Beperkingen van Formele SystemenDe grenzen die de logica aan zichzelf stelt.

(•) Een eerste barst in de verzamelingenleer: de Paradox van Russell

In 1901 ontdekte Bertrand Russell (1872-1970) een eenvoudige paradox in de zgn. 'naïeve versie' van de verzamelingen-theorie van Georg Cantor (1845-1918).{Een ontdekking overigens die de voetsporen volgde van Cantor zelf (1895), en daarnaast Cesare Burali-Forti (1897), David Hilbert (ca. 1896-1899), en Ernst Zermelo (1900).}

De zgn. 'Paradox van Russell' houdt in dat als verzamelingen zonder meer deelverzameling kunnen zijn van zichzelf, er ook een verzameling van al dat soort verzamelingen moet bestaan, maar dan bestaat nog steeds het complement van die verzameling, omdat niet alle deelverzamelingen deelverzameling van zichzelf kunnen zijn, hetgeen onvermijdelijk tot een paradox leidt:de bedoelde compliment-verzameling kan (a) niet deel zijn van zichzelf, want dan kan ze niet tot haar eigen klasse behoren, dus geen deel zijn van zichzelf, en (b) evenmin kan ze wèl deel zijn van zichzelf, want dan moet ze wel tot haar eigen klasse behoren, dus een verzameling zijn die geen deel is zichzelf.

Dit resultaat betekent dat het begrip 'is deel van' tegelijk waar en onwaar kan zijn: dus inherent contradictie behelst.Maar volgens een grondprincipe van de 'naïeve' verzamelingen-leer, Cantor's Comprehensie Axioma (Naives Komprehensionsaxiom) omvat het 'een-element-zijn van een ding a ten opzichte van een verzameling A' juist de toestand dat a de eigenschappen heeft die door A vertegenwoordigd worden! Dit axioma blijkt nu inconsistent, dus niet geschikt voor beslissingen over lidmaatschappen van verzamelingen .. Hieruit volgt dat aan afzonderlijke verzamelingen geen inhoudelijk onderscheid kan worden gegeven: dus geen betekenis, naast hun syntactische c.q. kwantitatieve notatie. De conclusie is dat verzamelingen louter formele constructies blijken, die syntactisch wèl maar semantisch géén inhoud hebben .. anders gezegd, de wiskundige verzamelingenleer raakt dan ook zeker nergens de wereld van concrete objecten en ervaringen op een eenduidige manier, waarvoor ze juist ooit bedoeld was ..

In antwoord op Russell's paradox publiceerde Ernst Zermelo (1871-1953) in 1908 een alternatief stel axioma's voor het problematische Comprehensie Axioma. Met name Zermelo's Axiom of Foundation (Fundierungsaxiom) zorgt ervoor dat een niet-lege verzameling altijd minstens één ding omvat dat niet samenvalt met de verzameling zelf, zodat deze niet tegelijk volledig deel kan zijn van zichzelf. We zullen echter zien dat dergelijke voorzieningen de kloof tussen syntax en semantiek voor de verzamelingenleer nog niet hebben kunnen dichten ..

(•) De onvermijdelijke dubbelzinnigheid van de predikatenlogica voor de wiskunde.

Voortbouwend op het werk van Leopold Löwenheim (1878-1957) dat in 1915 werd gepubliceerd, presenteerde Thoralf Albert Skolem (1887-1963) in 1920 zijn bewijs voor het zgn. Löwenheim-Skolem theorema (L-S). Dit theorema raakt de geschiktheid van het logische systeem dat gebruikt pleegt te worden om de axioma's van de verzamenlingenleer te definiëren: de predikatenlogica.

Het kader van de predikatenlogicaDe predikatenlogica (PDL) is een vorm van formele logica, een uitbreiding van de propositielogica (PPL). Grondlegger van de predikaten calculus was Gottlob Frege (1848-1925), zie diens Grundgesetze der Arithmetik I en II (1893, 1903). Terwijl de PPL beperkt is tot relaties tussen elementaire beweringen c.q. proposities, heeft het systeem van de PDL het voordeel dat geredeneerd kan worden binnen elementaire beweringen, en wel over eigenschappen en relaties van dingen in een bepaalde verzameling, een domein. Daarbij maakt de PDL verdere nuanceringen mogelijk door kwantifikatie van eigenschappen over dingen. Hierdoor biedt de PDL veel meer mogelijkheden dan de PPL om logische verbanden uit te drukken - zowel die in natuurlijke taal, als in wiskunde en andere wetenschapsgebieden. {Met de kanttekening dat in de 'eerste orde' versie (PDL-I) geen stellingen over meta-eigenschappen (eigenschappen van eigenschappen) zijn toegelaten.}

PredikatieIn de PDL kunnen eigenschappen en relaties via begrippen - predikaten en functies - door de 'gebruiker' van het systeem naar eigen goeddunken worden toegekend aan objecten in het domein. De enige beperking hierbij is dat dit alleen op zinvolle wijze kan wanneer de regels worden gevolgd van de 'taal' van het systeem, de expressieregels of syntax. Hoe dan ook is de taal van de logica op zichzelf altijd inherent inhoudsvrij, oftewel ongeïnterpreteerd. Ook de objecten in een domein hebben zelf binnen het systeem verder géén eigenschappen: het zijn volkomen 'anonieme' en onderling verwisselbare individuen zonder eigen intrinsieke betekenis of inherente eigenschap.

Minimaal domeinEen stelling in de predikatenlogica kan dus via predikaat-toewijzing, of predikatie, verwijzen naar een aantal objecten (d.i. minstens één). In dat geval veronderstelt ze uiteraard het bestaan van minstens één verzameling bestaande uit minstens zoveel verschillende objecten als in de stelling worden onderscheiden: een zgn. 'minimaal domein' voor de stelling. Maar die verzameling hóeft natuurlijk niet te bestaan: allereerst niet in het abstracte domein, en nog minder in het empirische, fysische of welk ander domein ook. Dat heeft dan wel consequenties voor de mogelijkheid om de betreffende stelling 'waar te maken'.

InterpretatieWe kunnen met een logische stelling pas iets van een inhoudelijke voorstelling van zaken weergeven nádat we haar een interpretatie geven. We wijzen daarbij een domein aan (bijvoorbeeld een bevolking), en geven aan waar de gebruikte codes voor objecten, predikaten en functies voor staan (bijvoorbeeld personen, werkwoorden en 'netwerkrelaties' tussen personen). Maar, met een inhoudelijke voorstelling van zaken hebben we natuurlijk nog niet automatisch een ware bewering.

Voorafgaand aan interpretatie bestaat een bewering in de logica enkel uit een 'kale' syntactische structuur. In dat stadium veronderstelt de PDL-I alleen dat sommige verzamelingen kúnnen bestaan, van welke omvang ook, maar niet dàt ze ook daadwerkelijk bestaan. Daardoor kunnen we deze kale structuur in principe naar eigen goeddunken 'projecteren' op elk domein, concreet of abstract, reëel of fictief. De mate waarin de structuur past op het gekozen domein is mede beslissend voor de waarheidswaarde van die structuur volgens de logica.

WaarheidsvervullingOm nu een bewering of redenering in de taal van de PDL als waar te laten gelden dient allereerst aan één randvoorwaarde te worden voldaan: dat ze verenigbaar is met de toestand van het domein. Dit betekent dat aan minstens drie volgende eisen voldaan moet worden:(1) de logische relaties in de stelling (vergelijkbaar met voegwoorden in de natuurlijke taal) en de verwijzingsrelaties van predikaten en functies leveren onderling geen contradictie op;(2) het gekozen domein voor de variabelen en objecten is ruim genoeg;(3) en eventuele inhoudelijke aannamen over toestanden in het domein zijn juist.

Voor een waarheids-vervullende interpretatie - een zgn. model voor de betreffende stelling - is in ieder geval zoals gezegd een 'minimaal domein' nodig: een domein dat een voldoende aantal verschillende objecten bevat, om recht te doen aan de verscheidenheid en combinaties van objecten die de betreffende redenering veronderstelt. Het domein hoeft dus voor waarheids-vervulling alleen te voldoen aan een minimale omvang (c.q. kardinaliteit), oftewel een benedengrens. Maar voor waarheids-vervulling stelt de PDL-I geen bovengrens aan het domein.

Pas als we aannemen dat een stelling - inclusief al haar predikaties - voor 'waar' kan doorgaan, kunnen we aannemen dat het minimale domein ervoor inderdaad bestaat. In dat geval stelt die stelling logischerwijze alleen 'minimale' kwantitatieve eisen aan dat domein, geen enkele eis aan de maximale omvang, en zeker geen kwalitatieve eisen aan type, categorie, essentie en dergelijke. Kortom, elke stelling in de logica - dus ook de predikatenlogica - is volkomen onafhankelijk van welk specifiek domein of gebied van de werkelijkheid dan ook. Juist daardoor is de logica toepasbaar op welk specifiek domein of gebied van de werkelijkheid dan ook.

Het systeem van de PDL werd aan het begin van de twintigste eeuw gezien als voldoende krachtig èn eenduidig beslisbaar om de verzamelingen theorie in te definiëren, ook die volgens de axioma's van Ernst F.F. Zermelo (1871-1953) en Adolf A.H. Fraenkel (1891-1965) - het Zermelo-Fraenkel systeem (ZF). In de verzamelingenleer worden klassen van verzamelingen onderscheiden van zeer uiteenlopende omvang, oftewel kardinaliteit; bijvoorbeeld:· Eindige verzamelingen (finite sets):bijvoorbeeld, de verzameling leden van de Verenigde Naties.· Aftelbaar oneindige verzamelingen (countably infinite sets, denumerable sets):bijvoorbeeld, de verzameling van natuurlijke getallen (N), van gehele getallen (Z), van rationele getallen (Q), van teksten in taal, van formules in de eerste-orde predikatenlogica (PDL-I), enz..· Over-aftelbare verzamelingen (uncountable, c.q. uncountably infinite sets):bijvoorbeeld, de verzameling van alle deelverzamelingen - de machtsverzameling of powerset - van een aftelbaar oneindige verzameling; de verzameling van irrationele getallen (A), van reële getallen (R) (numerical continuum), van punten op een eindige lijn (linear continuum), van imaginaire getallen (I), van complexe getallen (C), enz..

Er waren echter twijfels gerezen over de geschiktheid van de predikatenlogica om de domeinen van de verzamelingenleer te definiëren. Deze twijfels hadden ironisch genoeg juist te maken met de sterke eigenschappen van de PDL-I, die al op onweerlegbare wijze waren bewezen.

