Standaardmodel Deeltjesfysica

5/17/2018 Standaardmodel Deeltjesfysica - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/standaardmodel-deeltjesfysica 1/8

Het Standaard Model van de deeltjesfysica omvat

een beschrijving van de fundamentele interacties inde natuur, met uitzondering van de zwaartekracht.Tevens brengt het structuur aan in de dierentuinvan deeltjes die werden ontdekt met de komst vandeeltjesversnellers. De naam ‘model’ is eigenlijk nieterg op zijn plaats voor een verzameling theorieëndie meerdere decennia aan experimentele tests heeft

doorstaan. Het Standaard Model geeft een nieuwe kijk, en wellicht een fundamentelere beschrijving vanoude concepten als massa behoudswetten en krachten. Massa is een gevolg van de interactie van deeltjesmet het ‘Higgsveld’, behoudswetten zijn het gevolg van allerlei symmetrieën, en krachten worden in hetStandaard Model, zoals in dit artikel valt te lezen, beschreven als de uitwisseling van virtuele deeltjes. Ookkrachten bevatten bepaalde symmetrieën, zogenaamde ijksymmetrieën, die tevens uitgebreid aan bod zul-len komen.

Krachten

Wat is een kracht? In de klassieke beschrijving van een conservatief krachtveld is dit een gradiëntin de potentiaal. In combinatie met het streven naar de laagste energie zorgt dit ervoor dat hetdeeltje met deze gradiënt gaat meebewegen. De tweede wet van Newton zou je kunnen opvat-

ten als de definitie van kracht. Een fundamentele kracht, zoals de zwaartekracht of de elektromagnetischekracht, is dan ‘iets’ dat een impulsverandering tot gevolg heeft. Maar wat het mechanisme achter dit ‘iets’is, was lange tijd een raadsel.

Erg aantrekkelijk aan het Standaard Model is dat het inzicht verschaft in het mechanisme achter eenkracht. Een fundamentele kracht heeft niet alleen een impulsverandering tot gevolg, maar is zelf een impuls-uitwisseling! Een centraal concept in het Standaard Model is dat er deeltjes zijn die krachten ‘voelen’, deFermionen, en deeltjes die krachten ‘overbrengen’, de Bosonen.

De vorige First Encounter hebben we gezien dat spinloze (spin nul) Bosonen, worden beschreven doorde Klein-Gordon vergelijking:

Laten we een kijken naar stationaire bolsymmetrische (ψ =ψ (r)) oplossingen. Dit betekent dat de tijdsafge-leide in □²=c-²∂²/ ∂²t-∇² verdwijnt en de Klein-Gordon vergelijking er als volgt uitziet:

De oplossing met positieve exponent blaast op voor grote afstanden en doen we dan ook af als niet-fysisch:

Yukawa gebruikte deze uitdrukking in een poging de kracht tussen deeltjes in een atoomkern teverklaren. Hij deed dit door aan te nemen dat een kerndeeltje continu deeltjes uitzendt. De energiebenodigd om deze deeltjes te maken is er niet en ze moeten dan ook weer snel verdwijnen binnen

een tijd opgelegd door het onzekerheidsprincipe. Ze worden dan ook ‘virtuele deeltjes’ genoemd. Deze

First EncounterHét Standaard Model...van de deeltjesfysica

: Willem Haverkort

#Woorden: 4571Geschatte leestijd: langMoeilijkheidsgraad:

Voorkennis: vorige First EncounterBijpassend drankadvies: morfine

2 - Physicus Maart 2005, 16e jaargang, nummer 1



3

deeltjes kunnen dan indien er een ander kerndeeltje dicht genoeg in de buurtis impuls uitwisselen, wat zich manifesteert als een kracht. Dit wordt dan ookeen ‘exchange force’ genoemd.

Bovenstaande oplossing* van de Klein-Gordon vergelijking representeert hetveld van een Boson die volgens het door Yukawa voorgestelde mechanisme eenkracht overbrengt. Het is dan ook natuurlijk deze oplossing op te vatten als de

potentiaal van deze kracht, de Yukawa potentiaal:

Toen Hideki Yukawa dit alles in 1934 voorstelde was er echter een probleem. Er waren geen deeltjes bekenddie deze kernkracht konden overbrengen. Wel kon Yukawa een voorspelling doen van de eigenschappenvan de deeltjes. Aannemende dat de kracht zich manifesteert op een schaal ter grootte van een kleineatoomkern (~2⋅10-¹5m) volgt bij gelijkstellen aan r’ in bovenstaande potentiaal m~ℏ /r’c een massa vanongeveer tweehonderd maal dat van het elektron. In 1947 werd dit deeltje, dat we nu het pi-meson of pionnoemen inderdaad gevonden, met precies de voorspelde eigenschappen. Twee jaar later ontving Yukawa

de Nobelprijs voor zijn werk.

