WiskundeinzelfstudievoorMPM KULeuven...Hoofdstuk 1 Algebra¨ısch rekenen Inleiding In dit hoofdstuk...

Wiskunde in zelfstudie voor MPM

KU Leuven

2017-2018

Voorwoord

Deze zelfstudiecursus Wiskunde is opgesteld voor studenten Bachelor in het milieu- en preventiemana-gement (MPM) van KU Leuven campus Brussel. In de opleiding MPM wordt een degelijke basiskennisvan Wiskunde in verschillende opleidingsonderdelen verondersteld of is het zeer nuttig, denk aan bij-voorbeeld vakken gebaseerd op chemie, mechanica, fysica, statistiek, . . . Van de studenten MPM wordtverwacht dat ze minstens de leerstof in deze cursus beheersen en vooral de vaardigheid hebben dezetoe te passen waar nodig.

Het materiaal in deze zelfstudiecursus werd aangeleverd door dr. Sophie Raedts, Monitoraat Weten-schappen KU Leuven, en komt grotendeels uit [3] en [4] (op hoofdstuk 7 na, dat werd gehaald uit [8]).Dit uitstekend basismateriaal werd waar nodig aangepast of aangevuld zodat het geschikter is voorstudenten MPM en voldoet aan de noden voor wat betreft voorkennis voor die opleiding.

Zoek je naast het materiaal in deze cursus nog extra oefenmateriaal dan kan je terecht in BasisboekWiskunde van Jan van de Craats en Rob Bosch, gratis online beschikbaar zonder oplossingen van deoefeningen of volledig in de bibliotheek.

Met opmerkingen of vragen in verband met deze cursus kan je terecht op [email protected].

Wendy Goemans

September 2017

iii

[email protected]

Inhoudsopgave

1 Algebraısch rekenen 1

1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.1.1 Rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Rekenen met breuken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2.1 Rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.3 De machtsverheffing: definitie en rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.3.1 Machtsverheffing met een reeel grondtal en een gehele exponent . . . . . . . . . 4

1.3.2 Machtsverheffing met een strikt positief reeel grondtal en een reele exponent . 5

1.4 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Veeltermvergelijkingen 11

2.1 Veeltermvergelijkingen van graad 1 en 2 oplossen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.1 Lineaire veeltermvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2.1.2 Kwadratische veeltermvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2 Tekenverloop veeltermfuncties van graad 1 en 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.1 Werkwijze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.2.2 Tekenverloop en grafieken van lineaire functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.2.3 Tekenverloop en grafieken van kwadratische functies . . . . . . . . . . . . . . . 18

2.3 Oplossen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.3.1 Voorbeelden uit de fysica en chemie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.4 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Goniometrie en vlakke meetkunde 27

3.1 Goniometrie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.1 Goniometrische cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.1.2 Goniometrische formules . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

3.1.3 Goniometrische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3.1.4 Cyclometrische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.2 Vlakke meetkunde . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

v

vi INHOUDSOPGAVE

3.2.1 Driehoeken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34

3.2.2 De cirkel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3.2.3 Rechten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3.3 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

4 Rekenen met vectoren in de fysica 39

4.1 Scalaire versus vectoriele grootheden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

4.2 Vectoren in een cartesiaans assenstelsel – vectorcomponenten . . . . . . . . . . . . . . 40

4.3 Bewerkingen met vectoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3.1 Som en vermenigvuldiging met een scalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.3.2 Scalair product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.3.3 Vectorieel product . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

4.4 Voorbeeldvectoren uit de fysica. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

4.5 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

5 Exponentiele en logaritmische functies 49

5.1 Exponentiele functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1.1 Inleidend voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1.2 Machten met reele exponenten: rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

5.1.3 Exponentiele functie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5.2 Logaritmische functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2.1 Inleidend voorbeeld . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

5.2.2 Definitie en eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

5.2.3 Bijzondere logaritmen log10 = log en loge = ln . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.2.4 Rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

5.2.5 Overgang naar andere grondtallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.2.6 Voorbeeldoefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

5.3 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57

6 De afgeleide functie: rekenregels en toepassingen 61

6.1 Definitie – Betekenis van de afgeleide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

6.1.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

6.2 Standaardafgeleiden en rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2.1 Standaardafgeleiden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.2.2 Rekenregels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

6.3 Voorbeeldoefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

6.4 Toepassingen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.4.1 Belang van afgeleiden in het bepalen van het verloop van functies . . . . . . . . 67

INHOUDSOPGAVE vii

6.4.2 Toepassingen uit de fysica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

6.4.3 Optimalisatieproblemen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

6.5 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

7 Integralen 73

7.1 Definities en eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.1.1 Definitie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.1.2 Eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

7.1.3 Meetkundige betekenis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.2 Enkele primitieve functies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.3 Integratiemethoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.3.1 Handige eigenschappen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74

7.3.2 Substitutie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.3.3 Partiele integratie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.4 Toepassing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

7.5 Oefeningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

viii INHOUDSOPGAVE

Hoofdstuk 1

Algebraısch rekenen

Inleiding

In dit hoofdstuk worden een aantal basisrekentechnieken herhaald. De nadruk ligt vooral op hetsymbolisch rekenen. Het eerste deel behandelt het uitwerken van haakjes en het buiten haken brengenvan factoren. Hier wordt ook ontbinden in factoren in het algemeen besproken. In het tweede deelwordt het rekenen met breuken herhaald. In het laatste deel tenslotte worden de rekenregels voormachten met reele exponenten terug ingeoefend. Dit hoofdstuk biedt eenvoudige oefeningen aanwaarin heel duidelijk bepaalde rekenregels dienen toegepast te worden. Het is natuurlijk de bedoelingdat deze rekenregels ook in een andere context gebruikt worden!

1.1 Uitwerken van haakjes en ontbinden in factoren

In dit deel herhalen we eerst de belangrijkste rekenregels voor het uitwerken van haakjes en hetontbinden in factoren. De daarop volgende voorbeeldoefeningen geven de kans om deze rekenregelsnog eens in te oefenen.

1.1.1 Rekenregels

Zij a, b, c, d ∈ R. Er geldt:

c(a+ b) = (a+ b)c = ac+ bcdistributiviteit van · t.o.v. +

(a+ b)(c+ d) = ac+ ad+ bc+ bd

−(a+ b) = −a− bminteken voor de haken binnenbrengen−(a− b) = −a+ b

−(−a+ b) = a− b

(a+ b)2 = a2 + 2ab+ b2 kwadraat van een tweeterm

ab+ ac = a(b+ c) = (b+ c)a afzonderen van een gemeenschappelijke factor

a2 − b2 = (a+ b)(a− b) merkwaardig product, verschil van twee kwadraten

1

2 HOOFDSTUK 1. ALGEBRAISCH REKENEN

Voorbeeldoefeningen

Bestudeer eventueel eerst het volgende deel om het rekenen met breuken op te frissen.

1. Werk de haakjes uit en vereenvoudig (x, y, p, q ∈ R).

(a) 1− (x− y − 1) = 1− x+ y + 1 = −x+ y + 2

(b) 1− (p− q) + p = 1− p+ q + p = q + 1

(c) p− (p+ q) + 2q = p− p− q + 2q = q

2. Breng zoveel mogelijk factoren buiten haakjes (a, b, c, d, x, y, p, q ∈ R).

(a) 18x+ 24y + 30p = 6 · 3x+ 6 · 4y + 6 · 5p = 6 (3x+ 4y + 5p)

(b) 20ab3 + 30bc+ 25b2c3√d = 5b · 4ab2 + 5b · 6c+ 5b · 5bc3

√d = 5b

(

4ab2 + 6c+ 5bc3√d)

(c) −9x2y − 3xy = −3xy · 3x− 3xy · 1 = −3xy (3x+ 1)

(d)p2q3

8− p2q

2+ pq =

pq

2· pq

2

4− pq

2· p+ pq

2· 2 =

pq

2

(pq2

4− p+ 2

)

ofp2q3

8− p2q

2+ pq = pq · pq

2

8− pq · p

2+ pq · 1 = pq

(pq2

8− p

2+ 1

)

3. Vul aan door de voorgestelde factor buiten haken te brengen (p, r, s, x ∈ R).

(a)

(p+ 1

2

)2

+ (p+ 1)3 =

(p+ 1

2

)2

(. . .)

Oplossing:

(p+ 1

2

)2

+ (p+ 1)3 =

(p+ 1

2

)2

· 1 +(p+ 1

2

)2(p+ 1)

3

(p+12

)2

=

(p+ 1

2

)2(

1 +(p+ 1)3(p+12

)2

)

=

(p+ 1

2

)2(

1 +4(p+ 1)3

(p+ 1)2

)

=

(p+ 1

2

)2

(1 + 4(p+ 1))

=

(p+ 1

2

)2

(1 + 4p+ 4)

=

(p+ 1

2

)2

(4p+ 5) .

(b) (3p+ 2)4r

3− 4r(p− 1) =

4r

3(. . .)

Oplossing:

(3p+ 2)4r

3− 4r(p− 1) =

4r

3(3p+ 2)− 4r

3

4r(p− 1)4r3

=4r

3(3p+ 2)− 4r

3

4r(p− 1) · 34r

=4r

3(3p+ 2− (p− 1) · 3)

1.2. REKENEN MET BREUKEN 3

=4r

3(3p+ 2− 3p+ 3)

=4r

3· 5.

(c)xs

8+

xs2

4+ 3x3s3 =

xs

8(. . .)

Oplossing:

xs

8+

xs2

4+ 3x3s3 =

xs

8· 1 + xs

8

xs2

4xs8

+xs

8

3x3s3

xs8

=xs

8

(

1 +8xs2

4xs+

24x3s3

xs

)

=xs

8(1 + 2s+ 24x2s2).

4. Ontbind volgende uitdrukkingen in factoren (x, y, r ∈ R).

(a) 81x2y2 − 25 = (9xy)2 − 52 = (9xy + 5)(9xy − 5) (verschil van twee kwadraten)

(b) 9r2 − 24r + 16 = (3r)2 − (2 · 3r · 4) + 42 = (3r − 4)2 (kwadraat van een verschil)

Opmerking: als je hiermee vlot kan rekenen hoef je niet telkens alle tussenstappen op te schrijven.

1.2 Rekenen met breuken

In dit deel geven we heel bondig de rekenregels voor het werken met breuken. Deze zijn heel eenvoudig,de bedoeling is echter dat je deze rekenregels kan toepassen in moeilijkere berekeningen zoals dedaaropvolgende voorbeeldoefeningen.

1.2.1 Rekenregels

Zij a, b, c, d ∈ R. Er geldt:

a+ b

c=

a

c+

b

cindien c 6= 0 breuken splitsen

a

b+

c

d=

ad+ cb

bdindien b, d 6= 0 breuken optellen

ab

ac=

b

cindien a, c 6= 0 breuken vereenvoudigen

ab

c=

a

bcindien b, c 6= 0

rekenregels voor meerderebreukstrepen

abc

=ac

bindien b, c 6= 0

abcd

=ad

bcindien b, c, d 6= 0


Voorbeeldoefeningen

1. Numerieke voorbeelden

(a) Breuk splitsen:120 + 74

2=

120

2+

74

2= 60 + 37 = 97

(b) Breuken optellen:1

8+

5

6=

1 · 6 + 5 · 848

=46

48=

23

24of

1

8+

5

6=

1 · 3 + 5 · 424

=23

24

(c) Breuk vereenvoudigen:125

50=

25 · 525 · 2 =

5

2

(d) Rekenen met meerdere breukstrepen:802

10=

80

2 · 10 =80

20= 4

2. Symbolisch rekenen (x, y, p, q ∈ R)

(a) Rekenen met meerdere breukstrepen:

Stel x, y 6= 0, dan isx+ y

xy

=(x+ y)y

x

(b) Rekenen met meerdere breukstrepen:

Stel x, y 6= 0, dan isx+yx

y=

x+ y

xy

(c) Breuk vereenvoudigen – verschil van twee kwadraten:

Stel p− q 6= 0, dan isp2 − q2

p− q=

(p+ q)(p− q)

p− q= p+ q

(d) Breuk vereenvoudigen, rekenen met meerdere breukstrepen – factor afzonderen:

Stel p, q 6= 0, dan is

p+qppq2

p2

q

=

p(1+q)pq2

p2

q

=

1+qq2

p2

q

=(1 + q)q

q2p2=

1 + q

qp2

(e) Breuken splitsen, rekenen met meerdere breukstrepen:

Stel x 6= 0, dan is−1

1− x+1x

=−1

1−(1 + 1

x

) =−1

1− 1− 1x

=−1−1x

=−1x

−1= x

1.3 De machtsverheffing: definitie en rekenregels

1.3.1 Machtsverheffing met een reeel grondtal en een gehele exponent

Definitie 1.3.1.1 (Machtsverheffing met reeel grondtal en gehele exponent) Zij a ∈ R

en n ∈ N. De macht an (spreek uit: a tot de macht n of a tot de n-de) met grondtal a enexponent n wordt als volgt gedefinieerd:

andef=

1 als n = 0a · a · · · a︸︷︷︸

n factoren

als n ∈ N0.

Zij a ∈ R0 en n ∈ N. De macht a−n met grondtal a en exponent −n wordt als volgt gedefinieerd:

a−n def=

1

an.

Bijzondere gevallen 1.3.1.2Er geldt:

1.3. DE MACHTSVERHEFFING: DEFINITIE EN REKENREGELS 5

• a0 = 1 voor alle a ∈ R0.

• a1 = a voor alle a ∈ R.

• a−1 =1

avoor alle a ∈ R0.

• 0n = 0 voor alle n ∈ N0.

• 0z is niet gedefinieerd voor z ∈ Z−.

• 1z = 1 voor alle z ∈ Z.

Rekenregels 1.3.1.3Zij x, y ∈ R en m,n ∈ N. Er geldt:

xmxn = xm+n

xm

xn= xm−n als x 6= 0

(xy)n = xnyn

(x

y

)n

=xn

ynals y 6= 0

(xm)n= xmn

Zij x, y ∈ R0 en m,n ∈ Z. Er geldt:

xmxn = xm+n

xm

xn= xm−n

(xy)n = xnyn

(x

y

)n

=xn

yn

(xm)n= xmn

1.3.2 Machtsverheffing met een strikt positief reeel grondtal en een reele

exponent

Definitie 1.3.2.1 (Machtsverheffing strikt positief reeel grondtal, rationale exponent)

Zij a ∈ R+ en n ∈ N0. De macht a1

n met grondtal a en exponent1

nwordt gedefinieerd als het

uniek positief reeel getal waarvan de n-de macht gelijk is aan a:

{

a1

n ≥ 0 en(

a1

n

)n

= a.

De macht a1

n wordt ook wel genoteerd met n√a.

Zij a ∈ R+0 , m ∈ Z en n ∈ N0. De macht a

m

n met grondtal a en exponentm

nwordt als volgt

gedefinieerd:

am

ndef=(

a1

n

)m

.


Bijzondere gevallen 1.3.2.2Er geldt:

• a1

n = n√a voor alle a ∈ R+

0 en alle n ∈ N0, i.h.b. hebben we

• a1

2 =√a voor alle a ∈ R+

0 .

• a−1

n =1n√a=

n

√

1

avoor alle a ∈ R+

0 en alle n ∈ N0.

• am

n =(

n√a)m

= n√am voor alle a ∈ R+

0 , alle m ∈ Z en alle n ∈ N0.

• 1q = 1 voor alle q ∈ Q.

Machtsverheffing met een strikt positief reeel grondtal en een reele exponent

We wensen tenslotte ook ar te definieren met a ∈ R+0 en r ∈ R. Dit is niet evident en we zullen de

definitie hier ook niet in detail geven. Wel schetsen we hier kort een mogelijke manier om zin te gevenaan de uitdrukking ar met a ∈ R+

0 en r ∈ R.

Neem dus a ∈ R+0 en r ∈ R. We weten reeds dat aq goed gedefinieerd is voor elk rationaal getal q. Ook

weet je wellicht nog dat je elke reeel getal r ‘oneindig goed’ kan benaderen d.m.v. rationale getallen.Concreet wil dit zeggen dat gegeven een reeel getal r er een oneindige rij q1, q2, q3, . . . bestaat vanrationale getallen die r met steeds hogere nauwkeurigheid benaderen, zodat uiteindelijk elke gewenstenauwkeurigheid vanaf een bepaald getal in de rij bereikt wordt. Men zegt in dit geval dat de rijq1, q2, q3, . . . naar r convergeert en men noteert dit met ‘qn → r als n → ∞’ of met limn→∞ qn = r.

Stel nu dat q1, q2, q3, . . . zo’n rij is die naar r convergeert. We kunnen dan voor elke qn in die rij demacht aqn beschouwen. Op die manier bekomen we een nieuwe rij aq1 , aq2 , aq3 , . . . Nu blijkt dat ookdeze rij steeds zal convergeren naar een zeker reeel getal s en dat deze limiet niet afhangt van de keuzevan de rij q1, q2, q3, . . . die we gebruikt hebben om r te benaderen. Dit laat ons dan toe om de machtar te definieren als dat getal s dat je op die manier bekomt en dat enkel afhangt van a en r.

Zelfs voor machten met reele exponenten (en dus i.h.b. voor machten met rationale exponenten) blijvende gebruikelijke rekenregels (zoals we die reeds zagen voor machten met gehele exponenten) gelden.We sommen ze hieronder nog eens op, (natuurlijk) zonder bewijs.