De kracht van de PDL-I

Correctheid ( Soundness in-formele-zin ). De meerwaarde van logische systemen ligt allereerst in de mogelijkheid van absoluut sluitende bewijsvoering van stellingen. Dat laatste kan alleen door middel van strikt eenduidige afleidingen van conclusies uit premissen, die ook volledig betrouwbaar zijn. Een eerste vereiste aan een formeel systeem is dan ook Correctheid: de uitkomsten van formele bewijzen behoren in overeenstemming te zijn met de conclusies die inhoudelijk uit de premissen volgen.{Formeel gesteld: (T |- G) (T |= G). }

Consistentie . Maar als een logisch correct systeem een formele contradictie oplevert, zal dit ook een inhoudelijke strijdigheid betekenen, en dus resulteren in onwaarheid.{Formeel gesteld: (T |- ) (T |= ); (T |= $0). }

Maar volgens de elementaire logische wetten van de PPL impliceert een conclucie die uitsluitend onwaar is (per contrapositie) dat ook alle premissen onwaar zijn. Het laatste betekent echter dat het gehele systeem uitsluitend onwaarheid oplevert: dus van weinig waarde is. {Formeel gesteld: ((¬$0 $1) ((T |= $0) ($1 |= ¬T))) ((T |- ) ¬T). }

Een volgende belangrijke eigenschap van formele systemen is dan ook Consistentie: dat uit het formele systeem geen (formele) contradicties volgen. {Formeel gesteld: ¬((T |- G) & (T |- ¬G)); oftewel: ¬(T |- (G & ¬G)); oftewel: ¬(T |- ). }

Volgens het Fundamenteel Theorema, of Model Existentie Theorema is elke verzameling van welgevormde formules in de taal van de predikatenlogica die (syntactisch) consistent is ook (semantisch) vervulbaar.{Formeel gesteld: ¬(T |- ) ¬(T |= ); ¬(T |= $0). }

Bewijs van het Model Existence Theorem voor PDL-I. In grote lijnen verloopt dit bewijs als volgt:Neem een verzameling K*[wff] van welgevormde formules in een formalisme, of taal L! in de predikatenlogica. Stel dat deze (syntactisch) consistent is.Om te bewijzen dat zo'n verzameling K*[consis] altijd vervulbaar is, moeten we aantonen dat er een interpretatie, of zgn. (domein-) structuur bestaat die haar vervult, met andere woorden, haar een adequaat model verschaft (in de logica kortweg 'model' genoemd). Dit bewijs is constructief van aard. Neem aan dat de betreffende verzameling K*[consis] existentiële kwantoren kan bevatten. Het domein van het benodigde model moet altijd minstens zoveel elementen bevatten als het aantal existentieel gekwantificeerde formules c.q. predikaties c.q. variabelen. Houd er ook rekening mee dat de kardinaliteit van de verzameling K*[consis] aftelbaar oneindig kan zijn: dus ook het aantal existentiële kwantoren. De omvang of signatuur van het model moet voldoende zijn: dus mogelijk aftelbaar oneindig. Construeer daarom eerst een uitgebreide versie van het taalsysteem L! door toevoeging van oneindig veel nieuwe, unieke object-constante-symbolen, met als resultaat de geëxtendeerde taal L![inf]. Voeg daarna aan elke existentiële formule in de verzameling een valide inferentie toe die stelt dat dezelfde formule haar geïnstantieerde versie impliceert, zodanig dat in de laatste elke existentiële variabele-naam is vervangen door een nieuwe en unieke object-constante-naam - zgn. Henkin constante - ontleend aan de uitgebreide taal L![inf].(Henkinizatie: door substitutie, via instantiatie, via Skolemizatie).Het resultaat bevat voor alle existentiële predikaties zgn. 'getuigen', oftewel witnesses (dit zijn a.h.w.

de syntactische pendanten van grondinstantiaties in zgn. Herbrandinterpretaties).Het is dan eenvoudig aantoonbaar dat elke mogelijke (conjunctieve) combinatie van zulke willekeurig welke Henkin-versies van willekeurig welke formules uit een verzameling die consistent is, eveneens consistent is. En dus dat de gehele machtsverzameling (power set) van al die combinaties, de Henkin extensie van de verzameling, zeg K*[Henkin] ook consistent is. Dit volgens het Henkin Extension Lemma.Vervolgens geldt op grond van het Lindenbaum Lemma dat elke consistente verzameling - dus ook de Henkin extensie daarvan - vervat is in een verzameling die de grootst mogelijke uitbreiding ervan vormt met behoud van consistentie: een maximaal consistente verzameling K*[consis-max]. Deze heeft onder meer als eigenschappen, dat er geen formule aan kan worden toegevoegd zonder dat de verzameling inconsistent wordt; dat voor elke welgevormde formule hetzij de bevestiging, hetzij het tegendeel onderdeel is; en dat elke formule die onderdeel is ook eruit afleidbaar is.Het bovenstaande combinerend kunnen we afleiden dat voor elke oorspronkelijke K*[consis] een maximaal consistente Henkin extensie bestaat, K*[Henkin-max]. Omdat alle existentiële predikaties in deze 'super'-verzameling witnesses hebben, heeft ze de kenmerken van een zgn. Hintikka verzameling, K*[Hintikka]: volgens het Hintikka lemma.Tenslotte geldt volgens het Satisfiability Lemma dat elke Hintikka set vervulbaar is: dus ook K*[Henkin-

max]. En omdat de oorspronkelijke verzameling K*[consis] hiervan deelverzameling is, volgt hieruit dat zij eveneens vervulbaar is (QED).

Volledigheid Een belangrijke eigenschap van formele systemen is vervolgens Volledigheid: alles wat we inhoudelijk kunnen weten of afleiden met betrekking tot een aantal premissen, dient als het even kan in het systeem formeel bewijsbaar te zijn. Preciezer gezegd: een systeem is volledig als geldigheid van een redenering in het systeem impliceert dat die redenering ook formeel afleidbaar is in dat systeem.{Formeel gesteld: (T |= G) (T |- G). }Voor de simpelste vorm van formele logica, de propositielogica (PPL), werd volledigheid al in 1920 bewezen door Emil L. Post (1897-1954). Ook blijkt het validiteitsprobleem beslisbaar voor een uitbreiding van de PPL, de modale logica (MdL). {D.i. voor diverse varianten, zie o.a. McNaughton, 1951; Chang, 1958, 1959; Rose/Rosser, 1958. }Met het Volledigheidstheorema van Kurt Friedrich Gödel (dissertatie 1929; artikel 1930) is bewezen dat de PDL-I in ieder geval aan Volledigheid voldoet.

Eindige bewijzenEen andere, wezenlijke eigenschap van logische systemen is dat elk bewijs tot een kenbare einduitkomst moet leiden. Met de Volledigheid van het systeem is gegarandeerd dat we niet eindeloos hoeven door te zoeken naar een eindconclusie, maar dat elk bewijs vroeg of laat eindigt - termineert - in een definiete bevestiging. Dit betekent dat elk bewijs tenminste moet bestaan uit een eindige reeks van (verschillende) redeneerstappen.

CompactheidUit de bevestiging van Volledigheid volgt het zgn. Compactheid theorema voor de PDL-I: als we een oneindige verzameling van beweringen hebben, en als vaststaat dat elke eíndige deelverzameling van die verzameling als waar kan worden geïnterpreteerd (d.i. vervulbaar is), dan is de gehele verzameling eveneens vervulbaar.

Bewijs voor de Compactheid van PDL-I. De redering is vrij simpel. Neem een oneindige verzameling K* van beweringen, waarvan elke eindige deelverzameling van K* vervulbaar is. Stel nu dat K* als geheel niet vervulbaar zou zijn. Dan zou K* inconsistent zijn. Dus dan zou minstens één van de deelverzamelingen K[i] van K* -  volgens Gödel's Volledigheidsbewijs voor de PDL-I  - een bewijsreeks voor contradictie moeten opleveren. Maar elke

bewijsreeks die een resultaat oplevert is noodzakelijk eindig. Dus zal zo'n deelverzameling K[i] tegelijk eindig èn inconsistent moeten zijn. Maar dan is ze niet tegelijk eindig èn vervulbaar. Uitgangspunt was echter, dat elke eindige deelverzameling van K* vervulbaar is. Dus kan geen van die deelverzamelingen een logische contradictie opleveren. Dan is het onmogelijk om aan te tonen - in een eindig bewijs - dat de gehele verzameling onvervulbaar is. En dus volgt dat de gehele verzameling eveneens vervulbaar is - ook al kunnen we daar geen expliciet en eindig, positief bewijs voor opstellen.

Kwantitatieve grenzen aan de expressieve kracht van de predikatenlogica

De Löwenheim-Skolem theorema's.In het theorema van Löwenheim-Skolem worden de eigenschappen Soundness, Volledigheid, en Compactheid gecombineerd, met onthutsende resultaten.

I. Upward Löwenheim-Skolem theorema. De eerste consequentie wordt beschreven in de Upward versie van het L-S theorema.(1) Wil een bewering in PDL-I vervulbaar zijn, dan vereist die zoals gezegd een interpretatie (model) die minstens zoveel onderscheidingen toelaat als de bewering veronderstelt, en dus een 'minimaal domein'.(2) Er wordt echter geen bovengrens gesteld aan de vereiste omvang van het domein. Dit betekent dat elk domein met een grotere omvang dan dat minimale domein net zo exact voldoet voor een model dat de bewering vervult.Conclusie: een bewering die vervulbaar is met een eindig model (c.q. domein) is net zo goed vervulbaar met een oneindig model (c.q. domein).

II. Downward Löwenheim-Skolem theorema. Vervolgens komt de 'Skolem-paradox' aan het licht:(1) Het is duidelijk dat een stelling in de PDL-I altijd een syntactische structuur zal hebben, en dus gesteld is in een formele reeks tekens, en daarmee nooit méér onderscheidingen kan weergeven dan aftelbaar oneindig (de omvang van bijvoorbeeld de verzameling van alle natuurlijke getallen). En dus zal een domein van aftelbaar veel objecten altijd voldoende zijn om een stelling in de PDL-I te vervullen.(2) Tegelijk worden in de verzamelingenleer echter stellingen geponeerd over bijvoorbeeld de verzameling der reële getallen: die een over-aftelbare kardinaliteit heeft. Uit deze strijdigheid volgt de Downward versie van het L-S theorema: een zin die vervulbaar is met een over-aftelbaar model (c.q. domein) is net zo goed vervulbaar met een aftelbaar model (c.q. domein).

Consequenties van Löwenheim-Skolem theoremaDe over-all conclusie uit de L-S theorema's is dat de eerste orde logica niet bruikbaar is om eenduidig onderscheid te maken tussen eindige en oneindige domeinen, en tussen aftelbare en over-aftelbare domeinen. Maar daardoor is de eerste orde logica niet eenduidig te gebruiken voor allerlei formele systemen waarin die onderscheidingen essentieel zijn, zoals de verzamelingen-theorie volgens de axioma's van Zermelo-Fraenkel (ZF), en de rekenkunde voor rationele en voor reële getallen. En dat terwijl het hele nut van formalisering juist ligt in absolute eenduidigheid van uitdrukkingen!

Een bijkomend probleem is dat de predikatenlogica zo lastig te 'verbeteren' of te 'repareren' is. Het blijkt dat alle 'hogere' of meer geavanceerde systemen dan de eerste orde logica - bijvoorbeeld meerwaardige logica, fuzzy logic, quantum logica, enz. - nog veel méér beperkingen kennen op cruciale eigenschappen zoals Soundness, Volledigheid en

Compactheid .. zodat verdere sophistication geen soelaas biedt. Volgens sommigen betekent dit dat hiermee een absolute begrenzing aan de mogelijkheden van formele systemen wordt gesteld.

(•) De onvolledige bewijskracht van rekenkundige systemen die consistent zijn.

Zoals gezegd is Volledigheid een belangrijke eigenschap van formele systemen. Een systeem is volledig als geldigheid van een redenering in het systeem impliceert dat die redenering ook formeel afleidbaar is in dat systeem.{Formeel gesteld: (T |= G) (T |- G). }

Voor de simpelste vorm van formele logica, de propositielogica (PPL), werd Volledigheid al in 1920 bewezen door Emil L. Post (1897-1954).

De Volledigheid van de predikatenlogica werd door Kurt Friedrich Gödel (1906-1978) bewezen met diens Volledigheidstheorema (dissertatie 1929; artikel 1930). Dit resultaat houdt in dat voor elke welgevormde formule in deze taal die logisch geldig is, een formeel bewijs kan worden geleverd. Zodoende geldt, dat als een bewering in de PDL-I logisch geldig is, dan is deze formeel c.q. mechanisch bewijsbaar. Anders gezegd, alle geldige formules in PDL-I kunnen bewezen worden via een formele procedure. Met andere woorden, de verzameling van formules in de PDL-I blijkt recursief opsombaar (recursively enumerable, RE).

