De tweede wet van Newton - die Keure · De tweede wet 5 van Newton De eerste wet van Newton zegt...

De tweede wet van Newton5

De eerste wet van Newton zegt ons wat er gebeurt als er op een systeem geen (resulterende) kracht werkt: het systeem is dan in rust of voert een ERB uit (→v is constant).De tweede wet zegt ons wat er gebeurt als er op een systeem wel een (resulterende) kracht werkt. Wie denk je dat er gelijk heeft in onderstaande conceptcartoon?

© CNO (Centrum Nascholing Onderwijs)

In het derde jaar zag je dat een kracht een statisch of een dynamisch effect kan hebben.

Voorbeeld Effect

Plooien van een staaf.Statisch effect: de staaf wordt vervormd.

Vertrek van een Space Shuttle.Dynamisch effect: de raket versnelt.

Soms kunnen die twee effecten

ook tegelijkertijd optreden,

bv. een auto die tegen een

boom botst, wordt vervormd

en komt tot stilstand.

Interactie_6.2_Lb.indb 46 5/08/15 11:17

47

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

De tweede wet van Newton

Een zwaan die landt op het water.Dynamisch effect: de zwaan vertraagt en komt tot stilstand.

Zijwind.Dynamisch effect: de sterke zijwind kan een wagen van zijn rijrichting doen afwijken.

De tweede wet van Newton gaat over het dynamisch effect van een kracht, het versnellen, vertragen en/of afbuigen van een systeem door een kracht.

In elk van die gevallen verandert de snelheidsvector →v

- versnellen: →v wordt groter

- vertragen: →v wordt kleiner

- afbuigen: →v verandert van richting.

Er is een snelheidsverandering ∆→v en dus een versnelling →a !

Kracht veroorzaakt versnelling!

Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag:

Welke verband bestaat er tussen de (resulterende) kracht →F op een systeem en de versnelling →a van het

systeem?

We onderzoeken de vraag aan de hand van volgende twee voorbeelden.

+

ONDERZ

OEKSVRAAG


48 ] Kinematica en dynamica

Voorbeeld 1: de parachutesprong van Felix Baumgartner.

Felix Baumgartner is een Oostenrijkse basejumper die in 2012 als eerste door de geluidsmuur ging bij een vrije val. Hij sprong daarvoor uit een heliumballon vanop 39 km hoogte en haalde na ongeveer 40 s een snelheid van 1200 km/h, de geluidssnelheid. Zijn snelheid liep daarna nog op tot 1357 km/h!

Op 39 km hoogte is er nagenoeg geen lucht meer aanwezig. Daarom droeg hij een speciaal pak. Er is geen luchtweerstand: de zwaartekracht

→Fz is

de enige kracht die op hem werkte. Die kracht is verticaal en naar beneden gericht.

→v1

→v2

-→v1

→v2

∆→v →ag

Omdat hij uit een ballon sprong, was zijn baan rechtlijnig en verticaal. De figuur toont zijn snelheid op twee verschillende tijdstippen bij het begin van zijn sprong.→v1 is de snelheid op ogenblik t1.→v2 is de snelheid op (het iets latere) ogenblik t2.Zijn gemiddelde versnelling in dat tijdsinterval is

→ag = ∆→v∆t

= →v2 -

→v1

∆t = →v2 + (-→v1)

∆t

Als je de vector →ag bepaalt, zie je dat die verticaal en naar beneden gericht is zoals de zwaartekracht.Dat geldt ook voor de ogenblikkelijke versnelling →a.

→Fz

001_IA6.2_Lb_Deel1_Kinematica_GC.indd 48 5/08/15 11:48

49

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

Voorbeeld 2: het droppen van een voedselpakket.

In conflictgebieden worden voedselpakketten gedropt om de burgerbevolking te helpen.

→F

→F

z

→F

w

P

We bekijken de resulterende kracht op zo’n pakket in punt P. Op het pakket werken twee krachten: de zwaartekracht

→Fz en de

luchtweerstand →Fw. De som van die twee

vectoren geeft de resulterende kracht →F zoals in

de figuur.

→v1

→v2

P

Het pakket valt niet recht naar beneden maar volgt een kromlijnige baan. De figuur toont de snelheid van het pakket op twee verschillende tijdstippen rond punt P.→v1 is de snelheid op ogenblik t1.→v2 is de snelheid op ogenblik t2.

∆→v

→v1

→v2

→v2

→ag

-→v1

P

De gemiddelde versnelling in dat tijdsinterval is

→ag = ∆→v∆t

= →v2 – →v1

∆t = →v2 + (-→v1)

∆t

Als je de vector →ag construeert, zie je dat die dezelfde richting en zin heeft als de resulterende kracht! Dat geldt ook voor de ogenblikkelijke versnelling →a.



Uit deze twee voorbeelden blijkt dat de (resulterende) kracht →F op een systeem en de versnelling →a van

het systeem (veroorzaakt door die kracht) dezelfde richting en zin hebben. Dat geldt algemeen:

De (resulterende) kracht →F op een systeem en de versnelling →a van het systeem hebben dezelfde richting

en zin. (1)

Daarmee weten we nog niet welk verband er bestaat tussen de grootte van de kracht en grootte van de versnelling.

Experimenteel blijkt dat: - de versnelling van een systeem recht evenredig is met de kracht die op

het systeem werkt: hoe harder je duwt bij het vertrek met de fiets, hoe groter je versnel-ling.

a ~ F

- de versnelling van een systeem omgekeerd evenredig is met de massa van het systeem: met twee zware fietszakken op je fiets, is je versnel-ling kleiner dan zonder (als je dezelfde kracht uitoefent!).

a ~ 1m

Daaruit volgt

a ~ Fm

of Fm

~ a

Fm

= cte ∙ a

F = cte ∙ m ∙ a

Door de keuze van de newton als eenheid van kracht in het SI-stelsel is de cte in deze formule gelijk aan 1 en onbenoemd.