Rekenregels 1.3.2.3Zij x, y ∈ R+

0 en r, s ∈ R. Er geldt:

xrxs = xr+s

xr

xs= xr−s

(xy)r = xryr

(x

y

)r

=xr

yr

(xr)s= xrs

Voorbeeldoefeningen

1. Numerieke voorbeelden

1.4. OEFENINGEN 7

(a)

((1

2

)2)−3

=

(1

2

)−6

= 26 = 64

(b)

( 1213

)2

=

(12

)2

(13

)2 =1419

=1

4· 9 =

9

4

(c)4√8=

22

81

2

=22

(23)1

2

= 22−3

2 = 21

2 =√2

(d)3√8 ·

√64 = 8

1

3 ·√82 = 8

1

3 · 8 = 81

3+1 = 8

4

3 = (3√8)4 = 24 = 16

2. Stel x, y ∈ R0 dan geldt:

(a)4√x3

x= x

3

4−1 = x

−1

4 =14√x

(b)(x3 · 4

√x)2

= x6 ·(

4√x)2

= x6 ·(

x1

4

)2

= x6 · x 2

4 = x6+ 1

2 = x13

2 =√x13

(c) y2 ·(√

x2y

xy

)4

= y2 ·(x2y) 4

2

x4y4= y2 · x

4y2

x4y4= y2 · 1

y2= 1

(d)√

48x9y4 =√

(16 · 3)(x8 · x)y4 =√

16 · 3 · (x4)2 · x · (y2)2 = 4x4y2√3x

1.4 Oefeningen

1. Breng zoveel mogelijk factoren buiten haken of vul aan. Stel u, s, t ∈ R.

(a) 24st+ 12t− 60ut =

(b)st2

8+

s2t2

12+ s2t =

(c)2s+ 3

2+ (2s+ 3)2 =

2s+ 3

2· [. . .]

(d)

(5s

8

)

(u− 1)− 5s(3u+ 1) =

(5s

8

)

· [. . .]

2. Ontbind in factoren.

(a) 25x2y4 − 64 =

(b) 4x2 + 24xy + 36y2 =

3. Schrijf zo eenvoudig mogelijk. Stel a, b, c ∈ R0.

(a)a− b

c− a− 2b

2c=

(b)a−bb

1− ab

=

(c)1− a+b

ba2

b

=

4. Schrijf zo eenvoudig mogelijk. Stel x, y, a, b ∈ R+0 .

(a)

√a

a5=


(b)(x6y8

)−1/2=

(c) a4b

(√a2b4

ab

)3

=

5. Vul aan.

(a)4x2

5− 3x = 4x · [. . .]

(b) (p+ 1)2 +(p+ 1)3

2+

(p+ 1)2

6=

(p+ 1)2

2· [. . .]

(c)(m+ n)

2· m2

(m+ n)2− m

2=

. . .

2(m+ n)

(d)√2 +

√8 +

√18 +

√50 = . . . ·

√2

(e)4

q− 8 + q

2q2=

. . .

2q2

(f)−8

2x+

4

x− 1+

3

(x− 1)2=

. . .

2x(x− 1)2

6. Werk uit en vereenvoudig zo goed mogelijk.

(a)(√

x6y2)3

=

(b)

√

(x+ y)4y3

y=

(c)√64x5 =

(d)

(

y−4y6

y√

y4

)−2

=

(e)9p2 − 16

9(3p+ 4)− 1− p =

(f)m+22

1−(

m−12m+1

) =

Oplossingen

1. Breng zoveel mogelijk factoren buiten haken of vul aan. Stel u, s, t ∈ R.

(a) 24st+ 12t− 60ut = 12t(2s− 5u+ 1)

(b)st2

8+

s2t2

12+ s2t = st

(st

12+ s+

t

8

)

=st

24(2st+ 24s+ 3t)

(c)2s+ 3

2+ (2s+ 3)2 =

2s+ 3

2(4s+ 7)

(d)

(5s

8

)

(u− 1)− 5s(3u+ 1) =

(5s

8

)

(−23u− 9)

2. Ontbind in factoren.

(a) 25x2y4 − 64 = (5xy2 − 8)(5xy2 + 8)

(b) 4x2 + 24xy + 36y2 = 4(x+ 3y)2

1.4. OEFENINGEN 9

3. Schrijf zo eenvoudig mogelijk. Stel a, b, c ∈ R0.

(a)a− b

c− a− 2b

2c=

a

2c

(b)a−bb

1− ab

= −1

(c)1− a+b

ba2

b

= −1

a

4. Schrijf zo eenvoudig mogelijk. Stel x, y, a, b ∈ R+0 .

(a)

√a

a5=

1

a9/2=

1

a4√a

(b)(x6y8

)−1/2=

1

x3y4

(c) a4b

(√a2b4

ab

)3

= a4b4

5. Vul aan.

(a)4x2

5− 3x = 4x

(x

5− 3

4

)

(b) (p+ 1)2 +(p+ 1)3

2+

(p+ 1)2

6=

(p+ 1)2

2

(

p+10

3

)

(c)(m+ n)

2· m2

(m+ n)2− m

2=

−mn

2(m+ n)

(d)√2 +

√8 +

√18 +

√50 = 11

√2

(e)4

q− 8 + q

2q2=

7q − 8

2q2

(f)−8

2x+

4

x− 1+

3

(x− 1)2=

14x− 8

2x(x− 1)2=

7x− 4

x(x− 1)2

6. Werk uit en vereenvoudig zo goed mogelijk.

(a)(√

x6y2)3

= x9y3

(b)

√

(x+ y)4y3

y= (x+ y)2y1/2

(c)√64x5 = 8x2

√x

(d)

(

y−4y6

y√

y4

)−2

= y2

(e)9p2 − 16

9(3p+ 4)− 1− p = −18p2 + 35p+ 16

27p+ 35

(f)m+22

1−(

m−12m+1

) = m+1

2

Hoofdstuk 2

Veeltermvergelijkingen van

maximaal tweede graad en stelsels

eerstegraadsvergelijkingen oplossen

Inleiding – Terminologie

In dit deel zullen we het eerst hebben over het oplossen van veeltermvergelijkingen van graad kleinerof gelijk aan twee. Daarna behandelen we oplossingsmethoden voor eenvoudige stelsels van eerste-graadsvergelijkingen. We geven eerst wat meer uitleg bij al deze begrippen.

Zij n ∈ N. Een (reele) veelterm van graad n in de veranderlijke x is een uitdrukking van de vorm

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0

met ai ∈ R voor i ∈ {0, . . . , n} en met an 6= 0. De reele getallen ai zijn de coefficienten van deveelterm en de coefficient an, horende bij de hoogste voorkomende macht van x, heet de leidendecoefficient of de hoogstegraadscoefficient. Deze is steeds verschillend van nul.

De nulveelterm 0 (een veelterm in de veranderlijke x waarvan alle coefficienten gelijk zijn aan nul) valtvoorlopig niet onder deze definitie van veelterm, want in een veelterm van graad n ∈ N is er altijdminstens een coefficient (vb. de leidende coefficient) verschillend van nul. Toch beschouwen we 0 ookals veelterm. De nulveelterm heeft (per afspraak) graad −∞.

De veeltermen van de laagste graden zijn in hun meest algemene vorm gegeven in onderstaande tabel(a, b, c, d ∈ R).

veelterm opmerking graad naam

0 −∞ nulveeltermc c 6= 0 0 constante veelterm

ax+ b a 6= 0 1 lineaire veeltermax2 + bx+ c a 6= 0 2 kwadratische veelterm

Een (reele) veeltermvergelijking in de onbekende x is een vergelijking in de onbekende x van de vorm

anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 = 0 (2.1)

11

12 HOOFDSTUK 2. VEELTERMVERGELIJKINGEN

met n ∈ N en ai ∈ R voor i ∈ {0, . . . , n}. De graad van de veeltermvergelijking is per definitie degraad van de veelterm in het linkerlid van (2.1).

Een (reele) veeltermfunctie f (in een veranderlijke) is een functie f van R naar R met een functie-voorschrift van de vorm

f(x) = anxn + an−1x

n−1 + · · ·+ a1x+ a0 (2.2)

waarbij n ∈ N en ai ∈ R voor i ∈ {0, . . . , n}. De graad van de veeltermfunctie is per definitie de graadvan de veelterm in het rechterlid van (2.2).

Een nulpunt van een (veelterm)functie f is een reeel getal x0 waarvoor f(x0) = 0. Een nulpunt vaneen veeltermfunctie is dus een oplossing van de geassocieerde veeltermvergelijking. Zo is 3 een nulpuntvan x3 − 5x2 + 4x+ 6, want 33 − 5 · 32 + 4 · 3 + 6 = 27− 45 + 12 + 6 = 0.

Als x0 een nulpunt is van de veeltermfunctie f , dan betekent dit dat (x − x0) een factor is van dezeveelterm: we zullen dan de veelterm kunnen ontbinden als

f(x) = (x− x0)g(x)

waarbij g(x) opnieuw een veelterm is. In bovenstaand voorbeeld kan je controleren dat inderdaadgeldt dat

x3 − 5x2 + 4x+ 6 = (x− 3)(x2 − 2x− 2).

In wat volgt zullen we ons concentreren op veeltermen van graad 1 en 2: hoe ziet hun grafiek eruit,hoe vinden we de nulpunten, en hoe leidt dat tot een ontbinding in factoren.

2.1 Veeltermvergelijkingen van graad 1 en 2 oplossen

2.1.1 Lineaire veeltermvergelijkingen

We bekijken eerst reele lineaire veeltermvergelijkingen in een onbekende x, of eenvoudiger gesteld,vergelijkingen van de vorm ax+ b = 0 met a ∈ R0 en b ∈ R. Deze vergelijkingen zijn zeer eenvoudigop te lossen:

ax+ b = 0⇔ ax = −b (beide leden verminderen met b)

⇔ x = − b

a(beide leden vermenigvuldigen met 1/a, a 6= 0).

We kunnen besluiten dat een vergelijking van de vorm ax + b = 0 met a ∈ R0 en b ∈ R steeds juisteen oplossing heeft, m.n. x1 = −b/a. We kunnen de vergelijking ook herschrijven als

ax+ b = a

(

x−(

− b

a

))1

= a(x− x1)1.

Zo kunnen we de oplossing x1 = −b/a gewoon aflezen. De bijhorende exponent 1 duidt op de multi-pliciteit van deze oplossing.

Voorbeeld

Stel dat een getal x voldoet aan de volgende vergelijking:

3x+ 7 = −2x+ 1.

Bepaal de getalwaarde van x.

2.1. VEELTERMVERGELIJKINGEN VAN GRAAD 1 EN 2 OPLOSSEN 13

Oplossing:

3x+ 7 = −2x+ 1⇔ 5x+ 7 = 1 (Tel bij linker- en rechterlid 2x op)

⇔ 5x = −6 (Tel bij linker- en rechterlid -7 op)

⇔ x = −65 (Deel linker- en rechterlid door 5).

Hiermee is in drie stappen het onbekende getal x gevonden. Ter controle kun je de gevonden waardex = −6/5 in de oorspronkelijke vergelijking substitueren en constateren dat het klopt. We hebbengebruik gemaakt van de volgende algemene regels:

• De geldigheid van een vergelijking verandert niet als je bij linker- en rechterlid hetzelfde getaloptelt.

• De geldigheid van een vergelijking verandert niet als je linker- en rechterlid met hetzelfde getalvermenigvuldigt of door het hetzelfde getal deelt, mits dat getal niet nul is.

De beide eerste stappen van de oplossing in het gegeven voorbeeld kun je ook zien als het verplaatsenvan een term van de ene kant van het gelijkheidsteken naar de andere kant waarbij die term van tekenwisselt (van plus naar min en omgekeerd).

Voorbeeld uit de fysica

Twee treinwagons bewegen op hetzelfde spoor. De eerste heeft massa m1 en beweegt met snelheid v1,de tweede heeft massa m2 en beweegt met snelheid v2. Op een bepaald moment maken ze contactmet elkaar en zo worden ze aan elkaar gekoppeld, om dan als een geheel verder te rijden met snelheidvf . De vergelijking die de grootheden met elkaar verbindt is dan (zie [10] p 268),

vf =m1v1 +m2v2m1 +m2

.

Stel dat we alle grootheden kennen, behalve m2, we willen de vergelijking dus oplossen naar m2. Ditdoen we als volgt: door beide leden te vermenigvuldigen met m1+m2, verkrijgen we een eerstegraads-vergelijking:

vf (m1 +m2) = m1v1 +m2v2.

Dan werken we de haakjes uit, de verdere uitwerking verloopt als in het vorige voorbeeld:

vfm1 + vfm2 = m1v1 +m2v2

⇔ vfm2 − v2m2 = m1v1 − vfm1

⇔ (vf − v2)m2 = m1(v1 − vf )

⇔ m2 = m1v1 − vfvf − v2

.

2.1.2 Kwadratische veeltermvergelijkingen

Nu bekijken we reele kwadratische veeltermvergelijkingen in een onbekende x of vergelijkingen vande vorm ax2 + bx + c = 0 met a ∈ R0 en b, c ∈ R. Een dergelijke vergelijking kunnen we als volgt


oplossen:

ax2 + bx+ c = 0 (⋆)

⇔ ax2 + bx = −c (beide leden verminderen met c)

⇔ x2 +b

ax = − c

a(beide leden vermenigvuldigen met 1/a, a 6= 0)

⇔ x2 +b

ax+

b2

4a2= − c

a+

b2

4a2(beide leden vermeerderen met b2/4a2, a 6= 0)

⇔(

x+b

2a

)2

=b2 − 4ac

4a2(volkomen kwadraat, op gelijke noemer brengen) (⋆⋆)

⇔(

x+b

2a

)2

=D

4a2(D

def= b2 − 4ac) (⋆ ⋆ ⋆).

De term b2 − 4ac die optreedt in de teller van het rechterlid van (⋆⋆), speelt een cruciale rol inhet oplossen van kwadratische vergelijkingen. Deze term wordt de discriminant van de vergelijkinggenoemd en wordt genoteerd met D. We zien bijvoorbeeld dat wanneer D < 0, ook D/4a2 <0 en bijgevolg Vergelijking (⋆) geen reele oplossingen zal hebben, want het linkerlid van (⋆ ⋆ ⋆) iseen kwadraat en dit kan nooit strikt negatief zijn. Wanneer D > 0 echter, zijn er wel oplossingenmogelijk. We moeten dus een gevalsonderscheid maken naargelang het teken van de discriminant D.Veronderstellen we nu dat D > 0, dan kan Vergelijking (⋆ ⋆ ⋆) als volgt verder worden opgelost:

(

x+b

2a

)2

=D

4a2

⇔ x+b

2a= ±

√

D

4a2= ±

√D

2a(D > 0)

⇔ x = ±√D

2a− b

2a=

−b±√D

2a(beide leden verminderen met b/2a)

⇔ x = x1def=

−b+√D

2aof x = x2

def=

−b−√D

2a.

Als D > 0 heeft (⋆) dus twee reele oplossingen, nl. x1 = (−b +√D)/2a en x2 = (−b −

√D)/2a.

Als D > 0 zijn dit twee verschillende oplossingen. Als D = 0 vallen beide oplossingen samen:x1 = x2 = −b/2a. Daarom spreken we in dit laatste geval van ‘twee samenvallende oplossingen’of van een oplossing met multipliciteit 2.

Als D > 0 kan de veelterm ax2 + bx+ c als volgt geschreven worden:

ax2 + bx+ c = a

(

x− −b+√D

2a

)(

x− −b−√D

2a

)

(2.3)

= a(x− x1)1(x− x2)

1.

Men kan dit gemakkelijk nagaan door het rechterlid van (2.3) via distributiviteit uit te werken. Opdeze manier kunnen we de oplossingen x1 en x2 gewoon aflezen. Bovendien is x1 6= x2. Beideoplossingen x1 en x2 hebben bijgevolg elk multipliciteit 1.

Als D = 0 kan ax2 + bx+ c ontbonden worden als

ax2 + bx+ c = a

(

x+b

2a

)2

(2.4)

2.1. VEELTERMVERGELIJKINGEN VAN GRAAD 1 EN 2 OPLOSSEN 15

= a(x− x1,2)2.

Men kan dit nagaan door het rechterlid van (2.4) uit te werken en in rekening te brengen dat D = 0

en dus dat b2 = 4ac. De unieke reele oplossing x1,2def= x1 = x2 heeft dus multipliciteit 2 (of twee

samenvallende oplossingen).

Onderstaande tabel vat onze bevindingen samen.

Discriminant Oplossingen vanD = b2 − 4ac ax2 + bx+ c = 0

D < 0 geen reele oplossingen

D = 0

twee samenvallende reele oplossingen=

een reele oplossing met multipliciteit 2:

x1,2 = − b

2a

D > 0

twee verschillende reele oplossingen,elk met multipliciteit 1:

x1 =−b+

√D

2aen x2 =

−b−√D

2a

Voorbeelden

• De vergelijking x2 + 1 = 0 heeft geen oplossingen, want het linkerlid is voor elke keuze van xgroter dan of gelijk aan 1 (een kwadraat is altijd groter dan of gelijk aan 0). De discriminantvan deze vergelijking is D = −4 < 0.

• De vergelijking x2 + 2x + 1 = 0 heeft een oplossing, want het linkerlid kan geschreven wordenals (x + 1)2, en dat is alleen maar gelijk aan 0 als x + 1 = 0 is, dat wil zeggen als x = −1. Dediscriminant van deze vergelijking is D = 0.

