College 8: Het wiskundeonderwijs - University of Groningenbroer/pdf/hovo8.pdf · 2011. 4. 15. ·...

College 8: Het wiskundeonderwijs in Nederland 1

College 8:Het wiskundeonderwijs

in Nederland

[email protected]

mailto:[email protected]




Inhoud van dit college

• I. Het schoolvak wiskunde• II. Oorsprong in de artes liberales• III. Chronologie• IV. De inhoud van het vak • V. Factoren die de inhoud van het vak beïnvloeden• VI. Didactici• VII. De hbs • VIII. Meisjes en wiskunde• IX. De New Math• X. Opkomst van realistische wiskunde• XI. Leerboeken • XII. Lerarenopleidingen• XIII. Universiteit en school• XIV. De toekomst• XV. Literatuur

• Foto voorzijde: de didacticus Johan Wansink (1894-1985). Foto uit 1921.


I. Het schoolvak wiskunde

• Het schoolvak wiskunde …

• Vrijwel iedereen heeft wiskunde op school. • In Nederland is wiskunde met de vakken Nederlands en Engels koploper.

Geen enkel ander vak komt in de buurt van het beslag op de lessen – en dus op de leerlingen – dat deze vakken met zich mee brengen. Op de basisschool neemt rekenen – de erkende voorloper van wiskunde – al net zoveel lessen voor zijn rekening.

• Nederlands en Engels zijn wereldwijd niet van deze statuur. Bovendien heeft alleen wiskunde zo’n lange historie.

• Vierjaarlijks zijn er ICME-congressen. [ICME = international congress on mathematics education.] Met meer dan 3000 deelnemers uit alle delen van de wereld.

• … een wereldvak


II. Oorsprong in de artes liberales

• Dit college beperkt zich tot het wiskundeonderwijs in Nederland, en dan wel speciaal in het vwo en havo en de voorlopers daarvan.

• Oorspronkelijk was dit onderwijs afgestemd op de aloude artes liberales (vrije kunsten) in de oudheid.

• De artes liberales gaan terug tot het Platoonse opvoedingsideaal met het trivium (grammatica, rhetorica, dialectica) en daarnaast het quadrivium (arithmetica, geometria, astronomia, musica), dat het hoogste voorbereidende niveau voor de wijsbegeerte heette te zijn.

• De – inmiddels verdwenen - Nederlandse schoolvakken algebra, meetkunde en kosmografie zijn te herleiden tot het quadrivium.


III. Chronologie (1)

• Situatie medio 18e eeuw. Geen wiskundeonderwijs in Latijnse en Franse scholen. Wel rekenen in lagere school. Ook praktijkgerichte opleidingen voor militairen, zeelieden, ingenieurs.

• 1750-1850. Geleidelijke invoering van zuivere wiskunde op Latijnse en Franse scholen. Ook op de universiteiten. Acceptatie moeizaam door stevig triviaal programma.

• 1850-1950. Stevige positie van het vak wiskunde door hbs en mulo, ook op gymnasium. Polytechnische school en wet-Limburg. Verbreiding door leerplicht. Klassiek (quadriviaal) programma. Opkomst didactiek.

• 1950-heden. Vernieuwingen in programma. Invloed elektronica, met remote control. Specialisering door toepassingen. Verlenging van leerplicht en wijziging van schoolstructuren. Institutionalisering van deskundigheid. Diffusie van doelen en didactiek.

• Toekomst. ?



• Toelichting ad 1750-1850

• H.J. Smid, Een onbekookte nieuwigheid? (Delft 1997). • Subtitel: Invoering, omvang, inhoud en betekenis van het

wiskundeonderwijs op de Franse en Latijnse scholen 1815-1863.

• Danny Beckers, “Het despotisme der Mathesis” (Hilversum 2003).• Subtitel: Opkomst van de propaedeutische functie van de wiskunde in

Nederland 1750-1850.

• - Opvallend is de discussie over de vormende waarde die • wiskundeonderwijs zou hebben, die strijdig zou zijn met de• vormende waarde van de klassieke talen.• - Het universitaire onderwijs was nog in het Latijn.• - De deelname aan het onderwijs was nog (zeer) gering.

• Krachtig stimulator: Jacob de Gelder (1765-1848) in Leiden.



• Toelichting ad 1850-1950

• Door industrialisatie en aanleg spoorwegen waren er meer exact opgeleide mensen nodig.

• De hbs (1863) bracht een goede natuurwetenschappelijke opleiding en een grotere deelname aan het onderwijs. Toelatingseisen, bevoegdheden van leraren en een lessentabel waren eerst nog niet voorgeschreven. Liberaal!

• Moderne didactische opvattingen bij Jan Versluys (1845-1920).• Uitbreiding leerlingental hbs en mulo na invoering leerplicht (1900).• Toelating vanaf hbs tot universiteit door de wet-Limburg (1917), en grotere

concurrentie tussen hbs en gymnasium.• Periode van reformpedagogiek.• Didactische discussies door Tatjana Ehrenfest-Afanassjewa (1876-1964) en

Eduard Jan Dijksterhuis (1892-1965).• Leerboeken en aktenopleidingen; dominante rol van Pieter Wijdenes (1872-

1972).• Contact tussen leraren en hoogleraren door (onder meer) systeem van

deskundigen en gecommitteerden bij de eindexamens.



