VLAKKE MEETKUNDE 2studiejaar 1, periode 2, week 3 (en 4)

HUISWERKBespreken uit §3-3 opdracht 19 en 20

Huiswerk 3-3 Opdracht 19De middelloodlijnen van drie van de vier zijden van een vierhoek gaan door één punt M. Bewijs dat ABCD een koordenvierhoek is. AM = DM (eigenschap mll zijde AD) AM = BM (eigenschap mll zijde AB) BM = CM (eigenschap mll zijde BC) (En dus ligt M ook op de mll van zijde CD (vraag a).) En dus liggen de punten A, B, C en D op een cirkel met middelpunt M en dus is vierhoek ABCD een koordenvierhoek.

}⇒ CM = DM

Huiswerk 3-3 Opdracht 20Teken een driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel en punt E op de omgeschreven cirkel en punt D1 binnen de omgeschreven cirkel en punt D2 buiten de cirkel. Bewijs dat geldt: ∠ABC + ∠CD1A > 180∘ en ∠ABC + ∠CD2A < 180∘. ∠EAC = ∠ D1AC (zelfde hoek) ∠ECA > ∠ D1CA (bg EA > bg FA)∠CEA < ∠ CD1A ([1]) ∠ABC + ∠CEA = 180∘ (koordenvierhoekstelling) ⇒ ∠ABC + ∠CD1A > 180∘ Analoog in driehoek ACD2 valt te bewijzen dat ∠ABC + ∠CD2A < 180∘. Let op als je de koordenvierhoekstelling met deze inklem-techniek moet bewijzen, dan is dit bewijs onjuist.Je gebruikt datgene wat je moet bewijzen namelijk in hetbewijs.

}⇒ ∠CEA < ∠ CD1A (hoekensom driehoek) [1]

}⇒

NU KOMT HET ECHTE WERKExtra opdracht naar examen vwo wiskunde B 2009

Voorbeeld 1Gegeven is driehoek ABC met zijn omgeschreven cirkel. Aan weerskanten van C liggen de punten K en L op de cirkel, zodanig dat CK = CL. De koorde KL snijdt de zijden AC en BC respectievelijk in de punten P en Q. Bewijs dat ABQP een koordenvierhoek is. Tip: Bewijs eerst dat ∠BAC = ∠QCL + ∠CLQ. Bewijs: ∠BAL = ∠QCL (constante hoek) ∠LAC = ∠LKC (constante hoek) ⇒ ∠BAC = ∠QCL + ∠LKC [1]

}⇒

Voorbeeld 1∠BAC = ∠QCL + ∠LKC ([1]) ∠LKC = ∠CLQ (bg CK = bg CL) ∠BAC = ∠QCL + ∠CLQ ([2]) ∠CQL = 180∘ - ∠QCL -∠CLQ (hoekensom driehoek) ⇒ ∠BAC = 180∘ - ∠CQL [3] ∠BAP = 180∘ - ∠CQL ([3]) ∠CQL = ∠PQB (overstaande hoek) ⇒ ∠BAC + ∠PQB = 180∘ Dus is ABQP een koordenvierhoek.

}⇒ ∠BAC = ∠QCL + ∠CLQ [2]

}⇒}⇒

MEETKUNDIGE PLAATSEN3-4 Geogebra

Met behulp van het computerprogramma Geogebra (dus niet Cabri) kun je vermoedens creëren. Een tekening is nooit een bewijs en dus zul je nadat je de vermoedens hebt gevormd op papier aan de slag moeten gaan met het bewijzen van het vermoeden. In paragraaf 3-4, creëer je met behulp van Geogebra vermoedens en zul je deze daarna zelf moeten gaan bewijzen. Besef dat de toets schriftelijk wordt afgenomen en dat het programma Geogebra daarin niet aan bod komt.

Meetkundige plaatsen

Gegeven is een cirkel (M, MA) met AB is een middellijn van de cirkel. Op de cirkel liggen ook de punten C en D met een vaste afstand tot elkaar. De lijnen AC en BD snijden elkaar in S. Beschrijf de meetkundige plaats van S als C de cirkel doorloopt.

Vermoeden: Punt S doorloopt twee cirkelbogen die elkaar snijden in A en B. Bewijs: ∠ADB = ∠ACB = 90∘ (Thales) ∠DAC = ∠DBC (constante hoek) Dus punt S doorloopt twee cirkelbogen (constante hoek).

Voorbeeld 2

}⇒ Alle hoeken bij S zijn constant

ENKELE BEWIJZEN3-5 de bewijsstructuur (HERHALING)

BewijsEen Bewijs, bestaat altijd uit de onderdelen van het bewijsschema: Gegeven, Te bewijzen en Bewijs.

