ELEMENTAIRE DEELTJESFYSICA

MODULE INTERACTIE - 3e GRAAD

die Keure

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

2

Hoe is de wereld opgebouwd? Hoe komt het dat de dingen gebeuren zoals ze gebeuren en niet anders? Hoe is het heelal ontstaan? En wat was er voor het heelal bestond? Hoe evolueert het? De fysica tracht op een aantal van die vragen een antwoord te geven: vanuit waarnemingen, experimenten en beschouwingen stellen de fysici een samenhangend geheel op van wetten, verklaringen en theorieën. In de loop van de 20e eeuw heeft de fysica op het vlak van bouw van en interactie tussen de bouwstenen van de materie een enorme ontwikkeling doorgemaakt. In deze module gaan we daar dieper op in.

1 EEN BEETJE GESCHIEDENIS …

De Griekse filosofen hadden reeds hun idee over de samenstelling van de materie: zo dacht Empedocles (ca. 490-430 v.Chr.) dat alle materie was opgebouwd uit aarde, lucht, water en vuur. Democritus (ca. 460 v.Chr.-380/370 v.Chr.) veronderstelde dat de stoffelijke wereld bestaat uit zeer kleine ondeelbare deeltjes: atomen.

Op basis van de verschillende eigenschappen die atomen hebben, kon Mendeléev in 1869 het periodiek systeem opstellen.

In 1897 ontdekte Joseph Thomson dat kathodestralen uit een stroom negatief geladen deeltjes be-staan. Die deeltjes noemde men elektronen. Thomson was ook de eerste die meende dat een atoom niet ondeelbaar is, maar samengesteld: een atoom was volgens hem een massieve, positief geladen bol met daarop negatief geladen elektronen zoals pitjes op een aardbei.

Uit zijn verstrooiingsexperimenten besloot Ernest Rutherford in 1910 dat het atoommodel van Thomson niet correct is: een atoom heeft een positieve kern waar de elektronen in schillen rond bewegen.

In 1913 bepaalde Robert Millikan met zijn oliedruppel-experiment de lading van een elektron. In 1919 ontdekte Rutherford dat de kern geen massieve positieve bol is, maar opgebouwd uit kleine positieve ladingen die men protonen noemde. In 1930 voorspelde Wolfgang Pauli het (anti-)neutrino omdat de energiebalans bij β --verval niet klopte. Volgens berekeningen zou het elektron bij β --verval van Bi-210 een energie van 1,17 MeV moeten hebben, maar meestal vindt men voor het elektron een (veel) lagere energie.

Het Griekse woord atomos

betekent ondeelbaar.

Dimitri Mendeléev

Een energie van 1,17 MeV:

zie oef 13 van reeks 1.

proef van Rutherford

energie van het elektron bij -verval van Bi-210

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 1,2

Kinetische energie

Inte

nsit

eitele

mentai

re de

eltjes

fysica

3

Een neutron is het tweede deeltje dat in de atoomkern voorkomt. Het bestaan daarvan werd ook door Rutherford verondersteld, maar dat deeltje werd pas in 1932 door Chadwick ontdekt.In datzelfde jaar ontdekte Carl Anderson in kosmische straling het positron.

Kosmische straling bestaat uit deeltjes met een hoge energie die op de aarde invliegen vanuit de kosmos. Het grootste gedeelte daarvan is afkomstig van zonne-uitbarstingen. Door botsingen ontstaat een lawine van deeltjes (airshower).

ontdekking positron airshower

Door het gebruik van krachtige versnellers en fijne detectoren werden in de loop van de daar-opvolgende jaren tientallen nieuwe deeltjes ontdekt. Zo werd bv. in 1936 in kosmische straling het muon ontdekt.

Nevenstaande foto toont een opname met de sporen van deeltjes waarmee het bestaan van het --deeltje werd aangetoond.

In 1960 had men meer dan 300 verschillende soorten deeltjes gevonden! De meeste van die deeltjes hebben een zeer korte levensduur en worden gevormd vanuit kosmische straling.De vraag rees of al die deeltjes zelf niet opgebouwd zijn uit nog kleinere deeltjes. Vergelijk dat met de miljoenen soorten stoffen die er bestaan en die ook allemaal opgebouwd zijn uit slechts een 90-tal verschillende soorten atomen. (zie periodiek systeem van Mendeljev)

In 1964 werd een belangrijke stap in die richting gezet: Murray Gell-Mann veronderstelde dat het proton en het neutron zelf samengesteld zijn uit nog kleinere deeltjes die men quarks noemde. Quarks zouden ook de bouwstenen zijn van vele van de andere ontdekte deeltjes. Het bestaan van quarks werd in 1968 experimenteel aangetoond in het Stanford Linear Accelerator Center (SLAC) door kernen te beschieten met zeer snelle elektronen.Quarks hebben een niet-gehele lading (in vergelijking met de lading van een elektron of proton)! Dat maakte het in het begin moeilijk om het bestaan ervan te aanvaarden.

In de jaren 1970 werd uiteindelijk het Standaardmodel geformuleerd. Het is dat model dat de deeltjes-fysica momenteel gebruikt om de samenstelling en de wisselwerking van de materie te beschrijven.

Het positron is het antideeltje

van het elektron: het heeft

dezelfde eigenschappen als een

elektron, maar een (even grote)

positieve lading.

De zwarte laag is een loodplaat

van 6 mm waardoor het positron

wat snelheid verliest. Daaruit kan

men afleiden dat het positron naar

boven beweegt. Het positron buigt

af door een magnetisch veld dat in

het blad wijst. Leid daaruit af dat

het positron een positieve lading

heeft.

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

4

2 HET STANDAARDMODEL

Volgens het Standaardmodel bestaan er 12 deeltjes: 6 quarks en 6 leptonen (en hun antideeltjes). Alle materie is opgebouwd uit die fundamentele deeltjes.

Alle materie bestaat bijna uitsluitend uit protonen en neutronen (en dus uit up- en downquarks) en uit elektronen. De overige quarks (en deeltjes zoals Λo, muon …) ontstaan in experimenten of bij kosmische straling waarbij deeltjes met zeer hoge energie tegen elkaar botsen. Achteraan in het boek vind je een tabel met deeltjes en hun kenmerken.