• De vergelijking x2 − 1 = 0 heeft twee oplossingen. Het linkerlid kan geschreven worden alsx2 − 1 = (x+ 1)(x− 1). Deze uitdrukking wordt nul als x = 1 of x = −1. De discriminant vandeze vergelijking is D = 4 > 0.

In sommige gevallen vereist het oplossen van een tweedegraadsvergelijking geen speciale techniek. Alsvoorbeeld nemen we x2 − 3x = 0. Door deze vergelijking te herschrijven als x(x − 3) = 0 en op temerken dat een product van twee getallen 0 is, als en alleen als een van die getallen 0 is, zien we datx = 0 of x− 3 = 0 moet zijn. De oplossingen zijn dus x = 0 en x = 3.

Voorbeeld uit de fysica

Een bolvormig object met straal r, massa m en traagheidsmoment I rolt van een hellend vlak metbeginhoogte h. Uit het behoud van mechanische energie kan de eindsnelheid v bepaald worden (zie


[10] p 318):

mgh =1

2mv2

(

1 +I

mr2

)

⇔ v2 =2mgh

m(1 + I

mr2

)

⇔ v =

√

2gh

1 + Imr2

.

Dus alhoewel dit een tweedegraadsvergelijking in de onbekende v was (want v2 stond in de vergelijking),hebben we de formule met de discriminant niet nodig gehad. Aangezien er wel een term met v2 stond,maar geen term met v, konden we oplossen naar v2 = . . ., waaruit we meteen v konden halen.

2.2 Tekenverloop veeltermfuncties van graad 1 en 2

2.2.1 Werkwijze

We zullen het in deze sectie hebben over het tekenverloop van veeltermfuncties van graad 1 en 2. Westarten in deze paragraaf met het uitleggen van een werkwijze om tot zo’n tekenverloop te komen.Deze werkwijze is geldig voor veeltermfuncties van om het even welke graad en we zullen dan ookhet algemene geval behandelen. Pas in de volgende twee paragrafen hebben we het dan specifiek overveeltermfuncties van graad 1 en 2.

We trachten dus na te gaan waar (voor welke x-waarden) een gegeven veeltermfunctie positieve waar-den aanneemt, waar ze negatieve waarden aanneemt en waar ze nul wordt. Hoe pakken we dit nuaan? Vooreerst is het belangrijk op te merken dat een veeltermfunctie steeds continu is. Intuıtief kanje je bij dit begrip voorstellen dat de grafiek van een dergelijke functie een ononderbroken kromme is.Natuurlijk is dit geen voldoende karakterisatie van continuıteit, maar het maakt wel een belangrijkeeigenschap van continue functies duidelijk. Namelijk dat een continue functie nooit van positievefunctiewaarden kan overgaan in negatieve functiewaarden (of omgekeerd) zonder eerst nul te worden.Iets exacter geformuleerd klinkt dit als volgt: als f een veeltermfunctie is en a, b ∈ R met a < b enf(a) · f(b) < 0 (d.w.z. dat f(a) en f(b) niet 0 zijn en een verschillend teken hebben), dan bestaat ereen c ∈]a, b[ waarvoor f(c) = 0. Men noemt dit resultaat uit de analyse ‘De tussenwaardestelling voorcontinue functies’. Deze stelling impliceert dus dat tussen twee naburige nulpunten, het teken van eenveeltermfunctie niet verandert.

Het eerste dat we dus moeten doen indien we een tekenverloop willen opstellen, is op zoek gaannaar alle nulpunten van de beschouwde veeltermfunctie. Hierbij weten we uit de algebra dat eenveeltermfunctie van graad n ∈ N ten hoogste n reele nulpunten kan hebben. Om de nulpunten vanveeltermfuncties van graad 1 en 2 te kunnen bepalen, hebben we het nodige gedaan in de eerste sectievan dit hoofdstuk. Immers, het zoeken van de nulpunten van een veeltermfunctie is niets anders danhet oplossen van een veeltermvergelijking van dezelfde graad. Eens we de nulpunten kennen, moetenwe nog het juiste teken zien te bepalen van de functiewaarden tussen elk paar naburige nulpunten,voor het eerste nulpunt en na het laatste nulpunt. Hiervoor bestaat een eenvoudige regel die gebruikmaakt van de multipliciteiten van de nulpunten. Deze multipliciteiten moeten we dus ook bepalensamen met de nulpunten zelf. We zullen hier echter niet verder ingaan op het bewijs van deze regel.

Het eenvoudigst te bepalen teken is dat van de functiewaarden voorbij het laatste nulpunt. Het tekendaar is altijd het teken van de hoogstegraadscoefficient, van a dus als we de notaties gebruiken uitSectie 1. Een manier om dit in te zien is als volgt. Als f een veeltermfunctie is met leidende coefficienta is de limiet van f(x) voor x gaande naar +∞ steeds +∞ als a > 0 en steeds −∞ als a < 0. Voorhet vinden van het teken van f over de andere intervals gaan we na of dat teken al dan niet verandert

2.2. TEKENVERLOOP VEELTERMFUNCTIES VAN GRAAD 1 EN 2 17

wanneer we over een nulpunt ‘springen’. Nu is het zo dat het teken van een veeltermfunctie bij hetspringen over een nulpunt, wijzigt voor elke multipliciteit van dat nulpunt. D.w.z. dat het tekenverandert wanneer we springen over een nulpunt van oneven multipliciteit en niet verandert wanneerwe springen over een nulpunt van even multipliciteit. Een andere manier om dit te onthouden isdoor te stellen dat het teken van de functiewaarden bij het springen over een nulpunt altijd wijzigt,tenminste als we de nulpunten tellen ‘met hun multipliciteit’. Dus als we over een nulpunt springenmet multipliciteit 3, springen we eigenlijk over drie nulpunten tegelijk en voor elk nulpunt wijzigt hetteken van de functiewaarden. Op die manier vinden we het juiste teken van f over de gehele reelerechte.

2.2.2 Tekenverloop en grafieken van lineaire functies

Een lineaire functie f met als voorschrift f(x) = ax + b waarbij a ∈ R0 en b ∈ R, heeft steeds juisteen nulpunt, nl. x1 = −b/a. De multipliciteit van dit nulpunt is bovendien steeds 1. Dit wil zeggendat het teken van f rechts van x1 = −b/a gelijk is aan het teken van a, terwijl het teken van flinks van dit nulpunt steeds gelijk is aan het teken van −a. Wat betreft het tekenverloop zijn er duseigenlijk twee mogelijkheden afhankelijk van het teken van de leidende coefficient a. Als we ook noghet teken (−/0/+) van b in rekening brengen, kunnen we in totaal zes gevallen onderscheiden. Detabel hieronder geeft voor elk van deze zes gevallen een mogelijke grafiek met bijhorend tekenverloop.

a > 0 a < 0

b > 0

y = ax+b

b

y

x-b/a

y = ax+b

b

y

x-b/a

a > 0 a < 0

b = 0

y = ax

y

x

y = ax

y

x


a > 0 a < 0

b < 0

y = ax+b

b

y

x-b/a

y = ax+b

b

y

x-b/a

a > 0 a < 0

b ∈ Rx −∞ −b/a +∞

ax+ b − 0 +x −∞ −b/a +∞

ax+ b + 0 −

2.2.3 Tekenverloop en grafieken van kwadratische functies

We beschouwen de functie f met functievoorschrift f(x) = ax2 + bx + c waarbij a ∈ R0 en b, c ∈ R.Voor het aantal en de multipliciteiten van de nulpunten van f zijn er drie mogelijkheden:

1. twee verschillende reele nulpunten, elk met multipliciteit 1 (D > 0),

2. een reeel nulpunt met multipliciteit 2 (D = 0),

3. geen reele nulpunten (D < 0).

In elk van de drie gevallen hangt het tekenverloop ook nog eens af van het teken van a. Er zijn dus intotaal zes verschillende tekenverlopen mogelijk. De tabel hieronder geeft een samenvattend overzicht.

a > 0 a < 0

D > 0

x

y = f(x)

x_2x_1

x

y = f(x)

x_2x_1

x −∞ x1 x2 +∞f(x) + 0 − 0 +

x −∞ x1 x2 +∞f(x) − 0 + 0 −

2.3. OPLOSSEN VAN STELSELS EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN 19

a > 0 a < 0

D = 0

x

y = f(x)

x_1 = x_2

x

y = f(x)

x_1 = x_2

x −∞ x1 = x2 +∞f(x) + 0 +

x −∞ x1 = x2 +∞f(x) − 0 −

a > 0 a < 0

D < 0

y = f(x)

x

y = f(x)

x

x −∞ +∞f(x) +

x −∞ +∞f(x) −

2.3 Oplossen van stelsels eerstegraadsvergelijkingen

In tegenstelling tot vorige paragraaf waar veeltermvergelijkingen in een onbekende werden behandeld,bekijken we nu vergelijkingen met meerdere onbekenden. We beperken ons tot lineaire- of eerste-graadsvergelijkingen. De vergelijking 3x − 4y + 5z = 7 noemt men een lineaire vergelijking in deonbekenden x, y, z. De getallen 3, −4, 5 en 7 heten de coefficienten van deze vergelijking; het getal 7wordt ook wel het rechterlid genoemd. Oplossen van deze vergelijking betekent het zoeken van allewaarden die de onbekenden x, y, z kunnen aannemen als ze aan de genoemde betrekking voldoen.

De algemene vorm van een lineaire vergelijking is a1x1 + a2x2 + . . . + amxm = b, waarin x1, . . . , xm

de onbekenden zijn en a1, . . . , am, b de (bekende) reele coefficienten; b is het rechterlid en m ∈ N. Alswe eisen dat de onbekenden aan meerdere vergelijkingen moeten voldoen, spreken we van een stelsellineaire vergelijkingen. We bekijken hier twee methoden om stelsels van lineaire vergelijkingen op telossen: de subsitutie- en combinatiemethode.

Een lineaire vergelijking met slechts een onbekende kan eenvoudig opgelost worden (zie paragraaf2.1.1). Als we een lineaire vergelijking hebben in twee onbekenden x en y kunnen we de getalwaardenhiervan niet bepalen, bijvoorbeeld x+y = 0 kan zowel voor x = 1, y = −1 als voor x = 2, y = −2, enz.


Als we echter evenveel vergelijkingen hebben als onbekenden kunnen we de getalwaarden wel bepalen.Dit noemen we het oplossen van een stelsel van vergelijkingen.

Een voorbeeld van een stelsel van twee lineaire vergelijkingen in twee onbekenden x en y:

{2x+ 5y = 9, (1)3x− 4y = 2. (2)

Om de oplossingen van een stelsel lineaire vergelijkingen te vinden, gaan we op een systematischemanier variabelen ‘elimineren’.

2x+ 5y = 9⇔ 2x = 9− 5y (beide leden van (1) verminderen met 5y)

⇔ x =9− 5y

2(beide leden delen door 2).

In vergelijking (2) vervangen we x door deze uitdrukking (substitutie). Dit wordt:

3

(9− 5y

2

)

− 4y = 2

⇔ 3

(9

2− 5

2y

)

− 4y = 2

⇔ 27

2− 15

2y − 4y = 2 (haakjes uitwerken)

⇔ 27

2−(15

2+ 4

)

y = 2 (y buiten haken brengen)

⇔ 27

2−(15 + 8

2

)

y = 2 (op dezelfde noemer brengen)

⇔ 27

2− 23

2y = 2

⇔ −23

2y = 2− 27

2(beide leden −27

2)

⇔ y =

(

2− 27

2

) −2

23(beide leden ×−2

23)

⇔ y =−23

2

−2

23= 1.

Substitutie van y = 1 in een van beide oorspronkelijke vergelijkingen (1) of (2) geeft een vergelijkingwaaruit x kan worden opgelost. We kiezen de eerste vergelijking:

2x+ 5× 1 = 9

2x = 9− 5 (beide leden −5)

2x = 4

x = 2 (beide leden delen door 2).

Een tweede methode om dit stelsel op te lossen kan m.b.v. combinatie. Vermenigvuldig in vergelijking(1) het linker- en rechterlid met 3, en in vergelijking (2) het linker- en rechterlid met 2, zodat decoefficienten van x in beide vergelijkingen hetzelfde worden:

2.3. OPLOSSEN VAN STELSELS EERSTEGRAADSVERGELIJKINGEN 21

6x+ 15y = 27

6x− 8y = 4.

Trek vervolgens de tweede vergelijking van de eerste af. Je houdt dan een vergelijking over waarinalleen nog maar de onbekende y voorkomt.

23y = 23

met als oplossing y = 1. Substitutie van deze waarde in een van beide oorspronkelijke vergelijkingen(1) of (2) geeft op een analoge manier als hierboven uitgelegd x = 2.

Hiermee zijn de getallen x en y gevonden. Je kunt ter controle nagaan dat de combinatie x = 2 eny = 1 inderdaad aan beide oorspronkelijke vergelijkingen (1) en (2) voldoet. Men kan een stelsel ookgrafisch oplossen. De oplossing vindt men door het snijpunt te zoeken van de twee rechten die doorde vergelijkingen beschreven worden.

Tenslotte een kort ‘lineair raadseltje’. De leeftijden van Jan en zijn moeder zijn samen 71 jaar, terwijlde moeder vorig jaar twee keer zo oud was als Jan toen was. Hoe oud zijn Jan en zijn moeder? Noemde leeftijd van Jan x, die van zijn moeder y, dan zegt het eerste gegeven dat x + y = 71, terwijl hettweede gegeven zich vertaalt in y − 1 = 2(x− 1). We krijgen de twee vergelijkingen:

{x+ y = 712x− y = 1.

Het is niet moeilijk hieruit af te leiden dat x = 24 en y = 47 (tel bijvoorbeeld de twee vergelijkingenop, je ‘elimineert’ dan de onbekende y). Grafisch is de oplossing in dit eenvoudige voorbeeld ook tebepalen. Beide vergelijkingen stellen immers een rechte in het xy-vlak voor. Oplossen van het stelselcorrespondeert met het vinden van het snijpunt van de twee rechten. Overigens zoeken we in ditprobleem slechts geheeltallige oplossingen.

2.3.1 Voorbeelden uit de fysica en chemie

In de fysica komen talloze problemen voor waarin een aantal onbekenden moeten gezocht wordenaan de hand van een aantal vergelijkingen. We beperken ons hier tot enkele uitgewerkte eenvoudigevoorbeelden van stelsels lineaire eerstegraadsvergelijkingen uit [10].

• Bij het uitwerken van het elektrisch netwerk bestaande uit een spanningsbron en drie dezelfdeweerstanden voorgesteld in Figuur 2.1 zijn de spanning U = 15 V en de weerstand R = 100Ohm gegeven. Bereken nu de stromen I1, I2 en I3 doorheen het circuit. Aan de hand van dewetten van Kirchhoff, kunnen de volgende vergelijkingen opgesteld worden:

I1 − I2 − I3 = 0, (1)U − I3R− I1R = 0, (2)I3R− I2R = 0. (3)

Uit vergelijking (3) volgt, omdat R 6= 0, dat:

I3R = I2R ⇒ I3 = I2.

Door substitutie van I3 door I2 volgt uit vergelijking (1) dat:

I1 − I2 − I3 = I1 − 2I2 = 0 ⇒ I1 = 2I2 ⇒ I3 = I2 =I12.


Figuur 2.1: Een eenvoudig elektrisch netwerk dat m.b.v. de wetten van Kirchhoff kan uitgerekendworden. Bron: [10].

Uit vergelijking (2) tenslotte volgt dat:

U − I12R− I1R = 0 ⇒ U − I1

(R

2+R

)

= 0 ⇒ U − I13R

2= 0 ⇒ U = I1

3R

2.

Hieruit volgt dat:

I1 =U3R2

=2U

3R=

30 V

300 Ohm= 0.1 A,

I2 = I3 = 0.05 A.

• Onderstaand stelsel gelijkheden vindt zijn oorsprong in de Newtonmechanica ([10] p 167),

{T = m1a (1)

m2g − T = m2a (2)

Hierin stellen m1 en m2 de respectievelijke massa’s voor van twee objecten A en B, de constanteg is de valversnelling en de variabelen T en a staan respectievelijk voor de spankracht en deversnelling. Veronderstel dat m1, m2 en g gekend zijn. Bepaal T en a.

m2g = m1a+m2a (Vergelijkingen (1) en (2) optellen en zo T elimineren)

m2g = (m1 +m2)a (a buiten haken brengen)

a =m2g

m1 +m2(Beide leden delen door (m1 +m2)).

Hieruit volgt dus dat:

a =m2g

m1 +m2,

T = m1a =m1m2g

m1 +m2.

• Ook in de Chemie wordt het oplossen van stelsels gebruikt in bijvoorbeeld chemische reacties.In welke verhouding worden waterstof en zuurstof verbruikt bij de reactie tot water? Concreter,de reactievergelijking

xH2 + yO2 → zH2O

2.4. OEFENINGEN 23

voert tot de getallen x = 2, y = 1, z = 2 (ook x = 4, y = 2 en z = 4 leveren een oplossing),d.w.z. twee moleculen waterstof combineren met een molecule zuurstof tot twee moleculen water.Deze oplossing kan je vinden door uit de reactievergelijking twee (wiskundige) vergelijkingen tehalen. Door de aantallen atomen waterstof links en rechts van de pijl in de reactievergelijkingte vergelijken krijgen we 2x = 2z. Vergelijken van de aantallen atomen zuurstof levert devergelijking 2y = z.

