Bab 2 Histogram

7/28/2019 Bab 2 Histogram

1/57

Bab 7 : Taburan Normal

7.1 Pengenalan

7.2 Taburan Normal Piawai

7.2.1 Mendapatkan kebarangkalian

apabila diberi skor z7.2.2 Mendapatkan skor z apabila

diberi kebarangkalian

7.3 Mendapatkan kebarangkalian bagi taburan normal

7.4 Mendapatkan nilai bagi taburan normal

7.5 Taburan normal sebagai penganggaran kepadataburan binomial


2/57

Bab 7 - Taburan Normal 2

7.1 Pengenalan

Definisi:

Jika satu pembolehubah rawak selanjarmempunyai taburan di mana graf adalah

simetri dan berbentuk loceng, kita katakan iatertabur normal atau mempunyai taburannormal.

Min =

Sisihan piawai =

Lengkung berbentuk loceng dan simetri


3/57


7.1 Pengenalan

Parameter bagi lengkung normal >>min, dan sisihan piawai,

Lengkung normal simetri sekitar min

Serakan taburan normal bergantungkepada sisihan piawai

Semakin besar >> lengkung menjadisemakin mendatar


4/57


7.1 Pengenalan

= 1

= 0.5

= 2

= 1 = 2 = 5

Rajah 2


5/57


7.1 Pengenalan

Satu lengkung normal akan mempunyaiciri-ciri berikut:

1. Berbentuk loceng

2. Simetri sekitar min

3. Menghampiri paksi melintang tetapitidak akan menyentuh apabila di luar

julat -3 hingga +3


6/57


7.1 Pengenalan

- 3 - 2 - 1 +1 + 2 + 3Rajah 3


7/57


7.2 Taburan normal piawai

Taburan normal piawai adalah taburankebarangkalian normal yang mempunyai

min, = 0 dan sisihan piawai, = 1


8/57


7.2 Taburan normal piawai

-2 -1 0 1 2

Kawasan = 0.3413

Dengan = 0 dan = 1, mudahkan utk mengira kawasan di

bawah lengkung.

Luas kawasan di bawah lengkung = 1

Rajah 4


9/57


7.2.1 Mendapatkan

kebarangkalian apabila diberi skor z

Daripada rajah 4, kawasan di bawahlengkung adalah 0.3413

Untuk mengetahui kawasan tersebut(juga dirujuk sebagai kebarangkalian),rujuk kepada jadual taburan normal

piawai.


10/57


7.2.1 Mendapatkan


Panduan jadual taburan normal piawai:

1. Jadual ini hanya boleh digunakan untuk taburan normal

piawai yang mempunyai = 0 dan = 1.

2. Nilai2 yg terdapat dalam jadual menunjuk kpd kawasandi bawah lengkung. Ada bny jenis jadual.

3. Skor z = jarak pada skala melintang bagi taburan normal

piawai; rujuk di sebelah kiri dan atas jadual.

4. Kawasan = luas dibawah lengkung; nilai di dalam ruangtengah jadual.


11/57


7.2.1 Mendapatkan


0 z = 1.58

Kawasan = 0.4429


12/57


Contoh 1:

Sykt Precision Scientific Instrument mengeluarkantermometer yg memberi bacaan 0C pada tahapbeku air. Ujian yg dijlankan ke atas satu sampeltermometer tersebut mendapati sesetengah

termometer memberi bacaan di bawah 0C padatahap beku air manakala sebahagian memberibacaan di atas 0C. Andaikan min bacaan adalah0C dan sisihan piawai adalah 1.00C sertabacaan suhu adalah bertaburan normal. Jika satu

termometer dipilih secara rawak, dapatkankebarangkalian bahawa pada tahap beku airbacaan adalah 0C dan 1.58C.


13/57


Contoh 1: Penyelesaian

Dapatkan kawasan di antara 0 dan z. z = 1.58

0 z = 1.58

Kawasan = 0.4429


14/57


Contoh 2:

Guna contoh yg sama, dapatkankebarangkalian bagi satu termometer ygdipilih secara rawak memberi bacaan diantara2.43C dan 0C pada tahap beku air.

z = -2.43 0 0 z = 2.43

Kawasan

= 0.4925


15/57


Contoh 3:

Guna contoh yg sama, dapatkankebarangkalian bagi satu termometer ygdipilih secara rawak memberi bacaan lebihdaripada 1.27C pada tahap beku air.