Begrippen:

deeltje: een systeem dat nog kan gesplitst worden in kleinere deeltjes, bv. proton

fundamenteel (of elementair) deeltje: deeltje dat niet meer kan gesplitst worden in kleinere deeltjes: quark, leptonen en hun antideeltjes.

hadron: deeltje dat uit quarks bestaat, bv. proton

baryon: hadron dat uit 3 quarks bestaat, bv. proton

baryongetal: is +1 voor een baryon en -1 voor een antibaryon

meson: hadron dat uit 2 quarks bestaat, bv. pion

mesongetal: is +1 voor een meson en -1 voor een antimeson

Fundamentele deeltjes

2.1

☞

BOODSCHAPPER-DEELTJES

massa ➝

QUARKS

lading ➝

LEPTONEN

spin ➝

naam ➝

Een proton bestaat uit twee upquarks en een downquark en heeft dus als landing Qpruton = Qup + Qup + Qdown

= +2/3 e + 2/3 e + (-1/3 e) = +4/3 e - 1/3 e = 3/3 e = e

p+ud

u

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

5

Fundamentele wisselwerkingen

2.2

In de natuur komen verschillende soorten krachten voor: spierkracht, veerkracht, wrijvingskracht, magnetische kracht, coulombkracht, zwaartekracht, archimedeskracht, … . In de hedendaagse fysica spreekt men eerder van wisselwerking of interactie dan van kracht.

Soms kunnen verschillende interacties, die op het eerste gezicht niets met elkaar te maken hadden, tot één interactie herleid worden (unificatie). Zo kon Isaac Newton in de 17e eeuw de zwaartekracht en de planetenbeweging rond de zon verklaren met één wet: de gravitatiewet. In de 19e eeuw kon James Clarck Maxwell op analoge wijze elektrische en magnetische fenomenen beschrijven met één wisselwerking: de elektromagnetische wisselwerking. In 1979 konden Sheldon Glashow, Steven Weinberg en Abdus Salam de elektromagnetische wisselwerking en de zwakke wisselwerking herleiden tot één wisselwerking, de elektrozwakke wisselwerking.

De ultieme theorie is de Theory Of Everything (TOE), de theorie waarin alle interacties tot één enkele wisselwerking herleid zijn. Het Standaardmodel is een stap in die richting.

Interactie omvat aantrekking,

afstoting, annihilatie, creatie,

verval en omzetting van deeltjes.

unificaties

Electricity

Electroweakinteractions

Protons

Beta decay

Terrestrialgravity

Magnetism

Neutrons

Electro-magnetism

Stronginteractions

Weakinteractions

Universalgravitation

Spacetimegeometry

Light

Pions

Neutrineinteractions

Celestialmechanics

Generalrelativity

StandardModel

Theory of Everything ?

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

6

Volgens het Standaardmodel:

- zijn er 4 fundamentele wisselwerkingen tussen de fundamentele deeltjes. Alle interacties in de natuur zijn een gevolg van die fundamentele wisselwerkingen.

- worden de wisselwerkingen veroorzaakt door boodschapperdeeltjes tussen de fundamentele deeltjes.

De aantrekking tussen 2 deeltjes kun je bv. vergelijken met twee kinderen die voortdurend een bal uitwisselen en zo bij elkaar blijven.

gravitatie zwakke wisselwerking EM-wisselwerking sterke wisselwerking

werkt tussen alle deeltjes met massa quarks, leptonen alle deeltjes met lading quarks

boodschapperdeeltje graviton (?) W+, W –, Zo (foton) gluonen

relatieve sterkte 10-39 10-13 10-2 1

reikwijdte (m) ∞ 10-17 ∞ 10-14 à 10-15

De gravitationele wisselwerking zorgt voor aantrekking tussen deeltjes met massa. Het graviton zou het boodschapperdeeltje zijn, maar is nog niet waargenomen. De afstand waarover die interactie zich uitstrekt (de reikwijdte) is oneindig. Het is de zwakste van de vier interacties.

De EM-wisselwerking werkt tussen deeltjes met lading en kan aantrekkend of afstotend zijn. Het boodschapperdeeltje is het foton. De reikwijdte ervan is oneindig.

De sterke wisselwerking is een aantrekkingskracht die werkt tussen quarks. Het boodschapperdeeltje is het gluon. Naarmate de quarks verder van elkaar bewegen, trekken ze elkaar harder aan (er worden meer gluonen uitgewisseld). Daarom komen er geen vrije quarks voor. Protonen en neutronen, die uit quarks bestaan, ondervinden eveneens de sterke wisselwerking. De reikwijdte van de sterke wisselwerking is 10-14 m; dat is ongeveer de grootte van een gemiddelde atoomkern. De sterke wisselwerking is de sterkste van alle interacties. Ze is ongeveer 1039 maal groter dan de gravitatie.

De zwakke wisselwerking treedt op tussen quarks en leptonen. De boodschapperdeeltjes zijn het W+-, het W-- en het Zo-deeltje. De reikwijdte is 10-17 m; dat is ongeveer 1/100 van de diameter van een proton. Door de zwakke wisselwerking kan een quark in een ander quark, of een lepton in het bijbehorende lepton worden omgezet.

☞

•

•

•

•elemen

taire

deelt

jesfys

ica

7

De zwakke wisselwerking

2.3

We bekijken in detail de zwakke wisselwerking. Die interactie gebeurt tussen alle fundamentele deeltjes (quarks en leptonen).

De basisvergelijking bij zwakke wisselwerking is X ➔ Y + W+

X is een quark uit de eerste rij (u, c, t) en Y een willekeurige quark uit de tweede rij (d, s, b).X kan ook een neutrino zijn en dan is Y het bijbehorend lepton uit de tweede rij.

Voorbeelden:u s + W+ is mogelijkd u + W+ is niet mogelijkνe e- + W+ is mogelijkνe µ- + W+ is niet mogelijkτ ντ + W+ is niet mogelijk

Je mag een deeltje ook van lid verwisselen, als je het door zijn antideeltje vervangt:

Voorbeelden:u s + W+ (basisvergelijking)u + W- s (W+ van lid verwisselen en vervangen door W- )

νe e- + W+ (basisvergelijking)e+ νe

+ W+ (e- van lid veranderen en vervangen door e+ ; νe van lid veranderen en vervangen door νe)

De reactie kan ook omgekeerd verlopen, d.w.z. je mag de vergelijking spiegelen.