Met Gödel's Volledigheidstheorema was dus bewezen dat de PDL-I aan Volledigheid voldoet.De volgende vraag die Gödel zich stelde was of Volledigheid ook gold voor de wiskunde - om te beginnen de elementaire rekenkunde voor natuurlijke getallen: first-order theory of natural numbers.{Nb. Met name de rekenkunde van Sorites (Sorites arithmetic, SA), die gebaseerd is op de predicatenlogica, PDL, en de eerste vier postulaten van de rekenkunde volgens Guiseppe Peano (1858-1932; 1891), de PA. Een voorbeeld van zo'n systeem, of calculus, werd beschreven door Bertrand Russell en Alfred N. Whitehead (Principia Mathematica, 1910-1913 resp. 1962).}

Kort hierna, in 1931, presenteerde Gödel zijn Eerste Onvolledigheidstheorema. Hiermee bewees hij dat een eerste orde systeem van de elementaire rekenkunde, ook al is het consistent, geen bewijs kan leveren voor elke zin die in de taal van dat systeem kan worden geformuleerd. Dit geldt zelfs als van zo'n zin vaststaat dat ze waar is.

Gödel's bewijs voor de Onvolledigheid van de elementaire rekenkunde.

De 'fatale uitzondering' die Gödel gebruikt voor zijn bewijs, de zgn. 'Gödel-zin' (G), is een variant van de bekende 'Kretenzer paradox', of 'paradox' van de leugenaar', en luidt: 'Deze zin is niet bewijsbaar in dit systeem'. Het type zin G betreft een globaal, negatief zelf-reflexief meta-oordeel: dat moet haast wel tot problemen leiden. G draait als het ware in zichzelf rond. Hierdoor is ze al volgens onze logische intuïtie in betekenis duidelijk paradoxaal, en daardoor niet te bewijzen: en daarom inhoudelijk waar.

Daarnaast blijkt dat zo'n zin bij een gewone, directe interpretatie of 'lezing' door een formeel systeem in de vorm tot oneindige circulariteit leidt. Dit laatste probleem ligt direct in het recursieve gebruik van de 'bewijsbaar'-functie. Gödel erkent zèlf al dat deze functie niet zonder meer recursief kan worden gebruikt. Hij presenteert een lijst van 46 formele notities

voor elementen en operaties die hij gebruikt bij zijn bewijsvoering, en plaatst daarbij de opmerking: "Bew(x) [=Beweisbar x] is the only one of the notions 1-46 of which we cannot assert that it is recursive." (Gödel, 1931, pp.162-171).

Kortom, het zou kunnen zijn dat zin G al bij voorbaat niet toelaatbaar is in systeem T. Met andere woorden, bij een voor de hand liggende codering van zin G in de taal van G, is geen afleiding mogelijk die op afzienbare termijn eindigt in een definiete uitkomst.

Op grond van intuïtief oordeel is de waarheidswaarde van zin G dus niet door een formeel systeem T procedureel te bewijzen, of zelfs maar te beslissen - en dat betekent dat zin G inhoudelijk wel degelijk waar is! (Een conclusie die uiteraard géén paradox is met de premisse: het 'waar' zijn van de gehele zin staat in een meta-relatie tot het 'niet-bewijsbaar' zijn dat bínnen de zin wordt genoemd). Vanuit dit oogpunt is de onvolledige bewijskracht van formele systemen een tamelijk triviaal gegeven. Kurt Gödel was trouwens de eerste om dit toe te geven. "How indeed could one think of expressing metamathematics [i.e. rules about mathematics] in the mathematical systems themselves, if the latter are to be considered to consist of meaningless symbols which acquire some substitute of meaning only through [that same] metamathematics?." (Kurt Gödel, in: Feferman, S., 1984, 'Kurt Gödel: Conviction and Caution').

Het is Gödel echter gelukt om, met behulp van een speciale getalscodering, de zgn. 'Gödelnummering', het probleem van de oneindige recursie te omzeilen. Uitgangspunt waren de axioma's van de rekenkunde voor natuurlijke getallen, die gedefinieerd waren in stellingen van de PDL-I. Daarbij was duidelijk dat elke stelling in de PDL-I bestaat uit een tekenreeks met een lengte die niet groter is dan de omvang van de verzameling van natuurlijke getallen (die aftelbaar oneindig is).

Als gezegd had Gödel al aangetoond dat de verzameling van stellingen in PDL-I recursief opsombaar was. Daardoor konden ze worden gecodeerd in termen van berekenbare functies (computable functions). De formele taal die Gödel hiervoor ontwierp was het systeem van de primitieve recursieve functies.Vervolgens toonde Gödel aan dat alle stellingen van de PDL-I één-op-één kunnen worden gepaard aan een corresponderend getal. Daardoor zijn al die stellingen eenduidig te coderen met een unieke numerieke code, een 'Gödelnummer'. Dit betekende dat ook alle stellingen in de rekenkunde met Gödelnummers te coderen zijn, inclusief axioma's, en inclusief rekenkundige problemen. Dankzij dit formalisme wist Gödel formeel aan tonen, in de taal van de rekenkunde, dat de zin G, gesteld in-die-codering, onder elke waarheidswaarde, en bij elke formele afleiding binnen een consistent rekenkundig systeem T, zou leiden tot contradictie - en dus niet beoordeelbaar is.

Dit resultaat betekent allereerst dat er in de taal van de rekenkunde kennelijk een formele 'route' bestaat om te bewijzen dat het consistente systeem niet elke ware bewering kan bewijzen die zijn eigen bewijsmogelijkheden betreft. Inhoudelijk lijkt deze uitkomst niet erg verwonderlijk, maar de consequenties zijn verstrekkend: in elk formeel systeem dat consistent is zijn er welgevormde beweringen mogelijk die waar zijn en tegelijk in datzelfde systeem niet beoordeelbaar zijn. En dus is zo'n systeem in logische zin per definitie onvolledig.

Andere consequenties van Gödel's bewijs waren, naar de mening van Gödel, dat de menselijke rede creatief is (in plaats van louter lineair-mechanisch), en dat 'synthetische a

priori waarheden' mogelijk zijn. {Zie verder: Het Onvolledigheidsbewijs van Gödel .}

(•) De onbeslisbaarheid van de predikatenlogica.

Hilbert's Entscheidungsproblem

Al in 1900 formuleerde David Hilbert een cruciale vraag over de reikwijdte van de bewijskracht van formele systemen: het 'beslisbaarheidsprobleem' (Entscheidungsproblem, of decision problem). Bestaat er een algemene formele procedure waarmee we voor elk wiskundig probleem kunnen bepalen of het oplosbaar is?

Begin van de twintigste eeuw werd nog aangenomen dat de wiskunde sluitend was te axiomatiseren in een vorm van logica, met name de predikatenlogica. Als deze aanname juist was, en de beslisbaarheid van de predikatenlogika kon worden bewezen, dan zou daarmee de gehele wiskunde beslisbaar blijken. Daarom vertaalde Hilbert het probleem van de beslisbaarheid van de wiskunde in dat van de vervulbaarheid van de predikatenlogika (PDL). De vraag is dan in hoeverre voor elke mogelijke formule in de PDL kan worden bepaald of die onder een bepaalde interpretatie waar kan zijn, of niet.

Het probleem van vervulbaarheid is vervolgens indirect te vertalen in dat van logische geldigheid oftewel validiteit. Als een bewering algemeen geldig is (valide) dan wordt ze door elke interpretatie vervuld; dus heeft ze minstens één interpretatie waaronder ze vervuld wordt (een model), en daarmee is ze vervulbaar. Oftewel, een geldige bewering is in ieder geval vervulbaar.{Formeel gesteld: ((|= G) (¬|= ¬G)).} Is een bewering echter niet vervulbaar, dan is het tegendeel ervan geldig.{Formeel: ((|= ¬G) (|= (¬G)).}

Voor het vervulbaarheidsprobleem van de PDL zocht Hilbert naar een meta-procedure, wat hij noemde een 'effectieve methode', om voor elke stelling in de predikatenlogika in een eindig aantal stappen te kunnen bepalen of die onder een bepaalde interpretatie waar kan zijn. "The Entscheidungsproblem is solved when we know a procedure that allows for any given logical expression to decide by finitely many operations its validity or satisfiability [..] The entscheidungsproblem must be considered the main problem of mathematical logic." (Hilbert & Ackerman, 1928) Al in 1900 formuleerde David Hilbert (Hilbert & Ackerman, 1928) Enkele jaren later werd het Entscheidungsproblem door Alonzo Church als volgt geformuleerd: "By the Entscheidungsproblem of a system of symbolic logic is here understood the problem to find an effective method by which, given any expression Q in the notation of the system, it can be determined whether or not Q is provable in the system." (A. Church, 1936[b], p.41).

Met Gödel's Volledigheidstheorema van 1930 was nog geen oplossing gevonden voor Hilbert's Entscheidungsproblem. Volledigheid, als logisch meta-criterium, gaat uit van de verzameling van alle geldige beweringen in een logisch systeem, en concludeert dat voor al die beweringen binnen het systeem een formeel bewijs te vinden is. De verzameling van alle geldige beweringen is in dat systeem dan recursief opsombaar. Probleem is dan nog steeds het traceren van de ongeldige formules in het betreffende logische systeem. Voor een ongeldige formule is het dan immers nog steeds onduidelijk hoe die

formeel is op te sporen. En als we van te voren niet weten of een formule valide is, dan kunnen we ook geen procedure selecteren om erop los te laten .. Bewezen zou nog moeten worden, in termen van Gödel's calculus, dat de gehele verzameling van formules in dat systeem ook recursief was.

Gödel's Onvolledigheidsbewijs van 1931 leverde voor deze vraag evenmin uitsluitsel. Dit had enkel betrekking op de bewijskracht van consistente systemen van de rekenkunde van formules waarvan we weten dat ze waar zijn. De conclusie luidt dat hier niet altijd een formeel bewijs voor te vinden is. Dat is voldoende voor het bewijs van Onvolledigheid.

BeslisbaarheidNog onopgelost was het tevoren kunnen bepalen voor àlle formules van het systeem òf ze waar of onwaar zijn. Was hier ook nog een formele procedure voor te vinden? In dat geval zou voor elke formule in PDL-I met zekerheid kunnen worden bepaald of deze waar, onwaar of onbeslisbaar is. Een veel sterkere eigenschap dan Volledigheid is nu beslisbaarheid: elke bewering die in het systeem kan worden geformuleerd is hetzij bewijsbaar, hetzij weerlegbaar door middel van het systeem.{Formeel gesteld ('#' betekent 'OF .. OF ..): ((T |- G) # ¬(T |- G)). }Dit betekent dat er voor elke welgevormde bewering in het systeem een eindige bewijsreeks bestaat: hetzij voor haar bevestiging, hetzij voor haar weerlegging. Anders gezegd, voor elke welgevormde invoer zal het systeem eindigen (termineren) in een definiete uitkomst: bevestiging of ontkenning.De verzameling van PDL-I formules zou dan recursief zijn (recursive, R), en daardoor volledig determinaat.

Door Alonzo Church (1903-1995) werd het formele bewijs geleverd dat het validiteitsprobleem van de eerste-orde predikatenlogica (PDL-I) niet volledig beslisbaar is. Church publiceerde zijn bewijs het eerst op 19 april 1935 in een paper onder de titel 'An unsolvable problem of elementary number theory'. Hierin definieert Church allereerst de uitdrukking 'effectively calculable' als de aanduiding van een methode die effectief genoeg is om de waarden van een procedure of functie te berekenen. Een effectieve functie, zeg F, zal een algoritme hebben, die na een eindige reeks stappen tot een uitkomst zal leiden. ".. the fact that the algorithm has terminated becomes effectively known and the value of F(n) is effectively calculable" (Church, 1936a; reprint in: M. Davis, ed., 1965, p.100).

