De grafiek van een lineair verband is ALTIJD een rechte lijnalgemene vergelijking y = ax + ba = hellingsgetal of richtingscoeumlfficient

altijd 1 naar rechts a omhoogb = ldquobegingetalrdquo of snijpunt met de verticale as

11

Teken de grafiek van m y = frac34x - 2

1) Gebruik het snijpunt met de verticale as en de

rc 1

2

x0 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

y

snijpunt (0 -2)

rc = frac34

noemer altijd naar rechtsteller naar boven of beneden

Teken de rechte

lijn

4

3

Voor een rechte lijn heb je maar 2 punten

nodig

11

2) Maak een tabel met 2 coordinaten

1-2y

40x 1

2

x0 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

y

Teken de grafiek mbv de tabel

Voor een rechte lijn heb je maar 2 punten nodig

Teken de grafiek van m y = frac34x - 2

11

Formules van lijnen

Bij het opstellen van een lineaire formule kunnen de volgende situaties voorkomen1 de formule volgt uit de tekst2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en

de rc af te lezen3 een punt en de rc zijn gegeven4 twee punten zijn gegeven

11

opgave 6

Gegeven zijn de lijnen y = ax - 6a

-1

0 x

-2

1 2 3 4 5

-3

-4

-5

y

Snijpunt met de verticale as (0 -6)

-6

snijpunt = (3 0)

1 naar rechts2 omhoog

dusrc = a = 2

b y = 3x ndash 1Evenwijdige lijnen hebben dezelfde rcy = ax ndash 6dus a = 3

c y = ax ndash 6Snijpunt met de y-as is altijd (0 -6)dus er is geen a waarvoor de lijn door (0 0) gaat

opgave 11

a k en l evenwijdigdus rck = rcl

dus a = -frac12b m y = 1frac12x + b

door (2 -3)-3 = 1frac12 middot 2 + b-3 = 3 + b-6 = bdus b = -6

c k snijden met de x-as0 = -frac12x ndash 2frac12x = -2x = -4dus snijpunt met de x-as is (-4 0)l y = ax + 1door (-4 0)0 = a middot -4 + 14a = 1a = frac14

y = 0

d l y = ax + 1B(4 -4) op l-4 = a middot 4 + 1-4 = 4a + 1-4a = 5a = 5-4a = -1frac14

m y = 1frac12x + bB(4 -4) op m-4 = 1frac12 middot 4 + b-4 = 6 + b-10 = bb = -10

snijpunt met de x-as y = 0snijpunt met de y-as x = 0

opgave 13a

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

(20 35)

36 kmu = 1 mskmu ms

36

Eerste 10 seconden alleen snelheidvan de band 36 kmudus 36 36 = 1 ms In de eerste 10 seconden legtBram per seconde 1 meter afdus op t = 10 A = 10 m totale snelheid = 36 + 54 = 9 kmu9 36 = 25 msdaarna is elke seconde 25 mdus op t = 20A = 10 + 10 middot 25 = 35 m

opgave 13b

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

(20 35)

1e deel rc = 1 A = 1t + b door (0 0)0 = 1 middot 0 + bb = 0 dus A = t

2e deel rc = 25A = 25t + b door (10 10)10 = 25 middot 10 + b10 = 25 + b-15 = b b = -15dus A = 25t - 15

opgave 13

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

c De band is 80 m lang80 = 25t ndash 1595 = 25t25t = 95t = 9525t = 38 Na 38 sec is Bram aan het einde

d Als bram niet meeloopt dan80 m 80 secheeft hij 80 sec nodigBram wint 80 ndash 38 = 42 sec

e 80 m 38 secDe snelheid is dan8038 ms = 8038 middot 36 asymp 76 kmu

(20 35)

ms kmux 36

Algemeen

yB

yA

0

y

x

∆x

∆y

∆yomhoog

∆xrechts

dus rc = ∆y ∆x

xA xB

A

ByB ndash yA = ∆y

xB ndash xA = ∆x

12

voorbeeld

4

0

1

x

4

-3

∆yomhoog

∆xrechts

rc = ∆y ∆xrc = -34 = -frac34y = ax + by = -frac34x + b door A(1 4)4 = -frac34 middot 1 + b4 = -frac34 + b4frac34 = b b = 4frac34m y = -frac34x + 4frac34

1 5

A

B

yB ndash yA = 1 - 4

xB ndash xA = 5 - 1

-3

4

Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule de manier blijft hetzelfde

yGegeven zijn de punten A(1 4) en B(5 1)Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B

12

opgave 19

35

0

10

t

25

25

∆Romhoog

∆trechts

rc = ∆R ∆trc = 2525 = 1R = at + bR = 1t + b door (35 10)10 = 1 middot 35 + b10 = 35 + b-25 = b b = -25R = t - 25

35 60

∆R = 35 - 10

∆t = 60 - 35

25

25

RR is een lineaire functie van tdus de punten (35 10) en (60 35)

opgave 21

1312 u 182 km verwijderd1317 u 72 km verwijderdafstand is x

a x = at + ba = ∆x∆t1300 u t = 01312 u t = 12 x = 182 km1317 u t = 17 x = 72 kma = (72-182) (17-12)a = -115 = -22x = -22t + b door (17 72)72 = -22 middot 17 + b72 = -374 + b446 = b b = 446x = -22t + 446

b 1319 u t = 19 x = invullen in x = -22t + 446x = -22 middot 19 + 446x = 28 km

c x = 0 t = x = -22t + 4460 = -22t + 44622t = 446t = 44622t asymp 2027 min027 min = 027 times 60

asymp 16 secondendus om 1320 u en 16 seconden

1 min = 60 sec01 min = 6 sec

Algemene formule y = axsup2 + bx + ca ne 0de grafiek is een paraboola rsaquo 0 dalparaboola lsaquo 0 bergparaboolOm een parabool te tekenen maak je eerst een tabel met de GR

13

De verschillende opdrachten die bij het tekenen van grafieken in dit boek voorkomen zijn

PLOT DE GRAFIEKlaat de grafiek op het scherm van de GR tekenenkies het venster zo dat alle bijzonderheden van de grafiek op het scherm te zien zijn

SCHETS DE GRAFIEKteken in je schrift een schets van de grafiekhet gaat niet om precieze punten maar alleen om de vorm van de grafiek en de ligging tov de assengebruik eventueel de GR

TEKEN DE GRAFIEKteken in je schrift nauwkeurig de grafiek met getallen bij de assenmaak eerst een tabelgebruik daarbij de GR

13

Nulpunten

Je kunt de cooumlrdinaten van een top niet altijd snel uit een tabel halenDit kan wel makkelijk met de GROok de cooumlrdinaten van de snijpunten van een grafiek met een horizontale lijn

zijn snel met de GR te berekenenBijzonder geval f(x) = 0De x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as ( y = 0 )De oplossingen van de vergelijking f(x) = 0 heten de nulpunten van f

bij GR -welke formule(s)

-welke optie(s)

13

opgave 35

f(x) = -04xsup2 + 24x + 6a Schets mbv GRb optie maximum

top (3 96 )c optie zero

nulpunten -190 en 790d optie tabel

Voor welke x-waarden is de afstand 5 f(05) = f(55) = 71dus c gt 71De kleinste gehele waarde van c = 8

fy

x0

x 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6

f(x) 6 71 8 87 92 95 96 95 92 87 8 71 7

(3 96)

-190 790

opgave 36

h = -5tsup2 + 30ta Voer in y1 = -5xsup2 + 30x

optie zeronulpunten x = 0 en x = 6Dus na 6 seconden is de bal op de grond

b optie maximumtop (3 45)De grootste hoogte is dus 45 m

c Voer in y2 = 35

optie intersect x asymp 1586 en x asymp 4414

Dus na 16 en 44 seconde komt de bal op een hoogte van 35 m

h

t0

(3 45)

35

0764 5236 60

d Voer in y2 = 20

optie intersectx asymp 0764 en x asymp 5236Dus 5236 ndash 0764 asymp45 seconde boven de 20 m

20

1586 4414

opgave 42 y

x0

(-3 4)

-5 -1

y = axsup2 + bx + ctop (-3 4)y = a ( x + 3 )sup2 + 4door (-1 0)0 = a ( -1 + 3 )sup2 + 40 = a middot 2sup2 + 40 = 4a + 4-4a = 4a = 4-4a = -1y = - ( x + 3 )sup2 + 4y = - ( xsup2 + 6x + 9 ) + 4y = -xsup2 - 6x ndash 9 + 4y = -xsup2 - 6x - 5

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

Teken de grafiek van m y = frac34x - 2

1) Gebruik het snijpunt met de verticale as en de

rc 1

2

x0 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

y

snijpunt (0 -2)

rc = frac34

noemer altijd naar rechtsteller naar boven of beneden

Teken de rechte

lijn

4

3

Voor een rechte lijn heb je maar 2 punten

nodig

11

2) Maak een tabel met 2 coordinaten

1-2y

40x 1

2

x0 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

y

Teken de grafiek mbv de tabel

Voor een rechte lijn heb je maar 2 punten nodig

Teken de grafiek van m y = frac34x - 2

11

Formules van lijnen

Bij het opstellen van een lineaire formule kunnen de volgende situaties voorkomen1 de formule volgt uit de tekst2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en

de rc af te lezen3 een punt en de rc zijn gegeven4 twee punten zijn gegeven

11

opgave 6

Gegeven zijn de lijnen y = ax - 6a

-1

0 x

-2

1 2 3 4 5

-3

-4

-5

y

Snijpunt met de verticale as (0 -6)

-6

snijpunt = (3 0)

1 naar rechts2 omhoog

dusrc = a = 2

b y = 3x ndash 1Evenwijdige lijnen hebben dezelfde rcy = ax ndash 6dus a = 3

c y = ax ndash 6Snijpunt met de y-as is altijd (0 -6)dus er is geen a waarvoor de lijn door (0 0) gaat

opgave 11

a k en l evenwijdigdus rck = rcl

dus a = -frac12b m y = 1frac12x + b

door (2 -3)-3 = 1frac12 middot 2 + b-3 = 3 + b-6 = bdus b = -6

c k snijden met de x-as0 = -frac12x ndash 2frac12x = -2x = -4dus snijpunt met de x-as is (-4 0)l y = ax + 1door (-4 0)0 = a middot -4 + 14a = 1a = frac14

y = 0

d l y = ax + 1B(4 -4) op l-4 = a middot 4 + 1-4 = 4a + 1-4a = 5a = 5-4a = -1frac14

m y = 1frac12x + bB(4 -4) op m-4 = 1frac12 middot 4 + b-4 = 6 + b-10 = bb = -10

snijpunt met de x-as y = 0snijpunt met de y-as x = 0

opgave 13a

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

(20 35)

36 kmu = 1 mskmu ms

36

Eerste 10 seconden alleen snelheidvan de band 36 kmudus 36 36 = 1 ms In de eerste 10 seconden legtBram per seconde 1 meter afdus op t = 10 A = 10 m totale snelheid = 36 + 54 = 9 kmu9 36 = 25 msdaarna is elke seconde 25 mdus op t = 20A = 10 + 10 middot 25 = 35 m

opgave 13b

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

(20 35)

1e deel rc = 1 A = 1t + b door (0 0)0 = 1 middot 0 + bb = 0 dus A = t

2e deel rc = 25A = 25t + b door (10 10)10 = 25 middot 10 + b10 = 25 + b-15 = b b = -15dus A = 25t - 15

opgave 13

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

c De band is 80 m lang80 = 25t ndash 1595 = 25t25t = 95t = 9525t = 38 Na 38 sec is Bram aan het einde

d Als bram niet meeloopt dan80 m 80 secheeft hij 80 sec nodigBram wint 80 ndash 38 = 42 sec

e 80 m 38 secDe snelheid is dan8038 ms = 8038 middot 36 asymp 76 kmu

(20 35)

ms kmux 36

Algemeen

yB

yA

0

y

x

∆x

∆y

∆yomhoog

∆xrechts

dus rc = ∆y ∆x

xA xB

A

ByB ndash yA = ∆y

xB ndash xA = ∆x

12

voorbeeld

4

0

1

x

4

-3

∆yomhoog

∆xrechts

rc = ∆y ∆xrc = -34 = -frac34y = ax + by = -frac34x + b door A(1 4)4 = -frac34 middot 1 + b4 = -frac34 + b4frac34 = b b = 4frac34m y = -frac34x + 4frac34

