Twijfel en zekerheid(Tussen fictie en waarheid)

Colofon

De module Twijfel en Zekerheid is geschreven voor leerlingen uit klas 5 VWO en ontwikkeld ten behoeve van het bèta excellent programma.

De originele module is verkrijgbaar door een E-mail te sturen aan r.vantland@wpkeesboeke.nl.

De module is gemaakt door Rob van’t Land, docent scheikunde en NL&T aan de Werkplaats Kindergemeenschap te Bilthoven.

Verder hebben aan de totstandkoming van deze module bijgedragen :- Paul Drijvers (Freudenthal Instituut, UU)- Deelnemers Docent Ontwikkel Team interdisciplinair en NL&T, met

name Ton van der Valk, Marloes Kloosterboer en Lu van Albada.- Truus Romgens (natuurlijkleren.org)- Thimo Jansen (docent biologie en NL&T, Werkplaats

Kindergemeenschap, Bilthoven)- Arnoud van Zoest (LIO biologie, Werkplaats Kindergemeenschap,

Bilthoven)- Bèta Excellent leerlingen VWO5 van de Werkplaats

Kindergemeenschap 2011 – 2012: Tanja Aalders, Manja Bloem, Bram Beusen, Hylke de Boer, Thijs Dassen, Fleur Geelen, Jasper de Louwere, Marlotte Mohr, Mathijs Muskens, Susan Verlinde en Roos van Vliet.

© 2012. Versie 1.0 Het auteursrecht op de module berust bij ……………………………………………………… is derhalve de rechthebbende zoals bedoeld in de hieronder vermelde creative commons licentie. De auteur heeft bij de ontwikkeling van de module gebruik gemaakt van materiaal van derden en daarvoor toestemming verkregen. Bij het achterhalen en voldoen van de rechten op teksten, illustraties, enz. is de grootst mogelijke zorgvuldigheid betracht. Mochten er desondanks personen of instanties zijn die rechten menen te kunnen doen gelden op tekstgedeeltes, illustraties, enz. van de module, dan worden zij verzocht zich in verbinding te stellen met R. van’t Land via het volgende E-mail adres: r.vantland@wpkeesboeke.nl.De module is met zorg samengesteld en getest. De auteur aanvaardt geen enkele aansprakelijkheid voor onjuistheden en/of onvolledigheden in de module. Ook aanvaardt de auteur geen enkele aansprakelijkheid voor enige schade, voortkomend uit (het gebruik van) deze module. Voor deze module geldt een Creative Commons Naamsvermelding-Niet-commercieel-Gelijk delen 3.5 Nederland Licentie ►http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.5/nl

2

Voorwoord voor de docent

Uit verschillende bronnen komt naar voren dat er weinig tot geen koppeling is tussen de wiskundevakken en de andere exacte vakken op het gebied van betrouwbaarheidscriteria en statistiek. Vaak blijkt de kennis van de middelbare scholier beperkt tot de noodzaak van een meting in duplo. Ook zijn er docenten van het HBO en universitaire docenten die constateren dat het somber gesteld is met de kennis van middelbare scholieren op het gebied van betrouwbaarheid van gegevens en foutenrekening. De voorliggende module is een poging hierin voor potentiële studenten in de bètavakken enige verbetering aan te brengen. Daarbij komen zaken aan bod als kritisch lezen, betrouwbaarheid van artikelen en verifieerbaarheid. Daarnaast wordt aandacht besteed aan zaken als berekenen en betekenis van de standaarddeviatie, kleinste kwadraten methode, lineaire regressie en capture-mark-recapture.De module is geschreven voor leerlingen in 5 VWO, maar kan (deels) gebruikt worden in de bovenbouw HAVO en VWO

3

InhoudInleiding ………………………………………………………………………..….

5Betrouwbaarheid van informatie………………………………………. 5Eén meting is geen meting……………………………………………….. 9Betrouwbaarheid van een meting, standaarddeviatie……… 9- Theorie en gebruik……………………………………………….……….

9- Praktische opdracht………………………………………………..….. 15Capture, mark, recapture………………………………………………… 17Correlatiecoëfficiënt………………………………………………………….

19Kleinste kwadraten methode…………………………………………... 24Lineaire regressie……………………………………………………………...

29Niet-lineaire regressie……………………………………………………….36Praktische opdracht meetvaardigheid……………………………… 38Eindopdrachten………………………………………………………….........

39Bijlage 1 Bepaling van het kopergehalte van messing....

………………………………………….…... 40Bijlage 2 Bepaling van het chloridegehalte van

“zeewater”…………………………………………….... 42Bijlage 3 Colorimetrische bepaling van het

fosfaatgehalte……………………………………..…. 43Bijlage 4 Aanpassing opdracht 11 voor Office 2003.. 44Bijlage 5 Interessante URL’s……………………………………… 45Bijlage 6 Gebruikte bronnen……………………………………… 46

4

Inleiding

Deze lessenserie is geschreven voor leerlingen die een van de bètaprofielen volgen. Bij de daartoe behorende vakken ben je regelmatig bezig met cijfers en grafieken, proefresultaten en andere informatie. Hoe kritisch ga jij om met aangereikte informatie? Is wat je leest een vaststaand uitgangspunt of zet jij er je eigen vraagtekens bij, controleer je via andere bronnen, heb je oog voor ontbrekende gegevens? Kortom, hoe kritisch ben je?Daarnaast verricht je zelf ook metingen. Die doe je vast wel in duplo, bijvoorbeeld bij het uitvoeren van een titratie. Maar hoe zeker ben je dan van je resultaat, zelfs als je het niveau haalt van een professionele analist? Hoe kun je een indruk krijgen en geven van de betrouwbaarheid van je eigen meetresultaten? Deze lessenserie gaat over het kritisch lezen en beoordelen van aangereikte informatie en over het wiskundig onderbouwd aangeven van de betrouwbaarheid van eigen meetresultaten. Als je in die context na deze lessenserie een kritischer mens bent geworden, dan heeft deze lessenserie aan zijn doelstelling voldaan. Niets is zeker en ook dat niet. We hopen dat je met plezier aan deze lessenserie zult werken.

Betrouwbaarheid van informatie

Ken je die reclames waarin geschermd wordt met hoge percentages? Zo van “80 % van de dames die reageerden op een enquête in een bepaald damesblad X vonden dat antirimpelcrème Y tot een vermindering van het aantal rimpels leidde”. Dat is toch mooi, zou je zeggen, bij gebruik van dit middel heb je dus 80 % kans op minder rimpels. En natuurlijk moet het wel iets goeds zijn, want deze crème is de enige waar ook nog zwetsodyne in zit!!!Natuurlijk zoek je onmiddellijk op internet naar zwetsodyne: niets over de samenstelling te vinden. En hoe zit het met die 80 % positieve reacties? Hebben er vijfduizend dames gereageerd of zijn het er misschien maar vijf? Wat zou de uitkomst van de enquête zijn geweest als er vijf anderen hadden gereageerd? Het ligt voor de hand dat niet alle Nederlandse vrouwen zijn ondervraagd of alle vrouwen ter wereld. Er is in het beste geval onderzoek gedaan aan de hand van een steekproef (in plaats van een populatieonderzoek aan de gehele populatie). De betrouwbaarheid van een steekproef is sterk afhankelijk van de grootte van de steekproef. Daarnaast is niet duidelijk welke criteria zijn gebruikt bij deze enquête. Zijn er rimpeltjes geteld, is er naar diepte van rimpels gekeken, is het een gevoelsmatig oordeel, mogelijk aangestuurd door de hoop dat het middel werkt? Is er een placebo onderzoek verricht? En is deze informatie overdraagbaar naar alle Nederlandse, Europese, etc. vrouwen of heeft de uitslag ook te maken met het feit dat alle deelneemsters een abonnement hebben op dit specifieke blad X?

5

Opdracht 1:Zoek zelf twee reclames waarbij je kritische noten plaatst bij in de reclame veronderstelde resultaten.