Voorbeelden:u s + W+ (basisvergelijking)s + W+ u (spiegelen)

νe e- + W+ (basisvergelijking)e- + W+ νe (spiegelen)

☞

☞

☞

u c t

d s b μ

νe νμ ντ

e τ

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

8

Bij alle wisselwerkingen en reacties tussen deeltjes gelden o.a. volgende behoudswetten:

behoud van betekenis

lading de totale lading voor en na de interactie is gelijk

massa-energie de som van de massa en de energie voor en na de interactie is gelijk

baryongetal de som van de baryongetallen voor en na de interactie is gelijk

leptongetal de som van de leptongetallen voor en na de interactie is gelijk

Voorbeelden: μ- e- + γ lading: -1 = -1 + 0? Behoud van lading klopt. μ- + p+ n + e- + π0 lading: -1 + (+1) = 0 + (-1) + 0? Behoud van lading klopt niet.

μ+ e+ + γ baryongetal: 0 = 0 + 0? Behoud van baryongetal klopt. Λo π+ + π- baryongetal: 1 = 0 + 0? Behoud van baryongetal klopt niet.

K+ μ+ + νµ leptongetal: 0 = -1 + (+1)? Behoud leptongetal klopt. p+ + p+ p+ + n + e+ leptongetal: 0 + 0 = 0 + 0 + (-1)? Behoud leptongetal klopt niet.

Een reactie tussen deeltjes kan maar optreden als aan alle behoudswetten voldaan is.

Behoud van hoeveelheid van bewegingBij reacties tussen deeltjes geldt ook de wet van behoud van hoeveelheid van

beweging. De hoeveelheid van beweging (HVB) van een deeltje met massa m

en snelheid →v is →p= m ∙ →v De HVB is een vectoriële grootheid en wordt uitgedrukt in kg ∙ s

m. De wet van behoud van HVB zegt het volgende:

Als een interactie tussen deeltjes in een zeer korte tijd verloopt (bv. zoals bij een botsing), is de som van de HVB van de deeltjes voor de interactie en na de interactie gelijk.

Die wet geldt ook voor grotere systemen, zoals bv. twee ballen die botsen.

We bekijken dat als voorbeeld. Stel dat een bal 1 met snelheid →v1 botst tegen een

bal 2 die in rust is (→v2 = 0) (fig. a). Na de botsing vliegen de ballen weg onder een hoek van 90° zoals in fig. b.

→v1 (1,00 ) →v

2 (0 )

→v1’ (0,707 )

→v2’ (0,707 )

VOOR NA

m1 (2,00 kg) m

2 (2,00 kg) m

2

m1s

msm s

m

sm

90°

→v1 (1,00 ) →v

2 (0 )

→v1’ (0,707 )

→v2’ (0,707 )

VOOR NA

m1 (2,00 kg) m

2 (2,00 kg) m

2

m1s

msm s

m

sm

90°

☞

Behoudswetten

2.4

fig a fig b

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

9

HVB voor de reactie (botsing):→p1 heeft als grootte p1 = m1 ∙ v1 = 2,00 kg ∙ 1,00 s

m = 2,00 kg ∙ sm

→p2 heeft als grootte p2 = m2 ∙ v2 = 2,00 kg ∙ 0 sm = 0 kg ∙ s

m

SOM: →p1 en →p2 zijn vectoren: je moet die dus als vectoren optellen:

p = →p1 + →p2 = →p1

→p (2,00 kg m–s )

De vector →p wijst naar rechts. Omdat →p2 = 0, is p = p1 = 2,00 kg ∙ s

m.

HVB na de reactie:→p ’ heeft als grootte p1’= m1 ∙ v1’ = 2,00 kg ∙ 0,707 s

m = 1,414 kg ∙ sm

→p2’ heeft als grootte p2’ = m2 ∙ v2’ = 2,00 kg ∙ 0,707 sm = 1,414 kg ∙ s

m

SOM: →p1’ en →p2’ zijn vectoren: je moet die dus als vectoren optellen: →p ’= →p1’ + →p2’

→p ’1 (1,414 kg m–s )

→p ’2 (1,414 kg m–s )

→p ’ (2,00 kg m–s )

fig dUit de constructie volgt dat de somvector →p ’ naar rechts wijst, zoals →p.

Omdat de hoek tussen →p1’ en →p2’ = 90°, kun je de grootte van →p ’ bepalen met de stelling van Pythagoras:

p’ = 1,414 kg ∙ sm 1,414 kg ∙ s

m2 2+a ak k = 2,00 kg ∙ s

m = p

De HVB voor de botsing (→p) en de HVB na de botsing (→p ’) hebben dezelfde richting, zin en grootte. De totale HVB voor en na de botsing zijn dus gelijk!

Door die wet kan men de snelheid van de deeltjes bepalen die ontstaan bij een reactie (zie 4.4 verval van het Λ°-deeltje).

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

10

3 RADIOACTIEF VERVAL EN FUNDAMENTELE DEELTJES

Quarks vormen protonen en neutronen.Protonen en neutronen vormen atoomkernen.Atoomkernen en elektronen vormen atomen.

Een atoom of nuclide wordt gekenmerkt door het aantal protonen (protonental Z) en het aantal neutronen (neutronental N). Het totaal aantal kerndeeltjes of nucleonen is het nucleonental A:

A = Z + N

Er bestaan meer dan 3000 soorten nucliden, waarvan er ongeveer 260 stabiel zijn. De overige, de niet-stabiele nucliden, vervallen na enige tijd, d.w.z. dat de kern van het atoom verandert en daarbij ioniserende straling uitzendt onder de vorm van α-, β- of γ-straling

Dat leidt tot twee vragen:- Waarom zijn sommige nucliden stabiel en andere niet?- Waarom vervalt een niet-stabiele kern op een welbepaalde wijze (bv. β+-straling) en niet anders?