1 5

A

B

yB ndash yA = 1 - 4

xB ndash xA = 5 - 1

-3

4

Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule de manier blijft hetzelfde

yGegeven zijn de punten A(1 4) en B(5 1)Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B

12

opgave 19

35

0

10

t

25

25

∆Romhoog

∆trechts

rc = ∆R ∆trc = 2525 = 1R = at + bR = 1t + b door (35 10)10 = 1 middot 35 + b10 = 35 + b-25 = b b = -25R = t - 25

35 60

∆R = 35 - 10

∆t = 60 - 35

25

25

RR is een lineaire functie van tdus de punten (35 10) en (60 35)

opgave 21

1312 u 182 km verwijderd1317 u 72 km verwijderdafstand is x

a x = at + ba = ∆x∆t1300 u t = 01312 u t = 12 x = 182 km1317 u t = 17 x = 72 kma = (72-182) (17-12)a = -115 = -22x = -22t + b door (17 72)72 = -22 middot 17 + b72 = -374 + b446 = b b = 446x = -22t + 446

b 1319 u t = 19 x = invullen in x = -22t + 446x = -22 middot 19 + 446x = 28 km

c x = 0 t = x = -22t + 4460 = -22t + 44622t = 446t = 44622t asymp 2027 min027 min = 027 times 60

asymp 16 secondendus om 1320 u en 16 seconden

1 min = 60 sec01 min = 6 sec

Algemene formule y = axsup2 + bx + ca ne 0de grafiek is een paraboola rsaquo 0 dalparaboola lsaquo 0 bergparaboolOm een parabool te tekenen maak je eerst een tabel met de GR

13

De verschillende opdrachten die bij het tekenen van grafieken in dit boek voorkomen zijn

PLOT DE GRAFIEKlaat de grafiek op het scherm van de GR tekenenkies het venster zo dat alle bijzonderheden van de grafiek op het scherm te zien zijn

SCHETS DE GRAFIEKteken in je schrift een schets van de grafiekhet gaat niet om precieze punten maar alleen om de vorm van de grafiek en de ligging tov de assengebruik eventueel de GR

TEKEN DE GRAFIEKteken in je schrift nauwkeurig de grafiek met getallen bij de assenmaak eerst een tabelgebruik daarbij de GR

13

Nulpunten

Je kunt de cooumlrdinaten van een top niet altijd snel uit een tabel halenDit kan wel makkelijk met de GROok de cooumlrdinaten van de snijpunten van een grafiek met een horizontale lijn

zijn snel met de GR te berekenenBijzonder geval f(x) = 0De x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as ( y = 0 )De oplossingen van de vergelijking f(x) = 0 heten de nulpunten van f

bij GR -welke formule(s)

-welke optie(s)

13

opgave 35

f(x) = -04xsup2 + 24x + 6a Schets mbv GRb optie maximum

top (3 96 )c optie zero

nulpunten -190 en 790d optie tabel

Voor welke x-waarden is de afstand 5 f(05) = f(55) = 71dus c gt 71De kleinste gehele waarde van c = 8

fy

x0

x 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6

f(x) 6 71 8 87 92 95 96 95 92 87 8 71 7

(3 96)

-190 790

opgave 36

h = -5tsup2 + 30ta Voer in y1 = -5xsup2 + 30x

optie zeronulpunten x = 0 en x = 6Dus na 6 seconden is de bal op de grond

b optie maximumtop (3 45)De grootste hoogte is dus 45 m

c Voer in y2 = 35

optie intersect x asymp 1586 en x asymp 4414

Dus na 16 en 44 seconde komt de bal op een hoogte van 35 m

h

t0

(3 45)

35

0764 5236 60

d Voer in y2 = 20

optie intersectx asymp 0764 en x asymp 5236Dus 5236 ndash 0764 asymp45 seconde boven de 20 m

20

1586 4414

opgave 42 y

x0

(-3 4)

-5 -1

y = axsup2 + bx + ctop (-3 4)y = a ( x + 3 )sup2 + 4door (-1 0)0 = a ( -1 + 3 )sup2 + 40 = a middot 2sup2 + 40 = 4a + 4-4a = 4a = 4-4a = -1y = - ( x + 3 )sup2 + 4y = - ( xsup2 + 6x + 9 ) + 4y = -xsup2 - 6x ndash 9 + 4y = -xsup2 - 6x - 5

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

2) Maak een tabel met 2 coordinaten

1-2y

40x 1

2

x0 1 2 3 4 5

-1

-2

-3

y

Teken de grafiek mbv de tabel

Voor een rechte lijn heb je maar 2 punten nodig

Teken de grafiek van m y = frac34x - 2

11

Formules van lijnen

Bij het opstellen van een lineaire formule kunnen de volgende situaties voorkomen1 de formule volgt uit de tekst2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en

de rc af te lezen3 een punt en de rc zijn gegeven4 twee punten zijn gegeven

11

opgave 6

Gegeven zijn de lijnen y = ax - 6a

-1

0 x

-2

1 2 3 4 5

-3

-4

-5

y

Snijpunt met de verticale as (0 -6)

-6

snijpunt = (3 0)

1 naar rechts2 omhoog

dusrc = a = 2

b y = 3x ndash 1Evenwijdige lijnen hebben dezelfde rcy = ax ndash 6dus a = 3

c y = ax ndash 6Snijpunt met de y-as is altijd (0 -6)dus er is geen a waarvoor de lijn door (0 0) gaat

opgave 11

a k en l evenwijdigdus rck = rcl

dus a = -frac12b m y = 1frac12x + b

door (2 -3)-3 = 1frac12 middot 2 + b-3 = 3 + b-6 = bdus b = -6

c k snijden met de x-as0 = -frac12x ndash 2frac12x = -2x = -4dus snijpunt met de x-as is (-4 0)l y = ax + 1door (-4 0)0 = a middot -4 + 14a = 1a = frac14

y = 0

d l y = ax + 1B(4 -4) op l-4 = a middot 4 + 1-4 = 4a + 1-4a = 5a = 5-4a = -1frac14

m y = 1frac12x + bB(4 -4) op m-4 = 1frac12 middot 4 + b-4 = 6 + b-10 = bb = -10

snijpunt met de x-as y = 0snijpunt met de y-as x = 0

opgave 13a

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

(20 35)

36 kmu = 1 mskmu ms

36

Eerste 10 seconden alleen snelheidvan de band 36 kmudus 36 36 = 1 ms In de eerste 10 seconden legtBram per seconde 1 meter afdus op t = 10 A = 10 m totale snelheid = 36 + 54 = 9 kmu9 36 = 25 msdaarna is elke seconde 25 mdus op t = 20A = 10 + 10 middot 25 = 35 m

opgave 13b

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

(20 35)

1e deel rc = 1 A = 1t + b door (0 0)0 = 1 middot 0 + bb = 0 dus A = t

2e deel rc = 25A = 25t + b door (10 10)10 = 25 middot 10 + b10 = 25 + b-15 = b b = -15dus A = 25t - 15

opgave 13

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

c De band is 80 m lang80 = 25t ndash 1595 = 25t25t = 95t = 9525t = 38 Na 38 sec is Bram aan het einde

d Als bram niet meeloopt dan80 m 80 secheeft hij 80 sec nodigBram wint 80 ndash 38 = 42 sec

e 80 m 38 secDe snelheid is dan8038 ms = 8038 middot 36 asymp 76 kmu

(20 35)

ms kmux 36

Algemeen

yB

yA

0

y

x

∆x

∆y

∆yomhoog

∆xrechts

dus rc = ∆y ∆x

xA xB

A

ByB ndash yA = ∆y

xB ndash xA = ∆x

12

voorbeeld

4

0

1

x

4

-3

∆yomhoog

∆xrechts

rc = ∆y ∆xrc = -34 = -frac34y = ax + by = -frac34x + b door A(1 4)4 = -frac34 middot 1 + b4 = -frac34 + b4frac34 = b b = 4frac34m y = -frac34x + 4frac34

1 5

A

B

yB ndash yA = 1 - 4

xB ndash xA = 5 - 1

-3

4

Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule de manier blijft hetzelfde

yGegeven zijn de punten A(1 4) en B(5 1)Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B

12

opgave 19

35

0

10

t

25

25

∆Romhoog

∆trechts

rc = ∆R ∆trc = 2525 = 1R = at + bR = 1t + b door (35 10)10 = 1 middot 35 + b10 = 35 + b-25 = b b = -25R = t - 25

35 60

∆R = 35 - 10

∆t = 60 - 35

25

25

RR is een lineaire functie van tdus de punten (35 10) en (60 35)

opgave 21

1312 u 182 km verwijderd1317 u 72 km verwijderdafstand is x

a x = at + ba = ∆x∆t1300 u t = 01312 u t = 12 x = 182 km1317 u t = 17 x = 72 kma = (72-182) (17-12)a = -115 = -22x = -22t + b door (17 72)72 = -22 middot 17 + b72 = -374 + b446 = b b = 446x = -22t + 446

b 1319 u t = 19 x = invullen in x = -22t + 446x = -22 middot 19 + 446x = 28 km

c x = 0 t = x = -22t + 4460 = -22t + 44622t = 446t = 44622t asymp 2027 min027 min = 027 times 60

asymp 16 secondendus om 1320 u en 16 seconden

1 min = 60 sec01 min = 6 sec

Algemene formule y = axsup2 + bx + ca ne 0de grafiek is een paraboola rsaquo 0 dalparaboola lsaquo 0 bergparaboolOm een parabool te tekenen maak je eerst een tabel met de GR

13

De verschillende opdrachten die bij het tekenen van grafieken in dit boek voorkomen zijn

PLOT DE GRAFIEKlaat de grafiek op het scherm van de GR tekenenkies het venster zo dat alle bijzonderheden van de grafiek op het scherm te zien zijn

SCHETS DE GRAFIEKteken in je schrift een schets van de grafiekhet gaat niet om precieze punten maar alleen om de vorm van de grafiek en de ligging tov de assengebruik eventueel de GR

TEKEN DE GRAFIEKteken in je schrift nauwkeurig de grafiek met getallen bij de assenmaak eerst een tabelgebruik daarbij de GR

13

Nulpunten

Je kunt de cooumlrdinaten van een top niet altijd snel uit een tabel halenDit kan wel makkelijk met de GROok de cooumlrdinaten van de snijpunten van een grafiek met een horizontale lijn

zijn snel met de GR te berekenenBijzonder geval f(x) = 0De x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as ( y = 0 )De oplossingen van de vergelijking f(x) = 0 heten de nulpunten van f

bij GR -welke formule(s)

-welke optie(s)

13

opgave 35

f(x) = -04xsup2 + 24x + 6a Schets mbv GRb optie maximum

top (3 96 )c optie zero

nulpunten -190 en 790d optie tabel

Voor welke x-waarden is de afstand 5 f(05) = f(55) = 71dus c gt 71De kleinste gehele waarde van c = 8

fy

x0

x 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6

f(x) 6 71 8 87 92 95 96 95 92 87 8 71 7

(3 96)

-190 790

opgave 36

h = -5tsup2 + 30ta Voer in y1 = -5xsup2 + 30x

optie zeronulpunten x = 0 en x = 6Dus na 6 seconden is de bal op de grond

b optie maximumtop (3 45)De grootste hoogte is dus 45 m

c Voer in y2 = 35

optie intersect x asymp 1586 en x asymp 4414

Dus na 16 en 44 seconde komt de bal op een hoogte van 35 m

h

t0

(3 45)

35

0764 5236 60

d Voer in y2 = 20

optie intersectx asymp 0764 en x asymp 5236Dus 5236 ndash 0764 asymp45 seconde boven de 20 m

20

1586 4414

opgave 42 y

x0

(-3 4)

