Thema 2

Is het wiskundeonderwijs te abstract?

Wim Van Dooren

wetenschappelijk onderzoek KULeuven

Op weg naar lange leerlijnen

Wim Van DoorenCentrum voor Instructiepsychologie en –technologieKatholieke Universiteit Leuven

Inleiding▪Uitval in S.O.:

▫Bewerkingen (getallenleer) ▫Rekenen met veeltermen (algebra)

▪Duiding vanuit onderzoeksliteratuur▪Uitweg: dichten van de kloof

▪Van natuurlijke naar rationale getallen

▪Van rekenen naar algebra

Van natuurlijke naar rationale getallen

▪Wanneer voorkennis hindert …

0,6 = 6/10 = 300/500 = -12/-20 = …

2,123 > 2,4??6 x 2/3 > 6??

Wat doe je als je 5 : -3/2 doet?

Van rekenen naar algebra

▪Kloof tussen rekenen en algebra

▪ 632 kasten werden vervoerd in grote en kleine vrachtwagens.

▪ Grote: 26 kasten, kleine: 20 kasten▪ 4 kleine vrachtwagens meer dan grote▪ Hoeveel van elk?

▪ 632 kasten werden vervoerd in grote en kleine vrachtwagens.

▪ Grote: 26 kasten, kleine: 20 kasten▪ 4 kleine vrachtwagens meer dan grote▪ Hoeveel van elk?

26x + 20 (x+4) = 632▪ 26x + 20x + 80 = 632▪ 46x + 80 = 632▪ 46x = 632-80 = 552▪ x = 12▪ Dus 12 grote en 16 kleine

vrachtwagens

▪ 632 kasten werden vervoerd in grote en kleine vrachtwagens.

▪ Grote: 26 kasten, kleine: 20 kasten▪ 4 kleine vrachtwagens meer dan grote▪ Hoeveel van elk?

4 kleine vrachtwagens = 80 kasten▪ 632 – 80 = 552 kasten over▪ Verder: evenveel grote als kleine ▪ 1 grote + 1 kleine = 46 kasten▪ 552 : 46 = 12▪ Dus 12 grote en 16 kleine

vrachtwagens

▪ 632 kasten werden vervoerd in grote en kleine vrachtwagens.

▪ Grote: 26 kasten, kleine: 20 kasten▪ 4 kleine vrachtwagens meer dan grote▪ Hoeveel van elk?

▪ Stel 10 grote en 14 kleine 540 kasten

▪ Stel 13 grote en 17 kleine 672 kasten

▪ Stel 12 grote en 14 kleine 632 kasten !

▪ Dus 12 grote en 16 kleine vrachtwagens

Van rekenen naar algebra

▪Kloof tussen rekenen en algebra

Van rekenen naar algebra

▪Kloof tussen rekenen en algebra

▪Het dichten van de kloof: early algebra

▪ 632 kasten werden vervoerd in grote en kleine vrachtwagens.

▪ Grote: 26 kasten, kleine: 20 kasten▪ 4 kleine vrachtwagens meer dan grote▪ Hoeveel van elk?

4 kleine vrachtwagens = 80 kasten▪ 632 – 80 = 552 kasten over▪ Verder: evenveel grote als kleine ▪ 1 grote + 1 kleine = 46 kasten▪ 552 : 46 = 12▪ Dus12 grote en 16 kleine

vrachtwagens

▪ 632 kasten werden vervoerd in grote en kleine vrachtwagens.

▪ Grote: 26 kasten, kleine: 20 kasten▪ 4 kleine vrachtwagens meer dan grote▪ Hoeveel van elk?

▪ Stel 10 grote en 14 kleine 540 kasten

▪ Stel 13 grote en 17 kleine 672 kasten

▪ Stel 12 grote en 14 kleine 632 kasten !

▪ Dus12 grote en 16 kleine vrachtwagens

Van rekenen naar algebra

▪Kloof tussen rekenen en algebra

▪Het dichten van de kloof: early algebra▫Uitdiepen van rekenkunde▫Veralgemeningen uitdrukken▫Vermijden van abrupte start▫Van vergelijkingen naar

denkwijzen

Dekker & Dolk (2006)

Dekker & Dolk (2006)

Slotbeschouwing

▪Herdenken van curriculum over niveaus heen

▪Opleiding van leraren?

Wendy Luckx

begeleiding GO!

Wendy Luyckxpedagogisch

begeleider wiskunde SO

Het verhaal van Whizzy

Ondersteuni

ng

Schouderklopje

Aansluiting

leerstijl

Het verhaal van Lars

Straf

Andere leerstijl

Geen

ondersteuning

Uitgangspunt

▪Reële klassituaties

Specifieke thuissituatieEigen talenten en beperkingenEigen leerstijl

Uitgangspunt

▪Accent op het klasgebeuren

67% van het effect: vakmanschap leerkracht

MARZANO factoren met positieve invloed op prestaties leerling

MAAK DE LEERKRACHT

STERK IN REËLE KLASSITUATIES!

Pedagogische

begeleidingsdienst

en

Uitgeve

rije

n

Leerkrachtenoplei

ders

Overheid

Schoolbeleid

Abstracte wiskunde

▪De mening van 98 GO! leerkrachten wiskunde eerste graad

voor Whizzy en Lars?▪Zinvol?

a. eigenschappen van de bewerkingen

b. veeltermen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen

c. machten van eentermen

d. merkwaardige producten

e. ontbinden in factoren

f. eerstegraadsvergelijkingen

g. eenvoudige vraagstukken

JA!!!

