2009/10 M305: Analyse complexe

J. Huebschmann

USTL, UFR de Mathématiques

59655 Villeneuve d’Ascq Cédex, FranceJohannes.Huebschmann@math.univ-lille1.fr

Le 16 janvier 2010

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Contents

1 Séries entières 41.1 Séries formelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

1.1.1 L’anneau des séries formelles d’une variable . . . . . . . . . . . . . 41.1.2 Substitution d’une série formelle dans une autre . . . . . . . . . . . 51.1.3 Série inverse d’une série formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.1.4 Différentiation formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.1.5 Série réciproque d’une série formelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.2 Séries entières convergentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.1 Le corps des nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.2 Convergence uniforme et normale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2.3 Rayon de convergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.2.4 La formule d’Hadamard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2.5 Détermination pratique du rayon de convergence . . . . . . . . . . . 111.2.6 Somme et produit de séries entières convergentes . . . . . . . . . . 111.2.7 Substitution d’une série entière convergente dans une autre . . . . . 131.2.8 Série inverse d’une série entière convergente . . . . . . . . . . . . . 131.2.9 Différentiation d’une série entière convergente . . . . . . . . . . . . 141.2.10 Série réciproque d’une série convergente . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.3 Fonctions analytiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.3.2 Connexité et connexité par arcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.3.3 Prolongement analytique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.3.4 Multiplicité d’un zéro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201.3.5 Principe des zéros isolés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20

2 Géométrie des nombres complexes; symétries; angles 212.1 Transformations géométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.2 Argument, angles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.3 Sphère de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Fonctions holomorphes. I 233.1 Dérivabilité ordinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.2 Holomorphie; équations de Cauchy-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.3 Les variables z et z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.4 Développement de Taylor: Analyticité des fonctions holomorphes . . . . . 26

4 Exemples de fonctions analytiques 264.1 Homographies . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.2 Fonctions transcendentes qui se déduisent de l’exponentielle . . . . . . . . 28

4.2.1 Fonctions hyperboliques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.2.2 Fonctions trigonométriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

4.3 Fonctions réciproques des fonctions usuelles . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3.1 Fonctions multiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 294.3.2 Logarithme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

2

4.3.3 Fonctions puissance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 314.3.4 Fonctions trigonométriques inverses et fonctions hyperboliques in-

verses . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

5 Intégrales de Cauchy 325.1 Intégration sur une courbe paramétrée de formes différentielles . . . . . . . 325.2 Primitive d’une forme différentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.3 La formule de Green-Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.4 Formes différentielles fermées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.5 Primitives multiformes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.6 Invariance par homotopie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.7 Ouverts simplement connexes, existence de primitives . . . . . . . . . . . . 405.8 Indice d’un lacet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

6 Fonctions holomorphes. II 416.1 Théorème de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.2 Formule intégrale de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 416.3 Démonstration du théorème de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 426.4 Formules intégrales de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.5 Théorème de Morera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.6 Inversion locale d’une application holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . . 446.7 Propriété locale conforme : conservation des angles . . . . . . . . . . . . . 456.8 Inversion globale d’une application holomorphe . . . . . . . . . . . . . . . 46

7 Développements, singularités, résidus 467.1 Inégalités de Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.2 Théorème de Liouville . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.3 Théorème de d’Alembert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.4 Propriété de moyenne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 477.5 Principe du maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 487.6 Fonctions holomorphes et fonctions harmoniques . . . . . . . . . . . . . . . 497.7 Lemme de Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 497.8 Séries de Laurent . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

7.8.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 517.8.2 Développement d’une fonction holomorphe dans une couronne . . . 527.8.3 Décomposition d’une fonction holomorphe dans une couronne . . . 537.8.4 Inégalités de Cauchy. II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53

7.9 Classification des singularités isolées . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 537.10 Fonctions méromorphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 547.11 Théorème des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

7.11.1 Généralités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.11.2 Le théorème des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.11.3 Calcul pratique des résidus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 567.11.4 Application du théorème des résidus au calcul de certaines intégrales 57

3

1 Séries entières

1.1 Séries formelles

1.1.1 L’anneau des séries formelles d’une variable

Soit K un corps commutatif. Une série formelle (sur K) de la variable X est une sériedont le terme général est de la forme anX

n (n ∈ N), où X désigne une variable et (an)une suite donnée d’éléments de K. Les nombres an sont appelés coefficients de la série.Le premier terme a0 est souvent appelé terme constant . On note cette série

∑anX

n.Soient S(X) =

∑anX

n et T (X) =∑bnX

n deux séries formelles. Leur somme(S + T )(X) est la série

(S + T )(X) =(∑

anXn)

+(∑

bnXn)

=∑

cnXn, cn = an + bn (n ≥ 0). (1.1)

De même, soit λ ∈ K. On pose

λ(∑

anXn)

=∑

(λan) .Xn (1.2)

Ainsi les séries formelles sur K de la variable X constituent un K-espace vectoriel ,noté K[[X]]. Cet espace vectoriel n’est autre que le K-espace vectoriel des suites (an)d’éléments de K.

Définition 1.1. Soient (un) et (vn) deux suites d’éléments de K et, pour tout n ∈ N,posons

wn =∑p+q=n

upvq = u0vn + u1vn−1 + · · ·+ unv0.

Alors la suite (wn) est appelée convolution ou produit de Cauchy des suites (un) et (vn),noté

(wn) = (un) ∗ (vn).

Si nous écrivons les suites sous forme de série formelle, le produit de Cauchy prend laforme suivante:

Définition 1.2. Le produit S · T des séries formelles S et T , appelé série-produit de Set T , est la série S · T définie par

(S · T )(X) =(∑

anXn)(∑

bnXn)

=∑

cnXn, cn =

∑j+k=n

ajbk (n ≥ 0) (1.3)

Ce produit munit K[[X]] d’une multiplication associative et commutative. AinsiK[[X]] est un anneau commutatif sur K. Cet anneau contient, comme sous-anneau,de façon évidente, l’anneau K[X] des polynômes de la variable X sur K.

Un anneau commutatif A est un anneau intègre si, quels que soient a, b ∈ A avecab = 0, il faut que a = 0 ou b = 0.

Théorème 1.3. L’anneau K[[X]] des séries formelles est un anneau intègre.

4

Démonstration. Supposons S(X) =∑auX

u et T (X) =∑bvX

v non nulles, et soit

(S · T )(X) =∑

cnXn.

Soient p et q les entiers naturels les plus petits tels que ap resp. bq soient non nuls. Alorscp+q est non nul d’où (S · T )(X) est non nul.

1.1.2 Substitution d’une série formelle dans une autre

Soient S(X) =∑anX

n et T (Y ) =∑bnY

n deux séries formelles. Supposons que b0 = 0.Alors substituer T (Y ) à X dans S(X) et reordonner suivant les puissances de Y donneune série formelle ∑

an (T (Y ))n (1.4)

de la variable Y .Détails: Exercice.

Nous disons que la série formelle (1.4) résulte de S(X) par substitution de la sérieformelle T (Y ) à la variable X, et nous notons cette série formelle S(T (Y )) ou bien S ◦T .La série formelle S ◦ T s’appelle aussi composée des séries S et T .

Proposition 1.4. Étant donné T , faire correspondre à S la composée S ◦ T fournit unhomomorphisme d’anneaux

K[[X]] −→ K[[Y ]].

Démonstration. Exercice.

Nous écrivons S(0) = a0; c’est la série formelle qui résulte de S par substitution de 0à la variable X ou, autrement dit, c’est la suite (a0, 0, 0, . . .).

Remarque 1.5. Si l’on ne faisait pas l’hypothèse que le terme constant b0 de T soit zéro,le développement formel de S ◦ T pourrait contenir une infinité de termes en un degrép ≥ 1, et la définition de S ◦ T soulèverait des difficultés.

1.1.3 Série inverse d’une série formelle

Dans l’anneau K[[Y ]], l’identité

(1− Y )(1 + Y + Y 2 + . . .) = 1

est évidente.Soit S(X) =

∑anX

n une série formelle avec S(0) = a0 6= 0. On appelle série inversede∑anX

n la série formelle∑bnX

n, dont les coefficients bn sont déterminés par lesrelations de récurrence

a0b0 = 1

a0b1 + a1b0 = 0

· · ·a0bn + a1bn−1 + · · ·+ anb0 = 0

· · · .

5

Théorème 1.6. Pour que S(X) =∑anX

n admette un inverse par rapport à la multi-plication dans K[[X]] il faut et il suffit que S(0) 6= 0, c.a.d. que a0 6= 0. S’il en est ainsi,l’inverse est donné par la série inverse.

Démonstration. Exercice.

1.1.4 Différentiation formelle

Soit S(X) =∑anX

n une série formelle. La dérivée S ′(X) est la série formelle

dS

dX= S ′(X) =

∑n≥1

nanXn−1. (1.5)

L’opération de dérivation S 7→ S ′ est un K-endomorphisme de K[[X]] qui, relativementà la multiplication, vérifie la loi de Leibniz

(ST )′ = S ′T + ST ′. (1.6)

Pour k ≥ 2, les dérivées supérieures S(k) sont définies par récurrence :

S(k) = (S(k−1))′ (1.7)

AinsiS(k)(0) = k!ak. (1.8)

1.1.5 Série réciproque d’une série formelle

Théorème 1.7. Soit S(X) =∑anX

n une série formelle. Pour qu’il existe une sérieformelle T (Y ) telle que T (0) = 0 et S ◦T = 1 il faut et il suffit que S(0) = 0 et S ′(0) 6= 0.S’il en est ainsi, alors T est unique, et T ◦ S = 1. Autrement dit : La série T est laréciproque de S relativement à l’opération de substitution d’une série formelle dans uneautre.

Démonstration. Posons T (Y ) =∑

m>0 bmYm. La série composée S ◦ T s’écrit

S(T (Y )) = a0 + a1T (Y ) + a2(T (Y )2 + . . .

= a0 + a1b1Y + (a1b2 + a2b21)Y

2 + . . .

+ (a1bn + Pn(a2, . . . , an, b1, . . . , bn−1))Yn + . . .

où les Pn (n ≥ 2) sont des polynômes des variables indiquées. L’identité S ◦T = 1 signifie

S(T (Y )) = Y

et entrâıne a0 = 0, a1b1 = 1 et, en plus, les relations de récurrence

a1bn + Pn(a2, . . . , an, b1, . . . bn−1) = 0 (n ≥ 2).

Pour n ≥ 2, les coefficients bn sont ainsi déterminés par récurrence.Dans les circonstances du théorème 1.7, la série formelle T (Y ) s’appelle série réciproque

de S(X) =∑anX

n.

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Rappel:

Théorème Soit f une fonction de classe C1 sur un intervalle ouvert. Pour qu’il existeune fonction h de classe C1 définie sur un intervalle ouvert J avec 0 ∈ J telle que h(0) = 0et h ◦ f = Id dans un intervalle ouvert adaptée I il faut et il suffit que h(0) = 0 et queh′(0) 6= 0.

