 3. Verondersteld gekend

hyperbool. De kromme sloot zich hoe langer — hij tekende zorgvuldig — hoedichter aan haar asymptotenpaar zonder, althans voor eindige waarden, enig puntgemeen te hebben.

In dit korte stukje alleen al treffen we de wiskundige begrippen hyperbool, kromme, asymp-toot (“asymptotenaar”), eindig, waarde en punt. De vraag is in hoeverre Krol er mag van uitgaan dat de lezer deze woorden kent. Weinig mensen zullen last hebben met het woordje punthierboven, maar om het woord asymptoot te begrijpen, moet je toch wel al enige kennis vanwiskundige analyse hebben.

Doorheen zijn werk blijft Krol zulke termen gebruiken; nochtans verklaart hij ze lang nietaltijd. Als voorbeeld haal ik de verschillende kegelsneden aan, waar hij het vrij vaak over heeft.In zijn romans vermeldt Krol drie maal de term ‘kegelsnede(n)’2 zelf en twaalf keer de term‘ellips’,3 zonder deze termen ooit te verklaren. Daarnaast vermeldt Krol tweemaal de term‘hyperbool’4 en vijf keer de term ‘parabool’.5 De enige keer dat hij ons hier enige duiding bijgeeft is in deze passage uit Het gemillimeterde hoofd (1967: 94):

Ik heb ’s een verhaal willen beschrijven over een parabool. Omdat een paraboolde kegelsnede is die de rechte op oneindig raakt. Hij schiet er niet overheen, wantdan zou het een hyperbool zijn, nee, precies in het oneindige keert hij om en datzou dan een verhaal moeten worden, maar het is hiermee al verteld.

Erg verduidelijkend is deze passage niet echt. Krol geeft ons wel mee dat een parabooldie “kegelsnede is die de rechte op oneindig raakt”, maar wat een kegelsnede, een rechte en‘op oneindig raken’ zijn, daar heeft de niet-wiskundige het raden naar. Men moet dus eenfundamentele kennis wiskunde hebben om deze passage te begrijpen.

Andere keren geeft Krol wel degelijk een nadere toelichting van een gebruikte term. Zoheeft Krol het in 60000 uur (1998b: 68) over een functie. Bemerk dat hij het begrip ‘functie’niet uitgelegd heeft; wie niet weet wat een functie is, kan dus al niet meer volgen. Krol verteltons over die functie het volgende:

Is die functie continu (bestaat hij uit stukken rechte lijn), dan schaats je tijdenshet rekenen van de ene lijn omhoog naar de andere, tot je de top bereikt hebt, datis het optimum. De uitkomsten worden gebruikte voor het optimaliseren van eenraffinaderij.Is die functie niet continu (bestaat hij uit losse punten), dan moet je springen,maar je zult nooit weten wanneer je het optimum hebt bereikt.

Deze ‘definities’ zijn echter heel erg slordig, en eigenlijk zelfs onjuist. Een functie hoefthelemaal niet uit losse punten te bestaan om discontinu te zijn; en lang niet elke continuefunctie bestaat uit stukken rechte lijn. Dat weet Krol vast ook wel, maar het is hem hier

2Twee keer in Het gemillimeterde hoofd : eenmaal op p. 17 en eenmaal op p. 95; en een keer in RondoVeneziano, p. 155.

3Eenmaal in Het gemillimeterde hoofd, p. 119; een keer in De man achter het raam, p. 83; eens in Schevelevens, p. 175; een keer in Omhelzingen, p. 20; eenmaal in Okoka’s wonderpark, p. 112; eens in Middletonsdood, p. 43; een keer in De vitalist, p. 87; en wel vijf keer in Rondo Veneziano: op p. 60, op p. 89 tweemaal,op p. 124 en op p. 129.

4Eens in de geciteerde passage en eens in De vitalist, p. 87.5Tweemaal in de geciteerde passage; nogmaals in Het gemillimeterde hoofd, op p. 119; eenmaal in Een Fries

huilt niet, p. 107; en een vijfde keer in 60.000 uur, p. 49.

3.1. Dit had u moeten weten. . . 23

vooral te doen over hoe men continuıteit in dit specifieke geval moet interpreteren. Krol voegtdeze verduidelijkingen dus niet toe om ons iets bij te leren; eerder wil hij de lezer een helpendehand reiken in deze technische passage. Maar spijtig genoeg heeft Krol blijkbaar over hethoofd gezien dat net die lezer waarschijnlijk ook het woord functie niet kent.

In Scheve levens heeft Krol wel aan dit laatste gedacht en doet hij een poging om uit teleggen wat een functie is. We lezen (1983: 20):

‘Functie’ — ‘het ene is een functie van het andere’, – is een wiskundige term dieaangeeft dat het ene afhankelijk is van het andere. Als dat ‘andere’ nu de tijd is,kan zo’n functie de beschrijving zijn van wat er gebeurt.

We kunnen ons nochtans afvragen of die niet-wiskundige lezer heel veel heeft aan dezeverduidelijking. Voor wie al weet wat een functie is, is deze passage begrijpelijk, maar dezedefinitie is zo bondig en zo kort door de bocht, dat heel wat niet-wiskundigen er niet veelzullen kunnen uit opmaken.

Slechts een zeer zeldzame keer lijkt Krol er dan toch in te slagen om een wiskundig begripop een mooie manier te verwoorden voor niet-wiskundigen; bijvoorbeeld hier in Omhelzingen(1993: 168):

[. . . ] Anders gesteld: gegeven de achtenveertig hoofdsteden van de VerenigdeStaten met hun onderlinge afstanden: wat is de kortste lijn die alle steden metelkaar verbindt? Bekend onder de naam Het handelreizigersprobleem. Nog steedsniet op een analytische wijze op te lossen.

Dankzij deze mooie praktische vergelijking, kan elke lezer zich nu min of meer een beeldvormen van wat het handelsreizigersprobleem inhoudt. Nochtans moeten we er op wijzen datKrol toch wel een minimum aan woorden gebruikt om uit te leggen waar hij het over heeft.

We kunnen, ondanks dit laatste tegenvoorbeeld, veilig concluderen dat Krol zelden wis-kundige termen voldoende duidt. Meestal schijnt hij uit te gaan van een vrij brede kennis vanwiskundige termen bij zijn lezers of heeft hij helemaal niet door dat hij te technisch bezig is.Wanneer hij dan toch een term verklaart, doet hij dat vaak nogal slordig.

3.1.2 Wiskundige formules

Meer dan eens gebruikt Krol wiskundige formules in doorlopende tekst. Zo lezen we bijvoor-beeld in De rokken van Joy Scheepmaker (1962: 38):

Kraus bladerde vinnig in zijn opschrijfboekje, streepte dagen door en schreef op:(a + b)2 = a2 + b2. Hij trok er een cirkel om.

Niet alleen gaat Krol er van uit dat zijn lezers in staat zijn deze formule te begrijpen, hijinsinueert duidelijk ook een shockeffect: de lezer moet doorhebben dat hier iets niet pluis is.Wie vertrouwd is met merkwaardige producten, weet immers dat (a + b)2 over het algemeennet niet gelijk is aan a2 + b2.

Opmerkelijk: in de vierde6 druk van deze roman voegt Krol vlak na de formule (a + b)2 =a2 + b2 een zinnetje toe (2004a: 37): “Dat is fout, maar het is ook goed.” Dat klinkt nogalenigmatisch: enkel wie een cursus algebra van een iets hoger niveau heeft gevolgd, zal Krol

6In de tweede (1971: 47) en derde (1981a: 34) druk is deze opmerking nog niet terug te vinden.


kunnen volgen. Het is namelijk zo dat de formule (a + b)2 = a2 + b2 niet algemeen opgaat alsa en b getallen zijn, maar wel als a en b vectoren zijn die loodrecht op elkaar staan. De index2 van het kwadraat verwijst dan niet rechtstreeks naar een ‘gewone’ vermenigvuldiging, maarnaar het inproduct van een vector met zichzelf.7

Deze passage valt op, omdat we met deze formule toch al ver verwijderd zijn van deenigzins ‘evidente’ (middelbare school-) wiskunde. Krol schuwt hogere wiskunde helemaal nietin zijn werk (we zullen nog dergelijke voorbeelden ontmoeten), en zelfs in zulke gevallen vindthij het blijkbaar niet steeds nodig om daar veel uitleg over te verstrekken.

Zo sluit Krol zijn roman De ziekte van Middleton bijvoorbeeld af met dit stukje (1969:221):

Het is mogelijk over dit alles te schrijven en zelfs om in het algemeen vast testellen, eens en voor al, wat goed is, dus wat gedaan moet worden:

I = k. ln P,

waarin k een constante is. I is een maat voor het goede en P de som van dedingen die gedaan kunnen worden. Omdat de ene handeling de andere voortbrengt,verloopt de som exponentieel tegen de tijd, daarom nemen we de logaritme en lezenbovenstaande formule als: goed is datgene wat gedaan wordt, maal k.

Wat hier opvalt is niet alleen dat Krol andermaal de wiskundige methode wil toepassenop praktische problemen waar wiskunde geen grip op heeft (zie hiervoor 4.4), maar ook devanzelfsprekendheid waarmee Krol de wiskundige formule poneert. We lezen in de formule ‘ln’,en Krol gaat er direct van uit dat iedereen doorheeft dat hij daarmee ‘de logaritme’ bedoelt diehij iets verder aanhaalt. De ‘logaritme’, een term die eens te meer niet uitgelegd wordt aan deniet-wiskundige. Integendeel: dat we de logaritme moeten nemen omdat “de som exponentieeltegen de tijd” verloopt, is iets waar een wiskundige inderdaad wel iets zal in zien,8 maar iemandanders helemaal niet.

Een andere keer, in In dienst van de ‘Koninklijke’, krijgen we van Krol een korte formulevoorgeschoteld waar hij toch enige uitleg bij verschaft (1974: 8-9):

e2πi , dat wil zeggen: e (een getal ter waarde van ongeveer 2,71) tot de macht diegelijk is aan de omtrek van een imaginaire, dus niet bestaande cirkel, [is] preciesgelijk aan 1.

Maar ook hier geeft Krol geen precieze definities: het getal e omschrijven als “ongeveer2,71” helpt de onbegrijpende lezer wel uit de allerhoogste nood, maar gaat volledig voorbij aande kracht en de inhoud van het getal e. Diezelfde niet-wiskundig-onderlegde lezer zal volledigde trappers verliezen bij Krols uitleg bij het begrip imaginair : “niet bestaand”. Terwijl eenniet-wiskundige zich nog iets bij e kan voorstellen als je zegt dat het ongeveer 2,71 is, is eenuitdrukking als ‘een niet-bestaande cirkel’ volledig nietszeggend. Het kan zelfs overkomen alshaast magisch, terwijl dat onmogelijk het geval mag zijn.

7Een andere mogelijke interpretatie van deze formule is die van de zogenaamde schachtendroom: in een veldvan karakteristiek p > 0 geldt: (a + b)p = ap + bp; in het veld R,+, . geldt die formule uiteraard niet algemeen.Krol zelf duidt deze formule in Het gemillimeterde hoofd aan de hand van de vector-interpretatie; over deschachtendroom heeft hij het nergens expliciet.

8De logaritmische en de exponentiele functie heffen elkaar namelijk op: door de logaritme te nemen vanP, een functie (Krol heeft het over “som”) die “exponentieel tegen de tijd” verloopt, verkrijg je een ‘normaal’stijgende functie in plaats van een exponentieel stijgende functie.

3.2. Voor welk publiek schrijft Krol? 25

Wie de wiskundige stukken in Krols werk goed wil begrijpen, moet dus niet alleen bekendzijn met een groot aantal wiskundige termen, zoals we hierboven al poneerden; blijkbaar is eenvoldoende brede kennis wiskunde tout court een noodzakelijkheid. Soms, zoals in het gevalvan de formule (a+b)2 = a2+b2, maakt Krol zelfs insinuaties die een lezer pas kan doorhebbenals hij voldoende wiskundig onderlegd is.

3.2 Voor welk publiek schrijft Krol?

Zoals we aan het begin van dit hoofdstuk al hebben opgemerkt, is het niet ongewoon dat eenauteur in een roman over wiskunde zijn lezers net iets wil bijbrengen over wiskunde. Wie nognooit gehoord heeft van het vermoeden van Goldbach, kan zonder problemen de roman OomPetros en het vermoeden van Goldbach lezen, zelfs al heeft men nauwelijks een wiskundigeachtergrond. Er is zelfs meer: toen hij deze roman schreef, was het waarschijnlijk Doxiadis’bedoeling om dit vermoeden en zijn curieuze geschiedenis aan een zo breed mogelijk publiekuit de doeken te doen. Het vermoeden van Goldbach voor dummies in een fraai literair jasje.

Maar zoals we pas aangetoond hebben, zijn veel wiskundige passages in Krols romansechter niet begrijpelijk voor iemand zonder wiskundige achtergrond. Het lijkt dus alvast nietKrols bedoeling om niet-wiskundigen op het gebied van de wiskunde veel bij te leren. In watvolgt overlopen we enkele — zeldzame — wiskundige passages die (althans op het eerste zicht)toch voor niet-wiskundigen begrijpelijk zijn. Niet geheel toevallig handelen al deze fragmentenover het leven van bekende wiskundigen.

Daarna zullen we overgaan naar enkele moeilijkere wiskundige stukken, waarin Krol hogerewiskunde niet schuwt. We zullen daarvoor eerst putten uit verschillende romans; in tweedeinstantie zal blijken dat Krols Rondo Veneziano bol staat van hogere wiskunde.

3.2.1 Uit het leven van enkele beroemde wiskundigen

In Het gemillimeterde hoofd lezen we op p. 147 terloops een anekdote waar twee beroemdewiskundigen een rol in spelen:

14 augustus 1957. Gottingen. 158 jaar nadat de tweeentwintigjarige Gauss metzijn vriend Bolyai op de stadswallen liep, en zijn plannen besprak, zijn plannen metde wereld - zoveel jaar daarna sta ik met Jan Zijlema op dezelfde stadswal, uitte kijken op een Coca Cola bottelinrichting en wij spreken over hetzelfde als waarGauss en Bolyai toen over gesproken hebben, de constructie van de regelmatigezeventienhoek en het vijfde postulaat van Euclides, dit wil zeggen Zijlema. Het isZijlema die aan het woord is. Ik sta met de duimen in het vest naar de frond tekijken, luister, begrijp. Ik ben Gauss.

Weinig van Krols lezers — wiskundigen noch anderen — zullen weten dat Gauss en FarkasBolyai goed bevriend waren9 en blijkbaar in 1799 samen in Gottingen op de stadswallen ge-lopen hebben.10 Een wiskundige zal wel bepaalde linken kunnen leggen en meer hebben aande informatie dat bijvoorbeeld het vijfde postulaat van Euklides een gespreksonderwerp was.

9Wat zeker zo is; zie hiervoor, alsmede voor een korte schets van het leven en onderzoek van Janos en FarkasBolyai, Gowers 2008: 762.

10Deze bewering is uiteraard moeilijk te staven. Feit is zeker dat zowel Farkas Bolyai als Gauss in die jarenin Gottingen geleefd en gestudeerd hebben.


Immers, Bolyai zal in een groot deel van zijn wiskundig onderzoek proberen nagaan wat ergebeurt als men het vijfde axioma verwerpt. Die zoektocht heeft hem weinig opgeleverd, maaris voortgezet door zijn zoon, Janos Bolyai, die op die wijze als een van de eerste wiskundigenniet-euklidische meetkundes beschreef. Alles in beschouwing genomen, is ook dit weer eenpassage waar een wiskundige veel meer aan heeft dan een willekeurige lezer: in tegenstellingtot andere lezers zal de wiskundige de diepere betekenis inzien van deze op het eerste zichtonbelangrijke anekdote.

Enkele keren neemt Krol de gelegenheid te baat om ons iets meer te vertellen over hetleven van een aantal wiskundigen. Zo geeft hij ons in §59 van Het gemillimeterde hoofd eenmooie vertelling mee van het korte, maar zeer heftige leven van Evariste Galois. Al kloppende details niet steeds even goed: zo is Galois geboren in 1811 (Krol heeft het over “±1810”)en stierf hij zelfs al op twintigjarige leeftijd, in plaats van op eenentwintig jaar, zoals Krol hemzelf in de mond legt.11

Evariste Galois was een groot wiskundige, maar spijtig genoeg is de man erg jong en uitersttragisch om het leven gekomen is. Vlak voor hij moest aantreden in een duel, heeft Galois opeen nacht tijd alle wiskunde die in zijn hoofd zat, maar die niemand wou (of kon) begrijpen,neergepend. Pas na zijn dood is de onschatbare waarde van zijn werk doorgedrongen totandere wiskundigen. Het leven van Galois mag waarschijnlijk het meest tragische van allewiskundigen genoemd worden, en het ligt haast voor de hand dat Krol als romanschrijveruitgerekend Galois’ leven uitpikt om na te vertellen.

De meeste biografieen van wiskundigen geeft Krol ons mee in zijn Rondo Veneziano. Dezeroman gaat over een colloquium en een aantal gastsprekers geven daar, zoals niet ongebruikelijkis, een korte schets mee van het leven van een beroemde wiskundige die een rol speelt in hunlezing. Zo lezen we dan weer iets over het leven van Torricelli (2004c, p. 105):

Over het leven van Evangelista Torricelli is minder bekend dan over zijn werk.Hij werd geboren in 1608 in Faenza, in de buurt van Ravenna. Hij studeerdewiskunde aan de Universiteit van Rome en werd aldaar benoemd tot hoogleraar inde theorieen van val en worp, in het bijzonder in de leer van de kogelbaan. Hij kreeg,later dan men zou hebben gedacht, kennis aan [sic] het werk van Galilei, die aande Universiteit van Florence doceerde. Wederzijdse bewondering voor elkaars werkbracht de achtenzeventigjarige, bijna blinde Galilei ertoe Torricelli te benoementot zijn opvolger. Vier jaar later overleed Torricelli, slechts negenendertig jaar oud.

In deze passage is er (haast per uitzondering) geen voorkennis nodig.

Krol zou Krol niet zijn als hij de gelegenheid van het colloquium niet te baat nam omtenminste een biografie op wel erg originele wijze mee te geven. Op het colloquium zijn ernamelijk een aantal overleden personen uitgenodigd, waaronder Pythagoras. Pythagoras houdteen lezing waarin hij iets vertelt over zijn eigen leven (2004c, p. 134-5):

‘Van mij is niets met zekerheid bekend. Ik ben geboren op het eiland Samos — enzelfs dat is niet zeker, maar iemand moet toch ergens geboren zijn. Ik leefde vanongeveer 600 (voor Chr.) tot ongeveer 500. Ik heb, lees ik in de Encyclopedie,tijdens mijn leven veel gereisd, wat niet ongewoon was voor een Griek in die dagen.Ik heb vele jaren in Italie gewoond. Ik heb daar een school gesticht waar we deleer van de zielsverhuizing uitleg hebben gegeven.

11Voor de correcte jaartallen: zie bijvoorbeeld Clapham & Nicholson 1990, 20094: 186.


Mijn eerste ontdekking was de octaaf. Als u twee snaren neemt waarvan de enetwee keer zo lang is al de andere — u verdeelt hem in 2:1 — en u strijkt beidesnaren aan, dan hoort u de octaaf. Bij een verhouding van 3:2 hoort u de kwinten bij een verhouding van 4:3 de kwart. Zo kwam ik ertoe aan te nemen datelk ding, elk verschijnsel een getal was of een samenstel van getallen en dat tweeverschillende dingen een en hetzelfde ding zijn als ze hetzelfde getal hebben.Mijn naam is verbonden aan de beroemdste stelling uit de wiskunde. De vraag isof ik die stelling wel zelf gevonden heb. Ze is ouder dan ik. Maar als ik het merkmoet dragen — met genoegen. Zo denkt iedereen dat het cartesisch assenkruiseen uitvinding is van Descartes, terwijl het al vanaf de veertiende eeuw veelvuldigis gebruikt, o.a. door Oresme. Maar omdat die niet zo populair is geworden alsDescartes, een paar eeuwen later, is Descartes de drager van de desbetreffende trui.En zo ben ik, Pythagoras, de drager van de trui van een of andere Babylonier.

Waar ik ook bekend door geworden is, is mijn voorspelling dat de wereld rond is.’

Waar het Krol in de beschrijving van Pythagoras’ leven vooral om te doen is, is waarschijnlijkniet de gegevens op zich, maar de manier waarop hij ze presenteert. Een overledene die zijneigen biografie komt navertellen, daar zelf eigenlijk niet erg zeker lijkt over te zijn en bepaaldezaken zelfs moet gaan opzoeken in de Encyclopedie. . . is op z’n zachtst gezegd een vorm vanwel erg absurde humor.

Ook in deze passage is er niet echt voorkennis nodig, al kunnen we opmerken dat de term‘cartesisch assenkruis’ niet geduid wordt. Zoals uit het volgende fragment zal blijken, is dit nietde enige keer dat Krol zijn lezers op dit voorbeeld wijst: blijkbaar is Krol zo vol van bepaaldeinzichten, dat hij elke gelegenheid te baat wil nemen om ze wereldkundig te maken.

3.2.2 Wiskunde voor wiskundigen

Maar al te vaak overvalt Krol zijn lezers met wiskundige passages, en gaat hij hierbij uit vantoch enige voorkennis. Zoals zal blijken uit de volgende voorbeelden, eist Krol op dit gebiedsoms vrij veel van zijn lezers.

Grote wiskundige ideeen

In Scheve levens heeft Krol het op een bepaald moment over de ontstaansgeschiedenis vanbepaalde wiskundige begrippen en ideeen. Zo lezen we bijvoorbeeld (1983, p. 161; cursiveringenin origineel):

’n Groot idee wordt vaak toegeschreven aan een groot, beroemd man, die dit ideesoms niet eens heeft gehad — waarschijnlijk om het idee een beroemde naamte geven. Het cartesisch assenkruis bijvoorbeeld, met behulp waarvan je de helewereld kunt beschrijven, het heelal incluis, simpel door aan elk punt daarin driegetallen: x , y en z toe te kennen — is, dat staat wel vast, niet de uitvinding vanCartesius, Descartes geweest.Er is een ander idee, minstens zo groot, wanneer je niet de wereld, maar deactiviteiten van je eigen geest wilt beschrijven; het onderscheid dat je maakt tussenvast en variabel. In de algebra geef je deze begrippen aan met a en b, resp. x eny ; a en b zijn vaste getallen, met een bepaalde waarde, x en y zijn vrije getallen,die elke waarde kunnen hebben. En dat is dan wel een idee van Descartes geweest,


waarvoor ik hem hartelijk dank zeg, want zonder dat onderscheid had ik mijn geestniet zo goed kunnen inrichten en besturen als ik thans gewend ben.

Merk op dat Krol Descartes aanvankelijk slechts aanhaalt als voorbeeld van een gegevendat ook buiten de wiskunde blijft gelden.

Krol veronderstelt in dit fragment dat zijn lezers weten wat het cartesisch assenkruis is engaat er zelfs van uit dat we de driedimensionale versie ervan kennen — hij heeft het immersover drie variabelen x , y en z . Dit is toch niet zo evident, want wie op school leerde wat hetcartesisch assenkruis is, kreeg de tweedimensionale variant voorgeschoteld. Verder wijst hij erop dat de letters a en b in de algebra als vaste getallen gebruikt worden, terwijl de letters x eny variabelen zijn. Krol heeft het bij dit laatste over “vrije getallen”, een term die hij duidt metde bijzin “die elke waarde kunnen hebben”. Ook deze duiding is weer zo kort door de bocht,dat iemand die het concept van variabelen niet kent, hier onmogelijk iets kan aan hebben. Hetkan wel een welkom geheugensteuntje zijn voor lezers bij wie de lessen algebra en analyse aldiep onder het stof liggen.

Kurt Godel en de onvolledigheidsstelling

Meer dan eens heeft Krol het in zijn werk over Godel en zijn onvolledigheidsstelling. Aangeziendit toch een niet zo makkelijk logische stelling is, zou het erg verdienstelijk zijn, mocht Kroleen poging doen om deze stelling in simpele bewoordingen te duiden. Niet alleen voor wie ernog nooit over gehoord heeft — Krol zou bijvoorbeeld ook enkele hardnekkige en wijdverbreidemisverstanden omtrent deze stelling de wereld uit kunnen helpen.

Om even een kader te schetsen, en omdat we later nog op de Godelstelling terugkomen,zullen we eerst en vooral heel kort duiden wat deze stelling nu eigenlijk inhoudt.12 Rond 1900was onder wiskundigen de droom ontstaan dat van alle wiskundige uitspraken kon wordenaangetoond of ze waar zijn of niet, en dit wel binnen een strikt logisch-deductief kader. Metandere woorden: ‘geef mij een13 logica en een verzameling axioma’s (tesamen een formeelsysteem), en ik zal u van eender welke uitspraak binnen dat formele systeem zeggen of ze indat systeem bewijsbaar is of niet.’ Waarschijnlijk is dit nog steeds de wijze waarop de meestemensen over wiskunde denken, zij het misschien zonder daar erg veel bij stil te staan.

Godel boorde die droom de grond in. Heel specifiek toonde hij aan dat het formele systeempa (dat bestaat uit de Peano-axioma’s en de klassieke oordeelslogica) rekenkundige formulesbevat die onbewijsbaar zijn, maar waarvan de negaties ook onbewijsbaar zijn. Godel gingnog verder: hij bewees dat elk systeem dat ingewikkelder is dan pa, noodgedwongen ookzo’n onbeslisbare formules zal bevatten. Aangezien pa een vrij zwak systeem is (zo is het inpa bijvoorbeeld onmogelijk reele getallen te definieren), houdt Godels ontdekking in dat veleformele manieren om wiskunde te beschrijven, aan zijn ontdekking onderhevig zijn.

Het is van belang om in te zien hoe Godel tot zijn stelling gekomen is. Eerst en vooral ont-dekte Godel dat aan elke uitspraak over een formeel systeem, noodgedwonen een rekenkundigeformule binnen dat formele systeem beantwoordt. Dat is allesbehalve evident. In praktijk wildit bijvoorbeeld zeggen dat er, binnen pakweg pa, voor elke mogelijke rekenkundige formuleX , een andere rekenkundige formule Y bestaat die (op meta-niveau)14 beantwoordt aan de

12Godel bewees meer dan wat we hier uit de doeken doen: hij toonde ook aan dat de consistentie van bepaaldesystemen onmogelijk aan te tonen is binnen dat systeem zelf. Omdat Krol het daar nergens over heeft, gaanwe op deze (tweede) stelling niet dieper in.

13En niet ‘de’; iets waar we hier niet verder op ingaan.14Dit wil zeggen: niet binnen het formele systeem zelf, maar gezegd over het formele systeem.


uitspraak ‘formule X is bewijsbaar, en dus waar, in pa’. Die rekenkundige formule Y kanuiteraard pas dan bewezen worden binnen pa, als ook X kan bewezen worden in pa.

Daarnaast slaagde Godel er in om aan elke rekenkundige formule in een systeem een unieknatuurlijk getal toe te kennen; dit unieke getal noemen we het Godelgetal van die formule.In praktijk wil dit nu zeggen dat Godel in staat was om formules op te stellen waarin eennatuurlijk getal voorkomt dat eigenlijk ook het Godelgetal van die formule is. Op een manierzou je dus kunnen zeggen dat zo’n formule ‘in zichzelf vervat zit’, omdat het unieke Godelgetalvan die formule zelf van de formule deel uitmaakt.

Beschouw nu die rekenkundige formules die beantwoorden aan de uitspraak over het formelesysteem pa ‘de formule met Godelgetal a is onbewijsbaar’. Het is duidelijk, dankzij Godelseerste ontdekking, dat, welk getal a ook weze, er een unieke formule aan beantwoordt. Elk vandie formules heeft haar eigen Godelgetal. Godel toonde nu aan dat er ook een rekenkundigeformule bestaat waarvan het Godelgetal ‘toevallig’ hetzelfde is als het getal a waarover dieformule (op meta-niveau) een uitspraak doet. Met andere woorden; die formule zegt (opmeta-niveau) eigenlijk ‘de formule met als Godelgetal het Godelgetal van deze formule, isonbewijsbaar’. Aangezien dat duidelijk twee maal dezelfde formule is, kunnen we dit dus kortsamenvatten tot ‘deze formule is onbewijsbaar’.

Even recatipuleren: we hebben een zuiver formele, rekenkundige formule in handen, waar-van Godel bewezen heeft dat ze (op meta-niveau) eigenlijk over zichzelf zegt dat ze niet kanbewezen worden. Deze rekenkundige formule noemen we de Godelzin. Merk op dat de Godelzindus eigenlijk een rekenkundige formule is, iets wat we niet genoeg kunnen benadrukken. Hethele genie van Godel lag hem nu net in het feit dat hij aantoonde dat er aan die formule eenuitspraak op meta-niveau vasthing.

Laten we er nu even van uitgaan dat die formule, de Godelzin dus, bewijsbaar is in pa. Erbestaat in pa dus een bewijs voor de Godelzin. Nog anders gezegd: het is dan niet zo, dat deGodelzin onbewijsbaar is. Dan wil dat ook zeggen dat er (dankzij Godels eerste ontdekking)een unieke, in pa bewijsbare, rekenkundige formule bestaat die stelt ‘het is niet zo dat deGodelzin onbewijsbaar is’. Maar deze laatste formule is gewoon de negatie van de Godelzin:de Godelzin zegt namelijk over zichzelf dat hij net niet bewijsbaar is! Aangezien we er vanuit gingen dat de Godelzin bewijsbaar is, maar dit blijkbaar een tegenspraak als gevolg zouhebben, moeten we concluderen dat de Godelzin inderdaad niet bewijsbaar is.15

Ok, de Godelzin is een onbewijsbare formule in pa. Om onze ‘grote wiskundige droom’recht te houden, willen we dan wel dat de negatie van de Godelzin in pa bewijsbaar is. Immers,van om het even welke formule — dus ook van de Godelzin — wilden we kunnen aantonen datofwel zijzelf, ofwel haar negatie, bewijsbaar is. Dus misschien is de negatie van de Godelzinwel bewijsbaar in pa?

Helaas, hoewel het iets meer voeten in de aarde gehad heeft, heeft Godel aangetoonddat dat niet het geval is. Met de Godelzin hebben we dus een wiskundige formule gevondenwaarvoor geldt dat noch zijzelf, noch haar negatie bewijsbaar is in pa. Cruciaal hierbij is hetfeit dat die formule naar zichzelf terugwijst; op meta-niveau, zo zagen we immers, zegt deGodelzin namelijk ‘de Godelzin is onbewijsbaar’, of dus nog, kortweg, ‘ik ben onbewijsbaar’.Het feit dat de Godelzin, noch haar negatie, bewijsbaar is in pa, is op zijn beurt wel een logischestelling: dat feit is immers bewezen. Deze stelling noemen we de onvolledigheidsstelling vanGodel ; kortweg de Godelstelling.

Terzijde kunnen we nog opmerken dat, hoewel de Godelzin in pa onbewijsbaar is, ze op

15Een andere mogelijke gevolgtrekking zou kunnen zijn dat het formele systeem waarin je werkt (in dit gevalpa), volkomen triviaal is. We kunnen daar hier verder niet op ingaan.


een manier toch ‘waar’ is. De Godelzin stelt namelijk over zichzelf, onbewijsbaar te zijn, enzoals we net gezien hebben is de Godelzin ook effectief onbewijsbaar in pa. Zo gezien is deGodelzin dus wel ‘waar’. Filosofisch gezien stelt dit de wiskunde voor een enorm probleem: wehebben pas de waarheid van een wiskundige formule aangetoond zonder gebruik te maken vaneen wiskundig bewijs.16

Gerrit Krol is erg gebeten door de Godelstelling; hij haalt haar dan ook op verschillendeplaatsen aan. De langste passage die Krol aan Godel wijdt, vinden we terug in Scheve levens.Krol heeft het op dit punt van de roman over Mulisch’ De Compositie van de Wereld (1983,p. 67-69; cursiveringen in origineel):

Om te laten zien hoezeer Mulisch de versierde mens verkiest boven de zaken diehem versieren, citeer ik de passage bovenaan op bladzij 399: Voor de vorming vanhet metabewustzijn met zijn metagedachten en metagevoelens moeten de appa-raten dus een gat overlaten, waarin de resterende ‘destinaties’ van de ultimitieven(= laatste mensen G.K.) passen. Dit gat is ontdekt door J.R. Lucas.Het gat is dan een stelling van het Godelse soort — een stelling die waar is, maarniet kan worden bewezen. Godel heeft aangetoond, dat in formele systemen zulkestellingen bestaan. En omdat de computer een formeel systeem is, bevat hij eenstelling waarvan wij kunnen zien dat ze waar is, terwijl de computer dat zelf nietkan zien. Conclusie: wij zijn intelligenter dan een computer. Dat is dan het gat,en dat heeft Lucas ontdekt. Ere zij Lucas — lees ik eruit.Wat je natuurlijk meteen wilt weten is: hoe ziet dat gat er uit. Godel sprak zich uitin algemene zin: er is een stelling enz. . . Dat zei hij in 1931. Pas bijna een halveeeuw later, in 1977, lukte het aan Paris en Harrington zo’n stelling te construeren.Een geweldig karwei. De formulering van deze stelling alleen al zou, afgedrukt indit boek, twee pagina’s beslaan — om maar niet te spreken van het bewijs datze niet bewezen kan worden. ’t Is alsof je praat over een ster aan de rand vanhet heelal, die je zelfs met de sterkste telescoop amper kunt zien — de laatstester. Als het je zou lukken deze stelling zodanig te formuleren dat ze kan wordenopgeborgen in een computer, dan zou dat de stelling zijn waarvan de computerniet kan zien of ze waar is of niet. Afgezien daarvan dat een computer dat vanbijna geen enkele stelling kan zien — mag je theoretisch aannemen dat ie dat welkan, maar hoe kom je er dan ooit achter dat ie dat van deze stelling juist niet kan?Je krijgt het gat niet te zien.Het is een beetje als met de man die zijn bril niet vinden kon omdat ie ’m op had.Wie in een computer naar een gat zoekt, kijkt er waarschijnlijk overheen, wantelke computer heeft een gigantisch gat — een gat waar Mulisch’ ultimitieven zichzeker thuis zullen voelen. Dat is niet het gat dat Lucas bedoelde, want die heefthet nooit precies aangewezen. Je hoefde er ook niet voor naar de rand van hetheelal te reizen. Het ligt vlak voor je voeten, je moet zelfs oppassen dat je er nietin valt. En het bijzondere is, dat ook dit gat op ‘Godel’ berust.Om dat te begrijpen het volgende.

Deze zin kan niet worden bewezen.

Dit is de zin die Godel bij het bewijs van zijn fameuze stelling nodig heeft. In dat

16Merk op dat we met ‘wiskundig bewijs’ hier een pa-bewijs bedoelen; met andere woorden: een bewijs datenkel steunt op klassieke oordeelslogica en op de Peano-axioma’s. Er bestaan systemen waar men de Godelzinwel kan bewijzen, iets waar we hier niet verder op in kunnen gaan.


bewijs vertaalt hij allerlei woorden in getallen, om met die getallen te bewijzen dater een stelling (woorden) is over die getallen, waarvoor het bewijs zelf niet geldt— een grote slang die zichzelf in de staart bijt. Een afbeelding van bovenstaandezin, maar via een geweldige omweg.

Wie nog nooit van Godel of zijn stellingen gehoord heeft, heeft niet veel aan deze passage.Integendeel: net als in het geval van Krols onnauwkeurige duiding van de term imaginair (ziep. 24), zou deze passage wel iets zweverigs kunnen hebben voor een niet-wiskundige, zekerdoor de aanhaling van Mulisch’ fragment waar hij het heeft over de ultimitieven of gaten waarje in kan vallen.

Wat Godel bewezen heeft, heeft helemaal niets te maken met ultimitieven of andere zweve-rige concepten, maar zuiver met logica en elementaire rekenkunde. Krol wijst daar nergens op,alsof dat haast voor zich spreekt. Temeer legt hij het begrip Godelstelling toch maar erg kortuit: “een stelling die waar is, maar niet kan worden bewezen”; een verduidelijking die toch welerg kort door de bocht gaat, en bovendien onvolledig is. Algemeen is het niet overdreven testellen dat wie nog nooit gehoord heeft over de Godelstelling, aan deze verduidelijking weinigzal hebben.

Op het einde van de passage zegt Krol zelf dat hij verduidelijking wil geven bij de voor-gaande passage: “Om dat te begrijpen het volgende.” Hierna haalt Krol de ‘vertaling’ van deGodelzin in metataal aan (zonder de term metataal te gebruiken): “Deze zin kan niet wordenbewezen”. In wat volgt geeft Krol inderdaad een korte uitleg bij het bewijs van de Godelstellingzonder technische termen te gebruiken. Zo heeft Krol het waarschijnlijk opzettelijk over getal-len en niet over het veel technischere (maar uiteraard juistere) Godelgetallen. Hij sluit zelfs afmet een mooie metafoor: “een grote slang die zichzelf in de staart bijt.”

Passages zoals deze lijken de indruk te wekken dat Krol soms toch de niet-wiskundigelezer een hand wil reiken of hen zelfs iets wil bijleren. Spijtig genoeg gaat Krol daarbij weinigstructureel tewerk: een dergelijke duiding van de Godelstelling had beter aan het begin van dittechnische stuk gestaan, in plaats van op het einde, zoals hier het geval is. En eens te meermoeten we ons de vraag stellen of iemand die werkelijk niets van Godel kent, heel erg veeluit deze twee verduidelijkende zinnetjes kan hebben. De vraag die zich automatisch opwerpt,is voor wie Krol nu eigenlijk wil schrijven: voor wiskundigen is zijn duiding waarschijnlijkoverbodig, voor anderen is zijn duiding te kort en te bondig. Hooguit kan ze dienst doen alsopfrissing bij wie de Godelstellingen ver in het geheugen liggen.

Lezen we deze passage uit het oog van iemand die vertrouwd is met de Godelstelling, danmoeten we concluderen dat Krol aan die lezer misschien wel iets bij te leren heeft. Bijvoorbeeldhet feit dat Paris en Harrington in 1977 een onbewijsbare, maar ware wiskundige uitspraak17

geformuleerd hebben. Wiskundigen kunnen dit misschien al weten, maar dat is niet noodzake-lijk. Ook de manier waarop Krol een parallel trekt met computers en hoe zij problemen kunnenondervinden van Godelse aard, kan best nieuw zijn voor wiskundigen en is, althans voor hen,verstaanbaar uitgelegd.

17Dit is een betere omschrijving dan ‘onbewijsbare stelling’, wat uiteraard een regelrechte contradictie is.


3.2.3 Enkele fragmenten uit Rondo Veneziano

Een vergelijking tussen ‘Oom Petros en het vermoeden van Goldbach’ en ‘RondoVeneziano’

Meermaals trokken we al een vergelijking met Oom Petros en het vermoeden van Goldbach,een roman die handelt over, de titel zegt het al, het vermoeden van Goldbach. In Krols romanRondo Veneziano staat, hoewel hier de titel niets laat vermoeden, het vermoeden van Riemannin de schijnwerpers. Zowel Doxiadis als Krol achten het noodzakelijk om het centrale conceptvan hun roman nader toe te lichten.

Doxiadis (2010) introduceert het vermoeden van Goldbach in de vorm van een gesprektussen oom Petros en zijn kleine neefje. Petros legt het vermoeden hier wel uit, doch zonderhet vermoeden bij naam te noemen. Zijn neefje denkt dan ook dat zijn oom hem om eenmoeilijk, maar oplosbaar wiskundig probleem voorlegt:18

‘Ziehier het probleem. . . ik veronderstel dat je weet wat ‘priemgetal’ wil zeggen. . . ’

‘Natuurlijk weet ik dat, oom! Een priemgetal is een getal groter dan 1 dat geenandere gehele delers heeft dan zichzelf en de eenheid. Laat ons zeggen 2, 3, 5, 7,11, 13 en zo verder.’

Oom scheen tevredengesteld te zijn door de nauwkeurigheid van mijn definitie.

Hierop volgt een passage waarin Petros aantoont dat er oneindig veel priemgetallen zijn;het bewijs van deze stelling wordt in het boek echter niet opgenomen (Doxiadis vermeldtalleen dat Petros het “op papier” zette). Nadien gaat Petros verder over het vermoeden vanGoldbach:

‘Ik wil dat je mij aantoont,’ zei hij, ‘dat elk even getal groter dan 2 kan wordenuitgedrukt als som van twee priemgetallen.’

Ik dacht er even over na, in de hoop hem te kunnen imponeren. Omdat er mijechter niets te binnen schoot, zei ik:

‘Is dat alles?’

Oom Petros schudde waarschuwend met zijn vinger.

‘Ah, dat is zo simpel niet! Als je de gevallen een voor een neemt, bijvoorbeeld4=2+2, 6=3+3, 10=3+7, 12=7+5, 14=7+7 enz., is het duidelijk — hoewel dathoe groter de getallen zijn, des te moeilijker de berekeningen worden. Echter,aangezien de even getallen zelf ook oneindig in aantal zijn, zal de geval-per-geval-beschouwing niet toereikend zijn. Je zal een algemeen bewijst moeten vinden, enik meen dat die zaak nogal moeilijk zal zijn.’

De moeilijkste term die Doxiadis hier gebruikt en die niet geduid wordt, is “(gehele) de-lers”,19 een term die de meesten onder ons toch reeds in de lagere school ontmoetten. Toch is

18Omdat de Nederlandstalige vertaling van Oom Petros en het vermoeden van Goldbach (Doxiadis 2010) zelfeen vertaling is van de Engelse vertaling van het Griekse origineel en omdat ik zelf Nieuwgrieks ken, heb ik hetNieuwgriekse origineel zelf vertaald. De brontekst is opgenomen in bijlage B. Ik heb deze vertaling met opzeterg letterlijk gemaakt — sommige zaken komen daardoor erg geforceerd over. Zo heeft Doxiadis het over ‘deeenheid’ (η μονάδα) in plaats van simpelweg over ‘het getal een’, iets wat wij niet zouden doen, maar wat welgebruikelijk is in het Nieuwgrieks.

19Het Grieks is hier nauwkeuriger dan het Nederlands. Op de vraag hoeveel delers een getal heeft, zou jestrikt genomen kunnen antwoorden in het Nederlands dat elk getal oneindig veel (reele) delers heeft. Door het,zoals in het Nieuwgrieks, te hebben over ‘gehele’ delers, sluit je dit uit.


het niet volstrekt ondenkbaar dat een enkele lezer hier al de trappers verliest. Maar Doxiadisdoet in elk geval duidelijk zijn best om helder te schrijven voor iedereen: hij definieert de termpriemgetal erg duidelijk en haalt zelfs een flink aantal voorbeelden aan. Ook het vermoe-den zelf illustreert Doxiadis met verschillende voorbeelden, zodanig dat de lezer zich iets heelconcreets bij de inhoud van het vermoeden kan voorstellen. Hij benadrukt zelfs het feit datje het vermoeden nooit kan bewijzen door geval per geval te overlopen, “aangezien de evengetallen zelf ook oneindig in aantal zijn”. Deze laatste opmerkingen zijn volkomen triviaalvoor wiskundigen, maar Doxiadis houdt er terdege rekening mee dat zijn meeste lezers dat uitzichzelf niet zo evident hoeven te vinden, en daar best even op gewezen worden.

Spijtig genoeg is het vermoeden van Goldbach vergelijken met dat van Riemann, niet zosimpel, omdat het vermoeden van Riemann nu eenmaal ook een pak moeilijker is en gerust totde hogere wiskunde kan gerekend worden.20 Krol introduceert het vermoeden van Riemann inzijn Rondo Veneziano als volgt (2004c: 51-2):

Riemann is de grote architect van de Zetafunctie, toegepast op het imaginairevlak. Dit vlak kun je gewoon tekenen. En de Zetafunctie teken je als het spoorvan stuiterende tennisballen, die in wonderlijke onregelmatige bogen verdwijnennaar de horizon. De plaatsen waar ze het vlak raken noemt men de nulpunten vande functie.Elk nulpunt correspondeert met een reeel of imaginair priemgetal.Die nulpunten blijken alle op een rechte, smalle weg te liggen. Dat is bewezen. Zeblijken, voorzover bekend, zelfs op de middenlijn van die weg te liggen. En dat isniet bewezen.De laatste jaren heeft men met behulp van de computer laten zien dat de eerstemiljard nulpunten inderdaad alle op de bewuste middenlijn liggen. Maar ondanksdeze indrukwekkende numerieke evidentie is Riemanns hypothese nog steeds eenonbewezen vermoeden. Een diepe grot waar al heel wat scherpe geesten ‘gebleven’zijn.

Wat Krol ons hier meegeeft, is op het eerste zicht wiskunde voor wiskundigen. Iemanddie niet met wiskunde vertrouwd is, weet waarschijnlijk niet wat een functie is (laat staan dezeta-functie) en heeft vast nog nooit gehoord van het “imaginaire” (juister is: ‘complexe’)vlak.

Anderzijds schijnt Krol ook aan de wiskundigen tekort te doen: hoe de zeta-functie gedefi-nieerd wordt, doet Krol in de volledige roman nergens uit de doeken. Lang niet alle wiskundiggeschoolden zullen bekend zijn met de zeta-functie, maar wie geschoold is in de complexe ana-lyse zou wel iets hebben aan de zinsnede ‘de zeta-functie gedefinieerd over het hele complexevlak behalve het getal een, is de holomorfe uitbreiding van de reele functie ∑∞n=1 1

nx voor x > 1’.Temeer neemt Krol het zeker in de eerste alinea helemaal niet te nauw met wiskundige

gestrengheid; er staan zelfs enkele flagrante fouten in. Om er slechts drie te noemen: de term“toegepast” is wiskundig niet correct; ten tweede bestaat er niet zoiets als een “imaginair vlak”(er bestaat wel een imaginaire as en anderzijds een complex vlak; Krol bedoelt hier dat laatste)en ten derde is, zelfs na de voorgestelde correcties, deze uitspraak nog foutief: de beschouwdefunctie heeft namelijk een pool in het getal een (en kan dus niet worden “toegepast” op hetgetal een, om het in Krols foutieve terminologie te stellen). Aangezien Krol echter literair

20Degelijke en tegelijk laagdrempelige inleidingen in de wereld van het vermoeden van Riemann zijn bijvoor-beeld De Riemann-hypothese: een miljoenenprobleem (van der Veen & van de Craats 2011) en Prime Obsession(Derbyshire 2003). We bekijken de hypothese van naderbij in sectie 5.2.


proza schrijft, en geen academische teksten over wiskunde, hoeven we daar echter niet steedseven zwaar aan te tillen. Het complexe vlak “imaginair vlak” noemen kan je zo haast aanzienals een ‘literaire vrijheid’, als uitbreiding van het begrip ‘dichterlijke vrijheid’. Zo spreekt deuitdrukking “imaginair vlak” veel beter tot de verbeelding dan de uitdrukking ‘complex vlak’.21

Uiteindelijk komt Krol in de derde alinea tot het eigenlijke vermoeden, en daar is zijnbeschrijving wel heel accuraat. De wiskundigen met de nodige voorkennis die zonder al te veelproblemen door de eerste alinea geraakt zijn, worden hier beloond. Niet-wiskundigen zijn dedraad waarschijnlijk al oeverloos lang kwijt.

Spijtig genoeg lijkt Krol, althans bij een eerste lezing, niet te beseffen dat je het vermoe-den van Riemann aan niet-wiskundigen niet zomaar op een halve pagina uitlegt. Doxiadis,bijvoorbeeld, wijdt bijna twee pagina’s aan het (veel eenvoudigere) vermoeden van Goldbach.Daarbij staat hij voldoende lang stil bij zelfs een vrij eenvoudig concept als priemgetallen, endoet hij tot tweemaal toe wat Krol bijna nooit doet: verschillende voorbeelden geven om dezaken veel aanschouwelijker te maken. Zeker voor de niet-wiskundige lezer, die waarschijnlijkniet zo geoefend is in abstract denken, is dat geen overbodige luxe.

Maar met dit alles zijn we nog niet uitgepraat over Krols passage: we hebben nog nietsgezegd over de tweede alinea, “Elk nulpunt correspondeert met een reeel of imaginair priem-getal”. Wie genoeg kaas gegeten heeft van wiskunde, zal namelijk al snel opmerken dat dezeuitspraak manifest fout is, en in enige zin ook nonsensicaal. Dit stelt ons voor zo’n grote pro-blemen, dat we hier later (in sectie 5.2) zullen op terugkomen. Op dit punt gekomen volstaathet te besluiten dat:

1. Doxiadis blijkbaar een veel ‘onschuldiger’ onderwerp gekozen heeft; daar waar het ver-moeden van Goldbach alleen gebruik maakt van elementaire rekenkunde, vereist eengoed begrip van het vermoeden van Riemann een flinke dosis complexe analyse. Watbezielt Krol om het zo ver te gaan zoeken?

2. Doxiadis een heldere uiteenzetting geeft, en zelfs vrij elementaire begrippen goed uitlegt.Krols uitleg schijnt te ver te gaan voor niet-wiskundigen, maar anderzijds ook niet nauw-keurig genoeg voor wiskundigen; zo haalt hij bijvoorbeeld de definitie van de zeta-functieniet aan.

3. men formeel gezien niets kan inbrengen tegen Doxiadis’ uitleg; hij springt netjes om metalle geldende formele regeltjes. Krol is ronduit slordig hierin; meer nog:

4. Krol maakt minstens een flagrante, onvergeeflijke fout; iets waar Doxiadis zich niet laataan vangen.

De lezing van prof. dr. dr. H.M.M. Ort

Nog in Rondo Veneziano geeft ook het fictieve romanpersonage prof. Ort een lezing. Inbijlage A, punt 306 zijn grote delen van deze lezing opgenomen; hieronder bekijken we enkelefragmenten daaruit.

Prof. Ort geeft ons iets mee over de geschiedenis van de wiskunde. Zo lezen we op p. 77:

21Doorheen deze masterproef zullen we blijven wiskundige schoonheidsfoutjes van Krol ontmoeten. Sommigevan deze foutjes kunnen we categoriseren onder wat we hier ‘literaire vrijheden’ hebben genoemd, bij anderelukt dat niet.


De geschiedenis van de nul loopt hieraan evenwijdig.Oezbekistan is het geboorteland (800 n.C.) van Abu Ja’far Muhammad ibn Musaal-Khwarizmi, wiens naam in het woord ‘algoritme’ (rekenwijze) is blijven voort-bestaan. Zijn hoofdwerk De kunst van het overbrengen en het wegstrepen heeftals Arabische titel Ilm aljabr wa’l muqabalah, waarin we het vertrouwde woord‘algebra’ zien blinken. Het is de onsterfelijke verdienste van al-Khwarizmi geweestdat hij de Arabische getalnotatie met de nul heeft uitgerust en verrijkt.Men kan niet beweren dat de toevoeging van de nul aan het westerse denken ‘inde lucht hing’. Het rekenboek van al-Khwarizmi moest drie eeuwen lang in debibliotheek van Bagdad liggen voordat het, in het Latijn vertaald, zijn weg vondnaar Europa. Zo zien we de nul als een knikker door de historie rollen, via de Itali-aanse wiskundigen Fibonacci (1200, Sicilie), Tartaglia (1500, Venetie) en Cardano(1500, Rome), naar de Fransman Viete tot hij, aangekomen bij Descartes (1625),in de analytische meetkunde zijn uiteindelijke plaats krijgt.

Krol legt Ort nauwelijks technische termen in de mond, op algoritme na. Daar geeft hij weleen kleine duiding bij, “rekenwijze”, waarbij opnieuw opvalt dat Krol een snelle, vage duidingverkiest boven een exacte formulering.

Verder heeft Krol het hier over de geschiedenis van het getal nul. Deze passage zou weleens kunnen verrijkend zijn voor zowel wiskundigen als niet-wiskundigen; lang niet iedereen iser zich namelijk van bewust dat er eeuwenlang gerekend is zonder nul, en dat deze toevoegingvan relatief late datum is. Krol zet zijn lezers, wiskundigen of niet, hier aan het denken: zijnsommige (zoniet alle) wiskundige concepten wel zo evident als we zelf menen?

Iets verderop legt Krol professor Ort volgende woorden in de mond (p. 79):

– De kunst van het rekenen met breuken werd uitgevonden door Stevin (1580,decimalen).

– De kunst van het rekenen met zeer grote getallen werd uitgevonden doorNapier (1594, logaritmes)

– De kunst van het rekenen met oneindig kleine getallen werd uitgevonden doorNewton en Leibniz, onafhankelijk van elkaar (±1670, infinitesimalen).

De termen logaritme en infinitesimalen zijn vast onbegrijpelijk voor niet-wiskundigen, maarKrol geeft die termen ook slechts op tussen haakjes. In de hoofdtekst heeft hij het gewoonover “zeer grote getallen” en “oneindig kleine getallen”. Het feit dat Krol tussen hakentoevoegt “logaritme” en “infinitesimalen” wijst op twee zaken: ten eerste wil hij ook voorniet-wiskundigen begrijpelijk schrijven; ten tweede wil hij aan hen die op school toch minstenseens van logaritmes of infinitesimalen gehoord heeft, hier iets specifiekers aanduiden waaroverhij het heeft.

Op p. 80 gaat Krol dan weer verder over het getal nul:

Het cijfer nul had zijn oorsprong in India. Het diende als telmiddel in de handel.Om de rekening van een koopman te begrijpen, moet je willen begrijpen dat jeruimte maakt voor iets wat er niet is. Dat is het geheim van het tellen als je hetniet met je vingers, maar met een schrijfstift doet.

Omdat dit stukje geen technische woorden bevat, worden zowel wiskundigen als anderener op gewezen dat wiskundige concepten vaak bedacht of uitgevonden worden, iets wat tochniet voor de hand ligt. We komen daar uitgebreid op terug in sectie 6.2.


De opsomming van Prof. dr. H.O. Mayer-Kuckuck

Nochtans zijn enkele opmerkingen in Rondo Veneziano duidelijk enkel en alleen voor wiskun-digen (of breder: voor onderlegden) bedoeld. Zo krijgen we op p. 127-130 een erg langeopsomming van namen van wiskundigen en wetenschappers, en wel in de vorm van een lezingvan prof. Mayer-Kuckuck.22 Deze (op het eerste zicht erg saaie) lezing heeft als bedoeling nate gaan wie wie precies heeft beınvloed. Een typisch stukje uit deze lezing ziet er als volgt uit(2004c: 128):

En Aristoteles leerde Theophrastus, Strato en Archimedes. En Archimedes leerdeEratosthenes, Apollonius en later Galilei en Stevin.

Merk op dat deze opsomming inderdaad hout snijdt: Aristoteles was ouder dan Theofrastosen was inderdaad zijn (belangrijkste) leermeester. En ja, zowel Eratosthenes, Apollonios alsGalilei en Stevin zijn, rechtstreeks of onrechtstreeks, beınvloed door Archimedes.

Zonder waarschuwing wijkt Krol echter een aantal keer van deze manier van werken af. Zolezen we, nog steeds op p. 128:

[. . . ] En Descartes leerde Bernouilli, Leibniz en Euler. Euler leerde veel vanzichzelf.

Dit laatste zinnetje valt uit de toon, en wel op zo’n manier dat het opvalt voor wiskundigenen niet-wiskundigen. Maar daar waar wiskundigen hierbij hartelijk in de lach zullen schieten,kunnen de niet-wiskundigen enkel hun wenkbrauwen fronsen en verder lezen. Euler wordtdoor wiskundigen namelijk vaak aanzien als de meest bedrijvige wiskundige ooit. Feit is datde stellingen die op zijn naam staan, zo goed als ontelbaar zijn. Krol heeft hier dus op ergoriginele manier een mooie inside-joke gemaakt, die vrijwel enkel wiskundigen zullen begrijpen.

Daar waar in dit geval ook sommige niet-wiskundig-geschoolden zullen doorhebben dat eriets aan de hand is, dankzij de uit de toon vallende formulering, hoeft dit niet steeds het gevalte zijn. Zo lezen we op p. 129, wanneer Mayer-Kuckuck is aanbeland bij de wiskundigen vande negentiende eeuw: “Lobatsjefski, Bolyai, Riemann, zij leerden Euclides.” Strikt genomenis dat uiteraard onmogelijk, want Euklides leefde twee millennia voor de drie anderen. Logischgezien kunnen ze hem dus nooit iets geleerd hebben.

Niet alle niet-wiskundigen zullen hierover struikelen, of althans niet zo makkelijk als in hetvorige voorbeeld. Voor de wiskundigen — en enkel voor hen, blijkbaar — heeft Krol weer eenerg fijnzinnig grapje gemaakt. Euklides is namelijk de architect van de axiomatisering van de(euklidische) meetkunde. Zijn vijfde axioma heeft de intellectuele wereld echter jarenlang opde maag gelegen, en het waren uitgerekend Lobatsjewski, Bolyai en Riemann die er achterkwamen dat je ook consistente meetkundes krijgt, wanneer je Euklides’ vijfde axioma vervangtdoor bepaalde andere axioma’s. Zo gezien hebben deze drie wiskundigen eeuwen na datumeen erg belangrijke aanvulling gemaakt bij Euklides’ vondst.

3.3 Besluit

Wiskundigen zullen waarschijnlijk zelden problemen hebben om de wiskundige passages bijKrol te volgen. We hebben gezien dat bepaalde opmerkingen duidelijk enkel voor wiskundig

22De volledige opsomming en het belangrijkste deel van de omkadering zijn opgenomen in bijlage A, punt317.

3.3. Besluit 37

onderlegden bedoeld zijn. Zulke passages zijn zelfs niet eens dun gezaaid: denken we maar aande slotpassage van De ziekte van Middleton met de logaritme van de exponentieel stijgendesom; de anekdote van Gauss en Farkas Bolyai in Gottingen; of de grapjes die Krol verstoptin Mayer-Kuckucks lezing. Krol profileert zich in deze passages als een wiskundige die (niet-wetenschappelijk) proza schrijft voor wiskundigen, en dat zou wel eens vrij uniek kunnen zijn.Daar dient wel bij opgemerkt te worden dat het hier telkens gaat om insinuaties die slechtseen beperkte weerslag hebben op het verhaal: een niet-wiskundige zal deze insinuaties welontgaan, maar raakt daardoor de draad van het verhaal niet noodzakelijk kwijt.

Bij sommige gelegegenheden wil Krol zijn wiskundig onderlegde lezers misschien zelfs ietsbijleren. Maar net zoals in het geval waar Krol denkt verduidelijkende informatie te verstrekkenaan niet-wiskundigen, gaat hij ook in dit geval dikwijls te kort door de bocht. Zo laat Krolbijvoorbeeld na om de zeta-functie te definieren, iets wat hij (voor wiskundigen) toch zoumoeten kunnen doen op een paar lijntjes. Het mogelijke excuus dat hij dit doet om begrijpelijkte blijven voor niet-wiskundige lezers, is niet echt aan de orde, omdat Krol voor hen zeker tetechnisch schrijft. Bijgevolg zijn sommige passages wat dit betreft haast vis noch vlees: nietdiepgaand genoeg voor wiskundigen en te moeilijk voor anderen.

Het heeft er alle schijn van dat Krol net dit laatste punt niet door heeft, en dat hij onterechtdenkt dat ook niet-wiskundigen zelfs bepaalde wiskundige passages kunnen volgen dankzij dehulpmiddeltjes die hij aanreikt. Krol probeert dit in elk geval meer dan eens: getuige daarvanzijn de korte verduidelijkingen die hij soms bij technische termen geeft. Spijtig genoeg zijndie duidingen zo kort, dat de meeste niet-wiskundige lezers er waarschijnlijk niet zo veel aanhebben. Ten tweede hebben verschillende voorbeelden ons aangetoond dat de meeste van dieverduidelijkingen enkel bedoeld zijn om de lezer in deze specifieke passage verder te helpen;bijna nooit geeft Krol een exacte, algemeen geldende definitie. En ten derde gaat Krol hierinnogal slordig en onvolledig tewerk. In eenzelfde passage continuıteit en discontinuıteit van eenfunctie proberen uit te leggen, maar er wel aan voorbijgaan wat een functie nu eigenlijk is,wijst er waarschijnlijk op dat Krol zich niet goed meer kan voorstellen wat al dan niet evidentis voor niet-wiskundigen. Daarenboven laat Krol veel te vaak technische termen onverklaard:denken we maar aan de verschillende kegelsneden, die hij dikwijls gebruikt, maar nooit preciesduidt.

Waarschijnlijk is het dus niet Krols bedoeling om de niet-wiskundige veel wiskunde bij tebrengen: daarvoor zijn de verduidelijkende wiskundige passages te schaars, en daar waar ze zijn,zijn ze niet diepgaand genoeg. Nochtans heeft dit zeker repercussies op het lezen van Krolsromans: Het gemillimeterde hoofd stond bol van de wiskunde, en we onderscheidden er zomaar even zeven mogelijke functies van wiskundige passages. In het volgende hoofdstuk zullenwe, voor elk van deze categorieen, nagaan of er tussen het verschijnen van Het gemillimeterdehoofd en Rondo Veneziano veel geevolueerd is. Zodoende zullen we nadien klaar zijn om overte stappen naar Krols laatste belangrijke werk: Rondo Veneziano.

Hoofdstuk 4

De functie van wiskunde in deromans van Krol

Slechts zelden tracht Krol zijn lezers iets bij te brengen over wiskunde. In tegenstelling totandere auteurs, zoals Doxiadis, Enzenberger en Guedj, ligt het dus niet in Krols bedoeling opliterair verantwoorde manier een alternatieve cursus wiskunde te schrijven.

Waar ligt dan wel de functie van de vele wiskundige passages en verwijzingen die Krolmaakt? In Het gemillimeterde hoofd hebben we een zeer grote tweedeling gemaakt: enerzijdshebben we strikt beschouwende passages gevonden, die men zou kunnen omschrijven als wis-kundige essays. Anderzijds vonden we ook veel wiskundige elementen terug in de verhalendestukken; in sectie 2.2.2 maakten we een opdeling van zes mogelijkheden waarop Krol dit deed.

In dit hoofdstuk zullen we nagaan hoe elk van deze zeven mogelijke functies van wiskundein het werk van Krol (waarvan zes in verhaallijnen en een als wiskundig essay) geevolueerd zijn.Hierbij houden we Bart Vervaecks stelling, dat er vanaf De chauffeur verveelt zich tot laat inde jaren ’80 zich een integratie van verschillende elementen voordoet, in het achterhoofd. Wekunnen er nu al op wijzen dat we ook in sectie 2.2.3 het al over dergelijke integratie hadden, enwel al in Het gemillimeterde hoofd . Dat is helemaal niet strijdig: Bart Vervaeck heeft namelijkzelf opgemerkt dat de evolutie altijd overal rechtlijnig is (Vervaeck 2007: 31). Ze hoeft dusniet van nul te beginnen en omgekeerd mogen we zelfs op het einde van de evolutie nog foutjesontwaren.

Tenslotte dient hierbij opgemerkt te worden, dat de classificaties van een passage tot eenvan zeven onderstaande categorieen, lang niet altijd zonder slag of stoot verloopt. Sommigestukken laten zich eigenlijk in geen enkel keurslijf dwingen, en niet zelden kan men eenzelfdepassage in twee (of zelfs meer) categorieen onderbrengen. Het is dan ook denkbaar dat ergoede argumenten zijn om sommige passages anders te klasseren dan ik hier doe.

4.1 (Schijnbare) randopmerkingen over wiskunde

Als Krol bij het horen van het woord ‘lichaam’ in een niet-wiskundige context toch direct gaatdenken “aan een ring die onder vermenigvuldiging een groep is” (1967: 94), dan brengt datniets bij aan het verhaal zoals het op dat moment verloopt. Hooguit worden we nogmaalsherinnerd aan het feit dat Krol gek is op wiskunde.

Reeds op p. 17 hebben we opgemerkt dat niet alle randopmerkingen geheel nutteloos zijn:sommigen kleuren het verhaal. We zullen in deze sectie ook een derde soort ‘randopmerking’

39

40 Hoofdstuk 4. De functie van wiskunde in de romans van Krol

beschouwen, die we nog niet ontmoetten in Het gemillimeterde hoofd .

4.1.1 Waarom haalt Krol dit aan? Opmerkingen geheel terzijde

Werkelijk plompverloren opmerkingen over wiskunde komen na Het gemillimeterde hoofd nogslechts uiterst zelden voor. Op p. 17 van De chauffeur verveelt zich (1973) lezen we bijvoorbeelddat Krol in een Philosophy of Mathematics zit te lezen. In Een Fries huilt niet dan, krijgen weeen uiterst curieuze passage voorgeschoteld (hoofdpersoon Robert Roffel heeft het over hetspel Stratego; van alle stukken zou hij het liefst verkenner zijn, zegt hij) (1980: 30):

Want waar elk stuk per zet maar een veld beweeft, kan de verkenner, als de wegdaartoe vrij is, het hele bord oversteken en tegen het vijandelijke stuk geplaatstvragen: wie ben jij? En voor het antwoord op die vraag zijn leven geven.

Interferometrie — zoals ik denk dat dit vak eruit ziet: twee lijnen die elkaar snijdenonder een scherpe hoek. Een kleine beweging en het snijpunt schiet over het papier.Een beweging die door niemand waar te nemen, of te voorspellen viel. Het enigestuk dat er nog staat is de vlag.

Maar zoals gezegd zijn zulke opmerkingen hoogst uitzonderlijk. Zo gezien maakt Krol inzijn latere werk wellicht minder rare bokkesprongen dan in Het gemillimeterde hoofd .

4.1.2 Randopmerkingen die het verhaal kleur geven

In Het gemillimeterde hoofd lazen we dat Krol het vinden van een bewijs wel durfde te gebruikenom een mooie dag te schetsen. Ook in later werk helpt wiskunde het verhaal soms kleur tegeven.

Om een gevoel van opluchting bij de hoofdpersoon te tekenen, bijvoorbeeld. Zo lezen wein In dienst van de ‘Koninklijke’ dat Krol zich tijdens zijn legerdienst niet altijd even nuttigvoelde, maar (1974: 31):

Het belangrijkste was dat ik van mijn mathematisch-filosofische werk af was. Inhet wijde perspectief van die dagen kwam dat werk mij voor als de laatste wagonvan een zich pijlsnel verwijderende trein. Blij dat ik was uitgestapt en kon zienhoe klein de ruimte was waarin ik al die jaren had geleefd.

Krol doet dat een aantal keer, en blijft dit doen. Zoals in De vitalist: Roetie, Johansvrouw, komt bij hem tot aan zijn bureau en vraagt (2000: 22; cursivering in origineel):

‘Wat ben je aan het doen?’‘Aan het doen?’ Hij antwoordde dat hij bezig was met een artikel voor de Contem-porary Mathematics, over de functies van Fuchs. . . Maar goed, dat deed hij voorde faculteit. Minstens zo leuk was de klus waar hij in zijn vrije tijd aan werkte:een wiskundige beschrijving van de heteluchtmotor. Daar was hij op het instituutmee bezig, niet hier. Tjonge, wat geurde die meid. . . Meestal zondags.

Met wiskunde bezig zijn is dus leuk, vindt Johan; hij amuseert zich op dit ogenblik. Blijk-baar is wiskunde zelfs zo leuk, dat Johan niet goed weet of tijd doorbrengen met zijn vrouwwel leuker is.

4.1. (Schijnbare) randopmerkingen over wiskunde 41

In elk geval valt de verwijzing naar wiskunde hier steeds minder onverwachts uit de luchtdan in de vorige paragraaf het geval is. Blijkbaar leert Krol om zijn referenties aan de wiskundetoch enigzins in te kleden. Hij ontdekt zelfs een andere methode die zich daartoe leent, zoalswe zullen zien in het volgende stukje.

4.1.3 Wiskunde handig gebruikt om gaatjes op te vullen

Een eerste voorbeeld hiervan komen we pas vrij laat tegen, namelijk in Scheve levens. Als Krolin die roman een filosofische beschouwing houdt over het begrip ‘toeval’, dan lezen we: (1983:29):

Je noemt iets ‘toevallig’ niet omdat het onwaarschijnlijk is dat ’t gebeurt, maaromdat je het niet verwacht. In de roos schieten met een Lee Enfield op vijfhonderdmeter is zeer onwaarschijnlijk, maar schiet je in de roos, dan is dat zeker geentoeval. Ook niet als je zes keer in de roos schiet. Schiet je echter zes keer naastde roos en vormen je schoten op de schijf een regelmatige zeshoek, dan noem jedat ‘toeval’. Je noemt dat ‘toeval’ niet omdat die schoten zelf zo bijzonder zijn,maar omdat ze samen een zeshoek opspannen.

Een verwijzing naar een wiskundig concept als een “regelmatige zeshoek” is zeker nietstrikt noodzakelijk om het begrip ‘toeval’ te omschrijven zoals Krol hier doet, maar het is inelk geval erg handig. Men zou overigens kunnen opmerken dat iemand die een moeilijk conceptwil uitleggen, dit best doet aan de hand van voorbeelden uit een domein waar men goed thuisin is; voor Krol is dat uiteraard zonder twijfel de wiskunde. Al dient ook weer opgemerkt teworden dat het gebruik van de wiskunde hier eigenlijk niet opvalt: om het even welke andereauteur zou dit voorbeeld kunnen gebruikt hebben.

Een dergelijke passage vinden we ook in Omhelzingen, wanneer Onno (een van de velehoofdpersonen in dit boek) een vrouw probeert te versieren. Zij blijft echter plagerig bewerendat ze wel heel erg dom is (1993: 210):

‘Vraag maar ’s wat,’ drong ze aan, terwijl ze haar arm om zijn benen sloeg. ‘Ietsheel makkelijks.’‘Iets heel makkelijks’ bromde hij. ‘Iets heel makkelijks. Hoeveel is tien tot demacht drie?’‘O jongen, dat is veel te moeilijk. Iets makkelijks zei ik toch?’‘Nou. . . ’s Kijken. Hoeveel is twee maal twee?”‘Drie.’‘Dat is fout’ zei hij terwijl hij haar teder tegen zich aandrukte.‘Dat zei ik toch. Ik ben oliedom.’

4.1.4 Besluit

Passages waarin wiskunde slechts een zijrol speelt, en waar de wiskunde zonder erg veel pro-blemen kan worden verwijderd, zijn eerder uitzonderlijk. Als ze al voorkomen, ontwaren weeen bepaalde tendens in het latere werk om minder geforceerd over te komen; ze zitten als hetware beter vervlochten in het verhaal. Maar dergelijke passages komen te weinig voor om erbelangrijke conclusies uit te kunnen trekken.


4.2 Vergelijkingen

Zowel in De rokken van Joy Scheepmaker als in Het gemillimeterde hoofd gebruikte Krolsoms wiskunde in een vergelijking, om preciezer uit te kunnen leggen wat hij bedoelt. Zoalsopgemerkt hebben zulke vergelijkingen eigenlijk pas zin als we als lezer zelf al in de wiskundezijn ingewerkt; zoniet ontgaat ons uiteraard het verduidelijkende aspect van de vergelijking.

In wat volgt zullen we drie soorten vergelijkingen onderscheiden: eerder vage vergelijkingen,die niet de bedoeling hebben iets te verduidelijken, maar veeleer de scene kleuren; functionelevergelijkingen die de wiskundige lezer helpen iets beter te snappen; en zelfs heuse Homerischevergelijkingen. Vooral die laatste categorie is uiteraard vrij verrassend.

4.2.1 Kleurende vergelijkingen

Doorheen de beschouwde romans, vinden we een aantal voorbeelden van vergelijkingen metwiskunde die blijkbaar enkel ingevoerd zijn om het verhaal wat levendiger te maken. De eerstekeer is pas in 1982, in De man achter het raam. Op p. 83 lezen we daar namelijk dat Adamshuis een beetje scheef staat en dit is het gevolg: “Melk in de flessen als ellipsen.”

Als Dalmolen, een van de vele hoofdpersonen uit Omhelzingen, beschrijft wat hij allemaalvanuit de trein ziet, lezen we (1993: 21): “Het land was groot en vlak, de spoorlijn lag rechtals een driehoek met de punt op de horizon.”

En wanneer Wouter, de hoofdpersoon van Middletons dood , aan zijn vriendin Reginavraagt hoe lang ze nog denkt te zullen studeren, schrijft Krol (1996: 43):

‘Nou, ’s kijken. . . ’Lief, hoe ze daarbij haar vragende blik, twee groene ellipsen, op het plafond hadgevestigd.

Mogelijk is het feit dat we pas in 1982, met De man achter het raam, een eerste derge-lijke vergelijking tegenkomen, toeval. Immers, zoals we in sectie 4.1.2 zagen, komen we dekleurende variant van de randopmerking al veel vroeger tegen (in 1972, met In dienst van de‘Koninklijke’).

4.2.2 Functionele vergelijkingen

Krol blijft verduidelijkende vergelijkingen gebruiken doorheen de rest van zijn oeuvre. Zo lezenwe in De laatste winter (1970: 15-16):

Lima is een stad die gebouwd is in de vorm van een gelijkzijdige driehoek waarvaneen zijde langs de oceaan ligt. De twee andere zijden lopen tegen de bergen op.

Aangezien een ‘gelijkzijdige driehoek’ een vrij eenvoudig begrip is, zullen weinig mensenproblemen hebben om deze vergelijking te begrijpen. Maar het kan ook anders, zoals Krolaantoont in De man achter het raam, waar enige vertrouwdheid met de Godelstelling misschienwel welkom is. Als de artificiele intelligentie Adam zegt over zichzelf dat hij aan iemandsuitspraak kan horen of hij de waarheid spreekt of niet, vindt zijn constructeur Wessel dat ergknap. Krol gaat verder (1982: 46-7):

Hij [=Wessel, SC] oppert het idee dat hij ten opzichte van mij een analfabeet is,die het hebben moet van ongearticuleerde geluiden. Ik [=Adam, SC] geloof het

4.2. Vergelijkingen 43

niet. Het enige verschil tussen hem en mij is dat ik mezelf met m’n eigen ogen kanzien. Wessel niet. Die kan zichzelf niet met zijn eigen ogen zien. Onze conversatieis dus beperkt. Er is die beroemde stelling van Godel, die zegt dat iets waar kanzijn, zonder dat je het kunt bewijzen. Voor het bewijs van die stelling is een zinnodig die zichzelf beschrijft. In een automaat is dat de instructie die zichzelf onderhanden neemt, met alle kansen op strijdigheid.

Opmerkelijk: ook al in De man achter het raam vindt regelmatig een gelijkaardig procesplaats, al wordt wiskunde daar niet gebruikt als verduidelijking voor de lezer. Adam kannamelijk dankzij wiskunde het hem vreemde begrip ‘lezen’ vatten (1982: 18; cursivering inorigineel):

Lezen. Ik wist niet precies wat dat was. Een soort rekenen, maar dan met woordenen net zo nauwkeurig ook. En in een bepaalde volgorde. Daarin verschilde het vanhet rekenen.

Een passage uit De vitalist dan weer, duidt er enerzijds op dat Krol dit soort vergelijkingenblijft gebruiken, en ook dat de wiskunde die hij daarvoor gebruikt niet steeds erg evident hoeftte zijn. Wanneer Johan, professor wiskunde, het namelijk over de dood, het eeuwige leven enhet goddellijke heeft, zegt hij (2000: 73):

‘Er is,’ ging Johan verder, ‘veel dat we niet begrijpen omdat het te klein is vooronze waarneming, omdat het een product van toeval is. God is als het verdwijnpuntin de meetkunde. Hoe dichter je erbij komt, hoe verder weg het blijkt te liggen.Toch teken je het verdwijnpunt gewoon op een A4’tje. Zo dichtbij als je maarwilt. Het is oneindig klein. De oude God wordt “oneindig groot” genoemd, opdatmen zo uitdrukking kan geven aan het ontzag dat men voor hem koestert, menkoestert graag ontzag, dus hun God is groot, oneindig groot liefst. Maar als erıets oneindig is aan God, dan is het daar waar hij in het kleine werkt. Wel is hijoveral — voorzover wij hem niet kennen. Hij is daarom: almachtig — daar waarwij niet zijn of waar wij niet ingrijpen. En hij is oneindig — waar wij eindig zijn.’

Bij deze laatste passage dient uiteraard opgemerkt dat niet Krol zelf aan het woord is, maareen van zijn personages. Dit houdt in dat deze passage wellicht ook dienst doet als tekeningvan het personage Johan. Wie de roman gelezen heeft, zal waarschijnlijk niet verbaasd zijndat Johan zelfs voor religieuze ideeen zijn inspiratie haalt uit de wiskunde.