0 z = 1.27

Kawasan

= 0.1020


16/57


Contoh 4:

Guna contoh yg sama, dapatkan kebarangkalianbagi satu termometer yg dipilih secara rawakmemberi bacaan di antara 1.27C dan 2.30Cpada tahap beku air.

0 z = 1.27 z = 2.30

Kawasan

= 0.0913


17/57


Kebarangkalian juga boleh menggunakannotasi-notasi seperti berikut:

P(a < z < b) Kb bagi skor z berada diantara a dan b

P(z > a) Kb bagi skor z lebih besardaripada a

P(z < a) Kb bagi skor z lebih kecildaripada a

Bagi cth 4, dgn menggunakan notasi

P(1.27< z


18/57


Bagi taburan kebarangkalian selanjarseperti taburan normal, kebarangkalianuntuk mendpat nilai yg tepat adalah 0,

iaitu P(z = a)= 0.Misalnya, kebarangkalian mendpt

seseorg secara rawak yg mempunyai

ketinggian tepat 165.79 cm adalah 0.

7.2.1 Mendapatkan



19/57


7.2.1 Mendapatkan


x x

Lebih daripada xBesar daripada x

Tidak kurang daripada x

Sekurang-kurangnya x


20/57


7.2.1 Mendapatkan


Kurang daripada x

Tidak lebih daripada x

xxx


21/57


7.2.1 Mendapatkan


Di antara x1 dan x2

x1 x2 x1 x2


22/57


7.2.2 Mendapatkan skor z apabila

diberi kebarangkalian

Contoh 5:

Guna cth yg sama, dapatkan suhu yang berkaitan

dengan P95, persentil ke 95.

0 z

95% 5%

5% = 0.05

Dari itu z = 1.645


23/57


Contoh 6:

Guna contoh yg sama, dapatkan P10, persentilke-10

x z 0

10% 90%

40% = 0.4

Dari itu z = -1.28


24/57


7.3 Mendapatkan kebarangkalian

bagi taburan normalSatu pembolehubah yg tertabur normal

dengan min, = 0 dan sisihan piawai, = 1

dikatakan mempunyai taburan normalpiawai.

Dari segi praktikal tidak dapatmin, = 0 dan sisihan piawai, = 1,

tapi perolehi taburan normal am.


25/57



bagi taburan normal

Tukar taburan normal am kepada taburan

normal piawai menggunakan rumus

z = x -


26/57



bagi taburan normalApabila diberi taburan normal, anda boleh

menggunakan jadual taburan normal piawai

untuk mendapatkan kebarangkalian atau

skor z seperti sub topik sebelum ini dengan

syarat nilai ditukar kpd skor z dahulu.


27/57



bagi taburan normalBerikut merupakan prosidur utk mendapatkan

kebarangkalian bagi pembolehubah rawak dengan

taburan normal.

1. Lakarkan lengkung normal, labelkan min dan nilai x.2. Lorekkan kawasan yg dikehendaki.

3. Utk nilai x iaitu sempadan kawasan yg berlorek

gunakan formula z = x - utk menukarkan nilai kpd skor z.

4. Rujuk jadual utk mendptkan kebarangkalian


28/57


Contoh 7:

Dlm merekabentuk semula tempat duduk jet utk

disesuaikan dgn juruterbang wanita, didapatiberat wanita adalah bertaburan normal dgn min

143 lb dan sisihan piawai 29 lb. Jika seorg wanita

dipilih secara rawak, apakah kebarangkalian dia

mempunyai berat di antara 143 lb dan 201 lb.

Lakar lengkung

normal dan lorek

kawasan yg

dikehendaki.

