Jo van den Brand

8 December, 2009

Structuur der Materie

Elementaire DeeltjesfysicaFEW Cursus

Najaar 2009 Jo van den Brand

• Inleiding• Deeltjes• Interacties

• Relativistische kinematica• Lorentz transformaties• Viervectoren• Energie en impuls

• Symmetrieën• Behoudwetten• Discrete symmetrieën

• Feynman berekeningen• Gouden regel• Feynman regels• Diagrammen

• Elektrodynamica• Dirac vergelijking• Werkzame doorsneden

• Quarks en hadronen• Elektron-quark interacties• Hadron productie in e+e-

• Zwakke wisselwerking• Muon verval• Unificatie

Inhoud

Najaar 2009 Jo van den Brand 3

Diracvergelijking in impulsruimte

Vlakke-golf oplossingen van de vorm

Normering aIdentificeer met energie en impuls

Diracvergelijking

Diracvergelijking in impulsruimte

Als u hieraan voldoet, dan voldoet aan de Diracvergelijking

Najaar 2009 Jo van den Brand 4

Vlakke-golf oplossingen Diracvergelijking

We vinden

Normering

Najaar 2009 Jo van den Brand 5

Deeltje antideeltje

In termen van de geladen stroom (dichtheid):

Ofwel: de volgende scenario’s zijn identiek!

e

E

p

systeem)(

tim

e

+e

(E,p)

absorptie e (+E,+p)

emissie

e+

e

Voor een systeem is er geen verschil tussen:

Emissie: e met p =(+E,+p)Absorptie: e+ met p =(E, p)

Er geldt ))(( tEiiEt ee

Najaar 2009 Jo van den Brand 6

Vlakke-golf oplossingen Diracvergelijking

Interpretatie: ook antideeltjes hebben positieve energie

met positieve energie

u’s voldoen aan

v’s aan

Najaar 2009 Jo van den Brand 7

Lorentztransformaties van spinoren

Boost het systeem in de x-richting

Golffunctie transformeert niet met een Lorentztransformatie, dus niet als een vector

Transformatie S is de 4 4 matrix

Met en

We zoeken een scalaire grootheid (bij viervectoren bedachten we covariantie)

Definieer adjoint spinor

Relativistisch invariant!

Pariteit

Pariteit is gedefinieerd als ruimtelijke spiegeling door de oorsprong;' ;' ;' ;' ttzzyyxx

Beschouw Dirac spinor ),,,( tzyx

Deze spinor is oplossing van de Diracvergelijking

tc

imc

zi

yi

xi

0321

Onder pariteit transformatie ),,,(ˆ)',',','(' tzyxPtzyx

Probeer en dus ),,,()',',','(' 0 tzyxtzyx 0ˆ P

)',',','('),,,( 1 020 tzyxtzyx

tc

imc

zi

yi

xi

'

'''' 000030201

Najaar 2009 8Jo van den Brand

In termen van het primed systeem

'

''

'

'

'

'

'

' 000030201

tc

imc

zi

yi

xi

Intrinsieke pariteit

Dit is de Diracvergelijking in de nieuwe coordinaten

'

''

'

'

'

'

'

' 0302010

tc

imc

zi

yi

xi

Omdat anticommuteert met 0 321 ,,

Onder een pariteit transformatie verandert de Diracvergelijking niet als de spinoren transformeren als 0ˆ P

Deeltje in rust

Deeltje en antideeltje in rust hebben tegengestelde intrinsieke pariteit

Vermenigvuldigen met

'

''

'

'

'

'

'

' 0321

tc

imc

zi

yi

xi

0

'

''

'

'

'

'

'

' 000030201

tc

imc

zi

yi

xi

Najaar 2009 Jo van den Brand 10

Spinoren: hoe transformeren ze?

Definieer

Gedrag onder pariteit

Transformatiegedrag van lineaire combinaties

Basis van alle 4 4 matrices en

Ergeldt

Invariant onder pariteit transformatie: een echte scalar

pseudoscalar

Najaar 2009 Jo van den Brand 11

Ladingsconjugatie

Ladingsconjugatie operator C voert spinor over in de ladingsgeconjugeerde spinor C

Als we deze operator laten werken op

vinden we de geconjugeerde toestanden

Er geldt

Najaar 2009 Jo van den Brand 12

Spinoren: normalisatie, orthogonaliteit en compleetheid

Normalisatie

Orthogonaliteit

Compleetheid

Najaar 2009 Jo van den Brand 13

Ijkinvariantie

Najaar 2009 Jo van den Brand 14

Maxwellvergelijkigen en Lorentzinvariantie

Maxwell

Stel h/2=c=1 en introduceer potentiaal A=(V,A) en stroom j=(,j):

Er geldt

Compacter met FAA

Najaar 2009 Jo van den Brand 15

Ijkinvariantie (gauge invariance)

Vrijheid in de keuze van ijkveld A (gauge field)

Omdat

A is nog steeds niet uniek; omdat

Gebruik vrijheid om A te vereenvoudigen (covariant)

Lorentz conditie

We kunnen bijvoorbeeld de oplossing kiezen (niet covariant)

Coulomb conditie

Najaar 2009 Jo van den Brand 16

Foton golffunctie

In vacuüm j=0 en daarom

Met als oplossingen (vlakke golven)