Nu komt het in de reclamewereld natuurlijk voor (goeden niet te na gesproken) dat men probeert iets aan de man of vrouw te brengen door het beter, mooier, goedkoper voor te stellen dan het in werkelijkheid is. Maar er zijn ook talloze volstrekt serieuze publicaties waarin niet alle informatie aanwezig is om tot een absolute interpretatie te komen. Dat gebeurt soms per ongeluk, soms in een behoefte tot vereenvoudiging voor de lezer, etc. Een mooi voorbeeld is een dia uit een presentatie die gebruikt werd bij een prima workshop. In deze dia werd grafisch gevisualiseerd hoe het concentratievermogen van scholieren afhangt van het tijdstip op de dag. Zie figuur 1.

Figuur 1 Verloop concentratievermogen van leerlingen (bron: 'How the brains learn' , David Sousa)

Je eerste reactie is mogelijk dat het voortgezet onderwijs tussen 1 uur en 3 uur ’s middags maar moet worden afgeschaft (en dat het idee van een siësta nog zo gek niet is?). Let wel, mogelijk geeft de dia een volkomen juist beeld en is onderwijs in deze uren ernstig minder effectief. Dat word ook gesuggereerd door de verhoudingen in de figuur: als de topwaarde 100% is en de ondergrens van de figuur 0 % lijkt me de invoering van een siësta in het Nederlandse onderwijs niet eens zo’n gek idee. Maar, om maar te overdrijven, als de onderkant van de figuur nu niet 0 % voorstelt, maar bijvoorbeeld 90 %?

6

Figuur 2 Verloop concentratievermogen van leerlingen?

Leidt dit niet tot een heel andere conclusie? Let wel, in dit voorbeeld gaat het niet over een interpretatie van de waarde van het onderzoek in kwestie. Geen idee, we beschikken niet over de echt onderzoeksgegevens. De boodschap voor jou is dat in de bewuste dia een gegeven ontbreekt, waardoor verschillende interpretaties mogelijk zijn. Om tot een echte conclusie te komen zul je dus op zoek moeten naar de bronnen. Het gaat er in dit voorbeeld dus om dat je je dat soort dingen realiseert. De eerste indruk van een grafiek is immers een vrij gevoelsmatige (wat een grote pieken en dalen) als je (nog) niet goed naar de indelingen van de assen kijkt. Overigens wordt in de praktijk vaker gebruik gemaakt van suggestieve grafieken met vervormende indelingen van de assen om de lezer te overtuigen van het betoog van de auteur.

Opdracht 2Volg een week het dagelijkse verloop van de AEX-index of de wisselkoers van de euro ten opzichte van de dollar, het pond of de yen(teletekstpagina 502). Maak hiervan twee grafieken waarbij je de eerste gebruikt om op de grote schommelingen te wijzen en de tweede om te onderbouwen dat het allemaal nogal mee valt.

In september 2011 verscheen op teletekst van de NOS een bericht over metingen waardoor de alom geaccepteerde theorieën van Einstein ter discussie kwamen te staan. Wetenschappers van CERN hadden volgens het bericht gemeten dat neutrino’s bij een meting 60 nanoseconden eerder waren aangekomen op het trefpunt dan met de snelheid van licht mogelijk zou zijn. En volgens Einstein’s theorie is sneller bewegen dan licht onmogelijk. Als je dit leest, wat komt er dan in je op? Verwondering? Vragen?

Opdracht 3Welke vraag zou je jezelf bij het bovenstaande bericht stellen?

7

Gelukkig werd er in het journaal van die dag al wat meer informatie gegeven: de neutrino’s waren afgeschoten in Genève en gedetecteerd bij het Gran Sasso Laboratorium in Italië, volgens de nieuwslezer een afstand van ongeveer 700 km.

Opdracht 4Bereken met de nu ter beschikking staande gegevens hoe groot de procentuele afwijking van de gemeten snelheid is ten opzichte van de lichtsnelheid. Vind je deze afwijking groot of juist klein? Beargumenteer je antwoord.

Nou gaat een echte criticus natuurlijk niet over één nacht ijs. Lees maar op http://press.web.cern.ch/press/PressReleases/Releases2011/PR19.11E.html en http://arxiv.org/abs/1109.4897 .

Opdracht 5Geef een korte samenvatting van de nieuwe informatie die je nu hebt verkregen.

Opdracht 6Doe met alle gegevens opnieuw een uitspraak over hoe ingrijpend jij de waarneming nu vindt en waarom.

8

Eén meting is geen meting

Een bekende uitdrukking is “meten is weten”. Maar wat is meten? Sowieso is elke meting waarbij je meetapparatuur gebruikt nooit 100 % zuiver. Elk apparaat heeft een beperkte nauwkeurigheid, al kan de daardoor veroorzaakte afwijking heel klein zijn. Soms zijn onzekerheden ook onontkoombaar. Als je een zuurbasetitratie uitvoert met behulp van een zuurbase indicator is er voor de kleurverandering van de indicator ook een beetje zuur of base nodig. Je gebruikt daardoor altijd iets te veel titrant. Hoeveel is dat? Gebruik je bij elke titratie evenveel indicator? Ook kunnen bij elke handeling die je bij de titratie uitvoert (kleine) afwijkingen optreden: het aflezen van een pipet of een buret zijn niet oneindig nauwkeurig. Door al deze “toevallige fouten” zullen zelfs bij het herhaald titreren van dezelfde homogene oplossing met dezelfde middelen niet steeds exact dezelfde uitkomsten worden verkregen. De ene keer kom je op een te hoog antwoord, de andere keer op een te laag antwoord. Door de meting te herhalen, kun je een gemiddeld resultaat bepalen en dat beschouwen als meest waarschijnlijke waarde. Maar hoe zeker of onzeker ben je dan nog over de werkelijke waarde? En hoe waardevol zijn de verschillende afzonderlijke metingen? Ken je aan elke meting een even grote waarde toe, laat je “uitschieters” weg, werk je met een gewogen gemiddelde? Zie hiervoor verder onder betrouwbaarheid van een meting, standaarddeviatie.Naast toevallige fouten zijn er ook systematische fouten. Dan doe je echt iets verkeerd of er is iets mis met een apparaat. Je leest consequent te hoog af, je gebruikt veel te veel indicator, je titreert steeds te lang door, je apparaat is niet goed geijkt, je pipet is kapot, etc. Hier helpt middelen en rekenen niet, het onderzoek moet overnieuw nadat de fouten zijn weggenomen.

Betrouwbaarheid van een meting, standaarddeviatie

Op school heb je vast wel eens een meting moeten uitvoeren en zul je ook geleerd hebben dat een meting in duplo (dus twee keer) moet worden uitgevoerd. Eigenlijk kun je er dan alleen nog iets mee als de twee gevonden waarden redelijk dicht bij elkaar liggen. Maar wat is redelijk? Sta je een verschil van 0,1 % toe, of 1 %, of 5%? Je voert twee metingen uit en vindt als uitkomsten 12,38 en 12,74. Vind je dat mooi genoeg? Wat geef je als resultaat van je onderzoek: “het antwoord is 12,56” of “het antwoord is 12,56 0,18” of …………..? Daarover bestaan op wiskunde gebaseerde afspraken die gebaseerd zijn op het aantal metingen en de afwijkingen van deze afzonderlijke metingen ten opzichte van het gemiddelde. Stel dat je tafelazijn titreert met natronloog. Ga er even van uit dat we in staat zijn om voldoende nauwkeurig steeds dezelfde hoeveelheid van 10,00 mL tafelazijn af te meten. Die is dus constant, maar we vinden bij verschillende titraties wel steeds een verschillend aantal ml natronloog:

9

meting

mL natronloog x

1 12,352 12,453 12,424 12,365 12,416 12,437 12,398 12,379 12,4010 12,38

Gemiddeld is er bij deze 10 metingen 12,396 mL natronloog (x = 12,396) gebruikt.Je bepaalt nu voor elke meting de afwijking van dit gemiddelde ( x−x ), dus bijvoorbeeld voor de eerste meting 12,35 – 12,396 = - 0,046. meting

mL natronloog x

afwijking van gemiddelde ( x−x )

1 12,35 -0,0462 12,45 0,0543 12,42 0,0244 12,36 -0,0365 12,41 0,0146 12,43 0,0347 12,39 -0,0068 12,37 -0,0269 12,40 0,00410 12,38 -0,016

Als de verschillende metingen dicht bij het gemiddelde liggen, mag je aannemen dat de werkelijke waarde ook dicht bij dit gemiddelde ligt. Je onzekerheid is dan klein. Hoe groot die onzekerheid is, kun je bepalen door de standaarddeviatie te berekenen. Daarvoor moet je een soort gemiddelde afwijking gaan bepalen waarin je alle “fouten” mee laat tellen. Hiervoor wordt de totale fout door het totaal aantal metingen gedeeld. Om de negatieve en positieve afwijkingen niet tegen elkaar weg te laten vallen, kwadrateer je de gevonden fouten:

10

meting

mL natronloog x

afwijking van gemiddelde ( x−x )

kwadraat van de afwijking ( x−x )2

1 12,35 -0,046 0,0021162 12,45 0,054 0,0029163 12,42 0,024 0,0005764 12,36 -0,036 0,0012965 12,41 0,014 0,0001966 12,43 0,034 0,0011567 12,39 -0,006 0,0000368 12,37 -0,026 0,0006769 12,40 0,004 0,00001610 12,38 -0,016 0,000256

De standaardafwijking of standaarddeviatie wordt nu gevonden door de kwadraten van de afwijkingen op te tellen, te delen door het aantal metingen en uit het dan verkregen getal de wortel te nemen:

= √∑i=1n

(x−x )2

n

In het voorbeeld leidt dit tot een standaarddeviatie = 0,0304.