-5 -1

y = axsup2 + bx + ctop (-3 4)y = a ( x + 3 )sup2 + 4door (-1 0)0 = a ( -1 + 3 )sup2 + 40 = a middot 2sup2 + 40 = 4a + 4-4a = 4a = 4-4a = -1y = - ( x + 3 )sup2 + 4y = - ( xsup2 + 6x + 9 ) + 4y = -xsup2 - 6x ndash 9 + 4y = -xsup2 - 6x - 5

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

Formules van lijnen

Bij het opstellen van een lineaire formule kunnen de volgende situaties voorkomen1 de formule volgt uit de tekst2 uit de grafiek zijn het snijpunt met de verticale as en

de rc af te lezen3 een punt en de rc zijn gegeven4 twee punten zijn gegeven

11

opgave 6

Gegeven zijn de lijnen y = ax - 6a

-1

0 x

-2

1 2 3 4 5

-3

-4

-5

y

Snijpunt met de verticale as (0 -6)

-6

snijpunt = (3 0)

1 naar rechts2 omhoog

dusrc = a = 2

b y = 3x ndash 1Evenwijdige lijnen hebben dezelfde rcy = ax ndash 6dus a = 3

c y = ax ndash 6Snijpunt met de y-as is altijd (0 -6)dus er is geen a waarvoor de lijn door (0 0) gaat

opgave 11

a k en l evenwijdigdus rck = rcl

dus a = -frac12b m y = 1frac12x + b

door (2 -3)-3 = 1frac12 middot 2 + b-3 = 3 + b-6 = bdus b = -6

c k snijden met de x-as0 = -frac12x ndash 2frac12x = -2x = -4dus snijpunt met de x-as is (-4 0)l y = ax + 1door (-4 0)0 = a middot -4 + 14a = 1a = frac14

y = 0

d l y = ax + 1B(4 -4) op l-4 = a middot 4 + 1-4 = 4a + 1-4a = 5a = 5-4a = -1frac14

m y = 1frac12x + bB(4 -4) op m-4 = 1frac12 middot 4 + b-4 = 6 + b-10 = bb = -10

snijpunt met de x-as y = 0snijpunt met de y-as x = 0

opgave 13a

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

(20 35)

36 kmu = 1 mskmu ms

36

Eerste 10 seconden alleen snelheidvan de band 36 kmudus 36 36 = 1 ms In de eerste 10 seconden legtBram per seconde 1 meter afdus op t = 10 A = 10 m totale snelheid = 36 + 54 = 9 kmu9 36 = 25 msdaarna is elke seconde 25 mdus op t = 20A = 10 + 10 middot 25 = 35 m

opgave 13b

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

(20 35)

1e deel rc = 1 A = 1t + b door (0 0)0 = 1 middot 0 + bb = 0 dus A = t

2e deel rc = 25A = 25t + b door (10 10)10 = 25 middot 10 + b10 = 25 + b-15 = b b = -15dus A = 25t - 15

opgave 13

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

c De band is 80 m lang80 = 25t ndash 1595 = 25t25t = 95t = 9525t = 38 Na 38 sec is Bram aan het einde

d Als bram niet meeloopt dan80 m 80 secheeft hij 80 sec nodigBram wint 80 ndash 38 = 42 sec

e 80 m 38 secDe snelheid is dan8038 ms = 8038 middot 36 asymp 76 kmu

(20 35)

ms kmux 36

Algemeen

yB

yA

0

y

x

∆x

∆y

∆yomhoog

∆xrechts

dus rc = ∆y ∆x

xA xB

A

ByB ndash yA = ∆y

xB ndash xA = ∆x

12

voorbeeld

4

0

1

x

4

-3

∆yomhoog

∆xrechts

rc = ∆y ∆xrc = -34 = -frac34y = ax + by = -frac34x + b door A(1 4)4 = -frac34 middot 1 + b4 = -frac34 + b4frac34 = b b = 4frac34m y = -frac34x + 4frac34

1 5

A

B

yB ndash yA = 1 - 4

xB ndash xA = 5 - 1

-3

4

Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule de manier blijft hetzelfde

yGegeven zijn de punten A(1 4) en B(5 1)Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B

12

opgave 19

35

0

10

t

25

25

∆Romhoog

∆trechts

rc = ∆R ∆trc = 2525 = 1R = at + bR = 1t + b door (35 10)10 = 1 middot 35 + b10 = 35 + b-25 = b b = -25R = t - 25

35 60

∆R = 35 - 10

∆t = 60 - 35

25

25

RR is een lineaire functie van tdus de punten (35 10) en (60 35)

opgave 21

1312 u 182 km verwijderd1317 u 72 km verwijderdafstand is x

a x = at + ba = ∆x∆t1300 u t = 01312 u t = 12 x = 182 km1317 u t = 17 x = 72 kma = (72-182) (17-12)a = -115 = -22x = -22t + b door (17 72)72 = -22 middot 17 + b72 = -374 + b446 = b b = 446x = -22t + 446

b 1319 u t = 19 x = invullen in x = -22t + 446x = -22 middot 19 + 446x = 28 km

c x = 0 t = x = -22t + 4460 = -22t + 44622t = 446t = 44622t asymp 2027 min027 min = 027 times 60

asymp 16 secondendus om 1320 u en 16 seconden

1 min = 60 sec01 min = 6 sec

Algemene formule y = axsup2 + bx + ca ne 0de grafiek is een paraboola rsaquo 0 dalparaboola lsaquo 0 bergparaboolOm een parabool te tekenen maak je eerst een tabel met de GR

13

De verschillende opdrachten die bij het tekenen van grafieken in dit boek voorkomen zijn

PLOT DE GRAFIEKlaat de grafiek op het scherm van de GR tekenenkies het venster zo dat alle bijzonderheden van de grafiek op het scherm te zien zijn

SCHETS DE GRAFIEKteken in je schrift een schets van de grafiekhet gaat niet om precieze punten maar alleen om de vorm van de grafiek en de ligging tov de assengebruik eventueel de GR

TEKEN DE GRAFIEKteken in je schrift nauwkeurig de grafiek met getallen bij de assenmaak eerst een tabelgebruik daarbij de GR

13

Nulpunten

Je kunt de cooumlrdinaten van een top niet altijd snel uit een tabel halenDit kan wel makkelijk met de GROok de cooumlrdinaten van de snijpunten van een grafiek met een horizontale lijn

zijn snel met de GR te berekenenBijzonder geval f(x) = 0De x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as ( y = 0 )De oplossingen van de vergelijking f(x) = 0 heten de nulpunten van f

bij GR -welke formule(s)

-welke optie(s)

13

opgave 35

f(x) = -04xsup2 + 24x + 6a Schets mbv GRb optie maximum

top (3 96 )c optie zero

nulpunten -190 en 790d optie tabel

Voor welke x-waarden is de afstand 5 f(05) = f(55) = 71dus c gt 71De kleinste gehele waarde van c = 8

fy

x0

x 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6

f(x) 6 71 8 87 92 95 96 95 92 87 8 71 7

(3 96)

-190 790

opgave 36

h = -5tsup2 + 30ta Voer in y1 = -5xsup2 + 30x

optie zeronulpunten x = 0 en x = 6Dus na 6 seconden is de bal op de grond

b optie maximumtop (3 45)De grootste hoogte is dus 45 m

c Voer in y2 = 35

optie intersect x asymp 1586 en x asymp 4414

Dus na 16 en 44 seconde komt de bal op een hoogte van 35 m

h

t0

(3 45)

35

0764 5236 60

d Voer in y2 = 20

optie intersectx asymp 0764 en x asymp 5236Dus 5236 ndash 0764 asymp45 seconde boven de 20 m

20

1586 4414

opgave 42 y

x0

(-3 4)

-5 -1

y = axsup2 + bx + ctop (-3 4)y = a ( x + 3 )sup2 + 4door (-1 0)0 = a ( -1 + 3 )sup2 + 40 = a middot 2sup2 + 40 = 4a + 4-4a = 4a = 4-4a = -1y = - ( x + 3 )sup2 + 4y = - ( xsup2 + 6x + 9 ) + 4y = -xsup2 - 6x ndash 9 + 4y = -xsup2 - 6x - 5

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

opgave 6

Gegeven zijn de lijnen y = ax - 6a

-1

0 x

-2

1 2 3 4 5

-3

-4

-5

y

Snijpunt met de verticale as (0 -6)

-6

snijpunt = (3 0)

1 naar rechts2 omhoog

dusrc = a = 2

b y = 3x ndash 1Evenwijdige lijnen hebben dezelfde rcy = ax ndash 6dus a = 3

c y = ax ndash 6Snijpunt met de y-as is altijd (0 -6)dus er is geen a waarvoor de lijn door (0 0) gaat

opgave 11

a k en l evenwijdigdus rck = rcl

dus a = -frac12b m y = 1frac12x + b

door (2 -3)-3 = 1frac12 middot 2 + b-3 = 3 + b-6 = bdus b = -6

c k snijden met de x-as0 = -frac12x ndash 2frac12x = -2x = -4dus snijpunt met de x-as is (-4 0)l y = ax + 1door (-4 0)0 = a middot -4 + 14a = 1a = frac14

y = 0

d l y = ax + 1B(4 -4) op l-4 = a middot 4 + 1-4 = 4a + 1-4a = 5a = 5-4a = -1frac14

m y = 1frac12x + bB(4 -4) op m-4 = 1frac12 middot 4 + b-4 = 6 + b-10 = bb = -10

snijpunt met de x-as y = 0snijpunt met de y-as x = 0

opgave 13a

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

(20 35)

36 kmu = 1 mskmu ms

36

Eerste 10 seconden alleen snelheidvan de band 36 kmudus 36 36 = 1 ms In de eerste 10 seconden legtBram per seconde 1 meter afdus op t = 10 A = 10 m totale snelheid = 36 + 54 = 9 kmu9 36 = 25 msdaarna is elke seconde 25 mdus op t = 20A = 10 + 10 middot 25 = 35 m

opgave 13b

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

(20 35)

1e deel rc = 1 A = 1t + b door (0 0)0 = 1 middot 0 + bb = 0 dus A = t

2e deel rc = 25A = 25t + b door (10 10)10 = 25 middot 10 + b10 = 25 + b-15 = b b = -15dus A = 25t - 15

opgave 13

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

c De band is 80 m lang80 = 25t ndash 1595 = 25t25t = 95t = 9525t = 38 Na 38 sec is Bram aan het einde

d Als bram niet meeloopt dan80 m 80 secheeft hij 80 sec nodigBram wint 80 ndash 38 = 42 sec

e 80 m 38 secDe snelheid is dan8038 ms = 8038 middot 36 asymp 76 kmu

(20 35)

ms kmux 36

Algemeen

yB

yA

0

y

x

∆x

∆y

∆yomhoog

∆xrechts

dus rc = ∆y ∆x

xA xB

A

ByB ndash yA = ∆y

xB ndash xA = ∆x

12

voorbeeld

4

0

1

x

4

-3

∆yomhoog

∆xrechts

rc = ∆y ∆xrc = -34 = -frac34y = ax + by = -frac34x + b door A(1 4)4 = -frac34 middot 1 + b4 = -frac34 + b4frac34 = b b = 4frac34m y = -frac34x + 4frac34

1 5

A

B

yB ndash yA = 1 - 4

xB ndash xA = 5 - 1

-3

4

Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule de manier blijft hetzelfde

yGegeven zijn de punten A(1 4) en B(5 1)Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B

12

opgave 19

35

0

10

t

25

25

∆Romhoog

∆trechts

rc = ∆R ∆trc = 2525 = 1R = at + bR = 1t + b door (35 10)10 = 1 middot 35 + b10 = 35 + b-25 = b b = -25R = t - 25

35 60

∆R = 35 - 10

∆t = 60 - 35

25

25

RR is een lineaire functie van tdus de punten (35 10) en (60 35)

opgave 21

1312 u 182 km verwijderd1317 u 72 km verwijderdafstand is x

a x = at + ba = ∆x∆t1300 u t = 01312 u t = 12 x = 182 km1317 u t = 17 x = 72 kma = (72-182) (17-12)a = -115 = -22x = -22t + b door (17 72)72 = -22 middot 17 + b72 = -374 + b446 = b b = 446x = -22t + 446

b 1319 u t = 19 x = invullen in x = -22t + 446x = -22 middot 19 + 446x = 28 km

c x = 0 t = x = -22t + 4460 = -22t + 44622t = 446t = 44622t asymp 2027 min027 min = 027 times 60

asymp 16 secondendus om 1320 u en 16 seconden

1 min = 60 sec01 min = 6 sec

Algemene formule y = axsup2 + bx + ca ne 0de grafiek is een paraboola rsaquo 0 dalparaboola lsaquo 0 bergparaboolOm een parabool te tekenen maak je eerst een tabel met de GR