143 201 x (berat)


29/57


Contoh 7: (Samb)

0 2.00

Katakan X : berat ~ N(143, 29

2

)

Tukarkan nilai kepada skor z, Z~N(0,1)

002

29

143201

.

xz

Dari itu P(143 < x


30/57


Contoh 8:

Katakan rekabentuk tempat duduk jet yg asal boleh

menampung berat lelaki di antara 140 lb dan 211lb. Berapa peratuskah wanita yg mempunyai

berat yg sama seperti selang tersebut?

140 143 211 x (berat)

A B

x1 x2


31/57


Contoh 8:

Kawasan yang dikehendaki adalah A + B

-0.10 0 2.34 z

A B

100

29

143140

.

xz

x1

342

29

143211

.

xz

x2

Dari itu P(140 < x


32/57


Fikir dan buat 1Ketinggian ketika duduk di dalam kereta merupakan kriteria

penting dalam merekabentuk model kereta yang baru.Golongan lelaki mempunyai ketinggian ketika duduk yangbertaburan normal dengan min 36 inci dan sisihan piawai1.4 inci. Jurutera-jurutera di sebuah kilang pemasangan

kereta telah mengemukakan perancangan pembuatanyang boleh memberikan ketinggian ketika duduk sehingga38.8 inci. Walau bagaimanapun ia tidak dapatmemberikan keselesaan kepada lelaki yang mempunyaiketinggian lebih daripada itu. Jika seorang lelaki dipilih

secara rawak, dapatkan kebarangkalian dia mempunyaiketinggian ketika duduk yang kurang daripada 38.8 inci.Berdasarkan keputusan tersebut, adakah rekabentukyang baru ini sesuai?


33/57


7.4 Mendapatkan nilai bagi

taburan normalBerikut merupakan prosidur utk mendapatkannilai.

1. Lakarkan lengkung normal.

2. Lorekkan kawasan yg dikehendaki melalui

kebarangkalian atau peratusan yg diberi.

3. Guna jadual utk dapatkan skor z yg berkaitan dgn

kawasan yg dikehendaki disempadani oleh nilai x.

a) drp jadual, dapatkan nilai yg hampir

b) tentukan skor z.4. Masukkan ke dalam formula, utk dapatkan x.

x = + (z )


34/57


Contoh 9:

Dengan menggunakan peristiwa berat wanita yg

bertaburan normal dgn min 143 lb dan sisihan

piawai 29 lb. Dapatkan nilai P10.

x = ? 143 x (berat)

10% = 0.1

z = -1.28 0 z


35/57


Contoh 9:

Dengan itu,

z = -1.28 = 143 = 29

88105

1237143

29281143

.

.

.

zx


36/57


Contoh 10:

Andaikan suhu badan bagi org dewasa yg sihat

adalah bertaburan normal dgn min 98.20F dan

sisihan piawai 0.62F. Jika seorg penyelidik ingin

membuat kajian ke atas org dewasa 2.5% di

bawah dan org dewasa 2.5% di atas, dptkan suhu

yg dimaksudkan.

x1 = ? 98.2 x2 = ? x (suhu)

0.025 0.025

-1.96 0 1.96 z


37/57


Contoh 10:

Dengan itu,

z = 1.96 = 98.2 = 0.62

499

620961298

2

.

...

zx

dan,

z = -1.96 = 98.2 = 0.62

9896

620961298

1

.

...

zx


38/57


Fikir dan buat 2

Pada lazimnya purata jangkamasa ujian pencapaianialah 70 minit, dengan sisihan piawai 12 minit.Berapakah jangkamasa yang harus diberikan agar90% daripada pelajar akan dapat siap peperiksaantersebut.


39/57


Fikir dan buat 3

X~N(0,1). Dapatkan kuartil ke-3 dan pertama bagitaburan X.

7 5 Taburan normal sebagai


40/57


7.5 Taburan normal sebagai

penganggaran kepada taburan binomial

Kaedah ini digunakan untuk mendapatkankebarangkalian binomial.

Kaedah penghampiran normal dalam

menyelesaikan masalah kebarangkalian binomialselalunya digunakan setelah prosidur lain tidak

boleh digunakan atau memakan masa yang lama.

Lazimnya digunakan apabila n bagi

taburan binomial terlalu besar. Apabila n

terlalu besar sukar buat pengiraan.