Opdracht 7Reken dit na.

We nemen aan dat de verschillende meetwaarden normaal verdeeld zijn. Dat betekent dat er veel meetwaarden zijn die dicht bij het gemiddelde liggen en steeds minder naarmate de meetwaarden verder van het gemiddelde liggen. Wanneer het aantal meetwaarden dan wordt uitgezet tegen de gemeten waarde, ontstaat een klokvormige curve waarvan de top bij het gemiddelde ligt:

Figuur 3 Klokcurve bij binomiale verdeling

Deze methode voorspelt dan dat de uitkomst van 68 % van de metingen tussen de grenzen (gemiddelde waarde ) ligt en de uitkomst van 95 % van de metingen tussen de grenzen (gemiddelde 2):

11

Figuur 4 Grenzen verwachtingswaarde

Voor onze voorbeeldberekening betekent dit: je hebt 95% kans dat het werkelijke aantal ml natronloog tussen 12,396 0,0608 ligt en dus, na nette afronding 12,40 0,06 mL. Pas op, de werkelijke waarde kan nog steeds buiten dit interval liggen. Misschien is er wel sprake van een systematische fout.

Opdracht 8Ook het gemiddelde van de eerste twee metingen uit het voorgaande voorbeeld (duplometing) leveren een gemiddelde waarde van 12,40 mL. Bereken de standaarddeviatie op basis van slechts deze twee metingen en geef aan tussen welke waarden de uitkomst van dit onderzoek zou liggen met een zekerheid van 95%.

Opdracht 9In een andere meetserie worden voor tien titraties de volgende resultaten gevonden:

meting

mL natronloog

1 12,02 13,03 12,54 12,75 12,76 11,87 12,18 12,59 12,410 12,3

Bereken ook voor deze meetserie de standaarddeviatie en geef aan tussen welke waarden de uitkomst van dit onderzoek zou liggen met een zekerheid van 95%.

12

Opdracht 10Welke twee factoren spelen een belangrijke rol bij het bepalen van de uitkomst van een meting?

Bij de voorgaande opdrachten heb je heel wat rekenwerk moeten verrichten. Gelukkig staan ons heden ten dage andere middelen ter beschikking. In de opdrachten 11 en 12 ga je de resultaten uit een van de titratieseries bepalen met behulp van Excel en met behulp van de TI84.

Opdracht 11Open Excel (Office 2007, voor Office 2003 zie ook bijlage 4)Tik in cel A1 “meting”, in cel B1 “mL natronloog”, in cel C1 “afwijking van gemiddelde” en in cel D1 “kwadraat van de afwijking”.Tik in de cellen A2 t/m A11 het nummer van de metingen (eigenlijk is deze kolom voor het rekenwerk overbodig, maar zo krijg je vast een mooi overzicht van je resultaten en je berekening).Tik in de cellen B2 t/m B11 de verschillende resultaten van de metingen.Ga op cel A12 staan, klik op het pijltje naast het -teken op de werkbalk en kies “Aantal getallen”. Enter.Tik in cel A14 “gemiddelde”.Ga op cel B14 staan, klik op en sleep met de linkermuisknop ingedrukt over de cellen B2 t/m B11, plaats de cursor in de schrijfbalk achter het laatste haakje, tik / en klik op cel A12. Enter.Ga op cel C2 staan en tik “=B2-$B$14”. Enter. Ga weer op cel C2 staan, klik rechts, kies kopiëren en plak in de cellen C3 t/m C11. De $-tekens zorgen ervoor dat in alle cellen C2 t/m C11 telkens het gemiddelde B14 wordt afgetrokken. Kijk maar eens wat er gebeurt als je die tekens weglaat.Ga op cel D2 staan, ga naar “formules”, kies “functie invoegen” en kies “MACHT”. Klik achter “getal” op cel C2 en tik achter “macht” 2. Klik op OK.Ga weer op cel D2 staan, klik rechts, kies kopiëren en plak in de cellen D3 t/m D11.Tik in cel C14 “som/aantal metingen”.Ga op cel D14 staan, klik op en sleep met de linkermuisknop ingedrukt over de cellen D2 t/m D11, plaats de cursor in de schrijfbalk achter het laatste haakje, tik / en klik op cel A12. Enter.Tik in cel C15 “standaarddeviatie”.Ga op cel D15 staan, ga naar “formules”, kies “Logisch” en dan “functie invoegen” en kies “WORTEL”. Klik achter “getal” op cel D14. Klik op OK.In cel D15 staat nu de standaarddeviatie. Vergelijk deze met je antwoord van opdracht 7 of opdracht 9.Veel werk nog, vind je niet?

13

Ga nog eens in het zelfde Excel werkblad op cel D16 staan. Ga naar “formules”, kies “functie invoegen” en type bij de zoekfunctie STDEVP. Kies STDEVP en sleep met de linker muisknop ingedrukt over de cellen B2 t/m B11.Kies OK en vergelijk het resultaat met je antwoord van opdracht 7 of opdracht 9.Dat is een stuk sneller, toch?

Misschien kwam je ook STDEV en STDEVA tegen. Als je die functies gebruikt, krijg je iets andere waarden. Dat komt omdat STDEVP rekent aan al je metingen, net zoals je in de statistiek meet aan een totale populatie (bijvoorbeeld de hele Nederlandse bevolking). STDEV en STDEVA gebruik je als je een steekproef uit een populatie onderzoekt. Dat is onnauwkeuriger en daarom deel je dan in de formule voor de standaarddeviatie niet door n, maar door n – 1. Hoe groter de steekproef is, des te kleiner is natuurlijk het verschil.

Opdracht 12- Zet je TI84 aan en kies STAT, EDIT (ENTER)- Zorg dat de lijst die je gaat gebruiken leeg is. Stel dat dit L1 is,

zet de cursor op de eerste waarde van L1, met pijl omhoog naar L1, CLEAR (ENTER).

- Tik nu de gewenste waarden in: in dit geval de 10 meetwaarden van de titraties.

- Druk op STAT, kies CALC- Nu is 1-var Stats actief, dus ENTER- Kies 2ND LIST, L1- ENTER- ENTER- Vergelijk het resultaat met je antwoord van opdracht 7 of

opdracht 9 en het antwoord van opdracht 11.

Een praktische toepassing

Zoals we al eerder vermeldden heeft elk meetapparaat, hoe nauwkeurig ook, een beperking in zijn betrouwbaarheid. Meetinstrumenten moeten dan ook met enige regelmaat worden gecontroleerd om te onderzoeken of ze nog aan de eisen van betrouwbaarheid en nauwkeurigheid voldoen. In de volgende praktische opdracht gaan jullie zo’n onderzoek uitvoeren.

14

Opdracht 13Bepaal de betrouwbaarheid van een variabele repeteerpipet door met dit instrument een groot aantal malen een zelfde volume water te monsteren en door weging te bepalen hoeveel water er werkelijk is gemonsterd (N.B. let dus ook op de temperatuur van het water, zie de tabel hieronder). Doe dit tenminste bij een klein, een gemiddeld en een groot volume binnen het volumebereik van de pipet. Schrijf een verslag over je bevindingen.