13

De verschillende opdrachten die bij het tekenen van grafieken in dit boek voorkomen zijn

PLOT DE GRAFIEKlaat de grafiek op het scherm van de GR tekenenkies het venster zo dat alle bijzonderheden van de grafiek op het scherm te zien zijn

SCHETS DE GRAFIEKteken in je schrift een schets van de grafiekhet gaat niet om precieze punten maar alleen om de vorm van de grafiek en de ligging tov de assengebruik eventueel de GR

TEKEN DE GRAFIEKteken in je schrift nauwkeurig de grafiek met getallen bij de assenmaak eerst een tabelgebruik daarbij de GR

13

Nulpunten

Je kunt de cooumlrdinaten van een top niet altijd snel uit een tabel halenDit kan wel makkelijk met de GROok de cooumlrdinaten van de snijpunten van een grafiek met een horizontale lijn

zijn snel met de GR te berekenenBijzonder geval f(x) = 0De x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as ( y = 0 )De oplossingen van de vergelijking f(x) = 0 heten de nulpunten van f

bij GR -welke formule(s)

-welke optie(s)

13

opgave 35

f(x) = -04xsup2 + 24x + 6a Schets mbv GRb optie maximum

top (3 96 )c optie zero

nulpunten -190 en 790d optie tabel

Voor welke x-waarden is de afstand 5 f(05) = f(55) = 71dus c gt 71De kleinste gehele waarde van c = 8

fy

x0

x 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6

f(x) 6 71 8 87 92 95 96 95 92 87 8 71 7

(3 96)

-190 790

opgave 36

h = -5tsup2 + 30ta Voer in y1 = -5xsup2 + 30x

optie zeronulpunten x = 0 en x = 6Dus na 6 seconden is de bal op de grond

b optie maximumtop (3 45)De grootste hoogte is dus 45 m

c Voer in y2 = 35

optie intersect x asymp 1586 en x asymp 4414

Dus na 16 en 44 seconde komt de bal op een hoogte van 35 m

h

t0

(3 45)

35

0764 5236 60

d Voer in y2 = 20

optie intersectx asymp 0764 en x asymp 5236Dus 5236 ndash 0764 asymp45 seconde boven de 20 m

20

1586 4414

opgave 42 y

x0

(-3 4)

-5 -1

y = axsup2 + bx + ctop (-3 4)y = a ( x + 3 )sup2 + 4door (-1 0)0 = a ( -1 + 3 )sup2 + 40 = a middot 2sup2 + 40 = 4a + 4-4a = 4a = 4-4a = -1y = - ( x + 3 )sup2 + 4y = - ( xsup2 + 6x + 9 ) + 4y = -xsup2 - 6x ndash 9 + 4y = -xsup2 - 6x - 5

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

opgave 11

a k en l evenwijdigdus rck = rcl

dus a = -frac12b m y = 1frac12x + b

door (2 -3)-3 = 1frac12 middot 2 + b-3 = 3 + b-6 = bdus b = -6

c k snijden met de x-as0 = -frac12x ndash 2frac12x = -2x = -4dus snijpunt met de x-as is (-4 0)l y = ax + 1door (-4 0)0 = a middot -4 + 14a = 1a = frac14

y = 0

d l y = ax + 1B(4 -4) op l-4 = a middot 4 + 1-4 = 4a + 1-4a = 5a = 5-4a = -1frac14

m y = 1frac12x + bB(4 -4) op m-4 = 1frac12 middot 4 + b-4 = 6 + b-10 = bb = -10

snijpunt met de x-as y = 0snijpunt met de y-as x = 0

opgave 13a

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

(20 35)

36 kmu = 1 mskmu ms

36

Eerste 10 seconden alleen snelheidvan de band 36 kmudus 36 36 = 1 ms In de eerste 10 seconden legtBram per seconde 1 meter afdus op t = 10 A = 10 m totale snelheid = 36 + 54 = 9 kmu9 36 = 25 msdaarna is elke seconde 25 mdus op t = 20A = 10 + 10 middot 25 = 35 m

opgave 13b

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

(20 35)

1e deel rc = 1 A = 1t + b door (0 0)0 = 1 middot 0 + bb = 0 dus A = t

2e deel rc = 25A = 25t + b door (10 10)10 = 25 middot 10 + b10 = 25 + b-15 = b b = -15dus A = 25t - 15

opgave 13

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

c De band is 80 m lang80 = 25t ndash 1595 = 25t25t = 95t = 9525t = 38 Na 38 sec is Bram aan het einde

d Als bram niet meeloopt dan80 m 80 secheeft hij 80 sec nodigBram wint 80 ndash 38 = 42 sec

e 80 m 38 secDe snelheid is dan8038 ms = 8038 middot 36 asymp 76 kmu

(20 35)

ms kmux 36

Algemeen

yB

yA

0

y

x

∆x

∆y

∆yomhoog

∆xrechts

dus rc = ∆y ∆x

xA xB

A

ByB ndash yA = ∆y

xB ndash xA = ∆x

12

voorbeeld

4

0

1

x

4

-3

∆yomhoog

∆xrechts

rc = ∆y ∆xrc = -34 = -frac34y = ax + by = -frac34x + b door A(1 4)4 = -frac34 middot 1 + b4 = -frac34 + b4frac34 = b b = 4frac34m y = -frac34x + 4frac34

1 5

A

B

yB ndash yA = 1 - 4

xB ndash xA = 5 - 1

-3

4

Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule de manier blijft hetzelfde

yGegeven zijn de punten A(1 4) en B(5 1)Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B

12

opgave 19

35

0

10

t

25

25

∆Romhoog

∆trechts

rc = ∆R ∆trc = 2525 = 1R = at + bR = 1t + b door (35 10)10 = 1 middot 35 + b10 = 35 + b-25 = b b = -25R = t - 25

35 60

∆R = 35 - 10

∆t = 60 - 35

25

25

RR is een lineaire functie van tdus de punten (35 10) en (60 35)

opgave 21

1312 u 182 km verwijderd1317 u 72 km verwijderdafstand is x

a x = at + ba = ∆x∆t1300 u t = 01312 u t = 12 x = 182 km1317 u t = 17 x = 72 kma = (72-182) (17-12)a = -115 = -22x = -22t + b door (17 72)72 = -22 middot 17 + b72 = -374 + b446 = b b = 446x = -22t + 446

b 1319 u t = 19 x = invullen in x = -22t + 446x = -22 middot 19 + 446x = 28 km

c x = 0 t = x = -22t + 4460 = -22t + 44622t = 446t = 44622t asymp 2027 min027 min = 027 times 60

asymp 16 secondendus om 1320 u en 16 seconden

1 min = 60 sec01 min = 6 sec

Algemene formule y = axsup2 + bx + ca ne 0de grafiek is een paraboola rsaquo 0 dalparaboola lsaquo 0 bergparaboolOm een parabool te tekenen maak je eerst een tabel met de GR

13

De verschillende opdrachten die bij het tekenen van grafieken in dit boek voorkomen zijn

PLOT DE GRAFIEKlaat de grafiek op het scherm van de GR tekenenkies het venster zo dat alle bijzonderheden van de grafiek op het scherm te zien zijn

SCHETS DE GRAFIEKteken in je schrift een schets van de grafiekhet gaat niet om precieze punten maar alleen om de vorm van de grafiek en de ligging tov de assengebruik eventueel de GR

TEKEN DE GRAFIEKteken in je schrift nauwkeurig de grafiek met getallen bij de assenmaak eerst een tabelgebruik daarbij de GR

13

Nulpunten

Je kunt de cooumlrdinaten van een top niet altijd snel uit een tabel halenDit kan wel makkelijk met de GROok de cooumlrdinaten van de snijpunten van een grafiek met een horizontale lijn

zijn snel met de GR te berekenenBijzonder geval f(x) = 0De x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as ( y = 0 )De oplossingen van de vergelijking f(x) = 0 heten de nulpunten van f

bij GR -welke formule(s)

-welke optie(s)

13

opgave 35

f(x) = -04xsup2 + 24x + 6a Schets mbv GRb optie maximum

top (3 96 )c optie zero

nulpunten -190 en 790d optie tabel

Voor welke x-waarden is de afstand 5 f(05) = f(55) = 71dus c gt 71De kleinste gehele waarde van c = 8

fy

x0

x 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6

f(x) 6 71 8 87 92 95 96 95 92 87 8 71 7

(3 96)

-190 790

opgave 36

h = -5tsup2 + 30ta Voer in y1 = -5xsup2 + 30x

optie zeronulpunten x = 0 en x = 6Dus na 6 seconden is de bal op de grond

b optie maximumtop (3 45)De grootste hoogte is dus 45 m

c Voer in y2 = 35

optie intersect x asymp 1586 en x asymp 4414

Dus na 16 en 44 seconde komt de bal op een hoogte van 35 m

h

t0

(3 45)

35

0764 5236 60

d Voer in y2 = 20

optie intersectx asymp 0764 en x asymp 5236Dus 5236 ndash 0764 asymp45 seconde boven de 20 m

20

1586 4414

opgave 42 y

x0

(-3 4)

-5 -1

y = axsup2 + bx + ctop (-3 4)y = a ( x + 3 )sup2 + 4door (-1 0)0 = a ( -1 + 3 )sup2 + 40 = a middot 2sup2 + 40 = 4a + 4-4a = 4a = 4-4a = -1y = - ( x + 3 )sup2 + 4y = - ( xsup2 + 6x + 9 ) + 4y = -xsup2 - 6x ndash 9 + 4y = -xsup2 - 6x - 5

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

opgave 13a

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

(20 35)

36 kmu = 1 mskmu ms

36

Eerste 10 seconden alleen snelheidvan de band 36 kmudus 36 36 = 1 ms In de eerste 10 seconden legtBram per seconde 1 meter afdus op t = 10 A = 10 m totale snelheid = 36 + 54 = 9 kmu9 36 = 25 msdaarna is elke seconde 25 mdus op t = 20A = 10 + 10 middot 25 = 35 m

opgave 13b

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

(20 35)

1e deel rc = 1 A = 1t + b door (0 0)0 = 1 middot 0 + bb = 0 dus A = t

2e deel rc = 25A = 25t + b door (10 10)10 = 25 middot 10 + b10 = 25 + b-15 = b b = -15dus A = 25t - 15

opgave 13

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

c De band is 80 m lang80 = 25t ndash 1595 = 25t25t = 95t = 9525t = 38 Na 38 sec is Bram aan het einde

d Als bram niet meeloopt dan80 m 80 secheeft hij 80 sec nodigBram wint 80 ndash 38 = 42 sec

e 80 m 38 secDe snelheid is dan8038 ms = 8038 middot 36 asymp 76 kmu

(20 35)

ms kmux 36

Algemeen

yB

yA

0

y

x

∆x

∆y

∆yomhoog

∆xrechts

dus rc = ∆y ∆x

xA xB

A

ByB ndash yA = ∆y

xB ndash xA = ∆x

12

voorbeeld

4

0

1

x

4

-3

∆yomhoog

∆xrechts

rc = ∆y ∆xrc = -34 = -frac34y = ax + by = -frac34x + b door A(1 4)4 = -frac34 middot 1 + b4 = -frac34 + b4frac34 = b b = 4frac34m y = -frac34x + 4frac34

1 5

A

B

yB ndash yA = 1 - 4

xB ndash xA = 5 - 1

-3

4

Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule de manier blijft hetzelfde

yGegeven zijn de punten A(1 4) en B(5 1)Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B

12

opgave 19

35

0

10

t

25

25

∆Romhoog

∆trechts

rc = ∆R ∆trc = 2525 = 1R = at + bR = 1t + b door (35 10)10 = 1 middot 35 + b10 = 35 + b-25 = b b = -25R = t - 25