Als een systeem met massa m een versnelling heeft met grootte a, werkt op het systeem een (resulterende) kracht met grootte F = m ∙ a (2)

Kracht wordt uitgedrukt in newton, symbool N: 1 N = 1 kg ∙ m/s2

De eigenschappen (1) en (2) kunnen samengevoegd worden:

Als op een systeem een (resulterende) kracht →F werkt, heeft het systeem een versnelling →a en geldt

→F = m ∙ →a

Dat is de tweede wet van Newton.

+a

m = cte

F = cte

F

a

1/m

7

+

+WET


51

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

Als er op een voorwerp verschillende krachten inwerken, moet je alle krachten vectorieel samentellen. De kracht

→F is dan de resulterende kracht op het systeem.

F F m a= = ⋅∑ i

a→

F1

F2

F3

F4

F5

F→

Als op een systeem meerdere krachten inwerken, behouden die elk hun eigen uitwerking, onafhankelijk van elkaar. Dat staat bekend als het onafhankelijkheidsbeginsel.Volgende gedachteproef illustreert dat: hoog boven het aardoppervlak wordt vanuit een ballon in rust een speelgoedvliegtuigje gelanceerd. Het motortje oefent een constante en horizontale kracht

→Fm uit.

De zwaartekracht →Fz is verticaal en naar beneden gericht. Elk van die krachten heeft zijn effect: het

vliegtuigje zal horizontaal versnellen door de motorkracht en verticaal naar beneden versnellen door de zwaartekracht. De figuur toont het resultaat. De baan is recht en het is alsof er één enkele kracht op het systeem werkt, de resulterende kracht.

y

x 30 20 101227 3

4,9

19,6

44,2

00

10

20

30

40

50

y

x

→Fm

→Fz

→F

Bekijk nu eens terug de conceptcartoon van p. 46. Wie heeft er gelijk? Ben je van mening veranderd? Zo ja, waar zat dan de fout in je redenering?

7

De tweede wet van Newton geldt

enkel voor puntmassa’s. Reële

voorwerpen kunnen als gevolg van

de resulterende kracht ook een

rotatieversnelling krijgen.

7

We laten de wrijvingskracht

buiten beschouwing.



Praktische toepassing: de oplooprem van een aanhangwagen

Aanhangwagens waarvan de maximale massa meer dan 750 kg mag bedragen, moeten voorzien zijn van een eigen remsysteem. Dat zegt het Koninklijk Besluit (K.B.) van 15 maart 1968 Art. 47.Met de tweede wet van Newton is dat te begrijpen: hoe groter de massa, hoe kleiner de vertraging bij een gegeven remkracht. Bij een lichte aanhangwagen volstaat de remkracht van de auto om het hele systeem af te remmen, bij een zware aanhangwagen niet.Meestal is de aanhangwagen in dat geval voorzien van een oplooprem. Het in werking treden daarvan steunt op de wet van de traagheid: als de auto remt, behoudt de aanhangwagen zijn snelheid (eerste wet van Newton) en drukt zo een as in; daardoor worden de remmen van de aanhangwagen in werking gezet.

Om te vermijden dat de oplooprem bij het achteruitrijden wordt ingedrukt, is er een staafje voorzien waardoor de afstand tussen aanhangwagen en auto gefixeerd kan worden. Bij het vooruitrijden zorgt een veer ervoor dat het staafje automatisch terugspringt. In de ambtelijke taal van het K.B. dat dit voorschrijft, klinkt het als

volgt: …Wanneer om het achteruitrijden van de sleep toe te laten een aanhangwagen uitgerust is met een inrichting waardoor de bedrijfs rem van het oplooptype buiten

werking kan worden gesteld, moet deze inrichting zodanig zijn opgevat en uitgevoerd dat bij het vooruitbewegen van het

voertuig de rem in bedrijfsvaardige toestand terugkeert …

WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN:

■ de 2e wet van Newton formuleren, toelichten en illustreren met voorbeelden uit het dagelijkse leven ■ het onafhankelijkheidsbeginsel uitleggen en illustreren met een voorbeeld


De foto toont één beeld uit een video-opname van een crashtest. Door de positie van bv. het hoofd in elk frame te registreren, kun je de beweging daarvan vastleggen. Met die gegevens kun je de kracht op het hoofd en de invloed van bv. de kreu-kelzone, de gordel enz… onderzoeken.

In deze paragraaf leer je hoe je de kracht op een systeem kunt bepalen als je de beweging van het systeem kent. We volgen daarbij Stefanie die een pretpark bezoekt.

6.1.1 Stefanie op de achtbaan

Stefanie (massa 53,4 kg) doet een rit op de achtbaan (rollercoaster). We bekijken een deel van de baan dat in een verticaal vlak ligt rond een top. We kiezen het (x, y)-assenstelsel zoals in de figuur. De positie (x en y-coördinaat) van Stefanie werd gemeten om de 0,1 s. De tabel geeft de resultaten rond de top.

t (s) x (m) y (m) vx (m/s) vy (m/s) v (m/s) ax (m/s) ay (m/s) a (m/s)

2,80 13,77 26,17

2,90 14,26 26,21 4,93 0,23 4,94

3,00 14,76 26,22 5,01 -0,03 5,01 0,84 -2,52 2,66

3,10 15,27 26,20 5,10 -0,28 5,11 0,92 -2,45 2,62

3,20 15,78 26,16 5,19 -0,52 5,22 1,00 -2,39 2,59

3,30 16,30 26,10 5,30 -0,76 5,35 1,07 -2,32 2,56

3,40 16,84 26,01 5,41 -0,98 5,50 1,15 -2,26 2,53

3,50 17,39 25,90 5,53 -1,21 5,66 1,23 -2,19 2,51

3,60 17,95 25,77 5,66 -1,42 5,83 1,31 -2,12 2,49

3,70 18,52 25,62 5,79 -1,63 6,02

3,80 19,10 25,45

Kracht als de beweging gekend is

6.1

De beweging kan beschreven

worden door een x(t)- en

y(t)-tabel, door de bewegings-

vergelijkingen of door

de x(t)- en y(t)-grafiek. In dit

voorbeeld werken we met de

bewegingsvergelijkingen.