Vervolgens definieert Church het begrip 'effectieve berekenbaarheid' ('effective calculability') allereerst in termen van recursieve functies die door Gödel en Herbrand (zie Herbrand 1932, Gödel 1934) waren uitgewerkt.

Tevens presenteert Church een nieuwe formele taal, de lambda calculus, waarmee alle natuurlijke getallen kunnen worden weergegeven als abstracte functies. Met dit apparaat kon hij aantonen dat elke 'effectief berekenbare' functie samenviel met een 'lambda-definable' functie (zie: Church, 1932, 1936a, 1941; Kleene, 1935)."[We ..] define the notion [..] of an effectively calculable function of positive integers by identifying it with the notion of a recursive function of positive integers (or of a lambda-definable function of positive integers)". (Church, 1936a, p.356).

Met behulp van deze systematiek bewees Church dat niet alle formules in de PDL-I kunnen worden beslist door functies in termen van de lambda-calculus; en dus door geen enkele

andere effectieve procedure. Dat wil zeggen dat er geen algoritmische procedure c.q. rekenvoorschrift bestaat waarmee voor elke welgevormde formule in PDL-I kan worden beslist of deze logisch geldig c.q. valide is. {Overigens blijken bepaalde klassen van formules in de eerste-orde predikatenlogica wel degelijk beslisbaar, zodat de PDL-I als geheel kan gelden als 'semi-beslisbaar').}

Bovendien bewees Church dat er geen algemene algoritmische procedure mogelijk is voor het bepalen van de berekenbaarheid (computability) van problemen in de theorie van de natuurlijke getallen. Dit geniale bewijs werd echter al snel overtroffen door het briljante werk van Alan Turing, dat we hieronder zullen bespreken.

(•) De beperkte mechaniceerbaarheid van wiskundige operaties.

Vrijwel gelijktijdig met Church heeft Alan Mathison Turing (1912-1954) in mei 1936 een beslissend antwoord gegeven op het zgn. Entscheidungsproblem dat was geformuleerd door David Hilbert (1900). Hij leverde het definitieve bewijs dat de door Hilbert beoogde 'effectieve' procedure niet bestaat. En dus dat er geen oplossing is voor het Beslisbaarheidsprobleem.

Turing heeft allereerst, tegelijk met Alonzo Church, laten zien dat elk wiskundig probleem, wil het oplosbaar zijn, te beschrijven moet zijn met een volkomen mechanische procedure, of een algoritme. We hebben het dan over een verzameling van berekenbare bewerkingen in de wiskunde. Zo'n algoritme is vervolgens uitvoerbaar met een seriële digitale computer. Deze stelling is bekend geworden als de Church-Turing these: Elke uitvoerbare berekening kan worden uitgevoerd door een algoritme werkzaam op een computer, zolang voldoende tijd en opslagruimte beschikbaar zijn.

Een algoritme is een rekenvoorschrift waarbij bewerkingen stap voor stap worden uitgevoerd (sequentieel), in een eindige reeks, waarbij voorwaarden kunnen worden gesteld (nesting) en 'herhaalrecepten' toegepast (recursie of looping). Kortom, eigenschappen die we tegenwoordig kennen van een 'computerprogramma', dat in algemene, abstracte vorm al langere tijd in logica en wiskunde bekend is. Het concept werd ontworpen door Charles Babbage (1792-1871) in samenwerking met Lady Ada Augusta, gravin van Lovelace (1815-1852) en door hen 'analytical engine' gedoopt. Later werd het bekend als 'abstract automaton', 'discrete state machine', 'Logical Computing Machine' (LCM) en 'Turing device' c.q. 'Turing Machine' (TM). De volgende begrippen blijken overeen te komen:

Algoritme. 'Analytical engine' bij Charles Babbage (1792-1871) en Lady Ada Augusta, gravin

van Lovelace (1815-1852). 'Turing device' c.q. 'Turing Machine' (TM), bij Alan Turing (1936-1937). Verder: 'abstract automaton', 'discrete state machine', 'Logical Computing

Machine' (LCM).

Met een algoritme c.q. TM is een strikt eenduidige en volledig gedetermineerde procedure mogelijk: met kennis van de uitgangsgegevens is het verloop tevoren perfect voorspelbaar. Tegelijk is het mogelijk dat bewerkingen bij recursie 'oneindig' herhaald worden (de 'eeuwige

loop'), zodat er voor de uitkomsten twee mogelijkheden zijn: hetzij ze worden sluitend vastgesteld (ze zijn definiet), hetzij ze blijven 'eeuwig' onbekend.

In een TM kan een enorm scala aan gegevens en probleemstellingen worden weergegeven door het principe van getalscodering: alle elementaire onderscheidingen van invoer en uitvoer kunnen in een één-op-één correspondentie met de reeks van natuurlijke getallen worden gebracht, evenals de tussenliggende bewerkingen. Die numerieke codes kunnen vervolgens - meer efficiënt - in binaire waarden worden vertaald, oftewel de 'ja'/'nee' beslissingen die we sinds Aristoteles kennen van het meest elementaire logische systeem, de propositielogica (PPL). Hierdoor is alle informatie in een TM lineair, sequentieel en dichotoom.

Gelet op deze eigenschappen is het een interessante vraag of èlke cijferreeks in principe door één of andere TM te berekenen zal zijn op een manier die een andere cijferreeks als definiete uitkomst oplevert. Dit is de vraag naar de berekenbaarheid (computability) van verschillende soorten wiskundige problemen.

Hilbert's Entscheidungsproblem kan nu in termen van Turing Machines worden geherformuleerd: kan er een Turing Machine worden ontworpen die voor èlke mogelijke probleemstelling kan bepalen of er een oplossing is? In dat geval zou het systeem voor elke eindige invoer gegarandeerd een eindige, definiete uitkomst moeten leveren. De volgende begrippen blijken dus overeen te komen:

'Effectieve methode' bij David Hilbert (1900) en Hilbert & Ackerman (1928). Recursive algorithm (recursive function), Kurt Gödel (1934) en Jacques Herbrand

(1932). Lambda-definable function in de lambda calculus, bij Alonzo Church (1932,

1936a, 1941) en Stephen Kleene (1935). Turing machine computable function, bij Alan Turing (1936-1937).

De vraag is dus of er een effectieve, universele beslissingsprocedure mogelijk is, een 'UTM' of 'meta-TM', die voor elke TM kan bepalen of deze voor elke tekenreeks voorspelbaar binnen een eindig aantal stappen - 'in eindige tijd' - tot een specifieke, definiete eindtoestand komt, anders gezegd, uiteindelijk stopt (termineert). Dit is het zgn. Stop Probleem (Halting Problem, HP). Hierop is het antwoord volgens het Theorema van Turing onverbiddelijk: voor het Stop Probleem is geen oplossing.

Turing's methode om het negatieve bewijs te leveren was veel krachtiger dan die van Church, wat door de laatste ruiterlijk werd erkend in zijn bespreking van Turing's resultaten: "[..] computability by a Turing machine [..] has the advantage of making the identification with effectiveness in the ordinary (not explicitly defined) sense evident immediately" (Church, 1937a, p.43). Bovendien had Church alleen gekeken naar functies van natuurlijke getallen (positive integers), terwijl Turing's bewijs betrekking had op, in zijn eigen woorden "[all] computable functions of an integral variable or a real or computable variable, computable predicates, and so forth" (Turing, 1936, p.230).

Turing's bewijs voor de Onbeslisbaarheid van de elementaire rekenkunde.

Samenvatting:

We kunnen ons een matrix voorstellen van alle mogelijke algoritmische patronen bij alle mogelijke invoerpatronen. Als een universeel beslissingsprogramma kan bestaan dat in alle gevallen effectief is, dan zal dit voor elke combinatie c.q. cel in deze matrix een welbepaalde, definiete uitkomst leveren (nl. wel of niet beslisbaar), met andere woorden, dan is elke cel in de matrix beslisbaar en dus is de gehele matrix beslisbaar. Dan is ook de 'diagonaal' in de matrix volledig vervuld, nl. door alle uitkomsten van alle algoritmes toegepast op zichzelf. (I) Eerste bewijsroute: Als de complete matrix met uitkomsten bestaat, en we een simpele rekenkundige bewerking (transponatie) toepassen op alle uitkomsten in de matrix, dan blijkt dat de universele beslissingsprocedure waar deze wordt toegepast op de diagonaal in de matrix en wordt uitgebreid met zo'n transponatie, en vervolgens wordt toegepast op zichzelf, tot contradicties leidt: ze kan niet stoppen want dan gaat ze oneindig door, en ze kan niet oneindig doorgaan want dan stopt ze. (II) Langs een andere route: Als de complete matrix met uitkomsten bestaat, dan bestaat de diagonaal uit twee verzamelingen: die van alle algoritmes die een uitkomst leveren als ze op zichzelf worden toegepast, en de complement-verzameling daarvan; maar dan moet het beslisprogramma ook voor elk element van de compliment-verzameling (die voor geen van haar leden uitkomsten kent) tot een uitkomst leiden, hetgeen een contradictie is.

Dus de genoemde matrix kan nooit volledig beslisbaar zijn, dus kan er geen procedure zijn die over elk algoritme onder elke mogelijke invoer beslist, en dus kan geen universele beslisprocedure bestaan die in alle gevallen effectief is.

De conclusie van Turing's bewijs is dat de mogelijkheid van een effectieve universele beslissingsprocedure, of meta-procedure (UTM), voor de meest elementaire rekenkunde is uitgesloten.

Dus linksaf of rechtsaf blijkt het wiskundige systeem niet volledig beslisbaar.

Methode 'Praktische Logica': Het bewijs van Gödel ©

Het bewijs van Gödel

Bewustzijn en de Beperkingen van formele systemen .

[Eerste website versie 08-06-2005;herziene versie 16-08-2006]

InleidingHet blijkt lastig om een verklaring voor het verschijnsel bewustzijn te vinden - vooral een verklaring die onder wetenschappers algemeen aanvaard wordt. Zou er een absoluut beletsel zijn om de bewuste verklaring te kunnen vinden? Misschien ligt dit probleem in het feit dat we als mensen voor het begrijpen van het bewustzijn hoe dan ook aangewezen zijn op dat zelfde bewustzijn. Om een realistisch beeld te kunnen vormen van het bewustzijn, zou het misschien nodig zijn om er van buitenaf tegenaan te kunnen kijken - om dus tijdelijk 'buiten bewustzijn' te stappen. Maar dan hebben we niet meer het bewustzijn om wat dan ook gewaar te kunnen worden. Dus daarmee komen we niet verder.Het bewustzijn heeft wel bepaalde zelf-reflexieve vermogens, het kan bijvoorbeeld het besef bevatten: 'ik ben bij bewustzijn'. Maar het kan zichzelf niet volledig 'overzien' of 'doorgronden'. Met een vergelijking: de slang kan zichzelf wel bijten, maar "The snake cannot completely swallow itself by the tail" (John S. Bell, 1973, pp. 687-690; 1987, pp. 41-42). Kortom, het is misschien wel so wie so onmogelijk om met onze geest, vanuit ons bewustzijn, datzelfde bewustzijn te verklaren. De laatste opvatting wordt vaak geschraagd met een beroep op het zgn. 'onvolledigheidsbewijs' van Kurt Gödel (1931). We zullen hieronder bespreken wat dit bewijs op hoofdlijnen inhoudt, en wat hiervan de conclusies en consequenties kunnen zijn voor het 'bewustzijnsbewijs'.