Het mooie aan dit model van uitwisseling van deeltjes is dat het een intuïtieve verklaring geeft vanhet concept fundamentele kracht, en dat het zeer algemeen toepasbaar is†. Voor alle ons bekendekrachten zijn de ‘krachtvoerende Bosonen’ geïdentificeerd. Alleen de vondst van het graviton,

het vermeende krachtvoerende deeltje van de zwaartekracht is nog niet gevonden. Het krachtvoerendeBoson van de elektromagnetische wisselwerking is uiteraard het foton. Een leuke bijkomstigheid is datdit model verklaart waarom de elektrische potentiaal een 1/r afhankelijkheid heeft! Het foton is namelijk

massaloos‡ waardoor de Yukawa potentiaal een exp(0)/r=1/r afhankelijkheid krijgt! Krachten die worden overgebrachtdoor krachtdeeltjes met massa zijn van korte dracht (‘shortrange’) vanwege de exponentiële afname in potentiaal. Er isaltijd een minimale hoeveelheid mc² aan rustmassa energienodig om zo’n deeltje te produceren wat betekent dat vol-gens het onzekerheidsprincipe deze deeltjes maar een eindigetijd kunnen bestaan. Een foton daarentegen kan echter eenwillekeurige energie E=hν hebben en kan dan ook oneindigver komen. Dit zullen vooral laagenergetische fotonen zijn,en dus met lage impuls. Al met al levert dit een 1/r² afhan-kelijke kracht op.

Deeltjes

In het voorgaande is al een belangrijk onderscheid gemaakt in soorten deeltjes. Enerzijds zijn er dekrachtvoerende deeltjes, en anderzijds de krachtvoelende deeltjes. De eerste groep bestaat uit Bosonen,allen met spin 1, en de tweede groep zijn Fermionen met spin 1/2. De deeltjes in onderstaande tabellen

worden in het Standaard Model beschouwd als ‘fundamenteel’, oftewel niet opgebouwd uit andere deeltjes.Met de fundamentele deeltjes, die quarks worden genoemd, kun je weer andere deeltjes opbouwen genaamdhadronen. Wanneer je een quark en een antiquark samenvoegt heet dit een meson.

*Je zou deze uitdrukking ook kunnen zien als een uitgaande bolgolffunctie exp(ikr)/r=exp(ipr/ ħ )/r met een imaginaire impuls. Uitgaandevan de relativistische energie impuls vergelijking: E²=p²c²+m²c4. Er is geen energie beschikbaar voor de krachtvoerende deeltjes wat bete-kent dat p²c²+m²c4= 0 → p=imc. Hiermee wordt de uitgaande bolgolf exp(ipr/ ħ )/r=exp(-mcr/ ħ )/r. Dezelfde uitdrukking als verkregen metbehulp van de Klein-Gordon vergelijking!

† De Klein-Gordon vergelijking neemt niet de spin van deeltjes in rekening. De meeste krachtvoerende bosonen bezitten wel degelijkspin, en het blijkt dat dit een belangrijke rol speelt in het teken van de kracht. Je kunt bewijzen dat voor gelijke deeltjes een krachtvoerendBoson met even of oneven spin respectievelijk een aantrekkende of afstotende kracht betekent

‡ De relativistische energie impulsvergelijking E²=m²c4+p²c² voor het foton met E=hν en p=h/ λ=hc/ ν levert bij invullen op m=0.

First Encounter

De Yukawa potentiaal (rood) met een correctie voor kleine afstand

De in de figuur weergegeven analogie met een ‘exchangeforce’ geldt alleen voor een afstotende kracht. Wederomkomt het onzekerheidsprincipe ons te hulp: er is namelijkeen onzekerheid in de impuls van de uitgewisselde deeltjesdie ook een aantrekkende kracht mogelijk maakt.