Ga na hoe vx, vy, v, ax, ay en a

berekend werden. Rond voor de

eenvoud af op 2 decimalen. Inter-

preteer het teken (wat betekent

het bv. dat ay negatief is?). Op

welk ogenblik overschrijdt Stefa-

nie de top?

6 Kracht en beweging

y

x

P

Punt P



We berekenen de kracht →F op Stefanie op 3,60 s. Ze bevindt zich dan in punt P juist na de top.

Fx = m ∙ ax = 53,4 kg ∙ 1,31 m/s2❏ = 70,0 NFy = m ∙ ay = 53,4 kg ∙ (-2,12 m/s2) = -113 N

F = F F2 2x y+ = 133 N

De tangentiële component van de kracht kun je grafisch bepalen of berekenen:

De tangentiële component is positief. Dat betekent dat de snelheid van Stefanie rond dat punt toeneemt.

Vermits F = F F2 2t n+ vind je voor de normaalcomponent

,,F F F 133 92 695 5N NN2 2 2 2n t = == - -^ ^h h

Dat deel van de resulterende kracht zorgt voor de afbuiging.

24,5

25,5

26,5

17,0 18,0 19,0

x (m)

y (m)

Fx

Fy

�F

P

24,5

25,5

26,5

17,0 18,0 19,0

x (m)

y (m)

�F

Fn

Ft

t

n

P

→F, Fx en Fy

→F, Ft en Fn

De kracht →F is de resulterende

kracht!


55

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

6.1.2 Stefanie in draaiende ton (ECB)

Stefanie wil de draaiende ton doen. In dat cilindervormig toestel moet ze zich samen met de andere deelnemers tegen de wand plaatsen. Het toestel begint dan rond te draaien. Bij een bepaalde draai-snelheid laat men de bodem naar beneden zakken en blijft iedereen tegen de wand hangen! Ze voert dan een cirkelvormige beweging uit waarbij de grootte van de snelheid constant is. Zo’n beweging noemt men een eenparige cirkelvormige beweging.

Definitie

Een systeem voert een eenparige cirkelvormige beweging (ECB) uit als - de baan cirkelvormig is; - de grootte van de snelheid constant is.

Andere voorbeelden: een cd in een cd-lezer, een band van een auto die een EB uitvoert, de beweging van de aarde rond de zon …

Omdat het systeem geen ERB uitvoert, is er een resulterende kracht. Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag.

Welke kenmerken (grootte, richting, zin) heeft de (resulterende) kracht op een systeem dat een ECB uitvoert?

We bepalen die kracht vanuit de beweging van het systeem.

Hoeksnelheid

We kiezen het (x, y)-vlak zo, dat de baan van het systeem in dat vlak ligt en het in tegenwijzerzin beweegt. De oorsprong kiezen we in het middelpunt van de cirkel.

De positiehoek θ is de hoek tussen de x-as en de vector →r. Die hoek meten we in tegenwijzerzin.Op t1 is de positiehoek θ1. Op t2 is de positiehoek θ2. De afgelegde of doorlopen hoek in het tijdsinterval [t1; t2] is ∆θ = θ2 – θ1

Vermits het voorwerp beweegt in tegenwijzerzin, is θ2 groter dan θ1 en is ∆θ positief.

De gemiddelde hoeksnelheid ωg in het interval ∆t is ωg = ∆θ∆t

De ogenblikkelijke hoeksnelheid ω(t) is gelijk aan ω(t) = lim∆t→0

∆θ∆t =

dθdt

In het Engels spreekt men ook van

een gravitron.

•

+DEFINITIE

ONDERZ

OEKSVRAAG

•

r

x

y

r

x

y

+Vermits ∆θ en ∆t allebei positief

zijn, zijn ωg en ω positief.

De hoeksnelheid kan uitgedrukt

worden in °/s of rad/s.



De periode T is de tijd nodig voor één omwenteling.De frequentie f is het aantal omwentelingen per seconde. Eén cyclus per seconde noemt men een hertz (Hz).

Tussen periode en frequentie bestaat het volgende verband:

f = 1T

Voorbeeld:Een boormachine doet 600 toeren per minuut. 600 toeren/1 min = 600 toeren/60 s = 10 toeren per s = 10 Hz

De periode T bedraagt

T = 1f =

110 Hz = 0,10 s

Positie

Van een voorwerp dat een ECB uitvoert, verandert de x- en de y-coördinaat voortdurend.

Voor de x-coördinaat geldt

x(t) = r · cos θ (t)

want cos θ = xr

Deze formule geldt in elk kwadrant. Ga dat na (let op het teken!).

Voor de y-coördinaat geldt

y(t) = r · sin θ(t)

Snelheid

Voor de x-component van de snelheid →v geldt

vx = dxdt

= ddt

[r ∙ cos θ(t)] = r ∙ [-sin θ(t)] ∙

dθdt

= -r ∙ sin θ ∙ ω

Voor de y-component geldt

vy = dydt

= ddt

[r ∙ sin θ(t)] = r ∙ [cos θ(t)] ∙ dθdt

= r ∙ cos θ ∙ ω

In het dagelijkse leven gebruikt

men meestal het toerental

i.p.v. de hoeksnelheid.

Dat geeft het aantal toeren per

minuut weer waarmee bv. een

automotor ronddraait.

•

r

xx

y

θ

We schrijven x(t) en θ(t) om

duidelijk te maken dat x en θ

veranderen met de tijd.

•

We gebruiken hier de ketting-

regel die je in de lessen

wiskunde leerde.


57

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

De grootte van de snelheid is

v v v r r= + = + =x

2y2 - ∙ ∙ ∙ ∙( sin ) ( cos )ω θ ω θ2 2 rr r2 2 2 2∙ ∙ ∙ω θ θ ω(sin cos )+ =

De snelheidsvector raakt in elk punt aan de cirkel. Dat zie je ook aan de vonken die wegvliegen bij een slijpschijf.