Een beknopte samenvatting.Gödel's onvolledigheidsbewijs heeft betrekking op de mogelijkheden en beperkingen van formele systemen, met name bepaalde combinaties van logica en wiskunde. Eerste eis aan een formeel systeem is dat het geen strijdige uitkomsten oplevert. Dan noemen we het consistent. In dat geval zijn de uitkomsten van het systeem voldoende betrouwbaar om stellingen in de 'taal' van dat systeem te toetsen op waarheid of logische geldigheid. Kurt Friedrich Gödel (1906-1978) heeft in 1931 echter bewezen dat een formeel systeem van de rekenkunde, ook al is het consistent, niet kan beslissen over èlke zin die in de taal van dat systeem kan worden geformuleerd - zelfs niet als van zo'n zin vaststaat dat ze waar is. Dat wil zeggen, in elk formeel systeem zijn er welgevormde beweringen mogelijk die waar zijn en tegelijk onbewijsbaar zijn. En dus is zo'n systeem per definitie in logische zin onvolledig.

Bij zijn bewijsvoering maakt Gödel gebruik van een speciaal soort zinnen: nl. formele notaties van stellingen die direct een uitspraak doen over de bewijsbaarheid van zichzelf binnen het formele systeem waarin ze geformuleerd zijn. Zulke zinnen staan dus voor zelf-reflexieve meta-oordelen, en die zijn in het algemeen erg lastig om tot een oplossing te brengen. Het bijzondere van Gödel's aanpak is dat hij een wiskundige techniek heeft gevonden om zelfreflexieve meta-oordelen over een formeel rekenkundig systeem te coderen in de taal van datzelfde systeem: via zijn zgn. 'Gödel-nummering'. Met behulp van deze speciale getalscodering is het Gödel gelukt om formeel aan tonen, in de taal van de rekenkunde, dat de waarheidswaarde van een bepaald type meta-oordeel niet in een formeel rekenkundig systeem kan worden bewezen.

(1) De twee onderdelen van Gödel's onvolledigheidsbewijs.Kurt Gödel heeft aangetoond dat er onontkoombare (definiete) beperkingen zijn aan formele systemen van de rekenkunde. In zulke systemen wordt een rekenkundige theorie opgebouwd als een zuiver logisch systeem van basisaannamen (axioma's) en afleidingsregels. Gödel's bewijs geldt al voor de meest simpele formaliseringen van de elementaire rekenkunde voor natuurlijke getallen: first-order theory of natural numbers. {Nb. Met name van de rekenkunde van Sorites (Sorites arithmetic, SA), die gebaseerd is op de predicatenlogica, PDL, en de eerste vier postulaten van de rekenkunde volgens Guiseppe Peano (1858-1932; 1891), de PA. Een voorbeeld van zo'n systeem, of calculus, werd beschreven door Bertrand Russell en Alfred N. Whitehead (Principia Mathematica, 1910-1913 resp. 1962).}

De waarde van een formeel systeem ligt in zijn betrouwbaarheid en zijn toepasbaarheid - en die zijn in het algemeen afhankelijk van twee wezenlijke eigenschappen:

(I) Correctheid.Correctheid van een systeem betreft de omzetting van vormkenmerken (syntactische structuur) naar betekenis (semantische structuur).Het voordeel van correctheid is: wat formeel afleidbaar is binnen het systeem, is ook inhoudelijk correct - dat wil zeggen, waar of logisch geldig. Dat betekent dat de logische structuur van het systeem tenminste logisch vervulbaar is (algemeen geldig of contingent), en daarmee consistent: het systeem produceert in ieder geval geen tegenstrijdige uitkomsten.Formele afleidbaarheid impliceert in dat geval inhoudelijke betrouwbaarheid van conclusies. {Correctheid van een systeem:'CORRECT(T)' :

Systeem T is correct;Wat afleidbaar is uit het systeem, is geldig binnen het systeem;'Afleidbaarheid (van F, uit T)' impliceert 'geldigheid (van F, in T)';

i ( (T F[i]) (T F[i]) ); Voor elke afleidbare welgevormde (wff) formule F in T* geldt, dat deze in T geldig, dus

waar is:( (T* =WFF*(T)) ( (K* T*) i ( (K* F[i]) (K* F[i]) ) ) ) }.

(II) Volledigheid.Volledigheid van een systeem betreft de omzetting van betekenis (semantische structuur) naar vormkenmerken (syntactische structuur).Het voordeel van volledigheid is: wat inhoudelijk correct is - dat wil zeggen, waar of logisch geldig - dat is ook formeel afleidbaar binnen het systeem.Inhoudelijke betrouwbaarheid impliceert in dat geval formele afleidbaarheid, en dus voldoende kwantitatieve bewijscapaciteit. {Volledigheid van een systeem:'COMPLET(T)' :

Systeem T is volledig;Wat geldig is binnen het systeem, is afleidbaar uit het systeem;'Geldigheid (van F, in T)' impliceert 'Afleidbaarheid (van F, uit T)';

i ( (T F[i]) (T F[i]) ); Voor elke ware/ geldige welgevormde (wff) formule F in T* geldt, dat deze in T bewijsbaar

is:( (T* =WFF*(T)) ( (K* T*) i ( (K* F[i]) (K* F[i]) ) ) ) }.

In zijn bewijs levert Gödel twee stellingen tegen de mogelijkheid dat formele rekenkundige systemen volledig kunnen zijn - ook al zijn ze consistent.

I. Het eerste onvolledigheidstheorema Deze stelling houdt in, dat elk formeel systeem van de rekenkunde dat consistent is - dus geen onderling tegenstrijdige beweringen oplevert - niet tegelijk volledig is. Dat betekent dat het niet zo is dat elke bewering die in de taal van zo'n systeem geformuleerd kan worden, en waarvan de waarheidswaarde bekend is, ook binnen dat systeem kan worden bewezen (als waar) - of kan worden weerlegd (als onwaar).Er blijven dus altijd vragen die binnen de taalregels (syntax) van zo'n systeem gesteld kunnen worden, maar waarvan de antwoorden buiten de afleidingsregels (semantiek) van het systeem liggen.

II. Het tweede onvolledigheidstheorema. Dit wil zeggen dat een formeel rekenkundig systeem dat consistent is ook niet een bewijs kan leveren voor zijn eigen consistentie.

Beide conclusies gelden ongeacht de mogelijke uitbreidingen, modificaties en innovaties van het systeem: zolang het een formeel rekenkundig systeem is, blijven de verbeteringen beperkt tot een toename in complexiteit, dat is een uitbreiding van combinaties. Ze leiden niet tot een volledige bewijscapaciteit van het systeem: er blijven ware zinnen mogelijk in de taal van het systeem die niet bewijsbaar zijn in het systeem. Dit geldt in ieder geval voor beweringen over het systeem zèlf: die vereisen meta-oordelen (oftewel meta-inferentie).

(2) Mogelijke consequenties van Gödel's bewijs.Met name het eerste onvolledigheidstheorema wordt wel aangevoerd om bepaalde opvattingen te schragen over de relatie tussen formele systemen en menselijke cognitieve capaciteiten zoals intelligentie en bewustzijn (zie bijv. R. Penrose, 1994).

(a) Gödel's bewijs wordt bijvoorbeeld gebruikt om te onderstrepen dat de menselijke intelligentie altijd superieur zal zijn aan formele systemen.(b) Ook wordt gesteld dat Gödel's bewijs betekent dat de standaardwetenschappelijke methode - die werkt met eerste orde logica, algoritmische wiskunde, en klassieke fysica - niet toereikend is om een model te kunnen vormen van menselijke mentale processen zoals intelligentie, maar ook bewustzijn. (c) Bovendien zou daaruit volgen dat we in een mechanisch apparaat, waarvan de fysische werking te beschrijven is met een formeel systeem - zoals een automaat, computer of robot - niet een volledige en adequate versie van de menselijke 'geest' kunnen afbeelden - laat staan programmeren. Elke vorm van 'Kunstmatige Intelligentie' zal daarom achterblijven bij de gewone natuurlijke intelligentie.

Voor deze drie stellingen zijn vele argumenten aan te voeren, waarvan een aantal redelijk steekhoudend zijn. Maar daarbij lijkt Gödel's bewijs niet het meest relevante bewijsmiddel. Hieronder zullen we Gödel's bewijsvoering toelichten.

(3) Het gebruikte tegenvoorbeeld in Gödel's bewijs.Het bewijs van Gödel zit nogal ingewikkeld in elkaar maar voor het doel van deze bespreking is het vooral belangrijk dat de hoofdlijn van zijn betoogtrant duidelijk wordt. Gödel voert zijn bewijs in grote lijnen als volgt.

Laten we uitgaan van een denkbeeldig systeem, T. Stel dat T een formeel rekenkundig systeem is dat logisch consistent is, dat wil zeggen, enkel ware beweringen oplevert, dus zeker geen tegenstrijdige conclusies. De vraag is nu: [1a] 'Kan een formeel rekenkundig systeem T dat logisch consistent is, tegelijk logisch volledig zijn?'Of, anders gesteld:[1b] 'Kan T voor elke zin F die welgevormd is in de taal van T èn die waar is, een geldig bewijs leveren van haar waarheid?'Wat neerkomt op:[1c] 'Kan T elke ware zin F die welgevormd is in T bewijzen?'

Gödel betwist de volledigheid van consistente systemen door naar de 'fatale' uitzondering hierop te zoeken. Het tegenvoorbeeld dat Gödel gebruikt voor zijn bewijs is een heel specifieke zin, de bekende 'zin van Gödel' (zeg Gd[0]), die luidt: 'Deze zin is niet bewijsbaar in dit systeem'.

[2a] Gd[0] : "The system (T ) cannot prove that this statement (Gd[0]) is true".Of korter;

[2b] Gd[0] : 'Gd[0] is not provable in T '. Met andere woorden:

[2c] Gd[0] : 'Gd[0] is niet bewijsbaar in T '. In meta-logische termen:

[2d] Gd[0] : '¬(T Gd[0])'.

We zien dat zin Gd[0] van dezelfde categorie lijkt als de bekende klassieke Kretenzer paradox, of paradox van de leugenaar, die luidt: 'Ik lieg', of anders gezegd: 'Wat ik zeg is onwaar', of nog preciezer: 'De zin die dit stelt is onwaar'. Als die zin waar is dan is hij onwaar, en als hij onwaar is dan is hij waar. Enzovoorts.

Gödel's zin Gd[0] zegt iets soortgelijks, maar niet over waarheid, alleen over bewijsbaarheid. Daarbij verwijst ze naar zichzelf (ze is zelf-referentieel) en doet bovendien een bewering óver zichzelf (ze is zelf-reflexief), in ontkennende zin (ze is negatief) met betrekking tot haar bewijsbaarheid in relatie tot systeem T (ze is van een meta-niveau) wat het systeem is waarin zij zelf nota bene is gedefinieerd. De zin kijkt als het ware van buiten het systeem naar zichzelf binnen de schil van dat systeem, in relatie tot die schil, en beweert dat er binnen die schil geen enkel bewijs voor zichzelf te vinden is! Het type zin Gd[0] is dus een globaal, negatief zelf-reflexief meta-oordeel. Dat moet haast wel tot problemen leiden ..

Toch lijkt het paradoxale voorkomen van Gd[0] niet per se tot een contradictie te leiden. Dit blijkt als we kort nagaan welke waarheidswaarde zin Gd[0] kan hebben. Stel dat Gd[0] een zin is die welgevormd is in een systeem T dat consistent is maar niet per se volledig. Dan zijn er maar twee mogelijke antwoorden die T over zin Gd[0] kan geven:(a) Als Gd[0] waar is dan geldt haar inhoudelijke strekking die stelt dat ze niet bewijsbaar is. Dit zou kunnen: waarheid impliceert niet noodzakelijk bewijsbaarheid. (b) Maar als Gd[0] onwaar is dan is haar inhoud ongeldig wat betekent dat Gd[0] niet onbewijsbaar is en dus mogelijk bewijsbaar. Maar voor een onware zin is het in ieder geval onmogelijk om bewijsbaar te zijn in een consistent systeem - zodat de mogelijkheid van een onware zin Gd[0] hier is uitgesloten.

