VLAKKE MEETKUNDEstudiejaar 1, periode 1, week 4

Van vierhoek ABCD is ∠B = ∠D = 90�en |AB| =|BC|. Op het verlengde van DC aan de kant van C ligt E, zodat |CE| =|AD|.Te bewijzen: |BD| =|BE|Gegeven:Vierhoek ABCD met ∠B = ∠D = 90�en |AB| =|BC|. Op het verlengde van DC aan de kant van C ligt E, zodat |CE| =|AD|.Te bewijzen: |BD| =|BE|

Huiswerk 1-4 opdracht 22

Huiswerk 1-4 opdracht 22

Bewijs: (Analyseren: BD en BE liggen in twee driehoeken waarvan twee zijdes gelijk zijn. We zullen dus nog twee hoeken aan elkaar gelijk moeten praten.)In vierhoek ABCD geldt:∠B = ∠D = 90� (gegeven)

∠A + ∠B + ∠C + ∠D = 360�

∠A + ∠C = 180� [1]

Huiswerk 1-4 opdracht 22

I

II

I

II

}⇒

(vervolg bewijs):

∠DAB + ∠BCD = 180� ([1])

∠ECB + ∠BCD = 180� (gestrekte hoek)|AD| = |CE| (gegeven)|AB| = |CB| (gegeven)∠DAB = ∠ECB ([2])⇒ ∆ABD ≅ ∆CBE (ZHZ)En dus geldt: |BD| =|BE|☐

Huiswerk 1-4 opdracht 22

I

II

I

II

}⇒ ∠DAB = ∠ECB [2]

}⇒

Gegeven een cirkel met middelpunt A en straal |AB|. Kies een punt C op de cirkel en teken de lijn l door C evenwijdig aan AB. D is het andere snijpunt van l met de cirkel.b. Wat voor vierhoek is ABCD?ABCD is in alle gevallen een trapezium.d. Zijn er meerdere plaatsen voor C zodat ABCD een parallellogram is? Ja, 2. (Zie constructie)

Huiswerk 1-5 opdracht 25

Huiswerk 1-5 opdracht 25

e. Bewijs dat als ABCD een parallellogram is het ook een ruit is.Gegeven: Parallellogram ABCD waarvan A het middelpunt is van een cirkel en B, C en D punten op de cirkel.Te bewijzen: ABCD is een ruit.Bewijs: |AB| = |CD| (eigenschap pll)|AD| = |BC| (eigenschap pll)|AB| = |AD| (straal cirkel)⇒ |AB| = |BC| = |CD| = |AD| En dus is ABCD ook een ruit. ☐

Huiswerk 1-5 opdracht 25

}⇒

BIJZONDERE LIJNEN 1/22-2 Middelloodlijnen

De middelloodlijn van een lijnstuk AB deelt een lijnstuk in twee gelijke delen en staat loodrecht op AB.Een punt P op de middelloodlijn van AB heeft gelijke afstanden tot punt A en punt B ofwel: |AP| = |BP|.Als voor een punt P geldt dat |AP| = |BP|, dan ligt P op de middelloodlijn van AB.Het snijpunt van de drie middelloodlijnen is het middelpunt van de omgeschreven cirkel. (Zie constructie)

Eigenschappen van de MLL

Constructie van de omge-schreven cirkel van ∆ABC

Constructie van de omge-schreven cirkel van ∆ABC

Het middelpunt van de omgeschreven cirkel vinden we door het snijpunt van twee middelloodlijnen te bepalen.Wanneer we twee zijden noglaten variëren, doordat we één punt nog niet vastleggen, ligt het middelpunt van deomgeschreven cirkel ook nog nietvast.We weten wel dat het middelpuntergens op de middelloodlijn van het vaste lijnstuk zal liggen.

Het middelpunt van de omgeschreven cirkel

Punten met eenzelfde eigenschap noemen we een meetkundige plaats of punten verzameling.Een punt P op de meetkundige plaats heeft dus een bepaalde eigenschap.Dus als P op de meetkundige plaats ligt, dan heeft P een bepaalde eigenschap.Maar niet direct zal dan ook het omgekeerde gelden:Als P een bepaalde eigenschap heeft, dan ligt P op de meetkundige plaats.Bewijzen met meetkundige plaatsen willen we altijd twee kanten op bewijzen!