Figuur 5: Eppendorf pipet

N.B. - Houd de pipet nooit ondersteboven- Werk nooit zonder pipetpunt (disposable)- Vullen: Duw de knop buiten de vloeistof niet helemaal in (tot

de aanslag) - Houd de pipetpunt nu in de vloeistof en laat de knop langzaam

los, zodat de pipet zich vult met de vooraf ingestelde hoeveelheid vloeistof

- Legen gebeurt door de knop geheel in te drukken (door de aanslag heen).

temperatuur (°C)

dichtheid (g/mL)

15 0,999102616 0,998946017 0,998777918 0,998598619 0,998408220 0,998207121 0,997995522 0,997773523 0,997541524 0,997299525 0,9970479

Figuur 6 Dichtheid van water (bron Handbook of Chemistry and Physics)Opdracht 14

15

Nu heb je bij opdracht 13 de betrouwbaarheid van een pipet getest. Maar daarbij heb je wel een balans of bovenweger gebruikt. En natuurlijk heeft geen enkel apparaat een absolute nauwkeurigheid. Hoe ga je dat oplossen?a Leg uit hoe je de betrouwbaarheid van de balans of bovenweger

gaat bepalen.b Leg uit hoe je met het resultaat en met het resultaat van opdracht

13 nu een uitspraak over de werkelijk gevonden betrouwbaarheid van de pipet kunt doen.

16

Hoeveel konijnen zitten er in het bos? Capture-Mark-Recapture.

Stel dat je als ecoloog een onderzoek in het bos om de populatie van konijnen te bepalen. Het is een flink karwei om alle konijnen uit het bos te vangen en te tellen. Bovendien weet je niet of je alle dieren uit het bos daadwerkelijk gevangen hebt. In dat geval brengt de Capture-Mark-Recapture-methode een oplossing.Je begint met een aantal konijnen te vangen en te merken. De gemerkte konijnen worden weer vrijgelaten en krijgen genoeg tijd om zich weer met de andere konijnen in het bos te verspreiden. Vervolgens ga je opnieuw konijnen vangen, maar je doet dit wel zo snel na de eerste vangst dat je in redelijkheid mag verwachten dat de populatie door zaken als geboorte, sterfte en migratie niet wezenlijk is veranderd. Het aantal gemerkte konijnen in je tweede vangst verhoudt zich tot het totaal aantal konijnen van de tweede vangst als het aantal gemerkte konijnen tot het totaal aantal konijnen in het bos. Dit stelt ons in staat een schatting van het aantal konijnen in het bos te maken volgens:

N=M∗CR

waarbij N staat voor het geschatte aantal konijnen in het bos, M voor het aantal bij de eerste vangst gemerkte konijnen, C voor het aantal bij de tweede vangst gevangen konijnen en R voor het aantal gemerkte konijnen dat bij de tweede vangst werd aangetroffen.

Dit verhaal vertelde mijn collega biologie, maar ongelovige die ik ben, wilde ik dat natuurlijk controleren. Nu ben ik niet het bos ingegaan, maar ik heb 80 zwarte legers van het spel Risk gemengd met 20 gele legers. Na mengen heb ik tien maal (telkens met hermengen na elke “vangst”) telkens 10 legers blind gepakt. Het resultaat was als volgt:

20 gele legers van totaal 100

poging aantal gele legers1 12 03 34 25 26 27 28 29 310 3

Opdracht 15

17

a Laat zien dat in dit geval de formule een juiste voorspelling geeft van het aantal gebruikte legers.

b Bereken de standaarddeviatie. Bedenk daarbij dat in het onderhavige geval sprake is van een aantal steekproeven in plaats van een totale populatiemeting. In verband met de (iets) grotere onbetrouwbaarheid pas je bij steekproeven de formule voor de standaarddeviatie aan tot:

= √∑i=1n

(x−x )2

n−1c Bereken wat met 95% betrouwbaarheid het minimum en maximum

totale aantal legers zou zijn.

Opdracht 16Probeer voorgaand onderzoek zelf ook eens. Heb je geen Risk thuis? Met witte en bruine bonen en talloze andere middelen lukt het ook. Ga niet het bos in.

Opdracht 17Binnen de hiervoor genoemde randvoorwaarden worden in een bos 100 konijnen gevangen. Deze worden gemerkt en weer los gelaten. Vervolgens worden na voldoende tijd tien keer 15 konijnen gevangen. Het aantal gemerkte konijnen per vangst vind je in de volgende tabel:

100 gemerkte konijnen

poging

aantal gemerkte konijnen per 15

1 52 43 74 45 66 57 68 49 410 5

Bereken wat met 95% betrouwbaarheid het minimum en maximum totale aantal konijnen in het bos zou zijn.

Fictie of waarheid: de correlatiecoëfficiënt

De correlatiecoëfficiënt is een hulpmiddel waarmee je kunt onderzoeken of er een statistisch verband is tussen twee variabelen. Dat kunnen twee

18

onafhankelijke variabelen zijn of een te kiezen variabele en een daarvan afhankelijke variabele. Realiseer je dat je met de correlatiecoëfficiënt een statistisch (zeg maar “rekenkundig”) verband kunt ontdekken. Daarmee is nog niet gezegd dat er ook een causaal (oorzakelijk) verband is. Immers, niets is zeker en ook dat niet. Lees bijvoorbeeld maar eens het volgende artikel uit NRC:

https://www.nrc.nl/nieuws/2010/12/20/hoe-meer-telefoonmasten-hoe-meer-geboortes/

Hoe meer telefoonmasten, hoe meer geboortes

DOOR STEVEN DE JONG

WETENSCHAP

Er is een sterke correlatie gevonden tussen het aantal telefoonmasten en het geboortecijfer per gemeente. Iedere extra mast staat volgens de Britse wiskundige Matt Parker  in verhouding tot 17,6 baby’s meer dan het landelijke gemiddelde.

Wie het niet gelooft, kan deze Excel-sheet bestuderen. Parker vatte de bevindingen samen en maakte er een persberichtje van. Hij wilde daarmee aantonen dat journalisten oorzakelijke en statistische verbanden nogal eens

19

door elkaar halen. Een kop als ‘Straling GSM-mast zorgt voor geboortegolf’ zou hem in zijn vooroordeel bevestigen.

Maar dat viel mee, legt hij aan de BBC uit. Dat media er niet intrapten wijt hij aan het gegeven dat hij ‘maar een gewone jongen’ is en geen vermaard wetenschapper met een gerenommeerd onderzoeksinstituut achter zich. Toch wilde hij een punt maken: al die berichten waarin een causaal verband wordt gelegd tussen kinderkanker en straling moeten niet zomaar voor waar aangenomen worden.

Dat neemt echter niet weg dat die sterke correlatie tussen telefoonmasten en het aantal borelingen staat als een huis. Hoe zit dat? Er is een derde factor, schrijft Parker in The Guardian. Namelijk de populatie. Telefoonmaatschappijen plaatsen veel masten in gebieden waar veel mensen wonen. En hoe meer mensen, hoe meer geboortes. Maar met straling heeft dat niets van doen.

Stel dat je het verband wilt onderzoeken tussen twee variabelen x en y. Je beschikt over waarden x1, x2, x3, …., xn bij waarden y1, y2, y3, …., yn.Je vraagt je af of er een statistisch lineair verband tussen y en x bestaat:

y = a.x + b

Als je de waarden van y uitzet als functie van x in een zogenaamde scatterplot (puntengrafiek) krijg je een figuur van de volgende gedaante:

Figuur 6 scatterplot

Als er een lineair verband tussen y en x bestaat, is het waarschijnlijk dat de daarbij behorende rechte door het punt x , y gaat. Dit punt is als het ware het zwaartepunt van je puntenverzameling:

20

Figuur 7 zwaartepunt

Voor de correlatiecoëfficiënt R geldt nu:

R= 1n−1∑i=1

n (x i−x ) . ( yi− y )❑x .❑y

De correlatiecoëfficiënt (symbool R) geeft aan hoe betrouwbaar het veronderstelde wiskundige verband y = a.x + b tussen y en x is. De waarde van de correlatiecoëfficiënt ligt tussen -1 en +1 ( -1 R 1 ). Bij negatieve waarden hoort een dalende lijn bij toenemende x (a < 0), bij positieve waarden van R hoort een stijgende lijn (a > 0). Dit tekenverschil wordt vaak ondervangen door niet R te geven, maar R2. Dat geeft dus informatie over de betrouwbaarheid van de gevonden functie zonder de aard van het verband (dalende of stijgende lijn) aan te geven.Voor de betrouwbaarheid van de gevonden functie gelden de volgende standaardregels:

- Als -0,1 < R 0 of 0 R < 0,1 is er geen correlatie, m.a.w. het gevonden verband is niet correct.