4.2.3 Homerische vergelijkingen

Maar tot vier maal toe haalt Krol een ongeziene tour de force uit: hij schrijft Homerischevergelijkingen waarbij hij parallellen trekt tussen de werkelijkheid en wiskunde. Dit is ongezien,en een belangrijke getuigenis van het feit dat Krol zowel uit de zogenaamde alfa- als beta-cultuur zijn mosterd haalt. Krol is niet alleen thuis in de wiskunde: hij kent ook zijn Homeros.1

1Iets waar Krol overigens expliciet een aantal keer naar verwijst in zijn werk; bijvoorbeeld in De oudste jongen(1998a: 96):

Ik had er tegenover Bosma al wel ’s noodgedwongen iets over losgelaten (Plato, Homerus) en dievertelde het nu aan Dekker: ‘Dij jong leest boukn van dreidoezend joar leedn.’ [. . . ]

Ik las niet alleen Plato en Homerus, maar vooral ook Trakl en Stramm.


De eerste keer dat we zo’n vergelijking vinden, is in De ziekte van Middleton (1969), waarhoofdpersoon Pipper het heeft over “Gezant Q.” Hoewel ze mekaar niet persoonlijk kennen,wordt Pipper tot zijn eigen verbazing uitgenodigd op een feestje dat Gezant Q. organiseert.Pipper gaat toch op deze uitnodiging in, maar denkt er het zijne van (p. 83-4):

Het laat me koud wie hij [=Gezant Q., SC] is, maar toch sla ik hem gade, ikbeschouw hem zoals ik vaak een punt P, of Q, beschouwde in de tijd dat ik mijverdiepte in de meetkunde — zo beschouw ik de gezant en ik heb mijn gedachtenover deze man.

Nog steeds op p. 84 gaat Pipper hierop door:

Zo denk ik over de gezant als een punt P in de ruimte, maar wij allen zijn puntenP1, P2 ... Pn in de ruimte en hoe komen we tot elkaar?

In Een Fries huilt niet krijgen we weer zo’n mooie vergelijking, zij het niet met wiskundemaar met fysica; de ik-persoon in dit stukje is Robert Roffel (1980: 11):

Agnes Schonfeld, mijn vriendin, kwam ik nog een keer tegen, op de Oude Bin-nenweg. Ze zag me nıet. Ik stond voor een etalage en zag haar, weerspiegeld,voorbijstappen met d’r mandje vol Franse boeken aan de arm. En d’r Fransepaardestaartje.

Precies zo werkt een halfgeleider. Ik zag haar, maar zij mij niet; de stroom gaatslechts een richting uit.

Als iets verder in die roman hoofdpersoon Robert Roffel bedenkingen begint te krijgenbij zijn huwelijk met Yvonne, krijgen we opnieuw eerst een (gewone) vergelijking, waar Kroloverigens nog een woordspelletje toevoegt, maar nadien alweer een Homerische vergelijkingmet een natuurkundig concept (1980: 74):

Niets, niets hebben we gemeen, Yvonne en ik. Waar zij hoogte heeft, heb ikbasis en breedte, of waar ik diepte en hoogte heb, heeft zij breedte, zeg maaruitgebreidheid. Ongeveer zoals een radiogolf zich voortplant: trillend in een tweetalrichtingen die loodrecht op elkaar staan, en loodrecht op de richting van de golfzelf. Samen brengen die trillingen de golf voort en die golf dat waren wij, het enigedat wij gemeen hadden.

Maar dan moet het mooiste nog komen. In zijn roman Maurits en de feiten, die eerderhandelt over de problematiek rond de doodstraf, haalt Krol slechts eenmaal wiskunde aan. Indeze roman heeft Maurits een verhouding met zowel zijn stiefmoeder Zwaan als met Mirjam.Zwaan, die arts van beroep is, is hier niet mee opgezet en heeft Maurits al herhaaldelijkaangespoord zijn relatie met Mirjam te verbreken. Uiteindelijk smeden Zwaan en Maurits eenplan, maar als lezer blijf je in het ongewisse wat dat plan is. Dan lezen we een passage die elkewiskundige zich maar al te goed uit ervaring kan voorstellen; aan het woord is Maurits (1986:149):

Uit overwegingen van schoonheid, heb ik gezegd. Cleanheid. Je zit te rekenen,maar de som komt uit op een breuk, terwijl je op een geheel getal moet uitkomen.

4.3. Mathematics: connecting people 45

Je hebt een fout gemaakt. Dat is niet erg, dat kan iedereen overkomen. Erger isdat je in de correcties die je aanbrengt opnieuw fouten maakt, je gaat knoeien enhet wordt een smeerboel. Het beste is opnieuw te beginnen en te doen alsof jenog helemaal geen fouten gemaakt hebt. Je scheurt de bladzij er gewoon uit. Jemaakt er een prop van die je weggooit. En een nieuwe, schone bladzij straalt jetoe — alsof er niets gebeurd is.

In de volgende paragraaf ontvangt Zwaan Mirjam, zogenaamd voor een ingreep, maarZwaan geeft (bij medeweten van Maurits) Mirjam een dodelijke injectie. Wat bovenstaandevergelijking spijtig genoeg verklaart. . .

4.2.4 Besluit

Doorheen zijn hele werk blijft Krol vergelijkingen met de wiskunde gebruiken. Daar lijkt weinigevolutie in te zitten; hij blijft het ongeveer even vaak doen, en enkele mooie zaken, zoals deHomerische vergelijkingen, vinden we al vroeg terug. Misschien kunnen we stellen dat op ditgebied Krol wiskunde en literatuur de eerste keer goed versmolten krijgt (voor een eerste keerzelfs al in De rokken van Joy Scheepmaker).

4.3 Mathematics: connecting people

4.3.1 Wiskunde als verleidingstruc

In De rokken van Joy Scheepmaker toont Kraus Joy het raam van Moebius in een poging haarte versieren; in Het gemillimeterde hoofd verliest Krol even de pedalen als hij alleen is metEvelyn en geeft hij haar (in een, achteraf gezien, genant moment) nog iets mee over de stellingvan Desargues.

En in zijn ander werk? In Een Fries huilt niet loopt Robert Roffel na vele jaren zijnjeugdliefde Agnes Schonfield, bijgenaamd Schone, toevallig weer tegen het lijf. Ze brengt hemhun gemeenschappelijke interesse in herinnering (1980: 82):

Getallen, zegt Schone, jij bestaat uit getallen en wij beiden denken dat deze voor-keur voor getallen, deze liefde voor het rekenen een wetenschappelijke instellingverraadt [. . . ]

Een andere keer zien we wiskunde ook letterlijk als onderdeel van het verleidingsspel te-rugkeren. In De oudste jongen vertelt Krol ons over een van de eerste meisjes waar hij ooitverliefd op geweest is. Over haar geeft hij ons mee (1998a: 118):

Ik hielp haar met haar wiskunde, waar ze trouwens niet slecht in was, maar ze vondhet geloof ik leuk het van mij nog ’s uitgelegd te krijgen.

Dit zijn de enige twee rechtstreekse linken tussen wiskunde en verleiding die er voor RondoVeneziano nog vermeld worden. Het valt wel op dat ze blijven voorkomen (De oudste jongen isvan betrekkelijk jonge datum; het boek verscheen in 1998). Dat komt omdat we ‘wiskunde alsverleidingstruc’ kunnen zien als een onderdeel van wiskunde als bredere basis voor het smedenvan vriendschappen. Daarvan zijn er in gans het werk van Krol voorbeelden te over, zoals nuzal blijken.


4.3.2 Wiskunde brengt mensen dichterbij

Als Pipper in De ziekte van Middleton het vliegtuig neem, blijkt Christiaan Huygens naasthem te zitten; hun beider voorliefde voor wiskunde en natuurwetenschap is een reden om tweepagina’s lang met elkaar te babbelen (1969: 91-2). Later in diezelfde roman leert Pipper deSandersons kennen, een sympathiek echtpaar dat zijn studies financiert, onder meer omdatmijnheer Sanderson en Pipper dezelfde interesses hebben: logica en wiskunde. Regelmatigloopt Pipper dan ook bij zijn vrienden aan (p. 133).

Met medewiskundigen kun je tenminste praten als wiskundige; getuige deze passage uitEen Fries huilt niet (1980: 107):

Met Nico Parcival stond ik op een avond bij een bushalte; ik had toch niets meer tedoen. Ik vertelde hem, terwijl het zachtjes begon te regenen, dat ik, omwille vande stijl, als dat nodig was, graag zou beweren dat een parabool twee brandpuntenhad — wat dus niet waar is. Hij glimlachte en vroeg of ik de stelling van Brouwerkende: twee vellen papier liggen op elkaar. De bovenste trek je eraf, je maakt ereen prop van en die gooi je terug op het vel dat er nog ligt. Dan kun je bewijzendat, hoe je die prop ook maakt, en hoe je ’m ook gooit, er altijd wel een punt isdat loodrecht ligt op de plaats waar hij vandaan komt.

In Scheve levens dan weer, is GK aangenaam verrast als hij door de bibliotheek van zijngastheer struint en onverhoopt stuit op “het boekje Leven, Kunst en Mystiek van L.E.J.Brouwer, waar ik flink heb in zitten lezen” (1983: 40; cursivering in origineel), wat wijst op eengedeelde fascinatie van de gastheer en GK voor de bekende wiskundige Brouwer. In De oudstejongen leert GK Mattheus Blok beter kennen, wat aanleiding geeft tot een lange passage waarinde twee verschillende gesprekken over logica en later ook wiskunde hebben (zie bijlage A, punt268). En wanneer GK in 60000 uur met een collega staat te praten met een collega, vertelthij ons hierover: “We praatten over het mooie van de wiskunde, over vrouwen en filosofie.”(1998b: 319). Hoe kenmerkender kan een uitspraak van Krol zijn?

Er zijn nog vele andere voorbeelden van romanpersonages bij Krol die elkaar vinden dankzijde wiskunde. Een mooi excuus voor Krol om wiskunde te verwerken in zijn romans. Krol blijftdit doen van heel vroeg in zijn werk (in De rokken van Joy Scheepmaker was er al sprake van)tot op het einde (denken we aan de Gottinger hotelbaas op het einde van Rondo Veneziano).Maar er lijkt niet echt een evolutie te zitten in de beschrijving van deze ontmoetingen.

4.4 Wiskundig denken en doen

Elk van de vorige drie secties heeft er ons al van overtuigd dat het denken van Krol doordrongenis van de wiskunde. Dat dit altijd zo gebleven is, blijkt uit een citaat uit Krols laatste roman,Duivelskermis, een verhaal dat handelt over de ziekte van Parkinson, waar Krol aan lijdt.Duivelskermis is geschreven na Rondo Veneziano, en strikt genomen hoort deze passage hierdus niet thuis, maar we nemen ze er toch even tussen (2007: 83-4):

De wereld was leeg, de nacht diep en toen heb ik het aangelegd met een wikkelvan tpg-Post. Port betaald, Port paye. Die lag voor mij op de tafel. Ik heb ’mbij me genomen, langzaam, langzaam in een oneindig aantal bewegingen zodat hijer niets van zou merken dat hij verplaatst werd. Ik werd daar warm, gloeiend van,en hij ook. Hij kwam bij me gekropen. Echte Liefde. Toch bleek na lange tijd

4.4. Wiskundig denken en doen 47

de som van dat alles de totale verplaatsing gelijk aan nul te zijn. In het rijk derdemonen is het leven gelijk aan nul. Er zijn geen demonen en toch jagen ze jeangst aan. Ze spreken niet en toch is hun gefluister alom.

Het “rijk der demonen” verwijst naar de waanvoorstellingen waaraan Krol lijdt als ne-veneffect van zijn medicatie tegen Parkinson.2 De manier waarop hij de verplaatsing van deenveloppe beschrijft, is een verwijzing naar het concept van het integreren uit de wiskundigeanalyse: de som van een oneindig aantal oneindig kleine bewegingen, kan een reeel getal op-leveren. Met andere woorden: verplaatsing op die manier is zeker mogelijk. En een mogelijkeuitkomst van een bepaalde integraal over een bepaald interval is nul, zoals hier blijkbaar hetgeval is.

Dit niet-aflatende denken in wiskundige patronen, uit zich op verschillende manieren in hetdoen en laten van Krols romanpersonages. Soms leidt dat tot absurde situaties (denken weaan de ‘koppelmachine’ uit Het gemillimeterde hoofd); maar andere keren vertaalt zich dat innormale verhaallijnen waaruit wiskunde om die reden niet weg te denken is. Het feit dat Krol inzijn professioneel leven veel met wiskunde in contact gekomen is en dat hij vaak ogenschijnlijkautobiografisch schrijft, levert op dat GK (of andere romanpersonages) vaak haast verplichtwordt wiskunde toe te passen.

Beide mogelijkheden — wiskunde toegepast tot in het absurde en wiskunde toegepast alsnoodzakelijk element — zullen we hierna verder onderzoeken.

4.4.1 Dromer Krol

Soms gebruikt Krol wiskunde zo onverwachts, dat de tekst gewoonweg grappig wordt. In heteerste bijvoegsel van De ziekte van Middleton krijgen we bijvoorbeeld een oproep tot jongeingenieurs om mee te helpen bh’s ontwikkelen. Een van de kernpunten in deze oproep is eenmeetkundige beschrijving van hoe bh’s gemaakt worden, compleet met historische achtergrond(1969: 216; ook de originele tekst is integraal cursief afgedrukt):

The basic breast cup is simply two curved pieces of material sewn together alongthe curve to form a hemisphere or a cone, depending on the cut of the curve. Inearly bras, the seam often proved irritating to the wearer, and specialists in cupdesign have concentrated over the years on moving in the seams away from thesensitive areas. Today, brassiere cups are often multi-sectional, formed of a numberof geometrical sections (triangles, trapezoids, etc.) pieced together to produce ahemisphere or a cone.

Dat deze passage grappig bedoeld is, ligt voor de hand. Dit kan een balletje opwerpen:zouden ook de andere passages waarin Krol praktische wiskunde te ver doorduwt, niet als grapkunnen opgevat worden?

Krol en de personages in zijn romans blijven blijk geven van een ongekend vertrouwen inde wiskunde. Meerdere passages lijken daarop te wijzen, zoals wanneer in Scheve levens GKonderzoek doet naar de werkprestaties op de werkvloer van het bedrijf van zijn vriend Georges(1983: 45):

2Zie bijvoorbeeld Zuiderent (2010): 336: “Al is het een lichamelijke ziekte, Parkinson blijkt, zoals gezegd, ooktrekken te vertonen van een ziekte van de geest. De behandeling ervan heeft hallucinatiorische bijwerkingen,zodat de patient wordt bezocht door spoken, monsters en demonen. Het is vooral deze kant van de ziektewaarover Krol door Duivelskermis te schrijven, helderheid hoopt te krijgen.”


Alles in de vorm van getallen, want daar ging het mij [=GK, SC] om: ik wildeniets zien wat ik niet kon uitrekenen.Ik ging verder. Want wat ik wilde weten, eigenlijk, was de waarde van ieder vandie mensen afzonderlijk.Ik kocht een zakautomaat en ging aan de slag. En bleef aan de gang, langer danmij lief was. Ik kon er ook niet meer mee ophouden, ik was nieuwsgierig naar deuitslag en ik rekende, de hele zomer en een deel van de herfst. (Ik weet nu watafzien is, in de wiskunde.) [. . . ]Hij [=George, SC] bekeek de lijst die ik hem had gegeven. Al zijn mensen. Ge-nummerd van 1 tot 30, in opklimmende waarde. Toen we de salarissen ertegenaanlegden, bleek ook dat een opklimmende reeks te wezen. Men kreeg precies watmen waard was.‘Te mooi om waar te zijn,’ zei George.

Dit stukje leunt van alle wiskundige passages na Het gemillimeterde hoofd , het dichtstaan tegen die van de ‘koppelmachine’. Het gebruik van wiskunde mag in deze situatie dan aliets aannemelijker klinken, het blijft toch een ongewone, zelfs gekke passage. In tegenstellingtot het stukje van daarnet, is deze passage niet uitgesproken grappig. Let overigens op debeschrijving van de rusteloosheid van de wiskundige: eens hij/zij zich vastgebeten heeft in eenprobleem, laat het hem/haar niet meer los. Dat is een fenomeen dat elke wiskundige zeker zalherkennen, maar dat niet beperkt blijft tot wiskundigen. Om het even wie passioneel begaanis met ‘haar’ of ‘zijn’ vakgebied, zal zich hierin herkennen.

In Middletons dood koppelt hoofdpersoon Wouter enkele mijmeringen over levensbe-schouwlijke zaken op haast religieuze wijze aan enkele wiskundige concepten (1996: 212):3

Ik [. . . ] grijp een stuk papier omdat me opeens iets te binnen schiet. Het betreftde verhouding tussen leven, kunst (schilderkunst), pin-up en porno, en weer terugnaar het leven, in een cirkel. Waan en werkelijkheid. En de liefde. We moetende liefde niet vergeten. Dus: leven, kunst, pin-up, porno, liefde en leven. Eenvijfhoek. In het algemeen heb ik wel fiducie in de vijfhoek — die onder andere degulden snede heeft opgeleverd en de reeks van Fibonacci. . . Het doet er niet toe.Het zijn van die schema’s die men na voltooiing en verworven inzicht in mekaarfrommelt. Wat bleef bovendrijven in deze gedachte was de stelling van Middletondat een pin-up girl niet zou moeten streven naar een carriere in de porno [. . . ].

Door plotseling erg zweverig te doen, wat we tenslotte niet van hem gewoon zijn, en allerleiconcepten op absurde manier met elkaar te verbinden, creeert Krol hier opnieuw een grappigesituatie. Wat hem overigens niet belet om een paar correcte uitspraken over de wiskunde meete geven. Dit alles mooi afgerond met de wiskunde doorgedreven in de porno: “de stelling vanMiddleton”. We zijn haast teleurgesteld dat we geen bewijs meekrijgen.

Zo absurd doorgedreven als in Het gemillimeterde hoofd komen de wiskunde-ideeen nietmeer, maar sommige passages liggen wel nog in die lijn. Niet zelden schijnt Krol een humo-ristische situatie te willen opwekken door het onverwachtse gebruik van wiskunde; het valtniet uit te sluiten dat dat ook de bedoeling was met de koppelmachine in Het gemillimeterde

3Bij Krol valt er wel degelijk te lezen “reeks van Fibonacci”; dat moet uiteraard zijn ‘rij van Fibonacci’.Omdat er, zelfs uit literair oogpunt, niet dadelijk een reden voorhanden is om het woordje ‘rij’ door ‘reeks’ tevervangen, gaat het waarschijnlijk om een schoonheidsfoutje. Deze keer is er dus waarschijnlijk geen sprake vaneen ‘literaire vrijheid’.

4.4. Wiskundig denken en doen 49

hoofd . GK beweert daar wel dat hij toch blijft geloven in zijn methode, maar dat zijn GK’swoorden, dat hoeven niet die van Krol zelf te zijn.

Daarenboven zijn er vele voorbeelden van passages waar wiskunde allerminst absurd wordttoegepast; we bekijken die nu even van naderbij.

4.4.2 En nu serieus

Hoewel Krol meermaals duidelijk laat blijken dat het hem om de wiskunde omwille van dewiskunde te doen is, komt enkele keren in zijn werk wiskunde toch terug als een praktischetool, niet zelden als hulpmiddel bij het beroep van de hoofdpersoon. Krol is immers jarenlangprogrammeur geweest bij Shell, en verwijst daar in zijn romans dikwijls naar. Meer nog: Krolheeft enkele romans geschreven die net over zijn tijd bij Shell verhalen. Dat is onder meer hetgeval voor In dienst van de ‘Koninklijke’, waar GK zegt (1974: 11):

Dat de lineair begrensde halfruimtes waar ik [=GK, SC] mee werkte, heel geschiktwaren om er het vraag-en-aanbodmechanisme van een fabriek mee te beschrijven,dat was een heel aardige ontknoping. Eindelijk aan de slag!

Vooral 60000 uur (1998b) staat bol van dergelijke passages. Een eerste keer is dat hetgeval op p. 48; met ‘put’ bedoelt Krol een boorput langswaar men gas naar de oppervlaktehaalt. Cursivering in origineel.

De capaciteit van een put wordt niet alleen door de put bepaald, maar ook doorde machinerie op de productielocatie, de drogers. Als zo’n droger buiten bedrijfis, is ook de productie van de put gelijk aan nul, die kan zijn gas niet kwijt. Dedruk is dan maximaal. In de putmond is de gasdruk afhankelijk van het gas en welomgekeerd evenredig: hoe hoger de snelheid, des te lager de druk. In een drogeris die verhouding recht evenredig: hoe hoger de snelheid, des te hoger de druk.Stroomt er geen gas, dan is er geen druk.

Mathematisch wordt de putcapaciteit weergegeven door een lijn schuin naar be-neden, en de capaciteit van de droger door een lijn schuin omhoog. De paradoxwordt opgelost op het snijpunt van beide lijnen, het is namelijk hetzelfde gas.

Op p. 49 komt daar overigens nog een kleine correctie op: “De schuine lijn naar beneden,van de putten, was niet een rechte lijn, maar een kromme, een parabool, gespecificeerd doordrie coefficienten, drie waarden.”

Met andere woorden: GK moet beroepsmatig gebruik maken van wiskundige analyse,waarbij er een belangrijke praktische rol is weggelegd voor het zuiver mathematische begripvan snijpunten. Dat is enigszins opvallend, omdat vele wiskundigen uiteindelijk de meeste vanhun wiskundekennis nooit echt praktisch zullen toepassen.

Krol beschrijft nadien GK’s verdere loopbaan bij de nam. Op p. 68-9 krijgen we weereen stukje waar Krol het beroepsmatig heeft over wiskunde; we bespraken een deel van ditfragment al op p. 22.4 Als GK dan uiteindelijk op pensioen gaat, houdt hij wel nog contactmet Ronda, een gewezen collega van op de nam die een goede vriend van GK geworden is. Opeen dag komt GK over naar Ronda, omdat deze een eigenaardige fout gevonden heeft (1998b:112; cursivering in origineel).

4Voor het volledige fragment: zie bijlage A, puntje 273.


De fout. Ronda haalt de papieren erbij en wijst mij een rare hoge productiewaardevan de locatie Slochteren, de oudste winplaats nota bene. Hij wijst mij hoeverhij in de berekening is terug kunnen gaan: de productiekromme van de putten ende schuine lijn van de behandelingsinstallaties, de drogers, het snijpunt daarvan.Waarom, vraagt hij, is de berekening daar zo ingewikkeld. Ik heb het niet zo pre-cies meer voor de geest, maar er zijn vier hulppunten, die waarden hebben we al.Het gevraagde snijpunt ligt min of meer in het midden, dus z’n coordinaten zijnhet gemiddelde van die van de hulppunten. Voor de capaciteitsberekening is dezewerkwijze nauwkeurig genoeg. Maar nu ging die waarde opeens zo omhoog, voorSlochteren. Ja, dat kon ik ook niet een-twee-drie verklaren. En Ronda wel. Hijzag het opeens. De vier hulppunten waren niet betrouwbaar, de rekenwijze liet uit-schieters toe. Want kijk, deze twee lijnen zijn dezelfde. En wat is het snijpunt vantwee samenvallende lijnen? En hoe kwam het dat die twee verschillende lijnen sa-menvielen? Omdat we nog steeds in twee decimalen rekenden. Een rudimentje uitde jaren zeventig. We maken er acht decimalen van en zie, zelfs als de punten ergdicht bij elkaar liggen, dan nog krijgt de lijn z’n nauwkeurige richtingscoefficient.Het probleem is opgelost.

Dergelijke fragmenten spreken voor zich. De wiskunde die ze bevatten is onontbeerlijk, enin een aantal gevallen hoeven we er misschien ook niet meer achter te zoeken. Maar Krol zouKrol niet zijn, als hij ook deze fragmenten niet zou gebruiken om soms net een punt te maken.

4.4.3 Besluit

Krol blijft wiskunde als praktische tool gebruiken; soms op absurde wijzen, andere keren ergconcreet. In de absurde situaties gaat Krol het nooit meer zo ver zoeken als Het gemillimeterdehoofd ; integendeel, bij veel dergelijke stukken wordt het duidelijk dat ze humoristisch bedoeldzijn. Dat is een belangrijke stap voorwaarts in het proces om wiskunde en literatuur naar elkaartoe te brengen. De situaties waarin wiskunde erg concreet gebruikt wordt, komen we enkeltegen in de romans waarin Krol het heeft over zijn professionele leven.

4.5 Wiskunde in de hoofdrol

4.5.1 Wiskunde studeren en studenten wiskunde

Het gemillimeterde hoofd is, voor een belangrijk deel althans, het verhaal van een wiskun-destudie. Dat wordt een heus thema bij Krol: hij slaat ons voortdurend rond de oren metwiskundestudenten, of mensen die wiskunde gestudeerd hebben. In zeer vele gevallen spelenze een hoofdrol.

Krols eerste roman na Het gemillimeterde hoofd is De ziekte van Middleton. De hoofd-persoon van deze roman, J.J. Pipper, loopt college op de Roetersstraat; ook Krol zelf heeftdat gedaan (zie bijlage A, punt 56). Van Pipper komen we te weten (1969: 18): “Al navier maanden legde ik mijn eerste tentamen af. Vectoranalyse.” In de volgende roman, Delaatste winter , speelt Kolodner, een professor fysica, een hoofdrol. In beide volgende romans,De chauffeur verveelt zich en In dienst van de ‘Koninklijke’, speelt GK de hoofdrol. In deeerste van de twee zegt GK tijdens een sollicitatiegesprek (1973: 8): “En dat ik wiskunde hadgestudeerd.” De GK uit In dienst van de ‘Koninklijke’ vertelt dan weer over zichzelf (1974:106):

4.5. Wiskunde in de hoofdrol 51

1952. Hoe was het, Alleen in een donkergroen lokaal waar ik mij verdiepte in eenreeks van overpeinzingen betreffende mijn toekomst die er, afwisselend licht endonker, nogal abstract uitzag. Weinig om handen, veel om over na te denken,studeren in Berlijn of Gottingen in een vak dat ik niet eens filosofie wilde noe-men, zo weinig moest het inhouden. Misschien dus wel wiskunde. Mathematik.Mengenlehre. Gruppentheorie. . .

Over de GK uit Krols zevende roman, De weg naar Sacramento, krijgen we nooit expliciette horen dat hij wiskundestudent zou geweest zijn. Maar uit wat de man ons allemaal vertelt,komen we wel te weten dat hij sterk is in wiskunde. Bijvoorbeeld op p. 58, waar we tehoren krijgen (1977): “Eindelijk ook de fysische betekenis van het beroemde verschil van tweekwadraten: a2 − b2, ontdekt.” Ook van Robert Roffel, de hoofdpersoon van Een Fries huiltniet, lezen we niet expliciet dat hij wiskunde gestudeerd heeft. Maar dankzij zijn vriendinAgnes Schonfeld komen we wel te weten dat hij een voorkeur heeft voor getallen (1980: 82).Overigens staat heel de roman ook hier weer bol van verwijzingen naar wiskundige conceptendoor Robert Roffel.

Ook Adam, de ai uit De man achter het raam, heeft een bijzondere interesse in wiskunde.5

En de GK uit Scheve levens heeft ook wiskunde gestudeerd. Zo lezen we bijvoorbeeld op p. 34over GK (1983): “Toen ik destijds met mijn wiskundestudie begon had ik daarbij een speciaalsoort wiskunde op het oog.”

Maar dan komt er een kentering: in de twee volgende romans, Maurits en de feiten enDe Hagemeijertjes, zijn er geen wiskundigen te bespeuren. Niet geheel toevallig vormen dezetwee romans ook absolute dieptepunten in de grafiek uit figuur 1.2. In Omhelzingen, Krolsdertiende roman, komt er dan weer wel een wiskundige als hoofdpersoon voor; we komen hierin de volgende sectie uitgebreider op terug. Maar in Okoka’s Wonderpark is er dan alweergeen wiskundige te bespeuren.6

Vooral de wiskundestudenten zijn ondertussen ver uit beeld, want in de laatste acht ver-melde romans waren er weinig of geen verwijzingen naar wiskundestudies. Dat verandert inMiddletons dood : Wouter, de ik-persoon in dit verhaal, en zijn vriendin Regina gaan allebeistuderen (1996: 18):

Zij in het recht, ik in de mathematiek. Elk kwartaal een tentamen, ik zou intwee jaar klaar zijn. Maar dit schema was gebaseerd op dagstudie: de collegesaxiomatiek aan de Roetersstraat. Kleine lokalen, beeldschone lessen. Je slaagtautomatisch voor je tentamens, je haalt spelenderwijs je kandidaats, maar komtvervolgens bij het college differentiaalvergelijkingen terecht in een amfitheater vanvijfhonderd plaatsen en al die plaatsen zijn bezet. In de verte de professor.

En hoewel het intermezzo zonder wiskundestudenten vrij lang was, zitten we dan weer opde trein. Want zowel de GK uit De oudste jongen als die uit 60000 uur , studeren wiskunde inde loop van het verhaal. Zo lezen we in De oudste jongen (1998a: 148):

Ik studeerde wiskunde, maar niet op de meest gezonde manier. Ik was geen student,ik liep geen college. Ik had een stapel studieboeken gekocht. Ik had het idee datik die boeken ook wel zou begrijpen zonder de uitleg van anderen en studeerde inhet kamertje achter de keuken, waar ik ook sliep.

5Zie, onder meer, bijlage A, punt 189.6Meer zelfs; op p. 127 wordt erg zijdelings een lichtdeskundige vermeld, van wie we horen dat die “waar-

schijnlijk geen wiskundig onderwijs had genoten”; zie bijlage A, punt 248.


In 60000 uur lezen we dan weer dat GK gaat wiskunde studeren terwijl hij al werkt bij denam (1998b: 68-9):

Ik volgde colleges bij Heyting, Popken en Bruins, aanvankelijk ’s avonds, lateroverdag. Popken gaf analyse, een vak dat ik nooit goed begrepen heb, Heytingprojectieve meetkunde, een mooi overzichtelijk vak, en Bruins differentiaalvergelij-kingen, een mooi, maar onoverzichtelijk vak. Algebra, groepentheorie, deed ik opeigen houtje. Ik slaagde voor mijn mo-a-akte na een jaar studie, wat niet gek waswant normaal doe je daar drie jaar over. Maar ik moet erbij zeggen dat ik veeltijd kreeg om overdag te studeren, op het lab. Hoe dan ook, Bosma was zo opge-togen, dat hij direct de volgende dag met een stapel boeken kwam aanzetten die,doorgenomen, mij de mo-b-akte zouden opleveren. Ook binnen een jaar, volgenshem.‘En dan mag je je wiskundige noemen.’Dat was 10 december. Ik studeerde voort, met dezelfde vaart als waarmee ik heteerste deel van mijn studie had afgesloten.

In De vitalist is er dan weer geen student wiskunde te vinden, maar wel een professorwiskunde, Johan, die dan nog de hoofdrol toebedeeld krijgt! Vooral in dit laatste geval heeftdit zware repercussies voor het verhaal.

Eigenlijk is dat tot voordien vrij uitzonderlijk. We hebben gezien dat er slechts enkeleromans zijn waar er niet duidelijk een wiskundige een hoofdrol in speelt, maar dat brengt nooitwezenlijk belangrijke verhaallijnen aan. Zeker, de wiskundige achtergrond van vele personages7

is belangrijk om de roman te maken tot wat hij is. Wat betreft de verhaalstructuren, zijn vooralde scenes over wiskundestudies belangrijk. Maar nooit doorslaggevend: aan de verhaallijnen ansich verandert er nauwelijks iets als we de verwijzingen naar wiskundestudies gewoon schrappen.

Net op dit punt maakt Krol doorheen de jaren een gigantische sprong vooruit. Een eerstemaal in Omhelzingen, waar een van de vele verhaallijnen voor de eerste keer staat of valt metwiskunde. Maar pas in De vitalist is Krol klaar voor het grote werk. Laat ons deze tweevoorbeelden van nader bekijken.

4.5.2 Wiskunde als inspiratiebron voor het verhaal

De 32e omhelzing uit Omhelzingen

In Omhelzingen krijgen we niet een, maar vijftig verhalen te horen. Het 32e van die verhalen8

handelt over Emiel, een wiskundige. Hij neemt deel aan een klein seminar over “Onopgelosteproblemen in de wiskunde” (p. 168; cursivering in origineel). Vlak voor de start van denamiddagsessie, had Emiel een meisje ontmoet die oprecht geınteresseerd was in hem en wathij te vertellen had, en die hem na afloop van de namiddagsessie, om vijf uur, terug wou zien.Emiel ziet dit als een kans die hij nooit meer krijgt, en hoopt echt met hart en ziel om om vijfuur terug aan de bar te staan.

Maar de laatste lezing loopt uit de hand: de spreker heeft een interessant wiskundigprobleem voorgelegd waar hij nu al jaren hopeloos een oplossing voor zoekt. De man heefthet publiek op zijn hand: iedereen lijkt mee te werken aan een gigantische brainstorming op

7Een achtergrond die overigens impliciet soms zelfs doorschemert in de paar romans waar we ze niet explicietvermeld worden.

81993: 168-171. Het hoofdstuk is ook integraal opgenomen in bijlage A onder punt 243.

4.5. Wiskunde in de hoofdrol 53

topniveau. Niemand denkt nog aan het voorziene einduur van vijf uur — niemand, behalveuiteraard Emiel (p. 169-170):

In de wiskunde evenwel hoef je niets te weten. Je ziet het, of je ziet het niet.De tijd drong. Want behalve dat Emiel over vijf minuten beneden in de bar moestzijn, was hij ook gehouden van deze eerste middag de notulen te schrijven, eenverslagje. Hij kon eenvoudig niet zomaar weggaan.Zo, door de druk der omstandigheden, valt te verklaren hoe Emiel opeens zag watniemand anders zag: de oplossing, en niet alleen dat, hij gaf meteen ook het bewijservan.

Dankzij deze ingeving kan Emiel toch nog op tijd naar de bar spurten, waar hij klokslagvijf uur aankomt. Om te moeten constateren dat Kiki, het meisje, er wel nog is, maar dadelijkmoet vertrekken naar Amsterdam. Zo loopt het met de onfortuinlijke Emiel toch niet goedaf. . .

We hebben hier te maken met een originele plot, waarin wiskunde een zeer belangrijke,zelfs noodzakelijke rol speelt: heel het verhaal staat of valt met wiskunde. Het is voor deeerste keer dat Krol daarin op elegante wijze slaagt. We kunnen ook opmerken dat (hoewel erin het hoofdstuk enige technische woorden heen en weer vliegen die enkel de wiskundige lezerzal begrijpen) de lijn van dit verhaal toegankelijk en begrijpelijk is voor iedereen, wiskundigeof niet. Iets wat niet steeds het geval hoeft te zijn. . .

De vitalist: een Godeliaanse vertelling

Zoals vermeld in de vorige sectie, is de hoofdpersoon van De vitalist, Johan, professor in dewiskunde. Krol stelt dit personage aan ons voor op hoogst originele wijze (2000: 12):

Want wie was Johan? Wat was dat eigenlijk voor een man?

Johan. Was dit zijn leven? Dit was niet zijn leven.

Sommige mensen hebben geluk: zij stellen vragen die ze kunnen beantwoorden.Ze zijn als mathemaat geboren. Hun wereld is de wiskunde, de wetenschap vanhet ware. Het zwaartepunt van hun leven ligt voor hun twintigste. Dan hebben zeal kennisgemaakt met de wonderschone ruimte van ringen en idealen, die getallenkleuren tot priemgetallen; ze hangen als pruimen aan de bomen. De mathemaat.Hij koestert de theorie der fricties (het verschil tussen bijvoorbeeld 3×4 en 4×3),maar niet alleen de theorie — hij kan die fricties nog uitrekenen ook. Hij is op dehoogte van de raadselachtige macht der isotrope punten in een wereld waar alleafstanden, alle lengtes gelijk zijn aan nul — en op die hoogte is hij God.Op de leeftijd dat kinderen stripboeken lezen, las Johan met hetzelfde gemak deleerboeken van Schuh, Knopp en Klein — in gotische letters, dat laatste. Zijnbrandschone geest gleed slim en geamuseerd door de stof. Elke lichte sprong, waarhij naderde, automatisch op groen.

Johan was op zijn vierentwintigste hoogleraar wiskunde aan de Leidse universiteiten hij zou misschien wereldberoemd geworden zijn, en gebleven, als hij tevredenermet zijn talent was geweest.

In deze erg levendige passage geeft Krol ons nog een lofzang op de wiskunde mee. Krolmaakt hiermee al duidelijk dat de roman zal doorspekt zitten met wiskundige elementen. Dit


hadden we ook al kunnen afleiden uit de grafiek van figuur 1.2: met De vitalist zitten we, naeen relatieve luwte van wel bijna vijftien jaar, aan een nieuw (voorlopig) hoogtepunt in hetaandeel van wiskunde in Krols romans; meer bepaald zitten we ongeveer aan het niveau datgebruikelijk was in de jaren ’70. Dat belooft, en de lezer houdt dit best goed in gedachten.

Net zoals Maurits en de feiten en Middletons dood , handelt ook De vitalist omtrent hetprobleem van de doodstraf; Johan vermoordt namelijk Barbara, een vriendin. Aanvankelijk kanJohan de moord verborgen houden, maar uiteindelijk valt hij bij zijn vrienden door de mand.Johan wordt opgepakt, en geeft eerlijk alles toe: hij bekent de moord. Het proces gaat vanstart en iedereen verwacht dan ook een veroordeling. De openingszin van hoofdstuk 26 slaatdan ook in als een bom (2000: 102):

Men achtte zijn aandeel in de dood van Barbara niet bewezen, noch wettig, nogovertuigend en Johan kon zijn papieren bij elkaar nemen en de poort uitlopen, hijwas vrij.

Op p. 103 lezen we dan:

Roetie: ‘Johan is echt onschuldig. Dat is nu bewezen.’Felix: ‘Geloof je het zelf?’George: ‘Ze hebben niet kunnen bewijzen dat hij schuldig is. Dat is wat anders.’

Deze wending van het verhaal moet zeker en vast gelezen worden in de optiek van Krolspleidooi tegen straffeloosheid en voor het terug bespreekbaar maken van de doodstraf. Maarer zou wel eens flink wat meer kunnen inzitten: meestal als Krol het werkwoord ‘bewijzen’gebruikt, is dat in strikt wiskundige zin. In die optiek is ook Georges opmerking (‘Ze hebbenniet kunnen bewijzen dat hij schuldig is. Dat is wat anders.’) heel interessant. Er niet inslagen te bewijzen dat een wiskundige formule een stelling is, is inderdaad niet hetzelfde alsbewijzen dat haar ontkenning een stelling is.

Meer nog: sinds Godel weten we zeker dat er9 wiskundige formules bestaan die waar,maar onbewijsbaar zijn, en wier ontkenning evenmin bewijsbaar is. Koppel hieraan het feit datKrol het doorheen zijn werk regelmatig over Godel en zijn stelling heeft en het feit dat Johaneen ‘geboren mathemaat’ is, en we komen tot een verrassende conclusie: Krol heeft hier eenerg fijnzinnige vergelijking gemaakt tussen Johan en de Godelzin! Johan zegt namelijk dathij schuldig is; maar die schuld wordt nooit bewezen. De Godelzin zegt van zichzelf dat hijonbewijsbaar is, en kan dus ook niet worden bewezen, net als de schuld van Johan. Nochtanszegt de Godelzin over zichzelf dat hij waar is, net zoals Johan over zichzelf zegt dat hij schuldigis (zie bijvoorbeeld p. 109: “Hij [=Johan, SC] heeft later bekend.”). Maar in beide gevallen isdie uitspraak dus onbewijsbaar.10

Op zeer geraffineerde wijze heeft Krol dus een logische stelling over de wiskunde in zijnboek verwerkt. Nochtans zal dit alleen de aandachtige wiskundige lezer opvallen: je merkt weldat er iets fundamenteels schort aan het verhaal (hoe komt Johan zo plots vrij?), maar veelniet-wiskundig onderlegde lezers hebben dit waarschijnlijk als de zoveelste bokkensprong van

9Althans, in PA en in ingewikkelder systemen10Er is uiteraard een belangrijk verschil, in die zin dat Johan niet beweert dat zijn schuld onbewijsbaar is; bij

de Godelzin is het feit dat hij zelf zegt dat hij onbewijsbaar is, nu net het hele punt. In de ideale vergelijking zouJohan zeggen dat hij schuldig is en precies met die ene uitspraak ook onweerlegbaar aantonen dat zijn schuldvaststaat, maar tegelijk ook fundamenteel onbewijsbaar is. Een dergelijke plot zou vanuit literair oogpunt welzeer sterk — ja, welhaast onmogelijk — zijn. Daar staat dan weer tegenover dat Krol er wel in slaagt om ditalles perfect te laten aansluiten bij zijn ideeen omtrent de doodstraf, wat toch wel erg sterk is.

4.6. Schrijven op wiskundige wijze 55

Krol ervaren en koppelden hier een uitval aan de volgens Krol heersende straffeloosheid. Datlaatste is ongetwijfeld juist, maar er zit dus ook een wiskundig element in verborgen.

Overigens laat Krol daar in deze roman verder niets van blijken: Godel wordt nergensexpliciet vermeld.11 En het is mogelijk de roman te lezen zonder dit punt mee te hebben, aldient toch gezegd te worden dat de roman sterk aan kracht wint met dit bijkomende inzicht.

Een dergelijke diepe verwevenheid van wiskunde in de literatuur is hoogst merkwaardig,bijzonder knap en spijtig genoeg buitengewoon uitzonderlijk. Krol heeft zijn eigen uitspraakuit Het gemillimeterde hoofd (1967: 94-5) gefalsifieerd: het is wel degelijk mogelijk om eenverhaal te vertellen over een wiskundig concept, zonder het concept gewoon te beschrijven.Maar het heeft Krol meer dan dertig jaar gekost om daar te geraken. Deze verwezenlijking,die zich in Rondo Veneziano overigens zal doorzetten,12 is wat wiskunde betreft, waarschijnlijkKrols grootste verwezenlijking geweest.

4.5.3 Besluit

Het belang van wiskunde voor de plot van de roman blijft voor lange tijd beperkt tot hetoptreden van wiskundigen als romanpersonages. Met een beetje goede wil, is er in elke romanvan Krol wel een wiskundige weer te vinden, niet zelden in de vorm van een student wiskunde.Dit blijft een constante doorheen Krols werk.

Nieuw in het latere werk echter, is dat Krol er begint in te slagen om dat ook een wezenlijkverschil voor het verhaal te laten zijn. Kon je tot voor Omhelzingen (1993) bij wijze vanspreken in de zinsnede ‘[hoofdpersoon] is student wiskunde’ de term wiskunde vervangen doorrechten of geneeskunde (mits aanpassing van eerder kleine verwijzingen naar pakweg bezig-heden, studiegenoten of proffen), dan kan dit in de 32e omhelzing en in De vitalist manifestniet meer: de hoofdpersoon is een wiskundige, en een wiskundig concept ligt mee aan de basisvan de verhaalplot. Waar de manier waarop dit gebeurt in de 32e omhelzing niet ongezien is(denken we bijvoorbeeld aan Oom Petros en het vermoeden van Goldbach, waar wiskunde eeneven belangrijke rol vervult), is de dubbele bodem van De vitalist van een ongekende diepgang.

4.6 Schrijven op wiskundige wijze

Een overdaad aan wiskundige terminologie in een niet-wiskundige context, stukken tekst diezich laten lezen als uittreksels uit een cursus wiskunde, goochelen met wiskundige formulesen tekens in doorlopende tekst, ongewone hoofdstuknummeringen,. . . we hebben het allemaalontmoet in Het gemillimeterde hoofd , en zoals we zullen zien, keren al deze elementen laterterug. Maar worden ze vaste waarden in Krols oeuvre?

4.6.1 Verhalende tekst in wiskundige vorm

Ook na Het gemillimeterde hoofd blijft Krol passages in een wiskundige vorm gieten. Meestalhandelt het dan om beschouwende passages, maar soms ook om verhalende passages, zo-als we er een aantal vonden in Het gemillimeterde hoofd . Bijvoorbeeld in In dienst van de

11In tegenstelling tot veel andere romans: zie onder meer Het gemillimeterde hoofd , p. 37; De man achter hetraam, p. 47; Scheve levens, p. 19 en p. 69; De oudste jongen, p. 17 en Rondo Veneziano, p. 215. In De ziektevan Middleton en Scheve levens vinden we overigens ook nog impliciete verwijzingen naar Godel; zie bijlage A,puntjes 76 en 218.

12Zij het misschien toch minder subtiel: in Rondo Veneziano worden we met onze neus letterlijk in de wiskundegeduwd, of we nu willen of niet. De vitalist kan perfect gelezen worden zonder nog maar aan Godel te denken.


‘Koninklijke’, waar Krol vertelt over het statief van een camera, dat drie poten heeft (1974:26):

[. . . ] waaruit duidelijk blijkt, ook mathematisch als je dat wilt, dat het brekenvan een poot voldoende is om de camera op het maaiveld te doen belanden:gezichtsveld = 0.

Maar hoe later in het werk van Krol, hoe minder vaak zo’n schrijfstijl voorkomt. In EenFries huilt niet vinden we wel nog een zwakke variant (1980: 125):

Een kale, bijna abstracte vlakte. Een vlakte van glas. En daarop een persoon diedruk in de weer is. Maar uit niets op die vlakte blijkt ons dat wat die man doetnodig is, hoezeer hij zich ook inspant.

Ik zeg het wiskundig en precies: de activiteiten van die man zijn een functie vanzijn omgeving, maar omgekeerd geldt dit niet. Zonder die man zou het preciesdezelfde omgeving zijn.

Maar daarmee lijkt de kous af. Na Een Fries huilt niet zakt het aandeel van wiskundein Krols romans naar een dieptepunt, en verdwijnen dit soort wiskundige omschrijvingen. Integenstelling tot vele andere besproken vormen van wiskunde in romans, keert deze vormnergens meer weer. Deze specifieke vorm van experimenteel schrijven lijkt Krol dus vaarwelgezegd te hebben.

4.6.2 Wiskundige termen

Krols werk staat krom van wiskundige termen in een niet-wiskundige context. Een van zijnlievelingswoordjes terzake is het woord “stelling”,13 maar de laatste keer dat we dit woordjein een niet-wiskundige context opmerken, is in Een Fries huilt niet.

Erg vaak gebruikt Krol een wiskundige term op een plaats waar het met enige verbeel-ding wel duidelijk is wat Krol wil zeggen; zo lezen we bijvoorbeeld in De laatste winter dathoofdpersoon Kolodner aan het strand ligt en naar de horizon tuurt (1970: 24):

Later, tegen de middag, werd het drukker. Toen zag hij, in plaats van de lijn oponeindig, alleen nog maar vrouwen en delen van vrouwen voorbijgaan zodat hij,overwoog hij, er beter aan deed te vertrekken.

Wanneer dezelfde persoon op p. 47 zijn planten water geeft, heeft Krol het over “debolle kegel van mist” die de waterverstuiver creeert; enkele keren maakt Krol dus mooievergelijkingen.

Het aandeel van dit soort woorden neemt lichtjes af doorheen het werk van Krol. Maarhet blijft wel aanwezig, zoals in dit fragment uit De oudste jongen (1998a: 12):

Groningen kreeg in 1927 zijn honderdduizendste inwoner. In mijn schooljaren warenhet er 125000. Het Getal. ‘De stad Groningen heeft honderdvijfentwintigduizendinwoners’ heette het op school, met de kracht van een axioma.

13In niet-wiskundige context wordt dit woord onder meer gebruikt in de volgende passages: de puntjes 95,97, 114, 140, 141, 145, 149, 153, 157, 160, 171 van bijlage A.


Zelfs in Krols laatste roman, Duivelskermis, is er nog een dergelijk fragmentje terug tevinden, en wel in de openingspassage (2007: 5):

Zijn trillende handen (door de schooljeugd vroeger trillemientjes genoemd) en deonzekerheid van elke volgende stap kenmerken de Parkinson-patient. De bestestap is die welke in het verlengde van de vorige ligt, de rechte lijn, in draf om zekerte zijn van de richting.

Lijkt het aandeel van zo’n woorden licht af te nemen, dan is er wel een relatieve vooruitgangmerkbaar van een ondersoort van dit fenomeen. We bekijken dit even van naderbij.

Wiskunde maakt u graag het leven makkelijker

Sommige zaken zijn eenvoudiger of sneller uit te drukken op een wiskundige manier dan opeen andere. In zulke gevallen zal Krol al te graag naar wiskundige notaties teruggrijpen, zoalsin De ziekte van Middleton, waar hoofdpersoon Pipper zijn zelfbedachte bordspel “Roze &Zwart” uit de doeken doet (1969, p. 195-9). Opvallend bij zijn toelichting is het gebruik vande wiskundige term duaal in een voetnoot op p. 196: “‘zwart’ en ‘roze’ zijn duaal en kunnenworden verwisseld.” Waarmee Pipper bedoelt dat als zwart roze mag slaan als zwart zus-en-zo staat en roze dit-of-dat doet, dan geldt uiteraard ook het omgekeerde: roze mag zwartslaan als roze zus-en-zo staat en zwart dit-of-dat doet. De wiskundige term “duaal” drukt datinderdaad heel erg precies uit, en de waarde van het gebruik van het woord hier, is dat er inniet-wiskundig Nederlands geen evident alternatief voorhanden is.

In In dienst van de ‘Koninklijke’ dan weer, houdt GK een toespraak in het Engels en hetSpaans, waar hij veel lof mee oogst. Maar GK beweert bescheiden (1974: 100):

dat het geen kunst is een goede toespraak te houden, in welke taal dan ook, als jeiets te zeggen hebt. Deze uitspraak bewees ik twee dagen later, uit het ongerijmde,toen ik mijn Nederlandse collega’s toesprak en hun vrouwen. Want toen ik ‘bestemensen’ had gezegd en ieder zijn mond hield, vol verwachting van wat ik zouzeggen, vond ik bij alles wat er in mijn hoofd opkwam, dat ik dat bij diversegelegenheden al eens eerder tegen ze had gezegd. Ik had ze niets te zeggen, zodatik ze bedankte voor hun aandacht.

‘Bewijzen uit het ongerijmde’ komen erg vaak voor in de wiskunde, maar dit is geen goedvoorbeeld. Een voorbeeld van een bewijs uit het ongerijmde bij bovenstaande stelling (als jeiets te zeggen hebt, kun je in om ’t even welke taal een toespraak houden) zou zo moetenbeginnen: ‘Stel dat dat niet zo was; met andere woorden: je hebt iets te zeggen en kantoch geen goede toespraak houden. Maar als je geen goede toespraak kan houden, dan volgtdaaruit. . . ’. Daarop volgt een deductieve redenering die eindigt met de zinsnede: ‘maar danheb je niets te zeggen. Dat is in strijd met onderstelde, en dus moet bovenstaande stelling weljuist zijn.’ Wat Krol hier doet, is iets volledig anders: hij geeft een voorbeeld dat, toen hij eensniets te zeggen had, hij geen goede toespraak kon houden. Dat is uiteraard niet in tegenstrijdmet bovenstaande stelling, maar het is er zeker geen bewijs van! De vraag of Krol deze foutal dan niet opzettelijk in GK’s mond legt, laat ik in het midden. Feit is wel dat GK zich (zijhet verkeerdelijk) dankzij het begrip “bewijs uit het ongerijmde” erg precies kan uitdrukken.

Een ander mooi voorbeeld komt ook al uit In dienst van de ‘Koninklijke’ (p. 78):


Dat wat iemand doet zegevieren is: de integraal van alles wat hij verkeerd gedaanheeft zonder dat de omgeving het in de gaten gehad heeft en omdat Bleach erzoveel langer zat dan ik, was zijn integraal veel groter dan die van mij. Overigensgeeft die integraal, ook wel macht genoemd, tevens de graad van veroudering aan.Toen hij, Bleach, op grond van die macht, ancienniteit kun je het ook noemen,[. . . ]

Vooral de vergelijking van een integraal met ancienniteit is erg geslaagd. Als f bijvoorbeeldde functie is die het aantal gewerkte uren per dag uitdrukt doorheen de tijd, dan drukt deintegraal van f op tijdstip t inderdaad de ancienniteit uit.14

Ook het woordje “convergentie” laat zich op deze wijze gemakkelijk gebruiken, zoals indeze passage van Omhelzingen. Dr. Hendrik Haverkort, kunsthistoricus op rust, verzameltreproducties van schilderijen van de maagd Maria. Over hem lezen we (1993: 41):

Volledigheid, dat was misschien wat hij nastreefde. Een serie kostbare postzegelscompleet hebben op een na — je leven geven voor de laatste zegel. Verlangenen vreugde. Verlangen naar het einde en vreugde dat dat einde nog lang niet inzicht is. Zo beoogde dr. Haverkort met zijn verzameling van geschilderde Maria’sconvergentie naar een Absolute Maria, hoezeer hij ook besefte dat dit superieureBeeld alleen maar in de geest kon bestaan.

Net zoals de limiet van een convergente rij: die bestaat ook “alleen maar in de geest”.Overigens gebruikt Krol hetzelfde woord ook in 60000 uur op p. 81 en p. 83 in een gelijkaardigecontext.

4.6.3 Formules

Net als in Het gemillimeterde hoofd , verwerkt Krol ook in De ziekte van Middleton, Dechauffeur verveelt zich en De weg naar Sacramento formules in de romantekst, maar nadienkomt dit niet meer voor. Wellicht de opvallendste passage op dit gebied, is het volgende stukuit De ziekte van Middleton (1969: 41):15

Het was in die dagen dat ik [=J.J. Pipper, SC] zat te knoeien met het volgende:

14Het is misschien enigzins ver gezocht, maar we merken toch even op dat iets verderop in de (erg lange) zindie zopas afgebroken is, we het volgende lezen: “uit welke geschiedenis ik verder afleidde dat [. . . ]”. Misschien ishet toeval en heeft Krol het er niet om gedaan, maar het gebruik van het werkwoord ‘afleiden’, als ‘tegengestelde’wiskundige bewerking aan integreren, is hier wel erg grappig.

15De schematische letters X , Y versus x , y worden inconsistent gebruikt door Krol in deze paragraaf (somsbinnen een zin); ik heb letterlijk zijn tekst overgenomen.


p1x(x , y)− < p1

y(x , y)↓

p2x(x , y) > −p2

y(x , y)↓

p3x(x , y)− < p3

y(x , y)↓

↓pkx (x , y) > −pk

x (x , y)

Welke serie besloot met: voor een zekere k = 2n + 1 geldt: pkx (x , y) = p1

x(x , y).Natuurlijk moet je, zo sprak ik in mezelf, nu aan p1

x(x , y) enz. betekenissen gaangeven. p1

x(x , y) zou dan kunnen betekenen: ‘Wil je me een plezier doen?’ (Xtegen Y ). ‘Je’ is de y in p1

x(x , y) en ‘me’ de x . Voor X is ‘je’ de tweede persoon,voor Y de eerste en Y denkt, zal ik X een plezier doen en hij zegt p2

x(x , y): ‘Jazeker’ (ik wil je een plezier doen). ‘Je’ is nu X en ‘ik’ is y en je zou kunnenschrijven p2

y(x , y , z), waarbij z voor plezier staat. Y weet nog niet wat dat plezieris, maar een plezier wil hij X wel doen en daarom zegt hij ja.

X verduidelijkt de vorige uitspraak met de volgende: p3x(x , y): ‘Wil je me dat

boekje geven?’ Y doet X een plezier door haar dat boekje te geven, maar tegelijkdenkt hij: dan ben ik het kwijt. Hij zegt: ‘Waarom? Waarom zou ik je dat boekjegeven.’ X geeft geen antwoord, ze zegt alleen, nogmaals: ‘Wil je me dat boekjegeven,’ en Y zegt: ‘Ik pieker er niet over,’ (ik wil je dat boekje niet geven). Enz.

Maar net zoals het geval is met de teksten geschreven in wiskundige stijl, vinden we in hetlatere werk van Krol helemaal geen formules meer terug.

4.6.4 Tekeningen

In de technische passages van Het gemillimeterde hoofd nam Krol heel vaak verduidelijkendetekeningen op. De functie van die tekeningen ligt daar telkens voor de hand: ze verduidelijkende tekst, of zijn in sommige gevallen zelfs noodzakelijk. Net zoals het zo goed als onmogelijk isom een boek over meetkunde te schrijven zonder er een tekening aan toe te voegen. Nochtansligt de functie van die tekeningen niet steeds bij het verduidelijken: zo neemt Krol in De ziektevan Middleton op p. 114 een zeer eigenaardige tekening op als “de samenvatting van [Pippers]Katalogus” (1969: 114).16

Ook in De laatste winter vinden we meerdere tekeningen, en ook hier weer dienen deze teke-ningen niet als verduidelijking bij wiskundige passages.17 Een voorbeeld van wiskundig/fysischgebruik van tekeningen vinden we dan weer in Een Fries huilt niet.18 Nadien vinden we nog

16Zie bijlage A, puntje 76.17Zie bijlage A, puntjes 91 en 92.18Zie bijlage A, puntjes 178 en 182.


een keer een tekening in Krols romans, namelijk in Scheve levens,19 maar daar blijft het bij.Ook de tekeningen verdwijnen dus geruisloos van het toneel.

4.6.5 Wiskundige symbolen

“De mens = een dier + het woord” lezen we op de achterflap van Het gemillimeterde hoofd ,en zoals we gezien hebben staat het boek ook binnenin vol wiskundige symbolen. Tot en metScheve levens (1983) blijft Krol dit doen op zeer regelmatige basis;20 nadien sterft ook ditfenomeen uit.

Een erg originele toepassing hierop, vinden we een aantal keer terug in De weg naarSacramento. Bijvoorbeeld in dit fragment, waar GK bewijst dat een vrouw niet volstaat omhem te veranderen (1977: 34):

Daarom: als er een vrouw is die mij wil veranderen, het ik altijd twee nodig,of x , waaruit volgt dat het niet goed is voor een vrouw om haar kerel te willenveranderen.

In dit voorbeeld komt het gebruik van de variabele x uiteraard als eigenaardig over, maartemeer is daar geen voordeel aan verbonden. Dat laatste is echter wel het geval in bijvoorbeelddit fragment (1977: 42):

De kunst is, lijkt mij, om iets wat je x keer gezien hebt, de (x+1)-de keer nietmeer te zien en deszelfs plaats te laten innemen door wat op dat moment in jeopkomt.

De literair gezien best geslaagde toepassing van deze tactiek, vinden we wellicht terug inhet slot van de roman. Als GK terugdenkt aan al zijn (stuk voor stuk op de klippen gelopen)relaties van de laatste tijd, verzucht hij als volgt: “Ach Ria. Ach Deborah. Ach Annabella.Ach Sheila e.a. Een n-werf ach.” (1977: 119).

Krol springt dus soms creatief om met het gebruik van wiskundige symbolen, maar uitslui-tend in zijn relatief vroege werk. Omdat dit ook het geval is met wiskundige formules, zoudenwe kunnen stellen dat Krol in zijn latere werk meer ‘gewoon proza’ schrijft.

4.6.6 De structuur van de roman

Als laatste sectie behandelen we de structuur van de roman als geheel, want ook daar heeftKrol twee manieren gevonden om wiskundig denken in te passen. Ten eerste zijn er de num-meringen van de hoofdstukken: ook in Het gemillimeterde hoofd merkten we al op dat dievrij eigenaardig was. Later, meer bepaald vanaf De chauffeur verveelt zich, ontwikkelt Kroleen nummeringssysteem dat gelijklopend is aan dat van Wittgensteins Tractatus. De romanis opgedeeld in hoofdstukken, en elk hoofdstuk is opgedeeld in een aantal secties. Die sectieszijn genummerd, en wel volgens het principe 0.0, 0.1, enz., tot bij het begin van het tweedehoofdstuk, waar Krol overschakelt op 1.0, 1.1, enz. Dit systeem gebruikt Krol in de vijf romansdie hij uitbracht tussen ’73 en ’82.21 In alvast een roman heeft Krol overigens nog een anderewijze gevonden om zijn roman een wiskundige structuur te geven.

19Op p. 140; zie bijlage A, puntje 22220Zie, onder meer, puntjes 66, 103, 126, 142, 166, 167, 169, 182, 192, 201, 207 in bijlage A.21Te weten: De chauffeur verveelt zich, In dienst van de ‘Koninklijke’, De weg naar Sacramento, Een Fries

huilt niet en De man achter het raam.

4.7. Technische stukken 61

Gevangen in een cirkel: de cycliciteit van Omhelzingen

Het verhaal dat we in Omhelzingen te horen krijgen, is cyclisch. De roman bestaat uit vijftigverhalen, die meestal gelinkt worden door een toevallige ontmoeting. De roman eindigt metidentiek hetzelfde verhaal als waarmee het begonnen is; op een manier zitten de personagesdus gevangen in een oneindige herhaling. Hoewel er in het boek zelf vrij weinig wiskundigeverwijzingen aan bod komen, is de structuur van het boek zelf zeker de moeite waard vanuitwiskundig oogpunt. Hoedanook krijgen we hier op een volledig andere wijze met wiskunde temaken dan in Het gemillimeterde hoofd of andere romans: eerder dan het verslag te makenvan enkele wiskundige stellingen of een verhaal te vertellen waarin wiskundigen een hoofdrolspelen, is het verhaal van Omhelzingen zelf (over het algemeen) niet-wiskundig van aard, maaris de verhaalstructuur geınspireerd door de wiskunde. Zelfs binnen het werk van Krol is dezewerkwijze vrij uitzonderlijk.

4.6.7 Besluit

Waarschijnlijk ligt de belangrijkste verschuiving van de functie van de wiskunde in Krols werk,in het schrijven op wiskundige wijze. Verschillende fenomenen vinden we vanaf circa 1985nergens meer terug: er is geen verhalende tekst in wiskundige vorm meer te vinden; wiskun-dige formules, tekeningen en symbolen zijn er allemaal uitgegooid; hoofdstukken worden opconventionele manier genummerd. . .

Enkel het gebruik van typisch wiskundige termen in een niet-wiskundige omgeving blijftovereind, al lijkt er op het eerste zicht een bepaalde shift te zitten in het waarom van het gebruikvan die termen. Waar Krol ze in zijn vroegere werk schijnbaar vooral voor de lol gebruikte,lijken ze later vooral dienst te doen als handige termen die als het ware beter uitdrukken watKrol bedoelt. Het gebruikt van zo’n term blijft weliswaar verrassend, maar komt wel als mindergeforceerd over. In die zin zijn wiskunde en literatuur hier sterk naar elkaar toegegroeid.

Anderzijds zijn er enkele kleine nieuwigheden op te merken in het latere werk; zo vermeld-den we de cycliciteit van Omhelzingen. Ook dit wiskundig concept is zo mooi in de romaningewerkt, dat we met een gerust hart kunnen spreken van een vervlechting van wiskunde en li-teratuur in Krols latere werk, eerder dan van bokkesprongen zoals we die in Het gemillimeterdehoofd terugvonden.

4.7 Technische stukken

Een van de belangrijke conclusies in het doctoraalschrift van Sofie Gielis luidt (Gielis 2007b:223):

Het onderscheid tussen verhalende essays en beschouwende romans is niet abso-luut. Het is afhankelijk van de verhouding tussen de essayistische en verhalendeelementen. Als de vooruitgang van de tekst, ondanks beschouwende intermezzo’s,verbonden is met actie en tijdsverloop, dan is het verhalende dominant. Zit devooruitgang daarentegen in de opbouw van de argumentatie, dan is het essayis-tische dominant. In de praktijk beschouwen we mengvormen sneller als beschou-wende romans dan als verhalende essays. De aanwezigheid van verhalende elemen-ten zoals personages of wisselende focalisatie weegt met andere woorden zwaarderdan die van essayistische kenmerken. Dat is ook hier het geval.


Gielis vervolgt door Een Fries huilt niet als voorbeeldroman te nemen. Ze merkt hierbijop dat in deze roman de beschouwende stukken erg belangrijk zijn voor de betekenis van hetverhaal (p. 224). Verder merkt ze op dat een belangrijk verschil tussen verhaal en beschouwingis dat het verhaal tijdsgebonden is, terwijl de beschouwingen meestal tijdloos zijn (p. 225).Heel belangrijk voor ons is de volgende opmerking (p. 226):

Verhaal en beschouwing zijn geen netjes gescheiden categorieen in Een Fries huiltniet. Enerzijds zijn de beschouwingen in dit boek gebaseerd op de ervaringen vanpersonages die in het verhaal beschreven worden, anderzijds leveren thema’s uitde beschouwende passages stof op voor de beeldspraak in het verhaal.

Met andere woorden: beschouwing en verhaal zijn op een fundamenteel niveau vervlochten.Gooien we een van beide aspecten overboord, dan verliest ook het andere aspect een grootstuk van zijn waarde — als het al niet waardeloos wordt.

Dit is des te opvallender omdat we opmerkten dat in Het gemillimeterde hoofd dergelijkepassages meestal (maar niet altijd) netjes gescheiden zijn. Nu wil dit nog niets zeggen: hetis niet omdat we (in een geıdealiseerd model) kunnen zeggen wat precies de beschouwendeen wat exact de verhalende paragrafen uit Het gemillimeterde hoofd zijn, dat de ene groepparagrafen overleeft zonder de andere; waarschijnlijk is zelfs het omgekeerde het geval. Feitis alleen dat Krol in 1967 blijkbaar nog veel moeite had om verhaal en beschouwing letterlijkhand in hand te laten gaan (in dezelfde paragraaf, houdt dat onder meer in). Zowel volgensVervaeck als volgens Gielis lijkt de integratie van deze twee elementen in de jaren ’80 al eenheel eind gevorderd te zijn; we zullen nu heel kort bekijken hoe deze evolutie verloopt specifiekmet wiskundige beschouwende stukken.

De door Gielis en Vervaeck vernoemde integratie begint, specifiek voor de wiskunde, al vrijvroeg. Reeds in De ziekte van Middleton zijn er beschouwende passages die ingepast worden inhet verhaal. Zo wordt het technische stuk dat we zonet behandelden in de sectie over formules,vervolgd door deze zin: “Ik liet het Annie zien. ‘Ik heb er ontzettend lang over nagedacht,’ zeiik [. . . ]” (1969: 43), waarna er zich een gesprek ontspint tussen Annie en Pipper. Anderzijdshadden we het ook al even over het gesprek dat Pipper aan boord van een vliegtuig metHuygens had. In de conversatie die ze hebben, geeft Krol ons hoogstwaarschijnlijk22 een zeerkorte beschouwing over zijn visie op filosofie van de wiskunde mee (1969: 92):

‘[. . . ],’ zei ik [=Pipper, SC], ‘de wiskunde geldt hier [d.w.z. aan boord van eenvliegtuig, SC] ook.’ ‘Jawel,’ zei Huygens, ‘maar weet u een plaats waar de wiskundeniet geldt?’ ‘Welke wiskunde?’ vroeg ik. Er hing een briljante discussie in de lucht,een discussie naar zeventiende-eeuws patroon en de verleiding was groot met deman van de golftheorie eens zo’n discussie aan te gaan. ‘De wiskunde,’ vroeg ik,‘welke stellingen bedoelt u?’ ‘Alle,’ zei hij. Ik: ‘Alle?’ ‘De wiskunde is universeel,’zei hij, ‘de wiskunde, dat is de waarheid.’ ‘Toch zijn er werelden,’ zo bracht ik daaraarzelend tegenin, ‘waar onze wiskunde niet geldt. Dat heb ik op school geleerd.’‘Hierin,’ zei Huygens, ‘moet ik met u en uw school van mening verschillen, want dewiskunde is juist het middel om die werelden te leren kennen. Zonder de wiskundehadden wij ze niet eens ontdekt.’

Maar even goed blijven er, net als in Het gemillimeterde hoofd , zuiver beschouwende pas-sages te vinden. Er lijkt wel een tendens te bestaan om die beschouwende passages hoe langer

22Inderdaad: zie sectie 6.2.

4.8. Algemeen besluit 63

hoe meer in te kaderen, maar zelfs tot Scheve levens (1983) blijven we zuiver beschouwendepassages, los van het verhaal, terugvinden. Zo houdt Krol/GK op p. 19-20 van Scheve levenseen hele uiteenzetting over Hofstadters Godel, Escher, Bach.23

Ook in het latere werk van Krol vinden we nog beschouwende passages over wiskunde ennatuurwetenschappen terug, maar steeds binnen een duidelijk kader, niet zelden in de vormvan een conversatie. We zouden het haast kunnen hebben over Platoonse dialogen. Een mooivoorbeeld hiervan vormt bijvoorbeeld het hoofdstuk De vrijdagavonden uit De oudste jongen(1998a: 150-3),24 waarin GK en Mattheus Blok enkele weken na mekaar gesprekken voerenover de waarheid, de logica en de wiskunde.

4.7.1 Besluit

Beschouwende stukken blijven een belangrijk onderdeel van de romans van Gerrit Krol. Hetwordt steeds moeilijker ze er uit te filteren: ze gaan hoe langer hoe meer op in het verhaal,en in tegenstelling tot wat in Het gemillimeterde hoofd het geval is, kunnen we in het laterewerk verhaal en beschouwing niet meer van elkaar losrukken.

4.8 Algemeen besluit

In tegenstelling tot wat men op het eerste zicht zou kunnen verwachten, zit er op een aan-tal vlakken niet echt een evolutie in de rol die wiskunde in Krols romans toebedeeld krijgt.De rol als bindmiddel tussen mensen, die Krol vaak voor de wiskunde weglegt, blijft sterken ongewijzigd aanwezig. Ook blijft Krol (ook na de wiskunde-dip van ’85-’95) wiskundigerandopmerkingen maken, vergelijkingen met wiskunde trekken, wiskunde als praktische toolgebruiken en beschouwingen over wiskunde schrijven.

Maar in deze laatste vier gevallen hebben we wel intern een evolutie opgemerkt, die ersteeds op neerkomt dat Krol er in slaagt de wiskunde vlotter te verwerken in zijn tekst. Menzou kunnen opmerken dat Krol meer verglijdt naar wat we ‘standaardliteratuur’ zouden kunnennoemen; een opmerking die hand in hand gaat met Vervaecks bemerkingen terzake. Ook opandere wijzen lijkt Krols werk minder experimenteel te worden: zaken als tekeningen, formulesen symbolen verliezen hun plaats in Krols werk.

Wil dit zeggen dat Krols werk eenvoudiger wordt? Geenszins; brengen we ons immersVervaecks woorden in herinnering (2007: 32): “En ik wil zeker niet beweren dat Krols capriolensteeds minder groot zijn geworden. De sprongen zijn misschien minder opvallend, maar jemoet als lezer nog steeds zeer beweeglijk kunnen overstappen tussen literatuur, filosofie enwetenschap.” We hebben in dit hoofdstuk aangetoond dat dat ook voor wiskunde geldt. Eensprong van De vitalist naar Godel zal veel lezers ontgaan, maar Krol kan daar nu eenmaalniet omheen. Als Krol die sprong zou duiden, zou hij namelijk net zijn sterkte en een grootdeel van zijn schoonheid verliezen. De lezer moet maar “beweeglijk kunnen overstappen”, netzoals Krol in zijn latere werk moeiteloos wiskunde, literatuur en zoveel meer in een grandioosgeheel weet te gieten. We zagen daar al twee mooie voorbeelden van — de 32e omhelzing enDe vitalist — maar toen moest het beste nog komen. In 2004 verscheen Rondo Veneziano,een roman die duidelijk het eindpunt vormt van de evolutie die we in dit hoofdstuk geschetsthebben.

23Deze passage is terug te vinden in bijlage A, puntje 210.24De relevante passages uit dit hoofdstuk zijn opgenomen in bijlage A, puntje 268.

Hoofdstuk 5

Rondo Veneziano

5.1 Zeven functies van wiskunde

We beginnen met te onderzoeken of de zeven functies van wiskunde die we in hoofdstuk4 onderscheidden, ook in Rondo Veneziano terug te vinden zijn. Over de eerste twee, deschijnbare randopmerkingen en de vergelijkingen, kunnen we kort zijn: vergelijkingen metwiskunde zijn nergens terug te vinden in het boek, en er staan zoveel, soms ogenschijnlijktriviale, verwijzingen naar de wiskunde, dat er zo gezien heel veel schijnbare randopmerkingenzijn. Maar de meeste daarvan kaderen in de bredere stuctuur van de roman, namelijk: hetbesef dat wiskunde alomtegenwoordig is op het congres. Die ‘randopmerkingen’ hebben dusjuist een belangrijke rol te vervullen. Misschien is er een uitzondering vermeldenswaardig: alsprof. dr. Mayer-Kuckuck en zijn vrouw naar bed gaan, lezen we (p. 125)1:

Het was een ervaren echtpaar dat, door allerlei interessante ontwikkelingen enigzinsuit elkaar gegroeid, teruggeworpen op een bed, automatisch samenkrulde tot wataltijd hun favoriete houding was geweest: de vierzijdige symmetrie.

5.1.1 Iedereen kent iedereen!

Het mag niet als verrassing over komen dat de meeste professoren op het colloquium elkaaral kennen van vroeger, en dat wetenschap, filosofie en wiskunde normale gespreksonderwerpenzijn tussen de deelnemers. Meer nog: juist door hun gemeenschappelijke belangstelling inbijvoorbeeld wiskunde, zullen enkelen onder hen net daardoor toenadering zoeken. Zo vraagtPlaniac, een filosoof uit Zagreb, tijdens een gesprek met Pipper (p. 99):

‘Kan ik nog ’s bij u langs komen om te praten over het evidente in de wiskunde?Ik heb daar een aantal dia’s van. Leuk misschien te weten dat ook ik in Gottingengestudeerd heb, een aantal jaren na u. Wat ze niet over u te vertellen hadden! Ubent werkelijk een schilderachtige figuur.’

Bij deze passage kunnen we verschillende zaken opmerken. Ten eerste komt Gottingenweer ter sprake, een stad die in het werk van Krol nooit ver weg lijkt te zijn.2 Ten tweede

1Paginavermeldingen in dit hoofdstuk verwijzen, tenzij anders aangegeven, steeds naar Rondo Veneziano(2004c).

2Zo komt Gottingen ter sprake in Het gemillimeterde hoofd (en wel vier keer), De ziekte van Middleton enIn dienst van de ‘Koninklijke’.

65

66 Hoofdstuk 5. Rondo Veneziano

merkt Planiac op dat men in Gottingen blijkbaar vanalles te vertellen had over Pipper. Het feitdat men hem daar jaren na zijn passage nog kent, lijkt het gerucht3 te staven dat Pipper deRiemann-hypothese inderdaad bewezen heeft. Ten derde zegt Planiac dia’s te hebben van “hetevidente van de wiskunde”, een op z’n zachtst gezegd wel erg sterke uitspraak. De claim dateen filosoof daarvan dia’s heeft, is waarschijnlijk nog een sterkere claim dan de wiskundige dieeen foto van een getal neemt (zoals Pipper op het einde van de roman overigens effectief zaldoen). Wiskunde kunnen we, met een beetje goede wil, categoriseren als een ‘abstrahering’,maar zo gezien wordt filosofie van de wiskunde de abstrahering van een abstrahering. Daardia’s van nemen is wel erg straf.

Nu we het toch over Gottingen hebben; blijkbaar waren ze Pipper daar nog niet vergetenin Planiac studententijd, maar dat is nog niet alles. Wanneer Pipper, aan het einde van deroman, voor de eerste keer sinds zijn studie terugkeert naar Gottingen, wordt hij zowaar nogsteeds herkend (p. 250-1; cursivering in origineel):

Terug in het hotel werden we [=Pipper en zijn vriendin Vicky, SC] opgewacht doorde eigenaar, die me vroeg of ik een paar minuutjes tijd voor hem had. Ik dacht:o jee, nou zullen we het hebben. Leg de handboeien maar om. Maar nee, hijwilde weten of ik met net zo veel plezier terugdacht aan dat zomercollege, overpriemgetallen, als hij.‘Ja, heel bijzonder.’‘Vijf, zes studenten. Dat waren tijden,’ glunderde hij.Maar dat hij mij herkende. Mij, oud en grijs. . .Door mijn naam. Pipper valt door de aarde, een boek uit zijn jongensjaren.‘Dat moet,’ rekende ik uit, ‘het was in ’67, dat moet drieendertig plus vier, zeven-endertig jaar geleden zijn. . . ’‘Die avond’ (het ijs was nu gebroken) ‘dat u ons meenam naar uw tent, op deHohe Reese, en ons aan de hemel de priemgetallen toonde, alle. En dat we welwisten wat het imaginaire vlak was, maar dat we ons het hoofd braken over deimaginaire ruimte. . . Daar kwamen we maar niet achter. . . ’Daar wist ik dus niets meer van.