• Toelichting ad 1850-1950 (vervolg)• In 1924 bracht mevrouw Ehrenfest een brochure uit:• T. Ehrenfest-Afanassjewa, Wat kan en moet het meetkunde-• onderwijs aan een niet-wiskundige geven? (1924).

• Dijksterhuis reageerde met een artikel:• E.J. Dijksterhuis, ‘Moet het meetkunde-onderwijs gewijzigd • worden?’ (1924)

• Mevrouw Ehrenfest bracht in 1931 een verzameling nieuwe opgaven uit:• T. Ehrenfest-Afanassjewa, Übungensammlung zu einer • geometrischen Propädeuse (1931).

• Kort daarna publiceerde Dijksterhuis het artikel:• E.J. Dijksterhuis, ‘Epistemisch wiskunde-onderwijs’ (1934).

• Over hen later meer.



• Toelichting ad 1950-heden

• Leerplichtverlenging tot 10 jaar volledig dagonderwijs en veel meer deelnemers in het voortgezet onderwijs.

• Invoering infinitesimaalrekening (calculus) circa 1960.• Geheel nieuw programma (New Math) in 1968.• Ook statistiek vanaf 1968.• Contextwiskunde vanaf circa 1985.• Verdwijnen kleine school, opkomst brede scholengemeenschap.• Rekenmachines en softwaregebruik.• Institutionalisering toetsing, pedagogische centra.• Professionalisering didactiek.• Opvallende rol door Hans Freudenthal (1905-1990) en IOWO.• Verdwijnen kleine methodes. [N.B. methode = serie leerboeken.]• Geen standvastige programma’s en onheldere doelen.• Zuivere wiskunde en bewijzen alleen als je dat later nodig hebt?


IV. De inhoud van het vak (1)

• • Het citaat hiernaast komt • uit: L.N. Tolstoj, Oorlog

en vrede, deel 1, 90-91 (in de vertaling van A.E. Boutelje, 1973).

• Vondst van Martin Kindt.

•

• Algebra is om vlijt aan te kweken, meetkunde is om het verstand te scherpen!



• Klassiek programma

• Algebra en meetkunde vormden jarenlang het programma.• Algebra bestond uit letterrekenen en eerstegraads en tweedegraads

vergelijkingen of stelsels daarvan. Geen grafieken.• Meetkunde bestond uit euclidische planimetrie en stereometrie.

Vooral de meetkunde van de driehoek nam een grote plaats in. De meetkunde werd axiomatisch opgezet.

• Verder was er beschrijvende meetkunde en in het begin was er ook bolmeetkunde.

• ‘Moderne’ of recent ontwikkelde wiskunde kwam niet aan de orde.• Parate kennis speelde een grote rol.



• Klassiek programma

• Het bijgaande fragment • dateert uit 1936.• Zorgen over het niveau• zijn van alle tijden!

• De auteur hiervan was• dr. D.P.A. Verrijp, de • voorzitter van de leraren• wis- en natuurkunde • aan gymnasia en lycea.



• Calculus in het programma

• Rond 1960 werd differentiaal- en integraalrekening (calculus) opgenomen in de examens.

• Sinus en cosinus werden nu ook als functies beschouwd.• Vanaf 1968 kwamen impliciete functies, parametervoorstellingen en

eenvoudige differentiaalvergelijkingen om de hoek kijken.• Daarbij exponentiële en logaritmische functies met grondtal e.

• Het programma van 1968 moest gedeeltelijk worden verlicht en zo deed rond 1985 de contextwiskunde zijn intrede.

• Technieken werden – geleidelijk - minder belangrijk en modelvorming werd belangrijker.

• Grafische rekenmachine en software voor berekeningen en grafieken.

• Heden ten dage komt in het bètaprogramma pittige calculus voor, maar de grafische rekenmachine maakt hier en daar diepgang overbodig.

• Er is kritiek op contexten en modelvorming (onrealistisch).



• Calculus in het• programma

• Deel van een• examenopgave• uit 2006.

• Vraag 11 moet • (deels) met de • grafische

• rekenmachine.



• Meetkunde in het programma

• Hierboven een meetkundeopgave, met beoordelingsnormen, uit een proefexamen in 1997. Cruciaal is hier het redeneren en bewijzen.

• N.B. Let op de detaillering van de normen.



• Meetkunde in het programma

• Euclidische planimetrie en stereometrie stonden jarenlang centraal.

• Behandeling vanuit axioma’s.• Bolmeetkunde verdween, werd geacht voor een te kleine groep te zijn.• Gebruik goniometrie en algebra werd vermeden (was verboden), wel

projectiestelling, geen cosinusregel. Kegelsneden uitsluitend meetkundig. • Sinus- en cosinusregel in jaren ‘30.• Beschrijvende meetkunde uit hbs-programma, te weinig theoretisch.

• Analytische meetkunde kortdurend in programma.• Vanaf 1968 kortdurend transformatiemeetkunde.• Later contextmeetkunde en enige restauratie van zuivere meetkunde, niet

opgebouwd vanuit axioma’s. Vaak analytisch ingebed.