1.2 Séries entières convergentes

1.2.1 Le corps des nombres complexes

Dans le plan R2 ordinaire, avec la notation

z = x+ iy = (x, y),

on posez1z2 = (x1 + iy1)(x2 + iy2) = x1x2 − y1y2 + i(x1y2 + x2y1).

Cette opération de multiplication munit R2 d’une structure de corps commutatif que l’onnote C. Les éléments de C s’appellent alors nombres complexes . La conjugaison estl’opération

z = x+ iy 7−→ z = x− iy.La norme ou le module |z| du nombre complexe z est défini par

|z|2 = zz.

Muni de cette norme, le corps C est complet , c.a.d. une suite de Cauchy de nombrescomplexes quelconque admet un nombre complexe unique comme limite. La partie réelle

Théorème 1.8. Pour qu’une série de fonctions∑un soit uniformément convergente, il

suffit qu’elle soit normalement convergente.

1.2.3 Rayon de convergence

Nous désignerons par D(z0, r) le disque-plan ouvert de centre z0 et de rayon r, soit

D(z0, r) = {z; z ∈ C, |z − z0| < r},

et par D(z0, r) le disque-plan fermé de même centre et même rayon r, soit

D(z0, r) = {z; z ∈ C, |z − z0| ≤ r}.

Sur le corps K = R ou K = C, comme d’habitude, au lieu de “série formelle”, nousdisons dorenavant série entière ou, plus précisemment, série entière réelle ou série entièrecomplexe, suivant le cas. Ainsi une série entière complexe est une série de fonctions determe général

C −→ C, z 7−→ anzn, an ∈ C.

Pour étudier la convergence de la série entière∑anz

n on emploit une méthode directe,fondée sur le lemme suivant.

Lemme 1.9 (Abel). Soit z0 ∈ C tel que la suite (anzn0 ) soit bornée. Alors, pour toutz ∈ C tel que |z| < |z0|, la série

∑anz

n est absolument convergente; et la série defonctions

∑anz

n est normalement convergente dans le disque fermé D(0, k|z0|) défini par|z| ≤ k|z0|, quel que soit le nombre k vérifiant 0 < k < 1.

Démonstration. Soit A un nombre réel tel que

|anzn0 | ≤ A, pour tout n ∈ N.

Si z0 6= 0, on a alors

|anzn| ≤ A∣∣∣∣ zz0∣∣∣∣n ;

par comparaison avec une série géométrique on en déduit que la série∑anz

n est absol-ument convergente pour |z| < |z0| et normalement convergente pour |z| ≤ k|z0| quel quesoit 0 ≤ k < 1: En effet, dans ce dernier cas, on a

|anzn| ≤ Akn,

et la série∑Akn est convergente. Si z0 = 0 il n’y a rien à démontrer.

Remarque 1.10. L’hypothèse du Lemme 1.9 est bien réalisée, en particulier, si la série∑anz

n0 est convergente. En effet, la convergence de la série

∑anz

n0 exige

limn→∞

anzn0 = 0

et une suite convergeant vers zéro est bornée.

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Définition 1.11. Le rayon de convergence de la série entière∑anz

n est la borne supéri-eure dans R ∪ {+∞} de l’ensemble I des nombres réels non négatifs r tels que la suite(anr

n) soit bornée.

Remarque 1.12. L’existence de cette borne résulte du fait que l’ensemble I est non vide,puisqu’il contient la valeur r = 0.

Théorème 1.13. Soit R le rayon de convergence de la série entière∑anz

n (0 ≤ R ≤ +∞) .

1. Si R = 0, cette série ne converge que pour z = 0.

2. Si R = +∞, cette série converge absolument pour tout z ∈ C, cette convergenceétant normale, donc uniforme, sur toute partie bornée de C.

3. Si R est un nombre fini non nul, la série∑anz

n est absolument convergente pour|z| < R, et divergente pour |z| > R; de plus, la convergence est normale, doncuniforme, dans le disque fermé D(0, r), quel que soit r < R.

Démonstration. Soit I l’ensemble des nombres réels r ≥ 0 tels que la suite (anrn) soitbornée. (a) Pour que la série

∑anz

n soit convergente il faut que la suite (anzn) soit

bornée, donc que |z| ∈ I, ce qui exige |z| ≤ R. Pour |z| > R la série∑anz

n est doncdivergente.(b) Supposons R > 0 et |z| < R (R ≤ +∞). Par définition de la borne supérieure, ilexiste alors un nombre réel r ∈ I tel que r > |z|; et le lemme d’Abel montre que la série∑anz

n est absolument convergente.(c) Supposons toujours R > 0, et soit r donné tel que 0 < r < R. Il existe alors unnombre ρ ∈ I vérifiant ρ > r. La suite (anρn) étant bornée, le lemme d’Abel montre quela série

∑anz

n est normalement convergente dans tout disque fermé D(0, kρ) avec k < 1;en prenant k = r

ρ, on voit que la série

∑anz

n est normalement convergente dans le disque

D(0, r). Le résultat annoncé en découle.

Définition 1.14. Soit R le rayon de convergence de la série entière∑anz

n (0 ≤ R ≤ +∞) .

Si R 6= 0, le disque ouvert D(0, R) est appelé disque de convergence de cette série.

Remarque 1.15. Si le rayon de convergence R d’une série entière∑anz

n est fini, onne sait pas a priori si cette série entière converge sur le bord du disque de convergence,c.a.d. sur le cercle défini par |z| = R.

Étant donnée une série entière de rayon de convergence R non nul, la fonction sur ledisque ouvert D(0, R) qui en résulte s’appelle fonction somme de la série.

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1.2.4 La formule d’Hadamard

La limite supérieure L = lim sup (xn) de la suite (xn) de nombres réels est caractériséepar les deux conditions suivantes.

1. Quel que soit λ < L, il y a une infinité de xn tels que xn > λ.

2. Quel que soit λ > L, il n’y a qu’un nombre fini de xn tels que xn > λ.

En particulier, la limite d’une suite numérique convergente coincide avec sa limite supéri-eure (et avec sa limite inférieure).

Théorème 1.16 (Formule d’Hadamard). Étant donnée une série entière∑anz

n, soit

L = lim sup |an|1n . Si 0 6= L < +∞, le rayon de convergence de

∑anz

n est le nombre Rdéfini par

1

R= lim sup |an|

1n .

Si L = 0, le rayon de convergence est R = +∞, et si L = +∞, le rayon de convergenceest R = 0.

Démonstration. On applique la règle de Cauchy à la série∑|anzn| : Avec

L = lim sup |an|1n ,

on alim sup |anzn|

1n = L|z|,

et, d’après des résultats de convergence de séries bien connus,

1. si L|z| < 1, la série∑anz

n est absolument convergente;

2. si L|z| > 1, la série∑anz

n est divergente.

En effet, si L|z| < k < 1 il n’y a qu’un nombre fini de termes tels que |anzn|1n > k. Le

résultat en découle.

Détails : Soit L = limsupn→∞|an|1n . Alors

limsupn→∞|anzn|1n = L|z|.

Soit L k

d’où, pour n ≥ n0, |anzn| < kn et∑

n≥n0 |anzn| <

∑kn 1L

, d’où

limsupn→∞|anzn|1n = L|z| > 1.

Il existe un nombre infini de termes an tels que |anzn| > 1, et le terme général anzn netend pas vers zéro. La série

∑anz

n est donc divergeante.

Remarque 1.17. Les séries∑anz

n et∑|an| zn ont même rayon de convergence.

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1.2.5 Détermination pratique du rayon de convergence

Il serait maladroit d’utiliser systématiquement la formule d’Hadamard dans les applica-tions. En particulier, la règle de Cauchy et celle de d’Alembert se révèlent souvent pluspratique, et on établit sans peine les deux règles suivante.

Proposition 1.18. Si la suite(|an|1/n

)tend vers L (0 ≤ L ≤ +∞), le rayon de conver-

gence de la série∑anz

n est

R =

1L, L 6= 0, L 6= +∞,

0, L = +∞,+∞, L = 0.

Proposition 1.19. Si an est non nul pour n assez grand et si la suite(∣∣∣an+1an ∣∣∣) tend vers

L (0 ≤ L ≤ +∞), le rayon de convergence de la série∑anz

n est

R =

1L, L 6= 0, L 6= +∞,

0, L = +∞,+∞, L = 0.

Exemples.

1. La série exponentielle ez =∑

zn

n!converge pour tout z ∈ C: son rayon de conver-

gence est +∞, et la série est normalement convergente sur toute partie bornée deC. En particulier, quel que soit y ∈ R,

eiy = cos y + i sin y.

2. La règle de d’Alembert montre que la série∑n!zn diverge pour tout z 6= 0. Son

rayon de convergence est donc 0.

3. La série∑

zn

nconverge pour |z| < 1 et diverge pour |z| > 1. Cela résulte de la règle

de d’Alembert d’où le rayon de convergence R vaut 1. De plus, pour z = 1 la sériediverge tandis que pour z = −1 elle converge. Le bord du disque de convergencecontient donc des points de convergence et des points de divergence.

4. Les séries∑zn et

∑zn

n2ont également R = 1 pour rayon de convergence; mais

la première diverge en tout point du bord du disque de convergence et la secondeconverge en tout point de ce cercle.

1.2.6 Somme et produit de séries entières convergentes

Rappelons le résultat suivant:

Théorème 1.20. Soient (un) et (vn) deux suites de nombres complexes telles que lesséries

∑un et

∑vn soient absolument convergentes, et soit (wn) la convolution

(wn) = (un) ∗ (vn).

11

Alors la série∑wn est absolument convergente de telle sorte que(

∞∑n=0

un

)(∞∑n=0

vn

)=∞∑n=0

wn.

La somme de la série∑wn est donc égale au produit des sommes des séries

∑un et∑

vn.

Théorème 1.21. Soient∑anz

n et∑bnz

n deux séries entières de rayons de convergenceRa et Rb non nuls. Alors chacune des séries

∑(an + bn) z

n et∑cnz

n, où cn = a0bn + a1bn−1 + · · ·+ anb0,

a un rayon de convergence au moins égal au plus petit des nombres Ra, Rb; et pour|z| < inf (Ra, Rb), on a ∑

(an + bn) zn =

∑anz

n +∑

bnzn,

et ∑cnz

n =(∑

anzn)(∑

bnzn).

Démonstration. Ceci résulte de l’étude des sommes et produits des séries numériques etséries complexes, voir en particulier le théoréme 1.20 ci-dessus, combiné avec les propriétésdu rayon de convergence reproduites ci-dessus.

Corollaire 1.22. Les séries entières complexes convergentes, c.a.d. de rayon de conver-gence non nul, forment un sous-anneau de l’anneau C[[Z]] des séries formelles complexesde la variable Z.