Meetkundige plaatsen

Stel dat we moeten bewijzen dat:P ligt op de middelloodlijn van AB ⇔ |AP|=|BP|

We zullen dan dus moeten bewijzen dat:P ligt op de middelloodlijn van AB ⇒ |AP|=|BP|

En dat:|AP|=|BP| ⇒ P ligt op de middelloodlijn van AB

Voorbeeld

BIJZONDERE LIJNEN 2/22-3 Deellijnen

De afstand van een punt P tot een lijn l of lijn AB wordt aangegeven met: d(P, l) of d(P, AB).De afstand van een punt A tot een punt B kun je aangegeven met: d(A, B) of |AB| (veelal gebruiken we deze laatste notatie).

Een cirkel met middelpunt M en straal MA noteren we veelal als: cirkel (M, MA).

Afstanden en cirkels

De verzameling van alle punten binnen een hoek die dezelfde afstand hebben tot de benen van die hoek, is de deellijn van die hoek.Een punt P dat op gelijke afstand ligt van beide benen van een hoek, ligt op de deellijn van die hoek.Een punt P op de deellijn van een hoek,ligt op gelijke afstand tot beide benenvan de hoek.

Eigenschappen van de deellijn

Constructie van de ingeschreven cirkel van ∆ABC

Constructie van de ingeschreven cirkel van ∆ABC

Constructie van de ingeschreven cirkel van ∆ABCLet op, de snijpunten van de bissectrice (= deellijn) met de zijden geven niet de straal aan van de ingeschreven cirkel.

Een recht verbindingsstuk tussen twee punten op een cirkel noemen we een koorde van de cirkel.Een verbindingsstuk tussen tweepunten op een cirkel over de cirkelnoemen we een cirkelboog.

koorden en cirkelbogen

Koorde AC

Cirkelboog AC

Gegeven: Een gelijkzijdige driehoek ABC met de deellijn AD van ∠A.Te bewijzen: AD is de middelloodlijn van zijde BC.Bewijs:

∠ACD = 60��(gegeven)

∠DAC = 30��(gegeven)

∠DAC + ∠ACD + ∠CDA = 180� (hoekensom ∆)

Voorbeeld

⇒}

(vervolg bewijs):

Analoog geldt: ∠BDA = 90� en dus geldt: ∠BDA = ∠CDA [2].∠CAD = ∠BAD (gegeven)|AD| = |AD|∠BDA = ∠CDA ([2])Uit [3] volgt dat |BD| = |CD| [4].Uit [1] en [4] volgt dat AD de middelloodlijn is van zijdeBC.☐

⇒ ∆ABD ≅ ∆ACD (HZH) [3]}

Voorbeeld

Een hoek in een driehoek heeft twee buitenhoeken. Dat zijn de hoeken met de verlengde van de zijden. De hoek zelf en een buitenhoek zijn dus samen altijd 180�. De bissectrice van een buitenhoek heet de buitenbissectrice van die hoek.Bewijs dat bij een ∆ABC de bissectrice van ∠A en de buitenbissectrices van ∠B en ∠C door één punt gaan.Gegeven: ∆ABC, de bissectrice van ∠A en de buitenbissectrices van ∠B en ∠C.Te bewijzen: De bissectrice van ∠A en de buitenbissectrices van ∠B en ∠C gaan door één punt D.

Voorbeeld

Bewijs:De bissectrice van ∠A en de buitenbissectrice van ∠B snijden elkaar in D.d(D, AB) = d(D, AC) (D op bissectrice van ∠A)d(D, AB) = d(D, BC) (D op buitenbis. van ∠B)⇒ d(D, AC) = d(D, BC)En dus ligt D ook op de buitenbissectrice van ∠C. En dus gaat de bissectrice van ∠A en de buiten- bissectrices van ∠B en ∠C door één punt D. ☐

Voorbeeld

}⇒

Huiswerk

Maken: §2-2 opdracht 6 t/m 11

§2-3 opdracht 12 t/m 17

§1-1 opdracht 6

§1-4 opdracht 16