Het Standaardmodel geeft een antwoord op die vragen. Je kunt daarbij kijken naar de krachten die in de kern werken, of naar de energie van de kern.

atoomkern

kerndeeltje

quark

atoom

kern

kerndeeltje

quark

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

11

Krachten in een atoomkern

3.1

De protonen in een kern stoten elkaar af door de coulombkracht. Die kracht is groot omdat de afstand tussen de protonen in de kern zeer klein is.De nucleonen in de kern trekken elkaar aan door de sterke wisselwerking tussen de quarks, omdat zowel protonen als neutronen uit quarks bestaan. De sterke wisselwerking werkt slechts tussen nucleonen die in elkaars buurt zijn, maar kan zo toch de afstotende coulombkracht compenseren. Daarvoor moet de kern voldoende neutronen bevatten.Bij lichte kernen is dat het geval als het aantal neutronen ongeveer gelijk is aan het aantal protonen:de stabiele (lichte) kernen liggen in de buurt van de bissectrice van de nuclidenkaart (zie IA5.2 p. 169). De verhouding N/Z is ongeveer gelijk aan 1.

Bv. 168O is stabiel. De verhouding N/Z is 8/8 (= 1).

1311Na is stabiel. De verhouding N/Z is 12/11 (= 1,09).

Als het aantal neutronen te klein is (N/Z te klein), kan in de kern een proton in een neutron en een positron worden omgezet:

11p

10n +

0+1e

Dat gebeurt bij β+-straling:

AZ X A

Z–1 X' + 0+1e

Bv. 138O

137N +

0+1e

De verhouding N/Z gaat van 5/8 (= 0,625) voor 138O naar 6/7 (= 0,86) voor

137N

Bij zware kernen (kernen met veel protonen) zijn er in verhouding veel meer neutronen nodig. Dat zie je op de nuclidenkaart: de stabiliteitslijn buigt naar beneden af. In een kern met veel protonen is de afstotingskracht immers groot. Die overmaat aan neutronen zorgt er enerzijds voor dat de protonen zich gemiddeld verder van elkaar bevinden (dus minder afstoting) en anderzijds neemt het aantal deeltjes waartussen de sterke wisselwerking werkt daardoor toe.

Als het aantal neutronen té groot is, kan in de kern een neutron vervallen naar een proton en een elektron:

10n 1

1p + 0

-1e

Dat gebeurt bij β--straling:

AZ X A

Z+1 X' + 0 -1e

Bv. 13153I

13154Xe +

0-1e

De verhouding N/Z gaat van 78/53 (= 1,47) naar 77/54 (= 1,43).

Bij dat verval wordt er ook een

neutrino gevormd (zie verder).

Bij dat verval wordt er ook

een anti-neutrino gevormd

(zie verder).

Zowel bij β+- als bij β --straling

gebeurt er een omzetting

van quarks via de zwakke

wisselwerking (zie verder).

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

12

Albert Einstein

In het deel kernfysica zag je het begrip bindingsenergie van een kern. We gaan daar nu dieper op in. We bekijken als voorbeeld de 56

26 Fe-kern: die kern bestaat uit 26 protonen en 30 neutronen.De massa van de ongebonden kerndeeltjes is 56,4491 u. De massa van de kern zelf is: 55,9349 u – 26 ∙ 0,000 55 u = 55,9206 u

Bij de vorming van de kern uit de losse deeltjes is er een massa- verlies van 0,5285 u. In het deel kernfysica leerde je dat massa en energie equivalent zijn volgens de formule van Einstein: E = m ∙ c2

Dat betekent dat er een hoeveelheid energie vrijkomt gelijk aan E = m ∙ c2 = 0,5285 u ∙ 931 MeV/u = 492 MeV (fig a)

Als deeltjes zich aan elkaar binden, komt er energie vrij (in de vorm van warmte).Om deeltjes die aan elkaar gebonden zijn, van elkaar los te maken, moet je energie toevoegen.Die energie is de bindingsenergie (BE).Hoe groter de bindingsenergie, hoe meer energie moet toegevoegd worden om de kern te ontbinden en hoe ‘stabieler’ de kern.

E(MeV)

521 · 102

518 · 102

E(MeV)56,4491 u

55,9206 u

492 MeV

56,4491 u

55,6482 u

746 MeV

E(MeV)

521 · 102

518 · 102

E(MeV)56,4491 u

55,9206 u

492 MeV

56,4491 u

55,6482 u

746 MeV

fig a fig b

De massa van de ijzerkern (in rust) is 55,9206 u.Dat komt overeen met een hoeveelheid energie van E = m ∙ c2 = 55,9206 u ∙ 931 MeV/u = 521 ∙ 102 MeV

Die energie is de rustenergie van de kern (RE).

Figuur b toont de waarden voor het (fictieve) geval dat de massa van de ijzerkern 55,6482 u zou zijn.De bindingsenergie zou dan 746 MeV zijn en de rustenergie van de kern 518 ∙ 102 MeV. Ga dat na. De bindingsenergie van de kern zou groter zijn, de rustenergie kleiner.

De kernmassa is de atoommassa

min de massa van het aantal

elektronen.

De atoommassa vind je op de

gegevenskaart van InterActie 5.

c2 = 931 MeV/u.

Zie IA 5.2 p. 172

In feite zouden we dat beter de

ONTbindingsenergie noemen: de

energie die nodig is om te kern te

ontbinden in zijn deeltjes, zoals

de smeltingswarmte de warmte-

hoeveelheid is nodig om een hoe-

veelheid vaste stof te smelten.

Bindingsenergie en rustenergie van een atoomkern

3.2

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

13

Hoe groter de bindingsenergie van een kern, hoe kleiner de rustenergie van de kern, hoe sterker de kern-deeltjes aan elkaar gebonden zijn.

Maar … je mag de bindingsenergie van een kern met bv. 30 nucleonen niet vergelijken met een kern met 10 nucleonen. Om te kunnen vergelijken gebruikt men de bindingsenergie per nucleon (de specifieke bindingsenergie SBE) en de rustenenergie per nucleon (de specifieke rustenergie SRE).

Voor de 56 26Fe-kern geldt:

SBE = 492 MeV/ 56 = 8,79 MeV

SRE = 521 ∙ 102 MeV / 56 = 930 MeV

Stabiele kernen hebben een grote SBE. Fig. a toont de SBE als functie van het nucleonental. Die curve bereikt een maximum voor 56

26Fe. De nucleonen in die kern zijn dus het sterkst aan elkaar gebonden.

nucleonental

SBE(MeV)

fig a

☞

Zo kun je evenmin het aantal

verkeersdoden in België en

Frankrijk met elkaar vergelijken.

