Stelling van Amsterdam en Nieuwe Hollandse Waterlinie samen ...
De Stelling Van Johnson
8
De stelling van Johnson Instapprobleem ( 5 min.) Een zender heeft een zend bereik R. R is de maximale aftand waarbij de elektromagnetische straling van de zender nog meet baar is. Op drie willekeurige vaste punten A, B en C worden gelijke ontvangers geplaatst. De zender wordt op een punt H geplaatst zodanig dat A, B en C bereikbaar zijn en R minimaal is? De zender in punt H wordt vervangen door een ontvanger. Er worden drie zenders geplaats zodanig dat ieder zender ( met gelijk bereik R) drie ontvangers kan bereiken.
-
Upload
sofi-andersman -
Category
Documents
-
view
78 -
download
0
Transcript of De Stelling Van Johnson
5/12/2018 De Stelling Van Johnson - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/de-stelling-van-johnson 1/8
De stelling van Johnson
Instapprobleem ( 5 min.)
Een zender heeft een zend bereik R. R is de maximale aftand waarbij de elektromagnetische straling
van de zender nog meet baar is. Op drie willekeurige vaste punten A, B en C worden gelijke
ontvangers geplaatst. De zender wordt op een punt H geplaatst zodanig dat A, B en C bereikbaar zijn
en R minimaal is?
De zender in punt H wordt vervangen door een ontvanger. Er worden drie zenders geplaats zodanig
dat ieder zender ( met gelijk bereik R) drie ontvangers kan bereiken.
5/12/2018 De Stelling Van Johnson - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/de-stelling-van-johnson 2/8
Bewijs m.b.v inversie.
Definitie van inversie:
Gegeven is een vast punt O en een getal ( k≠0) .
We trekken uit O een halve rechte en kiezen daarop het punt P (zie figuur 1).We bepalen nu het punt
P’ op deze rechte zo, dat OP. OP’ = k2.
O heet het centrum en m heet de macht van de inversie.
We spreken van de inversie Ω(O, k).
Het getal |k| stellen we vaak voor door k2.
Figuur 1.
Opdracht 1:
Bewijs dat het beeld van een rechte lijn (m) die de cirkel van de inversie raakt in een punt P een
cirkel is met [OP] als diameter.
Opdracht 2:
Gegeven een driehoek ABC met de ingeschreven cirkel . Lijn (AC) raakt de cirkel in punt H. . Lijn
(AB) raakt de cirkel in punt S . Lijn (BC) raakt de cirkel in punt I. teken de beelden van de raaklijnen
( AB),(BC) en (AC).
a- Laat zien dat de drie cirkels( de beelden). Even groot zijn en dat middelpunten M1, M2M3 de
cirkels op een cirkel liggen die even groot als de drie cirkels.
b- Laat zien dat de driehoek M1 M2M3 en driehoek SHI gelijkvormig en zijn( met verhouding
1:2)
5/12/2018 De Stelling Van Johnson - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/de-stelling-van-johnson 3/8
Opdracht 1:
Gegeven een cirkel C(O,[OA] .Llijn (l ) raakt de cirkel in het punt A. bewijs dat het beeld van de lijn (l)
door inversie Ω(O, *OA+ 2
) een cirkel is waarvan de diameter [OA] is.
Ω(O, *OA+ 2 ) is de invers Ie afbeelding met centrum O en macht [OA]
2,
A () A Ω Ω(A)=A , (OA)(l)
Laat punt N (l) N A HA(N)= N’.
S(OA)(N)=N’ S(OA)( Ω)= Ω.
S(OA)([ON])=[ON’].
Ω(N)=N1 Ω(N’)=N’1 S(OA)( Ω(N))= Ω(S(OA)( Ω(N))
Ω(l) =C(M1 ,[]
), M1 is het midden van [OA].
5/12/2018 De Stelling Van Johnson - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/de-stelling-van-johnson 4/8
Opdracht 2:
Gegeven een cirkel C(O,[OH]) , lijn (l ) raakt de cirkel in het punt H . bewijs dat het beeld van de lijn (l)
door inversie Ω(O, *OH+ 2
) een cirkel is waarvan de diameter [OH] is. lijn (m ) raakt de cirkel in het
punt S. bewijs dat het beeld van de lijn (m) door inversie Ω(O, *OH+ 2
) een cirkel is waarvan de
diameter [OS] is. lijn (n ) raakt de cirkel in het punt I. bewijs dat het beeld van de lijn (n) door inversie
Ω(O, *OH+ 2
) een cirkel is waarvan de diameter [OI] is.
5/12/2018 De Stelling Van Johnson - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/de-stelling-van-johnson 5/8
Uitwerking opdracht 2:
Ω( AB) =C 1(M1 ,[]
), M1 is het midden van [OS].
Ω(AC) =C 2(M2 ,[]
), M2 is het midden van [OH].
Ω(BC) =C 3(M3 ,[]
), M2 is het midden van [OI].
C 1 C 2 C 3 =O.
[OS]=[OH]=[OI]=R C 1(M1 ,
) ,C 2(M2 ,
[]
, en C 3(M3 ,
) zijn even groot.
M1 is het midden van C 1(M1 ,
) O C 1(M1 ,
) OM1 =
M2 is het midden van C 2(M2 ,
) O C 2(M1 ,
) OM2 =
M3 is het midden van C 3(M3 ,
) O C 3(M3 ,
) OM3 =
De cirkel C 4 door M1 ,M2 en M3 met middelpunt O is even groot als C 1 , C 2 en C 3.
5/12/2018 De Stelling Van Johnson - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/de-stelling-van-johnson 6/8
C 1 C 2 =O,J.
C 1 C 3 =O,K.
C 2 C 3 =O,L.
Toepassing:
http://www.ncgia.ucsb.edu/globalgrids-book/song-kimmerling-sahr/
De cirkel van Jhonson en de bolmeetkunde.
De cirkel van Jhomson geldt ook in de bolmeetkunde.
De stelling luidt dan als volgt:
Voor iedere kleine cirkel C op een bol bestaan er drie kleine cirkels C 1 , C 2 en C 3 die gelijke zijn aan
die cirkel die door het noorden van de bol gaan.De cirkel C gaat door het noorden van de cirkel
C 1,C 2 en C 3.
5/12/2018 De Stelling Van Johnson - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/de-stelling-van-johnson 7/8
De punten op de diameters van de C 1,C 2 en C 3. Tegenover het noorden van de bol liggen ook op
een kleine cirkel C 4 evenwijdig aan C .
Opdracht 3:
Bereken de straal van de Grote kleine cirkel als de straal van de kleine cirkel r is en de straal van Bol
R is.
Figuur 2.
[BB1] is de diameter van de cirkel C. [NC1] is de diameter van de cirkel C1. [CC1] is de diameter van de
cirkel C4.
5/12/2018 De Stelling Van Johnson - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/de-stelling-van-johnson 8/8
Literaturen:
http://www.pandd.demon.nl/omincirkel.htm