Een voorbeeld hiervan zijn de eerder genoemde pionen, die afhankelijk van of je te maken hebt met u of

u /d , of d een lading van +1,0 of -1 hebben. Wanneer je drie quarks samenvoegt heet dit een baryon.Voorbeelden hiervan zijn het proton uud en het neutron ddu wat precies de juiste lading oplevert!

Er is nog een belangrijke toevoeging aan het Standaard Model, namelijk het Higgs Boson. Dit spinlozedeeltje is nog niet experimenteel waargenomen maar speelt in het Standaard Model, zoals we verderopzullen zien, een erg belangrijke rol. Een belangrijk gemis in het Standaard Model is een beschrijving van degravitatiekracht. Indien ook deze kracht door een deeltje wordt overgebracht weten we dat dit een spin 2

deeltje moet zijn. Dit deeltje, dat het graviton wordt genoemd, maakt dus geen deel uit van het StandaardModel.

IJktheorieën

Alle fundamentele theorieën die we hebben van de natuur zijn zogenaamde ijktheorieën (gauge theo-ries). De quantumelectrodynamica, de quantumchromodynamica en zelfs de algemene relativiteits-theorie! Het moge dus duidelijk zijn dat het principe van een ijktheorie een belangrijke rol speelt in

het Standaard Model. De principes die hieraan ten grondslag liggen kunnen prima uitgelegd worden aande hand van misschien wel de meest bekende ijktheorie: elektromagnetisme.

Klassieke elektromagnetismeVóór Maxwell zagen de vergelijkingen van elektromagnetisme er (in eenheden waarin ħ=c=1) als volgt

uit:

Maxwell merkte op dat wanneer je van deze laatste vergelijking (de wet van Ampère) de divergentie neemtdit nul oplevert aangezien de divergentie van een rotatie altijd nul is. Dit is echter in strijd met de continuï-

teitsvergelijking: . De continuïteitsvergelijking zegt in weze dat de hoeveelheid lading in eenklein volume alleen kan veranderen wanneer er meer of minder lading in dan uitstroomt. Dit wordt lokaalladingsbehoud genoemd en het is strikter dan globaal ladingsbehoud. Volgens dit laatste is het best moge-lijk op de ene plek een hoeveelheid lading te creëren als je er op een andere maar een gelijke hoeveelheidlaat verdwijnen. Dit mag echter niet van lokaal ladingsbehoud. Om toch aan deze vergelijking te voldoenveranderde Maxwell de wet van Ampère:

Laten we eens kijken naar de potentialen waarin het elektrisch en magnetisch veld kunnnen worden uit-gedrukt volgens:

3 ‘families’ van Fermionen, elk bestaande uit twee leptonen waaronder een neutrino, en

twee quarks. Allen spin 1/2. Bij elk deeltje in deze tabel hoort tevens een antideeltje.

Krachtvoerende bosonen, ook wel ijkbosonen genoemd, met hunbijbehorende ijksymmetrie en geassocieerde kracht. Allen spin 1 deeltjes




Het blijkt dat de potentialen en V niet uniek zijn voor een gegeven veld. Er zijn meerdere mogelijkhedendie dezelfde velden opleveren. Dit wordt ijkinvariantie genoemd. Welbekend is natuurlijk dat je in de elek-trostatica aan de elektrische potentiaal een constante kunt toevoegen zonder dat het elektrisch veld hierdoorverandert, aangezien de gradiënt van een scalar nul oplevert. Wanneer je eenmaal een referentiepotentiaalgekozen hebt mag je deze echter niet halverwege je berekening veranderen. Aangezien deze constante dusniet van positie en tijd mag afhangen wordt dit een ‘globale ijksymmetrie’ genoemd. Al zie je dit waarschijn-lijk niet meteen, dit verzekert globaal ladingsbehoud. Anders zou je met een zekere hoeveelheid energie eenlading kunnen creëren om vervolgens op een plek met een lagere potentiaal dezelfde energie, die immersvolgens globale ijkinvariantie niet van de lokale potentiaal kan afhangen, weer terugwinnen door de ladingweer te vernietigen. Dit zou een oneindige bron van energie opleveren!

Het aardige is nu dat globale ijksymmetrie in de elektrostatica bij invoering van het magnetisch veldovergaat in een lokale ijksymmetrie. Het is mogelijk om aan V iets toe te voegen dat wel van de positieen tijd afhangt als je dan aan maar iets anders toevoegt dat hiervoor compenseert! De velden blijvenonveranderd* onder de transformaties:

die ijktransformaties worden genoemd. De invoering van het magnetisch veld zorgt er dus voor dat een glo-bale ijksymmetrie en globaal ladingsbehoud overgaat in een lokale ijksymmetrie en lokaal ladingsbehoud!