Exemple :

Proposition 1.23. L’exponentielle C −→ C, z 7−→ ez =∑∞

n=0zn

n!, est un homomor-

phisme du groupe additif des nombres complexes sur le groupe multiplicatif C∗ = C \ {0}constitué des nombres complexes non nuls, c.a.d. quels que soient u, v ∈ C, ils vérifientla relation

eu+v = euev, (1.9)

et le noyau de cet homomorphisme est le sous-groupe additif 2πiZ de C. En particulier,quels que soient x, y ∈ R,

ex+iy = exeiy = ex(cos y + i sin y). (1.10)

Démonstration. En effet, étant donnés u, v ∈ C, posons

aj =uj

j!, bk =

vk

k!,

et considérons leur convolution

(cr) = (aj) ∗ (bk) .

12

Pour tout r ≥ 0, on a

cr =r∑j=0

ajbr−j =r∑j=0

1

j!(r − j)!ujvr−j

=1

r!

r∑j=0

r!

j!(r − j)!ujvr−j =

1

r!

r∑j=0

(r

j

)ujvr−j

=(u+ v)r

r!.

On obtient donc∞∑r=0

cr =∞∑r=0

(u+ v)r

r!= eu+v.

D’autre part, d’après le théoréme 1.20,

∞∑r=0

cr =

(∞∑r=0

ar

)(∞∑r=0

br

)

et donceu+v = euev.

De plus, quel que soit ζ ∈ C∗, il existe un nombre z ∈ C tel que ez = ζ. La relation (1.10)est bien un cas particulier de (1.9), et de (1.10) on déduit que le noyau de l’exponentielleest le sous-groupe additif 2πiZ de C.

1.2.7 Substitution d’une série entière convergente dans une autre

Théorème 1.24. Soient A =∑anz

n et B =∑bnz

n deux séries entières de rayonsde convergence non nuls telles que la série A soit sans terme constant. Alors la sériecomposée

C = B ◦ A =∑

cpzp

a un rayon de convergence non nul; et, pour |z| assez petit, les fonctions sommes fA, fB,fC de ces séries vérifient

fC(z) = fB(fA(z)). (1.11)

De plus, soient R(A), R(B), R(C) les rayons de convergence; si R(B) = +∞, on aR(C) ≥ R(A), et la relation (1.11) est vraie pour |z| < R(A).

Démonstration. Voir [2] (I.2.5).

1.2.8 Série inverse d’une série entière convergente

Nous avons vu dans (1.1.3) que si S(z) =∑anz

n est une série entière avec a0 6= 0, ilexiste une série entière T (z) et une seule telle que le produit S(z)T (z) soit égal à 1.

13

Proposition 1.25. Si le rayon de convergence de S(z) est non nul il en est de même durayon de convergence de T (z) =

∑bnz

n de la série T telle que ST = 1, et(∞∑n=0

anzn

)(∞∑n=0

bnzn

)= 1.

Démonstration. En multipliant S(z) par une constante convenable, nous nous ramenonsau cas où a0 = 1. Posons alors S(z) = 1−U(z), avec U(0) = 0. La série inverse s’obtientpar substitution de U(z) à y dans la série entière 1 +

∑n>0 y

n. Or cette dernière série aun rayon de convergence égal à 1, donc non nul. La proposition résulte donc du théorème1.24.

1.2.9 Différentiation d’une série entière convergente

Théorème 1.26. Soit S(z) =∑anz

n une série entière formelle, et soit

S ′(z) =∑n≥1

nanzn−1

la série dérivée. Les séries S et S ′ ont le même rayon de convergence. De plus, si cerayon de convergence R est non nul, pour |z| < R, S ′(z) vérifie l’identité

S ′(z) = limh

S(z + h)− S(z)h

(1.12)

lorsque h tend vers 0 par valeurs 6= 0.

Remarque 1.27. Si |z| < R, on a aussi |z + h| < R pour h assez petit, à savoir, pour|h| < R−|z|; donc S(z+h) est défini. D’autre part, dans la relation (1.12), il est entenduque h tend vers zéro par valeurs réelles non nulles si le corps des coefficients est le corpsR et par valeurs complexes non nulles si le corps des coefficients est le corps C. Dans lecas du corps R, la relation (1.12) dit que la fonction somme de S a une dérivée égale à lafonction somme de la série entière S ′; dans le cas du corps complexe C, la relation (1.12)exprime le fait que la fonction somme de S a une dérivée égale à la fonction somme dela série entière S ′ et que c’est une dérivée même par rapport à la variable complexe z.Dans tous les cas, l’existence d’une fonction dérivée implique évidemment que la fonctionsomme est continue à l’intérieur du disque de convergence ce qui peut d’ailleurs se montrerdirectement.

Démonstration. Posons αn = |an|, et notons R resp. R′ le rayon de convergence de lasérie S resp. S ′. Si r < R′, la série

∑n≥1 nαnr

n−1 converge, donc

∑n≥1

αnrn ≤ r

(∑n≥1

nαnrn−1

)< +∞,

et par suite r ≤ R. Réciproquement, soit r < R, et prenons un nombre r′ tel quer < r′ < R; alors

nαnrn−1 =

1

r′(αn(r

′)n) · n( rr′

)n−1.

14

Puisque r′ < R, il existe un nombre réel M > 0 tel que αn(r′)n ≤M pour tout n, d’où

nαnrn−1 ≤ M

r′n( rr′

)n−1,

et comme la série∑

n≥1 n(rr′

)n−1converge, la série

∑n≥1 nαnr

n−1 converge également,donc r ≤ R′. Ainsi tout nombre strictement inférieur à R′ est majoré par R et toutnombre strictement inférieur à R est majoré par R′, d’où R = R′.

Il reste à établir la relation (1.12). Fixons z de manière que |z| < R, choississons unr tel que |z| < r < R, et supposons désormais

0 6= |h| ≤ r − |z|. (1.13)

Alors S(z + h) est défini et

S(z + h)− S(z)h

− S ′(z) =∑n≥1

un(z, h), (1.14)

où nous avons posé

un(z, h) = an((z + h)n−1 + z(z + h)n−2 + . . .+ zn−1 − nzn−1

).

Les majorations |z| < r et |z + h| ≤ r entrâınent les inégalités

|un(z, h)| ≤ 2nαnrn−1,

et, puisque r < R (= R′), ∑n≥1

nαnrn−1 0, il existe un entier naturel n0 tel que

2∑n>n0

nαnrn−1 ≤ ε

2.

Ce choix de n0 ayant ainsi été fait, la somme finie∑n≤n0

un(z, h)

est un polynôme en h, nul pour h = 0; donc dès que |h| est inférieur à un nombre réel ηconvenable, ∑

n≤n0

un(z, h) ≤ε

2.

Finalement, si h satisfait à (1.13) et à |h| ≤ η, on déduit de (1.14) que∣∣∣∣S(z + h)− S(z)h − S ′(z)∣∣∣∣ ≤

∣∣∣∣∣∑n≤n0

un(z, h)

∣∣∣∣∣+ 2 ∑n>n0

nαnrn−1 ≤ ε.

Donc la relation (1.12) est démontrée.

15

Corollaire 1.28. La fonction somme f d’une série entière∑anz

n de rayon de conver-gence non nul est une fonction de classe C∞ sur son domaine de convergence et, pourp ≥ 1, la p-ième dérivée se calcule ainsi:

f (p)(z) =∞∑n=p

n(n− 1) · · · · · (n− p+ 1)anzn−p.

Corollaire 1.29. Si f est la fonction somme d’une série entière∑anz

n de rayon deconvergence non nul alors

∑anz

n est la série de Taylor de la fonction f . En particulier,quel que soit k ≥ 0,

f (k)(0) = k(k − 1) · · · · · ak = k!ak. (1.15)

Démonstration. Quel que soit k ≥ 0, la relation

f (p)(z) =∞∑n=p

n(n− 1) · · · · · (n− p+ 1)anzn−p

nous donne immédiatement l’identité (1.15).

En particulier, les coefficients an d’une série entière∑anz

n convergente sont détermi-nés par la restriction de sa fonction somme à un voisinage ouvert de l’origine aussi petitque l’on veut. Par conséquent :

Corollaire 1.30. Étant donnée une fonction f définie dans un voisinage de l’origine,il existe au plus une série entière

∑anz

n de rayon de convergence non nul telle que lafonction somme de cette série coincide avec la fonction f dans un voisinage suffisammentpetit de l’origine.

Corollaire 1.31. Soient∑anz

n et∑bnz

n deux séries entières de rayons de convergencenon nuls. Pour que

∑anz

n =∑bnz

n pour tout z assez proche de l’origine il faut et ilsuffit que an = bn pour tout n ≥ 0.

Exemple. La dérivée de la fonction exponentielle z 7→ ez est la fonction exponentielleelle-même.

1.2.10 Série réciproque d’une série convergente

Théorème 1.32. Soit S(X) =∑anX

n une série entière telle que S(0) = 0 et S ′(0) 6= 0,et soit T (Y ) la série réciproque de S, c.a.d. la série T (Y ) telle que T (0) = 0 et S ◦T = 1.Si S(X) a rayon de convergence non nul il en est de même de T (Y ).

Démonstration. Ce résultat est une conséquence du théorème 6.13, qui sera établi ci-dessous. Cependant, on peut le démontrer directement, voir p. e. [2] (I.2.9).

Exemple. La restriction de l’application exponentielle C −→ C, z 7−→ ez, à l’ouvertW = {z = x + iy; |y| < π} ⊆ C est un difféomorphisme de W sur le plan privé du demi-axe réel négatif. Par conséquent, dans le plan privé du demi-axe réel négatif, il existe

16

une fonction complexe continue unique φ, même de classe C∞, vérifiant φ(1) = 0 et, pourtout point z de cet ouvert, l’identité

eφ(z) = z.

De plus, cette fonction φ satisfait à la majoration

|=(φ(z))| < π.

Cette fonction est la détermination principale du logarithme, notée

Log : C \ {−s; s ∈ R, s ≥ 0} −→ C;

c’est une des branches du logarithme complexe. La notion de branche sera précisée dansle §4.3.2 ci-dessous. Pour z avec |z| < 1, soit

ψ(z) =∞∑n=1

(−1)n−1 zn

n= z − z

2

2+z3

3− . . . . (1.16)

La série entière au membre droit de (1.16) converge pour |z| < 1, et

eψ(z) = 1 + z.

Ainsi, pour |z| < 1,ψ(z) = Log(1 + z).

Cette situation illustre bien le théorème 1.32, avec

S(X) =∑n≥1

Xn

n!, T (Y ) =

∑n≥1

(−1)nnY n.

Toutes les branches du logarithme complexe seront étudiées en détail dans le §4.3.2 ci-dessous.

1.3 Fonctions analytiques

1.3.1 Généralités

Définition 1.33. Une fonction numérique f : U → R définie sur un ouvert U de la droitenumérique R est dite analytique réelle dans U si, pour tout point z0 de U , la fonctionu 7→ f(z0 + u) est développable en série entière dans un voisinage de l’origine dans R.Une fonction à valeurs complexes f : U → C définie sur un ouvert U du plan complexeC est dite analytique dans U si, pour tout point z0 de U , la fonction u 7→ f(z0 + u) estdéveloppable en série entière dans un voisinage de l’origine dans C.