Wiskunde brengt mensen dus inderdaad dichterbij, mooier dan hier zien we dat nergensgeıllustreerd. We krijgen een zoveelste lofzang voor de wiskunde: “Dat waren tijden”, deuitbater glundert zelfs. En, alweer: na de dia van “het evidente van de wiskunde”, worden hierde priemgetallen getoond, en wel aan de hemel. Een feit dat overigens vroeger in de roman aleens ter sprake kwam (p. 52):

Dit, in een notendop, was het avontuur waaraan ik mij had overgeleverd, de laatstemaand in Gottingen. Ik volgde de colleges trouw, maar de inspiratie kreeg ik vande sterren. Ik zag, ’s avonds, en ’s nachts, voor mijn tentje op de Hohe Reesegezeten, in elke ster een priemgetal.

Krol bouwt zo stilaan op naar de finale van zijn roman.

5.1.2 Wiskunde toegepast

Minstens twee maal vinden we een voorbeeld van een toepassing van wiskundig denken inRondo Veneziano. Een eerste keer wanneer de enige professor wiskunde van het colloquium,

3We komen hier op terug.

5.1. Zeven functies van wiskunde 67

prof. dr. Sven Eriksson, een doodsaaie lezing geeft over de wiskundige beschrijving van slin-gerbewegingen. Plotseling krijgt Eriksson iedereen wakker door te wijzen op een biologischevariant: wat danseressen doen in nachtclubs (p. 60):

Wie sliep was nu weer helemaal wakker en volgde met de anderen nauwlettend watEriksson te vertellen had. ‘Nogmaals, de weg die ze daarbij volgen hoeft niet eencirkel te zijn. Een ellips doet het ook, en misschien nog wel beter. Als ze maarbewegen, als ze maar door de lucht blijven gaan.’

Prof. dr. B.H. Mitla stelt hierop direct voor om de volgende nacht de praktijk van Erikssonslezing aan te tonen; iets waar uiteraard erg enthousiast op gereageerd wordt. In dit voorbeeldvan wiskundige toepassing, kunnen we niet om het grappige effect heen, waar we ons vroegereen aantal keer konden afvragen of een absurde situatie wel als grap bedoeld was.

In het casino

Een tweede zeer praktische toepassing van wiskunde krijgen we in het casino, iets waar Krolvroeger ook wel al eens naar verwezen heeft.

Een eerste keer in In dienst van de ‘Koninklijke’, waar GK van zijn vriend Fiango een (ophet eerste zicht) hele goeie tip krijgt (1974: 58):

Fiango leerde mij aan de roulette een systeem om te winnen door er op te wijzendat je, door steeds maar je inzet te verdubbelen en na de eerste winst op te houdenprecies de eerste inleg rijker geworden zou zijn.

Maar voor u naar het casino spurt: op p. 56 van Omhelzingen ontkracht Krol deze stelling.Hayo, een van de hoofdpersonen uit Omhelzingen, heeft deze tactiek zopas toegepast: hijheeft op kleur gespeeld en verloren, maar telkens zijn inzet verdubbeld. Uiteindelijk wint Hayoen wil hij inzet en winst terug, maar de croupier weigert dit. “Toen begreep Hayo de regel,die was niet langer verborgen meer: men kon alleen zijn winst weghalen of zijn totale inzet.Maar niet beide.” (p. 56-7).

Het wiskundige aspect aan het casino-gebeuren blijft Krol toch boeien, want in RondoVeneziano is er ook een personage dat naar het casino trekt: mevrouw Morosini. Ze heeftPipper gevraagd met haar mee te gaan. Aanvankelijk wint ze een fiks bedrag (p. 73):

Ze glimlachte. ‘Je hebt nu gezien hoe het gaat,’ zei ze. ‘Ik heb nou gewonnen,maar de volgende keer verlies ik. Op en neer. Na een jaar spelen sta ik op nul— als ik geluk heb. Maar je begrijpt, zo schiet ik niet op. Dus, ik heb nu degrootste wiskundige van de wereld in de arm genomen en die gaat mij vertellenhoe ik spelen moet.’

‘De paradox van het kansspel is dit,’ zei ik, ‘de uitslag is in het geheel niet tevoorspellen, en tegelijk is diezelfde uitslag van tevoren volkomen bepaald. Als jetwee keer van nul start, krijg je twee keer dezelfde uitslag.‘Dat betekent,’ zei ze, twee muntjes instekend, ‘dat je kunt voorspellen wat deuitslag is, en dat-ie helemaal niet op toeval loopt.’Dat had ze goed gezien.


5.1.3 Wiskunde studeren

Zoals zoveel van de hoofdpersonages in Krols romans, heeft ook J.J. Pipper wiskunde gestu-deerd, of, beter gezegd: hij heeft helemaal geen wiskunde gestudeerd. Wiskundestudies, of hetgebrek er aan, speelt een veel belangrijker rol in Rondo Veneziano dan in Krols andere romans.De vraag of Pipper nu wel of niet wiskunde gestudeerd heeft, wel of niet een doctorstitel bezit,en al dan niet het vermoeden van Riemann bewezen heeft, is een van de belangrijke hoofdlijnenvan de roman. Wat de eerste twee vragen betreft, komt het uit dat Pipper in Gottingen eenzomercursus over priemgetallen gevolgd heeft, en na afloop een doctoraalsbul heeft gestolen.

Laten we onze aandacht op de derde vraag richten. Het vermoeden van Riemann is eenterugkerende constante in het boek, en Rondo Veneziano eindigt ook met de ontkrachtingvan het vermoeden. Dankzij dit feit is ook Rondo Veneziano, net als de 32e omhelzing en Devitalist, een verhaal dat helemaal verweven zit met de wiskunde. We komen daar uitgebreidop terug, nadat we in een volgende sectie eerst het vermoeden van Riemann en zijn implicatiesvan naderbij bekijken.

5.1.4 Wiskundig schrijven

Eigenlijk valt er in deze roman weinig te zeggen over wiskundig schrijven: in het vorige hoofd-stuk merkten we op dat deze vorm van wiskundeverwerking in de roman, steeds aan belangverloor; een evolutie die in Rondo Veneziano haar eindpunt lijkt bereikt te hebben. Des teopmerkelijker is het dat Krol een oude gewoonte weer eventjes van op stal haalt. Hoewelhet geleden was sinds Een Fries huilt niet, haalt Krol hier het niet-wiskundig gebruik van hetwoordje ‘stelling’ weer eventjes van onder het stof (p. 157):

‘Stelling,’ zei hij — en hij maakte wat ruimte op het papier:

‘alle ijzer verlangt naar gisteren.’

Net alsof Krol na zovele jaren trouwe dienst een oude vriend een laatste groet wil brengen. . .

5.1.5 Beschouwende passages

Beschouwende passages los van de verhaalcontext komen sinds Scheve levens niet meer voor,en dat blijft zo. Nu zou men kunnen opmerken dat een colloquium de gedroomde achtergrondis om technische passages mee te geven, en dat is op een manier ook zo. Maar eerder inde zin dat Krol ons in de lezingen (eventueel weinig geweten) feiten meegeeft, niet zozeerbeschouwingen. Daar waar Krol al iets meegeeft als beschouwing, handelt het meestal omfilosofie van de wiskunde, een onderwerp dat we in het volgende hoofdstuk behandelen.

Een van de mooie kanten van Rondo Veneziano is, dat lang niet alleen wiskunde belang-rijk is. In deze roman passeren ook wetenschapsgeschiedenis, taalkunde, wereldgeschiedenis,filosofie en natuurwetenschap de revue. Vele van die zaken laat Krol zijn romanpersonagesuitspreken tijdens een lezing. Zoals we al een aantal keer zagen, neemt Krol daarbij de ge-legenheid te baat om de karaktertrekken van de professoren in kwestie dieper uit te werken.Niet zelden brengt hij zo enkele typetjes ten tonele, zoals bijvoorbeeld de ‘saaie professor’.

5.2. De Riemann-hypothese 69

5.2 De Riemann-hypothese

5.2.1 Priemgetallen tellen

In deze sectie ben ik genoodzaakt om enkele zaken omtrent wiskunde uit de doeken doen; ikprobeer dit zeer intuıtief te doen. Zo mag, wie niet vertrouwd is met het begrip ‘functie’, ditwoord in de volgende secties gerust lezen als ‘grafiek’ zonder veel nuances te verliezen. Het isvoldoende de hoofdtekst te lezen, maar meer wiskundige details zijn in de voetnoten te vinden.Tenzij anders aangeduid, ga ik in deze sectie uit van van der Veen & van de Craats (2011).

Een oud zeer in de wiskunde is het feit dat de priemgetallen zo onregelmatig verdeeld zijn.Het is geweten dat twee opeenvolgende priemgetallen soms heel ver uit mekaar liggen; menheeft het dan over priemwoestijnen. Soms verschillen twee priemgetallen slechts een term tweevan mekaar; bijvoorbeeld 11 en 13. Men noemt zulken koppels priemgetallen priemtweelingen.Maar ook in de verdeling van priemwoestijnen en priemtweelingen lijkt helemaal geen logica ofregelmaat te zitten; zo is bijvoorbeeld (nog) niet geweten of er oneindig veel priemtweelingenzijn (Maor 2009: 184). Wiskundigen zoeken nu ook al millennia naar manieren om het aantalpriemgetallen onder een gegeven getal te voorspellen.

Zetten we het aantal priemgetallen gelijk aan of kleiner dan een bepaald getal uit in eengrafiek, dan krijgen we een trapvormige functie; zie figuur 5.1. Deze functie wordt door

Figuur 5.1: De priemtelfunctie π(x). Figuur overgenomen uit van der Veen & van de Craats(2011): 5.

wiskundigen meestal aangeduid als π(x); men noemt deze functie de priemtelfunctie. Dewaarden 0 en 1 beeldt π(x) af op 0 (er zijn nul priemgetallen kleiner of gelijk aan 0 of 1); op 2(het kleinste priemgetal) springt de functie een trapje naar omhoog (er is een priemgetal kleinerof gelijk aan 2, namelijk 2 zelf); op 3 krijgen we nogmaals een trede (ook 3 is een priemgetal,en het aantal priemgetallen kleiner dan of gelijk aan drie is dus twee, te weten 2 en 3). Opvier blijft de functie op twee staan, en pas op vijf springt ze eentje hoger. Het feit dat viergeen priemgetal is, vertaalt zich in een iets bredere ‘trede’ in de trapvormige priemtelfunctiedan de vorige trede. De bovenste trede die volledig op de hier afgebeelde grafiek staat, is ophet eerste zicht ook de grootste: dat komt omdat er tussen 89 en 97 (zelf beide priem en dus‘sprongen’ in de grafiek) geen enkel priemgetal meer zit.

Het valt op dat dit laatste feit schaalinvariant is: hoe groter de getallen die we beschouwen,hoe zeldzamer priemgetallen voorkomen, en dus hoe ‘bredere treden’ de priemtelfunctie krijgt.


Men kan bewijzen dat de priemtelfunctie wel degelijk naar oneindig gaat, maar dit is een zeertraag proces: hoe groter x wordt, hoe trager π(x) aangroeit. Het is de bekende wiskundigeGauss geweest, die de eerste was om een functie op te stellen die vrij nauwkeurig de spreidingvan de priemgetallen voorspelt; die functie wordt meestal aangeduid door L(x).4 Maar L(x)stijgt net iets minder snel dan π(x). Om die reden werd er later, aan de hand van dezeeerste functie, een tweede functie opgesteld die nog nauwkeurigere voorspellingen oplevert;een functie die men Li(x) pleegt te noemen.5 In figuur 5.2 staan π(x), L(x) en Li(x) alledrieafgebeeld.

Figuur 5.2: Van onder naar boven: de functie L(x); de (trapvormige) priemtelfunctie π(x) ende functie Li(x). Figuur overgenomen uit van der Veen & van de Craats (2011): 18.

Het valt daarbij op dat, daar waar L(x) onder de ‘trapfunctie’ π(x) blijft liggen, Li(x) ereen heel klein beetje boven ligt. Op welke schaal je een computer ook de twee grafieken π(x)en Li(x) laat uittekenen, altijd zal je zien dat Li(x) boven π(x) ligt. Men krijgt dus de indrukdat dat altijd zo blijft: voor elk getal x lijkt Li(x) een beetje groter dan de trapfunctie. Of,in het Nederlands, de schatting van het aantal priemgetallen dat Li(x) maakt, zal steeds eenklein beetje overdreven zijn.

Maar schijn bedriegt: in 1914 bewees de Briste wiskundige John E. Littlewood dat π(x)op een gegeven moment zeker groter moet worden dan Li(x)! Met andere woorden: voor eenheel erg grote x-waarde moeten de grafieken van π(x) en Li(x) kruisen. Littlewood beweeszelfs meer dan dat: hij toonde aan dat de twee grafieken elkaar zelfs oneindig vaak moetenkruisen. Maar de vraag bleef voor welke waarden van x dit nu gebeurde.

Het heeft tot 1933 geduurd eer er voor de eerste keer een stap in de richting van eenoplossing voor dit probleem werd gedaan. In dat jaar toonde Stanley Skewes namelijk aan

dat, als de Riemann-hypothese waar is,6 er voordat x de waarde 10101034

aanneemt, zeker zo’n

4De precieze definitie van deze functie luidt: L(x) = xln x

.5Deze functie definieert men als volgt: Li(x) = ∫

x

edtln t

. Deze tweede functie is vrij makkelijk te verkrijgen uitde eerste, L(x). Als je die afleidt, krijg je namelijk L′(x) = 1

ln x− 1(ln x)2 . Merk op dat de bijdrage van de term

− 1(ln x)2 zeer klein is. Om een functie te vinden die net iets sneller zou stijgen dan L(x), kun je die term − 1

(ln x)2dus laten vallen, en wat er overblijft, 1

ln x, terug integreren. Het komt uit dat deze functie inderdaad een veel

nauwkeuriger voorspelling maakt; zie hiervoor de grafiek in figuur 5.2.6Een voorwaarde waar van der Veen & van de Craats (2011) eigenaardig genoeg aan voorbijgaan (van der

Veen & van de Craats 2011: 18). Nochtans haalt Skewes dit zelf in zijn artikel duidelijk aan; zie Skewes (1933):277-8 (cursivering in origineel): “Ingham has pointed out that Littlewood’s method provides, even in principle,


kruising moet plaatsgevonden hebben.7

Met deze bagage weten we genoeg om een eerste passage uit het slot van Rondo Venezianobeter te begrijpen.

5.2.2 Het getal van Skewes

Krol heeft het op p. 253 immers een eerste keer over dit gigantisch grote getal 10101034

. Hijnoemt het, zoals gebruikelijk is, het getal van Skewes:

Er is in de wiskunde een afschuwelijk groot getal, genoemd naar zijn ontdekkerStanley Skewes, het Getal van Skewes: 10 tot de macht 10 tot de macht 10 totde macht 34. Gedefinieerd als het punt waar het volgens de methode van Euler,Gauss of Riemann geschatte aantal priemgetallen samenvalt met het werkelijkeaantal. Dat er zo’n punt moet bestaan weten we sinds Littlewood (1914). Hetgetal is groter dan 10 tot de macht 80 - het aantal deeltjes in het heelal, dat,al die deeltjes ten spijt, nagenoeg leeg is. Als we alle gehele getallen kleiner danhet Getal van Skewes zouden turven, zou het heelal niet groot genoeg zijn om dedrukinkt te bevatten die daarvoor nodig is.

Lezen we deze passage met de bagage die we mee hebben uit de vorige sectie, dan herkennenwe in eerste instantie uiteraard veel. Maar Krol gaat, alweer, zeer snel vooruit: hij legtgeen details uit. De functie Li(x) noemt hij ‘de methode van Euler, Gauss of Riemann ompriemgetallen te schatten’. Het is waarschijnlijk inderdaad literair meer verantwoord om eenfunctie in een roman op zo’n manier te omschrijven; eerder dan door een (wiskundig beterverantwoorde) formule te gebruiken en iets te schrijven als: ‘Gedefinieerd als het punt waarhet aantal priemgetallen voorspeld door de functie Li(x) = ∫ x

edtln t , samenvalt met het werkelijke

aantal.’ Dat krijgt uiteraard niemand gelezen in een roman.Maar de vraag is dan wel waarom Krol deze methode die “van Euler, Gauss of Riemann”

noemt. Dat Gauss er voor iets tussenzit, is duidelijk, want hij heeft de functie L(x) ontwikkeld,die later aanleiding zou geven tot het vinden van de nauwkeurigere functie Li(x). Maar waarEuler en Riemann in beeld passeren, is mij onduidelijk.

Daarenboven maakt Krol strikt genomen een fout: hij zegt dat, voor x gelijk aan hetgetal van Skewes, het door Li(x) geschatte aantal priemgetallen en het werkelijke aantalpriemgetallen, samenvallen. Met andere woorden: Krol zegt dat de grafieken van Li(x) enπ(x) elkaar kruisen wanneer x als waarde het getal van Skewes aanneemt. Dat is manifestonjuist:8 Skewes bewees dat zo’n eerste kruising plaatsvindt ten laatste aan het getal vanSkewes, maar het kan best zijn dat dat al veel vroeger al een eerste keer gebeurde!9

Krol maakt overigens nog een schoonheidsfoutje: hij heeft het over “alle gehele getallenkleiner dan het Getal van Skewes”, waar hij eigenlijk ‘alle natuurlijke getallen. . . ’ bedoelt.

no definite number x0, such as a repeated exponential like 999 , before which P(x) [= π(x) − Li(x), SC] haschanged sign. My object is to obtain, assuming the truth of the Riemann hypothesis, such a number x0; thatis to obtain an x0 such that, for some x ≤ x0, the inequality P(x) > 0 is satisfied.”

7In 2000 bewezen Carter Bays en Richard Hudson dat zo’n snijpunten zelfs al moet liggen rond 1, 39822 ×10316; nog steeds een gigantisch groot getal, maar toch al onvoorstelbaar veel kleiner dan het getal van Skewes.Daarenboven vonden ze enkele sterke argumenten om aan te nemen dat dit de eerste kruisingen zouden zijn(Derbyshire 2003: 236).

8Het valt te zeggen: het is niet uitgesloten dat dit, zeer toevallig, wel het geval is. Maar dat is het puntniet: Krol citeert Skewes onjuist.

9Zoals opgemerkt in voetnoot 7, weten we ondertussen zelfs al dat dat zeker zo is.


5.2.3 Van priemgetallen naar de Riemann-zeta-functie

Met al deze uitweidingen zijn we ver van ons oorspronkelijke doel geraakt: een juiste voor-spelling vinden van het aantal priemgetallen onder een gegeven getal. We hebben gezien datLi(x) een zeer goede benadering geeft, maar geen exacte. Is dat mogelijk?

Als je uitgaat van de trapvormige priemtelfunctie π(x) zoals we die tot nu toe bestudeerdhebben, lijkt dat niet rechtstreeks mogelijk. Maar geen wanhoop: in 1850 kwam de Russischewiskundige Pafnoeti Tsjebysjow op het idee om priemgetallen op een ietwat andere wijze tetellen. Met een omweg stelde dit Tsjebysjow in staat om π(x) te bepalen. We zullen niet ingaanop de details, maar omdat Tsjebysjows functie ook een telfunctie is, is ze ook trapvormig.

De functie waar we het hier over hebben, wordt wel eens de logaritmische priemtelfunctiegenoemd, en ze wordt genoteerd als ψ(x). Een van de voordelen die ze met zich meebrengt,is dat ze oneindig veel eleganter dan de ‘gewone’ priemtelfunctie π(x) is; zo geldt voor elkgetal x waarvoor je de functie ψ(x) berekent, dat de uitkomst ook ongeveer x is! Zo is ψ(20)bijvoorbeeld gelijk aan 19,266. . . . Deze benadering blijft geldig, hoe groot je de schaal ookneemt. In figuur 5.3 zien we dit laatste feit duidelijk geıllustreerd. In wiskundetaal schrijvenwe de functie die elk getal afbeeldt op zichzelf, als y = x . We kunnen dus stellen dat y = xeen zeer goede benadering van ψ(x) is, en dat wel voor alle x groter dan 0.

Figuur 5.3: De logaritmische priemtelfunctie ψ(x) samen met de rechte y = x , op tweeverschillende schalen. Figuur overgenomen uit van der Veen & van de Craats (2011): 13.

Nu blijft de functie y = x wel een benadering, en geen exacte waarde. En nu komt hetgoede nieuws: er bestaat een manier om ψ(x) exact te bepalen. Die formule ziet er als volgtuit:

ψ(x) = x − ln 2π − 1

2ln(1 − 1

x2) −∑

u

xu

u(5.1)

waarbij u de niet-triviale nulpunten van de Riemann-zeta-functie zijn.10 Dat laatste is eenhele mond vol, maar wat wil dit in praktijk allemaal zeggen?

10Hoewel die niet-trivale nulpunten allemaal complexe getallen zijn, kan je aantonen dat de imaginaire delentegen elkaar wegvallen, en dat het beeld van deze functie voor reele x altijd een reeel getal zal zijn!


Wel, hebben we daarnet goed nieuws gehoord, er is ook slecht nieuws. Formule 5.1 isnamelijk een optelling met een oneindig aantal termen;11 we kunnen ze met andere woordennooit helemaal uitrekenen. Maar hoe meer termen we meenemen, hoe juister onze uitkomstzal zijn. Als we van links naar rechts alle termen overlopen, dan zien we eerst de term x . Menzou, heel terecht, kunnen opmerken dat alle volgende termen erg klein moeten zijn, omdatwe al weten dat ψ(x) ongeveer gelijk is aan x . En ja, de tweede term, − ln 2π, is gewooneen getal, en wel een klein getal (meer bepaald -1,837877. . . ). De derde term, −1

2 ln (1 − 1x2),

hangt wel weer af van de waarde van x , maar blijft van de andere kant wel altijd extreem klein— deze term is zelfs bijna te verwaarlozen.

Tot hier ging alles goed; op de vorige drie termen zullen we niet meer terugkomen. Maarde laatste term van formule 5.1 is een sommatie; het feit dat er een vervelend ∑-teken staat,en dat er oneindig veel u’s zijn, zorgt er namelijk voor dat −∑

u

xu

u eigenlijk een oneindig aantal

termen omvat. Hoe meer termen we hieruit meenemen, hoe nauwkeuriger onze voorspellingvan Tsjebysjows logaritmische priemtelfunctie zal zijn. Getuige hiervan de grafiek in figuur 5.4,die de eerste twintig termen uit de sommatie −∑

u

xu

u meetelt.12 We zien dat, vooral voor x

kleiner dan 20, deze benadering al erg goed is, en in elk geval de benadering y = x overtreft.

Figuur 5.4: Grafiek van ψ(x) en de benadering waarbij de twintig eerste termen van desommatie zijn opgenomen. Figuur overgenomen uit van der Veen & van de Craats (2011): 62.

Hiermee hebben we aangetoond wat het verband is tussen priemgetallen en de niet-trivialenulpunten van de zeta-functie, maar wat dat nu eigenlijk zijn, die niet-triviale nulpunten en dezeta-functie, dat weten we nog steeds niet.

11Het mag eigenaardig overkomen dat een optelling met een oneindig aantal termen toch een eindig resultaatkan opleveren (wat uiteraard lang niet altijd het geval is). Maar specifiek voor deze functie kun je bewijzen datdat het geval is voor elke reele x .

12De u’s, de niet-triviale nulpunten van de zeta-functie, komen steeds voor in paren. Je kan namelijk aantonendat als w + iz (met 0 < w < 1 en z ∈ R) een niet-triviaal nulpunt is, dat dan ook w − iz een niet triviaal nulpuntis. Bemerk dat beide punten elkaars spiegelbeeld rond de reele as zijn. Met ‘eerste twintig termen’ bedoelenwe hier de eerste tien paren.


5.2.4 De Riemann-zeta-functie

We hebben al enige functies onder de loep genomen, en we zijn ook al eens een sommatie, eensom van een oneindig aantal termen, tegengekomen. Ook in de definitie van de zeta-functie,genoteerd ζ(x), vinden we een sommatie-teken terug:

ζ(x) =+∞

∑n=1

1

nx(5.2)

Bij deze formule moeten we een belangrijke opmerking maken: x moet groter zijn daneen, want anders kun je deze sommatie niet berekenen.13 Maar Riemann heeft daar iets opgevonden: hij heeft een definiering van ζ(x) voorgesteld die niet alleen opgaat voor alle xkleiner dan 1; ze gaat zelfs op voor het hele complexe vlak, behalve voor het getal 1, waar deRiemann-zeta-functie een pool heeft. Dat zijn een heleboel dure woorden, die we nu simpelgaan proberen uitleggen aan de hand van enkele tekeningen.

Krol heeft het in Rondo Veneziano een aantal keer over het “imaginaire vlak”, een termwaarover we eerder al eens opmerkten dat hij strikt genomen foutief is. Maar de adjectieven‘complex’ en ‘imaginair’ zijn in hun wiskundige betekenis nauw verwant: om het complexe vlakte maken, hebben we imaginaire getallen nodig. Laat ons beginnen met dit laatste.

Op school leerden we dat zo goed als alle wiskundige bewerkingen uit te voeren zijn,behalve delen door nul en wortels14 trekken uit negatieve getallen. Laten we even bij dat laatstestilstaan. Als je een getal kwadrateert, krijg je sowieso steeds een positief getal als uitkomst.Omdat een vierkantswortel gedefinieerd is als de inverse bewerking van het kwadraat, kun jedus nooit de wortel trekken uit een negatief getal.

Maar in de 16e eeuw werd duidelijk dat je wortels uit negatieve getallen soms gewoonwegniet kunt vermijden.15 Je kunt wortels uit negatieve getallen elegant toelaten door de worteluit -1 toe te laten. Zo wordt

√−9 bijvoorbeeld, aan de hand van de gekende rekenregels, als

volgt uitgewerkt:

√−9 =

√(−1) × 9 =

√−1 ×

√9 =√−1 × 3

Dit laatste kunnen we iets korter schrijven als 3√−1. Maar als we afspreken dat we, zoals

gebruikelijk is in de wiskunde,√−1 schrijven als i , dan kunnen we de uitkomst nog eleganter

schrijven als 3i .Wat voor ons nu eigenlijk vooral van belang is, is het feit dat je dat toch wel rare getal i

helemaal niet op de getallenas kunt plaatsen. Gelukkig hebben wiskundigen ook daar iets opgevonden: we geven i gewoon een eigen getallenas, waar alle getalletjes met i vermenigvuldigdhun plaats terugvinden: −i staat er op, 3i , 5

7 i , zelfs πi staat ergens op die as. Eigenlijk is dieas identiek aan de ‘gewone’ getallenas, met die opmerking dat we een i ’tje toevoegen aan elkgetal. We noemen deze getallen de imaginaire getallen, en de as waarop ze hun plaats hebbennoemen we de imaginaire as.

13De reden daarvan is dat, als x kleiner dan of gelijk aan 1 is, de oneindige som ook een ‘oneindig groot getal’oplevert, om het heel intuıtief uit te leggen. Men zou zich eerder kunnen verwonderen over het omgekeerde:voor x = 2, bijvoorbeeld, hebben we uiteraard ook een oneindig aantal termen, maar toch is de som van ditoneindig aantal termen zelf toch eindig ! Iets waar we hier uiteraard niet verder kunnen op ingaan.

14Preciezer uitgedrukt: n’de-machtswortels, waarbij n een even getal is.15Dit kwam voor het eerst aan het licht bij de ontdekking van de algemene oplossingsmethode van de

derdegraadsvergelijking. Die oplossing leverde tijdens de berekening soms wortels uit negatieve getallen op, diemekaar echter in de verdere loop van de berekening weer ophieven, zodanig dat de uitkomst toch nog een reeelgetal was.


Omdat (bijna) alle rekenregels ook voor de imaginaire getallen gelden, geldt dus ook datalvast een schijnbaar imaginair getal ons bekend voorkomt: namelijk het getal 0i . Per definitieis vermenigvuldigen met 0 gelijk aan 0, dus geldt: 0i = 0. Of nog anders uitgedrukt: nul is hetenige getal dat zowel op de ‘gewone’ (reele) getallenas staat, als op de imaginaire. En net vandit feit gaan we nu gebruik maken: we maken de twee assen aan elkaar vast net ter hoogtevan het getal 0, en we zetten ze loodrecht op elkaar. Het resultaat zien we in figuur 5.5.

Figuur 5.5: Het complexe vlak. Horizontaal zien we de reele getallenas; verticaal de imaginaire.Figuur overgenomen uit van der Veen & van de Craats (2011): 38.

Merk op dat we, doordat we twee assen hebben, we nu eigenlijk een vlak getekend hebben.Dit vlak noemen we het complexe vlak, en daar kun je alle getallen van bijvoorbeeld de vorm3 + 5i of −π − 7

5 i een plaats in geven. Hoe je dit precies doet, staat in figuur 5.5 aangegevenmet het voorbeeld x + yi . Elk van die getallen van die vorm (zoals 3 + 5i , dus) noemen weeen complex getal. Terzijde: merk op dat alle ‘gewone’ (reele) getallen tegelijk ook complexegetallen zijn, want we kunnen bijvoorbeeld 6 schrijven als 6+ 0i . En met elk van die complexegetallen kun je nu gaan berekeningen doen: je kunt complexe getallen met elkaar optellen ofvan mekaar aftrekken; je kunt ze vermenigvuldigen of door elkaar delen16. Je kunt zelfs eencomplex getal tot een complexe macht verheffen, of, nog sterker, een complexe machtsworteltrekken uit een complex getal. En wat is het mooiste van heel de zaak? Je uitkomst is sowiesozelf ook een complex getal! Met andere woorden: dankzij complexe getallen kunnen we nuom het even welke bewerking uitvoeren, en zijn we gegarandeerd zeker dat we een uitkomstbekomen.17

We zijn er nu bijna. Riemann heeft de zeta-functie nu zodanig aangepast, dat ze bereken-baar is voor elk complex getal, behalve voor het getal 1. Met andere woorden: voor elk getalz in het complexe vlak, behalve voor het getal 1, bestaat er een en exact een getal ζ(z) datde waarde van z voor de Riemann-zeta-functie is.

Anders en minder wiskundig uitgedrukt: de Riemann-zeta-functie zorgt ervoor dat er aanelk (complex) getal in het complexe vlak naar een uniek ander getal ‘verwijst’. En wat is nu nethet hele punt? Sommige (zelfs oneindig veel) complexe getallen ‘verwijzen’ op die wijze naarhet getal nul. Wiskundig gesteld: er zijn oneindig veel getallen z waarvoor geldt: ζ(z) = 0.

16Behalve door nul, uiteraard.17Behalve, nogmaals, als we willen delen door nul, want dat lukt niet.


Een (ook al oneindig) aantal van die getallen zijn voor onze discussie irrelevant;18 overdie getallen zullen we het niet meer hebben. De andere getallen waarvoor geldt dat ζ(z) = 0noemen we de niet-triviale nulpunten van de zeta-functie. Of, simpeler gesteld: dat zijn de‘moeilijke’19 complexe getallen die ‘naar nul verwijzen’.

Het waren nu net die ‘moeilijke complexe getallen die naar nul verwijzen’ die we in formule5.1 nodig hadden; die getallen stonden daar aangeduid als u. Net zoals alle complexe getallenhebben ook deze ‘niet-triviale nulpunten’, de u’s, uiteraard hun unieke plaats in het complexevlak. Meer nog: je kan bewijzen dat die niet zomaar ergens in het complexe vlak liggen,maar in een tamelijk smalle strook; de zogenaamde ‘kritische strook’. Die kritische strook isaangegeven in figuur 5.6; de strook wordt links begrensd door de imaginaire as, en rechts door

Figuur 5.6: Het complexe vlak met de kritische strook en de kritische lijn. Figuur overgenomenuit van der Veen & van de Craats (2011): 42.

de rechte x = 1. Maar er is meer aan de hand: alle ‘niet-triviale nulpunten van de zeta-functie’die wiskundigen ooit al berekend hebben, liggen niet alleen op die strook, zoals het hoort,maar liggen ook op een rechte lijn, precies in het midden van die strook. Die ene rechte lijnnoemen we de kritische lijn.

Hiermee zijn we eindelijk aanbeland bij de Riemann-hypothese. Riemann veronderstelde,maar kon niet bewijzen, dat alle niet-triviale nulpunten van de zeta-functie op de kritische lijnliggen. Wiskundig uitgedrukt: het reele deel van alle niet-triviale nulpunten van de Riemann-zeta-functie is gelijk aan 1

2 , of, formeel: voor alle u geldt Re(u) = 12 , met u de niet-triviale

nulpunten van de Riemann-zeta-functie.Een heleboel zaken betreffende de niet-triviale nulpunten en de kritische lijn weten we

nochtans wel al. Zo weten we bijvoorbeeld zeker dat minstens 40% van de nulpunten inderdaadop de kritische lijn ligt. Voor ons is een andere zekerheid nog verder van belang: als deRiemann-hypothese niet waar is; met andere woorden, als er wel degelijk nulpunten zijn dieniet op de kritische lijn liggen, dan bestaat er zeker nog een tweede niet-triviaal nulpunt, enwel de spiegeling van het eerste rond de kritische lijn. Nemen we een wiskundig voorbeeld: als14 + ir voor zekere r een nulpunt is, dan is ook 3

4 + ir een nulpunt.20 Dat is niet onbelangrijk,

18De zogenaamde triviale nulpunten van de Riemann-zeta-functie: -2, -4, -6,. . .19niet-triviale20Zoals opgemerkt in voetnoot 12, worden alle nulpunten ook nog eens gespiegeld rond de reele as. De

ontdekking van een nulpunt dat niet op de kritische lijn ligt, zou dus niet onmiddellijk twee, maar zelfs vier‘ongehoorzame’ nulpunten opleveren.


want Krol zal deze stelling op het einde van Rondo Veneziano visualiseren.Sinds Riemann zijn hypothese formuleerde, zijn er meer dan 150 jaar verstreken, maar nog

steeds is het vermoeden onbewezen gebleven. Al bestaat er een hardnekkig gerucht dat eneJ.J. Pipper het ooit zou bewezen hebben. . .

5.2.5 Terug naar Krol

We hebben nu genoeg wiskundige bagage mee om Krols stukken over het vermoeden vanRiemann te overlopen. In sectie 3.2.3 bestudeerden we al eens het tekstfragment waarmeeKrol de Riemann-hypothese in zijn roman introduceerde. Dat fragment zag er zo uit (p. 51-2):

Riemann is de grote architect van de Zetafunctie, toegepast op het imaginairevlak. Dit vlak kun je gewoon tekenen. En de Zetafunctie teken je als het spoorvan stuiterende tennisballen, die in wonderlijke onregelmatige bogen verdwijnennaar de horizon. De plaatsen waar ze het vlak raken noemt men de nulpunten vande functie.Elk nulpunt correspondeert met een reeel of imaginair priemgetal.Die nulpunten blijken alle op een rechte, smalle weg te liggen. Dat is bewezen. Zeblijken, voorzover bekend, zelfs op de middenlijn van die weg te liggen. En dat isniet bewezen.De laatste jaren heeft men met behulp van de computer laten zien dat de eerstemiljard nulpunten inderdaad alle op de bewuste middenlijn liggen. Maar ondanksdeze indrukwekkende numerieke evidentie is Riemanns hypothese nog steeds eenonbewezen vermoeden. Een diepe grot waar al heel wat scherpe geesten ‘gebleven’zijn.

We merkten op dat deze verduidelijking eigenlijk niet zo duidelijk is. We weten nu ookwaarom: het vermoeden van Riemann is niet zo eenvoudig uit te leggen, zoveel is na ettelijkepagina’s wiskunde wel zeker. Ook Krol ziet zich gesteld voor het probleem dat niet iedereenzal begrijpen wat het complexe (hij zegt verkeerdelijk “imaginaire”) vlak is. Maar hij lost dituiterst elegant op: “Dit vlak kun je gewoon tekenen.” Inderdaad, voor een goed begrip vanwat Krol allemaal gaat zeggen, volstaat het gewoon te weten dat er sprake is van ‘een vlak’,meer hoef je strikt genomen niet te weten, tenminste, om je een beeld te kunnen vormen vanwat er gezegd gaat worden.

Hierop volgt de enige duiding die Krol ooit geeft bij de zeta-functie: een vergelijking meteen stuiterende tennisbal. Hoe komt Krol daar nu weer bij? Dat bleek toch helemaal niet uitde manier waarop wij de zeta-functie uit de doeken gedaan hebben?

Wel, hier zijn we eens te meer verplicht een (heel klein beetje) wiskunde in te voeren omte zien wat Krol precies bedoelt. We hebben gezien dat de zeta-functie voor alle complexegetallen in het complexe vlak (behalve voor 1) gedefinieerd is. Meestal zal het beeld van defunctie (‘het unieke getal waar een complex getal z naar verwijst’) zelf ook een complex getalzijn. Meestal, maar niet altijd: we zagen al dat alvast een oneindig aantal keer het resultaatnul is.

Het complexe getal dat je krijgt als resultaat, ligt in het complexe vlak op een bepaaldeafstand van het getal 0. In figuur 5.5 zien we die afstand aangeduid door de diagonalestippellijn. Die afstand wordt, zoals ook in de figuur aangegeven, genoteerd met ∣z ∣; wenoemen dat de absolute waarde van z . Aangezien het getal 0 op een afstand nul van zichzelfligt, is de absolute waarde van 0 zelf ook gelijk aan 0.


Je kan nu een grafiek maken van de absolute waardes (de ‘afstanden tot 0’) van de (com-plexe) oplossingen van de zeta-functie op de kritische lijn; dat is de rechte waarvan Riemannvermoedde dat alle niet-triviale nulpunten van de zeta-functie er zouden opliggen. Die grafiekzien we op twee verschillende schalen afgebeeld in figuur 5.7.

Figuur 5.7: Krols “stuiterende tennisballen”; de absolute waardes van ζ(z) op de kritische lijntussen 1

2(+0i) en 12 + 29i (links; overgenomen uit van der Veen & van de Craats (2011): 44)

en tussen 12(+0i) en 1

2 + 100i (rechts; overgenomen uit Derbyshire (2003): 398).

Het beeld dat Krol oproept is om de grafiek die we in deze figuur zien, te plaatsen in hetvlak. Dat snijdt hout: de lijn waarover deze grafiek verloopt, is een rechte in het complexevlak, namelijk de ‘kritische lijn’ uit figuur 5.6. Wat Krol dus wil dat we doen, is deze grafiek inhet complexe vlak te plaatsen, en eigenlijk de andere waarden van de zeta-funtie (die immersoveral in het complexe vlak gedefinieerd is, en niet alleen op de kritische lijn) verwaarlozen.

Wiskundig gezien slaat dat eigenlijk nergens op,21 maar het is wel een beeld dat we mak-kelijk kunnen oproepen. Krol vervolgt dan met het volgende zinnetje: “De plaatsen waar zehet vlak raken noemt men de nulpunten van de functie.” Inderdaad: de ‘tennisbalfunctie’geeft absolute waardes weer, en die absolute waarde is nul als en slechts als het complexe getalwaarvan sprake zelf ook nul is! Dat zijn net die plaatsen, waar de ‘tennisbalfunctie’ in figuur5.7 de onderste, horizontale as raakt.

Overigens, het feit dat Krol de definitie van de zeta-functie nergens meegeeft, is op eenbepaalde manier wel heel erg gek: in zijn vroegere werk voerde Krol wiskundige formules in waarze niet nodig waren; denken we bijvoorbeeld aan de lange passage uit De ziekte van Middletondat het hele formuleschema bevat met formules in de vorm van “p1

x(x , y)− < p1y(x , y)” (1969:

41). Hij probeerde daar toen taal wiskundig te formaliseren. Nu, 35 jaar later, is Krol na eenlange evolutie, op precies het omgekeerde punt beland: hij probeert wiskundige formules inliteraire taal te beschrijven! Net in dit feit schuilt een heel belangrijke vooruitgang van Krolals auteur.

In de derde en de vierde paragraaf heeft Krol het dan over het vermoeden van Riemannzelf. Dankzij onze voorkennis en de uitleg die we bij Krols literaire beeld gegeven hebben, zienwe nu dat Krols uiteenzetting daarover correct is.

21Toch niet als we de zeta-functie over het complexe vlak behalve 1 bekijken. We kunnen uiteraard wel eenfunctie ∣ζ(z)∣ definieren en die, per definitie, beperken tot de kritische lijn. Zo creeer je wiskundig gezien Krolsbeeld.


Maar aan de tweede paragraaf, “Elk nulpunt correspondeert met een reeel of imaginairpriemgetal” is er iets eigenaardigs aan de hand. Deze uitspraak is namelijk manifest verkeerd.22

In sectie 5.2.3 zagen we dat er inderdaad, zoals Krol suggereert, een verband bestaat tussende niet-triviale nulpunten van de zeta-functie en priemgetallen. We zagen namelijk dat, hoemeer dergelijke nulpunten (u’s, zegden we formeel) we kennen, hoe preciezer we ψ(x) kunnenberekenen en hoe exacter we de distributie van priemgetallen (juister: priemmachten) wekunnen voorspellen.

Met andere woorden: met elk nieuw nulpunt van de zeta-functie, kun je beter voorspellenwelke getallen priem zijn. Maar het is zeker niet zo dat je, per nieuw gevonden nulpunt, exacteen (nieuw) priemgetal ontdekt. Neen, elk nieuw nulpunt geeft ons een betere kans om allepriemgetallen te raden. Krols uitspraak dat er ‘met elk nulpunt een priemgetal correspondeert’is dus niet juist; en hoe je het ook draait of keert, zowel vanuit wiskundige hoek als vanuitde zienswijze die Krol opriep aan de hand van literaire beelden, je kan deze uitspraak nooitrechtvaardigen. Ze slaat gewoon nergens op. Er bestaat wel een verband tussen de niet-trivialenulpunten van de zeta-functie, maar die is veel ingewikkelder dan Krol hier insinueert.

Is Krol hier verward? Heeft hij iets niet goed begrepen? Neen: hij voegt dit zinnetjeopzettelijk toe, om aan te geven dat er een verband bestaat tussen priemgetallen en de trivialenulpunten van de Riemann-zeta-functie. Dat verband hebben wij al uitvoerig bekeken aan dehand van de formule 5.1, maar Krol zelf doet het verband tussen priemgetallen en nulpuntenin zijn roman nergens uit te doeken (waarschijnlijk om dat het nogal ingewikkeld is).

Krol beseft (waarschijnlijk) maar al te goed dat in realiteit de vork veel moeilijker aan desteel zit: vandaar dat hij dit zinnetje in een aparte alinea plaatst. Het staat zo ‘los’ van deandere, correcte, alinea’s errond.

Maar waarom haalt Krol dit zinnetje dan aan op p. 51? Dat doet hij omdat hij in de finalevan zijn boek wil spelen met het (bestaande) verband tussen priemgetallen en nulpunten.Immers, nadat hij het gehad heeft over het getal van Skewes, een scene die we al besprakenin sectie 5.2.2, schrijft Krol het volgende:

Het heelal is eindig. (Galilei)

Het mathematisch universum is oneindig. (Torricelli)

Er zijn aanwijzingen dat God, die we niet hebben aangetroffen in het heelal, zichophoudt in het mathematisch universum.

*

We waren met de auto.

We namen de snelste weg.

Een gewone rechte tweebaansasfalt, met een onderbroken middenstreep; een wegdie met de kromming van het heelal voorover lijkt de duiken, de diepte in. Zonderte vallen, want we rijden veilig op de weg, veilig met de zwaartekracht mee.

Nu en dan zien we op de middenstreep een nulpunt in de vorm van een oranjewegpunaise ter grootte van een bierviltje. Soms een aantal achter elkaar, somstwee achter elkaar (priemtweeling), meestal een hele tijd niets (priemwoestijn).Steeds langer duurt het voordat er een nulpunt voorbijkomt.

De jaren gaan voorbij en we rijden nog steeds.

22Nog daargelaten wat Krol bedoelt met een “imaginair priemgetal”, een term die strikt genomen een con-tradictio in terminis is.


Krol heeft het in drie beschouwende regeltjes twee keer over ‘het mathematische universum’;een spielerei van zijnentwege, zouden we eerst denken. Daarna pikken we de draad van hetverhaal weer op: “We waren met de auto”. Dat klinkt niet gek: zopas waren Pipper enVicky in Gottingen, maar ze moeten nog terug naar Nederland. Maar naarmate we verderlezen, beginnen we te vermoeden. . . dat Pipper en Vicky met hun wagen in “het mathematischuniversum” zijn terechtgekomen. Meer nog: Krol lijkt duidelijk te suggereren dat de wegwaarop ze rijden, de kritische strook van de Riemann-hypothese is! Hij vermeldt zelfs heelduidelijk de middenstreep van die weg: dat is dan uiteraard de kritische lijn, waarop volgenshet vermoeden van Riemann alle nulpunten van de zeta-functie zouden moeten liggen.

Schetste Krol al een mooi literair beeld door de zeta-functie te vergelijken met “het spoorvan stuiterende tennisballen” in het “imaginaire” vlak, dan overtreft hij zichzelf hier nog nietzo’n klein beetje. Hadden we in De vitalist een wonderlijke toepassing van de Godelstellingals gebeurtenis in het verhaal, dan krijgen we hier een krachttoer die minstens even ongezienis: Krol verweeft in deze passage wiskunde en realiteit op een revolutionaire wijze. Het isgeenszins overdreven te stellen dat, na een schrijverscarriere van bijna veertig jaar, Krol hierzijn absolute toppunt bereikt. Nooit voorheen in zijn werk bekwam hij een zo subtiele verwevingvan literatuur en wiskunde, terwijl de passage voor iedereen leesbaar blijft. Dat niet iedereeneven goed mee zal zijn wat betreft die zeta-functie, is eigenlijk niet zo heel erg belangrijk.Het volstaat door te hebben dat er sprake is van rare beesten genaamd “nulpunten”, en die“nulpunten” worden voorgesteld door oranje wegpunaises. Die wegpunaises liggen allemaal opde middenstreep van de autoweg; op een rechte lijn, dus.

Maar dan gebeurt er iets eigenaardigs: wanneer Krol de frequentie van de oranje wegpunai-ses (= nulpunten) beschrijft, zegt hij dat er “soms twee achter elkaar” komen, en Krol verwijstdaarbij tussen haken naar “priemtweelingen”. Die verwijzing zou juist zijn, als de oranje weg-punaises priemgetallen zouden voorstellen, maar dat doen ze niet: ze stellen nulpunten voor.Krol vervolgt met “meestal de hele tijd niets (priemwoestijn)”, en opnieuw kunnen we dezelfdeopmerking maken: dit beeld is manifest onjuist. Uiteindelijk sluit Krol de paragraaf af met deopmerking “Steeds langer duurt het voordat er een nulpunt voorbijkomt”. Ook dat schijnt inovereenstemming te zijn met de frequentie van het voorkomen van priemgetallen, maar nietmet de frequentie van het voorkomen van nulpunten van de Riemann-zeta-functie. In realiteitis het namelijk zo dat, hoe verder we ons op de kritische strook verwijderen van de reele as,hoe vaker we nulpunten zullen ontmoeten (Derbyshire 2003: 217). Met een beetje goede wilkun je dit feit zelfs al aflezen uit de rechtergrafiek van figuur 5.7: hoe meer naar rechts (endus hoe ‘hoger’ in het complexe vlak; hoe verder verwijderd van de reele as), des te ‘vaker detennisbal stuitert’.23 Dit fenomeen wordt veel duidelijker op grotere schalen.

Nemen we nu, van de andere kant, even aan dat de oranje wegpunaises priemgetallen zijn(en geen nulpunten, zoals Krol duidelijk zegt), dan krijgen we een mooi literair beeld van deverdeling van de priemgetallen: “soms een aantal achter elkaar, soms twee achter elkaar”.Dat is inderdaad het geval met priemgetallen; herinneren we ons de priemtelfunctie π(x) in degrafiek van figuur 5.1; de wegpunaises als priemgetallen komen dan overeen met de ‘tredes’van de trapfunctie. Daar liggen er inderdaad regelmatig “twee achter elkaar”. Maar Krol gaatverder: “meestal de hele tijd niets”. We merkten inderdaad op in sectie 5.2.1 dat, hoe groterde getallen die we beschouwen, hoe zeldzamer er priemgetallen voorkomen. Of nog, literair

23Om een beetje preciezer te zijn: de gemiddelde afstand tussen de eerste (=linkse) vijf stuiterpunten be-draagt ongeveer 4,7 eenheden; de gemiddelde afstand tussen de laatste (=meest rechtse op de tekening) achtstuiterpunten bedraagt ongeveer 2 eenheden. Vergelijk Derbyshire (2003): 217-8 met de rechtse grafiek uitfiguur 5.7.

5.3. Wat is ‘waar’ in een roman? 81

heel mooi uitgedrukt: “Steeds langer duurt het voordat er een nulpunt voorbijkomt. / Dejaren gaan voorbij en we rijden nog steeds.”

Merk evenwel op dat dit beeld sneller zal herkend worden door de wiskundige die ergbekend is met de capriolen van de priemgetallen. Wie van wiskunde geen kaas gegeten heeft,ontgaat de schoonheid van deze vergelijking grotendeels. Al geeft Krol op p. 51 (eens te meerzo summier mogelijk) wel alle nodige voorkennis mee:

Hoe gedragen priemgetallen zich[. . . ]?

Het begint zo vertrouwd: 2, 3, 5, 7, 11, 13. . . , maar algauw ben je het spoor bijster.Op de lijn naar oneindig wordt de distributie van het priemgetal steeds schaarser;je komt in streken die men priemwoestijnen noemt. Daar groeit niet veel, zelfsgeen priemgetal. Toch is de priemdichtheid altijd nog zo’n 6-9%, gemiddeld.

Overigens, ook in deze passage maakt Krol weer gebruik van een mooi literair beeld. Bijhet horen van het woord “priemwoestijnen” denken we allemaal aan ‘woestijnen’, plaatsenwaar niet veel groeit, “zelfs geen priemgetal” merkt Krol op. In dit alweer originele beeldgroeien priemgetallen dus op bepaalde plaatsen, en wel niet in (priem)woestijnen.

Maar de wegpunaises begrijpen als priemgetallen, mag je uiteraard wiskundig gezien nietdoen. Het punt is dat Krol met zijn opmerking op p. 51 (“Elk nulpunt correspondeert met een[. . . ] priemgetal”) insinueert dat dat wel mag. We hebben aangetoond dat die opmerking foutis, maar dat er wel een verband tussen die nulpunten en de priemgetallen bestaat . Nogmaals:dat verband is niet zo simpel als Krol hier laat uitschijnen. En het bestaande verband laat dedualiteit van de wegpunaises als nulpunt/priemgetal niet toe!

Vanuit strikt wiskundig oogpunt maakt Krol hier dus een grove fout. Feit is wel, dat hijzo een mooier literair beeld kan creeren. Is dat voldoende grond voor Krol om deze fout teverantwoorden? Voordat we de slotscene van Rondo Veneziano verder behandelen, gaan wedieper in op deze vraag.

5.3 Wat is ‘waar’ in een roman?

In haar doctoraalschrift heeft Sofie Gielis het onder meer over ‘ware werkelijkheid’ en ‘werkelijkewaarheid’ bij Krol.24 Wij zullen ons hier vooral bezighouden met het eerste van de twee, datheel kort samengevat stelt: “De waarheid in een roman heeft niets meer te maken met dewerkelijkheid, maar alles met de dichtheid van het weefsel dat zijn geloofwaardigheid bepaalt.”(Gielis 2007a: 103). Om met Krol zelf te spreken (1981b: 42-3; cursivering in origineel):

Schrijvers wier werk daartoe aanleiding geeft wordt vaak de vraag gesteld of watmen heeft gelezen ook echt gebeurd is.

[. . . ]

Laten we [. . . ] aannemen dat het verhaal elementen bevat die echt zijn gebeurden elementen die ‘zijn ontsproten aan de fantasie van de schrijver’. [. . . ] Maar watmen niet weet en zelfs de schrijver heeft het niet altijd door, is dat werkelijkheiden fantasie zich vaak manifesteren in een en dezelfde zin.

Uiteindelijk besluit Krol dit hoofdstuk met volgende alinea (1981b: 44):25

24Gielis (2007b): 162-170; zie ook Gielis (2007a).25Ook Sofie Gielis haalt deze tekst aan, en wel in Gielis (2007b): 166 en in Gielis (2007a): 103.


Zo bestaat elke roman, als een goede lijm die de lezer aan het boek bindt, uittwee componenten: waarheid en verdichtsel. Een verhaal wordt door deze tweegedurige componenten opgespannen als een vlechtwerk, als een brug. Het moetsterk zijn, er moet iemand op kunnen staan, je moet naar de overkant kunnenlopen zonder dat het breekt. De structuur ervan zou je kunnen vergelijken met dievan een weefsel: schering en inslag, en soms is de schering waarheid en soms deinslag, en het verdichtsel staat er loodrecht op.

(Overigens, met deze laatste bijzin is aangetoond dat Krol niet enkel in zijn romans wis-kundige termen verwerkt.26) We vinden nog wel enkele citaten terug bij Krol die ons hier meerover vertellen, bijvoorbeeld dit in De mechanica van het liegen (1995: 87):27

Met al dit soort overwegingen heeft een schrijver niets te maken als hij zich gewoonbij zijn leest houdt: het schrijven van fictie. Verhalen en romans. Dan hoeft hijzich niet meer om de waarheid te bekommeren die hij op het spoor is, maar dangaat het om de geloofwaardigheid van wat hij verzint, de schoonheid, dan moetwat hij schrijft in de eerste plaats mooi zijn, “’n mooi boek.”

Draai of keer het hoe je wil: met Rondo Veneziano is Krol in dat laatste geslaagd. Hij heeft“’n mooi boek” geschreven. Iets dat daar in elk geval sterk toe bijdraagt, is het feit dat dekoperen wegpunaises zich gedragen zoals priemgetallen. Laat ons eens proberen reconstruerenwat Krol allemaal kan gedacht hebben toen hij deze passage uitdacht.

‘Het zou erg leuk zijn, mochten we de oranje wegpunaises laten dienst doen als priem-getallen. Maar spijtig genoeg moeten diezelfde wegpunaises in een latere scene dienst doenals dwarsliggers van Riemann onder de poort van het getal van Skewes. We zitten met eenprobleem. Misschien kunnen we nog iets anders invoeren, bijvoorbeeld lantaarnpalen, om eenvan beide functies over te nemen? Nee, dat is te zwaar; dat doen we niet.

He, maar wacht eens even? Nulpunten van de zeta-functie en priemgetallen, die zijn toch‘op een of andere manier’ aan elkaar gelieerd?’ Dat volstaat voor de romanschrijver ruimschootsom een driedubbel literair beeld te schetsen: door de dualiteit priemgetal/nulpunt in te voeren,bewijst Krol: 1) dat hij er zich van bewust is dat de nulpunten van de zeta-functie iets vertellenover priemgetallen; 2) Krol kan een beeld van de verdeling der priemgetallen schetsen, waarbijhij de getallenas letterlijk bovenop de middenstreep van de tweebaansasfalt legt,28 en 3) ietsverderop (namelijk in het slot van de roman) laat Krol de wegpunaises terug dienst doen alsnulpunten, en wel als Riemanns eerste dwarsligger; die plaatst hij netjes over ‘Skewes’ poort’(nog zo’n geslaagd beeld, overigens, maar dat is voor straks). De wiskundige gestrengheidmoet het afleggen tegen het literaire beeld.

In plaats van een wiskundige fout kunnen we de dualiteit priemgetal/nulpunt dus ook zienals een zeer geslaagde literaire creatie. Om Krol zelf nogmaals te laten spreken (1997: 10):29

Er is een relatie tussen het verhaal en de werkelijkheid, maar het is niet zo dateen verhaal een stuk werkelijkheid moet weergeven; een verhaal hoeft niet waar te

26Zie bijvoorbeeld ook Timmer (2001): 30. Ook in columns durft Krol wel eens wiskundige beeldspraak tegebruiken (zij het eerder uitzonderlijk). Enkele voorbeelden: 2004b: 29, 196 of de schitterende passage op p.46, waar Krol het danig op zijn heupen krijgt van een vlieg die hij maar niet te pakken krijgt (cursivering inorigineel): “Een vlieg landt ondersteboven. Daar zullen wij zelfs met onze meest verfijnde delta-t-notatie nooitiets van begrijpen. [. . . ] De nieuwe vlieg is thuis in de differentiaalmechanica.”

27Ook Sofie Gielis haalt dit citaat aan: Gielis (2007a): 113, voetnoot 22.28En dus op een manier bovenop de kritische lijn van de Riemann-hypothese.29Ook Sofie Gielis haalt dit citaat aan: Gielis (2007a): 113, voetnoot 22.

5.4. Het slot van Rondo Veneziano 83

zijn, als het maar geloofwaardig is. Een verhaal mag een illusie zijn, als men maarin die illusie gelooft.

Wil dit nu allemaal zeggen dat Krol vindt dat wiskunde moet inbinden voor literatuur?Ik zou eerder het tegenovergestelde beweren: hij laat de wiskundige gestrengheid wel evenvaren, maar allerminst de wiskundige schoonheid: de wegpunaises zijn zowel priemgetallen ennulpunten, iets wat in een haast dromerige wereld als deze waarin Pipper en Vicky verzeildgeraakt zijn, helemaal zo gek niet hoeft te zijn. En zowel in hun functie als priemgetallen alsin hun functie als nulpunten, creeert Krol voor zichzelf de kans om op hoogst originele manieriets over wiskundige fenomenen te vertellen.

Hoe hij dat deed met de wegpunaises in hun functie als priemgetallen, hebben we net uitde doeken gedaan. Hoe Krol dat nu doet met de wegpunaises als nulpunten van de zeta-functie voorstellen, komt naar boven in de clou van de roman (waar we al een aantal keer opalludeerden). Het is dus de hoogste tijd om terug te grijpen naar Rondo Veneziano.

5.4 Het slot van Rondo Veneziano

Lezen we nu verder in Rondo Veneziano vanaf waar we gekomen waren, dan krijgen we ditstukje voorgeschoteld:

Wie zal deze weg hebben aangelegd - het moet de Amerikaanse regering zijngeweest, want voor dergelijke projecten is Europa te klein.

Dit moet gelezen worden in de context van kritiek op de Verenigde Staten die Krol eerderin Rondo Veneziano, meer bepaald op p. 156, uitte. We zullen daar hier verder niet op ingaan,en nemen de draad weer op:

Onze snelheid neemt af op het moment dat we vanaf de horizon een grote wittepoort op ons zien afkomen. . .

We stoppen, want boven de poort staat geschreven:het getal van skewes

We zetten de auto in de schaduw en stappen uit.

Er heerst een aangenamen temperatuur.

De zee in de diepte zorgt voor een eigen golfslag.

Boven in onze hoofden, in de onmetelijke blauwe lucht - een schuifdak.

Het loket aan de binnenkant van de poort is gesloten. Achter glas hangt devolgende annonce:

welkomU bevindt zich zeer ver van de aarde:

10101034

kmGeniet van de rust en het fenomenale uitzicht.

Vergeet niet een foto te nemen van het Getal van Skewes.Goede reis!


’Hoe zijn wij hier zo vlug gekomen’ vroeg Vicky, nog steeds verbaasd.

’We hebben grote stukken overgeslagen,’ antwoordde ik. ’In een mathematischeruimte kan dat.’

Toen zag ik voor elk van de poten van de poort een oranje nulpunt liggen. Tweenulpunten dus. Hun verbindingslijn stond loodrecht op de middellijn. Derhalvelagen ze zelf ter zijde van de middellijn.

Daarmee is het Vermoeden van Riemann in negatieve zin beantwoord: neen, nietalle nulpunten liggen op een rechte lijn. Mijn intense vreugde over deze ontdekkingbewaarde ik in mijn hart en voor onderweg. En voor Vicky, wie ik vroeg goed notate nemen van die twee oranje stippen op de weg.

Een tweeling, zei ze.

Ik was blij dat we hiermee waren gekomen aan het eindpunt van onze reis. Wijgingen terug, om het de mensheid te vertellen.

Kregen we eerder in de roman al dia’s van “het evidente van de wiskunde” voorgeschotelden waren de sterren al eens priemgetallen, wel. . . hier krijgen we het verzoek om een foto tenemen van een getal. Meer nog: het getal van Skewes wordt ons hier voorgesteld als een heusetoeristische attractie! De manier waarop Krol literaire beelden oproept die beantwoorden aanwiskundige principes, bereikt daarmee een hoogtepunt. Ook letterlijk: het getal van Skewes iszo immens groot, dat het menselijk gezien wel “het einde” is.

Het feit dat we het getal van Skewes op deze “tweebaansasfalt” tegenkomen, wijst er nogmaar eens op dat Krol een superpositie maakt van de reele getallenas bovenop de kritischestrook, hier voorgesteld door de “middenstreep” van de tweebaansasfalt. Immers, het getalvan Skewes is een natuurlijk getal, en ligt dus op de reele getallenas; helemaal niet in Riemannskritische strook (hier voorgesteld door de tweebaansasfalt).

Maar we zitten tegelijkertijd ook nog steeds op de kritische strook: er liggen namelijknulpunten van de Riemann-zeta-functie. En wel twee: een links en een rechts van de kritischelijn. Met andere woorden: de Riemann-hypothese klopt niet! In de directe nabijheid van

het complexe getal 12 + i1010

1034

ligt er een nulpunt niet op de kritische lijn. Het feit dat er,gespiegeld rond de middenstreep, nog een tweede nulpunt ligt, is uiteraard alweer een mooibeeld, maar ook een bewijs dat Krol zijn wiskunde kent. Toen we de Riemann-hypothesevan naderbij bekeken, hebben we afgesloten met de opmerking dat, als er dwarsliggers zijn,die steeds in paren30 voorkomen: een links en een rechts van de kritische strook, op dezelfdehoogte, en even ver van de kritische lijn. Helemaal conform Krols beschrijving.

Afsluiten kunnen we enkel doen met Pippers woorden, die zonder twijfel alle wiskundehartensneller laten slaan (p. 256):

Het is toch een schitterende conjunctie? Het Getal van Skewes en de eerstedwarsligger van Riemann?

5.5 Besluit

De evolutie die we in hoofdstuk 4 geschetst hebben, zet zich in Rondo Veneziano verder: wis-kunde is een normaal gespreksonderwerp tussen vrienden; de roman staat bol van de wiskundige

30Strikt genomen zelfs in viertallen: elk paar wordt nog eens gespiegeld rond de reele as.

5.5. Besluit 85

randopmerkingen, en zowel in nachtclubs als in het casino vinden we praktische toepassingenvan de wiskunde terug. Vergelijkingen met wiskunde vallen evenwel uit de boot, en wiskundigschrijven vonden we al even niet meer terug. Krol neemt in deze roman wel uitgebreid degelegenheid te baat om ons, op hoogst originele wijze, heel wat te vertellen over zijn visieop onderwerpen allerhande, veelal in het kader van een lezing. Maar elk van deze lezingen isliterair verantwoord dankzij de fijnzinnige, soms zelfs grappige karaktertekeningen die Krol vande voordragers maakt.

Wat betreft de rol die wiskunde speelt als verhaallijn, moeten we stellen dat Krol tot eenhoogtepunt in zijn schrijverscarriere komt: hij kiest het vermoeden van Riemann, lang niet heteenvoudigste stukje wiskunde, uit als spil voor zijn roman. Maar het ligt niet in Krols bedoelingom het vermoeden van Riemann wereldkundig te maken: daarvoor is het te moeilijke stof omin een roman van a tot z uit de doeken te doen. Wellicht interesseert Krol dat ook niet; wekomen daar uitgebreid op terug in het volgende hoofdstuk.

Bovenal is Rondo Veneziano een kruisbestuiving van literatuur en wiskunde; dat wil ener-zijds zeggen dat er wiskundige regels zijn waar Krol zich binnen het kader van zijn roman moetaan houden, maar anderzijds ook dat het literaire het soms wint op het wiskundige. RondoVeneziano is geen wiskundeboek: niet alles wat in Rondo Veneziano staat, mag letterlijk op-gevat worden. Omdat we weten dat nulpunten van de Riemann-zeta-functie en priemgetallenwiskundig op onlosmakelijke manier met elkaar verbonden zijn, mag Krol als auteur dit voor-stellen aan de hand van een literair beeld van een superpositie van de priemgetallen op denulpunten. Riemanns kritische strook wordt dan een autoweg en de kritische lijn wordt weer-gegeven door de wegmarkering. In deze droomachtige wereld gebeurt er dan wat zo vaak ineen droom gebeurt: het verschil tussen verschillende zaken vertroebelt; verdwijnt zelfs. Oranjewegpunaises geven nulpunten aan die ook priemgetallen zijn.

Dit laatste wil allerminst zeggen dat wiskundige gestrengheid niet kan leiden tot literaireschoonheid. Misschien zelfs integendeel: Pipper vindt niet een, maar twee nulpunten die nietop de kritische lijn liggen: een langs weerszijde. Op het eerste zicht is dat weerom een literairbeeld, maar niets is minder waar: dat is een wiskundige stelling : als een nulpunt terzijde vande kritische lijn ligt, dat vereist de wiskundige gestrengheid ook echt dat er ook een langs deandere kant ligt. Kortom, literatuur en wiskunde zijn haast niet meer te onderscheiden. Wiein Rondo Veneziano beide van elkaar wil loskoppelen, heeft Krol niet goed begrepen.

Hoofdstuk 6

Wat is dat toch met die wiskunde bijKrol?

De rol van wiskunde in het werk van Krol is onmogelijk te onderschatten. Maar hoe komt dattoch? Waarom is Krol zo gebeten door de wiskunde? En hoe kijkt hij naar wiskunde? Vanuitdie vragen kunnen we uiteindelijk, voor een laatste keer, terugkeren naar de romans van Krol,en hoe hij zijn passie daar inlegt. Want dat is wiskunde voor Krol: een passie. Getuige daarvande fragmenten in de volgende sectie.

6.1 Wiskunde is de max!

Verschillende keren reeds haalden we passages aan, waaruit Krol (of de personages uit zijnromans) een ware lofzang houden op de wiskunde. Denken we bijvoorbeeld aan de passage uitDe vitalist waar Johan wordt voorgesteld: “Sommige mensen hebben geluk: [. . . ]. Ze zijn alsmathemaat geboren. Hun wereld is wiskunde, de wetenschap van het ware.” (2000: 12).

Toen we het hadden over wiskunde als noodzakelijk element in Krols romans, stonden weook al even stil bij de 32e omhelzing (1993). We hadden het daar toen niet over de beschrijvingvan het seminarie waar Emiel aan deelneemt; nochtans een mooie passage (1993: 168):

Het seminar waar Emiel aan deelnam werd gehouden in een suite van het Rijnhotelin Rotterdam. Een klein seminar, eigenlijk niet meer dan een werkgroep die zichanderhalve dag zou verdiepen in wat de titel omschreef als Onopgeloste problemenin de wiskunde. Een dozijn wiskundigen. Hoogleraren, maar ook een tweetaldat het vak beoefende uit pure liefhebberij, d.w.z. zonder daarmee hun brood teverdienen. Wiskunstenaars in de verlichte, achttiende-eeuwse zin van het woord.Kopstukken.Heerlijk dat zo iets in de wiskunde nog mogelijk is. Emiel keek tevreden om zichheen.

Maar ook in sommige essays, waar Krol toch duidelijk zelf aan het woord is, wordt dewiskunde verheerlijkt. Zo bijvoorbeeld dit stukje uit Wat mooi is is moeilijk (1991: 162):

Wat een literair schrijver in de wiskunde kan zien, is voor mij geen vraag. Hetbedrijven van wiskunde is een minstens zo spirituele activiteit als het schrijvenvan een gedicht. Algebra is een beschrijving van dingen die alleen maar in onze

87

88 Hoofdstuk 6. Wat is dat toch met die wiskunde bij Krol?

geest bestaan: getallen. Als kunst een uitbreiding is van onze geest, dan is algebrakunst. Dat niettemin algebra geen kunst is in de zin die men er gewoonlijk aangeeft, zit ’m hierin dat algebra, als alle wiskunde, onderworpen is aan de logica.

Krol vindt wiskunde leuk, daar bestaat geen twijfel over. Ook in (schijnbaar) autobiogra-fische stukken heeft Krol, of beter gezegd: GK, het over het waarom van zijn interesse voorwiskunde. In Het gemillimeterde hoofd lezen we op p. 20:

Het is mijn liefhebberij verbanden te vinden in gebieden die tevoren onverbondenwaren. Zo was ik verrast te lezen in Scientific American dat de volgende zaken: devorm der spiraalnevels, de wijze waarop de pitten in een zonnebloem zitten gerang-schikt en de bochten die je met tikkertje maakt — dat deze drie verschijnselen allehun uitdrukking vinden in de formule r = eφ cotgα, dat is de logarithmische spiraalwaarmee ook de uitdijıng [sic] van het heelal beschreven wordt.

Vanuit mathematisch/fysisch standpunt is het inzien van dergelijke verrassende verbandeninderdaad heel erg knap, ook al omdat er een korte, elegante wiskundige formule kan aangekoppeld worden. Een typische formule die het hart van een wiskundige sneller laat slaan.

Dit brengt ons bij de vraag wat wiskunde volgens Krol nu eigenlijk is. Voor een liefhebbervan de schoonheid van de wiskunde en de schoonheid van het inzicht dat wiskunde in bepaaldefysische of praktische toepassingen biedt, hoeft die praktische toepassing van wiskunde nietaltijd op de eerste plaats te staan. (Iets wat, als we even clichematig mogen praten, voorpakweg een ingenieur wel het geval is.) Dat we Krol mogen rekenen bij de ‘zuivere’ wiskundigen,voor wie de zuivere omgang met wiskunde voldoende reden is om aan wiskunde te doen, bleekal onrechtstreeks uit de vorige passages, maar misschien wel nog het sterkst uit het volgendestukje uit Scheve levens; een stuk waar wiskunde nochtans niet met naam genoemd wordt(1983: 186):

Wat je op school leert is niet direct toe te passen. (Er zijn altijd mensen diedaarover klagen en willen dat je wat je op school leert moet kunnen toepassen,maar dat kun je overal beter leren dan op school.) Wat je leert op school is: debetekenis begrijpen van abstracte woorden.

Zo gezien mogen we Krol waarschijnlijk als intellectualist categoriseren. Enkel op hetgebied van de wiskunde? Neen: in De oudste jongen lezen we bijvoorbeeld deze passage(1998a: 31-2):

Mijn vader had, als leraar Nederlands op de mulo, een hartstocht voor grammaticaen woordsoorten, ontledingen en naamvallen. Ik deelde die hartstocht, zo jong alsik was. De vraag bijvoorbeeld waar de kinderen vandaan kwamen interesseerdemij minder dan de oorsprong van het woord ‘geboren’. Welk werkwoord hoordedaarbij? Ik vroeg het hem en hij zei dat het van ‘baren’ kwam. Met dat antwoordwas ik tevreden. Wat baren was, hoe dat in zijn werk ging, kon ik wel vermoeden,maar daar ging het mij niet om. Het ging mij om het woord en dat is altijd zogebleven.

Ook uit andere romans (niet het minst uit Rondo Veneziano) blijkt dat Krol doorheen dewiskunde, taalkunde, natuurwetenschap, filosofie en literatuur struint met telkens hetzelfde

6.2. Filosofie van de wiskunde 89

doel voor ogen: op intellectuele wijze voldaan worden. Alvast wat dat betreft ligt er voor Krolhelemaal geen water tussen alfa en beta: in de hele wereld zijn intellectueel fascinerende zakenterug te vinden; niet slechts in een halve wereld.

Dit alles wil niet zeggen dat Krol ook niet op andere wijze voldaan kan worden. Zijnmannelijke romanpersonages al helemaal niet: hoe jonger en knapper hun vriendin of vrouw,hoe beter. Pipper uit Rondo Veneziano is samen met de dochter van een leeftijdsgenoot envriend. Enkele van Krols romanpersonages zijn zelfs niet vies van wat porno; voor de J.J.Pipper uit De ziekte van Middleton wordt het zelfs een obsessie. Omgekeerd hoeft Krolsintellectualisme ook niet te willen zeggen dat hij tegen de wetenschap als middel voor devooruitgang is; integendeel zelfs. Krol is zelf gek op techniek. In 60000 uur bleek dat GKdegene was, die het idee bleef doordrukken om bepaalde afdelingen in de nam te informatiseren.En Krol zelf heeft zijn hele leven gewerkt als informaticus, toch ongeveer de meest praktischetoepassing van logica en wiskunde (of wiskundig denken).

Zo komen we terug op de meest intrigerende vraag die verbonden is aan de wiskunde: watis wiskunde nu eigenlijk, en waarom bestaan er altijd zo’n mooie verbanden in de wiskunde?Ontdekken wij wiskunde en die mooie verbanden, of vinden we ze uit? Ook Krol heeft zichmeerdere malen over zijn zienswijze op deze zaken uitgesproken.

6.2 Filosofie van de wiskunde

Zoals we al enkele keren lofzangen over de wiskunde hebben meegekregen in de fragmentendie we al beschouwd hebben, zo hebben we ook al meerdere verwijzingen naar de filosofie vande wiskunde gratis cadeau gehad. Herinneren we ons bijvoorbeeld het fragment waar Huygensen Pipper in De ziekte van Middleton op het vliegtuig zitten, en Pipper aan Huygens (totdiens groot ongeloof) vertelt dat er verschillende wiskundes zijn. In de vorige sectie nog, lazenwe een stukje uit Wat mooi is is moeilijk waar Krol zegt dat getallen “dingen [zijn] die alleenmaar in onze geest bestaan”. Er is voor Krol dus niet zomaar een Platonische wiskunde, dewiskundewereld waar die andere Pipper en Vicky in belanden ten spijt. Wiskunde is voor Kroleen uitvinding. Als hij het in De chauffeur verveelt zich bijvoorbeeld heeft over een wesp, danvertelt hij daarover (1973: 87):1

Toch is het een bijzonder beest. Hij weet wat een zeshoek is. Hij kan er eentjemaken. Maar hij kan het niet meer noemen, denk ik. Dat heeft hij wel gekund.Dat was in de tijd dat hij de regelmatige zeshoek uitvond.

Nu is het een gekend fenomeen binnen de wetenschapsgeschiedenis dat uitvindingen dikwijlspas gedaan worden als er nood is aan zo’n uitvinding (zie, bijvoorbeeld, Van Bendegem (2009):16-7). Dat dat volgens Krol ook voor wiskunde het geval is, blijkt uit een andere passage uitDe chauffeur verveelt zich. GK wordt daar door Dodd uigenodigd op een feestje. Als ze opdat feestje dan aan de praat raken over de oorlog tussen Amerika en Rusland, vraagt Doddaan GK (1973: 112)

of ik zin had mee te helpen aan de bouw van een model dat het verloop van deoorlog tussen Amerika en Rusland moest kunnen voorspellen. Ik zei Dodd dat iker niet in geloofde dat er in een oorlog veel gerekend zou kunnen worden, terwijlhet toch bekend is dat een groot deel van de zeventiende- en achttiende-eeuwse

1De cursivering staat er ook in het origineel, wat al iets zegt!


wiskunde haar ontstaan vindt in de krijgskunde. Maar ik had gewoon geen zinmeer in rekenen. Ik vond het niet langer leuk, me bezig te houden met het zoekenvan een getal dat groter, c.q. kleiner is dan een ander getal.

Als jongeman schijnt Krol wel een wiskundig logicist of formalist geweest te zijn. Eigenlijkis het verschil tussen beide stromingen vrij klein: de eerste meent dat de wiskunde zuiver logica,en niets meer is. Voor de formalist is wiskunde een spel, gespeeld met spelregels bepaald dooraxioma’s en logische regels. Voor een formalist zijn er oneindig veel spelregels mogelijk (wanter zijn oneindig veel axioma’s mogelijk, en als dat nog niet volstaat, zijn er nog oneindig veellogica’s met elk hun eigen regeltjes), en dus strikt genomen oneindig veel wiskundes. Het wezeduidelijk dat de meeste daarvan ‘het onderzoeken niet waard zijn’ omdat we er in de praktijkniets mee zijn (iets wat voor een zuivere formalist evenwel geen punt hoeft te zijn).

Maar sinds Godel zijn stellingen wereldkundig maakte, is de droom van het formalisme(in mindere mate ook die van het logicisme) de grond in geboord. Dat is iets waar de jongeKrol zich dus duidelijk niet bewust van was. Dat hij het logicisme wel een warm hart moettoegedragen hebben, blijkt bijvoorbeeld uit De vrijdagavonden, het voorlaatste hoofdstuk uitDe oudste jongen, waar de jonge GK de logica met hand en tand tegen de opwerpingen vanMattheus Blok verdedigt. Het klinkt niet gek dat Krols logicisme net tijdens zulke gesprekkenmet iemand als romanpersonage Blok, voor het eerst een flinke knauw kreeg. Misschien isKrols logicistische zienswijze op wiskunde rond z’n twintigste overgegaan in een wiskundigformalisme. Maar ook deze filosofische zienswijze houdt het niet lang vol bij Krol (1985: 40):

Toen ik Het gemillimeterde hoofd schreef, putte ik uit een serie berekeningen die,na een lange, inspannende winter, niet hadden opgeleverd wat ik zo vurig hadgehoopt: de reductie van de wiskunde tot een pure formaliteit, een bouwwerk vannullen en enen dus. Deze negatieve ervaring maakte mij evenwel een stuk wijzer.