• Rekenen in het programma



• Rekenen in het programma

• Logaritmen werden gebruikt om berekeningen uit te voeren. Hierbij werden tafels gebruikt in bijvoorbeeld 5 of 7 decimalen. Met interpolatie.

• Er waren tot de jaren ´30 geen rechtstreekse tafels voor sinus en tangens, er waren alleen tafels voor log sin en log tan.

• In jaren ’60/’70 kortdurend gebruik rekenliniaal.• Eerste rekenmachine kort na 1975. Steeds verder • geperfectioneerd en ook in onderbouw gebruikt. • Tafels en rekenliniaal verdwenen.

• Op de lagere school wordt méér gedaan aan inzichtelijk • hoofdrekenen, waaronder schattend rekenen. Zgn. • realistische methodes met doordachte didactiek • beginnend met de abacus.



• De strijd om de mechanica

• Universitair opgeleide wiskundeleraren waren ook bevoegd voor mechanica (‘werktuigkunde’) en kosmografie.

• In de jaren ’30 kwamen de natuurkundigen met het voorstel om de mechanica bij de natuurkunde onder te brengen. Bovendien zou het vak primair een experimenteel karakter moeten hebben.

• De wiskundigen reageerden zeer afwijzend. Dijksterhuis schreef over ‘de aanval op de mechanica’.

• In de jaren ’50 nieuwe poging van de natuurkundigen. Nu met succes. Circa 1960 werd mechanica onderdeel van het vak natuurkunde.

• De schoolmechanica is sterk veranderd. • De natuurkundigen maakten geen probleem van differentiëren om snelheid

en versnelling te bepalen: • s = v0t - ½gt2, v = v0– gt, a = -g.


V. Factoren die de inhoud van het vak beïnvloeden (1)

• De inhoud van het vak is niet constant. Hoe komt men tot nieuwe inhouden?

• De volgende factoren spelen mee:• - De vraag vanuit vervolgopleidingen.• - Ontwikkelingen in de samenleving.• - Ontwikkelingen in het vak die niet genegeerd mogen worden. • - Psychologische overwegingen.• - Didactische overwegingen.• - De vormende waarde.• - De waarde als cultureel erfgoed.• - De traditie.• - Het aantal beschikbare lesuren.• - De bemensing van commissies.• - De toetsbaarheid van de leerstof.

• En ook: het theezakjesmodel (aftreksel) voor de mulo.


V. Factoren die de inhoud van het vak beïnvloeden (2)

• Toelichtingen• Vraag vanuit vervolgopleidingen: calculus, statistiek en kansrekening.• Ontwikkelingen in de samenleving: New Math (waarover later meer),

basisvorming op één niveau voor alle leerlingen.• Ontwikkelingen in het vak: verdwijnen tafels en gebruik rekenmachine, ook

algebraïsche software.• Psychologische overwegingen: rekening houden met de leefwereld van de

leerlingen, daarom concreet beginnen.• Didactische overwegingen: gebruik abacus en schattend rekenen op de

basisschool, vervangen axiomatische meetkunde door meetkunde met een intuïtieve basis, erkenning dat er niveaus van leren zijn.

• Toetsbaarheid van de leerstof: objectiviteit van beantwoording zorgt voor standaardiserende tendens, geen verrassingen op het examen.

• Observaties• Vormende waarde en traditie zijn minder belangrijk geworden. • De vraag vanuit exacte vervolgopleidingen is eveneens minder belangrijk

geworden. Zodoende groei van training door universiteiten.


VI. Didactici (1)

• Didactiek (vroeger: methodiek) = hoe behandel je de leerstof zodanig dat deze bij de leerlingen beklijft?

• Traditioneel is de opvatting dat memoriseren belangrijk is. Dit moet gepaard gaan met oefenen, anders blijft de stof niet hangen. Geleidelijk heeft de opvatting veld gewonnen dat nieuwe begrippen inzichtelijk zouden moeten ingevoerd, zodat verbalisme wordt vermeden. Dit heeft geleid tot een meer heuristische aanpak, ‘guided reinvention’.

• In 1874 schreef Jan Versluys reeds over meer geschikte methoden om het vak te behandelen. Hij beschreef hoe heuristisch wiskundeonderwijs eruit moest zien. Versluys kende het werk van Friedrich Fröbel (1782-1852).

• De tijd was niet rijp voor zijn ideeën.

• In 1924 kwam mevrouw Ehrenfest met haar brochure, waarin zij een meer intuïtieve inleiding in de meetkunde bepleitte. De axiomatische opbouw zou beslist niet moeten verdwijnen, maar moeten worden uitgesteld.

• Datzelfde jaar reageerde Dijksterhuis. Hij was onaangenaam getroffen. • Hij voerde voorlopig de boventoon.


VI. Didactici (2)

• Tatjana Ehrenfest-Afanassjewa (1876-1964). Zij kwam uit Rusland en studeerde te Göttingen, bij David Hilbert en Felix Klein.– David Hilbert: leidend wiskundige; zie ook college 1. Zuiverde de

Euclidische meetkunde in Grundlagen der Geometrie (1899). – Felix Klein: over hem hierna meer.

• Zij kwam in 1912 naar Nederland (Leiden), organiseerde thuis colloquia. Contact met Rommert Casimir, de eerste rector van het Nederlandsch Lyceum in Den Haag, en met Willem Reindersma, aldaar leraar wiskunde. Het lyceum was een omstreden onderwijsvorm.

