VLAKKE MEETKUNDEstudiejaar 1, periode 1, week 6

Allerlei stellingen en bewijzen uit de meetkunde:http://www.sebastien.brunekreef.com/v5/wisB/Stellingen_en_bewijzen_wisB.pdf !

Allerlei theorie en extra opgaven: http://www.math4all.nl/website/view.php?page=overzichten/vwo-456-b !

Allerlei informatie over constructies http://www.davdata.nl/passer_liniaal.html !

Let op: bij alle pagina’s geldt dat niet alles tot de stof behoort!!!

websites met meer informatie

Stelling: Als de lengte van een zwaartelijn uit punt A van een driehoek ABC gelijk is aan de helft van zijde BC, dan is de driehoek rechthoekig met ∠A = 90

∘

a. Bewijs deze stelling. (Gegeven, Te bewijzen) Bewijs:BD = CD (eigenschap zwaartelijn) 2AD = BC (gegeven) Dus ∆ABD en ∆ADC zijn gelijkbenig. [2] ∠A1 = ∠B (gelijkbenige ∆) ∠A2 =∠C (gelijkbenige ∆)

∠A +∠B + ∠C = 180∘ (hoekensom ∆)

Huiswerk 2-4 opdracht 22

1 1

1

12

}⇒ AD = BD = CD [1]

}⇒ 2∠A = 180∘ [3]Dus ∠A = 90∘

b. formuleer het omgekeerde van deze stelling en bewijs of weerleg deze. Als een driehoek ABC rechthoekig is met ∠A = 90

∘, dan is de zwaartelijn uit punt A de helft van de zijde BC. Bewijs: Teken de middenparallel DE. ∠E1 = ∠A12 (F-hoek) ∠A12 = 90∘ (gegeven) DE = DE (uniciteit) ∠E1 = ∠E2 ([1]) AE = EB (eigenschap middenparallel) Dus geldt dat AD = BD.

Huiswerk 2-4 opdracht 22

}⇒ ∠E1 = ∠E2 = 90∘[1]

⇒ ∆AED ≅ ∆BED (ZHZ) [2]}

c. Schrijf de stelling als een implicatie of een equivalentie. De bewering geldt twee kanten uit, dus: De lengte van de zwaartelijn uit punt A van driehoek ABCis gelijk aan de helft van zijde BC ⇔∠A = 90∘.

Huiswerk 2-4 opdracht 22

Gegeven zijn een cirkel c, een punt R op c, een punt Q buiten c en een punt P binnen c. a. Construeer de cirkel die door punt Q gaat en de gegeven cirkel in R raakt. De cirkel moet zijn middelpunt dus op de middelloodlijn hebben liggen van lijnstuk QR. En de cirkel moet c raken in R en dus moet de straal van de nieuwe cirkel loodrecht op R staan.

Huiswerk 2-5 opdracht 28a

①

➁

➂

➃

➄

1) Teken QR. 2) Teken de middelloodlijn van QR. 3) Teken lijn MR. 4) Teken het snijpunt A van MR en de middelloodlijn van QR. 5) teken cirkel (A, AR)

WAT IS ER DICHTERBIJ?4-1 afstand tot een gebied

afstand tot een lijnDe afstand van een punt P tot een lijnstuk l is altijd de kortste afstand.

Deze afstand vinden we dus door een loodlijn neer te laten vanuit punt P op l.

Maar wat als de loodlijn niet te tekenen is?

Dan geldt dat de kortste afstand van eenpunt tot een lijnstuk gelijk is aan deverbindingslijn tussen het eindpunten het gegeven punt.

afstand tot een cirkelDe kortste afstand van een punt P tot een cirkel c is lastiger te vinden, omdat het tekenen van een loodlijn op een cirkel ”onmogelijk” is. We kijken daarom eerst eens naar de volgende figuur:

Als twee cirkels zó liggen dat de middelpuntenen het raakpunt van de twee cirkels op een lijn liggen, dan hebben beide cirkels in hetzelfde punt een raaklijn. Deze raaklijn maakt een hoek van 90∘ met de lijn door de middelpunten.