35 60

∆R = 35 - 10

∆t = 60 - 35

25

25

RR is een lineaire functie van tdus de punten (35 10) en (60 35)

opgave 21

1312 u 182 km verwijderd1317 u 72 km verwijderdafstand is x

a x = at + ba = ∆x∆t1300 u t = 01312 u t = 12 x = 182 km1317 u t = 17 x = 72 kma = (72-182) (17-12)a = -115 = -22x = -22t + b door (17 72)72 = -22 middot 17 + b72 = -374 + b446 = b b = 446x = -22t + 446

b 1319 u t = 19 x = invullen in x = -22t + 446x = -22 middot 19 + 446x = 28 km

c x = 0 t = x = -22t + 4460 = -22t + 44622t = 446t = 44622t asymp 2027 min027 min = 027 times 60

asymp 16 secondendus om 1320 u en 16 seconden

1 min = 60 sec01 min = 6 sec

Algemene formule y = axsup2 + bx + ca ne 0de grafiek is een paraboola rsaquo 0 dalparaboola lsaquo 0 bergparaboolOm een parabool te tekenen maak je eerst een tabel met de GR

13

De verschillende opdrachten die bij het tekenen van grafieken in dit boek voorkomen zijn

PLOT DE GRAFIEKlaat de grafiek op het scherm van de GR tekenenkies het venster zo dat alle bijzonderheden van de grafiek op het scherm te zien zijn

SCHETS DE GRAFIEKteken in je schrift een schets van de grafiekhet gaat niet om precieze punten maar alleen om de vorm van de grafiek en de ligging tov de assengebruik eventueel de GR

TEKEN DE GRAFIEKteken in je schrift nauwkeurig de grafiek met getallen bij de assenmaak eerst een tabelgebruik daarbij de GR

13

Nulpunten

Je kunt de cooumlrdinaten van een top niet altijd snel uit een tabel halenDit kan wel makkelijk met de GROok de cooumlrdinaten van de snijpunten van een grafiek met een horizontale lijn

zijn snel met de GR te berekenenBijzonder geval f(x) = 0De x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as ( y = 0 )De oplossingen van de vergelijking f(x) = 0 heten de nulpunten van f

bij GR -welke formule(s)

-welke optie(s)

13

opgave 35

f(x) = -04xsup2 + 24x + 6a Schets mbv GRb optie maximum

top (3 96 )c optie zero

nulpunten -190 en 790d optie tabel

Voor welke x-waarden is de afstand 5 f(05) = f(55) = 71dus c gt 71De kleinste gehele waarde van c = 8

fy

x0

x 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6

f(x) 6 71 8 87 92 95 96 95 92 87 8 71 7

(3 96)

-190 790

opgave 36

h = -5tsup2 + 30ta Voer in y1 = -5xsup2 + 30x

optie zeronulpunten x = 0 en x = 6Dus na 6 seconden is de bal op de grond

b optie maximumtop (3 45)De grootste hoogte is dus 45 m

c Voer in y2 = 35

optie intersect x asymp 1586 en x asymp 4414

Dus na 16 en 44 seconde komt de bal op een hoogte van 35 m

h

t0

(3 45)

35

0764 5236 60

d Voer in y2 = 20

optie intersectx asymp 0764 en x asymp 5236Dus 5236 ndash 0764 asymp45 seconde boven de 20 m

20

1586 4414

opgave 42 y

x0

(-3 4)

-5 -1

y = axsup2 + bx + ctop (-3 4)y = a ( x + 3 )sup2 + 4door (-1 0)0 = a ( -1 + 3 )sup2 + 40 = a middot 2sup2 + 40 = 4a + 4-4a = 4a = 4-4a = -1y = - ( x + 3 )sup2 + 4y = - ( xsup2 + 6x + 9 ) + 4y = -xsup2 - 6x ndash 9 + 4y = -xsup2 - 6x - 5

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

opgave 13b

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

(20 35)

1e deel rc = 1 A = 1t + b door (0 0)0 = 1 middot 0 + bb = 0 dus A = t

2e deel rc = 25A = 25t + b door (10 10)10 = 25 middot 10 + b10 = 25 + b-15 = b b = -15dus A = 25t - 15

opgave 13

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

c De band is 80 m lang80 = 25t ndash 1595 = 25t25t = 95t = 9525t = 38 Na 38 sec is Bram aan het einde

d Als bram niet meeloopt dan80 m 80 secheeft hij 80 sec nodigBram wint 80 ndash 38 = 42 sec

e 80 m 38 secDe snelheid is dan8038 ms = 8038 middot 36 asymp 76 kmu

(20 35)

ms kmux 36

Algemeen

yB

yA

0

y

x

∆x

∆y

∆yomhoog

∆xrechts

dus rc = ∆y ∆x

xA xB

A

ByB ndash yA = ∆y

xB ndash xA = ∆x

12

voorbeeld

4

0

1

x

4

-3

∆yomhoog

∆xrechts

rc = ∆y ∆xrc = -34 = -frac34y = ax + by = -frac34x + b door A(1 4)4 = -frac34 middot 1 + b4 = -frac34 + b4frac34 = b b = 4frac34m y = -frac34x + 4frac34

1 5

A

B

yB ndash yA = 1 - 4

xB ndash xA = 5 - 1

-3

4

Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule de manier blijft hetzelfde

yGegeven zijn de punten A(1 4) en B(5 1)Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B

12

opgave 19

35

0

10

t

25

25

∆Romhoog

∆trechts

rc = ∆R ∆trc = 2525 = 1R = at + bR = 1t + b door (35 10)10 = 1 middot 35 + b10 = 35 + b-25 = b b = -25R = t - 25

35 60

∆R = 35 - 10

∆t = 60 - 35

25

25

RR is een lineaire functie van tdus de punten (35 10) en (60 35)

opgave 21

1312 u 182 km verwijderd1317 u 72 km verwijderdafstand is x

a x = at + ba = ∆x∆t1300 u t = 01312 u t = 12 x = 182 km1317 u t = 17 x = 72 kma = (72-182) (17-12)a = -115 = -22x = -22t + b door (17 72)72 = -22 middot 17 + b72 = -374 + b446 = b b = 446x = -22t + 446

b 1319 u t = 19 x = invullen in x = -22t + 446x = -22 middot 19 + 446x = 28 km

c x = 0 t = x = -22t + 4460 = -22t + 44622t = 446t = 44622t asymp 2027 min027 min = 027 times 60

asymp 16 secondendus om 1320 u en 16 seconden

1 min = 60 sec01 min = 6 sec

Algemene formule y = axsup2 + bx + ca ne 0de grafiek is een paraboola rsaquo 0 dalparaboola lsaquo 0 bergparaboolOm een parabool te tekenen maak je eerst een tabel met de GR

13

De verschillende opdrachten die bij het tekenen van grafieken in dit boek voorkomen zijn

PLOT DE GRAFIEKlaat de grafiek op het scherm van de GR tekenenkies het venster zo dat alle bijzonderheden van de grafiek op het scherm te zien zijn

SCHETS DE GRAFIEKteken in je schrift een schets van de grafiekhet gaat niet om precieze punten maar alleen om de vorm van de grafiek en de ligging tov de assengebruik eventueel de GR

TEKEN DE GRAFIEKteken in je schrift nauwkeurig de grafiek met getallen bij de assenmaak eerst een tabelgebruik daarbij de GR

13

Nulpunten

Je kunt de cooumlrdinaten van een top niet altijd snel uit een tabel halenDit kan wel makkelijk met de GROok de cooumlrdinaten van de snijpunten van een grafiek met een horizontale lijn

zijn snel met de GR te berekenenBijzonder geval f(x) = 0De x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as ( y = 0 )De oplossingen van de vergelijking f(x) = 0 heten de nulpunten van f

bij GR -welke formule(s)

-welke optie(s)

13

opgave 35

f(x) = -04xsup2 + 24x + 6a Schets mbv GRb optie maximum

top (3 96 )c optie zero

nulpunten -190 en 790d optie tabel

Voor welke x-waarden is de afstand 5 f(05) = f(55) = 71dus c gt 71De kleinste gehele waarde van c = 8

fy

x0

x 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6

f(x) 6 71 8 87 92 95 96 95 92 87 8 71 7

(3 96)

-190 790

opgave 36

h = -5tsup2 + 30ta Voer in y1 = -5xsup2 + 30x

optie zeronulpunten x = 0 en x = 6Dus na 6 seconden is de bal op de grond

b optie maximumtop (3 45)De grootste hoogte is dus 45 m

c Voer in y2 = 35

optie intersect x asymp 1586 en x asymp 4414

Dus na 16 en 44 seconde komt de bal op een hoogte van 35 m

h

t0

(3 45)

35

0764 5236 60

d Voer in y2 = 20

optie intersectx asymp 0764 en x asymp 5236Dus 5236 ndash 0764 asymp45 seconde boven de 20 m

20

1586 4414

opgave 42 y

x0

(-3 4)

-5 -1

y = axsup2 + bx + ctop (-3 4)y = a ( x + 3 )sup2 + 4door (-1 0)0 = a ( -1 + 3 )sup2 + 40 = a middot 2sup2 + 40 = 4a + 4-4a = 4a = 4-4a = -1y = - ( x + 3 )sup2 + 4y = - ( xsup2 + 6x + 9 ) + 4y = -xsup2 - 6x ndash 9 + 4y = -xsup2 - 6x - 5

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

opgave 13

80

60

10 20 30 40

40

20

A

t

(10 10)

c De band is 80 m lang80 = 25t ndash 1595 = 25t25t = 95t = 9525t = 38 Na 38 sec is Bram aan het einde

d Als bram niet meeloopt dan80 m 80 secheeft hij 80 sec nodigBram wint 80 ndash 38 = 42 sec

e 80 m 38 secDe snelheid is dan8038 ms = 8038 middot 36 asymp 76 kmu

(20 35)

ms kmux 36

Algemeen

yB

yA

0

y

x

∆x

∆y

∆yomhoog

∆xrechts

dus rc = ∆y ∆x

xA xB

A

ByB ndash yA = ∆y

xB ndash xA = ∆x

12

voorbeeld

4

0

1

x

4

-3

∆yomhoog

∆xrechts

rc = ∆y ∆xrc = -34 = -frac34y = ax + by = -frac34x + b door A(1 4)4 = -frac34 middot 1 + b4 = -frac34 + b4frac34 = b b = 4frac34m y = -frac34x + 4frac34

1 5

A

B

yB ndash yA = 1 - 4

xB ndash xA = 5 - 1

-3

4

Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule de manier blijft hetzelfde

yGegeven zijn de punten A(1 4) en B(5 1)Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B

12

opgave 19

35

0

10

t

25

25

∆Romhoog

∆trechts

rc = ∆R ∆trc = 2525 = 1R = at + bR = 1t + b door (35 10)10 = 1 middot 35 + b10 = 35 + b-25 = b b = -25R = t - 25

35 60

∆R = 35 - 10

∆t = 60 - 35

25

25

RR is een lineaire functie van tdus de punten (35 10) en (60 35)

opgave 21

1312 u 182 km verwijderd1317 u 72 km verwijderdafstand is x

a x = at + ba = ∆x∆t1300 u t = 01312 u t = 12 x = 182 km1317 u t = 17 x = 72 kma = (72-182) (17-12)a = -115 = -22x = -22t + b door (17 72)72 = -22 middot 17 + b72 = -374 + b446 = b b = 446x = -22t + 446

b 1319 u t = 19 x = invullen in x = -22t + 446x = -22 middot 19 + 446x = 28 km

c x = 0 t = x = -22t + 4460 = -22t + 44622t = 446t = 44622t asymp 2027 min027 min = 027 times 60

asymp 16 secondendus om 1320 u en 16 seconden

1 min = 60 sec01 min = 6 sec

Algemene formule y = axsup2 + bx + ca ne 0de grafiek is een paraboola rsaquo 0 dalparaboola lsaquo 0 bergparaboolOm een parabool te tekenen maak je eerst een tabel met de GR

13

De verschillende opdrachten die bij het tekenen van grafieken in dit boek voorkomen zijn