We krijgen dus twee vergelijkingen waarin drie onbekenden x, y en z moeten voldoen. We leidenmakkelijk af dat

{x = z,z = 2y.

Bij elke keuze van y liggen x en z vast, er zijn dus oneindig veel oplossingen mogelijk. Voor dechemie zijn echter alleen gehele getallen als oplossing relevant, en zelfs alleen de meest zuinigeoplossing (x = 2, y = 1, z = 2).

2.4 Oefeningen

1. Zoek de reele nulpunten van de functie f : R → R : x 7→ f(x) en schets de grafiek ervan als

(a) f(x) = x2 − x− 1

(b) f(x) = −x2 + 2x− 1

(c) f(x) = x2 − 2x+ 32

2. Ook in de economie wordt het oplossen van stelsels gebruikt, bijvoorbeeld in het bepalen vaneen marktevenwicht.

We zullen volgende terminologie gebruiken. De hoeveelheid die een consument van een bepaaldproduct wil kopen noemen we de vraag naar dat product. De hoeveelheid van een product datdoor de producent op de markt aangeboden wordt noemen we het aanbod van dat product.

Doorgaans willen consumenten producten kopen aan een voor hen aanvaardbare prijs. Produ-centen willen al hun producten verkopen en daarbij liefst zo veel mogelijk winst maken. Dezetwee belangen zijn tegenstrijdig. In een gezonde economie is er een evenwicht tussen deze tweebelangen, we noemen dit economisch evenwicht. We bespreken enkele voorbeelden van econo-misch evenwicht.

(a) We beschouwen een eerste eenvoudig voorbeeld waarbij er een product op de markt is. Devraag naar een product is een dalende functie van de prijs van dat product. In het meesteenvoudige geval is dan

qV = a− bp.

Hierbij staat qV voor de vraag naar het product, zijn a en b strikt positieve constanten enis p de prijs van het product.

Het aanbod van een product is een stijgende functie van de prijs van het product,

qA = −c+ dp.

Met qA geven we hier het aanbod van het product weer. De getallen c en d zijn striktpositieve constanten.

Er heerst een marktevenwicht als vraag en aanbod gelijk zijn aan elkaar. Dit markteven-wicht wordt alleen bereikt bij een welbepaalde prijs, namelijk de evenwichtsprijs. Berekendie evenwichtsprijs en de bijhorende evenwichtsproductie.


(b) Nu kijken we naar een markt waarbij twee producten een rol spelen. In het voorbeelddat we hier zullen behandelen zijn de twee producten uitwisselbaar of concurrerend. Stelbijvoorbeeld dat de vraag van de twee producten gegeven wordt door

qV1= 5− p1 + p2

qV2= 25− 2p2 + p1

en het aanbod door

qA1= −5 + 2p1

qA2= −12 + 2p2.

Bepaal de evenwichtsprijzen. Geef een grafische voorstelling van het stelsel dat je hiervooroplost.

Oplossingen

1. Zie Figuur 2.2 voor de grafieken.

(a) Twee reele nulpunten, x1 =1 +

√5

2en x2 =

1−√5

2, zwarte grafiek.

(b) Een dubbel reeel nulpunt, x1,2 = 1, donker grijze grafiek.

(c) Geen reeel nulpunt, licht grijze grafiek.

Figuur 2.2: Grafieken van de functies: zwart: 1(a), donker grijs: 1(b) en licht grijs: 1(c).

2. Economische toepassing.

(a) Een product.

De evenwichtsprijs is

p∗ =a+ c

b+ d.

De bijhorende evenwichtsproductie is

q∗ =ad− bc

b+ d.

(b) Twee concurrerende producten.

2.4. OEFENINGEN 25

Het marktevenwicht is nu

vraag = aanbod

⇔{

qV1= qA1

qV2= qA2

⇒{

5− p1 + p2 = −5 + 2p125− 2p2 + p1 = −12 + 2p2

⇒{

−3p1 + p2 = −10−p1 + 4p2 = 37.

Lossen we dit stelsel van twee vergelijkingen in de twee onbekenden p1 en p2 op naar dietwee onbekenden dan vinden we de evenwichtsprijzen

p1 = 7 en p2 = 11.

Figuur 2.3: Het snijpunt van de twee rechten is de oplossing van het stelsel.

Hoofdstuk 3

Goniometrie en vlakke meetkunde

Inleiding

Rekenen met vectoren is een basisvaardigheid voor vakken natuurkunde. Bij het vectorrekenen makenwe gebruik van goniometrie en vlakke meetkunde. In dit hoofdstuk willen we de belangrijkste definitiesen eigenschappen herhalen en toepassen in oefeningen.

3.1 Goniometrie

3.1.1 Goniometrische cirkel

P

α

cosα 1

sinα1

0

cotα

tanα

1

1

Een goniometrische cirkel is een cirkelmet als middelpunt de oorsprong van eencartesiaans assenstelsel en met straal 1.Met elke hoek α kan een punt P van degoniometrische cirkel geassocieerd wor-den. Hiertoe laat men het eerste beenvan de hoek samenvallen met de posi-tieve x-as. Het tweede been snijdt degoniometrische cirkel in het punt P . Delengte van de cirkelboog tussen de tweebenen geeft ons de hoek in radialen. Dehoek is positief indien die in tegenwijzer-zin gemeten wordt vanaf de x-as. Merkop dat een hoek gemeten in radialen ei-genlijk dimensieloos is, en dat je de een-heid radialen mag weglaten. Aangeziende omtrek van een eenheidscirkel 2π is,vinden we dat het verband tussen eenhoek gemeten in graden en radialen ge-geven is door 360◦ = 2π. We vinden dus:π6 = 30◦, π

4 = 45◦, 3π4 = 135◦, π = 180◦, π

2 = 90◦, 3π2 = 270◦ = −90◦, . . .

De hoeken worden ingedeeld in 4 kwadranten:

27

28 HOOFDSTUK 3. GONIOMETRIE EN VLAKKE MEETKUNDE

• eerste kwadrant: hoeken tussen 0 en π/2,

• tweede kwadrant: hoeken tussen π/2 en π,

• derde kwadrant: hoeken tussen π en 3π/2,

• vierde kwadrant: hoeken tussen 3π/2 en 2π.

De cosinus en sinus van de hoek α zijn gedefinieerd via de coordinaten van het punt P (cosα, sinα).Merk op dat −1 ≤ cosα ≤ 1 en −1 ≤ sinα ≤ 1. De tangens (afgekort tan of tg) en de cotangens(afgekort cot of cotg) zijn gedefinieerd als

tanα =sinα

cosαcotα =

cosα

sinα

en kunnen eveneens aangeduid worden op de goniometrische cirkel. Nu zijn tanα, cotα ∈ R.

Enkele veelvoorkomende hoeken en hun goniometrische getallen zijn gegeven in onderstaande figuur.

π6

π4

π3

π2

2π3

3π4

5π6

π

7π6

5π4

4π3

3π2

−π3

−π4

−π6

12

√22

√32

10−12

−√2

2−√3

2

cosα

12

√22

√32

1

−12

−√2

2

−√3

2

−1

0

sinα

01√3

√31

−1√3−

√3 −1 cotα

0

1√3

√3

1

−1√3

−√3

−1

tanα

1

−1

1

3.1. GONIOMETRIE 29

3.1.2 Goniometrische formules

Tegengestelde hoeken: α en −α

cos(−α) = cosα

sin(−α) = − sinα

tan(−α) = − tanα

cot(−α) =− cotα

α

−α0 1

cosα

1

sinα

− sinα

tanα

− tanα

−1

1

Supplementaire hoeken: hoeken waarvan de som180◦ of π is.

sin(π − α) = sinα

cos(π − α) = − cosα

tan(π − α) = − tanα

cot(π − α) =− cotα

αα

π − α

0 1

cosα− cosα

1

sinαtanα

− tanα

−1

1

Complementaire hoeken: hoeken waarvan de som

90◦ ofπ

2is.

sin(π

2− α

)

= cosα

cos(π

2− α

)

= sinα

tan(π

2− α

)

= cotα

cot(π

2− α

)

= tan α

α

απ2 − α

0 1

cosα

sinα

1

sinα

cosα


Anticomplementaire hoeken: hoeken waarvan het

verschil 90◦ ofπ

2is.

sin(

α+π

2

)

= cosα

cos(

α+π

2

)

= − sinα

tan(

α+π

2

)

= − cotα

cot(

α+π

2

)

= − tanα

α

αα+ π

2

0 1

cosα− sinα

1

sinα

cosα

Antisupplementaire hoeken: hoeken waarvan hetverschil 180◦ of π is.

sin(α± π) = − sinα

cos(α± π) = − cosα

tan(α± π) = tanα

cot(α± π) = cotα

αα

α± π

0 1

cosα− cosα

1

sinα

− sinα

tanα

−1

1

Grondformule en afgeleide formules

sin2 α+ cos2 α = 1

sin2 α = 1− cos2 α

cos2 α = 1− sin2 α

tan2 α+ 1 =1

cos2 αals cos2 α 6= 0

1 + cot2 α =1

sin2 αals sin2 α 6= 0

Som- en verschilformules

cos(α− β) = cosα cosβ + sinα sinβ

cos(α+ β) = cosα cosβ − sinα sinβ

sin(α− β) = sinα cosβ − cosα sinβ

sin(α+ β) = sinα cosβ + cosα sinβ

3.1. GONIOMETRIE 31

Formules voor de dubbele\halve hoek

sin(2α) = 2 sinα cosα

cos(2α) = cos2 α− sin2 α

cos(2α) = 1− 2 sin2 α = 2 cos2 α− 1

cos(2α) =1− tan2 α

1 + tan2 α

sin(2α) =2 tanα

1 + tan2 α

tan(2α) =2 tanα

1− tan2 α

Formules van Simpson

sinα+ sinβ = 2 sinα+ β

2cos

α− β

2

sinα− sinβ = 2 sinα− β

2cos

α+ β

2

cosα+ cosβ = 2 cosα+ β

2cos

α− β

2

cosα− cosβ = − 2 sinα+ β

2sin

α− β

22 sinα cosβ = sin(α+ β) + sin(α− β)

2 cosα cosβ = cos(α+ β) + cos(α− β)

−2 sinα sinβ = cos(α+ β)− cos(α− β)

Toepassing

Gegeven: sinα = 12 en π

2 < α < π.

Gevraagd: cosα, tanα, cotα.

Oplossing: we hebben cos2 α = 1− sin2 α = 1− 14 = 3

4 . Dus is cosα = ±√32 en daar π

2 < α < π moet

cosα = −√32 .

We berekenen tanα =sinα

cosα= − 1√

3= −

√3

3. En gelijkaardig is cotα =

1

tanα= −

√3.

3.1.3 Goniometrische functies

We tekenen de grafieken van de goniometrische functies.

De cosinusfunctie cos : R → [−1, 1] : α 7→ cosα.

De sinusfunctie sin : R → [−1, 1] : α 7→ sinα.

Figuur 3.1: Zwart: de sinusfunctie, grijs: de cosinusfunctie.


De tangensfunctie tan : R\{π2 (2k+1)|k ∈ Z} → R : α 7→ tanα en de cotangensfunctie cot : R\{πk|k ∈

Z} → R : α 7→ cotα.

Figuur 3.2: Links: zwart: de cotangensfunctie, grijs: de tangensfunctie. Rechts: zwart: de cosecans-functie, grijs: de secansfunctie.

De cosecansfunctie

cosec : R\{πk|k ∈ Z} → R : α 7→ cosecα :=1

sinα.

De secansfunctie

sec : R\{π2(2k + 1)|k ∈ Z} → R : α 7→ secα :=

1

cosα.

3.1.4 Cyclometrische functies

Met de cyclometrische functies bedoelen we de ‘inverse functies’ van de goniometrische functies. Wemoeten wel oppassen met het begrip ‘inverse functie’. Dit wordt duidelijk wanneer we de grafiek vande sinusfunctie nog eens bekijken. De grafiek van de inverse relatie sin−1 is ook aangeduid (dit isde spiegeling ten opzichte van de eerste bissectrice). We zien dat sin−1 geen functie meer is. Als we

Figuur 3.3: Links: zwart: de sinusfunctie, grijs: de spiegeling van de sinusfunctie ten opzichte van deeerste bissectrice. Rechts: zwart: de sinusfunctie, grijs: de inverse van de sinusfunctie ten opzichtevan de eerste bissectrice beperkt tot het interval

[−π

2 ,π2

].

nu het beeld van sin−1 beperken tot[−π

2 ,π2

], dan hebben we wel een functie. We definieren dan de

boogsinus als

Bgsin : [−1, 1] →[

−π

2,π

2

]

: x 7→ Bgsinx = sin−1 x.

Dit laatste betekent dat y = Bgsinx als en slechts als sin y = x en y ∈[−π

2 ,π2

].

3.2. VLAKKE MEETKUNDE 33

Op analoge wijze verkrijgen we de inverse functies van cos, tan en cot:

Bgcos : [−1, 1] → [0, π] : x 7→ Bgcosx = cos−1 x,

Bgtan : R →]

−π

2,π

2

[

: x 7→ Bgtanx = tan−1 x,

Bgcot : R → ]0, π[ : x 7→ Bgcotx = cot−1 x.

Dit is hetzelfde als

y = Bgcosx als en slechts als cos y = x en y ∈ [0, π],

y = Bgtanx als en slechts als tan y = x en y ∈]

−π

2,π

2

[

,

y = Bgcotx als en slechts als cot y = x en y ∈ ]0, π[.

Figuur 3.4: Links: zwart: de Boogsinusfunctie, Grijs: de Boogcosinusfunctie. Rechts: zwart: deBoogcotangensfunctie, grijs: de Boogtangensfunctie.

3.2 Vlakke meetkunde

In deze sectie vatten we de belangrijkste eigenschappen van driehoeken, de cirkel en rechten samen.


3.2.1 Driehoeken

Eigenschappen 3.2.1.1 (willekeurige driehoeken)

1. De oppervlakte van een driehoek isbasis× hoogte

2.

2. De som van de hoeken in een driehoek is 180◦ of π:α+ β + γ = π.

3. Sinusregela

sinα=

b

sinβ=

c

sin γ.

4. Cosinusregelc2 = a2 + b2 − 2ab cos γ.

basis

hoogte

a

bcα

βγ

Eigenschappen 3.2.1.2 (rechthoekige driehoeken)Voor een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden x en y,schuine zijde r en θ de hoek ingesloten tussen x en r, geldt:

x2 + y2 =r2 (Stelling van Pythagoras) ,

cos θ =x

r

(

=aanliggende rechthoekszijde

schuine zijde

)

,

sin θ =y

r

(

=overstaande rechthoekszijde

schuine zijde

)

,

tan θ =sin θ

cos θ=y

x

(

=overstaande rechthoekszijde

aanliggende rechthoekszijde

)

.

x

yr

θ

Eigenschap 3.2.1.3 (gelijkbenige driehoek)

• Bij een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken gelijk.

• Gevolg: de hoeken van een gelijkzijdige driehoek meten 60◦

ofπ

3.

π

3

3.2. VLAKKE MEETKUNDE 35

3.2.2 De cirkel

Een cirkel met middelpunt O en straal r is de verzameling van alle punten die op een afstand r vanhet punt O liggen. De belangrijkste eigenschappen van een cirkel zijn:

Eigenschappen 3.2.2.1 (cirkel)

1. De omtrek is 2πr.

2. De oppervlakte is πr2.

3. De raaklijn aan een cirkel staat loodrecht op de straalnaar het raakpunt.

O

r

4. Als je op een cirkel met straal r een boog s tekentdie vanuit het middelpunt O onder een hoek α wordtgezien, dan is de booglengte s gegeven door αr, metde hoek α uitgedrukt in radialen.

α

s = αr

O

r

5. Een omtrekshoek meet de helft van de middelpunts-hoek op dezelfde boog.

αα/2


Speciaal geval: de omtrekshoek op een halve cirkel is

90◦ ofπ

2.

3.2.3 Rechten

De vergelijking van een niet verticale rechte in een vlak door twee punten (x0, y0) en (x1, y1) wordtgegeven door

y − y0 =y1 − y0x1 − x0

(x− x0).

Eigenschap 3.2.3.1 (overstaande hoeken)Overstaande hoeken bij twee snijdende rechten zijn gelijk.

Eigenschap 3.2.3.2 (Stelling van Thales)De evenwijdige projectie behoudt de verhouding van even-

wijdige lijnstukken:a

b=

c

d.

a

c

b

d

a

c

d

b

3.3. OEFENINGEN 37

Eigenschappen 3.2.3.3 (twee evenwijdige rechten en een snijlijn)Als twee evenwijdige rechten gesneden worden door een derde rechte dan zijn:

• elke twee overeenkomstige hoeken gelijk,

• elke twee verwisselende binnenhoeken gelijk,

• elke twee verwisselende buitenhoeken gelijk,

• elke twee binnenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijnsupplementair, α

π − α

• elke twee buitenhoeken aan dezelfde kant van de snijlijn sup-plementair.

α

π − α

3.3 Oefeningen

1. Bepaal cosα, sinα, tanα en cotα en het kwadrant waarin α ligt (zonder gebruik te maken vaneen rekenmachine) indien

(a) cosα =√6/6 en sinα < 0,

(b) tanα = −3/4 en sinα > 0.

2. Bepaal de voorwaarden waaraan r ∈ R moet voldoen opdat sinα = r−12 en cosα = r+1

2 .