- Als -0,3 < R -0,1 of 0,1 R < 0,3 is er nauwelijks correlatie, m.a.w. het gevonden verband is onbetrouwbaar.

- Als -0,5 < R -0,3 of 0,3 R < 0,5 is er een matige correlatie, m.a.w. het gevonden verband is niet erg zeker.

- Als -1,0 R -0,5 of 0,5 R 1,0 is er een sterke correlatie, m.a.w. het gevonden verband is sterk en natuurlijk betrouwbaarder naarmate R dichter bij -1 of 1 ligt.

Als je naar de formule voor R kijkt, begrijp je dat er aardig wat rekenwerk vast zit aan het bepalen van de correlatiecoëfficiënt. Zie hiervoor ook het onderdeel “Kleinste kwadraten methode voor een lineair verband”. Gelukkig biedt een spreadsheet programma uitkomst: uit een tabel met waarden voor variabelen x en y kun je via formules/functie invoegen/correlatie snel de waarde van R uitrekenen.

21

Opdracht 18Een groepje leerlingen denkt dat er een lineair verband is tussen de concentratie van sulfaat in grond en de groei van waterkersplantjes op die grond. Onderzoek of hun resultaten deze hypothese ondersteunen. Maak weer gebruik van Excel.De meetresultaten vind je hierna:

sulfaatgehalte van de grond (mmol/L) groei waterkers /dag in mm2,3 0,97,8 2,50,5 2,14,1 2,76,7 1,23,4 3,31,8 0,39,3 1,55,1 2,88,2 1,4

Opdracht 19Een groepje leerlingen denkt dat er een lineair verband is tussen de pH van grond en de groei van waterkersplantjes op die grond. Onderzoek of hun resultaten deze hypothese ondersteunen. Maak gebruik van Excel.De meetresultaten vind je hierna:

pH van de grond groei waterkers /dag in mm4,9 0,96,8 3,65,4 1,36,2 2,75,1 1,26,5 3,34,0 0,35,7 1,56,2 2,85,4 1,4

Opdracht 20Op de autosnelweg A1 van Eindhoven naar Maastricht staat voor Maastricht om vijf uur ’s middags elke dag een file. De lengte van deze file voor een aantal verschillende dagen vind je in het overzicht hierna. In dat overzicht vind je ook het aantal eieren dat door de twintig kippen van boer

22

B. op een boerderij in Friesland werd gelegd. Bereken de correlatiecoëfficiënt. Wat zou jouw conclusie zijn?

kilometers file aantal eieren 4,9 47,8 125,7 83,8 2

12,1 206,5 88,4 159,3 185,1 68,2 11

23

Kleinste kwadraten methodevoor een lineair verband

Inleiding

Vaak weet of vermoed je dat er een lineair verband is tussen twee grootheden. Een voorbeeld is de snelheid y van een auto als functie van de tijd x bij een passeermanoeuvre. De snelheid op een bepaald tijdstip tijdens het passeren hangt af van de beginsnelheid en van de versnelling van de auto. Die beginsnelheid bij de passeermanoeuvre (b) en de versnelling (a) zijn onbekend. Wiskundig hebben we te maken met een vergelijking y = ax + b. Hoe vind je uit een aantal metingen (met daarin natuurlijk meetfouten) zo goed mogelijk de beginsnelheid en de versnelling van de auto?

Op een vijftal tijdstippen wordt de snelheid van de auto gemeten en zo wordt een meetserie verkregen, laten we zeggen (x1,y1), (x2,y2), (x3,y3), (x4,y4), (x5,y5). Daarbij horen in dit geval vijf lineaire vergelijkingen, te weten:

y1 =ax1 + by2 =ax2 + by3 =ax3 + by4 =ax4 + by5 =ax5 + b

Elk van deze vergelijkingen is gebaseerd op één meting en dus op elke mogelijke meetfout in die meting. Als je y grafisch uitzet tegen x, zul je merken dat de vijf meetpunten niet op een rechte lijn liggen. Hoe bepaal je de beste rechte lijn (dus het verband tussen snelheid en tijd en daarmee de beginsnelheid en de versnelling) met behulp van deze vijf meetgegevens? Een methode hiervoor is de kleinste kwadraten methode. In feite komt het erop neer dat je hiermee de rechte lijn bepaalt waarbij de som van de kwadraten van de afwijkingen ten opzichte van die lijn zo klein mogelijk is, met andere woorden de lijn ligt zo dicht mogelijk bij de verschillende meetpunten.

De bewerking

Stel je voor dat a en b bekend zijn. Dan zou voor elke x de werkelijke waarde van y te berekenen zijn en idealiter zou daar in onze vijf functies telkens hetzelfde uit komen. Door meetfouten is dat echter niet het geval. Er zal dus een afwijking zijn tussen de werkelijke y-waarde en de bijbehorende ax+ b. Die afwijking bedraagt [ywerkelijk – (ax + b)].De aldus verkregen verschillen worden gekwadrateerd en vervolgens gesommeerd. Laten we dit aangeven met S(a,b). Dan geldt:

24

S (a ,b )=∑i=1

n

[ y i−(ax1+b ) ]2

Van deze somfunctie bepaal je nu de afgeleide naar a en je bepaalt de afgeleide naar b. Door beide afgeleide functies gelijk aan 0 te stellen ontstaan twee formules voor het verband tussen a en b en daaruit kun je natuurlijk a en b bepalen. Door deze waarden in de algemene vergelijking y = ax + b in te vullen wordt dan de beste rechte lijn verkregen.

Vraag Waarom zou er gewerkt worden met het kwadraat van de verschillen en niet gewoon met de verschillen?

Een voorbeeld

De snelheid van een voertuig wordt vanaf een bepaald tijdstip telkens na 1 seconde gemeten. Na 1 seconde bedragen de gemeten snelheden 10,2 m/sec, na 2 seconden 12,5 m/sec, na 3 seconden 14,4 m/sec, na 4 seconden 16,6 m/sec en na 5 seconden 18,3 m/sec. Wat is het verband tussen snelheid en tijd bij dit voertuig? Hoe groot was de beginsnelheid en hoe groot was de versnelling?

Als formule nemen we het voor natuurkundigen bekende v = vo + at, waarbij v staat voor snelheid, vo voor de beginsnelheid, a voor de versnelling en t voor de tijd. In de volgende tabel vind je een overzicht van de 5 metingen waarin de gemeten v naast t, [v – (vo + at)] en [v – (vo + at)]2 zijn weergegeven:

t (sec) v (m/sec) [v – (vo + at)] [v – (vo + at)]2

1 10,2 [10,2 – (vo + a)] [10,2 – (vo + a)]2 2 12,5 [12,5 – (vo + 2a)] [12,5 – (vo + 2a)]2 3 14,4 [14,4 – (vo + 3a)] [14,4 – (vo + 3a)]2 4 16,6 [16,6 – (vo + 4a)] [16,6 – (vo + 4a)]2 5 18,3 [18,3 – (vo + 5a)] [18,3 – (vo + 5a)]2

We moeten nu de laatste kolom bij elkaar optellen en krijgen (zie bij De bewerking):S(vo,a) = [10,2 – (vo + a)]2 + [12,5 – (vo + 2a)]2 + [14,4 – (vo + 3a)]2 +

[16,6 – (vo + 4a)]2 + [18,3 – (vo + 5a)]2

Hiervan moeten we nu de afgeleides bepalen naar vo en naar a en de verkregen formules op nul stellen (denk aan de kettingregel):

dS(vo,a)/dvo = 2. [10,2 – (vo + a)].-1 + 2. [12,5 – (vo + 2a)].-1 + 2.[14,4 – (vo + 3a)].-1 + 2. [16.6 – (vo + 4a)].-1 + 2.[18.3 – (vo + 5a)].-1 = - 144 + 10vo + 30a = 0