Waarom niet? Hoe zou je dat wel

kunnen vergelijken?

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

14

In fig. b is de SRE uitgezet boven de nuclidenkaart. Die 3D-grafiek heeft de vorm van een vallei. Men noemt dat de energievallei van de nucliden. Stabiele kernen hebben een kleine SRE. Die nucliden bevinden zich op de bodem van de vallei.

Z

N

SRE(MeV)

fig b

Niet-stabiele nucliden bevinden zich op de flanken van de vallei. Als zo’n kern vervalt, neemt de SRE ervan af. De kern ‘valt’ dan naar een lagere nuclide in de energievallei. Je kunt dat vergelijken met een steen die van een helling rolt en waarvan de potentiële zwaarteveldenergie afneemt.

Voorbeeld 1:

127N is een β+-straler:

127N 12

6C + 0

+1e

De SRE van 127N = 12

12,0148 u ∙ 931,48 MeV/u = 932,62 MeV

De SRE van 126C = 12

1 ,9967 u ∙ 931,48 MeV/u1 = 931,22 MeV

Door het verval neemt de SRE van de 127N -kern af.

Voorbeeld 2:

22086Rn is een α-straler:

22086Rn

21684Po +

42He

De SRE van22086Rn = 220

19,9641 u ∙ 931,48 MeV/u2 = 931,33 MeV

De SRE van21684Po = 216

215,9557 u ∙ 931,48 MeV/u = 931,29 MeV

Door het verval neemt de SRE van de 22086Rn kern af.

Bij verval van een kern neemt de SRE van de kern af.

We werken hier met de massa

van de kernen: zo is 12,0148 u de

massa van de 127N-kern!

We gebruiken voor c2 de nauw-

keurige waarde 931,48 MeV/u.

☞

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

15

4 VERVAL VAN ELEMENTAIRE DEELTJES

Een vrij neutron heeft een gemiddelde levensduur van 920 s (zie tabel achteraan). Het vervalt tot een proton, een elektron en een anti-elektronneutrino: n p + e- + νe

Energiebeschouwingen

deeltje massa (u)

p 1,007 276

e- 0,000 55

νe verwaarloosbaar

SOM 1,007 826

deeltje massa (u)

n 1,008 665

SOM 1,008 665

Het verval is mogelijk, want er is massaverlies en er komt energie vrij. Die energie vind je terug als kinetische energie van het proton, het elektron en het anti-elektronneutrino.

Controle van de behoudswetten

VOOR NA

n p e- νe

lading 0 +1 -1 + 0 = 0

leptongetal 0 0 +1 -1 = 0

baryongetal +1 +1 0 0 = +1

Proces op niveau van de quarks

In het neutron wordt een downquark om-gezet in upquark waarbij het W--deeltje als boodschapperdeeltje optreedt. Het W--deeltje zelf bestaat slechts even en geeft het ontstaan aan een elektron en een anti-elektronneutrino.

Vrij neutron

4.1

•

•

•u

d

u

u

d

d

p+n

νe

W -

ud

du

u

d

e-

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

16

Schematisch: d u + W- (1) W- e- + νe (2)

Dat klopt met de regels voor de zwakke wisselwerking: (1): u d + W+ (basisvergelijking)

d + W+ u (spiegelen)d u + W- (W+ van lid veranderen)

(2): νe e- + W+ (basisvergelijking)W- + νe e- (W+ van lid veranderen)W- e- + νe (νe van lid veranderen)

Neutron in een kern

4.2

In een kern is het neutron gebonden met de andere kerndeeltjes via de sterke wisselwerking. De massa ervan is niet gelijk aan 1,008 665 u, maar is kleiner. Die massa hangt af van de samenstelling van die kern.

Als de massabalans eruitziet zoals in fig. a kan de reactie n p + e- + νe niet optreden want er is massawinst en je moet energie toevoegen. De kern is stabiel!

pe-

νe

n

fig a: stabiele kern

In een niet-stabiele kern ziet de massabalans eruit zoals in fig. b. De vervalreactie kan wel optreden want er is massaverlies en er komt energie vrij. Het is dat proces dat in de kern optreedt bij β--verval. Het gevormde elektron en anti-elektronneutrino vliegen uit de kern.

n

pe-

νe

fig b: niet-stabiele kern

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

17

Voorbeeld:

146C 14

7N + 0

-1e + νe

Omdat we de massa van het neutron in de kern niet kennen, gebruiken we voor de massabalans de massa van de kernen.

deeltje massa (u)

13,999 220

-1e 0,000 55

νe verwaarloosbaar

SOM 13,999 77

147N-kerndeeltje massa (u)

13,999 94

SOM 13,999 94

146C-kern

Het verval kan optreden want er is massaverlies.

In een niet-stabiele kern kan een proton vervallen tot een neutron, een positron en een elektronneutrino: p n + e+ + νe

Energiebeschouwingen

We bekijken de massabalans voor deze reactie:

deeltje massa (u)

n 1,008 665

e+ 0,000 55

νe verwaarloosbaar

SOM 1,009 215

deeltje massa (u)

p 1,007 276

SOM 1,007 276

Het verval is onmogelijk, want er is massawinst! Een vrij proton vervalt daarom niet, maar is stabiel (zie tabel). In een kern is de massa van een proton nog kleiner want het proton is gebonden met de andere kerndeeltjes via de coulombkracht en de sterke wisselwerking. In een niet-stabiele kern kan de reactie p n + e+ + νe toch optreden want bij het verval van zo'n kern is er een massadeficit en komt er energie vrij. Een gedeelte van die energie wordt gebruikt voor de omzetting van het proton.

•

Verval van het proton

4.3

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

18

Voorbeeld:

189F

188O +

0+1e + νe

We maken de massabalans voor de reactie. We gebruiken de massa van de kernen:

deeltje massa (u)

17,994 760

+1e 0,000 55

νe verwaarloosbaar

SOM 17,995 31

188O-kerndeeltje massa (u)

17,995 99

SOM 17,995 99

189F-kern

Het verval kan optreden want er is massaverlies.

