1

Methodologie &

Statistiek I

De systematiek van het toeval

4.2miscellaneous

2

U kunt deze presentatie ook op uw eigen PC afspelen!

Gebruikmaken van internet:http://www.unimaas.nl/~stat

EducationHealth sciences

Presentations of lectures

“op dit moment ……. beschikbaarOpening---Hoofdstuk 4 (Systematiek van …)---Powerpointviewer downloaden”

3

Deze diapresentatie werd vervaardigd door Michel Janssenvan de Capaciteitsgroep Methodologie en Statistiek.

De presentatie mag alleen worden gecopieerd voor eigen gebruik door studenten en medewerkers van de Universiteit Limburg in Maastricht.

Met eventuele op- en aanmerkingen kunt u terecht bij:

Universiteit MaastrichtCapaciteitsgroep M&SMichel JanssenPostbus 6166200 MD Maastricht michel.janssen@stat.unimaas.nl

4

Methodologie &

Statistiek I

De systematiek van het toeval

4.2miscellaneous

22 januari 2001

5

6

DOOS met 5 fiches: 2, 3, 5, 7 en 8

Gemiddelde ?Variantie ?

7

DOOS met 5 fiches: 2, 3, 5, 7 en 8

Gemiddelde ?Variantie ?

Stel 100.000 trekkingen (met terugleggen)Als het toeval zich netjes gedraagt(in het theoretische geval):20.000 keer 220.000 keer 3, etc

8

Stel 100.000 trekkingen (met terugleggen)Als het toeval zich netjes gedraagt(in het theoretische geval):20.000 keer 220.000 keer 3, etc

xn

f xfnxi iii 1

2.3

= 0.2*2 + 0.2*3 + 0.2*5 + 0.2*7 + 0.2*8= 0.2*(2+3+5+7+8)= 5

gemiddelde/verwachtingswaarde

9

Stel 100.000 trekkingen (met terugleggen)Als het toeval zich netjes gedraagt(in het theoretische geval):20.000 keer 220.000 keer 3, etc

sf x x

nf

nx xi i2

22

1 1

( )( ) 2.10

0.2*(9+4+0+4+9) = 5.2

s = 2.28s en kans en P

10

11

Gegeven is een steekproef van 25 stuks.Het gemiddelde is 38.

Kan deze steekproef afkomstig zijn uit een populatie met= 35 en = 3 ???

Let op!Er is geen informatie omtrent de vorm vande verdeling van de populatie!

12

Er zijn twee manieren van aanpak

1. Ga uit van de genoemde/verondersteldeverdeling. Bepaal de verdeling van allesteekproefgemiddelden en kijk naar depositie/waarschijnlijkheid van het betreffende steekproefgemiddelde.

2. Ga uit van het steekproefgemiddelde enbepaal welke waarden van ditsteekproefgemiddelde redelijkerwijskunnen opleveren.

13

Er zijn twee manieren van aanpak

1. Ga uit van de genoemde/verondersteldeverdeling. Bepaal de verdeling van allesteekproefgemiddelden en kijk naar depositie/waarschijnlijkheid van hetsteekproefgemiddelde.

2. Ga uit van het steekproefgemiddelde enbepaal welke waarden van ditsteekproefgemiddelde redelijkerwijskunnen opleveren.

14

Eerste methode

Ga uit van de genoemde/verondersteldeverdeling. Bepaal de verdeling van allesteekproefgemiddelden en kijk naar depositie/waarschijnlijkheid van hetbetreffende steekproefgemiddelde.

Verdeling populatie:= 35, = 3

Verdeling steekproefgemiddelden (n= 25):Bij benadering normaal verdeeld met= 35, = 3/5= 0.6

15

Normale verdeling met = 35, = 3/5= 0.6

P(x-gemiddeld>38)=P(z>(38-35)/0.6)=

1P(z<5)= 0.00000000

Het is dus zeer onwaarschijnlijkdat de steekproefafkomstig is uit degenoemde populatie!

16

Ga uit van het steekproefgemiddelde enbepaal welke waarden van ditsteekproefgemiddelde redelijkerwijskunnen opleveren.

Tweede methode

17

Gegeven:Steekproef van 25 stuks met gemiddelde= 38

Gevraagd:Welke waarden van (bij een =3) zijn aannemelijk …. kunnen dit gemiddelde opleveren?

36.5 ? 37? 38? 39?

18

P(x-gemiddeld>38)=P(z>(38-36.5)/0.6)=

1P(z<1.5/0.6)=1P(z<2.5)=10.9938= 0.0062

van 35.0 ?

Een van 36.5 komt dus eerder in aanmerking daneen van 35.

19

=35xgem= 38

=36.5

0.62%

0.00%

20

x-gem= 38

= ?