41/57




Misalnya satu soal selidik dijalankan ke atas 500pelajar sekolah menengah untuk mengetahui samadamereka berminat di dalam matapelajaran matematik.

Tiap-tiap pelajar dikehendaki menjawab ya atau

tidak. Katakan kb seseorang meminati matematikialah 0.5.

Ini ujikaji binomial, X~b(x;500,0.5)

Katakan kita hendak P(X280) = f(0)+f(1)++f(280)Maka pengiraan menjadi rumit, apabila n besar.

ATAUn tiada dlm jadual, p terlalu kecil.



42/57




Jika np 5 dan nq 5, maka pembolehubahrawak binomial adalah hampir tertabur dengan

min dan sisihan piawai seperti berikut

npq

np

Langkah langkah utk melakukan penghampiran


43/57


Langkah-langkah utk melakukan penghampiran

Mula

Selesaikan masalah kebarangkalianbinomial menggunakan

1. Formula

2. Jadual

Adakah np 5 dan nq 5 adalah benar

Dapatkannpq

np

Gunakan formula

xnx qpxxn

nxP

..!)!(

!)(

Lakarkan lengkung normal dan kawasan yg dikehendaki. Buatpembetulan keselanjaran.

Kira z = x -

Tak

Ya

Rujuk jadual

Prosidur menggunakan taburan normal


44/57


Prosidur menggunakan taburan normal

sebagai penghampiran kepada taburan normal

1. Semak samada np5 dan nq 5. Jika tidakjangan lakukan penghampiran.2. Dapatkan nilai bagi parameter dan

menggunakan formula dan

3. Kenalpasti nilai diskrit x. Tukarkan nilai diskrittersebut kpd nilai selang drp x - 0.5 atau x + 0.5.Lakarkan lengkung normal dan masukkan nilai.

4. Dapatkan kawasan yg dikehendaki.

np

qnp


45/57


Pembetulan keselanjaran

Oleh kerana taburan binomial adalah berbentuk

diskrit dan taburan normal berbentuk selanjar,

apabila menggunakan penghampiran normal,

kita perlu tukar nombor diskrit kepada nombor

selanjar iaitu selang 0.5 di bawah nombor diskrit

dan 0.5 di atas nombor diskrit.


46/57


Prosidur membuat pembetulan keselanjaran.

1. Apabila menggunakan taburan normal

sebagai penghampiran kpd taburanbinomial, hendaklah sentiasa buatpembetulan keselanjaran.

2. Kenalpasti nombor diskrit x. drp cth 11,

nombor diskrit x adalah x = 520.3. Lakarkan taburan normal dan tandakan x.

tandakan disebelah kiri x sebagai x 0.5dan di sebelah kanan x sebagai x + 0.5

4. Kemudian kenalpasti apa yg dikehendakioleh masalah; sekurang-kurangnya x ataulebih drp x atau kurang drp x atau tepat x.Kemudian lorek kawasan yg dikehendaki.

C t h 11


47/57


Contoh 11

Pengetua disebuah kolej mendapati calon-

calon yg ingin memasuki kolej telah dibahagisama rata di antara lelaki dan perempuan.Beliau membuat kesimpulan pelajar ygberjaya adalah 50% lelaki dan 50%perempuan. Beliau menyemak datakemasukkan tahun lepas dan mendapati drp1000 org pelajar, 520 org adalah pelajarlelaki. Dapatkan kebarangkalian memilihsekurang-kurangnya 520 org lelaki secara

rawak. Berdasarkan kebarangkalian tersebut,adakah diskriminasi berlaku?

Contoh 11


48/57


Contoh 11

Maklumat:

Bilangan ujikaji, n =1000

2 kategori (lelaki, perempuan) adalah kesudahan dgnkebarangkalin 0.5.

Kalau guna jadual, n sampai 30 shj

Dari itu guna penghampiran normal.

1. Semak np 5 dan nq 5.(ya)

2.

3. Nilai diskrit x = 520. Tukarkan nilai diskrit tersebut kpd

nilai selang 519.5 dan 520.5

4. Dapatkan kawasan yg dikehendaki.

500501000 ).(np

8111550501000 .).)(.( qnp

Contoh 11


49/57


Contoh 11

5. Tukarkan nilai kepada skor z

23181115

5005519 ..