Controle van de behoudswetten

VOOR NA

p n e+ νe

lading +1 0 +1 +0 = +1

leptongetal 0 0 -1 +1 = 0

baryongetal +1 +1 0 0 = +1

Proces op niveau van de quarks

In het proton wordt een upquark omgezet in downquark waarbij het W+-deeltje als boodschapperdeeltje verschijnt. Het W+-deeltje zelf bestaat slechts even en geeft het ontstaan aan een positron en een elektronneutrino.

u

d

u

d

d

u

p+ n

νe

W +

ud

ud

u

d

e+

Schematisch: u ➔ d + W+

W+ ➔ e+ + νe

•

•

Ga na dat deze interacties kloppen

met de regels voor de zwakke

wisselwerking.

Je kunt ook werken met de

atoommassa's zoals in het deel

Kernfysica. Dan moet je de massa

van twee elektronen mee in

rekening brengen.

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

19

Verval van het o-deeltje

4.4

Het Λo-deeltje werd in 1950 in kosmische straling ontdekt. Daaruit werd het bestaan van het strange-quark afgeleid. Het Λo-deeltje kan vervallen naar een proton en een negatief pion: Λo ➔ p+ + π-

Energiebeschouwingen

We bekijken de massabalans voor dit verval:

deeltje massa (MeV/c2)

p+ 938,3

π- 139,6

SOM 1077,9

deeltje massa (MeV/c2)

Λo 1115,6

SOM 1115,6

Het verval is mogelijk, want er is massaverlies. Het massadeficit is gelijk aan 1115,6 MeV/c2 - 1077,9 MeV/c2 = 37,7 MeV/c2²

De energie die daarmee overeenkomt is E = m ∙ c 2 = 37,7 MeV/c 2 ∙ c 2 = 37,7 MeV

Die energie vind je terug als kinetische energie van het proton en het pion.Uit de wet van behoud van hoeveelheid van beweging kan men afleiden dat het proton en het pion in tegengestelde zin van elkaar wegvliegen: het proton met een snelheid van 0,102 c, het pion met een snelheid van 0,686 c.

ud

Λ0

p+

uu

dd

_u

π –

x

1 2

s

vp+�

vπ-�

•

De massa van een deeltje wordt

dikwijls uitgedrukt in MeV/c2,

omdat de berekeningen zo

eenvoudiger worden.

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

20

Controle van de behoudswetten

VOOR NA

Λo p+ π-

lading 0 +1 -1 = 0

leptongetal 0 0 0 = 0

baryongetal +1 +1 0 = +1

Proces op niveau van de quarks

s

u

d

u

u

_u

d

d

p+

W –

ud

uu

d

d

_u

Λ0

π –

s

In het Λo-deeltje wordt het strange-quark omgezet in een upquark waarbij het W--deeltje als boodschapperdeeltje verschijnt. Het W--deeltje zelf bestaat slechts even en geeft het ontstaan aan een anti-upquark en een downquark die samen een negatief pion vormen.

Schematisch: s ➔ u + W -

W - ➔ u + d

•

•

Ga na dat deze interacties kloppen

met de regels voor de zwakke

wisselwerking.

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

21

5 ELEMENTAIRE DEELTJES EN HET ONTSTAAN VAN HET HEELAL

De oerknal of de Big Bang is de theorie die veronderstelt dat het heelal zo’n 13,8 miljard jaar geleden ontstaan is door de explosie van een punt met een ontzettend hoge temperatuur van 1028 K. Het belangrijkste argument daarvoor is het feit dat men waarneemt dat het heelal naar alle kanten uitzet. Alhoewel we ons dat niet kunnen voorstellen, ontstonden op dat moment ook tijd en ruimte. Uit de enorme hoeveelheid energie die aanwezig was, ontstonden quarks, leptonen en hun antideeltjes. De uitzetting van het heelal veroorzaakte een geleidelijke afkoeling waardoor quarks zich konden groeperen tot protonen en neutronen. Daaruit werden lichte atoomkernen zoals waterstof, deuterium en helium gevormd.

Men neemt aan dat er in het begin maar één wisselwerking was en dat de vier fundamentele wisselwerkingen bij afkoeling van het heelal daaruit ontstaan zijn. Door de gravitatiekracht die zo ontstond, gingen deeltjes elkaar

aantrekken en zich groeperen tot gaswolken, sterren, melkwegen … Door kernfusie van lichte kernen ontstonden in sterren zwaardere elementen. Op het einde van haar leven trekt een ster samen onder invloed van de zwaartekracht, waarbij door kernfusie nog zwaardere elementen gevormd worden. De kettingreacties die daarbij optreden doen de ster uit elkaar spatten (supernova). De in de ster aanwezige deeltjes worden daarbij in de ruimte geslingerd en kunnen samentrekken tot planeten zoals de aarde. De levende organismen die daarop ontstonden, bestaan dus uit deeltjes die dateren van tijdens de oerknal!

WETENSCHAPPERS VANGEN ECHO VAN OERKNAL OPAmerikaanse wetenschappers hebben een belang-rijke ontdekking voorgesteld die de theorie van de oerknal onderschrijft. Met de BICEP2 -telescoop hebben ze mogelijk een echo van de oerknal waar-genomen.

De natuurkundigen zeggen dat ze voor de eerste keer primordiale zwaartekrachtgolven hebben gedetecteerd, de straling die een restant is van de oerknal. Op basis van zijn algemene relativiteits-theorie had Albert Einstein die zwaartekrachtsgol-ven voorspeld, maar tot nu toe waren ze nog nooit waargenomen.bron: De Standaard 17/03/2014.