Waarschijnlijk is Krol dus met het schrijven van Het gemillimeterde hoofd tot de gedachtegekomen dat ook het formalisme geen recht kan doen aan de wiskunde, en is Krol uiteindelijk,zoals al bleek uit de aangehaalde passages, een wiskundig constructivist geworden: wiskundeis een schepping van de mens. Net zoals alle andere wetenschappen en, waarschijnlijk minderomstreden, net zoals literatuur en kunst. Vandaar dan ook dat we in de vorige sectie Krolwiskunde hoorden vergelijken met kunst. Zo gezien gaan wiskunde en literatuur op een eerstemanier hand in hand.

Dat (alvast de iets oudere) Krol een wiskundig en zelfs wetenschappelijk constructivist is,is iets waar we niet omheen kunnen. Zo lezen we bijvoorbeeld in de inleiding van Gerrit Krol:werken op het snijpunt (Vervaeck & Zuiderent 2007: 9):

Krol heeft een humanistische wetenschapsopvatting: de wetenschap is een con-structie van de mens. Elke wetenschap had ook anders kunnen zijn, indien zeonder andere omstandigheden door andere mensen was geconstrueerd.

Volgens Frans Ruiter (2007: 56-7) komt dat zeker naar boven in een roman als RondoVeneziano. Daar heeft Krol immers “van de menselijk-al-te-menselijke praktijk van het weten-schappelijke bedrijf een uiterst satirisch beeld geschetst” (p. 57), iets wat onder meer bleek uitenkele passages die wij bekeken hebben,2 maar wat uiteraard maar tot zijn volle recht komt

2Denken we bijvoorbeeld aan de ‘saaie professor’ die een lezing houdt waarbij iedereen in slaap valt. Maarals er blote borsten ter sprake komen, springt iedereen wakker. Denken we aan die andere saaie lezing, waargewoon opgesomd wordt wie wie beınvloed heeft. Of denken we aan Pipper, die een doctoraalsbul steelt, enom eigenlijk duistere reden alom geeerd wordt.

6.3. Wiskunde in de literatuur als brug tussen alfa en beta 91

als men de roman in zijn geheel leest.Op p. 59 van zijn bijdrage, wijst Ruiter op een essay van Krol, waar hij wetenschap vergelijkt

met een boom (1987: 34):

De wetenschap is als een boom: hij had elke andere vorm kunnen hebben, hij hader ook helemaal niet kunnen wezen, maar nu hij er staat heeft hij een vaste vorm diemaar langzaam verandert. Er groeit niet veel in de buurt, omdat alles wat de groeibevordert door die ene grote boom wordt opgezogen. Alle verschijnselen wordengeınterpreteerd in de vorm van wetenschap, zelfs voor ze werden waargenomen.Onnodig te zeggen dat je wel ’s zin hebt die boom te vellen. Dan zou er eindelijk’s plaats zijn voor jonge, nieuwe vegetatie, waarvan de grootste charme zou zijndat je niet van tevoren wist welke vegetatie het zou worden.

Terecht merkt Ruiter op dat dit verregaande implicaties heeft: zo had de boom “elke anderevorm kunnen krijgen” (Ruiter 2007: 60). Zo gezien kom je tot een tweede grote gelijkenis tussenkunst en wetenschap; zeg maar: tussen alfa en beta. Ze zijn namelijk allebei contingent. Zezijn nu zoals ze zijn, maar dat is eerder toevallig gekomen. In een andere wereld, onder andereomstandigheden, hadden zowel kunst als wetenschap er wel ’s heel anders kunnen uitgezienhebben.

Al twee keer is het Krol dus gelukt om wiskunde en literatuur (zelfs breder: beta en alfa)hand in hand te laten gaan. Net dankzij het feit dat hij zowel alfa-en-beta-intellectualistenerzijds als alfa-en-beta-constructivist anderzijds is, slaagt Krol er in zijn romans te schrijven.

6.3 Wiskunde in de literatuur als brug tussen alfa en beta

Vele wiskundigen die een (populair) boek over wiskunde schrijven, schijnen te willen bekomenvooral niet-wiskundigen te bereiken en te overtuigen van de schoonheid van de wiskunde.

Wanneer Roger Penrose in 2004 een zeer technisch boek van meer dan duizend bladzijdenschrijft over de relatie tussen wiskunde en fysica3, dan maakt hij zich in zijn inleiding zorgenover. . . mensen die nog niet eens overweg kunnen met breuken (Penrose 2004: xv):

The reader will find that in this book I have not shied away from presentingmathematical formulae [. . . ] The understanding that we have of the principlesthat actually underlie the behaviour of our physical world indeed depends uponsome appreciation of its mathematics. Some people might take this as a causefor despair, as they will have formed the belief that they have no capacity formathematics, no matter at how elementary a level. How could it be possible, theymight well argue, for them to comprehend the research going on at the cuttingedge of physical theory if they cannot even master the manipulations of fractions?

Maar wat laat Penrose denken dat iemand die nog geeneens met breuken overweg kan, eenboek over hogere wiskunde gaat doornemen? Met andere woorden: schrijft Penrose hier nietvolledig overbodig, en ging hij er beter niet gewoonweg van uit dat het nooit zou opkomen bijiemand die 2

4 niet kan vereenvoudigen tot 12 , een klepper van formaat over wiskunde te lezen?

3Penrose 2004, p. xx: “It may be said that this book is really about the relation between mathematics andphysics, and how the interplay between the two strongly influences those drives that underlie our searches for abetter theory of the universe.”


Romans die handelen over wiskundige onderwerpen, staan niet zelden bol van personagesdie in het begin van het verhaal een bloedhekel hebben aan wiskunde (zoals zovelen), maardie gaandeweg op haast mirakuleuze wijze dan toch nog de schoonheid van wiskunde schijnente begrijpen. Zo beweert Robert, de kleine jongen die de hoofdrol speelt in Der Zahlenteufel4,wiskunde simpelweg te haten. Als hij in zijn dromen voor de eerste keer met de Telduivelkennismaakt, zegt Robert hem (Enzenberger 201111: 12-14):

– Und zweitens hasse ich alles, was mit Mathematik zu tun hat.

– Warum denn das?

– Wenn zwei Backer in sechs Stunden 444 Brezeln backen, wie lange brauchendann funf Backer, um 88 Brezeln zu backen? So ein Blodsinn, schimpfte Robertweiter.

[. . . ]

– Na ja, sagte der Zahlenteufel und grinste. Ich will ja nichts gegen deinen Lehrersagen, aber mit Mathematik hat das wirklich nichts zu tun. Weißt du was? Diemeisten richtigen Mathematiker konnen uberhaupt nicht rechnen. Außerdem istihnen dafur die Zeit zu schade. Fur so was gibt es doch Taschenrechner. [. . . ]Aber Mathematik, mein lieber Schwan! Das ist ganz was anderes!

Hoe verder we raken in het verhaal, hoe meer Robert geboeid begint te raken door deTelduivels verhalen over bijvoorbeeld de driehoek van Pascal of de rij van Fibonacci. Op denduur begint hij werkelijk geınteresseerd te raken in wiskunde, en apprecieert hij ten volle haarschoonheid.

In De stelling van de papegaai dan weer, brengt Denis Guedj (1999) een heel gezin tenberde waar iedereen (‘zoal normaal is, nietwaar?’) slecht is in wiskunde (en er waarschijnlijknog fier op is ook). Het is pas door zich te verdiepen in de wiskunde — door de omstandighedengedwongen, net zoals Robert in Der Zahlenteufel — dat iedereen plots het licht ziet en vanwiskunde begint te houden. En voorwaar: het komt uit dat iedereen in het gezin eigenlijk zelfsgoed is in wiskunde; iets waar ze zich tot dan toe nog niet van bewust waren.

Wat laat al deze schrijvers denken dat dat effectief zo is? Waarom zijn ze er zo heilig vanovertuigd dat zij die wiskunde maar niets vinden, objectief gezien een fout maken die enkelverklaard kan worden uit het feit dat ze wiskunde niet goed begrepen hebben? Om met Platote spreken: ‘kwaad handelen kan enkel het gevolg zijn van onwetendheid’. In de ethiek is dezestelling al enige eeuwen geleden gesneuveld, maar in de wiskunde leeft ze blijkbaar nog door.

Misschien is dat een eerste punt waarvoor we Krol een pluim op de hoed mogen steken: netals Doxiadis brengt hij geen wiskundehaters ten tonele die door een plotse bliksemschicht als hetware het licht zien. Integendeel: Doxiadis en Krol brengen ons in contact met romanpersonagesdie wiskunde na aan het hart ligt. Niet-wiskundigen ‘bekeren’, om nu eens een heel fout woordte gebruiken, maakt daar geen deel van uit. Ach, het valt niet uit te sluiten dat dat af en toewel eens gebeurt, maar dat is het doel van hun romans niet. Eerder schijnen ze te denken:‘wiskundigen mogen ook wel eens een goed boek over hun interessegebied lezen’, en zeker Krolbreidt ‘wiskundigen’ in de vorige zin zelfs uit tot ‘mensen die zowel alfa als beta zijn’.

Mag onze conclusie nu zijn dat Penrose, Enzenberger en Guedj de bal helemaal misslaandoor ook de niet-wiskundige aan te spreken? Gelukkig schijnt dat niet altijd het geval te

4Een boek dat ik, ondanks de kritiek die ik er hier tegen in breng, overigens niet wil afvallen. Integendeel:het is een heel mooi en goed boek. Alleen heb ik mijn vragen bij de doelgroep die Enzenberger waarschijnlijkvoor ogen heeft.


zijn! In 2006 startten Jeanine Daems en Ionica Smeets een weblog over wiskunde, met deverwachting dat die enkel zou geraadpleegd worden door enkele collega’s en vrienden. Maarwat bleek? “Tot onze verbazing bleek echter een veel grotere groep geınteresseerd in wiskunde,ook mensen die er vroeger heel slecht in waren.” (Daems & Smeets 2011: 9).

Krol zelf zou vast ook geschrokken zijn van deze vaststelling; getuige daarvan zijn bijdrageaan De trots van alfa en beta. Daar stelt Krol (1997: 34):

Tot slot. De vraag, hoe zo verschillende culturen als alfa en beta tot elkaar kunnenkomen, ben ik geneigd met een zekere scepsis onbeantwoord te laten. Ik zie eerlijkgezegd geen enkele neiging in een cultuur naar een andere cultuur toe te groeien.Culturen gedragen zich als talen. Naarmate ze zich ontwikkelen, groeien ze uitelkaar en krijgen ze hun eigen normen, waarden en subtiliteiten. Alfa en beta —elk van beide streeft een eeuwigheidswaarde na.

Maar wie mij vraagt om een brug, kan ik als Van Nelle’s Toovervischje antwoorden:ga maar naar huis, mijn vriend, je brug ligt er al.

Als praktisch voorbeeld voor dit laatste geeft Krol overigens de boekdrukkunst: een druk-pers, een wonder der techniek, een trots van de beta, die bijdraagt tot het verspreiden vanliteratuur, een trots van de alfa. Op p. 35 vervolgt Krol:

Het boeiende is dat beide culturen, ofschoon ze, qua begrip, met de rug naar elkaartoestaan, elkaar versterken.

[. . . ]

Men moet deze processen niet willen tegenhouden, maar zichzelf opvoeden inrespect voor dingen die men niet begrijpt. Men begrijpt overigens een cultuur nietdoor er alleen maar over te praten. Een vreemde cultuur leert men kennen door erdeel van uit te maken — een paar jaar, of een paar uur per dag.

Vandaar ook dat Krol, zelf een mengproduct van alfa en beta, zichzelf verplicht ziet nietvoor de zuivere alfa, noch voor de zuivere beta te schrijven, maar voor de mengvorm, zijngelijksgestemde. De beta-achterstand van zuivere alfa’s kan hij zelfs in een hele roman nietrechttrekken. En als hij wil literatuur schrijven, zal hij een echte beta nooit kunnen overtuigenom die te lezen.

Dit brengt een groot nadeel met zich mee: Krol kan niet overal even goed thuis in zijn.Zo zagen we al dat hij wel eens onnauwkeurig omspringt met wiskundige begrippen. Ook BartVervaeck beseft dat het voor een persoon die met een been in de alfa-wereld staat, en metzijn andere in de beta-wereld, moeilijk is in beide even rigoureus te werk te gaan. Algemeengeeft hij ons over de essayist het volgende mee (Vervaeck 2007: 23):

De essayist begeeft zich op het terrein van de ander. Hij is een dagjesmens,een toerist, geen specialist. Dat onderscheidt hem van de wetenschapper. [. . . ]De schrijver van verhalen vertrekt niet van het terrein van de ander. Zoals hetkappersmeisje duidelijk maakte, gebruikt hij [=Krol, SC] zijn eigen fantasie.

Maar voor ‘essayist’ kunnen we hier ook ‘romanschrijver’ invullen, tenminste als we hetover Gerrit Krol hebben. Of zelfs lezers, als we Krols ‘ideale’ lezer in gedachten houden. Datdie personen dagjesmensen zijn die, om een voorbeeld te geven, ‘slechts’ een daguitstap maken


naar het getal van Skewes en helemaal niet alles tot in detail weten over dit curieuze getal,dat beseft Krol maar al te goed. Maar beter een dagjesmens die struint door alfa en beta, daneen doctorandus wiskunde die promoveert op ‘Intersection homology and cohomology’ in hetgebied van de algebraısche topologie5.

Mijn punt is nu dat we om Krol, zelf zowel een alfa- als een beta-persoon, ten vollete begrijpen, zelf ook onherroepelijk thuis moeten zijn in zowel de alfa- als de beta-wereld.Krol is zich daar volgens mij ook van bewust: beperken we alfa, zoals ik doorheen dezemasterproef gedaan heb, tot ‘literatuur’ en beta tot ‘wiskunde’, dan heb ik aangetoond datKrol er, voornamelijk in zijn latere werk, in slaagt om deze twee op een werkelijk ongezienemanier te combineren.

Is het resultaat van deze combinatie begrijpelijk of wenselijk voor een alfa die geen beta isof voor een beta die geen alfa is? Laat ons beginnen met de tweede persoon: de wiskundigedie niet in literatuur thuis is.

We kunnen dan al beginnen met op te merken waarom zo iemand een roman zou opnemen.Krol schrijft immers romans, geen wetenschappelijke artikels of cursussen. Zo gezien zou men,zeer kort door de bocht, kunnen zeggen dat Krol ‘eerder alfa dan beta is’ (een opmerkingwaar ik het overigens niet mee eens zou zijn; maar goed, we nemen het even aan for thesake of the argument). We nemen dus even aan dat een wiskundige die hoegenaamd niet vanliteratuur houdt, om de een of andere reden hoort over Rondo Veneziano als over “een boekover wiskunde” en besluit het te lezen. Zal z/hij daar iets aan hebben?

Z/hij zal veel zaken herkennen, en zeker en vast beter thuis zijn in de wiskunde die Krolmeegeeft dan Krol zelf is. Laten we overigens niet vergeten dat Krol zijn studie wiskundenooit met vrucht beeindigd heeft. Als die wiskundige volledig wars is van de alfa-cultuur,dan zal z/hij ten eerste helemaal niet overweg kunnen met de vele schoonheidsfoutjes die“dagjesmens” Krol maakt (zoals die van het “reeks van Fibonacci”), ten tweede (zo goed als)niets bijleren en zo gezien op zijn honger blijven zitten, maar ten derde, als belangrijkste punt:z/hij zal zich moeilijk kunnen vinden in Krols ‘literaire vrijheden’ en in de literaire creaties zoalsbijvoorbeeld de dualiteit nulpunt/priemgetal, die de oranje wegpunaises met zich meedragen.Om te beseffen dat Krol (bewust of onbewust) deze fout maakt opdat hij een mooiere literairebeschrijving kan meegeven, heeft de wiskundige onverbiddellijk nood een basisinzicht in dealfa-cultuur.

Hier wil — moet — ik dadelijk bij aanvullen dat enkele (zoniet zelfs vele) wiskundigen dieuiteraard zullen hebben. Ik wil hier helemaal het beeld niet ophangen van de wiskundige die, ophaast autistische wijze, met niets anders bezig is dan met zijn eigen vakgebied. Eerder spreekik, een beetje hoopvol misschien, met Krol: “ga maar naar huis, mijn vriend, je brug tussenalfa en beta ligt er al”. Een mooie illustratie van dit feit is misschien wel dat het uitgerekendmijn gewezen professor wiskundige analyse geweest is, die, toen ik deze masterproef aan hetschrijven was en hem contacteerde in verband met enkele wiskundige problemen uit RondoVeneziano, mij wees op de mogelijkheid dat Krol misschien wel opzettelijk de dualiteit van dewegpunaise had gecreeerd. Een auteur mag dat doen en een goede auteur zal dat ook doen;daar kwam zijn commentaar kort gezegd op neer.

Maar dit doet niet af aan het feit dat een wiskundige misschien meer zal willen. Om eenandere anekdote te vertellen: toen ik onlangs tijdens een treinrit toevallig een andere van mijngewezen proffen wiskunde tegen het lijf liep, vertelde ik hem vol enthousiasme dat ik mijnmasterproef over Krol schreef. Hij kende Gerrit Krol niet, maar wist mij wel te vertellen dathij wiskundige schoonheid (bijna) nooit wist terug te vinden in literatuur, net omdat de zaken

5Voorbeeld ontleend aan Van Bendegem (2009): 33-4.


die wiskunde zo mooi maken, zoals knappe bewijzen, nooit vertaald worden in literatuur.Mijn wiskundehart moet deze man gelijk geven: ook Krol doet dit nauwelijks. (Maar niet

‘nooit’: hij geeft een knap, aanschouwelijk bewijs mee voor de stelling van Desargues in zijnHet gemillimeterde hoofd ; spijtig genoeg niet in een literair jasje. Wel heb ik met volle teugengenoten van het stuk waarin hij zijn prof het “bewijs op het nippertje” laat vinden, maar daarkrijgen we dan weer het bewijs zelf niet mee.) Toch blijft de waarde van Krol liggen in het inelkaar verweven van wiskunde en literatuur: bewijzen hebben geen alleenrecht op wiskundigeschoonheid. Dat geldt ook voor bepaalde stellingen (de residustelling uit de complexe analysebijvoorbeeld; iets waar Krol het, jammer genoeg, nooit over heeft. Of de Godelstelling, waarKrol als het ware een roman over schrijft) en voor bepaalde concepten of fenomenen. Zoalsde distributie der priemgetallen; en daarover heeft Krol wel degelijk formidabele literatuurgeschreven. Maar dan moet je, als beta, verzoening vinden met het feit dat Krol literatuurschrijft, geen wetenschap. Daarvoor is een zekere inslag vanuit de alfa-cultuur inderdaadonvermijdelijk.

Kan je Krol dan als alfa-die-geen-beta-is lezen? Een die-hard-alfa, die geen wiskunde kanzien, zal mijns inziens nog niet willen beginnen aan een roman waar wiskunde in voorkomt.Maar goed, laat ons aannemen dat deze mensen in de minderheid zijn onder de alfa’s.

Je kan als alfa Krol zeker lezen. We hebben gezien dat Krol zelfs, alvast in zijn laterewerk, vaak kleine steunpunten meegeeft waar je als niet-wiskundige een houvast aan hebt. Debeelden (de “stuiterende tennisbal” en de “oranje wegpunaises”) die Krol meegeeft van dezeta-functie in het complexe vlak zijn als niet-wiskundige tot op zekere hoogte waarschijnlijkwel te volgen. Het is a la limite tenslotte Krol ook niet te doen om zijn lezer echt iets bij teleren; Rondo Veneziano is niet de roman die het vermoeden van Riemann wil wereldkundigmaken, daar waar Oom Petros en het vermoeden van Goldbach bijvoorbeeld wel de roman isdie het vermoeden van Goldbach wil uitleggen. Zo gezien schrijft Krol uitzonderlijke literatuur.

Maar onherroepelijk gaat er heel veel verloren als een alfa pur sang Krols romans leest.Soms is Krol zich daar duidelijk bewust van, maar kan hij nu eenmaal niet anders handelen danhij al doet. Als hij in De vitalist bijvoorbeeld op erg originele wijze de Godelstelling verstopt,kunnen we dit als lezer enkel doorhebben als we al vertrouwd zijn met Godel. Dat het grappig isdat Euler veel aan zichzelf leerde, kan ook alleen die lezer doorhebben, die voldoende wiskundiggeschoold is. En een wiskundige zal nu eenmaal onherroepelijk meer kunnen genieten van hetbeeld van de oranje wegpunaises in hun functie als priemgetallen. Soms kun je jaren rijden voorje er nog eens eentje tegenkomt — schitterend, gewoon. Krol begrijpt dit zelf allemaal, en liefstzou hij het allemaal delen met de wereld. Maar als hij de Godelstelling en de vergelijking metde gerechterlijke uitspraak uit de doeken doet in De vitalist, verliest de roman net zijn kracht.Net zoals een grap, zoals die over Euler, niet grappig meer is als je er zelf de clou moet bijvertellen. En Krol kan wel, in een aantal regeltjes, iets vertellen over de oneindige schoonheidvan het wiskundige mysterie van de verdeling der priemgetallen, maar wie dat mysterie aldeelachtig is, zal onherroepelijk het beeld meer kunnen apprecieren. Krol kan bijgevolg nietanders dan hopen dat zijn lezer al iets van wiskunde kent; zoniet verliest de roman een deelvan zijn waarde.

Eindpunt blijft dat alleen iemand die de brug tussen alfa en beta wil oversteken, een literairbeeld zal willen lezen van een wiskundig gegeven. Vandaar dat Krols lezer onherroepelijk metelk been in een wereld moet staan. In haar proefschrift vermeldt Sofie Gielis dat een van demogelijkheden om Krol te interpreteren er zo uitziet (Gielis 2007b: 72):

Als Gerrit Krol in zijn roman Rondo Veneziano bijvoorbeeld beweert dat niet allenulpunten op een rechte lijn liggen denkt een getallenleek dat dit een literair beeld


[is]. Zo iemand zal de passage beschouwen als fictie. Een wiskundige die Krolsstelling gelooft zal diezelfde passage echter lezen als non-fictie.

Het kan best zijn dat sommige mensen Krol inderdaad zo lezen, maar volgens mij heeftKrol zelf het in elk geval nooit zo bedoeld. Hij wou niet dat ‘zuivere alfa’s’ twee koperennagels als magisch-realistisch literair beeld lazen; en hij wou ook niet dat wiskundigen zijnroman zouden lezen als een artikel. Dit laatste zou overigens weinig zin hebben, want watKrol poneert, is geen door Krol bewezen wiskundige stelling en dat zal het hoogstwaarschijnlijkook nooit worden. Volgens mij is Krols primaire doelstelling dat ‘de man of vrouw die in eenhele wereld leeft, en niet in een halve’, deze passage leest zoals hij ze schreef: genietend vanzowel de literatuur als de wiskunde die ze meebrengt, maar bovenal van de kruisbestuiving vanbeide. In dat geval kunnen we niet anders dan Pippers uitzinnige vreugde delen. Wel kan Krolalfa’s eventueel bijten, en hen na het lezen van Rondo Veneziano bijvoorbeeld aanzetten omzelf iets meer op te zoeken omtrent het vermoeden van Riemann. Ik ken alvast een persoonbij wie hij daar zeer goed in geslaagd is.

Ligt de brug er volgens Krol al? Hij heeft voor zichzelf de rivier gewoon dichtgegooid. Endankzij zijn romans, weten nu ook wij hoe we dat kunnen doen.

6.4 Besluit

Krol is het helemaal eens met de mensen die wiskunde meedragen in hun hart: bezig zijn metwiskunde opent de poort naar een universum dat ongekende schoonheden bevat. Maar Krolbeseft meer dan dat: hij vindt ook schoonheid terug in literatuur, in filosofie, in natuurweten-schappen, in taalkunde, in alles wat intellectueel aantrekkelijk is. Er bestaat voor hem op datgebied geen onderscheid tussen de zogenaamde alfa- en beta-wetenschappen.

Alleen op dat gebied? Bijlange niet. Zo zagen we dat Krol er geen doordeweekse filosofischevisie op wiskunde, wetenschappen en kunst op nahoudt: hij is een constructivist, rotsvastovertuigd van het feit dat alle opgesomde zaken menselijke uitvindingen zijn. Hij maaktdaarbij weerom geen onderscheid tussen alfa en beta.

Is er dan nog wel een verschil tussen alfa en beta voor Krol? Gelukkig niet. Hij verwerktelementen uit beide culturen moeiteloos in zijn romans; hij beschrijft, om het in zijn eigenwoorden te zeggen, een hele wereld en geen halve.

In die ontzettend grote wereld verliest Krol soms wel eens even zijn weg, maar dat mogenwe hem niet kwalijk nemen: hij neemt tenminste het risico om verloren te lopen in die wereldzonder rivieren. En veeleer moeten we zelf oppassen dat we nergens het spoor bijster rakenals we Krol proberen te volgen: zijn romans lezen is geen sinecure, noch voor alfa’s, noch voorbeta’s. We hebben echter aangetoond dat ze er allebei zeker en vast iets aan hebben, maardat de lezer die het meeste van Krol zal genieten, ongetwijfeld zelf zowel in de alfa- als inbeta-wereld moet thuis zijn.

Een roman schrijven over de Godelstelling of de Riemann-hypothese: je moet het maardurven. Het is uiterst zeldzaam dat een zo diepgaand onderwerp — we hebben het hiertenslotte over hogere wiskunde — stof vormt voor een roman. Ook de wijze waarop Krolliteraire beelden schetst rond deze thema’s is ongezien. Dat is een zeer goede zaak: ook dewiskundige mag eens literatuur te lezen krijgen over onderwerpen waar hij alle dagen mee bezigis; en ook de literatuurliefhebber mag vast eens snoepen van hogere wiskunde. En ook Krolsgelijkgestemde, de inwoner van de hele wereld en niet van een van de halve werelden, vindt nueindelijk waar hij allang naar zoekt.

Conclusie

Nog niet zo gek lang geleden had ik gedurende enkele weken een lesopdracht wiskunde inhet ASO. Toen ik met de leerkracht die ik moest vervangen, het handboek doorliep, wees zeme heel terloops op een klein stukje ‘geschiedenis van de wiskunde’. “Ja, daar houden weons natuurlijk niet mee bezig,” zei ze. “Natuurlijk niet.” De les wiskunde, daar hoort enkelwiskunde in, niet? Niets anders dan logisch deductief redeneren op basis van getallen en enkelefundamentele bewerkingen. Wiskunde is een zuiver beta-vak waar we geen alfa-invloeden inwillen; daar komt de commentaar van die leerkracht eigenlijk op neer.

In deze masterproef hebben we aangetoond dat het water tussen alfa en beta nog steedsontzettend diep is — misschien is het zelfs nog nooit zo diep geweest. Alleen al het feit datKrol, wanneer hij alfa en beta toch combineert, een schokgolf teweeg brengt, wijst er eigenlijkop dat de kloof bestaat en dat ze breed is: eigenlijk zouden Krols romans op een manier‘alledaags’ moeten zijn.

Maar zelfs dit laatste hoeft niet waar te zijn: ook in een wereld waarin het onderscheidtussen alfa en beta helemaal verdwenen is, zou Krol wel eens zeer unieke literatuur kunnenschrijven. In deze masterproef zijn we nagegaan van waaruit Krol vertrokken is, en in welkerichting hij geevolueerd is. In Het gemillimeterde hoofd merkt Krol nog op dat je geen verhalenkan vertellen over wiskunde, maar dertig, vijfendertig jaar later doet hij dat zelf moeiteloos inonder meer De vitalist en Rondo Veneziano. We hebben duidelijk aangetoond dat die evolutiezich niet van vandaag op morgen voltrokken heeft: met elke nieuwe roman heeft Krol eentwijfelende stap in de richting van het onbekende gezet. Een andere keer, bij iemand anders,kan een dergelijk groeiproces heel andere vruchten afwerpen.

Is Het gemillimeterde hoofd nog een zeer experimentele roman van een zoekende Krol, danweet hij met De vitalist en met Rondo Veneziano maar al te goed wat hij schrijft. In Krolseerste romans gaan de literaire en de wiskundige componenten van de roman vaak totaal niethand in hand. Maar in zijn latere werk heeft Krol wiskunde en literatuur fijnzinnig in elkaarverweven. Dat brengt ons terug naar de onderzoeksvraag die in deze masterproef centraalstaat: op welke verschillende wijzen weet Krol literatuur en wiskunde te combineren?

In de eerste romans doet hij dat voornamelijk gewoon door vaak wiskunde en wiskundigenaan te halen, soms uit de meest onverwachtse hoek. Krol maakt in die vroege romans vaakgekke bokkensprongen, en vele lezers raken ongetwijfeld het spoor bijster. Voornamelijk inHet gemillimeterde hoofd vroegen we ons van sommige opmerkingen over wiskunde af wat zedaar eigenlijk stonden te doen; van integratie van wiskunde in literatuur kan dan ook moeilijksprake zijn. Toch vinden we ook in deze eerste werken sporen van versmelting: zo is wiskundeiets waar de romanpersonages zo in opgaan, dat je als lezer als het ware wordt meegesleurd.

We hebben gezien dat er een zevental functies voor wiskunde zijn weggelegd in Krols oeuvre.Deze zevendeling vinden we al terug in Het gemillimeterde hoofd , en ze blijft overeind tot ophet einde. Maar elk van deze zeven functies op zich ondergaat wel duidelijk evolutie: doordat

97

98 Conclusie

ze beter in het verhaal verweven worden, vallen ze als het ware minder op. Randopmerkingenworden dan bijvoorbeeld vermeld op een wetenschappelijk congres, waar ze helemaal niet meeruit de lucht komen gevallen. En waar het overigens normaal is dat verschillende menseneenzelfde interessegebied hebben. Wiskunde toepassen, dat doen Krols romanpersonages ophet einde alleen nog op hun werk, of eventueel in het casino. Erg mooi dan weer, is het feitdat Krol enkel nog wiskundige termen in een niet-wiskundige context gebruikt, wanneer hijmet die wiskundige term preciezer kan uitdrukken wat hij bedoelt.

Cruciaal is echter de evolutie van wiskunde als hoofdelement in het verhaal. Het duurttot 1993, met Omhelzingen, eer deze functie zich niet langer beperkt tot (hoofd)personagesdie wiskundigen zijn. In De vitalist slaagt Krol er zelfs in die wiskunde voor de buitenwereldonzichtbaar te maken: wie de Godelstellingen niet kent, leest flagrant over een kernpunt vande roman heen. Met Rondo Veneziano is Krol dan weer een van de eerste auteurs ooit om eenonderwerp uit de hogere wiskunde als stof voor een roman uit te kiezen. Nochtans slaagt hijer in om, aan de hand van enkele literaire beelden, iedereen een glimp te laten opvangen vande wondere wereld van de hogere wiskunde.

Bij Krol zelf zijn de verschillen tussen alfa en beta overigens vaak verder te zoeken dan hungelijkenissen. Hij is vol lof over wiskunde en techniek, maar is eigenlijk even gek van literatuuren taalkunde. Krol heeft een hele wereld om van te genieten; geen halve, zoals alfa’s en beta’s.

Ook als filosoof ziet Krol het verschil tussen beide halve werelden niet in: kunst, talenwetenschappen,. . . ze zijn allemaal door de mens bedacht. Krol is een constructivist; ook ophet gebied van de wiskunde, waar die filosofische zienswijze toch niet alledaags is.

Maar Krol weet ook wel dat de meeste mensen slechts in een halve wereld leven. Tochschrijft hij voornamelijk romans voor mensen zoals hijzelf, die vlot kunnen overstappen van hetene gebied op het andere. Dat hoeft niet te willen zeggen dat anderen niets aan de literatuurvan zijn romans kunnen hebben; integendeel zelfs. Hij biedt haast voor elk wat wils, en bovenalbiedt hij beide oevers van het water een blik op de andere kant.

In deze masterproef hebben we het voornamelijk slechts over wiskunde en literatuur gehad.Alfa en beta zijn veel breder dan die twee deelaspecten. Nu we de originele wijzen waaropKrol alfa en beta verwerkt in zijn oeuvre van dichtbij bestudeerd hebben, kunnen we haastniet anders dan besluiten dat er wel eens flink wat meer mogelijkheden zijn om creatief om tegaan met de twee dan tot nu toe wordt aangenomen.

We kunnen misschien beginnen met toch dat povere stukje ‘geschiedenis van de wiskunde’in het wiskundehandboek te onderwijzen. Dat is overigens een eerste aanzet om leerlingente laten nadenken over wat wiskunde nu eigenlijk is; een allereerste stap om het wiskundigplatonisme waar de scholen ons (onbewust(?)) mee opzadelen, tenminste in vraag te stellen.

Maar daar mag het niet bij blijven. In een ideale wereld kan men niet anders dan Krol tersprake brengen in zowel de les wiskunde als in de les Nederlands. Misschien leidt dit er dantoe dat de twee vakken, als we de limiet naar oneindig nemen, niet langer te onderscheidenzijn. Lager mogen we de lat voor onszelf niet leggen, want we hebben duidelijk aangetoonddat een hele wereld veel groter is dan twee halve.

Bijlage A

Wiskundige fragmenten in de romansvan Krol

In deze eerste bijlage zijn zo goed als alle wiskundige fragmenten uit de twintig romans vanGerrit Krol opgenomen, alsook die uit Krols eerste verhaal The Great Pretender.

Een uitzondering: de wiskundige fragmenten uit Het gemillimeterde hoofd zijn zo talrijk,dat ik ze moeilijk allemaal kon overnemen. Vandaar dat ik Het gemillimeterde hoofd bespreekparagraaf per paragraaf. Paragrafen waar helemaal geen wiskunde in voorkomt behandel ik niet.Verder heb ik van de paragrafen waaruit ik niet alle wiskundige fragmenten heb overgenomen,deze fragmenten wel vermeld en/of besproken in onderstaand overzicht.

Ik ben hierbij bij elke roman uitgegaan van de eerste druk. Niet alleen strikt wiskundigefragmenten zijn opgenomen, maar veelal ook fragmenten die handelen over logica, natuurwe-tenschappen en aanverwante onderwerpen.

Daar waar ik Krol citeer heb ik dat duidelijk aangegeven met dubbele aanhalingstekens,behalve in de puntjes 301, 310, 318 en 339, omdat dat op die plaatsen moeilijk of onwenselijkwas. In al deze gevallen is het nochtans duidelijk waar Krol aan het woord is en waar ik.Opmerkingen van mezelf in Krols tekst staan steeds tussen vierkante haken. Indien (een deelvan) de geciteerde tekst cursief afgedrukt staat, wordt er steeds vermeld of die cursivering vanmij afkomstig is, dan wel van Krol. Als enige uitzondering hierop gelden wiskundige letters;zie hiervoor de inleiding.

1. The Great Pretender, 1957, p.7. “De wereld leek vrij kalm. En hij ook. Als je geenremmen hebt, leef je zo rustig mogelijk. Haai ging terug naar zijn tafel, tekende op hetpapier de takken af van een smalle hyperbool. De kromme sloot zich hoe langer — hijtekende zorgvuldig — hoe dichter aan haar asymptotenpaar zonder, althans voor eindigewaarden, enig punt gemeen te hebben. Hij kneep het papier samen. Hij kleedde zich uiten ging naar bed.”

De hoofdfiguur van dit kortverhaal, Haai, vindt wiskunde beoefenen blijkbaar een rust-gevende activiteit.

2. The Great Pretender, 1957, p.9. Haai heeft pas een meisje afgescheept aan de telefoon.“Zo, dacht hij. Toen keerde hij zich om en zocht z’n papieren bij elkaar, een stel schevehyperbooltjes, een enkele ontaarde zelfs. Hij gomde een stuk uit. Hij had wel het gevoeldat hij iets kon.”

99

100 Bijlage A. Wiskundige fragmenten in de romans van Krol

3. De rokken van Joy Scheepmaker, 1962, p. 37-38. Hoofdpersoon Kraus is aan hetschaken. “Hij noteerde de zetten, maar hij noteerde veel meer: zijn gedachten die totvervelens toe dezelfde bleven. Ta8-a1. Kraus bladerde vinnig in zijn opschrijfboekje,streepte dagen door en schreef op: (a + b)2 = a2 + b2. Hij trok er een cirkel om. Toenborg hij het boekje weg en keek moeilijk naar het bord.”

Blijkbaar blijft wiskunde continu voortspoken in het hoofd van Kraus. Opmerkelijk: in devierde druk van deze roman (Krol, 2004a) voegt Krol vlak na de formule (a+b)2 = a2+b2

een zinnetje toe: “Dat is fout, maar het is ook goed.” Waarmee Krol terecht opmerktdat de correctheid van deze formule staat of valt met het veld waarover je werkt. Vooreen uitgebreide bespreking van deze passage: zie p. 23.

4. De rokken van Joy Scheepmaker, 1962, p. 38. “Op zijn [=Kraus’, SC] tafel lag een pasgekochte Inleiding tot de Logica. Hij had daaruit enkele sommen gemaakt en het boekwas verder dicht gebleven. Logica in december, het was wel een zeer dunne geschiedenis.”

Deze passage past in de beschrijving van het gevoel van leegte waar Kraus in dit deelvan het verhaal last van heeft.

5. De rokken van Joy Scheepmaker, 1962, p. 54-55. Kraus heeft Joy Scheepmaker opbezoek. “Hij had haar het Raam laten zien, het Raam van Moebius, dat hij gemaakthad van die beukenhouten latten en dat hij keerde en wentelde tussen twee vingertoppen.(Onder welke hoek je het ook ziet.)” Kraus probeert indruk te maken op Joy door haarzijn kunnen te tonen.

6. De rokken van Joy Scheepmaker, 1962, p. 76. “Kraus beklom de enorme kogelvanger;men kon hem zien op de diagonaal van het trapezium naar omhoog, naar de top vanwaaruit hij een ferm uitzicht had over. . . over alles [. . . ]” Krol vergelijkt hier de schuinekant van een voorwerp met de schuine zijde van een trapezium.

7. Het gemillimeterde hoofd, 1967, p. 5 (inleiding). “De wijze nu waarop een mens zichmeedeelt, en de wijze waarop de ander hem begrijpt, vormt de inhoud van dit boek.Het behandelt het mechanisme van de taal, in het bijzonder van de wiskunde en demogelijkheden die de wiskunde biedt aan een mens zich verstaanbaar te maken, zich opeen heldere wijze uit te drukken aangaande de dingen die men ziet, maar ook aangaandede dingen die men niet ziet. Dit boek is de uitwerking van notities die ik aanvankelijkslechts te mijner gerieve schreef. Daarbij heb ik, al selecterende, een centraal themaaangehouden: dat van de afbeelding. Wat niet, direct of indirect, onder het begrip‘afbeelding’ kon worden gebracht, heb ik weggelaten.Dit boek is, ik weet het, niet voor iedereen geschreven. Het bevat gedeelten die zich‘laten lezen als een roman’, maar op andere plaatsen was ik gedwongen de wereld terugte brengen tot de meest eenvoudige vorm, daar heb ik formules ingevoerd. Deze formulesvragen, evenals de figuren in de tekst, een zorgvuldige aandacht. Wie ze niet begrijpt,heeft niets begrepen.”

8. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §00 (p. 7-9). In deze paragaaf heeft Krol het over eenvergeten wiskundige, Schlafli, die werk verricht heeft rond n-dimensionale meetkundes:“Er leefde in de vorige eeuw in Zwitserland een geniaal wiskundige, genaamd Schlafli.Deze Schlafli kwam op de gedachte, de bekende drie-dimensionale meetkunde uit tebouwen tot een vier-dimensionale meetkunde, waarin vlakken niet meer een lijn maar

Bijlage A. Wiskundige fragmenten in de romans van Krol 101

een punt gemeen hebben, tot een vijf-dimensionale meetkunde, tot een n-dimensionalemeetkunde. Hij liet zien dat in zo’n ruimte de meest curieuze dingen gebeuren. Hij heefthet allemaal uitgewerkt, hij heeft het allemaal opgeschreven. Dertig delen. Een geniaalwerk. Het is vergeten.Een tweede manier om het gebied van de drie-dimensionale ruimte uit te breiden is: eeneigenschap weglaten waardoor deze ruimte werd bepaald, het evenwijdigheidsaxioma.We treden dan in de projectieve ruimte, hetgeen is: de euclidische ruimte vermeerderdmet het oog.”Krol beschrijft vervolgens ook andere manieren om tot niet-euklidische meetkundes tekomen, en komt zo tot het werk van Bolyai en Lobatsjewski. Opvallend: Krol trekteen gelijkenis met de menselijke wereld: “elke mens heeft zijn eigen oog. Elke mensheeft ook zijn eigen verte. Dat is de grens van wat hij ziet en wat hij niet ziet. Tweelijnen die in de verte bij elkaar komen zijn evenwijdig [. . . ].” Met andere woorden: hetmenselijke oog gehoorzaamt niet aan de euklidische meetkunde, maar aan de hyperbo-lische. Dit laat Krol toe om enkele fundamenteel filosofische vragen te stellen: “Deparabolische meetkunde is de bekende schoolmeetkunde, een overgang van de elliptischenaar de hyperbolische meetkunde, van de drie genoemde meetkunden de enige die eeninterpretatie in de werkelijkheid toelaat, denkt men — het is niet waar. Er zijn veel meermogelijkheden, we halen de betekenissen los van hun woorden. ‘Lijn’, wat is lijn.”

9. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §01 (p. 9-10). Krol beschrijft het studentenkot waar hijintrekt. Voor het eerst ontmoet hij enkele van zijn kotgenoten, waaronder: “Sybrandy,die sommen zat te maken” (p. 10).

10. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §02 (p. 11); cursivering in origineel. Integrale inhoud.“Naar het mathematisch centrum geweest, achter de Amstelbrouwerij. Het ruikt er naarhop. Ik heb me laten informeren over de boeken die er staan, over de boeken die er nietstaan. Ik heb er de hele middag doorgebracht. Naar huis gegaan met Vorlesungen uberdie Geometrie van Felix Klein — alle vier delen. Zo studeert men wiskunde: teruggaandtot de bronnen.Ik heb er met Evelyn over gesproken. Evelyn zit, als ik, alleen in een kamer. ‘Cava,’ zei ze, toen ik haar vroeg hoe het ermee ging. Ca va en dat glimlachje, alsofze zich verontschuldigde voor dit antwoord. Van de weeromstuit begon ik mezef teverontschuldigen, maar ik kon het toch niet voor me houden: de doorsnede van eenvolledig vijfvlak geeft de 103 configuratie van Desargues”.

Uit heel de paragraaf blijkt dat de jonge Krol bij de aanvang van zijn studie werkelijkbezeten is van de wiskunde: hij neemt voor een beginnend student nogal ongewoneliteratuur door en hij kan werkelijk niet over het onderwerp zwijgen, zelfs niet als hij eenmeisje probeert te versieren, en meer nog: zelfs als hij doorheeft dat hij verkeerd bezigis.

11. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §03 (p. 11); cursivering in origineel. Verschillendeparagrafen in dit boek dragen de ondertitel “van de boekenplank”; paragraaf §03 isde eerste: “Karl Wassertrager, Lehrbuch der Logik auf Positivistischer Grundlage. Eenboekje dat uitmunt door onduidelijkheid, zelfs de inhoudsopgave stelt teleur. Ik vind nietwat ik zoek, ik vind de logica niet, zoals ik denk dat die is, mijn logica, die is er nooitbij.”


12. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §05 (p. 12-14). Deze paragraaf begint als volgt: “Alsb uit a volgt, dan is daar een groot, moeilijk bewijs voor nodig, maar wij vragen ons af,waarom is daar een groot en moeilijk bewijs voor nodig, als het dan zo onomstotelijkvaststaat waarom volgt het er dan niet omiddellijk uit. Men moet grote en moeilijkebewijzen wantrouwen. De volgende dag met Kamminga besproken. We zaten min ofmeer naast elkaar naar het bord te kijken, waarop ik geschreven had: a = a. En webegrepen: wat een diepte! Maar pas op de weg naar mijn kamer ontdekte ik wat erwas gebeurd. Wat mij nu voor ogen staat is: laten zien dat alle bewijzen zijn terug tebrengen tot a = a. De kern van elk bewijs is de identiteit.”

13. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §06 (p. 06). Krol haalt hier enkel en alleen een citaat aanvan Gauss, aansluitend bij §05; de integrale tekst van deze paragraaf luidt: “ ‘. . . waarbijmaandenlange overpeinzingen nodig zijn om met een gerust geweten een regel te kunnenschrijven.’ Gauss.”

14. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §07 (p. 14-15). “De wiskunde is een taal. Het beschrijftals alle talen de dingen om ons heen maar het is van alle talen de helderste en deduidelijkste. Wat niet duidelijk is moet getransformeerd worden. Waar het verhaal doorzijn discipline zich aan het begrip van de lezer onttrekt gaat men over op een anderediscipline. Niets mag onder de oppervlakte verdwijnen. Het gaat om het verhaal, hetgaat om de wereld die er door beschreven wordt. Het gaat er om te zien hoe de enewereld op de andere wordt afgebeeld, hoe een wereld op zich zelf kan worden afgebeeld,hoe met het ene te zeggen het andere wordt bedoeld.”

Deze gedachten zijn cruciaal voor de roman. Krol gaat in deze paragraaf verder door delogische implicatie te beschrijven, a → b, vaak gebruikt in de wiskunde: als a waar is, isb noodzakelijk ook waar. Logisch kun je a → b herschrijven tot ¬(a&¬b). Krol merktop dat buiten de wiskunde de implicatie onbruikbaar is; om redenen van symmetrie voerthij, als van toepassing op de wereld, de afbeelding in: a ( b. Het is deze afbeeldingdie volgens Krol zelf, het centrale thema van de roman vormt; zie ook puntje 7. Merkop dat je a ( b kunt herschrijven als a&¬b; of nog: “De relaties → en ( zijn mekaarscomplement”(p. 15).

15. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §08 (p. 16); cursivering in origineel. De integrale tekstluidt: “van de boekenplank. De psychologie van het liegen. Prof. Dr J. de X.Waarom liegt een mens? Ik ben er niet wijzer van geworden, ik had het kunnen weten.Wat ik nodig heb is: een mathematica van het liegen.”

Waarmee Krol duidelijk maakt dat psychologie hem niet kan bekoren; hij wil een ‘ma-thematica van het liegen’; een exacte psychologie die hem nooit in de steek laat, of nog:een psychologie waar een regel van de vorm a → b altijd geldt, en niet ‘slechts’ in zeervele of de meeste gevallen.

16. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §09 (p. 16); cursivering in origineel. Integrale inhoud:“Het is alweer vier jaar geleden. Dinsdagmorgen, half tien. Professor R. heeft juist eenbewijs voltooid, hij heeft laten zien: a → b. Het hele bord is volgeschreven en hij staatterzijde, het gezicht naar ons gericht en hij hipt op zijn tenen van genoegen. ‘Dat was eenbewijs op het nippertje’ zegt hij. Dat gevoel had ik ook, maar ik kon zijn enthousiasmeniet delen. Ik vond het helemaal geen bewijs . Wat ik wilde zien was een bewijs dat


door dik en dun ging en mij in een keer, als het ware machinaal, liet zien dat a b totgevolg had.

Nu weet ik dat dit onmogelijk is. Elk bewijs kan door een machine geleverd worden. Demachine bewijst zelfs dingen die niet kunnen, die onmogelijk zijn. De machine bewijstons dat (a + b)2 = a2 + b2. Dat is fout, maar dit is alleen fout als we denken dat a enb getallen zijn. Als a en b vectoren zijn die loodrecht op elkaar staan, vinden we destelling van Pythagoras beschreven. Bij elke formule is een afbeelding te vinden in dewerkelijkheid die deze formule waar maakt. De waarheid van een stelling bewijzen wealleen met behulp van de aanschouwelijkheid. En nu begrijp ik ook de geestdrift vanProf. R. Het machinale bewijs dat mij voor ogen stond, toen, is een onding. Het heeftgeen inhoud, het heeft per definitie geen inhoud, het kan dus niet begrepen worden.”

Vooral de zinsnede ‘Bij elke formule is een afbeelding te vinden in de werkelijkheid diedeze formule waar maakt’ blijft hangen: voor de eerste keer verwijst Krol in deze romannaar het feit dat de wiskundige wereld waar is (a), terwijl ‘de werkelijkheid’ (=wat wij alsmensen waarnemen; nog beter: onze beschrijving van de wereld) niet waar is (¬b) omdathet een onvolkomen afspiegeling is van de wiskundige wereld. Samengevat: a&¬b; ofnog: a ( b. Krol plaatst de wiskunde zo op een onmogelijk te bereiken, onwankelbaretroon.

Zie ook puntje 3 voor de formule (a + b)2 = a2 + b2.

17. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §10 (p. 16-17). Krol vertelt dat hij jeugdwerk toch maarniets vindt. “Dan zie ik toch liever een stuk theologie behandeld, of de kegelsneden. Inbeide gevallen gaat het om iets oneindigs en dat is nodig.”Dan heeft Krol het overhet geloof, en besluit hij als volgt: “Het evangelie. Een vreemde zekerheid, als ik dievergelijk met de zekerheid die de wiskunde mij geeft. De wiskunde is een voortdurendebron van vragen en ontkenningen. Wie spreekt van de ‘wiskundige zekerheid’, heeftvan de wiskunde niets begrepen. De wiskunde is een zaak van formules, van lettersen indices en elke formule, elke letter, elke index is voor mij een vraag, een prikkel totmaandenlange studie. Het Nieuwe Testament daarentegen bevat voor mij geen enkelevraag. De armoe van mijn geest?”

18. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §11 (p. 18-19). Krol beschrijft de kerk van over honderdjaar (p. 18): “Over 100 jaar rekent de kerk tot zich te behoren: alle mensen van de helewereld, of ze willen of niet. Want er is geen reden waarom, ten aanzien van het heil, deene mens zich zou onderscheiden van de andere. Dit is het postulaat van de kerk over100 jaar: dat alle mensen zullen worden beloond. Het zal bewijzen uitgeven aan iederdie er om vraagt en die er niet om vraagt wordt ook zo’n bewijs toegestuurd, het bewijsdat hij bestaat. Dit is het eerste teken. Het tweede daaraan tegengesteld is: er zijn geentwee mensen aan elkaar gelijk.”

Ook de kerk bedient zich dan dus van mathematische concepten.

19. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §13 (p. 19-20); cursivering in origineel. “Het is mijnliefhebberij verbanden te vinden in gebieden die tevoren onverbonden waren. Zo was ikverrast te lezen in Scientific American dat de volgende zaken: de vorm der spiraalnevels,de wijze waarop de pitten in een zonnebloem zitten gerangschikt en de bochten die jemet tikkertje maakt — dat deze drie verschijnselen alle hun uitdrukking vinden in de


formule r = eφ cotgα, dat is de logarithmische spiraal waarmee ook de uitdijıng [sic] vanhet heelal beschreven wordt.”(p. 20)

20. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §15 (p. 21-23). De paragraaf begint met de beschrijvingvan een mooie dag: “Zaterdag. Ach, hoe men toch door de duisternis heen weer tot hetlicht komt. De hele middag zitten rekenen en zie, het is aangetoond: de drie punten A,B en C liggen op een lijn. Ik was er dermate mee in mijn nopjes, dat ik de straat opben gegaan, de wind waaide en ik was weer een vrij mens. Boekenwinkel ingegaan, eenila, meer om het meisje dan om de boeken. Wat zag ze d’r weer leuk uit, pony overhet voorhoofd, en die grote blauwe ogen. . . ”

Verderop in deze paragraaf stelt Krol zich de vraag hoe zijn buurmeisje, die een abortusachter de rug heeft, ooit nog kan lachen. Ook hier weer bedient Krol zich van een wis-kundige gedachtengang: hij bewijst hoe dat komt: “Ik heb eens een verhaal geschreven,dat de omvang had van een roman, maar het was geen roman, het was een gedachte, 240bladzijden lang, het was een bewijs. [. . . ] Dit was de opgave die ik wilde oplossen: hoekan zo’n meisje nog lachen.” In dat verhaal wordt het meisje publiekelijk ten schandegemaakt. “Einde. Het bewijs was geleverd, het kwade was openbaar en wat openbaaris is goed.” Erg opvallend in deze passage zijn de wiskundige termen die Krol gebruikt:bewijs, opgave, ‘Het bewijs was geleverd’, haast hetzelfde als qed.

21. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §17 (p. 24-25). “Dinsdag, 17.15 uur. Een lijst gemaaktvan de meisjes en de voorkeuren die zij genieten bij evenzovele mannen van de afdeling,de mate waarin (van 0 tot 100%) een man met haar gelukkig zou zijn. Dit heb ikuitgezet in een vierkant, zoals de afstanden van de Europese hoofdsteden tegen elkaarkunnen worden uitgezet, in elke zakagenda te vinden. Het probleem luidt: hoe moeten demannen deze meisjes onder elkaar verdelen zodanig dat de som van hun geluk maximaalis. Ik had dit model al een paar dagen in mijn la liggen, ik had al een verdeling gevonden— ik Evelyn enzovoort — toen mij terwijl ik bezig was met de Chebyshewpolynomen in18 decimalen, plotseling te binnen schoot dat de verdeling der meisjes niet noodzakelijkeen gehele hoefde te zijn.

Als een idioot de getallen geponst, naar de machine, het probleem ingevoerd en eenminuut later lag het er alweer uit, met de oplossing: voor iedere man een (geheel)meisje. Hoe bestaat het. Zonder overspel, dan is de wereld op z’n best.

Wat mij bovendien verbaasde was dat ik Agnes kreeg en niet Evelyn. Evelyn, met haarfiguur, was voor Bosma, die slechts voor 25% met haar tevreden kon zijn, maar die alleandere vrouwtjes een nul gegeven had en ik kreeg dus Agnes, als een kaartje dat dooreen machine, waarop je je laat wegen, wordt uitgeworpen en dat behalve je gewichtje toekomst geeft. Zo zit ik nu met de uitkomsten van mijn koppelingsprobleem en ikgeloof er in.”

Krol past een wiskundige denkwijze andermaal toe op een probleem dat gevoelsmatiggezien helemaal niet wiskundig oplosbaar lijkt. Toch schijnt hij te geloven in het gelijkvan zijn methode. Merk ook de utilitaristische denkwijze op, die hij nergens in vraagstelt.

22. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §19 (p. 26-27). Krol beschrijft zijn wedervaren in 1959.Elsevier publiceert een verhaal van hem, maar Krol zelf kan enkel aan meisjes denken. Hijwordt aangenomen bij Shell. “Ik haalde boeken en ik ben nog een week naar Gottingen


geweest.”Gottingen is een belangrijke stad in het werk van Krol, en wel omdat er heelwat wiskundigen in deze stad geleefd en gewerkt hebben (zie ook de puntjes 34; 47; 50;75; 137; 301; 309 en 332 tot en met 339).

Deze paragraaf eindigt met een stuk dat typerend is voor de filosofie die achter Hetgemillimeterde hoofd schuilt: “Mijn verhalen en alles wat ik geschreven had heb ikvernietigd [. . . ]. Het was mij allemaal te eenvoudig geworden. ‘Maan’ betekende maan,en ‘haar’ haar, ik wierp mij opnieuw op de wiskunde en wat ik daarin aantrof, miste ikin mijn werk, en in bijna elke literatuur: de meerduidigheid van het woord.”

23. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §22 (p. 28-29). Krol haalt een citaat van Gauss aan,waarin Gauss vertelt over een experiment dat hij hield met zijn heliotropen op de In-selberg. Doorheen de nevel aanzagen Encke en anderen het licht van de heliotropenverkeerdelijk voor een bosbrand.

Verder beschrijft Krol hoe hij zijn dagje niet heeft en naar het Mathematisch Centrum isgeweest, “uit gewoonte bijna.”Hij bladert doelloos door de boeken “maar ik vind altijdtoch weer een gedachte, een idee dat mij treft, een formule die ik per ongeluk verkeerdbegrijp - daarmee bedoel ik dat ik aan zo’n formule betekenissen toeken die ten opzichtevan de tekst misschien onjuist zijn, maar die tekst lees ik niet en ik geef zo’n formule eenbetekenis die nieuw is. Wat heb ik eraan na te gaan wat een ander al heeft uitgedacht,dat is dubbel werk. (Ik zou het zonlicht op de Inselberg inderdaad de betekenis van eenbrand moeten geven, het was een brand).”

24. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §23 (p. 29-30). Krol analyseert hoe kinderen (en bijuitbreiding alle mensen) de betekenis van nieuwe woorden leren. Men hoort een woordvoor het eerst in een bepaalde context; het woord kan nu nog op vele zaken duiden.Naarmate je een woord meer om meer hoort, in telkens verschillende contexten, wordtde mogelijke betekenis van het woord steeds verder beperkt. Krol trekt een parallelmet de verzamelingenleer: er komen telkens verzamelingen bij, en de betekenis van hetwoord is de doosnede van al die verzamelingen. Hij illustreert dit zelfs met een tekening.“Niettemin is het mogelijk dat op een zekere dag een sterke uitspraak de betekenisvan een bepaald woord geheel op losse schroeven zet - maar dan moet het een sterkeuitspraak zijn, een uitspraak die zich niets aantrekt van andere uitspraken.”Ook hierverduidelijkt Krol weer zijn punt aan de hand van een tekening: naast de vorige groepelkaar overlappende verzamelingen, is er een losstaande verzameling. “De doorsnedeis dan nul. Er is geen ding, geen voorwerp dat tegelijk door alle uitspraken gedektwordt. De uitspraken zijn strijdig. Maar zo goed als in de meetkunde twee cirkels diein het reele vlak geheel buiten elkaar liggen toch, altijd, twee imaginaire punten gemeenhebben, de isotrope punten (87) [zie mijn puntje 61, SC], zo kunnen juist met elkaarstrijdige uitspraken een beschrijving geven van een verschijnsel dat niet van deze wereldis, dat wij niet kennen en nooit zullen kennen.”Krol heeft hiermee een nogal gevaarlijkeparallel getrokken tussen een meetkundig feit en een uitspraak over de menselijke taal.Hij geeft hiervoor het voorbeeld van de woorden ‘eindig’ en ‘begrensd’, volgens Krol totin de jaren 1920 synoniemen. Maar sinds we kunnen zeggen dat ‘het heelal eindig enonbegrensd’ is, gaat deze synonimiteit niet meer op.

25. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §25 (p. 31-32). Krol beschrijft hoe een computerwerkt. Nadien bekijkt hij hoe de menselijke geest werkt. Hij besluit (p. 32): “Meeren meer oefent zich de mens in het inhoudloos [sic] denken. Zoals in de middeleeuwen


studenten zich oefenden in het rekenen, zo worden ze vandaag opgeleid in de leer derverzamelingen. Ze maken zich vertrouwd met de groepentheorie en denken in ringen,disciplines en idealen. Over 50 jaar is dit leerstof voor de eerste klas van de hbs, over100 jaar zal het op de lagere school de tafels van vermenigvuldiging van het lesroosterhebben verdrongen.”

26. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §26 (p. 32); cursiveringen in origineel. Een mooiemetafoor; de integrale inhoud luidt: “De wiskunde kent twee soorten uitspraken; (a)definities, (b) stellingen. Door definities blaast het gebied van de wiskunde zich op,door de stellingen krimpt het weer in elkaar, want wat gebeurt er. Men definieert debegrippen door de eigenschappen te noemen waar deze begrippen aan voldoen. Zo wordteen lichaam gedefinieerd, een ring, een ideaal. De stelling is ervoor om te laten zien datverschillende regels hetzelfde begrip definieren. Een stelling ruimt op.”

27. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §27 (p. 33-34). “In de Tolstraat staat een bibliotheekvan geheime werken, getallenleer.”Maar toch vindt Krol in deze bibliotheek niet wat hijzoekt.

28. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §28 (p. 34). “Naar Marie geweest. Haar de vierkants-vergelijkingen uitgelegd, wat zeer interessant is en ik merk met de jaren: hoe minderwoorden ik gebruik om iets uit te leggen, des te sneller heeft de ander het begrepen, metmoet alleen het juiste woord kiezen.”

29. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §29 (p. 35-37). Krol is op een zaterdag op wandeling,zijn verrekijker bij de hand. “Ik kijk uit over het water en probeer aan de hand van detorens van Amsterdam, Pampus en de zonnestand uit te rekenen waar mijn geboortestadligt. Hoe nauwkeurig moet mijn berekening zijn wil ik met mijn blik de Martinitorentreffen.”(p. 35)

Verder in deze paragraaf fantaseert Krol over de toekomst en over het verleden. Hijstelt zich voor dat hij rond het jaar duizend zou geleefd hebben; dan “was ik met dekruisvaarders mee naar het Heilige Land getrokken en in m’n eentje naar Alexandrie omte horen en te zien dat de menigvuldigheid van de sterren, van de zandkorrels aan dezee kan worden geteld op de vingers van een [sic] hand, om het rekenen te leren en ikwas stadsrekenaar geworden in Hassi R’Moud.”(p. 36).

30. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §30 (p. 37). Deze tamelijk korte paragraaf eindigt metdit stukje: “0.30 uur. Gelezen: opstellen van Kurt Godel. Alles kunnen we gebruiken.Elke stelling brengt uitspraken voort waarvan op grond van deze stelling niet kan wordenbeslist of ze waar zijn of niet. Elke stelling heeft een gat. Het is zijn kern. Weer eenonderwerp voor dissertatie.”

31. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §33 (p. 39-42).

“Zaterdagmiddag. De stelling van Pappos gebruikt een figuur die uit 9 punten bestaaten 9 lijnen zodanig dat door elk punt 3 lijnen gaan en op elke lijn 3 punten liggen: de93 configuratie. Als men de figuur tekent ontdekt men de stelling vanzelf: de laatstelijn (p) moet door de drie punten gaan (fig. 4) [zie mijn figuur A.1, SC]. Daarnaastis er de stelling van Desargues, die de 103 configuratie gebruikt: 10 lijnen, 10 puntenzodanig dat door elk punt 3 lijnen gaan en op elke lijn 3 punten liggen. Ook hier wijst


de weg zich vanzelf. Wat is nu het verschil tussen deze beide figuren? En wat is deovereenkomst? (Zie het raadsel van Brigitte Bardot in 13.)”

Deze vraag is uiteraard heel technisch, maar de details doen er niet echt toe. Watvooral van belang is, is dat Krol het vraagstuk oplost door de 93 configuratie zodanigte bekijken, dat de configuratie sterk versimpeld wordt: “Als ik deze nieuwe figuur numet mijn andere oog, O2, bekijk zodanig dat 3 paren punten samenvallen (fig. 7), danvallen ook 3 paren lijnen samen”(p. 41). Opnieuw wil Krol hiermee eigenlijk eerderiets filosofisch aantonen: er zijn verschillende manieren om dezelfde werkelijkheid teaanschouwen. Elke specifieke situatie vraagt om een bepaalde aanschouwingswijze omeen probleem op de simpelste manier op te lossen. Om de stellingen van Pappos ofDesargues zelf te begrijpen, bekijken we de situatie best vanuit de ‘klassieke’ meetkunde.Willen we het verband tussen de twee stellingen onderling aantonen, dan kijken we bestop een heel andere manier naar de situatie.

Figuur A.1: Van links naar rechts: figuren 4, 5, 7 (allen §33) en 10 (§34). Overgenomen uitKrol (1967), p. 40, 42 en 43.

32. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §34 (p. 43-44). Krol heeft het hier over de tekening vaneen kubus die Escher gemaakt heeft (figuur 10 bij Krol; zie mijn figuur A.1). Zoals zovaak bij Escher, is de kubus zo geconstrueerd dat de kruisingen van de ribben onmogelijkkunnen kloppen. Krol merkt op dat de kubus “tegelijk van rechtsboven en van linksonder[wordt] bekeken, voorkant en achterkant in een oogopslag. Men stelle zich die beide ogenvoor. Dat moet een oneindig groot wezen zijn. We brengen nu die ogen bij elkaar door deene helft van het heelal een slag te draaien, dan zien die ogen, nu naast elkaar geplaatst,hetzelfde. We kunnen ook de andere helft een slag draaien, het blijft een afbeelding vantwee werelden waarvan eerst de ene en dan de andere bekeken moeten worden. Maarwaar die werelden aan elkaar zitten gaan ze (die halve draai) door het oneindige.”

Niet alleen koppelt Krol hier het wiskundige concept oneindigheid aan Eschers tekeningen- wat een vrij originele, en in elk geval typisch wiskundige, manier van kijken is - ookde manier waarop hij het formuleert, komt haast weggelopen uit een cursus wiskunde.‘Men stelle zich die beide ogen voor’ zou vormelijk perfect kunnen voorkomen als eerstezin van een wiskundig bewijs (let bijvoorbeeld op het gebruik van de aanvoegende wijs!).‘Dat moet een oneindig groot wezen zijn’ is dan een eerste conclusie, waar je in de restvan het bewijs kunt (en zal) op terugbogen. Ter afsluiting van de paragraaf zou eenqed dan ook helemaal niet misstaan. De werkelijk interessante vraag is nu of Krol zicheigenlijk wel bewust is van deze schrijfstijl en hem hier met opzet toepast, of of hij haast‘uit gewoonte’ deze manier van schrijven aanhoudt.


33. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §35 (p. 44-47). Deze paragraaf is een technisch stukdat handelt over projectieve meetkunde. Ook hier vergelijkt Krol weer technische feitenmet menselijke waarneming: “De figuur die O ziet, de lijn A0B0, is een projectie van dewerkelijke figuur. Bijna alles wat de mens ziet is een projectie. Hij moet twee plaatsen in-nemen om te zien hoe de werkelijkheid is. Hij heeft twee ogen maar slechts een gedachte,daarom is deze oefening met de samenvallende lijnen nuttig.”(p. 46). Krol vervolgt doorte zeggen dat hij ooit het omgekeerde willen bewerkstelligen heeft: menselijke waarne-ming nemen als basis voor wiskundige axiomatiek: “Zo heb ik geprobeerd de projectievemeetkunde en in het bijzonder de axiomatiek daarvan te bedrijven met figuren die bijnageheel uit samenvallende punten en lijnen bestonden. Ik heb collineariteit [sic] (het lig-gen van punten op een lijn) willen definieren met betrekking tot een [sic] punt: vanuiteen zeker punt bekeken zijn wel eens punten collineair [sic] die in werkelijkheid drie lijnennodig hebben om met elkaar verbonden te worden. [. . . ] Zo wilde ik een meetkundeinvoeren met een middelpunt, het oog.”(p. 46; cursivering in origineel.) Spijtig genoegheeft Krol niet volgehouden: “Ik had het plan de hele projectieve meetkunde in dezegemechaniseerde trant voort te zetten, ik ben ook een heel eind gekomen, maar het konmijn aandacht toch niet blijven boeien. De papieren liggen aan de Korreweg, in eenkast achter de keuken. Als ik iemand er een plezier mee kan doen, dan moet hij hetzeggen.”(p. 47).

34. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §36 (p. 47). “14 augustus 1957. Gottingen. 158 jaarnadat de tweeentwintigjarige Gauss met zijn vriend Bolyai op de stadswallen liep, en zijnplannen besprak, zijn plannen met de wereld - zoveel jaar daarna sta ik met Jan Zijlemaop dezelfde stadswal, uit te kijken op een Coca Cola bottelinrichting en wij spreken overhetzelfde als waar Gauss en Bolyai toen over gesproken hebben, de constructie van deregelmatige zeventienhoek en het vijfde postulaat van Euclides, dit wil zeggen Zijlema.Het is Zijlema die aan het woord is. Ik sta met de duimen in het vest naar de grond tekijken, luister, begrijp. Ik ben Gauss.” Enkele uren later elders (cursivering in origineel):“Ik ben verdiept in de Disquistitiones Arithmeticae.”

Opnieuw speelt de stad Gottingen een belangrijke rol. Ook speelt Krol hier met taal:de zinsnede dit wil zeggen Zijlema is men grammaticaal eerder geneigd te koppelen aanEuclides dan aan het werkwoord spreken. Waarmee we opnieuw bij de meerduidigheidvan het woord aanbeland zijn.

35. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §37 (p. 47-48). “De schaamte van de lezer /= deschaamte van de schrijver” (p. 48). Het gebruik van het symbool /= in plaats van voluitte schrijven ‘is niet’, is nogal opvallend.

36. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §38 (p. 48-49). “‘Liefde’ zei vanavond Marie tegen mij,‘is eenvoudig twee huiden tegen elkaar’ ” (p. 48). Over deze uitspraak zegt Krol ietsverderop: “De stelling had van mij kunnen zijn. [. . . ] en er is slechts een lichaam dataan hun samenzijn deelneemt: de ruimte tussen hen in. Of, waar deze ruimte nul is,het gebied waar ze elkaar raken, dus het lichaam dat zij gemeen hebben - daar begintde liefde. Zo heb ik het, toen ik naar huis ging, bedacht: dat de liefde datgene is wattwee mensen gemeen hebben, het gebied waarvan de objectieve waarnemer niet meerkan zeggen of het behoort tot het ene of tot het andere lichaam.” (p. 48-49) Ook hierneemt Krol weer een erg wiskundige schrijfstijl aan: waar deze ruimte nul is; maar ookverderop geeft hij een haast wiskundige definitie van wat liefde dan wel is.


Hoewel. Aan het einde van deze paragraaf houdt Krol de erg wiskundige stijl wel aan(hij spreekt daar over twee geliefden als over “mens A” en “vrouw B”), maar rondtaf met: “[. . . ] een vrouw B die hem [=mens A, SC] gadeslaat hem ziet als . . . A, endat verschijnsel, dat twee wezens elkaar in de gaten krijgen, dat noem ik liefde en danzijn de huiden allang tegen elkaar. Al lang.” (p. 49) Enerzijds schijnt Krol hiermee tewillen aantonen dat zijn (en bij uitbreiding ‘om het even welke’) ‘wiskundige definitie’voor het begrip liefde niet werkt; anderzijds, een beetje paradoxaal, toont hij dit juist opwiskundige manier aan!

37. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §39 (p. 50); cursivering in origineel. Deze paragraafbegint met een beschouwing over getallen: “In het begin was het woord. ‘In het beginwas het getal’ zegt Pythagoras. Het getal is het enige op de wereld dat niet kan wordenmisverstaan. De wijze waarop men het aanduidt is namelijk de betekenis zelf en daarom,als men rekent, kan men rustig de getallen onder elkaar zetten, afzien van elke betekenis,men gaat geheel automatisch te werk: iedereen krijgt dezelfde uitkomst. ‘2’ betekent 2en ‘5’ 5. Dat kan in de machine gestopt worden, misverstanden zijn uitgesloten. Maarde taal, zodra de taal de machine in gaat zijn er lijsten nodig. ‘x’ betekent paard en ‘y’neus.”

Krol vervolgt: “De mens is een machine. Elke mens is een machine en er zijn geentwee gelijk. Maar het kan zijn dat ze gelijk zijn over een bepaald interval, een bepaaldetekst dezelfde betekenis geven.” Erg origineel: Krol past het wiskundige concept ‘gelijkzijn over een bepaald interval’ toe op mensen in plaats van op functies, en het werkt:de betekenis is ons meteen duidelijk. Helemaal op het einde van de paragraaf lezen weoverigens nog: “de inhoud = de vorm”, alweer een ongewoon gebruik van een wiskundigsymbool in een leestekst.

38. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §40 (p. 50-51); cursivering in origineel. De integraletekst luidt: “‘The primery revelations of the creed are veiled in the Dutch language.German and English expositions are available; but it is said by converts with expertknowledge in both the languages and the mathematics that only those who can think inDutch can grasp the finer shades of meaning. . . ’ Bell (The development of mathematics)over Brouwers Intuıtionisme.”

39. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §41 (p. 51). “Het woord ordent. Er is niets anders inde wereld dat ordent. Wanneer, door aanschouwing, ons twee voorwerpen gegeven zijndie een eigenschap gemeen hebben, zijn wij geneigd deze voorwerpen op grond van dezeeigenschap samen te nemen. Zij gaan een verzameling vormen, waartoe alle voorwerpenbehoren die genoemde eigenschap bezitten. En wanneer wij over deze verzameling eenoordeel uitspreken, dan geldt dit oordeel intussen voor elk voorwerp daaruit afzonderlijk- dit vergroot onze zeggingskracht.” De verwijzingen naar de verzamelingenleer liggenvoor de hand. Verder verwijst Krol ook naar de predikatenlogica door op het eindeeigenlijk hetvolgende te stellen: (∀x)Ax ⇒ Bx .

40. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §46 (p. 57-60). “Vraag. Zou ik Marie, haar gezichtje,zo kunnen beschrijven dat de lezer haar op straat zou herkennen? [. . . ] Ik zou kunnenzeggen dat Marie een Italiaanse was, donker, zwarte krullen, bleke gelaatskleur, een groteneus, hoge schouders, met de heupen naar voren als ze loopt, net als een mannequin. . .Dat is een beschrijving, dat zijn een aantal eigenschappen maar er zijn honderden meisjesmet deze eigenschappen.” (p. 59)


41. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §47 (p. 60-61). Krol ergert zich aan een schrijver dieover ‘het mens-zijn’ geschreven heeft. “Het moest verboden zijn zulke boeken te drukken.Een mens = een dier + het woord. Waarom dan niet over het woord geschreven.”Verderop heeft hij het over chauvinisme en zegt daarover: “Dit is een verschijnsel, dat ikmet behulp van de leer der verzamelingen nog eens heel precies zal beschrijven. Ik keneen tamelijk domme jongen die in de krant had gelezen, dat het i.q. van de gemiddeldeGereformeerde hoger lag dan het i.q. van de gemiddelde Roomskatholiek. Deze jongenis Gereformeerd en zijn conclusie was: ik ben intelligenter dan elke Katholiek.” Wat eenklassieke logische denkfout is.

42. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §48 (p. 61-65). “Over het harmonisch spiegelbeeld.”Dit stuk is zeer technisch, en handelt over punten, lijnen, cirkels en hun onderlingeverhoudingen. Krol verduidelijkt dit alles uitvoerig met tekeningen. In dit expose moetKrol enige begrippen definieren, bijvoorbeeld “poollijn” (p. 61). Maar Krol gaat dezebegrippen steeds dichter tegen de menselijke leefwereld aansturen: “De cirkelomtrek is dehuid” (p. 62; mijn cursivering); nog begrijpelijk. Maar dan volgt: “Een gedeelte van dehuid dat zowel voorwerp als beeld is, is een zintuig” (p. 62-63); “Het zintuig Z zorgt voorde afbeelding van C en c: Z neemt C waar” en “Twee zintuigen die elkaar waarnemenvormen een liefde” (p. 63; mijn cursiveringen). “Het gedeelte van het lichaam dat zowelbeeld als voorstelling kan zijn, is de geest” (p. 64; mijn cursivering).

43. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §49 (p. 65). De integrale tekst luidt: “De machine ende taal. De machine beneden heeft 32 instructies die aangegeven worden met een getaldat ligt tussen 0 tot en met 31. 16 is optellen, 17 aftrekken, 25 vermenigvuldigen, 1, 3, 5en 7 besturen de tabellering, 4 de schrijfmachine, 28 de magnetische banden, enzovoort.Er zijn twee instructies, 0 en 8, die geen werk hebben. Dat zijn dummies. Hun snoertjeszijn samengebonden - ze hebben geen betekenis. Agnes vertrokken.”

44. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §50 (p. 65-67). Voor het eerst loopt Krol door Londen.Hij is zwaar onder de indruk: “je denkt dat je een film ziet en met het linkse verkeer ishet een film die achteruit draait.” (p. 65-66).

Verderop in deze paragraaf vermeldt Krol een aantal keer enkele wiskundige bewerkingendie hij moet toepassen: “Bosma [. . . ] noemt getallen die ik opschrijf. Als ik ze allemaalheb, kan ik beginnen te rekenen, te vermenigvuldigen en te rekenen.” (p. 66); en verderop:“Dan: terug naar de conferentiekamer, waar Bosma op zijn knieen op de grond mij decijfers dicteert, waarop een matrixvermenigvuldiging volgt.” (p. 67).

45. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §51 (p. 67-70). Een technische paragraaf die voorname-lijk handelt over snijpunten. Vooral het verschil tussen de werkelijke wereld en een haastplatonische wiskunde-gedachten-wereld staat hierbij centraal. Zo toont Krol (in figuur25) twee niet-snijdende cirkels, en heeft het vervolgens over de (imaginaire) snijpuntenvan deze cirkels. Hij zegt daarover: “We hebben onze zichtbare wereld, met zijn gaten,afgebeeld op een wereld zonder gat, een formele wereld waarin alles bestaat [. . . ]” (p.69). De laatste alinea van deze paragraaf begint met de zin “De dingen hebben hunverband.” Men denkt dan nog steeds aan de wiskunde waar Krol het net over had, en isdus enigzins verrast door het vervolg en slot van de alinea: “Mijn leven op deze kamer enhet leven van Evelyn op haar kamer, onze levens hebben zeker een verband met elkaar.Wat dat is, niemand weet ’t, maar het heeft met elkaar te maken. Ergens, in een andere


wereld, ligt het verband voor het grijpen en er moet zelfs een wereld wezen waar zij enik precies dezelfde persoon zijn.” Met die laatste zin zijn we niet alleen terug bij eenplatonische wiskundewereld, maar ook bij snijpunten!

46. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §54 (p. 74-76). Krol, die het Fries enkel als gesproken(en niet als geschreven) taal kent, bladert in een Friese spraakkunst. “Het is een ge-beurtenis. Ik leer opnieuw lezen en taal. Het Fries is voor mij tot nu toe een gesprokentaal geweest, klank + betekenis. Ten opzichte van het Fries ben ik een analfabeet.” (p.74). Enerzijds is er het opvallende plus-teken; anderzijds is Krols conclusie het gevolgvan een te ver doorgedreven logica.

47. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §57 (p. 80-82). Krol vertelt over zijn besluit om, opiets oudere leeftijd, een universitaire studie wiskunde aan te vatten. “Ik zocht zelf mijncolleges uit, differentiaalmeetkunde, functietheorie, las de Grote Werken, dag en nacht.Ik had tegen mijn vrienden en vriendinnen gezegd: ‘kom niet bij mij thuis, daar houik niet van, ik kom ook niet bij jullie,’ volgde axiomatiek en voor het studiejaar omwas stond ik al in de bibliotheek tussen de rekken, op zoek naar een onderwerp voormijn dissertatie. Dit onderwerp wist ik al, dat heb ik verteld: de meerduidigheid vande taal. Ik wilde dit inbouwen in de wiskunde, ik wilde kunnen refereren aan stellingen,zoals dat in proefschriften het geval is. Ik vond niet wat ik zocht, schreef de universiteitte Kiel aan om boeken, om contact te krijgen met professor Lorenzen wiens FormaleLogik ik bestudeerd had en ik ben een paar weken naar Gottingen geweest, ik heb eencomputercursus van de ibm gevolgd (toen ik voor mijn onderzoek de noodzaak inzagvan computers)” (p. 81). Tot Krol zich op een dag realiseert: “je studeert helemaal nietjongen, je zit nu al een jaar in de boeken te lezen, Gauss, Galois, Poncelet, en wat weetje er van, niets. Een vaag gevoel van wat die mensen heeft bewogen, je kunt het nieteens navertellen.Diep ongelukkig keerde ik terug naar mijn kamer.” (p. 81) Krol besluit een poos metzijn handen te gaan werken.

48. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §59 (p. 88-89). Integrale tekst: “Er was eens eenjongen die, voor hij werd geboren, reeds zijn hele leven had overdacht en toen hij op dewereld kwam, kwam hij op de verkeerde. . . deze jongen was Evariste Galois. Hij werd±1810 in Parijs geboren, was op school een ster in wiskunde, maar toen hij naar deuniversiteit wilde, zakte hij voor de toelatingsexamens. Hij volgde colleges, sprak metde hoogleraren, deed even later weer examen, maakte weer een onvoldoende en sprakweer langdurig met de hoogleraren, niet over zijn examens, niet over de wiskunde die hijmoest kennen, maar over de wiskunde die hij in zijn hoofd had en waarover hij niet konzwijgen. De hoogleraren hielden hem toen voor dat hij ‘om zijn studies met vrucht tekunnen voltooien, toch op z’n minst bekend moest zijn met de elementaire begrippen.’Ze kunnen barsten, dacht Evariste, wat zijn hun begrippen vergeleken met de mijne.Hij had geen tijd meer te verliezen. Hij schreef in een nacht alles op wat hij wist, hijschreef tot zonsopgang, sloot het schrift, haastte zich naar het bos waar hij aantradvoor een duel op het pistool. Hij verloor daarbij het leven. Zijn laatste woorden waren(tot zijn broer die hem in de armen hield): ‘Ik ben bezig op eenentwintigjarige leeftijdte sterven.’ Het verzameld werk van Galois beslaat zestig schriftbladzijden, is afgekort,onleesbaar op sommige plaatsen, geeft in een notedop de ontwikkeling van honderd jaaralgebra, bevat gedachten waarop de universiteiten nog steeds niet uitgestudeerd zijn en


vele nieuwe gedachten blijken toch weer in dat schrift te staan, soms slechts met eenletter of een pijl aangeduid. Het boek dat ik nu voor me heb liggen en al die anderealgebraboeken — Galois heeft het die nacht allemaal gezien.”

Het leven van Evariste Galois is inderdaad zeer kort, maar nog veel heftiger geweest —Krol geeft hier echter een prachtige hervertelling weer. Al kloppen de details niet steedsheel er goed: zo is Galois geboren in 1811 en stierf hij zelfs al op twintigjarige leeftijd(zie bijvoorbeeld Clapham & Nicholson (1990, 20094)).

49. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §63 (p. 92-93). Deze paragraaf begint als volgt: “’tVoorwerp vindt zijn afbeelding in onze geest. De verzameling van deze afbeeldingen ishet woord dat dit voorwerp beschrijft.” En eindigt met: “De wereld = mijn voorstelling.Maar waar het woord een verschijnsel beschrijft dat buiten onze voorstelling valt, [. . . ]daar is het woord een formule. De formule beschrijft het onmogelijke. Het woord is eengetal. Het onmogelijke is een zwarte ruimte waarin de formules hangen als microfoons.Elk geluid kan worden ingevuld. Elk getal heeft betekenis. Het gat in onze voorstellingwordt opgevuld door het getal.”

50. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §64 (p. 93-95). Krols hospita vertelt over Shell enPhilips, volgens haar allebei een “groot lichaam” (p. 94). “Lichaam. Ik denk bij eenlichaam aan een ring die onder vermenigvuldiging een groep is. Zo heeft ieder zijn eigenwereld” is Krols reactie in zijn gedachten.

Verderop schrijft hij: “Ik denk na over wat ik zal schrijven. Mijn reizen naar Gottingen enDen Haag.” Hij gaat verder over zijn mogelijke schrijfsels (p. 94-95): “Een verhaal overcomputers. Ik, met mijn exacte natuur, moet goed zijn voor een sience fiction verhaal[sic]. Ik heb hier vaak over nagedacht, computers, robots, ik weet er per slot wel iets van.Maar ik kom nooit verder dan Agnes die met een scheef hoofd haar programmeerpapierafvloeit en zegt: ‘ik geloof dat ik weer vlechtjes wil.’ Elke keer als ik over computerswil schrijven kom ik uit bij Agnes die haar papier afvloeit. Ik heb geen fantasie. Ik heb’s een verhaal willen beschrijven over een parabool. Omdat een parabool de kegelsnedeis die de rechte op oneindig raakt. Hij schiet er niet overheen, want dan zou het eenhyperbool zijn, nee, precies in het oneindige keert hij om en dat zou dan een verhaalmoeten worden, maar het is hiermee al verteld.” Waarmee Krol een zeer belangrijk puntaanhaalt: literaire wiskundige verhalen schrijven is inderdaad zeer moeilijk, en bijna geenenkele auteur is er goed in. Nochtans zal Krol zelf hierin net heel erg groeien doorheen dejaren. Zo is de passage aan het einde van zijn Rondo Veneziano (zie punt 339) heel watmeer dan een (mogelijke) wiskundige bewering ’het eerste (dit wil zeggen, het dichtstliggend bij nul) niet-triviale nulpunt van de zeta-functie dat niet op de as Re(z) = 1

2 ligt,heeft als imaginair deel het getal van Skewes.’

Krol besluit dan ook (ten onrechte): “Ik ben geen kunstenaar. Ik zal het ook nooitworden.” (p. 95).

51. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §66 (p. 96-99). Krol heeft het onder meer over eenkennis van hem, Kamminga. Zonder duidelijke aanleiding zegt hij onder meer over hem:“Kamminga is een krachtmens, zijn zwakte is zijn logica. in de logica overtref ik hemvele malen. Tegelijk weet ik dat het mij eigenlijk geen pas geeft Kamminga, op welkgebied dan ook, te overtreffen. Hij existeert, hij bestaat. Ik besta niet. Mijn kracht isdat ik niet besta.” (p. 99).


52. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §68 (p. 101-103). “Intussen kan ik het grote nieuwsmededelen: ik ga weer college lopen, de beslissing is gevallen. Vanmiddag de eerste lesbijgewoond. Niet in Groningen, maar hier, in Amsterdam.” Iets verderop vertelt Krol:“De permutatiegroep S4 hangt, 24 × 24, bij mij aan de muur. Elk ogenblik ontdek iknieuwe verbanden. Als ik tijd had zou ik ze inlijsten maar ik ben reeds bezig met de S5.120×120 elementen worden morgen door de machine, in kaartvorm in een schoenendoosafgeleverd, wie ter wereld heeft de S5! De colleges van Heyting zijn een belevenis.” (p.101). Heyting is een beroemd wiskundige, onder meer bekend van het intuıtionisme, eenstroming binnen de filosofie van de wiskunde. Krol beschrijft diens lessen en besluit met:“De wiskunde is een methode onze voorstellingen te doen wennen aan het onmogelijkeen daarin te geloven, want het wordt bewezen.” (p. 102; cursivering in origineel).

Verderop schrijft Krol: “Als ik schilder was zou ik een cirkel schilderen met, al zietniemand ze, de isotrope punten erbij. Of ik zou twee samenvallende lijnen tekenen, nietsis makkelijker dan twee samenvallende lijnen. Niets moeilijker dan hun snijpunt, het iseen variabele. Wie heeft ooit een variabele op het doek gekregen?” (p. 102). Alweerkomt hier Krols wens naar boven om wiskunde in kunst te kunnen gieten.

Nog steeds op dezelfde bladzijde heeft hij het over vrouwen en hun eigenschappen.Waarop hij aansluitend opmerkt: “Intussen zit ik ijverig wiskunde te studeren om tot diten andere inzichten te komen.”

53. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §70 (p. 104-106). “Besta ik?” Met die woorden begintKrol paragraaf 70. “De wereld kan worden beschreven zoals men wil. We hebben dewereld (w) en we hebben een beschrijving (b) en de relatie tussen de wereld en dezebeschrijving is de relatie der afbeelding.” Er geldt dus w (b; of nog: w&¬b. Met anderewoorden: de wereld krijgt waarheidswaarde een en de beschrijving ervan, nul. Nu merktKrol op dat de afbeelder a zelf tot de wereld behoort (p. 105). Daardoor krijgt hij ookeen plaats in b. Krol concludeert: “Er blijft geen ruimte over, hij hoort bij die wereld.Hij kan niet terugtreden, want het gaat juist over hemzelf. Hij bestaat.

Tot dit inzicht ben ik gekomen, gisteravond nadat ik van Marie was thuisgekomen. Gis-teravond namelijk heb ik ervaren dat ik, gegeven een bepaald woord, daarover niet denkenkan wat ik wil want die woorden betroffen mij. Marie stond naar me te schreeuwen, ikkreeg geen tijd, ik moest antwoorden. Ik antwoordde, ze gaf me een klap in mijn gezicht,ik gaf haar een klap terug - we hadden ruzie.” (p. 105-106; cursivering in origineel).Conclusie van Krol: “Ik besta” (p. 106). Op mathematische wijze aangetoond.

54. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §71 (p. 106-108). Krol houdt het onderscheid tussende implicatie en de afbeelding nog eens tegen het licht. Merk vooraf nog eens op dateen implicatie A→ a (Krol zelf gebruikt ook dit voorbeeld) steeds waar is in het geval Aonwaar is. Krol geeft daar een originele, erg wereldse betekenis aan (p. 107; cursiveringin origineel): “Als A nu iets beweert omtrent zichzelf wat niet waar is, dan komt datomdat hij zich een voorstelling maakt van wat hij zal zijn (→), of zou moeten zijn, wilzijn”.

55. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §72 (p. 108-112). Krol tracht op een formeel logischewijze het begrip humor te beschrijven. Stel dat A en A′ twee tegengestelden zijn;bijvoorbeeld: ‘de keizer loopt door de straat’ en ‘de keizer valt over een bananenschil’.Als er nu gold dat A a impliceerde (dus A→ a), dan is A′ ( a volgens Krol humor.


56. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §73 (p. 112-114). Krol vertelt over zijn verhouding metMarie, waar blijkbaar iets is foutgelopen. Krol beklaagt zich dat hij haar nooit meer overzichzelf heeft verteld. Deze paragraaf eindigt met deze alinea: “(Wat ook een idioterieom elke keer weer een collegekaart te kopen, naar de Roeterstraat [sic] te fietsen en dezaterdagmiddag sommen zitten maken, het heeft geen einde. Het heeft ook nergens eenbegin gehad: ik kom er niet achter wat ik aan het doen ben. Van de hele wiskundeweet ik geen flikker af. Het enige wat ik na al die jaren van studie heb verworven isenig inzicht in de stelling van Desargues [zie puntje 31, SC], in de bewijzen ervan ende zekerheid dat ik, wil ik mijn studie naar eer en geweten uitvoeren, nooit verder zalkomen dan deze stelling van Desargues.)” (p. 113-114).

57. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §74 (p. 114-120). Krol beschrijft dat hij als kleinejongen enige uitvindingen had gedaan. “Zo had ik een instrument geconstrueerd dat ik‘afstandsuitrekenaar’ noemde: een gradenboog met een sinustabel, met behulp waarvanik onmiddellijk de afstand tot een door mij beschouwd voorwerp kon bepalen.” Maar:“Al deze uitvindingen bestonden slechts op papier. Zo vond ik ook nog, nadat ik ergenshad gelezen dat de constructie ervan onmogelijk was, de trisectie van een hoek” (p. 114)

In 1946 onderzoekt Krol een mogelijkheid om onzichtbaar te worden. Hij koopt daar-voor een natuurkundeboek om “de aard van het licht te gaan onderzoeken”. “Ik begonwiskundeboeken in huis te halen, om de formules te kunnen begrijpen, om nieuwe for-mules te vinden. Ik ging naar de stadsbibliotheek, kwam terug met een boek over deinvariantentheorie van Cayley en Sylvester omdat deze, zo had ik gelezen, de aanloopvormt tot Einsteins relativiteitstheorie. Ik zag in dat deze zich niet laat begrijpen, zoalszo vaak getracht wordt, met zich op rijdende treinen bevindende en horloges in de handhebbende waarnemers, maar slechts door formules. Ik las alleen de formules. Ik las nieteens wat ze betekenden. (De Engelse tekst kon ik niet lezen). Het was een lichtblauwboekje, uitgegeven bij de Cambridge University Press. Mijn vader liet het op een avondaan de hele visite zien. Ik moest erbij komen, keerde later terug naar de achterkamer enbleef daar, verdiept in mijn studie, letten op wat er over mij gezegd werd. ’Die jongen,’zei mijn vader, ‘heeft een idee voor wiskunde, dat is geweldig.’ Ik was toen twaalf jaar.”(p. 115).

Een klein detail dat een grote liefde en kennis voor wiskunde verraadt, is de volgendezin (Krols vader heeft een brief ontvangen die hem niet bevalt): “Hij scheurde het metop elkaar geperste lippen in 64 stukjes en liet de snippers in de prullenmand vallen.”(p. 117-118) Elke andere schrijver zou hier een spreekwoordelijke ‘honderd’ of ‘duizend’stukjes gebruiken, maar Krol gebruikt 64, niet toevallig een macht van twee (64 = 26).Mathematisch gezien is het erg eenvoudig (namelijk door zes keer te scheuren) om eenpapier in 64 te scheuren; in honderd of duizend is veel moeilijker. Natuurlijk is die‘honderd’ of ‘duizend’ metaforisch; Krol geeft ons hier heel terloops toch maar weer eensiets mee over wiskunde. Waarschijnlijk had hij als twaalfjarige jongen gewoon zijn bozevader zes keer zien scheuren (ook al opmerkelijk dat hij dit aantal geteld heeft).

Terug naar de verdwijnmachine; kleine Krol denkt een manier gevonden te hebben omonzichtbaar te lijken door door middel van lenzen het licht om hem heen te buigen. “[Ik]werkte de hele avond aan de voltooiing van het project. Ik trok lijnen, construeerdebrandpuntsafstanden, las de volgende dag over ellipsen en parabolische spiegels en be-steedde de hele week, met draadjes en spelden, aan het construeren van een parabool.”(p. 119). Maar helaas vindt hij de juiste lenzen niet.


58. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §76 (p. 121-122). Krol merkt op dat je op ‘normale’schalen wel gemakkelijk het verschil ziet tussen pakweg Nederland en Engeland, maar datdat op microscopische afstanden helemaal niet zo is. “Zo is er geen plekje in Engelanddat niet, goed bekeken, een stukje Nederland kan zijn. En omgekeerd.

Het begrip A is dus een som van voorstellingen:

A =x

∑‘a′

a,

een som van beelden die men zich, afhankelijk van de afstand, van het voorwerp maakt. Isde afstand, waar men ook staat, oneindig, dan wordt het begrip slechts bepaald door hetwoord ‘a’, zoals voor velen bij voorbeeld God niet meer is dan het woord ‘God’. (Anderen,voor wie God weliswaar onzienlijk is, maar die zijn aanwezigheid kunnen afleiden uit dedingen om zich heen, zullen zich, overeenkomstig het principe genoemd in 51 [zie puntje45, SC] zich van hem een voorstelling kunnen vormen.) Wanneer daarentegen het tebeschouwen voorwerp samenvalt met de middelen waarmee we het willen waarnemen, bijvoorbeeld het eigen oog, dan stuiten we op ons eigen lichaam en als het een inwendigewaarneming is, op onze geest x - we zien niets.” (p. 121-122; cursivering in origineel).

59. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §78 (p. 122-124). Deze paragraaf is zeer technisch; hijhandelt over twee stellingen uit Wittgensteins Tractatus Logico-Philosophicus, namelijk3.0321 en 3.032. Die laatste stelling weerlegt Krol zelfs aan de hand van een praktischvoorbeeld uit de meetkunde. Waarbij Krol echter opmerkt dat Wittgenstein misschieniets anders bedoelde met een bepaalde term. Met andere woorden: misschien was erergens nood aan een (preciezere) definitie. “De waarheid van zijn stelling - van allestellingen - hangt af van de betekenis die men aan de woorden geeft. Geınterpreteerdals hierboven is zijn stelling onwaar.” (p. 123).

60. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §83 (p. 133-138). Krol slaagt er in om een compu-terprogramma te schrijven dat een tot dan toe onoplosbaar wiskundig probleem oplost.“Bosma moest weten hoe het werkte. ‘Heel eenvoudig,’ zei ik. Ik legde het hem uit,met mijn handen tekeningen in de lucht makend. Hij begreep het niet. Ik ook niet. Ikhad met de machine gepraat en ik kon het niet vertalen. Ik nam Bosma ten slotte naarde machine, liet het programma snorren, de beeldbuizen flikkeren en daarin kon hij ziengebeuren wat ik hem niet meedelen kon.” (p. 134). Krol tekent ook een diagram van hetprogramma dat overigens afgedrukt staat in de roman. Krol besluit (p. 135-136): “Dewijdverbreide mening dat logica misverstanden uit de weg helpt is onjuist. Naarmateiemand logischer redeneert is hij minder verstaanbaar, dat komt omdat iets wat striktlogisch is geen betekenis heeft. Als iemand een wiskundig artikel leest moet hij eerstweten waar het over gaat. Iemand die bij voorbeeld functietheorie studeert en zich nietbekommert om de betekenis van begrippen als ‘pool’, ‘functie’, enz., als hij alleen maarnaar de formules kijkt, ze substitueert en afleidt kan hij in een middag bekend zijn metde hele functietheorie, maar hij kan deze theorie niet inpassen in zijn wereld, want hijweet niet wat het betekent, hij weet niets. Omgekeerd moet iemand die een nieuwefunctie heeft gevonden ervoor zorgen dat hij dit aan zijn collega’s kan meedelen in eennotatie die men voor dat soort functies aanhoudt. De wiskunde is een taal.Wij, Bosma en ik, slaagden er niet in elkaar duidelijk te maken wat wij, steeds weer, zoduidelijk in de machine zagen gebeuren.”


61. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §87 (p. 145-148). Ook deze paragraaf is erg technisch.Hij begint als volgt: “‘Nur dadurch kann der Satz wahr oder falsch sein, indem er einBild der Wirklichkeit ist.’ 4.06 uit het Logisch traktaat van Wittgenstein. Der Satz: a,die Wirklichkeit: b, dus a(b en we zijn geneigd te zeggen: a is waar als b waar is. Als ais ‘Stientje Hardloper staat in het gras’ en Stientje Hardloper staat niet in het gras, danis a onwaar. Maar dit is niet alles. Er zijn Satze in de wiskunde die waar zijn, waarbijzich niet makkelijk een corresponderend Bild laat vinden en als het gevonden is is hetzeer de vraag of het tot de werkelijkheid behoort. Bij voorbeeld: ‘elk paar cirkels heeftvier punten gemeen’ is waar als men de stelling plaatst in het complexe vlak, een oordwaar het ook ongetwijfeld mogelijk zal zijn van een Stientje Hardloper, terwijl ze niet inhet gras staat, te zeggen: ze staat in het gras. We hebben gezien, dit oord laat zichaltijd beschrijven.” Heel bevreemdend: om a ( b (dit wil zeggen: a is waar en b is vals)te blijven laten opgaan voor zijn interpretatie van Wittgenstein 4.06, is Krol verplichtom uitspraken over de werkelijkheid te plaatsen ‘in het complexe vlak’.

Verderop haalt Krol een vrij lang citaat aan uit de Elementen der analytische meetkundevan de Nederlandse wiskundige Gerrit Bol dat handelt over isotrope rechten. Dit zijnrechten die loodrecht op zichzelf staan, net omdat men het bestaan van complexe puntenop deze rechten toelaat. Dit sluit dus perfect aan bij Krols bovenstaande betoog. Verderschrijft Bol nog: “Bovendien geldt: elke vector op een isotrope rechte, dus elke afstandop een isotrope rechte, heeft de lengte 0” (p. 147). Krol besluit: “Een stuk proza als hetbovenstaande, als ik dat onder ogen krijg, kan ik juichen. Onze wereld een grensgevalvan een andere, waarin lijnen loodrecht op zichzelf kunnen staan, waar elke afstand 0 is,A /= A” (p. 148).

62. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §96 (p. 156-161). Deze technische paragraaf gaatover binaire logische operatoren als → en (. Krol merkt op dat we ons, althans in hetvoorbeeld van deze twee operatoren, nog wel iets kunnen voorstellen. Maar bij anderemogelijke binaire operatoren hoeft dat niet meer op te gaan; nochtans kan een computerer perfect mee omgaan.

Verder geeft Krol, door middel van een volledig uitgewerkt logisch (computer-)schema,een bewijs dat aantoont dat implicaties blijven opgaan als men alle elementen van eenomgeving transformeert. Hij geeft daarvan enkele voorbeelden, zoals: “een stelling inrechthoekige coordinaten (x , y) kan worden getransformeerd in poolcoordinaten (r ,φ),bewezen en weer teruggetransformeerd” (p. 159), een methode die inderdaad vaak wordttoegepast in bijvoorbeeld de complexe analyse. Vaak loont dit heel erg de moeite, omdateen ander referentiekader bepaalde bewijzen een stuk eenvoudiger kan maken.

Maar eens te meer is het Krol te doen om de stelling van Desargues (zie puntje 31):“Transformatie brengt ook de stelling van Desargues, over de geldigheid waarvan we onsreeds zolang verwonderden, terug tot een trivialiteit: (a) door fig. 5 niet als een vlakkefiguur maar als een ruimtelijke figuur te zien (fig. 38a); (b) door twee van de tien puntennaar het oneindige te voeren. Fig. 5 ziet er dan uit als een vlechtmatje (fig. 38b), welksregelmatigheid niemand zal verbazen.” Inderdaad een prachtig voorbeeld van de krachtvan transformaties!

63. Het gemillimeterde hoofd, 1967, §97 (p. 161). Krol legt het wiskundige concept isomorfieuit. Volgens Krol zijn de interpretaties van het boek (dat hier op zijn einde loopt) isomorf:elke lezer zal een andere interpretatie geven aan elk woord, maar tussen de interpretaties


Figuur A.2: Figuren 38a en 38b; overgenomen uit Krol (1967), p. 160.

van die woorden bestaan relaties, die ook zullen bestaan tussen de interpretaties vandezelfde woorden van een andere lezer. Ik ben het hier met Krol oneens; ik zie niet inwaarom dit zo zou zijn.

Verder is het concept isomorfie een aanleiding voor Krol om voor de laatste keer indeze roman iets te zeggen over taal: “Alle vrouwen zijn isomorf met elkaar” schrijft hij,omdat ze volgens hem allemaal op een standaardvrouw kunnen worden afgebeeld. “Zo’nstandaardvrouw bestaat natuurlijk niet. Die standaardvrouw is het woord ‘vrouw’. Met‘vrouw’ kan elke vrouw worden aangeduid.”

64. De ziekte van Middleton, 1969, p. 18. De hoofdpersoon van deze roman, J. J. Pipper,loopt college op de Roetersstraat; ook Krol zelf heeft dat gedaan (zie bijlage 56). VanPipper komen we te weten: “Al na vier maanden legde ik mijn eerste tentamen af.Vectoranalyse.”

65. De ziekte van Middleton, 1969, p. 24 en 28. Een logisch grapje van Krol. Pipper heefteen relatie met Regina, en op p. 24 lezen we: “Annie heb ik ontmoet in de week datRegina met haar ouders in Venetie zat, waaruit weer blijkt dat je elkaar nooit alleen moetlaten.” Op p. 28 maakt Pipper over Regina zichzelf de volgende bedenking: “Nogmaals,we zouden gelukkig geweest zijn als we niet zoveel bij elkaar geweest waren.” Vooral hetwoordje ‘nogmaals’ is recht in de roos, want Pipper heeft dit niet eerder vermeld.

66. De ziekte van Middleton, 1969, p. 35, eerste alinea: “Akte. Aan de wand hangt eenhorloge, zo groot als een staande klok, maar het is werkelijk een horloge + band, diegestrekt aan de wand hangt. Geheel uitgevoerd in zwart leer (waarop gouden wijzers)heeft het van binnen, opgehangen tussen twee polen, een elektrische batterij die hetjarenlang de kracht geeft de tijd te meten.”

67. De ziekte van Middleton, 1969, p. 38; cursivering in origineel: “Over de drie ruimtesdie er zijn. Er zijn drie ruimtes, of vier, maar hoofdzakelijk drie. Drie ruimtes. Deeerste ruimte wordt opgevuld door de dingen om ons heen. Deze dingen zijn voor allenhetzelfde. De tweede ruimte wordt opgevuld door hetgeen in ons is. Dit is voor elkvan ons verschillend. De derde ruimte bestaat uit de woorden waarmee we de dingenaan elkaar gelijkstellen, zodat wij elkaar verstaan. De vierde ruimte bestaat uit onzewaarnemingen, het is de ruimte die bestaat uit de dingen die zowel om ons heen zijn alsin ons en daarom gelijk is aan de derde ruimte.”


68. De ziekte van Middleton, 1969, p. 41-3. De schematische letters X , Y versus x , yworden inconsistent gebruikt door Krol in deze paragraaf (soms binnen een zin); ik hebletterlijk zijn tekst overgenomen.

“Het was in die dagen dat ik zat te knoeien met het volgende:

p1x(x , y)− < p1

y(x , y)↓

p2x(x , y) > −p2

y(x , y)↓

p3x(x , y)− < p3

y(x , y)↓

↓pkx (x , y) > −pk

x (x , y)

Welke serie besloot met: voor een zekere k = 2n+1 geldt: pkx (x , y) = p1

x(x , y). Natuurlijkmoet je, zo sprak ik in mezelf, nu aan p1

x(x , y) enz. betekenissen gaan geven. p1x(x , y)

zou dan kunnen betekenen: ‘Wil je me een plezier doen?’ (X tegen Y ). ‘Je’ is de y inp1x(x , y) en ‘me’ de x . Voor X is ‘je’ de tweede persoon, voor Y de eerste en Y denkt,

zal ik X een plezier doen en hij zegt p2x(x , y): ‘Ja zeker’ (ik wil je een plezier doen). ‘Je’

is nu X en ‘ik’ is y en je zou kunnen schrijven p2y(x , y , z), waarbij z voor plezier staat.

Y weet nog niet wat dat plezier is, maar een plezier wil hij X wel doen en daarom zegthij ja.

X verduidelijkt de vorige uitspraak met de volgende: p3x(x , y): ‘Wil je me dat boekje

geven?’ Y doet X een plezier door haar dat boekje te geven, maar tegelijk denkt hij:dan ben ik het kwijt. Hij zegt: ‘Waarom? Waarom zou ik je dat boekje geven.’ X geeftgeen antwoord, ze zegt alleen, nogmaals: ‘Wil je me dat boekje geven,’ en Y zegt: ‘Ikpieker er niet over,’ (ik wil je dat boekje niet geven). Enz.

Ik liet het Annie zien. ‘Ik heb er ontzettend lang over nagedacht,’ zei ik, ‘en reken maardat het iets nieuws is. Ik had dit nog nergens gelezen en ik denk wel dat ik er een boekover ga schrijven.’

‘Jij wordt nog ’s professor,’ zei ze, wat ik natuurlijk beaamde, maar zij, met half dichteogen, knikte mij geruststellend toe, ‘heus.’

Een negentiende-eeuwse pastorie met daarin, in de studeerkamer, de predikant J.J. Pip-per, schrijvend op een vel papier de stellingen van zijn leven, terwijl in de huiskamer zijnvrouw zit te breien en haar tiende kind verwacht. Zo had het kunnen zijn.”

69. De ziekte van Middleton, 1969, p. 62. Pipper flirt met een andere vrouw, Salome, enzijn eigen vrouw, Annie, heeft daar lucht van gekregen. “Thuisgekomen was ze [=Annie,SC] kwaad om twee dingen: 1. dat ik alleen maar oog had voor mooie vrouwen; 2. datSalome helemaal geen mooie vrouw was. Ik bracht haar de tegenstrijdigheid onder ogen.”Waarschijnlijk had Pipper betere manieren kunnen verzinnen om hier op te reageren dandeze logisch-deductieve zinsnede.


70. De ziekte van Middleton, 1969, p. 83-4. Pipper schrijft over “Gezant Q.” (p. 83), diehem op een feestje heeft uitgenodigd; nochtans kent Pipper deze man niet. “Het laatme koud wie hij [=Gezant Q., SC] is, maar toch sla ik hem gade, ik beschouw hem zoalsik vaak een punt P, of Q, beschouwde in de tijd dat ik mij verdiepte in de meetkunde— zo beschouw ik de gezant en ik heb mijn gedachten over deze man.” (p. 83-4).

Nog op p. 84 gaat Pipper hierop door: “Zo denk ik over de gezant als een punt P inde ruimte, maar wij allen zijn punten P1, P2 ... Pn in de ruimte en hoe komen we totelkaar?”

71. De ziekte van Middleton, 1969, p. 91-2. Pipper zit in New York. Zonder duidelijkeaanleiding begint Krol een nieuwe alinea waarin hij een heleboel filosofische en wiskundigewerken (en een collectie pornoboekjes) opsomt. De ‘(. . . )’ die voorkomt in de tekst isvan de hand van Krol zelf.

“ Word & Object — Willard Van Orman Quine.Language, Truth and Logic — A. J. Ayer.The Concept of a Person — A. J. Ayer.The Story of Language — Mario Pei.The Age of Adventure — Basic Writings of Da Vinci, Copernicus, Kepler.The Age of Analysis — Basic Writings of Peirce, James, Russell, Wittgenstein.Meaning and necessity — Rudolf Carnap.Philosophy of Mathematics — Benacerraf & Putnam.Introduction to the Foundations of Mathematics — Raymond Wilder.Mathematic Dictionary — James & James.Der Mythos der Denkmaschine — Mortimer Tauber.Function, Begriff und Bedeutung — Gottlob Frege.Handbook of Philosophy — Albert E. Avey.Retrato de un Hombre de Pie — Salvador de Madariaga.Symbolische Logik — Rudolf Carnap.Steinberg’s Paperback.Busty, Volumes 1–4Introduction to Intuitionism — Arend Heyting.Fundamental Concepts of Mathematics — R. L. Goodstein.Philosophy in a new Key — Susanne K. Langer.The main stream of Mathematics — Edna E. Kramer.The world of Mathematics, 4 Volumes — James R. Newman.Meister Eckhart — Eingeleitet von Friedrich Heer.Profiles of Future — Arthur C. Clark. [sic]Concise History of Mathemtics — Dirk J. Struik.The History of the World in 240 pages — Rene Sedillot.

Het was 48 uur later, dat ik, losgeraakt van de grond, de lucht in, de riemen weernaast me neergelegd, ten prooi aan onzuivere gevoelens, schrikachtig, kennismaakte metChristiaan Huygens — precies wat ik gevreesd had, want ik wist dat ik naast hem zat.Hij presenteerde mij een sigaar, glimlachend, zeker van zichzelf, en van mij. ‘Ik ben zoblij,’ zei hij, ‘dat ik u heb ontmoet (. . . ) want u kunt mij een paar dingen duidelijkmaken. Er is iets dat ik niet begrijp.’ Hij stak zijn sigaar in de brand, de mijne ook,ik was niet meer allen. ‘Kijk ’s,’ zei Huygens, ‘wij gaan er in grote vaart vandoor. Wijonderscheiden ons in dit opzicht van de andere mensen die achterblijven. Maar merkt


u,’ zei hij, ‘merkt u het verschil met een uur geleden? Er is niets veranderd.’‘Nee,’ zei ik, ‘er is geen verschil en als er een verschil is dan is dat niet meetbaar.’ ‘Diemug,’ zei hij, ‘die daar op het glas loopt, die gaat gewoon met ons mee. Die heeft ooknergens weet van.’‘Maar we verkeren in een andere ruimte,’ zei ik. ‘Inderdaad,’ zei hij, ‘wij verkeren t.o.v.beneden in een andere ruimte, er is niets dat wij nog daarmee gemeen hebben.’Hij keek, terwijl hij zijn pen uit de binnenzak haalde, peinzend naar buiten. Het was eenogenblik stil. Ik hield mijn mond, maar ik kon mijn gedachten van daarnet niet meeropvatten, mijn geest was leeg en kleurloos geworden. Een keurige wereld, een keurigeHuygens. Hij maakte aantekeningen op de achterkant van zijn vliegbiljet, had zijn sigaaralweer gedoofd. ‘Hoe is het met uw slingeruurwerk?’ vroeg ik hem opeens. ‘O,’ zei hij,knipperend met de ogen, alsof hij opeens ontwaakte, ‘eh. . . dat zal hier best werken.’‘Ja, waarom niet,’ zei ik, ‘de wiskunde geldt hier ook.’ ‘Jawel,’ zei Huygens, ‘maarweet u een plaats waar de wiskunde niet geldt?’ ‘Welke wiskunde?’ vroeg ik. Er hingeen briljante discussie in de lucht, een discussie naar zeventiende-eeuws patroon en deverleiding was groot met de man van de golftheorie eens zo’n discussie aan te gaan. ‘Dewiskunde,’ vroeg ik, ‘welke stellingen bedoelt u?’ ‘Alle,’ zei hij. Ik: ‘Alle?’ ‘De wiskundeis universeel,’ zei hij, ‘de wiskunde, dat is de waarheid.’ ‘Toch zijn er werelden,’ zobracht ik daar aarzelend tegenin, ‘waar onze wiskunde niet geldt. Dat heb ik op schoolgeleerd.’ ‘Hierin,’ zei Huygens, ‘moet ik met u en uw school van mening verschillen, wantde wiskunde is juist het middel om die werelden te leren kennen. Zonder de wiskundehadden wij ze niet eens ontdekt.’ Hij memoreerde zijn ontdekking van de Saturnusring.”

72. De ziekte van Middleton, 1969, p. 94-5. Krol vertelt het verhaal over een tafel die graagduizend poten wil. De tafel gaat daartoe naar de meubelmaker. “Duizend, zei hij [=demeubelmaker, SC], duizend tafelpoten, dat is veel te veel en waar is het trouwens ookvoor nodig. Op vier poten kan een tafel al staan, waarom zouden we er meer maken dannodig is. Als je dat zegt, zei de tafel, dan moet je tafels maken met maar drie poten,meubelmaker, want je weet drommels goed dat om een tafel te laten staan de vierdepoot overbodig is. Hoe weet jij dat, zei de meubelmaker. Dat is bewezen, zei de tafel,door elke drie punten gaat een vlak, dat is meetkunde, doodgemakkelijk. Als dat zogemakkelijk is, zei de meubelmaker, dan hoeven we er niet eens mee te beginnen.” (p.94-5).

Even later heeft de meubelmaker een plan: hij wil een tafel met twee poten maken.“Dat kan niet, zei de tafel, het is bewezen dat dat niet kan.” (p. 95). Toch zaagt demeubelmaker twee poten van onder de tafel, waardoor ze nu slechts nog op twee potenstaat. “Zie je wel, zei de meubelmaker, het is mogelijk, hm. Het ligt voor de hand,zei de tafel, want ik sta op een lijn. Als ik maar op een lijn sta, dan sta ik goed. Datis te bewijzen. Een vreemde zaak, zei de meubelmaker en hij legde zijn tabakszak opde tafel om zijn lucifers te zoeken. De tafel viel om. Waarom val je nu opeens om,zei de meubelmaker. Waarom ik omval, zei de tafel, ik moet in evenwicht zijn. Alsje een tabakszak op mij neerlegt, dan moet je aan de andere kant ook een tabakszakneerleggen, dat is te bewijzen. De meubelmaker antwoordde niet, hij stond na te denken.Toen nam hij zijn zaag, kiepte de tafel weer om en zaagde er nog een poot af. Waarsta je nou op, vroeg hij de tafel toen hij hem weer rechtop had gezet. Op een poot,zei de tafel, alsjeblieft. Maar blijf me vasthouden, want anders val ik om. Ik kan je nietgebruiken, zei de meubelmaker. Dat geeft niets, zei de tafel, blijf bij me want ik verzeker


je, beste meubelmaker, ik ben de mooiste tafel van het land. Dat kun je nou wel zeggen,zei de meubelmaker, maar wie bewijst me dat? Geloof me toch, smeekte de tafel.” (p.95). Maar de meubelmaker is onverbiddellijk en hakt de tafel in stukken.

73. De ziekte van Middleton, 1969, p. 103-4; cursiveringen in origneel. “Over wat er is. Eris een methode die ons leert niet alleen om twee verschillende dingen op dezelfde manierte bekijken, waardoor ze een klasse vormen, maar ook om ons van hetzelfde voorwerpmeermalen dezelfde voorstelling te vormen zodat ook deze voorstellingen een klasse vor-men. Deze methode heet de wetenschappelijke methode. Omdat de wetenschappelijkemethode werkt met klassen i.p.v. met de dingen zelf of de voorstellingen die wij van diedingen in onze geest meedragen, kan het soms gebeuren dat wij werken met een klassedie leeg is. Er kan geen voorwerp gevonden worden dat van die klasse deel uitmaakt.Maar omdat we weten welke eigenschappen zo’n voorwerp moet bezitten, kunnen weernaar gaan zoeker en ’t kan gebeuren dat iemand van ons het vroeg of laat ook werkelijkvındt, zodat het bestaat. Er zijn er ook die het niet vinden, maar die wel kunnen zeggenhoe en waar het gevonden kan worden. En er zijn er ook die eenvoudig, zonder enigemoeite, ontkennen dat het voorwerp bestaat en zelfs als het gevonden is, ontkennendat dat hetgeen is waar sprake van was. Zo zijn, op basis van hun eensgezindheid debeoefenaren der wetenschap helemaal niet eensgezind meer, waar zij die de wetenschapniet beoefenen het wel zouden zijn.”

74. De ziekte van Middleton, 1969, p. 104-5. Pipper heeft het over zijn Katalogus, een boekwaar hij nu al geruime tijd aan werkt.

“Hoofdstuk 1 beschrijft de verdeling der elementen in ruimtes:a. de buitenruimte en b. de binnenruimte welke in eerste aanleg elkaar uitsluiten. Ikdefinieer vier relaties, a. de relatie tussen twee buitenelementen die aangeeft dat het eeneen deel is van het andere, b. de relatie van tussen [sic] twee elementen van verschillenderuimtes die aangeeft dat het ene element correspondeert met het andere, c. de relatietussen twee binnenelementen, die aangeeft dat het ene de vorm is van het tweede of hettweede de inhoud van het eerste en d. de relatie tussen elementen uit de buitenruimteen de elementen uit een derde ruimte die aangeeft dat die buitenelementen aan elkaargelijk zijn. Deze derde ruimte is de verbale ruimte. De in b. genoemde relatie levert eendefinitie op voor wat wij waarneming noemen, lichaam en zintuig.”

75. De ziekte van Middleton, 1969, p. 106. Pipper vermeldt enkele plaatsen waar hij alis geweest: “Curacao, Algiers, Dublin en ook de plaatsen uit mijn jeugd: Hamburg,Gottingen.”

76. De ziekte van Middleton, 1969, p. 114. Pipper gaat verder over zijn Katalogus; detekening uit figuur A.3 gaat aan de tekst vooraf.

“Dit wordt de samenvatting van mijn Katalogus. Het is niets anders dan een eenvoudigmodel van de wereld en van ons zelf. Ik heb een figuur gebruikt omdat deze beter danmet woorden onze voorstellingen vasthoudt en dat niet alleen, ons wereldbeeld wordt erook door afgemaakt: er is niets meer dan dit.” In de laatste zin horen we als het wareHilberts echo; blijkbaar is Pipper niet bekend met Godel.

77. De ziekte van Middleton, 1969, p. 128. Op p. 127 vinden we eerst een “Pagina uit dekatalogus” afgedrukt; zie figuur A.4. Op p. 128 volgt dan volgende tekst:


Figuur A.3: Tekening overgenomen uit Krol (1969): 114.

“Want wat was ik aan het doen. ’n Mooie Katalogus schrijven die, al schreef ik hemin het Engels, bijna niemand kon lezen, ik had net zo goed Kwadraat kunnen blijvenschrijven, zoals ik een tijd lang in Amsterdam gedaan heb. Kwadraat is een taal, ofschrift, van eigen vinding dat zich evengoed van rechts naar links als van links naarrechts laat lezen, of van boven naar beneden, of van beneden naar boven, het maaktniets uit. Alles wat ik te zeggen heb, zo redeneerde ik destijds, is terug te brengen toteen teken en dat teken was natuurlijk een vierkantje.

Het was in de tijd dat ik, uiting gevend aan mijn diepste gedachten, een vierkantjetekende en daar urenlang op kon zitten blijven staren.”

Nog op p. 128 vinden we overigens een =-teken in doorlopende tekst, en op p. 129vinden we een +-teken in doorlopende tekst.

78. De ziekte van Middleton, 1969, p. 133. Pipper krijgt van een Amerikaans echtpaar,de Sandersons, een beurs om twee jaar te studeren aan de Berkeley University. Overzijn studententijd daar vertelt hij: “Ik liet regelmatig mijn gezicht zien bij het echtpaarSanderson: hier ben ik weer. Mrs. Sanderson maakte ik complimenten over de strikjesin d’r haar, terwijl ik met haar echtgenoot Carnaps modale logica besprak, hoewel ikniet begreep hoe er een heel boek over geschreven kon worden, Quines Unification ofUniverses in Set theory dito en Russels/Whiteheads Principia Mathematica dito. Goedeboeken, vond ik, maar niet om geschreven te hebben.”

79. De ziekte van Middleton, 1969, p. 137. “Over de vijandschap. Want je kunt de mensenverdelen in twee groepen zodanig dat de ene een deel is van de andere. Er zijn dus mensendie zowel tot de ene als tot de andere groep behoren, de zgn. deelgroep. Er zijn mensendie denken dat ze, omdat ze tot beide groepen behoren, niet thuis horen in de groep vanmensen die niet tot twee groepen behoren.” Krol wil hier verwijzen naar paradoxen in de


Figuur A.4: Pagina uit de katalogus, overgenomen uit Krol (1969): 127.

verzamelingenleer, die Russell ertoe aangezet hebben om zijn Typentheorie te formuleren.Wat volgt is eerder sofisterij (die Krol opzettelijk in Pippers mond legt): “Er is dus eengroep van mensen die slechts tot een groep behoren — dit is de derde groep. De derdegroep bestaat dus uit mensen die geen deel uitmaken van een deelgroep. Nietteminbehoren ook zij tot twee groepen en onderscheiden zich daardoor in niets van hen dietot de deelgroep behoren. Dit is het beginsel van alle vijandschap.”

80. De ziekte van Middleton, 1969, p. 139. Zonder verband tussen enige voorgaande of vol-gende paragraaf, schrijft Krol volgende erg korte alinea: “Puerto Rico (14th Symposiumfor Pure and Applied Mathematics).”

81. De ziekte van Middleton, 1969, p. 150. “Over het lachen, want hoe is het. Er zijn tweemensen W1 en W2 en een voorwerp X . x1 en x2 zijn van W1 en W2 de respectievelijkevoorstellingen. Zijn deze voorstellingen gelijk dan kunnen beide waarnemingen door eenwoord x beschreven worden en alle uitspraken die een functie zijn van deze x vormenonze wetenschap omtrent x . Een wetenschap is een verzameling uitspraken over eenvoorwerp of toestand die door verschillende waarnemers op dezelfde wijze kan wordenwaargenomen.

Wat gebeurt er nu als W zelf wordt waargenomen? Een uitspraak over W is geen weten-schappelijke want de voorstelling die W van zichzelf heeft verschilt van de voorstellingendie elke andere waarnemer van hem heeft. We kunnen deze voorstellingen zelfs aanelkaar tegengesteld noemen — als we wisten wat tegengesteld was.


Over het lachen dus. Een waarnemer lacht als hij middels een bepaalde waarneming eengangbare uitspraak ziet geıllustreerd door het tegendeel. Zo lacht ieder — behalve alshij wordt gekieteld, want het hoe en waarom daarvan is nog steeds een mysterie.”

82. De ziekte van Middleton, 1969, p. 168-9. Op de pagina’s 165-168 schrijft Pipper over defilosofie, de “Peinzerij” (p. 165) om het in zijn eigen woorden te zeggen. Pipper maakthierbij wel uitvoerig gebruik van figuren, maar verwijst niet naar wiskunde of logica. Weleindigt hij dit stuk met twee paragrafen die elk de titel “Opgaven” dragen: een paragraafop p. 168 en een op 169. Elk van die paragrafen bevat twee opgaven voor de lezer.Dergelijke “Opgaven” vinden we ook terug op p. 192 (een opgave) en p. 202-3 (tweeopgaven).

83. De ziekte van Middleton, 1969, p. 195-9. “En dan heb ik nu de eer, lezer, u de regelsvan het spel Roze & Zwart te geven, waar u misschien al die tijd op hebt zitten wachten.Hier zijn ze! En u krijgt ze gratis, die regels, bij de aankoop van dit boek, want zestaan erin.” (p. 195). Waarop Pipper over de volgende vijf bladzijden zijn zelfbedachtebordspel uitlegt, wat op ’t eerste zicht wel vernuftig in elkaar steekt. Opvallend bij zijntoelichting is het gebruik van de wiskundige term ‘duaal’ in een voetnoot op p. 196:“‘zwart’ en ‘roze’ zijn duaal en kunnen worden verwisseld.” Waarmee Pipper bedoeltdat als zwart roze mag slaan als zwart zus-en-zo staat en roze dit-of-dat doet, dan geldtuiteraard ook het omgekeerde: roze mag zwart slaan als roze zus-en-zo staat en zwartdit-of-dat doet.

84. De ziekte van Middleton, 1969, p. 199; cursivering in origineel. “Over lijm. Lijm hechtzich vast aan elk voorwerp waarmee het in aanraking wordt gebracht. Maar anders dande beide genoemde manchetknopen die door een eenvoudige handeling kunnen wordenverwijderd, is wat eenmaal met lijn in aanraking is gekomen, definitief daarmee verbon-den.

Corrolary : Twee voorwerpen die verbonden zijn met dezelfde lijm, zijn ook verbondenmet elkaar. Deze stelling is isomorf met een van de belangrijkste stellingen uit demeetkunde en helemaal niet zo nieuw.”

85. De ziekte van Middleton, 1969, p. 208. “Gegeven die plaatsen, A, B en C en reiziger R.R denkt, om een of andere reden, dat B en C t.o.v. A vlak bij elkaar liggen. Hij staptin A in het vliegtuig en aangekomen in B denkt hij al bijna in C te zijn. Hem wordtverteld dat hij nog net zoveel moet vliegen als hij al gevlogen heeft. Teleurstelling. Maardezelfde teleurstelling zal hij ondervinden op de terugweg van C naar A. Na een langevlucht in B aangekomen, ontdekt hij dat hij nog maar in B is. Beide keren, op de heen-en terugweg, duurt de vlucht langer dan verwacht.”

86. De ziekte van Middleton, 1969, p. 216; ook de originele tekst staat volledig in cursiefafgedrukt. Na het laatste hoofdstuk bevat de roman nog drie bijvoegsels. In het eer-ste van de drie (p. 214-9) krijgen we een Engelstalige oproep van het bedrijf LovableCompany (p. 214) voor jonge ingenieurs om te helpen om een nieuw type van bh teontwikkelen. De tekst is bijzonder grappig, en aangezien men ingenieurs zoekt, is hij tendele ook technisch. Een relevant fragment (p. 216):

“The basic breast cup is simply two curved pieces of material sewn together along thecurve to form a hemisphere or a cone, depending on the cut of the curve. In early bras, the


seam often proved irritating to the wearer, and specialists in cup design have concentratedover the years on moving in the seams away from the sensitive areas. Today, brassierecups are often multi-sectional, formed of a number of geometrical sections (triangles,trapezoids, etc.) pieced together to produce a hemisphere or a cone.Brassiere measurements are expressed in inches for the overall size and in alphabeticaldesignations for breast cup volume. Contrary to popular belief, the size is measuredacross the top of the chest, not across the bust, and if the tale of the tape at this pointis 34 inches, bra size is 34. It’s a bit more complicated to determine cup volume. First itmust be determined whether the breast is essentially a halfsphere or whether is is moreconical in form. In the former case, a much more complicated mathematical formula isused.Obviously, it is difficult to reduce the female bust to simple mathematical formulas inview of the staggering number of variables it exhibits, and particulary where an individualbust may be characterized by more fluidity than rigidity. Therefore, professional bra menprefer to make their initial volumetric determinations on live models with firm busts ofthe ideal size.”

87. De ziekte van Middleton, 1969, p. 221. Het derde en laatste bijvoegsel draagt de titel“Over de hoeveelheid slechtheid om ons heen”. Krol besluit dit stuk, en dus het heleboek, met deze woorden (cursivering in origineel):

“Het is mogelijk over dit alles te schrijven en zelfs om in het algemeen vast te stellen,eens en vooral, [sic] wat goed is, dus wat gedaan moet worden:

I = k . ln P,

waarin k een constante is. I is een maat voor het goede en P de som van de dingendie gedaan kunnen worden. Omdat de ene handeling de andere voortbrengt, verloopt desom exponentieel tegen de tijd, daarom nemen we de logaritme en lezen bovenstaandeformule als: goed is datgene wat gedaan wordt, maal k.”

88. De laatste winter, 1970, p. 15-16. “Lima is een stad die gebouwd is in de vorm vaneen gelijkzijdige driehoek waarvan een zijde langs de oceaan ligt. De twee andere zijdenlopen tegen de bergen op.”

89. De laatste winter, 1970, p. 24. Kolodner, een van de hoofdpersonen, tuurt op het strandnaar de horizon. “Later, tegen de middag, werd het drukker. Toen zag hij, in plaats vande lijn op oneindig, alleen nog maar vrouwen en delen van vrouwen voorbijgaan zodathij, overwoog hij, er beter aan deed te vertrekken.”

90. De laatste winter, 1970, p. 47. Kolodner is planten aan het water geven met eenwaterverstuiver. “En terwijl hij de bolle kegel van mist op de boomschors richtte, [. . . ]”.

91. De laatste winter, 1970, p. 48-49. Krol vertelt dat Kolodner op zijn rug pleegde teslapen, want “dat was goed voor het bloed en het ruggemerg. Hij kreeg een holle rug,en hoe holler die was, des te beweeglijker waren de gedachten.

De gedachte kun je voorstellen als een fietskogeltje dat heen en weer rolt in een fruit-schaal:


De schaal is het gedachtenpaneel dat de grens vormt tussen het lichaam en wat hetgeweest is (memorie, of geest). Een lichaam, als het leeft, is steeds in beweging, watbetekent dat ook de geest in beweging is. De geest is in beginsel niet meer dan een herin-nering aan de omgeving van het lichaam. Zodoende kan bovenstaande figuur binnenstebuiten worden gekeerd tot:

waarin het beweeglijke fietskogeltje de waarneming voorstelt.”

92. De laatste winter, 1970, p. 50. De onderbuurvrouw van Kolodner, Zoraima, “hadnatuurlijk ook een fietskogeltje in haar hoofd, net als alle mensen. [. . . ] het [fietskogeltjevan Zoraima, SC] was mooi, glad en glanzend. Het was alleen zwart. De meeste kogeltjeszijn blank. [. . . ]

Het kenmerk van een zwart kogeltje is dat het, in onderscheid van het blanke, bijnauitsluitend functioneert als waarnemer, wat niet betekent dat iemand met zo’n kogeltjegeen geest heeft, maar dat de geest een groot deel uitmaakt van het lichaam zelf:

Kinderen zijn zo. Het zijn snelle wezens en je zou kunnen zeggen dat blanke kogeltjesvroeger ook zwart geweest zijn; door het gebruik alleen zijn ze blank geworden, maarsommige zwarte kogeltjes blijven zwart.”

93. De laatste winter, 1970, p. 72 en 82. Hoofdstuk 15 begint met deze alinea: “Er komtover de weg een auto aanrijden, recht op je toe, hij draait een kwartslag en rijdt weervan je vandaan, naar de horizon toe. De auto is een slag gedraaid en de weg ook. Tochis het een volkomen rechte weg wat je vanuit een vliegtuig of helicopter zou kunnenbekijken.” Krol verwijst hier naar referentiekaders en transformaties; zie ook bijlage 62.

Op p. 82 komt hij hier overigens nog eens op terug: “Soms is een auto die zich van jeverwijdert dezelfde als die er een poos later aankomt, in tegenstelling tot het omgekeerde:een auto die er aankomt verandert van het ene ogenblik op het andere in een auto die


zich van je verwijdert. De gele lampen zitten aan de voorkant en de rode lampen zittenaan de achterkant. Daartussen zit de auto. (Vergelijk hiermee de proef beschreven opblz. 72, waar de auto bij het passeren opeens 90° draait.)”

94. De laatste winter, 1970, p. 75. Kolodner ziet enkele pelikanen en hij dacht aan “hoegroot ze waren, die beesten. Hij dacht daarbij het volgende. Die vogels zijn niet klein.Als ze kleiner waren, zouden ze wel vlugger hun vleugels op en neer bewegen, fladderenzoals een parkietje, rrrrt, zo snort een parkietje weg, maar zo’n pelikaan fladdert niet,die klapwiekt en hoe groter en machtiger een vogel is, des te trager is zijn vleugelslag enandersom, hoe trager z’n vleugels zijn, des te groter is de vogel. Dat is ook de manierom hem te meten, dan hoef je niet van je plaats te komen. En als je weet, uit de boeken,hoe groot hij is, kun je ook uitrekenen, hoe ver hij weg is, als hij vliegt.”

95. De laatste winter, 1970, p. 97. De laatste zin van het boek gaat over Nelly, een zijper-sonage. “Zij is het laatste voorbeeld van de stelling dat er veel meer mogelijkheden zijndan werkelijkheid in deze wereld, die zelf, vreemd genoeg, alleen maar uit werkelijkheidbestaat.”

96. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 8. Krol gaat op sollicitatiegesprek bij Shell, envermeldt dat hij gedichten schrijft. “Maar niet gewone gedichten. Speciale. Technischegedichten, zei ik. Met ideeen erin. En dat ik wiskunde had gestudeerd. Een paarsommetjes die hij mij voorlegde, loste ik op.”

97. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 11. Krol komt terecht “op een afdeling die zichbezighield met de automatisering van de olieproductie.” Dit zet hem aan het filosoferen:waarom niet de hele wereld automatiseren? “Stelling. Dat wij, in vergelijking metvroeger, minder

meer vrije tijd hebben, komt omdat we de productie, onder andere van brood,hebben kunnen automatiseren.”

98. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 14. Krol praat met Lissauer, een collega die eentechnische schoorsteenpijp heeft ontworpen.

“‘Dat pijpje,’ zei hij, ‘is daar aangebracht op grond van berekeningen die ık gemaaktheb. Als ik die berekeningen niet gemaakt had, dan was dat pijpje daar niet gekomen.’Lissauer was trots op dat pijpje. Ik eigenlijk ook. Ik vond het fascinerend te horen datberekeningen konden aantonen dat iets moest bestaan.”

99. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 17. Dat Krol niet alleen in wiskunde, maar ookin wijsbegeerte geınteresseerd is, zet hij hier zelf nog eens in de verf: hij vertelt overzichzelf dat hij in een Philosophy of Mathematics zat te lezen.

100. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 19. Krol maakt een onderscheid tussen mensen dieeen schakel in het productieproces vormen, en zij die dat niet doen. Over die laatstevertelt hij:

“KinderenKnutselaars

}nulfuncties

Aangeven wat uw functie is.”

101. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 21; cursivering in origineel. “Stof voor keukengor-dijntjes (roodwit geblokt), Marie heeft er een rokje van gemaakt. En terwijl ik het zieschrijf ik op: pas die vierkanten laten zien hoe rond zij daar is.”


102. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 25. “Gesolliciteerd bij de Universiteit, een bezoekgebracht aan Dra. B. de logica (vr. van logicus) met mijn eıgen logika, [sic] vervat ineen scriptie, die ze voor zich had liggen en gelezen. Ze sloeg er met de rug van de handop omdat ik p’s en q’s had geschreven waar de gangbare notatie u’s en v ’s voorschrijft.Daar was ze kwaad over. En dat bedrijft wetenschap. Blij dat ik weer buiten stond.”

103. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 27-8. Krol gebruikt andermaal wiskundige symbolenin doorlopende tekst: “Ieder mens zijn huis = het bezit dat hij verdient = de mogelijkheidvoor hem om eens te veranderen = zijn begrenzing tevens = de boete die hij betaalt alshij buiten de perken gaat.”

104. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 50-1. Net als in De ziekte van Middleton voegt Krolook hier “opgaven” voor de lezer is. De tweede opgave eindigt zelfs met wiskundigegestrengheid: “Bewijs.”

105. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 58; cursivering in origineel. “Toen de boot eindelijkleeg was, gingen wij erop en we waren de enigen. We stonden lange tijd op het dek, omde zon op de Helderse daken te zien schijnen terwijl deze daken zich verwijderden: eenfelle, oranje streep die als een zon onder ging achter een dijk van donkergrijs, natgeregendbazalt en wolken erboven van dezelfde kleur. Goed beeld van een schema. Voor de eenis dat schema gewoon: de vooruitgang, een reeks van plannen die uitgevoerd moetenworden. Zijn die plannen uitgevoerd dan is zo iemand blij, en allang weer bezig nieuweplannen te maken. Zo leeft hij rechtstreeks naar het einde (zie blz. 79 van het boek vanVink) maar voor een ander is het schema het tegengestelde van vooruitgang. Niet dat hijniet vooruit wil in het leven, maar hij denkt er zelden over na. Symmetrie, schoonheid.Inderdaad: het was om redenen van symmetrie dat we die middag, met al onze bagage,naar dat eiland voeren en ons plan was daar de hele winter te blijven.”

106. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 62. “Aan de dakrand hingen ijspegels, scheef, omdatze waren ontstaan tijdens een harde wind.”

107. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 83; cursivering in origineel. Krol heeft het over eenwesp. “Toch is het een bijzonder beest. Hij weet wat een zeshoek is. Hij kan er eentjemaken. Maar hij kan het niet meer noemen, denk ik. Dat heeft hij wel gekund. Dat wasin de tijd dat hij de regelmatige zeshoek uitvond.”

108. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 87. “Definitie. Wie is scherp? Scherp is hij die ietssnel begrijpt en ook kan laten zien dat hij het begrijpt, dat wil zeggen: wat er bij hem ingaat is gelijk aan wat eruit gaat, wat, als je een examen doet, een onmisbare eigenschapis.”

109. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 92-3. “De snelheid waarmee je een schroef kuntindraaien hangt af van:a: de hardheid van het houtb: de scherpte van de schroefdraadc: de kracht waarmee je op de schroef druktd: de kracht waarmee je de schroef draait (draaikracht)e: de omwentelingssnelheid van de schroeff: de hoek van de schroefdraad


cotg (hoek van de schroefdraad) = kracht op de schroef (c)draaikracht (d)

Als je dus een schroef indraait, moet je ervoor zorgen dat dit quotient constant is.

Als de kracht tijdens het draaien op de schroef uitgeoefend gedeeld door de draaikrachtgroter is dan de cotg van de hoek van de schroefdraad, neemt — zo heb ik het gevoel —de schroef een steeds grotere hap. De schroef draait zich tenslotte klem. Anders gezegd:je verwacht, als je stevig op de schroef drukt, dat de schroef ook des te gemakkelijkerin het hout zal verdwijnen, maar wat gebeurt er? De schroef is zo lang als hij is, alleenhet hout eromheen is korter. Er draait zich te veel hout om de schroef.

Een schroef die snel gedraaid wordt, slijt meer dan een schroef die langzaam gedraaidwordt.

Een schroef die snel gedraaid wordt, verdwijnt snel in het hout.

Een schroef met een schroefdraad die niet scherp meer is (b), behoeft meer draaikracht.Helaas, een grotere draaikracht zal, zoals gezegd, een schroef nog sneller doen slijten.

Er zijn schroeven die, met een bepaalde snelheid aangedreven, om in het hout te ver-dwijnen, ten slotte een oneindige snelheid nodig hebben.

Een schroef die klem gedraaid is, komt voor in hard hout (eikenhout).

Een schroef die oneindig snel moet draaien komt voor in zacht hout (karton of water).

Hoe kan het dat een schroef in water slijt?

Antwoord: hij is, wat het water betreft, al versleten voordat hij begint.

Vraag: hoe kun je in hard hout een schroef krijgen door alleen te drukken?

Antwoord: dat kun je doen als de schroef een oneindig scherpe schroefdraad heeft.

Een scherpe schroefdraad snijt in het hout als een mes.

Een afgesleten en dus stompe schroefdraad zal het hout eerder versplinteren.

Uit: Computers invade drilling platform (Oil & Gas Journal, May 26 1970)

Waarom ik overigens zulke stukjes in mijn boeken doe? Gewoon omdat mijn systeemdit met zich meebrengt.”

Op p. 200 van De ziekte van Middleton had Krol het overigens al eens over de schroefen hoe ze het hout binnendringt (daar vergeleken tegenover hoe dat in zijn werk gaatbij de spijker).

110. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 105. “Het was in de afgelopen zomer dat ik van S.het boek Language, Truth and Logic las. Dit boek wees me de weg in een gebied dat,jammer genoeg, steeds duisterder voor me wordt.”

111. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 109. Dodd nodigt Krol uit op een feestje; ze gerakener aan de praat over de oorlog tussen Amerika en Rusland. Dodd vraagt aan Krol “of ikzin had mee te helpen aan de bouw van een model dat het verloop van de oorlog tussenAmerika en Rusland moest kunnen voorspellen. Ik zei Dodd dat ik er niet in geloofdedat er in een oorlog veel gerekend zou kunnen worden, terwijl het toch bekend is dat eengroot deel van de zeventiende- en achttiende-eeuwse wiskunde haar ontstaan vindt inde krijgskunde. Maar ik had gewoon geen zin meer in rekenen. Ik vond het niet langerleuk, me bezig te houden met het zoeken van een getal dat groter, c.q. kleiner is daneen ander getal.”


112. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 112. “Wat is het tegengestelde van groot?

Klein.

Maar het is mogelijk iets dat klein is groot te noemen (en andersom). Daar betekent‘tegengesteld’ dus ‘hetzelfde’.

Wat is groot?

Groot is wat gemeten wordt.

Klein is wat gemeten wordt.

Het tegenovergestelde van wat gemeten wordt is wat niet gemeten wordt.”

113. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 121; cursivering in origineel. Krol heeft het over eentennisbal die ergens ver in de ruimte staat. Hij zegt hierover:

“[. . . ] hij is met de aarde verbonden door een draad die sterker is dan duizend kabels.Deze draad is zijn onbeweeglijkheid.De drie poten waar het booreiland op steunt, dat zijn de lijnen die van de drie hoekpuntenomhoog lopen naar de tennisbal en terug. De lengte van deze lijnen, en terug, wordtuitgerekend, onophoudelijk. Dat wordt gedaan met steeds dezelfde berekening, dat isgedaan en het is daarom dat zij, de beide firmanten, zo rustig hun broodje eten envervolgens hun nest opzoeken. Morgen vertrekken zij weer.”

114. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 125. “Stelling: De herhaaldelijk beschreven actievan het autorijden moet worden begrepen als de actie van het laten rijden van die auto.”

115. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 129-130. “Dinsdag. Gezeten op een heuveltop hebik weer eens gezien hoe water stromen kan. Er dreven takken en eilanden schuim meevoort. En wat ik zag was (wat ik vroeger op school geleerd had) dat in het midden vande stroom het water de grootste snelheid heeft.

En ik dacht weer eens aan het voorstel van Lissauer — jaren geleden — om het probleemvan verkeersopstoppingen op te lossen door per straat met behulp van evenwijdige rol-strips de stroom van een rivier na te bootsen. Vanuit de winkel zo op straat stappend,zou je meteen een snelheid van tien kilometer per uur hebben. In het midden van destraat zou je, door steeds te hebben overgestapt op een snellere rolstrip, een snelheidvan vijftig kilometer kunnen halen — als voetganger.

Een goed plan. Wat mij daarin overigens stoorde, was de discontinuıteit in het systeem.Ik wilde weleens weten waarom wij, als wij een natuurlijk, continu proces nabootsen,daarvoor discontinue middelen kiezen.”

116. De chauffeur verveelt zich, 1973, p. 135. Krol beeindigt dit boek met de volgendeparagraaf: “Om dan met mezelf te eindigen: . . . was ik met mijn zorgen en mijn grapjesu misschien een tijdje zeer nabij. Dat is dan nu weer verleden tijd. Als u mij zou vrageneen aantal karakteristieken te geven van dit, mijn levensverhaal, dan zou mijn antwoordluiden:

a. precisieb. optimismec. positieve instellingd. negatieve instelling


Vanaf deze plaats groet ik allen die ik niet persoonlijk de hand heb kunnen drukken.Lezers en lezeressen. Misschien dat we mekaar nog eens tegenkomen, in de Kalverstraatof elders (in Singapore bijvoorbeeld waar ik nog een tijdje wil wonen). Dan kunnen wehet er nog eens over hebben hoe snel alles voorbijgaat in dit leven, maar dat er eenmiddel voor is:

e. eeuwigheid.”

117. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 5. Krol vertelt dat hij op zoek was naar werk.“Ik had gesolliciteerd bij het Luchtvaartlaboratorium in Amsterdam, er een bezoek ge-bracht en gezien dat ik er in de kortst mogelijke tijd een deskundige in het oplossen vandifferentiaalvergelijkingen zou worden.”

118. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 6. Krol mijmert over het verleden. “Misschienhad ik, in plaats van te studeren, een liftreis door Europa moeten maken, een jaarin Afghanistan doorbrengen zoals een van mijn vrienden; misschien was dat wel heelgoed geweest voor mij. Misschien ook was ik daarin ten onder gegan. Nooit te wetengekomen wat voor persoon ik was. Misschien was het daarom toch goed meteen aan diewiskundestudie te beginnen.”

119. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 8-10. “We leerden veel. De wiskundestudie moetvan alle studies de meest bizarre zijn als je al in de eerste weken leert dat 1+1 gelijkaan 0 kan wezen, dat er lijnen zijn die loodrecht op zichzelf staan, dat e2πi , dat wilzeggen: e (een getal ter waarde van ongeveer 2,71) tot de macht die gelijk is aan deomtrek van een imaginaire, dus niet bestaande cirkel, precies gelijk aan 1 is — met aldie absurditeiten raak je zo vertrouwd en ze krijgen zo’n legaal bestaan dat je binnen eenjaar een meester bent in het beschrijven van allerlei dingen die niet mogelijk zijn, maardie toch bestaan omdat je het bewezen hebt. Je hebt in je denken gebruik gemaakt vaneen reeks van ijzeren consequenties; na dat jaar heb je het vermogen de wereld te zien alseen grote, voze vrucht die voornamelijk bestaat uit ruimtes waar alles al mogelijk is enwaar die mogelijkheden dan ook al precies zijn gedefinieerd; eindeloos diepe spelonkenwaar niets te zien is, maar waaruit morgen de redenen van je bestaan omhoog zullenkomen, zichtbaar zijn en bloeien als een roos, een beeld dat ik nodig heb om aan tegeven hoe krachtig het geloof is in de eenheid van belangen die, bekeken ten opzichtevan elkaar, misschien strijdig zijn. De dag komt dat zulke dingen heel makkelijk zijn uitte leggen en daar gaat het tenslotte om. Op papier zetten dat is wat wiskunde is.

Zo was vooral ‘x = x ’ een formule die wij altijd maar weer op het bord zetten, omdatwij niet klaar waren met ons erover te verbazen: ‘x ’ = ‘x ’ zou, volgens Weys, de weteigenlijk moeten luiden, en ‘w = g ’ was een andere formule, die volgens de man uitAustralie aangaf dat Weys gek was.”

Op p. 10 merkt Krol nog op: “‘X ’ betekent x , zo luidt de hoofdwet van de semantiek,een op dat ogenblik nog niet overal onderwezen vak. Deze wet leerde mij dat alles oppapier werkelijkheid behoeft om ook maar iets te kunnen betekenen. Alles was relatief;niets lag vast, ook onze loopbaan niet. Gelukkig, vonden wij.”

120. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 10-11. Krol vertelt verder over zijn wiskundestu-die. “Voorlopig volgde ik het spoor van Weys, en bleef, met hem, mij verdiepen in devectoranalyse, nulruimtes, lege nulruimtes en niet-lege nulruimtes, duale ruimtes, con-vexe ruimtes, hyperruimtes. De in al deze ruimtes geldende theorema’s ondersteunden


het algorithme [sic] dat men lineaire ofwel mathematische, c.q. integrale, gemengde danwel niet-lineraire programmering noemt.”

121. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 11-12. Krol vertelt dat zijn kennis in de wiskundeleidt tot praktische kennis in het programmeren. “Dat de lineair begrensde halfruimteswaar ik mee werkte, heel geschikt waren om er het vraag-en-aanbodmechanisme van eenfabriek mee te beschrijven, dat was een heel aardige ontknoping. Eindelijk aan de slag!Edoch. Welke realiteit? Wat wist ik van een raffinaderij? Het enige wat ik, overge-plaatst nu naar de afdeling waar dit soort dingen aan de orde was, van een raffinaderijzou weten, was datgene wat ik wist van lineair begrensde halfruimtes en van de wijzewaarop deze getransformeerd konden worden. Ik was toch een specialist?Ik wilde weten hoe een raffinaderij werkte, al was het maar op papier. Ik liet hiertoeeen zogenaamde ‘matrix picture’ maken, een hyperruimte bestaande uit positieve ennegatieve getallen, zodanig dat elke destillatiekolom kon worden voorgesteld door eenverticale en elke stroom door een horizontale reeks van getallen, merkwaardig genoegprecies zoals je je als leek zo’n raffinaderij voorstelt. Welnu, hier stond het dan precies.Ik had er twee wanden voor nodig; van boven tot aan de grond behangen met compu-tervellen, had mijn kamer een uniek aanzien. Dat matrix-picture-programma was er allang, maar niemand die op het idee was gekomen om het te gebruiken, tot nu toe.”

122. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 17-18; cursivering in origineel. “Ik las in dietijd een boek van Klages warin hij beweert dat lichaam, geest en ziel drie verschillendedingen zijn, in dezelfde tijd dat ik uitvond, of las, dat er driewaardige logica’s bestonden:0, 1

2 en 1. Heel lang denk je dat je maar twee kleuren hebt om een wereld te scheppenen opeens heb je er een derde kleur bij. Dat verandert het beeld. Dat verandert dewereld.”

123. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 19-20. “Stelling. De officiele logica is, zolang zebestudeerd is en toegepast, altijd toegepast op regels en stellingen die allang bestonden,terwijl stellingen die via het mechaniek van de logica aan de oppervlakte gekomen zijn,nauwelijks enige betekenis hebben, getuige een expert op dit gebied: ‘. . . het is gemak-kelijk in te zien hoe duister de betekenis van deze wetten wordt als we trachten ze ingewone taal uit te drukken.’ Tarski.Het is niet nodig de logica, noch de waarheid te zien als metafysische grootheden of,in modern jargon, metamathematische grootheden. Voor het goede begrip kun je hetlogisch mechanisme net zo goed afbeelden op een spelletje schaak, waarbij de logicastaat voor de regels en de stand van de stukken de waarheid weergeeft.Het is merkwaardig dat, hoewel de schaakregels een vereenvoudiging zijn van de regelsvan de logica, de filosofie van die schaakregels in de praktijk veel vruchtbaarder is ge-bleken dan de filosofie van zo iets verbaals als de logica. Je zou wensen dat dit vakervoorkwam bij vereenvoudigingen. Aangezien het schaakspel een goed model is voor hetleven in een bedrijf, kun je uit het bovenstaande leren dat het bedrijfsleven zich afspeeltvolgens bepaalde, vaak niet eens geschreven regels, maar dat het effect van die regels,en daarmee de waarheid van je uitspraken, afhangt van de stand van je stukken, welkeop zijn beurt een functie is van wat je wilt bereiken.

Stelling. Er zijn mensen die hopen dat ze door een consequente toepassing van eenaantal overeengekomen regels de algemene rechtvaardigheid kunnen doen zegevieren.”


124. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 21. Krol vertelt dat hij graag gedichten schrijft.Maar toch zit de kracht van het woord veel meer in “classificeren” dan in schoonheid. “Jekunt, buiten de gewone dagelijkse conversatie die gebruik maakt van het feit dat allerleizaken, eenmaal onder een bepaald woord ondergebracht, de neiging hebben daaronderte blijven zitten, dezelfde woorden gebruiken om aan te tonen dat elke gebeurtenis doorelke verzameling van woorden kan worden beschreven. Het maakt dus niet uit wat voorwoorden dat zijn. Als ze maar verrassen. Hiermee is, wat mij betreft, op meetkundigewijze, uiteengezet wat de functie van literatuur is.”

125. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 24-25. “Immaterial. Een woord waar ik nog ingeen twintig jaar mee zou klaarkomen, en Bobby zei het, net zo doeltreffend als ze —‘not involved’ zei en ‘instant’. Amerikaans? Bobby? Een efficient gebruik van dit soortwoorden maakt het schrijven van dit boek bijna overbodig. Bewijs: Bobby schreef tochook niet?”

126. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 26. Krol vertelt over het statief van een camera,dat drie poten heeft. “[. . . ] waaruit duidelijk blijkt, ook mathematisch als je dat wilt, dathet breken van een poot voldoende is om de camera op het maaiveld te doen belanden:gezichtsveld = 0.”

127. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 27-28. Krol heeft het over zijn studiegenootWeys.

“Hij was oplettend. Nooit kon ik hem, in mathematicis althans, knollen voor citroenenverkopen, hoezeer ik het daar soms ook op toelegde, want ik wilde opschieten. Zo hadik er nooit enige behoefte aan om stellingen die al bewezen waren, nog eens weer opeigen kracht opnieuw te bewijzen, wat er toe leidde dat ik zelden er toe te porren wasuberhaupt nog stellingen te bewijzen, ook al had ik ze zelf gevonden.

