Kansrekening

voor wiskunde D

• Kans – analyse – meetkunde

• Modellering:

structureert het wiskundig denken

• Ogenschijnlijk simpele problemen, analytisch vaak lastig

Werp met twee dobbelstenen.

A: er is ten minste één zes;

B: één dobbelsteen valt op de grond, je ziet dat dat ogental zes is.

• Kans op ‘dubbel-zes’

• Kans op ‘dubbel-zes’, gegeven A

• Kans op ‘dubbel-zes’, gegeven B

Een munt met diameterd valt op een schaakbord met hokjesdie zijde a hebben (d < a).

Wat is de kans dat demunt geheel binnen eenhokje valt?

Twee personen hebben afgesproken tussen 22.00 en 23.00 uur in een café. Beiden komen, onafhankelijk van elkaar, op een willekeurig tijdstip tussen 22.00 en 23.00 uur binnen. Ze wachten hooguit tien minuten.

Wat is de kans dat ze elkaar treffen?

Kies willekeurig een punt D in een gelijkzijdige driehoek ABC.

Wat is de kans dat driehoek ABD stomphoekig is?

Kies de coëfficiënten B en C van de vierkantsvergelijking

x2 + Bx + C = 0

willekeurig uit het interval [0, 1].

Wat is de kans dat deze vergelijking twee reële oplossingen heeft?

Een dunne rechte stok wordt op twee willekeurige plaatsen gebroken, zodat drie delen ontstaan.

Wat is de kans dat met deze drie delen een driehoek kan worden gelegd?

Continu verdeelde stochasten

• In het middelpunt van een ronde schijf is een vrij draaiende wijzer aangebracht. Op de omtrek van de schijf is een continue schaalverdeling van [0, 4] aangebracht.

• Het punt X waar de wijzer tot stilstand komt, is een zeker getal uit [0,4].

• X is een continu verdeelde stochast.

Drie kansdichtheden:

Een punt A wordt blindelings gekozen binnen het eenheidsvierkant ( = [0, 1] x [0, 1] ).

• S = xA + yA

• V = |xA – yA |

• T = xA · yA

Wat is de kansdichtheid van deze stochasten?

Een punt wordt willekeurig gekozen binnen de eenheidscirkel.

X = afstand van het getroffen punt tot

de oorsprong.

• Kansdichtheid van X

• Verwachting van X

• Kansdichtheid van X gegeven X > ½

• Verwachting van X gegeven X > ½

• Bij een spelshow mag je kiezen uit twee enveloppen. In elke enveloppe zit een (verschillend) geldbedrag, zeg de bedragen a en b (a < b).

• Je kiest een enveloppe en bekijkt het bedrag. De presentator geeft je de mogelijkheid om te wisselen van enveloppe.

• Strategie: stochast X is exponentieel verdeeld. Neem een realisatie uit deze verdeling; als het getrokken getal groter is dan het bedrag in de enveloppe, wissel je; anders niet.

• De kans op het winnen van het hoogste geldbedrag is nu groter dan ½ !!!