Zoek een waarde van zodat 5% rechts van38 ligt.

P(x-gem>38)= 0.05

P(x-gem<38)= 0.95(38)/0.6= 1.645

= 37.02

Alle -waarden groter dan 37.02 kunnen een x-gem van 38 opleveren

21

x-gem= 38

= ?

Zoek een waarde van zodat 5% rechts van38 ligt.

P(x-gem>38)= 0.05

P(x-gem<38)= 0.95(38)/0.6= 1.645

= 37.02

Alle -waarden groter dan 37.02 kunnen een x-gem van 38 opleveren

22

x-gem= 38

= ?

Zoek een waarde van zodat 5% rechts van38 ligt.

P(x-gem>38)= 0.05

P(x-gem<38)= 0.95(38)/0.6= 1.645

= 37.02

Alle -waarden groter dan 37.02 kunnen een x-gem van 38 opleveren

23

Er is dus blijkbaar een kleinste en een grootste waarde van , die redelijkerwijs een steekproefgemiddelde van 38 kunnen opleveren.

Noem de kleinste: (k) Noem de grootste: (g)

Het gebied tussen (k) en (g) wordtbetrouwbaarheidsinterval genoemd

(k)= 37.02 …….. (g)= 38.98

= 35 maakt geen deel uit van dit interval:Het is zeer onwaarschijnlijk dat een steekproef met gemiddelde 38 afkomstig is uit een populatiemet = 35.

24

In het voorbeeld was sprake van 5% rechts van 38 bij (k) en5% links van 38 bij (g).

Men spreekt dan van een90% betrouwbaarheidsinterval

Het 90% betrouwbaarheidsintervalis…………..

LATER MEER HIEROVER…….

?

25

26

steekproef x: 2, 4, 6, 8

gemiddelde = variantie =

27

steekproef x: 2, 4, 6, 8

gemiddelde = 5variantie = 20/3

steekproef y: 4*2, 4*4, 4*6, 4*8

gemiddelde =variantie =

28

steekproef x: 2, 4, 6, 8

gemiddelde = 5variantie = 20/3

steekproef y: 4*2, 4*4, 4*6, 4*8

gemiddelde = 4*5variantie = 16*20/3

29

Populatie met = 20 en 2= 5

Steekproeven (n=9)

gemiddelden som 18 16220 18015 13521 18923 207… …

gemiddelde? gemiddelde?variantie? variantie?sd? sd?

30

verwachtingswaarde van de verdeling vansteekproefgemiddelden: steekproefsommen: n

populatie met en 2

steekproeven van n stuks

variantie van de verdeling vansteekproefgemiddelden: 2/nsteekproefsommen: n2 x 2/n= n 2

31

32

Oefenen-1

Veronderstel dat de lichaamslengte vanbrugklasscholieren normaal verdeeld is met= 145 cm en = 12 cm

Hoe groot is de kans dat een willekeurigebrugklasscholier groter is dan 155 cm??

33

NV( 145, 12)

P(x>155)=P(z>(155-145)/12))P(z>0.83)=1-P(z<0.83)= 1-0.7967= 0.2033

34

Oefenen-1

Veronderstel dat de lichaamslengte vanbrugklasscholieren normaal verdeeld is met= 145 cm en = 12 cm

Hoe groot is de kans dat gemiddelde lengtevan een willekeurige klas van 25 van dezescholieren groter is dan 155 cm??

35

NV( 145, 12/5)

P(x>155)=P(z>(155-145)/2.4))P(z>4.17)=1-P(z<4.17)= 1-1.00= 0.00

36

Oefenen-1

Veronderstel dat de lichaamslengte vanbrugklasscholieren normaal verdeeld is met= 145 cm en = 12 cm

Hoe groot is de kans dat gemiddelde lengtevan een willekeurige klas van 25 van dezescholier groter is dan 155 cm??

Als niets bekend is omtrent de vorm van deverdeling: hoe is dan uw antwoord??

37

38

Oefenen-2

Een ski-lift heeft een laadvermogen van 4500 kg en kan, volgens een bordje in de lift, 50 personenvervoeren.Het is bekend dat de mensen die gebruik maken van deze lift gemiddeld 85 kg wegen (= 11 kg)

Hoe groot is de kans op overbelasting op eenmoment dat 50 personen gebruik maken van deze lift ??

39

Oplossen via gemiddeldesom

40

Via gemiddelde:

Een ski-lift heeft een laadvermogen van 4500 kg en kan, volgens een bordje in de lift, 50 personenvervoeren.Het is bekend dat de mensen die gebruik maken van deze lift gemiddeld 85 kg wegen (= 11 kg)

Hoe groot is de kans op overbelasting op eenmoment dat 50 personen gebruik maken van deze lift ??