Autrement dit:

Proposition 1.34. Une fonction f est analytique dans U si, à chaque point z0 de U , onpeut associer un nombre r > 0 et une suite (an) tels que, pour |z − z0| < r, on ait

f(z) =∞∑n=0

an (z − z0)n .

17

D’après le corollaire 1.29, ce développement coincide nécessairement avec la série deTaylor de f au point z0.

Théorème 1.35. Soit∑anz

n une série entière de rayon de convergence R non nul.Alors sa fonction somme

z 7−→ f(z) =∞∑n=0

anzn

est une fonction analytique dans le disque de convergence |z| < R de∑anz

n.

Démonstration. Voir [2] (I.4.2).

En particulier, toute fonction polynôme est analytique; de même, toute fonction ra-tionnelle est analytique.

La démonstration du théorème 1.35 repose sur le lemme suivant:

Lemme 1.36. Dans les circonstances du théorème 1.35, soit z0 un nombre complexe avec|z0| < R. Alors la série entière

∞∑n=0

f (n)(z0)

n!Zn (1.17)

a rayon de convergence ≥ R− |z0| et

f(z) =∞∑n=0

f (n)(z0)

n!(z − z0)n pour |z − z0| < R− |z0|. (1.18)

Démonstration. Voir [2] (I.4.2).

Remarque 1.37. Le théorème 1.35 n’est pas trivial puisque, a priori, le fait que la fonc-tion u 7→ f(z0 + u) est développable en série entière dans un voisinage de z0 n’est évidentque pour z0 = 0.

1.3.2 Connexité et connexité par arcs

Un espace métrique est dit connexe s’il n’est pas réunion de deux parties ouvertes nonvides disjointes . Une partie A d’un espace métrique est dite connexe si A, munie de lamétrique induite, est connexe. La composante connexe d’un point a d’un espace métriqueE est la réunion des parties connexes de E qui contiennent a. C’est aussi la plus grandepartie connexe de E qui contient a. Les parties connexes de R sont les intervalles. Undomaine est une partie ouverte connexe d’un Rn. Un espace métrique E est dit connexepar arcs si, quel que soit le couple de points x, y de E, il existe une courbe paramétréecontinue reliant x et y.

Proposition 1.38. Pour qu’une partie ouverte A d’un Rn soit un domaine il faut et ilsuffit que, quel que soit le couple de points x, y de A, il existe une ligne polygonale reliantx et y et toute entière contenue dans A.

Démonstration. Exercice.

Corollaire 1.39. Pour qu’une partie ouverte d’un Rn soit connexe par arcs il faut et ilsuffit qu’elle soit connexe.

18

1.3.3 Prolongement analytique

Théorème 1.40. Soit f une fonction analytique dans un ouvert connexe D, et soit z0un point de D. Les conditions suivantes sont équivalentes.

1. La fonction f est identiquement nulle dans D;

2. la fonction f est identiquement nulle dans un voisinage de z0;

3. quel que soit l’entier naturel n ≥ 0, la dérivée f (n)(z0) d’ordre n et z0 est nulle.

Démonstration. Il est évident que (1) entrâıne (3). On va montrer que (3) entrâıne (2)et que (2) entrâıne (1). Supposons remplie la condition (3). On a donc f (n)(z0) = 0 pourtout entier naturel n, en convenant que f (0) = f . Au voisinage de z0, f est développableen série entière suivant les puissances de z − z0, et les coefficients 1n!f

(n)(z0) sont nuls;donc f est identiquement nulle dans un voisinage de z0, ce qui démontre (2).

Supposons remplie la condition (2). Pour montrer que f est nulle en tous les pointsde D, il suffit de montrer que l’ensemble D′ ⊆ D des points au voisinage desquels f estidentiquement nulle est à la fois ouvert et fermé dans D; car D′ n’est pas vide en vertude (2), donc, puisque D est connexe, D′ sera égal à D. Que D′ soit ouvert résulte de sadéfinition. Il reste à démontrer que si w ∈ D est adhérent à D′, alors w ∈ D′. Soit (wm)une suite d’élements de D′ avec limm→∞wm = w ∈ D. Quel que soit m, d’après ce quia déjà été établi (avec wm au lieu de z0), on a f

(n)(wm) = 0 pour tout entier naturel n.Donc, en vertu de la continuité des fonctions f (n), il s’ensuit que f (n)(w) = 0 pour toutn. On a déjà montré que (3) entrâıne (2), et ceci pour z0 quelconque, en particulier pourz0 = w. Donc f est identiquement nulle au voisinage de w. Ainsi w appartient à D

′, cequi achève la démonstration.

Corollaire 1.41. L’anneau des fonctions analytiques dans un ouvert connexe est un an-neau intègre.

Démonstration. Soient f et g deux fonctions analytiques dans l’ouvert connexe D etsoit fg = 0. Soit z0 un point de D. Alors une des deux fonctions f et g, soit f , estidentiquement nulle dans un voisinage de z0 puisque l’anneau des séries formelles est unanneau intègre. D’après le théorème 1.40, la fonction f est nulle partout dans D.

Corollaire 1.42 (Principe du prolongement analytique). Deux fonctions analytiques dansun ouvert connexe D qui coincident dans un voisinage d’un point de D sont égales dansD.

Le problème du prolongement analytique consiste en ceci : Étant donnée une fonctionanalytique h dans un ouvert connexe D′, et étant donné un ouvert connexe D contenantD′, on se demande s’il existe une fonction f analytique dans D et qui prolonge h. Unetelle fonction f , si elle existe, s’appèlle prolongement analytique de h. Nous venons devoir qu’un prolongement analytique est unique s’il existe.

19

1.3.4 Multiplicité d’un zéro

Soit f une fonction analytique au voisinage d’un point z0, et soit

f(z) =∞∑n=0

an (z − z0)n

son développement en série entière autour de z0 pour |z − z0| suffisamment petit. Sup-posons que f(z0) = 0 et que f ne soit identiquement nulle dans un voisinage de z0.

Soit k l’entier naturel le plus petit tel que ak 6= 0. La série∞∑n=k

an (z − z0)n−k

converge pour |z − z0| suffisamment petit et sa fonction somme g est une fonction analy-tique définie au voisinage de z0 telle que g(z0) 6= 0. Alors l’identité

f(z) = (z − z0)k g(z), g(z0) 6= 0 (1.19)

est vérifiée dans un voisinage de z0. L’entier naturel k ainsi déterminé s’appelle multiplicitéou ordre du zéro z0 de f . Cet entier naturel est caractérisé par la relation (1.19) où g estanalytique. Il est également caractérisé par la relation

f (n)(z0) = 0 (0 ≤ n < k), f (k)(z0) 6= 0. (1.20)

Si k = 1 on dit que z0 est un zéro simple; si k ≥ 2 on dit que z0 est un zéro multiple.

1.3.5 Principe des zéros isolés

Rappelons qu’une partie S d’un espace métrique X est dite discrète si, quel que soit lepoint x de S, il existe un voisinage U de x dans X tel que U ∩ S = {x}. Les points de Ssont alors dits isolés.

Le principe des zéros isolés s’énonce sous forme du théorème suivant.

Théorème 1.43. Soit f une fonction analytique dans un domaine D. Si f n’est pasidentiquement nulle, la partie de D constituée des zéros de f est une partie discrète deD. Autrement dit, tous les points de cette partie sont isolés.

Démonstration. Supposons que f ne soit identiquement nulle. D’après le corollaire 1.42,il n’existe aucun point de D tel que f soit identiquement nulle au voisinage de ce point.Soit alors z0 un zéro de f . La relation (1.19) entrâıne qu’il existe ε > 0 tel que

f(z) 6= 0 pour 0 < |z − z0| < ε.

Autrement dit: Le point z0 admet un voisinage où z0 est le seul zéro de f . Il s’ensuit quel’ensemble des zéros de f est une partie discrète de D.

Remarque 1.44. L’hypothèse “D connexe” est essentielle: Si D est réunion D = D1∪D2avec D1 ∩D2 = ∅, alors la fonction f = 0 sur D1 et f = 1 sur D2 est bien analytique.

20

Un espace métrique E est dit compact si toute suite (xn) de points de E admet unesuite extraite convergente. Une partie fermée et bornée de Rn est compacte (Théorèmede Heine et Borel).

Corollaire 1.45. Soit f une fonction analytique dans un domaine D. Quelle que soit lapartie compacte C de D, il existe au plus un nombre fini de zéros de f dans C.

2 Géométrie des nombres complexes; symétries; an-

gles

Muni de la norme | · | et de la distance associée, C s’identifie au plan euclidien R2. Nouspouvons donc employer à propos des nombres complexes le langage de la géométrie eucli-dienne: nous parlerons du point z au lieu du nombre complexe z, nous appelerons axe réella partie de C constituée des nombres réels, axe imaginaire la partie de C constituée desnombres complexes dont la partie réelle est nulle, segment [a, b] la partie de C constituéede tous les nombres complexes de la forme (1− t)a+ tb (0 ≤ t ≤ 1), cercle de centre a etde rayon ρ la partie de C constituée de tous les nombres complexes z tels que z − a| = ρ,etc.

2.1 Transformations géométriques

Les opérations sur les nombres complexes s’interprètent alors comme des transformationsgéométriques :

a ∈ C : z 7→ z + a : translationz 7→ z : symétrie par rapport à l’axe réel

z 7→ 1z

: inversion de centre 0 et puissance 1 (z 6= 0)

z 7→ 1z

: inversion-symétrie (z 6= 0)

a ∈ C, a 6= 0 : Sa : z 7→ az : multiplication par a ou homothétie complexe relative à a.

Définition 2.1. Une similitude directe du plan réel R2 est une transformation qui mul-tiplie les distances par un réel positif et qui conserve les angles.

Remarque 2.2. L’algèbre des matrices du type

[u −vv u

], u, v ∈ R, est la sous-algèbre de

End(R2) ∼= M2(R) formée par les similitudes directes.

Proposition 2.3. Soit a = α+ iβ un nombre complexe, et soit Sa : C→ C la multiplica-tion par a (homothétie complexe relative à a).

• Interprétée comme transformation du plan euclidien R2, l’opération Sa est unetransformation linéaire dont la matrice dans la base 1, i est la similitude directe[α −ββ α

].

21

• Toute similitude directe provient ainsi d’une homothétie complexe unique.

•∣∣∣∣α −ββ α

∣∣∣∣ = dét [α −ββ α]

= α2 + β2 = |a|2.

Démonstration. Exercice.

Le cercle unitaire, noté S1, est la partie de C constituée des nombres complexes demodule 1. La multiplication complexe, restreinte à S1, munit S1 d’une structure de groupeabélien.

Proposition 2.4. L’application R −→ S1, t 7−→ eit, induite par l’exponentielle complexe,est un homomorphisme du groupe additif des nombres réels sur le cercle unitaire S1, et lenoyau de cet homomorphisme est le sous-groupe additif 2πZ de R.