Eenheden van ω

In de formule v = ω · r kloppen de eenheden niet. In feite moet er staan

v = = =ω · r … rad /s · … m ... ms(1) rad (1) rad

Die 1 rad is afkomstig van de afgeleide van sin x of cos x en schrijft men meestal niet. (zie lessen wiskunde) Als je de hoeksnelheid ω uitdrukt in rad/s kloppen de eenheden wel:

v = = =ω · r … rad /s · … m ... ms(1) rad (1) rad

Voor een voorwerp dat een ECB uitvoert, geldt voor de grootte van de snelheid v = ω ∙ r

als je ω uitdrukt in rad/s.

Vermits v = ω ∙ r, hangt de snelheid v af van de afstand tot het middelpunt: hoe groter r, hoe groter v. Dat merk je op een paardenmolen: hoe verder je aan de buitenkant zit, hoe sneller je beweegt. De hoeksnelheid ω is wel gelijk voor iedereen die op de paardenmolen zit!

De oplossing v = -r · ω, die

wiskundig ook mogelijk is, kan

fysisch niet omdat v, r en ω posi-

tief zijn.

x

y

v

+



Uit de formule v = ω ∙ r leiden we nog volgende eigenschappen voor de ECB af:

• ω is constant

Uit v = ω ∙ r volgt ω = vr .

Vermits v en r constant zijn (definitie ECB), is ω ook constant.

• ωg is constant en gelijk aan ω

Als de hoeksnelheid op elk ogenblik dezelfde waarde heeft, is de gemiddelde hoeksnelheid daaraan gelijk.

• ω = 2πT

ω = ωg (zie vorige eigenschap) =

∆θ∆t

(definitie)

Als het voorwerp éénmaal de cirkelvormige baan doorloopt, is de afgelegde hoek ∆θ = 2π (rad) en ∆t = T.

Dus:

ω = 2πT

Versnelling

Voor de x-component van de versnelling →a geldt

ax = dvx

dt

= ddt

[-r ∙ ω ∙ sin θ(t)]

= -r ∙ ω ∙ [cos θ(t) ∙ dθdt ]

= -r ∙ ω2 ∙ cos θ

Voor de y-component geldt

ay = dvy

dt

= ddt

[r ∙ ω ∙ cos θ(t)]

= r ∙ ω ∙ [-sin θ(t) ∙ dθdt ]

= -r ∙ ω 2 ∙ sin θ

De grootte van de versnelling is

a a a r r= + = +x

2y2 - ∙ ∙ ∙ ∙( cos ) ( sin )ω θ ω θ2 2 2 22 2= ω ∙ r

Wiskundig kan dat op dezelfde

manier bewezen worden zoals

bv. bij de EB bewezen werd dat

vx,g = vx.

•

We gebruiken hier opnieuw de

kettingregel.

De oplossing a = -r · ω2, die

wiskundig ook mogelijk is,

kan niet omdat a, r en ω2

positief zijn.


59

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

Voor de versnelling bij een ECB gelden nog volgende eigenschappen:

• De versnelling a is constant.

Dat volgt onmiddellijk uit a = ω 2 ∙ r vermits ω en r constant zijn. Alhoewel de snelheid constant is, is er toch een versnelling! De oorzaak hiervan is dat versnelling de verandering van de snelheidsvector geeft (per s): de grootte

van

v is weliswaar constant, maar de richting van

v verandert voortdurend!

• De versnellingsvector a is altijd gericht naar het middelpunt van de cirkel.

Stel dat

a niet naar het middelpunt zou gericht zijn, dan heeft

a een tangentiële component at verschillend van nul. Maar als at verschilt van nul, verandert de grootte van de snelheid en dat is niet het geval.

• a = an = v2

r

Vermits a = a at2

n2+ en at = 0, is

a = an2 = an

Vermits an = v2

ρ en ρ de straal r van de cirkel is, is

a = an = v 2

r

Je kunt de formule ook afleiden als volgt:

v = ω ∙ r en dus ω = vr

Invullen in a = ω 2 ∙ r geeft a = v 2

r 2 ∙ r = v 2

r

Voor een voorwerp dat een ECB uitvoert, is a = ω2 ∙ r = v 2

r

v

y

a

x

y

anat

nt

x

y

a

De versnelling bij een ECB noemt

men daarom ook de

middelpuntzoekende of

centripetale versnelling.

De oplossing a = -an, is wiskundig

ook mogelijk, maar kan fysisch

niet omdat a en an positief zijn.

+



Kracht bij een ECB

Bij een ECB is de versnelling op elk ogenblik naar het middelpunt van de cirkel gericht.Omdat de resulterende kracht en de versnelling dezelfde richting en zin hebben, is de kracht op het systeem op elk ogenblik ook naar het middelpunt gericht.Daarom noemt men die kracht de middelpuntzoekende (of centripetale) kracht, symbool

→Fc.

Voor de grootte van de versnelling geldt

a = v 2

r

Daaruit volgt

F = m ∙ a = m ∙ v 2

r

Op een systeem dat een ECB uitvoert, werkt een kracht die steeds naar het middelpunt gericht is, de middelpuntzoekende of centripetale kracht. De grootte van die kracht is Fc = m ∙ v 2/r

Voorbeeld 1: een wagen die een bocht neemtEen wagen die op een horizontaal wegdek een cirkelvormige bocht neemt met constante snelheid voert een ECB uit. De resulterende kracht is de middelpuntzoekende kracht: die is horizontaal, gericht naar de binnenkant van de bocht en heeft als grootte F = m ∙

v2

r .

De kracht die daarvoor zorgt, is de wrijvingskracht →Fw.

Vermits F = m ∙ v2

r geldt: hoe groter de snelheid, hoe groter de kracht die nodig is.