25

Dus 10vo + 30a -144 = 0

dS(vo,a)/da = 2. [10,2 – (vo + a)].-1 + 2. [12,5 – (vo + 2a)].-2 + 2. [14,4 – (vo + 3a)].-3 + 2. [16.6 – (vo + 4a)].-4 + 2.[18.3 – (vo + 5a)].-5 = - 472.6 + 30vo + 110a = 0

Dus 30vo + 110a – 472.6 = 0

Vermenigvuldig de eerste vergelijking met 3, dan volgt daaruit dat 30vo = 432 – 90a.Vul dit in in de tweede vergelijking: 432 – 90a + 110a – 472,6 = 0Je vindt a = 2,03 m/sec2.Als we dit weer invullen in één van de vergelijkingen van de afgeleiden, bijvoorbeeld de eerste, vinden we 10vo + 60.9 -144 = 0.Je vindt v0 = 8,31 m/sec.De beste rechte lijn vindt je in de volgende grafiek. Dat is dus de lijn met de vergelijking

v = 8,31 + 2,03t

Zoals je ziet, zijn de meetpunten netjes verdeeld tussen een aantal punten onder en boven de ideale lijn.

0 2 4 6 8 10 1289

1011121314151617181920

tijd (sec)

snel

heid

(m/s

ec)

Opdracht 21Veronderstel dat de tijd t die een postbode nodig heeft om zijn wijk te lopen afhangt van zijn voorbereidingstijd to , de tijd voor het afleveren van een poststuk tp en de hoeveelheid post die hij moet bezorgen a. Neem aan dat to en tp bij benadering constant zijn. Er geldt dan natuurlijk t = tp a + to. De postbode meet gedurende vijf dagen de tijd die hij voor zijn wijk nodig heeft. De resultaten vind je in onderstaande tabel:

26

aantal poststukken

tijd (minuten)

678 378752 401593 358832 480712 390

Bepaal to en tp met behulp van de kleinste kwadratenmethode.

Opdracht 22Zet je TI84 aan en kies STAT, ENTERZorg dat de lijst die je gaat gebruiken leeg is. Stel dat dit L1 is, zet de cursor op de eerste waarde van L1, met pijl omhoog naar L1, CLEAR, ENTER.Tik nu de gewenste waarden in: in dit geval aantal poststukken in L1 en de tijd in L2.Druk op STAT, kies CALCKies 4:LinReg(ax+b), ENTERVergelijk het resultaat met je antwoord van opdracht 18.

Opdracht 23Open Excel (Office 2007)Tik in cel A1 “aantal poststukken” en in cel B1 “tijd (minuten)”. Tik in de cellen A2 t/m A6 het aantal poststukken van elke meting: zorg voor een oplopende volgorde in aantal. Tik in de cellen B2 t/m B6 de verschillende tijden van de metingen.Selecteer de cellen B2 t/m B6 door te slepen.Ga naar het tabblad “Invoegen” en kies “Spreiding” en onder “Spreiding” de eerste mogelijkheid. Klik rechts op de ontstane grafiek en kies “Gegevens selecteren” en klik daar op “Bewerken”.Klik in het vak onder “Reeks X-waarden” en selecteer door slepen de cellen A2 t/m A6. Klik op OK en nogmaals op OK.Ga op een punt in de grafiek staan en klik rechts.Kies “Trendlijn toevoegen”.In het blad dat nu opent staat “lineair”al actief. Vink onderaan de twee onderste opties (vergelijking, R2) aan en vul bij “voorspelling terug” 593 in.Vergelijk het resultaat met die van de opdrachten 21 en 22.

27

Lineaire regressie

Stel, je meet een variabele y als functie van een gekozen variabele x. Tussen deze twee variabelen is een lineair verband volgens y = ax + b, waarbij a en b constantes zijn.Je voert een aantal metingen uit, waarbij je een aantal waarden van y meet bij verschillende waarden van x. Wat zou het mooi zijn als al je meetwaarden precies op een rechte lijn liggen en als die lijn bovendien het juiste verband geeft tussen x en y. Maar door toevallige fouten bij je metingen lukt dat niet. Als je de punten in een x,y-diagram uitzet, zie je dat de meetpunten niet op een rechte lijn liggen:

Figuur 8 Gemeten waarden van y bij verschillende waarden van x.

Hoe benader je nu toch zo goed mogelijk de juiste waarden van a en b, met andere woorden hoe vind je de beste rechte lijn passend bij het totaal van je meetwaarden? Je zou natuurlijk een poging kunnen wagen op het oog:

Figuur 9 De beste rechte lijn.

28

Helaas geeft dat niet erg veel zekerheid:

Figuur 10 De beste rechte lijn?

De oplossing ligt in de toepassing van een afgeleide van de kleinste kwadratenmethode, genaamd lineaire regressie. Daarbij zoek je naar de best passende lijn waarbij de som van de kwadraten van de afwijkingen van je meetpunten ten opzichte van je lijn zo klein mogelijk is (ook hier wordt weer met kwadraten gewerkt om dezelfde reden als bij de standaarddeviatie):

Figuur 11 Afwijkingen van de meetpunten t.o.v. de lijn.

Om dit te realiseren, moeten een aantal stappen worden doorlopen:- Bepaal x en y.- Bepaal voor elke afzonderlijke meting ( x−x ) en ( y− y ).- Bepaal ( x−x )2 en ( y− y )2.- Bepaal de standaarddeviaties van x en y: ❑x en ❑y.

29

- Bepaal voor elke afzonderlijke meting ( x−x ) . ( y− y ).- Hieruit wordt de correlatiecoëfficiënt R bepaald:

R= 1n−1∑i=1

n (x i−x ) . ( yi− y )❑x .❑y

- Nu kan de waarde van de richtingscoëfficiënt a van de lijn worden bepaald als:

a=R .❑y

❑x

- Vervolgens wordt de constante b bepaald met b= y−a . x

Je begrijpt, dit brengt een forse hoeveelheid rekenwerk met zich mee. Gelukkig beschikken we over grafische rekenmachines en over computers met spreadsheetprogramma’s als Excel en kunnen we ons veel werk besparen, zoals je al hebt gezien bij de opdrachten 22 en 23.

Opdracht 24Van een gekleurde oplossing van een stof is een verdunningsreeks gemaakt. Van deze reeks is met behulp van een colorimeter de extinctie (uitdoving) van licht van een bepaalde golflengte gemeten. Volgens de wet van Lambert-Beer is deze extinctie rechtevenredig met de concentratie van de opgeloste stof. In deze opdracht ga je op zoek naar het verband tussen de concentratie en de extinctie en bepaal je de correlatiecoëfficiënt. Dat doe je eerst door een eigen berekening met behulp van Excel en daarna gebruik je de formule editor van Excel.De meetwaarden van het onderzoek vind je in de volgende tabel:

X ymmol/L extinctie

0 01 0,0522 0,1343 0,2224 0,3185 0,4056 0,4967 0,5558 0,6509 0,730

10 0,794

a Breng deze tabel over in een Excel werkblad van de volgende gedaante en vul de lege kolommen met behulp van het invoeren van de formules in de cellen A16, B16, C3, D3, E3, C16 en D16:

30

X yX min

X(gemiddeld)Y min

Y(gemiddeld)X min X(gemiddeld) maal Y min

Y(gemiddeld)mmol/L extinctie      

0 0 =A3-$a$16 =B3-$B$16 =C3*D31 0,052      2 0,134      3 0,222      4 0,318      5 0,405      6 0,496      7 0,555      8 0,650      9 0,730      

10 0,794      

X(gemiddeld) Y(gemiddeld)(X min

Xgem)kwadraat(Y min

Ygem)kwadraat=GEMIDDELDE(A3:A13) =GEMIDDELDE(B3:B13) =MACHT(C3;2) =MACHT(D3;2)

STDV X STDV Y

Correlatiecoëfficiënt R

b Vul door middel van kopiëren de cellen C4 t/m C13, D4 t/m D13, C17 t/m C26 en D17 t/m D26.

c Voer nu de formules in de cellen A19, B19 en A22 in:

31

X yX min

X(gemiddeld)Y min

Y(gemiddeld)X min X(gem) maal Y

min Y(gem)mmol/L extinctie      

0 0 =A3-$a$16 =B3-$B$16 =C3*D31 0,052      2 0,134      3 0,222      4 0,318      5 0,405      6 0,496      7 0,555      8 0,650      9 0,730      

10 0,794      

X(gemiddeld) Y(gemiddeld)(X min

Xgem)kwadraat(Y min

Ygem)kwadraat=GEMIDDELDE(A3:A13) =GEMIDDELDE(B3:B13) =MACHT(C3;2) =MACHT(D3;2)

STDV X STDV Y=WORTEL(SOM(C16:C26)/10) =WORTEL(SOM(D16:D26)/10

Correlatiecoëfficiënt R=SOM(E3:E13)/(A19*B19*10)

d Vul nu aan met de uiteindelijke berekening van m en b in de formule Y = mX + b:

32

X yX min

X(gemiddeld)Y min

Y(gemiddeld)X min X(gem) maal

Y min Y(gem)mmol/L extinctie      

0 0 =A3-$a$16 =B3-$B$16 =C3*D31 0,052      2 0,134      3 0,222      4 0,318      5 0,405      6 0,496      7 0,555      8 0,650      9 0,730      

10 0,794      

X(gemiddeld) Y(gemiddeld)(X min

Xgem)kwadraat(Y min

Ygem)kwadraat=GEMIDDELDE(A3:A13) =GEMIDDELDE(B3:B13) =MACHT(C3;2) =MACHT(D3;2)

   STDV X STDV Y    

=WORTEL(SOM(C16:C26)/10) =WORTEL(SOM(D16:D26)/10       

Correlatiecoëfficiënt R    =SOM(E3:E13)/(A19*B19*10)    

            

Y = m X + bm = =A22*B19/A19b = =B16-B25*A16

Goed, dat was weer een behoorlijke klus. In de volgende opdracht herhalen we de vorige berekening met een beter gebruik van de functionaliteit van Excel.

Opdracht 25a Maak in Excel het volgende werkblad:

33

X ymmol/L extinctie

0 01 0,0522 0,1343 0,2224 0,3185 0,4056 0,4967 0,5558 0,6509 0,73010 0,794

STDV X STDV Y=STDEV(A3:A13) =STDEV(B3:B13)

Correlatiecoëfficiënt R=CORRELATIE(A3:A13;B3:B13)

Y = m X + bm = =A19*B16/A16b = =GEMIDDELDE(B3:B13)-GEMIDDELDE(A3:A13)*B22

b Maak nu ook een grafiek met behulp van Excel met trendlijn, formule en R2 in de weergave. Zie hiervoor zo nodig opdracht 23.

Opdracht 26Probeer het probleem van de opdrachten 24 en 25 op te lossen met behulp van je grafische rekenmachine. Zie hiervoor zo nodig opdracht 22.

Opdracht 27Onderzoek het probleem van de postbode (opdracht 21) nu nog eens met behulp van lineaire regressie. Kies daarbij zelf welk hulpmiddel je daarbij gebruikt.

34

Niet-lineaire regressie

Regressieberekeningen zijn ook toepasbaar als er niet een lineair verband, maar een ander wiskundig verband is tussen twee variabelen. Op de theorie van deze berekeningen gaan we hier niet in, maar Excel berekent ook dit braaf voor je. Als voorbeeld kijken we naar de reactie tussen magnesium en zoutzuur. Er worden een aantal metingen uitgevoerd, waarbij telkens alle omstandigheden (hoeveelheid magnesium, temperatuur, volume zoutzuur, etc.) constant worden gehouden en uitsluitend de molariteit van het zoutzuur (en dus [H3O+]) wordt gevarieerd. Als we naar de reactievergelijking kijken en veronderstellen dat de reactie in één stap verloopt, verwachten we een kwadratisch verband tussen de reactiesnelheid s en [H3O+]:

Mg(s) + 2H3O+ Mg2+(aq) + H2(g) + 2H2O(l)

s = k*[H3O+]2

Opdracht 28Bij een onderzoek naar de reactie van magnesium met zoutzuur worden de volgende meetgegevens verkregen:

[H3O+] reactietijd mol/L sec0,10 14050,20 3720,50 571,0 162,0 5

100 mg Mg/proefmmol Mg/proef

100 mL HCl/proef

a Neem dit overzicht over in een Excel werkblad, zorg dat het aantal mmol Mg per proef wordt ingevuld, breid het werkblad uit met de kolommen in de volgende figuur en zorg dat de nieuwe kolommen worden ingevuld:

35

[H3O+] reactietijd gemiddelde

reactiesnelheidgemiddelde

reactiesnelheid

mol/L sec mmol Mg per secondemol H3O+ per liter per

sec0,10 14050,20 3720,50 571,0 162,0 5

100 mg Mg/proefmmol Mg/proef

100 mL HCl/proef

b Maak in Excel een grafiek om de kwadratische afhankelijkheid van de reactie van [H3O+] te onderzoeken en de snelheidsconstante k te bepalen. Kies bij de trendlijn voor “Macht”, zorg dat de grafiek loopt vanaf [H3O+] = 0 en zorg dat R2 en de functie worden weergegeven.

c Wat is je conclusie ten aanzien van het verband?

d Hoe groot is de snelheidsconstante k?

36

Praktische opdracht (wedstrijd)

Veel gerenommeerde laboratoria nemen deel aan een zogenaamde rondzending. Daarbij krijgen ze een monster van een of andere stof waarvan ze de concentratie moeten bepalen. Ze rapporteren hun resultaten bij een commissie die op deze wijze toezicht houdt op de betrouwbaarheid van de resultaten van deze laboratoria.In deze opdracht gaan jullie hetzelfde doen. Verschillende scholen krijgen van het Junior College Utrecht (JCU) hetzelfde monster toegestuurd. Jullie onderzoeken wat de concentratie van de onderzochte stof in het monster is en rapporteren jullie resultaten via je scheikundedocent aan het JCU. Natuurlijk bepalen jullie niet alleen de meest waarschijnlijke waarde, maar berekenen en rapporteren jullie ook het betrouwbaarheidsinterval van jullie resultaat. Het is aan jullie om de werkzaamheden zo te verdelen dat op jullie school een zo goed mogelijk resultaat wordt verkregen.Als jullie resultaten voldoende overeenstemmen met de werkelijke concentratie, krijgen jullie een certificaat. En misschien komt er voor de beste prestatie een (wissel)beker?

Een aantal voorschriften voor bepalingen vind je in de bijlage. Je docent kan je vertellen welk van de daar beschreven bepalingen moet worden uitgevoerd.

37

Eindopdracht 1Bedenk zelf een statistisch onderzoek dat betrekking heeft op jouw school en voer dat na goedkeuring door je docent uit. Bedenk maar wat leuks, onderzoek bijvoorbeeld tussen welke twee tijdstippen je mag verwachten dat 95% van alle leerlingen ’s ochtends aan het begin van de lesdag op school is. Of misschien vind je het interessanter om te onderzoeken wat de te verwachten gemiddelde omzet van broodjes gezond in de kantine op een dag in de week is. Of ………………

Eindopdracht 2Schrijf een artikel onder de titel “In twijfel ligt zekerheid”. Kies zelf je doelgroep, gebruik de module en eventueel bronnen naar keuze. Maak in je artikel duidelijk wat voor jou de betekenis is van de inhoud van deze module.

38

Bijlage 1 Bepaling van het kopergehalte van messing

In dit onderzoek ga je proberen het kopergehalte van messing te bepalen.Messing is een legering van koper en zink.Het metaal kan worden opgelost in geconcentreerd salpeterzuur, waarbij zowel het koper als het zink door een redoxreactie als tweewaardige positieve ionen in oplossing gaan. Bij deze reactie komen giftige nitreuze dampen vrij. De oplossing waarin de koper- en zinkionen zitten is natuur-lijk vreselijk zuur.

Koper(II)-ionen reageren snel en volledig met jodide-ionen. Als je aan een oplossing van koper(II)-ionen kaliumjodide toevoegt, verloopt de volgende reactie:

2 Cu2+(aq) + 4 I-(aq) 2 CuI(s) + I2(aq)

Je mag aannemen dat het gevormde neerslag van koper(I)jodide bij een titratie niet reageert.