Het interessante van dit alles is dat het argument ook omgedraaid kan worden: om de globale ijksym-metrie van het elektrische veld om te zetten in een lokale symmetrie moet je een nieuwe potentiaal

invoeren. De eis van lokale ijkinvariantie zorgt tevens voor bepaalde relaties tussen V en en dus tussen

de bijbehorende velden en . Met deze eis en met behulp van Lorentzinvariantie kunnen zo de Maxwellvergelijkingen worden afgeleid! Dit is dan ook de tactiek die meerdere malen met succes tot nieuwetheorieën heeft geleid. Vind een globale symmetrie, maak hiervan een lokale symmetrie door toevoeging vaneen of meerdere velden en leid uit de relaties tussen deze velden de bijbehorende veldvergelijkingen af.

Quantummechanica en Elektromagnetisme

Laten we dit concept eens toepassen op de quantummechanische fase. Hiervan weten we dat dezede globale symmetrie bevat dat toevoegen van een constante in weze niets verandert. Dus onder detransformatie Ψ→Ψ’=Ψ eiQχ(x,t) moeten de uitkomsten van een willekeurige quantummechanische

berekening gelijk blijven. En uiteraard is dit ook zo, zoals bijvoorbeeld te zien is aan de definitie van de

verwachtingswaarde van een operator Ô : <Ô> = ∫Ψ *ÔΨ d³r en ook aan de Schrödingervergelijking:

Wanneer we echter lokale fase invariantie eisen ontstaan er in de Schrödinger vergelijking afgeleiden van defase naar de plaats en tijd. We zijn dan genoodzaakt extra velden in te voeren die hiervoor compenseren.Dit blijken het elektrische en magnetische veld te zijn! De Schrödinger vergelijking voor een deeltje met

lading Q in een elektromagnetisch veld wordt verkregen door de impuls te schrijven als -Q met decanonieke impuls die in de quantummechanica wordt vervangen door de operator -iℏ∇. Deze uitdrukkingvoor de impuls is een bekend resultaat uit de klassieke mechanica (zie bijvoorbeeld vgl. 2.21 van het dictaatK&QMa of Griffiths QM p174). Hiermee wordt de Schrödinger vergelijking:

De eis van lokale fase invariantie komt dan neer op invariantie onder de transformatie: Ψ→Ψ’=Ψ eiQχ(x,t)

* Dit omdat ∇× ’= aangezien de rotatie van een gradiënt nul oplevert en -∇V’ -∂ ’/ ∂t = aangezien de gradiënt van de tijdsafgeleidein de eerste term precies wordt gecompenseerd door de tijdsafgeleide van een gradiënt in de tweede term!

First Encounter 5



waarbij Q wederom de lading van het deeltje is. Met de eerder genoemde ijktransformaties van V enworden alle afgeleides netjes weggewerkt door de extra ingevoerde velden en wordt lokale faseinvariantie

dus verzekerd. Merk trouwens op dat dezelfde substituties → -Q en iℏ∂ / ∂t → iℏ∂ / ∂t-QV ook werkenvoor de Klein-Gordon vergelijking en de Dirac vergelijking. Dus het gebruikte concept om een globale sym-metrie om te zetten in een lokale werkt ook relativistisch. De Dirac vergelijking zoals vorige First Encounterafgeleid wordt dan:

Voor Q=-e is dit dan de grote vergelijking die de interactie van een elektron met een elektromagnetisch veldrelativistisch beschrijft. En welke in iets andere vorm in de quantumelektrodynamica in de jaren ‘40 voorgigantische successen, zoals beschreven in de vorige First Encounter, heeft geleid.We hebben dus nu een recept gevonden om meer ijktheorieën te vinden:

1) Vind een globale ijksymmetrie die gerepresenteerd kan worden door een transformatie (vb. Ψ→Ψ’=Ψ eiφ )2) Maak hiervan een lokale symmetrie door de transformatie van de plaats en de tijd te laten afhangen en

iets equivalent aan lading bevat (vb. Ψ→Ψ’=Ψ eiQχ(x,t) )3) Voeg nieuwe velden toe om voor deze lokale transformatie te compenseren, en leid uit de relaties tussen

deze velden veldvergelijkingen af.