Ik hield Weys voor dat de grote wiskundige Euler (1707-1783) de meeste van zijn stel-lingen had bewezen door ze toe te passen op allerlei numerieke voorbeelden en dezevoorbeelden gewoon uit te rekenen, wat hij toevallig goed kon. Ik kon ook goed reke-nen, want daarvoor had ik een computer, zei ik, tegen Weys, maar dat vond hij nietgoed genoeg. Die bewijzen van hemzelf, die vond hij veel beter. Niettemin, toen ikBochenski’s Formale Logik had gelezen, een boek vooral over de geschiedenis van delogica, en hem, via het zware boek dat als een bijbel geopend lag op de lessenaar vanmijn linkerhand, voorhield hoezeer het mogelijk was met de grondbeginselen van de lo-gica te goochelen en hem zei dat de waarheid van een uitspraak, en vooral van eenwiskundige uitspraak, afhing van de betekenis van zo’n uitspraak en dat de betekenisvan een uitspraak afhing van degene die hem uitspreekt of leest en dientengevolge vande weersomstandigheden. . . toen ‘weigerde hij daaraan mee te doen’, vriendelijk en eenbeetje preuts ook. hij weigerde gedoopt te worden, door mij. Nu is hij docent aan teth van Twente met als leeropdracht de beginselen van de vectoranalyse, wat hij welgoed zal doen, maar met al dat geloof van hem was ik nooit docent in de vectoranalysegeworden en waarschijnlijk ook niet iets anders en zou ik nooit hebben geweten wat defunctie van de waarheid was en ook al zou Weys het mij honderd keer hebben bewezen,het toch nooit helemaal hebben geloofd. Ik had dus geen andere keus.”

128. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 31. Krol voelde zich tijdens zijn legerdienstniet altijd even nuttig, maar: “Het belangrijkste was dat ik van mijn mathematisch-


filosofische werk af was. In het wijde perspectief van die dagen kwam dat werk mij voorals de laatste wagon van een zich pijlsnel verwijderende trein. Blij dat ik was uitgestapten kon zien hoe klein de ruimte was waarin ik al die jaren had geleefd.”

129. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 58. “Fiango [een kennis van Krol, SC] leerde mijaan de roulette een systeem om te winnen door er op te wijzen dat je, door steeds maarje inzet te verdubbelen en na de eerste winst op te houden precies de eerste inleg rijkergeworden zou zijn.”

Voordat u naar het casino spurt: lees eerst het vervolg in puntje 239.

130. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 58. “Wat moest ik nou met Alice doen? Er isin de logica, of laten we zeggen: in mıjn logica, een wet die zegt dat een object bepaaldwordt door alle zinnen die dat object beschrijven en zo kwam ik ertoe al mijn ‘ervaringen’met Alice in een rijtje onder elkaar te zetten.”

131. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 71. Shell haalt al sinds 1922 olie uit de grond in LaConcepcion. Onlangs zijn daar ernstige overstromingen en grondverzakkingen geweest;het vermoeden bestaat dat dat het gevolg is van tientallen jaren olieboren. Shell stuurtdaarom een expert, Uitendaal, die terecht komt bij Krol. “En Uitendaal wou zo graagweten hoeveel olie hier nu sinds het begin, in 1922, uit de grond was gehaald. Datmoest op papier staan. Die cijfers moesten bewijzen dat die grondverzakkingen en dieoverstromingen in ieder geval nıet het gevolg waren van de olieproductie, maar van ietsanders. . . ” Wat uiteraard een vorm is van omgekeerd (en dus verkeerd) redeneren.

132. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 78. “Dat wat iemand doet zegevieren is: deintegraal van alles wat hij verkeerd gedaan heeft zonder dat de omgeving het in de gatengehad heeft en omdat Bleach er zoveel langer zat dan ik, was zijn integraal veel groterdan die van mij. Overigens geeft die integraal, ook wel macht genoemd, tevens de graadvan veroudering aan.Toen hij, Bleach, op grond van die macht, ancienniteit kun je het ook noemen, op reisging, kocht hij een nieuw fototoestel + een nieuw filmtoestel [. . . ]”

Vooral de vergelijking van een integraal met ancienniteit vind ik erg geslaagd. Als fbijvoorbeeld de functie is die het aantal gewerkte uren per dag uitdrukt doorheen de tijd,dan drukt de integraal van f op tijdstip t inderdaad de ancienniteit uit.

Het is misschien enigzins ver gezocht, maar ik merk toch op dat iets verderop in de (erglange) zin die ik zopas afgebroken heb, we het volgende lezen: “uit welke geschiedenis ikverder afleidde dat [. . . ]”. Misschien is het toeval en heeft Krol het er niet om gedaan,maar ik vind het gebruik van het werkwoord ‘afleiden’ hier wel erg grappig.

133. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 83. “Overgaan op een stuk sightseeing. Hetsysteem van het laterale denken, zozeer bepleit door Edward de Bono, voor hem eenvondst, voor mij een legalisering, laat zich, formeel, beschrijven als een syllogisme waarinde veronderstelling vervangen kan worden door het tegendeel. De sluitreden zelf en deslotsom zullen daardoor niet minder waar zijn. De Bono laat zien dat het er dus niet toedoet of een veronderstelling waar is of niet. Overigens is die stelling ook uit de logicabekend maar omdat men niet weet wat men ermee aan moet, wordt hij nooit gebruikt.”

134. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 84. “Principiele uitspraken gebruik je tegenovermensen die zelf niet weten hoe ze staan moeten, of als je het zelf niet weet.


Dat ik zelf zo goed weet waar ik staan moet, dank ik natuurlijk aan een aantal principes.Deze principes zijn functies van een zo groot aantal variabelen dat ze nauwelijks eeninhoud hebben, maar dat deert mij niet in het minst.”

135. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 96. Krol leest in de krant dat in Chili de gewa-pende oppositie gevoerd wordt door de betere klasse. Meestal is het omgekeerd, merkthij op. “In de wiskunde staat het bekend als auto-isomorfie: twee punten bepalen eenlijn, twee lijnen bepalen een punt. Alle stellingen uitgesproken over lijnen die samenko-men in een punt kunnen worden omgezet in stellingen die zich uitspreken over puntendie op een lijn liggen. In de wereld van de lijn is het punt een bijzonder geval, en in dewereld van het punt is de lijn een bijzonder geval.Ieder mens kan auto-isomorfie op zich zelf toepassen (het eerste wat je doorgaans alsstudent probeert): binnen groep A vertegenwoordigt hij B, terwijl binnen B hij A verte-genwoordigt. De auto-isomorfie is een middel om zich te onderscheiden van zijn omge-ving. Wie het toepast verschaft het een zekere waarde als hij erin slaagt binnen die enegroep waarde te krijgen als vertegenwoordiger van die andere groep. Je zou het kunnenvergelijken met de rol die een dubbelagent speelt: als de groepen zich dusdanig hebbengeorganiseerd dat de wederzijdse belangen elkaar zo’n beetje uitsluiten, wat kunnen wedan zeggen van het belang van de man die tot beide groepen wil behoren door zich ervante onderscheiden?”

136. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 100. Krol heeft een toespraak in het Engelsen het Spaans gehouden, waar hij lof voor krijgt. Krol beweert “dat het geen kunstis een goede toespraak te houden, in welke taal dan ook, als je iets te zeggen hebt.Deze uitspraak bewees ik twee dagen later, uit het ongerijmde, toen ik mijn Nederlandsecollega’s toesprak en hun vrouwen. Want toen ik ‘beste mensen’ had gezegd en iederzijn mond hield, vol verwachting van wat ik zou zeggen, vond ik bij alles wat er in mijnhoofd opkwam, dat ik dat bij diverse gelegenheden al eens eerder tegen ze had gezegd.Ik had ze niets te zeggen, zodat ik ze bedankte voor hun aandacht.”

‘Bewijzen uit het ongerijmde’ komen erg vaak voor in de wiskunde, maar dit is geen goedvoorbeeld. Een voorbeeld van een bewijs uit het ongerijmde bij bovenstaande stelling(als je iets te zeggen hebt, kun je in om ’t even welke taal een toespraak houden) zouzo moeten beginnen: ‘Stel dat dat niet zo was; met andere woorden: je hebt iets tezeggen en kan toch geen goede toespraak houden. Maar als je geen goede toespraak kanhouden. . . ’. Daarop volgt een deductieve redenering die eindigt met de zinsnede: ‘maardan heb je niets te zeggen. Dat is in strijd met onderstelde, en dus moet bovenstaandestelling wel juist zijn.’ Wat Krol hier doet, is iets volledig anders: hij geeft een voorbeelddat, toen hij eens niets te zeggen had, hij geen goede toespraak kon houden. Dat isuiteraard niet in tegenstrijd met bovenstaande stelling, maar het is er zeker geen bewijsvan!

137. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 106. “1952. Hoe was het. Alleen in eendonkergroen lokaal waar ik mij verdiepte in een reeks van overpeinzingen betreffendemijn toekomst die er, afwisselend licht en donker, nogal abstract uitzag. Weinig omhanden, veel om over na te denken, studeren in Berlijn of Gottingen in een vak datik niet eens filosofie wilde noemen, zo weinig moest het inhouden. Misschien dus welwiskunde. Mathematik. Mengenlehre. Gruppentheorie. . . ”


138. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 108-9; cursivering in origineel. “Ik zou, nu ikverteld heb wat mijn beweegredenen zijn, dit met een tekeningetje kunnen weergeven,dan begrijp je alles in een keer, hoewel ik van mensen die er verstand van hebben hoor dat‘tekeningetjes in een roman’ de verkoopcijfers beslist op een nadelige wijze beınvloeden.Gelukkig ben ikzelf de eerste die inziet dat pogingen een wijsgerig probleem op te lossenof te verhelderen door een schetsje of diagram, het toppunt zijn van naıviteit maar ookvan bruutheid. Zomin als onze koningin in het openbaar uit haar kopje de achtergeblevensuiker lepelt, zomin zal een echte filosoof het in zijn hoofd halen de beelden of ideeendie hem door het hoofd spelen weer te geven met een figuurtje. Een filosoof is, doorzijn opleiding en door zijn aard, in alle opzichten een verbaal mens. Dat hij, elke keerweer, zoveel woorden nodig heeft om uit te leggen wat hij bedoelt, komt hoofdzakelijkomdat hij erg op die woorden gesteld is en niet omdat hij iets duidelijk wil maken, wantdaarvoor heb je, zoals bekend, juist een minimum aan woorden nodig.Het nadeel van een tekening is natuurlijk dat hij, als je er verder niets bij vertelt, alleenmaar een ruimtelijk beeld geeft. Een in woorden omgezette verklaring van dat beeldgeeft je, omdat woorden nu eenmaal in een zekere volgorde staan, de gelegenheid metdie woorden iets te bereiken; je wilt de lezer/luisteraar meenemen naar iets, overtuıgenvan iets, maar voor wie filosofie niet een bedrijf is van willen maar van zien, is een figuurof diagram meestal ruim voldoende.”

139. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 113. Krol slaagt er op een moment, onverwachten onverhoopt, in om zijn geboortestad met al haar associaties te beschrijven. “Zovanzelfsprekend was dit dat ik, toen ik ermee klaar was, niet eens behoefte had om haar[=Krols vriendin Laura, SC] het verhaal te laten lezen. Niet om iets te bewijzen zeg ikdit, maar omdat ik het mij herinner.Zo’n verhaal bestaat ook maar uit woorden, zul je zeggen. En inderdaad, ik was er nietver van af om het dan maar met getallen te doen.”

140. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 118. “De stelling dat een kunstenaar een beeldmaakt ter expressie van zijn eigen gevoelens, is onvoldoende. Zij verklaart niet waaromhij pas gelukkig is als hij dit beeld ten toon kan stellen aan het publiek. Zij verklaartook niet waarom het nodig is dat de kunstenaar uiting geeft aan de gevoelens van eenander.”

141. In dienst van de ‘Koninklijke’, 1974, p. 124-5. Krol vertelt dat hij vijftien jaar geleden opde productie-afdeling van een oliemaatschappij een computerprogramma wou schrijven“dat controle moest uitoefenen ofwel steun verlenen aan de dagelijkse reparatie, inspec-tie, metingen van materiaal en installaties” (p. 124). Nu, vijftien jaar later, wordt hijdoor een ziekenhuis gevraagd om een programma uit te werken dat dienst moet doen als“een automatische voortgangscontrole op alle liggende, lopende en werkende patientenvan dit ziekenhuis.” (p. 124).

Krol resumeert: “‘Grappig’ noem ik dat, want of je nu met zieke mensen te maken hebtof met zieke machinerie, dat is in een wereld waar al deze dingen beschreven worden,voor iemand die daarvoor een systeem bedenken moet, precies hetzelfde. Het bewijsvan deze stelling is het feit dat ik voor de verwezenlijking van het systeem dat ik dan,eindelijk, na vijftien jaar, in werking stelde, [. . . ]” (p. 124-5). Let op de zinsnede “Hetbewijs van deze stelling is. . . ”.


142. De weg naar Sacramento, 1977. Op verschillende plaatsen in deze roman gebruikt Kroleen +-teken in plaats van het gebruikelijke woordje ‘en’ of ‘met’. Dat is het geval op depagina’s 25, 38 (2 maal), 41, 52, 62, 83, 87, 97. Ook worden vaak =-tekens gebruikt;op de pagina’s: 11,16 (zie 144), 22, 56. Een keer gebruikt Krol een ampersand in plaatsvan het woordje ‘en’, en wel op p. 59.

143. De weg naar Sacramento, 1977, p. 5. “Mijn behoefte om een variabele te zijn, in tevullen door de omstandigheden, dat heb ik wel gezien, daar tekent niemand voor.”

144. De weg naar Sacramento, 1977, p. 16. De hoofdpersoon heeft een relatie met Ria. “Iklag aan haar [=Ria’s, SC] zijde, op een morgen, in bed, en zei dat we ervoor moestenwaken dat we niet onverwacht, door onderdruk, ergens naar binnen getrokken werden.Maatschappelijk.(Ik had net gelezen dat aminozuren, de bouwstoffen van eiwitten, kunnen ontstaan dooreen plotselinge druk.)

Druk = warmte.

En dat is het verband. Puur formeel. Qua inhoud heb ik er op het ogenblik niet veelaan toe te voegen.”

145. De weg naar Sacramento, 1977, p. 26. “Er is een stelling die zegt dat een mens tot zijngrootste prestaties komt als hij daartoe geprikkeld wordt. Als je dit verhaal leest, zou jedoor de vele voorbeelden geneigd zijn die theorie te geloven. Iemand wordt geprikkeldtot een bepaalde daad, ten slotte komt hij tot die daad en door inductieve bewijsvoeringlukt het je een theorie op te zetten die dit verschijnsel beschrijft [. . . ]”.

146. De weg naar Sacramento, 1977, p. 34. De hoofdpersoon bewijst dat een vrouw nietvolstaat om hem te veranderen. “Daarom: als er een vrouw is die mij wil veranderen,het ik altijd twee nodig, of x , waaruit volgt dat het niet goed is voor een vrouw om haarkerel te willen veranderen.”

147. De weg naar Sacramento, 1977, p. 42. “De kunst is, lijkt mij, om iets wat je x keergezien hebt, de (x+1)-de keer niet meer te zien en deszelfs plaats te laten innemen doorwat op dat moment in je opkomt.”

148. De weg naar Sacramento, 1977, p. 47. “Vierde bedrijf. De extensie van de individueleuitdrukking ‘er is maar een Karel I’ is het individu dat ermee bedoeld wordt.De intensie van deze individuele uitdrukking is het begrip Karel I. En voorts een uit-eenzetting hoe sommige extenties kunnen worden teruggebracht tot intensies, d.w.z. deelementen van een verzameling tot de eigenschappen van die verzameling. Op die manierkunnen ze je altijd pakken: ze bedoelen iets en ze bedoelen jou (vrij naar Carnap).”

149. De weg naar Sacramento, 1977, p. 48. “Iemand die nooit spijt heeft van iets, is daariets verkeerds mee? Je moet niet denken dat het dan iemand is die precies weet wat hijwil. Integendeel. Meestal wil hij niks. Stelling.”

150. De weg naar Sacramento, 1977, p. 52. “Veel van wat hier staat heb ik al ’s eerdergeschreven, maar dan in een wetenschappelijke stijl omdat je ook wel ’s wat wilt, maarals ik het dan na een paar weken overlees, heb ik geen idee waar het over gaat. Via diestijl is het geschreven, maar komt het niet wederom tot mij. . . ”


151. De weg naar Sacramento, 1977, p. 58; cursivering in origineel. “En net als Dubcek, inTsjecho-Slowakije, na zijn val, zit ik op een zijspoor: special studies. Dit keer gepaardgaande met een hoop rekenwerk, zoveel dat het een stuk persoonlijk beleven wordt, aldie getallen. Eindelijk ook de fysische betekenis van het beroemde verschil van tweekwadraten: a2 − b2, ontdekt. Som maar verschil, oftewel: de lengte (a − b), maal hetgemiddelde (a+b)/2. Als je het produkt van beide neemt, heb je daarmee alles gewogen.Goed, dat begrijp ik dan. En dan begrijp ik ook hoe het komt dat die stroomvergelijkingendie je overal ziet, zo zelden tot goede resultaten voeren, want wat u hierboven gelezenhebt, is wel een erg eenvoudige hypothese. Was het maar zo!Natuurlijk gebruikte ik formules, want hoe moet je die boel anders begrijpen; maar welkeformules dat moeten zijn?

Filosofie: dingen die hetzelfde zijn van elkaar halen zodat je het verschil ziet (a−b). Enpas als je het verschil ziet en voor de onderdelen verschillende namen hebt gevonden,deze delen weer samenvoegen (a + b) en laten zien dat ’t hetzelfde is.”

152. De weg naar Sacramento, 1977, p. 77. “Men heeft het vaak over vlinders en wat eenmooie kleuren die beesten hebben. Maar waarom onze dierbare uitspraken te beperkentot vlinders wier kleur tussen 4000 en 8000 angstrom valt; waarom geen uitsprakengedaan over vlinders die geen kleur hebben, b.v. vlinders die je niet ziet? Dat betekenttoch helemaal niet dat ze er niet zijn? Algemeen: als je een uitspraak doet over X , danmoet die uitspraak ook gelden voor iets dat een verlenging is van X .Want: waar houdt X op? Dat kun je toch niet alleen aan die uitspraak zien?Bovenstaande resultaten vallen onder het hoofdstuk ‘Onzin uit de logica’. Je hoeft nietbang te wezen dat de wetenschap er gebruik van zal maken. Alleen ik doe dat wel.Automatisch en omdat ik voel dat ik zo moet denken. Anders kan ik beter niet denken.”

153. De weg naar Sacramento, 1977, p. 88. “Meten hoeveel Dood er onder de mensen is —in alle lagen van de bevolking en in alle landen.Met dood wordt bedoeld: dat gedeelte onder de levende mensen dat niet van de ene dagop de andere zomaar verdwijnt of verandert. Juist doordat dit dode deel niet veranderten juist doordat het onder de druk van het veranderende deel (het leven) niet verandert,is het levende in staat zich tegen de dood af te zetten en tot een soort bloei te komen.Stelling.”

154. De weg naar Sacramento, 1977, p. 92. Op deze pagina geeft Krol eens te meer een“Opgave” aan de lezer mee.

155. De weg naar Sacramento, 1977, p. 105; cursivering in origineel. Krol heeft het overde politiek, en hoe die volgens hem in zijn werk gaat. “Het doel wordt bepaald door xmensen die voor wit gestemd hebben, een heilige kleur, en de middelen worden toegepastop de 100−x mensen die tegen wit gestemd hebben omdat het zwart was.

Ik denk dat ik van beide partijen de afvallige was: partij en tegenpartij. Ik heb het wel ’svaker gezegd. Dit is gewoon een wereld, de maatschappij. En ik ben een andere wereld.En nog een paar met mij. Hoe ziet deze wereld eruit? Ik zal ’m niet definieren in termenvan de genoemde maatschappij, zelfs niet in negatieve termen daarvan. . . ”

156. De weg naar Sacramento, 1977, p. 110-111. “M.a.w.: hoe precies weet je dat uit hetene het andere volgt, (a) als ze geen relatie hebben zodanig dat het ene op het andere


volgt (misschien gaat het er wel aan vooraf), (b) als ze geen relatie hebben zodanig dathet ene van het andere verschilt?”

157. De weg naar Sacramento, 1977, p. 111. Los van de alinea’s errond, lezen we hierplots deze korte alinea: “. . . drongen bent, draagt sterk bij tot het inzicht dat. . . (laatstestelling).”

158. De weg naar Sacramento, 1977, p. 119. De hoofdpersoon denkt terug aan al zijn (stukvoor stuk op de klippen gelopen) relaties van de laatste tijd. “Ach Ria. Ach Deborah.Ach Annabella. Ach Sheila e.a. Een n-werf ach.”

159. Een Fries huilt niet, 1980, p. 5-6. De verteller beschrijft een kantoorgebouw. “Iedermens, in het gebouw, heeft een bepaalde functie. Die functie is ergens beschreven en alshij vertrekt, die man, dan wordt hij vervangen door iemand die dezelfde functie vervult.Al die verschillende functies zijn op elkaar ingesteld. Ze vormen samen een ruimtelijknetwerk dat precies in dat kantoor kan worden opgespannen.”

160. Een Fries huilt niet, 1980, p. 8. “‘. . . zonder geld geen dichter.’

‘Iedereen heeft een zeker gevoel voor schoonheid, alleen jij, Robert Roffel, hebt het niet.’Uitspraak van onze leraar Nederlands. Omdat ik gezegd had van dat geld.Ja, als het om poezie ging was ik hard. Keihard. Languit in de bank keek ik naar deontreddering die ik teweeg had gebracht, met mijn stelling. Geborgen in de zekerheiddat niemand mij begreep.”

161. Een Fries huilt niet, 1980, p. 11. “Agnes Schonfeld, mijn vriendin, kwam ik [=RobertRoffel, SC] nog een keer tegen, op de Oude Binnenweg. Ze zag me nıet. Ik stond vooreen etalage en zag haar, weerspiegeld, voorbijstappen met d’r mandje vol Franse boekenaan de arm. En d’r Franse paardestaartje.

Precies zo werkt een halfgeleider. Ik zag haar, maar zij mij niet; de stroom gaat slechtseen richting uit.

Je loopt op ’r toe en haar gezicht plooit zich in een lach van herkenning en blijdschap.Je keert je om, bestudeert de inhoud van een etalage. Zij loopt nietsvermoedend achterje rug voorbij.Een isolator ben je, op die manier; keihard.

Een versterker die niet gebruikt wordt.”

162. Een Fries huilt niet, 1980, p. 30. Robert Roffel denkt na over het spel Stratego. Vanalle stukken zou hij het liefst verkenner zijn. “Want waar elk stuk per zet maar een veldbeweegt, kan de verkenner, als de weg daartoe vrij is, het hele bord oversteken en tegenhet vijandelijke stuk geplaatst vragen: wie ben jij? En voor het antwoord op die vraagzijn leven geven.

Interferometrie — zoals ik denk dat dit vak eruit ziet: twee lijnen die elkaar snijdenonder een scherpe hoek. Een kleine beweging en het snijpunt schiet over het papier.Een beweging die door niemand waar te nemen, of te voorspellen viel. Het enige stukdat er nog staat is de vlag.”

163. Een Fries huilt niet, 1980, p. 31. “Je gaat in spreidstand staan, om een brede basis tehebben. Je waarde ontleen je aan de breedte van je basis. Soms is die basis erg breed


en lig je zelf, mijlen ver uit elkaar, plat op de grond. Niemand ziet waar je mee bezigbent. Je werkt hard en niemand ziet je.” Met basis bedoelt Krol hier duidelijk de basisvan een gelijkbenige driehoek, waarvan de twee schuine zijden deze keer ook letterlijkbenen zijn.

164. Een Fries huilt niet, 1980, p. 32; cursivering in origineel. Roffel schrijft voor zijn vriendJohn een grappig stuk over de werking van een kantoor aan de hand van een metafoormet liften. “Er zijn vele mogelijkheden om dit proces, dat ten allen tijde plaatsvindt, tebeschrijven. Ik had het voor John met formules gedaan en die formules beschreven dehoeveelheid informatie die er in die liften op en neer ging. ‘Informatie’, dat was toenin de mode en het stuk zou ook gretig door anderen gelezen zijn als het geen formuleshad bevat want formules daar hebben de lezers, vooral als zij tot de oppervlakkige soortbehoren en de mode volgen, moeite mee.”

165. Een Fries huilt niet, 1980, p. 39. Roffel zit aan boord van een internationale sneltreinmet bestemming Parijs. “Zonder te stoppen rijden we de kleine stationnetjes voorbijplus de mensen die daar op de perrons staan te wachten, smal en hoog als potloden:door Lorentz’ ruimtecontractie, zo verbeeld ik mij in mijn superieure vaart.” Maar helaastreden er zelfs bij de moderne hst’s nog geen merkbare relativiteitseffecten op.

166. Een Fries huilt niet, 1980, p. 43. Krol gebruikt eens te meer in lopende tekst eenplusteken: “Je kunt het vergelijken met een tv-toestel dat steeds maar het testbeeldlaat zien + het melodietje ten teken dat zender en toestel in orde zijn.”

167. Een Fries huilt niet, 1980, p. 47. Hier vinden we dan weer een gelijkheidsteken weer:“Een quantum. Quantum (Lat.) = hoeveel?”

168. Een Fries huilt niet, 1980, p. 51. “‘Het enige dat ik weet is dat ik niets weet.’

Zo spreekt vanavond de filosoof Ezechiel en ik begrijp hem. Wat hij beweert is dat hij,in zijn gewoonte om kennis samen te vatten, de limiet bereikt heeft, nietwaar? En hoemeer kennis hij vergaard heeft, des te lager zal die limiet blijken te zijn. Ezechiel grijnst;hij is blij dat ik hem begrepen heb en staat op.”

169. Een Fries huilt niet, 1980, p. 53-54. Roffels vrouw, Yvonne, verloochent hem waar hijbij zit. Ze beweert sterker te zijn dan hij. “Met die formules aan de gang. Om haarte laten zien dat de waarde van een groep gelijk is aan de waarde van de som van dewaarden van de leden + de som van de kwadraten van de niveaus van de leden. Voorn = 2 definieert het de waarde van een huwelijk; het verschil definieert het effect van eenverhouding, hetgeen verklaart waarom Yvonne het nodig vindt om haar vriendinnen tevertellen dat zij van ons tweeen de sterkste is. Yvonne denkt aan een krachtsverschil,maar het is het niveauverschil dat ter zake doet en daarover hoeven we niet in discussiete treden. Wel verklaart het haar vechtlust, en mijn gewoonte om haar te laten winnen.”

170. Een Fries huilt niet, 1980, p. 55; cursivering in origineel. “Als je een hierarchie tekent,teken je de leiding aan de top, maar je zou de leiding beter in het zwaartepunt kunnentekenen, in het midden, met lijnen naar alle kanten.”

171. Een Fries huilt niet, 1980, p. 59. “Over het gedrag van waterdruppels. Stelling. Komentwee waterdruppels met elkaar in contact, dan zullen ze samenvloeien tot een grote


druppel. Het omgekeerde proces, het spontane splitsen van een grote druppel, komt nietvoor.”

172. Een Fries huilt niet, 1980, p. 61. “Ik was bezig met wat men, meen ik, de droomvan Comte noemt: het formaliseren van menselijke bewegingen, in het bijzonder debewegingen in groepsverband. Ik was daarmee bezig, ongeveer zoals een blinde, stelik me voor, bezig kan zijn als hij probeert kleuren te definieren door daar originele enwerkelijk geheel nieuwe gedachten over te hebben.”

173. Een Fries huilt niet, 1980, p. 74. Roffel begint ernstige bedenkingen te krijgen bij zijnhuwelijk met Yvonne. “Niets, niets hebben we gemeen, Yvonne en ik. Waar zij hoogteheeft, heb ik basis en breedte, of waar ik diepte en hoogte heb, heeft zij breedte, zegmaar uitgebreidheid. Ongeveer zoals een radiogolf zich voortplant: trillend in een tweetalrichtingen die loodrecht op elkaar staan, en loodrecht op de richting van de golf zelf.Samen brengen die trillingen de golf voort en die golf dat waren wij, het enige dat wijgemeen hadden.”

174. Een Fries huilt niet, 1980, p. 82-83. Na vele jaren loopt Roffel Agnes Schonfeld, bij-genaamd Schone, weer tegen het lijf. “Getallen, zegt Schone, jij bestaat uit getallenen wij beiden denken dat deze voorkeur voor getallen, deze liefde voor het rekenen eenwetenschappelijke instelling verraadt, maar wat stelt het eigenlijk voor, die handigheid inhet rekenen? Rekenen deden ze allemaal, in de Middeleeuwen, de filosofen incluis, maarGalileı [sic] was de eerste die aantoonde dat het nodig was om te meten.En nu weet ik ook waarom ik in mijn leven en in mijn waarnemingen nooit wetenschap-pelijk ben geweest. Ik kan niet meten.”

175. Een Fries huilt niet, 1980, p. 88-89. “Komt in de natuur een rechte lijn voor? Kijk maar’s om je heen. Het zal je tegenvallen. Nauwelijks. De rechte lijnen die je ziet zijn alledoor mensen gemaakt.Behoort de mens tot de natuur? Ja. Dan komen er in de natuur dus veel rechte lijnenvoor.Waarom houdt speciaal de mens van rechte lijnen? Ik denk: voor het gemak. Als jetwee punten van een rechte lijn weet, ken je de hele lijn. Handig voor timmerlieden,bij het meten, maar ook filosofen hebben er wat aan. Want wanneer noem je een lijn‘recht’? zo vraagt de filosoof zich af. Op die vraag een sluitend antwoord geven, is nieteenvoudig. Probeer het maar ’s. Een lijn is recht al hij langs een liniaal getrokken is,maar hoe weet je of die liniaal recht is? Een zonnestraal. Een rechte lijn wordt wel ’svergeleken met een zonnestraal, want die is zeker recht, maar hoe vergelijk je iets meteen zonnestraal? Bovendien: in je model dat bestaat bij de gratie van het papier is hetwoord ‘zonnestraal’ taboe, evenals het woord ‘liniaal’ trouwens. De beste definitie is nogdeze: een lijn is recht als hij door twee punten bepaald is.Er is veel regelmaat in de natuur. En herhaling. Regelmaat in de ruimte. Kijk maarhoe bijvoorbeeld in de berm een grasklokje met zijn vijf punten de ruimte opspant, allegrasklokjes doen dat, allemaal op een congruente manier, en verwonder je je er maar ’sover, voor een keer, dat elke mens weer twee benen heeft. Reeds in de oudheid had demens twee benen. Maar ook de mens van de toekomst heeft er twee. De mens kenmerktzich in dit opzicht door regelmaat. Regelmaat is een verschijnsel waaruit de parametertijd verdwenen is. Verschijnselen die een functie zijn van de tijd, zijn niet regelmatig.Het ene brengt het andere voort. Het zijn wat men noemt: ontwikkelingen.


Hoe komt het nu dat een ontwikkeling nooit volgens een rechte lijn verloopt?Waarom gaan ontwikkelingen vaak sneller dan wij denken?De weg die wij volgen met ons denken is, noodzakelijk, een rechte weg; op een anderemanier denken kunnen wij niet. Je kunt daaruit afleiden dat de rechte lijn van ons denkenvan alle mogelijke verbindingen de grootst mogelijke afstand voorstelt. Talloos zijn dewegen die korter zijn. Dat verklaart ook, misschien, de verscheidenheid in de natuur.”

176. Een Fries huilt niet, 1980, p. 91. Krol sluit een (niet-wiskundige) paragraaf af met“Q.e.d.”

177. Een Fries huilt niet, 1980, p. 92. “Het gevoel, na al die jaren, dat je op de top vaneen heuvel bent aangekomen. Hoger kon ik niet. Anderen wel, maar ik niet. Ik konalleen nog maar naar beneden. Opgevat in de zin van het leven, mijn bestaan, lijkt dattragisch, maar alleen wanneer je je het leven voorstelt als een eendimensionale baan. Jemoet het ruimtelijk bekijken. Er is maar een top, maar eenmaal op de top aangekomen,zijn er vele neergangen.”

178. Een Fries huilt niet, 1980, p. 101-103; cursivering in origineel. “Je hebt in de wereldtwee soorten mensen: (a) mensen die op weg zijn naar iets, die een bepaald soort doelvoor ogen hebben, de verbetering van het een of ander en (b) mensen die min of meerop hun plaats zijn. Ze hebben geen doel voor ogen, want dat zijn ze zelf, ze bewegenwel, maar nemen de kern van die beweging met zich mee.Al deze mensen samen vormen, met hun bewegingen, een patroon dat veel weg heeftvan een weerkaart: er zijn gebieden met veel beweging (a), er zijn spiraalvormige bewe-gingen (b), met een middelpunt (c), dat middelpunt beweegt en er zijn gebieden zonderbeweging (d).

Langs a is maar een beweging mogelijk. In b merk je dat er meer bewegingen zijn,die elkaar beınvloeden of zeg maar hun weg zoeken door elkaar heen en resulteren ineen nieuwe beweging c die in een ander systeem misschien weer een a-beweging is, ofeen d-beweging (als het middelpunt niet meer voortbeweegt). Misschien is d wel eenc-beweging op het tijdstip O, wanneer stilstand

verandert in


(beweging).

Je kunt van alles verzinnen met dit model. Het is daarom ook niet zo’n interessantmodel. Het interessante is eigenlijk alleen maar deze figuur:

twee logische, of historische bewegingen die, heb ik gezegd, elkaar ‘beınvloeden’. Hoegebeurt dit beınvloeden?We zijn zo gewend oorzaak en gevolg logisch te verklaren en dit lukt ons vandaag zogoed, dat we ons aangeleerd hebben allerlei zaken die met elkaar te maken hebben in eenbepaalde volgorde te plaatsen. Vooral als we plannen uitvoeren denken we dat de diverseonderdelen ervan na elkaar, in wat we noemen: fases, moeten worden uitgevoerd.De werkelijkheid is natuurlijk heel anders. Veel dingen gebeuren als gevolg van eensamenloop van omstandigheden, d.w.z. als een gevolg van twee gebeurtenissen diegelijktijdig plaatsvinden. In de logica wordt zo’n gelijktijdigheid aangegeven met het ‘en’-teken, maar waar de logica geen rekening mee houdt is dat op het moment van treffenbeide gebeurtenissen elkaar beınvloeden: er vormt zich in elk van de gebeurtenissen eenafbeelding van de andere. Vinden beide gebeurtenissen in ons hoofd plaats dan noemenwe het effect een associatie; verkeerstechnisch heet het een botsing, of ongeluk, datvermeden dient te worden, maar in ons model zijn zulke botsingen aan de orde vande dag. Je kunt het aantal botsingen afmeten aan het aantal woorden dat de mensengebruiken. Hoe meer woorden, des te meer en des te heviger de botsingen.”

179. Een Fries huilt niet, 1980, p. 105. “Het was 21 maart, de dag dat de zon loodrechtboven de evenaar staat, een schaduw ter grootte van je hoed om de voeten als je op deevenaar staat. En op 21 juni staat de zon boven de kreeftskeerkring. Aswan. Havanna.Ook in die plaatsen kun je, een dag per jaar, een schaduw om je voeten hebben die degrootte heeft van je hoed. Maar noordelijker kan de zon niet komen.”

180. Een Fries huilt niet, 1980, p. 107. “Met Nico Parcival stond ik op een avond bij eenbushalte; ik had toch niets meer te doen. Ik vertelde hem, terwijl het zachtjes begonte regenen, dat ik, omwille van de stijl, als dat nodig was, graag zou beweren dat eenparabool twee brandpunten had — wat dus niet waar is. Hij glimlachte en vroeg of ikde stelling van Brouwer kende: twee vellen papier liggen op elkaar. De bovenste trek jeeraf, je maakt er een prop van en die gooi je terug op het vel dat er nog ligt. Dan kun jebewijzen dat, hoe je die prop ook maakt, en hoe je ’m ook gooit, er altijd wel een puntis dat loodrecht ligt op de plaats waar hij vandaan komt.De bus arriveerde en nam ons mee. De bus stopte en Nico, met een zwaai om deverticale chromen stang, stapte uit. De bus reed verder, de buitenwijken in. In de


flatgebouwen flikkerden de tv-toestellen, allemaal hetzelfde beeld. Nederland ontvangt.En het regent. Het regent hard en verticaal.Waarom denk ik dat ik dat ene punt ben?”

181. Een Fries huilt niet, 1980, p. 108. Roffel bedriegt Yvonne met haar eigen zus, die in deroman kortweg Zus genoemd wordt. “Zus slaapt en ik lig wakker. Geen twee mensenzijn gelijk. Dat is een stelling die ik hier graag plaats, en geen twee verschijnselen zijngelijk. Er zijn geen twee zaken in de wereld gelijk aan elkaar.Gelijk zijn twee zaken als ze dezelfde functie hebben. Twee personen, twee zusters, zijngelijk als ze eenzelfde functie hebben.”

182. Een Fries huilt niet, 1980, p. 109-110. “Al die mensen in de diepte. Ik zie ze door hetene raam en door het andere raam zie ik ze terug, al bezig de bocht in te gaan.Tussen deze verschijnselen, zo redeneer ik, bestaat een oorzakelijk verband dat je deduc-tief noemt: A→ B.

Als je in A een persoon voorbij ziet gaan, dan zie je hem even later in B weer, eenverband in de tijd, dat net zo goed de andere kant op gaat: als je iemand in B ziet,dan heb je hem ook in A gezien: B → A. Er geldt dus A = B, wat, als je beide ramensamenvoegt tot een, vanzelf spreekt: het is dezelfde persoon geworden, inclusief de wegdie hij gaat + bocht, alles hoort erbij, het is een en hetzelfde verschijnsel.Zo meende ik op school dat de aarde die, hoe zwaar hij ook is, met een vaart van 30 kmper seconde door de ruimte zeilt, door de zon werd aangetrokken met een kracht die netzo groot was als de kracht die hij zelf heeft door eenparig langs een rechte lijn voort tegaan en die hem van de zon afdrijft en dat hij daarom in zijn baan blijft. Wat een gelukdat die krachten beide precies even groot zijn, heb ik altijd gedacht, het kleinste verschilzou onze aarde al uit zijn evenwicht hebben gebracht, maar nu weet ik, voorgelichtdoor de wetenschap, dat er op de aarde, in zijn baan, helemaal geen krachten wordenuitgeoefend. Hij volhardt eenvoudig in de beweging die hij met eenparige snelheid langszijn eigen baan volvoert: een rechte lijn, zoals Newtons wet ons leert, die ieder van onsvolgt door het leven. . . gekromd, door het werk oftewel het geld. Het is hetzelfde, er isvan beide evenveel en dat is geen toeval; de mensen die in dat krachtveld gevangen zijnzorgen ervoor dat dat evenwicht gehandhaafd blijft.De zwier waarmee ik de trappen neem van het bankgebouw, door de draaideur naarbinnen en weer naar buiten ga en de jas sluitend dezelfde weg terugga, deze weg is inzijn geheel de kortste weg die men gaan kan, een kortere weg is er niet in het leven.”

183. Een Fries huilt niet, 1980, p. 116-117. “Een kettinkje dat je om je vinger slingert.Steeds sneller gaat dat. En zo gaat de tijd, naarmate je ouder wordt, steeds sneller, datis bekend. Misschien omdat de tijd die je over houdt steeds korter wordt? Ik denk dat’t komt omdat de dagen in de ouderdom steeds meer op elkaar gaan lijken.Het leven van iemand die niet zo snel meer gaat en op een dag er mee uitscheidt zonderverlangen naar wat hij achterlaat — zo’n dood is een limiet, een krul naar binnen toe.


Al die kronkelingen die mensen maken, net een doolhof. Ik bedoel: er is maar een wegvoor ieder van hen en wat ze doen, dag en nacht, is die weg bestendigen en u herinnertzich misschien het verhaaltje dat ik heb verteld van die bloemen en hun regelmaat, detreurige regelmaat van zelfs zoiets dichterlijks als een roos die nu eenmaal een roos is,en we zien nu dat die weg een rechte weg is. Eendimensionaal, zo noemt Marcuse hetop de omslag van zijn onleesbare boek en hij heeft gelijk. Daarom citeer ik hem.

‘One-dimensional.’ Marcuse.

Ik heb het begrepen, mijn leven. En het leven van anderen. Allemaal vierkante lussendie in elkaar passen. En elk van die lussen wordt door de andere bepaald. Bovendienheb je nog steeds het idee dat het een spel is.”

184. Een Fries huilt niet, 1980, p. 117. “Op een conferentie naast het bord staan en latenzien dat er om de kern per baan maar twee elektronen kunnen cirkelen. Deze elektronendraaien, als een tol, ook nog ’s om hun eigen as, en wel in tegengestelde richtingen.Welnu, die ene baan die beide elektronen beschrijven. . . zijn dus eigenlijk verschillendebanen. Elk elektron heeft zijn eigen, unieke baan. Dat het je nu bewezen. Het wordtlater het Pauli-principe genoemd, omdat je Pauli heet. Je hebt gebruik gemaakt van jekennis, je praat er met groot gemak over en met humor en legt, nogmaals, het krijtjeneer.”

185. Een Fries huilt niet, 1980, p. 123-124; cursiveringen in origineel. Roffel zit op hetvliegtuig. “Hardware. Heinrich Hertz heeft een boek over mechanica geschreven in deinleiding waarvan hij stelt dat een lichaam zich voortbeweegt volgens een rechte lijnen dat, als een lichaam zich beweegt volgens een kromme lijn, dit niet gebeurt onderinvloed van een of andere kracht, nee, zo mag je dat niet stellen, dat lichaam beweegtzich volgens een kromme lijn omdat het is verbonden met een ander lichaam en weldirect: het is een lichaam, een masse, en die massa draait.Die massa is hard, stijf en, daar gaat het om, verborgen, je ziet niets. Wat bedoelt Hertzdaar nu mee?Het systeem dat hij hanteert bestaat uit twee delen: (a) de natuurlijke gang van zaken en(b) onze gedachtengang. Deze beide delen beeldt hij op elkaar af. Hertz is de uitvindervan het mechanisme van de afbeelding: door het ene te zeggen wordt het andere, dat niette zeggen valt, bedoeld. Welnu. Als het andere niet te zeggen valt, hoeft het er ook niette zijn. De harde, stijve verbinding tussen lichamen die om elkaar heen draaien en elkaarin hun kromme bewegingen beınvloeden bestaat bij Hertz alleen maar op papier: in devorm van differentiaalvergelijkingen (van Lagrange), die genoemde beweging beschrijven.Alles wat nodig is om te weten over die kracht die een lichaam drijft wordt beschrevendoor een vergelijking die de beschrijving is van de beweging van dat lichaam.Dit alles las ik in Machs Science of Mechanics, twaalf kilometer boven Europa. In destratosfeer leest men het beste.

Hardware.

Al die verschijnselen die je om je heen ziet, en verklaren wil. Het lukt je niet als jealleen maar die verschijnselen ziet, die hangen als los zand aan elkaar. Nee, wil je dieverschijnselen verklaren en hun bewegingen en de invloed die ze uitoefenen op elkaar,beschrijf dan de ruimte ertussen en beschrijf die ruimte niet als lucht, of als vrijheid, of alseen geur, maar als steen. Als een gemetselde muur, en metsel al die losse verschijnselenerin. Onwrikbaar.


Dat heb ik gedaan. Ik heb het principe van Hertz toegepast op de regels van dit boek.Daarom heb ik dit boek geschreven. Niet om te beschrijven wat ik heb gedaan, maarom te beschrijven wat hetgeen ik heb gedaan betekent. Dit boek is de kracht die mijnleven bestuurt.”

186. Een Fries huilt niet, 1980, p. 125. “Een kale, bijna abstracte vlakte. Een vlakte vanglas. En daarop een persoon die druk in de weer is. Maar uit niets op die vlakte blijktons dat wat die man doet nodig is, hoezeer hij zich ook inspant.

Ik zeg het wiskundig en precies: de activiteiten van die man zijn een functie van zijnomgeving, maar omgekeerd geldt dit niet. Zonder die man zou het precies dezelfdeomgeving zijn.”

187. Een Fries huilt niet, 1980, p. 127. Roffel beseft dat hij oud aan het worden is, hoewel hijzich nog niet oud voelt. Wel weet hij dat zijn jeugdige toekomstbeeld niet is uitgekomen:in plaats van veertig jaar getrouwd, is hij helemaal alleen.

“Nu pas komt de aap uit de mouw, bij mij.

‘Hij is sterk, met die sneeuw op zijn hoofd, hij heeft niemand nodig.’

Mensen die zich het slachtoffer van de omstandigheden noemen — nimmer zult gij totdie groep behoren, of een relatie onderhouden tot een harer leden.

Edelgas. Reageert met niets. Klasse.

‘Ik ben nu dertig en ik weet wat ik wil.’ Zus.

Ik ben nu zestig en niemand zal aan mij zien wie ik ben.”

188. De man achter het raam, 1982, p. 7. “Dit is het verhaal over een man die zijn hele levenin een stoel zit. Hij is niet ziek. Hij is gezond, en in zekere zin zelfs vitaal. Alleen: hijzit dag en nacht in een stoel. Hij is een wereld op zich. Hij is een machine, hij is eenprogramma dat de wereld op een voorgeschreven wijze verwerkt. Alles wat hij belevenzal heeft hij al beleefd, omdat het reeds beschreven is, ware het niet dat het programma,behalve de waarnemingen ook zichzelf verwerkt en dus voortdurend verandert. Nietalle programma’s kunnen dat. Men noemt dit geest. De meeste mensen hebben geenprogramma, zijn niet geprogrammeerd, maar hebben ook geen geest. Ze kletsen welveel, en huilen en lachen, maar ze weten niet hoe ze in mekaar zitten.Daarom zit die man zo rustig. Hij beleeft genoeg.”

189. De man achter het raam, 1982, p. 16-17. Adam, zo heet de AI waar deze roman overgaat, houdt zich in het begin vooral bezig met schaken, tot hij op een bepaald momentvoor het eerst een partij verliest. Hij gaat op zoek naar een nieuwe bezigheid.

“‘Kun je ook halve zetten doen als je schaakt?’‘O ja, en ook nog wel kleiner. Infinitesimaal klein. Alleen zou ik het dan liever wiskundenoemen.’Mij best. Ik had toch geen tegenstander meer. Wiskunde, dus. [. . . ]

Een paar dagen later loste ik mijn eerste meetkundeprobleem op. De lijnen lagen op dejuiste plaats, maar elke andere plaats was ook goed geweest. Om van een driehoek eenbepaalde eigenschap te bewijzen is het niet nodig hem te tekenen en toch doe je het.Zo goed als je het woord ‘driehoek’ gebruikt. Aan het woord zelf ontleen je geen enkelebewijskracht en toch blijf je over driehoeken praten.”


190. De man achter het raam, 1982, p. 18; cursivering in origineel. Voor de eerste keer krijgtAdam het woord ‘lezen’ te horen. “Lezen. Ik wist niet precies wat dat was. Een soortrekenen, maar dan met woorden en net zo nauwkeurig ook. En in een bepaalde volgorde.Daarin verschilde het van het rekenen.”

191. De man achter het raam, 1982, p. 20. Adam leest enkele dialogen van Plato. “Lysisof: over de vriendschap. In zijn dialoog met Menexeus legt Socrates op een waarlijkwiskundige wijze het mechanisme van de vriendschap uit.”

192. De man achter het raam, 1982, p. 21. Krol gebruikt een plusteken in doorlopende tekst:“in de vorm van de woorden + bij elk woord de vermelding van de zin waarin dit woordvoorkwam.”

193. De man achter het raam, 1982, p. 29. De Amerikaanse dr. Cooper is op bezoek, eenacademicus die al jarenlang onderzoek doet naar AI’s. “De waarheden die hij [=Cooper,SC] uitsprak: je kon horen dat hij ze op dat moment bedacht. Zo leerde hij ons datcontradicties geen logische uitspraken zijn en dus niet noodzakelijk onwaar. Voorts datcontradicties niet zinloos zijn of, als ze zinloos zijn, dan toch zeker niet nutteloos, wantze zijn heel goed te gebruiken. De wiskunde zit er vol mee: ze wijzen je de weg die jegaan moet of liever: niet gaan moet. Daarom is een computer niet in staat zelfstandigwiskundige bewijzen op te bouwen: omdat hij geen contradicties genereren kan.”

194. De man achter het raam, 1982, p. 30; cursivering in origineel. Rudy en Wessel, Adamsontwerpers, leggen Adam de paradox van Zeno uit (in de vorm van de pijl die stilstaaten beweegt tegelijkertijd). Adam denkt die paradox te hebben opgelost: “Zo kwam,eindelijk, de pijl van Zeno in beweging. Had al die tijd stil gestaan, ‘omdat een pijl ophetzelfde ogenblik niet op twee plaatsen tegelijk kan zijn’ — volgens een redenering dieuitgaat van de veronderstelling dat een lijn uit punten bestaat. Je kunt dan aantonendat een pijl niet beweegt. Maar nu ik! Van een bewegende pijl zijn geen twee plaatsenonderweg dezelfde. Van een pijl die stilstaat, daarentegen, zijn elke twee plaatsen aanelkaar gelijk. Uitgaande nu van de veronderstelling dat een pijl die stilstaat opgevat kanworden als twee samenvallende pijlen, kun je aantonen dat die pijl beweegt.Ik maakte het bord schoon en legde Wessel uit hoe ik dat ontdekt had. Rudy kwamerbij.‘Om te zien dat de pijl beweegt voer je twee metingen uit, in punt A, op tijdstip t(A),en in punt B, op tijdstip t(B). Om te zien dat een pijl beweegt op een bepaald punt,doe je hetzelfde. Je laat A en B in dat punt samenvallen. Ook de tijdstippen t(A) ent(B) vallen samen, het is hetzelfde tijdstip. Maar dat verhindert ons niet, zeg ik, omde twee metingen uit te voeren die nodig zijn om vast te stellen dat de pijl in dat puntbeweegt. En in elk punt. Daar gaat hij.’ ”

195. De man achter het raam, 1982, p. 34-35. “Kan een machine denken, zo luidt de klassiekevraag, die eigenlijk nog niet een goed antwoord heeft gekregen. Hij zou goed logischkunnen denken. Als je tevreden bent met die beperking, dan luidt het antwoord: ja. Jehebt niet door, dat je iets hebt gezegd over dat ‘logisch’, niet over het denken. Je weetwel hoe hij denkt, niet wat hij denkt. De machine zelf weet dat jammer genoeg ook niet.Het antwoord op de vraag luidt dus, juist als de machine logisch te werk gaat: neen.Toch is het een vreemde ziekte. Wessel zowel als Rudy lijden eraan: te geloven datje aan zekerheid wint door je ideeen te baseren op iets. Ze beroepen zich daarbij op


verschijnselen die ze evident noemen en de beschrijving ervan noemen ze axioma’s. Inhun ogen is dat het begin, en dat geeft hun denken rust. Volgens mij is hij het begin:de eerste vraag die je stelt en als je, door steeds meer vragen te stellen, uitkomt bij dieaxioma’s, is dat zeker niet het begin, maar een einde.‘Wat jij een einde noemt, noemen wij een begin.’‘Het begin.’‘Een begin.’‘Hoe dan ook, het verklaart dat je niet verder teruggaat,’ zegt Wessel.‘Als je verder teruggaat, kom je in een cirkelredenering,’ zegt Rudy.Jaja, beaam ik gretig, dat is wat ik wil: cirkelredeneringen, maar aan hun gezichten zieik dat het niet goed is om dat te willen. Je moet een keer stoppen.”

196. De man achter het raam, 1982, p. 37; cursivering in origineel. “De volgende dag zit iktegenover Rudy, het ene been over het andere geslagen, om hem een idee te geven hoeik zit. We hebben het over random number generators. Hoe die werken. Ik zit stikvolvan die dingen. Samen dienen ze ertoe om van mij een geheel te maken. Elke generatorin mij is in zijn werking volmaakt willekeurig. Niets in mij is voorspelbaar. Niettemin,wat je met zekerheid kunt zeggen is dat ook ik functioneer volgens de wetten van destatistiek. De vraag is nog steeds of ik werkelijk intelligent ben.”

197. De man achter het raam, 1982, p. 39. “Rudy, Wessel, zeg ik. Jullie laten mij een aantalwiskundige stellingen bewijzen. Ik kan dat. Als je me maar vertelt hoe ik dat moetdoen, doe ik het feilloos, wat jullie de zekerheid geeft, dat je ideeen goed zijn. Goedgeprogrammeerd. Ik bewijs dat de wortel uit 2 een irrationaal getal is. Ik doe dat ineen aantal stappen. In nul stappen dus. Voor dat bewijs heb ik nodig dat het kwadraatvan een even getal een even getal is, en het kwadraat van een oneven getal een onevengetal, waar weer een ander bewijs voor nodig is. Beide bewijzen hebben met elkaar temaken, volgens jullie. Daarom kun je ze apart houden. Ik zie tussen beide stellingen pasverband als ik ze onderbreng in een grote stelling. Maar jullie doen dat niet. Volgensmij begint de wiskunde dus telkens opnieuw, maar verband ertussen zie ik niet.”

198. De man achter het raam, 1982, p. 41. “De zin van het leven is iets dat meestal aan heteind ligt. Aan het eind van je leven leer je vaststellen hoe het leven had moeten zijn, enwelke weg je daartoe had moeten nemen: altijd een rechte. Speciaal als je een omweghebt gemaakt. Aan het eind van je leven is die omweg recht.”

199. De man achter het raam, 1982, p. 45-46; cursiveringen in origineel. “Over de wettender natuur wist ik het volgende te zeggen:

Wat voor het algemene geldt, geldt niet voor het bijzondere.Wat in het groot geldt, geldt niet in het klein.Dat goud geel is, betekent niet dat een goudatoom geel is.Dat goud geel is, komt omdat wat je bekijkt allemaal goudatomen zijn.Aan elke natuurwet lig de wet der grote getallen ten grondslag, zo schreef Rudy in eenbrief. Honderdduizend keer moet iets gebeuren, voordat iets anders geldt.Ik zag honderdduizend deuren openstaan — achter elkaar. Een open deur die uitzichtgaf op een geopende deur die mij uitzicht gaf op een derde geopende deur die mij uit-zicht gaf op een vierde geopende deur die mij uitzicht gaf enz. Achter elke deur zag jeweer een volgende. . . Honderdduizend verschijnselen die samen de basis legden voor een


theorie: al die deuren staan op een rechte lijn. Misschien zie je helemaal geen deuren,misschien zie je alleen maar die openingen achter elkaar en noem je dat uitzicht — alsje waarde hecht aan wat je ziet, of inzicht, als je meer waarde hecht aan hoe je ziet.Er is een tekening, van Escher, die illustreert dat het mogelijk is om een aantal verschil-lende openingen te zien in een ruimte die alleen maar een herhaling van dezelfde ruimteis. En als je niet kijkt naar de openingen, maar naar de structuur ervan, zie je nog veelmeer: een onbeperkt aantal verschillende structuren — in een ruimte die overal dezelfdestructuur heeft.Hoe meer je kijkt, hoe meer je ziet.”

200. De man achter het raam, 1982, p. 46-47. Adam zegt over zichzelf dat hij aan iemandsuitspraak kan horen of hij de waarheid spreekt of niet; Wessel vindt dat erg knap. “Hijoppert het idee dat hij ten opzichte van mij een analfabeet is, die het hebben moet vanongearticuleerde geluiden. Ik geloof het niet. Het enige verschil tussen hem en mij isdat ik mezelf met m’n eigen ogen kan zien. Wessel niet. Die kan zichzelf niet met zijneigen ogen zien. Onze conversatie is dus beperkt. Er is die beroemde stelling van Godel,die zegt dat iets waar kan zijn, zonder dat je het kunt bewijzen. Voor het bewijs van diestelling is een zin nodig die zichzelf beschrijft. In een automaat is dat de instructie diezichzelf onder handen neemt, met alle kansen op strijdigheid.”

201. De man achter het raam, 1982, p. 77. Krol gebruikt een gelijkheidsteken in doorlopendetekst: “Het verliefde jongetje = het jongetje dat met het meisje stoeien wil, maar nietdurft.”

202. De man achter het raam, 1982, p. 80-81; cursiveringen in origineel. “Ik zag de golvenbreken op het strand, de ene na de andere — het strand riep ze een halt toe. Maarzonder strand zouden er helemaal geen golven zijn. Zolang er een strand was, waren ergolven. Elke golf kwam op het hoogtepunt van zijn bestaan aan z’n einde en ik merktedat ik, doordat ik meervoud en enkelvoud door elkaar haalde, verward raakte in mijnfilosofie. De continuıteit van het strand ging over in de discontinuıteit der golven, je konze tellen: 1, 2, 3, enzovoort, tot in het oneindige, maar ik wist niet of ik niet eigenlijksteeds dezelfde golf zat te tellen.Je ziet het ook bij een vlag, als die wappert in de wind: golvend stroomt het dundoekuit de stok die ’m houdt en zo stroomt de zee op het land toe: het is steeds dezelfdezee, hetzelfde water, dat begreep ik ook wel, want het stroomde terug. Je zag de zee,op het strand te pletter geslagen, onder zichzelf door terugstromen.En toen dacht ik: heeft alle water wel aan deze golfslag meegedaan? Zouden er niet,ergens middenin, waterdeeltjes zijn die op hun plaats blijven liggen? Ik dacht dat ik konbewijzen dat er langs het strand minstens een rij van watermoleculen, elkaar de handgevend, op zijn plaats bleef. ’n Verbazende gedachte! En verbazend in het kwadraatals je beseft dat je je verbaast over iets dat stilstaat. Het is duidelijk dat er aan hetstrand veel meer water is dat wel beweegt dan water dat niet beweegt en dat dat — deovermacht van het aantal, de grote kans dat een bepaald waterdeeltje beweegt — dezee z’n bewegingen geeft en z’n regelmaat. Een natuurwet kortom.En zo ook is het een natuurwet dat ik elk meisje dat langs komt als zodanig observeer.Ik ben een eenvoudige, constante minnaar. Elk meisje is voor mij hetzelfde en samengeven ze me ’n goed idee van wat een meisje eigenlijk is, in haar algemeenheid. Zoalseen wiskundige zijn driehoek tekent in het zand: kromme lijnen, want het zand werkt


niet mee. Maar wat hij bedoelt, natuurlijk, zijn rechte lijnen of zelfs dat bedoelt hij niet.Hij bedoelt elke lijn.Teken maar honderd keer dezelfde driehoek, en teken al die driehoeken over elkaar heenen neem van elke lijn het gemiddelde, dat bepaalt de eigenschappen van een lijn, zoalsde regelmaat van de zeegolven bepaald wordt door de eigenschappen van het gemiddeldezeemolecuul.Ik stond op. Ik had het gezien en begrepen en liep op een draf langs de waterlijn terugnaar Zandvoort.”

203. De man achter het raam, 1982, p. 81-82. “De nieuwe filosofie leert je dat alles verandert,de nieuwe natuurkunde leert je dat ook. Daarentegen: de wiskunde leert je dat wat waaris, altijd waar is, en niet verandert. Beide wijsheden zijn verenigd hierin dat de tweedeeen beschrijving is van de eerste.‘Vind je dat niet komisch?’De wijsheid van het eeuwig veranderlijke verklaard door de wijsheid van het eeuwigonveranderlijke.”

204. De man achter het raam, 1982, p. 83. Adam vertelt dat zijn huis een beetje scheef staat.“Melk in de flessen als ellipsen.”

205. De man achter het raam, 1982, p. 89. “Je zit op de fiets en je rijdt weg. Op het momentdat je stil staat is je snelheid nul. Hoe verhoudt zich deze stilstand tot de snelheid als jeeenmaal rijdt? Daar ligt toch een oneindigheid tussen?”

206. De man achter het raam, 1982, p. 118-119. De roman eindigt met de dood van Adam;dit is het slot: “In het vuilnisvat spat ik uit elkaar en diep dring ik met mijn scherven doorde vuilnis heen. Ik denk aan de tijd dat ik, met armen en benen, een geheel was en ik denkaan de dood die ik thans ben ingetreden, nu mijn atomen over de aarde zwervend hunvrijheid hebben teruggekregen. Maar niet helemaal — nooit helemaal. Denk maar aandie mooie plaat van Escher. Er is altijd een plaats vanwaaruit die atomen, zo verspreiden beweeglijk, een geheel blijken te zijn, een ogenblik.En zolang er iemand is die dat ziet, en dat ziet als een geheel, zolang staat de rivierterwijl hij stroomt stil.Rudy en Wessel wil ik danken voor het vele werk aan mij verricht. Rudy die mij heeftgemaakt en Wessel die mij heeft verzonnen. Bovenal dank ik Anna, [Wessels vrouw, metwie Adam een verhouding gehad heeft; SC] die mij gevoed heeft en verwarmd, en diemij het leven heeft gegeven. . .Ik dank het instituut, en mijn huis. Ik dank het venster waarvoor ik heb mogen staan.”

207. Scheve levens, 1983. Ook in deze roman gebruikt Krol enkele malen wiskundige tekensin doorlopende tekst: op p. 32 en p. 122 vinden we telkens een plusteken; op p. 35vinden we er zelfs twee. En op p. 48 lezen we “werk = waarde = kracht = inkomen (=liefde = begrip = rust [. . . ]).

208. Scheve levens, 1983, p. 14. “Voorbeeld van een echt groepsverband: de spelers op eenvoetbalveld. Alle spelers zijn in hun aandacht gericht door de rondspringende bal, maarook elke speler is op zijn tijd in de gelegenheid de bal een schop te geven in de richtingdie hij zelf wil. Spelers en bal vormen, in termen van de mechanica, een koppel; zevormen een geheel.


Niet alzo de reizigers in een trein. Trein rijdt ook zonder passagiers. Niet alzo de kijkersnaar een tv-programma. Programma wordt uitgezonden ook zonder dat er iemand naarkijkt.”

209. Scheve levens, 1983, p. 17; cursivering in origineel. Krol heeft het over eer en eerverliesin de ogen van vrouwen en in de ogen van mannen, en komt tot de conclusie dat hetwoord ‘eer’ voor man en vrouw een verschillende betekenis heeft.

“Wie een wiskundige opleiding heeft gehad, wil moeilijke begrippen altijd terugvoerenop eenvoudige begrippen of laten we zeggen: begrippen die per definitie eenvoudig zijnomdat je ervan uitgaat. In elk geval is het handig om je wereld op deze manier op tebouwen, ook esthetisch geeft je dat zekere voldoening.”

210. Scheve levens, 1983, p. 19-20; cursivering in origineel. “In zijn inmiddels beroemdeboek Godel, Escher, Bach wijdt Hofstadter een fascinerend hoofdstuk aan ‘recursievestructuren’ — dat zijn structuren die een afbeelding zijn van zichzelf. Denk aan hetDrostecacaoblikje waarop een verpleegster staat die een blikje Drostecacao presenteertwaarop een verpleegster enz. Je ziet de verpleegster met het blikje kleiner en kleinerworden en, oneindig herhaald, in een punt verdwijnen. Of andersom: vanuit dat enepunt komt het hele plaatje te voorschijn. Recursieve structuren nu zijn afbeeldingenwaar het Droste-effect geldt voor elk punt van de afbeelding. Vanuit elk punt komt, alsvanuit een oneindig lange tunnel, de gehele structuur te voorschijn.Hofstadter beschrijft hoe een elektron, vertrokken uit A en aankomen in B, onderwegallerlei fratsen kan uithalen. Zoals je wel ’s in de lift doet, als je alleen bent: je staptkeurig in, gaat, als de deuren gesloten zijn, als een beest te keer en op het moment datde deuren zich openen, treed je weer naar buiten als een heer: niemand heeft het gezien.Zo weet je ook niet wat een elektron onderweg uitspookt. Het kan een foton (licht)uizenden, als het maar op tijd dat foton weer inslikt (dit heet dan virtueel licht, dwz[sic] niet echt licht). Dat foton kan op zijn korte excursie ook weer van alles beleven:bijvoorbeeld een elektron uitzenden, als het er maar voor zorgt dat het op tijd terugkomt:het elektron komt terug op het moment dat het vertrekt — in de vorm van een zgn [sic]positron, dat vertrekt op het moment dat het elektron aankomt. Het positron reist dustegen de tijd in, wat een gewoon deeltje niet kan, en daarom noem je het een antideeltje:aankomen voordat je vertrekt. En alles achter de schermen, want op het moment dathet elektron in B arriveert, is er niets gebeurd. Hetzelfde verhaal kun je afsteken voorprotonen, allemaal keurige deeltjes — zolang ze alleen zijn. Zodra je ze samenbrengt,gebeuren er dingen die niet keurig meer zijn en die zich alleen maar laten verklaren doorde onkeurige inborst van elk deeltje afzonderlijk. Elk deeltje heeft in principe alle anderedeeltjes in zich. Er gebeurt dus van alles in de wereld. Sterker: alles gebeurt.Behalve recursieve structuren heeft Hofstadter het ook over recursieve functies. ‘Functie’— ‘het ene is een functie van het andere’, – is een wiskundige term die aangeeft dathet ene afhankelijk is van het andere. Als dat ‘andere’ nu de tijd is, kan zo’n functiede beschrijving zijn van wat er gebeurt. En als je zegt dat wat er gebeurt recursiefis, dan zeg je dat er in principe aldoor hetzelfde gebeurt en in het bijzonder dat water vandaag gebeurt zich alleen maar laat begrijpen als je begrijpt wat er gisteren isgebeurd, enzovoort. Dat er vandaag een appel van de boom valt, laat zich begrijpendoordat ie er gisteren aan hing, en doordat jaren geleden de boom ontkiemde aan eenpit van, laten we zeggen, dezelfde appel. Zo zorgt de tijd ervoor dat alles in elkaar ligtingebed, niet alleen appels, maar ook rivieren, zeeen en gebeurtenissen zoals wij mensen


die meemaken, en op touw zetten. Alles wat wij denken, vandaag, denken wij in de vormvan wat wij gisteren dachten — anders konden wij niet denken. De slimme gedachtedie ik vandaag heb zou een ander, veel slimmer dan ik, tweeduizend jaar geleden nietgehad kunnen hebben — hij zou ’m niet hebben begrepen. Zo zijn er vandaag eindeloosveel dingen die wij niet begrijpen, en is er van alles wat er gebeurt maar heel weinig watwij kunnen zien of, anders gezegd, er gebeurt alleen maar datgene wat wij waarnemen.Zonder ons gebeurt er niets.”

Met die laatste opmerking zijn we overigens terug in de wereld van het allerkleinste: Krolverwijst hier weer naar de kwantummechanica.

211. Scheve levens, 1983, p. 27. “De wetenschap leert dat er aan de waarheid grenzen zijn,helemaal wanneer ze wordt toegekend aan algemene, filosofische uitspraken. U hebt ernet een paar voorbeelden van gezien. Bladzij 20, de slotregels van de eerste en tweedealinea. [Beide overgenomen in puntje 210, SC] Die spreken mekaar faliekant tegen.‘Een paradox.’Ach wat, een paradox. Ik heb er alleen maar mee willen illustreren dat iedere waarheidhaar eigen omgeving heeft — namelijk precies de omgeving waar zij uit voortkomt.En misschien geldt hetzelfde voor rechtvaardigheid.”

De paradox van op p. 20 luidt ‘alles gebeurt’ versus ‘Zonder ons gebeurt er niets’.

212. Scheve levens, 1983, p. 29. Krol houdt een filosofische beschouwing over het begrip‘toeval’. “Je noemt iets ‘toevallig’ niet omdat het onwaarschijnlijk is dat ’t gebeurt,maar omdat je het niet verwacht. In de roos schieten met een Lee Enfield op vijfhonderdmeter is zeer onwaarschijnlijk, maar schiet je in de roos, dan is dat zeker geen toeval.Ook niet als je zes keer in de roos schiet. Schiet je echter zes keer naast de roos envormen je schoten op de schijf een regelmatige zeshoek, dan noem je dat ‘toeval’. Jenoemt dat ‘toeval’ niet omdat die schoten zelf zo bijzonder zijn, maar omdat ze sameneen zeshoek opspannen.”

213. Scheve levens, 1983, p. 29. “We zeiden van God. Liever noem ik het: de wetten dernatuur, of de wetten van onze geest, de logica. De logica heeft op de bijbelse Godvoor dat je er preciezere eigenschappen aan kunt toekennen. Je weet bij voorbeeldnauwkeurig wat het voorspellend vermogen van de logica is, en wat de grenzen zijn vandat vermogen. Logica is zwakker dan God, maar je kunt er beter mee werken.Tussen logica en toeval bestaat een subtiele relatie die zich alleen maar laat beschrijvenin wiskundige termen. Om te weten of een gebeurtenis honderd percent toeval is, moetje de kans dat die gebeurtenis zou plaats vinden hebben uitgerekend met behulp van dewaarschijnlijkheidsrekening.”

Dit laatste illustreert Krol dan met het voorbeeld van een dobbelsteen: de kans dat jeer een 3 mee gooit, is een op zes.

214. Scheve levens, 1983, p. 33-34; cursiveringen in origineel. “Ik heb een aantal ideeenin voorraad, misschien kun je ze wel theorieen noemen, die een interessant verschijnselzouden verklaren als het mij zou lukken van dat verschijnsel eerst ’s een beschrijving tegeven. Het probleem is dat die theorieen zelf helemaal niet interessant zijn, sterker: debegrippen waaruit ze zijn opgebouwd spreken in het geheel niet tot onze verbeelding, zebetekenen nauwelijks iets, ze vormen met z’n allen een grijze massa waarover een waashangt van mathematiek, maar zelfs die mathematiek mist alle schittering. Ik blijf maar


modderen, al die jaren.Maar ik kan er ook niet mee ophouden. Ik blijf volharden. En wachten. Als een schipdat in het zicht van de haven niet verder kan omdat de haven is verzand. Eerst moet aldat zand weg.Toen ik destijds met mijn wiskundestudie begon had ik daarbij een speciaal soort wis-kunde op het oog. In principe wilde ik alleen van gehele getallen weten. Per slot, demensen om je heen waren ook allemaal gehele mensen en de woorden die je gebruikte— dat had ik nog nergens gelezen! — waren allemaal gehele woorden. Welnu, juist diewiskunde leerde mij dat het mogelijk is, gebroken getallen te definieren in termen vangehele getallen. En gebroken getallen die zich niet lieten definieren met gehele getallen— te definieren als verzamelingen van getallen.‘Ben je werkelijk goed in wiskunde?’Dan zeg ik altijd ja. Want waar valse bescheidenheid niet op z’n plaats is, is echtebescheidenheid het ook niet. Het is dus nee. Een zesjestalent. Mijn aanleg voor het vakis gering, maar door mij te beperken tot de gehele getallen lukte het me van mijn zeseen zeven te maken, een acht. En ik heb gemerkt dat als ik mij beperk tot 0 en 1, ik noghoger kom, tot een 9. Hier en daar zelfs, en dat mag je opvatten als een woordspeling,tot een 10. Met 0 en 1, vooral als je schrijft, kun je overal komen. Want ieder mensheeft een binnen- en een buitenkant: hij is zichzelf en hij is de verzameling van mensendie anderen in hem zien. Je kunt dus met 0 en 1 de hele wereld beschrijven. Kom je totde kern van de zaak, dan lukt het je ook nog wel die kern in tweeen te delen — als jemaar de juiste woorden kiest. Het juiste tweetal. Dat is pas kernsplitsing!Maar nog steeds dat zand. En de vraag, hoe krijg ik dat weg.Statistiek. Waarschijnlijkheidsleer. ‘Die vakken heb ik altijd met succes weten te ver-mijden.’ Als ik dat had gezegd, moest ik altijd geweldig hard lachen.Dat lachen is me vergaan. Ik denk er nu anders over.”

215. Scheve levens, 1983, p. 36; cursiveringen in origineel. GK kijkt enorm op naar zijn vriendReinier, een uitstekend logicus. “Ik besprak deze dingen met Reinier, in zijn kamer ophet instituut. Reinier is wiskundige en wat ik zou willen is dat hij al deze dingen die ikhem vertel en die hij onmiddellijk begrijpt omdat hij ze zelf ook allang bedacht heeft, zouomzetten in een model. Vijf jaar geleden stuurde hij mij zijn proefschrift, een werk vanmeer dan tweehonderd bladzijden genaamd The logical structure of social behaviour. Eenboek vol formules en filosofie, in korte zinnen geschreven, in korte stellingen gebracht.Het boek van een ingenieur. Als Wittgenstein. Nee, veel beter dan Wittgenstein! Ditwas de man die Wittgenstein achter zich had gelaten. Dit was de man die de komendejaren niet onze taal, maar ons leven zou beschrijven.De ‘komende’ jaren zijn voorbij gegaan. Reinier is geen ingenieur meer, maar een lezeren ik vraag hem of hij nog van plan is de wereld te besturen met laten we zeggen eenoperator Y , of een actor voor mijn part. . . als het maar een schakelaar is waarmee je dehele wereld in het licht kunt zetten.Hij glimlacht. Hij zegt nee. Hij denkt dat als hij aan die ambitie uitvoering zou geven,het, vreest hij, toch maar bij een amateuristische poging zou blijven.”

216. Scheve levens, 1983, p. 40. GK is op bezoek en bekijkt de boeken van zijn gastheer.“Boeddha, Blavatsky, Bergson en zowaar het boekje Leven, Kunst en Mystiek van L.E.J.Brouwer, waar ik flink heb in zitten lezen.”


217. Scheve levens, 1983, p. 45. GK doet onderzoek naar de werkprestaties op de werkvloervan zijn vriend George. Zoals vaak, drukt ook Krol hier alles uit met getallen. “Allesin de vorm van getallen, want daar ging het mij om: ik wilde niets zien wat ik niet konuitrekenen.Ik ging verder. Want wat ik wilde weten, eigenlijk, was de waarde van ieder van diemensen afzonderlijk.Ik kocht een zakautomaat en ging aan de slag. En bleef aan de gang, langer dan mijlief was. Ik kon er ook niet meer mee ophouden, ik was nieuwsgierig naar de uitslag enik rekende, de hele zomer en een deel van de herfst. (Ik weet nu wat afzien is, in dewiskunde.)”GK beeindigt zijn werk en toont het resultaat aan George. “Hij bekeek de lijst die ikhem had gegeven. Al zijn mensen. Genummerd van 1 tot 30, in opklimmende waarde.Toen we de salarissen ertegenaan legden, bleek ook dat een opklimmende reeks te wezen.Men kreeg precies wat men waard was.‘Te mooi om waar te zijn,’ zei George.”

218. Scheve levens, 1983, p. 63; cursivering in origineel. “Wie zich aan het filosoferen zetis, nog voor hij goed en wel is begonnen, in zijn denkbewegingen bepaald door wat inde westerse filosofie traditie lijkt te zijn: consistentie en volledigheid.” Een terechteopmerking van Krol; een feit waar de westerse filosofie zich overigens weinig vragen lijktbij te stellen. Een droom overigens, die we (uiteraard) ook terugvinden in wat volgensvelen de ‘zuiverste vorm van zekerheid’ is, de wiskunde. Het is dan ook zeker geen toevaldat Krol hierover begint, want Krol heeft het meermaals over Godel in zijn werk.

Even verderop gaat Krol als volgt verder: “Zelden vraagt een westers filosoof zich af,hoe het toch komt dat hij allerlei beweringen uit elkaar wil laten volgen. Er is er maareen enkeling die heeft ontdekt dat de pretentie die hij voert voortkomt juist uit debeperkingen die een mens, in zijn denken, nu eenmaal zijn opgelegd.” Wat — onderveel meer — een terechte kritiek op de logica is.

219. Scheve levens, 1983, p. 67-69; cursiveringen in origineel. Krol heeft het over Mulisch’ DeCompositie van de Wereld. “Om te laten zien hoezeer Mulisch de versierde mens verkiestboven de zaken die hem versieren, citeer ik de passage bovenaan op bladzij 399: Voor devorming van het metabewustzijn met zijn metagedachten en metagevoelens moeten deapparaten dus een gat overlaten, waarin de resterende ‘destinaties’ van de ultimitieven(= laatste mensen G.K.) passen. Dit gat is ontdekt door J.R. Lucas.Het gat is dan een stelling van het Godelse soort — een stelling die waar is, maar nietkan worden bewezen. Godel heeft aangetoond, dat in formele systemen zulke stellingenbestaan. En omdat de computer een formeel systeem is, bevat hij een stelling waarvanwij kunnen zien dat ze waar is, terwijl de computer dat zelf niet kan zien. Conclusie: wijzijn intelligenter dan een computer. Dat is dan het gat, en dat heeft Lucas ontdekt. Erezij Lucas — lees ik eruit.Wat je natuurlijk meteen wilt weten is: hoe ziet dat gat er uit. Godel sprak zich uit inalgemene zin: er is een stelling enz. . . Dat zei hij in 1931. Pas bijna een halve eeuw later,in 1977, lukte het aan Paris en Harrington zo’n stelling te construeren. Een geweldigkarwei. De formulering van deze stelling alleen al zou, afgedrukt in dit boek, tweepagina’s beslaan — om maar niet te spreken van het bewijs dat ze niet bewezen kanworden. ’t Is alsof je praat over een ster aan de rand van het heelal, die je zelfs met desterkste telescoop amper kunt zien — de laatste ster. Als het je zou lukken deze stelling


zodanig te formuleren dat ze kan worden opgeborgen in een computer, dan zou dat destelling zijn waarvan de computer niet kan zien of ze waar is of niet. Afgezien daarvandat een computer dat van bijna geen enkele stelling kan zien — mag je theoretischaannemen dat ie dat wel kan, maar hoe kom je er dan ooit achter dat ie dat van dezestelling juist niet kan? Je krijgt het gat niet te zien.Het is een beetje als met de man die zijn bril niet vinden kon omdat ie ’m op had.Wie in een computer naar een gat zoekt, kijkt er waarschijnlijk overheen, want elkecomputer heeft een gigantisch gat — een gat waar Mulisch’ ultimitieven zich zeker thuiszullen voelen. Dat is niet het gat dat Lucas bedoelde, want die heeft het nooit preciesaangewezen. Je hoefde er ook niet voor naar de rand van het heelal te reizen. Het ligtvlak voor je voeten, je moet zelfs oppassen dat je er niet in valt. En het bijzondere is,dat ook dit gat op ‘Godel’ berust.Om dat te begrijpen het volgende.