• Zij ging weer naar Rusland, vanaf 1933 kwam zij definitief naar Nederland.

• Voorbeeld van een Übung:


VI. Didactici (3)

• Iets over Felix Klein (1849-1925).• Werkte veel aan projectieve meetkunde, en ordende de hyperbolische en

elliptische meetkunde in de projectieve meetkunde. Bekend van de Fles van Klein en van de 4-groep van Klein.

• Werkte eerst te Erlangen: opstelling ‘Erlanger Programm’ voor het meetkundeonderwijs. Onder meer Poincaré was het met hem eens.

• In het Erlanger Programm:• - afscheid van het euclidische harnas,• - intuïtieve en aanschouwelijke inleiding,• - het genetische principe en steeds meer deductie,

• - toepassing op landmeetkunde,• - transformatiemeetkunde, en vastlegging eenheid• door middel van algebra (groepentheorie).


VI. Didactici (4)

• Eduard Jan Dijksterhuis (1892-1965) studeerde te Groningen en werd leraar aan de Rijks hbs te Tilburg, waarvan zijn vader directeur was. Was daarnaast publicist, voorzitter van leerplancommissies en werd bekend als wetenschapshistoricus. Vanaf 1954 korte loopbaan als hoogleraar.

• E.J.Dijksterhuis, Val en worp. Eene bijdrage tot de geschiedenis der mechanica van Aristoteles tot Newton (1924).

• E.J. Dijksterhuis, De mechanisering van het wereldbeeld (1950), bekroond met de P.C. Hooft-prijs voor letterkunde in 1952.

• Verwierp een intuïtieve inleiding, omdat dan onjuiste begripsvorming kon plaatsvinden. Verwierp de totstandkoming van lycea. Het gymnasium zou niet geschikt zijn voor natuurwetenschappen, wel voor zuivere wiskunde.

• ‘het is de stijl van de mathesis en de stemming van strenge eerlijkheid, die een exact betoog wekt, waardoor de hooge moreele waarde van dit vak wordt bepaald’ (1921)


VI. Didactici (5)

• Na de Tweede Wereldoorlog kwamen nieuwe denkwijzen over het leren van wiskundige begrippen voor het voetlicht. Vakdidactische publicaties werden meer en meer besproken.

• In 1957 promoveerde Pierre van Hiele (1909) op het proefschrift De problematiek van het inzicht. Zijn promotoren waren de wiskundige Freudenthal en de pedagoog Langeveld. Hij promoveerde tegelijk met zijn vrouw Dina van Hiele-Geldof (1911-1958).

• Van Hiele verwierf internationale faam door zijn niveautheorie.

• Hij onderscheidde verschillende niveaus van het begrijpen van meetkundige begrippen.

• ‘Didactiek is er niet om het leerlingen gemakkelijker te maken, maar om ze met eigen inspanningen tot inzicht te brengen’.


VI. Didactici (6)

• Een belangrijke rol speelde Hans Freudenthal (1905-1990). Werd in 1930 assistent van Brouwer. Had als wiskundige zeer goede reputatie.

• Schreef in de oorlog: Rekendidaktiek (1942? ongepubliceerd).• In 1973 verscheen van zijn hand Mathematics as an educational task, een

beschouwing in grootse stijl over het onderwijzen van wiskundige begrippen. Hij propageerde de guided reinvention.

• Tijdens het International Congress on Mathematics Education te Berkeley (1980) hield Freudenthal een plenaire voordracht:

• ‘major problems of mathematical education’.

• Freudenthal gaf scherpzinnige observaties en• analyses. Bekend zijn o.a. die m.b.t. het Cito.

• Hij eiste kwaliteit en juiste begripsvorming. • ‘Wat er wordt onderwezen is niet belangrijk,• als het maar goed gebeurt’.


VI. Didactici (7)

• Na de Tweede Wereldoorlog werd didactiek steeds meer geaccepteerd. Dit mede door internationaal aansprekende publicaties, zoals van George Pólya, 1887-1985 (How to solve it, 1940). Nog steeds verkrijgbaar.

• Later werd ook Richard Skemp, 1919-1995, veel gelezen (The psychology of learning mathematics, 1971; in 1973 in het Nederlands vertaald onder de titel Wiskundig denken).

• Pólya Skemp

• In Nederland verscheen een didactisch handboek in drie delen: J.H. Wansink, Didactische oriëntatie voor wiskundeleraren (1966-1970).

• Aan alle universiteiten zijn didactici werkzaam. Vakdidactiek is een gewoon onderdeel voor de a.s. leraren. In 2001 trad Anne van Streun (1941) in Groningen aan als hoogleraar didactiek.


VII. De hbs (1)

• In 1863 werd de hbs in het leven geroepen (Thorbecke). Wiskunde en de natuurwetenschappelijke vakken kregen een sterke nadruk. Tegelijkertijd bleven méér leerlingen na de lagere school onderwijs volgen.

• De Nobelprijswinnaars Van ‘t Hoff, Lorentz, Zeeman, Kamerlingh Onnes, Debije en Zernike, en ook (Philip) Kohnstamm, Brouwer, Dubois, Struik, Dijksterhuis en Van der Waerden hadden de hbs bezocht.