Nu is de hierboven gebruikte transformatie Ψ →Ψ’=Ψ eiφ in de wiskunde lid van een hele familie van groe-pen, genaamd unitaire groepen. Aangezien natuurkundigen niet erg in staat bleken iets volkomen nieuws tebedenken, gingen ze voor stap 1 gewoon de rest van deze familie af. En met succes! Zo kan de theorie vande zwakke kernkracht zoals ontdekt door Weinberg en Salam verkregen worden uit een zogenaamde SU(2) symmetrie en de Quantumchromodynamica uit een SU(3) symmetrie*. Vandaar dat het Standaard Modelwel symbolisch word aangeduid als: U(1)⊗SU(2)⊗SU(3).

Symmetriebreking en het Higgsdeeltje

Er is een reden waarom alle quantummechanisch verantwoorde fundamentele theorieën ijktheorieënzijn. Het is namelijk zo dat ijksymmetrieën vereist zijn om een eindige of ‘renormaliseerbare’ theoriete verkrijgen! Om het concept renormalisatie uit te leggen is het nuttig eens te kijken naar onder-

staand ‘Feynman diagram’.Zoals uitgelegd in de vorige First Encounter representeren dezediagrammen delen van een berekening. In dit diagram is de emis-sie van een virtueel foton te zien. Hoe korter het foton bestaat,hoe groter de energie van het foton kan zijn volgens Heisenbergsonzekerheidsprincipe. Echter in de limiet waarin de tijd dat hetvirtuele foton bestaat naar nul gaat, gaat de energie naar onein-

dig. Deze energie levert een bijdrage aan de effectieve massa vanhet elektron dat zo oneindig wordt. Deze problemen in de theorie van de quantumelektrodynamica werdenuiteindelijk in 1948 door onder andere Feynman opgelost door een procedure van renormalisatie. Dit komterop neer dat er voor elke oneindigheid een andere oneindigheid wordt gevonden dusdanig dat deze elkaarteniet doen en de utkomsten van de berekeningen eindig worden. Hier is echter wel een erg symmetrischetheorie voor nodig, en dat is dan ook de rol van ijksymmetrieën.Om ook een ijktheorie van de zwakke wisselwerking op te zetten moesten er nog wel een aantal proble-men worden overkomen. Het is namelijk zo dat de krachtvoerende Bosonen in een ijktheorie, zogenaamdeijkbosonen (gauge Bosons), massaloos moeten zijn†. Voor elektromagnetisme is deze eis natuurlijk geenprobleem, dit was dan ook één van de eerste ijktheorieën. Er waren echter destijds verder helemaal geenmassaloze Bosonen bekend die als dragers van de zwakke kernkracht in aanmerking konden komen.

* In groepentheorie kan je bewijzen dat elk lid van een N -dimensionale unitaire groep U(N) vastgelegd kan worden met behulp van N² reeele getallen. De groepen SU(N) zijn ‘speciale unitaire groepen’ in dat ze een getal minder nodig hebben: N²-1. Dit geeft fysisch hetaantal ijkvelden (en dus krachtvoerende deeltjes!) dat ingevoerd moet worden om voor de symmetrie lokaal te maken. Vandaar dat deelektrozwakke kernkracht 2²-1=3 ijkdeeltjes (W - ,Z0 ,W + ) en de quantumchromodynamica 3²-1=8 ijkdeeltjes (gluonen) bevat.




De toenmalige stand van zaken was:1) IJkinvariantie was nodig om een renormaliseerbare theorie te verkrijgen2) De bijbehorende ijkBosonen moesten een dermate grote massa hebben dat ze daarom nog niet ontdekt waren3) IJkBosonen met massa ‘breken’ de ijkinvariantie

Er was een wonder nodig om een werkende theorie op te zetten voor de sterke kernkracht, en dat wonderkwam er!

Het idee bestaat eruit dat in een theorie met de vereiste ijksymmetrie er een fenomeen kan optredendat ‘spontane symmetriebreking’ wordt genoemd. Hierdoor kunnen massaloze ijkdeeltjes metbehulp van een ‘Higgsveld’ toch massa verkrijgen. Dit mechanisme maakt een ijkinvariante theorie

mogelijk met ijkBosonen met massa zonder dat ijkinvariantie gebroken wordt! Om dit te begrijpen kijkenwe eerst eens naar een voorbeeld van ‘spontane symmetriebreking’ in een heel andere vorm. Stel je eenmetalen staaf voor die je aan beide kanten met grote kracht samendrukt. Hoewel de vergelijkingen die dezesituatie beschrijven symmetrisch zijn onder rotatie langs de as van de staaf zal op een gegeven moment deze

symmetrie breken. De staaf zal bezwijken en in een bepaal-de richting doorbuigen: spontane symmetriebreking!