In plaats van 4 vrijheidsgraden () slechts 2

transversaal circulair

rotatie rond de z-axis:

0

2/

2/1

0

2/cossin

2/sincos

0

2/

2/1

100

0cossin

0sincos

ii

i

i

ee

i

i

Gauge keuze: Lorentz conditie

Coulomb conditie

Najaar 2009 Jo van den Brand 17

Interactie van spin-½ deeltjes met het fotonveld

Quantumelektrodynamica

Najaar 2009 Jo van den Brand 18

f

i

V

Relatie tussen stroom en vectorveld

B

A

pA

pB

e C

D

pC

pD

En de overgangsamplitude wordt dus (q=pA-pC=pD-pB)

Beschouw elektron-muon verstrooiing

4ie

4ie

Bu Du

AuCu

q

g2

Najaar 2009 Jo van den Brand 19

Feynman regels voor QED (S=1/2)

Externe lijnen u u

v v

*

Vertices

Propagatoren mq

mqi22

Najaar 2009 Jo van den Brand 20

QED

Fundamentele interacties:

e+

e-

t

e e e e Bhabha verstrooiing e e paar annihilatie/creatie

Möller verstrooiing e e e e e e Compton verstrooiing

Najaar 2009 Jo van den Brand 21

Relativistische spin

Voor |M|2 volgt dus

lepton tensor

A C

D B

q p p

p p

A

B

C

D

Relativistische spin (1 diagram)e e e

Najaar 2009 Jo van den Brand 22

De elektron lepton tensor

Hoewel je van deze uitdrukking op het eerste gezicht niet vrolijk wordt, geldt wel

1) Geen spinoren meer: via compleetheid relaties2) De spoorberekening is rechtoe-rechtaan: m.b.v. enkele regels `Casimir’s trick’

k k’

2A C

kk

mk

mk

Najaar 2009 Jo van den Brand 23

Sporen met -matrices

Gebruik altijd:

sporen van producten van

matrices

Zwakke wisselwerking

producten van matrices

Najaar 2009 Jo van den Brand 24

4ie 4ie

2

ig

q

Bv Dv

Au Cu

Berekening e–e+ –+

De spin algebra geeft een spoor

Feynman regels geven

pP

kP

pP

kP

D

C

B

A

En dit wordt in de extreem relativistische limiet

4/2t

4/2u

Najaar 2009 Jo van den Brand 25

Werkzame doorsnede e–e+ –+

Najaar 2009 Jo van den Brand 26

Hoekverdelingen: e–e+ –+ en –

+

Najaar 2009 Jo van den Brand 27

En nu heb je ook e–e+ qq gedaan!

ee

qqeeR

quarksqq

udsc

uds

udsc no color

ssd

dq tot

27

4cos1

49

1:

3

1 22

2

d, s, b

ssd

dq tot

27

16cos1

49

4:

3

2 22

2

u, c, t

Met drie kleuren

scolour s 9

16

27

16 22

scolour s 9

4

27

4 22

s3

4 2

s

Najaar 2009 Jo van den Brand 28

Elastische elektronen verstrooiïng - Voorbeelden

Elektronenaan lood: - 502 MeV - 208Pb spinloos - 12 decaden

Model-onafhankelijke informatie over ladingsverdeling van nucleon en kernen

Najaar 2009 Jo van den Brand 29

Elastische elektronen verstrooiïng - Voorbeelden

ladingsverdeling:

Elektron-goud verstrooiing - energie: 153 MeV

Ladingsdichtheid is constant!

Najaar 2009 Jo van den Brand 30

Proton structuur - niet puntvormig - geen Dirac deeltje (g=2) - straal is 0.8 fm - exponentiele vormfactor

Elastische elektron-proton verstrooiïng

Najaar 2009 Jo van den Brand 31

Ladingsverdeling van het neutron

Experiment - 720 MeV elektronen - elektronpolarisatie 0.7 - deuterium atoombundel - D-polarisatie 0.7 - elektron-neutron coincidentie meting

n= p + n 0 +...

Najaar 2009 Jo van den Brand 32

Diep-inelastische verstrooiïng

DIS definitie: - Vierimpuls Q2 > 1 (GeV/c)2 - Invariante massa W > 2 GeV

puntvormige deeltjes: partonen (=quarks)

Najaar 2009 Jo van den Brand 33

DIS – Bjørken schaling Schaling: structuurfuncties enkel functie van x

Najaar 2009 Jo van den Brand 34

DIS – Bjørken schaling

Quarks spin 1/2

Callan-Gross relatie

Decompositie:Gluon bijdrage van Q2 evolutie van F2

Najaar 2009 Jo van den Brand 35

Elektron-positron annihilatie

Muon productiespinfactor

integreer

Elektron, muon en tau zijn identiek, afgezien van massaen levensduur

Twee-jet productie

fractionele ladingen

kleurfragmentatie

Najaar 2009 Jo van den Brand 36

Elektron-positron annihilatie

1 + cos2

Twee-jet productie

Voor E < 3.5 GeV

Quarks hebben spin 1/2

Quarks hebben kleur enfractionele lading

R

Najaar 2009 Jo van den Brand 37

Elektron-positron annihilatie

Drie-jet productie

Gluonen hebben spin 1spin 1

spin 0

Najaar 2009 Jo van den Brand 38

Z0-resonantie

e+e- verstrooiing

Drie generaties!