3. Bepaal de voorwaarden waaraan r ∈ R moet voldoen opdat cosα = r − 5.


Oplossingen

1. (a) cosα =√6/6; sinα = −

√30/6; tanα = −

√5; cotα = −

√5/5; vierde kwadrant.

(b) cosα = −4/5; sinα = 3/5; tanα = −3/4; cotα = −4/3; tweede kwadrant.

2. r = ±1.

3. 4 ≤ r ≤ 6.

Hoofdstuk 4

Rekenen met vectoren in de fysica

Inleiding

Rekenen met vectoren is een basisvaardigheid voor het vak fysica. Bij het vectorrekenen maken wegebruik van goniometrie en vlakke meetkunde. In dit hoofdstuk bespreken we het verschil tussen eenscalair getal en een vector. We vatten de belangrijkste eigenschappen en rekenregels voor vectorensamen: vectoren optellen, vectoren vermenigvuldigen met een reeel getal, de componenten van eenvector t.o.v. een basis bepalen. Tot slot geven we ook enkele voorbeelden van vectoren uit de fysica.

4.1 Scalaire versus vectoriele grootheden

Elementaire fysische grootheden kunnen in twee grote categorieen opgedeeld worden: “scalaire fysischegrootheden” en “vectoriele fysische grootheden”. Scalars of scalaire grootheden zijn volledig gekenddoor een algebraısch maatgetal (reeel getal) en een eenheid, bv. een massa m van 5kg, een lengtel van 2m, een temperatuur T van −10◦C. Vectoriele fysische grootheden zijn gekenmerkt door eengrootte (met eenheid), richting en zin. Vectoren worden aangeduid met een pijltje of worden vetgedrukt. Voorbeelden van vectoriele grootheden zijn positie (~r), snelheid (~v), versnelling (~a), kracht

(~F ), elektrisch veld ( ~E). Vectoren worden op een figuur aangeduid met een pijl. De rechte waaropeen vector gelegen is wordt de drager genoemd.

Figuur 4.1: x, y-assenstelsel met eenheidsvectoren x en y. Bron: [10].

39

40 HOOFDSTUK 4. REKENEN MET VECTOREN IN DE FYSICA

4.2 Vectoren in een cartesiaans assenstelsel – vectorcompo-

nenten

Wanneer we vectoren in een vlak willen beschrijven hebben we twee assen nodig. Deze assen zullen weothogonaal (loodrecht) kiezen met de eenheid op iedere as dezelfde, i.e. een cartesiaans assenstelsel.Conventioneel worden de assen voor een vlak benoemd met x en y (zie Figuur 4.1).

De eenheidsvectoren x en y respectievelijk volgens de x- en y-as vormen een basis1. Dit betekent datelke vector ~A in het xy-vlak op eenduidige wijze kan ontbonden worden in vectorcomponenten volgensx en y (zie Figuur 4.2(a)):

~A = Axx+Ay y.

De vectorcomponent volgens x of de coordinaatprojectie op x van ~A is dan ~Ax = Axx. Analoog wordt~Ay = Ay y de vectorcomponent volgens y of de coordinaatprojectie op y genoemd.

Figuur 4.2: (a) De vector ~A kan geschreven worden met behulp van eenheidsvectoren: ~A = Axx+Ay y.

(b) De vectorcomponenten zijn de projecties van de vector ~A op de x- en y-as. Bron: [10].

Figuur 4.3: De algebraısche componenten van de vector ~A op de x- en y-as als de hoek tussen de

vector ~A en de x-as gekend is. Bron: [10].

In vele situaties is de hoek gekend tussen de vector en een van de assen. In Figuur 4.3 bijvoorbeeld is

1In sommige tekstboeken worden ook andere notaties voor eenheidsvectoren volgens de x- en y-as gebruikt, zoals ~exen ~ey .

4.2. VECTOREN IN EEN CARTESIAANS ASSENSTELSEL – VECTORCOMPONENTEN 41

de hoek θ gekend tussen de vector ~A en de x-as. In dit geval zijn de algebraısche componenten

Ax = A cos θ en Ay = A sin θ.

Afhankelijk van het kwadrant waar de vector ~A in ligt zullen de algebraısche componenten positief ofnegatief zijn2 (zie Figuur 4.4). Indien omgekeerd de algebraısche componenten Ax en Ay gekend zijn,kan men als volgt de hoek θ berekenen:

θ = bgtanAy

Ax.

Figuur 4.4: Voorbeelden van verschillende vectoren ~A met hun componenten. Bron: [10].

Om een vector in de driedimensionele ruimte te beschrijven, hebben we drie assen nodig. Orthogonaalop de x- en y-as wordt de z-as ingevoerd (eenheidsvector z). In de fysica maakt men een onderscheidtussen vrije en gebonden vectoren. Als je een vrije vector verschuift in het vlak of in de 3-dimensioneleruimte, blijft dit dezelfde vector (zie Figuur 4.5). Wanneer men op eenzelfde afbeelding verschillendemalen dezelfde vector tekent, heeft men verschillende, evenwijdige pijltjes van gelijke lengte die indezelfde richting wijzen. Twee vrije vectoren zijn gelijk als ze dezelfde lengte, richting en zin hebben.Gebonden vectoren hebben ook een vast aangrijpingspunt. Hierdoor ligt de grafische voorstelling vaneen gebonden vector volledig vast: op een afbeelding kan men slechts op een manier de gebonden vectortekenen. De vectoren ~A in Figuur 4.5 zijn gelijk als het gaat om vrije vectoren, maar verschillend alshet gaat om gebonden vectoren, aangezien ze een verschillend aangrijpingspunt hebben.

2Kijk steeds in de juist driehoek om zo Ax en Ay te bepalen via de definities van sin en cos.


Figuur 4.5: Vrije vectoren ~A. Bron: [10].

4.3 Bewerkingen met vectoren

4.3.1 Som en vermenigvuldiging met een scalar

De som van twee vectoren ~A en ~B bekomt men door ~B te verschuiven zodat het beginpunt samenvaltmet het eindpunt van ~A. De vector die men bekomt door het beginpunt van ~A te verbinden met heteindpunt van ~B is de vector ~A+ ~B.3

Figuur 4.6: De vector ~C is de som van de vectoren ~A en ~B. Anders genoteerd ~C = ~A+ ~B. Bron: [10].

Indien de algebraısche componenten van de vectoren ~A en ~B gegeven zijn, kunnen we de vectorsomberekenen door component per component op te tellen (zie Figuur 4.7):

~A+ ~B = (Ax +Bx)x+ (Ay +By)y.

3Deze grafische constructie noemt men de kop-staart-methode.

4.3. BEWERKINGEN MET VECTOREN 43

Figuur 4.7: (a) De x en y componenten van de vectoren ~A en ~B. (b) De x en y componenten van de

vector ~C = ~A+ ~B. Bron: [10].

Wanneer we de vector ~A vermenigvuldigen met een scalar m verkrijgen we de vector m~A die dezelfderichting heeft als de vector ~A. Indien m > 0 heeft die vector ook dezelfde zin; indien m < 0 heeft dievector een tegengestelde zin. De lengte van de vector m~A is |m| keer de lengte van de vector ~A. ZieFiguur 4.8 voor enkele voorbeelden.

Figuur 4.8: Vermenigvuldiging van een vector met een scalar. Bron: [10].

Vectoren met de som en de vermenigvuldiging met een scalar gedefinieerd zoals hierboven vormen eenvectorruimte. Er gelden dus volgende eigenschappen.

Eigenschappen 4.3.1.1 Zij ~a, ~b en ~c vectoren en m,n ∈ R.

1. Het optellen van vectoren is associatief:(~a+~b) + ~c = ~a+ (~b+ ~c).


2. De vector met lengte 0 wordt genoteerd met ~0 en de nulvector genoemd. Er geldt:~0 + ~a = ~a+~0 = ~a.

3. De tegengestelde vector van ~a is −~a. Er geldt:−~a+ ~a = ~a+ (−~a) = ~0.

4. Het optellen van twee vectoren is commutatief:~a+~b = ~b+ ~a.

5. Het vermenigvuldigen van een vector met een scalar is distributief ten opzichte van de optellingvan scalairen:(m+ n)~a = m~a+ n~a.

6. Het vermenigvuldigen van een vector met een scalar is distributief ten opzichte van de vectorop-telling:n(~a+~b) = n~a+ n~b.

7. Het vermenigvuldigen van een vector met een scalar is associatief ten opzichte van de vermenig-vuldiging van scalairen:m(n~a) = (mn)~a.

8. 1~a = ~a.

4.3.2 Scalair product

Het scalair product van twee vectoren ~a = axx+ ay y en ~b = bxx+ by y wordt genoteerd als ~a ·~b en hetresultaat is steeds een scalaire grootheid:

~a ·~b = ab cos θ = axbx + ayby.

Hierbij is θ de kleine hoek tussen de twee vectoren en b cos θ de projectie van ~b op ~a. Het scalairproduct is dus eigenlijk gelijk aan de projectie van ~b op ~a vermenigvuldigd met de grootte van devector ~a.

Eigenschappen 4.3.2.1 Zij ~a, ~b en ~c vectoren.

1. Het scalair product is commutatief: ~a ·~b = ~b · ~a.

2. Het scalair product is distributief ten opzicht van de optelling van vectoren: ~a ·(~b+~c) = ~a ·~b+~a ·~c.

Lengte of norm

De lengte, grootte of norm van de vector ~A = Axx+Ay y (zie Figuren 4.2 en 4.3) kan berekend worden

via A = ‖ ~A‖ =√

A2x +A2

y =√

~A · ~A. Dit is een rechtstreeks gevolg van de stelling van Pythagoras

die geldt in een rechthoekige driehoek.

4.3.3 Vectorieel product

Het vectorieel product van twee vectoren ~a en ~b noteert men als ~a × ~b. Het resultaat is steeds eenvector met als lengte:

‖~a×~b‖ = ‖~a‖‖~b‖ sin θ

4.4. VOORBEELDVECTOREN UIT DE FYSICA. 45

met θ de kleine hoek tussen de twee vectoren. De richting van ~a ×~b staat loodrecht op het vlak datgevormd wordt door ~a en ~b.

De zin bepaalt men via de regel van de rechterhand (zie Figuur 4.9: plaats de rechterhand met devingers gekromd van de eerste vector naar de tweede vector over de kleinste hoek; de rechterduimgeeft dan de zin aan van het vectorieel product).

Figuur 4.9: Rechterhandregel voor het bepalen van de zin van het vectorieel product van twee vectoren.bron: https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Right hand rule cross product.svg

Eigenschappen 4.3.3.1 Zij ~a, ~b en ~c vectoren.

• Het vectorieel product is niet commutatief maar anticommutatief: ~a×~b = −~b× ~a.

• Het vectorieel product is distributief ten opzichte van de optelling van vectoren:

~a× (~b+ ~c) = ~a×~b+ ~a× ~c.

Bijzondere gevallen 4.3.3.2 Zij ~a en ~b vectoren.

• ~a× ~a = ~0.

• ‖~a×~b‖ = ‖~a‖‖~b‖ als de richting van ~a loodrecht staat op de richting van ~b.

• x× y = z, y × z = x en z × x = y.

Hieruit volgt dat

~a×~b = (aybz − azby) x+ (azbx − axbz) y + (axby − aybx) z.

Of, voor wie een determinant kan ontwikkelen naar de eerste rij:

~a×~b =

∣∣∣∣∣∣

x y zax ay azbx by bz

∣∣∣∣∣∣

.

4.4 Voorbeeldvectoren uit de fysica.

In de fysica wordt de positie van een massapunt weergegeven met een vector ~r die de oorsprong vanhet assenstelsel verbindt met de locatie van het massapunt. Deze positievector ~r wordt weergegeven


Figuur 4.10: Positievector. Bron: [10].

in Figuur 4.10 en kan geschreven worden met behulp van zijn componenten: ~r = xx+yy. De ogenblik-kelijke snelheid is een vector die momentaan raakt aan de baan, zoals weergegeven in Figuur 4.11(a).De lengte van de vectorpijl is de grootte van de ogenblikkelijke snelheid (bv. 10 m/s). Deze vectorgeeft dus informatie over zowel de grootte van de snelheid als de bewegingsrichting. De gemiddeldeversnellingsvector ~aav is gedefinieerd als de verandering van de snelheidsvector ∆~v over een bepaaldtijdsinterval. Deze versnellingsvector heeft dezelfde richting als de vector ∆~v (zie Figuur 4.11(b)).

Figuur 4.11: Snelheids- en versnellingsvectoren. Bron: [10].

In Figuur 4.12 tenslotte, wordt de baan weergegeven waarlangs een puntmassa beweegt. De snelheids-vector ~v is altijd gericht volgens de bewegingszin van het deeltje. De versnellingsvector ~a daarentegenkan verschillende richtingen aannemen.

4.5. OEFENINGEN 47

Figuur 4.12: Snelheids- en versnellingsvectoren voor een deeltje dat beweegt langsheen een kromme.Bron: [10].

4.5 Oefeningen

1. Duid op een tekening de vectoren ~a = 2x+ y en ~b = x− y aan. Duid ook de vectoren ~a+~b, 2~aen −~b aan.

2. Gegeven zijn de vectoren ~a = x+ 2y, ~b = −2x+ 3y en ~c = x− y. Teken deze vectoren. Bereken

en construeer de vectoren ~s = 2~a−~b+ ~c en ~t = −~a+1

2(~b− 2~c).

3. Bereken de grootte van de vector ~a = x+ 3y.

4. Een vector ~amet lengte 10 maakt een hoek van 225◦ met de x-as. Bereken de vectorcomponentenvolgens x en y.

5. Wat is de grootte van de vector ~c = x− 3y en welke hoek maakt deze vector met de x-as?

6. Gegeven zijn de vectoren ~a = 3x+ 2y en ~b = 4x− 3y. Bereken de grootte van beide vectoren.

7. Erica verplaatst zich vanuit een plaats P en gaat 3 km oostwaarts en daarna 5km zuidwaarts.Welke verplaatsing heeft Erica gemaakt? (Geef de vector waarover ze zich in totaal verplaatstheeft.)

8. Jan en Piet vertrekken uit eenzelfde plaats. Jan wandelt eerst 2km in een richting 45◦ tennoorden van het westen, daarna gaat hij nog 5km in een richting 30◦ oostelijk van het noorden.Piet loopt 7km in noordoostelijke richting (45◦ ten noorden van het oosten). Wat is de plaatsvan Jan ten opzichte van Piet?

9. Een walvis zwemt naar het wateroppervlak om te ademen en duikt dan terug het water in ondereen hoek van 20◦ met de horizontale. Als de walvis verderzwemt op een rechte lijn van 150m,(a) hoe diep is hij dan en (b) hoeveel afstand heeft hij horizontaal afgelegd?


10. Wat zijn de grootte en richting van de totale verplaatsing die je maakt als je eerst naar het westenreist met een snelheid van 27m/s gedurende 125s, en dan naar het zuiden met een snelheid van14m/s gedurende 66s.

Oplossingen

1. ~a+~b = 3x, 2~a = 4x+ 2y en −~b = −x+ y.

2. ~s = 2~a−~b+ ~c = 5x en

~t = −~a+ 12 (~b− 2~c) = −3x+ 1

2 y.

3. ‖~a‖ =√10.

4. ax = 10 cos 5π4 = −10

√22 en ay = 10 sin 5π

4 = −10√22 .

5. ‖~c‖ =√10 en tan θ = −3 dus θ = 5π

3 of θ = −π3 .

6. ‖~a‖ =√13 en ‖~b‖ = 5.

7. Orienteer de positieve x-as naar het oosten en de positieve y-as naar het noorden. Dan verplaatstErica zich over de vector 3x− 5y.

8. Orienteer de positieve x-as naar het oosten en de positieve y-as naar het noorden. Jan beweegtvolgens de vector 2 cos 3π

4 x+2 sin 3π4 y+5 cos π

3 x+5 sin π3 y =

(52 −

√2)x+

(√2 + 5

2

√3)en Piet

volgens de vector 7 cos π4 x+ 7 sin π

4 y = 7√22 x+ 7

√22 y.

9. Veronderstel dat de walvis de vector ~A volgt.

(a) Ay = 150 sin(−π

9

)≈ −51.30.

(b) Ax = 150 cos(−π

9

)≈ 140.95.

10. Je beweegt over de vector ~A met Ax = 27 · 125 = 3375 en Ay = 14 · 66 = 924 dus is de hoek θ

zodat tan θ = 9243375 = 308

1125 waaruit θ ≈ 0.267 dus zo’n 15◦ en ‖ ~A‖ = 3499.2.

Hoofdstuk 5

Exponentiele en logaritmische

functies

Inleiding

In dit hoofdstuk komen twee belangrijke functies, de exponentiele functie en de logaritmische functie,aan bod. Beide functies hebben toepassingen in fysica, chemie, economie, . . . Denk bijvoorbeeldaan de logaritmische schaal die gebruikt wordt voor het meten van decibels, de beschrijving vangroeiprocessen met exponentiele functies, . . .

5.1 Exponentiele functies

5.1.1 Inleidend voorbeeld

Een bacteriekolonie wordt gekweekt in een kweekschaaltje. Bij aanvang (t = 0) zijn er 4000 bacterien.Elk uur verdubbelt dit aantal. Het voorschrift voor het aantal bacterien (N) na t uur, wordt dan

N(t) = 4000 · 2t.