VII. De hbs (2)

• Met een hbs-diploma kon men niet naar de universiteit, wel naar de Polytechnische School te Delft, de huidige TU Delft. Voor toelating tot de universiteit bleef het gymnasium-diploma vereist. Vanaf 1917 gaf een hbs-diploma toegang tot een studie in de wiskunde en natuurwetenschappen, of geneeskunde.

• Dit is tot de invoering van de Mammoetwet in 1968 zo gebleven. Tot aan de Mammoetwet was doorstroming moeilijk. Als je het op de hbs niet redde had je niks. Omgekeerd waren er veel goede mulo-leerlingen, die echter een jaar ‘verspeelden’ als ze later nog naar de hbs gingen.

• Gymnasium en hbs hadden tot 1960 verschillende programma’s. Wel werd na 1917 het gymnasium-programma afgestemd op dat van de hbs.

• Kees Mandemakers, Hbs en gymnasium (Amsterdam 1996). • Bastiaan Willink, De tweede Gouden Eeuw, Nederland en de Nobelprijzen

voor natuurwetenschappen 1870-1940 (Amsterdam 1998).


VIII. Meisjes en wiskunde

• Meisjes en wiskunde, meisjes naar de hbs. Bijna dezelfde vraag. Volgens velen was wiskunde geen vak voor meisjes. En wat moesten ze ermee? Na Aletta Jacobs nog jarenlang heel weinig meisjes op de hbs.

• Na 1900 kwamen er meisjes-hbs’en, waar men in 5 of 6(!) jaar het hbs-diploma kon behalen. Dit was (ook) hbs-B.

• Twee factoren: (1e) cultuurpatroon, geen onderwerp

• voor dit college, (2e) een verondersteld genetisch • verschil, waar geen enkel bewijs voor is.• - Campagnes ‘Kies exact’ haalden niets uit.• - Werkgroep ‘Vrouwen en wiskunde’ (vanaf circa 1975).

• Er zijn heel wat vrouwelijke wiskundigen, de bekendste• is Emmy Noether (1882-1935). Leverde grote bijdrage • aan de theorie van de ringen.


IX. De New Math (1)

• In 1968 werd het stelsel van voortgezet onderwijs ingevoerd zoals dat nog steeds bekend is, met vwo, havo, mavo en lbo (mavo en lbo zijn nu vmbo). Vóór 1968 vielen gymnasium, hbs, mulo en lbo onder verschillende wetten.

• Oók in 1968 werd een compleet nieuw wiskundeprogramma ingevoerd, met onder meer verzamelingenleer, transformatiemeetkunde en statistiek. De calculus werd gericht op functie-onderzoek en eigenschappen van grafieken. Het nieuwe programma was geïnspireerd door de New Math. Men spreekt ook wel van structuralistische wiskunde.

• Er zijn twee parallellen met de invoering van de hbs.• 1e. Méér leerlingen moesten naar school (maatschappelijk gegeven), niet

voor niets werd kort na 1970 de leerplicht tweemaal verder uitgebreid.• 2e. Er was behoefte aan méér mensen met een opleiding in de wiskunde of

natuurwetenschappen (Spoetnik-effect).


IX. De New Math (2)

• Wat is de New Math en hoe ontstond het?• Eind jaren ’50 kwam in de westerse landen een sterke beweging op gang

om het onderwijs in de exacte vakken te verbeteren. • Dit kwam mede door de technologische vooruitgang

van de toenmalige USSR – vandaar de benaming Spoetnik-effect.

• Maar ook begon in wetenschappelijke kringen • onvrede te ontstaan over het sterk verouderde • wiskundeprogramma dat bovendien een zwak

wiskundig fundament had. • Dit werd met name verwoord door de Franse • wiskundige Jean Dieudonné (1906-1992). Hij was

lid van de bekende schrijversgroep van Franse wiskundigen Bourbaki.

• Hij was mede geïnspireerd door Felix Klein en Henri Poincaré.


IX. De New Math (3)

• In Nederland leidde de New Math-beweging ertoe dat in 1968 het gehele wiskundeprogramma werd herzien. Alles zou worden gefundeerd op verzamelingen en afbeeldingen (transformaties, functies). De euclidische meetkunde verdween grotendeels. Ervoor in de plaats kwam meetkunde met vectoren. Algebra werd nu definitief analyse, oftewel calculus. Tegelijk werd ook statistiek met kansrekening ingevoerd.

• Voor leraren waren er grootscheepse bijscholingscursussen.• De methode Moderne Wiskunde verscheen, een bewerking van

• een Schotse methode onder leiding van Gerrit Krooshof (1909-• 1980), onderdirecteur van de Meisjes-hbs te Groningen.

• N.B.• In het Nederlandse basisonderwijs werd geen New Math ingevoerd. Dit is

opvallend omdat in zeer veel landen ook het basisonderwijs te maken kreeg met de New Math.


IX. De New Math (4)

• De verzamelingenleer is vrij • snel en geruisloos verdwenen. • De transformaties leidden tot• weerzin. Zie het voorbeeld • (uit MW, voor 4vwo).

• De meetkunde met vectoren• bleek een aantrekkelijk vak, • echter voor (te) weinigen.

