ONDERZOEKS- VAARDIGHEDEN WISKUNDEONDERWIJS · genummerd, zwart/wit, scherp contrast. Nederlandse...

januari2003/nr.4

jaargang 78

ONDERZOEKS-VAARDIGHEDEN

EN GEÏNTEGREERDWISKUNDEONDERWIJS

4

janu

ari 20

03

JAA

RG

AN

G 7

8

Redactie

Bram van AschKlaske BlomMarja Bos, hoofdredacteurRob BoschHans DaaleGert de Kleuver, voorzitterDick Klingens, eindredacteurWim Laaper, secretarisElzeline de LangeJos Tolboom

Artikelen/mededelingen

Artikelen en mededelingen naar:Marja BosMussenveld 137, 7827 AK Emmene-mail: [email protected]

Richtlijnen voor artikelen:

• goede afdruk met illustraties/foto’s/formules op juiste plaats of goed in de tekstaangegeven.• platte tekst op diskette of per e-mail: WP, Word of ASCII.• illustraties/foto’s/formules op aparte vellen:genummerd, zwart/wit, scherp contrast.

Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

www.nvvw.nl

VoorzitterMarian KollenveldLeeuwendaallaan 43, 2281 GK Rijswijktel. 070-3906378e-mail: [email protected] KuipersWaalstraat 8, 8052 AE Hattemtel. 038-4447017e-mail: [email protected] van Bemmel-HendriksDe Schalm 19, 8251 LB Drontentel. 0321-312543 e-mail: [email protected]

Colofon

ontwerp Groninger Ontwerpersfoto omslag Peter Tahl, Groningenproduktie TiekstraMedia, Groningendruk Giethoorn Ten Brink, Meppel

Contributie verenigingsjaar 2002-2003

Leden: €40,00Gepensioneerden: €25,00Studentleden: €20,00Leden van de VVWL: €25,00Lidmaatschap zonder Euclides: €25,00Betaling per acceptgiro. Nieuwe leden gevenzich op bij de ledenadministratie.Opzeggingen vóór 1 juli.

Abonnementen niet-leden

Abonnementen gelden steeds vanaf heteerstvolgend nummer.Voor personen: €45,00 per jaarVoor instituten en scholen: €120,00 per jaarBetaling geschiedt per acceptgiro.Opzeggingen vóór 1 juli.Losse nummers op aanvraag leverbaar voor €15,00.

Advertenties

Informatie, prijsopgave en inzending:Leen Bozuwa, Merwekade 903311 TH Dordrecht, tel. 078-639 08 90 fax 078-6390891 e-mail: [email protected] Freek Mahieu, Dommeldal 125282 WC Boxtel, tel. 0411-67 34 68

Euclides is het orgaan van de NederlandseVereniging van Wiskundeleraren. Het bladverschijnt 8 maal per verenigingsjaar.

ISSN 0165-0394

Va n d e r e d a c t i e t a f e l[ Marja Bos ]

InhoudDit dubbeldikke nummer is een special gewijd aan onderzoeksvaardig-heden en geïntegreerd wiskundeonderwijs, twee verschillende onderwerpendie in de ogen van de redactie toch prima te combineren waren. Vóórin despecial vindt u met name artikelen over onderzoeksvaardigheden, daarnavolgen bijdragen over geïntegreerd wiskundeonderwijs. De ‘leeswijzer’ opbladzijde 127 dient als korte inleiding op het thema.Naast de thematische bijdragen vindt u in dit nummer uiteraard ook eenaantal vaste rubrieken: ‘40 jaar geleden’, zoals altijd weer voortreffelijkverzorgd door Martinus van Hoorn, ‘Wiskunde in Vazen’ met eenverrassende berekening van Rob Bosch voor oud-flippo-verzamelaars, dealtijd intrigerende recreatierubriek van Frits Göbel, en op de groenepagina’s bestemd voor het ‘Verenigingsnieuws’ dit keer de jaarrede vanvoorzitter Marian Kollenveld.Tot slot beschrijft Roel van Asselt in een interessant discussiestuk zijnzorgen met betrekking tot sommige ontwikkelingen in het wiskunde-onderwijs; hij doet tevens een aantal voorstellen ter verbetering.

Tweede faseOp het moment dat ik dit stukje schrijf (oudejaarsdag 2002), is nog nietexact bekend wat de voorstellen van het ministerie zullen zijn voor deherinrichting van de Tweede fase havo/vwo, al gonst het van de geruchten– en die zijn niet erg bemoedigend voor het wiskundeonderwijs. Ookandere bètavakken dreigen gemarginaliseerd te worden, als de voortekenenons niet bedriegen. Een zorgelijk perspectief voor veel van onzetoekomstige leerlingen! Maar wie weet viel het uiteindelijk heel erg mee,in de versie die op 9 januari 2003 bekend gemaakt werd?

Op het moment dat u dit leest (eind januari) is inmiddels de mistopgetrokken en mag ‘het veld’ (wij docenten) reageren op die voorstellen.Het lijkt me goed, inhoud en consequenties van de voorstellen kritisch tebestuderen - en zo nodig massaal (en op korte termijn!) te reageren.Wellicht is bijstelling van de herijkingsplannen op zijn plaats. Maaroordeelt u zelf.

Vmbo-examensOver een paar maand dienen de eerste landelijke vmbo-examens zich aan.Voor leerlingen èn docenten een spannende tijd! Is de voorbereiding opschool en thuis adequaat geweest? Hoe valt de moeilijkheidsgraad inwerkelijkheid uit? Kunnen de leerlingen uit de voeten met het taalgebruikin de examens? Ook voor de examenmakers blijft het lastig de mogelijk-heden in te schatten van leerlingen onder druk van een formeel examen. Uit de ‘novemberbrieven 2002’ citeer ik – hopelijk overbodigheidshalve -het volgende, van belang voor wiskunde BB (basisberoepsgericht): ‘Voor wi GL/TL en wi KB is de CEVO-N-term voorgeschreven, zoals datook in 2002 en voorgaande jaren het geval was bij wiskunde C en D. Bijwi BB geeft de CEVO een referentie-N-term, maar staat het de school vrijeen andere omzetting van score naar cijfer te hanteren. Deze tijdelijkevrijheid voor wi BB betreft alleen het laatste deel van de cijferbepaling. Ubent ook bij wi BB wel gebonden aan het met het examen geleverdecorrectievoorschrift en stelt met de tweede corrector aan de hand hiervande score vast.’ Zie voor meer informatie http://examenblad.kennisnet.nl

Tot slotDe lezers van Euclides vormen een brede doelgroep, ondanks hun gemeen-schappelijke affiniteit met wiskundeonderwijs. Dat maakt het ‘uitdagend’(lees ook: ‘moeilijk’) om een blad te maken dat ieder van u aanspreekt. Indat kader is het voor de redactie prettig om regelmatig feedback van lezerste krijgen, hoe kritisch ook. Welke onderwerpen mist u? Wat krijgt volgensu teveel nadruk? En wat moet beslist blijven? Reacties zijn altijd welkom,bijvoorbeeld per e-mail: [email protected]

125Van de redactietafel [Marja Bos]

12640 jaar geleden [Martinus van Hoorn]

127Leeswijzer [Marja Bos]

127Nieuwe ronde WereldWiskundeWeb [Ger Limpens]

128‘t Denken bevorderen [Anne van Streun]

130Krantenknipsels en interviews [Lucie Aarts]

132De lat te hoog gelegd? [Jacques Jansen]

138Onderzoeksopdrachten onmisbaar in modernwiskundeonderwijs [Cor Hofstra]

140Het draait om de rechte van Euler [Lambert van Stratum]

144Praktische opdrachten met Studyworks [Ab van der Roest]

146Lange lijn in de ontwikkeling vanonderzoeksvaardigheden [Martha Witterholt]

150Praktische opdrachten, profielwerkstuk en het web [Jos Tolboom, Léon Tolboom]

153Wiskunde in vazen: Flippo’s [Rob Bosch]

154Op weg naar het profielwerkstuk [Hans Vogelzang]

158Een plak- en knipopdracht voor 4-havo A12 [Gert de Kleuver]

161Aankondigingen

162Modelleren van de Tour de France [Anne van Streun]

167Verschenen

168Praktisch werken: haal er alles uit! [Ruth Forrester, John Searl]

174Wiskunde: integreren of differentiëren? [Bert Zwaneveld]

179‘Just in time’-ondersteuning statistiek [Jan Jelle Claus]

184Is wiskunde integreerbaar? [Henk van der Kooij]

190Schoolwiskunde, de restauratie van een leergebied[Roel van Asselt]

195Breuken in het denken over geïntegreerd reken-wiskundeonderwijs [Fred Goffree]

198Ontwerpgericht onderwijs aan de TuE [Frans Martens]

202Wiskunde in casegeoriënteerd onderwijs [Douwe Jan Douwes]

206Verenigingsnieuws: Jaarrede 2002 [Marian Kollenveld]

210Recreatie [Frits Göbel]

212Servicepagina

Aan dit nummer werkten verder mee: Peter Boelens, Peter Boonstra, Chris van der Heijden, en Albert Ringeling.

40 jaar geleden

Vraagstukken uit het Nieuw Tijdschrift voor Wiskunde, jaargang 50 (1962-1963)

De rubriek ‘40 jaar geleden’ wordt verzorgd door Martinus van Hoorn (e-mail: [email protected]),

voormalig hoofdredacteur van Euclides (1987-1996).

1 2 6euclides nr.4 / 2003

In het Nederlandse onderwijs verschuift de nadruk delaatste jaren van kennis naar vaardigheden, en van‘geïsoleerde schoolvakken’ naar vakoverstijgend en zelfsgeïntegreerd onderwijs. Ons jaarlijkse themanummerstaat daarom dit keer in het teken van onderzoeks-vaardigheden en geïntegreerd wiskundeonderwijs - tweeactuele onderwerpen met een aantal onderlingeraakvlakken.

In het wiskundeonderwijs spelen onderzoeksvaardighedeneen steeds grotere rol. Denk bijvoorbeeld aan degeïntegreerde wiskundige activiteiten (GWA) die bij deintroductie van het leerplan 12-16 en de basisvorminghun intrede deden. Daarnaast zetten docenten hunleerlingen steeds vaker aan het werk met tamelijk openonderzoeksopdrachten, zowel toegepast als wiskundigvan aard. Van recenter datum zijn de zogehetenPraktische Opdrachten, het profielwerkstuk en hetsectorwerkstuk. Onderzoeksvaardigheden spelen uiteraardook een grote rol in onderwijsvormen als probleem-gestuurd onderwijs, projectonderwijs en case-onderwijs. Op veel scholen worden onderzoeksvaardigheden weldegelijk getoetst, maar de wijze waarop daaraanvoorafgaand de leerlingen of studenten dezevaardigheden kunnen verwerven krijgt nog niet altijdvoldoende aandacht. Op die onderwijsaanpakken en lange leerlijnen tenbehoeve van de verwerving van onderzoeks-vaardigheden wordt in dit themanummer ingegaan inbijdragen van Anne van Streun (p.128 èn p.163), CorHofstra, Ab van der Roest, Martha Witterholt, HansVogelzang en Bert Zwaneveld. Concrete suggesties vooronderzoeksonderwerpen zijn te vinden in bijdragen vanLucie Aarts, Lambert van Stratum, Jos en Léon Tolboomen Gert de Kleuver. Jacques Jansen beschrijft zijnervaringen als vakinhoudelijk begeleider bij eenprofielwerkstuk. John Searl en Ruth Forrester houdeneen pleidooi voor daadwerkelijk praktische opdrachten.

In het beroepsonderwijs is wiskunde vooral eenondersteunend middel om praktijkproblemen op telossen. Op dit moment is in het hbo, mbo en vmbo een

trend gaande in een richting waarbij wiskundeonderwijsgrotendeels of volledig geïntegreerd wordt binnen depraktijkvakken. Zie voor een beschrijving van dieontwikkeling het artikel van Henk van der Kooij. Nu is uit onderzoek bekend, dat leren vanuit en/ofbinnen een context inderdaad bijzonder effectief kanzijn. Zo levert een praktijkprobleem uit een beroeps-situatie een natuurlijke leeromgeving op die motiverenden activerend kan werken, ook op het leren van dedesbetreffende wiskundeleerstof. Het is dus niet zovreemd dat het pas aanbieden van wiskundige kennis envaardigheden op het moment dat deze specifiek nodigzijn (‘just in time learning’) steeds meer ingang vindt inhet beroepsonderwijs. Jan Jelle Claus doet verslag vaneen dergelijke aanpak van statistiekonderwijs, die zekergeslaagd is te noemen. Douwe Jan Douwes beschrijfteen succesvolle werkwijze aan de Hogeschool Drenthe,waarin het onderwijs grotendeels via casesvormgegeven wordt – al wordt ter plekke toch wat meerwiskunde aangeboden dan strikt noodzakelijk is voor despecifieke cases die tijdens de opleiding doorgewerktmoeten worden. Toch zijn er ook kanttekeningen te plaatsen bijgeïntegreerd wiskundeonderwijs. Om een voorbeeld tenoemen: Wanneer een algemene wiskundige techniekals een geïsoleerd stukje wiskunde binnen slechts ééncontext verworven wordt, dan is de transfer naar anderesituaties beslist niet gegarandeerd, en is het maar devraag in hoeverre de leerlingen echt iets bruikbaarsgeleerd hebben dat ze ook elders kunnen inzetten. Opdergelijke deels fundamentele didactische bezwarenwordt nader ingegaan door Anne van Streun (p. 128),Bert Zwaneveld, Henk van der Kooij, Adri Treffers enFrans Martens. Henk van der Kooij ziet overigensmogelijkheden in een dubbelslag, waarbij zowelgeïntegreerd als ‘flankerend’ wiskundeonderwijs wordtaangeboden.

De redactie dankt de auteurs van de diverse bijdragenvoor hun inbreng, en hoopt met dit nummer eeninhoudelijke discussie op gang te brengen ter verdereverbetering van ons wiskundeonderwijs.


LEESWIJZERTer inleiding op het thema ‘Onderzoeksvaardigheden en geïntegreerd wiskundeonderwijs’ [ Marja Bos ]

Het Wereldwiskunde Fonds, werkgroep van de NVvW,

begint op 1 februari 2003 met een nieuwe ronde van het

WereldWiskundeWeb.

Het WereldWiskundeWeb is een internetveiling van (wiskunde-

)boeken. Deze veiling heeft sinds zijn start in november 2001

meer dan 3000 euro opgebracht, geld dat ten goede komt aan

projecten in de derde wereld die gekoppeld zijn aan

wiskundeonderwijs op middelbare-school-niveau.

Nieuw bij de veilingronde van 1 februari aanstaande is de

mogelijkheid dat nu ook particulieren zelf hun eigen boeken

via het WWW kunnen aanbieden.

Het aanbieden van boeken kon tot 1 januari 2003

plaatsvinden.

Meer informatie over het WereldWiskundeWeb is te vinden op

www.nvvw.nl/www/

Mededeling / Nieuwe ronde WereldWiskundeWeb [ Ger Limpens ]

berekenen? Wordt dat in mijn voorbeeld zoiets als desom van een oneindige meetkundige rij: Σ2 �kn? Hoezit het met de totale stuitertijd? En wat gebeurt er alsik het type balletje ga variëren, dus een pingpong-balletje, een tennisbal enzovoort? Is het welbevredigend om alleen experimentele gegevens teverzamelen, zonder een verklaring voor deverschijnselen? Er bestaan natuurkundige botsings-wetten; wellicht speelt ook bij sommige typen balletjesde wrijving een rol, en kan de scheikunde niet eenverklaring geven voor de meer en minder sterkeelasticiteit van balletjes? Genoeg vragen om eenonderzoeksgroepje weken lang bezig te houden. Maardie vragen zullen ze zelf moeten bedenken, want daargaat het toch om?

Het experimentVoordat ik het onderzoek naar stuiterende balletjes aanmijn leerlingen voorleg, wil ik even nagaan of er welexperimenten mogelijk zijn. Hier in mijn werkhoekkom ik niet verder dan het tellen van het aantal kerendat het balletje stuit en dat levert bij benadering destuiterfactor al op. Na 30 keer stuiteren is de hoogtenog 1 cm, maar dan ga ik uit van een exponentiëleafname van de hoogte. Het is mooier om iedere keer degrootste hoogte te meten. Dat moet kunnen met demeetapparatuur op school en misschien kan daar ookwel een computer of grafische rekenmachine aanworden gekoppeld, zodat de tabellen en grafiekenonmiddellijk tevoorschijn komen. Anders moet hetmaar met de hand. De stuitertijd is natuurlijk ookdirect te meten. Camiel Janssen (PraediniusGymnasium, Groningen) maakte voor zijnprofielwerkstuk gebruik van de diensten van hetBètasteunpunt van de Rijksuniversiteit Groningen (ziewww.betasteunpunt.rug.nl). Bij de optische methode

Experimenteel en wiskundigIn deze bijdrage aan het themanummer gaat het om dewisselwerking tussen modelvorming en experimenteelonderzoek, waarin bij de interpretatie van de resultatenvan wiskundige methoden gebruik wordt gemaakt.Waarschijnlijk is dat ook de meest voorkomendetoepassing van wiskunde in de techniek en de natuur-wetenschappen. En voor onze leerlingen, vanaf vmbotot vwo, is dat allicht ook het meest motiverende typeonderzoek. In ieder geval is die koppeling vanexperimenteel en wiskundig onderzoek de natuurlijkeingang voor de ontwikkeling van onderzoeks-vaardigheden die in de wiskunde, de techniek en denatuurwetenschappen van groot belang zijn. Enpassant leidt het zinvol moeten toepassen vanwiskundige kennis tegelijk tot een verdieping enversteviging van die kennis.

Vragen formuleren rond een stuiterend balletjeHier voor mij, op mijn bureau thuis, ligt een stuit-balletje dat ik eens heb aangeschaft om een gezelschaponderwijskundigen duidelijk te maken dat het in dewiskunde en natuurwetenschappen niet voornamelijkgaat om het reproduceren van feiten en technieken.Welke vragen kun je jezelf over de eigenschappen vandat balletje stellen, vragen die je door middel vanexperimenten wilt beantwoorden?Is het niet zo dat de hoogte exponentieel afneemt meteen stuiterfactor k? Dus hn �k �hn �1? En het aantalkeren stuiteren zal wel afhangen van de ondergrond.Even proberen. Als ik mijn balletje op 2 meter hoogteloslaat boven de tegelvloer, dan stuit het 30 keer enhier in mijn werkhoek stuit het 15 keer op de houtenvloer. Is de ene stuiterfactor nu twee keer zo groot alsde andere? Hoe kan ik die stuiterfactor bepalen? Kanik de afstand die het stuiterballetje in totaal aflegt ook


Een stuiterend balletje en bètabredeonderzoeksvaardigheden[ Anne van Streun ]

nam hij stroboscopische foto’s om de maximale hoogtevast te stellen, bij de akoestische methode gebruikte hijeen microfoon om de stuiterfrequentie vast te leggen.

Verwerving van de noodzakelijke wiskundigekennisMet name in het hoger en middelbaar beroeps-onderwijs is het mode om het gehele onderwijs op tebouwen rond technische of bedrijfseconomische cases.De studenten storten zich op een probleem of mogelijkonderzoek, zoals ik dat zojuist heb geschetst.Gaandeweg ontdekken zij dan, zo is de theorie, dat zijbepaalde wiskundekennis nodig hebben. Die moet danop afroep beschikbaar zijn, bijvoorbeeld door een kortesnelcursus goniometrie te volgen die de wiskundesectieverzorgt. De wiskunde is dan toegesneden op dat typetoepassing waar de studenten mee bezig zijn. Op datonderwijsmodel is heel wat af te dingen. Freudenthalbetoogde eertijds al dat dergelijke toegepaste wiskundehet slechtst toepasbaar is, juist omdat het ontbreektaan de opbouw van een flexibel en inzichtelijkbegrippenapparaat. De wiskunde op afroep is alleengekoppeld aan dat bepaalde type toepassing, terwijl jewilt dat er transfer van het wiskundig begrip optreedtnaar alle mogelijke toepassingsgebieden. Daarover eenandere keer meer.Welke wiskunde is nu op een natuurlijke maniergekoppeld aan de experimenten met de stuiterendeballetjes? De experimenten leveren tabellen op,bijvoorbeeld van de maximale hoogte na n keerstuiteren. Op het vmbo kan dat aanleiding geven tothet maken van een grafiek en het bedenken vanmogelijke formules. Is de afname van de maximalehoogte inderdaad exponentieel? Wat is destuiterfactor? Hoe varieert die per type balletje? En perondergrond? Wat doet de stuitertijd, de tijd tussen tweestuiteringen? De basiskennis over formules engrafieken stelt die leerlingen in staat om veel van deonderzoeksvragen empirisch te beantwoorden.In 6-vwo Natuur & Techniek doe je natuurlijk eenverdergaand beroep op wiskundige en natuurkundigekennis. Formules voor de hoogte en de stuitertijdenmoeten worden afgeleid en de wiskundige kennis overrekenkundige en meetkundige rijen komt zeker vanpas. De slotbeschouwing gaat natuurlijk over de relatietussen de experimentele gegevens en de theoretischeverwachting. Leerlingen doorlopen de gehele cyclusvan het zelf formuleren van onderzoeksvragen tot enmet het interpreteren en theoretisch onderbouwen vande uitkomsten. En passant verdiepen ze hun inzicht inde eerder verworven wiskundige kennis.

De vraagstelling van Camiel JanssenCamiel Janssen, in 2002 genomineerd voor dejaarlijkse prijs van het Bètasteunpunt in Groningen,stelde zich voor zijn profielwerkstuk de vraag: Waaromstuitert een balletje niet oneindig door? (zie [1]) Als ersteeds een fractie van de energie verloren gaat bij hetstuiteren van een bal, dan moet die bal in principe eenoneindig aantal keren stuiteren. U herkent in zijnredenering de bekende paradoxen over oneindig klein

en oneindig groot waar de wiskunde 2000 jaar geledenal mee worstelde. Met behulp van de wetten over debotsingsenergie en de wet van behoud van energiekomt hij na het nodige wiskundige rekenwerk tot devolgende formule voor de totale stuitertijd:

ttotaal � t0(1�2�k� �2(�k�)2 �2(�k�)3 �…)

Toepassing van zijn wiskundige kennis overmeetkundige rijen en de formule voor de vrije val leidtdan tot de gezochte uitdrukking voor de totaaltijd:

ttotaal � ��Bij een beginhoogte van 1 meter komt Camiel tot de inde tabel staande gemeten en berekende hoogten (zietabel).

stuiter- totale totalefactor stuitertijd stuitertijd

(berekend) (gemeten)

Golfbal 0,77 6,9 7,0

Pingpongbal (optisch) 0,70 5,1 8,5

Pingpongbal (akoestisch) 0,80 8,1 8,5

Nieuwe tennisbal 0,69 4,9 5,1

Oude tennisbal 0,65 4,2 4,4

Waar gaat het eigenlijk om?In mijn ogen is dit het type onderzoek of praktischeopdracht of profielwerkstuk waar wij in de sectortechniek (vmbo) of in de natuurprofielen (havo-vwo)zwaar op moeten inzetten. Het gaat in het technisch ennatuurwetenschappelijk vervolgonderwijs altijd omdeze combinatie van het zelf formuleren vanonderzoeksvragen met het benutten of ontwikkelenvan experimentele vaardigheden en de wiskundigetypering en argumentatie van de resultaten. Bij dittype opdrachten is er dan ook geen sprake vandownloaden van andermans resultaten of van een bulkaan informatie van het internet. Eigen werk, zelfnadenken, bij voorkeur samenwerken in en groepje,experimentele en theoretische resultaten vergelijken enverschillen verklaren. Wat wil je als leerling of als docent nog meer?

Noot

[1] Belangstellenden kunnen het werkstuk van Camiel Janssen

opvragen bij Marijke de Wijs (e-mailadres: [email protected]).

Over de auteur

Anne van Streun (e-mailadres: [email protected]) is sinds

1974 werkzaam aan de Rijksuniversiteit Groningen als

wiskundedidacticus en sinds 2000 als hoogleraar in de didactiek van

de wiskunde en natuurwetenschappen.

2h0�g1��k��1��k�


KRANTENKNIPSELS ENINTERVIEWSTwee geïntegreerde wiskundige activiteiten voor de brugklas[ Lucie Aarts ]

FIGUUR 1

FIGUUR 2FIGUUR 2

InleidingIn mijn les wil ik mijn leerlingen graag bijbrengen datwiskunde niet alleen beperkt is tot datgene wat ze invier lesuren per week bij mij in de klas doen. Ik hoopdit voor een deel te bereiken door geïntegreerdewiskundige activiteiten met hen te doen. Hieronder volgt een beschrijving van tweegeïntegreerde wiskundige activiteiten die ik met mijnleerlingen uit de brugklas het afgelopen jaar hebgedaan. Ik sluit af met enkele algemene opmerkingen.

GWA 1Voor de eerste opdracht namen de leerlingen van thuiseen paar kranten mee waarin grafieken, tabellen enstaafdiagrammen voorkwamen. Zelf nam ik voor dezekerheid ook nog enkele kranten mee. De leerlingenmoesten in één lesuur minstens één tabel, één grafiek

en één staafdiagram op een A4-tje plakken (ziefiguur 1 en figuur 2). Ze kregen daarbij de opdrachtbij elk plaatje te vermelden of het om een tabel, eengrafiek of een staafdiagram ging. Verder moesten zenoteren wat er op de horizontale en wat er op deverticale as stond. Tenslotte vroeg ik de leerlingen oméén punt uit de tabel, één uit de grafiek en één uit hetstaafdiagram te vertalen naar de context. Sommige leerlingen deden uit zichzelf aanbronvermelding. Ik heb deze opdracht in de klas laten uitvoeren om tevoorkomen dat de ouders van de leerlingen zich op deopdracht zouden storten.

GWA 2De tweede opdracht had ik uit Getal en Ruimte 1 HV 1.Ik liet de leerlingen deze opdracht buiten de lesuitvoeren. De leerlingen moesten een interviewafnemen met iemand uit hun omgeving (zie figuur 3).Ze moesten de respondent onder andere vragen, of hijof zij wiskunde op school had gehad (en wat voorsoort wiskunde dan), en of hij of zij nog steedswiskunde nodig had bij het uitoefenen van zijn of haarberoep. Enkele leerlingen deden nogal moeilijk over hetafnemen van het interview. Ze beweerden dat zeniemand konden vinden om te interviewen. Ik hebechter keer op keer benadrukt dat het soort beroep erniet toe deed. Enkele beroepen die naar voren kwamenwaren: caissière, aannemer, kleuterjuf en architect. Eenleuke bijkomstigheid was dat de docente Nederlandsvan deze brugklas haar les over interviewtechniekenkoppelde aan deze opdracht.

OpmerkingenBij beide activiteiten heb ik de beoordeling van deresultaten laten meetellen als een SO-cijfer. Deleerlingen uit deze klas voelden zich hierdooruitgedaagd om extra hun best te doen. In het algemeenwaren de werkstukjes en interviews van een zeer hoogniveau. Ik vond het interessant om te zien datsommige leerlingen erg goed omgingen met de eigenverantwoordelijkheid die ze kregen. Er was echter ookeen groep leerlingen die vrij veel sturing nodig had.Deze leerlingen waren erg onzeker doordat heteindresultaat niet van tevoren vast lag. (Het goedeantwoord op deze vraag is …) Dit is echter ook bijandere vakken heel vaak het geval. Hoewel beide opdrachten individueel moesten wordenuitgevoerd, mochten de leerlingen elkaar wel helpen.Bij de eerste opdracht met de kranten gebeurde dit ookveelvuldig.

De reacties van de leerlingen waren zeer positief. Hetdoen van dit soort activiteiten in de les is voor mijdaarom zeker voor herhaling vatbaar!

Over de auteur

Ir. Lucie P. Aarts (e-mailadres: [email protected]) is docente

wiskunde aan het Stanislascollege Westplantsoen in Delft.


FIGUUR 3

DE LAT TE HOOG GELEGD?Vakinhoudelijke begeleiding van een profielwerkstuk over dewiskunde in Eschers kunst[ Jacques Jansen ]

FIGUUR 1 Uit: Begeleidingsboekje Profielwerkstuk ‘M.C. Escher’

DoelDit artikel gaat over het profielwerkstuk ‘M.C. Escher’van mijn leerlingen Thomas Boeije en Koen Wijffelaars(vwo, profiel Natuur & Techniek), en over mijnbegeleidingsactiviteiten daarbij.De bedoeling van dit artikel is om een stukjeontwikkeling te laten zien, het proces van detotstandkoming van een profielwerkstuk. Daarnaastkomt de interactie aan de orde tussen leerlingen endocent. Voor alle drie is het een groot leerproces.Tenslotte wordt er aandacht besteed aan de inhoud van ditwerkstuk. Wat gaat er goed? Wat gaat er mis? Hoe kan hetbeter? Wat is een begeleidingsboekje? Wat zet je erin?En natuurlijk laat ik ook iets zien van de resultatenvan de leerlingen, niet altijd even perfect, maar weliets waaraan je kunt zien dat er met veel plezier aangewerkt is.

Stand van zaken september 2002Het profielwerkstuk ‘M.C. Escher’ is eind januari 2002afgerond en ingeleverd. Mijn begeleidingsboekje - daarlater meer over - kan ik nu bijstellen. Dit nieuweschooljaar ga ik drie nieuwe tweetallen leerlingenbegeleiden bij hun profielwerkstuk, twee uit de havo-top en één tweetal uit het vwo.Het schrijven van dit artikel dwingt mij, aan het beginvan dit nieuwe schooljaar met een uitgeruste geest,terug te denken aan het profielwerkstuk over Escher,de balans op te maken en mijn aanpak voor detoekomst bij te stellen.

Structuur door een begeleidingsboekjeMijn grote zorg van tevoren was:‘… hoe coach ik de leerlingen zó dat er in hun werk ooksprake is van echte wiskundige activiteiten, en zodat ersprake is van voldoende diepgang in de wiskunde?’Eén ding was voor mij duidelijk: je kunt leerlingen nietzomaar in het diepe gooien; zo van: zoek het zelf maaruit. Je moet ze een structuur aanbieden, maar wel ééndie voldoende open is. Deze structuur heb je alsbegeleider niet zomaar voorhanden. Je kunt hem nietmeteen aan de leerlingen aanbieden nadat hetonderwerp van het profielwerkstuk is gekozen.Structuur aanbieden, hoe doe je dat?Mijn school, het Strabrecht College in Geldrop, heefteen algemeen werkboek ‘Profielwerkstukken’ voor deleerlingen waarin o.a. zaken staan beschreven zoals hetstappenplan, gebruik van logboek, algemene vorm-eisen. Dit werkboek wordt bij alle vakken gebruikt.Ik kwam op het idee om ook een meer vakinhoudelijkbegeleidingsboekje te schrijven waarin structuur wordtgegeven (zie figuur 1). De bedoeling van een dergelijkboekje is begeleiding te bieden puur over hetwiskundige onderwerp zelf, inclusief bronnen eninternetsites.Een boekje dat bij het aanbieden aan de leerlingen nogniet af is. Een boekje in wording dus, net zoals huneigen product. Kortom, een tweesporenbeleid.Op het eind van de rit heb je dan twee producten: hetprofielwerkstuk van de leerlingen en hetbegeleidingsboekje van de docent.

OpzetMet een schuin oog heb ik gekeken naar de opzet vaneen drietal profielwerkstukken [1] van de TUEindhoven:- Foutje? Dat verbeteren we toch!- Kun je me de kortste weg vertellen?- Kun je die code kraken?Hieraan ontleende ik de volgende aandachtspunten:- Voor wie is het profielwerkstuk bestemd?- Welke beginkennis heb je nodig?- Wat wordt er van je verwacht?- Welk studiemateriaal is beschikbaar?- Welke sites zijn interessant?

EscherThomas en Koen stelden zich aanvankelijk de volgendehoofdvraag: ‘Hoe heeft Escher wiskunde in zijn werkentoegepast?’ Het is duidelijk: het onderzoeksgebied is tebreed.In een eerste gesprek stimuleer ik beide leerlingen,verstandige deelvragen te verzinnen. Het teonderzoeken gebied moet worden afgebakend.En ik ga zelf ook aan de slag.Ik vind het nodig dat beide leerlingen zich gaanverdiepen in de inversietheorie (spiegelen aan eencirkel). Immers, dit komt voor in Kubus met banden enHol en bol. Een van de hoogtepunten van het werk vanEscher is Cirkellimiet 3 waarin sprake is vanhyperbolische meetkunde. Deze meetkunde steunt opde inversietheorie. Het ligt dus voor de hand om ietsaan inversietheorie te doen om enige werken vanEscher beter te kunnen begrijpen en er wat meergevoel voor te krijgen.Vandaar de opdracht die ik later aan de leerlingen zalgeven: ‘Probeer een schaakbord binnenstebuiten tekeren.’ Dat kan prachtig met het computerprogrammaCabri, zal later blijken. In het eerste gesprek met deleerlingen denk ik daar nog niet aan.

Eerste contactIn het eerste gesprek wisselen we bronnen uit. Thomasen Koen hebben een dik boek over Escher. Ik heb zelfeen cd-rom [2] en verschillende artikelen uit hetbekende tijdschrift Pythagoras.In eerste instantie is het begin van het begeleidings-boekje snel geschreven: een eerste opzet en kopietjesvan verschillende artikelen uit Pythagoras(zie figuur 2).

Tweede contactIn een tweede contact met Koen en Thomas blijken zijenkele deelvragen geformuleerd te hebben:- Hoe zag het leven van M.C. Escher eruit?- Wat voor verschillende werken heeft Eschergemaakt?- Hoe is een vlakvulling opgebouwd?- Kunnen we zelf ook vlakvullingen maken?- Welke technieken heeft Escher gebruikt om zijntekeningen te maken?- Zijn er andere kunstenaars geïnspireerd doorEscher?


In dit gesprek stimuleer ik met name het beantwoordenvan de middelste deelvragen. Daar zitten immers dewiskundige activiteiten. De overige deelvragen zijnleuk, maar in dit kader van minder belang. Ik geef deleerlingen een tiental bladzijden, vol opgaven overinversie, uit mijn doctoraalscriptie van lang geleden. Ikhad zelf mijn bedenkingen maar de factor tijd speeldeeen belangrijke rol.

Derde contactEn jawel hoor: van de opdrachten uit mijn doctoraal-scriptie komt niet veel terecht (zie figuur 3). De vragenzijn in te formele taal gesteld. Dat werkt niet in 2002,het is een stukje tekst dat niet meer van deze tijd is.Dit gaat dus mis.Ik word dus gedwongen om met een andere tekst tekomen.Ik doe dat als volgt.Ik voeg aan mijn begeleidingsboekje (zoals eerdergezegd een boekje in wording!) een aantal vragen toeuit de twee nummers van Pythagoras (nummers 1 en 2,jaargang 14, 1974; zie ook figuur 2). Dieformuleringen zijn nog steeds leesbaar:

OPDRACHTEN BIJ INVERSIE

Opmerking. Enkele vragen kunnen uitgevoerd worden met Cabri.

1. Leg uit wat men onder inversie verstaat.

2. Hoe spiegel je een punt aan een gegeven cirkel? Hoe voer je de

constructie uit? Maak gebruik van Cabri.

3. Wat is de inverse figuur van een lijn door het middelpunt van de

inversiecirkel?

4. Wat is de inverse figuur van een willekeurige lijn?

5. Wat is de inverse figuur van een raaklijn aan de cirkel?

6. Wat is de inverse figuur van de inversiecirkel zelf?

7. Hoe verhouden zich de middellijnen van de cirkels?

8. Spiegel een schaakbord aan een gegeven cirkel die binnen het

schaakbord ligt. Doe dit met behulp van Cabri.

In overleg met je docent bekijk je de omslag van nummer 1

jaargang 14 (zie figuur 4) van het wiskundetijdschrift Pythagoras

uit 1974.

De structuur van de figuur op de omslag is nu wel duidelijk. Je

krijgt hem door over ‘Fig. 2’ (in figuur 2) nog eens dezelfde figuur

te tekenen, maar dan 90 graden gedraaid.

9. Is het hele schaakbord op de omslag afgebeeld?

10. Is ook de hele inverse figuur van het schaakbord op de omslag

weergegeven?

11. Waar vind je de inversen van de hoekpunten van het

schaakbord?

12. Waarvan is het witte vlak, in de vorm van een klavertje vier, de

afbeelding?

Cabri en Dick KlingensMijn beide leerlingen en ikzelf hebben nu inmiddelservaring met het computerprogramma Cabri. Ditprogramma heeft ook een optie ‘inversie’. Fantastisch.Mijn hoofdvraag voor de leerlingen bij inversie is:‘Hoe spiegel je een schaakbord aan een gegevencirkel?’Voordat ik het weet gaan de leerlingen met Cabri aande slag.


FIGUUR 2 Uit: Pythagoras (jaargang 14, 1974)

FIGUUR 3 Uit: Inversie Theorie; Spiegelen aan een lijn

Een aantal dagen later bezoek ik de studiedag van deNVvW (november 2001). Hier volg ik de workshop vanDick Klingens, een schitterende workshop over inversieen het gebruik van Cabri hierbij. Dick deelt in dieworkshop een set werkbladen uit (zie [3]) waarvan heteerste deel mij zeer geschikt lijkt voor de leerlingen. Ikvoeg dat toe aan het begeleidingsboekje in wording.Achteraf hebben de leerlingen er nauwelijks iets meegedaan. Thomas en Koen waren allang begonnen enwaren mij te vlug af.

Vierde contact (per email)Per e-mail krijg ik verschillende schaakborden (zie defiguren 5 en 6) met het volgende stukje tekst uit hunwerkstuk:Het lijkt op het eerste gezicht misschien ergingewikkeld om een schaakbord te spiegelen aan eencirkel, maar dit valt reuze mee. Een schaakbord bestaatnamelijk alleen uit een serie horizontale en verticalelijnen, en we weten hoe we een lijn kunnen inverteren.Het is dus gewoon een kwestie van een aantal keer deconstructie voor een lijn uitvoeren. Dit kan gelukkigvrij snel met behulp van het programma Cabri. Hier zitnamelijk al een inversie-functie bij, waardoor je veelsneller constructies kunt maken. Hiermee heb ik(Thomas) zelf ook een schaakbord geïnverteerd, zoals jein figuur 5 kunt zien.Met de eerste versie was ik echter niet helemaaltevreden, dus heb ik een tweede gemaakt (zie figuur 6)die er naar mijn mening beter uitziet. Bij de tweedeversie heb ik de vlakjes in het schaakbord ookingekleurd, zodat je duidelijker kunt zien welke vlakjesop het schaakbord horen bij de vlakjes binnen de cirkel.We hebben nu dus gezien hoe je een rooster metvierkantjes aan een cirkel kan spiegelen. Nu is hethopelijk wat beter voor te stellen hoe Escherverschillende roosters met de daarop horende figurenaan een cirkel heeft gespiegeld.

VlakvullingBelangrijk ook is het hoofdstuk ‘Kunnen we zelf eenvlakvulling maken?’ Hieronder opnieuw een stukjewerk van de leerlingen:Nadat wij al deze kennis hadden opgedaan over hetmaken van vlakvullingen, was het tijd om deze kennismaar eens toe te gaan passen. Ik ging als volgt te werk.Je begint natuurlijk met het kiezen van een rooster. Alsbeginner in het vullen van vlakken koos ik voor eensimpel rooster, bestaande uit vierkanten waar geendraaiingen of moeilijke bewegingen op werdentoegepast. Door telkens een stukje uit het vierkant teverslepen, te veranderen of te verschuiven, en dezeverandering ook op alle andere vierkanten in hetrooster toe te passen, kwam er na een tijdje proberendit schattige hondje (zie figuur 7) uit, genaamd:‘Hondje Blaf’. Hoewel ik een vorm heb gevonden dieheel vaag op een hondje lijkt, wist ik toen ik aan dezevlakvulling begon nog niet wat het eindresultaat zouworden. Het is namelijk erg moeilijk om snel te zienwat de verschuiving of het weghalen van een vlakjevoor invloed heeft op het plaatje. Bij dit geval is het


FIGUUR 4 Omslag Pythagoras nummer 1 (jaargang 14, 1974)

FIGUUR 5 Schaakbord I

namelijk zo, dat als je een blokje aan de bovenkanttoevoegt, dit er aan de onderkant af moet. Hoewel diterg simpel klinkt, is het toch moeilijk om goed tekunnen voorspellen hoe een vorm eruit gaat zien.Vooral bij complexere roosters, waar bijvoorbeelddraaiingen aan te pas komen, is moeilijk om tevoorspellen wat er door je volgende stap allemaalverandert aan de cel. In mijn geval was het dus gewooneen kwestie van proberen, totdat ik in mijn vervormdevierkant een enigszins herkenbare vorm waarnam. Doorer oogjes en een neus bij te tekenen lijkt het al ietsmeer op een hondje. Maar het zou natuurlijk beter zijn,als men er een hondje in zou zien zónder dat ik erdingen bij had hoeven tekenen.