Vermits de wrijvingskracht echter begrensd is, is er een maximale snelheid waarmee je een bocht kunt nemen. Die snelheid hangt ook af van de kromtestraal van de bocht: hoe scherper de bocht, hoe kleiner r en hoe groter F moet zijn. Daarnaast speelt ook het wegdek een rol: bij ijzel is de wrijvingskracht zo klein dat je de bocht slechts met een zeer kleine snelheid kunt nemen. Als de wrijvingskracht nul is, kun je de bocht niet nemen en gaat de wagen rechtdoor (eerste wet van Newton).

•

Fc

+

Fw

Fw

Fw


61

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

Voorbeeld 2: hamerslingerenNa enkele omwentelingen kun je de beweging van de bol bij het hamerslingeren beschouwen als een ECB in een horizontaal vlak. De resulterende kracht

→F is de middelpuntzoekende kracht:

die is horizontaal, gericht naar het middelpunt en heeft als grootte F = m ∙ v2

r .

Als we de luchtweerstand buiten beschouwing laten, is die kracht het gevolg van twee krachten: de zwaartekracht

→Fz en de kracht

→Fa die de atleet via het touw uitoefent.

Hoe sneller de bol wordt rondgezwierd, hoe groter de kracht van de atleet moet zijn.Als hij het touw loslaat, vliegt de bol weg rakend aan de cirkel (eerste wet van Newton).

ECB van een ruimteveer

Een ruimteveer beweegt op een hoogte van 300 km eenparig cirkelvormig rond de aarde in 90 minuten. Bereken de hoeksnelheid, de grootte van de snelheid en van de versnelling. Oplossinga) De hoeksnelheid is

ω = 2πT

= 2π

90 min = 2π

90 ∙ 60 s = 1,2 ∙ 10-3 (rad)/s

b) De snelheid is v = ω ∙ r

De afstand r is de hoogte + de aardstraal: r = h + rA = 300 km + 6371 km = 6671 km = 6671 ∙ 103 m

Dus v = 1,2 ∙ 10-3 (rad)/s ∙ 6671 ∙ 103 m

= 80 ∙ 102 m/s (= 8,0 km/s = 29 ∙ 103 km/h)

c) De versnelling is a = ω2 ∙ r

= (1,2 ∙ 10-3 (rad)/s)2 ∙ 6671 ∙ 103 m = 9,6 m/s2

r

m

F

Fr

F

Fa

Fz

- OEFENING

rA

300 km

Maak een tekening. Dan zie je

zo dat r de afstand is tot het

middelpunt van de aarde!



bron: De Standaard 20/01/2015, National Geographic, NASA

Planetoïden (ook asteroïden genoemd) zijn kleine stukken materie die - evenals de planeten - rond de Zon bewegen. De meeste bevinden zich tussen de planeten Mars en Jupiter. De grootste zijn bijna 1000 km groot, maar de overgrote meerderheid is minuscuul klein. Op zo’n planetoïde werkt de gravitatiekracht (zie verder). De kracht die op de planetoïde werkt, bepaalt de baan en de beweging ervan. Zo kan op voorhand berekend worden wanneer en op welke afstand een planetoïde voorbij de aarde zal vliegen.

In deze paragraaf leer je hoe je de baan en de beweging op de baan kunt bepalen als de kracht gekend is. We bekijken eerst het geval waarbij de kracht op het systeem constant is, waarbij de grootte en de richting van de kracht dus niet veranderen. Een voorbeeld daarvan is de valbeweging.

6.2.1 Val in vacuüm

In 2012 sprong Felix Baumgartner uit een ballon op 39 km hoogte. Op die hoogte is nagenoeg geen lucht aan-wezig (vacuüm) en kunnen we de luchtweerstand verwaarlozen. Een val in vacuüm noemt men een vrije val. De resulterende kracht is dan de zwaartekracht. Die is constant en verticaal naar beneden gericht.

We kiezen het (x, y)-assenstelsel zoals in de figuur. De oorsprong ligt waar zijn val begint. Zijn beginsnel-heid is 0.

Beweging als de kracht gekend is

6.2

Reusachtige planetoïde zet koers richting aarde

Een reusachtige planetoïde zet op dit mo-

ment koers richting de aarde. Dat laat ruim-

tevaartorganisatie NASA weten. Het hemel-

lichaam zal op maandag 26 januari (2015)

rakelings onze planeet passeren.

Volgens NASA hoeven we ons echter geen

zorgen te maken. De planetoïde, 2004 BL86

genaamd (omdat hij in 2004 ontdekt werd)

(…) zal onze planeet op een veilige afstand

passeren, al blijft het, in ruimtetermen, nog

steeds dichtbij: het hemellichaam, dat ruim

een halve kilometer diameter heeft, zal op

‘slechts’ 1,2 miljoen kilometer van ons ver-

wijderd langs de aarde scheren. Dat is on-

geveer 3 keer de afstand van de aarde tot de

maan.

Een valschermspringer bedoelt

met een vrije val niet een val in

vacuüm, maar de tijd vóór het

openen van het valscherm.

De zwaartekracht is op die hoogte

ietsje kleiner, maar dat laten we

buiten beschouwing.

→F

z

y

x


63

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

Volgens de tweede wet van Newton geldt

→F = m ∙ →a

Projecteren van die wet geeft op de x-as: Fx = m ∙ ax

op de y-as: Fy = m ∙ ay

In dit geval geldt Fx = 0 en dus ax = 0. Het systeem versnelt niet t.o.v. de x-as en voert dus een EB uit t.o.v. de x-as.

Omdat de beginsnelheid nul is, verandert zijn positie niet t.o.v. de x-as en valt hij recht naar beneden.

Fy = Fz = constant en dus ay = cte. Het systeem heeft een constante versnelling t.o.v. de y-as en voert dus een EVB uit t.o.v. de y-as.

De snelheid van het systeem neemt lineair toe. De versnelling is constant en noemt men de valversnelling g.

Experimenteel blijkt:• De valversnelling in vacuüm is onafhankelijk van de massa of van de vorm van het voorwerp:

alle voorwerpen vallen in vacuüm ‘even snel’.

