1

Risicobeheer met opties

Advanced Corporate Finance

Frank de Jong

27 januari 2000

2

Inleiding

Termijncontracten hedgen tegen op en neergaande prijsbewegingen

termijncontract zelf kan verliezen laten zien soms alleen nodig om neerwaarts risico

(mogelijke verliezen) af te dekken opties bieden hier een mogelijkheid niet kostenloos!

3

Opties

Een optie geeft je het recht om de onderliggende waarde tegen een vaste prijs te kopen (call) dan wel te verkopen (put)

Het (ver)kooprecht kan alleen op of voor een gegeven vaste datum (expiratiedatum) worden uitgeoefend alleen op expiratie: Europese optie tot expiratie: Amerikaanse optie

Some Option Strategies

Writing a call

X

C

SX

C

S

Buying a call

Some Option Strategies

X

P

S

Buying a put

X

P

S

Writing a put

6

Toepassingen van opties

Als verzekeringsinstrument: neerwaarts risico op een long positie kan worden afgedekt met een put optie belegging in aandelen met putoptie op de AEX:

beschermt tegen koersdalingen Rentebetaling op variabel-rentende lening kan

worden begrensd door een cap betaalt verschil tussen LIBOR en strike als LIBOR

hoger is dan de strike

7

Optiewaarde voor expiratie

Optie heeft altijd positieve uitbetaling, of betaalt niets uit. Zal dus niet gratis zijn, maar wat is een faire prijs?

Intrinsieke waarde call: max(S-X,0) Tijdswaarde: onderliggende waarde kan

fluctueren. Een optie die nu (t<T) out-of-the-money is kan dus op T weer in-the-money zijn.

8

Optiewaarde voor expiratie (2)

Waarde call optie hangt af van huidige onderliggende waarde (+) uitoefenprijs (-) rente (+) time-to-maturity (+) fluctuaties in onderliggende waarde (+)

(volatiliteit)

9

Prijsvorming: binomiaal model

Call optie op aandeel ABC. T = een periode. X = 40

Prijs aandeel ABC , S= 40 Prijs aandeel op T=1 is 50 of 32. Rente is 6,67% per periode Wat is prijs call op t=0?

10

Binomiaal model (2)

Wat is call op T=1 waard?Deze is 10, bij aandelenkoers van 50 en 0 bij

koers van 32Aan het einde van de looptijd heeft optie nog

slechts intrinsieke waarde; bij een call: Max(0,S*-X)

Wat is optie op t=0 waard?Minimaal intrinsieke waarde, maar optie heeft

tevens tijdswaarde!

11

Binomiaal model (3)

Replicerende portefeuille: Creeer een hedge portefeuille van aandelen en een

lening zodanig dat de uitkering van de hedge portefeuille in alle gevallen gelijk is aan de uitkering van de call optie

Koop d aandelen en leen B. Dan moet gelden: d x 50 - (1+r) B = 10 d x 32 - (1+r) B = 0

12

Binomiaal model (4)

Twee vergelijkingen, twee onbekenden. r=0,0667. Oplossing (ga zelf na!): d = 5/9 B = 50/3

Wat is deze portefeuille waard op t=0? d x 40 -B = 5/9 x40 -16 2/3= 5,56

Dit is dus ook de prijs van de call op t=0! geen arbitragemogelijkheden

13

Binomiaal model (5)

Conclusie: Je kan opties risicoloos nabootsen door een

portefeuille met een belegging in de onderliggende waarde en een lening

De prijs van een optie moet gelijk zijn aan de waarde van deze portefeuille op t=0

Zelfde principe voor meer-perioden model

14

Black-Scholes model (1)

Continue tijd: limiet van binomiaal model Exacte formule voor waarde Europese optie Aannamen:

rendementen op de onderliggende waarde zijn normaal verdeeld en onvoorspelbaar

– Geometrische Brownse beweging

volatiliteit van rendement is constant rente is constant

15

Black-Scholes model (2)

Arbitrage argument: maak een portefeuille van een optie en de onderliggende waarde long positie in 1 call optie short positie in onderliggende waarde

kies aantal aandelen zo dat koersfluctaties elkaar precies opheffen

portefeuille is dus risicoloos en moet risicovrije rendement geven

16

Black-Scholes model (3)

Black en Scholes leiden uit dit arbitrage argument een unieke prijs voor de optie af

prijs is functie van onderliggende waarde (S) uitoefenprijs (X) rente (r) tijd tot expiratie (T-t) volatiliteit ( )

17

Call Option Value

X

Call Price (C)

Stock Price (ST)

C f S X r Ts f , , , ,

Max(0, ST - X)

Put Option Value

X

Put Price (P)

Stock Price (ST)

P f S X r Ts f , , , ,

Max(0, X - ST)

Put-Call Parity

Consider the following two options: a call option on stock S with exercise price X, and a put option on stock S with exercise price X.

The put-call parity result states that buying the underlying stock, buying the put option and selling the call option provides a perfect hedge.

rTeXCPS

20

Black-Scholes uitbreidingen

De Black-Scholes formule kan eenvoudig worden aangepast voor dividendbetaling op onderliggende waarde valutaopties opties op futures opties op rente (caps/floors/swaptions)

21

Kanttekeningen

Black-Scholes formule is niet heilig volatiliteit is niet direct waarneembaar rendementen zijn niet normaal verdeeld

wel is de Black-Scholes formule erg handig om de prijs van opties met verschillende looptijden of strikes te vergelijken implied volatilities