Om eerlijk te zijn, weet ik niet precies wat figuur 8voorstelt. Het is, net als het hondje, een probeersel.Hierbij heb ik echter gebruik gemaakt van een anderesoort verschuiving als bij ‘Hondje Blaf’ en heb ikgeëxperimenteerd met ronde bogen in plaats van rechtelijnen en hoeken.Maar om het een amateur als ik iets makkelijker temaken, bestaat er gelukkig handige software. Op deEscher-CD [2] staat namelijk een leuk programmawaarmee je op een makkelijke manier vlakvullingenkunt maken. Hierbij begin je ook telkens met eenvierkant, of je kan veranderingen aanbrengen in een albestaande vlakvulling (wat natuurlijk lang niet zo leukis). Snel en makkelijk kan je door punten te verslepenhet vierkant veranderen in elke vorm die het rooster datje kiest toelaat. Maar dit staat natuurlijk niet garantvoor een mooie vlakvulling. Nog steeds was het voormij een kwestie van proberen en proberen. Gelukkiggaat dit met behulp van een computerprogramma veelsneller dan met een potlood, en zijn er makkelijkerveranderingen aan te brengen in je vlakvulling.Figuur 9 gaat uit van hetzelfde rooster als dat vanHondje Blaf, en zoals je misschien wel kan zien, lijkthet eindresultaat ook een beetje op een hondje. Ditware kunstwerk heb ik daarom ‘Schele Hond’ genoemd.

Beide leerlingen experimenteren met complexereroosters, schuifspiegelingen en draaiingen, en komentot de volgende conclusie:Nu ik meer inzicht in vlakvullingen heb gekregen entoch enigszins heb geleerd hoe ze zelf te maken zijn,weet ik hoe moeilijk en ingewikkeld het kan zijn omeen geslaagde vlakverdeling te maken, waardoor ik zijnwerken nu nog meer waardeer dan eerst.

Resterende contactenThomas was in 5-vwo gedoubleerd. Koen zie ik in 6-vwo vier keer per week tijdens de contacturen. Er zijnveel tussendoortjes. De afronding vindt plaats in eeneindgesprek. Ik ben enthousiast over hun inzet.

De lat te hoog?Samengevat kan ik zeggen dat beide leerlingen eringeslaagd zijn, iets te begrijpen van de inversietheorie.Het lukte echter niet om een brug te slaan tussen deinversiewerken van Escher en de inversietheorie zelf.


FIGUUR 6 Schaakbord II

FIGUUR 7 Hondje Blaf

De cirkellimieten, met name Cirkellimiet 3, werden nietdoor de leerlingen aangepakt. De verklaring van dewiskunde achter deze werken bleef uit. Hier had ik delat te hoog gelegd.

Wat hebben de leerlingen eraan gehad?Een stukje uit de conclusie van Koen en Thomas:Nu we het werk af hebben, kunnen we terugkijken opeen mooi werkstuk. Ons begrip voor wat Escher heeftgepresteerd in zijn leven is toegenomen. Hij heeft helemooie werken gemaakt, en ook minder mooie, zoalszijn eerste vlakvullingen. Hoewel deze wel bijzonderzijn, omdat hij met behulp van deze werken zijn eigentheorie heeft gemaakt.Van tevoren waren de werken mooi, nu zijn ze ergbijzonder. Bijna elk werk heeft zijn eigen verhaal,waarom Escher het heeft gemaakt. En waarom juist opdie manier. Bewondering en respect. Dat is wat wegekregen hebben voor Escher.

Escher blijft actueelHet begeleidingsboekje ga ik bijstellen en verbeterenvoor een volgend tweetal.Het stukje uit de Volkskrant van augustus 2002 met alskop ‘Leidse wiskundigen sluiten de blinde vlek vanEscher’ zal ik er zeker in opnemen. In zijnwereldberoemde prent De Prentententoonstelling lietEscher namelijk een witte vlek achter. Degetaltheoreticus en cryptoloog Hendrik Lenstra en zijnmedewerkers zijn er in geslaagd, de witte vleknaadloos dicht te maken. Zie ook [4].

Terugblik en vooruitblikVoor mij zijn profielwerkstukken en praktischeopdrachten de krenten in de pap. Niet meer in hokjesdenken, bruggen slaan, creatief bezig zijn, enzovoorts.Het kan het werkplezier verhogen voor zowel debegeleider als de leerling.Samenwerking met collega´s is geboden, bijvoorbeeldop het gebied van de bronnen, en om elkaar teinspireren. Belangrijk is dat wij, docenten, onzeervaringen uitwisselen.

Noten

[1] TU Eindhoven: www.osc.tue.nl/profielwinkel/

[2] Cd-ROM ‘Escher interactief. Ontdek de kunst van het oneindige.’

Cordon Art B.V.(1996).

[3] Dick Klingens: Werkbladen Cabri

(www.pandd.demon.nl/werkbladen/werkbladen.htm)

[4] Tijdschrift Pythagoras, 42e jaargang, nummer 1 (oktober 2002).

Over de auteur

Jacques Jansen (e-mailadres: [email protected]) is als

wiskundedocent verbonden aan het Strabrecht College in Geldrop.

Vanaf het begin van zijn leraarschap is didactiek van de wiskunde een

van zijn belangrijkste aandachtspunten geweest. De heer drs.

A.J.Th. Maassen, vakdidacticus aan de KUN, was zijn inspirator.


FIGUUR 8 ???

FIGUUR 9 Schele Hond

onderzoeken hoe de schooltheorie hier wordttoegepast. Hier is natuurlijk geen sprake van een uniekzelfstandig onderzoek, maar het is een begin: deleerling leert zichzelf vragen te stellen en verbanden te

Overbodig of onmisbaar?In het Nederlandse wiskundeonderwijs is eenmerkwaardige tegenstelling ontstaan. Aan de ene kantwordt het belang van het onderwijs in de wiskundeonderstreept door de benoeming van een hoogleraar inde didactiek van de wiskunde, aan de andere kantwordt het vak bedreigd door openlijke twijfels aan hetnut van onderwijs in een vak waarvan detoepasbaarheid door critici als kunstmatig wordtomschreven. Men zou het vak maar beter kunnenintegreren in een algemener vaag omschreven science-achtig curriculum. Opheffen dus.Nu zullen er in onze kringen weinig supporters zijnvoor opheffing van ons mooie vak. Nee, wat wijmoeten doen is de nadruk leggen op het onmisbare nutvan wiskunde. Daar kunnen de onderzoeksopdrachteneen cruciale rol bij spelen, omdat nergens zo duidelijkwordt welke belangrijke rol wiskunde speelt als insituaties waar wiskunde in de praktijk wordt toegepast.Van de leerling wordt steeds meer zelfstandigheidgevraagd, en hoewel wij in de exacte vakken zeker devinger aan de pols moeten houden, zullen we aanaandacht voor zelfstandigheid niet kunnenontsnappen.Juist vanwege die zelfstandigheid kan eenonderzoekachtige opdracht een zinvolle verwerkingzijn van geleerde theorie of nut hebben voor hetvastleggen van bepaalde begrippen.

KansspelenEen voorbeeld. Bij kansspelen is de deelnemernatuurlijk geïnteresseerd in de vraag welke kans hijheeft op een prijs. Hoewel het al snel gecompliceerdwordt, zou de leerling een onderzoek kunnen doennaar de kansen bij bekende kansspelen. De leerling kanop het spoor gezet worden met een gerichte opdracht.Bij het kansspel ‘Lucky Day’ wordt een formuliergeleverd met daarop de spelregels en de te winnenprijzen. Bij elke prijs staat de kans op die prijs,genoteerd in de vorm 1 op zoveel. Leerlingen kunnendie kansen narekenen. De formulering op hetdeelnameformulier wijkt echter af van hetschoolboekjesjargon. Dus moet de leerling op zijnniveau de link leggen met de geleerde theorie,


ONDERZOEKSOPDRACHTENONMISBAAR IN MODERNWISKUNDEONDERWIJS[ Cor Hofstra ]

leggen die niet zijn voorgekookt in een boekje. Omdathet resultaat direct te controleren is - jouw uitkomstenmoeten overeenkomen met die van de folder - heeft deleerling succes, men krijgt de smaak te pakken. In eenonderzoeksopdracht zou dit dan ook als eerste,inleidende opdracht opgegeven kunnen worden,waarna de leerling op zoek kan gaan naar eigenvoorbeelden hoe het vaasmodel bij andere kansspelenwordt toegepast, of algemener hoe je kansen kuntberekenen bij de bekende loterijen. Zo’n gerichtebeginopdracht, die je ook aantreft bij de bekendeschoolwedstrijden als de A-lympiade en de WiskundeB-dag, is essentieel om de leerling te motiveren.Vervolgens kan de hele onderzoeksopdracht leiden totverdieping of verbreding van het begrip ‘kans’.

WaterhoogteAnder voorbeeld. Op de site www.waterland.net is naenig zoeken van vrijwel iedere badplaats een grafiekvan de waterhoogte te vinden. Hoewel er niet eenkeurige goniometrische kromme staat, is elke grafiekwel redelijk te benaderen met zo’n goniometrischekromme en kan men van de leerling een bijbehorendeformule vragen, van de hoogte afgezet tegen de tijd.Leerlingen die dat één keer hebben uitgezocht,begrijpen de parameters van de algemene formulebeter dan leerlingen die de betekenis uit het hoofdhebben geleerd. Op de grafische rekenmachine kanmen controleren of men er dichtbij is gekomen. B-leerlingen kunnen dieper ingaan op de vorm van deoorspronkelijke grafiek. Vervolgens zou men kunnenonderzoeken hoe het verloop is van de maximum-waterhoogte langs de Nederlandse kust.

AanpakDe kansspelen en de waterhoogte zijn maar tweeeenvoudige voorbeeldjes, gebaseerd op de slogan‘Wiskunde is overal’.Er zijn voldoende opdrachten te vinden, met nauweaansluiting op de leerstof. Denk ook maar eens aansnelheid van verandering bij beurskoersen. Leerlingen

zullen dit als zinvol ervaren, omdat ze een beterinzicht krijgen in de stof die op school is behandeld.Bovendien is de leerling van binnen uit gemotiveerd,omdat er uiteindelijk vragen beantwoord moetenworden die hij zichzelf heeft gesteld. Zo’n aanpak,waarbij eerst een oriënterende gerichte opdracht wordtverstrekt, geeft de leerling houvast. We kunnen vankinderen op deze leeftijd niet verwachten dat zemeteen weten wat er van hen verwacht wordt in eenonderzoek, we moeten hen op weg helpen. Daarna kunje, in overleg met de leerling, een onderzoeksvraagformuleren, bijvoorbeeld in de vorm van eenhypothese. Leerlingen vinden het leuk zulkeopdrachten te maken, zeker wanneer je daarbij desystematische probleemaanpak van Anne van Streunsuggereert. Waar gaat het eigenlijk over, wat weet je,wat kun je er mee.

Ruimte voor onderzoeksopdrachtenOnderzoeksopdrachten horen een onderdeel te zijn vanons wiskundeonderwijs in de komende jaren.We moeten niet kiezen voor vrijblijvende algemeneonderwerpen, want leerlingen zullen dan de opdrachtte veel zien als een losstaande hindernis die ook nogeven genomen moet worden; bovendien is de kans opfraude daarbij te groot.We moeten opdrachten verzinnen die aansluiten op debestaande theorie en er goed over nadenken hoe we zeaan de leerlingen gaan aanbieden. Het is net ouderwetsonderwijs: een goede voorbereiding is het halve werk.

Over de auteur

Cor Hofstra (e-mailadres: [email protected]) is docent wiskunde

aan OSG Piter Jelles locatie Aldlân te Leeuwarden.

FIGUUR 1 Twee cirkels snijden elkaar in R en S. Kies P op cirkel-1,trek PS naar Q. Alle driehoeken PQR zijn gelijkvormig.

Op zoek naar een geschikte opgave voor het school-examen vwo wiskunde-B12 vond ik in het leerboekwaaruit ik zelf eens de vlakke meetkunde hebbestudeerd [1] een opgave die de aanleiding werd voordit artikel:Twee cirkels snijden elkaar in A en B. De rechte l doorA snijdt de ene cirkel nog in P, de andere nog in Q. Eenandere rechte m door A snijdt de ene cirkel nog in R,de andere nog in S. Bewijs dat driehoek PBQgelijkvormig is met driehoek RBS.

De opgave zelf (zie figuur 1) leek me wel wat voor hetschoolexamen en omdat tegenwoordig de meestevraagstukken vergezeld gaan van tekeningen, werdCabri ingeschakeld.Spelend met Cabri ontdekte ik dat de meetkundigeplaats van het zwaartepunt van elk van de driehoekeneen cirkel opleverde. Het formele bewijs hiervoor isniet ingewikkeld; het is goed te leveren door leerlingenwiskunde-B12. Hetzelfde kan gezegd worden voor demeetkundige plaats van respectievelijk alle snijpuntenvan de middelloodlijnen en alle hoogtepunten. De middelpunten van de drie genoemde meetkundigeplaatsen blijken op een rechte lijn te liggen, netjes inde verhouding 1 : 2, zoals Euler ons leerde.Na enig zoekwerk vond ik de driehoek waarvan degevonden lijn de rechte van Euler is, en als je dateenmaal weet, is het leveren van bewijzen wel zeereenvoudig.

Het geheel is nogal omvangrijk geworden en wellichtgeschikt voor een praktische opdracht (of zelfsprofielwerkstuk). In de aangeboden vorm, als eenstripverhaal bestaande uit 10 plaatjes, nodigt elketekening uit tot een onderzoek met Cabri [2] naarhetgeen in elke figuur wordt beweerd (zie de figuren 2tot en met 10 op pag. 142 en 143). Daarna zal een

bewijs geleverd moeten worden. Ook zal men moetenonderzoeken wat de rechte van Euler is; dat begripbehoort immers niet tot de reguliere stof.

Noten

[1] Th.G.D. Stoelinga, M.G. van Tol: Planimetrie, leerboek voor

H.B.S., Gymnasium en Lyceum, deel II (zesde druk), Tjeenk Willink

(Zwolle, 1959), p.82, opgave 11.

[2] Voor belangstellenden zijn alle Cabri-tekeningen bij deze bijdrage te

vinden via de Euclides-pagina van de NVvW-website (of direct via

www.nvvw.nl/download/eucl784.zip).

Over de auteur

Lambert van Stratum (e-mailadres: [email protected]) is leraar

wiskunde aan het Mill-Hill College te Goirle en op de VAVO-afdeling

van het Koning Willem I College te ’s-Hertogenbosch.

HET DRAAIT OM DE RECHTEVAN EULER[ Lambert van Stratum ]


FIGUUR 2 Bekijk van elke driehoek PQR hetmiddelpunt O van de omgeschreven cirkel.

FIGUUR 5 Alle punten Z liggen op een cirkel door R,met middelpunt Mz. PZ snijdt cirkel-1 in een vast puntUz; QZ snijdt cirkel-2 in een vast punt Vz. Mz is hetsnijpunt van de middelloodlijnen van RUz en RVz.

FIGUUR 6 Bekijk van elke driehoek PQR hethoogtepunt H.

FIGUUR 9 Spiegel R in MoMzMh: R’.Van elke driehoek PQR gaat de Euler-rechte door R’.

FIGUUR 10 De gevonden lijn MoMzMh is de Euler-rechte van driehoek RC1C2.

Cabri-stripverhaal

FIGUUR 3 Alle punten O liggen op een cirkel door R,met middelpunt Mo. Mo is het snijpunt van demiddelloodlijnen van RC1 en RC2.

FIGUUR 4 Bekijk van elke driehoek PQR hetzwaartepunt Z.

FIGUUR 7 Alle punten H liggen op een cirkel door R,met middelpunt Mh. RC1 snijdt cirkel-2 in Vh; RC2

snijdt cirkel-1 in Uh. Mh is het snijpunt van demiddelloodlijnen van RUh en RVh .

FIGUUR 8 De punten Mo, Mz en Mh liggen op eenrechte lijn. MoMz : MzMh = 1 : 2 (Euler-rechte). Driehoek PQR door de punten C1 en C2 heeft een Euler-rechte evenwijdig aan lijn MoMzMh.

InleidingDrie jaar heb ik met diverse groepen leerlingenmeegewerkt aan het APS-project DigitaleLeeromgeving Wiskunde. Dit project is geïnitieerd doorhet APS; drijvende kracht hierbij is Henk Staal (vooreen uitgebreid verslag van dit project verwijs ik naar[1]).In het kader van dit project verving ik gedeelten uit demethode Getal en Ruimte door digitaal lesmateriaal.Dit materiaal werd gemaakt met behulp van hetprogramma Studyworks. Leerlingen kunnen tijdens hetwerken aan de computer met dit lesmateriaal gebruikmaken van alle wiskundige mogelijkheden van hetpakket Studyworks. Wanneer een experiment met hetdigitale lesmateriaal ten einde was, had ik meestal eenontevreden gevoel vanwege het feit dat er geen follow-up was voor de leerlingen; ze werkten slechts een korteperiode met Studyworks. Daarom heb ik dit cursusjaareen follow-up gerealiseerd door leerlingen eenpraktische opdracht op te geven die verplicht metStudyworks gemaakt moest worden.Hieronder beschrijf ik hoe dit experiment verlopen is.

OrganisatieDe leerlingen maakten eerst kennis met Studyworks, inongeveer vier lessen. Daarna werkten ze het lespakket‘Differentiëren’ door. Dit lespakket verving hoofdstuk 3uit deel NG/NT1 (differentiequotiënt) en hoofdstuk 1uit deel NG/NT2 (differentiëren). Dit nam ongeveer15 lessen in beslag.Ongeveer een maand later startte de praktischeopdracht waarover dit artikel gaat.Ik had twee opdrachten gemaakt. Met opzet had ik eengesloten en een open opdracht genomen om deresultaten te kunnen vergelijken. De leerlingen werktenin groepjes van twee die ze zelf samenstelden. Elkgroepje kreeg één van de twee opdrachten. Welke datwas werd door het toeval bepaald, leerlingen kondendus niet zelf kiezen. Er stonden vier vrijdagmiddagen(12.30-16.00) voorgeschreven waarop het computer-lokaal gereserveerd was. Daarnaast konden deleerlingen in tussenuren of na schooltijd aan deopdracht werken. Dit was echter niet nodig. Zemoesten een logboek bijhouden en het eindverslagdigitaal inleveren.

PRAKTISCHE OPDRACHTEN METSTUDYWORKSEen experiment in de klas met een open en een gesloten praktischeopdracht, met inzet van digitaal lesmateriaal[ Ab van der Roest ]


DoelenBij een praktische opdracht toetsen we natuurlijkvolstrekt andere vaardigheden dan we normaal toetsen.Bij beide opdrachten wilde ik het internet gebruikenom de leerlingen op deze manier te laten merken dat erontzettend veel wiskunde te vinden is op het worldwide web. Door Studyworks te gebruiken wilde ik deleerlingen in staat stellen, gemakkelijk voorbeelden tekunnen narekenen en snel grafieken te kunnen maken.Verder hoopte ik dat ze door veel mogelijkheden teonderzoeken zelfstandig verbanden zouden ontdekken.Een vaardigheid die verder van de leerlingen verlangdwerd, was het maken van een verslag met Studyworkswaarin tekstverwerker, algebraprogramma engrafiekenprogramma geïntegreerd zijn.

SalviniaOpdracht 1 noem ik ‘Salvinia’. Dit is een gedeelte uithet lespakket Groei. Het gaat over exponentiële groei.Het is een gesloten opdracht waarin de leerlingeneigenlijk sommen maken. Leerlingen konden nietvolstaan met het uitwerken van de sommen, maar zemoesten van de uitwerkingen van de opgaven eengoed lopend verhaal maken waarin de opgaven zelfniet meer voorkwamen. Bovendien was er eeninternetopdracht zodat de leerlingen zouden ontdekkendat het beschreven plantje Salvinia werkelijk bestaaten dat de opgaven realistisch waren (zie figuur 1waarin twee van de opgaven).

Resultaten ‘Salvinia’De resultaten waren goed, dat wil zeggen dat deleerlingen kans hebben gezien de opdrachtenzelfstandig uit te werken en dat ze tot goedeoplossingen kwamen. Verder was het verrassend dat deleerlingen het programma Studyworks goedbeheersten, en gemakkelijk grafieken produceerden enberekeningen lieten uitvoeren. De verslagen zagen ergoed uit en de leerlingen hebben het realistischekarakter van de opdrachten goed begrepen.

Tweede- en derdegraads functiesOpdracht 2 noem ik het classificeren van tweede- enderdegraads functies. De leerlingen hadden als

voorkennis uit de onderbouw en uit een eerderhoofdstuk dat tweedegraads functies als grafiek altijdeen parabool hebben, dat dit een berg- of dalparaboolis, en dat de grafiek geen, één of twee snijpunten met dex-as heeft (hoofdstuk 1 paragraaf 1.4 uit deel NG/NT2).Ze hadden ook geleerd dat toppen van een grafiek metbehulp van de afgeleide functie te vinden zijn.Ze moesten nu onderzoeken of er een classificatiemogelijk is bij derdegraads functies net als bijtweedegraads functies. Als internetopdracht moestende leerlingen de formule van Cardano opzoeken.

In figuur 2 staat de complete opdracht. Deze isaanzienlijk korter dan ‘Salvinia’, maar juist daardoorwerd veel meer eigen inbreng van de leerlingenverondersteld.

Resultaten ‘Classificatie’Ondanks het feit dat de leerlingen eerst weer detweedegraads functies moesten aanpakken, kwamen zeniet door de opdracht heen. De opdracht was bewustruim gegeven, zeker ook omdat de leerlingen altijdhulp van mij mogen inroepen. Het vragen om hulp

gebeurde weinig. Ik denk dat leerlingentoch een soort angst hebben om vragen testellen omdat ze bang zijn dat hun cijferdaardoor lager wordt. De internetopdrachtwas geen groot probleem. Het lastigstewas dat de leerlingen Engels moestenlezen. De verslagen die ingeleverd werdenwaren qua inhoud onvoldoende, maaromdat ook vaardigheden alscomputergebruik en het maken van hetverslag beoordeeld werden kregen demeeste leerlingen toch wel een voldoendevoor deze praktische opdracht.

Ervaringen en conclusies- Het digitaal inleveren gaf problemenomdat de schijfjes niet altijd leesbaarwaren of omdat bestanden te groot warenvoor een schijfje. De volgende keer zal erdus ruimte op de harde schijf geclaimdmoeten worden.- De leerlingen hebben opvallend weinighulp gevraagd.- Een gesloten opdracht biedt garanties opeen goed resultaat. Het onbevredigende isdat er geen beroep gedaan wordt op heteigen initiatief van de leerlingen.- Bij een te open opdracht komenleerlingen niet zelfstandig tot een goedeindresultaat. Het is voor leerlingen heelmoeilijk om leerstof toe te passen in eengeheel nieuwe situatie. Omdat ze tochweinig vragen, moeten er misschienverplichte tussentijdse besprekingeningelast worden.- Voor een volgende keer is het een mooieuitdaging om een goede middenweg tevinden tussen een open en een geslotenpraktische opdracht.

Noot

[1] Henk Staal: Project digitale leeromgeving

wiskunde, Euclides 76 (5), pp.205-209 (2001)

Over de auteur

Ab van der Roest (e-mailadres: [email protected])

is werkzaam aan het Ichthus College te Veenendaal.


FIGUUR 2

FIGUUR 1

LANGE LIJN IN DEONTWIKKELING VANONDERZOEKSVAARDIGHEDENEen eerste verkenning aan de hand van een inventarisatie en eencase in 3-vmbo [1][ Martha Witterholt ]

Case: lesobservaties in 3-vmboEind 2001 heb ik, ter oriëntatie op wat er nu preciesgebeurt in het voortgezet onderwijs aan praktischeopdrachten en onderzoekjes, een aantal lessengeobserveerd in een 3-vmbo klas (ik heb ook een dagmeegelopen met een aantal leerlingen uit 5-gymnasium;deze observaties komen nu niet aan de orde).Op 28 november 2001 krijgt klas 3-vmbo de allereerstepraktische opdracht voor het vak wiskundegepresenteerd. De docent deelt een instructie uit oppapier (zie figuur 1) en licht deze mondeling toe. Deleerlingen werken in groepjes van twee die de vorigeles al gemaakt zijn.Nadat ik me heb voorgesteld aan de groep en uitgelegdwat ik kom doen, namelijk twee groepjes observerenterwijl ze aan de opdracht werken, mag ik twee duo’suitzoeken die wel geobserveerd willen worden. Ja, ikheb duo’s voor het uitzoeken: bijna alle leerlingenstaken de vinger op! Natascha en Erik worden op devideo opgenomen terwijl ik af en toe bij Daniël enJurgen kom zitten om te kijken hoe ze aan het werkzijn en hoe ze overleggen.De leerlingen mogen meteen aan de slag met deopdracht, te kiezen uit ‘Quetelet’ of ‘Cirkels’(zie figuur 2 en figuur 3).Opvallend is dat de meeste leerlingen meteen naar dedocent stormen om een gekleurd A4-tje te halen voorde voorkant van het werkstuk. Vervolgens verdelen zede taken: meestal gaat één leerling met de opdrachtenaan de slag, terwijl de andere leerling op het interneteen plaatje gaat zoeken en de voorkant gaat maken.Weinig overleg, niks nadenken over de opgave!Deze leerlingen vinden het leuk om een werkstuk temaken, omdat ze dan samen mogen werken,informatie mogen zoeken op internet, het in de klasniet rustig hoeft te zijn (en het daardoor dus gezelligeris) en ze in het algemeen meer doen dan tijdens eengewone les. De nadelen zijn volgens deze leerlingendat het maken van een werkstuk veel tijd kost, datsommige personen meer doen dan anderen, dat devragen moeilijk zijn en dat je er thuis aan moetwerken.Bij de tweede observatieles mogen Natascha en Erik ineen rustig lokaal op de laptop van de docent werken.Erik besluit dat het ècht belangrijk is om meteen op hetinternet te gaan zoeken naar een plaatje voor de

voorkant. Mijn subtiele hint dat ik graag wil weten hoeze samenwerken aan een opgave, wordt genegeerd.Zo gezegd, zo gedaan. Erik gaat zoeken op internet enNatascha gaat verder met het maken van de opgaven.Ze typt de vraag uit het boek over en vervolgens typtze het antwoord.Even later zit ik bij Daniël en Jurgen. Jurgen maakt deopgaven op de bijgeleverde werkbladen, Daniël typt devragen uit het boek over.Eerst snap ik niet waarom beide tweetallen druk zijnmet het overtypen van de vragen. Daarna lees ik in deuitgedeelde opdracht (zie figuur 1):‘Werk de opdrachten samen uit. Maak daar een netteuitwerking van met de opdrachten erbij, zodat alsiemand jouw opdracht leest, hij al meteen weet waarhet over gaat’.Aha, dat is het dus. In plaats van in het antwoord devraag te verwerken, wat de bedoeling van de docentenwas, typen deze leerlingen gewoon de vraag over.Duidelijker kan immers niet?Ik: ‘Ik wil ontdekken hoe jullie een probleemaanpakken. Sommige groepjes overleggen, anderenverdelen de taken, zoals jullie. Voor mij is hetinteressant om te zien hoe jullie overleggen.’Daniël besluit om samen de vragen te gaan maken(voor mij). Met wat hulp van mij, onder andere door teverwijzen naar een voorgaande opgave over hetbepalen van het middelpunt van een cirkel, kunnenJurgen en Daniël anders dan door meten hetmiddelpunt van een willekeurige cirkel bepalen.Tevreden met het geboren inzicht ga ik terug naarNatascha en Erik. Natascha werkt nog steeds aan deopgaven, terwijl Erik een voorkant op de computerheeft gemaakt. Opnemen had weinig zin vandaag!Op woensdag 5 december ben ik alweer voor de laatstekeer te gast bij Natascha, Erik, Daniël en Jurgen. Aanhet einde van deze les moeten de werkstukken wordeningeleverd. Ik heb één korte les gemist, zodat ik evenweer moet kijken waar iedereen mee bezig is. Erik zitin het computerlokaal en schrijft het voorwoord.Natascha moet nog twee vragen maken. Zij zit net alsde vorige keer in een apart lokaal waar ze de laptopvan de docent mag gebruiken.Onder ‘druk’ van de docent en mij gaan Erik enNatascha de laatste twee vragen samen maken.Althans, dat is de bedoeling. Erik loopt weg om een

perforator te halen, Natascha typt rustig door. Als weernaar vragen blijkt Erik niets te weten van de vragendie Natascha al heeft beantwoord.Intussen is bij Jurgen en Daniël het opslaan gisterenmisgegaan. Het voorwoord en de uitleg op de vragen isspoorloos. De antwoorden op de vragen hebben ze nogwel, die staan op de werkbladen.Natascha en Erik overleggen over de laatste vraag.Erik leest mee; de eerste keer dat hij bij hetbeantwoorden van een vraag is betrokken en zodoendewellicht nog iets van het onderwerp meekrijgt!Jurgen en Daniël zetten het voorwoord op een disketteen doen deze bij de werkbladen voor de docent.Printen kan immers niet meer en bovendien heeft zeeen laptop, dan kan ze thuis het voorwoord lezen!Als ik langskom tekenen Daniël en Jurgen cirkels op devoorkant.Ik: ‘Hoe doen jullie dat nu met de uitleg op de vragen?’Daniël: ‘Zullen we dat er nog maar even bijzetten dan?’Docent: ‘Het is 5 over 9. Over 5 minuten moeten julliehet verslag inleveren.’Daniël meteen: ‘Lever maar in!’Jurgen: ‘Ach ja, de rest van de vragen is ook weerhetzelfde.’Natascha typt het voorwoord uit. Het werkstuk is klaarom ingeleverd te worden.Het verslag van Natascha en Erik ziet er verzorgd uit.Op de voorkant prijkt een weegschaal en alle vragenen antwoorden zijn getypt. Ieder A4-tje zit in een

plastic mapje, maar de tekeningen die bij debetreffende opdrachten geplakt moeten worden, zijnapart bijgevoegd, dus niet geplakt. Over desamenwerking kunnen we kort zijn; er is amperoverlegd. Natascha deed het denkwerk en Erikscharrelde wat plaatjes en andere benodigdheden bijelkaar. Opnames maken van dit groepje, maarwaarschijnlijk ook van elk ander groepje uit deze klas,heeft weinig zin gehad.Het verslag van Daniël en Jurgen is een ander verhaal.De voorkant heeft duidelijk met het onderwerp temaken, al vallen de met potlood getekende cirkels eenbeetje in het niet op de roze ondergrond. Na de inhoudvinden we meteen de slordige werkbladen met deuitleg tot en met opgave 2 (deze hebben we nog samengemaakt, zie eerder in de tekst). Daarna vinden we eenoverzicht van de opgaven, die Daniël heeft uitgetyptmaar niet voorzien heeft van de antwoorden. Dediskette is bijgevoegd voor de docent, zodat ze hetvoorwoord kan lezen. Op mijn verzoek wilden Daniëlen Jurgen best samenwerken, maar als ik weg was,gingen ze beiden weer hun eigen gang. Als ik erbij zaten vragen stelde, ging het samenwerken overigensprima en kwamen ze op goede ideeën.Op het gebied van samenwerken en verslagleggingmoeten deze leerlingen nog veel leren. Wellicht moet jedaar als docent ook veel aandacht aan besteden. Nietalleen de opdracht beschrijven, maar ook aangevenwat je bedoelt en de groepjes hun (gezamenlijke)activiteiten (tussentijds) laten rapporteren blijkt nodig.

Introductie en de plaats vanonderzoeksvaardighedenUit eigen onderzoek op een tiental grotescholengemeenschappen in het noorden van Nederlandin de zomer van 2001 bleek dat op geen enkele schoolvoor het vak wiskunde een plan klaar ligt rondom hetuitvoeren van praktische opdrachten, laat staan dat ereen programma bestaat voor het ontwikkelen vanonderzoeksvaardigheden bij leerlingen. Bovendienbleek dat naast het ‘kennismaken met het uitvoerenvan een praktische opdracht’ eigenlijk amper doelenworden geformuleerd door docenten rond het makenvan praktische opdrachten. Het lijkt alsof ‘het is nueenmaal verplicht, ze moeten het gedaan hebben’ deeerste en enige reden is voor het reserveren van tijd(liever nog buiten de les dan erin) voor het maken vaneen praktische opdracht. Bovendien geven debetrokken docenten aan, de tijd hard nodig te hebbenvoor het bespreken van de ‘reguliere’ leerstof.Conceptueel is het dus vaak onduidelijk watonderzoeksvaardigheden precies zijn en hoe daarsystematisch in de verschillende leerjaren aandachtaan kan worden besteed. Bovendien varieert deuitvoering van dit type activiteit sterk met depersoonlijke opvattingen van de docent of dewiskundesectie.In het kader van dit onderzoekstraject wordt onderandere gestreefd naar het ontwerpen van opdrachtendie als prototype kunnen dienen voor deonderwijspraktijk.


FIGUUR 1

Bij de door de docent aangedragen onderwerpenspeelde feitenkennis een minder belangrijke rol. Voorwat betreft het onderwerp over cirkels was wel watinzicht nodig. Jurgen en Daniël zijn door middel vande gekozen probleemaanpak (van een specifiekvoorbeeld naar een willekeurige cirkel, Weten hoe)verder gekomen in het abstraheren (Weten waarom),zodat ze het middelpunt van een willekeurige cirkelkonden bepalen. Tenslotte wil je graag dat leerlingeniets van een opdracht leren, zodat ze het een volgendekeer anders, beter zelfs, zullen doen. Hiervoor moet eenleerling aan het einde van een opdracht nadenken overhoe het oplossen van een probleem is gegaan, hoe hijtot de oplossing is gekomen en wat hij de volgendekeer anders zou doen (reflectie, Weten over weten). Ophet moment dat de docent aangeeft dat het verslagover 5 minuten ingeleverd moet worden, zegt Daniëlmeteen: ‘Lever maar in’. Even overdenken zat er nietmeer in.

VervolgonderzoekDe volgende vragen lijken voor ons vervolgonderzoekrelevant:1. In hoeverre slagen leerlingen er in om hunwiskundige kennis (Weten dat) te benutten voor hetaanpakken van hun onderzoeksopdracht?2. In hoeverre ontwikkelt zich in de loop der tijd bij deleerlingen een systematische onderzoeksaanpak (Wetenhoe)?

Typen kennis bij de leerlingen van klas 3-vmboIn zijn oratie heeft Van Streun onderscheid gemaakttussen verschillende typen kennis [2], namelijk Wetendat (feitenkennis), Weten hoe (probleemaanpak enonderzoeksvaardigheden), Weten waarom (principes,abstracties, overzicht, cognitieve schema’s) en Wetenover weten (reflecteren, monitoren).In deze paragraaf bekijken we hoe het met deleerlingen in klas 3-vmbo is gesteld voor wat betreftdeze typen kennis.Zoals al eerder opgemerkt was deze opdracht de eerstepraktische opdracht voor wiskunde voor dezeleerlingen. Dit is natuurlijk van invloed op desamenwerking tussen leerlingen. Samenwerken moetenze leren en het is bovendien meer dan alleen hetverdelen van taken (samenwerkingsvaardigheden,Weten hoe). Je moet weten van elkaar wat je doet en jemoet je groepsgenoot bijpraten als dat nodig is. Bij deleerlingen in 3-vmbo had ieder een eigen taak en wistbijvoorbeeld Erik niet wat Natascha aan het doen was.Jammer, want leerlingen kunnen elkaar zoveel leren.Misschien is het goed om leerlingen een logboek vanactiviteiten bij te laten houden. In dit logboek kan dedocent aangeven wat belangrijk is, bijvoorbeeldmomenten van overleg tussen groepsleden, informatievan internet scannen op geschiktheid en rapportage bijde docent. De docent kan de leerlingen dan aansporentot nadenken en overdenken (monitoren, Weten overweten).

Figuur 2 Uit: Netwerk, 3 mavo/vmbo (k)gt, p.101(Wolters-Noordhoff)

3. Welke positieve en/of negatieve effecten hebben deverschillende vormen van hulp en voorstructureringvan een opdracht (niveaus van Weten hoe)?4. Wat zijn de effecten van de verplichting om over heteigen denken en samenwerken (Weten over weten) terapporteren in een eindverslag?5. Wat is een bruikbare hiërarchische structuur van deexpliciet te formuleren onderzoeksvaardigheden?

Voor het verkrijgen van wetenschappelijke kennis overde geschetste problematiek ontwerpen we in eersteinstantie kleinschalige onderwijsexperimenten, waarinde verschillende onderzoeksopdrachten systematischop een aantal variabelen worden gevarieerd. Doormiddel van een aantal startopdrachten brengen we debeheersing van de genoemde vaardigheden in kaart,waarna leerlingen door middel van opdrachten hunonderzoeksvaardigheden moeten ontwikkelen. Dievaardigheden moeten ook voor de leerlingen explicietworden geformuleerd en door middel van reflectie ophet eigen werk worden verankerd. Uitvervolgopdrachten moet blijken of hun werkwijze in deloop van enkele jaren is verbeterd.

Noten

[1] Met dank aan Jan Folkert Deinum (RuG, UCLO) voor assistentie bij

de verwerking van de vragenlijsten en dank aan de medewerkende

leraren Fenna de Groot, Wout de Goede en Afiena de Boer.

Een samen met Anne van Streun geschreven uitgebreide versie van dit

artikel is te vinden in: J.F. Deinum, e.a.: Werken aan de kwaliteit van

onderwijs in de bètavakken, Bètawerkgroep UCLO (RuG, 2002).

[2] Zie ook A. van Streun: Heit en Kees, in Euclides 77-8 (2001), en

A. van Streun: Het denken bevorderen, rede uitgesproken bij de

aanvaarding van het ambt van hoogleraar in de Didactiek van de

Wiskunde en de Natuurwetenschappen (RuG, 2001).

Literatuur

- D.C. Edelson: Realising Authentic Science learning through the

Adaptation of Scientific Practice, in: B.J. Fraser, T.G. Tobin (eds.):

International Handbook of Science Education, Kluwer Academic

Publishers (1998).

- National Research Council: National Science Education Standards,

National Academy Press (Washington, 1995).

- G. Polya: How to solve it, Princeton (1946).

- L.W. Anderson, D.R. Krathwol: A Taxonomy for Learning, Teaching

and Assessing, Longman (New York, 2000).

Over de auteur

Martha Witterholt (e-mailadres: [email protected]) is sinds

1995 werkzaam aan de Rijksuniversiteit Groningen, eerst alleen als

docent in de pre- en postdoctorale lerarenopleiding wiskunde, maar

sinds 2000 ook als onderzoeker.

FIGUUR 3 Uit: Netwerk, 3 mavo/vmbo (k)gt, p.53(Wolters-Noordhoff)

vakken. Het begrip EXO (examenopdracht waarinzelfstandig een (praktisch) onderzoek gedaan moestworden) bestond al lang voordat er zelfs maar sprakewas van de Tweede Fase. Bij het invoeren vanpraktische opdrachten is er op het web wel materiaalverschenen waarmee leerling en docent in het vakwiskunde hun voordeel kunnen doen.Uitputtend zijn is in het geval van het web onmogelijk,maar de adressen van een aantal interessante siteshiervoor zijn:

- www.phys.uu.nl/~wwwnatdc/lokaal/lokaal.html#exo- www.profielwerkstuk.net/helpdesk/vragenformulier.html- www.few.vu.nl/voorlichting/aanstaande/exoform-nl.html- http://www-exo.sci.kun.nl/- www.osc.tue.nl/profielwinkel/Default.htm- www.wisfaq.nl- www.betasteunpunt.rug.nl

De meeste van deze sites bieden daarnaast ook‘helpdesking’: een leerling met een probleem op hetgebied van wiskunde of natuurwetenschappelijk vakkan dat via e-mail of een web-formulier voorleggenaan een expert op het betreffende gebied. Dezeproblemen hoeven dus niet perse te zijn gerezentijdens een praktische opdracht, maar ook tijdensbijvoorbeeld een profielwerkstuk of een huiswerk-opdracht. De bewuste expert is uiteraard zo getraind dathij of zij niet zomaar antwoorden gaat geven, maar eenonderwijsleergesprek met de betreffende leerling probeertop te bouwen. De docent op school zal dus het procesvan de leerling goed moeten volgen, zodat er geenvertroebeld beeld ontstaat van de geleverde prestatie.