• De verzamelingenleer met de• theorie van de transformaties • had (vrijwel) geen praktische • betekenis.

• Geen wonder dat de bakens werden verzet.


IX. De New Math (5)

• Hoe kon het gebeuren dat de New Math werd ingevoerd?• - het gebeurde overal, wereldwijd. In Nederland werd door B.L. van der

Waerden en N.G. de Bruijn gewaarschuwd tegen een te formele aanpak. Geen gecoördineerde actie tegen de New Math in welke vorm dan ook.

• - velen waren onder de indruk van de mogelijkheden van de New Math. Er werd enthousiast aan voorbereidingen meegedaan.

• Hoe kon het gebeuren dat de New Math zo snel mislukte?• - docenten gingen c.q. bleven les geven zonder overbodig formalisme.• - New Math leidde bij leerlingen tot minder begrip.• - methodeschrijvers hadden de essentie niet begrepen(!?)

• - New Math werd weldra door ‘opinion leaders’ verworpen (H. Freudenthal: ‘anti-didactische inversie’).

• - eind jaren ‘70 methoden (De Wageningse methode, Passen en meten voor lbo) zonder verzamelingenleer. Al spoedig ook andere methoden.


X. Opkomst van realistische wiskunde (1)

• Wat zien we na 1980?• - volledige herziening leerplannen. Nieuwe vakken wiskunde A en B, gericht

op vervolgopleidingen.• - in wiskunde A veel contexten. Expliciet zo bedoeld. Geen theorievorming

voor leerlingen met wiskunde A, die hoeven geen theorie. • - geleidelijk ook steeds meer contexten in wiskunde B. • - geen doorgaande lijn van de onderbouw naar de bovenbouw. Met name

een algebra-lijn ontbreekt.• - geen systematische deductieve opbouw (met bewijzen) van de leerstof.

ook geen systematische didactische opbouw.

• Zo groeit een contextwiskunde, ook wel realistische wiskunde genoemd, die velen aanspreekt, maar die niet een uiterst sterke basis heeft.

• De wiskunde moet worden ontleend aan modellen van de werkelijkheid.• In principe is realistisch wiskundeondewijs thematisch.• Leidende rol door IOWO (huidig Freudenthal Instituut).



• I. Resumé van het voorgaande• - er werd een nieuw soort wiskunde geïntroduceerd, gebaseerd op het

mathematiseren van de werkelijkheid.• - er was geen opbouw van brugklas tot eind vwo, met name een algebra-lijn

was afwezig. Er was ook niet een doordachte deductieve lijn.

• - evenmin was er een doordenking van de didactiek voor leerjaar 1 t/m leerjaar 6. wel krijgen min of meer heuristische werkwijzen de overhand.

• II. Dit voltrok zich tegelijk met een stille revolutie, die er los van staat:• - de komst van de elektrische rekenmachine. Al spoedig werd software

ontwikkeld voor computergebruik tijdens de lessen. • - tegenwoordig is er de grafische rekenmachine, die meerdere algebraïsche

mogelijkheden heeft (o.a. differentiëren, integreren) en ook grafieken levert. Deze mag op het examen worden gebruikt. Een machtig hulpmiddel!

• - met digitale hulpmiddelen kun je veel meer – net als bij de chaostheorie.



• III. Er zijn ook andere ontwikkelingen zichtbaar.• - scholen fuseren tot veel grotere instituten. Enorme schaalvergroting. • - in 1993 werd al de basisvorming op één niveau voor alle leerlingen

verplicht ingevoerd, ondanks protesten, zie de brief van de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren, waarvan hieronder twee fragmenten.



• De basisvorming is intussen volledig mislukt. Reeds vanaf het begin werkten de scholen met ‘dakpanconstructies’, en de uitgevers brachten boeken uit voor de verschillende ‘dakpannen’. Officieel is de basisvorming in 2005 afgeschaft.

• De basisvorming heeft het opzetten van een stabiel en op de toekomst van de leerlingen gericht leerplan in de onderbouw zeer gefrustreerd. Over de realistische wiskunde in de onderbouw is weinig gediscussieerd. Daar was ook geen tijd voor.

• Vanuit instituties (Cito, pedagogische centra) stimulansen pro basisvorming.

• Intussen werden in 1999 de vakkenpakketten in de bovenbouw vervangen door profielen. Wéér werden de programma’s herzien. Maar de focus van het ministerie was volledig gericht op de invoering van het Studiehuis, met een vorm van het nieuwe leren. Maar: leren zonder leraar gaat niet!

• Bovendien werd het vmbo geformeerd uit mavo en lbo, een enorme operatie. We zullen ons hierin nu niet verdiepen.

• De discussie behoort zich natuurlijk te concentreren op de inhoud van het programma. Zie hierna.



• Hieronder staat een voorbeeld van realistische wiskunde, te weten een deel van een examensom (havo wiskunde A) uit 2006.

• De vraag hierbij kan zijn of het exponentiële model correct is.



• De realistische wiskunde ligt onder vuur. Toch moet betwijfeld worden of deze wiskunde, die zo sterk samenhangt met contextgebruik, het veld zal ruimen:

• - Het vak wiskunde A kan bijna niet bestaan zonder contexten.• - Heuristisch wiskundeonderwijs is alom geaccepteerd, overigens in

verscheidene varianten.• - Deductieve wiskunde (met bewijzen) is mogelijk.