Abstracte wiskunde

▪De mening van 98 GO! leerkrachten wiskunde eerste graad

voor Whizzy en Lars?▪Haalbaar?

a. eigenschappen van de bewerkingen

b. veeltermen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen

c. machten van eentermen

d. merkwaardige producten

e. ontbinden in factoren

f. eerstegraadsvergelijkingen

g. eenvoudige vraagstukken

Niet

allemaal!

Abstracte wiskunde

▪De mening van 98 GO! leerkrachten wiskunde eerste graad

voor Whizzy en Lars?

a. eigenschappen van de bewerkingen

b. veeltermen optellen, aftrekken en vermenigvuldigen

c. machten van eentermen

d. merkwaardige producten

e. ontbinden in factoren

f. eerstegraadsvergelijkingen

g. eenvoudige vraagstukken

Niet haalbaar

Zinvol

“De formules voor merkwaardige producten zijn onvoldoende gekend en worden niet goed toegepast. Minder dan de helft van de leerlingen kan omgaan met de formule a²-b². Twee derde worstelt met het toepassen van merkwaardige producten van het type (a+b)².”

▪Probleem▪Bevestiging door peilingsonderzoek?

“Leerlingen lijken redelijk te slagen in het oplossen van een eenvoudig vraagstuk dat te herleiden is tot een vergelijking van de eerste graad met één onbekende. Mogelijk hanteren ze daarvoor andere (correcte) oplossingsstrategieën om deze vraagstukken op te lossen, zonder een vergelijking te gebruiken.”

Hoe leren Whizzy en Lars abstraheren?▪Van concreet naar

abstract

Concreet ervaren

Reflecteren

Abstraheren

Experimenteren

Whizz

y

Lars

▪Leerstijlentheorie volgens Kolb

Whizzy en Lars en …

▪Leerstijlen in de klasWhizz

y

Lars

Afwiss

elin

g?

En Whizzy en Lars…

Gebaseerd op ware feiten…Maar toch louter fictief!

The End

Whizz

y

Lars

Zij vonden hun weg…

Maggy Van Hoof

Begeleiding VSKO

Kwalitatieve differentiatie in het leerplan van de 1ste graad A-stroom

Hoe kunnen we aandacht besteden aan verschillen in abstraheervermogen tussen leerlingen?

Conferentie 2 maart 2011

Oriëntering na de 1ste graad▪Gedifferentieerd werken!

▫wiskunde op gebruikersniveau(concreet en toepassingsgericht)

▫wiskunde op intensiever niveau(formeler-abstracter)

Keuze i.f.v. eigen doelen en intrinsieke mogelijkheden

Eerste graad heeft een oriënteringsfunctie!

33

Wiskundig argumenteren Wiskundig

communiceren

Wiskundige taal hanteren

Problemen aanpakken en oplossen

Wiskundige competenties

Wiskundige voorstellingen maken

Wiskundig modelleren

Hulpbronnen en hulpmiddelen gebruiken

Wiskundig denken

34

Visie op wiskunde

(extra) Krachtlijnen van het leerplan ▪ Aansluiting met basisonderwijs▪ Aandacht voor het verwerven van

rekenvaardigheden▪ Aandacht voor het verwerven van

probleemoplossende vaardigheden▪ Aandacht voor wiskundige

taalvaardigheden▪ Aandacht voor procesevaluatie▪ Aandacht voor zinvol gebruik van ICT

Werken met beheersingsniveaus35

Werken met beheersingsniveaus▪ Beheersingsniveaus voor

basisdoelstellingen– Elementair

– Onmiddellijke en beperkte toepassing van begrip/regel

– Basis– Normale inwerking in kennisschema’s gericht op flexibel gebruik

– Verdieping– Hogere eisen aan vlotheid– Vooral gericht op doorstroming sterke wiskunde

» Doelstellingen over verklaren en bewijzen– Meer inzichtelijke verwerking, moeilijkere toepassing– Hogere complexiteit

Elementair maximaal 20 %Elementair en basis minimaal 70 %

36

Het elementair beheersingsniveau

37

Een eerste beheersingsniveau wordt elementair genoemd en betreft de elementaire kennis die leerlingen eigenlijk perfect zouden moeten beheersen. Het is het absolute minimum. Het elementaire beheersingsniveau komt niet in de plaats van het basisniveau. Het geeft een aanwijzing dat het basisniveau (wellicht met heel wat inzet) mogelijk (nog) wel kan gehaald worden, maar geeft daartoe geen garantie. Daartegenover staat, dat het wel belangrijke informatie geeft over leerlingen die het niet halen. Zonder deze kennis en vaardigheden kunnen leerlingen in het vervolg van het curriculum wiskunde onmogelijk verder. Als leerlingen dit, ondanks goede inzet en desnoods gerichte remediëring, voor alle onderdelen maar net of onvoldoende aankunnen, dan zijn consequenties in de oriëntering onvermijdbaar. De capaciteiten van de leerling liggen dan niet op het vlak van studierichtingen met een sterk wiskundige onderbouw. Dan is een positieve keuze voor andere capaciteiten van de leerling aangewezen.

Doelstelling getallenleer 1ste jaar

38

((-5).(-3)+2.(-5)-(-5)+15.(-(-3))):((-5+3).(-4))

(-2).(-7)

Doelstelling getallenleer 1ste jaar

39

I=k.i.t62,5 5000 2,5 %

0,025

?62,5 = 5000.0,025.t

Doelstelling getallenleer 1ste jaar

40

a + b = b + a

Doelstelling getallenleer 1ste jaar

41

Doelstelling meetkunde 1ste jaar

42

Doelstelling getallenleer 2de jaar

43

Doelstelling meetkunde 2de jaar

44

Elementen voor het debat2a Expliciteren van overgangen

en veranderingen

2b Werken aan rekenvaardigheid

2c Langere leerlijn