Het idee is nu de Klein-Gordon vergelijking, die immersBosonen met massa beschrijft, te veranderen. De mas-

saterm, die immers de grote boosdoener is, wordt eruitgegooid en wordt vervangen door een potentiaal van de

vorm met een zekere reëleparameter ‡. Deze potentiaal ziet er uit als in de figuurhiernaast.

Deze potentiaal is, zoals gemakkelijk te zien is, invariant

onder een globale U(1) transformatie (ψ →ψ eiχ ). Om de potentiaal ook invariant te maken onder een lokale

U(1) transformatie (ψ →ψ eiQ’ χ(x,t)) moeten we wederom extra (massaloze) ijkvelden invoeren. Maar nukomt het cruciale punt. De potentiaal heeft een minimum voor |ψ |= , de cirkel aangegeven in de figuur,

we hebben dus een oneindig aantal grondtoestanden! Gegeven ψ kunnen we χ( x,t) zo kiezen dat ψ eiQ’ χ(x,t)

een van deze grondtoestanden aanneemt. Elk van de grondtoestanden is in principe mogelijk en levert eengelijke energie op, maar er treedt uiteindelijk maar 1 van deze mogelijkheden op. Net als in het voorbeeldvan de metalen staaf wordt de symmetrie spontaan gebroken. Wanneer we nu voor de grondtoestand χ(x,t)

zo kiezen dat de grondtoestand ψ eiQ’ χ(x,t) reëel is, kunnen we een expansie om deze grondtoestand maken:ψ = +h(x), met en h(x) reëel. Wanneer je hier nu verder mee gaat rekenen blijkt dat het veld h(x) een spinloos Boson is met massa μ en dat de ijkvelden waarmee we begonnen opeens een massa hebbengekregen! In plaats van de massaterm die in de Klein-Gordon vergelijking voorkomt kunnen we dus eenpotentiaal invoeren die zich effectief als een massa gedraagt zonder dat de ijksymmetrie wordt gebroken.Dit mechanisme waardoor ijkvelden massa krijgen is in 1964 bedacht door Higgs en anderen. Het deeltjewat met het veld h(x) wordt geassocieerd wordt dan ook het Higgsdeeltje genoemd. Door middel van eeninteractie met dit overal aanwezige (de verwachtingswaarde van dit veld in vacuüm is niet nul!) Higgs-veld

krijgen ook alle andere deeltjes in het Standaard Model hun massa. Een heikel punt in het Standaard Modelis dat 40 jaar nadat dit deeltje gepostuleerd werd het nog steeds niet gevonden is. Het Standaard Model inde huidige vorm staat of valt met het bestaan van dit deeltje, dus laten we maar hopen dat de massa μ vanhet Higgs deeltje zo groot is dat we het deeltje daarom nog niet hebben gevonden.

† De Maxwell vergelijkingen in de vrije ruimte zien er in gemakkelijke eenheden in termen van de potentialen V en A als volgt uit: □²V-∂ / ∂t( ∂V/ ∂t+∇⋅ A )=0 en □² A+∇( ∂V/ ∂t+∇⋅ A )=0 (zie Griffiths p417). Wanneer het foton een massa m zou hebben zouden de vergelijkingenrespectievelijk een extra term m²V en m²A krijgen, waarna ze de ‘Proca vergelijkingen’ heten. Dit valt te rechtvaardigen doordat in de‘Lorentz ijking’, ∂V/ ∂t+∇⋅ A=0 (Wanneer je de tijdsafgeleide van de eerste Proca vergelijking bij de divergentie van de tweede opteltblijkt dit de enige mogelijke ijking voor een deeltje met massa), beide vergelijkingen tot de Klein-Gordon vergelijking reduceren, oftewelde correcte beschrijving van een boson met massa. Nu komt het belangrijke: waar de eerste vergelijkingen nog invariant waren onder