•• Opvallend is dat het Freudenthal Instituut realistische

wiskunde exporteert naar andere landen.• Het Freudenthal Instituut is de grote stimulator van

realistische wiskunde.

• Er zal – zoals altijd – sprake zijn van aanpassingen. Een voorbeeld:• - sinus en cosinus werden gedefinieerd aan de hand van propellers (jaren

’80), worden niet meer vereenzelvigd met de stand van propellerbladen.



• Behoefte aan juiste discussie• Er moet een inhoudelijke evaluatie zijn van de realistische wiskunde. • - daarbij moet het gebruik van modellen kritisch worden bekeken. • - ook moet versterking van een deductieve opbouw van

leerstofonderdelen worden bekeken.• - heuristische werkwijzen moeten systematisch worden doordacht.

• Een evaluatie wordt helaas zeer bemoeilijkt door:• - de komst van de elektronische apparatuur, onder meer de grafische

rekenmachine voor algebraïsche bewerkingen en grafieken.• - het gebruiken van formulekaarten op het examen.• - de scholenfusies, waardoor nieuwe wiskundesecties vóór alles met

elkaar eenzelfde methode voor de hele school moesten kiezen.• - de invoering en afschaffing van de basisvorming.• - de invoering van het Studiehuis, niet op alle scholen gelijk overigens.• - steeds vaker verschillende leraren in onderbouw en bovenbouw (wel

begrijpelijk gezien de krapte aan eerstegraads leraren).


XI. Leerboeken (1)

• In de periode 1850-1950 werden methodes soms heel lang gebruikt. Bekend zijn de methodes van Wijdenes, die het soms tot wel de 60ste druk uithielden. Pieter Wijdenes (1872-1972) was een selfmade man die vanaf zijn 50ste leefde van de inkomsten uit zijn leerboeken.

• Wijdenes richtte ook twee tijdschriften op, waaronder• het tijdschrift Euclides voor wiskundeleraren.• Hierin kreeg Dijksterhuis alle ruimte.

• Observaties:• - het schrijven van leerboeken was meestal het • werk van één persoon.• - het aantal leerboeken en uitgevers was groot, iedereen• die iets wilde betekenen schreef een leerboek.• - de lange levensduur van leerboeken hing samen met de geringe

veranderingen die in programma’s werden aangebracht.• - teamwork bij het schrijven van leerboeken was alleen al door de veel

beperktere reismogelijkheden niet aan de orde.


XI. Leerboeken (2)

• Bij de invoering van de Mammoetwet veranderde er veel. Voor alle vakken moesten nieuwe leerboeken worden geschreven. De Groningse uitgeverijen J.B. Wolters en P. Noordhoff gingen samen. De nieuwe uitgeverij Wolters-Noordhoff bracht ook de methode Moderne Wiskunde uit.

• Moderne Wiskunde was de eerste wiskundemethode die door een team van auteurs was samengesteld. Bijzondere verdienste van Krooshof.

• Tegenwoordig zijn er maar weinig methoden, door:• - de professioneler samengestelde inhoud, met kleurgebruik, veel meer

illustraties, en allerlei didactische hulp (zoals voorbeeldproefwerken),• - het feit dat een methode de volle breedte (alle niveaus) moet bestrijken.• Hierdoor zijn de ontwikkelkosten veel groter geworden. Kleine uitgevers

redden het niet meer.

• N.B. In andere landen soms een geheel andere situatie. Zie Zwitserland, met in elk kanton weer een ander programma. In Duitsland ook zoiets.


XII. Lerarenopleidingen (1)

• In de periode 1850-1950 waren er de volgende soorten lerarenopleidingen:• - aan de universiteiten voor de hoogste bevoegdheid. Vaak afgerond met

een doctoraat. Een doctorandus = iemand die doctor wil worden.• - de aktenopleidingen, uit te splitsen in K V*, K I* en LO:

• - - K V was voor de hoogste bevoegdheid – later MO B wiskunde genoemd, • - - K I was voor hbs’en met 3-jarige cursus – later MO A wiskunde,• - - LO was voor onderwijzers aan mulo en nijverheidsonderwijs.• - voor K I en K V kon men colleges volgen aan de universiteit.

• De aktenopleidingen boden degelijk onderwijs, dat voor heel wat kandidaten onoverkomelijke moeilijkheden bracht. O.a. hoogleraren waren examinator.

• Zeer bekend waren (voor K I en LO) de boeken van dr. P. Molenbroek, die overigens al gauw door P. Wijdenes werden bewerkt en beheerd.

• * V = vijf, I = één



• Uit: P. Molenbroek, Leerboek der Vlakke Meetkunde, 7e druk, 73. • Bewerker: P. Wijdenes.



• Huidige situatie• - aan de universiteiten kan een eerstegraads bevoegdheid worden

behaald, hiervoor zijn universitaire lerarenopleidingen in het leven geroepen.

• - aan afzonderlijke instituten voor lerarenopleidingen, ondergebracht in hogescholen (hbo), kunnen tweedegraads bevoegdheden worden behaald. Onder meer te Leeuwarden en Zwolle.