In dit artikel beperken we ons tot de sites die concreet,in feite kant en klaar lesmateriaal bieden. Daarnaast

InleidingSinds de invoering van de Tweede Fase in hetvoortgezet onderwijs in 1998 is het leren en hetlesgeven behoorlijk veranderd. In het schoolexamenzitten meer dan ooit opdrachten die niet alleen eenberoep doen op de kennis van de leerling in eenbepaald vakgebied, maar ook op bepaaldevaardigheden (zowel in algemeen als vakspecifiekgebied) en op een actievere onderzoekende houding.Vroeger had een leerling voor het vak wiskunde eenboek, een schrift en een docent (in willekeurigevolgorde). Dat heeft hij tegenwoordig nog steeds, maardaarnaast is een - vaak - uitgebreide mediatheekgekomen en is er vakspecifieke software (voor het vakwiskunde bijvoorbeeld Cabri, ORStat2000, Geocadabra,Vu-Grafiek, Vu-Stat, Dynasys, enzovoorts). Bovendienis er het world wide web, waarop een schat aaninformatie te vinden is wanneer men goed zoekt.

In het schoolexamen zitten tegenwoordig praktischeopdrachten. De wiskundemethoden doen suggestiesvoor onderwerpen die leerlingen daarvoor kunnenbestuderen en bijpassende onderzoeksvragen. Om hetgevaar van recyclen van uitgewerkte opdrachten tegente gaan en om de eigen geest en die van de leerlingenfris te houden kan het raadzaam zijn het web tegebruiken als bron van materiaal voor PO’s. Daarnaastbiedt het web behoorlijke mogelijkheden voor hetkiezen van een geschikt profielwerkstuk.Onder het motto ‘Een docent heeft nooit genoeg goedeopdrachten’ wordt in dit artikel ingegaan op dediensten die enkele websites bieden op bovenstaandgebied.

Het web, wiskunde en PO’sHet vak wiskunde heeft in het onderwijs bij lange naniet zo’n rijke traditie als het gaat om het doen vanzelfstandig onderzoek als de natuurwetenschappelijke

PRAKTISCHE OPDRACHTEN,PROFIELWERKSTUK EN HET WEB[ Jos Tolboom en Léon Tolboom ]


zijn er talloze goede sites met software, ideeën, appletsenzovoorts.Alle bovenstaande sites bieden goed materiaal; wijbespreken die laatste site uitgebreider, omdat wij alsbouwers van opzet en detail goed op de hoogte zijn.

Op de homepage van het Bètasteunpunt (zie figuur 1)staat een aantal links; kies ‘Leuke onderwerpen’ endaarna ‘Wiskunde’. Vanaf deze pagina kan een keusgemaakt worden uit op dit moment een veertigtalopgaven, die allemaal volgens een vast format zijnopgebouwd:<titel><leerstof><profielen><aantal slu><mogelijk te combineren met><oriëntatie><probleemstelling><probleemverkenning><plan van aanpak en eindprodukt>

Wanneer het onderwerp zich daarvoor leent, zit achterde eerste pagina per opdracht een ‘materiaal-pagina’waarop extra achtergrondinformatie is verzameld, nogmeer relevante websites, een java-applet of java-scriptwaarmee met het onderwerp kan wordengeëxperimenteerd. De gevolgde didactiek is die van hethalffabrikaat: met de gepresenteerde informatie wordteen leerling op weg geholpen bij de beeldvorming vaneen probleem en bij de mogelijke oplossingwijzen. Debedoeling is uiteraard dat een leerling zelf totactiviteiten komt. Het gepresenteerde materiaal is terbeantwoording van de twee bekende leerlingkreten:- Ik weet niet wat ik moet doen;- Ik weet niet hoe ik moet beginnen.Wanneer een docent niet opziet tegen veelbegeleidingswerk, is het vanaf deze site dus mogelijk

(groepjes van) leerlingen zelf een opdracht te latenuitkiezen, hetgeen motiverend kan werken.Gezien de vele uitwerkingen die er van vele opdrachtenop het web te vinden zijn komt een docent er bijna nietonderuit om het proces van vraagstelling naar rapportagete volgen en af en toe tussenproducten te controleren.Een oplossing waar de auteurs goede ervaringen meehebben, is een groepje leerlingen een eigen web-gebaseerde werkplaats te laten inrichten [1] en daar alsdocent ook een login voor te vragen. Zo kun je op gezettetijden kijken hoe de vorderingen in het project zijn.

Het web, wiskunde en profielwerkstukIn de eerste herziening van de Tweede Fase heeft detoenmalige staatssecretaris Adelmund de eis dat eenprofielwerkstuk meerdere profielvakken moet beslaangeschrapt. Het is nu aan de school om beleid op ditpunt te bepalen.Er zijn niet zoveel leerlingen die een profielwerkstukwillen maken voor alleen het vak wiskunde. Alstweede vak in het profielwerkstuk is wiskunde voor deprofielen Natuur en Gezond en – zeker - Natuur enTechniek vrijwel onontbeerlijk. De volgende sitesbieden zeer nuttige opstapjes (halffabrikaten) naar eenprofielwerkstuk over een origineel en aansprekendonderwerp waarin wiskunde een belangrijke rol speelt.

- www.phys.uu.nl/~wwwnatdc/lokaal/lokaal.html#exo- www.profielwerkstuk.net/helpdesk/vragenformulier.html- www.few.vu.nl/voorlichting/aanstaande/exoform-nl.html- http://www-exo.sci.kun.nl/- www.osc.tue.nl/profielwinkel/Default.htm- www.werkstuknetwerk.nl

Op de laatste site zullen we dieper ingaan omdat we erdoor eigen bijdragen goed in thuis zijn. Het betreft een


FIGUUR 1 Website van Bètasteunpunt voorscholieren

Noot

[1] Web werkplaatsen via bijvoorbeeld: www.blackboard.com,

www.projectplace.nl, www.viadesk.com, http://yahoo.groups.com,

www.clubs.nl, www.eproject.com

Over de auteurs

Léon Tolboom (e-mailadres: [email protected]) is docent

Wiskunde in het voortgezet onderwijs. Hij heeft meegewerkt aan het

Bètasteunpunt en is nu coördinator van de inbreng van de

Rijksuniversiteit Groningen aan het Werkstuknetwerk.

Jos Tolboom (e-mailadres: [email protected]) was docent

Wiskunde en Informatica en projectleider Bètasteunpunt. Hij is nu

docent en onderzoeker aan de faculteit der Wiskunde en

Natuurwetenschappen van de Rijksuniversiteit Groningen en tevens

projectleider van de invoering van de digitale leeromgeving aan die

Faculteit. Daarnaast is hij redacteur van Euclides voor de afdeling ICT.

website waarop momenteel acht universiteiten en eenhogeschool halffabrikaten voor profielwerkstukken(zogenaamde werkstukpakketten) gepubliceerd hebben.Deze werkstukpakketten zijn geschreven doorstudenten.

Ook op de site van Werkstuknetwerk (zie figuur 2)wordt het materiaal volgens een vast format geleverd:<beschrijving van en oriëntatie op het thema><mogelijke uitwerkingswijzen><mogelijke informatiebronnen><informatie over de studie van de auteur>

Doordat de werkstukpakketten geschreven zijn doorstudenten, is er veelal sprake van een onderwerpkeuze,moeilijkheidsgraad en presentatievorm die veelmiddelbare scholieren aanspreekt. Het moge duidelijkzijn dat er hier sprake is van een win-win situatie: demiddelbare scholen (lees: de docent) wordt werk uithanden genomen en de universiteiten kunnenrechtstreeks contact met scholieren krijgen en zichaldus profileren.

Tot slot dient vermeld te worden dat er diverse prijzenvoor profielwerkstukken te verdienen zijn. Zie voor eenoverzicht de overkoepelende site van een vijftaluniversiteiten (www.betasteunpunt.nl).

ConclusieOp het web zijn verschillende sites die goed materiaalbieden voor praktische opdrachten wiskunde en voorprofielwerkstukken waarin wiskunde een belangrijkerol speelt. Deze bieden voor veel docenten enscholieren een gewenste aanvulling op het in demethodes geboden materiaal en voor devervolgopleidingen een geschikte manier om deaandacht van aspirant-studenten te trekken.


FIGUUR 2 Website van Werkstuknetwerk

Een van de meest succesvolle reclameacties van deafgelopen jaren was die van de zogenaamde flippo’s,grappige ronde plaatjes verpakt in zakken chips. Debegeleidende reclameboodschap ‘spaar ze allemaal’leidde tot een aanzienlijke verhoging van de afzet. Ditis niet zo verwonderlijk, want om bijvoorbeeld 20flippo’s te sparen moet men gemiddeld aanzienlijkmeer dan 20 pakken chips verorberen. Hoeveel pakkenchips denkt de lezer in dit geval gemiddeld te moeteninslaan om de complete set flippo’s bij elkaar tesparen, uitgaande van één flippo per zak en eengelijkmatige verdeling van de flippo’s over dechipszakken?

Als we inderdaad uitgaan van één flippo per pak eneen uniforme verdeling van de flippo’s over de zakkenchips, dan kunnen we bij een groot aantal zakkenchips het volgende vaasmodel opstellen:

Een vaas bevat n balletjes genummerd 1, 2, …, n.We trekken met terugleggen balletjes uit de vaas totdatalle nummertjes verschenen zijn.Vraag: hoe groot is de verwachtingswaarde van hetaantal trekkingen?

We beginnen met het eenvoudige geval van slechts tweeballetjes. Bij de eerste trekking krijgen we uiteraard eennummertje dat we nog niet hebben. Daarna moeten wewachten totdat het tweede nummertje verschijnt. LaatX2 de stochast zijn die na de eerste trekking het aantaltrekkingen aangeeft tot en met het verschijnen van hettweede nummertje. Er geldt:P(X2 �k)�pqk � 1 (k�1, 2, 3, …) (1)waarin p de kans is op het tweede nummertje na deeerste trekking. Uiteraard is q�1 – p.De stochast X2 heeft een zogenoemde geometrischeverdeling.De verwachtingswaarde E(X2) van X2 is:

E(X2)� ��

k � 1kP (X2 �k)� �

�

k � 1kpqk � 1 �p �

�

k � 1kqk � 1 (2)

De laatste reeks in (2) is de afgeleide van de

meetkundige reeks ��

k � 0qk � , en dus is

E (X2)� p � ( ��

k � 0qk ) (3)

zodat

E (X2)� p � ( )� � (4)1�p

p�(1�q)2

1�1�q

d�dq

d�dq

1�1�q

Het gemiddeld aantal trekkingen tot en met hetverschijnen van het tweede nummertje is dus 1�

In ons vaasmodel is p� �12

� en derhalve moeten wegemiddeld 3 keer trekken om beide nummertjes te krijgen.

Uit het voorgaande kunnen we op eenvoudige wijze deverwachtingswaarde afleiden voor een vaas met n balletjes.Na de eerste trekking geeft de stochast X2 weer hetaantal trekkingen aan tot en met het eerste nog nietverschenen nummertje. Omdat er na de eerste trekkingnog n - 1 nummertjes niet verschenen zijn, heeft deze

stochast een geometrische verdeling met p� �n�

n1

�

Volgens (4) is de verwachtingswaarde E (X2)� �n�

n1

�

De stochast X3 geeft na het verschijnen van het tweede nummertje het aantal trekkingen tot en met hetvolgende nog niet verschenen nummertje. Aangeziener nu nog n�2 nummertjes niet verschenen zijn, heeft deze stochast een geometrische verdeling met

p� �n�

n2

�

De verwachtingswaarde van X3 is E (X3)� �n�

n2

�

De stochasten X4, X5, …, Xn definiëren we op eenzelfdemanier. Als Sn de stochast is die het aantal trekkingenaangeeft tot alle nummertjes verschenen zijn, dangeldt:Sn �1�X2 �X3 �…�Xn �1 �Xn

Voor de verwachtingswaarde E(Sn) van Sn vinden we:E (Sn )�1�E(X2)�E(X3)�…�E(Xn �1)�E(Xn)waaruit eenvoudig volgt:

E(Sn )�1��n�

n1

��n�

n2

��…� �n2

� � �n1

�

Het gemiddeld aantal trekkingen dat nodig is om alle nnummertjes te verzamelen, is dus

n(�11

� � �12

� � �13

� �…��n�

11

�� n1

�)

Voor n�20 vinden we dan een gemiddeld aantaltrekkingen van ongeveer 72.

Een mogelijke variatie van het probleem krijgen wedoor een of meer zeldzame flippo’s in de serie op tenemen. De lezer kan zelf nagaan welke invloed ditheeft op het gemiddeld aantal trekkingen.

Literatuur

G.R. Grimmett, D.R. Stirzaker: Probability and Random Processes,

Oxford University Press (1991).

1�p


Flippo’s[ Rob Bosch ]

Joska: ‘Het was een heel gedoe om alle afspraken eninterviews zelf te regelen. Het was ook best lastig omgebruik te maken van de profielvakken, maar wij zijnheel erg trots op het uiteindelijke resultaat!’In de vooropleiding moeten dus elementenaangebracht zijn waardoor leerlingen de gewensteverantwoordelijkheid aankunnen. Dat vraagt van dedocenten een wat andere rol. Alleen directe instructie(docentsturing) voldoet niet langer. Naarmate deschoolopleiding vordert zullen leerlingen steeds meermoeten aangeven welke accenten de docent in zijnlessen moet aanbrengen (gedeelde sturing). Dat vraagtom activerende lesvormen en een meer begeleidendefunctie voor de docent. Leerlingen moeten niet alleenkennis beheersen en kunnen gebruiken tijdens eentoets maar ze moeten deze kennis leren toepassen innieuwe praktijksituaties.Hoe bevorder je als docententeam dergelijkeleersituaties? Na diverse cursussen zijn we op het

InleidingLeerlingen in het havo en vwo sluiten hun school-loopbaan sinds de invoering van de Tweede Fase afdoor een profielwerkstuk te maken. Met dezezogenoemde ‘meesterproef’ laten ze zien welkevaardigheden zij in de loop van de tijd hebbenaangeleerd. Vaardigheden staan momenteel erg in debelangstelling omdat ‘kale’ kennis in de snelveranderende samenleving niet langer voldoet. Opschool worden deze vaardigheden onder andereingeoefend door leerlingen - op een actieve manier envaak in groepjes - praktische opdrachten te laten maken(zie ook het artikel van Martha Witterholt, pp.146-149).Binnen scholen is dan ook het accent verschoven van‘Kennis als Doel’ naar ‘Kennis als Gereedschap’ (zie [1]en [4]). Het inoefenen van vaardigheden start al alsleerlingen de middelbare school binnenstromen en gaatdoor tot in de examenklas.In dit artikel worden een aantal opmerkingen gemaaktover de aanpak van lange leerlijnen in de bètavakkenop het Greijdanus College te Zwolle. Verder komen deorganisatie en begeleiding van het profielwerkstuk aande orde. Ook wordt aandacht gegeven aan een systeemvan kwaliteitszorg.

Op weg naar zelfverantwoordelijk lerenLeerlingen die een profielwerkstuk maken nemen zelfactief de verantwoordelijkheid voor het bijbehorendeproces en voor het uiteindelijke product. Leerlingenzijn enthousiast!Joska uit 6-vwo bestudeerde samen met drie anderende ‘Emergency Room’ van een ziekenhuis. Hier wordenmensen na een ongeval binnengebracht voor deallereerste hulp. Ze ontwierpen een nieuw model om debehandelsnelheid te laten toenemen. Uiteindelijkpresenteerden ze dit aan de directie van het ziekenhuis.

OP WEG NAAR HETPROFIELWERKSTUKAanpak van lange leerlijnen in de bètavakken op het Greijdanus College te Zwolle[ Hans Vogelzang ]


FIGUUR 1 Het Adviesbureau

Greijdanus College in 2001 gestart met eenzogenaamde Expert Groep Activerend Leren (EGAL)onder begeleiding van het APS. Vanuit elke sectiedraait een collega mee die heeft toegezegd in eigenlessen te experimenteren met het toepassen van kennisin voor leerlingen nieuwe praktijksituaties.Een voorbeeld: Bij het vak scheikunde in debovenbouw van het vwo bespreken we niet alleen detheoretische achtergronden van polyesters, maarbieden we leerlingen (open) opdrachten aan over detoepassing van polyesters in verf. Ook verzorgt eenmedewerker van het chemieconcern DSM een gastles.Een aantal leerlingen bezoekt het DSM-laboratoriumen voert een profielwerkstuk uit bij het bedrijf. Zoervaren leerlingen aan den lijve hoe de aangebodenkennis in de praktijk functioneert.Een ander voorbeeld: De vaardigheden die leerlingenbij wiskunde hebben opgedaan met de grafischerekenmachine proberen we een plek te geven bij de

andere bètavakken. Daarbij kan gedacht worden aanhet oplossen van een tweede- of derdegraadsvergelijking bij de vakken natuurkunde en scheikunde,of aan het plotten van een grafiek met behulp vangegevens die verkregen zijn tijdens practica. Tijdensdit soort verwerkingsopdrachten hebben leerlingen hetinitiatief. Ze beheersen de grafische rekenmachine veelbeter dan de collegae die natuurkunde of scheikundegeven…De docent komt automatisch in een begeleidende rolterecht en de leerling ervaart hoe het vak wiskundeingezet wordt bij andere vakken.

Op weg naar het profielwerkstukBovenstaande voorbeelden geven aan dat vormgevenaan onderwijsontwikkelingen staat of valt met demotivatie van het onderwijzend personeel. Docentenmoeten betrokken en gestimuleerd worden om huneigen ideeën concreet te formuleren. Pas dan ontstaat

vruchtbare grond voor een onderwijsontwikkeling alsactief en zelfverantwoordelijk leren. Probleem is vaakhet fragmentarische karakter van allerleiontwikkelingen binnen een school. Bovendien zijndeze ontwikkelingen vaak afhankelijk van individueleinitiatieven van docenten. Er ligt vrijwel nooit eensystematische en structurele aanpak achter vanuit deschool. Daarom is het opstellen en aanpassen van eenProgramma van Toetsing en Afsluiting (PTA) en hetschrijven van studiewijzers een goede zaak. Hierinkunnen docenten hun creativiteit kwijt met betrekkingtot het onderwijsprogramma en ten aanzien vanbijvoorbeeld activerende werkvormen. Valkuil is datdeze documenten niet functioneren en onderin eenbureaula of boekentas belanden. Leerlingen moetenkunnen werken met de studiewijzers en de meerwaardeervan ervaren. Docenten moeten zien wat de winst isvan het door hen ontwikkelde PTA. Om dit te bereikenmoeten studiewijzers zo snel mogelijk geïntroduceerdworden binnen de school. Na de introductie in debovenbouw (1996), is een vereenvoudigde versie voorde derde klassen bedacht (1998). Hierna ontstond een‘terugroleffect’. Inmiddels wordt ook in de tweede klasen in de brugklas gebruik gemaakt van nogeenvoudiger studiewijzers. Geen opgedwongen keurslijfmaar een manier om leerlingen in de loop van hunschoolloopbaan steeds beter te leren omgaan metcomplexere studietaken. Stap voor stap wordt zo dezelfverantwoordelijkheid voor het leerprocesgestimuleerd.Iets dergelijks geldt ook voor de vaardighedenlijn opweg naar het profielwerkstuk. Het PTA staat (in eenuniforme lay-out) op de website van de school - goedbereikbaar voor leerlingen, ouders en docenten. Wiegoed leest ontdekt de doorgaande (vaardigheden)lijnbinnen de verschillende vakken van de Tweede Fase. Inde vierde klassen zijn de praktische opdrachteneenduidig, is de eigen inbreng van leerlingen relatiefgering en is de studielast meestal niet meer dan 10 slu.De docenten in de vierde klassen geven vaak eenverplichte hoofd-onderzoeksvraag. Een voorbeeldvanuit het vak ANW: ‘Maak een schematisch overzichtvan alle productiestappen van de synthese vanaluminium.’ Elk groepje leerlingen kiest een andere stofen verzint zelf een aantal deelvragen zoals: ‘Welkemilieumaatregelen moet de fabrikant nemen?’ Doordeze manier van werken leren leerlingen hoe je eenonderzoekje moet opzetten. Een reactie van eenleerling: ‘Ik vond het niet leuk dat we een verplichtehoofd-onderzoeksvraag kregen. Maar de systematischeaanpak en de systematische beoordeling kan ik denk iknu toch toepassen bij andere vakken.’Het PTA kan dus een heel goed instrument zijn om devaardighedenlijn in een vak of binnen een schoolzichtbaar te maken. Daarom komt op termijn in depersoneelskamer een groot bord (4 bij 2 meter) tehangen met daarop alle vakken en alle perioden. Elkvak noteert middels een kleurcode of een tekstbordjewelke vaardigheden geoefend of aangeboden worden ineen bepaalde periode (voor een voorbeeld zie figuur 3op pag. 156). Zo ontstaat ineens een totaaloverzicht


FIGUUR 2 Prikbord in het Adviesbureau

Begeleiding en beoordeling profielwerkstuk in6-vwoOp het vwo werken leerlingen in groepjes vantenminste twee personen aan een profielwerkstuk dateen verdieping geeft aan tenminste één van deprofielvakken. Alle leerlingen besteden tenminste80 studielasturen aan hun profielwerkstuk. In hetrooster zijn een paar dagen opgenomen die gebruiktkunnen worden: een rapportvergaderingsdag en eenstudiedag voor docenten. Verder mogen leerlingen – natoestemming van de adjunct-sectordirecteur - driedagen opnemen voor het afnemen van bijvoorbeeldinterviews of het uitvoeren van een experiment op eenuniversiteit. De laatste week voor de kerstvakantievindt er geen toetsweek plaats. Leerlingen kunnen dehele week besteden aan het afronden van hunprofielwerkstuk.Alle leerlingen zijn verplicht, op de laatste lesdag vanhet kalenderjaar een (mondelinge) presentatie te gevenover hun onderzoek. Bij deze presentaties nodigen we(groot)ouders, vrienden, vriendinnen, broers, zussenen de voorexamenklassen uit. Op zo’n presentatiedaggonst het hele gebouw van de activiteiten. Er zijntentoonstellingen van leerlingen te bezoeken,zelfgebouwde apparatuur is te bewonderen en overalvinden geanimeerde discussies plaats. Iedereen isenthousiast. Over betekenisvolle contextengesproken…Alle docenten uit de bovenbouw zijn betrokken bij debegeleiding van profielwerkstukken. Ook de docentendie geen examenklassen hebben of die geen profielvakgeven. Zo wordt werkdruk bij de docenten van deprofielvakken voorkomen en krijgt het profielwerkstukeen plek in de taak van alle docenten. Hiermee hopenwe te bevorderen dat docenten van niet-profielvakkeninzien dat de vaardigheden die zij door de jaren heenaanbieden ook van invloed zijn op de kwaliteit van hetuiteindelijke profielwerkstuk.

dat stimulerend zal werken voor onderling overleg enwellicht ook vakoverstijgende activiteiten zal bevorderen.Docenten kunnen gebruik maken van vaardigheden die aldoor collegae zijn ingeoefend met leerlingen.Een voorbeeld: De ANW-docent wil in periode 6 een‘Lagerhuisdebat’ organiseren. De voorbereiding vanzo’n debat kost veel tijd. Door nu gebruik te makenvan wat de leerlingen hebben geleerd bij biologie inperiode 2 (debatvorm in viertallen) wint hij tijd enmaakt hij effectief gebruik van de bij de leerlingenaanwezige voorkennis. Zo ontstaat samenhang in hettotale lesprogramma. Opdrachten worden voorleerlingen betekenisvoller, nu duidelijk is waarom eenbepaalde oefening gedaan moet worden. Er zijn veelmeer dwarsverbanden te ontdekken.Bij biologie werkt men in periode 1 de eisen voor eenverslag nog eens uit doordat leerlingen een ‘geslotenpracticum’ krijgen aangeboden. In periode 3 kan menbij ANW naar biologie verwijzen voor de eisen vooreen verslag en aandacht besteden aan het opstellenvan een goede onderzoeksvraag. Verder maakt hetoverzicht duidelijk dat de complexiteit van deopdrachten toeneemt. In periode 1 staat bij biologieeen ‘gesloten practicum’ op het programma. In periode6 voeren de leerlingen al een klein ‘eigen onderzoek’uit. Zo wordt expliciet gemaakt dat leerlingen steedsmeer zelfverantwoordelijkheid krijgen en toegroeiennaar hun ‘meesterproef’.De genoemde voorbeelden hebben steeds betrekking opde bovenbouw van havo/vwo. Wordt er dan nietsgedaan in de basisvorming? Jawel, maar daarvoorhebben we onvoldoende aandacht gehad. Aan deinvoering van de Tweede Fase hadden we de handenmeer dan vol. Nu de herijking van de basisvormingeraan zit te komen (2004) en de aansluitingsproblementussen basisvorming en Tweede Fase steeds beter inbeeld komen, wordt het tijd om de completevaardighedenlijn uit te schrijven.


FIGUUR 3 Gedeelte van een gevisualiseerd PTA voorde havo-afdeling (alleen de vaardigheden zijngenoteerd)

In totaal hebben we in de bovenbouw ongeveer140 groepjes aan het werk, ca. 90 op de havo-afdelingen ca. 50 op het vwo. Van deze 140 groepjes noemenslechts 9 groepjes wiskunde als een van de profiel-vakken die ze gebruiken. De vijf wiskundedocenten uitde bovenbouw begeleiden dus ook een aantal profiel-werkstukken waarbij wiskunde geen rol speelt. Voorvrijwel alle 9 groepjes geldt dat wiskunde gebruiktwordt als ondersteunend vak. Dit seizoen zijnleerlingen bezig met bijvoorbeeld de relativiteitstheorievan Einstein, het ontwerpen van een raket met eenPET-fles en met rekenen aan de meest ideale vorm vaneen binnenvaartschip.De eerste jaren werkten we met een procesbegeleideren een vakinhoudelijke begeleider. Dit onderscheid waste gekunsteld en werkte niet. Leerlingen vonden hetverwarrend om met twee begeleiders te werken, zekerals de onderlinge afstemming tussen de docenten nietoptimaal was. Nu werken we met één begeleider die ènhet proces volgt èn de inhoud beoordeelt. Als ervragen zijn bij de begeleider dan wel bij de leerlingen,dan kan een vakdocent worden geconsulteerd tijdenséén van de begeleide zelfstudie-uren. Dat gebeurtvooral als er twijfel is over het vakinhoudelijke niveauvan het geleverde werk.De beoordelingslijsten van het Cito hebben weinmiddels aangepast. Deze waren teveel procesgerichtwaardoor het moeilijk was, het inhoudelijke niveau tehonoreren. Het onderwerp van het profielwerkstuknoteren we op het diploma om aan te geven dat deschool het profielwerkstuk serieus neemt (zie verder:www.greijdanus.nl/adviesbureau en www.cito.nl).

AdviesbureauAls school willen we graag dat leerlingenprofielwerkstukken maken waarin ze antwoord gevenop voor hen betekenisvolle onderzoeksvragen.Daarmee bedoelen we dat leerlingen ‘iets met hunonderzoek moeten hebben’. Daarom is hetdecanaatsbureau - waar leerlingen zich kunnenoriënteren op hun toekomst - uitgebreid met eenzogenoemd ‘Adviesbureau’ (zie figuur 1 en 2 op pag. 154). Bij dit Adviesbureau kunnen bedrijven,instellingen en ouders onderzoeksvragen indienen.Leerlingen kunnen hieruit een keuze maken. Ookkunnen leerlingen hier advies krijgen hoe ze buiten deschool op een universiteit of in een bedrijf eenprofielwerkstuk kunnen uitvoeren. Zo zijn in 2000 en2001 toch zo’n 30 leerlingen op bezoek geweest bijdiverse instellingen als de Universiteit Twente en deTechnische Universiteit Delft (zie NVOX 2001, nummer 3). Zo hebben leerlingen een biogasinstallatieontworpen. Anderen hebben een ontwerp gemaakt omhet afvalwater van een autowasstraat te recyclen. Ookzijn we als school een samenwerkingsverbandaangegaan met de Universiteit van Amsterdam enDSM. Leerlingen kunnen dan hun profielwerkstuk bijhet bedrijf zelf uitvoeren. Zo ontstaat een intensievercontact tussen school en maatschappij. En leerlingenkrijgen een idee wat er speelt binnen een bedrijf ofinstelling.

Hoe blijf je op weg?Hoe zorg je ervoor dat het ingezette beleid nietverzandt? Elke sector (afdeling binnen school;bijvoorbeeld: bovenbouw havo/vwo of vmbo) steltieder jaar een activiteitenplan op. Daarin wordtbeschreven wat de plannen voor het komende seizoenzijn. Aan het eind van elk jaar wordt dit geëvalueerden worden prioriteiten gesteld voor het daaropvolgende seizoen. Er vindt niet alleen eenprocesmatige maar vooral ook een inhoudelijkebeoordeling plaats. Sinds september 2001 maken wegebruik van de zogenaamde PDCA-cyclus (Plan-Do-Check-Adapt). In het algemeen kan gesteld worden datmen binnen scholen vol enthousiasme begint aanallerlei ideeën. Wat vaak mist is een check-momentwaarbij gecontroleerd wordt of gedane beloftenwaargemaakt zijn. Tijdens de check-fase maken wegebruik van ‘kritische vrienden’, vaak afkomstig uit deeigen sector, soms ook van buiten de sector of zelfsvan een andere school. Pas als hun kritische,opbouwende analyse besproken is wordt vervolgbeleidafgesproken. De eerste ervaringen met dit eenvoudige,systematisch en zich periodiek herhalendzelfevaluatiesysteem zijn positief (zie [6], en verder ookwww.q5.nl).

Literatuur en noten

[1] M. Boekaerts in: J. Ahlers (et al.): Handboek Basisvorming (1994).

[2] S. Ebbens, S. Ettekoven: Effectief leren in de les,

Wolters-Noordhoff (Groningen, 1996).

[3] S. Ebbens, S. Ettekoven: Samenwerkend leren – Praktijkboek,


[4] S. Ebbens, S. Ettekoven: Actief Leren, Wolters-Noordhoff

(Groningen, 2000).

[5] E. Vos, E. Reehorst: Scenario’s voor actief leren,


[6] A. de Wolf: ‘Kijk eens wat vaker in de spiegel: scholen aan de slag

met zelfevaluatie’ in: SBM; maandblad van de besturenraad voor

schoolbestuur en management, nummer 8, april 2002, p.24.

[7] A. de Wolf: ‘Keep it small and simple’ in: Qvijver, jaargang 3,

nummer 3, juni 2002 , p.7.

[8] Handleiding ‘Profielwerkstuk’ (1998), te bestellen via www.cito.nl.

Websites

www.greijdanus.nl/profielwerkstuk

www.educatief-ontwerpen.nl

www.verhalendontwerpen.nl

www.q5.nl

Over de auteur

Hans Vogelzang (e-mailadres: [email protected]) is docent

scheikunde en algemene natuurwetenschappen aan het Greijdanus

College te Zwolle.


EEN PLAK- EN KNIPOPDRACHTVOOR 4-HAVO A12Een lezing volgen op een universiteit - en vervolgens met een ideevoor een praktische opdracht naar huis gaan…[ Gert de Kleuver ]

FIGUUR 1 FIGUUR 2

Contact WO/VOIn september 2001 werd voor de eerste keer eendocentendag aan de Katholieke Universiteit Nijmegengehouden. Uit de inleiding van prof. Keune bleek dathet aantal eerstejaars studenten wiskunde dramatischlaag was. Een aantal van negen eerstejaars isinderdaad niet erg hoopvol en zeker niet genoeg omeen faculteit te handhaven. Een eerste aanzet om decontacten tussen universiteit en voortgezet onderwijste verbeteren was de organisatie van deze dag,waarvoor men sprekers had uitgenodigd metverschillende boeiende onderwerpen.

Lezing van Van RooijTijdens de docentendag gaf prof. Van Rooij een lezingover knippen en plakken bij wiskunde. Deze lezingvormde voor mijn collega, drs. A.B. van der Roest, debasis voor zijn praktische opdracht voor een 4-havo-groep met profiel Economie & Maatschappij.Mijn collega gebruikte voor zijn praktische opdrachtalleen het verknippen van vlakke figuren, terwijlVan Rooij niet alleen het verknippen van vlakke,maar juist ook van ruimtelijke figurendemonstreerde.Van Rooij verknipte een kruis tot een vierkant om daarvervolgens een driehoek van te maken. Dit alles metbehoud van de oppervlakte. Van Rooij ging tijdens zijnlezing redelijk snel over op driedimensionale figuren,maar dat was voor de bestemde doelgroep, 4-havo, nunet een dimensie te ver.

De praktische opdrachtDe inleidende opdracht voor de leerlingen luidde:‘Verknip figuur 1 en maak van de stukjes een vierkant.’Niet alle leerlingen vonden dit een makkelijkeopdracht. Willekeurig knippen en plakken leiddebijvoorbeeld tot figuur 2.Een van de leerlingen, Joanne, die in eerste instantiemet deze onjuiste oplossing kwam, is vervolgens gaanrekenen met de oppervlakte en met de stelling vanPythagoras. Dit leidde alsnog tot de juiste figuur (ziede figuren 3a en 3b).Van Rooij liet tijdens zijn lezing zien dat elkewillekeurige veelhoek te verdelen is in driehoeken.Deze driehoeken zijn weer te herleiden tot rechthoekenmet zijde 1.Zo moesten de leerlingen een parallellogramverknippen tot een rechthoek en een driehoek tot eenparallellogram. Nu werd de eis gesteld dat er alleenvolgens rechte lijnen geknipt mocht worden - dit tervoorkoming van Escher-achtige figuren.Na deze knipoefeningen konden de leerlingen eendriehoek tot een parallellogram verknippen omuiteindelijk tot een rechthoek te komen. Een opmerkingin de tekst over een middenparallel zorgde voor nogalwat onrust. Die opmerking was bedoeld tervoorbereiding op de laatste vaardigheid (zie daartoefiguur 4): ‘Maak een rechthoek waarvan één zijdelengte 1 heeft.’Het midden werd meestal gevonden door de zijde op temeten. Veel leerlingen gebruikten de hokjes van het


FIGUUR 3a, 3b (boven) en 4 (onder)

- Meetkunde is geen item in het A12-programma, maarkan bij deze leerlingen wel een verrassende kijk opwiskunde teweeg brengen.- Deze opdracht kan in de toekomst wel gebruiktworden, maar dan zal de eindopdracht minder geslotenzijn. De leerlingen leren dat allerlei bekende figuren teverknippen zijn tot rechthoeken met zijde één.- Ideeën voor praktische opdrachten staan niet alleenin de schoolboeken of op de bekende sites op internet,ook een bezoek aan een bijeenkomst zoals dezedocentendag van de KUN kan een basis vormen vooreen praktische opdracht.

Met dank aan drs. A.B. van der Roest.

Over de auteur

Gert de Kleuver (e-mailadres: [email protected]) is

wiskundedocent en brugklascoördinator aan het Ichthus-College te

Veenendaal. Ook is hij lid van de redactie van Euclides.

ruitjespapier. Een constructie met de passer werdjammer genoeg niet gebruikt. Nu is dat ook niet teverwachten bij A12-leerlingen voor wie meetkundeniet in het programma opgenomen is (zie figuur 5).De slotopdracht (zie figuur 6) werd door enkeleleerlingen goed begrepen. Zij moesten een veelhoekverknippen tot een rechthoek met één zijde metlengte 1.Een leerling schreef: ‘Bij deze opdracht moet je allekennis gebruiken die je in de vorige opdrachten hebtopgedaan. Bij deze opdracht moest je de volgendestappen behandelen: driehoek – parallellogram –rechthoek – parallellogram met zijde 1 – rechthoek metzijde 1’.Vervolgens werkte zij alle stappen uit om de veelhoekte verknippen tot een rechthoek met zijde 1.

Slotopmerkingen- Sommige leerlingen werkten individueel aan dezelfdeopdracht. Dit vond meestal plaats buiten de regulierelessen. Zij moesten een logboek bijhouden waarin zijde gewerkte tijd moesten verantwoorden. Deuitwerkingen lieten duidelijk zien dat de leerlingeneigen werk hadden ingeleverd.- Enkele leerlingen kwamen redelijk goed door hetonderwerp heen. Veel leerlingen haakten af bij deopdracht om de figuur te knippen tot een rechthoekmet zijde 1. Het vinden van het midden van eenlijnstuk zal in een verbeterde versie van deze opdrachtmeer aandacht moeten krijgen.


FIGUUR 5 FIGUUR 6

Andere programma-onderdelen tijdens deze tweedagen:- twee hoofdvoordrachten, door R. Hartshorne enR. Dijkgraaf;- vier speciale sprekers: F. Beukers, B. Jacobs,J. Koenderink en K. Landsman;- 12 minisymposia (over o.m. cryptologie, didactiekvan de wiskunde, discrete wiskunde, geschiedenis vande wiskunde, en wiskunde toegepast);- presentaties van promotieonderzoek;- aangemelde voordrachten;- en meer …

Zie voor aanmelding en nadere informatie de website:http://www-math.sci.kun.nl/nmc2003/

Onder auspiciën van hetWiskundig Genootschaporganiseert de KatholiekeUniversiteit Nijmegen op 1 en 2 mei 2003 het 39eNederlands MathematischCongres.In verband met het 225-jarig bestaan van hetWiskundig Genootschap is

er een speciaal programma op donderdagmiddag 1mei:- een lustrumvoordracht door NobelprijswinnaarM. Veltman, eneen Symposium ‘Wiskunde, nodig en in nood’(H. Brandt Corstius, P. Nijkamp en J. Veldhuis).

Aankondiging / 39e Nederlands Mathematisch CongresNijmegen: donderdag 1 en vrijdag 2 mei 2003 [ Mascha Honsbeek ]


Wim GroenVan Euclides naar Felix Klein. Over het transformatie-meetkunde project van Rudolf Troelstra c.s.

Tineke Brinkman en Jan NielandStructuurrekenen, nog steeds ter zake?

En verderTentoonstelling over boeken en materialen uit de jaren‘50 en ‘60.Eenieder is uitgenodigd om een poster op te hangenen/of iets te exposeren.

Deelname door overmaking van € 22,- op giro4657326 t.n.v. HKRWO te Amsterdam (koffie, thee enlunch inbegrepen).Het symposium wordt mede mogelijk gemaakt doorsubsidies van de Nederlandse Organisatie voorWetenschappelijk Onderzoek (NWO), de NederlandseVereniging van Wiskundeleraren (NVvW), deNederlandse Vereniging tot Ontwikkeling van hetReken-Wiskunde Onderwijs (NVORWO) enondersteuning van het Freudenthal Instituut (FI).Contactpersoon: Ed de Moor ([email protected])telefoon 020-6121382 of 030-2635575 (Sylvia Eerhart).

Datum en plaats:zaterdag 17 mei 2003Hogeschool Domstad te Utrecht (Koningsbergerstraat 9)Tijd: 10.15 - 16.00 uur

Thema: Oude meestersReflecties op het didactische werk uit de jaren ‘50 en‘60 van Pierre van Hiele, Wim Bos, Rudolf Troelstraen Jan Nieland

Prof. Heinrich Bauersfeld (Bielefeld, Dld)What shall we do? - New demands for old perspectives(algemene inleiding).

Harrie Broekman en Pierre van HieleVectoren in en vanuit de visie van Pierre van Hiele.Over de methode ‘Van A tot Z’.

Fred Goffree en Harm Jan SmidDe klas kan verder. Het leerboek als hulpmiddel totzelfwerkzaamheid.De meetkundeboeken van Wim Bos (met video-interview van Wim Bos).

Aankondiging / HKRWO symposium 2003Symposium IX van de Historische Kring Reken- en Wiskunde Onderwijs

Hoe zwaar is een fietstocht?Nederlanders fietsen graag. Er zijn elke zomer heel watNederlandse fietsers te vinden op de flanken vanbergen zoals Mont Ventoux, Alpe d’Huez, Tourmalet enPuy de Dôme. Thuisgekomen brandt de discussie losover de zwaarte van de cols. En hoe kun je die zwaartevergelijken met een tocht door het Limburgseheuvelland? Is er een methode te vinden waarmee je dezwaarte van cols en heuvels onderling betrouwbaarkunt vergelijken? Typisch een realistische enongestructureerde vraagstelling die voor onzeleerlingen uitgangspunt kan zijn voor het lerenmodelleren.In het maandblad Fiets (no. 8, 1987) vraagt Jan Bijmazich af hoe zwaar het beklimmen van een col is. Voorhet schatten van die zwaarte formuleert hij eenwiskundig model, waar in de latere jaargangen vanFiets regelmatig op terug wordt gekomen. Aan de handvan die artikelen is voor leerlingen heel mooi tedemonstreren wat het maken, toetsen en gebruiken vaneen wiskundig model eigenlijk inhoudt. De meestegegevens uit dit artikel zijn ontleend aan hetmaandblad Fiets.

De aannamesVoor het opzetten van een wiskundig model moet jeeerst goed nadenken over alle factoren die een rolkunnen spelen. Het brainstormen over de variabelendie een rol kunnen spelen bij de bepaling van dezwaarte van een fietstocht tegen een berg of heuvel op,gaat vooraf aan het kiezen van de aannames. In dewerkelijkheid spelen deskundigen op hettoepassingsgebied een belangrijke rol in datkeuzeproces. In dit voorbeeld volg ik Jan Bijma. Hijneemt als uitgangspunt dat een beklimming moeilijkeris naarmate de af te leggen weg een groter hoogte-verschil overbrugt en steiler is.