Hoeveel bacterien zijn er na 10 uur in het schaaltje aanwezig? Na 10 uur zijn er N(10) = 4000 · 210 =4096 000 bacterien in het schaaltje.

5.1.2 Machten met reele exponenten: rekenregels

In het functievoorschrift van exponentiele groei

f(x) = b · ax

kan x zowel rationale als irrationale waarden aannemen, dit wil zeggen, x ∈ R. Ter herinnering: alsa > 0 dan

an = a · a · a · · · a (n keer) met n een natuurlijk getal.

a−n =1

anmet n een natuurlijk getal.

an/m = m√an met n en m 6= 0 natuurlijke getallen.

49

50 HOOFDSTUK 5. EXPONENTIELE EN LOGARITMISCHE FUNCTIES

Stel a en b strikt positieve reele getallen en r en s willekeurige reele getallen. Dan gelden volgenderekenregels:

a0 = 1

a−r =1

ar

aras = ar+s

ar

as= ar−s

(ab)s= asbs

(a

b

)s

=as

bs

(ar)s= ars

5.1.3 Exponentiele functie

We definieren exponentiele functies met behulp van machten met reele exponenten.

Definitie 5.1.3.1 (Exponentiele functie) Zij a een strikt positief reeel getal en a 6= 1, dandefinieren we de exponentiele functie expa met grondtal a door het functievoorschrift:

expa(x) = ax met x ∈ R.

We onderscheiden twee grote klassen van exponentiele functies naargelang het grondtal a > 1 of0 < a < 1. Zie Figuur 5.1 voor de grafieken.

a > 10 < a < 1

y=ax

0

1

y

x

Figuur 5.1: Exponentiele functies met grondtal a > 1 en 0 < a < 1.

5.1. EXPONENTIELE FUNCTIES 51

Eigenschappen 5.1.3.2

Geval 1: a > 1

• expax is gedefinieerd alsx ∈ R

• voor elke x ∈ R : ax > 0

• limx→+∞

ax = +∞

• limx→−∞

ax = 0

• expa is strikt stijgend,de functie is orde bewarend

x < z ⇐⇒ ax < az

• ax = az ⇐⇒ x = z

Geval 2: 0 < a < 1

• expax is gedefinieerd alsx ∈ R

• voor elke x ∈ R : ax > 0

• limx→+∞

ax = 0

• limx→−∞

ax = +∞

• expa is strikt dalend,de functie is orde omkerend

x > z ⇐⇒ ax < az

• ax = az ⇐⇒ x = z

Kiezen we voor het grondtal de specifieke waarde e = 2, 7182818 . . ., dan verkrijgen we de functieex met als voorschrift:

f(x) = ex = expx.

In de notatie wordt het grondtal e niet vermeld. Deze functie wordt in vele tekstboeken als deexponentiele functie gedefinieerd.

We vermelden, zie volgend hoofdstuk, dat de afgeleide van een exponentiele functie expa evenredig ismet deze functie zelf en dat de afgeleide van de exponentiele functie exp de exponentiele functie expzelf is.

Opdracht

Bedenk hoe de grafieken van volgende functies eruit zien en trek de gepaste conclusies voor hunlimieten. Zij k > 0, dan is

• limx→+∞

ekx =

• limx→−∞

ekx =

• limx→+∞

e−kx =

• limx→−∞

e−kx =

Oplossing:

• limx→+∞

ekx = +∞

• limx→−∞

ekx = 0

• limx→+∞

e−kx = 0

• limx→−∞

e−kx = +∞

Vergelijk dit met het gedrag van de functie f : R0 → R : x 7→ 1

x. Daarvoor geldt limx→+∞

1

x= 0 en

limx→−∞1

x= 0. Bovendien is limx→>0

1

x= +∞ en limx→>0

1

x= −∞. Zie Figuur 5.2.

Opmerking 5.1.3.3 We zullen later aantonen dat elke exponentiele functie met grondtal a kan ge-schreven worden met behulp van de exponentiele functie in die zin dat er steeds een gepaste k > 0bestaat zodat

ax = e±kx,


Figuur 5.2: De exponentiele functie (zwart) en de functie gegeven door f(x) = 1x .

maar daartoe hebben we logaritmische functies nodig. Dit verklaart dat we exponentiele functies metwillekeurig grondtal kunnen herleiden tot een exponentiele functie met grondtal e. Daarenboven heeftde functie met voorschrift f(x) = ex de eigenschap dat ze gelijk is aan haar afgeleide. Wat wiskundiggezien een niet te versmaden eigenschap is.

5.2 Logaritmische functies

5.2.1 Inleidend voorbeeld

Een bacteriekolonie wordt gekweekt in een kweekschaaltje. Bij aanvang (t = 0) zijn er 4000 bacterien.Elk uur verdubbelt dit aantal. Het voorschrift voor het aantal bacterien (N) na t uur, wordt dan

N(t) = 4000 · 2t.

Na hoeveel uur zullen er honderdduizend bacterien in het schaaltje aanwezig zijn?

We zoeken met andere woorden de tijd t, waarvoor

N(t) = 4000 · 2t = 100 000 ⇒ 2t =100 000

4000= 25.

Dus tot welke macht moeten we het grondtal 2 verheffen om 25 uit te komen? Dit getal noemen wede logaritme van 25 met grondtal 2 en noteren dit als:

log2 25.

We stellen vast dat

log2 25 = x ⇔ 2x = 25.

5.2. LOGARITMISCHE FUNCTIES 53

Later, bij de rekenregels van logaritme, zullen we leren hoe log2 25 met een rekenmachine kan berekendworden.

Een eenvoudiger voorbeeld krijg je als je zoekt naar

log2 32 = ?

Stel dat log2 32 = x dan moet 2x = 32 = 25 zodat we uit eigenschap 5.1.3.2 kunnen besluiten datx = 5 of nog

log2 32 = 5.

5.2.2 Definitie en eigenschappen

Omdat ax > 0 voor elke x ∈ R en a ∈ R+0 is het duidelijk dat men enkel logaritmes kan berekenen

van strikt positieve getallen. We komen tot volgende definitie.

Definitie 5.2.2.1 (Logaritme) Zij a > 0 en a 6= 1 en x > 0, dan definieert men

loga x = y ⇔ x = ay.

De logaritme met grondtal a van x is de exponent (macht) waartoe men a moet verheffenom x als uitkomst te krijgen.

De notatie loga(x) heeft dezelfde betekenis als a log(x). Deze laatste notatie wordt vaak in het secun-dair onderwijs gebruikt. Internationaal wordt de eerste notatie gebruikt. De functie loga is de inversefunctie van expa, d.w.z. het zijn functies die elkaars werking opheffen.

Opdrachten

1. loga(expa(x)) = loga ax =?

in woorden: tot welke exponent moet je a verheffen om ax te bekomen? (Oplossing: x.)

2. expa(loga(y)) = aloga y =?in woorden: als je a verheft tot die exponent waartoe je a moet verheffen om y te bekomen, danbekom je . . .. (Oplossing: y.)

We komen tot volgende handige identiteiten.

Eigenschappen 5.2.2.2 Zij x, y reele getallen en y > 0 dan geldt

1. loga ax = x.

2. aloga y = y.

Dat de logaritmische functie de inverse functie is van de exponentiele functie heeft als leuk gevolg dathun grafieken elkaars spiegelbeeld zijn t.o.v. de rechte y = x.

Net als bij de exponentiele functie bekomen we twee soorten grafieken naargelang a > 1 of 0 < a < 1.


Figuur 5.3: De logaritmische functie (grijs) en de exponentiele functie (zwart) zijn elkaars inverse.

Eigenschappen 5.2.2.3

Geval 1: a > 1

• loga x is gedefinieerd alsx > 0

• voor elke x < 1 : loga x < 0

• voor elke x > 1 : loga x > 0

• limx→+∞

loga x = +∞

• limx→0

loga x = −∞

• loga is strikt stijgend,de functie is orde bewarend.

x < z ⇐⇒ loga x < loga z

• loga x = loga z ⇐⇒ x = z

Geval 2: 0 < a < 1

• loga x is gedefinieerd alsx > 0

• voor elke x < 1 : loga x > 0

• voor elke x > 1 : loga x < 0

• limx→+∞

loga x = −∞

• limx→0

loga x = +∞

• expa is strikt dalend,de functie is orde omkerend

x < z ⇐⇒ loga x > loga z

• loga x = loga z ⇐⇒ x = z

5.2.3 Bijzondere logaritmen log10 = log en loge = ln

Met het tiendelig talstelsel zijn de machten van 10 vrij bijzonder, de logaritme met grondtal 10 kreegdan ook een aparte naam: de tiendelige of Briggse logaritme. We noteren log10 x als log x, de

functiewaarden kan je uitrekenen met je rekenmachine via de toets log . De logaritme van een getal

x geeft de grootte-orde van x aan. Als we 10 als grondtal kiezen is dit duidelijk :

log 1 = 0 log 0,1 = −1

log 10 = 1 log 0,01 = −2

log 100 = 2 log 0,001 = −3

5.2. LOGARITMISCHE FUNCTIES 55

–8

–6

–4

–2

2

4

6

8

–1 1 2 3 4

x

Figuur 5.4: f(x) = loga x, donkere lijn: a > 1, lichte lijn: 0 < a < 1.

log 1000 = 3

De inverse van de exponentiele functie exp krijgt ook een bijzondere naam en notatie. Indien hetgrondtal het getal e is spreken we van de natuurlijke of Neperiaanse logaritme, we noteren loge x alsln x. De Neperiaanse logaritmen kunnen eveneens met de rekenmachine berekend worden via de toets

ln .

5.2.4 Rekenregels

Alle rekenregels voor exponenten leiden tot hun equivalent voor logaritmen. We plaatsen ze hier naastelkaar. Het is eenvoudig na te gaan dat elke bewering in de linkerkolom een bewijs is van de regel inde rechterkolom. Zij a, x, y strikt positieve reele getallen met a 6= 1 en r, s reele getallen dan geldt

a0 = 1

a1 = a

a−r =1

ar

aras = ar+s

ar

as= ar−s

(as)r= asr

loga 1 = 0

loga a = 1

loga1

x= − loga x

loga (xy) = loga x + loga y

logax

y= loga x − loga y

loga xr = r loga x

We kunnen nu de bewering van Opmerking 5.1.3.3 aantonen.


Gebruiken we de tweede identiteit uit Eigenschap 5.2.2.2 voor de exponentiele functie

x = eln x.

Vervangen we hierin x door ax en passen we de laatste rekenregel van de logaritme toe dan bekomenwe

ax = eln ax

= ex ln a.

Hierin is ln a een positief of negatief getal naargelang a > 1 of a < 1.

Alle groeifuncties kunnen dus met de exponentele functie worden beschreven omdat

als a > 1 dan is ax = ekx met k = ln a > 0,

als 0 < a < 1 dan is ax = e−kx met k = − ln a = ln(1/a) > 0.

5.2.5 Overgang naar andere grondtallen

Net zoals we bij exponentiele functies kunnen overgaan naar andere grondtallen geldt dit ook voorlogaritmische functies.

Eigenschappen 5.2.5.1Voor alle grondtallen a, b > 0 en voor alle x > 0: loga x = logb x

logb a .

Voor alle grondtallen a, b > 0: loga b =1

logb a .

Voor alle grondtallen a > 0 en voor alle x > 0: loga x = log xlog a .

Voor alle grondtallen a > 0 en voor alle x > 0: loga x = ln xln a .

De laatste twee eigenschappen geven aan hoe je met een rekenmachine een logaritme met willekeurig

grondtal a kan berekenen via de log - of de ln -toets.

5.2.6 Voorbeeldoefeningen

1. Bereken met je rekenmachine.

(a) log2 10 =log 10

log 2=

1

log 2≈ 3, 32.

(b) log4 3 =log 3

log 4≈ 0, 79.

2. Reken uit zonder rekenmachine.

(a) log2 8 = log2 23 = 3

(b) log4 16 = log4 42 = 2

(c) log 0, 001 = log 10−3 = −3

(d) log91

81= log9 1− log9 81 = 0− log9 9

2 = −2

5.3. OEFENINGEN 57

(e) log2 41 000 000 = 1000 000 log2 4 = 1 000 000 log2 2

2 = 1000 000 · 2 = 2 000 000

(f) log2

(

8√2)

= log2 8 + log2√2 = log2 2

3 + log2 21

2 = 3 +1

2=

7

2of log2

(

8√2)

= log2 27/2 =

7

2

(g) log5

(253√5

)2

= 2 log5253√5

= 2(

log5 25− log53√5)

= 2(

log5 52 − log5 5

1

3

)

= 2

(

2− 1

3

)

= 25

3=

10

3

3. Schrijf in functie van log a en log b.

log

√a

b= log

(a

b

)1/2

=1

2log

a

b=

1

2log a− 1

2log b

4. Los op naar x.

(a) log3(x− 5) + log1/3 12 = log3 x

Deze vergelijking is enkel geldig als x > 0 en x > 5. Dus de bestaansvoorwaarde is x > 5.

Proberen we eerst log1/3 12 ook te schrijven als een logaritme met grondtal 3. Dit wordt

log1/3 12 =log3 12

log3(1/3)=

log3 12

log3 3−1

= − log3 12.

Zo verkrijgen we

log3(x− 5)− log3 12 = log3 x

log3x− 5

12= log3 x

x− 5

12= x

x− 5 = 12x

−11x = 5

x =−5

11.

Nu moet x > 5, dus moeten we deze negatieve oplossing verwerpen. De oplossingenverza-meling is dus leeg.

(b) 23x−5 = 5x

Nemen we van beide leden de ln:

(3x− 5) ln 2 = x ln 5

x(3 ln 2− ln 5) = 5 ln 2

x =5 ln 2

3 ln 2− ln 5

=5 ln 2

ln 23

5

=5 ln 2

ln 85

= 7, 37.

5.3 Oefeningen

1. Bereken zonder rekenmachine.


(a) log2 64

(b) log5 125

(c) log21

32

(d) log6(36√6)

(e) log 0, 00001

(f) log4

(

log44√4)

2. Bereken met rekenmachine.

(a) log2 7

(b) log0,3 4

3. Schrijf in functie van log a, log b en log c.

(a) loga

b4

(b) log

(

c3√

a

b

)

(c) loga4bc√bc2

4. Schrijf elke uitdrukking in functie van log x, log(x− 5) en log(x+ 1).

(a) logx(x+ 1)

x− 5

(b) log((x+ 1)2

√x− 5

)

(c) log

√

x− 5

x3(x+ 1)

(d) log1

(x+ 1)2

5. Schrijf elke uitdrukking als een enkele logaritme.

(a) log(x+ 1)− log x2 +1

2log(x− 3)

(b) 3− log x

(c) 5 log(x− 1)− 1

2log(x+ 3)

6. Schrijf onderstaande uitdrukking in functie van log(k − 1), log k en log(k + 1).

log

(

1− 1

k2

)

7. Stel dat y impliciet gegeven is als functie van t door volgende formule,

kt =1

3[ln(y − 2)− ln(y − 5)].

Hierin is k een strikt positieve parameter. Toon aan dat y =5− 2e−3kt

1− e−3kt. Bereken lim

t→+∞y.

5.3. OEFENINGEN 59

8. Toon aan dat:

(a) loga

b− log

c

d= − log

b

d+ log

a

c

(b) − log1

a+ log

1

b= − log

b

a

Opmerking: de rekenregels gebruiken zoals in deze oefening, moet je ook vlot kunnen wanneerhier grootheden uit de chemie of fysica staan in plaats van a, b, c en d.

9. Je hoeft de betekenis van de gebruikte symbolen niet te kennen om de oefening te kunnenoplossen.

(a) Gegeven ∆G0 = −n · F ·∆E0 en ∆G0 = −R · T · ln(Kev).

Toon aan dat Kev ≈ 10

n · F ·∆E0

2, 303 ·R · T .

(b) Gegeven 0, 89 = 1, 5− 0, 059

2log

110−14

Ka10−14

.

Toon aan dat Ka ≈ 4, 7 · 10−8.

10. Je hoeft de betekenis van de gebruikte symbolen niet te kennen om de oefening te kunnenoplossen.

(a) Schets de grafiek van de functie lnC(t) met C(t) = C0e−kt.

(b) Schets de grafiek van ln k in functie van1

Tmet k = Ae

−E

RT .

11. Los op naar x.

(a) log x+ log(x+ 1) = log 2

(b) log3(x− 3) =1

2 log2 3+ log81(3x− 13)2

12. De vergelijking 4x − 5 · 2x = 24 werd opgelost naar x. Toch klopt de oplossing voor x niet alswe deze terug invullen in de vergelijking. Zoek de fout in de berekening.

22x − 5 · 2x = 24

log2 22x − log2(5 · 2x) = log2 24

2x− log2 5− log2 2x = log2 24

2x− log2 5− x = log2 24

x = log2 24 + log2 5

x = log2(24 · 5)x = log2 120

13. Los volgende vergelijkingen op naar x. Geef de exacte waarde (eventueel een formule, je hoeftdus geen rekenmachine te gebruiken).

(a) 15 · 3x+1 − 243 · 5x−2 = 0.

(b) 32x−3 − 10 · 3x−2 + 3 = 0 (de oplossingsmethode is niet analoog aan het voorbeeld. Tip:neem y = 3x).