Démonstration. Exercice.

Corollaire 2.5. • Les similitudes directes du plan R2 forment un corps, et l’applica-tion

C −→ M2(R), a = α + iβ 7−→[α −ββ α

],

établit un isomorphisme de C sur le corps des similitudes directes du plan R2.

• En particulier, la restriction de cet isomorphisme au cercle unitaire S1 établit unisomorphisme de S1 sur le groupe des rotations de R2 centrées à l’origine.

• Par conséquent, l’application R −→ S1, t 7−→ eit, induit le paramétrage standard

R −→ SO(2,R), t 7−→[cos t − sin tsin t cos t

],

du groupe SO(2,R) des rotations de R2 centrées à l’origine.

Démonstration. Exercice.

2.2 Argument, angles

Définition 2.6. Pour un nombre complexe z non nul quelconque, un argument est unnombre réel t tel que z = |z|ei t.

L’argument n’est déterminé qu’à un multiple 2kπ (k ∈ Z) près; la notation arg(z)désignera l’une quelconque des valeurs t telles que z = |z|ei t. Sous forme polaire, lenombre complexe non nul z s’écrit alors sous la forme

z = |z|ei arg(z) = |z|(cosϕ+ i sinϕ)

où ϕ est l’angle entre le demi-axe réel positif et la direction déterminée par z. Ainsi,géométriquement, pour un nombre complexe z non nul, arg(z) modulo 2πi est l’angleentre le demi-axe réel positif et la direction déterminée par z.

L’argument est une fonction multiforme; cette fonction résoud le problème de mesuredes angles . La notion de fonction multiforme sera détailée dans le §4.3.1 ci-dessous.

22

2.3 Sphère de Riemann

Considérons C ∼= R2, muni de la topologie standard. Soit u 6∈ C, et soit C̃ = C ∪ {u},le point u étant considéré comme “point idéal”. Soit T le système des parties V de C̃jouissantes de la propriété suivante: Soit (i) V ⊆ C et V est ouverte dans C ou soit (ii) lecomplémentaire de V est dans C et y est une partie fermée et bornée.

Proposition 2.7. La famille T est une topologie sur C̃ telle que, dans cette topologie, C̃soit un espace compact.

Démonstration. Exercice.

L’espace topologique C̃ que en résulte est appelé sphère de Riemann. Nous écrirons∞ au lieu de u. En voici une identification explicite de C̃ avec une sphère:

Dans l’espace euclidien standard R3, nous identifierons le plan horizontal passant parl’origine au plan complexe C, avec coordonnées z = x + iy. Considérons la sphère unitéΣ dans R3 tangente à C à l’origine, de sorte que le point N = (0, 0, 2) soit le pôle nordde Σ. A chaque point A de C, on associe la droite qui passe par N et A, et on y faitcorrespondre le point A′ où cette droite rencontre la sphère Σ.

Définition 2.8. L’application qui fait correspondre au point A′ le point A s’appelle pro-jection stéréographique.

On laisse au lecteur le soin d’en donner une interprétation géographique.

Proposition 2.9. La projection stéréographique est un homéomorphisme de Σ \ {N} surC et induit un homéomorphisme de Σ sur C̃. En particulier, C̃ est un espace compact.

Démonstration. Exercice.

Dans C, les ouverts |z| > r > 0 forment un système fondamental de voisinages dupoint a l’infini.

Définition 2.10. Une fonction f , définie dans l’ouvert |z| > r > 0, est analytique àl’infini si, par le changement de variable z = 1/ζ, la fonction f s’exprime comme fonctionanalytique de ζ pour |ζ| < 1/r.

Sur la sphère de Riemann, le principe des zéros isolées est toujours valable :

Théorème 2.11. Soit f une fonction analytique dans une partie ouverte et connexe Dde C̃. Si f n’est pas identiquement nulle, la partie de D constituée des zéros de f est unepartie discrète de D. Autrement dit, tous les points de cette partie sont isolés.

3 Fonctions holomorphes. I

3.1 Dérivabilité ordinaire

Soit D un ouvert de R2 et f une fonction réelle ou complexe définie sur D. La fonctionf est différentiable au point z0 = (x0, y0) de D s’il existe deux constantes a et b et unefonction α avec lim(h,k)→(0,0) α(h, k) = 0 telles que

f(x0 + h, y0 + k)− f(x0, y0) = ah+ bk + α(h, k)√h2 + k2 (3.1)

23

pour h, k suffisamment petits. Si f est différentiable en (x0, y0), alors a et b sont uniques,

a = ∂f∂x

(x0, y0), b =∂f∂y

(x0, y0), (3.2)

et la forme linéaire

(a, b) =(∂f∂x

(x0, y0),∂f∂y

(x0, y0))

: R2 −→ K

(K = R ou K = C) est la dérivée de f au point (x0, y0). Une fonction qui possède desdérivées partielles continues dans un ouvert est de classe C1 dans cet ouvert, c.a.d. ladérivée existe en tout point de cet ouvert et y est continue.

N. B.: La dérivée f ′ ou la différentielle df d’une fonction f : U → K définie dans un ouvertU de R2 et différentiable en chaque point de U est une fonction

f ′ = df : U −→ L(R2,K).

En particulier, les différentielles dx et dy sont des fonctions dans ce sens-la.

3.2 Holomorphie; équations de Cauchy-Riemann

Soit D un ouvert de C et f une fonction complexe définie sur D.

Définition 3.1. La fonction f est C-dérivable au point z0 de D si la limite

limu→0,u6=0

f(z0 + u)− f(z0)u

(3.3)

existe; la fonction f est holomorphe au point z0 de D s’il existe un voisinage ouvert U dez0 tel que f soit C-dérivable en chaque point de U . La fonction f est holomorphe dansD si elle est holomorphe en chaque point de D; elle est holomorphe dans une partie Mde C si elle est holomorphe dans un voisinage ouvert de M .

Ainsi une fonction est holomorphe dans une partie ouverte de C si elle est holomorpheen chaque point de cette partie.

La condition de l’existence de la limite (3.3) s’exprime aussi sous la forme

f(z0 + u)− f(z0) = cu+ α(u)|u|, limu→0

α(u) = 0 (3.4)

et le nombre complexe c, s’il existe, est la C-dérivée ou dérivée complexe de f au pointz0, notée f

′(z0).En fonction des parties réelles et imaginaires de la variable complexe, la condition

(3.4) s’écrit sous la forme

f(x0 +h, y0 + k)− f(x0, y0) = c(h+ ik) +α(h, k)√h2 + k2, lim

(h,k)→(0,0)α(h, k) = 0. (3.5)

Si la fonction f est C-dérivable en z0, elle est donc différentiable en tant que fonction desdeux variables réelles x et y où z = x+ iy, et

∂f

∂x(x0, y0) = a = c,

∂f

∂y(x0, y0) = b = ic

où a et b sont les coefficients qui figurent dans l’identité (3.1).

24

Théorème 3.2. Pour que la fonction complexe f des deux variables réelles x et y soitC-dérivable par rapport à la variable complexe z = x + iy au point z0 = x0 + iy0 il fautet il suffit que, en tant que fonction des deux variables réelles x et y, f soit différentiableau point (x0, y0) et que les dérivées partielles satisfassent, au point (x0, y0), à l’équation

∂f

∂x+ i

∂f

∂y= 0. (3.6)

Démonstration. En effet, si la fonction complexe f est C-dérivable au point z0, le raison-nement juste avant l’énoncé du théorème montre que les dérivées partielles satisfassent àl’équation (3.6).

Réciproquement, supposons que, en tant que fonction des deux variables réelles x ety, la fonction complexe f soit différentiable au point (x0, y0) et que les dérivées partiellesy satisfassent à l’équation (3.6). Alors la condition (3.1) entrâıne la condition (3.5), avecc = a et ic = b.

Si nous écrivons la fonction complexe f sous la forme f = P + iQ où P et Q sont desfonctions réelles, la condition (3.6) revient aux équations dites de Cauchy-Riemann :

∂P

∂x=∂Q

∂y,

∂P

∂y= −∂Q

∂x. (3.7)

3.3 Les variables z et z

Les fonctions z = x+ iy et z = x− iy ont les différentielles

dz = dx+ idy, dz = dx− idy, (3.8)

d’oùdx = 1

2(dz + dz), dy = 1

2i(dz − dz). (3.9)

Soit f une fonction complexe, et supposons que f soit différentiable relativement auxvariables x et y. En substituant 1

2(dz + dz) à dx et 1

2i(dz − dz) à dy, nous trouvons

l’expression suivante (3.10) de la différentielle ordinaire df = ∂f∂xdx+ ∂f

∂ydy de f :

df = 12∂f∂x

(dz + dz) + 12i∂f∂y

(dz + dz). (3.10)

À l’aide des opérateurs différentiels

∂

∂z=

1

2

(∂

∂x− i ∂

∂y

),

∂

∂z=

1

2

(∂

∂x+ i

∂

∂y

), (3.11)

l’identité (3.10) s’écrit sous la forme

df =∂f

∂zdz +

∂f

∂zdz. (3.12)

Ainsi la condition (3.6) prend la forme

∂f

∂z= 0. (3.13)

D’où:

25

Proposition 3.3. Pour que la fonction f dans l’ouvert D de C soit holomorphe il faut et ilsuffit que f satisfasse à l’identité (3.13), c.a.d. que la différentielle df soit proportionnelleà dz. S’il en est ainsi, le facteur de proportionalité est la C-dérivée f ′ de f .

3.4 Développement de Taylor: Analyticité des fonctions holo-morphes

Théorème 3.4. Soit f holomorphe dans le disque |z| < ρ. Alors f admet dans ce disqueun développement en série entière. C.a.d.: Il existe une série entière S(z) =

∑anz

n derayon de convergence ≥ ρ telle que, dans le disque |z| < ρ, la fonction somme S de lasérie coincide avec f .

À cette étape, nous ne disposons pas encore de la technologie pour pouvoir démontrerle théorème de Taylor, et nous reportons la démonstration à la partie 6.3 ci-dessous.

Remarque 3.5. Le théorème 3.4 montre que toute fonction holomorphe dans un ou-vert D est analytique dans D. Réciproquement, d’après le théoréme 1.26, toute fonctionanalytique dans un ouvert D admet une C-dérivée dans D et est donc nécessairement holo-morphe dans D. Ainsi, pour les fonctions d’une variable complexe, les notions d’analycitéet d’holomorphie sont équivalentes. Si on applique aux fonctions holomorphes la théoriedéveloppée pour les fonctions analytiques, on arrive au résultat suivant:

Théorème 3.6. Une fonction holomorphe est indéfiniment C-dérivable, et la dérivéed’une fonction holomorphe est holomorphe.

En voici, comme conséquence immédiate, une version du théorème de Taylor.

Théorème 3.7 (Taylor). Pour une fonction holomorphe f dans l’ouvert D et un pointquelconque z0 de D, la série

f(z) = f(z0) + f′(z0)(z − z0) + · · ·+

f (n)(z0)

n!(z − z0)n + . . .

converge dans le disque le plus grand dans D ayant z0 pour centre.