Een wiskundig modelDit is het moment om de leerlingen in groepjes eenformule te laten bedenken die ze op zelfbedachte colskunnen toepassen. Aanvullende informatie over deMont Ventoux (30 km weg en 1915 m hoog) en deAlpe d’Huez (34 km weg en 1780 m hoog) kan helpenom de realiteit in het oog te houden. Na wat discussiezijn er wel wat redelijke eisen te stellen aan de maatvoor de zwaarte, de index i. Bij gelijke steilheid s zaleen twee keer zo groot hoogteverschil h ook een tweekeer zo groot getal voor de index i moeten opleveren.En omgekeerd zal een col A die even hoog is als eencol B, maar twee keer zo steil, ook twee keer zo zwaarzijn als die col B. In het wiskundige model van JanBijma is de maat voor de zwaarte, index i genoemd,gelijk aan het hoogteverschil h in meters keer desteilheid s. Dat klopt met de voorgaande redelijkeaannames. De steilheid wordt gedefinieerd als hethoogteverschil h gedeeld door de weglengte w in km.De index i is nu in de vorm van de volgende formulevan Jan Bijma samen te vatten:De zwaarte i van een beklimming is:

i�h · s�h · �wh

�

Om de getallen wat beter hanteerbaar te maken wordtde index nog gedeeld door 10000, zodat de formulewordt:

i�h � �h �

(h is het hoogteverschil in meters, w is de weglengte inkilometers)Toegepast op enkele cols geeft dan voor de MontVentoux (richting west) de index 12,1, voor de Alped’Huez (richting zuid) wordt dat 9,2, de Tourmalet(richting west) geeft 10,9 en de Vaalserberg (vanuitVaals) komt op een zwaarte van 0,46.

h�10000w

s�10000

MODELLEREN VAN DE TOUR DE FRANCEOver een kerndoel van het wiskundeonderwijs[ Anne van Streun ]


Het model en de werkelijkheidZelfs aan de hand van dit eenvoudige model voor dezwaarte van een beklimming is snel vast te stellen dathet model in zijn algemeenheid niet de werkelijkheidbeschrijft. De zwaarte hangt van meer omstandighedenaf dan alleen van de twee variabelen die in de formulevoorkomen. Denk bijvoorbeeld maar aan het wegdek ofaan tegenwind of andere weersomstandigheden. Hetenige wat je kunt zeggen is dat bij overigensgelijkblijvende omstandigheden de bedachte index eengoede maat kan zijn om de zwaarte van verschillendebeklimmingen te kunnen vergelijken. Afgaande op dehellingen kun je zo de zwaarte van een fietstochtvoorspellen.Heel veel politieke, economische, medische en industriëlebesluiten zijn gebaseerd op voorspellingen over detoekomst waar een wiskundig model aan ten grondslagligt. Meestal kennen de betrokken beslissers datwiskundig model en de beperkingen van dat model nieteens. Je zou wensen dat alle beleidsmakers en politiciverplicht een cursus moeten volgen om te leren begrijpenwat een model inhoudt. Zij hebben een forsekennisachterstand op bijvoorbeeld de meteorologen, diewel weten dat zij met modellen van de werkelijkheidwerken. Zij kennen de beperkingen van hun wiskundigemodellen. En wij merken het direct als zij er naast zitten.Dat duurt bij die beleidsbeslissingen meestal langer…In algemeen vormend wiskundeonderwijs zou het lerenkritisch bevragen van modellen een belangrijk leerdoelkunnen zijn (zie de examenprogramma’s havo/vwo).

De gegevens uit de praktijkDit model voor de zwaarte van een col berust op tweeaannames die wellicht aan te vechten zijn. Hoe kunnenwe onderzoeken of het model een acceptabelebeschrijving van de werkelijkheid geeft? Daar hebbenwe gegevens van een echte toertocht voor nodig. InFiets (no. 4, 1988) beschrijft sportmedicus Kor vanHulten de sportmedische aspecten van ‘de zwaarstetoertocht ter wereld’ die gaat over 100 cols en ruim4000 km in Frankrijk. De liefhebber Jarich Renemaheeft die tocht gemaakt en zijn logboek levert degegevens over de gemiddelde snelheid per dag en deroute (zie figuur 1).Om het wiskundig model te kunnen toetsen heeft VanHulten vervolgens voor elke col de zwaarte i berekendin Jan-Bijma-Eenheden, afgekort tot JBE. De zwaarteper dag is vervolgens berekend door de zwaarte vanalle cols op te tellen (zie figuur 2).

De toetsing van het modelWe hebben nu twee maten voor de zwaarte van eentoerdag, namelijk de gemiddelde snelheid in km/u vanJarich Renema en het aantal JBE. De onderzoeksvraag moetnu scherp worden geformuleerd. Hoe goed voorspelt dieindex i in JBE de zwaarte van een col? Een lage gemiddeldesnelheid op een dag geeft aan dat de tocht op die dagzwaar was. Dat moet worden voorspeld door een hogewaarde van de zwaarte i, gemeten in JBE. Bijzondereomstandigheden daargelaten!


FIGUUR 3 Het verband tussen de gemiddelde snelheid en de zwaarte

FIGUUR 2 De zwaarte per dag in JBE

FIGUUR 1 De Tour de France van Jarich Renema

Het wordt tijd voor een plan om te toetsen of beidevariabelen redelijk bij elkaar in de pas lopen. Via eentabel waarin per dag de JBE en de km/u zijnweergegeven, komen we op figuur 3.Een grafiek is altijd een goede manier om enig zicht tekrijgen op een mogelijk verband tussen tweevariabelen. Uit de probleemstelling volgt dat devoorspelde zwaarte van een toerdag in JBE horizontaalmoet worden uitgezet (de onafhankelijke variabele) ende behaalde gemiddelde snelheid in km/u (de wellichtdaarvan afhankelijke variabele) verticaal.Klopt het wiskundig model voor de volle 100%, danmoet bij elke toename van de zwaarte de gemiddeldesnelheid afnemen. Sterker nog, uit de zwaarte moet degemiddelde snelheid zijn te berekenen. Maar zo werkteen model natuurlijk niet. Elke dag zijn er weer andereinvloeden, variabelen, die ook op de gemiddeldesnelheid inwerken. Toch willen we graag weten of hetmodel ongeveer klopt. Er lijkt een trendlijn in te zittendie goed bij de gegevens past. In de onderbouw kun jeop het oog een passende trendlijn trekken waarbijintuïtief het gewicht van elk punt wordt meegewogen.Met wat wiskunde of een grafische rekenmachine is debest passende lijn snel uit te rekenen. Naar behoeftekun je dan bij elke waarde van de zwaarte van eentoerdag de gemiddelde snelheid aflezen of met eenformule berekenen.

Hoe goed klopt het Jan-Bijma-model?We hebben nu wel een mooie lijn door de puntengetrokken, maar hoe goed past die lijn nu bij dewerkelijkheid, de echte gegevens van Jarich Renema? Ofbeter: hoe goed past het model van Jan Bijma voor dezwaarte van een tocht met cols bij de echte gemiddeldesnelheden van Jarich Renema? Voeren we de tabel vankm/u tegen JBE (zie figuur 3) voor alle 18 Tour-dagenin in een grafische rekenmachine, het programmaPowerPoint of een grafisch of statistisch programma, enlaten we de lineaire regressie van km/u op basis vanJBE berekenen, dan geeft dat een correlatiecoëfficiëntr�0,81. De gemiddelde snelheid is voor 66% (r2�0,66)te voorspellen uit het wiskundige model voor de zwaartevan een etappe, een redelijke mate van overeen-stemming tussen de formule van Jan Bijma en de echtgemeten gemiddelde snelheden van Jarich Renema.We hebben nu een fundamentele fout gemaakt, wantwe zijn onmiddellijk met alle praktijkgegevens gaanrekenen. Andere factoren dan de hoogte en lengte vande cols kunnen de zwaarte van een etappe beïnvloeden(zie daarvoor het genoemde artikel uit Fiets waarin hetlogboek van de eenzame fietser is opgenomen).Extreme uitslagen worden door die andere factorenveroorzaakt en zeggen niets over de waarde van hetmodel. Uit de grafiek van figuur 3 valt al op te makendat de achtste dag (13,6 ; 23,8) en de achttiende dag(29,1 ; 21,0) er wat raar uitschieten. Berekening (ziehierna) bevestigt dat. In zo’n geval rekenen we daarniet domweg mee door, maar laten we die uitschietersgewoon weg. Die zeggen niets over ons model.Berekenen we opnieuw de correlatiecoëfficiënt, nuvoor 16 dagen, dan blijkt die 0,91 te worden. Het

wiskundig model van Jan Bijma voor de zwaarte vaneen col verklaart blijkbaar 83% van de gemiddeldesnelheid per dag. Dat is een mooi resultaat! We kunnendaar in het vervolg gerust een beroep op doen bij hetuitzetten van een toertocht. De zwaarte is goed in teschatten, bijzondere omstandigheden daargelaten.

Modelleren als kernactiviteitEr is nationaal en internationaal weinig discussie overde vraag wat het belangrijkste leerdoel van algemeenvormend wiskundeonderwijs zou moeten zijn. Polyaschreef al dat het leren maken van een wiskundigmodel van een echte situatie centraal zou moetenstaan. Alle toepassingen van wiskunde draaien daarom. Je kunt vervolgens wiskundigen inhuren(tegenwoordig veelal mathematische softwaregebruiken) om aan dat model te rekenen, waarna deresultaten weer terugvertaald moeten worden naar deechte situatie. Waarschijnlijk blijkt dan dat het modelmoet worden bijgesteld, enzovoort. Het is merkwaardigdat het zo lang heeft geduurd voordat het modellerenzelf als belangrijkste onderzoeksvaardigheid explicietwerd onderwezen. In het hoger en universitaironderwijs werd het modelleren vaak uitgesteld tot deafstudeeropdracht, in het voortgezet onderwijs kwamhet nauwelijks voor. Nu is dat anders. Onderverschillende namen wordt in het hbo vanaf het eerstejaar werk gemaakt van het modelleren, terwijl aan deuniversitaire wiskundeopleidingen lange leerlijnenvoor het ontwikkelen van deze onderzoeksvaardigheidvan de grond zijn gekomen. Volgens de recenteonderwijsvisitatie gaan de ingenieursopleidingen vanTwente en Eindhoven in die ontwikkeling het verst.Vanaf het eerste jaar moeten studenten daar leren,grote en ongestructureerde probleemsituatieswiskundig te modelleren. De visitatiecommissieadviseert de andere universitaire opleidingen, datvoorbeeld te volgen.Ondanks mooie woorden in examenprogramma’s, voorhet eerst bij wiskunde A in havo/vwo, is in hetvoortgezet onderwijs nog weinig van het lerenmodelleren terecht gekomen. Net als aanvankelijk bijhet hbo en wo is er het gevoel dat de leerlingen eerstmaar veel wiskunde moeten leren voordat zij kunnenleren modelleren. Net als bij het hbo en wo hebbenwiskundeleraren de nodige twijfel bij het geven vanopdrachten waarvan de goede uitkomst niet bijvoorbaat vast ligt. Sterker nog, de enig goede uitkomstbestaat zelfs niet!

Berekening van de samenhang tussen model enwerkelijkheidAlle rekenwerk is aan machines uit te besteden, maarvoor een goed begrip is het soms te verdedigen datleerlingen ook eenvoudig en inzichtelijk handwerkmoeten leren uitvoeren. Zo is de Spearman-rangcorrelatiecoëfficiënt een eenvoudige maat voor hetverband tussen twee variabelen. De berekening gaat indit voorbeeld als volgt. De 18 gemiddelde snelhedenworden in volgorde genummerd van laag naar hoog.De 18 berekende indices voor de zwaarte van een


- Een wiskundig model makenOp grond van de aannames is een wiskundig model temaken. In dit geval is aangenomen dat de zwaarte ivan een beklimming evenredig is aan het teoverwinnen hoogteverschil h en aan de steilheid s vande weg:i�constante �h �sDe constante is vrij te kiezen en hangt mede af van de

gekozen eenheden en de wens er hanteerbare (nietextreem hoge of kleine) getallen uit te krijgen.- De beperkingen formulerenHet model is bij voorbaat niet onbeperkt toepasbaar enbeschrijft niet de gehele werkelijkheid. Lang niet allerelevant geachte variabelen zijn meegewogen.- Toetsing van het modelWil het wiskundig model de gebruiker kunnen helpenbij diens vraagstelling, dan moet het tenminste eendeel van de werkelijkheid beschrijven. De beste toets isdan ook het experiment of het verzamelen vanstatistieken over de situatie. In dit geval gaat het omeen beperkt experiment, de toertocht van één fietserdie elke dag ruim tien uur fietst. Zijn gemiddeldesnelheid per dag is een plausibele experimentele maatvoor de zwaarte van een etappe. Die twee variabelen,de berekende zwaarte op grond van het model en deexperimenteel vastgestelde gemiddelde snelheid,moeten redelijk bij elkaar in de pas lopen.- De sterkte van een samenhang onderzoekenDe eenvoudigste berekening is nog goed te volgen.Uitschieters mogen niet meedoen!

Wordt vervolgdHet kenmerk van modelleren is ook dat het nooit af is.Het kan altijd anders of beter of breder. Waar baserende bazen van de Tour de France bijvoorbeeld hunindeling van de cols in vijf categorieën op? Spoort datmet ons model? Leidt dat tot nieuwe inzichten? Waarhet op den duur om gaat is dat leerlingen zelf bewustde verschillende fasen en denkmethoden doorlopen enhun eigen aanpak daarop afstemmen.

Foto op pagina 162

Erik van Huuksloot, lid van W.C. De Waardrenner te Schoonhoven,

beklimt de Alpe d’Huez (zomer 2001)

Over de auteur

Anne van Streun (e-mailadres: [email protected]) is sinds

1974 werkzaam aan de Rijksuniversiteit Groningen als

wiskundedidacticus en sinds 2000 als hoogleraar in de didactiek van

de wiskunde en natuurwetenschappen.

etappe worden eveneens genummerd, van hoog naarlaag. Theoretisch moeten die rangnummers per dagprecies dezelfde zijn, want naarmate de zwaarte groteris moet de gemiddelde snelheid lager worden. In de tabel staan voor elke dag de rangnummers. In devierde rij staat het kwadraat van het verschil v tussenbeide rangnummers. Hoe groter v · v, hoe slechter hetmodel past bij de werkelijkheid.

Tellen we alle v2 bij elkaar op (notatie �v2), dan is dateen maat voor het niet bij elkaar passen van beidevariabelen voor 18 paren getallen. De Spearman-rangcorrelatiecoëfficiënt voor het wel bij elkaar passenvan twee variabelen is

r�1�

n is het aantal paren getallen, v is het verschil inrangordenummer binnen een paar.Als �v2 gelijk is aan 0, dan is de samenhang perfect,r�1.Aan de tabel is goed te zien dat de achtste en deachttiende dag uitschieters zijn: beide met een verschilin het kwadraat van 49, samen meer dan alle anderedagen bij elkaar.

TerugblikIn dit artikel heb ik laten zien dat ook op een relatiefeenvoudig wiskundig niveau alle belangrijke aspectenvan het wiskundig modelleren van een reële situatieaan de orde kunnen komen.Verschillende fasen en denkmethoden zijn teonderscheiden:- VraagstellingHet gaat soms om een situatie waarin een wiskundigmodel enige ordening kan aanbrengen. Of er isbehoefte aan het voorspellen van de verdereontwikkeling van de situatie. Of het lijkt gewenst omaan een kwalitatieve situatie een kwantitatieve metingte koppelen.- ProbleemanalyseEen uitgebreide analyse van de situatie en van hetdoel moet verhelderen welke variabelen allemaal eenrol spelen en wel of niet moeten wordenmeegenomen.- AannamesNiet alle variabelen zijn even belangrijk en niet allevariabelen zijn meetbaar of kunnen in een wiskundigmodel worden opgenomen. In het overleg tussen decontextdeskundigen en de wiskundigen wordenessentiële en bruikbare aannames geformuleerd. Alleenonder voorbehoud dat die aannames de situatieadequaat beschrijven is het model waardevol.

6�v2�n(n2 �1)


dag 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

zw 5 3 6 9 2 7 17 10 8 4 12 11 15 16 14 13 1 18

sn 6 1 4 10 2 8 14 3 7 9 12 13 18 16 17 15 5 11

v2 1 4 4 1 0 1 9 49 1 25 0 4 9 0 9 4 16 49


Een nieuw olympiade-boekVan vier positieve reële getallen a, b, c en d wordt elktweetal met elkaar vermenigvuldigd.Vijf van de zes uitkomsten zijn 2, 3, 4, 5 en 6. Wat isde zesde uitkomst?Dit is een opgave uit bovengenoemd boek, waarvan depublicatie mede mogelijk is gemaakt door een bijdragevan het WisKids-project. Het bevat de honderdmooiste, spannendste en leukste olympiade-opgavenvan de afgelopen twintig jaar. Negentig opgaven zijngekozen uit de eerste ronde en tien uit de tweede. Desommen zijn in zestien korte hoofdstukken naar thema

bij elkaar gezocht. Elk hoofdstuk bevat éénvoorbeeldoplossing, hints voor de andere opgaven eneen korte toelichtende tekst. De opgavenhoofdstukkenworden afgewisseld met hoofdstukken over wiskundigeachtergronden. De onderwerpen daar zijn meetkunde,breuken, decimale ontwikkelingen en irrationalegetallen. Het boek eindigt met een algemeen hoofdstukover problem solving. Leerlingen kunnen deze opgavenverzamelinggebruiken als training voor de wiskunde-olympiade,maar ook als verrijkingsstof naast de gewoneschoolwiskunde. Ook kunnen zij een eigen keuze uit deopgaven maken als basis voor een werkstuk overmeetkunde, combinatoriek, getaltheorie of een van devele andere stukken wiskunde uit het boek.Maar het hoofddoel van het boek is om te laten zienhoe leuk het is om zelf oplossingen te vinden vansommen waar je aanvankelijk kop noch staart aan kuntontdekken. Iedereen die zich aangesproken voelt doorbreinbrekers en hersenkrakers, zal aan deze bundel urenpuzzelplezier beleven. Haast ongemerkt maakt de lezerdan ook kennis met allerlei nieuwe stukken wiskunde,en vooral ook met de wiskundige manier van denken.

Het boek is verkrijgbaar in de boekhandel, maar het isook rechtstreeks te bestellen via de website van deNederlandse Wiskunde Olympiade:http://olympiads.win.tue.nl/nwo/

Doelen van WisKids zijn: enthousiasme voor

wiskunde bevorderen bij jongeren, het imago

van wiskunde verbeteren, jongeren uitdagen

via wiskunde, en belangstelling bevorderen

voor de exacte vakken. WisKids is een gezamenlijk initiatief

van het Wiskundig Genootschap (WG), de Nederlandse

Vereniging van Wiskundeleraren (NVvW) en de Nederlandse

Vereniging tot Ontwikkeling van het Reken-Wiskunde-

Onderwijs (NVORWO). Partners in WisKids zijn Ratio (KUN),

Perspectief (STW/NWO en NVvW), Vierkant voor Wiskunde,

Pythagoras, Wiskunde Olympiade en het Freudenthal Instituut.

WisKids werkt samen met APS en SLO. Financieel is WisKids

mogelijk gemaakt door het ministerie van OC&W, de Stichting

Axis en de Stichting Arbeidsmarkt en Opleiding Metalektro.

Meer informatie: www.fi.uu.nl/wiskids of per e-mail:

[email protected]

Verschenen / De Nederlandse Wiskunde Olympiade100 opgaven met hints, oplossingen enachtergronden Auteurs: Jan van de Craats en Thijs Notenboom

Uitgever: Stichting Nederlandse Wiskunde Olympiade • ISBN: 90 76976 12 0 • Prijs: €12,00

samenhangend geheel vormen, zullen ze de leerlingniets zeggen. Vaak wordt op scholen gewerkt met eenleerplan dat sterk rekening houdt met de beoordeling,en die beoordeling vindt dan meestal plaats in de vormvan korte en zeer beperkte toetsen. De vragen indergelijke gerichte toetsen worden soms kleinerendaangeduid als ‘afvinkbare onderwerpjes’. Zulkeonderwerpen kunnen heel geschikt zijn om devorderingen te beoordelen, maar ze vormen een zeerzwakke basis voor een samenvattend eindoordeel. Hetgebruik van dit soort toetsen is soms het gevolg vanhet feit dat begrip wordt gezien als iets watoverdraagbaar is. Men zou dit kunnen weergeven ineen karikaturale afbeelding waarop de leerling het legevat is waarin de leraar kennis moet gieten. Feitelijk isde ontwikkeling van begrip een organisch proces. Hetvereist betrokkenheid van de leerling.

De rol van praktische en/of concreteactiviteitenPraktisch bezig zijn lijkt belangrijk te zijn voor debegripsontwikkeling. Bruner (1966) beschrijft dezogeheten ‘enactive’, ‘iconic’ en ‘symbolic’ fasen[concreet niveau, schemaniveau en theorieniveau; zieVan Hiele, Lagerwerf e.a. Deze niveaus worden hiernaaangegeven met opvolgend A, B, C; red.], waarop dewereld kan worden weergegeven en die de leerlingmoet doorlopen om eigen ideeën te ontwikkelen [1].Praktische activiteiten dienen een zeer belangrijke rol

DoelPraktisch en concreet bezig zijn is uiterst belangrijk bijhet ontwikkelen van begrip, het moedigtniveauverhoging aan tussen de concrete, schematischeen theoretische fasen, het belicht misvattingen enverschaft de leerling de gelegenheid terug te vallen opeen eerdere fase. Er zijn ook aanwijzingen dat het lerenvan wiskunde in contexten zorgt voor een groteremotivatie en bijdraagt aan het ontwikkelen vanvaardigheden om problemen aanschouwelijk te makenen dan op te lossen. Ondanks deze voordelen wordtpraktisch werken zelden toegepast bij de lessenwiskunde in het vervolgonderwijs. De meeste lerarenwijten dit aan de beperkte tijd.In dit artikel wordt de rol van praktische activiteitenbesproken bij het ontwikkelen van een ‘holistische’visie op de wiskunde, en er wordt een specifiekvoorbeeld uit de klas gegeven. Met een holistischebenadering bedoelen we hier het opzetten van eentotaal netwerk van concepten. De wiskundigeelementen worden dus niet afgebroken tot stukjesinformatie zonder onderling verband; het geheel isgroter dan de som van de delen.

InleidingLeermethoden voor wiskunde bevatten een grootaantal feiten en technieken. We kunnen dezerangschikken in ‘families’ (differentiaalrekening,algebra, …), maar als deze feiten en technieken geen

PRAKTISCH WERKEN: HAAL ERALLES UIT!De waarde van praktisch werken wordt in het basisonderwijs allangerkend. Veel leraren beseffen dat leren-door-doen een meerwaardeheeft boven leren door te kijken of te luisteren.[ Ruth Forrester en John Searl ]


te spelen bij het ondersteunen van het leerproces indeze drie manieren van weergeven. ‘Voor de meestekinderen is praktisch werken de meest doeltreffendemanier om wiskundig begrip te ontwikkelen. Het steltze in staat te bepalen welke wiskundige ideeën vaninvloed zijn; vervolgens wordt van het hanteren vanechte objecten overgestapt op de fase waarin, alsweergave van deze objecten, beelden of schematischevoorstellingen kunnen worden gebruikt om tot slot delaatste fase te doorlopen waarin symbolen wordengebruikt die op een abstracte manier kunnen wordengemanipuleerd’ (Cockcroft Report, 1982).Pirie (1992) beschrijft een gedetailleerdere hiërarchievan fasen die worden doorlopen om tot begrip van eenidee te komen, en een proces waarbij de leerlingterugvalt op een eerder begripsniveau wanneer hetbestaande, geformaliseerde onderwijs onvoldoendehouvast biedt om een nieuw probleem het hoofd tekunnen bieden. Praktisch bezig zijn wordt beschouwdals ondersteuning van dit proces, aangezien devroegere niveaus in het denken van de leerling goedtoegankelijk zijn in de vorm van een concreetvoorbeeld. Behalve dat het leerlingen helpt omschema’s op te stellen en nieuwe ideeën te verwerken,kunnen de gebruikte materialen ook de middelenverschaffen om een idee te onderzoeken, met alsgevolg dat de leerlingen zelf constateren wanneer ersprake is van een foutief begrip en dat ze het nieuweconcept een plaats kunnen geven tussen eerderverworven concepten. ‘Bij het lesgeven aan een klastienjarige kinderen kreeg ik onlangs te maken mettwee meisjes die hadden geteld hoeveel bladzijden vaneen plaatselijke krant waren gewijd aan nieuws,advertenties, sport en zo verder. Ik vroeg ze welkgedeelte van de krant – uitgedrukt in een breuk – aanelke categorie was gewijd. Ze hadden breuken ‘gehad’,maar die vrijwel zeker nooit gebruikt. Hun eerstereactie was om van ‘19 bladzijden’ �

119� te maken, van

‘2 bladzijden’ �12

�, en zo verder. Toen ontdekten ze datvolgens hen de krant dan voor de helft was gewijd aangeboorte-, huwelijks- en overlijdensberichten en voorde helft aan bioscoopadvertenties. Deze interpretatievan resultaten waarmee ze zelf waren gekomen, wasdermate belachelijk dat ze opnieuw gingen nadenkenover wat breuken eigenlijk inhielden, met als gevolgdat ze met een verbeterde en juiste lijst breukenkwamen. Eén uur praktisch bezig zijn leerde ze meerover breuken dan uren rekenles’ (McIntosh, 1982).Praktisch werken kan leerlingen dus helpen inzien watze niet of niet goed begrijpen, en leraren kunnendaardoor vaststellen welke vaardigheden en ideeën hunleerlingen nog onvoldoende beheersen.

Door een gemis aan voldoende concrete ervaringkunnen leerlingen vaak problemen ondervinden.‘Afwezigheid van hogere-orde-vaardigheden(conceptuele structuren en algemene strategieën) isvaak een gevolg van onvoldoende variatie in deaangedragen praktijkervaring’ (DES, CurriculumMatters 3, 1985). Een dergelijk gebrek uit zich bij veelleerlingen gewoonlijk in een afkeer voor algebra.

Hoewel ze misschien best wel met ‘letters’ kunnenwerken, bestaat er geen verband tussen die letters enandere concepten, kunnen ze niet terugvallen op eenvorig niveau, hebben de aangereikte praktijk-voorbeelden geen context en staan die totaal los vande werkelijkheid. Het lijkt aannemelijk dat praktischwerken in dit verband een belangrijke rol zou kunnenspelen door het gebruik van variabelen in een contextte plaatsen.

Grant en Searl (1997) voeren aan dat ‘praktisch werkleerlingen helpt bij het verwerken van nieuwe ideeën,omdat daardoor tijd wordt geboden om erover na tedenken’. Dit stemt overeen met een opmerking vanPolya: ‘Bij het oplossen van een wiskundig probleembeginnen we vanuit zeer heldere begrippen die we inonze geest vrij goed geordend hebben. Bij het oplossenvan een praktisch probleem zijn we vaak genoodzaaktom uit te gaan van nogal vage ideeën; dan kan hetverhelderen van begrippen een belangrijk onderdeelvan het probleem gaan vormen’ (Polya, 1957).Leerlingen hebben tijd nodig om met een idee tespelen, het een fundament te geven en er later,misschien in een andere vorm, naar terug te keren.Bruner (1966) pleit ervoor om dit formeel teimplementeren in een ‘spiraalvormig leerplan’. Het lijktaannemelijk dat praktische activiteiten een waarde-volle rol kunnen spelen in een dergelijk soort leerplan,omdat ze de leerling de mogelijkheden kunnenverschaffen om een idee vanuit een andere invalshoekof in relatie met andere begrippen te benaderen.Er zijn andere voordelen. Praktisch werken kan zorgenvoor de ontwikkeling van gevoelselementen. Het kande gelegenheid bieden, op een goede manier samen tewerken en over wiskunde te praten. En wat belangrijkis, praktisch werk beïnvloedt de manier waarop deleerling tegen het onderwerp aankijkt.

Ondanks al deze voordelen zijn praktische activiteitenin het verleden slechts spaarzaam toegepast in dewiskundelessen van het voortgezet onderwijs. DeCockcroft-commissie meldde in 1982: ‘Zelfs op scholenwaar in het algemeen een levendige en stimulerendesfeer heerste, werd de noodzaak om kinderen op eenpraktische manier met wiskunde te laten omgaan nietaltijd ingezien, zodat in sommige klassen de houdingtegenover wiskunde sterk verschilde met de houdingtegenover andere vakken.’ Deze constatering werd in1985 bevestigd in het (Engelse) rapport CurriculumMatters 3 (DES, 1985): ‘Er bestaat een tendens om hetbelang van (…) praktisch werken in het laatste gedeeltevan het basisonderwijs en in het vervolgonderwijs tebagatelliseren. Zonder voldoende praktische ervaringzijn leerlingen niet in staat abstracte wiskundigeconcepten op enigerlei wijze in verband te brengenmet de werkelijkheid. Alle leerlingen hebben baat bijeen juiste vorm van praktisch werken, ongeacht leeftijdof bekwaamheid.’

Het bewijsmateriaal, afkomstig uit ervaringen in deklas en uit de ontwikkelingspsychologie, duidt erop dat


praktisch werken een actieve ondersteunende rol kanspelen in het wiskundeonderwijs, maar dat het metname in het voortgezet onderwijs te weinig wordttoegepast. Dit kan het gevolg zijn van het onderleraren heersende gevoel dat eerst moet wordengekeken naar de exameneisen, waardoor er zorgenontstaan over tijdgebrek bij het afwerken van hetprogramma.

Op het Edinburgh Centre for Mathematical Education(ECME) hebben wij onderzocht of het - bij eenbenadering waarin praktisch werken is opgenomen -mogelijk is zowel te voldoen aan de korte-termijn-doelen van het examenprogramma als aan het lange-termijndoel van het kweken van inzicht. Wij hebbeneen reeks lessen samengesteld voor 16/17-jarigen diezich voorbereidden op Intermediate 2 Mathematics(Scottish Qualifications Authority) [2]. Elke les omvateen praktische taak of activiteit en maakt gebruik vaneen ‘holistische’ benadering om het begrip teversterken door verschillende wiskundige begrippen bijelkaar te brengen en onderlinge verbanden aan tegeven. Hieronder geven wij de opzet van zo’n les. Debeknopte beschrijving suggereert dat de leraar de lessterk stuurde; in feite was deze les echter het resultaatvan de interactie tussen leerling en leraar.

Een voorbeeld uit de klasDe opgave is om een open kegel te ontwerpen met eenzo groot mogelijke inhoud. Om te beginnen wordt deprobleemstelling besproken en verduidelijkt. Hoe wordteen open kegel gemaakt? Wat is de uitslag?Het vraagstuk wordt vervolgens opnieuwgeformuleerd, nu wat formeler: ‘Gegeven een schijfmet een bepaalde straal, welke sector van die schijflevert dan de kegel op met de grootste inhoud?’.We gaan uit van een schijf met een straal van 10 cmdie van tevoren van stevig papier is gemaakt metevenredig over de omtrek verdeelde stralen (zie defiguren 1 t/m 4). Knip de schijf vanuit het middelpuntopen langs één van de stralen; vorm vervolgens eenkegel door de zijkanten te laten overlappen.Kies een overlaphoek, bijvoorbeeld 90o, en zet de kegelvast met plakband of lijm. Vul de kegel vervolgens metzeezand (zeezand is schoner en fijner dan metselzanden gemakkelijker te gebruiken!) en strijk de bovenkantzorgvuldig glad.Het zand wordt in een maatbeker of maatglas gegotenen het volume wordt nauwkeurig gemeten (zie defiguren 5 t/m 7).Dit proces wordt zorgvuldig herhaald bij verschillendeoverlaphoeken en er wordt een tabel opgesteld.

Overlaphoek (graden) 50 60 70 80 90 Volume zand (cm3) 390 401 402 397

De resultaten worden besproken. De ‘beste’ hoek wordtgeschat en aan de hand van die schatting wordt eenandere kegel gemaakt om meer gegevens te krijgen:een overlap van 65o geeft een inhoud van 403 ml.Om de resultaten weer te geven worden de gegevens


FIGUUR 1, 2, 3, 4

van de tabel uitgezet op ruitjespapier en met eenflexibele liniaal wordt de grafiek getekend van deinhoud afgezet tegen de overlaphoek (zie figuur 8 enfiguur 9).Tot slot maken we een kegel met een overlap van 65o

en laten we zien dat de inhoud groter is dan dewaarden in de tabel.(Niveau A [volgens Bruner; red.] van de opdracht is nuvoltooid.)

Het idee om een maximum te vinden is nu ingeburgerden het verband tussen kegel en sector van een schijf isinzichtelijk gemaakt. Het volgende niveau (B) behelsthet ontwikkelen van een wiskundig model voor hetpraktische probleem. Dit stelt aanzienlijk hogere eisenaan veel leerlingen. De meeste leerlingen van zestienjaar en ouder kennen de formule voor het volume vanpiramides en kegels alleen uit een boek of tabel. Hetvolume van een kegel wordt berekend met de formule

volume = �13

� maal (oppervlakte grondvlak) maal (hoogte)

Wanneer r (in cm) de straal van het grondvlak is en h(in cm) de hoogte van de kegel, dan is de oppervlaktevan het grondvlak �r2 cm2 en het volume �

13

��r2h cm3.Met de gegevens die al bekend zijn, kunnen we dezeformule verifiëren. Het is moeilijk om de hoogte vaneen kegel te meten, dus berekenen we die uit de anderegegevens. De straal r van het grondvlak en de hoogte hzijn via de stelling van Pythagoras in verband tebrengen met de lengte l van de mantelhoogte:

l2 �h2 � r2

Omdat de kegel wordt gemaakt uit een sector van deschijf met een straal van 10 cm, kunnen we zeggen dat

l�10 en h2 �102 – r 2 en r 2 �102 – h2

Voor elke kegel meten we de straal van het grondvlaken berekenen daaruit de hoogte en dan het volume.Deze worden vergeleken met de experimentelewaarden.

Overlaphoek (graden) 50 60 70 80 Volume zand (cm3) 390 401 402 397Gemeten straal grondvlak (cm) 8,80 8,40 8,05 7,8Berekende hoogte (cm) 4,75 5,43 5,93 6,26Berekende inhoud (ml) 385 401 402 399

Nadat we tot de overtuiging gekomen zijn, dat deformule klopt, keren we terug naar het oorspronkelijkeprobleem.

Dus om te beginnen zoeken we het maximum van defunctie

I � �13

��(102 �h2)h of van I � �13

��r2�102 � r�2�

Om van deze functies een grafiek te kunnen tekenenmoeten we de waarden van h en r kennen die voor


FIGUUR 5, 6, 7, 8

deze functie zinvol zijn. Die waarden zijn 0 < h < 10en 0 < r < 10. De eerste formule ziet er aantrekkelijkeruit en met een grafische rekenmachine wordt degrafiek getekend (zie figuur 10).Met trace vinden we dat het maximum bereikt wordt inde buurt van h�5,744605, en dan is I�403,05. Vooreen nauwkeuriger resultaat vinden we, dooraanpassing van het venster:h�5,776 en I�403,07Door de stelling van Pythagoras weer toe te passenkrijgen we de overeenkomstige waarde voor r, namelijkr��100 –�33,37��8,1627Maar we moeten de overlaphoek berekenen. Dit brengtons terug naar de constructie van de kegel(zie figuur 11). Daaruit kunnen we zien dat de omtrekvan het kegelgrondvlak gelijk is aan de lengte van decirkelboog van de sector waaruit de kegel is gevormd.De omtrek van het grondvlak van de kegel is 2πr. Ditmoet overeenkomen met de rand van de sector. Delengte is een gedeelte van de omtrek van de cirkel metstraal 10, en wel

�36

306�

0θ

�� 20π

Zo vinden we r�10��36

306�

0θ

�, waaruit we θ kunnenberekenen:8,1627�10� �

3θ6�

θ�66,14Keren we terug naar de praktische context, dan is θ�66 een zinvolle oplossing van het vraagstuk.(Niveau B van de opdracht is voltooid.)

Ook met differentiaalrekening is het mogelijk dewaarde van de hoogte h te berekenen waarbij deinhoud I maximaal is:

�ddhI� � �

13

�π (102 – 3h2)

De afgeleide I’ (h) is gelijk aan 0 voor h� ��10

3�.

Het is eenvoudig na te gaan dat I’(h) positief is linksvan h = �

�10

3� en negatief rechts van �

�10

3�, waaruit we

kunnen opmaken dat I(��10

3�)�403,07 de maximale

inhoud is. Dit komt overeen met een overlaphoek diewordt verkregen uitθ�360 (1� �

��

23�), zodat

θ�66,06(Niveau C van de opdracht is voltooid.)

Natuurlijk zijn dit niet de enige methoden om hetvraagstuk op te lossen. Het vinden van demaximumwaarde van de functie I� �

13

�πr2�102 � r�2�komt bijvoorbeeld overeen met het vinden van demaximumwaarde van y�x2(100�x).Met behulp van de grafische rekenmachine vinden wijeen maximum bij x�66,7 met y�148148,037(zie figuur 12). De waarde van x lijkt verdacht veel opx� �

2300� waarbij dan y�148148,148.

We kunnen bewijzen dat het een maximumwaarde isdoor de onafhankelijke variabele x te substitueren. Zijx� �

2300� �z, waarbij z de nieuwe variabele is. Dan is


FIGUUR 9, 10, 11, 12

y� (�2300� �z)2 · (�

1300� �z)

Hieruit kunnen we afleiden daty < �400

2.7000� = 148148,148

voor waarden van z dicht bij 0, ofwel voor waardenvan x dicht bij �

2300�. Dit houdt in dat y��

4002.7000� een

lokaal maximum van de functie is.

Vaardigheden en concepten inventariserenHet is niet eenvoudig om activiteiten te bedenken dietegemoetkomen aan de nauwgezette en gedetailleerdeeisen van een examenprogramma. Het is dus in ditgeval, en bij andere soortgelijke activiteiten, nuttig omeen lijst op te stellen van de vaardigheden enconcepten die in het spel zijn. Natuurlijk kan zo’n lijstniet uitputtend zijn. In wezen bedachten we natuurlijkeen belangwekkende activiteit en persten daar zoveelmogelijk wiskunde uit als we konden. Aan leerlingenvragen een audit [3] uit te voeren op de vaardighedenen concepten die ze hebben toegepast, geeft hun dezekerheid dat de activiteit aansluit op hun behoeftenen dat ze hun tijd niet verdoen. Concepten envaardigheden houden vaak zeer nauw verband metelkaar, zodat niet altijd is uit te maken welke istoegepast, met daarnaast de mogelijkheid dat ze allebeizijn gebruikt. In het hierboven gegeven voorbeeld zoueen dergelijke ‘audit’ de volgende inventarisatie-tabelkunnen opleveren.

Concept VaardigheidKegel met uitslag? Een kegel makenInhoud Een tabel makenVolume Een grafiek tekenenNauwkeurigheid Meting Eenheden: ml, cm3 Een grafiek interpreterenVerhouding Een formule gebruikenMaximum waarde Formules herleiden… Modelleren… Een eenvoudiger gelijkwaardig

probleem identificeren… …

ConclusieEen deel van het leerproces zelf is, dat wij betergemotiveerd zijn om te leren als wij zien waartoe diekennis leidt. Praktisch werken, zij het met slechtsvereenvoudigde vraagstukken, helpt bij het verschaffenvan die motivatie. Het legt feiten voorgoed vast, envaardigheden die de leerling eerder heeft gebruiktworden nogmaals geoefend. Begripsmatigeonvolkomenheden en fout aangeleerde vaardighedenkomen erdoor aan het licht. Over een breed terreinworden kennis en begrip bij elkaar gebracht waardoorgeïntegreerde wiskundekennis wordt gestimuleerd, enwaardoor er geen sprake meer is van een verzamelingonsamenhangende wiskundige feiten en vaardigheden.Praktisch werken maakt het mogelijk het doel tebereiken dat Bruner (1966) heeft verwoord:

‘Wij onderwijzen een onderwerp niet om wandelendenaslagwerken over dat onderwerp te vervaardigen,maar eerder om een leerling zover te krijgen dat hij of

zij zelf wiskundig gaat denken … zodat die leerling debelichaming wordt van het proces van kennis opdoen.’

Noten

[1] Bruner (1966) gebruikt de termen ‘enactive = bepalend’, ‘iconic =

beeldend’ en ‘symbolic = symbolisch’ om de verschillende methoden te

beschrijven waarop een idee wordt weergegeven, methoden die zijn

gebaseerd op fysieke eigenschappen, picturale/grafische kenmerken en

taal/symbool.

[2] Intermediate 2 Mathematics, Scottish Qualifications Authority,

1999. Dit is het derde van vijf studieniveaus uit een opleiding voor

niet meer leerplichtige jongeren (16 jaar en ouder) in Schotland.