Om de kortste afstand van een punt tot een cirkel te vinden teken je het lijnstuk van het middelpunt tot het gegeven punt. De kortste afstand is dat deel van het lijnstuk dat buiten de cirkel ligt, ofwel het deel van het lijnstuk van P tot aan de cirkel c.

Meerdere afstanden: voorbeeld 1Gegeven is een gebied G. (zie de afbeelding die je krijgt). Teken buiten het gebied G alle punten die op gelijke afstand liggen van zijde a en b.

Zijn er ook punten te vinden buiten G die even dicht bij a, b en c liggen?

Hiervoor moeten we de bissectricestussen deze lijnstukken tekenen, omdatvoor alle punten P op de bissectrice vanlijnstuk a en b geldt dat d(P, a) = d(P, b).

Er is één punt waarvoor geldt:d(P, a) = d(P, b) = d(P, c), namelijk hetsnijpunt van de bissectrices van de lijn-stukken a en b en van b en c.

G

WAT BEHOORT MIJ TOE?4-2 Iso-afstandslijnen & 4-3 Op grotere afstand

gelijke afstandenIn een ideale wereld was er geen oorlog om grondgebieden… Maar hoe doen we dat eigenlijk met het verdelen van de zee? Alle punten die op x kilometer van een (ei)land afliggen behoren tot dat eiland. Alle plekken die op 1 meter van mij afliggen zijn van mij! Mijn grondgebied is dus een cirkel. Maar hoe zit dat dan met complexere figuren?

gelijke afstandenPunten die op gelijke afstand liggen van een punt, liggen op een cirkel. Punten die op gelijke afstand liggen van een lijn, liggen op een lijn. Punten die op gelijke afstand liggen van een cirkel, liggen op een cirkel. Dus om alle punten te tekenen die op een afstand van 1 cm van het vierkant afliggen, ga ik als eerste het buitengebied verdelen in verschillende stukken. Nu teken ik vier lijnstukken met eenafstand van 1 cm tot de randen van hetvierkant en 4 keer een cirkelboog met alsmiddelpunt het hoekpunt en als straal 1 cm.

iso-lijnenWe noemen dit een iso-1-lijn. Een iso-lijn is dus niet altijd een lijn, maar een gesloten figuur van lijnstukken en cirkels waarop alle punten liggen die op gelijke afstand liggen van een figuur. Een iso-a-lijn ligt dus op een afstand vana meeteenheid (cm, m, …) van het figuur af. Om een iso-lijn te tekenen verdeel je hetbuitengebied eerst (met stippellijnen) inverschillende delen. Daarna teken je van iederdeel de iso-lijn.

Gelijke afstanden: voorbeeld 2Gegeven is een gebied. (zie de afbeelding op je werkblad). Teken met behulp van de hulplijnen de iso-1-lijn.

Teken eerst de rest van de stippellijnen,zodat het hele buitengebied is opgedeeld.

Teken dan de lijnstukken met eenafstand van 1 cm tot de lijnen.

Teken vervolgens de cirkelbogen omde hoekpunten.

Teken tot slot van de gebogen stukkende iso-lijnen.

Grotere afstanden: voorbeeld 3Gegeven is bijna hetzelfde gebied, maar het plaatje is nu verkleint. (zie de afbeelding op je werkblad). Teken met behulp van de hulplijnen de nieuwe iso-5-lijn.

De cirkelbogen nemen qua lengte toe.

De rechte stukken blijven even lang.

Hierdoor begint het gebied steeds meer op een cirkel te lijken.

Op grotere afstand gaanoneffenheden weg en lijkt een iso-lijn, bijna een cirkel (wat het niet is!).

HuiswerkMaken:

§4-1 opdrachten 1, 2, 3, 4abc, 5,

!

§4-2 opdrachten 6 t/m 10 en

!

§4-3 opdrachten 11, 12, 15 en 16.