de 2 uitdrukkingen gelijk te stellen, verkrijg je na wat rekenen dat het geheel gedeelte van (x+1)/2...

Analyse deel I: huistaken – groepswerken – opgaven – vragen… 1/15

opgave 1a) |(|x|−1)|<1❑⇔ −1<¿ x∨−1<1❑⇔ −1<|x|−1∧|x|−1<1❑⇔ 0<|x|∧|x|<2❑⇔ x≠0∧−2<x<2

Besluit: x∈ ¿−2,2¿

opgave 1b) ¿ x ²+2x∨−x ²+3=0❑⇔|x2+2 x|=x2−3

❑⇔x ²+2 x=x ²−3∨ x2+2x=−x2+3

❑⇔2 x+3=0∨2 x2+2x−3=0

❑⇔x=−3

2∨ x=0,823∨ x=−1,823

Bestaansvoorwaarde: x ²−3≥0❑⇔ x←√3∨ x>√3Besluit: x = -1,823

cursus blz 9


opgave 1c) |x−2|+|x−3|=1

x 2 3x-2

- 0 + + +

x-3

- - - 0 +

x≤2 :−x+2−x+3=1❑⇔x=2

2≤x ≤3 : x−2−x+3=1❑⇔x∈R

x≥3 : x−2+x−3=1❑⇔x=3

Besluit: x∈[2,3]

opgave 2:


Antwoorden:1. ja want voor elke x-waarde is er hoogstens 1 y-waarde, zie voorschrift OK

2. f :R❑→R : x❑

→ x−3x OK

3. Nee want x=0 heeft geen beeld OK

4. f :R0❑→R ¿1}: x❑

→ x−3x OK

5.

Hier kan je de kenmerken op grafiek vermelden: f is een functie want elke evenwijdige met de y-as heeft juist één snijpunt met de grafiek uitgezonderd de y-as heeft geen snijpunt.De functie is injectief want elke evenwijdige met de x-as heeft juist één snijpunt met de grafiek uitgezonderd de rechte y=1 heeft geen snijpunt met de grafiek.

Enkele vragen bij deze oefening:Vraag 1:In nummer 3 antwoord ik met “nee want x=0 heeft geen beeld”, is het ook juist als ik zeg “nee want y=1 wordt niet bereikt”? Voor een afbeelding gaat het enkel over de pijlen die vertrekken uit de bron.

Vraag 2:Het bereik van de functie is R ¿1} maar dat heb ik pas gezien in de grafiek. Hoe kan ik dit zien zonder

in de grafiek te spieken?

cursus blz 28


Antwoorden:1. Nee, want elk strikt positief getal 4-x² heeft 2 vierkantswortels. y=±√4−x ²2. twee halve cirkels met straal 2 en middelpunt oorsprong (positieve en negatieve wortel)

Antwoorden:

1. wanneer géén functie?-als u=v=0, dan moet w=0; grafische voorstelling is de oorsprong

-als v=0, dan is x=−wu voor elke y-waarde; grafische voorstelling is een verticale rechte

2. wanneer wél een functie?-als u≠0env ≠0enw=0 dan heb je een schuine rechte door de oorsprong- als u≠0env ≠0enw≠0 dan heb je een schuine rechte niet door de oorsprong

3. een functie die geen injectie is?-als u=0 dan heb je een horizontale rechte


Antwoorden:1. Dom f = R+¿ ¿ OK

2. f :R+¿❑→R : x❑

→√x ¿ is een afbeelding omdat elk element van R+ een beeld heeft in R. OK

3. f :R+¿❑→R+¿ : x❑

→

√ x¿ ¿ OK

4.

Dit is juist want elke x wordt afgebeeld op zijn positieve vierkantswortel. Je kan de grafiek gemakkelijk tekenen met enkele speciale punten (0,0), (4,2), (9,3) enz. Deze grafiek is een halve parabool.


Antwoorden:1. ja want elk element van R heeft een beeld. OK2. geen injectie want f(1)=f(5) => 1=5 en dat kan niet OK

3. f :R❑→R : x❑

→(x−1)(x−5) is géén surjectie want het element -5 uit B is niet het beeld van

een element uit A. Hoe heb je dat gevonden?

f :R❑→

¿ is wél een surjectie OK

Antwoorden:

1. Ja want y=−x2

2 OK

2. Nee (2 vierkantswortels…) OK3. Ja want y= 3√x OK


Antwoord:

f o g = h ❑⇔ f-1 o (f o g) = f-1 o h❑⇔ (f-1 o f) o g = f-1 o h❑⇔ g = f-1 o h = … = x²+x-1

Geef het voorschrift van f-1 : x met y verwisselen en oplossen naar y : y=1/3(x-5). Omdat het de tweede functie is in de samenstelling: f-1 :z=1/3(y-5) en h: y=3x²+3x+2De samenstelling heeft voorschrift : z=1/3(3x²+3x+2-5)

Jouw antwoord is dus juist maar het is best ook te schrijven hoe je eraan komt.