[3] Nauwgezet onderzoek van de activiteit om de toegepaste

wiskundige vaardigheden en concepten te inventariseren.

Referenties

- J. Bruner: Towards a Theory of Instruction, Harvard University Press

(1966).

- W.H. Cockcroft: Mathematics Counts / Report of the Committee of

Inquiry into the Teaching of Mathematics in Schools, HMSO (1982).

- S. Pirie: Watching Their Understanding Grow / Conference Report

Mathematics Teaching 1992, ECME (Edinburgh, 1992)

- A. McIntosh: Practical Materials and Practical Work, in:

Some Reflections, Mathematics Teaching 100, pp.15-17 (1982)

- DES (Department of Education and Science): Curriculum Matters 3,

in: Mathematics from 5 to 16, HMSO (1985).

- F. Grant, J.W. Searl: Practical Activities in the Mathematics

Classroom, in: Mathematics in School (26,4) 4, pp.27-28, (1997).

- G. Polya: How to Solve It, Princeton University Press (1957).

Over de auteurs

John Searl (e-mailadres: [email protected]) is hoofd van het

Edinburgh Centre for Mathematical Education (ECME) van

The University of Edinburgh. Onderzoeksmatig is zijn belangstelling

vooral gericht op de implementatie van de psychologie van het leren in

klassikaal verband.

Ruth Forrester (e-mailadres: [email protected]) is voormalig

lerares in het voortgezet onderwijs. Ze doet nu onderzoek en doceert

aan het Edinburgh Centre for Mathematical Education.

Nadere informatie over het ECME kan gevonden worden op

www.education.ed.ac.uk/ecme


WISKUNDE: INTEGREREN OFDIFFERENTIËREN?Over het verwerven van onderzoeksvaardigheden[ Bert Zwaneveld ]


InleidingWiskunde heeft het niet gemakkelijk. In het voortgezetonderwijs lijkt het er soms op dat wiskunde verbannenis naar het natuur- en techniekprofiel. Want, zo wordteen beetje badinerend gezegd, wiskunde in de eerstefase en wiskunde A in de tweede fase zijn niet meerdan een veredeld soort rekenen. En die wiskunde B inhet N&T-profiel van de tweede fase is maar eenbeperkt, marginaal uithoekje van het voortgezetonderwijs. Leerlingen in het vwo kiezen nauwelijks voor eenstudie wiskunde aan een universiteit. Uit het visitatie-rapport over het universitaire wiskundeonderwijs datin juni 2002 is verschenen (VSNU, Vereniging vanUniversiteiten) blijkt dat het aantal instromers bijwiskunde tussen de studiejaren 1988/1989 en1999/2000 is gezakt van 427 naar 178. Voor deafgestudeerde havoen vbo/mavo-leerlingen geldtongeveer hetzelfde. Hier is het effect zelfs nog watsterker, want wiskunde is geen apart vak in het hbo enin het mbo. En soms worden opleidingen met een grootwiskundeaandeel zelfs opgeheven, zoals medio 2002met technische natuurkunde bij de Fontys hogescholengebeurd is. Opleidingen zonder wiskunde liggen veelbeter in de markt dan opleidingen op het gebied vannatuur en techniek. Leerlingen vinden wiskunde saai. De vraag is of ditmet de wijze van aanbieden als toepassingsgericht vakte maken heeft. Ten gevolge van deze aanbiedingswijzekrijgen de leerlingen de indruk dat wiskunde in wezenondergeschikt is aan andere vakken. Voor hen zal hetdaardoor in ieder geval een vak met minder perspectiefzijn.

VraagstellingDe vraag is vervolgens, wat er aan deze in mijn ogenzorgelijke positie van wiskunde gedaan kan worden. Inhet hbo, het mbo (eigenlijk de bve-sector; bve staatvoor beroeps- en volwasseneneducatie) en universitaireopleidingen met wiskunde als ondersteunend vak is delaatste jaren ervaring opgedaan met wiskundegeïntegreerd in het vak waarvoor het ondersteuningmoet bieden. Leidt dit tot goede resultaten? Zo ja, dan kan hetvoortgezet onderwijs er misschien zijn voordeel meedoen.

Een beeld van wiskunde in het voortgezetonderwijsVeel leerlingen vinden wiskunde niet alleen een saai,maar ook een moeilijk vak. Je moet als leerling het eenen ander weten, terwijl je dat in de praktijk vaak snelweer vergeet en vaak ook zonder enig probleem kúntvergeten. Dit geldt vooral voor zaken met eenalgebraïsch aspect, zoals de abc-formule, maar zelfsook voor de stelling van Pythagoras. Leerlingen halenimmers veel ‘wiskunde’ uit steeds geavanceerdererekenapparaten, waardoor wiskunde lijkt te verwordentot knoppen drukken. Wiskunde heeft een niet al tebest imago. En dat kan tot (verdere) marginaliseringleiden.Desondanks moet het voortgezet onderwijs deleerlingen voorbereiden op de technische ofnatuurwetenschappelijke vervolgopleidingen van deuniversiteiten, het hbo en het mbo, zodanig dat degesignaleerde negatieve tendens in zijn tegendeelverkeert. Gegeven het noodzakelijke kennisniveau van

de Nederlandse bevolking blijft het immersnoodzakelijk dat iedereen in het voortgezet onderwijszich bepaalde wiskundige competenties eigen maakt.(De verschillen tussen de wiskundige competenties diein de verschillende sectoren van het voortgezetonderwijs verworven moeten worden, zijn in mijnogen gradueel, niet essentieel.) Met ‘competentie’wordt veelal bedoeld dat men in een concretetaaksituatie goed kan opereren door adequaat gebruikte maken van de verworven kennis, vaardigheden enattitudes. Maar kennis en echte vaardigheden, dus niet:het kunnen bedienen van knoppen, staan in een kwaaddaglicht. Al is er wel enige verbetering ten opzichtevan een aantal jaren geleden te bespeuren: bewijzen isweer een beetje terug, maar beperkt zich tot wiskundeB van het N&T-profiel. Een echte doorlopende leerlijndie hierop voorsorteert en in de brugklas begint, is erhelaas niet. Verder zijn er in de bovenbouw van havoen vwo praktische opdrachten en profielwerkstukken.Maar een heel voorzichtige conclusie uit deeindexamenresultaten van het eerste tijdvak van 2002is, dat het met name met de algebraïsche vaardighedennog slechter gesteld is dan een jaar geleden gedacht ofop zijn minst gehoopt werd. Dit moet welhaast verband houden met het studiehuis.Bij de invoering ervan zijn zeker fouten gemaaktwaardoor er te weinig uren zijn. Zie bijvoorbeeld Hetdenken bevorderen, de oratie van Anne van Streun uit2001. Maar ook bij de uitvoering verloopt niet allesvlekkeloos. ‘Vaardigheden, waaronder onderzoeks-vaardigheden’ is een kernbegrip van het studiehuis.

Doordat er minder uren beschikbaar zijn, moetenwiskundeleraren en wiskundesecties keuzes maken.Waaraan wordt prioriteit gegeven: aan de basalewiskundige (kennis en) vaardigheden, waaronder diealgebraïsche vaardigheden, of aan iets anders?

Hbo-dag van de NVvW, medio 2001Medio 2001 werd onder auspiciën van de NederlandseVereniging van Wiskundeleraren een studiedaggehouden gericht op wiskundeonderwijs in het hbo. Ikleidde daar een workshop onder de titel: Wiskundeapart of geïntegreerd? De context was de volgende.Veel hbo-opleidingen organiseren hun onderwijs in devorm van probleemgestuurd onderwijs of project-onderwijs. Wiskunde wordt daarbij geïntegreerd in hetbetreffende toepassingsgebied. Een voorbeeld is het

vak logistiek management waarbij de studenten onderandere moeten lineair programmeren. De bedoelingvan de workshop was om ervaringen met eengeïntegreerde aanpak van wiskundeonderwijs uit tewisselen en om de voor- en nadelen van zo’ngeïntegreerde aanpak te inventariseren. Hierondervolgt een deel van het verslag dat ik na afloop van dieworkshop heb gemaakt.

Bij deze werkgroep waren ongeveer 30 deelnemersaanwezig van wie ongeveer een kwart ervaring heeft(gehad) met de geïntegreerde aanpak van wiskunde-onderwijs, waarbij wiskundedocenten samen metcollega’s van andere vakken aan de hand van eenthema en een of meer problemen wiskundeonderwijsverzorgen. In de inleiding heb ik deze geïntegreerdeaanpak tegenover de aparte aanpak (met een voor dehand liggende definitie) gesteld.De opdracht aan de deelnemers was als volgt.Veronderstel dat je bij een zelf te definiëren thema, c.q.probleem, geïntegreerd wiskundeonderwijs moetverzorgen. Probeer, in groepjes van drie tot vierdeelnemers, dit wiskundeonderwijs zo concreet mogelijkte beschrijven.In de korte terugrapportage vanuit een aantal van degroepjes, waarin ook praktijkervaringen werdenmeegenomen, kwam duidelijk naar voren dat degeïntegreerde aanpak niet de voorkeur van dedeelnemers heeft.De belangrijkste argumenten hiervoor waren:- de samenhang tussen wiskundige begrippen,methoden en onderdelen gaat helemaal verloren; hierbijwerd wel opgemerkt dat die in de aparte aanpak ook alniet erg groot is;- voor de geïntegreerde aanpak is enige ervaring in hetwerken met wiskundige modellen een vereiste; hiermeewordt bedoeld: zelf een (eenvoudig) model opstellen,c.q. bewerken, dan wel er ook echt mee aan de slaggaan; dergelijke (basale) voorkennis ontbreekt;- studenten laten het wiskundige werk in degeïntegreerde aanpak de sluitpost van hun activiteitenzijn.

De conclusie die ik hieruit getrokken heb is, dat intheorie het integreren van wiskundeonderwijs een goedidee lijkt, maar dat het in feite bijdraagt aan hetnegatieve imago en dus aan de marginalisering. Wantstudenten realiseren zich heel goed dat (basale)voorkennis en vaardigheden in het werken metmodellen essentieel is. Het feit dat die kennis envaardigheden niet eerst worden aangebracht door hunwiskundedocent interpreteren zij als: ‘Onze wiskunde-leraar (of –lerares) neemt wiskunde kennelijk niethelemaal serieus.’ En dit leidt er weer toe dat destudenten het vak wiskunde niet serieus nemen en totsluitpost van hun activiteiten maken.

Onderzoeksvaardigheden bij wiskundeMijn conclusie was en is dat de geïntegreerde aanpakniet de oplossing is om iets aan de zorgelijke positievan wiskunde te doen. De eerste twee van de drie


integreren vanwiskunde-onderwijs l i jkteen goed idee

Deze tien onderzoeksvaardigheden vereisen heel watparate wiskundige kennis. Zo wordt er gesproken overeen geschikte wiskundige representatie of model. Dierepresentatie kan algebraïsch van aard zijn, met behulpvan vergelijkingen, formules (dus inclusief variabelen),meetkundig door middel van een tekening, ofstatistisch met tabellen of grafieken. Ook wordtgesproken over een bij het model passende wiskundigeoplosmethode. Dat betekent dat allerlei algebraïsche,meetkundige of statistische kennis en vaardighedenmoeten worden beheerst. In de laatste eindterm wordtover reflectie gesproken. Reflectie zonder kennis vanzaken is echter uitgesloten.

Onderzoeksvaardigheden verwerven zonder eerst

basale wiskundige vaardigheden op te doen is dus

niet mogelijk.

De volgende vraag is hoe een en ander onderwezenc.q. geleerd moet worden. In mijn proefschriftKennisgrafen in het wiskundeonderwijs in 1999 heb ikwiskundige competenties niet vanuit de eindtermenmaar vanuit de vigerende schoolwiskunde zelfgeanalyseerd: wat zijn de relevante kennis- envaardigheidselementen? Verder heb ik de kennisgraafals een hulpmiddel hierbij ontwikkeld en getest omwiskundige kennis en vaardigheden gestructureerd inkaart te brengen. In de figuren 1 en 2 is het resultaatvan die analyses gevisualiseerd. Uit het onderzoek konik, met enig voorbehoud, de volgende conclusiestrekken:1 In de huidige schoolwiskunde leren de leerlingenniet, wat de samenhang en de structuur van deverschillende wiskundige onderwerpen is.

genoemde argumenten maken duidelijk dat enigeervaring in het werken met wiskundige modellen eenvereiste is, alvorens een eventuele geïntegreerdeaanpak kan functioneren. Een nadere uitwerkinghiervan is te vinden in de onderzoeksvaardigheden diegenoemd worden in domein A, ‘vaardigheden’, van hetexamenprogramma voor wiskunde A voor het vwo. Debijbehorende eindtermen luiden als volgt:

12 logische relaties tussen gegevens, beweringen enresultaten aanbrengen en beoordelen en relevantegegevens scheiden van minder relevante gegevens;13 gegevens met elkaar en met de probleemstelling inverband brengen, op grond daarvan een passendeaanpak kiezen en deze zo mogelijk opsplitsen indeeltaken;14 in een tekst verstrekte gegevens doelmatigweergeven in een geschikte wiskundige representatie(model);15 vaststellen of een gekozen model voldoet en, indiennodig, een bijstelling hiervan suggereren;16 vaststellen of er aanvullende gegevens nodig zijn enzo ja, welke;17 onderzoeken in hoeverre het model bijgesteld moetworden ten gevolge van wijzigingen in de gegevens;18 een bij het model passende wiskundigeoplossingsmethode correct uitvoeren;19 resultaten betekenis geven in de context en binnendie context kritisch analyseren;20 de nauwkeurigheid van de gegevens of werkwijzenbetrekken bij de beoordeling van het eindresultaat;21 reflecteren op de gemaakte keuzen voorrepresentatie, werkwijze, oplossingsmethode enresultaten en deze onder woorden brengen.

FIGUUR 1 FIGUUR 2

Schematische weergave van de didactischeaspecten van wiskundeonderwijs datgericht is op het verwerven van wiskundigecompetentie

Nadere uitwerking van de interne structuur van wiskundigecompetentie(De leesrichting is van boven naar beneden. Een verbinding betekent

‘bestaat uit’ of ‘heeft’ of nog algemener ‘houdt verband met’. Het verband

tussen begrippen en specifieke heuristieken is zwakker dan tussen

begrippen en algoritmen. Daarom is het eerste verband met een

stippellijn aangegeven.)

2 Leren structureren, mits regelmatig beoefend, kanhelpen bij het aanpakken en oplossen van complexeproblemen. (Complexe problemen zijn, kort en krachtiggeformuleerd, problemen die met de hiervoorgenoemde onderzoeksvaardigheden aangepakt enopgelost kunnen worden.)3 Voorwaarde voor leren structureren is het op enigniveau beheersen van de afzonderlijke wiskundigekennis en vaardigheden.De conclusies van de hbo-dag van onze verenigingsluiten hier bij aan.

Integreren, differentiëren of nog iets anders?En dan is nu de volgende vraag aan de orde: Als hetintegreren van wiskunde niet de oplossing is, wat dan wel? Om te beginnen moge het duidelijk zijn dat ik nietterug wil naar oude tijden, toen de wiskunde‘gedifferentieerd’ (lees: gefragmenteerd of geïsoleerd)onderwezen werd. Anne van Streun heeft in zijnproefschrift Heuristisch wiskundeonderwijs in 1989 allaten zien dat ‘wiskunde eerst, dan toepassen’ nietgoed werkt. En Jan de Lange heeft in zijn proefschriftMathematics, insight and meaning. Teaching, Learningand Testing of Mathematics for the Life and SocialSciences in 1987 laten zien dat contexten positiefkunnen functioneren.

Uitgaande van de drie conclusies naar aanleiding vande workshop Wiskunde apart of geïntegreerd? is mijnaanbeveling:

Breng een goede balans aan tussen de wiskunde zelf

en de toepassing ervan.

Dat betekent dat de wiskundige begrippen aan concretecontextrijke situaties ontleend worden, conform deideeën van Freudenthal en zoals die verder ontwikkelden in praktijk gebracht zijn door de medewerkers vanhet Freudenthal instituut. Hun samenhang, debijbehorende wiskundige methoden en technieken ende bijbehorende wiskundige redeneringen en eventuelebewijzen worden ook in een ‘kale’ wiskundige contextgeleerd en geoefend. Maar dat betekent ook dat elkekeer het geleerde steeds weer opnieuw in nieuwecontexten wordt toegepast. Daarbij wordt, naarmate deleerlingen vorderen in hun schoolloopbaan, steedsuitdrukkelijker aandacht gegeven aanonderzoeksvaardigheden, te beginnen met de notie datde werkelijkheid in de geabstraheerde vorm van eenwiskundig model wordt gerepresenteerd, tot en met hetbinnen dat model oplossen van het probleem en hetinterpreteren van de resultaten in de situatie van hetoorspronkelijke probleem.

Een voorbeeldHoe kan dergelijk wiskundeonderwijs er concreet uit zien? Hier volgt een voorbeeld waarbij over een aantalleerjaren heen aandacht aan onderzoeksvaardighedenwordt besteed. Het is ontleend aan de statistiek. Debeschrijvingen hierna zijn globaal gehouden.Het betreft het geboortegewicht van baby’s. De

onderzoeksvraag is, of er verschil is tussen hetgeboortegewicht van de baby’s uit twee landen van deEuropese Unie, bijvoorbeeld Nederland en Ierland. Menbeschikt over de gegevens van steekproeven uit detwee landen. De eerste onderzoeksaanpak, bij leerlingen in de eerstefase, kan zijn: het vergelijken van het gemiddeldegeboortegewicht; noodzakelijke maar vrijwel zekeraanwezige voorkennis is het begrip ‘gemiddelde’.Als het ene gemiddelde groter is dan het andere, wildat echter nog niet zeggen dat elke baby van het eneland bij de geboorte zwaarder is dan elke baby van hetandere land. De (onderzoeks)vraag is: hoe kun je hetuiteraard negatieve antwoord inzichtelijk maken?Kennis van grafische voorstellingen en van het begrip‘spreiding’ is hierbij noodzakelijke voorkennis.De in de tweede fase toe te passen onderzoeksaanpakkan zijn kan zijn, de gewichten van paren baby’s uitde twee landen te vergelijken en met de tekentoets dehypothese te toetsen of het geboortegewicht van debaby’s significant verschilt. Ook hier is behoorlijk watvoorkennis en beheersing van bepaalde vaardighedenessentieel.Tenslotte kan de onderzoeksvraag gesteld worden, hoegroot de kans is dat het ene geboortegewicht groter isdan het andere. (De leerlingen zullen wel geholpenworden met het vinden van de verdeling van hetverschil tussen beide geboortegewichten.)Dergelijke onderzoeken kunnen niet uitgevoerd wordenzonder degelijke wiskundige kennis en vaardigheden.Het opdoen van dergelijke kennis en vaardighedentegelijk met het uitvoeren van het betreffendeonderzoek zal noch tot het beklijven van die kennis envaardigheden, noch tot het beklijven van de betrokkenonderzoeksvaardigheden leiden. Dat moet vooraf gebeuren.

Literatuur

- J. de Lange: Mathematics, insight and meaning. Teaching, Learning

and Testing of Mathematics for the Life and Social Sciences,

proefschrift Universiteit Utrecht (1987).

- H. Sormani e.a.: Exacte vakken en competenties in het

beroepsonderwijs, CINOP, ‘s-Hertogenbosch (2002).

- A. van Streun: Het denken bevorderen, oratie Rijksuniversiteit

Groningen (2001).

- A. van Streun: Heuristisch wiskundeonderwijs, proefschrift

Rijksuniversiteit Groningen (1989).

- Onderwijsvisitatie Wiskunde, 2002, Vereniging van Universiteiten

(VSNU), Utrecht (2002).

- B. Zwaneveld: Kennisgrafen in het wiskundeonderwijs, 1999,

proefschrift Open Universiteit Nederland (1999).

Over de auteur

Dr. Bert Zwaneveld (e-mailadres: [email protected]) is

universitair hoofddocent bij de Open Universiteit Nederland, waar hij

samen met anderen verantwoordelijk is voor de wiskundecursussen van

de wetenschappelijke opleidingen Technische informatica en Milieu-

natuurwetenschappen. Daarnaast is hij op tal van terreinen actief ten

behoeve van het wiskundeonderwijs in Nederland.


‘JUST IN TIME’-ONDERSTEUNING STATISTIEKIN PROJECTONDERWIJSTOEGEPASTENATUURWETENSCHAPPENIn projectonderwijs pakken studenten een praktijkprobleem aandoor het in subproblemen te verdelen. Als een begrip, methode oftechniek precies op dát moment aan de orde komt waarop het voorde student een ontbrekende schakel vormt bij de oplossing van zijnsubprobleem, dan is het onderwijs volgens de ‘just in time’-methodiek ingericht. Op die manier zaai je in vruchtbare bodem,ondanks het feit dat theoretische consistentie niet altijd vollediggegarandeerd is.[Jan Jelle Claus]


InleidingDe rol die het statistiekonderwijs speelt in het hbo isveelal ondersteunend. Statistiek wordt in het hogertechnisch onderwijs vooral gebruikt om verzameldegegevens van gemeten grootheden te karakteriseren,om uitspraken te doen over onbekende onderliggendeparameters, om grootheden te vergelijken en om hettoekomstig verloop ervan te voorspellen.Tot voor kort werd statistiek bij de toegepastenatuurwetenschappen vaak gegeven in de vorm vanenkele opeenvolgende zelfstandige ‘vakken’ naast‘vakken’ die tot de kern van de desbetreffendeopleiding behoorden. De onderliggende bedoelingdaarvan was de volledige abstracte structuur van hetbegrippenkader uit de statistiek duidelijk te maken.Leidraad daarbij was theoretische consistentie. Vanieder begrip dat later gebruikt wordt, zijn alletheoretische aspecten eerder behandeld. Uiteindelijkzou dit de ontwikkeling van het probleemoplossendvermogen bij de studenten ten goede komen. In eenlaatste vervolgvak kregen de studenten een probleemvoorgelegd, dat gemotiveerd werd door een kernvak uitde toegepaste natuurwetenschappen. Oplossing van ditpraktische probleem vereiste dat statistische begrippen,theorieën en methoden uit de voorafgaande vakken bijelkaar gebracht werden.

Sinds de invoering van projectonderwijs in het hbo isde zelfstandigheid van het statistiekonderwijs steedsmeer onder druk komen te staan, juist door hetondersteunende karakter. In projectonderwijs pakkenstudenten een praktijkprobleem aan door het insubproblemen te verdelen. Deze subproblemen komenin de verschillende fasen van het projectmatig werkenaan de orde, zie [7]. De indeling in fasen ensubproblemen is bij projectonderwijs niet meervakmatig georiënteerd. Het probleem dat de studentenin een project aanpakken, stelt het kader vastwaarbinnen bijbehorende vakonderdelen geïntegreerdaan de orde moeten komen. Deze vakonderdelenworden volgens het ‘just in time’-principe (JIT) inondersteunende cursussen opgenomen. Dat houdt indat nieuwe begrippen, methoden of technieken preciesop dat moment aan de studenten aangeboden wordenwaarop zij voor het oplossen van een subprobleemvereist zijn.

Veel gehoord is de vrees dat op die manier desamenhang van het totale begrippenkader van destatistiek verloren zou gaan en dat de studenten decompetentie zouden verliezen om hun meetgegevenskritisch te analyseren en te beoordelen.In [4] en [5] wordt een soortgelijke vrees beschrevenvoor het wiskundeonderwijs. Kort samengevat wordt in[5] geconstateerd dat wiskunde als ondersteunend vakde concurrentie met voor studenten veel interessantereprojectonderwerpen niet aankan, terwijl [4] stelt dat deverbrokkeling van het wiskundeonderwijs ook innieuwe onderwijsvormen tegengegaan dient te wordendoor een continue opbouw in een vaste stroom vanondersteunend onderwijs.

In dit artikel plaats ik enkele kanttekeningen bij devrees voor achteruitgang van het vermogen problemenop te lossen en bij de noodzakelijkheid van eencontinue theoretisch consistente stroom vanondersteunend onderwijs. Ik doe dat als ontwerper endocent van een ondersteunende statistiekcursus binneneen curriculum van projectonderwijs in de toegepastenatuurwetenschappen volgens de JIT-methode.Ik zal dit illustreren aan de hand van die nieuwestatistiekcursus voor studenten toegepaste natuur-wetenschappen. Daarin heb ik gekozen voor eenandere opbouw van het statistiekonderwijs. Die maaktdat studenten vanaf het begin van hun studie depraktische onderzoeksvaardigheid verwerven,statistisch gefundeerde uitspraken te doen gebaseerdop eigen metingen. Dit sluit naadloos aan bij decompetentie dat een afgestudeerde hbo’er in detoegepaste natuurwetenschappen meetgegevenskritisch kan beschouwen en beoordelen.

KanttekeningenDe stelling dat het inzicht van studenten in desamenhang van het statistische begrippenkaderverloren gaat bij het verlaten van de oude aanpakvolgens theoretische consistentie, veronderstelt datiedere student dit inzicht bezat. Dit valt te betwijfelen.De verdeling van de statistiek in een aantal logischopeenvolgende ‘vakken’, bijvoorbeeld beschrijvendestatistiek, kansrekening, kansverdelingen en toetsing,leidt bij veel studenten tot even zoveel verschillendebegrippenkaders. De verbindingen tussen dezebegrippenkaders zijn vaak zwakke schakels. Nadeelvan deze aanpak is bovendien dat toepassingen uit deberoepspraktijk pas in een later stadium uitgewerktkunnen worden, omdat dwarsverbanden die inpraktijksituaties naar voren komen onderbelichtblijven.

Om de toepassingen uit de beroepspraktijk van de hbo-ingenieur eerder tot zijn recht te laten komen, heb ikgekozen voor een indeling van de statistiek naarpraktijktoepassing. Door verschillende soortentoepassingen naast elkaar te zetten, leert de studentvoor iedere toepassing:• het soort gegevens statistisch te karakteriseren,• de kans op een mogelijke uitkomst te berekenen,• de betrouwbaarheid weer te geven van uitspraken

over onderliggende parameters.Voorbeeld van studieboeken die zo’n indeling ookvolgen zijn [2] over chemometrie in analytische chemieen [3] over biometrie.In vergelijking met de oude indeling (zie bijvoorbeeld[1]) komen zo per toepassing toch onderdelen uit debeschrijvende statistiek, kansrekening, kansverdelingenen toetsing aan bod. Als alle toepassingsgebieden vanstatistiek in de toegepaste natuurwetenschappen inverschillende ondersteunende cursussen naast elkaargezet worden, blijken alle onderwerpen uit het ‘oudetheoretisch consistente’ curriculum ook aanwezig tezijn in de nieuwe toepassingsgerichte indeling.Het is duidelijk dat de ‘oude vertrouwde’ formele


theoretische consistentie terrein verliest bij dezeindeling, omdat vergelijkbare theoretische begrippenbij verschillende toepassingen aan de orde komen. Eengroot winstpunt is echter dat reeds in een vroegstadium van de studie voorbeelden uit de latereberoepspraktijk van de hbo’er uitgewerkt worden. Inhet bijzonder worden op het hbo binnenkomendehavisten, veelal met de studieprofielen Natuur &Gezondheid en Natuur & Techniek, hierdoor veel meergemotiveerd dan door formele theoretischeconsistentie.

De indeling naar praktijktoepassing van de statistiek isbovendien goed in te passen in het projectonderwijs inde toegepaste natuurwetenschappen aan het hbo. Perproject houden de studenten zich bezig met één soorttoepassing uit de praktijk van hun latere beroeps-beoefening. Als juist die statistische begrippen enmethoden aan de orde komen die bij die toepassingcentraal staan, wordt precies voldaan aan het ‘just intime’-principe.

Voor een correct begrip van sommige statistischemethoden blijft het echter wel vereist dat nietrechtstreeks in het project toepasbare onderwerpen eenplaats krijgen in het onderwijsprogramma. In die zinben ook ik, als ontwerper en docent van zo’n JIT-statistiekcursus, niet ontkomen aan het toevoegen vanenkele ‘theoretisch consistente’ onderdelen.Verklarende onderdelen mogen echter geenszins ballastvoor de student gaan vormen. Dan treedt een scheidingop tussen het project en de ondersteunendestatistiekcursus en is er geen sprake meer van eengeïntegreerde ondersteunende statistiekcursus. Om zo’nscheiding te voorkomen is het noodzakelijk dat deprojectopdracht om een statistisch resultaat vraagt.

Een ondersteunende statistiekcursus: Doel,motivatie en faciliteitenAls voorbeeld van een JIT-cursus bespreek ik deondersteunende statistiekcursus bij de projectopdracht‘Aspirine’. Het ontwerp van deze cursus heb ik in hetnajaar van 2001 voltooid. In het voorjaar van 2002heb ik deze cursus voor de eerste maal gegeven. Deprojectopdracht ‘Aspirine’ wordt uitgevoerd doorinstromende havisten in de tweede helft van het eerstestudiejaar.In de opdrachtformulering voor het project ‘Aspirine’,zie [6], staat:Maak tien aspirinetabletten van gelijke samenstellingen bepaal het gehalte aan werkzame stof.De vereiste garantie van gelijke samenstelling wordt inde studiehandleiding ([6]) vertaald in de statistischevraag, een betrouwbaarheidsinterval op te stellen voorhet gehalte werkzame stof in de aspirines. Door deaard van de opdracht wordt kritische beschouwing enbeoordeling van meetgegevens alleen geoefend voormetingen van grootheden die aan normale verdelingenvoldoen.Iedere student die de statistiekcursus volgt, heeft eenTI-92Plus tot zijn beschikking (zie [9]). Op deze


FIGUUR 1A Voorbeeld van gemeten data

FIGUUR 1B Maatstaven van de data uit figuur 1A

FIGUUR 2A Simulatie van trekkingen uit de normale verdeling

FIGUUR 2B Resultaat van de simulatie uit figuur 2A

grafische rekenmachine wordt gebruik gemaakt vanstandaardfuncties en van mogelijkheden die hetprogramma infstat.9xg biedt (zie [8] en [10]).

Een ondersteunende statistiekcursus: InhoudIn het project ‘Aspirine’ dienen de studenten zich eerst terealiseren dat er vaste laboratoriumvoorschriften zijn voorde synthese van de werkzame stof in aspirine en voor debepaling van de hoeveelheid werkzame stof in een aspirine.Daarna liggen de volgende vragen van de studentenvoor de hand, als het ondersteunende onderwijs hintsin deze richting geeft:• Als wij aspirines produceren en controleren volgens

deze vaste voorschriften, kunnen we de hoeveelheidwerkzaam bestanddeel die we in elk van onzeaspirines bepalen dan opvatten als trekkingen uiteen normale verdeling?

• Als wij van bekende identieke normale verdelingenvoor al onze aspirines uitgaan, hoe wordt dan despreiding in de gemiddelde dosering van onzeaspirines beïnvloed door het aantal aspirines?

• Wat verandert in de spreiding in de gemiddeldedosering van onze aspirines als wij alleen vanidentieke normale verdelingen voor al onze aspirinesmogen uitgaan?

• Hoeveel aspirines moeten gecontroleerd worden omeen voldoend kleine spreiding te kunnengaranderen?

Antwoorden op deze vragen komen voort uit de JIT-onderwerpen:• normale verdelingen,• sommen en gemiddelden van normaal verdeelde

kansvariabelen,• betrouwbaarheidsintervallen voor gemiddelden van

onderling onafhankelijke identiek normaal verdeeldekansvariabelen bij onbekende standaarddeviatie,

• vereiste steekproefomvang bij gegeven marge.Ten behoeve van de theoretische consistentie wordentwee onderwerpen toegevoegd:• de maatstaven gemiddelde en standaarddeviatie uit

de beschrijvende statistiek,• betrouwbaarheidsintervallen voor gemiddelden van

onderling onafhankelijke identiek normaal verdeeldekansvariabelen bij bekende standaarddeviatie.

De projectvraag tien aspirinetabletten van gelijkesamenstelling te maken is in de ondersteunende cursusverwerkt door de volgende onderzoeksvragen.

Onderzoeksvraag 1Hoe kun je de metingen uit figuur 1A van dehoeveelheid werkzame stof in een zestal aspirineskarakteriseren?Oplossing:Maatstaven die deze metingen karakteriseren staan infiguur 1B. Hierbij staat x– voor het gemiddelde, Sx voorde standaarddeviatie en nStat voor het aantal metingen.

Onderzoeksvraag 2Zou het zestal gegeven metingen kunnen voortkomenuit een normale verdeling?


FIGUUR 3A Kansberekening bij willekeurige normaleverdeling

FIGUUR 3B Resultaat van kansberekening uit figuur 3A

FIGUUR 4A Bepaling grenswaarde bij bekende ‘ -kans’met ‘inverse’ normale verdeling

FIGUUR 4B Resultaat voor grenswaarde uit figuur 4A

Oplossing:Neem een normale verdeling met een gemiddelde enstandaarddeviatie gelijk aan de waarden uit figuur 1B.Genereer een zestal trekkingen uit die normaleverdeling, zoals in figuur 2A gebeurt. Vergelijk deresultaten uit figuur 2B met de zes voorbeeldmetingen.

Hoe kansberekening bij gegeven normale verdelingenverloopt, blijkt uit de figuren 3A en 3B voor gegevengrenzen met een te bepalen kans en uit de figuren 4Aen 4B voor een gegeven kans en een te bepalen grens.In de laatste situatie werkt het infstat.9xg-programmaaltijd met kansen in ‘-vorm’, zodat slechts éénonbekende bovengrens bepaald kan worden.

Voor gemiddelden van n onderling onafhankelijkeidentieke normale verdelingen met gemiddelde µ enstandaarddeviatie σ geldt de situatie van figuur 5. Eenonbekende gemiddelde steekproefuitkomst x– ligt dan

tussen µ�z��σn�

� en µ�z��σn�

� met kans 1�α.

Als, omgekeerd, het gemiddelde µ van de identiekenormale verdelingen onbekend is en de gemiddeldesteekproefuitkomst x– bekend uit metingen, ontstaat desituatie van figuur 6. Een onbekend gemiddelde µ ligt

dan tussen x–�z��σn�

� en x–�z��σn�

� met kans 1�α.

Onderzoeksvraag 3Wat is het 95%-betrouwbaarheidsinterval dat hoort bijde 6 metingen uit figuur 1A, onder veronderstellingdat σ�0,6?Oplossing:In figuur 7A worden de metingen ingevoerd bij List,hun frequentie bij Freq en de betrouwbaarheid (inprocenten) bij Conf-Level. Het betrouwbaarheids-interval 150,0 < µ < 151,0 volgt uit figuur 7B.

Waar figuur 7A een invuloefening is, is voor hetbepalen van een minimale steekproefomvang om eenvereiste precisie voor het onbekende gemiddelde tebereiken wel vereist dat met figuur 6 gerekend wordt.

Onderzoeksvraag 4Hoeveel metingen moeten er verricht worden om het95%-betrouwbaarheidsinterval voor het onbekendegemiddelde maximaal 0,2 breed te laten zijn?Oplossing:Uit figuur 6 volgt dat z�

�σn�

� 0,1. De z-waarde wordt

verkregen met de ‘inverse’ standaardnormale via een

-formulering met onbekende kans 0,95� �0,

205� �0,975.

Analoog aan figuur 4A en 4B volgt z �1,96. Het

oplossen van n uit 1,96 ��0,6

n�� 0,1 geeft n 139.

Tot slot volgt de meest praktijkgetrouwe situatie metonbekende standaarddeviatie σ in de normaleverdeling. Deze wordt geschat door de standaard-deviatie s van de gedane metingen. Daarom heeft hetonderliggende kansmodel voor deze situatie een


FIGUUR 5 Kansinterval voor onbekend steekproefgemiddelde x- bijnormale verdeling met gegeven µ en σ

FIGUUR 6 Betrouwbaarheidsinterval voor onbekende µ bij normaleverdeling met gegeven steekproefuitkomst x- en bekende σ

FIGUUR 7A Opdracht betrouwbaarheidsinterval voor gemiddelde µ tebepalen met t-waarde voor normale verdeling met onbekende σ

FIGUUR 7B Resultaat betrouwbaarheidsinterval uit figuur 7A

grotere standaarddeviatie dan bij bekende standaard-deviatie van de normale verdeling die de metingenverklaart. Er wordt dan met een t-verdeling met n�1vrijheidsgraden gewerkt in plaats van een normaleverdeling. Analoog aan de aanpak bij de normaleverdeling wordt met de t-verdeling een betrouwbaar-heidsinterval bepaald dat het onbekende gemiddelde µmet kans 1�α bevat bij bekende gemiddeldesteekproefuitkomst x–. Het resultaat is weergegeven infiguur 7.

Onderzoeksvraag 5Wat is het 95%-betrouwbaarheidsinterval dat hoort bijde zes metingen uit figuur 1A?Oplossing:In figuur 7A worden de metingen ingevoerd en hetresultaat staat in figuur 7B: 149,8 < µ <151,1.

Ook bij de t-verdeling kan naar steekproefomvanggevraagd worden, waarmee een onbekend gemiddeldeµ binnen vooraf gegeven marge vastgesteld kanworden. Deze vragen zijn ingewikkelder dan voor denormale verdeling, omdat de t-waarde afhangt van hetaantal vrijheidsgraden.

Evaluatie en conclusieMijn eerste ervaringen met de ondersteunende JIT-cursus statistiek bij het project ‘Aspirine’ zijn afkomstiguit het voorjaar van 2002. Zij zijn onverdeeld positief.Die cursusonderdelen die voldoen aan het principe vanJIT-ondersteuning motiveren de studenten zeer om hetantwoord uit te zoeken op het statistische deel van depraktische projectvraag hoe zij een gelijke doseringvan het gehalte werkzame stof in hun aspirines kunnengaranderen. In het bijzonder betreft het hier demethoden voor het opstellen van betrouwbaarheids-intervallen en de betekenis daarvan.Ook de voorbereidende onderdelen, die binnen de JIT-aanpak niet strikt noodzakelijk zijn om de garantievoor gelijk samengestelde tabletten te kunnen leveren,worden door de studenten als positief ervaren. Dedeelnemende hbo-studenten wilden zeker deachtergrond van de procedure doorgronden waarmeeuiteindelijk de geschikte betrouwbaarheidintervallenbepaald worden. Zij willen duidelijk kennis verwervendie aansluit bij hun vooropleiding, willen dieintegreren en tenslotte toepassen in het project-resultaat.Mijn eindoordeel is dat de studenten door de statistischeeisen in de projectvraag inderdaad de vaardigheidverwerven om gegevens die soortgelijke eigenschappenhebben als de aspirinedoseringen kritisch te beoordelenen hierover een statistisch verantwoorde uitspraak tedoen. Daarmee hebben zij een deel van de competentieverkregen, metingen kritisch te beoordelen op eenstatistisch verantwoorde manier.De studenten geven in de evaluatie positieve reactiesover de praktische bruikbaarheid van de cursus in hunprojectwerk.Ondanks het feit dat een iets bredere aanpak gevolgd isdan JIT-ondersteuning, vormt dit artikel een pleidooi

om praktische toepasbaarheid van het ondersteunendestatistiekonderwijs voorrang te geven boventheoretische consistentie van het logisch opbouwendeonderwijs, waar de echte praktijktoepassingen te langop zich laten wachten.

Bronnen

[1] A. Buijs: Statistiek om mee te werken (6e druk), EPN (1997).

[2] J.N. Miller, J.C. Miller: Statistics and chemometrics for analytical

chemistry (4th edition), Prentice Hall, Pearson Education (Harlow, UK,

2000).

[3] G.R. Norman, D.L. Streiner: Biostatistics - The bare essentials

(2nd edition), B.C. Decker Inc. (Hamilton, 2000).

[4] NVvW: Wiskunde in het nieuwe hoger beroepsonderwijs (Utrecht,

juni 2000).

[5] H. Staal: Perspectieven voor de wiskunde in het hbo - Verslag van

de tweede conferentie, Euclides 77-2 (oktober 2001).

[6] J. Uijlen, M. van Dongen: Studiehandleiding Thema Gezondheid -

Gemeenschappelijk Project ‘Aspirine’ (Propedeutische fase), Fontys

Hogeschool Toegepaste Natuurwetenschappen (voorjaar 2002).

[7] G. Wijnen, W. Renes, P. Storm: Projectmatig werken, Het Spectrum

B.V. (Utrecht, 1999).

[8] www.fontys.nl/natuurwetenschappen/procesregeling/

voor ondersteunend TI-92 programma infstat.9xg (kies de link naar

TI-92).

[9] http://education.ti.com/us/educatorms/product/graph/92p.html

voor informatie over TI-92Plus en zijn opvolger Voyager 200.

[10] ftp://ftp.ti.com/pub/graph-ti/calc-apps/92plus/math/stat/

voor de nieuwste versie van infstat.9xg.