Illustration. Soient a, b et z0 trois nombres complexes deux à deux distincts. Ledéveloppement de la fonction f donnée par

f(z) =1

z − a+

1

z − ben série entière centrée en z0 a rayon de convergence min(|a− z0|, |b− z0|).

4 Exemples de fonctions analytiques

4.1 Homographies

Définition 4.1. Une homographie, ou transformation homographique, ou fonction ho-mographique (non dégénérée) est une fonction analytique f qui s’écrit sous la forme

f(z) =az + b

cz + d, a, b, c, d ∈ C, ad− bc 6= 0. (4.1)

26

Ici la non dégénérescence signifie que ad− bc 6= 0. Étant donnée une homographie dutype (4.1), on la prolonge à la sphère de Riemann C̃ en convenant que

f(−dc

) =∞, si c 6= 0, f(∞) = ac

(=∞ si c = 0). (4.2)

Rappelons que SL(2,C) est le groupe des (2, 2)-matrices complexes[a bc d

]telles que

ad − bc = 1; étant donnée une telle matrice, soit f = f24a bc d

35 l’homographie donnée parla formule (4.1).

Proposition 4.2. 1. Une homographie f du type (4.1) est bijective, même un homéo-

morphisme f : C̃ −→ C̃, dont l’application réciproque est l’homographie h donnéepar

h(w) =dw − ba− cw

. (4.3)

2. Par conséquent, les homographies forment un groupe H. L’application

SL(2,C) −→ H,[a bc d

]7→ f24a b

c d

35,

est un homomorphisme dont le noyau est isomorphe au groupe de deux éléments,

l’élément non trivial du noyau étant la matrice

[−1 00 −1

].

3. Une homographie quelconque s’écrit comme composée de translations avec homothé-ties non nulles et une inversion-symétrie z 7→ 1

z. Plus précisemment, une homogra-

phie h du type

h(z) =a

dz + b (ad 6= 0)

est la composée d’une translation avec une homothétie non nulle, et une homographief quelconque du type (4.1) avec c 6= 0 s’écrit

f(z) =a

c+

bc−adc2

z + dc

. (4.4)

4. Par conséquent, une homographique (non dégénérée) transforme une droite ou uncercle en une droite ou un cercle.

5. Les points invariants à distance finie de l’homographie (4.1) sont les racines del’équation

cz2 + (d− a)z − b = 0. (4.5)

De plus, pour que le point ∞ soit invariant il faut et il suffit que c = 0.

27

6. Par conséquent, toute homographie (non dégénérée) distincte de l’identité possèdeun ou deux points invariants.

7. Il existe une homographie unique qui applique trois points distincts z1, z2, z3 de C̃sur trois points distincts w1, w2, w3 de C̃.

8. Une homographie (non dégénérée) quelconque conserve les angles.

Démonstration. Vérification de 6): D’après l’énoncé 5), l’homographie (4.1) possède unou deux points invariants sauf si l’équation (4.5) est indéterminée, c.a.d. si b = c = 0 eta = d; mais alors l’homographie (4.1) est l’identité.Vérification de 8): Il suffit de raisonner dans le cas particulier où w1 =∞, w2 = 0, w3 = 1.En effet, si l’homographie f resp. g applique z1, z2, z3 resp. w1, w2, w3 sur ∞, 0, 1, latransformation composée g−1f répond à la question.

Si z1, z2, z3 sont finis, la transformation cherchée est

z 7−→ (z3 − z1)(z − z2)(z3 − z2)(z − z1)

.

Si z1, z2, ou z3 est infini, la transformation cherchée est

z 7−→ z − z2z3 − z2

, resp. z 7−→ z3 − z1z − z1

, resp. z 7−→ z − z2z − z1

.

L’énoncé 8) résulte du théorème 6.15, qui sera établi plus tard.Les autres assertions sont laissées comme exercices.

4.2 Fonctions transcendentes qui se déduisent de l’exponentielle

4.2.1 Fonctions hyperboliques

ch(z) =1

2(ez + e−z)

sh(z) =1

2(ez − e−z)

th(z) =sh(z)

ch(z)=

e2z − 1e2z + 1

On en déduit les formules classiques

ch2(z)− sh2(z) = 1ch(a+ b) = ch(a)ch(b) + sh(a)sh(b)

sh(a+ b) = sh(a)ch(b) + ch(a)sh(b).

28

4.2.2 Fonctions trigonométriques

cos(z) =1

2(eiz + e−iz)

sin(z) =1

2i(eiz − e−iz)

tg(z) =sin(z)

cos(z)=

1

i

e2iz − 1e2iz + 1

Il en résultent les identités

cos(z) = ch(iz)

i sin(z) = sh(iz)

i tg(z) = th(iz).

On en déduit les formules classiques

cos2(z) + sin2(z) = 1

cos(a+ b) = cos(a)cos(b)− sin(a)sin(b)sin(a+ b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)

et les formules de transformation:

cos(x+ iy) = cos(x)ch(y)− isin(x)sh(y)sin(x+ iy) = sin(x)ch(y) + icos(x)sh(y)

d’où

| cos(x+ iy)|2 = cos2(x) + sh2(y)| sin(x+ iy)|2 = sin2(x) + ch2(y).

On en déduit que les fonctions analytiques cos et sin ne s’annulent que pour des argumentsréels.

4.3 Fonctions réciproques des fonctions usuelles

4.3.1 Fonctions multiformes

La fonction réciproque d’une fonction f n’existe que si f est injective. Si ce n’est pas lecas, on ne pourra définir que des branches de fonction réciproque, qui seront les fonctionsinverses des restrictions de f à des ensembles où f est injective; par abus de langage,il convient de dire que ces diverses branches constituent une fonction multiforme : Unefonction multiforme associe à un même argument plusieurs valeurs.

Définition 4.3. Soit f une fonction à valeurs complexes définie et continue dans unepartie ouverte U de C. Une fonction continue ϕ à valeurs complexes définie dans unepartie ouverte D de C est une branche uniforme de la fonction réciproque de f si ϕ(D)est une partie ouverte de C contenue dans U , et si f(ϕ(z)) = z pour tout z ∈ D.

29

La famille des branches ϕ de la fonction réciproque de f constitue par définition lafonction réciproque multiforme f−1 de f . La notation f−1(z) désignera dans la suite l’unequelconque des valeurs ϕ(z); on dira que chacune de ses valeurs est une détermination def−1(z).

4.3.2 Logarithme

Soit w un nombre complexe; nous cherchons tous les nombres complexes z tels que ez = w.Pour que w soit de cette forme il faut (et il suffit) que w 6= 0. S’il en est ainsi, les nombrescomplexes cherchés sont de la forme

log |w|+ i arg(w). (4.6)

Ainsi, si w1 6= 0 et w2 6= 0,

log |w1w2|+ i arg(w1w2) = log |w1|+ i arg(w1) + log |w2|+ i arg(w2) mod 2πi. (4.7)

Définition 4.4. Une branche de l’argument est une fonction (réelle) continue h définiesur un ouvert connexe D de C qui ne contient pas l’origine telle que

eih(w) =w

|w|, quel que soit w ∈ D. (4.8)

Une branche du logarithme complexe est une fonction (complexe) continue f définie surun ouvert connexe D de C qui ne contient pas l’origine telle que

ef(w) = w, quel que soit w ∈ D. (4.9)

Proposition 4.5. • S’il existe, dans l’ouvert connexe D, une branche h de l’argu-ment, alors toutes les branches de l’argument sont de la forme h+ 2kπ où k ∈ Z et,réciproquement, quel que soit k ∈ Z, la fonction donnée par h+2kπ est une branchede l’argument.

• S’il existe, dans l’ouvert connexe D, une branche f du logarithme complexe, alorstoutes les branches du logarithme complexe sont de la forme f + 2kπi où k ∈ Zet, réciproquement, quel que soit k ∈ Z, la fonction donnée par f + 2kπi est unebranche du logarithme complexe.

• Chaque branche de l’argument définit une branche du logarithme complexe et, réci-proquement, chaque branche du logarithme complexe définit une branche de l’argu-ment.

Démonstration. Soient h1 et h2 deux branches de l’argument, définies sur l’ouvert connexeD. Alors les valeurs de la fonction h définie par

h(w) =h1(w)− h2(w)

2π

sont des entiers. Puisque h est continue et D connexe, h est constante. Car la partie deD où h prend une valeur fixée est ouverte et fermée dans D et donc ou bien vide ou bienD tout entier. Les autres assertions sont immédiates.

30

Proposition 4.6. Soit D = C\{−s; s ∈ R, s ≥ 0}, c.a.d., la partie D est supposée d’êtreC privé du demi-axe réel négatif.

1. Il existe une branche de l’argument sur D.

2. Il existe une branche du logarithme complexe sur D.

Démonstration. Notons S1 ⊆ C le cercle unitaire |z| = 1. L’application

p : D −→ S1 \ {−1}, z 7−→ z|z|,

est bien continue, et l’application

ϕ : ]− π, π[−→ S1 \ {−1}, y 7−→ eiy,

est bijective, même un homeomorphisme. En effet, soit y0 ∈]− π, π[. Alors il existe ε > 0tel que l’intervalle compact [y0− ε, y0 + ε] soit une partie de ]− π, π[. La restriction de ϕà [y0 − ε, y0 + ε] est un homéomorphisme. Le composée

ϕ−1 ◦ p : D −→]− π, π[

est la branche de l’argument cherchée. La deuxième assertion est une conséquence immé-diate de la première.

Définition 4.7. La branche de l’argument précisée dans la proposition 4.6 est la déter-mination principale ou branche principale de l’argument, notée Arg. La branche dulogarithme complexe précisée dans la proposition 4.6 est la détermination principale oubranche principale du logarithme complexe, notée Log.

4.3.3 Fonctions puissance

La fonction multiformez 7−→ za, z 6= 0, a ∈ C,

est définie de la façon suivante: À chaque branche ϕ du logarithme complexe, on faitcorrespondre une branche ψ de za par la formule

ψ(z) = eaϕ(z). (4.10)

On obtient ainsi en général une infinité de valeurs possibles pour za; il y en a un nombrefini seulement si a est un nombre rationnel, et un seul si a est entier.

Remarque 4.8. Lorsque a est réel, on peut définir par continuité za même pour z = 0ou z = ∞: Si a est réel positif on pose 0a = 0, ∞a = ∞; si a est réel negatif on pose0a =∞, ∞a = 0.

Si a n’est pas un entier, quel que soit le voisinage de 0 ou de ∞, on ne peut définiraucune branche de la fonction puissance z 7→ za dans ce voisinage car la fonction nereprend pas sa valeur initiale après qu’on ait effectué un tour autour de l’origine sur unecirconférence puisque l’argument de za varie de 2π

4.3.4 Fonctions trigonométriques inverses et fonctions hyperboliques inverses

On peut ramener à la fonction logarithme et eventuellement à la fonction racine carréeles fonctions trigonométriques et hyperboliques inverses :

La relation w = arccos(z) équivaut à

z = cos(w) =eiw + e−iw

2.