.

xz

Dari itu kawasan = 0.1093

=500 520

519.5 520.5

0 1.23 z


50/57


Contoh : rujuk contoh 11

Pernyataan Kawasan

1. Sekurang-kurangnya520

Ke kanan 519.5

2. Lebih drp 520 Ke kanan 520.5

3. Tidak lebih drp 520 Ke kiri 520.5

4. Kurang drp 520 Ke kiri 519.5

5. Tepat 520 Di antara 519.5 dan 520.5


51/57


519.5 520.5 520.5

519.5

1

54

32

519.5 520.5


52/57


Contoh 12

Menurut satu kajian yg lepas, kira-kira4.4% kemalangan kereta adalahdisebabkan tayar tidak sempurna. Jikasatu kajian membuat pemilihan secara

rawak terhadap 750 kes kemalangan,dapatkan kebarangkalian tepat 35kemalangan disebabkan tayar tidak

sempurna.


53/57


Contoh 12

Taburan binomial, n = 750 p = 0.044 q = 0.956

x = 35X~b(x;750, 0,044)

1. Semak np 5 dan nq 5. (ya)

2.

X~N(33, 31.55)

0330440750 .).( np

617595600440750 .).)(.( qnp


54/57


Contoh 12

3.

=33.0 3534.5 35.5

0 0.27 0.45 z

4.

0672.0

)43.0267.0(

)617.5

0.335.35

617.5

0.335.34(

)5.355.34(

)35(

:

ZP

XP

XP

normalanpenghampirXP

dariitu

Fiki d b t 4


55/57


Fikir dan buat 4

Di dalam sebuah kotak yang akan dihantar ke sebuah

kedai komputer terdapat 100 unit tetikus. Denganpenghampiran Normal, hitung kebarangkalianbahawa,

i. tidak lebih daripada 5 unit tetikus mengalami

kerosakan.ii. 4 hingga 7 unit tetikus mengalami kerosakan.

iii. Di dapati 20% daripada tetikus yang dihantar lebihdaripada k unit mengalami kerosakan. Cari nilai k.

Fiki d b t 5


56/57


Fikir dan buat 5A survey conducted by the Association of Executive Search Consultants

revealed that 75% of all chief executive officers believe that corporations

should have fast-track training programs installed to help developespecially talented employees. At the same time, the study found that only

47% of the companies actually have such programs operating at their

companies. Average annual sales of the companies in the sample were

$2.3 billion (Fortune, How to Tame the Fiercest Headhunter, July 20,

1998). Suppose you randomly selected 50 of the questionnaires returnedby the collection of CEOs. Use the normal approximation to the binomial

distribution to find the probability that from within your collection:

i.More than 35 of the CEOs think that corporations should have a

fast-track program installed.

ii.Fewer that 25 of the companies have a fast-track program inoperation.

iii.Between 30 to 40 of the CEOs think that corporations should have

a fast-track program installed.

iv.Between 20 to 30 of the companies have a fast-track program in

operation.

Fiki d b t 6


57/57

B b 7 T b N l 57

Fikir dan buat 6Berdasarkan pengalaman lepas 5% daripada tempahan tiket

kapalterbang yang dibuat melalui telefon tidak dituntut. 20

tempahan tiket kapalterbang dipilih secara rawak. Hitungkan

kebarangkalian bahawa

i. 5 orang penumpang tidak menuntut tiket yang ditempahnya.

ii. Kurang daripada 4 orang penumpang tidak menuntut tiket

yang ditempahnya.iii. Tidak kurang daripada 3 orang penumpang tidak menuntut

tiket yang ditempahnya.

Sekiranya sebuah agensi pelancongan menerima 300 tempahan,

dengan menggunakan penghampiran normal, berapakah

kebarangkalian bahawaiv. Sekurang-kurangnya 5 orang penumpang tidak menuntut tiket

yang ditempahnya.

v. 3 hingga 8 orang penumpang tidak menuntut tiket yangditempahnya.

Bab 2 Histogram

Documents

Transcript of Bab 2 Histogram