De structuur van een bewijs bestaat uit:

Maar waar haal je dat bewijs vandaan?

Heel veel oefenen.

Basiskennis beheersen.

Een gestructureerde aanpak.

... (...)

... (...)

⎫⎬⎪

⎭⎪⇒ ... (...) [...]

Een gestructureerde aanpakStart altijd met het verkennen van het probleem.

Teken de situatie met alle gegevens na. We noemen dit een analysefiguur. Door het tekenen bouw je mogelijk het bewijs al op en zie je het al. Indien niet ga dan naar de volgende stap.

Analyseer het vraagstuk door:

Vooruitdenken: werk vanuit de gegevens toe naar een volgende stap. Terugdenken: werk vanuit wat te bewijzen een stap terug. Plan maken: Leg een verband tussen de stappen die je hebt gemaakt met eventueel andere stellingen.

Een gestructureerde aanpakGeef het Bewijs:

Gebruik het bewijsschema om het bewijs netjes op te schrijven.

Dus: Gegeven: Te bewijzen: Bewijs: Verkennen Analyseren (Vooruitdenken, Terugdenken en Plan maken) Bewijs geven (Q.e.d.)

Voorbeeld 3

Bewijs het volgende vermoeden: Wanneer de vier bissectrices van een vierhoek een vierhoek insluiten, dan liggen de vier punten van deze ingesloten vierhoek op een cirkel. Gegeven: een vierhoek ABCD waarvan de bissectrices een vierhoek PQRS insluiten. Te bewijzen: De punten P, Q, R en S liggen op één cirkel. Verkennen:

Voorbeeld 3Annalyseren: vooruitdenken Ik krijg de bissectrices als gegeven, dus ik weet acht hoeken. Die 8 hoeken zijn samen 360∘. Annalyseren: terugdenken Vier punten op één cirkel betekent dat PQRS een koordenvierhoek is. Dus ∠P + ∠R = 180∘ en ∠S + ∠Q = 180∘. Annalyseren: plan maken De helft van de hoeken van vierhoek ABCD is 180∘. Als ik de hoeken P en R in de helft van de hoeken van de grote vierhoek kan uitdrukken, dan ben ik klaar. Daar ga ik driehoeken voor gebruiken.

Voorbeeld 3 Bewijs: ∠QRS = 180∘ - ∠RAD - ∠ADR (hoekensom driehoek) ∠BPC = 180∘ - ∠PBC - ∠BCP (hoekensom driehoek) ⇒ ∠QRS + ∠BPC = 360∘ - ∠RAD - ∠ADR - ∠PBC - ∠BCP [1] ∠RAD = ½∠A (bissectrice) ∠PBC = ½∠B (bissectrice) ∠BCP = ½∠C (bissectrice) ∠ADR = ½∠D (bissectrice) ∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360∘ (hoekensom ◻) ⇒ ∠RAD + ∠ADR + ∠PBC + ∠BCP = 180∘ [2] Uit [1], [2] volgt dat in vierhoek ∠QRS + ∠BPC = 180∘. Dus de punten P, Q, R en S liggen op één cirkel (omgekeerde koordenvierhoekstelling)

}⇒

}⇒

Voorbeeld 4Gegeven: Gegeven is een cirkel met middelpunt M. Vanuit een punt P buiten de cirkel worden twee raaklijnen getrokken aan de cirkel. De raakpunten noemen we A en B. Op de kleinste boog AB ligt een punt C. De raaklijn aan de cirkel in punt C snijdt PA in D en PB in E. Te bewijzen: ∠DME = ½(180∘ - ∠APB) Bewijs:

Voorbeeld 4 Bewijs: ∠A1 = ∠C1 = 90∘ (raaklijn) DM = DM AM = CM (straal) Analoog valt te bewijzen dat ∠M1 = ∠M2 [2] ∠A1 + ∠B1 = 180∘ Dus MAPB is een koordenvierhoek (koordenvierhoekstelling) Hieruit volgt: ∠P + ∠M1,2,3,4 = 180∘ [3] Uit [1], [2] en [3] volgt: ∠P + 2∠M2,3 = 180∘ en dus: ∠M2,3 = ∠DME = ½(180∘ - ∠APB)

}⇒ ∆AMD ≅ ∆CMD (ZZR), Dus ∠M3 = ∠M4 [1]

Let op:Volgende week is er een werkcollege waarin jullie, onder

begeleiding aan de tussentoets en de extra oefening van H3 mogen gaan werken!

Er volgt geen nieuwe theorie en dus ook geen presentatie op slideshare.

Huiswerk

Maken:

§3-4 opdrachten 24 t/m 28.

§3-5 opdrachten 29 t/m 31.