BICEP2-telescoop

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

22

6 OEFENINGEN REEKS 1

1. Fundamenteel deeltje of niet? proton - downquark - elektron - pion - muon - anti-elektronneutrino

2. Zoek de samenstelling van volgende deeltjes op en bereken de lading:

a) K+ d) J/ b) Λ

_o_

e) –

c) – f) n_

3. In 1996 werd voor het eerst anti-waterstof gemaakt. Hoe is zo’n atoom opgebouwd?

4. Welke zwakke interacties zijn onmogelijk? Waarom? a) s u + W– d) e+ + W– ν–e

– b) u µ– + W+ e) W+ e+ + νµ c) W– d + u

_ f) W– d

_ + u

5. Ga met de behoudswetten (lading, baryongetal, leptonge-tal) na welke interacties mogelijk en welke onmogelijk zijn en waarom.

a) p+ + e– n + π+ + νe e) p+ + n 2p+ + p– + π0

b) µ + p+ n + νµ + π0 f) τ– e+ + 2π–

c) p+ + n 2p+ + π– g) p+ + p+ p+ + n + e+

d) τ– π0 + π– + ντ h) p+ + e– n + π0 + νe

6. De figuur toont twee wagentjes die tegen elkaar bot-sen. Controleer de wet van behoud van HVB.

a)

b)

7. Het Λo-deeltje vervalt naar een proton en een pion (zie 4.4):

Λo p+ + π- Het Λo-deeltje is in rust. Het proton en het pion

vliegen in tegengestelde zin weg, het proton met snelheid 0,102 c (10,2 % van de lichtsnelheid), het pion met snelheid 0,686 c. Ga na dat dit klopt met de wet van behoud van HVB.

300 g 500 g0,50 m/s 0,30 m/s

1 20,50 m/s 0,30 m/s

1 2VOOR NA

300 g 500 g0,50 m/s 0,30 m/s

1 20,50 m/s 0,30 m/s

1 2VOOR NA

300 g 500 g0,50 m/s 0,30 m/s

1 20,50 m/s0,30 m/s

1 2VOOR NA

300 g 500 g0,50 m/s 0,30 m/s

1 20,50 m/s0,30 m/s

1 2VOOR NA

8. Bereken het gevraagde.

kern rustenergie(RE)

specifieke rustenergie(SRE)

bindingsenergie(BE)

specifieke bindingsenergie(SBE)

C-14

K-40

Ag-111

Ba-140

Hg-206

Pu-241

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

23

9. Een foton kan ‘uiteenvallen’ in een positron en in een elektron. De energie van het foton wordt daarbij in massa omgezet. Hoeveel energie moet het foton minstens hebben?

10. Muonen ontstaan in de atmosfeer door reacties van kosmische straling met atmosferische deeltjes. Het muon vervalt als volgt: µ– e– + ν–e

– + νµ Hoeveel energie krijgt het elektron maximaal bij dit verval?

11. a) Een muon heeft een massa van 105,7 MeV/c2. Reken dat om naar u.

b) Een elektron heeft een massa van 0,000 55 u. Hoeveel maal is de massa van een muon groter?

c) Een muon kan een energie hebben van 1 GeV. Bereken met de formule voor de kinetische energie de snelheid van zo’n muon. Is die snelheid mogelijk? Leg uit waarom wel of waarom niet.

12. Controleer voor volgende interacties het behoud van lading, behoud van het leptongetal en behoud van het baryongetal. Bepaal de energie die vrijkomt en beschrijf het proces op het niveau van de quarks.

a) Σ – n + π – b) Κ + µ+ + ν µ c) Ω – Λ 0 + Κ – d) Ξ o Λ 0 + π o

13. Bereken de energie die vrijkomt bij β --verval van Bi-210.

REEKS 2

1. Wanneer een elektron en een positron op elkaar botsen, annihileren ze elkaar en ontstaan er 2 fotonen: e- + e+ γ + γ. Waarom kan er niet slechts 1 foton ontstaan?

2. Een wagen (massa 1100 kg) rijdt met een snelheid

van 80,0 km/h achteraan in op een stilstaande bestelwagen (massa 2890 kg). Door de botsing haken de wagens in elkaar. Bereken de snelheid van de wagens onmiddellijk na de botsing. Waarom staat er onmiddellijk? Hoeveel % van de oorspronkelijke kinetische energie wordt in warmte omgezet?

3. Ga met behoudswetten na welke interacties mogelijk en welke onmogelijk zijn en waarom.

a) µ+ e+ + νe + νµ e) µ– + p+ n + e– + π0

b) µ– 2e– + e+ f) τ– 2e– + e+

c) µ– e– + νe g) µ+ + e– νe + νµ

d) µ+ e+ + γ h) Λ0 π+ + π–

4. Het Σ+-deeltje kan vervallen tot een positief baryon X en een πo-meson. Bepaal het deeltje X.

5. Controleer behoud van lading, behoud van het leptongetal, behoud van het baryongetal. Bepaal de energie die vrijkomt en beschrijf de interactie op het niveau van de quarks.

a) K– → µ– + νµ e) Ω– → Ξo + π– b) Ξ– → Λ0 + π– f) π+ → µ+ + νµ

c) Λ0 → n + π0 g) Λ0 → p+ + π–

d) K– → π– + π0 h) K+ + p+ → Λ0 + π0

6. Het antideeltje van K+ is K–. Het antideeltje van Σ+ is niet Σ –. Verklaar.

7. De massa van p+ is 1,6726 ∙ 10-27 kg. Reken die waarde om naar u en naar MeV/c2.

8. Leid eigenschappen van het W–-deeltje af uit

W– → e– + νe

9. Waarom zijn onderstaande interacties onmogelijk? a) γ → e- + p+ b) p+ → e- + π+ + π+

c) n → p+ + e-

10. Hoeveel energie is nodig om één neutron te verwij-deren uit een Fe-55 kern? Is die energie gelijk aan de specifieke bindingsenergie?

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

24

11. Een proton bestaat uit 2 up-quarks en 1 down-quark. a) Bereken daarmee de massa van een proton. b) Hoe groot is de massa van een proton in werkelijkheid?

c) Vanwaar dat verschil? d) Geldt dat ook voor een neutron?

12. Juist of fout?a) Zware kernen hebben een grote rustenergie.b) Zware kernen hebben een grote bindingsenergie.c) Lichte kernen hebben een kleine specifieke rustenergie.d) Lichte kernen hebben een kleine specifieke

bindingsenergie.

13. Bereken de specifieke rustenergie (SRE) voor zoveel mogelijk nucliden (in MeV). Zet die energie uit op een verticale as boven de nucliden-kaart (Z,N-vlak). Begin de verticale as niet met de waarde nul, maar begin bij 928 MeV om de verschillen tussen de verschillende nucliden goed te kunnen zien. Gebruik voor het Z,N-vlak bv. een 'isomoplaat'. Gebruik bv. satésticks met correcte lengte voor de SRE (kies een schaal!) Zo zie je de energievallei van de nucliden. Kleur de sticks van de stabiele nucliden zwart, die van de β +-stralers rood (of geel of oranje) en die van β --stralers blauw. Waar in de vallei bevinden zich de stabiele nucliden? Waar de β +-stralers? Waar de β --stralers? Kies een β --straler en ga na hoe die vervalt in de energie-vallei. Doe hetzelfde voor een β +-straler.