Met andere woorden, de enige logische mogelijkheid is hier dat Gd[0] waar is. Volgens een

simpele, intuïtieve lezing lijkt zin Gd[0] als inhoudelijke bewering dus waar te zijn voor elk formeel systeem dat consistent is.

Gödel toetst echter op een formele manier of een willekeurig consistent formeel systeem, te noemen T, in staat is om deze zin Gd[0] te bewijzen. Hij laat zien dat elke poging om de zin Gd[0] via een systeem T te bewijzen of te weerleggen, vastloopt in tegenstrijdigheden. Dit gebeurt, niet verwonderlijk, op analoge wijze als in het geval van de leugenaarparadox. Het wordt alleen wat ingewikkelder vanwege het speciale coderingssysteem dat Gödel gebruikt om zijn bewijs voor systemen als T geldig te laten zijn.

(4) Een meer formele lezing van Gödel's zin.In een simpele, 'semi-formele' vorm kunnen we Gödel's zin Gd[0] als volgt weergeven:[3] Gd[0] = 'Gd[0] is niet bewijsbaar in T'.

In de vergelijking van [3] verwijst de tweede 'Gd[0]' naar de eerste, maar is daarbij ook van een andere orde. Eigenlijk impliceert Gödel met zijn definitie van Gd[0] een nevenstelling van twee formules:[4] {3} { (4a) (4b) };[4a] Gd[1] = 'Gd[2] is niet bewijsbaar in T'; [4b] Gd[2] = Gd[1].

Het verschil tussen Gd[1] en 'Gd[2]' ligt zowel op syntactisch niveau als op semantisch niveau:(a) Syntactisch verschil(a1) Gd[1] is een naam van een bepaalde tekenreeks;(a2) 'Gd[2]' is zèlf een tekencombinatie binnen de tekenreeks die door Gd[1] wordt aangeduid.(b) Semantisch verschil(b1) Gd[1] is een aanduiding voor een zin of stelling, een inhoudelijke bewering (nl. de betekenis van zin Gd[0]);(b2) Gd[2] is zèlf een letterlijke inhoud binnen de bewering die door Gd[1] wordt aangeduid.

Uit deze opsplitsing van Gd[0] wordt duidelijk dat het verschil tussen de eerste Gd[0] (d.i. Gd[1]) en de tweede Gd[0] (d.i. Gd[2]) wezenlijk is. We zullen zien dat dit verschil een cruciale rol speelt in de opzet van Gödel's bewijs.

(5) Positieve bewijsvoering.De vraag is of het mogelijk is om een formeel bewijs te leveren van de (on)volledige bewijskracht van formele rekenkundige systemen die consistent zijn. Voor dit doel kunnen we onderzoeken of er een zin mogelijk is die welgevormd is in zo'n systeem en waar is, maar tegelijk in datzelfde systeem niet bewijsbaar. Als we hiervoor Gödel's zin (Gd[0]) nemen, dan gaat het er om een formeel bewijs te leveren van de (on)mogelijkheid om voor de ware zin Gd[0] in het betreffende systeem een bewijs te construeren.

Voor een formeel bewijs van een stelling kunnen we in het algemeen twee kanten op: een positieve bewijsvoering of een negatieve. We zullen eerst nagaan of een positieve bewijsvoering iets oplevert voor zin Gd[0].

(I) Positief bewijs: reconstructie van de complete afleiding.Een voor de hand liggende methode van bewijzen is zoeken naar positieve aanwijzingen en voorwaarden voor de waarheid van de te bewijzen stelling, deze 'bouwstenen' vervolgens te ordenen in een redeneerketen, en te toetsen of die als een 'bewijsreeks' kan dienen die de

beoogde conclusie via logische afleiding oplevert. Hoe kan zo'n bewijsreeks in elkaar steken? Als eerste kunnen we voorlopig aannemen dat zo'n bewijsreeks voor de te bewijzen stelling in een systeem T al bestaat en alleen maar hoeft te worden 'ontdekt'. Als we uitgaan van de opbouw en samenstelling van de te bewijzen stelling kunnen we kijken of we het gevolgde redeneerpad in T kunnen reconstrueren. De bedoeling is dan om het bewijs op te bouwen via positieve bewijsvoering of bevestiging (verificatie, affirmatie): op grond van logische afleiding (derivatie). De bewijsreeks heeft dan de vorm van een complete stap-voor-stap afleidingsreeks, die vanaf uitgangspunten (axioma's) van T rechtstreeks en expliciet leidt naar de eindconclusie.{Nb. Bijvoorbeeld het systeem van natuurlijke deductie, volgens Gerhard Gentzen (1934), Frederic B. Fitch (1952).}

Een positieve bewijsreeks voor Gd[0] zal uiteraard minstens één element moeten bevatten, uit de axioma's of bewezen stellingen van T, die rechtstreeks een voldoende logische voorwaarde vormt (een premisse) voor de eindconclusie. De eindconclusie - in dit geval hetzij 'Gd[0]', hetzij '¬Gd[0]' - zal dus moeten aansluiten op minstens één andere stelling in T.

De vraag is nu of we voor zin Gd[0] zo'n 'sleutelformule' in T kunnen vinden. De inhoud van Gd[0] biedt hiervoor niet veel aangrijpingspunten. Ze bevat immers maar vier verwijzingen naar samenstellende componenten:· het symbool voor ontkenning (negatieteken), dat een éénplaatsige logische waarheidsfunctie is die zelf vraagt om een inhoudelijk argument; · de relatieterm 'bewijsbaar', die zelf eveneens vraagt om inhoud, namelijk minstens één bewijsreeks; · het symbool 'T' dat we kunnen weglaten omdat we enkel binnen systeem T zoeken; · het symbool 'Gd[0]', dat staat voor dezelfde zin die te bewijzen staat.

We kunnen dus alleen afgaan op het begrip 'bewijsbaar', maar de waarheid hiervan is met name afhankelijk van de vraag of er al een bewijsreeks voor Gd[0] te vinden is, en daarvoor zoeken we juist aanwijzingen. Omdat we verder nog niets hebben onderzocht zal deze bewijsreeks so wie so leeg zijn.Voor het overige is er in Gd[0] hoegenaamd géén betekenis, zin of inhoud aanwezig. De zin ontbeert een verwijzing naar inhoud, een 'aboutness' die kenmerkend is voor zinvolle beweringen. Door dit 'betekenis-vacuüm' wordt de zin afgezonderd van alle overige inhouden - axioma's of afgeleide stellingen - die in systeem T kunnen voorkomen. Daardoor kunnen so wie so geen bouwstenen worden gevonden in T om een positieve bewijsreeks op te bouwen met betrekking tot de waarheid of de onwaarheid van zin Gd[0].

(6) Het probleem van de vicieuze cirkel.Het bovenstaande kunnen we ook in een meer formele vorm laten zien. Een vereiste voor het formele bewijs is natuurlijk dat een zelf-reflexieve zin als Gd[0] wel in de taal van een formeel systeem T geformuleerd moet kunnen worden. Om te bereiken dat de zin Gd[0] naar zichzelf verwijst (zelf-referentieel is), moet het de mogelijkheid bieden dat we - in termen van de hier gebruikte symbolen - de vermelding van de tekencombinatie 'Gd[2]' binnen de tekenreeks van Gd[1] moeten kunnen 'herkennen' als een aanduiding van Gd[1] zèlf.Uit het voorgaande werd duidelijk dat de zin Gd[0] in feite een klein redeneerschema inhoudt, een algoritme: telkens als we Gd[0] bekijken kunnen we op de plaats van 'Gd[2]' in de tekenreeks van Gd[1], opnieuw de inhoud van Gd[0] invullen: dat wil zeggen, dezelfde

tekenreeks van Gd[1]. Elke vermelding van 'Gd[2]' binnen Gd[1] wordt dan vervangen door de gehele Gd[1]. Die 'lezing' kunnen we weergeven met behulp van het formele symbool voor een substitutie operatie: ':=' voor 'is vervangbaar door'. Dan kan in T zin Gd[0] worden gelezen als:[5] { (4a),(4b) } { (5a) (5b) };[5a] Gd[1] = 'Gd[2] is niet bewijsbaar in T'; [5b] 'Gd[2]' := Gd[1].

Dankzij subformule [5b] kan elke vermelding van 'Gd[2]' binnen Gd[1] worden vervangen door de gehele tekenreeks Gd[1]. Om de toepassing van operatie [5b] op Gd[1] uit te drukken, noteren we kortweg:

[6a] Gd[1] ·[(5b)];[6b] Gd[1] ·['Gd[2]' :=Gd[1]].

Op dezelfde manier kunnen we de subformules { (5a),(5b) } van de probleemstelling Gd[0] nu in meta-logische termen formuleren:(met symbolen ' ' voor 'formeel bewijsbaar', '¬' voor 'niet'): [7] { (5a),(5b),(6b) } { (7a) (7b) };[7a] Gd[1] = '¬(T Gd[2])'; [7b] 'Gd[2]' := Gd[1].

Vervolgens kunnen we kijken wat er gebeurt als operatie [6b] wordt geactiveerd. [8] { (6b,7a,) } [8a] Gd[1] = '¬(T   Gd[2])';   [6b]: Gd[1] ·['Gd[2]' :=Gd[1]];     [8b] Gd[1] = '¬(T   ¬(T Gd[2])   )';   [6b]: Gd[1] ·['Gd[2]' :=Gd[1]];     [8c] Gd[1] = '¬(T ¬(T   ¬(T ¬(T Gd[2]) )   ) )';   [6b]: Gd[1] ·['Gd[2]' :=Gd[1]];     [8d] Gd[1] = '¬(T ¬(T ¬(T ¬(T       ¬(T ¬(T ¬(T ¬(T Gd[2]) ) ) )   ) ) ) )'; etc. ..

We zien dat de oorspronkelijke tekenreeks Gd[1] bij elke activatie van operatie [6b] explosief - nl. kwadratisch - wordt uitgebreid. Na elke uitbreiding bevat Gd[1] echter nog steeds dezelfde onbekende bevat, nl. symbool Gd[2]. Hierdoor kan de uitvoering van operatie [6b] in principe eindeloos doorgaan - de bekende 'oneindige lus' (oneindige recursie). Het gevolg is een onafzienbare, automatische uitbreiding van de symbolenrij Gd[1] (de syntactische inhoud) - zonder dat ooit een definitieve betekenis van Gd[0] (semantische inhoud) kan worden vastgesteld. Anders gezegd: het zoekproces in de interpretatiefase eindigt niet (d.i. termineert niet). Het gevolg is dat (a) de te bewijzen stelling Gd[0] in het systeem geen formele 'betekenis' krijgt en dus ook geen waarheidswaarde kan krijgen, en (b) het systeem nooit aan het zoekproces naar een bewijs toekomt.

Overigens zien een vergelijkbaar beeld wanneer we een positieve variant van Gd[0] nemen, zeg H0, waarin de ontkenning ('¬') is weggelaten.