Over de auteur

Jan Jelle Claus (e-mail: [email protected]) is verbonden aan Fontys

Hogeschool Toegepaste Natuurwetenschappen. Hij verzorgt onderwijs

in wiskunde, statistiek en informatica en is actief in de begeleiding

van studenten in de propedeuse. Zijn overtuiging is dat wiskunde en

statistiek veel beter doordringen bij hbo-studenten als directe

toepassing in praktijkproblemen in het onderwijs verankerd zit.


overstijgend) centraal. Daarom wordt terecht gestelddat binnen deze onderwijsvorm het aanbieden vangeïsoleerde vakken weinig zinvol is en dat er moetworden gewerkt aan het integreren van kennis envaardigheden uit de verschillende bestaande vakkenvoorzover die bijdragen aan efficiënte en effectieveproductie.En, of je het nu leuk vindt of niet, wiskunde leren omde wiskunde zelf of omdat het goed is voor dealgemene ontwikkeling (van het denken), past niet inhet denken van beleidsmakers of van het onderwijs-management binnen het beroepsonderwijs. In diekringen maakt men zich hooguit zorgen over het feitdat veel cursisten struikelen over dat abstracte vak. Uitervaring weet ik dat wiskunde gewoon uit beroeps-opleidingen wordt geschrapt, als niet overtuigend kanworden duidelijk gemaakt dat wiskunde wezenlijkbijdraagt aan de doelstellingen van de (competentie-gerichte) opleiding. Op beleidsniveau (o.a. ministerievan OC&W en AXIS; zie [2]) wordt ook zeer hardgewerkt aan het softer maken van de sector Techniek,teneinde meer studenten die Techniek in te lokken. Het

Competenties en PGOHet beroepsonderwijs is voortdurend in beweging. Veelmeer dan het algemeen vormend onderwijs wordt hetaangestuurd vanuit de eisen die de arbeidsmarkt stelt.De snelle technologische ontwikkelingen maken dattoekomstige werkers niet meer zozeer vakspecialistmoeten worden, maar personen die veel breder in hetarbeidsproces kunnen worden ingezet. Cursistenmoeten worden voorbereid op vaardigheden die hetleren hanteren van de huidige generatie werktuigen eninstrumenten te boven gaat. Deze tools kunnen immersal weer verouderd zijn tegen de tijd dat cursisten deopleiding afsluiten. De nieuwste trend in zowel hbo alsmbo wordt verwoord in de modieuze kreet‘competentiegericht opleiden’. In diverse publicaties(zie [1]) worden beroepscompetenties omschreven alsdie vermogens van een individu waarmee dekernopgaven van een beroep op een adequate,procesgerichte en productgerichte wijze kunnen wordenaangepakt. Competenties zijn in dat kader eensamenhangend geheel van kennis, vaardigheden enhouding, waarmee (per definitie complexe) probleem-situaties in de beroepspraktijk (de kernopgaven) te lijfworden gegaan. Van de acht soorten competenties dieworden onderscheiden zijn voor dit verhaal alleen dezogenaamde vakmatige en methodische competentiesvan belang. De vakmatige competenties hebben temaken met kennis van technieken en beheersing vanvaardigheden in het gebruiken van die technieken inprobleemsituaties. De methodische competentieskennen elementen als systematisch werken, planning,probleemoplossen en reflectie. De onderwijsvorm van het Probleem GestuurdOnderwijs (PGO) laat zich goed inpassen in het ideevan competentiegericht opleiden. In het hbo en mbo(en op korte termijn schuift volgens mij dit hele ideeook het vmbo binnen) is het PGO al breed omarmd. Indeze onderwijsvorm staat het leren werken aanauthentieke beroepsproblemen (en die zijn per definitiecomplex van structuur en de aparte vakken

IS WISKUNDEINTEGREERBAAR?Wordt wiskunde weggestopt in de praktijkvakken van hetberoepsonderwijs (zoals bij natuurkunde al vrijwel geheel isgebeurd) of moet het vak toch nog zelfstandig voortbestaan,en zo ja, hoe dan wel?[ Henk van der Kooij ]


een wiskundigevertaalt het probleem naarde abstractewereld …

spreekt welhaast vanzelf dat wiskunde daarbij wordtaangewezen als een van de grote boosdoeners voor diete geringe keuze voor Techniek. In diverse projectenvan AXIS rond het herontwerp van techniek-opleidingen merk je ook het bijna ongemerktverdwijnen van het traditionele vak wiskunde. En alser geen invulling gevonden wordt die afwijkt van detraditionele aanpak, dan wordt het vak gewoon nietmeer opgenomen in het studieprogramma. Er zijn dus tenminste twee externe redenen voor eenherbezinning op het vak wiskunde: de inrichting vanhet onderwijs (competenties en PGO) en het beleid tenaanzien van datzelfde onderwijs (softe Techniek). Daarom moeten antwoorden geformuleerd worden optwee fundamentele vragen:- Waarom draagt wiskunde bij aan de ontwikkelingvan competenties?- Welke wiskunde draagt bij aan het ontwikkelen vancompetenties?En die antwoorden moeten komen van dewiskundegemeenschap; anders komen ze helemaal niet,doodeenvoudig omdat niemand binnen het beroeps-onderwijs deze vragen stelt.

Waarom wiskunde?Eerst wil ik proberen te beschrijven hoe wiskunde in deberoepspraktijk niet en hoe wel wordt toegepast. Omdatik bezig ben geweest in het middelbaar technischonderwijs, beperk ik me daarbij tot de sector Techniek.Dat is overigens de sector waar je de grootste behoefte

aan ‘harde’ wiskunde mag verwachten. Voordat in 1996het TWIN-project (zie [3]) startte, is uitgebreidonderzocht welke wiskundige onderwerpen enmethodieken zinvol genoeg zijn om, als ondersteuningvoor de praktijkvakken, binnen een technischeberoepsopleiding te onderwijzen. Dan kom je tot detreurige conclusie dat de manier waarop de meesteonderwerpen in het oude programma aan bod kwamenweinig bijdraagt aan de vorming van goede

beroepsbeoefenaars. Verder was de abstracte, formelemanier van wiskunde bedrijven voor veel cursisten eenzodanig groot struikelblok dat het ze daardooronmogelijk werd gemaakt de opleiding van hun keuzeaf te maken. Cursisten die het bij de techniekvakkengoed doen werd na het eerste jaar een halt toegeroepenvanwege onvoldoende resultaten bij wiskunde en/ofnatuurkunde. Rond 1995 was dit voor veel directies vanhet mto aanleiding, het vak dan maar af te voeren vande lessentabel. De belofte om wiskunde dienstbaar temaken aan de praktijkvakken heeft de dreiging van hetafvoeren op veel scholen voorlopig afgewend. In hetTWIN-project zijn andere accenten gelegd bijwiskundige kennis en vaardigheden dan in het oudeprogramma. Door de onderwerpen en de behandelingervan zo te kiezen dat ze aansluiten bij wat er in depraktijkvakken wordt gedaan, is er erkenningafgedwongen voor het belang van wiskunde. De vraag‘waarom is wiskunde belangrijk voor een beroeps-opleiding’ moet dus niet vanuit de wiskunde wordenbezien, maar vanuit de praktijk(vakken) en sinds kortdus ook vanuit het idee van competenties en PGO. Maarde eisen en wensen moeten wel door wiskundigenworden geformuleerd, omdat de praktijkvakkers alleenhet traditionele beeld hebben van wiskunde met sterkalgoritmisch gekleurde aspecten als de abc-formule ende stelling van Pythagoras.Hoe wordt wiskunde in de (beroeps)praktijk dan welgebruikt? Literatuur op dit gebied bevestigthoofdzakelijk de ervaringen in het TWIN-project dieverderop worden besproken. Er is een groot verschiltussen de manier waarop wiskundigen een probleemaanpakken en de manier waarop praktijkmensen datdoen. Een wiskundige vertaalt het probleem naar deabstracte wereld van de wiskunde, zoekt daar naar eenoplossing en gaat met die oplossing terug naar dewereld van de praktijk. Als praktijkmensen eenprobleem oplossen waarbij wiskunde een rol speelt,dan blijven ze binnen de context van de probleem-situatie en zullen, bij het zoeken naar een oplossing,altijd gebruik maken van de specifieke kenmerken vandie probleemsituatie. Bij onderzoek in Engeland naar het gebruik vanwiskunde in verschillende beroepspraktijken bleekbijvoorbeeld dat piloten heel goed een koers kunnenuitzetten voor hun vliegtuig bij gegeven windrichtingen windkracht, maar dat ze een wiskundig volledigidentiek probleem waarbij een koers moet wordenuitgezet voor een roeibootje dat een rivier moetoversteken niet konden oplossen omdat de gegevensnelheden geen betekenis hadden. Ook bleek datsommige piloten de vertrouwde omgeving van decockpit nodig hadden om het koersprobleem op telossen (Noss & Hoyles, 1998). De Engelse onderzoekersspreken bij dit typische aanpakgedrag van beroeps-beoefenaars over anchors in de probleemcontextwaaraan het wiskundig bezigzijn is vastgeknoopt enpleiten voor aandacht in het onderwijs voor wat zijnoemen situated abstraction: abstractie die niet bovende gegeven context uitstijgt, maar rekening houdt metde eigenheid van diezelfde context.


…praktijkmensenblijven binnende context vande probleem-situatie

kennis van specifieke vakinhouden, maar vanuit hetidee dat cursisten ‘geëigende wiskundige methodiekenmoeten leren hanteren om een probleemstelling uit hetvakgebied aan te pakken en tot een oplossing tebrengen’. (Deze formulering is gebruikt in heteindtermendocument voor de doorstroom van mtonaar hto; het hele document is te vinden op de websitevan TWIN: www.fi.uu.nl/twin/.) Het sluit goed aan bijde manier waarop in het PISA-project (zie [5]) wordtgesproken over mathematical literacy. Ook daar wordtwiskundige geletterdheid niet beschreven vanuitleerstofinhouden, maar vanuit wiskundige competentie(onder andere vaardigheden op het gebied vanwiskundig denken en redeneren, modelleren, problemposing en problem solving, en het verstandig inzettenvan hulpmiddelen; dit is wat Steen de mathematicalhabits of mind noemt) en deze competenties moetenblijken op het gebruiken ervan op overkoepelendewiskundige concepten (kwantitatief redeneren,verandering en verbanden, ruimte en vorm,onzekerheid). Als wiskunde op deze manier wordt gepresenteerdblijkt dat beleidsmakers en management (h)erkennendat wiskunde nuttig en nodig is voor de beroeps-opleiding (bijvoorbeeld Onstenk, 2002). Natuurlijk is indit kader het leren van wiskundige technieken enspecifieke leerstofinhouden nodig, maar deze zijn welondergeschikt aan het doel waarvoor ze wordengeleerd en ingezet. Zo kan beslist worden dat, bij hetoplossen van praktische problemen, het doelmatig enverstandig kunnen inzetten van een grafischerekenmachine of een computeralgebrapakketbelangrijker is dan het handmatig kunnen manipulerenvan algebraïsche expressies.

In Amerika is Lynn Arthur Steen (zie [4]) eenvoorvechter van programma’s in de High School diemeer recht doen aan het toekomstperspectief van demeeste leerlingen: een beroep uitoefenen in plaats vannaar een universiteit te gaan. Hij beweert (en ik benhet daar mee eens) dat het gebruik van wiskunde inpraktijktoepassingen veelal neerkomt op het‘geraffineerd gebruiken van (een combinatie van)relatief elementaire wiskundige gereedschappen’ en dateen wiskundige grondhouding (mathematical habits ofmind) die is ingebed in contexten van de beroeps-uitoefening bijdraagt aan kwalitatief goede beroeps-beoefenaars. Deze kenmerkende wiskundige denk-patronen liggen ten grondslag aan veel aspecten vanbrede beroepscompetenties, maar worden (integenstelling tot eenvoudig herkenbare wiskundigevaardigheden van het rekenen, in de meetkunde en inde algebra) nu nog slechts sporadisch als wiskundigevaardigheden erkend (Steen, 2000). In beide gevallenkomt naar voren dat voor beroepsbeoefenaars nietzozeer het kennen van de formele wiskunde vooropmoet staan, maar het leren hanteren van (tamelijkelementair) wiskundig gereedschap in complexetoepassingssituaties.‘Waarom wiskunde’ kan daarom het best benaderdworden vanuit de methodische competenties. Debetekenis van wiskunde voor het beroepsonderwijsmoet volgens mij gezocht worden in haar bijdrage aanhet analyseren van problemen die in de context vanhet beroep spelen: het stimuleren van een problemsolving houding, het leren structureren van problemenom er zo beter greep op te krijgen en het lerenreflecteren op een (oplossings)proces. Dit houdt in dathet belang van wiskunde niet wordt bekeken vanuit de


FIGUUR 1 y�xn voor n�–3,–2,–1, 1, 2, 3 metlineaire schaling

FIGUUR 2 y�xn voor n �–3,–2,–1, 1, 2, 3 metlogaritmische schaling

Het lijkt wat arrogant om te claimen dat methodischecompetenties bij voorkeur bij wiskunde wordenontwikkeld, maar het is een feit (en dit wordtonderschreven door beleidsmakers en management) datde praktijkvakken zich weinig of geheel nietbezighouden met aspecten als problem solving enreflectie. Daar staat het maken van een productcentraal en niet (kennelijk typisch wiskundige) vragenals ‘wat gebeurt er met het proces en het eindproductals er iets wordt veranderd in bepaalde onderdelen vandat proces?’, die duiden op kritische reflectie en diegericht zijn op kwalitatieve verbetering van het temaken product of op optimalisering van het proces.

Welke wiskunde?Bij de inventarisatie binnen TWIN van zinvollewiskundige activiteiten voor de sector Techniek isonder andere geconstateerd dat:- functies alleen optreden als verbanden tussengrootheden;- grootheden per definitie gekoppeld zijn aandimensies en eenheden;- recht evenredig en omgekeerd evenredig sleutel-begrippen zijn in de techniek en bijna de enige vormwaarin machtsverbanden voorkomen.Ik noem deze twee aspecten uit een uitgebreidere rij,omdat ze duidelijk maken dat zinvolle wiskundigeactiviteiten hierbij zo anders kunnen zijn dan we vande wiskundelessen gewend zijn. Eén van de kern-activiteiten in wiskundelessen lijkt nog steeds hetontbinden in factoren. Maar in de techniek komenveeltermfuncties eigenlijk niet voor, dus het ontbindenin factoren van kwadratische expressies is niet nuttig.

In dit kader past wellicht een uitspraak van eenAmerikaanse wiskundedocent van een Two YearCollege die jarenlang als mijningenieur ondergrondshad gewerkt, in een discussie over het nut van hetontbinden van veeltermen: ‘You better believe me, in40 years I never saw any of those damned polynomialsdown there’.

Wel zinvol is het kunnen weergeven in een formulevan uitspraken als ‘de aantrekkingskracht is rechtevenredig met de massa’s van de twee voorwerpen enomgekeerd evenredig met het kwadraat van hunafstand’ en het besef dat een verandering in één vande grootheden verschillende gevolgen heeft voor dekracht: verdubbeling van één van de massa’sverdubbelt de kracht, maar verdubbeling van hetkwadraat van de afstand halveert de kracht. Ook hetherkennen van dergelijke (globale) verbanden intabellen en in grafieken met lineaire schalen en metdubbellogaritmische schalen is een krachtig middel omgreep te krijgen op mogelijke (machts)verbandentussen grootheden (zie figuur 1 en figuur 2). Dat wiskunde bij voorkeur niet meer geïsoleerd van deandere vakken wordt onderwezen, probeer ik duidelijkte maken met de volgende wiskundige vraag.

Het vermogen P dat een windmolen levert is rechtevenredig met het kwadraat van de wieklengte D enmet de derde macht van de windsnelheid V. Welke formule beschrijft dit verband: P = c · D2 · V3 of P = c · (D2 + V3)?


FIGUUR 3 en FIGUUR 4 Betekenisvolle getallen FIGUUR 5 Correct binnen de wiskunde

s�2(t – 3) en s�2t – 6: algebraïsch gelijk, maar (als de getallen betekenis

hebben) toch ook verschillend.

Persoon A loopt met snelheid 2 m/s; de personen B en C lopen met dezelfde

snelheid achter persoon A aan. Persoon B start 3 sec later vanaf dezelfde

plek; persoon C start op hetzelfde moment, met een achterstand van 6 m.

De formule s�2(t – 3) heeft als structuur afstand�snelheid� tijd

De formule s�2t – 6 heeft de structuur afstand�afstand – afstand

De grafiek van de lineaire functie f gaat door (0, 32) en

(20, 68). De formule bij de rechte lijn is dan

y� �59

�x�32. De rechtlijnige grafiek van de inverse functie g is

het spiegelbeeld van de grafiek van f in de lijn y�x en heeft

als formule y� �95

�(x�32).

wiskunde zijn een pleidooi voor een invulling vanwiskunde op het grensgebied met de techniek en denatuurkunde. Dus gooi alles maar op een hoop en laatde wiskunde aan bod komen als een praktischeprobleemstelling er om vraagt. Het is aantrekkelijk enmotiverend voor cursisten om de benodigde wiskundete leren op het moment dat er behoefte aan is, omdatze zonder het wiskundig gereedschap het gesteldeprobleem niet kunnen oplossen. Maar wiskundebeperken tot dit soort incidentele verschijningen ervan,alleen maar gekoppeld aan de momentane behoefte,heeft naast de positieve effecten (met name voor demotivatie) ook negatieve aspecten. De belangrijkste isdat wiskunde in die zin al snel verwordt tot eenverzameling hapklare brokjes van techniekjes enslimmigheidjes zonder onderlinge samenhang enoverkoepelende concepten. Om het begrip recht enomgekeerd evenredig als concept te begrijpen en alszodanig te leren hanteren, zijn losstaandecontextgebonden ervaringen niet voldoende. Juist deverschijning ervan in verschillende probleemsituatiesvormt de aanleiding om het begrip als zodanig (destructuur van bijbehorende formules, de vorm van degrafieken, het karakteristieke veranderingsgedrag)boven de toevallige context uit te tillen. En dat hoeftniet door het begrip volledig te abstraheren van debetekenis van de variabelen in de verschillendecontexten. Dat kan ook heel goed gebeuren door percontext te bezien welke karakteristieken bij zo’nverband contextafhankelijk zijn en welke daarvanonafhankelijk zijn. Daarmee bereik je transfer op eenandere manier dan tot nu toe gebruikelijk in hetwiskundeonderwijs. Dit zou ik (in navolging van Noss& Hoyles, 1998) gesitueerde abstractie willen noemen,

Aantonen dat de tweede formule niet deugt iswiskundig niet simpel, een common sense redeneringis dat wel: Bij windstilte (V�0) levert de molen nogsteeds vermogen en dat deugt niet. Maar eenwiskundige zal niet snel op het idee komen waarop eennatuurkundige spontaan komt: een formule waarin dedimensies niet kloppen kan niet goed zijn, dus je kuntnooit D2 (met dimensie m2) en V 3 (dimensie m3/s3) bijelkaar optellen. En daarmee zijn we bij de eersteconstatering: in toepassingen zijn getallen niet zomaargeslachtsloos zoals in de wiskunde; ze stellen altijdwat voor. Het zijn grootheden die betekenis hebben endie dimensies met zich meedragen. Dat gegeven helptstudenten om te kunnen rekenen en redeneren (deankers van de probleemsituatie; zie Noss & Hoyles,1998) en het kan ze ook helpen om wiskunde beter tebegrijpen (zie figuur 3 en figuur 4). In feite ben je danmet wiskunde bezig in het grensgebied metnatuurkunde en techniek, waarbij argumentaties enredeneringen uit die vakgebieden een eigen plaatskrijgen. Als je bij variabelen en constante getallen dedimensies meeneemt, word je als wiskundige ookgeconfronteerd met het feit dat binnen het systeem vande wiskunde juistheden bestaan die erbuiten nietbruikbaar, dus onjuist, blijken te zijn (zie ook Van derKooij, 2001). Zie figuren 5, 6 en 7.

Is wiskunde dus integreerbaar?Op basis van bovenstaande bespiegelingen lijkt hetvoor de hand te liggen om wiskunde als zelfstandigvak overbodig te verklaren. De gerichtheid(competenties) en de inrichting (PGO) van hetberoepsonderwijs smeken bijna om volledige integratie.De hierboven genoemde voorbeelden van zinvolle


FIGUUR 6 Incorrect buiten de wiskunde Figuur 7 Correcte wiskunde in toepassingen

Het principe van figuur 5, maar nu met C(elsius) voor x en

F(ahrenheit) voor y. De wiskunde, blind toegepast, levert hier

twee verschillende formules voor het omrekenen van C naar F:

F� �59

�C�32 en F� �95

�(C�32). Oorzaak: de namen van

geslachtsloze variabelen kun je verwisselen; betekenisvolle

grootheden laten zich niet uitwisselen!

Functie en inverse functie zijn twee tegengesteld gerichte

verbanden, die in één grafiek in twee richtingen worden

uitgelezen.

Bij f hoort de formule F�5/9C�32 en bij g hoort de formule

C�9/5(F�32).

in tegenstelling tot de volledige abstractie die vaakwordt nagestreefd in het wiskundeonderwijs. In devormen van PGO die ik ken van het mbo is gelukkigruimte gereserveerd voor tenminste een uur wiskundein wat wordt genoemd lintonderwijs. Naast het werkenaan een integraal beroepsthema kunnen afzonderlijkevakken daar ‘flankerend’ onderwijs aanbieden. In zulkeuren kunnen met name de methodische competentiesaandacht krijgen en, zoals eerder gezegd, dat zijn bijuitstek de competenties die binnen de wiskundekunnen worden verworven. En wat mij betreft hoeftzo’n vak niet eens wiskunde te heten (want dat schriktkennelijk teveel af), maar dekt een naam als ‘methodenen technieken’ de lading ook.Natuurlijk brengt dit weer andere problemen met zichmee. Niet alle cursisten zijn op hetzelfde niveaugeschoold in de wiskunde en dus is aandacht voortechnische vaardigheden ook nodig. Om te voorkomendat de spaarzame wiskundelessen te nadrukkelijkworden gebruikt voor het aanleren en inslijpen vantechnieken, wordt serieus overwogen een wiskunde-database te ontwikkelen waarin cursisten op eigenniveau en op eigen kracht wiskundige concepten entechnieken kunnen bestuderen. In een vervolgartikel zal aandacht worden besteed aande manier waarop wiskunde is ingevuld binnen eenPGO-opzet van het mbo en aan de manier waarop eenwiskunde-database daarin een belangrijke rol kan spelen.

Noten

[1] Een verhandeling over de noodzaak van een omschakeling naar

competentiegericht opleiden is te vinden in een publicatie van de

Advies Commissie Onderwijs-Arbeidsmarkt:

ACOA: Een wending naar kerncompetenties, ACOA (‘s-Hertogenbosch,

1999).

Bij het Cinop is een publicatie verschenen waarin de betekenis van

wiskunde en natuurkunde binnen competentiegericht beroepsonderwijs

wordt besproken in bijdragen over competenties (Jeroen Onstenk), het

onderwijsmodel Probleem Gestuurd Onderwijs (Regina Mulder),

wiskunde (Henk van der Kooij) en natuurkunde (Eric Payens).

Cinop: Exacte vakken en competenties in het beroepsonderwijs, Cinop

(’s-Hertogenbosch, 2002).

[2] AXIS, een subsidiefonds opgezet op initiatief van de overheid en

werkgevers, geeft financiële steun aan projecten die gericht zijn op

imagoverbetering van de sector Techniek om daardoor de keuze voor

techniek te stimuleren. Binnen het vmbo, mbo en hbo zijn specifieke

projecten gestart onder het kopje Herontwerp Techniekopleidingen. Bij

al die projecten klinkt door dat de techniek minder hard moet worden

om er voor te zorgen dat de sector aantrekkelijker wordt, zodat meer

leerlingen ervoor gaan kiezen. Zo zijn de ICT-opleidingen, die tot voor

kort onder de afdeling elektrotechniek vielen, nu ingericht vanuit een

samenwerkingsverband van economie en elektrotechniek. Om de

economie-gerichte cursisten niet te veel af te schrikken werd achteloos

besloten om wiskunde uit het programma te schrappen.

[3] Het TWIN-project (Techniek, Wiskunde, ICT, Natuurkunde) was er

op gericht om de twee vakken wiskunde en natuurkunde daadwerkelijk

ondersteunend te maken voor de beroepsvakken. Daartoe zijn geheel

nieuwe programma’s ontwikkeld die veel beter dan in het verleden

gekoppeld zijn aan directe bruikbaarheid binnen de praktijkvakken van

de opleiding en in de beroepspraktijk, met ook ruime aandacht voor

ICT-gebruik.

[4] Lynn Arthur Steen is professor aan een Two Year College in

Amerika en mede vanuit die functie zeer betrokken bij het

wiskundeonderwijs. Quantitative literacy en wiskundeonderwerpen in

High School die meer beroepsnabij zijn dan die van het huidige

curriculum, zijn de twee belangrijkste drijfveren voor een grote stroom

aan publicaties van zijn hand. Op zijn eigen website

(www.stolaf.edu/people/steen/) zijn veel interessante artikelen en zelfs

boeken te downloaden. In het PISA-project is zijn idee overgenomen

om wiskundeonderwijs te benaderen vanuit overkoepelende wiskundige

concepten. Een paar van zijn belangrijke publicaties:

- On the Shoulders of Giants / New Approaches to Numeracy, National

Academy Press (1990);

- Everybody Counts, National Academy Press (1989);

- ‘Beyond Eighth Grade / Functional Mathematics for Life and Work’

(with Susan L. Forman). In: Maurice Burke (ed.): Learning

Mathematics for a New Century (2000 Yearbook), National Council of

Teachers of Mathematics (Reston, VA, 2000), pp.127-157;

- Why Numbers Count / Quantitative Literacy for Tomorrow’s America

(ed.), The College Board (1997).

[5] PISA (Programme for International Student Assessment) is een

internationaal project van de OECD, waarin om de drie jaar in alle

deelnemende landen 15-jarigen worden getest op taalkundige,

natuurwetenschappelijke en wiskundige geletterdheid. In 2000 was

taal het hoofdonderwerp; in 2003 is dat wiskunde. Zie bijvoorbeeld

het artikel ‘Nederland nummer 1, maar buiten mededinging’ in de

Nieuwe Wiskrant, 21(4), juni 2002 (Kees Lagerwaard en Gerben van

Lent).

Referenties

- H. van der Kooij: Dimensievolle algebra. In: Nieuwe Wiskrant 20(2),

december 2000, pp.33-38.

- R. Noss, C. Hoyles: Anchoring Mathematical Meanings in Practice.

Presentatie op de internationale ‘Conference on Symbolizing and

Modeling in Mathematics Education’; Freudenthal Instituut (Utrecht,

juni 1998).

- L.A. Steen: Making Authentic Mathematics Work For All Students.

In: Education for Mathematics in the Workplace, Kluwer Academic

Publishers (Dordrecht, 2000).

- J. Onstenk: Beroepscompetenties, kernproblemen en exacte vakken.

In: Exacte vakken en competenties in het beroepsonderwijs, Cinop

(’s-Hertogenbosch, 2000).

Over de auteur

Henk van der Kooij (e-mailadres: [email protected]) werkt bij het

Freudenthal Instituut en is daar nu vooral gericht op wiskunde voor de

hele beroepskolom (vmbo-mbo-hbo). Hij was coördinator van het

TWIN-project en is lid van de Landelijke Examen Commissie mbo wis-

en natuurkunde en van de hbo-werkgroep van de NVvW. Verder is hij

betrokken bij het project TechMAP van COMAP (COnsortium for

Mathematics and its APplications) in de VS, waarin wiskundemodules

gericht op technische toepassingen worden ontwikkeld voor High

School. Ook werkt hij bij de vakgroep wiskunde van de Archimedes

lerarenopleiding, Hogeschool van Utrecht.


SCHOOLWISKUNDE, DE RESTAURATIE VAN EENLEERGEBIEDHoe krijgen we wiskunde als schoolvak weer op orde enaantrekkelijk?[ Roel van Asselt ]

InleidingMijn nichtje Yvonne is twaalf jaar en ze leest NicciFrench. Wat motiveert haar om op – en boven - de toppenvan haar bevattingsvermogen te lezen? Wellicht zit dat inzaken die ze nog niet helemaal begrijpt, maar die al weleen vage betekenis hebben; het boek confronteert haarmet de grote wereld, waarnaar ze soms moet gissen hoedie werkelijk in elkaar zit. Dat er ook geheel witte vlekkenzijn, maakt het nog spannender: ze hoort er immers - doorhet lezen – dan toch al een beetje bij. De leeszin wordtverder gestimuleerd omdat al lezend de kwartjes kunnengaan vallen; ze groeit een beetje mee met het boek.Lezen en leren is niet hetzelfde. Maar er is genoegsamenhang om in dit artikel aan te tonen dat hetmanco van de huidige schoolwiskunde is, dat ze denieuwsgierigheid van de leerling onvoldoende prikkelten weinig ‘mysterieus’ te bieden heeft van een soortdat jonge mensen aanspreekt. In dit artikel wordt desituatie van de schoolwiskunde nader geanalyseerd enworden voorstellen ter verbetering gedaan.

Wat is Wiskunde ?Wisconst is vanouds de ‘leer der zekerheden’. Niet dezekerheden van Nicci French, maar die van systemendie met een aantal basisafspraken zijn vastgelegd enwaarbinnen door juiste redeneringen een heelbouwwerk van zekerheden kan worden opgetuigd.Voorbeeld. Vanuit een paar eenvoudige afspraken overlijnen en punten wordt een hele logische wereld van de(Euclidische) meetkunde opgebouwd, een wereld diesteeds verder groeit, waarin alles klopt en waarmee veel– maar niet alles - van de werkelijkheid verhelderd enberedeneerd kan worden.Einstein – ook op zijn twaalfde – ontdekte het op devolgende wijze.‘Het waren beweringen, bijvoorbeeld over de snijdingvan drie hoogtelijnen van een driehoek in één punt die– ofschoon ze enigszins evident waren – met eendusdanige zekerheid aangetoond konden worden, dat zeboven alle twijfel verheven werden. Deze helderheid enzekerheid maakte een onbeschrijfelijke indruk op mij.’Naast verklaringen roept de wiskunde ook vragen op.Soms valt het kwartje niet: waarom kunnen allerationale getallen – op een oneindig lange getallen-rechte afgebeeld - worden opgesloten op eenintervalletje van willekeurig kleine lengte, en waaromlukt dat bij reële getallen niet? Dat soort dingenintrigeert. We moeten soms nog gissen naar hoe hetwerkelijk zit: Nicci French in een kinderhoofd. In datkinderhoofd zal het wel goed aflopen, maar dewiskundige Cantor is krankzinnig geworden van ditsoort ogenschijnlijke paradoxen uit de verzamelingen-leer, omdat hij sommige dingen niet op een rij konkrijgen en daar niet in berustte. Kijk, dat hoeft nou ookweer niet. Maar het geeft wel aan dat wiskunde iets tebieden heeft dat meeslepend kan zijn, in proportie ookvoor scholieren.

Wiskunde als schoolvakWaarom is wiskunde bij leerlingen minder in trek dantwintig jaar geleden en waarom kiezen zo weinig

studenten wiskunde als een vervolgstudie? Ofpreciezer: waarom is de wiskunde in de brugklas nogwel in trek, maar vermindert het enthousiasme met hetstijgen der schooljaren? Mijn vermoeden is datdaarvoor drie verklaringen zijn te geven die terug tevoeren zijn op de wijze waarop wiskundetegenwoordig als schoolvak wordt aangeboden,waarbij een aantal boeiende kenmerken van wiskundete weinig aan bod komen.Een eerste aanwijzing is dat de schoolwiskunde hetimago heeft van een discipline waarin alles al is ofwordt opgelost. Het schoolvak wiskunde reiktleerlingen nauwelijks dilemma’s aan. Het vak wordtgepresenteerd als een vak zonder witte vlekken. Watleerlingen wel te zien krijgen is een gevarieerdeverzameling van concrete contexten (als toepassingenvan de wiskunde). Nieuwe onderwerpen beginnen ermee en sluiten er mee af. Dat alles roept de sfeer opvan een vakgebied dat ontworpen is om dagelijkseprobleempjes op te lossen. Op die manier, zegt men,ontstaat ‘realistische wiskunde’. Argwanend zou je jemoeten afvragen wat dan ‘onrealistische wiskunde’ zalzijn. Natuurlijk is het constructivisme (al lerend dewerkelijkheid construeren) van grote betekenis voorhet leren. Maar dan gaat het wel over grote thema’szoals het ontstaan van het leven, de omvang van hetheelal, de verwondering van het begrijpen, het omgaanmet dilemma’s. Dat spreekt meer aan dan rechthoekendie chocoladerepen zijn geworden, blokken die voorzwembad spelen of punten en lijnen die doen alsof zevliegtuigen en landingsbanen zijn.In de achttiende eeuw waren complexe toegepastevraagstukken (zoals de kettinglijn, de sleepcurve etc.)onder wiskundigen overigens een ware rage (een hype)náást de ontwikkeling van de zuivere wiskunde; doorde eeuwen heen was dat de speltheorie. Als didactischuitgangspunt én sluitstuk van de schoolwiskundelijken contexten door de nog beperkte mogelijkhedennaar aard en diepgang evenwel geen goede keuze omde nieuwsgierigheid van leerlingen te prikkelen.Een tweede reden waarom wiskunde grote groepenleerlingen niet ‘pakt’ is de vorm van toetsing enafsluiting. De schooltoetsen en landelijke examens inhet voortgezet onderwijs zijn nogal product- enuitkomstgericht, en nodigen niet direct uit tot reflectie.Een complexe examenopgave is vaak uit elkaargehaald in een aantal deelvragen en deelstappen, zeg(a) tot en met (f), waarbij (f) het eindresultaat is vandeze niet door de leerling zelf bedachteoplossingsroute. Bij de leerlingen moet dat wel haasthet gevoel oproepen dat zij iets volbrengen dat ze opeigen kracht nooit zouden hebben bereikt. Dat leidtniet tot verwondering en daagt niet uit tot reflectie,daarvoor is het teveel het resultaat van andermansredenering. Het is op die manier even oninteressant ensaai als de detectiveroman waarin op de laatstebladzijde voor het eerst de tuinman ten tonele wordtgevoerd die de moord heeft gepleegd. Het meedenkenwordt niet beloond, anderen voeren de regie. Waaromzou je zo’n vak gaan studeren in het wetenschappelijkonderwijs of op een hbo-lerarenopleiding?


fotoalbum en de Donald Duck. De vraag is of dat echtallemaal nodig is om de belangstelling van leerlingenvoor wiskunde te trekken. Maar misschien ook wèl,gelet op de illustraties bij dit artikel…Wat in alle wiskundeprogramma’s van de Bavo tot enmet wiskunde B2 opvalt is de ‘invisible hand’ die dewiskunde transformeert in ict-ondersteunde,contextgestuurde oploswiskunde. Deze Nescafé legthet, naar mijn smaak, af tegen echte koffie: wiskundedie zijn oorsprong vindt in ook zelfbedachteprobleemstellingen (Descartes) of vanuit een fysischecontext (Newton) of vanuit de speltheorie, enzovoorts.Waar het in het schoolwiskunde-programma hoe danook om zou moeten gaan, is dat je leerlingen kuntlaten zien wat een theorie eigenlijk is, dat een theoriezich zelfstandig kan ontwikkelen en hoe geweldig verje daarin kunt meegroeien. Juist de beslotenheid vande wiskunde enerzijds en de universele toepassing vanhet wiskundig denken anderzijds zijn zo intrigerend.Het wiskundeprogramma zou dus een balans moetenzijn tussen enerzijds wiskunde om de wiskunde zelf,net als poëzie en muziek (wat is daar op tegen?), enanderzijds natuurlijk ook wiskunde om detoepasbaarheid, maar dan wat minder verkrampt danin de huidige programma’s en methodes. Max Planckontwikkelde zijn theorie niet omdat hij daarmeetelevisies kon laten werken; dat bleek pas veel later.Hetzelfde geldt voor de getaltheorie en de daaropgebaseerde praktische cryptologie. Er is niets zopraktisch als een goede theorie… met inachtnemingvan de volgorde der dingen.De eerder aangegeven overdosering aan ‘praktischevoorbeelden’ in het wiskundeonderwijs zal mede terugte voeren zijn op de Nederlandse situatie waarbij inalle havoen vwo-programma’s iets van wiskundeverplicht is. Om dat leefbaar te houden voor alleleerlingen wordt er veel vanuit, en naar, alledaagsetoepassingen toegewerkt. De vraag is of dat een goedeaanpak is. Niet iedereen heeft aanleg voor de wiskundedie er achter zit en waar het uiteindelijk om zoumoeten gaan. Zij die er wel aanleg voor hebben,snappen heus wel dat er voldoende toepassingen tebedenken zijn. Voor hen geldt juist dat ze een groteregereedschapskist en meer wiskundige intuïtie moetenkunnen ontwikkelen voor nu en later. De huidige A-programma’s in het voortgezet onderwijs en dewiskunde op het mbo voorzien daar in onvoldoendemate in. Er lijkt een grote terughoudendheid voorabstracties in die schoolwiskunde en de leerboeken,terwijl die juist zo kenmerkend is voor wiskunde alsdenkdiscipline.Het beeld dat de boeken (en ook de wiskunde-examensuit de natuurprofielen) verder oproepen is een robuustbeheersniveau van algebraïsche vaardigheden van deleerlingen. Gelet op de constateringen over dat typevaardigheden kan dat haast niet worden waargemaakt.Ook in de vervolgopleidingen blijken studentenonvoldoende op routine te kunnen terugvallen.Beweringen als

�a2�b2��a�b, �a�

1b

�� 1a

� � �1b

�, zijn na een wel-

Anderzijds weten we gelukkig ook dat mede door deinzet van de grafische rekenmachine (GR) er meerdereoplossingsroutes voor leerlingen mogelijk enbereikbaar zijn bij de aanpak van enkelvoudige vragenen vraagstukken. Dat kan de motivatie weer positiefbeïnvloeden.Een derde motief waarom leerlingen kunnen afhaken is‘het gedoe’ met de elementaire algebra. Wordt hetnamelijk wel spannend, dan wordt dat vaak tenietgedaan door een gebrek aan routineuze vaardigheden,door een gebrekkige algebraïsche ondergrond. Eenvoorbeeld uit wiskunde B12 vwo. De stelling is: iederebegrensde monotoon dalende of stijgende rij heeft eenlimiet. Om via deze stelling te bewijzen dat un � �

2nn�1�

een limiet heeft, moet o.a. worden aangetoond dat un < un �1 voor n�1, 2, 3, … Leerlingen lopen hier vast,te beginnen met de uitdrukking voor un �1. Niet vanwegede complexiteit, maar vanwege de geringe vaardighedenop elementair niveau – in dit geval het uitvoeren vaneen substitutie. Hier heeft de basisvorming, zo lijkt het,steken laten vallen. En waarom eigenlijk? Is het juistniet stimulerend voor leerlingen om zelfvertrouwen opte bouwen in het ontwikkelen van wat algebraïschevaardigheden, waarbij blijkt dat ze er steeds beter inworden naarmate ze langer oefenen?Wellicht dat sommigen menen dat dit soort problemenjuist goed met behulp van de GR kan worden opgelost.Feitelijk klopt dat, maar het maakt de leerling welafhankelijk en het vergroot niet het zelfvertrouwen insituaties waarin het niet meer met de GR zou kunnen,bijvoorbeeld in vervolgopleidingen. De situatie is danvergelijkbaar met personen die zeggen een vreemdetaal te beheersen maar in dat buitenland in eenwoordenboek moeten snuffelen om te kunnencommuniceren.Maar ook minder ver van huis loopt het gebruik vanwiskunde stroef. Economieleraren constateren datC&M- en E&M-leerlingen op het havo massaal afhakenals het woord ‘percentage’ in een opgave voorkomt.Mts-docenten constateren dat a�2 een onhanteerbareuitdrukking is voor mavo-D leerlingen die wiskundehebben gehad.Mijn nichtje heeft ook eerst de Nederlandse taalmoeten leren om French te kunnen lezen. Zo ook zalde wiskundige grammatica en het idioom eerst eenbeetje beheerst moeten worden om iets met en iets inwiskunde te kunnen ontdekken en er met enigzelfvertrouwen mee om te kunnen gaan.

Reflecties op het programma en deleermiddelenBladerend door de huidige wiskundeboeken valt het opdat deze voor wat betreft de didactiek kwalitatief zeerhoogwaardig zijn. Er is goed nagedacht over de wijzevan inzichtelijke stofbehandeling en de mogelijkhedenvan zelfstudie. Het didactisch repertoire is afwisselenden origineel. Gelet op het grote aantal onderwerpenmoet het tempo wel erg hoog zijn en moeten leerlingenvaak schakelen tussen de verschillende onderwerpen.Wat de lay-out van de boeken betreft: het komt overals een vreemde mengeling van een encyclopedie, een


verdiende zomervakantie na het eindexamen aan deorde van de dag.Wat bovendien opvalt is het brede repertoire aan minof meer onafhankelijke onderwerpen die in deprogramma’s aan bod komen; de diepgang kan niet alte groot zijn. Het beheersniveau van de onderwerpenzal – mede gelet op de beperkte algebraïschevaardigheden - onvoldoende groot zijn om deleerlingen het gevoel te geven of ze iets nu wel of nietbegrijpen. Het verschil tussen iets kennen en ietsherkennen wordt diffuus voor ze; als leerlingen ietsherkennen menen zij dat ze het ook weten enbegrijpen, terwijl de stof onvoldoende doorleefd is, metalle gevolgen voor het gebruik ervan in de andereschoolvakken en in de vervolgopleidingen.