• De valversnelling is afhankelijk van de plaats op aarde en van de hoogte (zie p. 92). Meestal neemt men voor de valversnelling dicht bij het aardoppervlak de gemiddelde waarde 9,81 m/s2. Dat is ook de waarde in onze streken.

• Ook op andere planeten is er een valversnelling.

Bij een val in vacuüm voert het systeem een EVRB uit. De valversnelling g is onafhankelijk van het voorwerp en bedraagt in onze streken 9,81 m/s2.

De valversnelling en de zwaarte-

veldsterkte worden door hetzelfde

symbool g voorgesteld. Verder

zullen we aantonen dat die twee

grootheden identiek zijn.

vy ay

t

g

t

Op de maan is er geen atmosfeer

en vallen bv. een hamer en een

pluimpje even snel. Dat werd in

1971 door astronaut David Scott

gedemonstreerd tijdens één van

de maanlandingen.

+



6.2.2 Val in een fluïdum

Een voorwerp dat boven het aardoppervlak wordt losgelaten, valt door de zwaartekracht →Fz naar beneden.

Door wrijving met de lucht werkt op het systeem ook een weerstandskracht →Fw.

Weerstandskracht werkt ook op bv. een steen die in water naar beneden valt. Wanneer een voorwerp valt in een gas of een vloeistof, is er wrijving met die stof en spreekt men van een val in een fluïdum.

→F

z

→F

w

aarde aarde

→F

y

x

→Fz en

→Fw resulterende kracht

Dat leidt tot volgende onderzoeksvraag.

Hoe ziet de beweging (vy(t)- en ay(t)-grafiek) eruit voor een systeem dat een val in een fluïdum uitvoert?

De weerstandskracht is tegengesteld aan de snelheid →v en is dus verticaal naar boven gericht. De resulte-rende kracht

→F is

→F =

→Fz +

→Fw

Voor de grootte van →F geldt

F = Fz - Fw

Zoals bij een val in vacuüm valt het voorwerp recht naar beneden en versnelt, maar de versnelling neemt geleidelijk aan af.

Verklaring:In het begin van de val is de weerstandskracht nul en is de versnelling van het systeem gelijk aan valversnelling g (9,81 m/s2). Naarmate het systeem sneller beweegt, wordt de weerstandskracht groter en de resulterende kracht kleiner. De versnelling van het systeem wordt dus kleiner: de snelheid neemt nog wel toe, maar minder snel. Op een bepaald moment is de snelheid zo groot dat de weerstandskracht gelijk wordt aan de zwaartekracht: de resulterende kracht is dan nul en het systeem versnelt niet meer. Het systeem bereikt zijn eindsnelheid en voert vanaf dat ogenblik een EB uit.

Wrijvings- en weerstandskrachten

bekijken we in detail in

hoofdstuk 10.

Vloeistoffen en vaste stoffen

noemen we fluïda, omdat die

kunnen ‘vloeien’.

ONDERZ

OEKSVRAAG

Die eindsnelheid hangt af van

de massa van het systeem,

de frontale oppervlakte en

de middenstof. Voor een

valschermspringer ligt de

eindsnelheid rond 200 km/h.

Voor een regendruppel ligt de

eindsnelheid rond 20 km/h.


65

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

Bij een val in een fluïdum neemt de snelheid toe tot een bepaalde eindsnelheid. Het systeem voert vanaf dat ogenblik een EB uit.

6.2.3 De horizontale worp

Bewegingsvergelijking

Een pijl die horizontaal wordt weg-geschoten, beschrijft een horizontale worp.

Laten we de luchtweerstand buiten be-schouwing, dan is de zwaartekracht

→Fz de

resulterende kracht →F. Die is constant en

verticaal naar beneden gericht (fig.a).We kiezen het (x,y)-assenstelsel zoals in de figuur. De oorsprong ligt op de aarde en verticaal onder het vertrekpunt van de pijl. De beginhoogte van de pijl is h, de beginsnelheid →v0 (fig. b).

v y

v y, e

t t

a y

9,81

(m/s2)

→F

z

→F

w

+

•

Waarom is het belangrijk het as-

senstelsel ‘goed’ te kiezen?

We bekijken de beweging van de

pijl na de lancering.



→A

→B

→C

→D

→E

→F

→G

→H

→I

→J

→K

→L

→M

→N

→O

→P

→Q

→R

→S

→T

→U

→V

→W

→X

→Y

→Z

→a →b →c →d →e →f →g →h →i →j →k →l →m →n →o →p →q →r →s →t →u →v →w →x →y →z

xaarde

→F

z

y y

x

h→v

0

fig a fig b

Volgens de tweede wet van Newton geldt

→F = m ∙ →a

Projecteren geeft: op de x-as: Fx = m ∙ ax

op de y-as: Fy = m ∙ ay

Vermits Fx = 0, is ax = 0 en voert het systeem een EB uit t.o.v. de x-as.

Vermits Fy = cte ≠ 0, is ay = cte ≠ 0 en voert het systeem een EVB uit t.o.v. de y-as.

EB t.o.v. de x-as EVB t.o.v. de y-as

Een kracht zorgt enkel voor een versnelling in de richting en zin waarin ze werkt. Een systeem dat een horizontale worp uitvoert en waarop enkel de zwaartekracht werkt, voert horizontaal een EB uit en verticaal een EVB.

x

y

Fz

x

y

Fz

+


67

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

Voor de x(t)-functie geldt dan x = xo + vx ∙ (t – to)

Invullen van de begingegevens xo = 0 m (het systeem vertrekt boven de oorsprong) vx = + vo to = 0 s (we starten de chronometer als het systeem vertrekt)

geeft x = 0 m + vo ∙ (t – 0 s)

Voor de x(t)-functie bij een horizontale worp geldt x = vo ∙ t (1) Dat is een eerstegraadsfunctie. De x(t)-grafiek is een schuine rechte.