PLOT DE GRAFIEKlaat de grafiek op het scherm van de GR tekenenkies het venster zo dat alle bijzonderheden van de grafiek op het scherm te zien zijn

SCHETS DE GRAFIEKteken in je schrift een schets van de grafiekhet gaat niet om precieze punten maar alleen om de vorm van de grafiek en de ligging tov de assengebruik eventueel de GR

TEKEN DE GRAFIEKteken in je schrift nauwkeurig de grafiek met getallen bij de assenmaak eerst een tabelgebruik daarbij de GR

13

Nulpunten

Je kunt de cooumlrdinaten van een top niet altijd snel uit een tabel halenDit kan wel makkelijk met de GROok de cooumlrdinaten van de snijpunten van een grafiek met een horizontale lijn

zijn snel met de GR te berekenenBijzonder geval f(x) = 0De x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as ( y = 0 )De oplossingen van de vergelijking f(x) = 0 heten de nulpunten van f

bij GR -welke formule(s)

-welke optie(s)

13

opgave 35

f(x) = -04xsup2 + 24x + 6a Schets mbv GRb optie maximum

top (3 96 )c optie zero

nulpunten -190 en 790d optie tabel

Voor welke x-waarden is de afstand 5 f(05) = f(55) = 71dus c gt 71De kleinste gehele waarde van c = 8

fy

x0

x 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6

f(x) 6 71 8 87 92 95 96 95 92 87 8 71 7

(3 96)

-190 790

opgave 36

h = -5tsup2 + 30ta Voer in y1 = -5xsup2 + 30x

optie zeronulpunten x = 0 en x = 6Dus na 6 seconden is de bal op de grond

b optie maximumtop (3 45)De grootste hoogte is dus 45 m

c Voer in y2 = 35

optie intersect x asymp 1586 en x asymp 4414

Dus na 16 en 44 seconde komt de bal op een hoogte van 35 m

h

t0

(3 45)

35

0764 5236 60

d Voer in y2 = 20

optie intersectx asymp 0764 en x asymp 5236Dus 5236 ndash 0764 asymp45 seconde boven de 20 m

20

1586 4414

opgave 42 y

x0

(-3 4)

-5 -1

y = axsup2 + bx + ctop (-3 4)y = a ( x + 3 )sup2 + 4door (-1 0)0 = a ( -1 + 3 )sup2 + 40 = a middot 2sup2 + 40 = 4a + 4-4a = 4a = 4-4a = -1y = - ( x + 3 )sup2 + 4y = - ( xsup2 + 6x + 9 ) + 4y = -xsup2 - 6x ndash 9 + 4y = -xsup2 - 6x - 5

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

Algemeen

yB

yA

0

y

x

∆x

∆y

∆yomhoog

∆xrechts

dus rc = ∆y ∆x

xA xB

A

ByB ndash yA = ∆y

xB ndash xA = ∆x

12

voorbeeld

4

0

1

x

4

-3

∆yomhoog

∆xrechts

rc = ∆y ∆xrc = -34 = -frac34y = ax + by = -frac34x + b door A(1 4)4 = -frac34 middot 1 + b4 = -frac34 + b4frac34 = b b = 4frac34m y = -frac34x + 4frac34

1 5

A

B

yB ndash yA = 1 - 4

xB ndash xA = 5 - 1

-3

4

Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule de manier blijft hetzelfde

yGegeven zijn de punten A(1 4) en B(5 1)Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B

12

opgave 19

35

0

10

t

25

25

∆Romhoog

∆trechts

rc = ∆R ∆trc = 2525 = 1R = at + bR = 1t + b door (35 10)10 = 1 middot 35 + b10 = 35 + b-25 = b b = -25R = t - 25

35 60

∆R = 35 - 10

∆t = 60 - 35

25

25

RR is een lineaire functie van tdus de punten (35 10) en (60 35)

opgave 21

1312 u 182 km verwijderd1317 u 72 km verwijderdafstand is x

a x = at + ba = ∆x∆t1300 u t = 01312 u t = 12 x = 182 km1317 u t = 17 x = 72 kma = (72-182) (17-12)a = -115 = -22x = -22t + b door (17 72)72 = -22 middot 17 + b72 = -374 + b446 = b b = 446x = -22t + 446

b 1319 u t = 19 x = invullen in x = -22t + 446x = -22 middot 19 + 446x = 28 km

c x = 0 t = x = -22t + 4460 = -22t + 44622t = 446t = 44622t asymp 2027 min027 min = 027 times 60

asymp 16 secondendus om 1320 u en 16 seconden

1 min = 60 sec01 min = 6 sec

Algemene formule y = axsup2 + bx + ca ne 0de grafiek is een paraboola rsaquo 0 dalparaboola lsaquo 0 bergparaboolOm een parabool te tekenen maak je eerst een tabel met de GR

13

De verschillende opdrachten die bij het tekenen van grafieken in dit boek voorkomen zijn

PLOT DE GRAFIEKlaat de grafiek op het scherm van de GR tekenenkies het venster zo dat alle bijzonderheden van de grafiek op het scherm te zien zijn

SCHETS DE GRAFIEKteken in je schrift een schets van de grafiekhet gaat niet om precieze punten maar alleen om de vorm van de grafiek en de ligging tov de assengebruik eventueel de GR

TEKEN DE GRAFIEKteken in je schrift nauwkeurig de grafiek met getallen bij de assenmaak eerst een tabelgebruik daarbij de GR

13

Nulpunten

Je kunt de cooumlrdinaten van een top niet altijd snel uit een tabel halenDit kan wel makkelijk met de GROok de cooumlrdinaten van de snijpunten van een grafiek met een horizontale lijn

zijn snel met de GR te berekenenBijzonder geval f(x) = 0De x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as ( y = 0 )De oplossingen van de vergelijking f(x) = 0 heten de nulpunten van f

bij GR -welke formule(s)

-welke optie(s)

13

opgave 35

f(x) = -04xsup2 + 24x + 6a Schets mbv GRb optie maximum

top (3 96 )c optie zero

nulpunten -190 en 790d optie tabel

Voor welke x-waarden is de afstand 5 f(05) = f(55) = 71dus c gt 71De kleinste gehele waarde van c = 8

fy

x0

x 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6

f(x) 6 71 8 87 92 95 96 95 92 87 8 71 7

(3 96)

-190 790

opgave 36

h = -5tsup2 + 30ta Voer in y1 = -5xsup2 + 30x

optie zeronulpunten x = 0 en x = 6Dus na 6 seconden is de bal op de grond

b optie maximumtop (3 45)De grootste hoogte is dus 45 m

c Voer in y2 = 35

optie intersect x asymp 1586 en x asymp 4414

Dus na 16 en 44 seconde komt de bal op een hoogte van 35 m

h

t0

(3 45)

35

0764 5236 60

d Voer in y2 = 20

optie intersectx asymp 0764 en x asymp 5236Dus 5236 ndash 0764 asymp45 seconde boven de 20 m

20

1586 4414

opgave 42 y

x0

(-3 4)

-5 -1

y = axsup2 + bx + ctop (-3 4)y = a ( x + 3 )sup2 + 4door (-1 0)0 = a ( -1 + 3 )sup2 + 40 = a middot 2sup2 + 40 = 4a + 4-4a = 4a = 4-4a = -1y = - ( x + 3 )sup2 + 4y = - ( xsup2 + 6x + 9 ) + 4y = -xsup2 - 6x ndash 9 + 4y = -xsup2 - 6x - 5

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

voorbeeld

4

0

1

x

4

-3

∆yomhoog

∆xrechts

rc = ∆y ∆xrc = -34 = -frac34y = ax + by = -frac34x + b door A(1 4)4 = -frac34 middot 1 + b4 = -frac34 + b4frac34 = b b = 4frac34m y = -frac34x + 4frac34

1 5

A

B

yB ndash yA = 1 - 4

xB ndash xA = 5 - 1

-3

4

Staan er bij de assen andere letters dan gebruik je deze letters in de formule de manier blijft hetzelfde

yGegeven zijn de punten A(1 4) en B(5 1)Stel de formule op van de lijn m door de punten A en B

12

opgave 19

35

0

10

t

25

25

∆Romhoog

∆trechts

rc = ∆R ∆trc = 2525 = 1R = at + bR = 1t + b door (35 10)10 = 1 middot 35 + b10 = 35 + b-25 = b b = -25R = t - 25

35 60

∆R = 35 - 10

∆t = 60 - 35

25

25

RR is een lineaire functie van tdus de punten (35 10) en (60 35)

opgave 21

1312 u 182 km verwijderd1317 u 72 km verwijderdafstand is x

a x = at + ba = ∆x∆t1300 u t = 01312 u t = 12 x = 182 km1317 u t = 17 x = 72 kma = (72-182) (17-12)a = -115 = -22x = -22t + b door (17 72)72 = -22 middot 17 + b72 = -374 + b446 = b b = 446x = -22t + 446

b 1319 u t = 19 x = invullen in x = -22t + 446x = -22 middot 19 + 446x = 28 km

c x = 0 t = x = -22t + 4460 = -22t + 44622t = 446t = 44622t asymp 2027 min027 min = 027 times 60

asymp 16 secondendus om 1320 u en 16 seconden

1 min = 60 sec01 min = 6 sec

Algemene formule y = axsup2 + bx + ca ne 0de grafiek is een paraboola rsaquo 0 dalparaboola lsaquo 0 bergparaboolOm een parabool te tekenen maak je eerst een tabel met de GR

13

De verschillende opdrachten die bij het tekenen van grafieken in dit boek voorkomen zijn

PLOT DE GRAFIEKlaat de grafiek op het scherm van de GR tekenenkies het venster zo dat alle bijzonderheden van de grafiek op het scherm te zien zijn

SCHETS DE GRAFIEKteken in je schrift een schets van de grafiekhet gaat niet om precieze punten maar alleen om de vorm van de grafiek en de ligging tov de assengebruik eventueel de GR

TEKEN DE GRAFIEKteken in je schrift nauwkeurig de grafiek met getallen bij de assenmaak eerst een tabelgebruik daarbij de GR

13

Nulpunten

Je kunt de cooumlrdinaten van een top niet altijd snel uit een tabel halenDit kan wel makkelijk met de GROok de cooumlrdinaten van de snijpunten van een grafiek met een horizontale lijn

zijn snel met de GR te berekenenBijzonder geval f(x) = 0De x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as ( y = 0 )De oplossingen van de vergelijking f(x) = 0 heten de nulpunten van f

bij GR -welke formule(s)

-welke optie(s)

13

opgave 35

f(x) = -04xsup2 + 24x + 6a Schets mbv GRb optie maximum

top (3 96 )c optie zero

nulpunten -190 en 790d optie tabel

Voor welke x-waarden is de afstand 5 f(05) = f(55) = 71dus c gt 71De kleinste gehele waarde van c = 8

fy

x0

x 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6

f(x) 6 71 8 87 92 95 96 95 92 87 8 71 7

(3 96)

-190 790

opgave 36

h = -5tsup2 + 30ta Voer in y1 = -5xsup2 + 30x

optie zeronulpunten x = 0 en x = 6Dus na 6 seconden is de bal op de grond

b optie maximumtop (3 45)De grootste hoogte is dus 45 m

c Voer in y2 = 35

optie intersect x asymp 1586 en x asymp 4414

Dus na 16 en 44 seconde komt de bal op een hoogte van 35 m

h

t0

(3 45)

35

0764 5236 60

d Voer in y2 = 20

optie intersectx asymp 0764 en x asymp 5236Dus 5236 ndash 0764 asymp45 seconde boven de 20 m

20

1586 4414

opgave 42 y

x0

(-3 4)

-5 -1

y = axsup2 + bx + ctop (-3 4)y = a ( x + 3 )sup2 + 4door (-1 0)0 = a ( -1 + 3 )sup2 + 40 = a middot 2sup2 + 40 = 4a + 4-4a = 4a = 4-4a = -1y = - ( x + 3 )sup2 + 4y = - ( xsup2 + 6x + 9 ) + 4y = -xsup2 - 6x ndash 9 + 4y = -xsup2 - 6x - 5