HandicapsLos van bovenstaande problemen heeft het vakwiskunde een paar handicaps die het moeilijk makenhet vakgebied in deze tijd aantrekkelijk te maken voorleerlingen.

1. De eerste handicap lijkt de no-nonsense cultuurwaardoor ook adolescenten zich al gauw overvakinhouden afvragen: ‘Wat heb je hier nou aan’, ofliever: ‘Wat heb ik hier nu aan’. Een langer-termijn-perspectief (wat een onderdeel van het antwoord opdeze vragen is) spreekt heden ten dage niet zo aan.Ook de overladenheid van de programma’s maakt hetleraren soms moeilijk de nuttigheid van onderwerpenen deelvaardigheden steeds weer uit te leggen. Om ‘hetnut’ van wiskunde zichtbaar te maken worden danmaar huis-, tuin- en keukenvoorbeelden opgevoerd, diede ware aantrekkingskracht en de mystiek van dewiskunde te zeer verborgen houden. Vanuit hetvaklokaal is er bovendien in de ogen van de leerlingenweinig directe verbinding met het deel van debuitenwereld waarin ze (wel) geïnteresseerd zijn.Anders dan bij de talen, de zaakvakken, de overigeexacte vakken en de cultuurgerichte leergebieden is erbuiten de school weinig direct zichtbaar van de

schoolwiskunde. Overigens ook niet van ‘techniek’, hoevreemd dat ook klinkt: van de hele techniek van eenliftinstallatie in een gebouw zie we alleen het knopjevoor ‘naar beneden’ en ‘naar boven’. Als we demotorkap van onze auto openen, zien we bijnahelemaal niets meer dat ons aan techniek ofwerktuigbouw doet herinneren, hooguit aanelektronica.

2. Een andere handicap is dat wiskunde geen idolenheeft. Van welke wiskundige zal een zestienjarige nuzeggen: ‘Zo wil ik ook worden’? Een docent kan nogwel iets bereiken met jongens als Evariste Galois ofmet meisjes als Maria Agnesi of Sonja Kovalevski.Maar ja, het is al zo lang geleden dat die jong warenen hun wiskunde was zo extreem superieur datjongeren zich er nauwelijks mee kunnen identificeren.Een ‘slimme’ en ‘charmante’ mts’er of ingenieur in eentv-soap zou veel goeds kunnen doen voor de bèta-vakken. Het recent verschenen boek ‘Een schitterendbrein’ over de wiskundige en Nobelprijswinnaar JohnNash leverde wel een mooie film op (met Russell –Gladiator - Crowe in de hoofdrol), maar zal als boekniet snel op de boekenplank of boekenlijst van een 17-jarige staan.

3. Waar wiskunde en technische disciplines alsvervolgstudie mee worstelen is het feit dat zij moetenopboksen tegen modieuze vervolgstudies metassociaties naar ‘management’, ‘communicatie’,‘business’ of ‘ínternational’. Stuk voor stuk beroeps-opleidingen die in een vorige generatie opleidingenniet meer dan een stevige afstudeeropdracht waardzouden zijn geweest. Dramatisch, maar wel eenonderdeel van onze westerse werkelijkheid. De keuzevoor bijvoorbeeld economische vervolgstudies en dekeuze voor het profiel E&M en die voor een mbo-opleiding in de economische sector wordt vaakingegeven door het idee dat daarmee later veel snelgeld te verdienen is. In veel gevallen blijkt datwenkend loopbaanperspectief uit te lopen op hetverkopen van hypotheken en levensverzekeringen aanechte yuppen die een bèta-opleiding, of helemaal geenopleiding, hebben volbracht…

VerbeteringenHoe krijgen we de wiskunde als schoolvak weer oporde en aantrekkelijk?Hierbij een aantal suggesties gerubriceerd naar inhoud(programma) en vorm.

Programmaveranderingen1. Schrap 50% van de onderwerpen uit de school-wiskunde, en handhaaf de studielast. Programmeergeen onderwerpen waarvan bekend is dat de leerwinst– ook met veel studielast - maar zeer beperkt is als deleerling er geen aanleg voor heeft, zoals bij ruimte-meetkunde, kansrekening of ingewikkelde notaties. Zetde overgebleven onderwerpen voldoende diep neer envermijd oppervlakkigheid. Voor vervolgopleidingen isde afwezigheid van een onderwerp een duidelijker en


Fokke en Sukke in het studiehuis, NRC-Handelsblad

eens een video over een actueel, technisch probleemdat nog niet is opgelost; kortom laat zien dat alle werkmensenwerk is. Pak actuele, grote thema’s als context,als dat passend is in het programma en er bijleerlingen behoefte aan is.7. Formuleer ook vak- en profielopdrachten die niet alleeneenduidige oplossingen van problemen moeten opleveren,maar ook alternatieven of dilemma’s, afhankelijk van tekiezen uitgangspunten of ontwerpkeuzes.8. Vertel als docent eens wat over hetgeen al die ‘grote’wiskundigen in hun vrije tijd deden, of hoe anderennaast hun gewone dagelijkse werk de wetenschap inhun vrije tijd vooruit hebben geholpen (Simon Stevin,Antonie van Leeuwenhoek, Christiaan Huygens). Delenuit de documentaire over het bewijs van de stellingvan Fermat door Andrew Wiles lenen zich goed voorbovenbouwleerlingen, zeker als ze eerst zelf even aanhet probleem uit de stelling hebben gesleuteld, al danniet met een computer.9. Wees argwanend ten opzichte van overheidsbeleidgericht op ICT-gebruik dat doelen dient van het type:‘het vergemakkelijken van het leren’, ‘tijd- endocentonafhankelijkheid stimuleren’, ‘leerwinstboeken’, ‘de communicatie verbeteren en versnellen’.Wat van belang is, is dat computers ingezet worden alsmiddel; het middel waarvoor de computer ook isbedacht: het uitbesteden van veel en saai reken- entekenwerk. Krachtige hulppakketten, zoals de VU’s enCabri, kunnen de wiskunde aanschouwelijker maken,prima. Maar schiet daar niet in door. Het feit dat eencomputer een primitieve kan bepalen, is nog geenargument om het dan ook alleen maar met eencomputer te doen. Toen de auto was uitgevonden, zijnwe ook niet gestopt met het wandelen of met deatletiekwedstrijden hardlopen. Anders gezegd: laat debehandelwijze binnen de schoolwiskunde nietafhangen van wat we – op dit moment - metcomputers kunnen oplossen.10. Maak de wiskundeboeken qua vormgeving watminder kinderlijk. Men hoeft niet steeds op de hurkente gaan zitten om iets uit te leggen. Kinderen trekkenzich graag aan iets op als er wat te leren valt. Hoe zoumijn nichtje anders uren kunnen lezen in haar leerboekmet alleen maar tekstregels?

Over de auteur

Roel van Asselt (e-mailadres: [email protected]) was leraar wiskunde

en informatica in het hbo en is betrokken bij een wiskundemethode

voor het hoger onderwijs. Als directeur van COO Partners heeft hij

bijgedragen aan het ontstaan van een aantal ICT-pakketten voor het

hoger onderwijs.

Hij is lid van de Werkgroep HBO van de NVvW en lid van de

Nationale Onderwijscommissie Wiskunde (NOCW).

Hij is thans werkzaam op de Saxion Hogescholen als afdelings-

manager, vervult een aantal bestuursfuncties en is directeur van het LICA.

Het artikel is op persoonlijke titel geschreven.

beter hanteerbaar gegeven dan het oppervlakkigverwerkt zijn ervan. Schuif verdere complexeverdiepingen door naar de ‘vrije ruimte’ voor de echteliefhebbers en talenten. Een suggestie die zowel voorde vmbo-, de mbo- en de tweede fase-programma’szou mogen gelden. Laat vervolgopleidingen in deinhoud van die verrijkingen meedenken.2. Verbeter het beheersniveau van de elementairewiskundige vaardigheden in de basisvorming. Hetzelfvertrouwen en het plezier in de wiskunde zullen ervoor de leerlingen door toenemen, en detoegankelijkheid van onderwerpen zal - verderop inhet mbo, de tweede fase en de vervolgstudies - wordenvergroot. In combinatie met bovenstaand punt kunnendan ook contexten worden opgevoerd die echt‘realistisch’ zijn, dat wil zeggen: het model van dewerkelijkheid kan de complexiteit ervan beterbenaderen.Ook computergebruik is, bijvoorbeeld bij de invoer vanformules, zeer gebaat bij een grote algebraïsche hygiëne.3. Schaf wiskunde af als voor-iedereen-verplicht vak;het brengt meer schade toe aan het beeld van hetvakgebied en aan de persoonlijke ontplooiing van deleerling, dan dat het bijdraagt aan de studieloopbaanen aan het studiesucces in de vervolgopleidingen.4. Stem de bètavakken beter op elkaar af. Let er op datin ieder geval de leerplannen longitudinaal op elkaaraansluiten. Een bijkomend voordeel hiervan kan zijn dat -naast het doorbreken van het isolement van de wiskunde– de toepassingen en de contexten vanzelf en op meerpedagogisch/didactische wijze aan de orde komen.5. Voer als rode draad een evenwichtige mix in van degoede wiskundige gereedschapskist (uitvoerbarealgoritmen) en een wiskundige intuïtie (te hanterenheuristieken); een kenmerkende eigenschap daarvan ishet aanleren van een bewijsvoering. Wiskunde is pasleuk als je echt weet dat het goed zit, en als mondigeburger van onze ingewikkelde samenleving is het eengoede attitude om eens te vragen naar bewijzen vanbeweringen en het formuleren van doelen (wat willenwe precies bewijzen en wat weten we al zeker).Hetzelfde geldt voor het zelf opzetten van logische enovertuigende redeneringen en het afronden in eensluitend betoog, als onderdeel van het programma-onderdeel presentatievaardigheden. Het hoeft ookallemaal niet zo ingewikkeld te zijn: het is opvallendhoe gemotiveerd leerlingen in de tweede fase omgaanmet eenvoudige vraagstukjes uit de vlakke meetkunde,waarin ze gewoon zelf (!!) iets moeten en kunnenaantonen of bewijzen. Het even kunnen vertoeven ineen afgesloten ‘eigen’ veilige denkwereld kanleerlingen sterk aanspreken, ook al zijn het geenEinsteins. Hun vasthoudendheid is verbazingwekkenden opmerkelijk groter dan de vasthoudendheidwaarmee ze het minimum aantal tegeltjes in eenzwembad moeten berekenen.

Wat betreft de vormgeving van hetwiskundeonderwijs6. Laat zien waar witte vlekken zitten en waar we aande rand van het huidige weten en kennen zitten. Draai


Inleiding In het denken over reken-wiskundeonderwijs zoals zichdat vanaf het begin van de jaren zeventig heeftontwikkeld, zijn duidelijk breuken enbreukenovergangen waar te nemen. De volgendeuitspraak van Freudenthal uit 1976 laat dat zien.’Hoe zal het wiskundeonderwijs er in 2000 uitzien? Eris geen wiskundeonderwijs meer in 2000, het isverdwenen. Er is geen vak meer, wiskunde geheten,geen wiskundeles op het rooster, geen wiskundeboekjeom te onderwijzen. (…) Het is er om beleefd enuitgeleefd te worden, net als lezen, schrijven,knutselen, tekenen, zingen, ademhalen, in eengeïntegreerd onderwijs.’ [1]Freudenthal toont zich hier een vurig voorstander vanprojectonderwijs à la Decroly door wie hij sterk isbeïnvloed. Hij hoopte toen dat het wiskundeonderwijser zo geïntegreerd zou uitzien - de laatste geciteerderegel geeft dit aan. Later is hij daar op teruggekomen,maar daarover straks meer.

Horizontale zienswijzeFeit is in ieder geval dat medio jaren ‘70 de Wiskobas-publicaties en de internationaal gepubliceerde IOWO-snapshots wemelden van projecten en thema’s. Deachterliggende gedachte daarvan was dat in dezeonderwijssettings de leerlingen rekenen-wiskunde alsbetekenisvol zouden ervaren. En het moet gezegd:toentertijd ging van deze geïntegreerdeonderwijsaanpak een grote innovatieve werfkracht uit,niet in het minst omdat daarin het contrast met hetschrale mechanistische rekenen zo scherp zichtbaarwerd. Dat rekenen met de realiteit en de werkelijkheidvan kinderen van doen kan hebben, was in hettraditionele rekenonderwijs namelijk steeds meer uitzicht geraakt, om over de New Math die vanaf mediojaren ‘60 internationale opgang maakte maar tezwijgen: verzamelingen, relaties, transformaties,talstelsels, redeneren met logiblokken, …Freudenthals prognose anno 2000 dient dan ook medevanuit die relatief nieuwe kijk op wiskunde begrepen

te worden. We zouden dit de horizontale zienswijzekunnen noemen die toen opgang maakte [2].Horizontaal vanwege de sterke verbinding met derealiteit, de leefwereld, maar met (te) weinig zicht opeen natuurlijke verbinding met de opbouw vanleergangen leidend naar het formele, vaksystematischeopereren, en met name ook horizontaal omdat toennog geen duidelijk zicht was op de functie diecontextproblemen en –modellen bij de verticaleopbouw zouden kunnen vervullen.

Horizontaal en verticaal mathematiserenLaat ik deze begrippen van horizontaal en verticaalmathematiseren toelichten met een voorbeeld uit hetbegin van een breukenleergang:Aad krijgt �

34

� pannenkoek en Berna krijgt �56

� pannen-koek.Wie krijgt het meest, Aad of Berna?En hoeveel meer is dat?Deze opgave staat in het perspectief van hetvergelijken en aftrekken van breuken via gelijknamigmaken. Indien leerlingen de pannenkoek met eenwijzerplaat van een klok associëren – de leraar kandaarop desgewenst aansturen – dan sporen hunrekenhandelingen met het beoogde doel.Ze mathematiseren horizontaal, wat wil zeggen dat zehet probleem toegankelijk maken voor een wiskundigebewerking. Maar de vraag is of deze aanpak ook eenpassende stap is op weg naar het formele aftrekkenvan breuken. Heeft de genoemde oplossingsstrategieook verticale potentie? Of anders gezegd: is depannenkoek of wijzerplaat een goed model om hetproces van het verticale mathematiseren op gang tebrengen? En zo niet: is er dan een geschikter model ofmodelsituatie te vinden? Of moeten juist meerderemodellen worden ingezet teneinde die formeledoelstelling te kunnen bereiken? Al deze vragenbetreffen de kernkwestie van de breukendidactiek i.c.die van het verticale mathematiseren om vanuit hetinformele, contextgebonden opereren tot het formelevakmatige opereren te komen.


BREUKEN IN HET DENKEN OVER GEÏNTEGREERD REKEN-WISKUNDEONDERWIJSEvolutie in de ontwikkeling van het reken-wiskundeonderwijs: vanintegratief en veelsporig naar het denken in lange leerlijnen[ Adri Treffers ]

Lectures’ uit 1991. Ruim een jaar ervoor, om precies tezijn op 11 augustus 1989, had ik een gesprek metFreudenthal over een researchartikel, toen hij tamelijkabrupt zijn eigen rol en betekenis voor het Nederlandsereken-wiskundeonderwijs ter sprake bracht en zijnonzekerheid uitte (‘… een mens twijfelt wel eens’) of hijdie (hoofd)rol wel goed had vervuld. Daarbij doelde hijmet name ook op het te grote accent dat hij destijds opde integratieve en veelsporige benaderingswijze hadgelegd - andere kritische punten die hij toen eveneensnaar voren bracht, laat ik hier onbesproken. En hetwas duidelijk dat deze kwesties hem persoonlijk enemotioneel bezig hielden. Had hij de ‘verticale’ontwikkeling die in de jaren ‘80 met het opzetten vannieuwe leergangen werd aangezet niet zelf al in dejaren ‘70 moeten stimuleren?

Huidige situatieThans alle ontwikkelingen overziend stel ik vast dat deintegratieve oriëntatie in het reken-wiskundeonderwijsop de basisschool op een gevarieerde en evenwichtigewijze in de nieuwste methoden tot uitdrukking komt:de auteurs hebben de juiste balans gevonden voor deonderscheiden wensen uit het onderwijs. Tevens zijn deleergangen van een behoorlijke tot goede kwaliteit.Ook is er een toenemende belangstelling voor puurgetalsmatige en vakmatige puzzels en problemen teconstateren, zoals magische vierkanten, visuelegetallen (driehoeks- en vierkantsgetallen),priemgetallen, getalpatronen, opmerkelijke enverrassende uitkomsten van specifieke berekeningen,klassieke raadsels en zo meer [6]. (Alleen de tendens om kinderen steeds meer zelfstandigin niveaugroepen te laten werken – een trend vanonderwijs-op-maat die vooral ook door sommigeschooladviesdiensten en onderwijsinspecteurs wordtgestimuleerd - is een zorgelijke ontwikkeling voor hetreken-wiskundeonderwijs op de basisschool. Zorgelijkomdat het verticale mathematiseren, zoals bij hetgeleide heruitvinden van het breukrekenen, slechts

Integratief en veelsporigTekenend is dat Freudenthal toentertijd niet bijstergelukkig was met dit onderscheid in horizontaal enverticaal mathematiseren dat in 1978 geïntroduceerdwerd: hij wilde deze componenten niet uit elkaar halenmaar (ook weer) geïntegreerd beschouwen. Het gevolgvan een en ander was dat het onderwijs, leergangmatigbezien, veelsporig werd ingericht [3]. De leerlingenwerden van meet af aan met een fenomenale diversiteitaan contextopgaven en visuele modellengeconfronteerd waarin allerlei aspecten van hetbreukbegrip besloten liggen, zo blijkt uit de ‘rijkedidactische sequentie voor het breukrekenen’ dieFreudenthal medio jaren ‘70 in een interne IOWO-publicatie schetste [4]. Een heldere verticaleverbindingslijn met het formele opereren van breukenzal men echter moeilijk in deze didactischebeschouwing kunnen onderkennen.

Lange leerlijnenBinnen het Wiskobasteam, althans bij een aantal ledenvan deze groep, groeide in de loop van de jaren ‘70geleidelijk aan steeds meer het besef dat de genoemdeintegratieve en veelsporige aspecten te veel accentkregen en het verticale mathematiseren (ver)hinderden– bijvoorbeeld ook bij het breukrekenen. Deze ontwikkeling in het didactisch denken komthelder tot uitdrukking in de publicaties van Streeflandover dit onderwerp, te beginnen bij het integratieve,veelsporige Breukelerdam uit het begin van de jaren‘70 en uitmondend in de geïsoleerde, éénsporigeleergang die hij aan het eind van de jaren ‘80presenteerde – althans éénsporig wat het verticalemathematiseren betreft [5]. En uiteraard betekent‘geïsoleerd’ in dit verband niet dat de voorgesteldeleergang geen integratieve elementen meer bevat, maardat het denken in lange leerlijnen voorop stond en datpas nadat daarover klaarheid bestond aan de inkledingin aansprekende, wellicht integratieve contexten werdgedacht en niet andersom zoals eerder gebeurde.Daarbij past nog de belangrijke aantekening dat ookpuur formeel gestelde problemen en beknoptetekstopgaven voor de leerlingen en leraren uitdagendzijn.Een voorbeeld:Op een feest danst op een gegeven moment �

34

� deel vande vrouwen met �

56

� deel van de mannen.1. Zijn er meer vrouwen of mannen op het feest?2. Welk deel van de aanwezigen danst op dat moment?3. Toon aan dat dit deel tussen de gegeven delen �

34

� en �56

�

moet liggen en dat dit algemeen geldt bij verschillendebreuken.

FreudenthalFreudenthal heeft deze evolutie in de ontwikkeling vanhet realistische reken-wiskundeonderwijs vanaf 1980niet meer, zoals eerder, geleid en begeleid maar metgrote belangstelling en toenemende waarderinggevolgd – ook op het terrein van het breukenonderwijs– wat onder meer tot uitdrukking komt in zijn laatsteboek ‘Revisiting Mathematics Education - China


FIGUUR 1 Het Wiskobas-team in de jaren ‘70 (5e van rechts H. Freudenthal, 7e van rechts A. Treffers)

goed mogelijk blijkt te zijn binnen een interactiefklassikaal onderwijskader waarin de leraar niet alleenals methodische begeleider maar ook als didactischeleider fungeert. Maar dit terzijde.)Kortom, het realistische reken-wiskundeonderwijs wordtsteeds realistischer in de zin zoals het is bedoeld,namelijk niet alleen geënt op de fysische realiteit maarop de betekenisvolle werkelijkheid van en voorleerlingen, waartoe uiteraard ook de formele vakmatigewereld van de wiskunde behoort en steeds meer gaatbehoren naarmate het leerproces voortschrijdt. Of dezetendens zich ook in het voortgezet wiskundeonderwijsvoltrekt, kan ik niet goed beoordelen. Maar gelet op hetonderwerp van dit themanummer zou je geneigd zijn tedenken van niet. Krijgt Freudenthal misschien toch noggelijk met zijn prognose uit 1976 – zij het wat verlaat?De Freudenthal van 1989 zou dat betreuren, endegenen die zijn gedachtegoed hebben verwerkt enbewerkt, zouden dat met hem doen.Ik zou het begincitaat dan ook als volgt willenwijzigen tot mijn slotsom:’Hoe zal het wiskundeonderwijs er in 2020 uitzien? Eris een simpel antwoord. Er is een vak, wiskundegeheten, de wiskundeles staat op het rooster, er isnaast allerlei software ook nog een wiskundeboekje omte onderwijzen. (…) Het is er om beleefd en uitgeleefd teworden in een vakmatig opgezet onderwijs waarbinneneen passende plaats voor geïntegreerd onderwijs isgereserveerd.’Ook deze prognose is net als die van Freudenthaltoentertijd een wensdroom. In een dergelijke opvattingover wiskundeonderwijs past uiteraard wèl eenthemanummer over geïntegreerd onderwijs.

Noten

[1] Dit citaat uit 1976 is gepubliceerd in:

H. Freudenthal: Wiskunde-onderwijs anno 2000 – afscheidsrede

IOWO, Euclides (52), p.290–295 (1977).

[2] Het onderscheid in horizontaal en verticaal mathematiseren is

gemaakt in:

A. Treffers: Wiskobas doelgericht (dissertatie), IOWO, p.79 (Utrecht,

1978).

[3] Freudenthal vermeldt dit zelf en ook dat hij later dit onderscheid

juist is gaan waarderen:

H. Freudenthal: Revisiting Mathematics Education - China Lectures,

Kluwer (Dordrecht, 1999).

[4] Later is deze didactisch fenomenologische analyse van breuken

gepubliceerd in:

H. Freudenthal: Didactische fenomenologie van wiskundige structuren,

IOWO (Utrecht, 1984).

[5] Een reis door Breukelerdam staat in:

L. Streefland: Breuken beoefenen, Wiskobasbulletin (3),

p.391-417 (1974).

De breukenleergang is beschreven in:

L. Streefland: Realistisch breukenonderwijs (dissertatie), IOWO

(Utrecht, 1987).

De leergang is geënt op het eerlijk verdelen van pannenkoeken, repen,

plakken, dropveters, etc. in situaties van (gelijkwaardige)

tafelschikkingen. Dit is een éénsporige maar geen éénzijdige

modelsituatie of metafoor als grondslag voor het verticale

mathematiseren.

Een soortgelijke opzet, maar dan met betrekking tot het meten, treft

men aan in:

K. Buys (red.): De Breukenbode - Een leergang voor de basisschool,

S.L.O. (Enschede, 1995).

[6] Zie voor getaltheoretische puzzels en cijferraadsels bijvoorbeeld:

M. van den Heuvel-Panhuizen, K. Buys, A. Treffers (red.): Jonge

kinderen leren rekenen - Hele getallen bovenbouw basisschool,


Over de auteur

A. Treffers (e-mailadres: [email protected]) is oud-hoogleraar reken-

wiskundedidactiek en thans nog parttime werkzaam aan het

Freudenthal Instituut.

ONTWERPGERICHT ONDERWIJSAAN DE TUENogal wat opleidingen van de Technische Universiteit Eindhovenverzorgen tegenwoordig een gedeelte van hun onderwijs in de vormvan Ontwerp Gericht Onderwijs, OGO. Drie opleidingen hebben op hetmoment veel OGO in hun programma, namelijk Werktuigbouwkunde(W), Biomedische Technologie (BMT) en Industrieel Ontwerpen. Indit stuk beperken we ons tot de bachelors van de eerste tweeopleidingen.[ Frans Martens ]

GeschiedenisDe faculteit Werktuigbouwkunde startte in hetstudiejaar 1994–1995 met een geheel nieuwcurriculum. De faculteit introduceerde een voorEindhoven nieuwe onderwijsvorm, het ProbleemGestuurd Onderwijs (PGO). Bij dit onderwijs wordtgedurende een aantal weken door een kleine groepstudenten zelfstandig aan een probleem gewerkt. Dezeonderwijsvorm werd van de Universiteit Maastrichtovergenomen waarbij de problemen in Eindhoven meerdiepgang kregen en omvangrijker werden.Rond 1998 werd op de TUE het ontwerpen een van despeerpunten van de ingenieursopleidingen. Daaromwerd er bij het PGO meer aandacht besteed aan hetontwerpen of het verbeteren van apparaten. Het PGO ismen toen OGO gaan noemen. Voor het gemak vegenwij PGO en OGO op een hoop.

Rol van OGOIn de bachelors BMT en W besteden de studentendrievijfde deel van hun tijd aan ‘klassieke’ vakken. Zijvolgen colleges en begeleide oefeningen en bestuderende stof. Tweevijfde deel van de tijd besteden zij aanOGO door aan problemen te werken en trainingen tevolgen die voor OGO noodzakelijk zijn.De vakken behandelen theorieën en concepten uit demechanica, materiaalkunde, stromingsleer, constructie-leer, warmteleer, basischemie, biochemie en wiskunde.De vakken zijn zelfstandige eenheden, maar er isaandacht besteed aan de onderlinge samenhang. Deomvang van de vakken is niet zo groot. Er zijn 36vakken in het bachelorprogramma en 4 ervan zijnwiskundevakken. In veel van de andere vakken zittenstukken wiskunde.Het OGO is gericht op het integreren van kennisopgedaan bij vakken, het modelleren van processen enhet (her)ontwerpen van apparaten. In de eerste tweejaar leert men bij het OGO het samenwerken in eenteam en het presenteren van resultaten. Het OGO in diejaren is niet bedoeld om studenten nieuwe stukkentheoretische kennis bij te brengen.Veel studenten ervaren het OGO als de rode draad in deopleiding. Ondanks de nagestreefde samenhang zien zijde vakken als losse bouwstenen in hun opleiding.Omdat opgedane kennis van vakken bij OGO gebruiktkan worden, heeft OGO een stimulerend effect op hetzich eigen maken van vakken.

Inhoud van het OGOIn het eerste jaar is het OGO als volgt georganiseerd.Ieder trimester worden de studenten in groepen van 8ingedeeld waaraan een tutor is toegevoegd. De groepkrijgt een aantal problemen, casussen genoemd,waaraan zij twee à vier weken aan moeten werken.Iedere casus moet een week later worden afgerond meteen verslag of een presentatie. Het OGO is aan eenstrak tijdschema onderworpen.De casussen zijn vrij bondig geformuleerd en bevattenzelden expliciete vragen en opdrachten. Een voorbeeldis de opdracht om een zo stevig mogelijkevakwerkconstructie te maken van een omschreven

hoeveelheid materiaal. Een ander voorbeeld is deopdracht om de geleiding van prikkels bij eenzenuwcel te beschrijven en te simuleren. Bij veelcasussen moet wiskunde gebruikt worden, maar het isvaak een kwestie van opzoeken. Het blijkt datstudenten een in de literatuur gevonden wiskundigmodel met heel veel moeite in verband kunnenbrengen met fysische verschijnselen. Voor het zelfbedenken van wiskundige modellen is hun wiskundigekennis te gering.

Vorm van het OGOIn het eerste jaar zijn er per week twee bijeenkomstenvan twee uur waarin de groep de vorderingenbespreekt in aanwezigheid van de tutor. De tutor speeltdan nauwelijks een inhoudelijke rol en treedt vooralsturend op wat het groepsproces betreft. In hogerejaren worden de groepen kleiner, de casussen groter ende tutoren inhoudelijk steeds belangrijker. Hierbeperken we ons tot het eerste jaar. Bij iederebijeenkomst zijn er een gespreksleider, een notulist eneen schrijver. Het is de bedoeling dat ieder groepslid iniedere rol minstens een keer aan de beurt komt. Degespreksleider stuurt de discussie, de notulist legt dediscussie en de afspraken vast en de schrijver zet debelangrijke punten schematisch op het bord.Op het eind van een bijeenkomst wordt de zelfstudieafgesproken. Het opzoeken van gegevens, hetachterhalen van de betekenis van begrippen en hetvinden van modellen lukken meestal wel. Aan hetkritisch bestuderen van literatuur en het in eigenwoorden formuleren van denkbeelden en ideeën komenstudenten vaak niet toe. Studenten storten zich vaakop het doen van metingen en experimenten zonderzich goed te realiseren wat men aan het doen is. Hetstrakke tijdschema van het OGO is hier debet aan. Perslot van rekening moet er een verslag komen of eenpresentatie gehouden worden. Bij de laatstebijeenkomsten staat de afronding zó centraal, dat deinhoudelijke discussies en uiteindelijk ook de casus eronder lijden.

Beoordeling bij het OGOEen casuscoördinator beoordeelt het verslag of depresentatie van de groep. Het cijfer wordt dan ooktoegekend aan de groep.Na afloop van ieder trimester krijgt een student eenindividueel cijfer voor het OGO. Dit is gebaseerd optwee deelcijfers. Het ene deelcijfer is een groepscijfer,namelijk het gemiddelde van de cijfers van deverslagen of de presentaties van zijn groep. Het anderedeelcijfer is door de tutor toegekend en behelst eenoordeel over het functioneren van de student binnende groep. Beide deelcijfers moeten voldoende zijn.Na jarenlang meedraaien bij het eerstejaars OGO vindik het beoordelen nog steeds een moeilijk punt.‘Meeliftgedrag’ haal je er niet zo maar uit. Bij hetverslag van de zelfstudie is moeilijk te achterhalen ofde resultaten geplagieerd zijn. De relevantie van deaangeleverde resultaten is soms ook moeilijk teachterhalen omdat je geen inhoudsdeskundige bent.


Het viel mij op dat studenten meer fouten maakten bijhet vertalen van de werkelijkheid naar een wiskundigmodel dan bij het toepassen van wiskunde of hetvertalen van het wiskundig model naar dewerkelijkheid. Het leren van wiskunde in context isnaar mijn idee een hopeloze maar modieuze zaak.Bij deze casus zit ook iets uitzonderlijks. Het is deeerste keer bij Werktuigbouwkunde dat alle studentenindividueel getoetst worden. Bij het tentamen van hetwiskundevak in de herfst, Calculus, wordt een van devraagstukken besteed aan deze casus. Als men goedheeft meegedaan met deze casus, dan krijgt hettentamencijfer een oppepper. Het tentamen is nog nietgehouden, dus er kan nog niets zinnigs over gezegdworden.Er worden op het moment nog twee wiskundecasussenontworpen. In het wintertrimester komt er een casusdie met lineaire algebra en in het lentetrimester eencasus die met statistiek samenhangt. De laatste casusheeft weer een ander uniek aspect. De studentenmoeten nu wel nieuwe stof aanleren, namelijk enkelebeginselen van de statistiek. Ik ben benieuwd.

Vakken, OGO en wiskundeBij de vakken worden op een vrij efficiënte manierallerlei kennis en vaardigheden overgebracht. Hetafrekenen van vakken door middel van tentamensgeeft geen waterdichte garantie dat de stof uit zo’nvak ook daadwerkelijk beheerst wordt. Sterker nog,men heeft vaak het idee dat studenten een vak nietvoldoende beheersen om in andere situaties degeleerde kennis te kunnen toepassen. Dit geldt ookzeker voor wiskunde. Als één van de oorzaken wordtgezien dat de studenten te lang passief blijven bij zo’nvak en zich alleen vlak voor het tentamen bezig-houden met het vak. Tentamens zonder standaard-vragen zorgen voor een betere studiehouding. Bij dezetentamens is het niet genoeg om te kijken wat erafgelopen jaren is gevraagd en moet de stof echtbeheerst worden. Helaas hebben deze tentamens ookeen ander effect: de slagingspercentages liggen lager.

Het meedoen bij groepsbijeenkomsten zegt ook nietalles, omdat echt inhoudelijke discussies weinig plaatsvinden. Kortom, aan de individuele beoordelingenkleven bezwaren.

Casus ‘Een plus een is ongelijk twee’Om een idee van OGO te geven bespreek ik hier in degrote lijnen de casus ‘Een plus een is ongelijk twee’.Deze casus zit in het eerste jaar van de opleiding BMT(biomedische technologie) en komt uit de hoek van defarmacokinetiek.De probleemomschrijving past op een halve pagina. Hijbevat een dialoog tussen twee personen, die zichafvragen of pijn bij een dubbele dosis van eenpijnstiller ook een dubbele periode onderdrukt wordt.Tijdens de dialoog komt ook de vraag naar boven ofeen dubbele hoeveelheid alcohol tot een twee keer zolange kater leidt. Naast de probleemomschrijvingkrijgen de studenten materiaal waaruit blijkt dat zijeen experiment met paracetamol moeten doen.De studenten hebben vrij snel door dat zij eenwiskundig model moeten maken waarmee deconcentratie van een stof in het lichaam beschrevenwordt. Zijzelf zijn niet in staat om een praktischwiskundig model te maken omdat zij niet tot de kernvan de zaak kunnen doordringen en omdat hunwiskundige kennis te gering is. In de literatuur treffenzij eenvoudige wiskundige modellen met differentiaal-vergelijkingen aan. Zij vinden ook meteen deoplossingen van deze vergelijkingen. De groep denktna deze vondsten het probleem gekraakt te hebben. Alstutor heb je meteen door dat zij geen verband leggentussen de fysiologische verschijnselen en de vorm vande differentiaalvergelijkingen. Zij analyseren demodellen en de gevonden uitkomsten niet. Na een paarstevige ingrepen in het groepsproces beginnen zij deverschillende modellen inclusief de oplossingen metelkaar te vergelijken en te bekijken welke fysiologischeverschijnselen in de modellen zijn meegenomen.Het experiment bestaat uit het slikken van paracetamol.De studenten verzamelen speekselmonsters en bepalendaarin de concentratie van paracetamol. Zij moeten demeetresultaten beoordelen en conclusies trekken. Ookhier speelt wiskunde een rol, want zij moeten beslissenof de meetresultaten in overeenstemming zijn met demodellen. Deze casus heeft in ieder geval het effect datstudenten het nut van wiskunde bij BMT inzien.

Casus ‘Een weegschaal in beweging’Bij Werktuigbouwkunde heeft men besloten, in hetstudiejaar 2002-2003 in het eerste jaar enkele nieuwecasussen te introduceren waarin de wiskunde centraalstaat. In het herfsttrimester ging een casus over hetwegen met een weegschaal. De weegschaal moestwiskundig beschreven worden met een massa-veersysteem met demping. Aan de hand van debijbehorende tweede orde differentiaalvergelijkingwerden allerlei vragen gesteld. Deze vragen kwamen infeite neer op het in verschillende situaties kiezen vande juiste waarden voor de dempingconstante en deveerconstante.


het leren vanwiskunde incontext is eenhopeloze maarmodieuze zaak

Daarom is het met de vakken een beetje schipperen.In tegenstelling tot wat je vaak hoort, kunnenstudenten ook bij vakken zelfstandig werken. Debegeleide studie is hierop ingericht. Sterker nog, zelfshet werken in groepen met zo weinig mogelijkbegeleiding wordt gestimuleerd.Het OGO is er op gericht studenten actief met eenprobleem bezig te laten zijn. Zij kunnen alles wat ze inhuis hebben, uit de kast halen. Toch is de werkelijkheidminder fraai. Studenten dringen moeizaam door tot deessentie van een probleem. Uit een enorme berginformatie moeten zij een idee oppikken of het juistemodel kiezen. Zonder sturing gaat dit zeer inefficiënt.Het gevolg is dat studenten vaak aan het handjegenomen worden door specifieke informatie ofopdrachten te geven. Hiermee wordt het idee vanzelfstandig werken onderuit gehaald.Zwakke studenten hebben bij het OGO de neiging omhiaten in hun kennis te versluieren en de neiging ominhoudelijke discussies uit de weg te gaan. Meestalblijven zij hangen in het uitvoeren van door anderenbedachte taken en houden ze de ontwikkelingen in degroep niet bij. Sterke studenten laten staaltjes van hunkunnen zien, passen opgedane kennis uit vakken toeen duiken allerlei kennis op tijdens hun zelfstudie.Voor deze studenten is OGO een vondst.

Wiskunde en OGOEen vak als wiskunde is volgens mij volstrektongeschikt om via OGO bij te brengen. Bij wiskundezijn algoritmen, concepten, structuur en abstractiebelangrijk. Het kunnen toepassen van deze zaken leerje door veelvuldig te oefenen in allerlei op elkaarlijkende gevallen waarbij de moeilijkheidsgraad wordtopgevoerd. Wiskunde is alleen maar bij te brengen alser een duidelijke structuur in de stof en in devraagstukken is aangebracht. Een goed geformuleerdeOGO-opdracht bestaat uit een weinig gedetailleerdetekst die de groep zowel voldoendeaanknopingspunten als ook de nodige vrijheid geeft

om een oplossing te vinden. Bij OGO speelt hetopzoeken een grote rol, want niets hoeft opnieuwgedaan te worden. Bij wiskunde moet je zelf seriesopgaven maken om een concept of idee te lerenbeheersen. Dat anderen deze opgaven al vele malengemaakt hebben, doet niet ter zake.

Tweede fase, OGO en vakkenDit is het eerste studiejaar dat bijna alle studentenprofielstudenten zijn. Ik merk wat het OGO betreftgeen verschil tussen de generaties studenten. Dezeeerstejaarsstudenten hebben wel grote moeite omredelijk voor de wiskundevakken te scoren. Hunwiskundige vaardigheden zijn duidelijk geringer.

Over de auteur

Frans Martens (e-mailadres: [email protected]) werkt sinds 1983

bij de faculteit Wiskunde en Informatica van de Technische

Universiteit Eindhoven. Hij is sinds een aantal jaren coördinator

serviceonderwijs wiskunde. Hij verzorgt enkele eerstejaarsvakken

wiskunde voor BMT en W. Bij beide opleidingen is hij in het verleden

tutor geweest. Dit studiejaar is hij casuscoördinator van de casus ‘Een

weegschaal in beweging’.


de wiskundigevaardighedenvan de eerste-jaars zijn geringer

Het wiskundeonderwijsHet wiskundeonderwijs is mede als gevolg van hetgewijzigde onderwijssysteem ingrijpend gewijzigd,zowel in omvang als in aanpak. Zo is het onderdeelnumerieke methoden geheel vervallen. In de lineairealgebra en de analyse is flink gesneden. Wiskunde issinds 1996 eerst en vooral een ondersteunend vak. Hetgebruiken van computeralgebra is er, mede vanwege dekosten, niet van gekomen.Als algemeen uitgangspunt geldt het uitgangspunt‘just-in-time learning’. Daar waar wiskunde nodig isvoor andere vakgebieden wordt een stukje wiskundeaangeboden. Dat heeft ertoe geleid, dat vele cases eenhoofdstuk wiskunde bevatten, dat niet erg omvangrijkis. Een paar voorbeelden: stukjes lineaire algebra bijcases waarin mechanica en robotarmen een rol spelen;complexe getallen in een case over wisselsignalen;Laplace-transformaties in een case over regelsystemen;Fourier-analyse in een case over signaalbewerking.Een tweede uitgangspunt is het verzorgen van een

InleidingBij het Instituut Techniek van de Hogeschool Drenthehanteren we sinds 1996 een didactische aanpak die wehet ‘casegeoriënteerde onderwijssysteem’ noemen. Driejaar geleden is door Euclides hierop ingegaan [1].Destijds lag de nadruk vooral op de onderwijskundigeaanpak. In dit artikel zal ik vooral de plaats van dewiskunde in het systeem belichten. We verzorgen zes opleidingen: twee laboratorium-opleidingen, chemie en biologie en medischlaboratoriumonderzoek; twee informaticaopleidingen,technische informatica en mens & informatica (formeeltot 1 september 2003 nog samen één opleiding),werktuigbouwkunde en elektrotechniek (in afbouw,sinds 2001 worden geen studenten meer aangenomen).Behalve bij mens & informatica speelt wiskunde eenbelangrijke rol bij deze opleidingen.