• Deze tweedegraads opleidingen zijn opgericht als Nieuwe Lerarenopleidingen (NLO’s), kort na de invoering van de Mammoetwet.

• De NLO’s stonden oorspronkelijk onder supervisie van universiteiten. Deze band is verdwenen.

• Er zijn dus geen drie, maar twee verschillende niveaus.• De aktenopleidingen zijn nagenoeg verdwenen en voor wiskunde niet meer

aanwezig. • Wel zijn er nog deeltijdopleidingen en particuliere instituten.


XIII. Universiteit en school (1)

• Periode 1850-1950• - traditioneel en ouderwets programma, nauwelijks iets van de recent

ontwikkelde wiskunde op school, ondanks de stormachtige ontwikkelingen in het vakgebied.

• - universitair opgeleide leraren waren vaak gepromoveerd. Heel wat hoogleraren waren eerst leraar (Gerretsen, Van der Blij, Seidel).

• - veel contact tussen hbs / gymnasium en universiteit, door systeem van gecommitteerden resp. deskundigen bij de eindexamens.

• - bovendien hoogleraren als examinatoren bij aktenexamens.• - hoogleraren schreven leerboeken over bolmeetkunde of analytische

meetkunde voor aktenopleiding (Schuh, Barrau, Rutgers).

• Thans• - wel enige ‘recente’ wiskunde op school (grafen, Voronoi-diagrammen,

onderdelen van statistiek, diverse toepassingen). Programma’s wisselen echter geregeld.

• - geen systematische rol voor hoogleraren, wel meestal in commissies die een nieuw programma moeten opstellen, echter nu samen met allerlei deskundigen op toets- en leerplanontwikkelingsgebied.


XIII. Universiteit en school (2)

• Dit is uit het colofon van Euclides in 1958. In de loop der jaren waren veel hoogleraren gaan meewerken aan dit tijdschrift voor leraren.


XIV. De toekomst (1)

• Er is een Commissie Toekomst Wiskunde Onderwijs (cTWO) werkzaam, met een sterke inbreng vanuit de universiteiten.

• Voor het visiedocument e.a. van de CTWO zie www.ctwo.nl • • Eén reactie behelsde dat de CTWO aandacht zou mogen geven aan:• - een stimulerend klimaat,• - een goede argumentatie voor een niveauverhoging,• - respect voor de docenten,• - continuïteit in de programma’s,• - wiskunde als cultuurbezit, en wel om het verstand te scherpen, als

toepasbare wetenschap, en als intellectueel genoegen.

http://www.ctwo.nl/


XIV. De toekomst (2)

• Een commissie als de CTWO denkt natuurlijk na over de acceptatie en de feitelijke invoering van nieuwe programma’s. Daarbij is een ernstig punt van zorg de geringe instroom in exacte studies (met als grote uitzondering de studie Lucht- en ruimtevaarttechniek in Delft).

• In internationale vergelijkingen scoort Nederland niet slecht. Ook geven leerlingen in de onderbouw aan dat ze plezier in het vak hebben.

• Maar de ‘echte’ B-vakken worden minder gekozen dan voorheen, en

vaardigheden van aankomende studenten worden niet hoog ingeschat.

• Zou tevens een maatschappelijke afkeer van exacte vakken (en van hard werken) meespelen?


XV. Literatuur (1)

• G. Polya, How to solve it (New York 1945). Zeer goed leesbare verhandeling over wiskundeonderwijs dat op heuristische wijze wordt gegeven. Nog steeds verkrijgbaar.

• E.W.A. de Moor, Van vormleer naar realistische meetkunde (Utrecht 1999). Een historisch/didactisch onderzoek naar de veranderingen in het meetkundeonderwijs voor 4- tot 14-jarigen. Mooie, breed opgezette studie.

• F. Goffree, M.C. van Hoorn, B. Zwaneveld (redactie), Honderd jaar wiskundeonderwijs (Leusden 2000). Gevarieerde bundel opstellen door 30 verschillende auteurs, die er allemaal plezier in hadden.

• De site van de Nederlandse Vereniging • van Wiskundeleraren bevat veel nuttige• informatie: www.nvvw.nl

http://www.nvvw.nl/


XV. Literatuur (2)

• Algemene literatuur over de ontwikkelingen in de wiskunde door de eeuwen heen en tegenwoordig.

• Timothy Gowers, De kortste introductie wiskunde (Utrecht 2003); vertaling van Mathematics: a very short introduction (Oxford 2002) door Jan Willem Nienhuys.

• Machiel Keestra (redactie), Een cultuurgeschiedenis van de wiskunde (Amsterdam 2006). Acht ter zake kundige auteurs geven een overzicht van de ontwikkeling van de wiskunde door de eeuwen heen.

• Bennie Mols, Opgelost. Toepassingen van wiskunde en informatica (Diemen 2006). Deze uitgave kwam tot stand met steun van het Centrum voor Wiskunde en Informatica te Amsterdam.

College 8: Het wiskundeonderwijs - University of Groningenbroer/pdf/hovo8.pdf · 2011. 4. 15. ·...

Documents

Transcript of College 8: Het wiskundeonderwijs - University of Groningenbroer/pdf/hovo8.pdf · 2011. 4. 15. ·...