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

opgave 19

35

0

10

t

25

25

∆Romhoog

∆trechts

rc = ∆R ∆trc = 2525 = 1R = at + bR = 1t + b door (35 10)10 = 1 middot 35 + b10 = 35 + b-25 = b b = -25R = t - 25

35 60

∆R = 35 - 10

∆t = 60 - 35

25

25

RR is een lineaire functie van tdus de punten (35 10) en (60 35)

opgave 21

1312 u 182 km verwijderd1317 u 72 km verwijderdafstand is x

a x = at + ba = ∆x∆t1300 u t = 01312 u t = 12 x = 182 km1317 u t = 17 x = 72 kma = (72-182) (17-12)a = -115 = -22x = -22t + b door (17 72)72 = -22 middot 17 + b72 = -374 + b446 = b b = 446x = -22t + 446

b 1319 u t = 19 x = invullen in x = -22t + 446x = -22 middot 19 + 446x = 28 km

c x = 0 t = x = -22t + 4460 = -22t + 44622t = 446t = 44622t asymp 2027 min027 min = 027 times 60

asymp 16 secondendus om 1320 u en 16 seconden

1 min = 60 sec01 min = 6 sec

Algemene formule y = axsup2 + bx + ca ne 0de grafiek is een paraboola rsaquo 0 dalparaboola lsaquo 0 bergparaboolOm een parabool te tekenen maak je eerst een tabel met de GR

13

De verschillende opdrachten die bij het tekenen van grafieken in dit boek voorkomen zijn

PLOT DE GRAFIEKlaat de grafiek op het scherm van de GR tekenenkies het venster zo dat alle bijzonderheden van de grafiek op het scherm te zien zijn

SCHETS DE GRAFIEKteken in je schrift een schets van de grafiekhet gaat niet om precieze punten maar alleen om de vorm van de grafiek en de ligging tov de assengebruik eventueel de GR

TEKEN DE GRAFIEKteken in je schrift nauwkeurig de grafiek met getallen bij de assenmaak eerst een tabelgebruik daarbij de GR

13

Nulpunten

Je kunt de cooumlrdinaten van een top niet altijd snel uit een tabel halenDit kan wel makkelijk met de GROok de cooumlrdinaten van de snijpunten van een grafiek met een horizontale lijn

zijn snel met de GR te berekenenBijzonder geval f(x) = 0De x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as ( y = 0 )De oplossingen van de vergelijking f(x) = 0 heten de nulpunten van f

bij GR -welke formule(s)

-welke optie(s)

13

opgave 35

f(x) = -04xsup2 + 24x + 6a Schets mbv GRb optie maximum

top (3 96 )c optie zero

nulpunten -190 en 790d optie tabel

Voor welke x-waarden is de afstand 5 f(05) = f(55) = 71dus c gt 71De kleinste gehele waarde van c = 8

fy

x0

x 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6

f(x) 6 71 8 87 92 95 96 95 92 87 8 71 7

(3 96)

-190 790

opgave 36

h = -5tsup2 + 30ta Voer in y1 = -5xsup2 + 30x

optie zeronulpunten x = 0 en x = 6Dus na 6 seconden is de bal op de grond

b optie maximumtop (3 45)De grootste hoogte is dus 45 m

c Voer in y2 = 35

optie intersect x asymp 1586 en x asymp 4414

Dus na 16 en 44 seconde komt de bal op een hoogte van 35 m

h

t0

(3 45)

35

0764 5236 60

d Voer in y2 = 20

optie intersectx asymp 0764 en x asymp 5236Dus 5236 ndash 0764 asymp45 seconde boven de 20 m

20

1586 4414

opgave 42 y

x0

(-3 4)

-5 -1

y = axsup2 + bx + ctop (-3 4)y = a ( x + 3 )sup2 + 4door (-1 0)0 = a ( -1 + 3 )sup2 + 40 = a middot 2sup2 + 40 = 4a + 4-4a = 4a = 4-4a = -1y = - ( x + 3 )sup2 + 4y = - ( xsup2 + 6x + 9 ) + 4y = -xsup2 - 6x ndash 9 + 4y = -xsup2 - 6x - 5

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

opgave 21

1312 u 182 km verwijderd1317 u 72 km verwijderdafstand is x

a x = at + ba = ∆x∆t1300 u t = 01312 u t = 12 x = 182 km1317 u t = 17 x = 72 kma = (72-182) (17-12)a = -115 = -22x = -22t + b door (17 72)72 = -22 middot 17 + b72 = -374 + b446 = b b = 446x = -22t + 446

b 1319 u t = 19 x = invullen in x = -22t + 446x = -22 middot 19 + 446x = 28 km

c x = 0 t = x = -22t + 4460 = -22t + 44622t = 446t = 44622t asymp 2027 min027 min = 027 times 60

asymp 16 secondendus om 1320 u en 16 seconden

1 min = 60 sec01 min = 6 sec

Algemene formule y = axsup2 + bx + ca ne 0de grafiek is een paraboola rsaquo 0 dalparaboola lsaquo 0 bergparaboolOm een parabool te tekenen maak je eerst een tabel met de GR

13

De verschillende opdrachten die bij het tekenen van grafieken in dit boek voorkomen zijn

PLOT DE GRAFIEKlaat de grafiek op het scherm van de GR tekenenkies het venster zo dat alle bijzonderheden van de grafiek op het scherm te zien zijn

SCHETS DE GRAFIEKteken in je schrift een schets van de grafiekhet gaat niet om precieze punten maar alleen om de vorm van de grafiek en de ligging tov de assengebruik eventueel de GR

TEKEN DE GRAFIEKteken in je schrift nauwkeurig de grafiek met getallen bij de assenmaak eerst een tabelgebruik daarbij de GR

13

Nulpunten

Je kunt de cooumlrdinaten van een top niet altijd snel uit een tabel halenDit kan wel makkelijk met de GROok de cooumlrdinaten van de snijpunten van een grafiek met een horizontale lijn

zijn snel met de GR te berekenenBijzonder geval f(x) = 0De x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as ( y = 0 )De oplossingen van de vergelijking f(x) = 0 heten de nulpunten van f

bij GR -welke formule(s)

-welke optie(s)

13

opgave 35

f(x) = -04xsup2 + 24x + 6a Schets mbv GRb optie maximum

top (3 96 )c optie zero

nulpunten -190 en 790d optie tabel

Voor welke x-waarden is de afstand 5 f(05) = f(55) = 71dus c gt 71De kleinste gehele waarde van c = 8

fy

x0

x 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6

f(x) 6 71 8 87 92 95 96 95 92 87 8 71 7

(3 96)

-190 790

opgave 36

h = -5tsup2 + 30ta Voer in y1 = -5xsup2 + 30x

optie zeronulpunten x = 0 en x = 6Dus na 6 seconden is de bal op de grond

b optie maximumtop (3 45)De grootste hoogte is dus 45 m

c Voer in y2 = 35

optie intersect x asymp 1586 en x asymp 4414

Dus na 16 en 44 seconde komt de bal op een hoogte van 35 m

h

t0

(3 45)

35

0764 5236 60

d Voer in y2 = 20

optie intersectx asymp 0764 en x asymp 5236Dus 5236 ndash 0764 asymp45 seconde boven de 20 m

20

1586 4414

opgave 42 y

x0

(-3 4)

-5 -1

y = axsup2 + bx + ctop (-3 4)y = a ( x + 3 )sup2 + 4door (-1 0)0 = a ( -1 + 3 )sup2 + 40 = a middot 2sup2 + 40 = 4a + 4-4a = 4a = 4-4a = -1y = - ( x + 3 )sup2 + 4y = - ( xsup2 + 6x + 9 ) + 4y = -xsup2 - 6x ndash 9 + 4y = -xsup2 - 6x - 5

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

Algemene formule y = axsup2 + bx + ca ne 0de grafiek is een paraboola rsaquo 0 dalparaboola lsaquo 0 bergparaboolOm een parabool te tekenen maak je eerst een tabel met de GR

13

De verschillende opdrachten die bij het tekenen van grafieken in dit boek voorkomen zijn

PLOT DE GRAFIEKlaat de grafiek op het scherm van de GR tekenenkies het venster zo dat alle bijzonderheden van de grafiek op het scherm te zien zijn

SCHETS DE GRAFIEKteken in je schrift een schets van de grafiekhet gaat niet om precieze punten maar alleen om de vorm van de grafiek en de ligging tov de assengebruik eventueel de GR

TEKEN DE GRAFIEKteken in je schrift nauwkeurig de grafiek met getallen bij de assenmaak eerst een tabelgebruik daarbij de GR

13

Nulpunten

Je kunt de cooumlrdinaten van een top niet altijd snel uit een tabel halenDit kan wel makkelijk met de GROok de cooumlrdinaten van de snijpunten van een grafiek met een horizontale lijn

zijn snel met de GR te berekenenBijzonder geval f(x) = 0De x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as ( y = 0 )De oplossingen van de vergelijking f(x) = 0 heten de nulpunten van f

bij GR -welke formule(s)

-welke optie(s)

13

opgave 35

f(x) = -04xsup2 + 24x + 6a Schets mbv GRb optie maximum

top (3 96 )c optie zero

nulpunten -190 en 790d optie tabel

Voor welke x-waarden is de afstand 5 f(05) = f(55) = 71dus c gt 71De kleinste gehele waarde van c = 8

fy

x0

x 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6

f(x) 6 71 8 87 92 95 96 95 92 87 8 71 7

(3 96)

-190 790

opgave 36

h = -5tsup2 + 30ta Voer in y1 = -5xsup2 + 30x

optie zeronulpunten x = 0 en x = 6Dus na 6 seconden is de bal op de grond

b optie maximumtop (3 45)De grootste hoogte is dus 45 m

c Voer in y2 = 35

optie intersect x asymp 1586 en x asymp 4414

Dus na 16 en 44 seconde komt de bal op een hoogte van 35 m

h

t0

(3 45)

35

0764 5236 60

d Voer in y2 = 20

optie intersectx asymp 0764 en x asymp 5236Dus 5236 ndash 0764 asymp45 seconde boven de 20 m

20

1586 4414

opgave 42 y

x0

(-3 4)

-5 -1

y = axsup2 + bx + ctop (-3 4)y = a ( x + 3 )sup2 + 4door (-1 0)0 = a ( -1 + 3 )sup2 + 40 = a middot 2sup2 + 40 = 4a + 4-4a = 4a = 4-4a = -1y = - ( x + 3 )sup2 + 4y = - ( xsup2 + 6x + 9 ) + 4y = -xsup2 - 6x ndash 9 + 4y = -xsup2 - 6x - 5

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

De verschillende opdrachten die bij het tekenen van grafieken in dit boek voorkomen zijn

PLOT DE GRAFIEKlaat de grafiek op het scherm van de GR tekenenkies het venster zo dat alle bijzonderheden van de grafiek op het scherm te zien zijn

SCHETS DE GRAFIEKteken in je schrift een schets van de grafiekhet gaat niet om precieze punten maar alleen om de vorm van de grafiek en de ligging tov de assengebruik eventueel de GR

TEKEN DE GRAFIEKteken in je schrift nauwkeurig de grafiek met getallen bij de assenmaak eerst een tabelgebruik daarbij de GR

13

Nulpunten

Je kunt de cooumlrdinaten van een top niet altijd snel uit een tabel halenDit kan wel makkelijk met de GROok de cooumlrdinaten van de snijpunten van een grafiek met een horizontale lijn

zijn snel met de GR te berekenenBijzonder geval f(x) = 0De x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as ( y = 0 )De oplossingen van de vergelijking f(x) = 0 heten de nulpunten van f

bij GR -welke formule(s)

-welke optie(s)

13

opgave 35

f(x) = -04xsup2 + 24x + 6a Schets mbv GRb optie maximum

top (3 96 )c optie zero

nulpunten -190 en 790d optie tabel

Voor welke x-waarden is de afstand 5 f(05) = f(55) = 71dus c gt 71De kleinste gehele waarde van c = 8

fy

x0

x 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6

f(x) 6 71 8 87 92 95 96 95 92 87 8 71 7

(3 96)