Avec ζ = eiw on obtient l’identité

z =1

2(ζ + ζ−1)

d’oùζ2 − 2zζ + 1 = 0

et, si le radical√z2 − 1 désigne une des deux déterminations de (z2 − 1)

12 ,

ζ = z ±√z2 − 1

d’oùarccos(z) = −i log(z ±

√z2 − 1) = ±i log(z +

√z2 − 1).

On peut déduire de cette formule des branches uniformes de la fonction arccos.De même, la relation w = arctg(z) équivaut à

z = tg(w) =1

i

e2iw − 1e2iw + 1

d’où

arctg(z) =1

2ilog

1 + iz

1− iz(4.11)

ce qui montre que la fonction arctg est la composée du logarithme et d’une homographie.On traite les fonction hyperboliques inverses de la même manière.

5 Intégrales de Cauchy

5.1 Intégration sur une courbe paramétrée de formes différenti-elles

Soit D un domaine de R2. Une forme différentielle de classe Ck dans D est une applicationω : D → L(R2,R) de classe Ck. Pour que la forme différentielle ω = fdx + hdy soit declasse Ck il faut et il suffit que f et h le soient.

Une courbe paramétrée dans D est une application

γ : I −→ D,

appelée paramétrage, définie sur un intervalle I = [a, b]. La courbe γ est continue ou declasse Ck si elle a cette propriété en tant qu’application. Le point γ(a) est le point de

32

départ de γ et le point γ(b) est son point d’arrivée; on appelle γ(a) et γ(b) extrémités deγ. La courbe continue γ est fermée ou un lacet si γ(a) = γ(b).

Soit γ : [a, b] −→ D une courbe paramétrée de classe C1 et soit ω = Pdx + Qdy uneforme différentielle dans D. Comme d’habitude, on définit l’intégrale curviligne

∫γω par∫

γ

ω =

∫ ba

γ∗ω. (5.1)

Ici γ∗ω est la forme différentielle induite, soit

γ∗ω = (P (x(t), y(t))x′(t) +Q(x(t), y(t))y′(t))dt.

Étant donnée la courbe paramétrée γ : [a, b] −→ D, un changement de paramétrageest une application

[a1, b1] −→ [a, b], u 7−→ t(u),telle que t′(u) > 0, quel que soit u ∈ [a1, b1]; alors le paramétrage

γ1 = γ ◦ t : [a1, b1] −→ D

fournit aussi une courbe paramétrée (dans D), et∫γ

ω =

∫γ1

ω.

La notion de changement de paramétrage entrâıne une relation d’équivalence; une courbeorientée est alors une classe d’équivalence, et l’intégrale

∫γω ne dépend que de la classe

d’équivalence de γ. Par abus de langage, nous identifiérons souvent en notation deuxcourbes paramétrées qui ne diffèrent que par un changement de paramétrage.

Soit γ : [a, b] −→ D une courbe paramétrée. Un changement d’orientation est induitpar une application

[a1, b1] −→ [a, b], u 7−→ t(u),telle que t′(u) < 0, quel que soit u ∈ [a1, b1]; alors, quel que soit la forme différentielle ωdans D, ∫

γ

ω = −∫γ1

ω.

Soit γ : [a, b] −→ D une courbe paramétrée continue; elle est dite de classe Ck parmorceaux s’il existe une subdivision

a = a0 < a1 < . . . < ak+1 = b

de [a, b] telle que, quel que soit j, 0 ≤ j ≤ k, la restriction de γ à ]aj, aj+1[ soit restrictiond’une courbe paramétrée γj : [aj, aj+1] → D de classe Ck, définie sur l’intervalle fermé[aj, aj+1].

Soit γ : [a, b] −→ D une courbe paramétrée de classe C1 par morceaux , relativement àla subdivision a = a0 < a1 < . . . < ak+1 = b; alors, quelle que soit la forme différentielleω dans D, on pose ∫

γ

ω =∑∫

γj

ω.

33

Les propriétés de l’intégrale simple entrâınent immédiatement les propriétés suivantesde l’intégrale d’une 1-forme :

Proposition 5.1. Soient α et β deux formes différentielles de classe C0 dans D et soientλ, µ ∈ C.

1. Linéarité par rapport aux formes:∫γ

(λα + µβ) = λ∫γα + µ

∫γβ

2. Additivité par rapport aux arcs: Si c ∈]a, b[ et si γ1 et γ2 désignent les parties d’unecourbe paramétrée γ : [a, b]→ D de classe C1 par morceaux reliant γ(a) et γ(c) resp.γ(c) et γ(b), alors ∫

γ

α =

∫γ1

α +

∫γ2

α.

3. Étant donnée une courbe paramétrée γ : [a, b] → D de classe C1 par morceaux, si−γ désigne la courbe paramétrée de l’orientation opposée, c’est-à-dire,

−γ(t) = γ (b+ a− t) ,

alors ∫−γα = −

∫γ

α.

5.2 Primitive d’une forme différentielle

Soit D un domaine de R2 et soit ω une forme différentielle dans D. Une primitive de ωest une fonction F sur D telle que dF = ω.

Soit F une primitive de ω, et soit γ[a, b]→ D une courbe de classe C1 par morceaux.Alors il est évident que ∫

γ

ω = F (γ(b))− F (γ(a)). (5.2)

Par conséquent, en vertu de la proposition 1.38, si dF = 0, alors F est constante.

Théorème 5.2. Pour que la forme différentielle ω dans D admette une primitive il fautet il suffit que, quelle que soit la courbe fermée γ dans D, de classe C1 par morceaux,∫

γ

ω = 0.

S’il en est ainsi, étant donné un point quelconque x0 de D, une primitive F de ω estdonnée par la formule

F (x) =

∫γx

ω (5.3)

où γx est une courbe de classe C1 par morceau reliant x0 a x ∈ D.

Démonstration. Voir [2] (II.1.2.1).

Théorème 5.3. Soit D un disque ouvert. Pour que la forme différentielle ω dans Dadmette une primitive il suffit que, quel que soit le rectangle dans D parallèle aux axes,l’intégrale

∫γω relativement au bord γ de ce rectangle soit nulle.

Démonstration. Voir e. g. [2] (II.1.2.2).

34

5.3 La formule de Green-Riemann

Soit D un domaine de R2. Une courbe paramétrée fermée γ : [a, b] −→ D dans D estsimple si la restriction de γ à [a, b[ est injective.

Théorème 5.4. Soit ω = fdx + gdy : D −→ L(R2,R) une forme différentielle de classeC1 dans le domaine D du plan R2 et soit B ⊆ D une partie fermée, bornée par une courbefermée paramétrée simple de classe C1 par morceaux γ : [a, b] −→ D, orientée dans le sensdirect, c.a.d. comme le repère des coordonnées ordinaire. Alors∫

γ

ω =

∫B

(∂g

∂x− ∂f∂y

)dxdy.

Démonstration. Ce résultat sera supposé connu de la deuxième année; voir e. g. [2] (II.2.3)pour le cas particulier où B est un rectangle.

Théorème 5.5. Soit ω = fdx + gdy : D −→ L(R2,R) une forme différentielle de classeC1 dans D. Pour que ω admette une primitive (dans D), il faut que

∂g

∂x=∂f

∂y. (5.4)

Si D est un disque ouvert, la condition est aussi suffissante.

Démonstration. Voir [2] (II.1.3.1).

5.4 Formes différentielles fermées

Soit D un domaine de R2.

Définition 5.6. Une forme différentielle ω dans D est fermée si tout point z de D a unvoisinage où ω admet une primitive.

Théorème 5.7. Pour que la forme différentielle ω de classe C0 dans D soit fermée il fautet il suffit que, quel que soit le rectangle parallèle aux axes et contenu avec son intérieurdans D, l’intégrale

∫γω relativement au bord γ de ce rectangle soit nulle.

Démonstration. Voir [2] (II.1.4.1).

Théorème 5.8. Pour que la forme différentielle ω = fdx+ gdy de classe C1 dans D soitfermée il faut et il suffit que ω vérifie la condition (5.4).

Démonstration. Voir [2] (II.1.4.1).

Théorème 5.9. Soit D = C \ 0. La forme différentielle dzz

n’admet pas de primitive.

Démonstration. Soit γ : [0, 2π]→ C \ 0 le cercle unitaire

γ(t) = cos t+ i sin t = eit.

35

Alors dz = izdt, d’où ∫γ

dz

z=

∫ 2π0

idt = 2πi,

et l’énoncé résulte du théorème 5.2.

Examinons la partie imaginaire

α =x

r2dy − y

r2dx

de la forme différentielle dzz

sur D = R2 \ 0. Soit U le domaine

U = {(x, y); (x, y) 6= (r, 0) avec r ≥ 0}.

Alors

∂

∂x

( xr2

)=r2 − 2x2

r4=y2 − x2

r4

∂

∂y

( yr2

)=r2 − 2y2

r4=x2 − y2

r4,

c’est-à-dire, α est fermée, en effet, α vérifie la condition (5.4). Une primitive g de α surU est bien connue: On peut prendre

g(x, y) = Arcctg

(x

y

), lorsque y > 0,

g(x, y) = Arctg(yx

)+ π, lorsque x < 0,

g(x, y) = Arcctg

(x

y

)+ π, lorsque y < 0.

Cependant, on ne peut pas prolonger g dans le plan tout entier puisqu’on obtiendraitalors

g(r, 0) = 0 = 2π = 4π

etc. Dans le plan privé de l’origine, la fonction Arctg est multiforme.Pour illustrer la formule (5.3), soit V le plan R2 privé de la demi-droite

{r(1,−ε); r ≥ 0}.

Si nous prenons

γ : [0, 2π − δ] −→ R2, γ(t) = (x(t), y(t)) = (r cos t, r sin t),

avec un δ > 0 adapté (dépendant de ε), la formule (5.3) nous donne l’expression

g(x(ϑ), y(ϑ)) =

∫ ϑ0

〈α(γ(t)), γ′(t)〉dt

=

∫ ϑ0

〈1

r(− sin t, cos t), (−r sin t, r cos t)

〉dt

=

∫ ϑ0

(sin2 t+ cos2 t)dt = ϑ

pour une primitive g de α sur V .

36

5.5 Primitives multiformes

Nous avons vu qu’une forme différentielle fermée dans un ouvert connexe D de C n’admetpas nécessairement une primitive.

Définition 5.10. Soit ω une forme différentielle fermée dans l’ouvert connexe D de C,et soit γ : [a, b]→ D une courbe paramétrée continue. Une primitive de ω le long de γ estune fonction continue f : [a, b]→ D satisfaisant à la condition (P) suivante:(P): Quel que soit τ ∈ [a, b], il existe, dans un voisinage V du point γ(τ) de D, uneprimitive F de ω telle que,

F (γ(t)) = f(t), (5.5)

quel que soit t ∈ γ−1(V ).