Beschrijving onderwijssysteemIn het midden van de 90-er jaren constateerden wetwee belangrijke problemen: de belangstelling voortechnische opleidingen liep terug en het rendementvan de opleidingen was, naar ons gevoel, niet zo goedals het zijn kon. In het kader van de projecten gerichtop kwaliteit en studeerbaarheid hebben we toen eennieuwe aanpak ontwikkeld, waarmee we bovendienverwachtten de aantrekkelijkheid van de opleidingen tekunnen vergroten. Trefwoorden zijn ‘taakgericht’,‘projectmatig’ en ‘probleemgestuurd’.De studenten werken vanaf de eerste week van deopleiding in teams van 6 tot 8 studenten aan caseswaarbij een groot beroep gedaan wordt op dezelfstandigheid voor wat betreft planning enbestudering van de leerstof. Een case is een praktijk-situatie die voor de studenten herkenbaar enmotiverend is, maar die ook relevant en hanteerbaar(naar omvang en niveau) moet zijn. De nadruk ligt opde integratie van vakgebieden. Er worden slechts zeerbeperkt instructiecolleges gegeven. De case wordtafgesloten met een werkstuk: een product, een verslagen/of een mondelinge presentatie. In een aantalgevallen worden delen van een case, bijvoorbeeld eenstuk wiskunde, met een toets afgesloten. Zowel heteindproduct als de losse studieactiviteiten zijn in hetbegin van de opleiding precies omschreven, maar laterworden de beschrijvingen globaler.

WISKUNDE IN CASEGEORIËNTEERDONDERWIJS[ Douwe Jan Douwes ]


logische opbouw van de wiskundige theorie. We willende wiskunde wel algemeen houden: niet wiskundigekennis en vaardigheden teveel aan één case koppelen.Dit uitgangspunt is niet altijd eenvoudig verenigbaarmet het eerder genoemde just-in-time learning. Nogaleens moet er in een case meer wiskunde wordenaangeboden dan er voor de case strikt genomen nodigis. Studenten hebben daar geen problemen mee,behalve een algemene en brede aversie tegenwiskunde. Het belang van wiskunde wordt namelijkalgemeen erkend. Niet iedere opleiding heeft automatisch eenverzameling cases waarin op een logische manier degehele wiskunde aan bod komt. Wiskunde is tenslotte

toch meer dan een verzameling van vaardigheden dievoor andere vakken nodig zijn. In zo’n geval kan hetzelfs gebeuren dat er een hoofdstuk wiskunde in eencase bestudeerd moet worden zonder dat er in de caseeen noodzaak voor bestaat; alleen omdat de volgendecase wat wiskundige voorkennis vraagt en daarmeeverder gaat.Tenslotte is er in het begin van het eerste jaar eenlosstaande module basiswiskunde, waarin voor havoN&T-leerlingen vooral herhaling zit, maar vooranderen meer dan nuttige oefening van basis-vaardigheden. Voor mts-ers zonder doorstroom-certificaat bestaat er sinds dit cursusjaar eenuitgebreide cursus basiswiskunde met dezelfdedoelstellingen.Met de hierboven geschetste mogelijkheden zijn we erredelijk in geslaagd om ook voor de wiskunde eennette opbouw van de theorie te realiseren zoals we dieuit de diverse leerboeken gewend zijn. De volgorde isdan wel niet altijd die van het theorieboek, waardoor

we af en toe ook eigen studiemateriaal moestensamenstellen.Bovendien wordt naarmate de opleiding vordert steedsmeer eigen initiatief van studenten verwacht. Zoworden ze bijvoorbeeld geacht bij de bestudering vanLaplace-transformaties te ontdekken, dat daarbij ookpartieel integreren en breuksplitsen bekendverondersteld worden. Die onderwerpen zijn daarvoorniet aan de orde gekomen.

DocentbegeleidingZoals bij alle andere vakgebieden is ook bij wiskundehet oude systeem met een vast aantal weken en eenvast aantal colleges per week afgeschaft. Ervoor in deplaats is volledige zelfstudie gekomen, met demogelijkheid (verplichting) voor groepen studenten omafspraken te maken wanneer ze extra uitleg nodighebben.Wiskunde, maar ook statistiek, is altijd een aparthoofdstuk, en de begeleidende vakdocent is altijd eenwiskundedocent. Door in de studieactiviteitenvoldoende beoordelingsmomenten in te bouwen isgoed te voorzien in voldoende terugkoppeling. Bij dezebeoordelingsmomenten komen niet alleen de gemaaktesommen aan de orde, maar ook de theorie.Niet iedere docent is daarmee even gelukkig. Met namewanneer aan een aantal groepen binnen korte tijddezelfde stukjes theorie alsnog op verzoek moetenworden uitgelegd bekruipt menigeen de gedachte datdaar iets aan tijd te winnen moet zijn. Daar staatechter tegenover, dat bij uitleg aan een kleine groep enop hun verzoek het rendement van die uitleg veelgroter is.Belangrijk is in de gehele begeleiding een vinger aande pols te houden bij die groepen die wiskunde ergmoeilijk vinden. Deze groepen zijn geneigd dewiskunde uit te stellen, totdat ze ook bij anderevakgebieden echt gaan vastlopen op hun hiaten inwiskundekennis. In het eerste jaar worden studentenintensief en in het tweede jaar iets minder intensiefbegeleid (en in de gaten gehouden) door tutoren.Tutoren zijn bij ons geen vakdocenten of ‘seniorconsultants’, maar specifiek voor procesbegeleidingaangetrokken medewerkers, die met name groeps-processen goed in de gaten houden. De studentenkrijgen iedere week een weektaak, met daarop onderandere precies beschreven wat voor wiskunde die weekdoorgewerkt en afgerond moet worden. Groepenmoeten wekelijks aan elkaar en aan de jaarcoördinatorrapporteren wat hun vorderingen zijn, ook in relatietot de jaar-, maand- of weekplanningen.

ToetsingWiskunde is van oudsher een vak waarbij individueelen schriftelijk wordt getoetst, de laatste jaren voorwiskundige vaardigheden ook wel met geslotenvraagvormen. Met ons onderwijssysteem hebben wemeteen een punt gezet achter alle vormen vancompensatie: iedere toets moet nu met voldoendeworden afgerond. En ook allerlei tussentijdsebeoordelingen (voortgangscontroles) moeten voldoende


doorgenomen. Die goede studenten komen er altijdwel, maar juist de zwakkere studenten kun je nu extraaandacht geven.

Noot

[1] Euclides (75-5), februari 2000, p. 151 e.v.

Over de auteur

Sinds 1989 werkt Douwe Jan Douwes (e-mailadres:

[email protected]) bij de Hogeschool Drenthe als docent

wiskunde en informatica. Op dit moment beslaat dat ongeveer

tweederde van zijn jaartaak. Sinds 2000 is hij daarnaast lid van het

managementteam van het Instituut Techniek, specifiek belast met de

leiding van de laboratoriumopleidingen en de taakverdeling binnen het

Instituut.

zijn. Groot voordeel van deze tussentijdse controles(bijvoorbeeld een setje opgaven dat ingeleverd moetworden, en nabesproken) is, dat ook het laatste envaak moeilijkste deel van een vak nu goed moetworden bestudeerd.Dat maakte de weg vrij voor allerlei toetsvormen.Daarbij stond steeds voorop, dat we met name denoodzakelijke wiskundige vaardigheden wildentoetsen. In het eerste jaar leidde dat tot een grootaantal kleine toetsen, waaraan pas mocht wordendeelgenomen als de voorbereidende activiteiten met devakdocent waren besproken (en met voldoende warenbeoordeeld). Het idee was, dat de schriftelijke toetsenalleen nog tijdelijk ter controle bestonden.Inmiddels zijn de meeste kleine toetsen weer vervangendoor één grotere eindtoets, vooral omdat de toetsdruken de administratie ervan als nadelen werden ervaren.Wat wel is gebleven is de insteek, dat het vooral om denoodzakelijke (wiskundige) vaardigheden gaat. Eenaantal van die toetsen heeft, tot groot ongenoegen vanstudenten, juist omdat het alleen gaat om noodzakelijkevaardigheden, als grens tussen voldoende enonvoldoende 65%-70% van de maximale score (ookopen vragen-toetsen).Naast deze schriftelijke toetsen is er één onderwerp(Laplace-transformaties) dat op basis van (devoortgang van) het groepswerk wordt beoordeeld. Ener zijn enkele onderwerpen in de laatste fase van deopleiding waarvoor een groepstoets plaatsvindt aan heteind van het hoofdstuk. Van potentiële nadelen vandeze toetsvormen, zoals moeilijk objectiveerbaar enlastig wanneer studenten hun beoordeling willenaanvechten, hebben wij in ruim 6 jaar tijd niet echtlast gehad.

ResultatenDankzij het onderwijsconcept wordt er door studentenzichtbaar harder gewerkt dan vroeger. Vroeger was hetde docent, die via de colleges het tempo vastlegde. Nukunnen studenten zelf het tempo bepalen, zij het dat zedaarover wel verantwoording moeten afleggen. Hetindividuele studieprogramma doet zijn intrede.Vroeger haakten veel studenten snel af, met name bij‘moeilijke’ vakken als wiskunde. Een dikkeonvoldoende voor analyse1? Dan beginnen we maarniet aan analyse2! Nu kan een aantal studenten metenige vertraging toch verder. Voor docenten werkt datnog al eens verwarrend: je weet niet welke studentenwaarmee bezig zijn.Wat niet veranderd is, is de houding van studenten tenaanzien van de wiskunde. Voor velen blijft het eenvervelend en moeilijk vak. Bovendien kom ik nogsteeds 4e jaars tegen die ik moet adviseren om het boekuit het eerste jaar nog eens te pakken.Voor mij persoonlijk ligt het grootste winstpunt in hetdirecte contact met de studenten, dankzij debesprekingen per groep en de mogelijkheid ommaatwerk te leveren. Wat meer afspraken met de groepmts-ers, die bijna geen wiskunde op de mts hebbengehad; bijna geen afspraken met een groepje vwo-ers,dat alles geheel zelfstandig in korte tijd heeft


Zo ju i s t ve rschenen …

Het gebruik van Wiskunde in de IslamDe Islam kent een aantal regels waaraan moslims zich moeten houden. Zo moet

een moslim vijf keer per dag bidden met het gezicht naar Mekka. Hoe bepaal je die

richting? Een andere regel is dat moslims zich aan de vastenperiode, de Ramadan,

moeten houden. Het begin van deze vastenperiode wordt bepaald door de

Islamitische kalender die samenhangt met de gang van de Maan langs de

hemelbol.

Met deze Zebra kun je leren hoe vroeger (en nu) deze problemen door moslims

werden opgelost.

De tekst is het resultaat van studiebijeenkomsten onder leiding van dr. Jan

Hogendijk op het Mathematisch Instituut van de Universiteit van Utrecht.

ISBN 90 5041 077 4

Prijs voor leden van de NVvW: € 8,00 (incl. verzendkosten); bestellingen via girorekening

5660167 t.n.v. Epsilon Uitgaven, Utrecht.

Prijs voor leden van de NVvW op bijeenkomsten: € 6,00.

Prijs voor niet-leden: € 8,00 (in de betere boekhandel).

Zebra 13[ Natasja Bouwman en Charlene Kalle ]

Grafen in de praktijkHet wegennet, het internet, de spoorrails verbindingen, de buizenstelsels voor gas

en water, het kabelnet voor tv, het telefoonnet zijn allemaal vorbeelden van

netwerken.

Dergelijke netwerken kunnen worden beschreven met een eenvoudig wiskundig

hulpmiddel, de graaf. Afhankelijk van het toepassingsgebied, bijvoorbeeld een

reisplanner voor de Nederlandse Spoorwegen of snel transport van emails tussen

internet gebruikers, worden verschillende eisen aan deze grafen gesteld.

In deze Zebra worden drie karakteristieke probleemgebieden voor grafen

behandeld, waarna alles samenkomt in een hoofdstuk over optische netwerken,

die een belangrijke rol spelen in de telecommunicatie.

ISBN 90 5041 078 2

Zebra 14[ Hajo Boersma ]

Epsilon Uitgavenin samenwerking met de Nederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

advertentie

Beloftes en aandachtDe beloftes van voor de verkiezingen– voor de vorige moet ik inmiddelszeggen - waarbij onderwijs in elkgeval retorisch veel aandacht kreeg,zijn vooralsnog financieel mindersolide gebleken. Met minder geld meerdoen, die variant kenden we al.

Aandacht voor veiligheid is zeker nut-tig, mensen opsluiten soms ook. Maarpreventie is zoveel beter. Het is niettoevallig dat criminele, ontspoordemensen vaak een gebrekkige school-opleiding hebben. Investeren in hetonderwijs is investeren in de toe-komst. Een goede opleiding, op elkniveau, draagt bij aan het welbevin-den van mensen en integratie in desamenleving. Beknibbelen op de uit-gaven voor onderwijs is kortzichtig.Het is een groot schandaal dat aan deOESO-cijfers inmiddels min of meerschouderophalend wordt voorbijge-gaan; cijfers waaruit voor de zoveelstekeer op rij bleek dat in ons land deuitgaven voor het voortgezet onder-wijs royaal onder het Europees gemid-delde liggen. Dat Nederland in verge-lijkende onderzoeken desondanksgoed presteert, kan alleen omdat wijons kennelijk collectief een slag in derondte werken.Met liefde, jazeker, maar we hebbendan ook een leuk vak. Het is belang-rijk om ons dat plezier niet te latenafnemen.

ThemaVandaar ook het thema van de studie-dag, survivelen, creatieve oplossingenbij weinig tijd, oftewel hoe voorkomik het verschralen van mijn onderwijs,hoe houd ik het plezier in het vak enhoe kan ik leuke, interessante dingenblijven doen.Die interessante dingen, die zijn

belangrijk: voor onszelf en voor deuitstraling van ons vak.Die uitstraling is momenteel niet vol-strekt positief. Het is daarbij lastig enverwarrend dat in de discussies overwiskunde alles op één hoop wordtgegooid.Er is - zoals u immers weet - eenwereld van verschil tussen bijvoor-beeld wiskunde A1 op de havo en B12op het vwo. Het eerste is inderdaadniet abstract, maar pretendeert datook niet, het tweede wel, en wil datook zijn. Voor velen buiten het onder-wijs is er slechts één, vaak niet geëx-pliciteerd beeld van wiskunde, waar-schijnlijk gebaseerd op het eigenonderwijs, van soms ruim 20 jaargeleden.

ZorgDe meningen over en de appreciatiesvan het wiskundeonderwijs lopensterk uiteen. Daarbij zijn de meningenvan degenen buiten het onderwijs hetmeest uitgesproken en het meestnegatief.Dat is deels een gevolg van voor-noemde spraakverwarring en het nietgoed volgen van de ontwikkelingen,maar daarmee wil ik het niet afdoen,daar komen we niet verder mee. Hetkomt ook voort uit een gevoel vanzorg dat het niet goed gaat met hetwiskundeonderwijs in Nederland.

Het bestuur deelt die zorg. Het wis-kundeonderwijs staat onder druk. Destudenten blijven weg, in het hbo enmbo dreigt wiskunde als apart vak teverdwijnen, in het voortgezet onder-wijs zitten de exacte vakken in deknel, ondanks de aanwezigheid vanwiskunde in alle profielen, en nieuwe,goede, en met name goed opgeleidedocenten zijn schaars, en wordenschaarser.

De liefdeLaten we het eens over de liefde heb-ben.En dan bedoel ik niet de nieuwstebedrijfseconomische variant die uw 8-jarige dochter van een string wilvoorzien, maar de liefde als inspire-rende kracht, die mensen samen-brengt. Want, waarom bent u andersop uw vrije zaterdag naar hier geko-men, dan uit liefde voor uw vak, dewiskunde, of uw beroep als wiskunde-leraar? Door die gedeelde liefdebestaat de vereniging en bloeit zij, iszij actief, en zijn er gelukkig nogsteeds mensen te vinden die enthou-siast hun schouders ergens onder wil-len zetten, zoals het organiseren vandeze jaarvergadering/studiedag.

‘Alles van waarde is weerloos’, zoals uweet. Liefdeloos onderwijsbeleid, ofeen liefdeloze schoolleiding, kan hetplezier in het werk danig vergallen.Velen hebben daar mee te maken,soms tot ziekmakens toe. Maar liefdemaakt ook sterk en geeft kracht omdoor te gaan. Docenten verdragenveel, 20 jaar bezuinigen op onderwijsbijvoorbeeld, in combinatie met forseonderwijshervormingen, en taakver-zwaring. Wij mopperen wel, maar sta-ken niet, nou ja, hoogstens op woens-dagmiddag of in elk geval na lestijd,maar we gaan meestal gewoon dooren maken er het beste van, samen metde leerlingen.

Die leerlingen, soms lastig, soms hart-verwarmend, pubers die geen weethebben van onderwijspolitiek ofandere cijfers dan hun rapportcijfers,die vormen de kern waar het in hetonderwijs om draait. Die leerlingenhebben recht op onderwijs van goedekwaliteit in dit toch niet bepaald arm-lastige land.

VerenigingsnieuwsJaarrede uitgesproken doorMarian Kollenveld op deJaarvergadering van 16 november 2002


dat lijkt op een mission impossible,met 15 uur lukt het aanmerkelijkbeter. De hoeveelheid toegekende con-tacttijd is een keuze van de schoolzelf, niet van de overheid. Directieskunnen zich daar niet achter ver-schuilen: de keus is aan hen om deverantwoordelijkheid te nemen vol-doende tijd uit te trekken voor kwali-tatief goed wiskundeonderwijs.

Voor een wat zekerder resultaat,waarmee we ook in de discussie omde contacttijd verder kunnen, wantgetallen en grafieken hebben een gro-te overtuigingskracht, zouden wegraag de gegevens van nog veel meerscholen hebben. Vandaar ons verzoekaan u om uw gegevens mee te delen.We hebben daarvoor een enquête opde website geplaatst.

TweeTen tweede is het van belang om decommunicatie met het vervolgonder-wijs te verbeteren. Dat voorkomtteleurstelling en afbranden van leer-lingen, omdat het vervolgonderwijsonvoldoende kennis heeft van denieuwe programma’s, waardoor als-nog leerlingen verloren gaan voor deexacte vakken.

Op centraal niveau is dat overleg rondde nieuwe programma’s weliswaargeweest, maar in de praktijk wreektzich het gebrek aan structuur ensamenhang binnen het hoger onder-wijs. De instellingen zijn in hoge mateautonoom, en dus moet in feite iederedocent in het vervolgonderwijs van denieuwe programma’s persoonlijk opde hoogte worden gebracht.Onze werkgroep hbo zoekt naaroplossingen hiervoor, in samenspraakmet de werkgroep havo/vwo.

Ten derdeEnthousiasme voor exacte vakkenontstaat vaak in de eerste jaren vanhet voortgezet onderwijs. Vandaar dathet bestuur plannen ontwikkelt om te

komen tot een bèta-vwo, of technischhavo/lyceum zo u wilt. Indertijd is hetons niet gelukt om voor wiskunde eenbasisvorming op twee niveaus tebewerkstelligen, maar in de praktijk ismen inmiddels op veel scholen van deheterogene brugklas via de dakpan-klassen weer naar homogenere klas-sen teruggekeerd.Het is te verwachten dat de regelge-ving rond de basisvorming wordt ver-soepeld. Daardoor wordt het nu welmogelijk de onderbouw op niveau inte kleuren. De kern van het plan is datvanaf de onderbouw bij de exactevakken gewerkt wordt aan een onder-zoekende houding door intrigerende,prikkelende en enthousiasmerendezaken aan de orde te stellen. Dat kanover de hele breedte van vmbo tot enmet vwo. Dat is goed voor de beeld-vorming van de exacte vakken. Deaansluiting op de technische profie-len/sectoren in de bovenbouw wordthierdoor verbeterd. Dat betekent inonze visie zeker geen terugkeer naarhet maken van rijtjes steeds moeilijkersommen. De boodschap moet nietzijn: wiskunde is moeilijk, maar wis-kunde is interessant. Voorbeelden vanwat er bij wiskunde mogelijk is, zijnonder andere te vinden in het Wis-Kids-project, dat mede door de vereni-ging wordt ondersteund.

En verder…

VmboIn 2003 zullen de eerste examensworden afgenomen binnen de syste-matiek van de leerwegen in het vmbo.We kijken met zorg naar de basisbe-roepsgerichte leerweg: zullen de vroe-gere A-leerlingen dit aankunnen? Hetbestuur is van mening dat er voor detoekomst aandacht moet zijn voor eengedifferentieerde invulling van hetexamen binnen de basisberoepsge-richte leerweg. Binnen dit gebied zijnteveel leerlingen die het niet of nau-welijks aankunnen. Bij een algeheleaanpassing in de richting van deze

Verenigingsnieuws


Die ontwikkelingen zijn niet uniekvoor Nederland; je ziet iets dergelijksook in andere landen. Dat betekentenerzijds dat het niet alleen ónzeschuld is, de oorzaken liggen dieper,en anderzijds dat het niet in ons ver-mogen ligt om het tij volstrekt tekeren.

Maar dat betekent niet dat we hetmoede hoofd dus maar in de schootmoeten leggen. Voor ons blijft deopdracht om naar beste vermogen dejonge mensen die aan onze zorg zijntoevertrouwd te enthousiasmeren voorhet vak. De stofwolken van de ver-nieuwingen zijn een beetje aan hetoptrekken en wij zien dan ook drienoodzakelijke lijnen ter verbetering.

Ten aller-allereersteDaartoe moeten we wel in de gelegen-heid worden gesteld. U weet dat hetbestuur al jaren bezig is om in deTweede fase voldoende contacttijdvoor wiskunde te bedingen. Her ender heeft deze actie succes, maar nogniet zo algemeen als nodig is.

Afgelopen zomer, net na de examens,heeft het bestuur via een kleine blik-semenquête geprobeerd inzicht te krij-gen in een mogelijke relatie tussentoegekende contacttijd en examenre-sultaat. Natuurlijk is die relatie nieteenduidig, er zijn nog veel anderevariabelen in het spel, zoals groeps-grootte, schoolorganisatie, kwaliteiten motivatie van leerlingen en docen-ten. En natuurlijk ook weer dat ver-schil tussen wiskunde A en wiskundeB.De eerste enquêteresultaten laten datook wel zien, maar je ziet ook dat hetonder een bepaalde grens wel heelmoeilijk wordt om een goed resultaatte behalen. De opgegeven contacttijdvoor vwo-B12 bijvoorbeeld loopt over3 jaar uiteen van 9 tot 15 uur en desamenhang met het examenresultaatis hier het sterkst. Met 9 uur een goe-de score halen is niet goed mogelijk,

En er is ook weer een nieuw opgaven-bundeltje, vwo-B deze keer.

Voor tweedehands Zebra’s en anderspul kunt u als vanouds terecht bij hetWereldwiskundeFonds. De vorig jaargeïntroduceerde boekenveiling viainternet is een groot succes, met deopbrengst daarvan zijn wiskundeboe-ken aangeschaft voor een lerarenop-leiding op de Filippijnen. Anderenieuwe projecten zijn in Zambia,Afghanistan en Kenia. In de auladraait een PowerPoint presentatie meteen overzicht van de projecten doorde jaren heen. De leden van de werk-groep zijn ook aanwezig, maar hunboeken niet.

Onze winkelEn verder zoals gebruikelijk hetNVvW-winkeltje met allerlei postersen hebbedingetjes op wiskundegebied.Dit jaar voor het eerst zonder de ver-trouwde verschijning van SjoerdSchaafsma. Sjoerd is verhuisd naarAustralië. We zijn daarom dringendop zoek naar iemand met dezelfdesoort prettige afwijking als Sjoerd omde verantwoordelijkheid voor aan- enverkoop over te nemen. Mocht udaarvoor voelen, spreekt u dan eenvan onze bestuursleden aan.

Daarnaast participeert het bestuur inmenig bestuurlijk overleg over depositie van de exacte vakken en hoedie te verbeteren. En natuurlijk hou-den we u zo goed mogelijk op dehoogte van alle ontwikkelingen viaons prachtblad Euclides en onze fraaieen uiterst informatieve website. Deinformatie op de website is weliswaarnuttig voor iedereen, maar de ledenzorgen er door hun contributie voordat hij in de lucht is. We willen dewebsite daarom voor een deel slechtstoegankelijk maken voor leden.

De leden, de raison d’être van de ver-eniging - immers zonder leden geenvereniging - hoe staat het daar mee?

De ledenwerfactie van een jaar gele-den heeft een paar honderd nieuweleden opgeleverd, een mooi resultaat.En leden zijn over het algemeentrouw, de reden van opzegging is inde meeste gevallen pensioen of over-lijden, of men heeft een baan gevon-den buiten het onderwijs. Aan dielaatste twee redenen kunnen we wei-nig doen, aan de eerste een beetje, wehouden graag de ouderen als lid inere. Het bestuur heeft daarom beslotenom gepensioneerden financieel tege-moet te komen door ook voor hen hetstudententarief open te stellen; 65-plussers betalen dan, als zij dat willen,evenveel als studenten; dat leek onsmooi symmetrisch.Maar de vereniging ontkomt niet aande algehele vergrijzing van het lera-renbestand. Dat aantal nieuwe ledenwerd royaal overtroffen door hetnatuurlijk verloop. Om te voorkomendat we over enige jaren de contributiefors moeten verhogen of het licht uit-doen, is het dus van groot belang datwe voortdurend proberen de jongeregeneratie – voor zover aanwezig - bijde vereniging te betrekken. Hetbestuur heeft daartoe een commissiein het leven geroepen die een enander wat professioneel gaat aanpak-ken; dus ik hoop dat u dat goed zultmerken. Maar de beste ambassadeurbent uzelf natuurlijk, als ieder lid eennieuw lid aanbrengt, kan de contribu-tie misschien wel omlaag!

Tot slotIk hoop u duidelijk gemaakt te hebbendat er veel te doen is voor een vereni-ging als de onze. Een bestuur kanzoiets nooit alleen. Wij zijn daaromtrots en dankbaar voor de bereidheidvan zoveel leden om zich belangeloosvoor de vereniging in te zetten. Dattoont een betrokkenheid die hartver-warmend is. We hebben elkaar nodig,samen staan we sterker. We willen allevrijwilligers graag hartelijk dankenvoor hun inzet en u vragen dit teonderstrepen met een applaus.

leerlingen zullen wellicht de betereleerlingen, die er ook zijn, zich tekortgedaan voelen. Het bestuur is vanmening dat voor de zwakste leerlin-gen gezocht moet worden naar eeneigen traject inclusief examinering.Vanuit de beroepsgerichte vakken zounaar voren moeten komen welkeaccenten gelegd moeten worden inhet wiskundeonderwijs al naar gelangde keuze van de leerling voor een ver-volgopleiding.

HboDe werkgroep hbo moest voor detweede keer een teleurstelling incasse-ren doordat een project om de wis-kunde te integreren in de toegepastevakken in het hbo werd afgewezen.De werkgroep werkt nu zoals eerdergezegd aan de aansluiting met hetvoortgezet onderwijs en zal daarnaastin Euclides artikelen publiceren overhet gebruik van computeralgebra ende gevolgen door de didactiek, eenonderwerp dat ook voor havo en vwoin de nabije toekomst van belang kanzijn.

Veel leuke dingen voor demensenOndanks, of misschien wel dankzij degeschetste malaise, is er op ditmoment een verheugende veelheidaan activiteiten die wordt onderno-men om het wiskunde onderwijs voorleraar en leerling interessant temaken. Het is teveel om op te noe-men, daarom een kleine greep: Kan-goeroe, Olympiade, A-lympiade, Wis-kunde B-dag, Vierkant, Pythagoras,diverse websites voor praktischeopdrachten, WisKids, WisWeb, Wis-Faq, veel studiedagen en cursussen.Het bestuur juicht deze ontwikkelingtoe en uiteraard is de vereniging bijveel van deze activiteiten op enigerleiwijze betrokken.

Zebra en …Maar ons eigen Zebra-nieuws wil ik uniet onthouden: er zijn weer jonkies!

Verenigingsnieuws


Uitgever wiskunde m/v

Malmberg is een toonaangevende

uitgeverij met een brede expertise in

het ontwikkelen van leermiddelen

voor het onderwijs en het leren thuis.

Malmberg is sterk gericht op de

toekomst en zoekt voortdurend naar

nieuwe mogelijkheden om haar

producten en diensten te verbeteren.

Malmberg geeft producten uit voor

het basisonderwijs, het voortgezet

onderwijs en beroeps- en volwassenen-

educatie. Malmberg is ook bekend

als uitgever van Okki, Taptoe, Hello

You en Boektoppers.

Malmberg heeft een uitdagend en

ontwikkelingsgericht werkklimaat

waarin medewerkers de ruimte

krijgen voor een optimale inbreng.

Je profiel:

• je hebt een academisch denken werkniveau en ervaring als docent wiskun-

de in het voortgezet onderwijs;

• je hebt een visie op en ervaring met educatieve (ICT-)productontwikkeling;

• je beschikt over ervaring met conceptontwikkeling en auteursmanagement;

• je bent een daadkrachtige teamspeler, vaardig in het resultaatgericht

managen van mensen en processen;

• je bent een ondernemer die beschikt over een juiste mix van commerciële

vaardigheden en onderwijsinhoudelijke aspecten.

De uitgeefgroep Voortgezet onderwijs van Malmberg heeft

een sterke positie opgebouwd in het onderwijs met succes-

volle methoden voor de basisvorming, het vmbo en de tweede

fase. Hiermee ondersteunen wij de docent in zijn dagelijkse

lespraktijk en helpen de leerlingen bij hun studie. Het cluster

exacte vakken van de uitgeefgroep Voortgezet onderwijs is op

zoek naar een enthousiaste

Je reactie:

Prikkelt deze functie binnen een inspireren-

de werkomgeving je enthousiasme?

Zo ja, schrijf dan een brief naar Chantal Gee-

rits, P&O-adviseur van Uitgeverij Malmberg,

Leeghwaterlaan 16, 5223 BA

’s-Hertogenbosch. E-mailen kan ook naar

p&[email protected].

Wil je meer informatie over de functie, bel

dan met Chris Hut, uitgeefmanager exacte

vakken VO, (073) 6 288 990 of stuur een

e-mail: [email protected]. Wil je meer

informatie over Malmberg, kijk dan op onze

internetsite www.malmberg.nl.

Je werk:

Als uitgever volg je actief de plannen en ontwikkelingen in het wiskundeonderwijs.

In die ondernemersrol maak en realiseer je winstgevende uitgeefplannen voor

nieuwe mixed-mediamethoden. Je zorgt ervoor dat het auteursteam de kopijfase,

en het team met interne vakspecialisten de realisatie van het uitgeefproject suc-

cesvol binnen de gestelde kaders afronden. In die zin heb je de taak om een juiste

balans te vinden tussen het inhoudelijke, commerciële en sociale belang. Daar-

naast onderhoud en bouw je relaties op in het onderwijsveld.

Puzzel 784 Recreatie[ Frits Göbel ]


Puzzel 4 - Kwadraten

Deze keer bekijken we twee merkwaardighedenvan kwadraten.

Het is de lezer misschien al eens opgevallen datde kwadraten van 13, 14 en 31 alledrie dezelfde‘cijferinhoud’ hebben; dat wil zeggen : metdezelfde cijfers worden geschreven, in dit gevalmet de cijfers 1, 6 en 9. Wat betreft 13 en 31 isdit niet zo bijzonder, immers als a en b cijferszijn in het 10-tallig stelsel, dan worden dekwadraten van 10a�b en 10b�a beidegeschreven met de cijfers a2, 2ab en b2, mits aen b voldoende klein zijn. Maar voor 13 en 14ligt het iets anders. Bovendien zijn ditopvolgende getallen. Zo komen we tot devolgende opgaven.

Opgave 1 Welke getallenparen (-tripels, …) hebben eenkwadraat van 4 cijfers met dezelfdecijferinhoud?Als de vraag voor 3 cijfers was gesteld, zou hetantwoord bij voorkeur in de volgende vormgegeven moeten worden: (12, 21), (13, 14, 31),(16, 25).

Opgave 2Hoe zit het met de ‘zeldzaamheid’ van k-demachten met gelijke cijferinhoud in het g-talligstelsel als het aantal cijfers toeneemt?

Opgave 3Bepaal alle getallen n waarvoor de kwadratenvan n en n + 1 dezelfde cijferinhoud hebben enuit 5 of 6 cijfers bestaan, in het 10-talligstelsel.

Een heel andere bijzonderheid vernam ik vande Oostenrijkse wiskundige Dr. Helmut Postl.Hij schreef: ‘7744 is een kwadraat (882) datwordt geschreven met “tweelingcijfers”, in ditgeval 77 en 44. (Toevallig heeft de wortel, 88,ook die eigenschap.) Naast de trivialeuitbreiding waarbij je er nullen achter zet, kenik maar één ander voorbeeld van zo’nkwadraat. Ik vond het met de hand, en met decomputer ging ik na dat er geen ander niet-triviaal kwadraat is onder 3350000002. Ikvermoed dat er helemaal geen andereoplossingen zijn.’Dit lijkt een redelijk vermoeden. Aangezien ikniet al te veel opgaven wil stellen diecomputergebruikers een groot voordeel bieden,

krijgt u een andere opgave, waarbij we op eenander talstelsel overgaan. Het grappige is datverschillende talstelsels zich bij dit probleemheel verschillend gedragen. De volgendeopgave is hiervan een voorbeeld.

Opgave 4Bepaal een oneindige rij van getallen n, nietdeelbaar door 7, waarvoor n2 uit tweelingenbestaat in het 7-tallig stelsel. (Voor alleduidelijkheid: n zelf hoeft dus niet uittweelingen te bestaan.)

Oplossingen kunt u mailen [email protected] of per gewone post sturen naarF. Göbel, Schubertlaan 28, 7522 JS Enschede.Er zijn weer maximaal 20 punten te verdienenvoor goede oplossingen. De deadline is dezekeer 20 februari 2003. Veel succes.

oplossing van de figuur die ik noemde als eenvoorbeeld waarvan je niet zou denken dat hijin twee gelijke stukken kan worden verdeeld.

De stand op de ladder is nu als volgt: aan kop gaan L. de Rooij, P. Stuut en H.Verdonk met 40 punten; T. Afman, L. van denBrom, D. Buijs, S. van Dijk en H. Lindershebben 20 punten.

Oplossing van ‘Twee verdeelpuzzels’

In de figuren 1 en 2 ziet u oplossingen van detwee opgaven. Verschillende inzenders gavenaan dat ze de opgaven niet al te moeilijkvonden. Voor degenen die er niet uitkwamenvolgt hieronder een kleine analyse.

Ervaring leert dat verdelingen in polyomino’seenvoudiger te vinden zijn dan verdelingen inandere figuren. Voor opgave 1 verdelen we hetGriekse kruis daarom eerst in 5k2 vierkantecellen, waarbij we k zó kiezen dat het aantalcellen deelbaar is door 32. De kleinste waardevan k die hieraan voldoet is 8. We hebben dan320 cellen, dus we zoeken een verdeling in 10-omino’s. Het is snel te zien dat de rechthoekvan 2 bij 5 niet tot een oplossing leidt. Watbetreft eenvoud komt vervolgens inaanmerking: een rechthoek waaruit eenrechthoekige hoek is verwijderd, anders gezegd:een polyomino in de vorm van een (niet-convexe) zeshoek. Hiervan zijn er 11, waarvande een er wat bruikbaarder uitziet dan deander. Na enig proberen vinden we dan degegeven oplossing.

Bij opgave 2 is de vorm van de ‘tegel’voorgeschreven, waardoor een oplossingredelijk snel kan worden gevonden. In mijnoplossing, die hier is afgebeeld, heb ik zo veelmogelijk rechthoeken van 2 bij 5 opgenomen.De puzzel is afkomstig van de Duitsewiskundige Dr. Torsten Sillke.

Er kwamen 7 correcte oplossingen van de tweeopgaven binnen. T. Afman gaf als bonus de

FIGUUR 1 FIGUUR 2

RecreatieOplossing 782



KalenderIn deze kalender kunnen alle voor wiskunde-docenten toegankelijke en interessantebijeenkomsten worden opgenomen.Wil eenieder die relevante data heeft, deze zospoedig mogelijk doorgeven aan de hoofd-redacteur. Hieronder treft u de verschijnings-data aan van Euclides in de lopende jaargang.Achter de verschijningsdata is de deadline voorhet inzenden van mededelingen vermeld.Doorgeven kan ook via e-mail: [email protected]

nr verschijnt deadline

5 27 februari 2003 14 januari 2003

6 17 april 2003 4 maart 2003

7 26 mei 2003 1 april 2003

8 26 juni 2003 13 mei 2003

vr. 31 januari en za. 1 februariNationale Wiskunde Dagen, NoordwijkerhoutOrganisatie Freudenthal Instituut

dinsdag 4 februari (eerste dag)Studium generale: Geschiedenis van dewiskundeUniversiteit Utrecht

woensdag 5 februariNationale Leermiddelen Dagen WiskundeOrganisatie LOTS Consultancy

vrijdag 14 februari (eerste dag)Nijmeegs Colloquium Didactiek van WiskundeOrganisatie ILS/KUN, NijmegenZie ook p.121 in Euclides 78-3

vrijdag 14 februariStudiedag Applets in de wiskundeles, UtrechtOrganisatie APS

do. 20 maart en vr. 21 maartNationale Rekendagen, NoordwijkerhoutOrganisatie Freudenthal Instituut

vrijdag 21 maartKangoeroe-wedstrijdOrganisatie KUN, NijmegenZie ook p.97 in Euclides 78-3

woensdag 2 aprilStudiedag aansluiting rekenen wiskunde-onderwijsOrganisatie APS

donderdag 24 april3e Conferentie ICT in de wiskundelesOrganisatie APSZie ook p.041 in Euclides 78-1

do. 1 mei en vr. 2 meiNederlands Mathematisch Congres 2003Organisatie KUN, NijmegenZie ook p.161 in dit nummer

zaterdag 17 meiSymposium IX, UtrechtOrganisatie HKRWOZie ook p.161 in dit nummer

Voor internet-adressen zie de Agenda op dewebsite van de NVvW:www.nvvw.nl/Agenda2.html

Publicaties van deNederlandse Vereniging van Wiskundeleraren

* Zebra-boekjes1. Kattenaids en Statistiek2. Perspectief, hoe moet je dat zien?3. Schatten, hoe doe je dat?4. De Gulden Snede5. Poisson, de Pruisen en de Lotto6. Pi7. De laatste stelling van Fermat8. Verkiezingen, een web van paradoxen9. De Veelzijdigheid van Bollen

10. Fractals11. Schuiven met auto’s, munten en bollen12. Spelen met gehelen13. Wiskunde in de Islam14. Grafen in de praktijk

* Nomenclatuurrapport Tweede fase havo/vwoDit rapport en oude nummers van Euclides(voor zover voorradig) kunnen besteld wordenbij de ledenadministratie (zie Colofon).

* Wisforta - wiskunde, formules en tabellenFormule- en tabellenboekje met formulekaartenhavo en vwo, de tabellen van de binomiale ende normale verdeling, en toevalsgetallen.

* Honderd jaar Wiskundeonderwijs, lustrumboekvan de NVvW.Het boek is met een bestelformulier te bestellenop de website van de NVvW(http://www.nvvw.nl/lustrumboek2.html).

ServicepaginaServicepagina

OP WEGNAAR

LERENMET

Pascal geeft zelfstandig leren structuur en houvast

Werkschrift maakt eigen schrift leerling overbodig

Werkschrift is leermiddel en naslagwerk tegelijk

Meerdere leerroutes mogelijk

Differentiatie duidelijk zichtbaar in informatieboeken en verschillende werkschriften

Doorlopende leerlijn tweede fase en leerwegen

Meer informatie

T (0575) 59 49 94

I www.pascal-online.nl

E [email protected]

PASCALW I S K U N D E

ZELFSTANDIG

Telefoon (050) 522 63 11

Fax (050) 522 62 55

E-mail: [email protected]

www.netwerk.wolters.nl

Wolters-Noordhoff

Postbus 58

9700 MB Groningen

Neem dan contact op met onze

voorlichter Sandra Kooijstra

en reserveer alvast

beoordelingsexemplaren.

=

Kennismaken met

de 3e editie?

Netwerk

NIEUW!

een glasheldere

formule

ONDERZOEKS- VAARDIGHEDEN WISKUNDEONDERWIJS · genummerd, zwart/wit, scherp contrast. Nederlandse...

Documents

Transcript of ONDERZOEKS- VAARDIGHEDEN WISKUNDEONDERWIJS · genummerd, zwart/wit, scherp contrast. Nederlandse...