-190 790

opgave 36

h = -5tsup2 + 30ta Voer in y1 = -5xsup2 + 30x

optie zeronulpunten x = 0 en x = 6Dus na 6 seconden is de bal op de grond

b optie maximumtop (3 45)De grootste hoogte is dus 45 m

c Voer in y2 = 35

optie intersect x asymp 1586 en x asymp 4414

Dus na 16 en 44 seconde komt de bal op een hoogte van 35 m

h

t0

(3 45)

35

0764 5236 60

d Voer in y2 = 20

optie intersectx asymp 0764 en x asymp 5236Dus 5236 ndash 0764 asymp45 seconde boven de 20 m

20

1586 4414

opgave 42 y

x0

(-3 4)

-5 -1

y = axsup2 + bx + ctop (-3 4)y = a ( x + 3 )sup2 + 4door (-1 0)0 = a ( -1 + 3 )sup2 + 40 = a middot 2sup2 + 40 = 4a + 4-4a = 4a = 4-4a = -1y = - ( x + 3 )sup2 + 4y = - ( xsup2 + 6x + 9 ) + 4y = -xsup2 - 6x ndash 9 + 4y = -xsup2 - 6x - 5

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

Nulpunten

Je kunt de cooumlrdinaten van een top niet altijd snel uit een tabel halenDit kan wel makkelijk met de GROok de cooumlrdinaten van de snijpunten van een grafiek met een horizontale lijn

zijn snel met de GR te berekenenBijzonder geval f(x) = 0De x-cooumlrdinaten van de snijpunten van de grafiek van f met de x-as ( y = 0 )De oplossingen van de vergelijking f(x) = 0 heten de nulpunten van f

bij GR -welke formule(s)

-welke optie(s)

13

opgave 35

f(x) = -04xsup2 + 24x + 6a Schets mbv GRb optie maximum

top (3 96 )c optie zero

nulpunten -190 en 790d optie tabel

Voor welke x-waarden is de afstand 5 f(05) = f(55) = 71dus c gt 71De kleinste gehele waarde van c = 8

fy

x0

x 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6

f(x) 6 71 8 87 92 95 96 95 92 87 8 71 7

(3 96)

-190 790

opgave 36

h = -5tsup2 + 30ta Voer in y1 = -5xsup2 + 30x

optie zeronulpunten x = 0 en x = 6Dus na 6 seconden is de bal op de grond

b optie maximumtop (3 45)De grootste hoogte is dus 45 m

c Voer in y2 = 35

optie intersect x asymp 1586 en x asymp 4414

Dus na 16 en 44 seconde komt de bal op een hoogte van 35 m

h

t0

(3 45)

35

0764 5236 60

d Voer in y2 = 20

optie intersectx asymp 0764 en x asymp 5236Dus 5236 ndash 0764 asymp45 seconde boven de 20 m

20

1586 4414

opgave 42 y

x0

(-3 4)

-5 -1

y = axsup2 + bx + ctop (-3 4)y = a ( x + 3 )sup2 + 4door (-1 0)0 = a ( -1 + 3 )sup2 + 40 = a middot 2sup2 + 40 = 4a + 4-4a = 4a = 4-4a = -1y = - ( x + 3 )sup2 + 4y = - ( xsup2 + 6x + 9 ) + 4y = -xsup2 - 6x ndash 9 + 4y = -xsup2 - 6x - 5

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

opgave 35

f(x) = -04xsup2 + 24x + 6a Schets mbv GRb optie maximum

top (3 96 )c optie zero

nulpunten -190 en 790d optie tabel

Voor welke x-waarden is de afstand 5 f(05) = f(55) = 71dus c gt 71De kleinste gehele waarde van c = 8

fy

x0

x 0 05 1 15 2 25 3 35 4 45 5 55 6

f(x) 6 71 8 87 92 95 96 95 92 87 8 71 7

(3 96)

-190 790

opgave 36

h = -5tsup2 + 30ta Voer in y1 = -5xsup2 + 30x

optie zeronulpunten x = 0 en x = 6Dus na 6 seconden is de bal op de grond

b optie maximumtop (3 45)De grootste hoogte is dus 45 m

c Voer in y2 = 35

optie intersect x asymp 1586 en x asymp 4414

Dus na 16 en 44 seconde komt de bal op een hoogte van 35 m

h

t0

(3 45)

35

0764 5236 60

d Voer in y2 = 20

optie intersectx asymp 0764 en x asymp 5236Dus 5236 ndash 0764 asymp45 seconde boven de 20 m

20

1586 4414

opgave 42 y

x0

(-3 4)

-5 -1

y = axsup2 + bx + ctop (-3 4)y = a ( x + 3 )sup2 + 4door (-1 0)0 = a ( -1 + 3 )sup2 + 40 = a middot 2sup2 + 40 = 4a + 4-4a = 4a = 4-4a = -1y = - ( x + 3 )sup2 + 4y = - ( xsup2 + 6x + 9 ) + 4y = -xsup2 - 6x ndash 9 + 4y = -xsup2 - 6x - 5

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

opgave 36

h = -5tsup2 + 30ta Voer in y1 = -5xsup2 + 30x

optie zeronulpunten x = 0 en x = 6Dus na 6 seconden is de bal op de grond

b optie maximumtop (3 45)De grootste hoogte is dus 45 m

c Voer in y2 = 35

optie intersect x asymp 1586 en x asymp 4414

Dus na 16 en 44 seconde komt de bal op een hoogte van 35 m

h

t0

(3 45)

35

0764 5236 60

d Voer in y2 = 20

optie intersectx asymp 0764 en x asymp 5236Dus 5236 ndash 0764 asymp45 seconde boven de 20 m

20

1586 4414

opgave 42 y

x0

(-3 4)

-5 -1

y = axsup2 + bx + ctop (-3 4)y = a ( x + 3 )sup2 + 4door (-1 0)0 = a ( -1 + 3 )sup2 + 40 = a middot 2sup2 + 40 = 4a + 4-4a = 4a = 4-4a = -1y = - ( x + 3 )sup2 + 4y = - ( xsup2 + 6x + 9 ) + 4y = -xsup2 - 6x ndash 9 + 4y = -xsup2 - 6x - 5

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

opgave 42 y

x0

(-3 4)

-5 -1

y = axsup2 + bx + ctop (-3 4)y = a ( x + 3 )sup2 + 4door (-1 0)0 = a ( -1 + 3 )sup2 + 40 = a middot 2sup2 + 40 = 4a + 4-4a = 4a = 4-4a = -1y = - ( x + 3 )sup2 + 4y = - ( xsup2 + 6x + 9 ) + 4y = -xsup2 - 6x ndash 9 + 4y = -xsup2 - 6x - 5

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

Via de GR kun je snel toppen van grafieken opsporenhoogste punt maximum max grootste functiewaardemax is een y-cooumlrdinaatlaagste punt minimummax en min heten uiterste waarden of extremen

15

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

Opg 47

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

Opg 41

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

Berekening van de extreme waarden van een functie f met de GR

1 Voer de formule in bij y1

2 Schets de grafiek3 Gebruik de opties maximum enof minimum bij het berekenen

van de extreme waarden4 Zet in je schets de cooumlrdinaten van de toppen5 Noteer de extreme waarden in de vorm

min is f(hellip) = hellip ofmax is f(hellip) = hellip

15

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

VoorbeeldEr staat GEEN

exact of algebraiumlsch dus je mag de GR

gebruiken

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

y1 = -xsup3 - 15xsup2 + 36x + 25

optie max en min geven de toppen

min is f(-4) = -79

max is f(3) = 925

(-4 -79)

(3 925)

opgave 44a

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

opgave 44b

y1 = 02x4 + xsup3 - 10xsup2 - 50x + 75

optie max en min geven de toppen

min is g(-616) asymp 5777

min is g(461) asymp -17972

max is g(-220) asymp 13064

(-616 5777)

(-220 13064)

(461 -17972)

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

Opg 45 Gegeven h = - 0005x2 + 4x

a) Max =gt x- cooumlrdinaat bij ndashb 2a

x = 40 =gt y = 8

of optie maximum op GR

b) y = 0 =gt -0005x(x-80)= 0 x= 0 (afslag) v x = 80

of optie zero op GR

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

Bij het werken met wiskundige modellen moet je voortdurend rekening houden met de verschillende elementen uit het schema modelvorming

praktisch probleem met gegevens en

tabellen

wiskundig model

voorspellingen en conclusies

gegevens en tabellen

pas het model toe

controle

stel h

et m

odel

bij

15

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

opgave 50

T = 80 middot 097t + 20In hoeveel minuten koelt het water af van 85 degC tot 55 degC voer in y1 = 80 middot 097x + 20

y2 = 85

y3 = 55

optie intersect met y1 en y2

x asymp 68optie intersect met y1 en y3

x asymp 271De daling van 85 degC naar 55 degC duurt271 ndash 68 asymp20 minuten

T

t068 271

85

55

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

Oud boek 35a Oefenopgave 1

y = 2xsup2 + bx + 7 door (5 17)Bereken b17 = 2 middot 5sup2 + b middot 5 + 717 = 50 + 5b + 717 = 57 + 5b-40 = 5b5b = -40b = -405b = -8

formuley = axsup2 + bx + c

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

opgave 37

h = -002xsup2 + bxDe bal komt 60 m verder weer op de gronda Bereken b

x = 60-002 middot 60sup2 + b middot 60 = 0-72 + 60b = 060b = 72b = 7260b = 12

b Vul x = 30 iny = 18 maximale hoogte is 18 mofvoer in y1 = -002xsup2 + 12x

optie maximumtop (30 18) maximale hoogte is 18 m

Vanwege symmetrie top ligt tussen x = 0 en x =

60

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

y = xsup2

top (0 0)

y = ( x ndash 4 )sup2

4 naar rechts

top (4 0)

y = ( x ndash 4 )sup2 + 3

3 omhoog

top (4 3)

y = 2 ( x ndash 4 )sup2 + 3

parabool smaller

top hetzelfde

top (4 3)

y = a ( x - p )sup2 + q

top (p q)

xtop bereken je door wat tussen haakjes staat 0 te maken

x

y

O

Formule y = a ( x ndash p )sup2 + q

14

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

Opg 40 Schrijf in de vorm y=ax2+bx+c

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

opgave 45 oud boek

h

x0

(15 9)9

15 30

h = axsup2 + bxtop (15 9)h = a ( x ndash 15 )sup2 + 9door (0 0)0 = a ( 0 ndash 15 )sup2 + 90 = a middot (-15)sup2 + 90 = 225a + 9-225a = 9a = 9-225a = -004h = -004 ( x ndash 15 )sup2 + 9h = -004 ( xsup2 - 30x + 225 ) + 9h = -004xsup2 + 12x ndash 9 + 9h = -004xsup2 + 12xa = -004 en b = 12

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35

opgave 53 oud boek

N = 480tsup2 - 40tsup3t = 0 om 900 uurHet pretpark sluit om 2100 uura Voer in y1 = 480xsup2 - 40xsup3

1250 uur 350 uur latert = 3 ⅚ N = 4800dus 4800 mensen

b het drukst maximumoptie maximum top (8 10240)8 uur later dus om 1700 uurdan zijn er 10240 bezoekers

c voer in y2 = 8000

optie intersectx asymp 558 v x = 10058 uur = 058 times 60

asymp 35 minuten5 uur en 35 min later 1435 uur10 uur later 1900 uurdus om 1435 uur of 1900 uur

Je moet de uitkomsten van een model lsquoterugvertalenrsquo naar de

gegeven situatie

t

N

0

(8 10240)

558 10

8000

• Slide 1
• Slide 2
• Slide 3
• Slide 4
• Slide 5
• Slide 6
• Slide 7
• Slide 8
• Slide 9
• Slide 10
• Slide 11
• Slide 12
• Slide 13
• Slide 14
• Slide 15
• Slide 16
• Slide 17
• Slide 18
• Slide 19
• Slide 20
• Slide 21
• Slide 22
• Slide 23
• Slide 24
• Slide 25
• Slide 26
• Slide 27
• Slide 28
• Slide 29
• Slide 30
• Slide 31
• Slide 32
• Slide 33
• Slide 34
• Slide 35