Het gevormde jodium kan worden getitreerd met een oplossing van natriumthiosulfaat. Daarbij verloopt de volgende reactie:

I2(aq) + 2 S2O32-(aq) 2 I-(aq) + S4O62-(aq)

Daardoor wordt de bruine oplossing die na toevoegen van kaliumjodide is ontstaan steeds lichter van kleur. De lastige kleuromslagvan lichtgeel naar kleurloos wordt beter zichtbaar gemaakt door aan het eind van de titratie wat stijfsel toe te voegen dat met jodium een donkerblauwe kleur geeft. De dan optredende kleuromslag van donkerblauw naar kleurloos is goed waarneembaar.

Werkwijze- Weeg het verstrekte stukje messing nauwkeurig (het moet

tussen de 500 en 800 mg wegen).- Los het stukje messing op in 10 mL geconcentreerd salpeterzuur.

Dit duurt ongeveer een kwartier. Denk aan de veiligheid: zuurkast, veiligheidsbril.

- Voeg 10 mL water toe en kook even ter verwijdering van resten nitreuze dampen. Hierna kan met de verkregen oplossing buiten de zuurkast gewerkt worden.

- Breng het reactiemengsel over in een maatkolf van 100 mL en vul aan tot de maatstreep.

- Pipetteer 25,00 mL van de verkregen oplossing.- Voeg 1,5 gram kaliumjodide toe.- Titreer met een circa 0,1 M Na2S2O3 oplossing. Als de oplossing

nog slechts lichtgeel is, dienen enkele ml stijfsel te worden toegevoegd.

39

Het spreekt voor zich dat de molariteit van de natriumthiosulfaat oplossing nauwkeurig bekend moet zijn. Deze molariteit kan worden vastgesteld door aan een afgewogen hoeveelheid kaliumjodaat KIO3 verdund zwavelzuur en overmaat kaliumjodide toe te voegen en het gevormde jodium te titreren met de oplossing van natriumthiosulfaat.

40

Bijlage 2 bepaling van het chloridegehalte van “zeewater”.

Bij deze bepaling wordt een monster zelfgemaakt “zeewater” ter beschikking gesteld. De opdracht is zo nauwkeurig mogelijk het chloridegehalte van dit “zeewater” te bepalen.Je maakt daarbij gebruik van de neerslagreactie tussen zilverionen en chlorideionen en van het feit dat zilverchromaat minder slecht oplosbaar is dan zilverchloride. Hierdoor zal, bij titratie van het water, pas rood zilverchromaat neerslaan als er nog slechts een verwaarloosbaar kleine chlorideconcentratie in het watermonster aanwezig is.

Werkwijze- Maak een kaliumchromaatoplossing door 5 gram kaliumchromaat

per 100 mL water op te lossen.- Zorg zo nodig door het toevoegen van enkele druppels 4 M HNO3

dat de pH van het “zeewater” tussen 5,5 en 6,0 is.- Onderzoek eerst door reageerbuisproeven met het water en

verschillende zilvernitraatoplossingen wat ongeveer een geschikte concentratie van je zilvernitraatoplossing is (voor 10 mL van het water moet dan tussen de 10 en 25 mL zilvernitraatoplossing nodig zijn, vergeet niet enkele druppels van de kaliumchromaatoplossing toe te voegen).

- Meet 10,00 mL “zeewater” af, vul met gedestilleerd water aan tot 100 mL en voeg hieraan 6 mL van de kaliumchromaatoplossing toe.

- Titreer met de zilvernitraatoplossing tot er zichtbaar enige tijd rode druppels in de oplossing zichtbaar zijnals er zilvernitraat wordt toegevoegd.

- Titreer nu voorzichtig verder tot de citroengele kleur van de oplossing overgaat in een soort jus d’orange kleur.

41

Bijlage 3 Colorimetrische bepaling van het fosfaatgehalte (bewerkte RIS-publicatie)

Voor deze bepaling wordt een oplossing van natriumfosfaat verstrekt met een onbekende concentratie. Fosfaationen vormen met een oplossing van natriummolybdaat een complex dat door reductie met tin(II)chloride een blauwgekleurde oplossing levert. Door ervoor te zorgen dat natriummolybdaat en tin(II)chloride in overmaat aanwezig zijn is de mate van blauwkleuring een maat voor de fosfaatconcentratie. Dit is te meten met een colorimeter bij golflengten van 660 nm of hoger.

Werkwijze- Maak een standaardoplossing door 0,072 KH2PO4 op te lossen tot

een volume van 500 mL (dit komt overeen met 100 mg fosfaat PO43- per liter).

- Los 2,5 gram natriummolybdaatdihydraat Na2MoO4.2H2O op in 100 mL 2 M H2SO4.

- Voeg aan 1,0 gram tin(II)chloridedihydraat SnCl2.2H2O 2,5 mL geconcentreerd zoutzuur toe.

- Verdun 0,3 mL van de tin(II)chloride oplossing (6 druppels) met gedestilleerd water tot 100 mL.

- Maak nu zes oplossingen door respectievelijk 0; 0,5; 1,0; 1,5; 2,0 en 2,5 mL van de standaardoplossing met gedestilleerd water aan te vullen tot 10,0 mL. De eerste oplossing dient als blanco.

- Voeg aan elk van de zes oplossingen 3 mL natriummolybdaatoplossing en 2 mL tin(II)chlorideoplossing toe.

- Meet nu van de vijf verdunningen van je standaardoplossing bij een golflengte van 660 nm of hoger deextinctie ten opzichte van de blanco.

- Maak met behulp van de resultaten een ijklijn.- Neem 10 mL van de onbekende fosfaatoplossing en voeg ook

hieraan 3 mL natriummolybdaatoplossing en 2 mL tin(II)chlorideoplossing toe.

- Meet ook van deze oplossing de extinctie ten opzichte van de blanco.

N.B. Afhankelijk van de resultaten is het mogelijk dat de onbekende fosfaatoplossing bij een te hoge fosfaatconcentratie een aantal malen moet worden verdund om een extinctie te kunnen meten.

42

Bijlage 4 (bij opdracht 11)

Er staat bij herhaling in de opdracht:‘ga naar “formules”, kies “functie invoegen” en kies “MACHT”’‘ga naar “formules”, kies “Logisch” en dan “functie invoegen” en kies “WORTEL”’‘Ga naar “formules”, kies “functie invoegen” en type bij de zoekfunctie STDEVP’

In de Excel van Office 2003 werkt dit anders.Je doet het volgende: je gaat naar “invoegen”, je kiest “functie”, je kiest “alles” en dan kies je “WAT JE NODIG HEBT”.

43

Bijlage 5: Interessante URL’s- http://www.fontys.nl/.../sittard/.../Toetsing%20en%20Toetsanalyse.pdf- http://en.wikipedia.org/wiki/

Lineair_least_squares_(mathematics)#Motivational_example- http://en.wikipedia.org/wiki/Least_squares - http://en.wikipedia.org/wiki/Regression_analysis - http://en.wikipedia.org/wiki/Mark_and_recapture- http://www.hhofstede.nl/modules/kettingregel.htm - http://home.kpn.nl/degraan/documents/54.html - http://www.biometris.wur.nl/UK/Staff/Lia+hemerik/Pdf/default.htm , ga naar

“regressie voor leerlingen” of “regressie voor docenten”

44

Bijlage 6: Gebruikte bronnen

- Statistiek voor dummies, Deborah Rumsey, PhD, Pearson Education Benelux bv, Amsterdam (2004), oorspronkelijke Engelstalige uitgave Wiley Publishing Inc., Indianapolis (2003).

- Afbeelding voorpagina: www.fradet.nl/boetseren.htm- Figuur 1, pagina 6: afbeelding van : 'How the brains learn' ,

David Sousa, met dank aan Truus Romgens, natuurlijkleren.org- Pagina 8:

http://press.web.cern.ch/press/PressReleases/Releases2011/PR19.11E.html

- Pagina 8: http://arxiv.org/abs/1109.4897- Pagina 19: https://www.nrc.nl/nieuws/2010/12/20/hoe-meer-

telefoonmasten-hoe-meer-geboortes/- NL&T-module “Zuiver drinkwater?!”, Gjalt Prins en Paul Drijvers,

Freudenthal Instituut, Universiteit van Utrecht (2009).

45