14. Welke x ∈ R voldoen aan volgende ongelijkheid?

(a) ln(x+ 5) > 7

(b) log(x2 − 3) > 2

(c) log0,5(x− 1) < 1


Oplossingen

1. (a) 6

(b) 3

(c) -5

(d) 52

(e) -5

(f) -1

2. (a) 2, 81

(b) −1, 15

3. (a) log a− 4 log b

(b) 3 log c+ 12 log a− 1

2 log b

(c) 4 log a+ 12 log b

4. (a) log x+ log(x+ 1)− log(x− 5)

(b) 2 log(x+ 1) + 12 log(x− 5)

(c) 12 log(x− 5)− 3

2 log x− 12 log(x+ 1)

(d) −2 log(x+ 1)

5. (a) log(x+ 1)(x− 3)

1

2

x2

(b) log103

x

(c) log(x− 1)5

(x+ 3)1

2

6. log(k − 1) + log(k + 1)− 2 log k

7. limt→+∞

y = 5

8.

9.

10. (a) lnC(t) = lnC0 − kt

(b) ln k(1T

)= lnA− E

R1T

Dit zijn beide rechten. Duid het snijpunt met de verticale as aan en de richtingscoefficient.

11. (a) x = 1

(b) x = 5 en x = 7

12. log2 22x − log2(5 · 2x) 6= log2

(22x − 5 · 2x

)

13. (a) x = 3

(b) x = 3 en x = 1

14. (a) x > e7 − 5

(b) x < −√103 of x >

√103

(c) x > 1, 5

Hoofdstuk 6

De afgeleide functie: rekenregels en

toepassingen

Inleiding

De afgeleide van een functie f in een punt a ∈ R geeft aan hoe de functiewaarde f(x) verandert inde buurt van a. Het teken van de afgeleide in een punt a geeft aan of de functie stijgend of dalend isin de omgeving van a. De functie die met een reeel getal x de afgeleide van een functie f in het puntx associeert, heet de afgeleide functie (of kortweg de afgeleide) van f . Deze functie wordt meestalgenoteerd met f ′ of df

dx . Het bepalen van de afgeleide van een functie heet differentieren of afleiden.Het concept van afgeleide van een functie werd in de 17e eeuw vrijwel tegelijkertijd ontwikkeld doorIsaac Newton en Gottfried Leibniz.

In dit hoofdstuk wordt de (grafische) betekenis van afgeleide samen met de definitie kort herhaald.De nadruk ligt op de standaardafgeleiden en de rekenregels. Deze worden herhaald (zonder bewijs) enverwerkt in een aantal voorbeeldoefeningen en toepassingen. Daarnaast is er een uitgebreid gammaaan oefeningen.

6.1 Definitie – Betekenis van de afgeleide

Een rechte heeft de eigenschap dat de helling in elk punt dezelfde is. Maar bij de meeste grafieken vanfuncties is de helling van punt tot punt verschillend. De afgeleide van een functie is een maat voor dielokale helling van de grafiek in elk punt en levert bijgevolg informatie over het verloop van de functie.Beschouw de functie f waarvan de grafiek getekend is in Figuur 6.1 en s de rechte (koorde) door depunten P (x0, f(x0)) en Q(x0 +h, f(x0 +h)) op de grafiek van f . De richtingscoefficient van de rechtes is gegeven door het differentiequotient1

rc(s) =f(x0 + h)− f(x0)

(x0 + h)− x0=

f(x0 + h)− f(x0)

h. (6.1)

De raaklijn t aan de grafiek van f in het punt P (x0, f(x0)) is de limietstand van de koorde s voorQ → P of nog voor h → 0. De richtingscoefficient van t is bijgevolg ook de limiet voor h → 0 van het

1De toename h (tussen de x-coordinaat van P en die van Q) wordt soms ook genoteerd als ∆x en heet de differentievan x. De bijhorende toename van f nl. f(x0 + h) − f(x0) noteert men dan als ∆f(x0) en heet de differentie van f .

Het quotient∆f(x0)

∆xwordt dan het differentiequotient of Newtonquotient genoemd.

61

62 HOOFDSTUK 6. DE AFGELEIDE FUNCTIE: REKENREGELS EN TOEPASSINGEN

x0 x0+ h

f x( )0

f x( )0+h

P

Q

t sy

x

f

Figuur 6.1: Raaklijn als limietstand van koorden – Afgeleide als limiet van differentiequotienten.

differentiequotient (6.1):

rc(t) = limh→0

rc(s) = limh→0

f(x0 + h)− f(x0)

h.

De richtingscoefficient van t bepaalt precies de lokale helling van de grafiek van f in het puntP (x0, f(x0)) en wordt daarom als definitie genomen van de afgeleide f ′(x0) van de functie f in hetpunt x0, dus,

f ′(x0) =df

dx(x0)

def= lim

h→0

f(x0 + h)− f(x0)

h.

6.1.1 Definitie

We komen op deze manier tot onderstaande definitie van afleidbaarheid van een functie en afgeleidevan een functie.

Definitie 6.1.1.1 (Afleidbaarheid en afgeleide van een functie) Zij f een functie en a ∈R. Indien de limiet

limh→0

f(a+ h)− f(a)

h

bestaat en eindig is, heet f afleidbaar of differentieerbaar in het punt a ∈ R. De waarde van dezelimiet wordt dan de afgeleide van f in a genoemd en wordt genoteerd met

f ′(a) ofdf

dx(a).

Dus

f ′(a)def=

df

dx(a)

def= lim

h→0

f(a+ h)− f(a)

h.

De functie die x afbeeldt op f ′(x) noemt men dan de afgeleide functie (of kortweg de afgeleide)van f . Ze wordt genoteerd met

f ′ ofd

dx[f ].

6.2. STANDAARDAFGELEIDEN EN REKENREGELS 63

Opmerkingen 6.1.1.2

1. Een andere veel gebruikte definitie voor afgeleide vind je door substitutie van a+ h voor x zodath = x− a. We bekomen dan als alternatieve en volledig gelijkwaardige definitie

f ′(a)def= lim

x→a

f(x)− f(a)

x− a.

2. De tweede afgeleide van een functie f is de afgeleide functie van de afgeleide functie, ze wordt

genoteerd met f ′′ ofd2f

dx2=

d

dx

(df

dx

)

.

6.2 Standaardafgeleiden en rekenregels

6.2.1 Standaardafgeleiden

Hieronder zien we een tabel met de afgeleiden van enkele belangrijke functies. In de linkerkolomvinden we telkens het functievoorschrift van de oorspronkelijke functie, rechts dat van de afgeleidefunctie. In de functievoorschriften stellen a > 0, c en r reele constanten voor, e ≈ 2,7182818 is deconstante van Euler.

f(x)d

dx[f(x)] = f ′(x)

c 0

xr rxr−1

ex ex

ax ax ln a

lnx1

x

loga x1

x ln a

sinx cosx

cosx − sinx

tanx1

cos2 x= sec2 x = 1 + tan2 x

f(x)d

dx[f(x)] = f ′(x)

cosecx − cosecx cotx

secx secx tanx

cotx − 1

sin2 x= − cosec2 x

= −1− cot2 x

Bgsinx1√

1− x2

Bgcosx−1√1− x2

Bgtanx1

1 + x2

6.2.2 Rekenregels

Voor het berekenen van afgeleiden van samengestelde functies zijn onderstaande rekenregels zeerhandig.

Rekenregels 6.2.2.1 Zij f en g twee functies die beide afleidbaar zijn in x ∈ R. Dan geldt:

1. Afgeleide van een veelvoud van een functie Voor elke c ∈ R is de functie cf afleidbaar in x,met afgeleide

(cf)′(x) = cf ′(x).


2. Afgeleide van som en verschil van functies De som f + g en het verschil f − g zijn beideafleidbaar in x, met als afgeleiden

(f + g)′(x) = f ′(x) + g′(x)

(f − g)′(x) = f ′(x)− g′(x).

3. Afgeleide van een product van functies Het product fg is afleidbaar in x, met als afgeleide

(fg)′(x) = f ′(x)g(x) + f(x)g′(x).

4. Afgeleide van het omgekeerde van een functie Indien g(x) 6= 0, dan is 1/g afleidbaar in x,met als afgeleide

(1

g

)′(x) = − g′(x)

g(x)2.

5. Afgeleide van een quotient van functies Indien g(x) 6= 0, dan is het quotient f/g afleidbaarin x, met als afgeleide

(f

g

)′(x) =

f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)

g(x)2.

6. Afgeleide van een samengestelde functie: kettingregel De samengestelde functie g ◦ f isafleidbaar in x, met als afgeleide

(g ◦ f)′(x) = g′(f(x))f ′(x).

In woorden: de afgeleide van g ◦ f in x ∈ R vind je door de laatst toegepaste functie g af teleiden en te evalueren in f(x) en vervolgens te vermenigvuldigen met de afgeleide van f in x.

7. Afgeleide van de inverse van een functie Indien f ′(x) 6= 0, dan is de inverse functie f−1

afleidbaar in y = f(x), met als afgeleide

(f−1)′(y) =1

f ′(f−1(y))=

1

f ′(x).

6.3 Voorbeeldoefeningen

In deze paragraaf worden enkele voorbeelden uitgebreid uitgewerkt om te illustreren hoe bovenstaanderekenregels en standaardafgeleiden toegepast worden.

1. Bereken de afgeleide van de functie f(x) = x. Het gaat hier om een standaardafgeleide, nl. vande functie f(x) = xr met r = 1. We bekomen

f ′(x) =d

dx[xr] = rxr−1 r=1

= 1 · x1−1 = 1 · x0 = 1 · 1 = 1.

Dus de afgeleide van de functie f(x) = x is de functie f ′(x) = 1. Men noteert dit ook alsd

dx[x] = 1.

2. Bereken de afgeleide van de functie f(x) =√x. Het gaat hier om een standaardafgeleide, nl. van

de functie f(x) = xr met r = 1/2. We bekomen dus

f ′(x) =d

dx[xr] = rxr−1 r=1/2

=1

2x

1

2−1 =

1

2x− 1

2 =1

2√x.

6.3. VOORBEELDOEFENINGEN 65

Dus de afgeleide van de functie f(x) =√x is de functie f ′(x) =

1

2√x. Men noteert dit ook als

d

dx[√x] =

1

2√x.

3. Bereken de afgeleide van de functie f(x) = x4 lnx. Omdat het hier om een product van tweefuncties gaat, moeten we gebruik maken van de productregel. We bekomen

f ′(x) =d

dx[f(x)]

=d

dx

[x4 lnx

]

= lnx · d

dx

[x4]+ x4 · d

dx[lnx]

= lnx · 4x3 + x4 · 1x

= x3 (4 lnx+ 1) .

4. Bereken de afgeleide van de functie

f(x) =lnx

sinx.

Omdat het hier om een quotient van twee functies gaat, moeten we gebruik maken van dequotientregel. We bekomen

f ′(x) =d

dx[f(x)]

=d

dx

[lnx

sinx

]

=sinx · d

dx [lnx]− lnx · ddx [sinx]

sin2 x

=sin xx − lnx · cosx

sin2 x

=1

x sinx− lnx cosx

sin2 x.

Soms kunnen we een quotient van functies ook afleiden zonder de quotientregel te gebruiken, zoalsblijkt uit volgend voorbeeld.

5. We berekenen de afgeleide van de functie f(x) =−2

5x.

f ′(x) =d

dx[f(x)] =

d

dx

[−2

5x

]

=d

dx

[

−2

5x−1

]

= −2

5

d

dx

[x−1

]

= −2

5(−1)x−2 =

2

5x2.


f(x) =3

√

(x2 + 3)4.


Om het berekenen van de afgeleide te vereenvoudigen, kunnen we het functievoorschrift van fbest herschrijven tot

f(x) =(x2 + 3

)4/3.

De functie f is een samenstelling van twee andere functies. D.w.z. dat f(x) te schrijven is alsf(x) = h(g(x)) met g(x) = x2 + 3 en h(x) = x4/3. De afgeleiden van g en h zijn gegevendoor respectievelijk g′(x) = 2x en h′(x) = (4/3)x1/3. Met behulp van de kettingregel voor hetafleiden van samengestelde functies bekomen we dan voor f ′ het volgende,

f ′(x) =d

dx[f(x)] =

d

dx[h (g(x))]

= h′ (g(x)) · d

dx[g(x)] =

4

3(x2 + 3)1/3 · d

dx

[x2 + 3

]

=4

3(x2 + 3)1/3 · 2x =

8x 3√x2 + 3

3.

Bij het afleiden van een samengestelde functie hoeft men natuurlijk niet steeds de samenstellendefuncties expliciet te benoemen en af te leiden, men mag rechtstreeks de afgeleide van de samengesteldefunctie neerschrijven zoals in het voorbeeld hieronder.

7. Bereken de afgeleide van de functie f(x) = 5x2

. Het gaat hier opnieuw om een samengesteldefunctie. De afgeleide vinden we dus met behulp van de kettingregel:

f ′(x) =d

dx[f(x)] =

d

dx

[

5x2]

= 5x2

ln 5 · d

dx

[x2]= 5x

2

ln 5 · 2x = (2 ln 5)x 5x2

.


f(x) =

(x

1 + 2x

)4

.

Gebruikmakend van de kettingregel en de quotientregel bekomen we

d

dx[f(x)] =

d

dx

[(x

1 + 2x

)4]

= 4

(x

1 + 2x

)3

· d

dx

(x

1 + 2x

)

= 4

(x

1 + 2x

)3 (1 + 2x) · ddx [x]− x · d

dx [1 + 2x]

(1 + 2x)2

= 4

(x

1 + 2x

)3(1 + 2x) · 1− x · 2

(1 + 2x)2=

4x3

(1 + 2x)5.

9. Stel dat g een afleidbare functie is. Geef de afgeleide van de functie f in termen van de afgeleidevan de functie g als f bepaald wordt door het functievoorschrift

f(x) = ln g(x).

We vinden

f ′(x) =d

dx[ln g(x)] =

1

g(x)· d

dx[g(x)] =

g′(x)

g(x).

6.4. TOEPASSINGEN 67

6.4 Toepassingen

6.4.1 Belang van afgeleiden in het bepalen van het verloop van functies

Als de afgeleide strikt positief is in een bepaald punt, zal de functie stijgen in de omgeving van datpunt. Als de afgeleide strikt negatief is in een bepaald punt, zal de functie dalen in de omgeving vandat punt. Als f ′(a) = 0 voor een zekere a ∈ R zal de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (a, f(a))horizontaal zijn. We vermelden nog dat wanneer een afleidbare functie f een lokaal maximum of eenlokaal minimum bereikt in een punt a ∈ R, de afgeleide f ′(a) in dat punt steeds nul zal zijn. Menkan dus verwachten dat bij het bepalen van het verloop van een functie afgeleiden een belangrijke rolspelen.

Een maximum of een minimum noemen we ook een extremum. Bij het zoeken naar de extrema vaneen functie f speelt de afgeleide f ′ een belangrijke rol.

Eigenschap 6.4.1.1 Stel f is continu op [a, b] en afleidbaar op ]a, b[. Dan geldt:

• Als f ′(x) > 0 voor elke x ∈]a, b[, dan is f strikt stijgend in [a, b], d.w.z. als x, y ∈ [a, b] enx < y, dan is f(x) < f(y).

• Als f ′(x) < 0 voor elke x ∈]a, b[, dan is f strikt dalend in [a, b], d.w.z. als x, y ∈ [a, b] enx < y, dan is f(x) > f(y).

Als in een punt c geldt dat f ′(c) = 0 dan is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (c, f(c))horizontaal. Het punt c wordt dan een kritiek punt van f genoemd.

De eerste afgeleide f ′ geeft ons dus heel wat informatie over het verloop van f .

Onder de punten van het interval ]a, b[ waar de functie f een afgeleide heeft zijn de kritieke punten deenige kandidaat-extrema. Maar niet alle kritieke punten zijn relatieve minima of maxima, het kunnenook buigpunten zijn. Het teken van de tweede afgeleide geeft daarover eventueel uitsluitsel.

f ′(c) = 0

f ′′(c) < 0

maximum

f ′(c) = 0

f ′′(c) > 0

minimum

f ′(c) = 0

f ′′(c) = 0

eventueel buigpunt

We moeten dus meer informatie hebben over deze kritieke punten (zie Tabel 6.1).

6.4.2 Toepassingen uit de fysica

De harmonische oscillator

Wanneer een massa aan een veer een trillende beweging uitvoert (in het verlengde van de veer) danwordt, zie bijvoorbeeld [10], de uitwijking x van de massa t.o.v. haar rusttoestand, in functie van detijd t, beschreven door

x(t) = A cos(ωt).


f ′(c) f ′′(c) Verloop van de functie in de omgeving van c

+ stijgend

− dalend

0 − maximum

0 + minimum

+ 0 stijgend en buigpunt

− 0 dalend en buigpunt

0 0 horizontale raaklijn, geen verdere info

Tabel 6.1: Verloop van een functie in de omgeving van een punt.

Hierin zijn de amplitude A > 0 en de hoeksnelheid ω > 0 reele constanten. De snelheid v waarmee demassa trilt (in functie van de tijd) kunnen we bepalen door de uitwijking x af te leiden naar de tijdt. Met de kettingregel vinden we

v(t) =dx(t)

dt=

d

dt(A cos(ωt))

= A(− sin(ωt))d

dt(ωt)

= − ωA sin(ωt).

In Figuur 6.2 worden de positie x en de snelheid v uitgezet als functie van de tijd. Merk op dat desnelheid nul is op momenten dat de uitwijking maximaal is. Inderdaad, als x = A of x = −A is hetobject aan het keerpunt van de oscillatie en staat het momentaan even stil. Omgekeerd is de snelheidmaximaal als de verplaatsing uit de evenwichtspositie nul is (bv. een massa aan een oscillerende veerheeft de grootste snelheid wanneer ze door de evenwichtspositie gaat).