de globale U(1) ijktransformatie zijn de Proca vergelijkingen dit niet door het optreden van de massatermen. De conclusie is dus datijkinvariantie een massaloos foton vereist. Een dergelijke conclusie kan ook algemener worden bereikt: ijkbosonen moeten massaloos zijnom ijkinvariantie te behouden.‡ Dit lijkt misschien een erg arbitraire keuze, maar je kunt bewijzen dat dit de meest algemene potentiaal is die een renormaliseerbare

theorie oplevert

First Encounter 7



Sterke kernkracht

In het begin van dit artikel hebben we al kennis gemaakt met de kracht tussen kerndeeltjes door de virtu-ele uitwisseling van pionen. Hoewel dit ook vaak wordt aangeduid als de sterke kernkracht is dit slechtseen restproduct van de sterke kracht tussen de quarks waaruit de kerndeeltjes zijn opgebouwd. Dit is

een beetje zoals de Van der Waals kracht een restproduct is van de elektromagnetische kracht. De theorie

die deze interactie beschrijft is de quantumchromodynamica (QCD) en zij beschrijft de sterke kernkrachtals de uitwisseling van massaloze gluonen (‘lijmdeeltjes’) tussen quarks.

Het quarkmodel van hadronen werd niet voorgesteld omdat experimenteel ontdekt werd dat kerndeeltjesuit kleinere eenheden bestaan, maar omdat in termen van deze kleinere eenheden veel van de waargenomenstructuren verklaard kunnen worden. Zo kunnen bijvoorbeeld zogenaamde ‘gewichtdiagrammen’ van delichtste baryonen zoals hiernaast weergegeven worden verklaard met een quarkmodel*. We moeten dan welaannemen dat de golffunctie symmetrisch is onder uitwisseling van gelijke quarks!?!

Kleuren

Hoewel het quarkmodel zeer succesvol was in het verklaren van de experi-mentele gegevens is ze ogenschijnlijk in strijd met het Pauli principe. Ditwerd in 1964 opgelost door aan te nemen dat de golffunctie niet alleen een

product is van een ruimtelijk deel ψ ( r ) en een spin deel χ , maar ook nog een ‘kleur’-deel: χ k, dus: Ψ ( r )=ψ ( r ) χχ k. Deze kleur golffunctie neemt dan volledig de door hetPauli principe vereiste antisymmetrie op zich, zodat de rest van de golffunctie zoalseerder aangenomen volledig symmetrisch moet zijn.

Hoe dit in zijn werk gaat valt het gemakkelijkst in te zien aan de hand van een ana-logie met spin, waar je hoogstwaarschijnlijk beter bekend mee bent. Een spin-1/2deeltje bijvoorbeeld kan in twee verschillende spin toestanden zitten: S z= ±1/2, spinup of down. De spin golffunctie van een deeltje samengesteld uit twee van deze spin-1/2 deeltjes is slechtsvolledig antisymmetrisch voor Sz=0, de ‘singlet state’ oftewel spins antiparallel. Analoog hieraan komenquarks in de ‘kleurentheorie’ voor in drie verschillende kleurtoestanden χ k=r,g,b rood, groen of blauw. Netzoals de spin golffunctie volledig antisymmetrisch is voor Sz=0 volgt uit de quantumchromodynamica datde kleur golffunctie antisymmetrisch is wanneer de bijbehorende ‘kleurladingen’ nul zijn. Voor een baryonis deze ‘kleur singlet’:

* Met de drie lichtste quarks u,d en s zijn de volgende combinaties mogelijk: uud,uus,ddu,dds,ssu,ssd en uuu,ddd,sss en als laatste uds.

De eis van een symmetrische golffunctie betekent voor het eerste rijtje, aangenomen dat het ruimtelijk deel van de golffunctie tevens sym-metrisch is, dat de twee dezelfde quarks in het baryon hun spins parallel moeten hebben, een spin 1 deeltje dus. Na toevoeging van hetderde spin-1/2 quark kan de spin 1/2 of 3/2 zijn. Voor het tweede rijtje levert alleen alle spins parallel een antisymmetrische golffunctie op,dit is een spin-3/2-deeltje. En voor het laatste baryon (uds) zijn twee spin-1/2 en een spin-3/2 combinaties mogelijk. Dit levert in totaal 8spin-1/2 deeltjes en 10 spin-3/2 deeltjes op waarmee precies de experimenteel waargenomen structuren kunnen worden verklaard.