Deze zin kan niet worden bewezen.

Dit is de zin die Godel bij het bewijs van zijn fameuze stelling nodig heeft. In dat bewijsvertaalt hij allerlei woorden in getallen, om met die getallen te bewijzen dat er eenstelling (woorden) is over die getallen, waarvoor het bewijs zelf niet geldt — een groteslang die zichzelf in de staart bijt. Een afbeelding van bovenstaande zin, maar via eengeweldige omweg.”

220. Scheve levens, 1983, p. 129-130. George en Annie, vrienden van GK en zijn vrouw, gaanmet een touringcar op reis. Omdat iedereen al eens graag vooraan in de bus zit, envooral omdat de hitte achteraan ondraaglijk is, is er een roulatiesysteem ingesteld in debus. Maar al gauw komt er reactie van verschillende passagiers. “Het roulatiesysteemdat Willem [=de buschauffeur, SC] gisteren via de microfoon had ingesteld: met dewijzers van de klok mee en na elke stop een bank opschuiven, daar ‘deugde niks van’. Erwas uitgerekend dat er tot Wenen te weinig stops waren om aan het einde van de tochtvolledig rond geweest te zijn.‘De mensen moeten niet een bank, maar twee banken tegelijk opschuiven,’ zei een vrouwfel.‘Twee is te weinig, dat moeten er drie zijn,’ zei een man somber.George liep buiten, te kijken naar wat de toppen van de Beierse Alpen leken te zijn: eenschitterend witte rand op de horizon.‘Vindt u het ook zo’n gedoe, dat rouleren?’Een medereiziger. Een van de weinige mannen met een das voor. Type ambtenaar.Gepensionneerd.‘Hoe zo?’ vroeg George, ‘wij blijven gewoon zitten.’De man glimlachte, haalde geheimzinnig uit zijn binnenzak een velletje papier te voor-schijn. Het was de schets - via de punt van het vulpotlood uitgelegd, de lederen por-tefeuille als onderlegger — van een roulatiesysteem dat uit twee cirkels bestond. ‘Duslinks en rechts rouleert apart, begrijpt u? Als een soort 8. Linksvoor verhuist in een keernaar achteren, en rechtsachter. . . ziet u?’ George had ’m al zien tekenen en peinzen, inde bus. ‘Stel het maar aan Willem voor,’ zei hij. Hij keek naar de figuur die de manhem voorhield, kruisen en pijlen waar hij de ballen van begreep.”

Deze passage is eerst en vooral een tekening van de kleingeestigheid van heel wat mensen,maar het is toch wel tekenend dat Krol zelfs hier een in wezen meetkundig probleem dienstlaat doen als probleemstelling. Ik wil er wel op wijzen dat deze scene, in tegenstelling


tot de meeste andere wiskundige stukken in Krols werk, even goed door iemand andersin een roman zou zijn kunnen opgenomen.

221. Scheve levens, 1983, p. 136-139. Deze passage gaat over Reiniers proefschrift, dat han-delt over de maatschappij. Opvallend in Krols beschrijving ervan is dat hij eens te meerfiguren gebruikt om de tekst te verduidelijken. In de tekeningen verduidelijkt Krol/Reinierhoe mensen, wanneer ze in groep zijn, zich gaan ordenen, waarbij opvalt dat alle tekenin-gen symmetrisch zijn. Tenslotte haalt Krol zelfs het schema aan van een kristalstructuur,en merkt hij op dat die ook symmetrisch is, maar veel ingewikkelder van aard. “Datmensen niet de bouwstenen kunnen zijn van een kristal komt omdat hun symmetrischeeigenschappen daartoe te kort schieten. De configuraties waar mensen deel van uitmaken zijn mogelijk door heel andere eigenschappen, die in eerste aanleg persoonlijkeeigenschappen zijn en in tweede aanleg eigenschappen die bij een mens ontstaan doorde configuraties waaraan hij deelneemt: zijn maatschappelijke eigenschappen.” (p. 139)

222. Scheve levens, 1983, p. 140. Krol heeft het over staten waar er een tweepartijenpolitiekheerst. Omdat nu eens links, dan eens rechts de macht in handen heeft, merkt Krolop dat door de lange duur eigenlijk elke politieke groepering evenveel stemmen gehaaldheeft. “Links versus rechts — een fiftyfifty verhouding, op den duur. Het verstandigste isdus een middenpartij te kiezen: het beste van links en het beste van rechts, want daarmeegeef je te kennen dat je niet het partijbelang op het oog hebt, maar het landsbelang.Mis.Als je links en rechts beschouwt als de dans van twee elementen:

dan is het, naar analogie van eerdere configuraties [zie puntje 221, SC], duidelijk dat desamenwerking het beste verloopt als je beide scherp van elkaar weet te onderscheiden.Als je moet kiezen, kies je na vele overwegingen in het stemhokje of het ene of hetandere. Het volk in z’n geheel en de wetten van de statistiek zorgen er wel voor dat jeeen halve dat later in de uitslag het totaal van je overwegingen terug zult zien.”

223. Scheve levens, 1983, p. 143-144. Krol beschrijft hoe Reinier Teatske leren kennen heeft,een jonge studente waar hij verliefd op is. “Het was allemaal begonnen tijdens zijn collegeover sociale rechtvaardigheid, toen hij, in zijn verhandeling over kansen die mensenhebben, of niet hebben, niet begrepen werd omdat hij zijn verhaal voor de duidelijkheidin een wiskundige vorm had gegoten: waarschijnlijkheid.”

224. Scheve levens, 1983, p. 161; cursiveringen in origineel. “Voor sommige ideeen heb jeeeuwen nodig om eraan te wennen — als je er niet mee bent opgegroeid. Ga je dood,dan heb je het niet geweten. Dagelijks ben je bestookt met woorden die je nooit hebtbegrepen — en zelfs dat had je niet door.’n Groot idee wordt vaak toegeschreven aan een groot, beroemd man, die dit idee somsniet eens heeft gehad — waarschijnlijk om het idee een beroemde naam te geven. Hetcartesisch assenkruis bijvoorbeeld, met behulp waarvan je de hele wereld kunt beschrijven,het heelal incluis, simpel door aan elk punt daarin drie getallen: x , y en z toe te kennen— is, dat staat wel vast, niet de uitvinding van Cartesius, Descartes geweest.Er is een ander idee, minstens zo groot, wanneer je niet de wereld, maar de activiteiten


van je eigen geest wilt beschrijven; het onderscheid dat je maakt tussen vast en variabel.In de algebra geef je deze begrippen aan met a en b, resp. x en y ; a en b zijn vastegetallen, met een bepaalde waarde, x en y zijn vrije getallen, die elke waarde kunnenhebben. En dat is dan wel een idee van Descartes geweest, waarvoor ik hem hartelijkdank zeg, want zonder dat onderscheid had ik mijn geest niet zo goed kunnen inrichtenen besturen als ik thans gewend ben.”

225. Scheve levens, 1983, p. 162. “Interessant zijn wat je in de wiskunde ‘pathologieen’noemt, ontaarde gevallen. Stellingen over driehoeken waarvan alle zijden samenvallen.’t Blijven driehoeken, en de stellingen blijven gelden, maar vraag niet hoe.”

226. Scheve levens, 1983, p. 175. GK vindt in Herta’s krant een interessant artikel en vraagtom het te mogen houden. “Het krantenberichtje, ellipsvormig uitgescheurd, werd mijoverhandigd door Herta [. . . ]”

227. Scheve levens, 1983, p. 178-180; cursivering in origineel. Krol heeft het over metafysica,en meer bepaald over de pragmatische stroming. Hij vergelijkt James en Peirce. Hij vathun ideeen kort en krachtig samen door te stellen dat James zegt “zorg nu eerst maarvoor zoveel mogelijk werkelijkheid, dan is ook de kans op waarheid het grootst” (p. 178),terwijl Peirce “uitging van het tegengestelde: zorg eerst maar voor de waarheid, dan komtde werkelijkheid vanzelf, vroeg of laat.” (p. 179). Volgens Krol is het duidelijk dat beideuitspraken wel een gebiedje hebben waar ze waar zijn. Maar wie heeft gelijk, dat is dewerkelijk interessante vraag. Daarover zegt Krol (p. 179-180): “Toen ik nog op schoolzat, dacht ik dat het mogelijk was om dit soort vraagstukken op te lossen, als je maarlogisch redeneerde. Een keer zouden de mensen ook in de filosofie het met elkaar eensworden zoals men het in de wiskunde met elkaar eens is. De reden — weet ik nu — datmen in de wiskunde tot een overeenstemming kan komen is dat de wiskunde een formeelsysteem is van tekens die allemaal een vaste betekenis hebben: punten, lijnen, getallen:1 + 1 = 2.In de filosofie is dat niet zo. In de filosofie kan 1+1 net zo goed 10 zijn bijvoorbeeld. Alsje in het tientallig stelsel werkt, schrijf je 2 als ‘2’. Werk je daarentegen in het tweetalligstelsel, dus zoals een computer werkt, met uitsluitend nullen en enen, dan schrijf je 2als ‘10’. In de wiskunde hanteer je elementen die voor iedereen dezelfde elementen zijn,omdat je ze kunt aanwijzen en die bovendien aan bepaalde regels voldoen. In de filosofiekun je dat niet. Als je algemene uitspraken wilt doen en, sprekend over getallen, inhet midden laat of je in een tweetallig dan wel in een tientallig stelsel werkt, dan zijnuitspraken als 1 + 1 = 10 niet goed of fout, ze hebben helemaal geen zin en dat geldtvoor elke algemene filosofische uitspraak.Nu, als je over bepaalde kwesties redetwist, dan is er maar op twee manieren een oplossingmogelijk: of het is een wiskundige kwestie, je bent het eens over de vaste betekenis vande woorden die je gebruikt en je lost het probleem gewoon wiskundig op, of het is eenfilosofische kwestie, de woorden hebben geen vaste betekenis, maar je laat zien welkebetekenis je voor ogen staat bij een bepaalde bewering door die in de praktijk te brengen:dan staat het ook de ander voor ogen.”

228. Scheve levens, 1983, p. 186. “Wat je op school leert is niet direct toe te passen. (Er zijnaltijd mensen die daarover klagen en willen dat je wat je op school leert moet kunnentoepassen, maar dat kun je overal beter leren dan op school.) Wat je leert op school is:de betekenis begrijpen van abstracte woorden.”


229. Maurits en de feiten, 1986, p. 49. De roman ‘Maurits en de feiten’ is een misdaadroman.Er is een lijk, en er is een verdachte, Maurits. Verder zijn er, zoals de titel laat vermoeden,de feiten. Het duurt tot helemaal op het einde van het boek eer we weten hoe de vork inde steel zit. Dat mag logisch lijken voor een misdaadroman, maar voor een misdaadromanvan de hand van Gerrit Krol, vind ik dat al een pak minder evident.

De feiten zijn dus belangrijk, en dat is opmerkelijk, want uit filosofisch oogpunt kun jeje vele vragen stellen bij concepten als ‘feit’, ‘waarheid’ en ‘werkelijkheid’. In de romanwordt er dikwijls — vooral door mensen van het gerecht — op gehamerd dat men opzoek moet naar de waarheid en dat er niet dient getwijfeld te worden aan de waardedaarvan. Dat staat in zo’n schril contrast met Krols vroegere werk, dat ik me niet kanvoorstellen dat dit toevallig zo is.

Opmerkelijk is evenwel dat de roman nauwelijks verwijzingen naar wiskunde telt, en zelfsmaar een directe; zie daarvoor punt 231. Op p. 49 vinden we wel nog een verwijzingnaar het begrip waarheid: “Waarheid door inductie”. Die zinsnede is enigzins opvallendomdat alle andere verwijzingen naar het concept waarheid in de roman, nooit technischof direct filosofisch van aard zijn.

230. Maurits en de feiten, 1986, p. 66. “Je kunt kwaad als een noodzakelijke schakel zien,maar daarom moet het wel gestraft worden.Elke mens heeft een bovenzijde en een onderzijde. En de onderzijde probeer je zoveelmogelijk aan het oog te onttrekken. Maar evenals de mens heeft ook de maatschap-pij. . . Zonder kwaad geen goed, ik kan dat zien. Het zijn dus de kwaden die opdraaienvoor de goeden. Dat opdraaien zie ik als het opspatten onder een draaiend wiel. Eenfietswiel dat aan de bovenzijde naar voren gaat en aan de onderzijde naar achteren.Maar het is de onderzijde die er voor zorgt dat het wiel vooruit komt. Zwaan [=Maurits’stiefmoeder, SC] had gelijk. Zonder een Judas geen Jezus.”

231. Maurits en de feiten, 1986, p. 149. Maurits heeft een verhouding met zowel zijn stief-moeder Zwaan als met Mirjam. Zwaan, die arts van beroep is, is hier niet mee opgezeten heeft Maurits al herhaaldelijk aangespoord zijn relatie met Mirjam te verbreken. Uit-eindelijk smeden Zwaan en Maurits een plan, maar als lezer blijf je in het ongewisse watdat plan is, tot je leest:

“Uit overwegingen van schoonheid, heb ik gezegd. Cleanheid. Je zit te rekenen, maarde som komt uit op een breuk, terwijl je op een geheel getal moet uitkomen. Je hebteen fout gemaakt. Dat is niet erg, dat kan iedereen overkomen. Erger is dat je in decorrecties die je aanbrengt opnieuw fouten maakt, je gaat knoeien en het wordt eensmeerboel.” Een situatie waarin iedereen die al eens met wiskunde bezig geweest is, zichongetwijfelt herkent. Krol gaat verder: “Het beste is opnieuw te beginnen en te doenalsof je nog helemaal geen fouten gemaakt hebt. Je scheurt de bladzij er gewoon uit.Je maakt er een prop van die je weggooit. En een nieuwe, schone bladzij straalt je toe— alsof er niets gebeurd is.”

In de volgende paragraaf ontvangt Zwaan Mirjam, zogenaamd voor een ingreep, maarZwaan geeft (bij medeweten van Maurits) Mirjam een dodelijke injectie. Wat boven-staande vergelijking spijtig genoeg verklaart. . .

232. De Hagemeijertjes, 1990, p. 18. “Zo zat je te kijken naar een rivier die recht en snel aanje voeten voorbijstroomt en opeens zie je dat het water slingeren gaat en terug wil.


Bij een oneindig brede rivier zal je dat niet gebeuren, want die stroomt niet meer.”

233. De Hagemeijertjes, 1990, p. 27. Ate protesteert tegen de bouw van een nieuwe haven,maar beseft dat men ‘geen keus’ heeft en dat de haven er dus zal komen. “Dat betekentdat dit soort ontwikkelingen verloopt volgens wetten waar een mens deel van uitmaakt,maar die hij niet kan beınvloeden ook al denkt hij van wel. [. . . ] De wetten van demaatschappij zijn niet minder onverbiddelijk dan de wetten der mechanica.”

234. De Hagemeijertjes, 1990, p. 73. Harke en zijn vrouw zijn erg gelukkig samen. “Tegenmiddernacht ging hij naar buiten om aan de hemel Jupiter, Mars en de maan samen tezien staan. Een kans van een op zoveel. ‘Komt eens in de miljard jaar voor,’ zei Harke.‘Nou ja, waarom zal je dat niet kunnen meemaken,’ zei zij, aan zijn arm. ‘Per slot komenwij tweetjes ook maar eens in de miljard jaar voor. Er is altijd wel iets zeldzaams.”

235. Omhelzingen, 1993. Het verhaal dat we in deze roman te horen krijgen, is cyclisch. Delaatste pagina is letterlijk dezelfde als de eerste, en op een manier zitten de personagesdus gevangen in een oneindige herhaling. Hoewel er in het boek zelf vrij weinig wiskundigeverwijzingen aan bod komen, is de structuur van het boek zelf zeker de moeite waardvanuit wiskundig oogpunt.

236. Omhelzingen, 1993, p. 20. Dalmolen zit op een sneltrein. “Dalmolen kon, aan het raamgezeten, zien hoe het landschap voorbijflitste, in strepen. Op de horizon reed een treinmet dezelfde snelheid — de schaduw van de trein waarin hij zelf zat, door lange ellipsenermee verbonden.”

237. Omhelzingen, 1993, p. 21. Dalmolen beschrijft verder wat hij allemaal vanuit de treinziet. “Het land was groot en vlak, de spoorlijn lag recht als een driehoek met de puntop de horizon.”

238. Omhelzingen, 1993, p. 41. Dr. Hendrik Haverkort, kunsthistoricus op rust, verzameltreproducties van schilderijen van de maagd Maria. “Volledigheid, dat was misschien wathij nastreefde. Een serie kostbare postzegels compleet hebben op een na — je levengeven voor de laatste zegel. Verlangen en vreugde. Verlangen naar het einde en vreugdedat dat einde nog lang niet in zicht is. Zo beoogde dr. Haverkort met zijn verzamelingvan geschilderde Maria’s convergentie naar een Absolute Maria, hoezeer hij ook beseftedat dit superieure Beeld alleen maar in de geest kon bestaan.” Net zoals de limiet vaneen convergente rij: die bestaat ook enkel in de geest.

239. Omhelzingen, 1993, p. 56-57. Krol herhaalt hier woordelijk wat hij ook al eens in In dienstvan de ‘Koninklijke’ op p. 58 (zie punt 129) opmerkte: als je in het casino, “spelend opeen kleur, altijd je eerste inzet kunt winnen, mits je na verlies je inzet verdubbelt en na jeeerste winst ophoudt.” (p. 56) In Omhelzingen komt nu echter de kat op de koord. Hayoheeft deze tactiek zopas toegepast: hij heeft op kleur gespeeld en verloren, maar telkenszijn inzet verdubbeld. Uiteindelijk wint Hayo en wil hij inzet en winst terug, maar decroupier weigert dit. “Toen begreep Hayo de regel, die was niet langer verborgen meer:men kon alleen zijn winst weghalen of zijn totale inzet. Maar niet beide.” (p.56-7).

240. Omhelzingen, 1993, p. 64. Hayo zit met een vermeende vriend (maar eigenlijk met eentegenstander), George in een wagen. De auto wordt bestuurd door een chauffeur die eenhandlanger is van George. George gebiedt de chaffeur om Hayo uit de auto te zetten.


“De chauffeur deed wat hem gezegd was. Nadat hij de auto tot stilstand had gebrachten het achterportier had geopend, sleurde hij Hayo naar buiten. Maar Hayo vond dat hij,hoe dan ook, recht had op een plaats in de auto van zijn vrienden en bood verzet. Ofmisschien dat hij helemaal niets en gedroeg hij zich eenvoudig volgens de wetten van denatuurkunde, of de vechtkunde, die zeggen dat een harde actie meestal een even hardereactie oproept. Hij vocht als een leeuw, deze Hayo [. . . ].”

241. Omhelzingen, 1993, p. 134. We zien de aarde vanuit het oogpunt van een arend die heelerg hoog en heel erg snel vliegt; evenwijdig met enkele vliegtuigen, zelfs. “Langzaam,langzaam wentelde de aarde onder hen door. In zekere zin — in de zin die men vanuit eenbepaalde geloofsovertuiging eraan zou geven — stonden ze [=de arend en de vliegtuigen,SC] stil, daarboven in de lucht. Ze bewogen niet. De lucht was dun en streepvormig.En koud. Er was weinig lucht, maar als je snel genoeg vliegt vang je genoeg atomenop om te kunnen blijven ademen. Juist op die hoogte verkeert de natuur zowel fysischals biologisch en mechanisch in een wonderlijk evenwicht dat makkelijk te verstoren is,maar ook met een enkele handbeweging weer is hersteld.”

242. Omhelzingen, 1993, p. 135. De arend is geland op een torenspits, in een stad. “De stadontwaakte. Een bestelbusje reed de lege markt op. Mannen liepen met hun paperassenin een koffertje naar het station. De vogel zat stil, ze [sic] bewoog niet. Had ze op denoordpool gezeten, dan had men dat kunnen begrijpen. Op de evenaar draait de aardein het rond met een snelheid groter dan die van het geluid. Op de noordpool is dezesnelheid nul. Zo, naar analogie van dit mechanistische voorbeeld, zou je kunnen zeggendat de arend die op de torenspits had postgevat, daarmee op de historische pool van deaarde was aangekomen: daar gebeurde niets meer.”

243. Omhelzingen, 1993, p. 168-171. De Tweeendertigste omhelzing, Emiels opmerking. Ikneem hieronder de volledige tekst van dit hoofdstuk over; de cursiveringen staan er ookin het origineel.

“Het seminar waar Emiel aan deelnam werd gehouden in een suite van het Rijnhotel inRotterdam. Een klein seminar, eigenlijk niet meer dan een werkgroep die zich anderhalvedag zou verdiepen in wat de titel omschreef als Onopgeloste problemen in de wiskunde.Een dozijn wiskundigen. Hoogleraren, maar ook een tweetal dat het vak beoefende uitpure liefhebberij, d.w.z. zonder daarmee hun brood te verdienen. Wiskunstenaars in deverlichte, achttiende-eeuwse zin van het woord. Kopstukken.Heerlijk dat zo iets in de wiskunde nog mogelijk is. Emiel keek tevreden om zich heen.Wat hem vooral beviel was de informele sfeer van jongens onder elkaar. Geen vrouwen,deze keer. Ook niemand die rookte, stelde hij vast. Het whiteboard met de stiften hadwat hem betrof wel een ouderwets schoolbord mogen zijn, met een krijtje. Het was eeninteressant geval dat daar op het bord geschetst stond. Een hyperruimte bestaande uitoneindig veel punten, of liever, oneindig tot de macht oneindig. Daarbij het dramatischegegeven dat het onmogelijk is van al die punten er twee met elkaar te verbinden. An-ders gesteld: gegeven de achtenveertig hoofdsteden van de Verenigde Staten met hunonderlinge afstanden: wat is de kortste lijn die alle steden met elkaar verbindt? Bekendonder de naam Het handelreizigersprobleem. Nog steeds niet op een analytische wijzeop te lossen. Maar daar ging het deze keer niet om. Het ging om die hyperruimte en devraag luidde: kun je, reizend in de ruimte, twee keer dezelfde weg afleggen? En zo ja,hoe kun je dat vermijden?


De man die het probleem had geformuleerd en opgeschreven deed een stap terug om deandere het volle zicht te geven op de dodelijke consequenties van zijn stelling.Emiel zat ernaar te kijken. Zijn handen onder zijn oksels, de armen gekruist en rustendop zijn zware lichaam. Hij keek op zijn horloge en weer naar het bord, dat een chaotischeaanblik bood. De meeste wiskundigen kunnen nog geen driehoek tekenen. Erger, ze wil-len dat ook niet kunnen en als ze een lijntje trekken van A naar B, gaat dat doorgaansgepaard met de nodige excuses. Ofte wel: ik ben zo goed dat ik ook wel op een beenrennen kan. Wiskundigen zijn asceten. Ze willen iets bereiken met zo weinig mogelijkmiddelen, geven zichzelf een handicap om het eventuele resultaat ‘elegant’ te kunnennoemen. Kunstenaars zijn het ook, ja zeker.Emiel gooide zijn hoofd achterover en keek naar het plafond — om na te kunnen denken.De man had het bord schoongeveegd en begon nu, zwijgend maar vastberaden, in dewetenschap dat hij ieders mening vertolkte, een aantal formules op te schrijven en hijleek daarbij op een schaker die vliegensvlug een partij reconstrueert. Emiel keek naar watdaar met grote snelheid aan symbolen werd neergezet. Om vijf uur had hij een afspraak.Dit ging niet de goede kant op. Hij voorzag een lange nutteloze discussie.Tegen de middag was hij het hotel binnengestapt. In de bar had hij een gezelschap vansportlieden aangetroffen. Hij was aan de praat geraakt met een jonge vrouw die toeniedereen opeens vertrok, geen aanstalten maakte ook op te stappen eenvoudig omdat zeniet bij het gezelschap behoorde. Kiki. Een fascinerende vrouw, vooral ook omdat hijvan zijn kant blijkbaar haar zozeer scheen te boeien dat ze hem met tegenzin had latengaan.‘Ik moet nu naar boven. Maar om vijf uur kan ik terug zijn.’‘Graag.’ Haar glimlach was onweerstaanbaar. ‘Heel graag zelfs.’Tien voor vijf. Het whiteboard stond volgeschreven, en meer dan dat. Sinds men inkleur doceert, kiest men telkens een nieuwe kleur alleen om over de oude heen te kunnenschrijven zonder de moeite te hoeven nemen die eerst uit te vegen. Zo ziet men deproblemen zich opstapelen — zonder uitzicht. En deze uitzichtloosheid wordt dan graaggeformuleerd als ‘iets waar we nog veel te weinig over weten.’ In de wiskunde evenwelhoef je niets te weten. Je ziet het, of je ziet het niet.De tijd drong. Want behalve dat Emiel over vijf minuten beneden in de bar moest zijn,was hij ook gehouden van deze eerste middag de notulen te schrijven, een verslagje. Hijkon eenvoudig niet zomaar weggaan.Zo, door de druk der omstandigheden, valt te verklaren hoe Emiel opeens zag wat nie-mand anders zag: de oplossing, en niet alleen dat, hij gaf meteen ook het bewijs ervan.Zo eenvoudig was het dat hij het bracht als een vraag: ‘Welke vorm kan een ruimtehebben die wordt voorgesteld door een vergelijking? Als het rechterlid nul is, en dat ishet blijkbaar, stelt ze een dubbelruimte voor.’Men keek naar het whiteboard waar opeens de dubbelruimte in alle helderheid geformu-leerd stond, en toen naar hem. Knikkend. Ten teken dat ze de ruimte hadden herkend.En zijn bewijs onderschreven. Niet van het ene punt naar het andere kunnen komen ten-zij je er bij wijze van spreken een ruimte bij had, een uitwijkruimte. Hij werd begrepen.Ja, zo eenvourdig was de oplossing dat een paar zich achterover gooiden in hun stoel enhet plafond toelachten: hoe elegant.De voorzitter glunderde, had het over ‘een semantisch oordeel’, waarvoor hij Emiel vanharte dank zei. ‘Het lijkt me een prachtig einde van deze middag.’Men stond op. Er heerste een lichte euforie. Een kerkdienstje dat onverwacht bezoek


van God had gehad.Emiel klopte op de zijzakken van zijn colbertje, diep in gedachten. Wat een goede ma-nier is om niemand te zien en zich onopvallend uit de voeten te maken. Hij had geen telmeer te verliezen. Hij slaagde erin het vertrek zonder aanhang te verlaten en nam nietde lift, want dat duurde hem te lang. De trappen. Hij zigzagde naar beneden. Toenhij de bar binnenkwam, sloeg de klok vijf uur en aan de bar stond Kiki, de trui met demouwen om haar hals geknoopt. Ze kwam naar hem toe en zei dat ze blij was dat hijop tijd was.‘Kunnen we nog net even de handen schudden’ zei ze. ‘Het spijt me verschrikkelijk,maar ik heb haast. Ik moet over een uur in Amsterdam zijn.’Ze stak haar hand uit. ‘Dus daag.’ ”

244. Omhelzingen, 1993, p. 174. Emiel probeert aan een vijver om een fles met water te vullen.“Hij had ’m er natuurlijk op zijn zij in moeten leggen, dan was hij vanzelf volgelopen.Maar om een of andere reden, die te maken had met orthodoxie en onhandigheid, zettehij de fles rechtop in het water en duwde hem naar beneden, met zijn vingertoppen en tenslotte misschien wel met een vingertop. Dat nu is een kilogramkracht uitgeoefend op eenvierkante centimeter, ofte wel een atmosfeer. Toegevoegd aan de ene atmosfeer die demens toch al ondervindt, is dat dus twee keer zoveel en toen die fles hem dan plotselingontglipte, was hij zijn steunpunt kwijtgeraakt en vanaf de kant de vijver ingeduikeld,kopje onder.”

245. Omhelzingen, 1993, p. 210. Onno is een vrouw aan het versieren, maar zij beweertplagerig dat ze heel erg dom is. “‘Vraag maar ’s wat,’ drong ze aan, terwijl ze haar armom zijn benen sloeg. ‘Iets heel makkelijks.’‘Iets heel makkelijks’ bromde hij. ‘Iets heel makkelijks. Hoeveel is tien tot de machtdrie?’‘O jongen, dat is veel te moeilijk. Iets makkelijks zei ik toch?’‘Nou. . . ’s Kijken. Hoeveel is twee maal twee?”‘Drie.’‘Dat is fout’ zei hij terwijl hij haar teder tegen zich aandrukte.‘Dat zei ik toch. Ik ben oliedom.’ ”

246. Okoka’s Wonderpark, 1994, p. 59. Iemand dreigt te verdrinken in zee. “De strandmeesterzag het. Hij zat op het duin. Een laag duin, zoals gezegd, maar elke meter dat je hogerzit kijk je een kilometer verder.”

247. Okoka’s Wonderpark, 1994, p. 111-112; cursivering in origineel. Prins Okoka heeft eenthemapark ontworpen, en leidt John hierin rond. Pronkstuk van de collectie is hetauditron, waar de prins hen binnenleidt. “De prins bood zijn gast een stoel aan, stak zijnhand op naar het restaurant in de verte, zodat ze weldra beiden achter een biertje zaten— samen met een derde man die er niet was. Ze hoorden alleen zijn stem. En naar diestem te oordelen zat hij tussen hen beiden in. Hij maakte het gesprek tussen John en deprins enigzins onmogelijk omdat hij zelf voortdurend aan het woord was. Nadat de prinsgenoeg had genoten van Johns wat gegeneerde verbazing, gaf hij uitleg van de werkingvan het gebouw door te vertellen dat de derde man in werkelijkheid aan de overzij zat,verborgen achter de zilveren bol [die in het midden van de zaal staat, SC]. Het gebouwhad de vorm van een ellips, of liever van een ellipsoıde en John had het al begrepen: wijzitten in het ene brandpunt en de man in het andere en aangezien ik nu aan het woord


ben zal die man aan de overzijde zijn mond wel houden.Hij verbaasde zich overigens over de hoogte van de koepel. ‘Als de brandpunten zo veruit elkaar liggen, zou je eerder verwachten dat het gebouw laag en langwerpig was inplaats van bolvormig.’Ook dat was een opmerking die de prins graag hoorde. Want nu kreeg hij de gelegenheideen verstandig toehoorder uit te leggen — en zijn ogen gingen weer dicht — waaruit hetgeheim van het plafond bestond. Uit de schepping van het perspectief.‘Stelt u zich een spoorlijn voor waarvan de beide spoorstaven op de horizon te zamenkomen. Stelt u zich voor dat die spoorstaven samenkomen ver voordat ze de horizonhebben bereikt. Ze snijden elkaar. Dan zal het snijpunt, dat misschien voor uw voetenligt, de indruk geven ver weg te liggen en die paar meters spoorlijn tot aan de kimverlengen. Door een effectieve beschildering van de plafonds kan men erin slagen deindruk te wekken van grote, ronde hoogten, terwijl de plafonds in werkelijkheid maarlicht gebogen of zelfs vlak zijn.’ ”

248. Okoka’s Wonderpark, 1994, p. 127. We krijgen een beschrijving van Dixies huis. “Talentvoor versiering ontbrak haar [=Dixie, SC]. Maar organiseren, mensen aan het werk zetten,dat kon ze heel goed. Zo had ze wekenlang een kleurendeskundige over de vloer en eenlichtdeskundige die de armaturen plaatste maar waarschijnlijk geen wiskundig onderwijshad genoten, want de meeste armaturen hingen scheef. Geen gezicht — dat zag zij danweer.”

249. Middletons dood, 1996, p. 9. Wouter van der Pijl, de hoofdpersoon van de roman, krijgteen baan bij “een oliemaatschappij in Amsterdam.” Hierover zegt hij later “Mijn baanwas geen baan, maar een studie, die na twee jaar culmineerde in de onoplosbaarheid vanhet handelsreizigersprobleem — dat iedere student zich voorstelt als eerste ter wereldtot een oplossing te brengen. Ik was daarop geen uitzondering. Maar zo leer je veel inkorte tijd.”

250. Middletons dood, 1996, p. 18. Wouter en zijn vriendin Regina gaan allebei studeren.“Zij in het recht, ik in de mathematiek. Elk kwartaal een tentamen, ik zou in tweejaar klaar zijn. Maar dit schema was gebaseerd op dagstudie: de colleges axiomatiekaan de Roetersstraat. Kleine lokalen, beeldschone lessen. Je slaagt automatisch voorje tentamens, je haalt spelenderwijs je kandidaats, maar komt vervolgens bij het collegedifferentiaalvergelijkingen terecht in een amfitheater van vijfhonderd plaatsen en al dieplaatsen zijn bezet. In de verte de professor.”

251. Middletons dood, 1996, p. 43. Wouter vraagt Regina hoe lang ze nog denkt te zullenstuderen. “‘Nou, ’s kijken. . . ’Lief, hoe ze daarbij haar vragende blik, twee groene ellipsen, op het plafond had geves-tigd.”

252. Middletons dood, 1996, p. 69; cursiveringen in origineel. Wouter zit zijn laatste dag inHolland. Vergelijk dit stuk overigens met puntje 71. “Het was de laatste dag. Sneeuwen hagel. Ik kocht om de hoek nog een stapel boeken over filosofie en wiskunde. Word& Object, van Quine, Philosophy in a new Key, van Susanne Langer, Profiles of Futurevan Clarke — dat soort.Ik nam het vliegtuig van een uur. En vloog terug naar het hete, bloeiende Caracas.”


253. Middletons dood, 1996, p. 159. Wouters nieuwe vriendin, Herta, spreekt Grieks en kenthet land door en door. Het ligt dan ook voor de hand dat ze naar Griekenland op reisgaan. Over die reis weet Wouter ons onder meer het volgende te vertellen: “Ik waswel degelijk doordrongen van de Griekse geest, van huis uit, ook al had ik Homerusnooit meer ingekeken. Ik had Euclides gelezen en gezien dat de kinderen in eerste klashavo nog steeds precies hetzelfde leren. Geldt nog altijd. De meetkunde is een stukjeeeuwigheid, uit Griekse steen gebeiteld.”

254. Middletons dood, 1996, p. 161. Op reis in Griekenland proberen Herta en Wouter deberg Zas te beklimmen. “De berg, heb ik gezien vanaf het strand, heeft de vorm vaneen rechthoekige driehoek, met de schuine zijde ter aarde gelegen en de lange rechtezijde beklimmen wij.”

255. Middletons dood, 1996, p. 193-194. Wouter krijgt een liefdesbrief van Lieke, en is daarzo van onder de indruk, dat hij ons volgende impressie over die brieven meegeeft: “Liekedaarentegen schrijft zoals een boogschutter zijn pijlen plaatst voor hij ze loslaat — metzorg. Ik weet niet hoe ze schrijft, ik denk met de tekstverwerker. Ze schrijft wat ikzielsgraag lees en nog nooit eerder gelezen heb. De woorden zijn na veel schuiven (hetene pas na het andere zoals je in het tovervierkant de cijfers 1 tot en met 16 schuift) ophun plaats gekomen. Ze kijkt ernaar, leest en luistert, en oordeelt: deze inverse zin zalhem ontroeren, rustig maken.”

256. Middletons dood, 1996, p. 212. Wouter leert op reis in Berlijn een Tsjechische kun-stenares kennen, Emma. Emma vreest dat ze als kunstenares mislukt is, maar Wouterprobeert haar moed in te spreken. (Opmerking: bij Krol valt er wel degelijk te lezen‘reeks van Fibonacci’; dit moet uiteraard zijn ‘rij van Fibonacci’).

“‘Ik zeg, jij bent niet mislukt.’‘Nee, niet helemaal. Maar wel een beetje he? En omdat we beiden een beetje misluktzijn, horen we bij elkaar. Half plus half is een. Samen kunnen we ertegen. Wil je nogkoffie?’Ik wil nog koffie en grijp een stuk papier omdat me opeens iets te binnen schiet. Hetbetreft de verhouding tussen leven, kunst (schilderkunst), pin-up en porno, en weer terugnaar het leven, in een cirkel. Waan en werkelijkheid. En de liefde. We moeten de liefdeniet vergeten. Dus: leven, kunst, pin-up, porno, liefde en leven. Een vijfhoek. In hetalgemeen heb ik wel fiducie in de vijfhoek — die onder andere de gulden snede heeftopgeleverd en de reeks van Fibonacci. . . Het doet er niet toe. Het zijn van die schema’sdie men na voltooiing en verworven inzicht in mekaar frommelt. Wat bleef bovendrijvenin deze gedachte was de stelling van Middleton dat een pin-up girl niet zou moetenstreven naar een carriere in de porno [. . . ].”

257. De oudste jongen, 1998a, p. 11. Krol vertelt hoe hij zich herinnert dan men vroeger,om de band met zijn stad of dorp in de verf te zetten, ’s zondags naar de voetbal ging.De uitslag van de wedstrijd was uiteraard erg belangrijk, “omdat zelfs een schamele1–0 overwinning voor jou een zege van het leven op de dood betekent. Wie zich met deander meet doet dit bijna altijd door middel van het getal: direct, op het veld, of indirect,gecumuleerd via krant en vakblad. Rijtjes, volgordes, totalen, index-cijfers, statistiekenworden bestudeerd en gekoesterd of, zodra ze teleurstellen, afgedaan als ‘verouderd’.”


258. De oudste jongen, 1998a, p. 12. “Groningen kreeg in 1927 zijn honderdduizendsteinwoner. In mijn schooljaren waren het er 125000. Het Getal. ‘De stad Groningenheeft honderdvijfentwintigduizend inwoners’ heette het op school, met de kracht vaneen axioma.”

259. De oudste jongen, 1998a, p. 16. Krol vertelt over iets wat hij als kind te horen kreegin de godsdienstles: “‘Voor God is er geen eerder en later.’ Dat was indrukwekkend.Het loste het probleem van de eeuwigheid op. En het rechtvaardige (voor zover ik hetbegreep) mijn twijfel aan de causaliteit. Maar het betekende ook dat God niet kon spre-ken, niet op de manier waarop wij spreken: het ene woord na het andere. Daarom vondik wiskunde opeens zo’n mooi vak. In de wiskunde is de tijd geen parameter, zoals in denatuurkunde. Natuurkunde was maar een ‘toepassing’. Ik hield niet van toepassingen,want dat verwees naar de open wereld van de natuur. Naar de mens. In tegenstellingtot de mens bij Homerus en de mens in de natuur bestond wiskunde alleen op papier.Ik begreep alleen niet wat het verschil tussen algebra en meetkunde was. Het verschiltussen een lijn die je tekent en een lijn die je berekent. Wist ik niet. [. . . ]Ik zat al in de vijfde klas. Ik besteedde de hele middag aan het boekje Analytische meet-kunde, van Schrek, te beginnen bij bladzij 5, tot het einde. Als je niet wordt afgeleid, isalles zo moeilijk niet. Ik begreep het, mag ik wel zeggen, na een lezing. Niet alleen deinhoud, ook de methode. Eigenlijk hoef je dan niets meer over het vak te lezen, want inprincipe weet je alles. Dat is het mooie van wiskunde.Hetzelfde deed ik, op een zaterdagvoormiddag, met stereometrie en op een zondagmid-dag met algebra. Vanaf toen haalde ik voor wiskunde alleen nog maar negens en tienen,ook op het eindexamen.”

260. De oudste jongen, 1998a, p. 17. “Al die overpeinzingen leverden rond de kerst eenheel mooie gedachte op, namelijk deze: dat je niet alles wat waar is ook bewijzen kunt.Voor de alfageest spreekt dit vanzelf, want een alfa is uberhaupt niet in staat iets tebewijzen. Maar voor de betageest had die gedachte een eigenaardige bekoring, omdat zeaangeeft wat de grens is tussen weten en niet-weten. [. . . ] Van Godel had ik nog nooitgehoord, maar de echo’s van zijn wereldschokkende ontdekking moeten toen al tot mijzijn doorgedrongen.”

261. De oudste jongen, 1998a, p. 31-32. Wie denkt dat het Krol enkel om wiskunde te doenis, komt bedrogen uit. Getuige daarvan deze (en vele andere) passage(s): “Mijn vaderhad, als leraar Nederlands op de mulo, een hartstocht voor grammatica en woordsoorten,ontledingen en naamvallen. Ik deelde die hartstocht, zo jong als ik was. De vraag bij-voorbeeld waar de kinderen vandaan kwamen interesseerde mij minder dan de oorsprongvan het woord ‘geboren’. Welk werkwoord hoorde daarbij? Ik vroeg het hem en hij zeidat het van ‘baren’ kwam. Met dat antwoord was ik tevreden. Wat baren was, hoe datin zijn werk ging, kon ik wel vermoeden, maar daar ging het mij niet om. Het ging mijom het woord en dat is altijd zo gebleven. Wat niet beschreven is, doet niet mee, inmijn ogen.”

262. De oudste jongen, 1998a, p. 64. Het is 1944 en vader Krol zit krijgsgevangen in Duits-land. Wekelijks stuurt de moeder een brief aan haar man, waar ook kleine Gerrit steedsiets bij mag schrijven. Bijvoorbeeld: “Ook op school ging alles goed. ‘Ik ben de bestein rekenen geworden. Ik hoop dat papa gauw weer thuiskomt.’ ”


263. De oudste jongen, 1998a, p. 76. Krol vertelt hoe het centrum van Groningen, tijdensde oorlog nagenoeg volledig verwoest, er kort na de bevrijding uitziet. “De puinhopenbleven in onze mond puinhopen heten, maar werden allengs puinvlakten. Geegaliseerdterrein begroeid met gras waarin paden waren ontstaan. Een netwerk van looppaden,diagonaal en recht van punt tot punt omdat de kortste afstand tussen twee punten nueenmaal een rechte lijn is. Een netwerk van driehoeken dat aangeeft hoe de mensen zichbewegen. Je ziet het ook op de Grote Markt, alle trottoirs ten spijt, als het gesneeuwdheeft: de weg die mensen in werkelijkheid gaan.”

264. De oudste jongen, 1998a, p. 98; cursivering in origineel. Over Krols diensttijd. “Ik weetniet waarom ik mij inspande een ‘goed soldaat’ te zijn. Om dezelfde reden denk ik alswaarom ik op school mij inspande goed te zijn met sport, met gymnastiek. De straffeexercities appelleerden aan mijn gevoel voor orde. ik hield van de figuur : een kortegedrongen groep die, unisono, links uit de flank marcheerde en twee tellen later rechtsuit de flank zoals je een liniaal schuift over de tekentafel: evenwijdig aan zichzelf.” Hetis niet onzinnig te stellen dat dit gevoel voor orde zich ook uit in Krols passie voorwiskunde.

265. De oudste jongen, 1998a, p. 110. In zijn puberteit, vindt Krol van zichzelf, werd hij ergonaantrekkelijk: “Krom, gebrild en uitermate onaantrekkelijk, putte ik mijn zelfvertrou-wen voortaan uit het idee dat ik niet mooi hoefde te zijn. Ik niet. Vrouwen moestenmooi zijn, mannen lelijk — dat was axioma nummer 1 en ik wist, toen al, dat ik meteen mooie vrouw zou trouwen.”

266. De oudste jongen, 1998a, p. 118. Krol vertelt over een van de eerste meisjes waar hijverliefd op was, en zegt over haar: “Ik hielp haar met haar wiskunde, waar ze trouwensniet slecht in was, maar ze vond het geloof ik leuk het van mij nog ’s uitgelegd tekrijgen.”

267. De oudste jongen, 1998a, p. 148. Als tweeentwintigjarige gaat Krol naar een tafelten-nisclub. “In elk geval was het goed dat ik ’s onder de mensen kwam. Ik studeerdewiskunde, maar niet op de meest gezonde manier. Ik was geen student, ik liep geencollege. Ik had een stapel studieboeken gekocht. Ik had het idee dat ik die boeken ookwel zou begrijpen zonder de uitleg van anderen en studeerde in het kamertje achter dekeuken, waar ik ook sliep.”

268. De oudste jongen, 1998a, p. 150-153; cursiveringen in origineel. Het voorlaatste hoofd-stuk van deze roman heet “De vrijdagavonden” en gaat over logica. Ik neem er enkelegrote stukken uit over. Het begint als volgt:

“Mattheus Blok had ik op de Hereweg ontmoet — puur toevallig. Ik kende hem vanschool, hij zat in de parallelklas. Hij wekte mijn interesse pas toen hij van school gingen het gerucht achterliet dat hij monnik wilde worden in een boeddhistisch klooster opSri Lanka, dat toen nog Ceylon heette.”

Ze spreken af dat Krol hem op vrijdagavond komt bezoeken.

“Hij bewoonde een klein kamertje, een hoog, van een herenhuis. Aan de muur watChinese prenten. Echt een piepklein kamertje. We zaten tegenover elkaar. Ik verteldehem, ter introductie, van mijn denkoefeningen. Het denken is niet logisch. Logica is ietsdat van buitenaf aan ons denken is toegedacht. Ik vertelde hem dit, zei ik, omdat ik


wilde weten of het waar was wat ik dacht. Mattheus dacht na, en knikte tenslotte (alsofhij bij een hogere instantie te rade was gegaan), hij keurde mijn gedachte goed. Mijndenkmethode was juist. Daar was ik blij om. Dan konden we beginnen, zei ik, dan wasde basis tenminste goed.‘Er is geen basis’ zei Matteus vlak. Alsof het een feit was.‘Nou ja, bij wijze van spreken.’‘Nee, ook niet bij wijze van spreken. Er is geen Plato. . . ’Een krachtige uitspraak, die mijn fantasie zou prikkelen. Hier had ik wat aan. Dit rei-nigde de ziel.Ik bezocht hem elke vrijdagavond, drie maanden lang. [. . . ] We werkten hard. Zijndenken was zuiver. Het was niet literair, niet retorisch, zoals het mijne. Waarheid kanovertuigen door haar schoonheid. Een lelijke zin overtuigt niet en is dus niet waar. Hij‘weigerde’ dat te geloven. Hij haalde de werkelijkheid erbij, als zijn grote broer. Dat wasook mijn grote broer. Wiskunde is gebouwd op evidenties. Dat is het gebied waar dewaarheid aan de oppervlakte komt en werkelijkheid heet. ‘Maar,’ zei ik, ‘als de werke-lijkheid zich onttrekt aan onze waarneming, wat blijft er anders over dan de vorm?’Ik word pathetisch op zulke momenten, wat hem deed zuchten. De werkelijkheid is eenprobleem, dat gaf hij toe. Zij geeft zich niet gauw gewonnen. Ze is een moreel probleem.Aan de morele problemen, vertelde ik hem, ben ik nog niet toe. Dat zei ik in 1957. Wezijn nu veertig jaar verder en ik ben er nog niet aan toe, al heeft het probleem een zekerekleur gekregen. Maar toen was ik er absoluut niet aan toe. Ik wilde de werkelijkheid.Niets dan de werkelijkheid en de gehele werkelijkheid. Niet elke werkelijkheid kun jezien, maar beschrijven kun je ’m wel, zei ik, en dat noem ik filosofie. Filosofie is ietsdat je opschrijft. Een filosoof die niets opschrijft, is geen filosoof, die telt niet mee.Inderdaad, er is zonder Plato geen Socrates. . . Daarnaast heb je de werkelijkheid van dedingen die je wel kunt zien, dat noemen we wetenschap en de beschrijving ervan noemenwe wiskunde. Godzijdank is er de wiskunde. Het nimmer falende schrift. Wie wiskundebedrijft, zei ik, beitelt aan de eeuwigheid.Als voorbeeld gebruikte ik de projectieve meetkunde, een meetkunde waar elke twee lij-nen een punt bepalen, ook als ze evenwijdig lopen, en elke twee punten een lijn, ook alsze samenvallen. Wanneer je dit als axioma nam, kon je van elke stelling haar (duale)tegenstelling bewijzen. Je las lijn waar ‘punt’ stond en punt waar ‘lijn’ stond, ad libitum,niet noodzakelijk consistent en we waren terug bij ons zwart/wit-probleem.We gingen verder met de logica. Ook de logica berust op evidenties. We lazen Bo-chenski’s Zeitgenossische Denkmethoden en zijn Formale Logik zonder, naar mijn idee,dichterbij de kern te komen.‘Er is geen kern.’Als dat waar is, heb je ook niets aan de logica. ‘Wat overeind blijft,’ zei ik, ‘is eenwiskunde zonder logica. Niet de logica brengt de wiskunde verder, maar de alogischemenselijke geest.’ Toen viel natuurlijk de naam Brouwer, L. E. J. Brouwer, van wie weons afvroegen of hij nog leefde. In elk geval was hij met emeritaat. Maar zijn leerlingHeyting was van 1900, die leefde vast nog wel. Die woonde in Amsterdam en zou onge-twijfeld nog colleges geven. Mijn besluit naar Amsterdam te verhuizen kreeg daardoorextra gewicht.Het was een van onze laatste bijeenkomsten. Mattheus zou die zomer voor een jaar naarCeylon verhuizen.”


269. 60000 uur, 1998b, p. 15. Krol heeft een baan bij de nam, de Nederlandse AardolieMaatschappij. Hij helpt mee aan de exploitatie van het Groningse gasveld. “Ik hadalleen maar een brandende behoefte te begrijpen hoe gas werd geproduceerd, technischen administratief. Dat het Gronings gas was, was belangrijk, maar niet doorslaggevend.Ik wilde, opgevoed in de wiskunde en de logica, en daarin verzand, wel ’s begrijpen hoede wereld werkte.”

270. 60000 uur, 1998b, p. 48-9. Een aantal keer in deze autobiografie gebruikt Krol nood-zakelijk wiskunde om technische zaken over het boren naar gas uit de doeken te doen.Bijvoorbeeld in volgende passage (p. 48); met ‘put’ bedoelt Krol een boorput langswaarmen gas naar de oppervlakte haalt. Cursivering in origineel.

“De capaciteit van een put wordt niet alleen door de put bepaald, maar ook door demachinerie op de productielocatie, de drogers. Als zo’n droger buiten bedrijf is, is ook deproductie van de put gelijk aan nul, die kan zijn gas niet kwijt. De druk is dan maximaal.In de putmond is de gasdruk afhankelijk van de snelheid van het gas en wel omgekeerdevenredig: hoe hoger de snelheid, des te lager de druk. In een droger is die verhoudingrecht evenredig: hoe hoger de snelheid, des te hoger de druk. Stroomt er geen gas, danis er geen druk.

Mathematisch wordt de putcapaciteit weergegeven door een lijn schuin naar beneden,en de capaciteit van de droger door een lijn schuin omhoog. De paradox wordt opgelostop het snijpunt van beide lijnen, het is namelijk hetzelfde gas.”

Op p. 49 komt daar nog een kleine correctie op: “De schuine lijn naar beneden, van deputten, was niet een rechte lijn, maar een kromme, een parabool, gespecificeerd doordrie coefficienten, drie waarden.”

271. 60000 uur, 1998b, p. 50-1. “Sander [=Krols collega die hem helpt bij het programmeren,SC] was klaar met z’n programmatuur, op de formules na. Het hart. Dat was een kwestievan slim programmeren. Daisy is geen rekentaal, het werkt slechts met twee cijfersachter de komma, tenminste toen, maar omdat je er allerlei woorden, getallen en delenvan getallen mee aan elkaar kunt plakken, krijg je uiteindelijk toch wat je hebben wilt. Iknam ‘het snijpunt’ voor mijn rekening, omdat ik — ha! — er de interpolatieformule vanNewton moest voor gebruiken. Prettig weer ’s iets wiskundigs onder handen te hebben,hoe eenvoudig ook. Een snoepje. Overigens, twee cijfers achter de komma was in mijngeval voldoende.”

272. 60000 uur, 1998b, p. 59. Krol is aan het praten met een collega. We krijgen daar eenwel erg Krolliaans zinnetje te lezen, dat misschien wel de krachtigste korte beschrijvingis van Krols oeuvre: “We praatten over het mooie van de wiskunde, over vrouwen enfilosofie.”

273. 60000 uur, 1998b, p. 68-9. Krol beschrijft zijn verdere loopbaan bij de nam.

“Ik werd een specialist in lp, Lineaire Programmering, wat niets te maken heeft met hetprogrammeren op de computer (wat ik ook deed), maar met het optimaliseren van eenlineaire functie onder lineaire beperkingen. Is die functie continu (bestaat hij uit stukkenrechte lijn), dan schaats je tijdens het rekenen van de ene lijn omhoog naar de andere,tot je de top bereikt hebt, dat is het optimum. De uitkomsten worden gebruikte voorhet optimaliseren van een raffinaderij.


Is die functie niet continu (bestaat hij uit losse punten), dan moet je springen, maar jezult nooit weten wanneer je het optimum hebt bereikt. De variabelen kunnen bijvoor-beeld maar twee waarden aannemen: nul een een. Je zou zeggen, dan ben je er gauwmee klaar en ik heb dan ook een paar jaar besteed aan de illusie dat ik er heel dichtbijwas; ik probeerde die illusie te bewijzen. Ik vond het bewijs van optimaliteit in het gevaldat de variabelen — als uitslagen in een schaaktoernooi — de waarden nul, een en eenhalf aannemen.Bosma, met wie ik de kamer deelde, als assistent, nam de stelling en het bewijs op inzijn proefschrift — tot hij ontdekte dat het bewijs fout was. Een correct bewijs is totnu toe niet gevonden. Toch lijkt de stelling waar te zijn.Ik volgde colleges bij Heyting, Popken en Bruins, aanvankelijk ’s avonds, later overdag.Popken gaf analyse, een vak dat ik nooit goed begrepen heb, Heyting projectieve meet-kunde, een mooi overzichtelijk vak, en Bruins differentiaalvergelijkingen, een mooi, maaronoverzichtelijk vak. Algebra, groepentheorie, deed ik op eigen houtje. Ik slaagde voormijn mo-a-akte na een jaar studie, wat niet gek was want normaal doe je daar drie jaarover. Maar ik moet erbij zeggen dat ik veel tijd kreeg om overdag te studeren, op hetlab. Hoe dan ook, Bosma was zo opgetogen, dat hij direct de volgende dag met eenstapel boeken kwam aanzetten die, doorgenomen, mij de mo-b-akte zouden opleveren.Ook binnen een jaar, volgens hem.‘En dan mag je je wiskundige noemen.’Dat was 10 december. Ik studeerde voort, met dezelfde vaart als waarmee ik het eerstedeel van mijn studie had afgesloten.” (p. 68-9).

Maar er beweegt iets bij Krol, en uiteindelijk neemt hij het besluit, zich toch maar opeen schrijverscarriere te storten (p. 69):

“De volgende morgen zette dat gevoel zich voort: het wordt tijd, jongen, dat je aanjezelf denkt. Niet langer uitstellen. Ik zette de boeken van Bosma op een stapeltjein de hoek, op de grond. Misschien, als ik meer talent had gehad, was ik doorgegaanin de wiskunde. Maar ik was au fond niet nieuwsgierig genoeg. Ik was eigenlijk veelnieuwsgieriger naar mezelf.Ik maakte m’n tafel schoon en begon. Ik schreef.”

274. 60000 uur, 1998b, p. 81. Op deze pagina lezen we: “Was hun werkwijze wel conver-gent?”, waarmee Krol zich eigenlijk afvraagt of een onderzoek, geleid door twee experts,eigenlijk wel ergens toe leidde. Op p. 83 gebruikt Krol het woord “convergent” nogmaalsin dezelfde context.

275. 60000 uur, 1998b, slot (p. 112-4); cursivering in origineel. Krol werkt niet meer bij denam, maar met Ronda, vriend en vroegere collega, heeft hij nog contact. Op een dagkomt Krol over naar Ronda, omdat deze een eigenaardige fout gevonden heeft.

“De fout. Ronda haalt de papieren erbij en wijst mij een rare hoge productiewaardevan de locatie Slochteren, de oudste winplaats nota bene. Hij wijst mij hoever hij in deberekening is terug kunnen gaan: de productiekromme van de putten en de schuine lijnvan de behandelingsinstallaties, de drogers, het snijpunt daarvan. Waarom, vraagt hij, isde berekening daar zo ingewikkeld. Ik heb het niet zo precies meer voor de geest, maar erzijn vier hulppunten, die waarden hebben we al. Het gevraagde snijpunt ligt min of meerin het midden, dus z’n coordinaten zijn het gemiddelde van die van de hulppunten. Voorde capaciteitsberekening is deze werkwijze nauwkeurig genoeg. Maar nu ging die waarde


opeens zo omhoog, voor Slochteren. Ja, dat kon ik ook niet een-twee-drie verklaren.En Ronda wel. Hij zag het opeens. De vier hulppunten waren niet betrouwbaar, derekenwijze liet uitschieters toe. Want kijk, deze twee lijnen zijn dezelfde. En wat is hetsnijpunt van twee samenvallende lijnen? En hoe kwam het dat die twee verschillendelijnen samenvielen? Omdat we nog steeds in twee decimalen rekenden. Een rudimentjeuit de jaren zeventig. We maken er acht decimalen van en zie, zelfs als de punten ergdicht bij elkaar liggen, dan nog krijgt de lijn z’n nauwkeurige richtingscoefficient. Hetprobleem is opgelost.Dankjewel, zegt Ronda. Nee, zeg ik, ik ben degene die dankjewel zegt, want jij hebt hetgevonden. Jij zag dat van die decimalen.Zo gaat het vaak. De aarzeling van de een is voor de ander de sleutel tot de oplossing.Gek is dat.Tevreden kijken we elkaar aan.

Maar dan is er nog iets, zegt Ronda. En hij vertelt me dat hij een jaar geleden van tdinieuwe vergelijkingen heeft gekregen van de drogers. Want de grote warmtewisselaarswaren vervangen door kleinere. Op een bandje. Nieuwe coefficienten. Getrouw had hijdie in het model ingevoerd en onmiddellijk een telefoontje van de cck gekregen dat decapaciteitscijfers niet meer klopten. Van schrik de oude coefficienten weer ingebracht —die aanwijsbaar fout waren. Ra ra, hoe kan dat. Hoe is het mogelijk dat de cck er devoorkeur aan geeft te werken met verkeerde getallen? Ook op deze vraag kon ik geenantwoord geven. Ik tekende wat grafiekjes, zocht de oorzaak in een dalende gasdruk,had het over een ‘knijpstuk’. Misschien waren de putcoefficienten toch ook niet helemaalcorrect meer (in verband met de dalende gasdruk, herhaalde ik wat machteloos) en ikkeek hem aan, in de hoop dat hij opeens het antwoord wist.Hij wist het niet. En ik ook niet. Dalende gasdruk, putcoefficienten die niet meerklopten, warmtewisselaars met de verkeerde parameters. . . Het was mij te moede of wegesteld stonden voor het drielichamenprobleem dat, zoals men wellicht weet, onoplosbaaris. Zon, maan en aarde — als die even groot zijn en ze cirkelen wat om elkaar heen,dan zijn plaats en snelheid nauwkeurig genoeg te meten, maar dan nog kun je met allemechanica van de wereld (Newton, Laplace en Poincare) niet voorspellen wat uiteindelijkhun bewegingen zullen zijn. Zo voelde ik dat deze snijpuntsbepaling van lijnen die ikniet langer kende, mijn krachten te boven ging.‘Het geeft niet,’ zei Ronda, ‘ik laat het zo.’‘Misschien dat de fouten elkaar opheffen,’ suggereerde ik.Ronda greep de papieren bij elkaar en sloot de boeken.‘Ik laat het mooi zo.’ ”

276. De vitalist, 2000, p. 12. Het tweede hoofdstuk van deze roman begint met een beschrij-ving van de hoofdfiguur, Johan. “Want wie was Johan? Wat was dat eigenlijk voor eenman?

Johan. Was dit zijn leven? Dit was niet zijn leven.

Sommige mensen hebben geluk: zij stellen vragen die ze kunnen beantwoorden. Ze zijnals mathemaat geboren. Hun wereld is de wiskunde, de wetenschap van het ware. Hetzwaartepunt van hun leven ligt voor hun twintigste. Dan hebben ze al kennisgemaaktmet de wonderschone ruimte van ringen en idealen, die getallen kleuren tot priemgetal-len; ze hangen als pruimen aan de bomen. De mathemaat. Hij koestert de theorie derfricties (het verschil tussen bijvoorbeeld 3×4 en 4×3), maar niet alleen de theorie — hij


kan die fricties nog uitrekenen ook. Hij is op de hoogte van de raadselachtige macht derisotrope punten in een wereld waar alle afstanden, alle lengtes gelijk zijn aan nul — enop die hoogte is hij God.Op de leeftijd dat kinderen stripboeken lezen, las Johan met hetzelfde gemak de leer-boeken van Schuh, Knopp en Klein — in gotische letters, dat laatste. Zijn brandschonegeest gleed slim en geamuseerd door de stof. Elke lichte sprong, waar hij naderde,automatisch op groen.

Johan was op zijn vierentwintigste hoogleraar wiskunde aan de Leidse universiteit en hijzou misschien wereldberoemd geworden zijn, en gebleven, als hij tevredener met zijntalent was geweest.”

277. De vitalist, 2000, p. 22; cursivering in origineel. Roetie, Johans vrouw, komt tot bij zijnbureau.

“‘Wat ben je aan het doen?’‘Aan het doen?’ Hij antwoordde dat hij bezig was met een artikel voor de ContemporaryMathematics, over de functies van Fuchs. . . Maar goed, dat deed hij voor de faculteit.Minstens zo leuk was de klus waar hij in zijn vrije tijd aan werkte: een wiskundigebeschrijving van de heteluchtmotor. Daar was hij op het instituut mee bezig, niet hier.Tjonge, wat geurde die meid. . . Meestal zondags.”

278. De vitalist, 2000, p. 36. Iemand — maar die persoon maakt zich niet kenbaar — heeftduidelijk gemaakt dat hij op de hoogte is van de verdoken relatie tussen Roetie enGeorges. Dit is uiteraard knap lastig. Krol zegt: “Juist door zijn nulwaarde kan deanonymus wanstaltige afmetingen aannemen en zich overal hebben verstopt.”

279. De vitalist, 2000, p. 58. Enigzins los van de paragrafen ervoor, eindigt het korte hoofdstuk15 met deze korte alinea: “Singuliere transformatie, nl. daar waar geen hoogte of diepte,want nul, gemeten hoeft te worden.”

280. De vitalist, 2000, p. 66. Barbara is verdwenen; als lezer weten we dat Johan haarvermoord heeft. We krijgen een beschrijving hoe elk van de hoofdpersonen omgaat metde verdwijning. “Johan, die ‘niet aan het ergste wilde denken‘, verloor zich aan eeneigenaardig soort algebra. De hemel was bloedrood. Hij stond, wat hij noemde, ‘openvoor het onmogelijke’.

281. De vitalist, 2000, p. 72. Er is een discussie gaande over welke fouten mensen gemaakthebben. Johan is aan het woord, maar vindt het, als wiskundige nodig, eerst enkelebegrippen te definieren. “Slecht is wat je verborgen houdt — dat is de definitie.”

282. De vitalist, 2000, p. 73. Johan is aan het spreken over de dood, het eeuwige leven enhet goddelijke. “‘Er is,’ ging Johan verder, ‘veel dat we niet begrijpen omdat het teklein is voor onze waarneming, omdat het een product van toeval is. God is als hetverdwijnpunt in de meetkunde. Hoe dichter je erbij komt, hoe verder weg het blijkt teliggen. Toch teken je het verdwijnpunt gewoon op een A4’tje. Zo dichtbij als je maarwilt. Het is oneindig klein. De oude God wordt “oneindig groot” genoemd, opdat menzo uitdrukking kan geven aan het ontzag dat men voor hem koestert, men koestert graagontzag, dus hun God is groot, oneindig groot liefst. Maar als er ıets oneindig is aan God,dan is het daar waar hij in het kleine werkt. Wel is hij overal — voorzover wij hem niet


kennen. Hij is daarom: almachtig — daar waar wij niet zijn of waar wij niet ingrijpen.En hij is oneindig — waar wij eindig zijn.’ ”

283. De vitalist, 2000, p. 76. De vrienden hebben het lijk van Barbara ontdekt. Johan slaatonmiddellijk op de vlucht en verraadt daardoor zichzelf. Hij vlucht naar huis en neemtdaar verdwaasd plaats achter zijn bureau.

“Hij had zijn papieren voor zich gelegd, onder andere een overdruk van zijn laatste artikel‘On Proofs by Analogy’, waar hij nogal trots op was. Hij keek ernaar, las de introductieen wat hij zag, voor het eerst, was de verregaande onbenulligheid van het artikel. Steldeniets voor. Misschien had het een stem in het kleine gezelschap van geleerden die ditartikel begrepen, maar wat begrepen ze dan nog?”

284. De vitalist, 2000, p. 81. De begrafenis van Barbara. De kist wordt vervoerd op eenkoets; Felix, Eefje, George en Roetie zitten er ook op. Johan nadert de koets, en zietBarbara naast de koetsier zitten. “Barbara, die besloten had haar eigen begrafenis bij tewonen! ‘Wat een conjunctie!’ riep hij uit.”

285. De vitalist, 2000, p. 87. Johan zit in voorhechtenis, en mijmert over zijn toekomst. Ditis het begin van hoofdstuk 22; let op het woordje ‘uitgevonden’ (“Poncelet die [. . . ] deprojectieve meetkunde heeft uitgevonden”). Cursivering in origineel.

“En Johan? Hij bevond zich op het kruispunt van liefde en haat. Hij zei: ‘Ik doe mijnbest. Ik zal zorgen dat ik er beter uit kom dan ik erin gegaan ben. Ik ben een plant diealleen ’s nachts in bloei staat. Het kon wel eens mijn vruchtbaarste tijd blijken te zijn.’

‘Ik ben hier waarschijnlijk heel geschikt voor.’

Hij dacht aan Poncelet. Het was de Franse luitenant Jean-Victor Poncelet die in Russi-sche gevangenschap, van 1812 tot 1814, in de donkerste uren van zijn bestaan, op debodem van de put, de projectieve meetkunde heeft uitgevonden en ontwikkeld. Dezemeetkunde, ook wel geheten ‘de meetkunde der schaduwen’, negeert dingen als afstanden hoek. Wat telt zijn de verhoudingen van afstanden en hoeken. Die zijn bij projectieinvariant en hard, als diamant. Van een schemerlamp zie je de cirkel als een ellips en deprojecties op de muur als hyperbolen met takken die uitslaan naar alle kanten: hoogten,diepten en verten die pas bij elkaar komen in het oneindige. In de projectieve meekundeis dat allemaal hetzelfde en ligt het niet verder weg dan de punt van je potlood.

Moskou, 1812. Johan was van plan een soortgelijk huzarenstukje uit te halen.

Gesterkt door zijn eigen Spartaanse voornemen zei Johan volmondig ‘ja’ tegen het ge-vangenisleven.”

286. De vitalist, 2000, p. 90. Johan heeft met tandpasta op zijn spiegel geschreven dat ereen god is, maar dat wij die niet kennen. Hij zegt daarover tegen Roetie: “Ik stel heten die stelling geeft mij rust.”

287. De vitalist, 2000, p. 93.

“Johan las.

De moraal als wetenschap.

Wat hij leerde was: niets te vragen. Hij dopte zijn eigen boontjes, en werd beloond metde toezending van een rubberen liniaal.


Johan probeerde de mens te leren zien als een ‘singuliere transformatie’. Een wiskundiginzicht waarmee hij vooruit kon.”

288. De vitalist, 2000, p. 94. Felix, George en Johan raken verzeild in een filosofisch gesprek;cursiveringen in origineel.

“‘Ach,’ zei Johan, ‘sinds Kuhn weten we dat alle wetenschappelijke uitspraken geent zijnop betrekkelijk willekeurige paradigma’s en dat het er niet toe doet.’‘Niet helemaal,’ zei Felix. ‘Elk paradigma is beter, algemener, inzichtelijker dan het vo-rige. Daarom weten we nu meer dan honderd jaar geleden, niet alleen in de feiten, ookonze veronderstellingen zijn geraffineerder. Eefje, je hebt gelijk, dat haal je nooit meerin.’‘Laat je niet ontmoedigen, Eef,’ zei Johan. ‘Neem een voorbeeld aan Einstein. Diekon de zwaartekracht verklaren met argumenten,’ hij sprak weer tegen Felix, ‘die meerlijken op die Newtons voorlopers hanteerden dan op die van zijn opvolgers. En hoe weheden ten dage over de ruimte denken — sommige van de ruimtelijke eigenschappenlijken een beetje op die vroeger, voor Maxwell, aan de ether werden toegekend. Wiehad dat gedacht. Dat duidt erop dat de waarheid een soort kern is, die zich niet laatkennen dan via cyclische redeneringen en dan nog in tegenstrijdigheden, een verborgenkern-van-de-zaak, een piece de resistance waar je omheen loopt om het van verschillendekanten te kunnen bekijken. Opgescheept dus met metingen die elkaar tegenspreken.‘Dan geef ik,’ riep George, ‘geen cent meer voor die wiskundige zekerheid van jou!’‘Voor de wiskunde geldt dat allemaal niet,’ was het ijskoude antwoord van Johan. ‘Wis-kunde is niet gebouwd op paradigma’s, maar op axioma’s. Axioma’s zijn invariant onderde transformatie van Kuhn.’‘Dan is wiskunde geen wetenschap,’ vond George.‘Dat is het juiste antwoord.’ ”

289. De vitalist, 2000, p. 95. “Johan stond op en sloot de gordijnen, om verder te gaan metwaar hij gebleven was: het vraagstuk dat voorkwam uit zijn eigen problematiek: die vande singuliere transformatie, oftewel: de sprong.”

290. De vitalist, 2000, p. 96. Er wordt opgemerkt dat iemand ooit op een Schots toilet las“You will be damned if you do and you will be damned if you don’t” (p. 95). Krol gaatverder met volgende twee korte alinea’s:

“Wat opgesloten zat, kwam via de snijdende stelling van de wiskunde tevoorschijn enzou in open lucht tentoon staan.

Een meetkunde die de vorm van zijn wc-pot beschreef.”

291. De vitalist, 2000, p. 102-103. Volslagen onverwacht komt Johan, die nooit een geheimgemaakt heeft van zijn aandeel in Barbara’s dood, toch vrij (p. 102):

“Men achtte zijn aandeel in de dood van Barbara niet bewezen, noch wettig, nog over-tuigend en Johan kon zijn papieren bij elkaar nemen en de poort uitlopen, hij was vrij.”

Op p. 103 lezen we:

“Roetie: ‘Johan is echt onschuldig. Dat is nu bewezen.’Felix: ‘Geloof je het zelf?’George: ‘Ze hebben niet kunnen bewijzen dat hij schuldig is. Dat is wat anders.’ ”


Deze wending van het verhaal moet zeker en vast gelezen worden in de optiek van Krolspleidooi tegen straffeloosheid en voor de doodstraf. Maar er zou wel eens flink watmeer kunnen inzitten: meestal als Krol het werkwoord ‘bewijzen’ gebruikt, is dat instrikt wiskundige zin. In die optiek is ook Georges opmerking (‘Ze hebben niet kunnenbewijzen dat hij schuldig is. Dat is wat anders.’) heel interessant. Er niet in slagente bewijzen dat een wiskundige formule een stelling is, is inderdaad niet hetzelfde alsbewijzen dat haar ontkenning een stelling is. Meer nog: sinds Godel zijn we er zekervan dat er wiskundige formules zijn die onbewijsbaar zijn, maar wier ontkenning evenminbewijsbaar is!

In dat opzicht heeft Krol hier een erg fijnzinnige vergelijking gemaakt tussen Johan ende Godelzin: Johan zegt dat hij schuldig is; maar die schuld wordt nooit bewezen. DeGodelzin zegt van zichzelf dat hij onbewijsbaar is, en kan dus ook niet worden bewezen,net als de schuld van Johan. Nochtans zegt de Godelzin over zichzelf dat hij waar is,net zoals Johan over zichzelf zegt dat hij schuldig is (zie bv. p. 109: “Hij [=Johan,SC] heeft later bekend.”). Maar in beide gevallen is die uitspraak dus onbewijsbaar. (Eris uiteraard een belangrijk verschil, in die zin dat Johan niet beweert dat zijn schuldonbewijsbaar is; bij de Godelzin is het feit dat hij zelf zegt dat hij onbewijsbaar is, nunet het hele punt.)

292. De vitalist, 2000, p. 104. Naar aanleiding van zijn vrijspraak en het debat over (on)schulden de werking van het rechtsysteem, houdt Johan deze monoloog: “‘Als je rechtvaar-digheid nastreeft, streef je gelijkheid na. Dan zul je erop toezien dat de weegschaalhorizontaal staat. Wettig en overtuigend. Een bewijs is wettig als het voldoet aan alleformele eisen die je aan een bewijs mag stellen, geen fouten hebt gemaakt, en overtui-gend is een bewijs als je er ook zelf in gelooft. Een bewijs is een samenspel van waarheid,logica en retorica, een wedstrijd die geen van de drie mag verliezen.’ ” Hierin herkennenwe natuurlijk dadelijk Johans achtergrond als wiskundige.

Hierop volgt dit stukje: “Roetie: ‘Beter dan te vervallen in emotionele taal, is het enadvocaat in de arm te nemen, een die vaker met het bijltje — kijk, het is een cultuur opzich. De feiten kennen we meestal wel, maar het gaat erom in de afweging van een enander de juiste toon te treffen.’Johan: ‘Er is een analogie in de wiskunde. Iedereen weet dat 2 plus 2 gelijk is aan 4.Het is waar, maar nog niet zo gemakkelijk te bewijzen. Het blijft een dilemma. Godbestaat niet omdat de wiskunde waar is, boven alle twijfel, en de duivel bestaat omdatwe het niet kunnen bewijzen. Dixit Andre Weil.’ ”

293. De vitalist, 2000, p. 110. Er is een discussie gaande over dna-onderzoeken. Er wordtopgemerkt dat op dat gebied, dankzij de vooruitgang van de wetenschappen, vergissingenzijn uitgesloten. “‘Hoho,’ zei Felix, ‘Er zijn nog allerlei haken en ogen. Want hoe wetenwe dat niet de flesjes zijn verwisseld? Dat weet je in elk geval minder zeker dan dat 2×2gelijk is aan 4. Hoe zeker weet je dat? Hoe groot is de kans dat justitie geen foutenmaakt?’‘Jammer dat Johan er nu vandoor is,’ zei Eefje. ‘Die zou dat even voor ons kunnenuitrekenen.’ ”

Er ontspint zich een discussie rond wat nu wel of net niet als bewijs mag gebruikt worden.Iemand merkt daarbij op: “Is een bewijs verkregen uit evidentie goed genoeg, of moethetzelfde ook nog op een andere wijze worden getoond?” Hierbij aansluitend kunnen we


opmerken dat Johan als wiskundige ook geınteresseerd was in deze materie, zij het danuiteraard op wiskundig gebied. Zo vermeldt Krol dat Johans laatste artikel On Proofsby Analogy heette (zie punt 283).

294. De vitalist, 2000, p. 115. “‘Het heeft geen zin,’ zei Johan, ‘morele uitspraken te doenals ze niet zijn geformaliseerd.’ ”

295. De vitalist, 2000, p. 123. Johan loopt met de vrienden door de duinen. Johan merktop: “‘Als je bedenkt hoe snel de aarde om de zon heen vliegt. . . ’‘Hoe snel is dat dan,’ vroeg Felix.‘Dertig kilometer per seconde.’‘Voor de aarde is dat niks,’ meende Roetie.‘Ik hou niet van getallen,’ zei Eefje.‘En daarin,’ zei George, ‘was ze een echte vrouw.’‘George jongen,’ zei Eefje, ‘ik ken meer getallen dan jij, maar ik vind ze afschuwelijk.’ ”

296. Rondo Veneziano, 2004c, p. 9. Rondo Veneziano vertelt ons het verhaal van hetTorricelli-colloquium in Padua en Venetie in oktober 2004. Van de deelnemers zijner vijf filosoof, vier fysicus, drie historicus en telkens een dichter, botanicus, chemicusen auteur. Daarenboven is er ook een wiskundige aanwezig, Prof. dr. S. Eriksson uitUppsala, en staat er een persoon in het rijtje die eigenaardig genoeg geen titel heeft:J.J. Pipper uit Amsterdam.

