Bij een herhaald experiment, met telkens dezelfde kans op succes gebruiken we de binomiale kansverdeling

Een binomiale kansverdeling wordt gekenmerkt door 2 getallen:

• Het aantal herhalingen van het experiment (n)

• De kans op succes bij één experiment (p)

Als we het aantal successen aangeven met de letter X , dan zeggen we dat X binomiaal verdeeld is met de parameters n en p.

Een voorbeeld:

Als ik bij een multiple-choice-toets met 40 vierkeuzen-vragen de antwoorden willekeurig invul, dan is het aantal goed beantwoorde vragen binomiaal verdeeld met parameters n=40 en p=0.25

Ofwel: als we het aantal goede antwoorden X noemen dan geldt:

X = bin(40; 0.25)

Als ik nu wil uitrekenen hoe groot de kans is dat ik precies 17 goede antwoorden heb, dan kan dat met de volgende formule:

In wiskunde-jargon:

P( X=17)met

X=bin(40 ; 0.25)

2317

4

3

4

1

17

40

P(X=17)=

2317

4

3

4

1

17

40

De kans op succes:P=1/4

2317

4

3

4

1

17

40

Het aantal succesen

2317

4

3

4

1

17

40

De kans op mislukking:1-1/4=3/4

2317

4

3

4

1

17

40

Het aantal mislukkingen:

40-17=23

2317

4

3

4

1

17

40

Het aantal manieren waarop je 17 successen en 23 mislukkingen in volgorde kunt zetten.

2317

4

3

4

1

17

40

Deze zogenaamde binomiaalcoëfficiënt kun je op de GR uitrekenen met de functie nCr , die je vindt onder het knopje MATH, (submenu PRB) Typ eerst het bovenste getal dan nCr, dan het onderste getal en vervolgens de ENTER-toetsë

knk ppk

n

1P(X=k) =

In formulevorm:

Als X = bin(n;p) , dan geldt:

Ook kun je de grafische rekenmachine de berekening laten uitvoeren.

Je gaat dan als volgt te werk.

Onder de functie distr vind je een menu met kansverdelingen

Het tiende menu-item is de benodigde functie: binompdf

Eerst vermeld je het aantal herhalingen (n)

Vervolgens de kans op succes (p)

Je kunt deze kans ook als breuk invoeren:Bijvoorbeeld 1/4

En tenslotte het aantal successen

Na het indrukken van de enter-toets zie je dat deze kans ongeveer 0,007 is (=0,7%)

Met binompdf(n,p,k) kun een kans uitrekenen van de vorm:

P ( X = k)

Als je moet uit rekenen P(X 5) met X=bin(20 ; 0.4), dan zou je met binompdf dat als volgt moeten doen:

P(X 5) = binompdf(20, 0.4 ,0)+ binompdf(20, 0.4 ,1) + binompdf(20, 0.4 ,2) + binompdf(20, 0.4 ,3) + binompdf(20, 0.4 ,4) + binompdf(20, 0.4 ,5).

Voor dit soort cumulatieve kansen is er een aparte functie:

binomcdf (te vinden in het menu distr)

Met deze functie kun je in één keer de kans uitrekenen P(X 5)

Het derde getal in binomcdf(n,p,k) is de bovengrens, de ondergrens is altijd nul.

Berekeningen met binomcdf

Stel je doet 20 keer een experiment met kans 0.3 op succes.

Noem het aantal successen X

Dan is X binomiaal verdeeld met n=20 en p=0.3

Kansen als P(X=8) en P(X8) kunnen rechtstreeks bepaald:

P(X=8) = binompdf(20 , 0.3 , 8)

P(X8) = binomcdf(20 , 0.3 , 8)

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

Hoe groot is P(X>10) ? (n=20 , p=0.3)

Stel eerst vast welke getallen dat zijn:

De kans op één van de andere getallen kan uitgerekend:

P(X 10) = binomcdf(20 , 0.3 , 10)

Gebruik de complementregel: P(A) = 1 – P(niet-A)

P(X>10) = 1 – P(X 10) = 1 – binomcdf(20 , 0.3 , 10)

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

Hoe groot is P(X10) ? (n=20 , p=0.3)

Gebruik weer de complementregel:

P(X 10) = 1 – P(X 9) = 1 – binomcdf(20 , 0.3 , 9)

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

Hoe groot is P(5<X<10) ? (n=20 , p=0.3)

X 9

X 5

P(5<X<10) = P(X 9) – P(X 5)

= binomcdf(20 , 0.3 , 9) – binomcdf(20 , 0.3 , 5)

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

Hoe groot is P(7 X 13) ? (n=20 , p=0.3)

X 13

X 6

P(7 X 13) = P(X 13) – P(X 6)

= binomcdf(20 , 0.3 , 13) – binomcdf(20 , 0.3 , 6)