14. Een muon heeft een gemiddelde levensduur van 2,2 ∙ 10-6 s en vervalt dan naar een elektron en twee neutrino’s: µ- e- + νe - + νµ

Ga na dat die interactie voldoet aan de basisvergelijking voor de zwakke wisselwerking.

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

25

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

26

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

27

familie deeltje symbool samen-stelling

(1)

antideeltje rustmassaMeV/c2

(2)

lading(+e)

baryongetalB

(3)

lepton-getal L

gemiddeldelevensduur (s)

(4)

voorn. verval-

wijzen (5)Foton foton γ - γ 0 0 0 0 stabiel -

Quarks up u - u 2,4 +2/3

down d - d 4,8 -1/3

charm c - c 1,27 ∙ 103 +2/3

strange s - s 104 -1/3

top t - t 171 ∙ 103 +2/3

bottom b - b 4,2 ∙ 103 -1/3

Leptonen elektron e– (of e) - e+ (positron) 0,511 -1 0 1 stabiel -

muon µ– (of µ) - µ+ 105,658 -1 0 1 2,2 ∙ 10–6 e– ν_

e

_ νµ

tau τ– (of τ) - τ+ 1777 -1 0 1 3,0 ∙ 10–13 µ– ν_μ

_ ντ

e– ν_

e

_ ντ

π– ντe-neutrino νe - ν

_e

_< 7 ∙ 10–6 0 0 1 stabiel -

µ-neutrino νµ - ν_μ

_< 0,27 0 0 1 stabiel -

τ-neutrino ντ - ντ < 31 0 0 1 stabiel -

Hadronen mesonen

pion π+ ud_

π– 139,6 +1 0 0 2,6 ∙ 10–8 µ+ νµ

π– u_d π+ 139,6 -1 0 0 2,6 ∙ 10–8 µ– ν

_μ

_

πo uu_

πo 135,0 0 0 0 0,83 ∙ 10–16 γ γ

kaon K+ us_

K– 493,7 +1 0 0 1,24 ∙ 10–8 µ+ ν_μ

_

π+ πo

K– u_s K+ 493,7 -1 0 0 1,24 ∙ 10–8 µ– ν

_μ

_

π– πo

Ko comb. K_

o_ 497,7 0 0 0 10–8 à 10–10 π+ π–

πo πo

π+ e– ν_

e

_

èta ηo comb. ηo 548,8 0 0 0 < 10–18 γ γ

J/psi J/Ψ cc_

J/Ψ 3096,9 0 0 0 0,8 ∙ 10–20 e+ e–

μ+ μ– Hadronenbaryonen

proton p+ (of p) uud p_ (of p–) 938,3 +1 1 0 stabiel (?) -

neutron no (of n) udd n_

939,6 0 1 0 920 p e– ν_

e

_

lambda Λo uds Λ_

o_

1115,6 0 1 0 2,6 ∙ 10–10 p π– n πo

sigma Σ+ uus Σ_

–_ 1189,4 +1 1 0 0,8 ∙ 10–10 p πo

n π+

Σ– dds Σ_

+_ 1197,3 -1 1 0 1,5 ∙ 10–10 n π–

Σo uds Σ_

o_

1192,5 0 1 0 6 ∙ 10–20 Λo γ

omega Ω– sss Ω_

+_ 1672 -1 1 0 0,82 ∙ 10–10 Ξo π–

Λo K–

Ξ– πo

xi Ξo uss Ξ_

o_

1315 0 1 0 2,9 ∙ 10–10 Λo πo

Ξ– dss Ξ_

+_

1321 -1 1 0 1,6 ∙ 10–10 Λo π–

(1) Comb. betekent een combinatie bv. van uu_ en dd

_.

(2) Rustmassa is de massa van het deeltje in rust. De massa verandert met de snelheid volgens de formule m = m0 / 1 2 2− /cv . Uit E = m ∙ c 2 volgt m = E/c 2. De massa van een deeltje kun je dus ook uitdrukken in bv. MeV/c 2. Berekeningen worden daardoor eenvoudiger.

(3) Eigenschappen zoals spin, vreemdheid … zijn niet vermeld. (4) De gemiddelde levensduur heeft betrekking op het vrije deeltje; bv. een neutron in een stabiele kern vervalt niet. Quarks komen niet voor

als vrije deeltjes en kunnen via zwakke wisselwerking omgezet worden in een andere quark.(5) De notatie e– ν

_e

_ νµ betekent e– + ν

_e

_ + νµ.

elemen

taire

deelt

jesfys

ica

28

Opmaak en lay-out die Keure

Druk die Keure

Auteur Leo Van Echelpoel

www.interactie.diekeure.be

www.diekeure.be

ISBN: 978 90 4862 014 2

K.B.: D/2015/0147/113

Bestelnr.: 90 707 3561

NUR: 126

© Copyright by Die Keure, BruggeVerantwoordelijke uitgever: Die Keure nv, Kleine Pathoekeweg 3, 8000 Brugge - RPR 0405 108 325

Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of openbaar gemaakt worden door middel van druk, fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder voor-afgaande schriftelijke toestemming van de uitgever.No part of this book may be reproduced in any form by print, microfilm or any other means without written permission from the publisher. Verhuur van dit boek is niet toegelaten zonder uitdrukkelijke toestemming van de uitgever.De uitgever heeft naar best vermogen getracht de publicatierechten volgens de wettelijke bepalingen te regelen. Zij die niettemin menen nog aanspraken te kunnen doen gelden, kunnen dat aan de uitgever kenbaar maken.

Die Keure wil het milieu beschermen. Daarom kiezen wij bewust voor papier dat afkomstig is uit verantwoord beheerde bossen. Dit boek is dan ook gedrukt op papier dat het FSC®-label draagt. Dat is het keurmerk van de Forest Stewardship Council. 9 7 8 9 0 4 8 6 2 0 1 4 2

elemen

taire

deelt

jesfys

ica