De conclusie is dat Gd[0] niet (rechtstreeks) bewijsbaar is in T. We kunnen nu natuurlijk redeneren: het lukt niet om in T een positieve bewijsreeks voor Gd[0] op te bouwen, dus is Gd[0] niet bewijsbaar. Dus de inhoud van Gd[0], luidend 'Gd[0] is niet bewijsbaar in T', klopt -

en dus is Gd[0] waar! Het probleem is alleen dat het laatste een inhoudelijke conclusie achteraf is, die gebaseerd is op een zinvolle, dus 'betekenisvolle', dus interpretabele inhoud van Gd[0] - en daarvoor konden we nu juist geen formele elementen vinden in T. Daardoor hebben we nog steeds geen eindige formele interpretatie van zin Gd[0], weten we niet wat Gd[0] letterlijk, in formele termen, 'betekent' en kunnen we haar dus ook geen waarheidswaarde toekennen als welgevormde formule. Om een voorbeeld te noemen: een computerprogramma zou na een onderzoek van Gd[0] wel kunnen concluderen: (1) 'Gd[0] is niet te interpreteren', bijvoorbeeld door voor elke lus die geactiveerd wordt te testen of het daarvoor een ontsnappingstest kan vinden. Op basis daarvan kan het dan ook antwoorden: (2) '(dus) Gd[0] is niet bewijsbaar'. Maar het kan vervolgens niet tot de conclusie komen: (3) 'Gd[0] is waar', omdat het immers geen materiaal heeft gevonden om Gd[0] te 'begrijpen'. Dan kan het systeem ook niet aannemen dat Gd[0] inhoudelijk waar is. De aanname van een ware Gd[0] moet echter binnen het systeem mogelijk zijn om de vraagstelling van Gödel formeel te kunnen beantwoorden.

De weg van positieve bewijsvoering levert dus niets op.

(7) Negatieve bewijsvoering.De andere mogelijkheid is om, zoals Gödel doet, niet naar de mogelijke premissen maar naar de mogelijke consequenties van de aanname van Gd[0] als waar of onwaar te kijken.

(II) Negatief bewijs: uitsluiten van mogelijkheden die tegenstrijdigheid opleverenEen 'secundaire' methode van bewijzen bestaat uit het systematisch testen en uitsluiten van alternatieve mogelijkheden, net zolang totdat de beoogde conclusie als enige logische mogelijkheid overblijft. De bedoeling is hierbij om het bewijs te leveren via negatieve bewijsvoering (falsificatie, refutatie): door weerlegging van het tegendeel of 'omgekeerde' van de te bewijzen stelling, middels afleiding van een contradictie (reductie ad absurdum).{Nb. Bijvoorbeeld de methode van resolutie, volgens John Alan Robinson (1965).}

Het is bij deze methode dus voldoende om twee tegengestelde beweringen af te leiden op de hoofdlijn van redenering. Deze hoeven niet per se geïnterpreteerd te zijn in termen van basiselementen van systeem T (axioma's of bewezen stellingen). Daarom kan de bewijsreeks zeer abstract blijven, zodat de opbouw ervan niet per se afhankelijk is van een nadere interpretatie of 'concretisering' van variabelenamen.

Deze benadering lijkt bij uitstek geschikt voor de beoordeling van zin Gd[0] en haar afleidbaarheid uit T. We kunnen het door T gegeven antwoord over Gd[0] opnieuw 'invoeren' in de variabelenaam 'Gd[0]' die in zin Gd[0] zelf vermeld staat. Vervolgens kunnen we kijken wat hier uit volgt.Deze aanpak is wel afhankelijk van diverse andere vooronderstellingen.Eerste aanname is dat het waarheidsoordeel van systeem T over zin Gd[0] in beide antwoordmogelijkheden - Gd[0] als waar of onwaar - kan worden toegepast op de inhoudelijke betekenis van zin Gd[0].

(8) De kracht van Gödel's codering.Gödel omzeilt het probleem van de oneindige interpretatie (als gevolg van eindeloze recursieve uitbreiding) door de eerdergenoemde substitutie-operatie grondig te wijzingen. Om in bovenstaande terminologie te spreken: met Gödel's substitutie wordt het symbool 'Gd[2]' in de tekenreeks Gd[1] nog steeds vervangen, maar het resultaat van de substitutie is nu niet meer

een uitbreiding van de oorspronkelijke Gd[1] (met alle problematische consequenties van dien), maar enkel een exacte aanduiding van Gd[1], in zijn oorspronkelijke, ongewijzigde vorm.Gödel bereikt dit door de syntactische structuur van zijn zin Gd[0] - die in feite een inhoudelijke logische bewering is - om te zetten in de vorm van een getallencombinatie. Hij gebruikt hiervoor een speciale coderingsprocedure, de zgn. 'Gödel nummering'. Deze nummering werkt met priemgetallen, oneven getallen, en machten van priemgetallen. Voorbijgaand aan alle rekenkundige details, kunnen we stellen dat dit indexeringsalgoritme bijzondere mogelijkheden biedt. Door deze techniek kan elke logische expressie - elk symbool, elke tekenreeks, en elke bewijsreeks - met een één-op-één correspondentie worden gekoppeld aan een unieke index (een zgn. 'Gödel getal'). De toekenning van Gödel-getallen aan expressievormen is volkomen arbitrair. Het blijkt nu mogelijk om de Gödel-nummering voor zin Gd[0] en zijn onderdelen zó te kiezen dat de volgende resultaten worden bereikt:(a) De tekenreeks Gd[1] krijgt een uniek Gödel nummer, Gn[1]. Binnen dit nummer Gn[1] van tekenreeks Gd[1] wordt het symbool 'Gd[2]' vervangen door het Gödel-getal Gn[2] dat hoort bij een substitutie-operatie als [6b]: Gd[1] ·['Gd[2]' :=Gd[1]]. (b) Wanneer substitutie [6b] wordt toegepast dan volgt een getalsbewerking waarvan de uitkomst weer bestaat uit een Gödel getal: Gn[1]. Dat getal is identiek aan het getal van de tekenreeks Gd[1], in zijn oorspronkelijke, ongewijzigde vorm. Het verwijst dan ook naar de waarheidwaarde van Gd[1] die in een eerder stadium is toegekend (en is opgeslagen op het geheugenadres van Gn[1]).

In het bewijs van Gödel beginnen we met het toekennen van een waarheidswaarde aan Gd[0]. Deze waarde van Gd[0] wordt direct toegekend aan tekenreeks Gd[1], in de vorm van een Gödel-getal Gn[1] (respectievelijk het computer-geheugenadres van Gn[1]). Vervolgens wordt tekenreeks Gd[1] in de vorm van Gödel-getal Gn[1] inhoudelijk geëvalueerd, waarbij symbool 'Gd[2]', via een Gödel-getal Gn[2], substitutie-operatie [6b] activeert, die getal Gn[1] oproept, en daarmee de waarheidswaarde van Gd[0] (bewaard op het geheugenadres van Gn[1]). Bij de eerste interpretatie van tekenreeks Gd[1] kan symbool 'Gd[2]' dus al worden 'gelezen' als de aanduiding van Gd[0], en kan het worden geduid volgens de waarheidswaarde van Gd[0]. Dit betekent dat de zin Gd[0] in de taal van T in eindige tijd kan worden geïnterpreteerd. Het betekent ook dat de codering voor de toestand 'Gd[0] is niet bewijsbaar' formeel kan worden vergeleken met de codering voor de toestand 'Gd[0] is waar'. Is aan Gd[0] eenmaal een waarheidswaarde toegekend - waar of onwaar - dan zorgt het negatie-teken in tekenreeks Gd[1] in beide gevallen voor de contradictie: analoog aan de 'gewone' Kretenzer paradox van de leugenaar. De aanwezigheid van het 'bewijsbaar' predikaat maakt daarbij geen verschil. Het resultaat is dat T zin Gd[0] noch kan bewijzen, noch kan weerleggen.

(9) Het verloop van het formele bewijsHet gevolg is dat we nu kunnen onderzoeken of zin Gd[0] in systeem T formeel bewijsbaar is als waar, of weerlegbaar als onwaar.

Onvolledigheid van de elementaire rekenkunde volgens Gödel .

Bewijs:

(I) Eerste aanname:Stel dat Gd[0] waar is.(I.1) Gd[0];

(I.2) Bepaal de syntactische inhoud van Gd[0].(I.2a) (Gd[0] :=Gd[1]);(I.2b) (Gd[1] = '¬(T Gd[2])');

(I.3) Doe semantische interpretatie van Gd[0].(I.3a) {I.1,I.2a} Gd[1]; (I.3b) {I.3a,I.2b} '¬(T Gd[2])'; (I.3c) ('Gd[2]' := Gd[1]); (I.3d) {I.3b,I.3c} {I.3b} · ['Gd[2]':=Gd[1]]; (I.3e) {I.3d} '¬(T Gd[1])'; (I.3f) {I.3e} · [semantische inhoud] ¬(T Gd[1]);

(I.4) Stel dat T Volledig is:(I.4a) {I.3a} (T Gd[1]);

(I.5) Levert contradictie.(I.5a) {I.3f,I.4a} ;(I.5b) {I.5a} ¬MOGELIJK(I.1).(I.5c) {I.5b} ¬(Gd[0]).

(II) Tweede aanname:Stel dat Gd[0] onwaar is.(II.1) ¬Gd[0];

(II.2) Bepaal de syntactische inhoud van Gd[0].(II.2a) (Gd[0] :=Gd[1]);(II.2b) (Gd[1] = '¬(T Gd[2])');

(II.3) Doe semantische interpretatie van Gd[0].(II.3a) {II.1,II.2a} ¬Gd[1]; (II.3b) {II.3a,II.2b} ¬'¬(T Gd[2])'; (II.3c) ('Gd[2]' := Gd[1]); (II.3d) {II.3b,II.3c} {II.3b} · ['Gd[2]':=Gd[1]]; (II.3f) {II.3d} ¬'¬(T Gd[1])'; (II.3e) {II.3d}·[semantische inhoud] ¬¬(T Gd[1]); (II.3f) {II.3e} (T Gd[1]);

(II.4) Stel dat T Volledig is:(II.4a) {II.3a} (T ¬Gd[1]);

(II.5) Levert contradictie.(II.5a) {II.3f,II.4a} ;(II.5b) {II.5a} ¬MOGELIJK(II.1).(II.5c) {II.5b} ¬(¬Gd[0]).

(III) Resultaat:(III.1) {I.5c,II.5c} (¬Gd[0] ¬(¬Gd[0])); (III.2) {III.1} (¬Gd[0] Gd[0]); (III.3) {III.2} ;(III.4) {III.3} ¬COMPLET(T).

Conclusie:Dit resultaat betekent allereerst dat er in de taal van de rekenkunde kennelijk een formele 'route' bestaat om te bewijzen dat het consistente systeem niet elke ware bewering kan bewijzen die zijn eigen bewijsmogelijkheden betreft. Inhoudelijk lijkt deze uitkomst niet erg verwonderlijk, maar de consequenties zijn verstrekkend: in elk formeel systeem dat consistent is zijn er beweringen mogelijk en die in de taal van dat systeem geformuleerd kunnen worden - inclusief een coderingstechniek als 'Gödel's nummering' - maar die niet door dat zelfde systeem bewezen kunnen worden. Daarmee is het bewijs geleverd dat zo'n formeel systeem niet tegelijk consistent en volledig kan zijn.

Andere consequenties van Gödel's bewijs waren, naar de mening van Gödel, dat de menselijke rede creatief is (in plaats van louter lineair-mechanisch), en dat 'synthetische a priori waarheden' mogelijk zijn.

(10) Vraagtekens bij Gödel's bewijs.Het staat buiten kijf dat Gödel's bewijs binnen de kaders van een formeel rekenkundig systeem 'werkt', als een programma van getalsbewerkingen via Gödel's nummering. Anders gezegd, de procedure is formeel correct.

Toch blijven er vragen over de precieze betekenis en geldigheid van de aannamen en de conclusies. Het is duidelijk welke betekenis Gödel bedoelt te leggen in zijn coderingen. Maar kunnen we in de 'mechanische' getalsbewerkingen van Gödel wel een inhoud 'teruglezen', d.i. decoderen naar een betekenis die voldoende zinvol en eenduidig is? Of worden hierbij betekenisaspecten geïntroduceerd die eigenlijk niet inherent zijn aan het standaard concept van een formeel rekenkundig systeem dat consistent is? Deze vraag komt op diverse manieren tot uiting in meerdere aspecten van Gödel's bewijsvoering.