Voor de y(t)-functie geldt

y = yo + voy ∙ (t – to) + ay

2 ∙ (t – to)2

Invullen van de begingegevens yo = h (het systeem vertrekt op hoogte h) voy = 0 m/s to = 0 s ay = -g

geeft y = h + 0 m/s ∙ (t – 0 s) +

(-g)2 ∙ (t – 0 s)2

Voor de y(t)-functie bij een horizontale worp geldt

y = h – g2 ∙ t2 (2)

Dat is een tweedegraadsfunctie. De y(t)-grafiek is dus een parabool. Het nulpunt van de y(t)-parabool geeft het tijdstip waarop het voorwerp op de grond terecht komt.

De baan

De baan is de y(x)-functie. Die functie krijg je door t te elimineren uit de vergelijkingen (1) en (2).Uit (1) volgt

t = xvo

Invullen in (2) geeft

y = h – g2 ∙ ( x

vo)2

y

x

(y0 =) h

0 (= x0)

�v0

�a

+

x

tT.o.v. de y-as voert het systeem

een EVB uit. De versnelling ay is

dan constant. Die versnelling

is gelijk aan de valversnelling g.

De component ay is negatief om-

dat het systeem versnelt in de

negatieve zin van de y-as.

Dus ay = -g = -9,81 m/s2

+ y

t

h

•



Voor de baan bij een horizontale worp geldt

y = h – g · x2

2 ∙ vo2 (3)

Dat is een tweedegraadsfunctie.

y = c + b · x + a · x2 ↔ y = h + 0 ∙ x + -g

2 ∙ vo2 ∙ x2

Een systeem dat een horizontale worp uitvoert, volgt dus een parabolische baan. Het nulpunt van de y(x)-parabool geeft de plaats aan waar het systeem op de grond terecht komt.

De x-coördinaat van de top van de parabool wordt gegeven door

xtop = -b2a

=

02 ∙ h

= 0

Het vertrekpunt van het systeem is de top van de parabool.

In de functie

y = h – g ∙ x2

2 ∙ vo2

geeft de term g ∙ x2

2 ∙ vo2 aan hoeveel hoogte het

systeem verloren heeft als de (horizontale)

positie x is.

Dat hoogteverlies hangt af van de beginsnelheid vo en van de afstand x.Hoe groter de beginsnelheid, hoe kleiner het hoogteverlies.Hoe groter de afstand x die je beschouwt, hoe groter het hoogteverlies.Om het hoogteverlies bij het boogschieten zo klein mogelijk te maken, moet je de boog goed opspannen, zodat de pijl een grote beginsnelheid heeft.

Het bereik

Het bereik of de dracht d is de horizontale afstand die het systeem aflegt tijdens de horizontale worp, tot het op de grond terecht komt: d = xe – xo

en vermits xo = 0 m d = xe

xe is een nulpunt van de parabool:

y = h – g ∙ x2

e

2 ∙ vo2 = 0

h = g ∙ x2

e

2 ∙ vo2

+

Verwar de y(x)-functie niet met

de y(t)-functie. De y(x)-parabool

geeft de baan van het systeem

weer, de y(t)-parabool geeft de

beweging van het systeem weer

t.o.v. de y-as.

y

x

vo

h

x

hoogteverlies =g ∙ x2

2 ∙ vo2

•

y

x

voh

xo xed


69

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

xe2 =

2 ∙ vo2 ∙ h

g

Dus

x v hge o+ · ·= 2

(xe is positief)

Voor het bereik (de dracht) bij een horizontale worp geldt

d v hg

= o ∙ ∙2

Het bereik hangt af van de beginsnelheid vo en van de vertrekhoogte h.Hoe groter de beginsnelheid, hoe groter het bereik.Hoe groter de vertrekhoogte, hoe groter het bereik.

Snelheid

De snelheid vx t.o.v. de x-as is constant en is gelijk aan vo: vx = vo

Voor de snelheid vy t.o.v. de y-as geldt vy = voy + ay ∙ (t – to)

Invullen van de gegevens voy = 0 m/s, to = 0 s en ay = - g geeft vy = 0 m/s – g ∙ (t – 0 s) vy = - g ∙ t

De grootte van de snelheid t.o.v. de y-as neemt toe met de tijd.

De grootte van de snelheidsvector

v wordt gegeven door

v v v

v g t

= +

= +

x2

y2

o2 - ∙( )2

De snelheid v neemt toe met de tijd.

Voor de grootte van de snelheid

v bij een horizontale worp geldt

v v g t= +o2 ∙2 2

+

•

y

x

voh

+



Een C-130 vliegt met een snelheid van 290 km/h en dropt een voedselpakket op een hoogte van 250 m.Hoe ver komt het pakket terecht en met welke snelheid?

OplossingHet voedselpakket beschrijft een horizontale worp.

a) Voor de dracht geldt

d v hg

=

=

o

2

∙ ∙

km/h ∙ 2 ∙ 250 m

9,81 m/s

2

290

== =80 575,6 m/s ∙ 7,14 s m

b) De snelheid van het pakket is

v v g t= +o2 ∙2 2 (*)

We berekenen het tijdstip waarop het pakket op de grond komt met de y(t)-functie:

y = h – g2

∙ t2

= 250 m – 9,81 m/s2

2 ∙ t2

Op dat tijdstip is y = 0 m. Dus

0 m = 250 m – 9,81 m/s2

2 ∙ t2

Daaruit volgt

t = =2 ∙ 250 m

9,81 m/s,14 s

27

Invullen in (*) geeft

v = +

=

( ) ( , ) ( )m/s · 7,14 s2 2 2 29 81

107 mm/s km/h= 385

290 km/h

-OEFENING

250 m

290 km/h

Merk op dat je het tijdstip

t = 7,14 s ook al in a) verkreeg.

Kun je dat verklaren?

Let op de eenheden.