Op analoge manier wordt de versnelling a (zie Figuur 6.3) van de massa in functie van de tijd gevondendoor de snelheid v op haar beurt af te leiden naar de tijd,

a(t) =dv(t)

dt=

d

dt(−ωA sin(ωt))

= − ω2A cos(ωt).

6.4. TOEPASSINGEN 69

Figuur 6.2: Positie x en snelheid v als functie van de tijd t voor een harmonische oscillatie. Bron: [10].

Snelheid als afgeleide van de verplaatsing naar de tijd

Wanneer een massa een eenparig versnelde rechtlijnige beweging uitvoert (bijvoorbeeld een auto dieversnelt van 0 naar 50 km/u) hangt zijn positie als volgt af van de tijd:

x(t) = x0 + v0t+ct2

2.

Hierbij zijn de constanten x0 en v0 respectievelijk de beginpositie en de beginsnelheid, a is de constanteversnelling. Deze x(t)-functie is een kwadratische functie, deze heeft als grafiek een parabool (zieFiguur 6.4). Hoe de snelheid van de auto verandert in de tijd kunnen we bepalen door de afgeleide tenemen van de verplaatsing (positie) naar de tijd,

v(t) =dx(t)

dt= v0 + ct.

Dit is een lineaire functie met als grafiek een rechte (zie Figuur 6.4). De versnelling van de auto is deverandering van de snelheid per tijdseenheid of de afgeleide van de snelheid naar de tijd,

a(t) =dv(t)

dt= c.

Deze versnelling blijft constant in de tijd voor een eenparig versnelde rechtlijnige beweging. De grafiekhiervan is dan ook een horizontale rechte (zie Figuur 6.4).

6.4.3 Optimalisatieproblemen

We zagen al dat maxima en minima van een functie kunnen optreden wanneer de afgeleide van dezefunctie nul is. Dit kan gebruikt worden in optimalisatieproblemen (ook minimum-maximum-problemengenoemd). Bekijk bijvoorbeeld volgende situatie.

We willen een cilindervormig blik maken met een inhoud van 1 liter, maar met een zo klein mogelijkrandoppervlak (omdat dit dan het minste materiaal vereist). Hoe moeten we dan de afmetingen vandit blik kiezen? Die afmetingen zijn de hoogte h van de cilinder, en de straal r van het grond- enbovenvlak van de cilinder.


Figuur 6.3: Positie x en versnelling a als functie van de tijd t voor een harmonische oscillatie. Bron:[10].

De totale oppervlakte van het blik bestaat uit drie delen: het grondvlak is een cirkel met straal r,dus heeft als oppervlakte πr2. Het bovenvlak uiteraard ook. Tot slot is er de mantel, die kan wordengezien als een rechthoek met afmetingen h en 2πr. De totale oppervlakte van het blik wordt dus:

opp = 2πr2 + 2πrh.

Daarnaast weten we dat de inhoud 1 liter is, de inhoud van een cilinder wordt gegeven door πr2h.Hieruit halen we dat

h =1

πr2.

Dat laat toe om de oppervlakte A (dit is de grootheid waarvan we een minimum zoeken) te schrijvenals een functie van een variabele:

A(r) = 2πr2 + 2πr1

πr2= 2πr2 +

2

r.

We zijn op zoek naar een minimum, dus we berekenen de eerste afgeleide, en stellen deze gelijk aannul:

A′(r) = 4πr − 2

r2= 0 ⇐⇒ 4πr =

2

r2⇐⇒ r3 =

1

2π⇐⇒ r =

13√2π

≈ 0.5419.

De hoogte kennen we dan uiteraard ook, want we hebben nu dat

h =1

πr2=

3

√

4

π≈ 1.0839.

Tot slot kunnen we nagaan dat dit nulpunt van de afgeleide wel degelijk overeenkomt met een mini-mum, door de tweede afgeleide te berekenen:

A′′(r) = 4π +4

r3= 4π + 8π = 12π > 0

zodat Tabel 6.1 ons leert dat we hier inderdaad een minimum gevonden hebben.

6.5 Oefeningen

1. Bereken de afgeleide van volgende functies.

6.5. OEFENINGEN 71

Figuur 6.4: Versnelling a, snelheid v en positie x als functie van de tijd t voor een eenparig versnelderechtlijnige beweging. Op deze tekeningen zijn v0 = 0 = x0.

(a) f(t) = (1 + t) ln t

(b) f(t) = t2 cos t

(c) f(t) =−1

t2

(d) f(t) =3t− 1

2t+ 2(e) f(x) = sin(4x+ 5)

(f) f(t) = ln(7t2)

(g) f(x) =4x3 + 1

3x

(h) f(x) = tan1

x

(i) f(x) = cos(−8x2 − 1)

(j) f(x) = sin3(3x)

(k) f(x) =√

x2 − 7x+ 8

(l) f(t) = ln t sin(t2)

(m) f(t) = ln(1− t2)

2. Zij a, b, c ∈ R. Bepaal dan de afgeleide van onderstaande functies.

(a) s(t) = a+ b sin(bt− c)

(b) s(θ) = abθ + cθ2

3. Bereken de tweede afgeleide van elk van volgende functies.

(a) f(x) = lnx2

(b) f(θ) = θ cos θ

(c) f(t) = sin t4

4. Bepaaldr

dθals de functie r gegeven wordt door


(a) r(θ) = 2 θ1/2 +3

2θ2/3 +

4

3θ3/4

(b) r(θ) =4

1 + 2 cos θ

(c) r(θ) =√1− 2θ

(d) r(θ) =a

θmet a > 0.

5. Kies het juiste antwoordalternatief. De afgeleide van f(x) = (1 + 2x)5 naar x is:

◦ 10(1 + 2x)5

◦ 2(1 + 2x)4

◦ 10(1 + 2x)4

◦ 5(1 + 2x)4

6. Stel θ = ωt en ω, a ∈ R. Bereken de afgeleide van x naar t als

(a) x = a(1− cos θ)

(b) x = a sin2 θ

Oplossingen

1. (a) ln t+1

t+ 1

(b) 2t cos t− t2 sin t

(c) 2t−3

(d) 2(t+ 1)−2

(e) 4 cos(4x+ 5)

(f)2

t

(g)8x3 − 1

3x2

(h) −(x cos(x−1))−2

(i) 16x sin(−8x2 − 1)

(j) 9 sin2(3x) cos(3x)

(k)2x− 7

2√x2 − 7x+ 8

(l)sin t2

t+ 2t ln t cos t2

(m)−2t

1− t2

2. (a) b2 cos(bt− c)

(b) ab+ 2cθ

3. (a) −2x−2

(b) −2 sin θ − θ cos θ

(c) −16t6 sin t4 + 12t2 cos t4

4. (a) θ−1/2 + θ−1/3 + θ−1/4

(b)8 sin θ

(1 + 2 cos θ)2

(c)−1√1− 2θ

(d)−a

θ2

5. 10(1 + 2x)4

6. (a) x′(t) = a sin θ(t)θ′(t) = aω sin(ωt)

(b) x′(t) = 2a sin θ(t) cos θ(t)θ′(t) = 2aω sin(ωt) cos(ωt)

Hoofdstuk 7

Integralen

De bedoeling van dit hoofdstuk is, gegeven een functie f , een functie F te zoeken (en vinden) waarvande afgeleide precies f is. Het nut hiervan is onder andere dat men hierdoor de oppervlakte tussen degrafiek van f , de x-as en twee verticale rechten kan berekenen. Ook in fysica, biomechanica, . . . wordenintegralen in uiteenlopende toepassingen gebruikt.

7.1 Definities en eigenschappen

Veronderstel dat I een interval is van R en f : I → R een functie.

7.1.1 Definitie

Als F : I → R een functie is met de eigenschap F ′ = f , dit wil zeggen, ∀x ∈ I is F ′(x) = f(x), dannoemen we F een primitieve van f .

7.1.2 Eigenschappen

1. Als f continu is dan bezit f minstens 1 primitieve F .

2. Als F en G twee primitieve functies zijn van f op I dan zijn F en G gelijk aan elkaar op eenconstante na, dit wil zeggen, voor elke x ∈ I is

F (x) = G(x) + c

met c ∈ R. Als we voor f : I → R een primitieve F gevonden hebben, dan zijn alle F + c metc ∈ R ook primitieven van f . De verzameling van alle primitieven van f noteren we met

∫

f(x) dx = F (x) + c

en noemen we de onbepaalde integraal van f .

3. Als F : I ⊂ R → R een primitieve functie is van f en [a, b] ⊂ I dan is

∫ b

a

f(x) dx = F (b)− F (a).

We noemen∫ b

af(x) dx de bepaalde integraal.

73

74 HOOFDSTUK 7. INTEGRALEN

7.1.3 Meetkundige betekenis

Neem f : I ⊂ R → R continu en stel dat voor alle x ∈ [a, b] ⊂ I : f(x) ≥ 0. Zij F een primitieve van

f , dan is∫ b

af(x) dx = F (b) − F (a) gelijk aan de oppervlakte tussen de grafiek van de functie f , de

verticale rechten x = a en x = b en de horizontale x-as.

Figuur 7.1: De gearceerde oppervlakte is gelijk aan∫ 18

2[sinx+ 2 lnx] dx.

7.2 Enkele primitieve functies

De tabel met basisintegralen verkrijgen we uit de tabel van de standaardafgeleiden.

Voor r ∈ R\{−1} en a ∈ R0 is

f(x)

∫

f(x) dx = F (x)

a ax+ c

xr xr+1

r + 1+ c

ex ex + c

axax

ln a+ c

1

xln |x|+ c

f(x)

∫

f(x) dx = F (x)

cosx sinx+ c

sinx − cosx+ c

1√1− x2

Bgsinx+ c

1

1 + x2Bgtanx+ c

Hierbij is telkens c ∈ R.

7.3 Integratiemethoden

7.3.1 Handige eigenschappen

1. Als f en g continue functies zijn op een interval I ⊂ R, dan is

∫

[f(x) + g(x)] dx =

∫

f(x) dx+

∫

g(x) dx.

7.4. TOEPASSING 75

2. Als f een continue functie is op I ⊂ R en k ∈ R, dan is∫

kf(x) dx = k

∫

f(x) dx.

7.3.2 Substitutie

We maken enkele voorbeelden hiervan.

1. In∫x(x2 + 1)3 dx stellen we u = x2 + 1. Dan is du = 2x dx of x dx = 1

2 du en

∫

(x2 + 1)3x dx =1

2

∫

u3 du =1

2

u4

4+ c =

1

8(x2 + 1)4 + c.

2. Om∫ 2

1(5x− 3)2 dx te berekenen stellen we u = 5x− 3 in de onbepaalde integraal

∫(5x− 3)2 dx.

Dan is du = 5 dx of dx = 15 du en

∫

(5x− 3)2 dx =1

5

∫

u2 du =1

5

u3

3=

1

5

(5x− 3)3

3.

Dus is ∫ 2

1

(5x− 3)2 dx =1

5

(5 · 2− 3)3

3− 1

5

(5 · 1− 3)3

3=

1

15(73 − 23) =

67

3.

7.3.3 Partiele integratie

Als f en g twee afleidbare functies zijn op het interval I ⊂ R, dan geldt∫

f ′(x)g(x) dx = f(x)g(x)−∫

f(x)g′(x) dx.

Als a en b tot het interval I behoren dan wordt∫ b

a

f ′(x)g(x) dx = [f(x)g(x)]ba −∫ b

a

f(x)g′(x) dx = f(b)g(b)− f(a)g(a)−∫ b

a

f(x)g′(x) dx.

Bijvoorbeeld in de integraal∫xex dx stellen we f ′(x) = ex en g(x) = x. Dan is f(x) = ex en g′(x) = 1

en volgens het bovenstaande is∫

xex dx = xex −∫

ex · 1 dx = xex − ex + c.

7.4 Toepassing

Stel dat een auto vanuit stilstand (snelheid 0) vertrekt (tijdstip 0) aan een stoplicht (positie 0) en eeneenparig versnelde beweging uitvoert met constante versnelling van 2 m/s2. Bepaal de positie van deauto in functie van de tijd.

Zie de toepassing in het hoofdstuk over afgeleiden en vooral Figuur 6.4. Noem a(t) de versnellingvan de auto op tijdstip t, v(t) de snelheid van de auto op tijdstip t en x(t) de positie van de auto optijdstip t. Dan is a(t) = 2 en

v(t) =

∫

a(t) dt =

∫

2 dt = 2t+ c en x(t) =

∫

v(t) dt =

∫

(2t+ c) dt =2

2t2 + ct+ d

76 HOOFDSTUK 7. INTEGRALEN

waarin c, d ∈ R. Aangezien v(0) = c en v(0) = 0 (de auto vertrekt vanuit stilstand) is c = 0.Gelijkaardig is uit x(t) = d en x(t) = 0 ook d = 0.

Dus de positie van de auto in functie van de tijd is x(t) = t2. Hiermee kunnen we antwoorden opvragen zoals, hoe ver is de auto na 10 seconden? Immers, x(10) = 102 = 100, dus 100 m.

Wat wordt dit als men met deze auto vanaf dit punt (100 meter ver en aan een snelheid van 20 m/s)ogenblikkelijk de versnelling kan halveren tot constant 1 m/s2? Bepaal dan de positie van de auto infunctie van de tijd (laat de tijd terug op 0 starten). Bereken ook waar en wanneer de auto 120 km/urijdt.

Dit lossen we gelijkaardig op aan bovenstaand probleem, we duiden nu de functies die een rol spelen

aan met een onderindex 2. Dan is a2(t) = 1, v2(t) = t+20 en x2(t) =t2

2+20t+100. Daaruit zien we

dat de snelheid 120 km/u of100

3

m

sbedraagt als t = 40

3 s en dan is de afgelegde weg x2(t) =41009 m.

7.5 Oefeningen

Bereken de volgende onbepaalde en bepaalde integralen.

1.∫

1x2 dx

2.∫

13√x2

dx

3.∫x sinx dx

4.∫3x2(x3 + 2)2 dx

5.∫x2 lnx dx

6.∫ 4

1x+3

(x2+6x)1

3

dx

7.∫ 2

1x2

1−2x3 dx

8.∫ 4

2x+2x+1 dx

9.∫ 1

0ex

1+ex dx

10.∫ π

π

2

sin2 x cosx dx

11.∫ π

4

0tanx dx

12.∫

x2

√1−x6

dx

13.∫

sin x1+cos x dx

14.∫3x dx

Oplossingen

Hier is telkens c ∈ R. Achter de oplossing staat een code voor de methode: B staat voor basisintegraal,S voor substitutie en PI voor partiele integratie.

1. − 1x + c (B)

2. 3 3√x+ c (B)

3. −x cosx+ sinx+ c (PI)

4. (x3+2)3

3 + c (S)

5. x3

3 ln |x| − x3

9 + c (PI)

6. onbepaalde integraal: 34

3

√

(x2 + 6x)2+ c (S)

bepaalde integraal: 34

(3√1600− 3

√49)

7. onbepaalde integraal: − 16 ln |1−2x3|+ c (S)

bepaalde integraal: − 16 ln(15)

8. onbepaalde integraal: x+ ln |x+ 1|+ c (B)

(hint: x+2x+1 = x+1

x+1 + 1x+1 )

bepaalde integraal: 2 + ln(5)− ln(3)

9. onbepaalde integraal: ln |1 + ex|+ c (S)

bepaalde integraal: ln(1 + e)− ln(2)

10. onbepaalde integraal: sin3 x3 + c (S)

bepaalde integraal: − 13

11. onbepaalde integraal: − ln | cosx|+ c (S)

bepaalde integraal: − ln 2√2

12. 13 Bgsin(x

3) + c (S)

13. − ln |1 + cosx|+ c (S)

14. 3x

ln 3 + c (B)

Bibliografie

[1] Formularium usolvit, www.usolvit.be/usolvit/formularium, versie 24/01/2008.

[2] Prisma, Vademecum van de wiskunde, Uitgeverij Het Spectrum B.V., 15de druk, 1998.

[3] S. Raedts, Fysica, Introductieweek Faculteit Bewegings- en Revalidatiewetenschappen, KU Leu-ven, 2016.

[4] S. Raedts, Wiskunde, Introductieweek Faculteit Bewegings- en Revalidatiewetenschappen, KULeuven, 2016.

[5] Remedieringspakket KU Leuven Faculteit wetenschappen, Goniometrie, 2007.

[6] Remedieringspakket KU Leuven Faculteit wetenschappen, Vectoren in R2 en vlakke meetkunde,2007.

[7] R. Silverans, Algemene natuurkunde, cursustekst KU Leuven, 2007.

[8] Vakantiecursus Wiskunde, KUBrussel, 2007.

[9] G. Van der Perre en L. Labey, Toegepaste Mechanica 1, cursustekst K.U.Leuven, 2006.

[10] J. S. Walker, Physics Fourth Edition, Pearson International Edition.

77

WiskundeinzelfstudievoorMPM KULeuven...Hoofdstuk 1 Algebra¨ısch rekenen Inleiding In dit hoofdstuk...

Documents

Transcript of WiskundeinzelfstudievoorMPM KULeuven...Hoofdstuk 1 Algebra¨ısch rekenen Inleiding In dit hoofdstuk...