(I) Is Gödel's zin waar?Zoals we zagen is Gödel's onvolledigheidsbewijs mede afhankelijk van de aanname dat zin Gd[0] waar is, omdat ze niet bewijsbaar is. Maar weten we wel zo zeker dat zin Gd[0] waar is? Als ze waar is dan moet ze op zijn minst zinvol zijn. Het blijft echter een zeer merkwaardige zin, die nogal vergezocht is wat betreft zinsbouw, en dan ook zeer zeldzaam is in het gewone taalgebruik, misschien zelfs als taaluiting niet helemaal serieus kan worden genomen. Kan ze dan wel waar zijn? Het is lastig voor te stellen dat deze vraag anders kan worden beantwoord dan enigszins arbitrair: de natuurlijke taal kent, anders dan de formele logica en wiskunde, geen sluitende, strikt eenduidige definities en regels.

(II) Is Gödel's zin formaliseerbaar?Het is vervolgens de vraag of Gödel's zin wel kan worden gecodeerd in de taal van een formeel systeem, vooral wanneer we aannemen dat dit geen 'inherente' betekenis of interpretatie kent. Dit probleem werd door Gödel ook onderkend: "How indeed could one think of expressing metamathematics [i.e. rules about mathematics] in the mathematical systems themselves, if the latter are to be considered to consist of meaningless symbols which acquire some substitute of meaning only through [that same] metamathematics?." (Kurt Gödel, in: Feferman, S., 1984, 'Kurt Gödel: Conviction and Caution').

(III) Leidt Gödel's nummering tot valide conclusies?Een volgend punt kan zijn dat het Onvolledigheidsbewijs van Gödel afhankelijk is van een heel specifieke codering, een kunstmatige vertaling van de zin Gd[0] via Gödel's nummering. De 'gewone' codering van Gd[0] leidt echter tot een oneindig decoderingsproces, en dus so wie so niet tot een beoordeling door het systeem, en dus al helemaal niet tot een einduitkomst. We staan dus voor een dilemma:(a) de 'vergezochte' route van Gödel's codering opent voor zin Gd[0] een formele weg naar de conclusie van Onvolledigheid: een sluitend bewijs uit het ongerijmde; (b) maar de weg van de 'gewone', voor de hand liggende codering van zin Gd[0] leidt tot oneindig zoeken, en blijft dus onbeslist. Dit roept de vraag op of Gödel's bewijs wel sluitend is: noodzakelijk en algemeen geldig. Lijkt er niet sprake van een 'open einde': contingentie?

Het punt is echter dat een volledig formeel systeem over elke bewering die een toelaatbare codering in de taal van dat systeem heeft, correct moet kunnen beslissen. Nummercodering is in de taal van een elementair rekenkundig systeem in ieder geval toelaatbaar. Als we aannemen dat Gödel's zin Gd[0] verder ook toelaatbaar is in de taal van het systeem, dan faalt het systeem op het criterium van beslisbaarheid langs minstens één route, namelijk onder Gödel's codering. Dit is voldoende om op het criterium volledig te falen. En hieruit volgt dat Gödel's bewijs wel degelijk noodzakelijk en algemeen geldig is.

(IV) Past 'bewijsbaar' in het systeem?Verder is er nog de vraag of Gödel's zin Gd[0] inderdaad toelaatbaar is in de syntax van het type formeel systeem (T) waar Gödel's bewijs voor bedoeld is. Die vraag geldt met name voor het begrip 'Bewijsbaar'. 'Bewijsbaar' is in feite een meta-logisch predikaat, dat in Gödel's bewijs als functie recursief wordt toegepast. Gödel erkent zèlf al dat deze functie niet zonder meer recursief kan worden gebruikt. Hij presenteert [in 1931, pp.162-171] een lijst van 46 formele notities voor elementen en operaties die hij gebruikt bij zijn bewijsvoering, en plaatst daarbij de opmerking: "Bew(x) [=Beweisbar x] is the only one of the notions 1-46 of which we cannot assert that it is recursive."

We kunnen hiermee weer twee kanten op:(a) Beslissen we dat 'Bewijsbaar' tot de syntax van T behoort - ook en zelfs in een recursieve toepassing - dan volgt via Gödel's nummering inderdaad dat T onvolledig is met betrekking tot de beoordeling van Gd[0]. (b) Beslissen we dat 'Bewijsbaar' niet tot de syntax van T behoort dan valt Gd[0] per definitie buiten de reikwijdte van het 'oordeelsvermogen' van T, en kan ze dus niet in verband worden gebracht met de Volledigheid van T. Het laatste geldt ongeacht codering van Gd[0] via Gödel-nummering.

Het ingewikkelde formalisme van Gödel kan dus alleen onder de eerste aanname een voldoende bijdrage leveren aan de toetsing van de Volledigheid van formele systemen als T.

(V) Interpretatie van de contradictie.Een ander probleem ligt in de strategie van 'negatieve bewijsvoering'. Deze wordt hier toegepast op zin Gd[0] in de context van formeel en consistent systeem T: op een gemengde compositie dus van enerzijds bewezen feiten en anderzijds meerdere onbewezen gegevens - bestaande uit aannamen, afspraken of 'spelregels'. Als blijkt dat alle consequenties van zo'n 'hybride' compositie uitlopen op contradicties, dan mogen we concluderen dat minstens één van de aannamen of 'spelregels' ongeldig is. De vraag is echter welke. Is het per se de aanname dat T behalve consistent ook volledig zou kunnen zijn, die moet sneuvelen? Een andere mogelijkheid is om de methode te volgen die aan Koning Solomon wordt toegeschreven, de zgn. 'Solomonische methode': de contradictie in beide takken van Gödel's bewijs gebruiken als bewijs voor de ongeldigheid van de aanname dat Gödel's zin tot de welgevormde zinnen van het formele systeem behoort ..

(11) Gödel's bewijs als weerlegging van A.I. . De theorema's van Gödel worden wel gebruikt om de uitgangspunten van de Kunstmatige Intelligentie (AI) te weerleggen, met name het streven om een computer te ontwikkelen die tenminste kan presteren wat de menselijke geest door de bank genomen kan.Zo'n simulatie-systeem vraagt echter om vereisten die afwijken van de voorwaarden voor de systemen in Gödel's theorema's. Een AI systeem dat het menselijke denken simuleert dient in het ideale geval te voldoen aan bepaalde capaciteiten van de menselijke psyche, zodat het bepaalde menselijke, intelligente taken kan uitvoeren. Het hoeft niet per se alle capaciteiten te hebben die de menselijke geest doorgaans heeft. Nog minder hoeft het alle capaciteiten te hebben van een formeel rekenkundig systeem. Het hoeft dus niet logisch consistent te zijn, en het hoeft ook niet logisch volledig te zijn - omdat deze twee eigenschappen door de menselijke geest gewoonlijk in hoge mate worden gemist.

Verder wordt wel gesteld dat een 'echt' AI systeem dat menselijke intelligentie kan nabootsen in staat moet zijn tot allerlei vormen van creatief denken. Het zou daarvoor een niet-eindige verzameling axioma's moet kunnen hebben, die bijvoorbeeld recursief kan worden gedefinieerd met 'meta-axioma's'. Maar omdat geheugens meestal eindig zijn, zullen die meta-axioma's wel van een eindig aantal moeten zijn. Bovendien roept dit in herinnering wat axioma's eigenlijk zijn: namelijk, elementaire en niet verder reduceerbare aannamen in het systeem. Dat wil zeggen, waar zgn. meta-axioma's worden gehanteerd, zijn dat in feite de eigenlijke axioma's. Deze benadering draagt dus niets bij aan inzicht in een AI systeem.

(12) Gödel's bewijs en bewustzijn . Voor zover valt te overzien gaat Gödel's betoog hoogstens over de relatie tussen formele systemen en menselijke intelligentie. Dat wil zeggen, tussen (a) enerzijds het domein van abstracte patronen, informatie en logica; en (b) anderzijds het domein van psychische capaciteiten, activiteiten en prestaties.

Zegt dit alles nu iets over de positie van bewustzijn?

(a) Zijn meta-oordelen afhankelijk van bewustzijn?Dit lijkt een redelijke aanname. Het omgekeerde is weinig waarschijnlijk: dat een mens in staat zou zijn om Gödel's bewijs ook volledig onbewust te kunnen uitvoeren. Voor zo'n niveau

van intelligentie zal een bewuste toestand van het mentale proces nodig zijn. Maar dat is niet bijzonder, het geldt voor veel taken en activiteiten. De meeste mensen zijn ook niet goed in volslagen bewusteloos autorijden, enzovoorts. Goed, in theorie kan een machine het ook, maar in de praktijk hebben we voorlopig toch liever een bewuste, alerte menselijke bestuurder die de weg volgt.

(b) Is bewustzijn afhankelijk van meta-oordelen?Het is niet aannemelijk dat veel mensen elke keer eerst bepaalde meta-oordelen moeten vellen over hun eigen bewijscapaciteit, voordat ze tot hun gewone, alledaagse (waak)bewustzijn komen - bijvoorbeeld 's-morgens bij het ontwaken. En zeker zijn voor de bewuste toestand geen meta-algoritmische inzichten nodig die het verschil uitmaken tussen de waarheidstoekenning aan Gödel's zin, en het formele bewijs van de onmogelijkheid om die waarheid formeel te bewijzen.

(c) Kan een mens wèl over zijn eigen bewijsmogelijkheden oordelen?Dit kan in ieder geval in negatieve zin. We weten immers dat we een heleboel niet kunnen bewijzen. Dus voorlopig kunnen we uitgaan van een beperkte bewijscapaciteit, die dus zeker onvolledig zal zijn. Wel is het lastig om aan onze mentale bewijscapaciteit op alle fronten specifieke, absolute grenzen te stellen. We weten immers nooit wat we vandaag of morgen nog zullen aantreffen, ontdekken of leren. Het laatste geldt echter niet voor vele andere 'harde' resultaten uit de meta-logica, afgezien van Gödel's bewijs: bijvoorbeeld de volledigheid van de propositie- en predikatenlogica, en de onbeslisbaarheid van de predikatenlogica. Dat zijn mogelijkheden en beperkingen die wel heel ondubbelzinnig zijn vastgesteld. De grenzen van onze menselijke bewijscapaciteit blijken dan ook in veel gevallen gebonden aan die van logische systemen. Dat dit zelden wordt erkend doet daar niets aan af.

(13) Conclusie over Gödel's bewijs en bewustzijnHet bewijs van Gödel gaat over een specifieke categorie van systemen: consistente formele systemen van de rekenkunde. Het past een uitzonderingscategorie toe van een nogal bizar soort zinnen: globale, negatieve zelf-reflexieve meta-oordelen. Het is verder gebaseerd op een zeer speciale en complexe methode van codering: de Gödel-nummering. En globaal genomen heeft Gödel's bewijsvoering enkel betrekking op 'kale' syntactische constructies, abstracte patronen die geen specifieke 'inherente' betekenis of interpretatie hebben. Het verschijnsel bewustzijn houdt daarentegen bij uitstek verband met de meest gevarieerde en variabele betekenis die we ons - in de meest letterlijke zin - kunnen voorstellen. Het domein van Gödel's bewijs vormt daarvan hoogstens een uiterst select en beperkt deel.

Daarom kunnen we niet aannemen dat het bewijs van Gödel iets zegt over de 'bewijsbaarheid' van bewustzijn.

C.P. van der Velde, augustus 2006.