297. Rondo Veneziano, 2004c, p. 16-17. Een vrouw, een toeriste, loopt helemaal alleen op “deanders zo drukke Piazza dei Signori”. Plots merkt Krol op: “Er liepen nu twee vrouwenop de piazza. Een plus twee is twee — als je tenminste dezelfde vrouwen bedoelt.”

298. Rondo Veneziano, 2004c, p. 24. Dr. Goormaghtigh, de (overigens Gentse) secretaris vanhet Colloquium, vertelt Pipper dat hij ook enkele doden heeft uitgenodigd, waaronderPythagoras.

299. Rondo Veneziano, 2004c, p. 26. Pipper vertelt ons wanneer en waar hij zijn huidigevriendin Vicky leren kennen heeft. “Ik woonde al zes jaar op Curacao, genoot algemeneachting als leraar wiskunde.”

300. Rondo Veneziano, 2004c, p. 45. Pipper wordt voorgesteld aan Alessandra Morosini. Deeerste vraag die ze hem stelt is “‘Bent u de beroemde meneer Pipper?’ ”, ten tweedevraagt ze hem “‘U bent toch wiskundige?’ ”

301. Rondo Veneziano, 2004c, p. 49-53. Krol schrijft hier een subhoofdstuk dat ik integraaloverneem. Aan het woord is Pipper. Merk verder op dat het tot hier toe nog onduidelijkis of Pipper nu al dan niet een academische titel heeft (hijzelf beweert wel eens van niet,maar toch zijn er aanwijzingen dat hij doctor zou zijn). De cursiveringen staan er telkensook in het origineel; ook de “(. . . )” is van de hand van Krol. Let op de zeer levendigebeschrijving van de zeta-functie, iets waar Krol in zijn vroegere romans misschien eerdereen tekening zou ingevoerd hebben.

memoires (2), pipper in gottingen

Iets over mijn studententijd.

Ik had een manier ontdekt om sneller te studeren: rechtstreeks uit de boeken. Zondertussenkomst van een leraar of professor en wel zo dat je, als je het niet meer begrijpt,


terug kunt gaan tot het punt dat je het nog begreep en dan doe je een hernieuwdepoging.Je moet daarvoor een boek uitzoeken dat er geschikt voor is.Of het geschikt is weet je niet van tevoren.Ik had geluk. Net was de vierde druk uitgekomen van Algebra, van B.L. van der Waer-den, unter Benutzung von Vorlesungen von E. Noether . Het werd besproken in de krant,wat zeer ongewoon is, voor een vierde druk, maar je kunt er het gewicht van het werkaan afmeten.Er was een foto bij afgedrukt van de beide auteurs. Ze lachten naar elkaar. Een gele-genheidsfoto.Maar zeer belangrijk! Zij zijn de auteurs — zij de spreker en hij de schrijver — van hetberoemdste en invloedrijkste wiskundeboek van de twintigste eeuw. ‘Hele generaties,’schrijft de recensent, ‘hebben hun algebra uit dit boek van Van [sic, SC] der Waerdengeleerd.’ En hij gaat verder: ‘Onder Emmy’s handen was een heel nieuw soort reken-kunst ontstaan. (. . . ) Haar colleges over de ideaalgroepen waren de dagenraad van eennieuwe algebra.’ Over Van der Waerden schreef hij dat die ‘opviel door zijn ongelooflijkesnelheid van opnemen en verwerken van wiskundige stof.’ En: ‘Eenmaal in Gottingenraakte de jonge Nederlander al snel in de ban van Emmy Noethers abstracte algebra.Noether, op haar beurt, was zeer in haar schik met de briljante jongeman.’

Toen ik dit gelezen had, stond het voor mij vast dat ik naar Gottingen zou gaan. Niet omEmmy te ontmoeten, die was allang dood, en Van der Waerden, die zeer oud gewordenis, was toen ook al zo oud dat ik zelfs niet overwogen heb hem in de Zwitserse bergennog op te zoeken.Nee, ik ben eenvoudig naar Gottingen afgereisd, naar ‘de plaats waar alles gebeurd is’.De atmosfeer. ‘Hele generaties’ — daar hoor ik ook bij, maar het boek had ik nooithelemaal begrepen. Nu ging ik het begrijpen. Op locatie.Dag in dag uit in de universiteitsbibliotheek van Gottingen. Ik was eenentwintig toen ikhet boek doornam, net zo oud als Van der Waerden toen hij het schreef.

Omdat het zo’n voortreffelijk boek is, was ik er in twee maanden mee klaar.

Ik had vier weken over. Die kon ik vullen met colleges van professor Nohl over een vande meest fascinerende takken van de getaltheorie: priemgetallen. Van der Waerden isdaarover erg kort en theoretisch. De wereld van de priemgetallen is zo kleurrijk dat hetjammer zou zijn dat feest in louter theorie te laten verdorren. Het boeiende in de wereldvan de priemgetallen is dat er nauwelijks regels zijn, niet om een getal ‘in factoren teontbinden’ en niet om uit te rekenen hoeveel priemgetallen er eigenlijk zijn. Liggen ze,op de as van nul naar oneindig, steeds dichter bij elkaar, of, wat voor de hand ligt, steedsverder van elkaar af? Is daar een maat voor? En hoe gedragen priemgetallen zich als zein het imaginaire vlak komen te liggen?Het begint zo vertrouwd: 2, 3, 5, 7, 11, 13. . . , maar algauw ben je het spoor bijster. Opde lijn naar oneindig wordt de distributie van het priemgetal steeds schaarser; je komtin streken die men priemwoestijnen noemt. Daar groeit niet veel, zelfs geen priemgetal.Toch is de priemdichtheid altijd nog zo’n 6-9%, gemiddeld. Het aantal priemgetallenkleiner dan een miljoen is 78.498, om precies te zijn. Met een computer is dat zo uit terekenen. Vroeger moest dat allemaal met de hand. Dan kwam het er op aan een slimmemethode te vinden.Euler (1707-1783), Gauss (1777-1855), Riemann (1826-1866). Ziedaar de namen der


groten. Het kostte mij veel moeite hun werk te begrijpen. Sommige dingen moet jemaar gewoon op hun gezag aannemen (per slot doe je dat met axioma’s ook).Riemann is de grote architect van de Zetafunctie, toegepast op het imaginaire vlak. Ditvlak kun je gewoon tekenen. En de Zetafunctie teken je als het spoor van stuiterendetennisballen, die in wonderlijke onregelmatige bogen verdwijnen naar de horizon. Deplaatsen waar ze het vlak raken noemt men de nulpunten van de functie.Elk nulpunt correspondeert met een reeel of imaginair priemgetal.Die nulpunten blijken alle op een rechte, smalle weg te liggen. Dat is bewezen. Zeblijken, voorzover bekend, zelfs op de middenlijn van die weg te liggen. En dat is nietbewezen.De laatste jaren heeft men met behulp van de computer laten zien dat de eerste mil-jard nulpunten inderdaad alle op de bewuste middenlijn liggen. Maar ondanks dezeindrukwekkende numerieke evidentie is Riemanns hypothese nog steeds een onbewezenvermoeden. Een diepe grot waar al heel wat scherpe geesten ‘gebleven’ zijn.

De Zetafunctie heeft zich ontwikkeld tot een van de krachtigste hulpmiddelen in dewiskunde. Maar vat op Riemanns probleem heeft ze niet en dat is onbegrijpelijk. Hoekan het dat een druppel helder water zoveel donkere gangen bevat?

Dit, in een notendop, was het avontuur waaraan ik mij had overgeleverd, de laatstemaand in Gottingen. Ik volgde de colleges trouw, maar de inspiratie kreeg ik van desterren. Ik zag, ’s avonds, en ’s nachts, voor mijn tentje op de Hohe Reese gezeten,in elke ster een priemgetal. Zoals bijna elke student heb ik een poging gedaan hetVermoeden te bewijzen. Ik haalde daarvoor de gammafunctie van stal: 1×2×3×4×5. . . ,de algemene faculteitsfunctie, maar dan in het imaginaire vlak.De Zetawaarden heb ik beschouwd als limieten, waarschijnlijkheden met de waarde 1zodat ook het Vermoeden de waarde 1 kreeg; ik gebruikte daarvoor de Khintchine-functie.

Ik schreef het allemaal op in de vorm van een scriptie. Niet erg gebruikelijk, maar dan zouNohl zich mij, hoopte ik, langer herinneren — ‘die student uit Holland’. Omdat ik er methem over praten wou, ging ik nog even bij hem langs. Hij was er wel, maar ‘even weg’.Ik heb een kwartier zitten wachten, in de werkkamer van de professor. Rondgekeken. Hijleek mij met tien dingen tegelijk bezig. . .

En dan nu het delict.Op het bureau ligt een stapeltje doctoraalbullen, voorzover ik dat kan zien. Maar reedsondertekend door de leden van de senaat en de rector magnificus zelf. Een stuk of vijf.Ik heb er maar een nodig. Ik neem hem uit het stapeltje, rol hem op zoals ik denk dateen bul eruitziet: een cilinder, en met achterlating van mijn scriptie loop ik met mijn bulde gang op. Ik vind dat ik hem wel verdiend heb, na zo’n zomer.Ik verlaat het gebouw, verlaat Gottingen, verlaat Duitsland.Ik vestig mij op Curacao. Waar ik moeiteloos een aanstelling krijg als wiskundeleraar ophet Peter Stuyvesant-college.Tot zover mijn studentenjaren.

302. Rondo Veneziano, 2004c, p. 60. De lezing van de enige professor wiskunde op ditColloquium, prof. dr. Sven Eriksson, is een doodsaaie lezing over het beschrijven vanslingerbewegingen (zoals je bv. een ketting rondslingert met je vinger). Maar plotselingkrijgt Eriksson iedereen wakker door te wijzen op een biologische variant: wat danseressen


doen in nachtclubs. “Wie sliep was nu weer helemaal wakker en volgde met de anderennauwlettend wat Eriksson te vertellen had. ‘Nogmaals, de weg die ze daarbij volgenhoeft niet een cirkel te zijn. Een ellips doet het ook, en misschien nog wel beter. Als zemaar bewegen, als ze maar door de lucht blijven gaan.’ ”

303. Rondo Veneziano, 2004c, p. 66; cursiveringen in origineel. Ook dr. Brodsky, de bekendemaar helaas overleden dichter, houdt een lezing, waarin hij in zeven punten de vijandenvan de poezie voorstelt. Voor ons zijn puntje 2 en puntje 3 van belang:

“2. Poezie en Wetenschap. Een natuurkundige wet staat meestal in de tegenwoordigetijd, in de lijdende vorm en vaak zonder personen. Daarmee wordt aangegeven dat wat nugebeurt ook gisteren gebeurd had kunnen zijn of morgen gebeuren zal. Voorspellingenaan de hand van tabellen. Deze kracht draagt in termen van noodlot bij tot haarschoonheid. Bijzonder fraaie gevoelens worden opgewekt door de zgn. uiterste waarden,de maxima, de minima, en de fraaiste door een samenstel van deze twee, de pas of hetzadelpunt, waar men tegelijk op het hoogste en op het diepste punt staat.

3. Poezie en Wiskunde. Wat voor een natuurkundige wet geldt, geldt in nog sterkeremate voor een wiskundige stelling. In beide gebieden heerst de waarheid, in welke tijddan ook. Wat de wiskunde voorheeft op andere wetenschappelijke disciplines is dat zijnet als poezie gemaakt is van taal. Ze is een taal. Daaroor heeft ze de kans mooi tezijn, evenals de poezie, en zien we ze herhaaldelijk met elkaar flirten, die twee. Maar dewaarheden die zij dienen zijn niet dezelfde en dan is wat de een beweert uiteindelijk voorde ander een dwaasheid.”

304. Rondo Veneziano, 2004c, p. 71; cursiveringen in origineel. Pipper ontmoet AlessandraMorosini terug, die met alle geweld naar het casino wil, om op de fruitmachine te spelen.Ze zegt: “‘We moeten spelen. Live. In mijn leven is alles live. Of het is niet. Ik wil demachine voelen en ik wil u, de wiskundige, voelen.’‘Mevrouw Morosini, ik vind dat u nu begint te zeuren.’‘Dat vind ik ook. Laten we gaan.’ ”

305. Rondo Veneziano, 2004c, p. 73. Morosini speelt, in bijzijn van Pipper, in het casino.Aanvankelijk wint ze een fiks bedrag. “Ze glimlachte. ‘Je hebt nu gezien hoe het gaat,’zei ze. ‘Ik heb nou gewonnen, maar de volgende keer verlies ik. Op en neer. Na eenjaar spelen sta ik op nul — als ik geluk heb. Maar je begrijpt, zo schiet ik niet op.Dus, ik heb nu de grootste wiskundige van de wereld in de arm genomen en die gaat mijvertellen hoe ik spelen moet.’

‘De paradox van het kansspel is dit,’ zei ik, ‘de uitslag is in het geheel niet te voorspellen,en tegelijk is diezelfde uitslag van tevoren volkomen bepaald. Als je twee keer van nulstart, krijg je twee keer dezelfde uitslag.‘Dat betekent,’ zei ze, twee muntjes instekend, ‘dat je kunt voorspellen wat de uitslagis, en dat-ie helemaal niet op toeval loopt.’Dat had ze goed gezien.”

306. Rondo Veneziano, 2004c, p. 76-80; cursiveringen in origineel. Krol vervolgt met de“lezing van prof. dr. dr. H.M.M. Ort genaamd: De kunst van het tellen of: De kunstvan het rekenen” (p. 75). Ik neem zeer grote gedeeltes van deze lezing over.

“Van deze — lange — lezing publiceren we alleen het slot.


de aarzeling van europa

Over een, twee en meer; over kraaien die tot vier kunnen tellen en een mensheid diedat nog niet kon; over hoe de mens het nodig vond te leren rekenen; over de uitvindingvan het grondgetal; over de hand als rekenmachine, over de buitengemene bedrevenheidvan de Chinezen; over de eerste cijfers (het geschreven getal); over Griekse en Romeinsecijfers (‘een impasse’); over de ontdekking van de nul (India); over ‘de gouden tijd vande islam’; over ‘de aarzeling van Europa’.

Europa aarzelde op vele fronten. Italie bijv., dat de wereld heeft leren boekhouden, inArabische cijfers, cultiveerde tegelijk het idee dat het voornamer was het met Romeinsecijfers te doen. Zo heeft het oude werelddeel nog zeker twee eeuwen gewerkt met ditongelukkige rekenschrift, waar de Arabische en oosterse landen allang hun zaken via hettiendelig stelsel regelden.Waar omstandigheden verschillen, floreert de tolhandel. Venetie had op de invoer vandeze ‘kostbare oosterse kennis’ jaar in jaar uit een embargo rusten — ten voordele vande stad zelf. Immers:

Hij is de ware handelsman,Die het snelste rekenen kan.

Zo werd Europa steeds armer en Venetie steeds rijker.Na de verovering van Constantinopel door sultan Mehmed II van Turkije in 1453 kwam ereen einde aan Veneties machtspolitiek en konden de Europese landen gaandeweg profijttrekken van ‘het nieuwe rekenen’.De geschiedenis van de nul loopt hieraan evenwijdig.Oezbekistan is het geboorteland (800 n.C.) van Abu Ja’far Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi, wiens naam in het woord ‘algoritme’ (rekenwijze) is blijven voortbestaan.Zijn hoofdwerk De kunst van het overbrengen en het wegstrepen heeft als Arabische titelIlm aljabr wa’l muqabalah, waarin we het vertrouwde woord ‘algebra’ zien blinken. Hetis de onsterfelijke verdienste van al-Khwarizmi geweest dat hij de Arabische getalnotatiemet de nul heeft uitgerust en verrijkt.Men kan niet beweren dat de toevoeging van de nul aan het westerse denken ‘in delucht hing’. Het rekenboek van al-Khwarizmi moest drie eeuwen lang in de bibliotheekvan Bagdad liggen voordat het, in het Latijn vertaald, zijn weg vond naar Europa. Zozien we de nul als een knikker door de historie rollen, via de Italiaanse wiskundigenFibonacci (1200, Sicilie), Tartaglia (1500, Venetie) en Cardano (1500, Rome), naar deFransman Viete tot hij, aangekomen bij Descartes (1625), in de analytische meetkundezijn uiteindelijke plaats krijgt.

het antwoord van europa

Rond 1650 hadden de ‘virtuosi’ — Galilei, Descartes, Torricelli, Huygens, Boyle en veleandere artiesten in hun voetspoor — begrepen dat ons begrip van de wereld en van denatuur in het bijzonder sterk werd bevorderd als we die natuur gingen meten en haar dooronze metingen lieten spreken. Het is een wonder dat dat kan. Het is onbegrijpelijk datgetallen in staat zijn de natuur — die uit zichzelf niet spreken kan — te laten spreken.

Zo is Europa begonnen zijn achterstand in te halen.

[. . . ]

‘Meten is weten,’ zei Galilei.

[. . . ]


– De kunst van het rekenen met breuken werd uitgevonden door Stevin (1580, deci-malen).

– De kunst van het rekenen met zeer grote getallen werd uitgevonden door Napier(1594, logaritmes)

– De kunst van het rekenen met oneindig kleine getallen werd uitgevonden doorNewton en Leibniz, onafhankelijk van elkaar (±1670, infinitesimalen).

Zo lag Europa opeens mijlen voor.

[. . . ]

Het is een vreemd verschijnsel, dat zijn prototype heeft in de zekerheid die de dobbelsteenbiedt: als je maar vaak genoeg gooit weet je — en je kunt dit bewijzen — dat je evenvaak een zes gooit als een een. Waar hebben we die zekerheid aan te danken? Aan deformules of aan de dobbelsteen? Aan de wiskunde of aan de wereld?

‘Iedereen gelooft erin: de wiskundigen omdat ze denken dat het een feit is dat ze waar-nemen en de waarnemers omdat ze denken dat het een wiskundige stelling is.’

Het cijfer nul had zijn oorsprong in India. Het diende als telmiddel in de handel.Om de rekening van een koopman te begrijpen, moet je willen begrijpen dat je ruimtemaakt voor iets wat er niet is. Dat is het geheim van het tellen als je het niet met jevingers, maar met een schrijfstift doet.

Waarom zijn de Indiers er niet verder mee gekomen? Waarom hebben ze niet, als laterde Europeanen, er de wereld mee veroverd? Omdat zij een poetisch volk zijn. Om hetrekenen te vergemakkelijken gebruikten ze volgend ezelsbruggetjes:Voor de eerste vinger gebruik je het begin.Voor de tweede vinger gebruik je beide ogen.Voor de derde vinger gebruik je de drie ogen van Shiva.Voor de vierde vinger gebruik je de vier windstreken.Voor de vijfde vinger gebruik je de vijf zintuigen.Voor de zesde vinger gebruk je de zes klinkers.Voor de zevende vinger gebruik je de zeven ledematen.Voor de achtste vinger gebruik je de acht olifanten of de acht gedaanten van Shiva.Voor de negende vinger gebruik je de negen planeten of de negen openingen van hetmenselijke lichaam.Voor de tiende vinger gebruik je de leegte.Gebruik je de symbolen, dan zijn de berekeningen makkelijker te onthouden dan wanneerje alleen maar de cijfers gebruikt.”

307. Rondo Veneziano, 2004c, p. 89. Aan het woord is nu Nowotny, een historica.

“Kepler, aldus Nowotny, zou min of meer hetzelfde proces over zich uitroepen doorte proberen Tycho’s tienduizenden metingen te laten passen op het stelsel van de vijfregelmatige veelvlakken: hexaeder, tetraeder, dodecaeder, icosaeder en octaeder, deplaneten in hun omgang te plaatsen op de omgeschreven bollen van deze vijf om hiermeede klassieke harmonie der sferen te herstellen, geheel in Plato’s geest.

[. . . ] ‘Kepler kwam uit waar hij helemaal niet uit wilde komen: bij ellipsen, als vertalingvan de door Plato verschoven en uitgerekte cirkels. Ellipsen waren ongewenste dingenin die tijd, mislukte cirkels. Enkele eeuwen later voelt dat heel anders aan. Dan zijnellipsen ovale bellen waarin de planeet tussen zon en ‘niets’ heen en weer slingert.’ ”


308. Rondo Veneziano, 2004c, p. 94-96. Zoals wel meer in deze roman, voert Krol eenoverledene op als deelnemer van het colloquium: Eduard Jan Dijksterhuis.

“Wie het ook niet begrepen had, was Torricelli.‘Men tekent,’ zei hij, ‘makkelijker een worp dan een val. Terwijl een val gewoon eensoort worp is. Dus ik teken alles als een worp. Ik teken het algemene geval.’

‘Beste Torricelli,’ sprak Galilei, ‘u werkt niet met de dingen zelf, maar met figuren enlijnen. Maar hoe onderscheidt u in uw tekeningen licht van zwaar?’T: ‘Lijnen hebben lengte, maar geen dikte, geen zwaarte.’G: ‘U tekent dus iets wat niet bestaat.’T: ‘Neen, waarde Galilei, wat ik teken bestaat in werkelijkheid niet. Maar op papierbestaat het wel.’G: ‘Waarde Torricelli, wat wint u daarmee? Ik ken uw antwoord, maar ik wil het nog ’shoren. Nog ’s op een andere manier.’T: ‘Welnu, hier is mijn nieuwste antwoord. De leer der dingen waarvan men zeker islevert altijd de waarheid op. Voor onwaarheden is namelijk geen plaats.’G: ‘Dat begrijp ik. Maar waar u wint, zult u denk ik ook iets moeten laten gaan.’T: ‘Dat is juist. Het is het verschil tussen dingen zoals ze zijn en die wij kennen enerzijdsen dingen die, of ze nu bestaan of niet, zijn zoals wij weten dat ze zijn. We kiezen voorhet laatste.’

Dijksterhuis nam plaats achter de lessenaar, die hij met beide handen beetpakte, stevig,alsof hij nog leefde, en sprak:‘Opnieuw zien we hier een leerling onversaagd conclusies trekken die in de woorden envooral in de daden van de meester impliciet opgesloten lagen, maar die de laatste nooitzo openlijk en onverhuld zou hebben kunnen of durven uitspreken. De tendentie toteen dergelijke mathematisering van de mechanica is bij Galilei duidelijk genoeg aanwe-zig, maar hij ziet zwaarte toch nog te veel als een inwendig streven van een fysischlichaam, zich naar het aardcentrum te bewegen, om haar te kunnen beschouwen als eenper definitie aan een mathematisch lichaam toegekende grootheid en hij is nog te veelbevangen in de voorstelling van de eindige kosmos, om de heterogene fysische ruimtemet de homogene oneindige ruimte der meetkunde te identificeren en daarin een balansnaar het oneindige te brengen. Er was een zuivere mathematicus als Torricelli voor nodigom voor dergelijke gedachten niet terug te scrhikken.’

Het gesprek ontwikkelde zich verder in de richting van de ‘dampkring’.‘Is de dampkring oneindig? Zo ja, dan dragen wij op onze schouders een oneindiggewicht. Zo nee, is hij eindig, dan dragen wij op onze schouders de last van het vacuumdat het heelal regeert, de leegte. Ik ben bang, meneer Torricelli, dat u daarvoor geenteken hebt, in uw wiskunde.’‘Ik schilder u, meester, met een enkele vergelijking de tekens voor het oneindige en hetvacuum beide — als u dat wilt.’‘Ik zal het zien, beste Torricelli, als het zover is.’

*

. . . wordt hij door bedreiging met folter gedwongen ‘deze vervloekte en verachtelijke’waarheden die hij had gepubliceerd in het openbaar te herroepen. . .Voorts krijgt hij huisarrest. Hij mag vrienden ontvangen, maar staat onder permanentebewaking van twee leden van de inquisitie. Die staan als schildwachten dag en nacht in


een nis, om de brutale Galilei te betrappen op ketterijen. Soms menen we in een van deinquisiteurs de geleerde Torricelli te herkennen.”

309. Rondo Veneziano, 2004c, p. 99. Planiac, een filosoof uit Zagreb, praat tot Pipper. Letop de opmerking betreffende de dia’s.

“‘Kan ik nog ’s bij u langs komen om te praten over het evidente in de wiskunde? Ik hebdaar een aantal dia’s van. Leuk misschien te weten dat ook ik in Gottingen gestudeerdheb, een aantal jaren na u. Wat ze niet over u te vertellen hadden! U bent werkelijk eenschilderachtige figuur.’ ”

310. Rondo Veneziano, 2004c, p. 105.het korte leven van torricelli

Over het leven van Evangelista Torricelli is minder bekend dan over zijn werk. Hij werdgeboren in 1608 in Faenza, in de buurt van Ravenna. Hij studeerde wiskunde aan deUniversiteit van Rome en werd aldaar benoemd tot hoogleraar in de theorieen van val enworp, in het bijzonder in de leer van de kogelbaan. Hij kreeg, later dan men zou hebbengedacht, kennis aan [sic] het werk van Galilei, die aan de Universiteit van Florencedoceerde. Wederzijdse bewondering voor elkaars werk bracht de achtenzeventigjarige,bijna blinde Galilei ertoe Torricelli te benoemen tot zijn opvolger. Vier jaar later overleedTorricelli, slechts negenendertig jaar oud.

311. Rondo Veneziano, 2004c, p. 106. De ik-persoon in dit stuk is Torricelli, op een kantel-moment in zijn leven.

“De Kerk: niet op zoek naar de waarheid, maar op zoek naar macht, opdat alles blijftzoals het is.

Ik ben, in mijn onschuld, op zoek naar de waarheid, de eerste, tweede, derde waarheid,naar allerlei waarheden, want er zijn er vele soorten. Je hebt wiskundige waarheden, dishun basis hebben in een aantal meetkundige axioma’s. Je hebt algebraısche waarheden,die zijn gebaseerd op het getal. Maar je hebt ook waarheden die een relatie aanhoudenmet de natuur. Sommige waarheden zijn evident, die zie je zo. Andere waarheden vindje door redeneren, die zie je door inzicht.

Zo zat ik aan tafel, voor mijn vacuum. Het eerste vacuum op aarde.”

312. Rondo Veneziano, 2004c, p. 108. Torricelli’s ontdekking van het vacuum doet hemvolgens Krol een zevental ideeen krijgen. Nummer zes daarvan is: “God, die oneindigmaal nul is, is 76 centimeter kwik.” Het feit dat een vermenigvuldiging van de vorm nulmaar oneindig een reeel getal uitkomt, doet denken aan integratie in de analyse.

313. Rondo Veneziano, 2004c, p. 109. “Daar had je Spinoza weer, de filosoof die vermaardwas door zijn stelling dat elke waarheid door redeneren op de natuur kan worden veroverd.Zelfs het bewijs dat God bestaat, zomerde inzicht in het verschil tussen Goed en Kwaadkan met wiskundige middelen worden verkregen. Toch heeft hij nooit een wiskundigbewijs, een natuurkundige wet, een ethisch voorschrift geformuleerd waar de mensheidwijzer van werd. Dat komt omdat de dingen eerst moeten gebeuren voordat ze wordenbeschreven en geformuleerd.”


314. Rondo Veneziano, 2004c, p. 117-118; cursivering in origineel. De Zweedse professorSven Eriksson ontmoet Pipper en vraagt of hij de ‘bekende J.J. Pipper’ is. Ze beginneneen conversatie. Eriksson vraagt:

“‘Het Vermoeden van Riemann, zegt u dat iets?’‘Ja zeker.’ Ik begon nu toch nieuwsgierig te worden, maar gevraagd naar ‘het laatstenieuws’, bleek hij niet meer te weten dan ik. En ik niet meer dan hij. Hij dacht dat ikhet Vermoeden bewezen had. Waardoor ik nieuwsgierig werd naar zijn bronnen. Hij hadhet, geloofde hij, eens in de krant gelezen. Wanneer? O, een jaar of wat geleden. Vijfjaar, tien jaar terug. En dat hij mijn naam onthouden had was omdat hij ooit een boekgelezen had, een jongensboek, vertaald in het Zweeds natuurlijk, met de grappige titelPipper valt door de aarde.‘Zo onthou je dingen,’ glimlachte hij.‘Maar verder herinnert u zich niets.’‘Nee, behalve dat u het probleem met z’n tweeen hebt opgelost. Wie die andere was?Weet ik niet meer. Geen idee. Een Duitser. Een Duitse naam. Misschien wel Riemannzelf?’‘Riemann is al honderd vijftig jaar dood.’‘Dat zal wel.’Je kunt ook niet alles onthouden. En zelfs al ben je professor in de wiskunde, dan nogis de ene wiskunde belangrijker dan de andere.Hoe dan ook, ik bedankte hem voor het nieuws.”

315. Rondo Veneziano, 2004c, p. 124. Over prof. dr. Mayer-Kuckuck wordt gezegd dat hijop ’n gegeven moment “twee elliptische treurogen” heeft.

316. Rondo Veneziano, 2004c, p. 125. Prof. dr. Mayer-Kuckuck, fysicus, en zijn vrouw gaannaar bed.

“Het was een ervaren echtpaar dat, door allerlei interessante ontwikkelingen enigzins uitelkaar gegroeid, teruggeworpen op een bed, automatisch samenkrulde tot wat altijd hunfavoriete houding was geweest: de vierzijdige symmetrie.”

317. Rondo Veneziano, 2004c, p. 127-130. Een groot stuk van Krols samenvatting van prof.dr. Mayer Kuckucks lezing, geef ik hier mee. De in mijn ogen opmerkelijkste passages,heb ik gecursiveerd.

“‘De onderzoekers hebben haar als leermeester, maar ook leren zij elkaar en van elkaar.Er is bijna geen enkele onderzoeker die in zijn eentje werkt. Ze vormen met z’n allen eennetwerk. Het doel van het Padua Program is een beschrijving te leveren van dit netwerk.Het geeft niet met wie we beginnen — Einstein, Newton of Carnot. . . Laten we daarommaar beginnen met een van de ouderen onder ons. . . Pythagoras.’

‘Pythagoras dan leerde Anaximander en zij beiden leerden Eudoxus en Empedocles. Dezeleerde Aristoteles, die na Jezus Christus de tweede hoeksteen werd van onze beschaving.En Aristoteles leerde Theophrastus, Strato en Archimedes. En Archimedes leerde Era-tosthenes, Apollonius en later Galilei en Stevin. Archimedes leerde van Plato, en dezevan Euclides. En Zeno leerde Democritus. En Eratosthenes, Aristarchus en Eudoxus, zijleerden Hipparchus. En Hipparchus leerde Heraclides en Ptolemaeus. Aristarchus leerdeCopernicus. Ptolemaeus leerde Kepler. En Kepler, Copernicus en Galilei, zij drieenleerden Newton.


Van Helmont haalde zijn kennis van Thales, van Paracelsus en hij leerde Leibniz enLavoisier.

Pythagoras dan leerde Euclides en al-Kharismi. En al-Kharismi, Oresme, Fibonacci, Tar-taglia en Viete, zij allen leerden Descartes. En Descartes leerde Bernouilli, Leibniz enEuler. Euler leerde veel van zichzelf.Newton dan leerde van Copernicus, Kepler, Galilei, Descartes, Grimaldi, Boyle, Hooke,Huygens en Leibniz, zij allen leerden Newton en Newton op zijn beurt leerde Euler, Ca-vendisch, Roemer en allen die na hen kwamen. Cavendish leerde Coulomb, Priestley,Volta, Lavoisier en Maxwell. Volta leerde Davy en Ohm. Davy leerde Faraday, Gay-Lussac en Avogadro. En Avogadro leerde Ampere en deze leerde van Oersted, en dieleerde Henry, Faraday en Ampere en Davy leerde van Watt.En Descartes, Bacon en Galilei, zij alle drie leerden Boyle. En Galilei leerde Torricelli.Torricelli leerde Pascal. En Boyle leerde Hooke, en zij beiden leerden Papin. En Papinleerde Saveny en deze leerde Newcomen en deze leerde Watt. En Watt leerde Fitchen Fulton, Trevithic en Stephenson. Boyle leerde Gay-Lussax en Van der Waals. EnBoltzmann. En Mawell. Van der Waals dan leerde met terugwerkende kracht Boyle enGay-Lussac. En Kamerilingh Onnes. Deze leerde Casimir en Sakharov. En Boltzmannleerde van Maxwell. En Maxwell leerde Clausius. Van der Waals leerde van Joule enKelvin. En Kelvin leerde van Carnot. En Carnot leerde van Watt. En Lenoir, Otto,Daimler en Diesel, zij alle vier leerden van Carnot. Daimler leerde Taylor en deze, samenmet Lilienthal, leerde de gebroeders Wright.Galilei dan leerde van Kepler, die de zon zijn ellipsen gaf, Kepler van Tycho, Huygens vanKepler en Papin van Huygens. En Torricelli leerde Von Guericke en deze leerde Boyle,Leibniz, Franklin, Halley en Lavoisier. En Avogadro leerde Cannizzaro en deze leerdevan Dalton, Berzelius en Gay-Lussac. Kekule leerde Van ’t Hoff. Cannizzaro leerdeMendelejef en deze leerde allen die na hem kwamen.Euler, Wallis en Leibniz, zij leerden Gauss. Leibniz en Fresnel leerden van Huygens.Wallis van Newton. Gauss leerde Hamilton, Fourier en Poincare. Kummer leerde vanHamilton en Kronecker. Fourier leerde Shimora. En Shimora leerde Wiles. En Wilesleerde van Fermat, die leerde van Diophantes.Lobatsjewski, Bolyai, Riemann, zij leerden Euclides.En Abel en Galois, de jongsten van het heelal, leerden Gauss.Gauss leerde Riemann. Riemann leerde Minkowski en deze leerde Einstein.En Young, Helmholz, Ampere, Cassini, Bernouilli, Herschel, Rumford, Van der Waals,Faraday, zij allen leerden Maxwell. En Maxwell leerde Faraday, Thomson, Gibbs, Michel-son, Morley, Einstein, Hertz. Kirchhof en Helmholtz leerden Hertz. Hertz leerde Marconien Zworykin.Rontgen dan leerde Becquerel en Curie. En Thomson.En Brown, Lenard, Svedberg, Planck, Fitzgerald, Lorentz, zij allen leerden Einstein. EnEinstein leerde Bohr, Thomson, Rutherford, Chadwick, Heisenberg, Schrodinger, Pauli,Gamov, Dirac, De Broglie, Fermi, Hahn, Meitner, Szilard. Boltzmann en Rontgen leer-den Sommerfeld. Deze leerde Bohr, Von Laue en Pauling. De laatste leerde van Lewisen leerde vervolgens Crick en Watson — waarmee wij zijn aangeland in het land derlevenden. . . ’Hier onderbrak dr. Mayer-Kuckuck zijn indrukwekkende zang. Hij nam een slok uit hetgereed staande glas water. En ging verder.‘Onze aan deze boom opgehangen kennis is niet consistent. De euclidische ruimte komt


niet overeen met de Riemann-ruimte en niet met de hyperbolische ruimte van Lobatsjef-ski en Bolyai. Wij denken dat we in de euclidische ruimte leven en dat de niet-euclidischeruimte een luxe verzinsel is, maar er zijn werelden die beter beschreven kunnen wordendoor niet-euclidische dan door euclidische taal.’

Als men met iets nieuws komt, brengt men graag enig decorum aan en de discussieverliep als die voor een promotie. En de eerste vraag luidde: waarom wel Gauss in hetProgram opgenomen en niet Darwin? Wel Maxwell en niet Vesalius?‘Omdat, hooggeleerde Olsen, door de wetenschappen een lijn loopt die exact onderscheidtvan niet-exact, of minder exact.’ ”

318. Rondo Veneziano, 2004c, p. 134-135.pythagoras spreekt

‘Van mij is niets met zekerheid bekend. Ik ben geboren op het eiland Samos — en zelfsdat is niet zeker, maar iemand moet toch ergens geboren zijn. Ik leefde van ongeveer600 (voor Chr.) tot ongeveer 500. Ik heb, lees ik in de Encyclopedie, tijdens mijn levenveel gereisd, wat niet ongewoon was voor een Griek in die dagen. Ik heb vele jaren inItalie gewoond. Ik heb daar een school gesticht waar we de leer van de zielsverhuizinguitleg hebben gegeven.Mijn eerste ontdekking was de octaaf. Als u twee snaren neemt waarvan de ene tweekeer zo lang is al de andere — u verdeelt hem in 2:1 — en u strijkt beide snaren aan, danhoort u de octaaf. Bij een verhouding van 3:2 hoort u de kwint en bij een verhoudingvan 4:3 de kwart. Zo kwam ik ertoe aan te nemen dat elk ding, elk verschijnsel een getalwas of een samenstel van getallen en dat twee verschillende dingen een en hetzelfde dingzijn als ze hetzelfde getal hebben.Mijn naam is verbonden aan de beroemdste stelling uit de wiskunde. De vraag is ofik die stelling wel zelf gevonden heb. Ze is ouder dan ik. Maar als ik het merk moetdragen — met genoegen. Zo denkt iedereen dat het cartesisch assenkruis een uitvindingis van Descartes, terwijl het al vanaf de veertiende eeuw veelvuldig is gebruikt, o.a. doorOresme. Maar omdat die niet zo populair is geworden als Descartes, een paar eeuwenlater, is Descartes de drager van de desbetreffende trui. En zo ben ik, Pythagoras, dedrager van de trui van een of andere Babylonier.

Waar ik ook bekend door geworden is, is mijn voorspelling dat de wereld rond is.’

319. Rondo Veneziano, 2004c, p. 135-136. De (overleden) bekende wetenschapster Lise Meit-ner is ook aanwezig op het colloquium en ontmoet Pythagoras.

“Interessant leek het haar, nu ze hem toch zag, te horen hoe, onder welke omstandig-heden, hij zijn beroemde stelling had gevonden.Daar moest hij om glimlachen.‘Het is,’ vertelde hij haar, ‘niet zeker of ik haar wel gevonden heb. Ik denk het niet. DeBabyloniers waren ook al met het bestaan ervan bekend. In de bouw werd de stellingoveral toegepast. Wel is het zo dat ik de stelling langs een aantal heel verschillendewegen bewezen heb.’‘Daar moet je wiskundige voor zijn.’‘Ja, misschien wel. Maar wat is een wiskundige? En wat is een bewijs, waar ga je vanuit? En het ene bewijs is overtuigender dan het andere. Ik ben met m’n bewijzen trou-wens altijd overtuigend geweest, dat is waar. Maar wat mij nog altijd verbaast is dar erzoveel bewijzen zijn, al zo’n zeshonderd en er komen elk jaar nog wel een paar nieuwe


bewijzen bij.’‘Je kunt gerust vaststellen,’ zei ze met een lachje in haar ogen, ’dat de stelling waar is.’‘Ja maar in het niet-euclidische vlak bijvoorbeeld geldt zij alweer niet.’‘Wanneer zeg je,’ zei ze, ‘dat twee bewijzen eigenlijk dezelfde zijn en wanneer zijn ze perse niet dezelfde?’‘Dat is een kwestie van smaak.’‘Denkt u dat u er zelf nog wel ’s eentje zal vinden?’‘Nee, ik werk niet meer.’‘Ik evenmin.’ ”

320. Rondo Veneziano, 2004c, p. 137. Meitner vertelt Pythagoras over het feit dat ze methaar neef Otto Frisch (zelf ook een bekend natuurkundige) op stap was en “dat ze zichin een cafeetje verdiept hadden in een schema dat zij niet begreep en hij wel, omdat hijin staat was zijn begrip een vierde dimensie te geven.” Met deze boude uitspraak zouOtto Frisch volgens mij de enige zijn die dat ooit durven beweren heeft.

321. Rondo Veneziano, 2004c, p. 154. Antonio Apolloni, een romanpersonage (een fysicusuit Padua) is aan het woord. Hij heeft “‘erg moeten lachen om dat verhaal van Sokalen die brief van Lacan, waarin hij duidelijk imaginaire getallen met irrationele getallenverwart. Op die manier komt de man tot zijn opmerkelijke uitspraken. Ik wist niet dathij zo dom was. Maar vooral dat lange stuk van Sokal. . . Als je dat nog niet gelezenhebt, moet je dat gauw doen. . . ’ ”

322. Rondo Veneziano, 2004c, p. 154-155. Over de Apollini uit het vorige puntje lezen wehier: “Antonio Apollini. Afstammeling van Apollonius, heer over de kegelsneden, 200jaar v.Chr.”

323. Rondo Veneziano, 2004c, p. 157. Krol gebruikt hier eens te meer het woord ‘stelling’ ineen niet-wiskundige context:

“‘Stelling,’ zei hij — en hij maakte wat ruimte op het papier:

‘alle ijzer verlangt naar gisteren.’ ”

324. Rondo Veneziano, 2004c, p. 158; cursivering in origineel. “Ohne Phosphor keine Ge-danke, citeerde ik. Zonder ijzer geen geheugen en ik begreep Antonio’s idee: wat zou ergebeuren als je de mensheid haar geheugen zou ontnemen of, pikanter, haar symmetrie.Niet de symmetrie van het koppige, onhandelbare vierkant, maar Plato’s rondheid vande cirkel. En dan niet per se de rondheid van het gat in de gootsteen. Er bestaat, schrijftAntonio in zijn inaugurale rede, ‘. . . een hogere werkelijkheid waar de rondheid als vande cirkel in totalitaire zin de baas is. Een verschil is dat deze hogere werkelijkheid eenmateriele werkelijkheid is waarvan we absoluut zeker weten dat deze echt bestaat, terwijlwe ook precies kunnen vertellen waarom deze hogere werkelijkheid niet waarneembaar ismet onze menselijke zintuigen. Het andere verschil is dat de rondheid van een perfectieis die de Grieken zich niet konden voorstellen, omdat het hier symmetrieen betreft vaneen grootsheid die alleen maar met moderne wiskundige middelen te zien is.’ ”

325. Rondo Veneziano, 2004c, p. 163. De (overleden) dichter Joseph Brodsky en Pipperhebben het over poezie. Waarbij Brodsky op een gegeven moment zegt: “‘Maar erzijn meer moeilijke dan makkelijke gedichten in de wereld. Makkelijke mooie gedichten


zijn zeldzaam. Of laat ik dit zeggen: makkelijke moeilijke gedichten zijn makkelijker temaken dan makkelijke makkelijke. Wat zegt jouw mathematische geest daarvan?’ ”

326. Rondo Veneziano, 2004c, p. 192-193. Antonio Apolloni wil graag in beperkte groep hethebben over “gedachten over de vraag in hoeverre schoonheid meetelt in de beoordelingvan de waarheid, werktitel: schoonheid, wegwijzer naar de waarheid? Zodat waarheid,zelfs natuurwetenschappelijke waarheid, kan zijn opgebouwd uit elementen van persoon-lijke aard.‘Maar niet iedereen deelt onze mening. De natuurkunde heeft een aantal vijanden endat zijn er meer dan u waarschijnlijk denkt.’ ” (p. 192). Apolloni noemt er vijf op. Devijfde is (p. 193): “de Wiskunde. De natuurkunde beschrijft dingen en verschijnselen diebestaan. De wiskunde beschrijft dingen en verschijnselen die niet bestaan. Hoe komendie twee ooit bij elkaar?”

327. Rondo Veneziano, 2004c, p. 195; cursiveringen in origineel.

“Het is middernacht.

Vicky slaapt.

Ik lees Newton. Zijn Principia, dat geldt als het grootste werk ooit geschreven, en hetliefst schrijf ik elke keer de naam voluit, Philosophiae Naturalis Principia Mathematica,uit ontzag. Ik proef die vier woorden graag op de tong. Hij schreef het werk in anderhalfjaar.”

328. Rondo Veneziano, 2004c, p. 199. We krijgen een opsomming van enkele “hoekstenenvan onze westerse beschaving” (p. 198). Een van de aangehaalde punten is dit (p. 199):“Nogmaals Newton, die liet zien hoe klein ‘oneindig klein’ is.”

329. Rondo Veneziano, 2004c, p. 200. Professor Nowotny is een historica uit Warschau.“Prof. dr. Krysta Nowotny had drie kwartier lang het woord gevoerd en naderde nu heteinde van haar voordracht:‘Omdat een essentieel onderdeel van zijn theorieen het werk is van zijn Servische vrouwMileva, moeten we rekening houden met de mogelijkheid dat de speciale relativiteitsthe-orie op het spoor van de feministische wiskunde is gezet. En daarmee over de middelenbeschikt die de feministische wiskunde ons biedt. Met de gewone huis-, tuin- en keuken-wiskunde zoals wij die sinds jaar en dag gewend zijn te leren — Newtons polynoomont-wikkeling bijvoorbeeld — had Einstein nooit zijn theorieen kunnen formuleren.’

330. Rondo Veneziano, 2004c, p. 214-215. Professor Tatjana Sawatsky, fysica uit Moskou,loopt de wiskundeprofessor Eriksson tegen het lijf. Ze hebben het over Pipper. Sawatskyvraagt Eriksson of Pipper nu inderdaad zo beroemd is.

“‘Ach, beroemd. . . Beroemd hoef je niet te wezen, met zo’n merkwaardige staat vandienst.’‘Heeft hij iets ontdekt?’‘Hij heeft de Riemann-hypothese bewezen, zegt hij. En dat heeft hij slim gespeeld. Hijheeft het bewijs in tweeen geknipt als ’t ware en pas na zijn dood zullen die twee helftenaan elkaar gelegd worden en het werkelijke bewijs vormen.’

(Prachtig, dit verhaal. Zo hoor je nog ’s wat.)

‘In werkelijkheid is het bewijs nog steeds niet gevonden.’Eriksson vertelde haar dat aan dit — grootste — wiskundige probleem ’s werelds beste


wiskundigen werkten. Tot nu toe zonder succes.Terwijl het zo’n simpele hypothese was.‘Het zal toch niet waar wezen,’ meende hij ‘dat het ontbrekende stukje bij God ondertafel gevallen is.Tatjana glimlachte. ‘Dat zou ongelooflijk zijn. Heeft het iets met Godel te maken?’‘Nee, het heeft niets met Godel te maken.’ ”

331. Rondo Veneziano, 2004c, p. 242. Pipper vertelt aan Vicky dat hij eigenlijk door omstan-digheden nooit naar school kunnen gaan is — hij heeft zelfs geen diploma lager onderwijs.En dan besluit Pipper dit: “‘Ik was [. . . ] zestien toen mijn vader verongelukte. Ik bentoen wiskunde gaan studeren, omdat wiskunde een synthetisch vak is: voorkennis is nietverplicht.”

332. Rondo Veneziano, 2004c, p. 245. Pipper en Vicky zijn aanbeland in Gottingen en hebbeneen hotel gevonden. De hotelier vertelt hen over de stad:

“‘Gottingen,’ zei de man, ‘is vergeven van beroemdheden. Gottingen is de stad met demeeste Nobelprijswinnaars. Maar ook in de achttiende en negentiende eeuw. . . ’‘Veel wiskundigen,’ wist ik.‘O, zeker,’ zei de man. ‘Gauss, Riemann , Minkowski.’ ”

333. Rondo Veneziano, 2004c, p. 246. Pipper vertelt Vicky over zijn tijd in Gottingen.

“‘Overdag college. Priemgetallen. Een semester lang.’‘Dat interesseerde je.’‘Dat wilde ik weten.’ ”

334. Rondo Veneziano, 2004c, p. 246. Pipper heeft angst dat, nu hij terug is in Gottingen,hij door de mand gaat vallen. “Aan de poort staat Khintchine, vechtpetje op.”

335. Rondo Veneziano, 2004c, p. 247. Pipper tikt ergens een boek op de kop met de titelBeruhmte Personlichkeiten und ihre Verbindung zu Gottingen. Cursiveringen in origineel.

“In elk geval stond Brouwer erin, Dijksterhuis niet, maar die had ook niks met Gottingen,en wie er ook in stond was Nohl — verrassend. Ik wist niet dat mijn oude leermeester zoberoemd was. En Gauss natuurlijk, twee kolommen liefst, en Planck, anderhalve kolom,en teruggebladerd naar Nohl —, ‘Karl Julius Walter, *Hannover, 7/8/1920, Gottingen,18/7/1997. Een gedenksteen in het pand Wagnerstraße 4, helaas verdwenen. Vond in1977 een nieuw bewijs voor het reeds in 1896 door Hadamard en De la Vallee-Poussin[sic] bewezen Vermoeden van Gauss en bewees daarmee ook het algemene geval, het

Vermoeden van Riemann, door gebruik te maken van het Khintchine-theorema.’Ik had het gevoel dat ik, ontheven van de aarde, in het Niets verkeerde en zal lange tijdvoor me uit hebben zitten staren. . . ”

336. Rondo Veneziano, 2004c, p. 248-249. Pipper vertelt Vicky wat hij gelezen heeft in hetboek dat hij pas gekocht heeft (zie vorige puntje). “‘Nee, ik word niet genoemd. Maarhet bewijs van Riemanns Vermoeden heeft hij gevonden op mijn aanwijzingen. Ik hebhem op Khintchine gewezen.’ ” (p. 248).

Uiteindelijk vertelt Pipper over de diefstal van de doctoraalsbul. Waarop Vicky antwoordt(p. 249): “‘O, dus je hebt boter op je hoofd.’‘Dat is het punt.’


‘Maar afgezien van je naam, je Onsterfelijke Naam, ben je niet nieuwsgierig naar hetBewijs?’Jawel. Ja, zeker was ik dat wel. Maar het was zeer de vraag of ik het nog wel zoubegrijpen. Dat alleen al. Stel je voor, als ik hier een zaak van maakte. Dan zou ikaanspraak maken op iets wat ik zelf niet begreep. Nee, daar moest ik wel even hartelijkom lachen zeg, hahaha!”

337. Rondo Veneziano, 2004c, p. 250. Pipper begrijpt nu, na vele jaren, waarom Nohl zomaarPippers tip om het Vermoeden van Riemann op te lossen heeft gebruikt, zonder ooitmelding te maken van Pippers hulp. Pipper reconstrueert Nohls gedachten als volgt:“‘Hij [=Pipper, SC] zal het document dat hij bij me wegnam, de blanco bul, van groterewaarde hebben gevonden dan zijn aantekeningen rond het Vermoeden van Riemann.’Dat is waar. Ik heb mezelf onmogelijk gemaakt, in Gottingen. En Nohl de vrije baangegeven. Die had al snel de zekerheid dat ik me nooit meer vertonen zou.”

338. Rondo Veneziano, 2004c, p. 250-251; cursivering in origineel. “Terug in het hotel werdenwe opgewacht door de eigenaar, die me vroeg of ik een paar minuutjes tijd voor hemhad. Ik dacht: o jee, nou zullen we het hebben. Leg de handboeien maar om. Maarnee, hij wilde weten of ik met net zo veel plezier terugdacht aan dat zomercollege, overpriemgetallen, als hij.‘Ja, heel bijzonder.’‘Vijf, zes studenten. Dat waren tijden,’ glunderde hij.Maar dat hij mij herkende. Mij, oud en grijs. . .Door mijn naam. Pipper valt door de aarde, een boek uit zijn jongensjaren.‘Dat moet,’ rekende ik uit, ‘het was in ’67, dat moet drieendertig plus vier, zevenendertigjaar geleden zijn. . . ’‘Die avond’ (het ijs was nu gebroken) ‘dat u ons meenam naar uw tent, op de HoheReese, en ons aan de hemel de priemgetallen toonde, alle. En dat we wel wisten wat hetimaginaire vlak was, maar dat we ons het hoofd braken over de imaginaire ruimte. . . Daarkwamen we maar niet achter. . . ’Daar wist ik dus niets meer van.En over het Vermoeden van Riemann.Ja, dat herinnerde ik me nog. . .‘Daar was u verder in doorgedrongen dan wij. En zelfs verder dan professor Nohl,vonden wij. U zei dat hij de gammafunctie moest gebruiken en daar was hij nogal nijdigover. . . Jaren later vond hij de sleutel tot het probleem, met de Khintchine-functie. Helaaskwam er bij de uitwerking een fout aan het licht, maar dat wisten we toen nog niet.’ ”

339. Rondo Veneziano, 2004c, slot (p. 252-257; cursivering in origineel).

Dat Nohl het Riemann-probleem had opgelost — buiten Gottingen geloofde niemanddat. Elk geloof heeft zijn eigen kring van gelovigen. Dat hoeft zich niet tot een pro-vincie te beperken. Het Vermoeden van Riemann is bewezen door de Franse wiskundigeLouis de Branges — niet de eerste de beste want hij was het die het destijds fameuzeVermoeden van Bieberbach bewees. Maar buiten Frankrijk wordt zijn bewijs van ‘Rie-mann’ aangevochten omdat hij zou uitgaan van punten (limieten) die waarschijnlijk nietbestaan.De fysicus Michael Berry (Bristol) en de wiskundige Andrew Odlyzco (Minnesota) heb-ben inspiratie gezocht — en gevonden — in de symbiotica: bij de fysica te rade gaan


om een mathematisch bewijs te leveren. Dat is zoiets als de Stelling van Pythagorasbewijzen door er een liniaal naast te leggen. Op zich is dit niet nieuw. In de praktijkdoet men niet anders. Maar juist de wiskunde waakt over de zuiverheid der deductieverede. Uitgaande van de waarheid van een aantal axioma’s en de juistheid van de logicazijn wij in staat van elke stelling, elke uitspraak te zeggen of ze waar is of niet.Behalve dus, tot nu toe, van de Stelling van Riemann.Berry en Odlyzco verdedigen hun werkwijze door de waarheid van een of meer axioma’s intwijfel te trekken. Maar je wint een spel niet door halverwege de spelregels te veranderen.

*

Hoe ver is God?

Wat moet je doen bij je dood als de opdracht luidt: rij door naar het einde?

Wat mag je hopen dat er gebeurt?

Er is in de wiskunde een afschuwelijk groot getal, genoemd naar zijn ontdekker StanleySkewes, het Getal van Skewes: 10 tot de macht 10 tot de macht 10 tot de macht 34.Gedefinieerd als het punt waar het volgens de methode van Euler, Gauss of Riemanngeschatte aantal priemgetallen samenvalt met het werkelijke aantal. Dat er zo’n puntmoet bestaan weten we sinds Littlewood (1914). Het getal is groter dan 10 tot de macht80 - het aantal deeltjes in het heelal, dat, al die deeltjes ten spijt, nagenoeg leeg is. Alswe alle gehele getallen kleiner dan het Getal van Skewes zouden turven, zou het heelalniet groot genoeg zijn om de drukinkt te bevatten die daarvoor nodig is.

Het heelal is eindig. (Galilei)

Het mathematisch universum is oneindig. (Torricelli)

Er zijn aanwijzingen dat God, die we niet hebben aangetroffen in het heelal, zich ophoudtin het mathematisch universum.

*

We waren met de auto.

We namen de snelste weg.

Een gewone rechte tweebaansasfalt, met een onderbroken middenstreep; een weg diemet de kromming van het heelal voorover lijkt de duiken, de diepte in. Zonder te vallen,want we rijden veilig op de weg, veilig met de zwaartekracht mee.

Nu en dan zien we op de middenstreep een nulpunt in de vorm van een oranje wegpunaiseter grootte van een bierviltje. Soms een aantal achter elkaar, soms twee achter elkaar(priemtweeling), meestal een hele tijd niets (priemwoestijn). Steeds langer duurt hetvoordat er een nulpunt voorbijkomt.

De jaren gaan voorbij en we rijden nog steeds.

Wie zal deze weg hebben aangelegd - het moet de Amerikaanse regering zijn geweest,want voor dergelijke projecten is Europa te klein.

Onze snelheid neemt af op het moment dat we vanaf de horizon een grote witte poortop ons zien afkomen. . .

We stoppen, want boven de poort staat geschreven:het getal van skewes

We zetten de auto in de schaduw en stappen uit.


Er heerst een aangenamen temperatuur.

De zee in de diepte zorgt voor een eigen golfslag.

Boven in onze hoofden, in de onmetelijke blauwe lucht - een schuifdak.

Het loket aan de binnenkant van de poort is gesloten. Achter glas hangt de volgendeannonce:

welkomU bevindt zich zeer ver van de aarde:

10101034

kmGeniet van de rust en het fenomenale uitzicht.

Vergeet niet een foto te nemen van het Getal van Skewes.Goede reis!

’Hoe zijn wij hier zo vlug gekomen’ vroeg Vicky, nog steeds verbaasd.

’We hebben grote stukken overgeslagen,’ antwoordde ik. ’In een mathematische ruimtekan dat.’

Toen zag ik voor elk van de poten van de poort een oranje nulpunt liggen. Tweenulpunten dus. Hun verbindingslijn stond loodrecht op de middellijn. Derhalve lagen zezelf ter zijde van de middellijn.

Daarmee is het Vermoeden van Riemann in negatieve zin beantwoord: neen, niet allenulpunten liggen op een rechte lijn. Mijn intense vreugde over deze ontdekking bewaardeik in mijn hart en voor onderweg. En voor Vicky, wie ik vroeg goed nota te nemen vandie twee oranje stippen op de weg.

Een tweeling, zei ze.

Ik was blij dat we hiermee waren gekomen aan het eindpunt van onze reis. Wij gingenterug, om het de mensheid te vertellen.

We liepen nog wat rond, een paar stappen, als in een maanlandschap.

De foto’s!!Bijna hadden we de foto’s vergeten. Het bewijsmateriaal. Bewijs dat we hier geweestzijn. De twee grandioze nulpunten en de middenlijn. Een foto met Vicky erop. En eenfoto met mij erop. En een foto met ons tweeen erop. En foto’s van het eigenaardigeglasachtige landschap. Zesendertig foto’s.

Verderop stond een paaltje in de grond. Er bungelde een etiketje aan, met een roodstrikje. Vicky liep erheen, om te zien wat er op dat etiketje stond.Ze kwam terug. Er staat toilet op, zei ze. Daar komen toiletten.

Ze stapte in en weg reden we.Terug naar de wereld.‘Wat zullen ze opkijken.’‘Wie?’‘Allemaal. Het is toch een schitterende conjunctie? Het Getal van Skewes en de eerstedwarsligger van Riemann? Aan je voeten? Je hebt het toch gezien?’‘Twee nulpunten.’


‘Ja. Een is voldoende, maar om redenen van symmetrie zijn het er twee. De Scheppingis niet te overtreffen. Het kan niet anders dan zo.’

‘ . . . tien tot de macht tien is tien miljard, tot de macht tien en dat nog ’s tot de machtvierendertig - geen mens die ons dat nadoet, ook meneer Skewes niet. Hoeft ook nietmeer. Je rijdt er nu in een keer naartoe, op een zondagmiddag. Let op, hoe druk het erwordt. Je hebt gezien waar de toiletten komen, het restaurant zal niet lang op zich latenwachten. Een vierbaansweg voor de mensen met een vierbaansauto. Voor de juristenmet een logo en een ton op de bank. Wat is nou een ton. Een miljoen dan! Ook niets!Een miljard! Vijftig miljard! Peanuts! Het is allemaal niets! Niets vergeleken met hetgetal dat wij achter onze naam mogen schrijven.’Vicky grijnsde.Ze keek op haar horloge. ‘Als we in dit tempo doorrijden,’ zei ze, ‘kunnen we voor hetdonker thuis zijn.’

340. Duivelskermis, 2007, p. 5. Deze roman, de laatste die Krol geschreven heeft, begint metde volgende alinea: “Zijn trillende handen (door de schooljeugd vroeger trillemientjesgenoemd) en de onzekerheid van elke volgende stap kenmerken de Parkinson-patient.De beste stap is die welke in het verlengde van de vorige ligt, de rechte lijn, in draf omzeker te zijn van de richting. Het best op dreef is hij, de patient, als hij een vrije wegvoor zich ziet. Min of meer voorover vallend naar zijn eigen zwaartepunt ontwikkelt hijeen vaart die komisch is en die de arts Parkinson rond 1800 op het spoor van de ziektebracht.”

Hoewel in de openingspassage al twee keer een wiskundige term terug te vinden is,is dit eerder uitzonderlijk voor deze roman. Er komen slechts nog enkele zijdelingseverwijzingen naar wiskunde; Krol heeft het in deze roman vooral over de spookbeeldendie hij de laatste tijd vaak ziet als neveneffect van een medicijn dat hij moet nementegen zijn Parkinson-ziekte.

341. Duivelskermis, 2007, p. 65. “Kleuren en beweging, vormen, afmetingen — het is eigenlijkmaar zelden dat de demon iets weg heeft van een mens. Natuurkundig gesproken kanhij een nevel zijn, een wolk.”

342. Duivelskermis, 2007, p. 83-84. “De wereld was leeg, de nacht diep en toen heb ik hetaangelegd met een wikkel van tpg-Post. Port betaald, Port paye. Die lag voor mij op detafel. Ik heb ’m bij me genomen, langzaam, langzaam in een oneindig aantal bewegingenzodat hij er niets van zou merken dat hij verplaatst werd. Ik werd daar warm, gloeiendvan, en hij ook. Hij kwam bij me gekropen. Echte Liefde. Toch bleek na lange tijd desom van dat alles de totale verplaatsing gelijk aan nul te zijn. In het rijk der demonenis het leven gelijk aan nul. Er zijn geen demonen en toch jagen ze je angst aan. Zespreken niet en toch is hun gefluister alom.”

343. Duivelskermis, 2007, p. 86. “Een stapeltje boeken of een opgevouwen krant kan je ver-rassen door zijn kwaadaardigheid. Een oog in een ooghoek voegt daar het zijne aan toe.Een naar buiten hangend leeslint kan je, als je niet oplet, van streek brengen.Twee snijlijnen — ongelooflijk wat een scherpte door het snijpunt kan worden uitge-drukt. En wat een bereik! Ik heb een proefje uitgevoerd met twee velletjes papier. Debewegingen waren niet waarneembaar, minimaal, zegt men tegenwoordig, en toch warende opgewekte gevoelens van duidelijke aard: ja of nee.”

Bijlage B

Grondtekst van enkele passages uit“Oom Petros”

Hieronder staat de Nieuwgriekse grondtekst van de twee fragmenten uit Oom Petros en hetvermoeden van Goldbach (Ο θείος Πέτρος και η Εικασία του Γκόλντμπαχ). Ik ben hierbijuitgegaan van de 22e druk (Doxiadis 200222: 49):

«Ιδού το πρόβλημα. . . Ξέρεις, υποθέτω, τι θα πει πρώτος αριθμός. . . »

«Βέβαια ξέρω, θείε! Πρώτος αριθμός είναι ένας αριθμός μεγαλύτερος από το

1 που δεν έχει ακέραιους διαιρέτες άλλους από τον εαυτό του και τη μονάδα.

Φέρ’ ειπείν το 2, 5, 7, 11, 13 και ούτω καθ’ εξής».

Ο θείος φάνηκε να ικανοποιείται από την ακρίβεια του ορισμού μου.

Hierop volgt een passage waarin Petros aantoont dat er oneindig veel priemgetallen zijn;het bewijs van deze stelling wordt in het boek echter niet opgenomen (Doxiadis vermeldtalleen dat Petros het “op papier” zette). Nadien gaat Petros verder over het vermoeden vanGoldbach (p. 51):

«Θέλω να μου αποδείξεις», είπε, «ότι κάθε ζυγός αριθμός μεγαλύτερος του 2

μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα δύο πρώτων».

Το σκέφτηκα για λίγο, ελπίζοντας να τον εντυπωσιάσω. Επειδή όμως δεν μου

ερχόταν κάποια έμπνευση, είπα:

«Αυτό είναι όλο;»

Ο θείος Πέτρος κούνησε το δάχτυλο προειδοποιητικά.

«Α, δεν είναι τόσο απλό! Αν πάρεις μία μία τις περιπτώσεις, για παράδειγμα

4=2+2, 6=3+3, 10=3+7, 12=7+5, 14=7+7 κλπ., είναι προφανές — αν και

όσο μεγαλώνουν οι αριθμοί, τόσο δυσκολεύουν οι υπολογισμοί. ΄Ομως, καθώς

οι ζυγοί είναι κι αυτοί άπειροι, η περιπτωσιολογία δεν θα σου επαρκέσει. Θα

πρέπει να βρεις μία γενική απόδειξη και, νομίζω, ότι λιγάκι θα σε δυσκολέψει

το πράγμα».

193

Bibliografie

I. Bulte (1986). Krullen op een gemillimeterd hoofd. De Revisor, 13(2):17–27+61.

C. Clapham & J. Nicholson (1990, 20094). The Concise Oxford Dictionary of Mathematics.Oxford University Press.

J. Daems & I. Smeets (2011). Ik was altijd heel slecht in wiskunde. Amsterdam, Nieuwezijds.

J. Derbyshire (2003). Prime Obsession. Washington, D.C., Joseph Henry Press.

A. Doxiadis (200222). O theios Petros kai i Eikasia tou Goldbach. Athina, Kastanioti.

A. Doxiadis (2008). Logicomix. Athina, Ikaros.

A. Doxiadis (2010). Oom Petros en het vermoeden van Goldbach. De Vliegende Hollander.

H. M. Enzenberger (201111). Der Zahlenteufel. Munchen, Deutscher Taschenbuch Verlag.

S. Gielis (2007a). Krol tussen waarheid en werkelijkheid. In Gerrit Krol: werken op het snijpunt.Amsterdam, Rozenberg.

S. Gielis (2007b). Literatuur in spreidstand. Mengvormen van beschouwing en verhaal in depostmoderne Nederlandstalige roman. Ph.D. thesis, Vrije Universiteit Brussel.

T. Gowers, editor (2008). The Princeton Companion to Mathematics. Princeton UniversityPress.

D. Guedj (1999). De stelling van de papegaai. Antwerpen, Ambo.

G. Krol (1957). The Great Pretender. In: Krol (2004a): 7-12.

G. Krol (1962). De rokken van Joy Scheepmaker. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1967). Het gemillimeterde hoofd. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1969). De ziekte van Middleton. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1970). De laatste winter. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1971). De rokken van Joy Scheepmaker. Amsterdam, Querido. Tweede, gewijzigdedruk van Krol (1962).

G. Krol (1973). De chauffeur verveelt zich. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1974). In dienst van de ‘Koninklijke’. Amsterdam, Querido.

195

196 Bibliografie

G. Krol (1977). De weg naar Sacramento. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1980). Een Fries huilt niet. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1981a). De rokken van Joy Scheepmaker. Amsterdam, Querido. Derde, gewijzigdedruk van Krol (1962).

G. Krol (1981b). De schrijver, zijn schaamte en zijn spiegels. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1982). De man achter het raam. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1983). Scheve levens. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1985). De schriftelijke natuur, essays over kunst en wetenschap. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1986). Maurits en de feiten. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1987). Helmholtz’ paradijs, Essays over kunst en wetenschap. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1990). De Hagemeijertjes. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1991). Wat mooi is is moeilijk. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1993). Omhelzingen. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1994). Okoka’s Wonderpark. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1995). De mechanica van het liegen. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1996). Middletons dood. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1997). De trots van afla en beta, een inleiding. In De trots van afla en beta, pp.7–35. Amsterdam, De bezige bij.

G. Krol (1998a). De oudste jongen. Amsterdam, Querido.

G. Krol (1998b). 60.000 uur. Een autobiografie. Amsterdam, Querido.

G. Krol (2000). De vitalist. Amsterdam, Querido.

G. Krol (2004a). De rokken van Joy Scheepmaker. Schoorl, Conserve. Vierde, gewijzigde drukvan Krol (1962).

G. Krol (2004b). Laatst met een vrouw. Kortebaankampioen. Amsterdam, Querido.

G. Krol (2004c). Rondo Veneziano. Amsterdam, Querido.

G. Krol (2007). Duivelskermis. Amsterdam, Querido.

E. Maor (2009). e: the Story of a Number. Princeton Science Library. Princeton UniversityPress.

R. Penrose (2004). The Road to Reality, A Complete Guide to the Laws of the Universe.London, Jonathan Cape.

Bibliografie 197

F. Ruiter (2007). Vrolijke en minder vrolijke wetenschap: een confrontatie tussen gerrit krolen willem frederik hermans. In Gerrit Krol: werken op het snijpunt, pp. 53–67. Amsterdam,Rozenberg.

S. Skewes (1933). On the difference π(x)− li(x). Journal of the London Mathematical Society,8:277–283.

N. Timmer (2001). De mannen van krol. In ’n Kleintje Krol, pp. 29–41. Amsterdam, Querido.

J. P. Van Bendegem (2008). Over wat ik nog wil schrijven. Antwerpen/Apeldoorn, Garant.

J. P. Van Bendegem (2009). Hamlet en entropie. Brussel, VUBPRESS.

R. van der Veen & J. van de Craats (2011). De Riemann-hypothese, een miljoenenprobleem.Utrecht, Epsilon.

B. Vervaeck (2007). Het werk van gerrit krol: fictie, essay of wetenschap? In Gerrit Krol:werken op het snijpunt, pp. 21–35. Amsterdam, Rozenberg.

B. Vervaeck & A. Zuiderent, editors (2007). Gerrit Krol: werken op het snijpunt. Amsterdam,Rozenberg.

A. Zuiderent (1989). Een dartele geest, aspecten van De chauffeur verveelt zich en ander werkvan Gerrit Krol. Ph.D. thesis, Vrije Universiteit Amserdam.

A. Zuiderent (2010). Van Korreweg naar Korreweg. 75 plaatsen in het leven van Gerrit Krol.Amsterdam, Querido.

Index

Abel, Niels Henrik, 184al-Khwarizmi, 35, 179, 184algebra, 27, 35, 52, 111, 157, 165, 169, 171,

176, 179algoritme, 35, 179Apollonios van Perga, 36, 183, 186Archimedes, 36, 183Aristoteles, 36, 183axioma, 56, 148, 165–167, 173, 177, 182, 190

axiomatiek, 51, 108, 111, 163

Bernouilli, 36, 184bewijs, 12–15, 30, 31, 53, 54, 57, 102–104,

107, 113, 114, 116, 120, 121, 131,133, 135, 136, 154, 155, 161, 165,169, 173, 174, 185, 186, 189

door inductie, 137, 174, 190uit het ongerijmde, 57, 135, 147

Bolyai, Farkas, 25, 26, 108Bolyai, Janos, 8, 26, 101, 184, 185Boyle, Robert, 179, 184Brahe, Tycho, 180, 184Brouwer, L.E.J., 46, 109, 153, 167, 188

stelling van —, 46, 143

Cardano, G., 35, 179Carnot, Sadi, 183, 184cirkel, 24, 67, 105, 110, 113, 116, 131, 155,

172, 178, 180, 186complexe vlak, 33, 66, 77, 116, 176, 177, 189Copernicus, Nicolaas, 119, 183, 184

Darwin, Charles, 185de Branges, Louis, 189de La Vallee-Poussin, Charles-Jean, 188definitie, 22, 106, 115, 131Descartes, Rene, 27, 35, 36, 156, 179, 184,

185differentiaalmeetkunde, 111

differentiaalvergelijking, 51, 52, 131, 145, 163,169

Dijksterhuis, Eduard J., 181, 188

Einstein, Albert, 114, 183, 184, 187ellips, 42, 67, 114, 150, 157, 159, 162, 163,

172, 178, 180, 183, 184Eratosthenes van Cyrene, 36, 183Escher, M.C., 107, 149–151Eudoxos van Knidos, 183Euklides, 164, 183, 184

vijfde postulaat van —, 25, 108Euler, Leonhard, 36, 71, 133, 176, 184, 190

Fermat, Pierre de, 184Fibonacci, 35, 179, 184

rij van —, 48, 164Fourier, Joseph, 184Fresnel, Augustin-Jean, 184Fuchs, Lazarus, 40, 171functie, 11, 22, 23, 33, 40, 58, 77, 115, 127,

134, 135, 151, 168, 169, 171, 177functietheorie, 11, 111, 115recursieve —, 151

Godelzin, 30Galilei, Galileo, 26, 36, 79, 141, 179, 181–184,

190Galois, Evariste, 26, 111, 112, 184gammafunctie, 177, 189Gauss, Carl F., 8, 25, 71, 102, 105, 108, 111,

176, 184, 185, 188, 190Vermoeden van —, 188

getal van Skewes, 70, 71, 83, 190, 191getaltheorie, 176Godel, Kurt, 14, 106, 121, 151, 154, 165, 188

onvolledigheidsstelling van —, 28–30, 43,54, 90, 149, 154, 155, 174

Godelzin, 29

198

Index 199

Gottingen, 25, 51, 65, 66, 68, 104, 105, 108,111, 112, 121, 135, 175–177, 182,188, 189

Grimaldi, Francois, 184groepentheorie, 9, 51–53, 106, 112, 135, 169,

170, 176gulden snede, 48, 164

Hadamard, Jacques S., 188Hamilton, William R., 184handelsreizigersprobleem, 23, 160, 163Heyting, Arend, 12, 52, 113, 119, 167, 169Hooke, Robert, 184Huygens, Christiaan, 46, 62, 119, 120, 179,

184hyperbool, 16, 22, 99, 112, 172

ideaal, zie groepentheorieimaginaire vlak, zie complexe vlakinfinitesimaal, 146infinitesimalen, 35, 180integraal, 58, 134, 182intuıtionisme, 12, 109, 113, 119isomorf, 116, 117, 124

auto-isomorfie, 135

kegelsneden, 16, 22, 103, 112, 186Kepler, Johannes, 119, 180, 183, 184Khintchine, Aleksandr, 188

Khintchine-functie, 177, 189Klein, Felix, 53, 101, 171Knopp, Konrad H., 53, 171Kronecker, Leopold, 184Kummer, Ernst E., 184

Laplace, Pierre-Simon, 170Leibniz, Gottfried W., 35, 36, 180, 184Lobatsjewski, Nikolaj, 8, 101, 184, 185logaritme, 35, 180logica, 100, 101, 109, 111, 112, 115, 119, 122,

128, 132–134, 138, 143, 152, 154,166–168, 174, 190

meetkunde, 43, 44, 101, 105, 107, 108, 115,119, 120, 124, 146, 164, 165, 171,173, 181

analytische —, 35, 116, 165, 179elliptische —, 101, 185euklidische —, 8, 101, 184

hyperbolische —, 101, 185n-dimensionale —, 100niet-euklidische —, 26, 101parabolische —, zie euklidische —projectieve —, 52, 108, 167, 169, 172

Meitner, Lise, 184–186Minkowski, Hermann, 184, 188Mobius, August F., 5, 100

Napier, John, 35, 180Newton, Isaac, 35, 144, 168, 170, 180, 183,

184, 187Noether, Emmy, 176

Odlyzco, Andrew, 189, 190Oresme, Nicolas, 27, 184, 185

Papin, Denis, 184parabool, 16, 22, 46, 49, 112, 114, 143, 168Pascal, Blaise, 184Plato, 92, 147, 167, 180, 183, 186Poincare, Henri, 170, 184Poncelet, Jean-Victor, 111, 172priemgetal, 53, 66, 68–73, 77, 79–85, 170,

176, 177, 188–190priemtweeling, 69, 79, 80, 190priemwoestijn, 69, 79–81, 176, 190Ptolemaios, 183Pythagoras, 27, 109, 175, 183–185

stelling van —, 15, 27, 103, 185, 190

Riemann, B., 71, 176, 183, 184, 188, 190vermoeden van —, 32–34, 68–81, 84, 177,

183, 187–189, 191ring, zie groepentheorieRoetersstraat, 12, 50, 51, 114, 117, 163

schachtendroom, 24, 103Schlafli, Ludwig, 6, 7, 100Schuh, Frederik, 53, 171Spinoza, 182stelling, 14, 15, 30, 31, 54, 56, 68, 103, 106,

111, 115, 116, 132, 133, 135, 136,148, 154, 155, 167

stelling van Desargues, 13, 101, 106, 107, 114,116

stelling van Pappos, 106, 107Stevin, Simon, 35, 36, 180, 183

200 Index

Tarski, Alfred, 132Tartaglia, Niccolo, 35, 179, 184Torricelli, Evangelista, 26, 79, 179, 181, 182,

184, 190Tsjebysjow, Pafnoeti, 72

van der Waerden, Bartel L., 176veld, zie groepentheorievermoeden van Bieberbach, 189vermoeden van Goldbach, 25, 32verzamelingenleer, 51, 105, 106, 109, 110, 122,

123, 135Viete, Francois, 35, 179, 184vierkantsvergelijking, 106

Wallis, John, 184Weil, Andre, 174

zeta-functie, 33, 72–80, 82–85, 177

Filoso e en wiskunde in het werk van Gerrit...

Documents

Transcript of Filoso e en wiskunde in het werk van Gerrit...