Théorème 5.11. Soit ω une forme différentielle fermée dans l’ouvert connexe D de C,et soit γ : [a, b]→ D une courbe paramétrée continue. Il existe toujours une primitive deω le long de γ, et cette primitive est unique à l’addition d’une constante près.

Démonstration. (Comparer [2] (II.1.5)). Soient f1 et f2 deux primitives de ce type, et soitτ ∈ [a, b]. Il existe des primitives locales F1 et F2 de ω telles que, quel que soit t ∈ [a, b]au voisinage de τ ,

f1(t)− f2(t) = F1(γ(t))− F2(γ(t)).

Puisque la différence F1−F2 est constante, il s’ensuit que la différence f1−f2 est constanteau voisinage de τ . Par conséquent, le point τ de [a, b] étant arbitraire, la différence f1−f2est localement constante sur [a, b]. Puisque [a, b] est connexe, f1 − f2 est nécessairementconstante sur [a, b]. Car une fonction continue et localement constante sur un espaceconnexe est nécessairement constante: La partie où la fonction prend la valeur disons uest ouverte et fermée.

Il reste à établir l’existence de la primitive f satisfaisant à la propriété (P). Un pointquelconque τ de [a, b] admet un voisinage V dans [a, b] tel que γ(V ) soit contenu dans undisque ouvert dans lequel ω admet une primitive F . Puisque l’intervalle [a, b] est compact,il existe une subdivision

a = a0 < a1 < . . . < ak+1 = b (5.6)

de [a, b] telle que, quel que soit j, 0 ≤ j ≤ k, γ[aj, aj+1] soit contenu dans un disque ouvertUj de C sur lequel ω admette une primitive Fj. Pour 0 ≤ j ≤ k, l’intersection Uj ∩ Uj+1n’est pas vide car γ(aj+1) y appartient et cette intersection est connexe, d’où Fj+1 − Fjest constante dans Uj ∩ Uj+1. En rajoutant une constante adaptée à Fj on arrive à lasituation où Fj+1 coincide avec Fj sur Uj ∩ Uj+1. Alors, pour t ∈ [aj, aj+1], posons

f(t) = Fj(γ(t)).

La fonction f est continue et satisfait à la condition (P).Soit ω une forme différentielle fermée, et soit γ : [a, b] → C une courbe de classe C1

par morceaux, relativement à une subdivision de [a, b] du type (5.6); supposons que, quelque soit j, 0 ≤ j ≤ k, γ[aj, aj+1] soit contenu dans un disque ouvert Uj de C dans

37

lequel ω admette une primitive Fj, comme dans la démonstration du théorème 5.11. Pour0 ≤ j ≤ k, soit γj la restriction de γ à ]aj, aj+1[. Par définition,∫

γ

ω =∑∫

γj

ω.

D’après l’identité (5.2), si f est une primitive de ω le long de γ, pour 0 ≤ j ≤ k,∫γj

ω = f(aj+1)− f(aj),

d’où ∫γ

ω = f(b)− f(a). (5.7)

Remarque 5.12. Pour une courbe paramétrée continue γ qui n’est pas C1 par morceaux,on peut ainsi définir l’intégrale

∫γω par le membre droit de l’identité (5.7); ce membre

droit ne dépend pas du choix de γ.

Théorème 5.13. Soit γ : [a, b] → C \ {0} une courbe paramétrée fermée continue et C1par morceaux. Alors la valeur 1

2πi

∫γdzz

est un entier.

Démonstration. La forme différentielle dzz

est fermée. On peut supposer que chacunedes fonctions Fj dans la démonstration du théorème 5.11 est une branche du logarithmecomplexe. La différence f(b)−f(a) est donc la différence de deux branches du logarithmecomplexe au point γ(a) = γ(b) et est donc de la forme 2πin où n est un entier.

Pour une courbe paramétrée γ de classe C1 par morceaux, pas nécessairement fermée,dans le plan réel privé de l’origine, le nombre

1

2π

∫γ

xdy − ydxx2 + y2

(5.8)

s’appelle variation de l’argument le long de γ.

Corollaire 5.14. Pour une courbe fermée, la variation de l’argument est un entier.

5.6 Invariance par homotopie

Soit D un domaine de R2, J = [a, b], I = [0, 1], et soient γ0, γ1 : J → D deux courbesparamétrées de classe C0 ayant les mêmes points de départ et d’arrivée.

Définition 5.15. Une homotopie de γ0 vers γ1 relativement aux extrémités est une ap-plication continue

δ : J × I −→ Djouissante des propriétés suivantes :

δ(t, 0) = γ0(t) (t ∈ J),δ(t, 1) = γ1(t) (t ∈ J),δ(a, u) = γ0(a) = γ1(a) (u ∈ I),δ(b, u) = γ0(b) = γ1(b) (u ∈ I).

(5.9)

38

S’il existe une homotopie de γ0 vers γ1 relativement aux extrémités on dit que γ0 et γ1sont homotopes relativement aux extrémités.

En particulier, cette définition est valable si γ0 et γ1 sont des courbes (continues)fermées avec

γ0(a) = γ0(b) = γ1(a) = γ1(b)

et, dans ce cas-la, la condition relativement aux extrémités signifie que

δ(a, u) = δ(b, u) (u ∈ I),

c.a.d. quel que soit u ∈ I, la courbe paramétrée

γu : J −→ D, γu(t) = δ(t, u)

est fermée. Si, dans ce cas-la, la courbe γ1 est constante, la courbe paramétrée γ0 est ditehomotope à un point ou homotope à zéro ou homotopiquement zéro.

Théorème 5.16. Soient γ0 et γ1 deux courbes paramétrées continues homotopes relative-ment aux extrémités dans le domaine D. Quelle que soit la forme différentielle fermée ωdans D, ∫

γ0

ω =

∫γ1

ω. (5.10)

Définition 5.17. Soitδ : [a, b]× [a′, b′] −→ D

continue et soit ω une forme différentielle fermée dans D. Une fonction f : [a, b] ×[a′, b′] −→ D vérifiant la propriété (P) suivante est appelée primitive de ω relativement àδ:(P): Quel que soit le point (τ, ν) de [a, b] × [a′, b′], au voisinage de δ(τ, ν), il existe uneprimitive F de ω telle que

F (δ(t, u)) = f(t, u)

pour (t, u) quelconque au voisinage de (τ, ν).

Lemme 5.18. Quelles que soient l’application continue

δ : [a, b]× [a′, b′] −→ D

et la forme différentielle fermée ω dans D, il existe toujours une primitive de ω relative-ment à δ.

Démonstration. Voir [2] (II.1.6).

Démonstration du théorème 5.16. Soit

δ : J × I −→ D

une homotopie de γ0 vers γ1 relativement aux extrémités de telle sorte que les conditions(5.9) soient vérifiées. Soit f une primitive de ω relativement à δ. Alors les fonctionsu 7→ f(0, u) et u 7→ f(1, u) sont constantes. Puisque∫

γ0

ω = f(1, 0)− f(0, 0),∫γ1

ω = f(1, 1)− f(0, 1),

le théorème en résulte.

39

5.7 Ouverts simplement connexes, existence de primitives

Définition 5.19. Une partie connexe B du plan R2 est dite simplement connexe si unecourbe paramétrée fermée continue quelconque dans B est, dans B, homotope à zéro.

Théorème 5.20. Une forme différentielle fermée dans un domaine D de C simplementconnexe admet toujours une primitive.

Démonstration. D’après le théoréme 5.16, pour une courbe paramétrée fermée quelconqueγ, de classe C1 par morceaux, l’intégrale

∫γω est nulle. Le théorème 5.2 entrâıne alors

que ω admet une primitive dans D.

Une partie E de C est étoilée par rapport au point z0 de E si, quel que soit le pointz de E, le segment de droite reliant z0 et z est dans E. Une partie de C étoilée parrapport à un point est simplement connexe. Par contre, le plan privé de l’origine n’estpas simplement connexe.Illustration. La fonction f(z) = 1

zdans C privé de l’origine n’a pas de primitive dans

ce domaine de définition. Cependant, la partie D = C \ {−s; s ∈ R, s ≥ 0} de C estsimplement connexe, et chaque branche du logarithme est une primitive de f dans D. Demême, la fonction f(z) = 1

z2+1dans C privé de ±i n’a pas de primitive dans ce domaine

de définition. Cependant, en vertu de (4.11),

arctg(z) =1

2i(log(1 + iz)− log(1− iz)),

la partieD = C \ ({si; s ∈ R, s ≥ 1} ∪ {si; s ∈ R, s ≤ −1}

de C est simplement connexe, et chaque branche de l’arctg est une primitive de f dansD.

5.8 Indice d’un lacet

Définition 5.21. Soit γ un lacet (courbe continue fermée) dans C et soit a un point quin’appartient pas à l’image de γ. L’indice de γ relativement au point a est le nombre

I(γ, a) =1

2πi

∫γ

dz

z − a,

nécessairement un entier, d’après le théoréme 5.13.

Proposition 5.22. L’indice jouit des propriétés suivantes :

1. Soit δ une homotopie du lacet γ1 vers le lacet γ2 relativement aux extrémités qui nerencontre pas le point a. Alors

I(γ1, a) = I(γ2, a).

2. Le lacet γ étant fixé, l’indice est une fonction localement constante de a si a variedans le complémentaire de l’image de γ dans C.

40

3. Si l’image du lacet γ dans C est dans une partie simplement connexe D du plan quine contient pas le point a, alors l’indice I(γ, a) est nul.

4. Si γ est un cercle orienté positivement, alors I(γ, a) = 1 si a est à l’intérieur de γet I(γ, a) = 0 si a est à l’extérieur de γ.

Démonstration. Voir [2] (II.1.8).

6 Fonctions holomorphes. II

6.1 Théorème de Cauchy

Théorème 6.1. Si la fonction f est holomorphe dans l’ouvert D de C alors la formedifférentielle fdz dans D est fermée.

Démonstration. Nous supposons que les dérivées partielles ∂f∂x

et ∂f∂y

soient continues. On

peut montrer qu’il en est toujours ainsi dans D. Voir [2] (II.2.4).Pour montrer que la forme différentielle

fdz = fdx+ ifdy

est fermée, en vertu de la formule de Green-Riemann (5.4), il suffit de montrer que

∂f

∂y= i

∂f

∂x.

Mais ceci est justement la condition (3.6) disant que f est holomorphe.

Corollaire 6.2. Une fonction holomorphe admet une primitive locale holomorphe.

Corollaire 6.3 (Théorème de Cauchy-Goursat). Soit f une fonction holomorphe dansun ouvert D de C. Quelle que soit la courbe fermée γ de classe C1 par morceaux dans Dhomotope à zéro dans D, l’intégrale

∫γf(z)dz est nulle.

Théorème 6.4. Soit f une fonction continue dans un ouvert D de C et holomorphe dansle complémentaire dans D d’une droite parallèle à l’axe des x. Alors la forme différentiellefdz est fermée. En particulier, si f