41

NV(85,11/7.0711)= NV(85, 1.5556)

P(X>90)=P(z>(90-85)/1.5556))=P(z>3.2141)=1-P(z<3.2141)=1-0.9993= 0.0007

of 0.07%

42

Via som:

Een ski-lift heeft een laadvermogen van 4500 kg en kan, volgens een bordje in de lift, 50 personenvervoeren.Het is bekend dat de mensen die gebruik maken van deze lift gemiddeld 85 kg wegen (= 11 kg)

Hoe groot is de kans op overbelasting op eenmoment dat 50 personen gebruik maken van deze lift ??

43

NV(85,11/7.0711)= NV(85, 1.5556)

P(X>90)=P(z>(90-85)/1.5556))=P(z>3.2141)=1-P(z<3.2141)=1-0.9993= 0.0007

of 0.07%

NV(85*50,7.0711*11NV(4250,77.7817)

P(x>4500)=P(z>(4500-4250)/77.7817)P(z>3.2141)etc.

via gemiddelde via som

44

45

Oefenen-3

Potten Limburgse appelstroop behoren eenvulgewicht te hebben van 450 gram. Een vulmachine bij een stroop-fabrikant is afgesteldop 455 gram (= 3.6 gram).Een controleur neemt willekeurig een aantalpotten stroop. Het gemiddeld gewicht van die steekproef moet minstens 450 gram bedragen,anders krijgt de fabrikant een boete.

Hoe groot is de kans dat de fabrikant een boete krijgt als de grootte van de steekproef gelijk isaan 1 ???

46

n= 1

NV(455,3.6)

P(x<450)=P(z<(450-455)/3.6)=P(z<-1.39)=

0.0823

47

Oefenen-3

Potten Limburgse appelstroop behoren eenvulgewicht te hebben van 450 gram. Een vulmachine bij een stroop-fabrikant is afgesteldop 455 gram (= 3.6 gram).Een controleur neemt willekeurig een aantalpotten stroop. Het gemiddeld gewicht van die steekproef moet minstens 450 gram bedragen,anders krijgt de fabrikant een boete.

Hoe groot is de kans dat de fabrikant een boete krijgt als de grootte van de steekproef gelijk isaan 4 ???

48

n= 4

NV(455,3.6/2)

P(x<450)=P(z<(450-455)/1.8)=P(z<-2.7778)=

0.0027

49

Oefenen-3

Potten Limburgse appelstroop behoren eenvulgewicht te hebben van 450 gram. Een vulmachine bij een stroop-fabrikant is afgesteldop 455 gram (= 3.6 gram).Een controleur neemt willekeurig een aantalpotten stroop. Het gemiddeld gewicht van die steekproef moet minstens 450 gram bedragen,anders krijgt de fabrikant een boete.

Hoe groot is de kans dat de fabrikant een boete krijgt als de grootte van de steekproef gelijk isaan 16 ???

50

n= 16

NV(455,3.6/4)

P(x<450)=P(z<(450-455)/0.9)=P(z<-5.5556)=

0.0000

51

Oefenen-3

Potten Limburgse appelstroop behoren eenvulgewicht te hebben van 450 gram. Een vulmachine bij een stroop-fabrikant is afgesteldop 455 gram (= 3.6 gram).Een controleur neemt willekeurig een aantalpotten stroop. Het gemiddeld gewicht van die steekproef moet minstens 450 gram bedragen,anders krijgt de fabrikant een boete.

Waarom neemt de fabrikant niet het zekerevoor het onzekere en stelt de vulmachine af opbijvoorbeeld 500 gram (i.p.v. 455) ???

52

53

Oefenen-4Een regeringsfunctionaris beweert dat het maandelijkse inkomen van WO-studentenin Nederland minstens 825 gulden bedraagt (= 50).

Een studenten-organisatie neemt een goede (representatief & willekeurig)steekproef van 100 studenten en berekent een gemiddeld inkomen van 810 gulden.

Wat vind je van de bewering van de functionaris?

54

Als de bewering van de functionaris juist is,Dan komt de steekproef uit die populatie

NV(825,50/10)P(x<810)=P(z<(810-825)/5)=P(z<-3)=

0.0013

Dat is onwaarschijnlijk,De functionaris heeft het mis

Zie opgave: minstens

55

Oefenen-5

Gegeven:Zakjes bevatten een bepaald medicijn in poeder-vorm. Het gewicht van de inhoud is nagenoeg normaal verdeeld met = 50.1 gr en = 0.4 gr.Gevraagd:Bereken de grens x waar beneden het gemiddelde gewicht van 4 zakjes slechts in 0.1% van de gevallen komt

a. 51.34b. 50.72c. 49.48d. 48.86

56

57