71

KIN

EM

AT

ICA

EN

DY

NA

MIC

A

6.2.4 Niet-constante kracht

Meestal werkt op een systeem een kracht die niet constant is, maar waarvan zowel de grootte en/of de richting verandert. Wiskundig is die situatie veel moeilijker (en soms onmogelijk) om op te lossen. Bena-derend kan in dat geval de baan en de beweging op de baan bepaald worden door de iteratieve methode.

Daarbij werken we met kleine tijdsintervalletjes ∆t. In zo’n interval kun je de kracht als constant beschouwen. Dan kun je de krachtcomponenten Fx en Fy bepalen, de versnelling ax en ay, de verandering van de snelheid ∆vx en ∆vy in het tijdsinterval ∆t, de nieuwe positie van het voorwerp bij het begin van het volgende tijdsinterval … Op die manier kan de baan van het voorwerp bij benadering bepaald worden.

Voorbeeld:Een voorwerp met massa 2,00 kg bevindt zich op t = 0 s in het punt x = 100 m, y = 0 m. Het heeft op dat ogenblik snelheid vx = 0 m/s en vy = 7,00 m/s. Het bevindt zich op een afstand r van de oorsprong. Op het voorwerp werkt een kracht die altijd naar de oorsprong gericht is en waarvoor geldt F

r

12.

We nemen hiervoor de evenredigheidsconstante 20,0 ∙ 103 Nm2. Dus

F =

20,0 ∙ 103

r2 Nm2

Voor de eenvoud laten we de eenheden weg.

Doe de berekeningen voor het punt (100; 0).

Voor de afstand r geldt r2 = x2 + y2 = (100)2 + (0)2 = (100)2

r = 100

De grootte van de kracht is

F = 20,0 ∙ 103

r2 = 3

2100

20,0 ∙ 10

( ) = 2,00

De kracht is naar de oorsprong gericht. Dus is Fx = -2,00 Fy = 0

De versnelling is

aF

m

aF

m

xx

yy

= = - = -

= =

2 002 00

1 00

02 0

,,

,

, 000=

We beschouwen een tijdsinterval ∆t = 1,00 (s).

De verandering van de snelheid in dat tijdsinterval is bij benadering ∆vx = ax ∙ ∆t = -1,00 ∙ 1,00 = -1,00 ∆vy = ay ∙ ∆t = 0 ∙ 1,00 = 0

Een kracht waarvoor geldt 1Fr2+

voldoet aan de ‘omgekeerde

kwadratische’ wet. Een

voorbeeld van zo’n kracht is de

gravitatiekracht die de zon op de

planeten uitoefent (zie p. 84).

y

x

(100 m; 0 m)

v( m/s)7 00,�

F�

Waarom … bij benadering … ?



→A

→B

→C

→D

→E

→F

→G

→H

→I

→J

→K

→L

→M

→N

→O

→P

→Q

→R

→S

→T

→U

→V

→W

→X

→Y

→Z

→a →b →c →d →e →f →g →h →i →j →k →l →m →n →o →p →q →r →s →t →u →v →w →x →y →z

De nieuwe snelheid wordt vx = vxo + ∆vx = 0 + (-1,00) = -1,00 vy = vyo + ∆vy = 7,00 + 0 = 7,00

De verplaatsing is bij benadering ∆x = vx ∙ ∆t = -1,00 ∙ 1,00 = -1,00 ∆y = vy ∙ ∆t = 7,00 ∙ 1,00 = 7,00

De nieuwe positie wordt x = xo + ∆x = 100 + (-1,00) = 99 y = yo + ∆y = 0 + 7,00 = 7,00

Herhaal nu de berekeningen als het voorwerp zich in het punt (99; 7,00) bevindt.

Voor de afstand r geldt r2 = x2 + y2 = (99)2 + (7,00)2 r = 99,2

De grootte van de kracht is F

r= ∙ 10 = ∙ 10

(99,2)=

3 3

2

20 0 20 0 2 032

, , ,

De kracht is naar de oorsprong gericht. Daaruit kan je Fx en Fy bepalen …In een rekenblad zoals Excel kun je zo’n iteratie snel laten uitvoeren.Je verkrijgt dan volgende tabel:

t vx vy x y r F Fx Fy ax ay

0 0,00 7,00 100 0 100,00 2,00 -2,00 0,00 -1,00 0,00

1 -1,00 7,00 99 7 99,25 2,03 -2,03 -0,14 -1,01 -0,07

2 -2,01 6,93 97 13,9 97,98 2,08 … … … …

Zet je de x- en y-waarden uit dan verkrijg je de baan van het voorwerp: de punten lijken op een ellips te liggen. Hoe kleiner het tijdsinterval ∆t, hoe beter de ellips benaderd wordt en hoe beter de aansluiting met het beginpunt.

WAT JE NA DIT HOOFDSTUK MOET KENNEN EN KUNNEN:

■ de resulterende kracht en het effect ervan op een systeem bepalen als de beweging van het systeem gekend is

■ de definitie geven van een ECB, de geziene eigenschappen bewijzen en de kenmerken van de kracht geven

■ de val van een systeem in vacuüm en in fluïdum beschrijven en verklaren met de kracht(en) ■ de definitie geven van de horizontale worp, de geziene eigenschappen bewijzen en de beweging

verklaren met de kracht op het systeem ■ oefeningen en denkvragen m.b.t. de ECB, de valbeweging en de horizontale worp oplossen

Waarom … bij benadering … ?

–70,00

–50,00

–30,00

–10,00

10,00

30,00

50,00

–40,00 –20,00 20,00 40,00 60,00 80,00 100,00 120,00 x (m)

y (m)

Uit deze oefening blijkt dat een

voorwerp waarop een omgekeerd

kwadratische kracht werkt, een el-

lipsvormige baan kan volgen. Dat

is bv. het geval voor de beweging

van de planeten rond de zon.


De tweede wet van Newton - die Keure · De tweede wet 5 van Newton De eerste wet van Newton zegt...

Documents

Transcript of De tweede wet van Newton - die Keure · De tweede wet 5 van Newton De eerste wet van Newton zegt...