In deze ‘gewichtdiagrammen’ zijn alle baryonen ondergebracht die bestaan uit een com-binatie van de 3 lichtste quarks. Langs de horizontale as staat het quantumgetal I3, wat

voor ‘isospin’ is wat Sz voor spin is. Langs de verticale as het quantumgetal ‘hyperlading’wat in dit geval het ‘baryongetal’ (1 voor al deze deeltjes) + spin is.



Dit principe dat de totale kleurlading van hadronen altijd nul is wordt kleuropsluiting (‘color confine-ment’) genoemd. Dit dan ook de reden voor de naam kleur en quantumchromodynamica. De kleurlading

van een baryon kan namelijk alleen nul zijn wanneer één quark rood, één groenen één blauw is. Bij licht levert deze combinatie wit op. Kleuropsluiting is in dezeanalogie de eis dat een samengesteld deeltje kleurloos moet zijn. In een mesonwordt hier automatisch aan voldaan aangezien de kleur en antikleur, van de quark

en antiquark waar een meson uit is opgebouwd, elkaar precies opheffen!Kleurlading is voor de sterke kernkracht wat elektrische lading voor elektromag-

netisme is. Met een groot verschil dat de overbrengers van de sterke kernkracht, dezogenaamde gluonen zelf ook kleurlading hebben en dus ook met elkaarinterageren. Hierdoor worden de veldlijnen van de sterke interactie samengedruktzoals te zien is in het figuur hiernaast.

Kleuropsluiting voorkomt dat je kleurlading ooit kunt waarnemen. Je kunt danook niet zomaar een quark, die immers een kleurlading heeft, uit een hadron trek-ken. Wanneer je dit probeert wordt de kracht die het hadron bij elkaar houdt steedsgroter naarmate de quarks verder uit elkaar bewegen. Dit principe dat ‘asymptoti-sche vrijheid’ heet, klopt goed met fits voor de potentiaal tussen een quark en een

antiquark in een meson verkregen uit experimentele data:

De eerste, Coulomb-achtige, term is precies wat je zou verwachten op basis van het feit dat gluonenmassaloos zijn, en de tweede verzekert kleuropsluiting. Wanneer de afstand r tussen de quarks groot genoegwordt kan, uit de energie vertegenwoordigd door de potentiaal, een quark en een antiquark ontstaan zodatje eindigt met twee mesonen!

Zoals eerder gezegd is ook de quantumchromodynamica een ijktheorie, en daar hoort een zekereijksymmetrie bij. Deze globale ijksymmetrie bestaat eruit dat wanneer je alle rode quarks door groenezou vervangen, alle groene door blauwe en alle blauwe door rode; hadronen nog steeds kleurloos zouden

zijn. Wiskundig valt deze symmetrie, SU(3), uit te drukken door een matrixvermenigvuldiging van een3x3 matrix. Wanneer je hiervan nu een lokale symmetrie wilt maken volgens het standaard recept van eenijktheorie ben je genoodzaakt acht nieuwe velden in te voeren, de gluonen! De lokale symmetrie bestaateruit dat je nu ook de kleur van een enkele quark kunt veranderen. De gluonvelden die immers kleurladingbevatten kunnen hiervoor compenseren zodat de ijksymmetrie behouden blijft...

Tot slot

Veel van de aspecten van het Standaard Model zijn in dit artikel in vogelvlucht voorbij gekomen, nogveel meer echter niet. Bijvoorbeeld hoe de in de inleiding genoemde symmetrieën aanleiding geventot behouden grootheden, de beschrijving van de zwakke kernkracht en de ‘unificatie’ hiervan met

de elektromagnetische kracht tot de elektrozwakke kracht, het CPT theorema. Belangrijke concepten als

pariteit en isospin. De weelde aan samengestelde deeltjes, nieuwe quantumgetallen en experimentele testvan het Standaard Model. Al met al is me duidelijk geworden dat het bouwwerk dat het Standaard Modelheet in de afgelopen eeuw zo groot is geworden en zo goed getest dat het nog lange tijd meekan.

Referenties:1) Quantum Physics-of atoms molecules, solids, nuclei and particles. Eisberg & Resnick2) Particle Physics. Martin & Shaw3) An introduction to the Standard Model of particle physics. Cottingham & Greenwood4) The Feynman lectures on Physics, Vol. III. Feynman, Leighton & Sands (paragraaf 10.2)5) De Physicus januari 2005 - First Encounter. Willem Haverkort

First Encounter 9

Standaardmodel Deeltjesfysica

Documents

Transcript of Standaardmodel Deeltjesfysica