Antwoorden:

(b) injectie? ja want: f (a )=f (b )❑⇔2a3−16=2b3−16❑

⇔a=b OK

bijectie? Ja aan de grafiek is dat makkelijk te zien

VRAAG: hoe zie ik dat aan het voorschrift? Elke x waarde heeft een eigen unieke derdemacht?

Ja en omgekeerd elke y-waarde is het beeld van juist één x-waarde. Dit is omdat elk getal slechts één derdemachtswortel heeft. Te zien als je de vergelijking oplost naar x.

cursus blz 43


VRAAG:

Antwoord:

4 x2+4 y2+4 x+16 y+13=0

❑⇔x2+ y2+x+4 y+ 13

4=0

❑⇔ (x2+x+ 14 )+( y2+4 y+4 )+ 13

4−4−1

4=0

❑⇔ (x+12 )

2

+( y+2 )2=1

verschuiving v (−12 ,−2) OK

cursus blz 47


VRAAG:

Als je een gatal verminderd met 1 dan wordt enkel het geheel gedeelte verminderd met 1, het decimaal gedeelte blijft behouden. Voor de positieve getallen is dit vrij duidelijk. Voor de negatieve getallen is -3,156 = -4+0,844Als we 1 afrekken van het getal dan krijgen we -4,156=-5+0,844Dus hier ook wordt het geheel gedeelte met 1 verminderd, het decimaal deel blijft hetzelfde.

Deze vraag dient om na te gaan of de betekenis van geheel gedeelte en decimaal gedeelte van een getal goed is begrepen, vooral voor de negatieve getallen.

VRAAG:

Als ik de vorige vraag snap, dan kan ik deze misschien wel zelf

Deze oefening is in dezelfde zin van de vorige maar steun er niet op.

Je past eerst de verschuiving toe over de vector (2,0) en dan moet het nieuwe voorschrift gelijk zijn aan het oorspronkelijk voorschrift. (het nieuwe voorschrift vind je door x te vervangen door x-1).Je stelt deze 2 voorschriften aan elkaar gelijk.

Je vind 2 absolute waarden die gelijk zijn aan elkaar. Dan moeten de getallen gelijk zijn of tegengesteld.Door de 2 uitdrukkingen gelijk te stellen, verkrijg je na wat rekenen dat het geheel gedeelte van (x+1)/2 min het geheel gedeelte van (x-1)/2 moet gelijk zijn aan 1. Dit kan je gemakkelijk zien op de grafische voorstellingen van geheel gedeelte van (x+1)/2 en van geheel gedeelte van (x-1)/2. Deze grafische voorstellingen vind je gemakkelijk door de rechten y=(x+1)/2 en y=(x-1)/2 te tekenen en dan van die beelden het geheel gedeelte te nemen.

De uitdrukkingen aan elkaar tegengesteld stellen, leidt tot een onmogelijkheid: een geheel getal zou dan moeten gelijk zijn aan een decimaal getal.

cursus blz 49

cursus blz 48


VRAAG:

Als K1 en K2 symmetrisch liggen tov de rechte x=2 dan is de ene het beeld van de andere voor de spiegeling om de rechte x=2. De transformatieformulles zijn: (x+x’)/2=2 en y’=y (2 is het gemiddelde van x en x’ en de y blijft onveranderd) Of x=4-x’ en y=y’. We vervangen x en y van K1: 2(4-x’)² + 3y’²=6 dit is de vergelijking van K2.

VRAAG:

y ’=2b− y

(2b− y )2+ (2b− y )= ( y−6 )2− y+6

❑⇔

(2b− y )2+(2b− y )=(6− y )2+6− y

❑⇔2b− y=6− y

❑⇔b=3

Besluit: tov de rechte y=3 OK

cursus blz 51

cursus blz 52


Antwoorden:

(a) cirkel met straal 3 en middelpunt (-1,2) OK

(b)( x+1 )2

(52)²

+( y−2 )2=9 Dit is niet juist omdat het middelpunt van de cirkel niet in de oorsprong

ligt. Ook het middelpunt ondergaat een uitrekking. De transformatieformules zijn x’=5/2 x en y’=y of x=2/5 x’ en y=y’. De vgl wordt: (2/5 x’+1)²+(y-2)²=9. Na uitrekening krijgen we de vgl van een ellips:

( x+5 /2 )2

( 52) ²

+( y−2 )2=9


(c) Als je een viertal beelden tekent zou je zien dat de tekening niet juist is. Bepaal dus de beelden van de 4 bijzondere punten bvb (2,2), (-4,2), (-1,5) en (-1,-1) zijn de beelden resp. (5,2), (-

10,2), (-5/2,5) en (-5/2,-1) Je ziet dat het middelpunt meer links ligt , de beelden zijn precies de 4 toppen van de ellips.

(d)( x+1 )2

(52)²

+ ( y−2 )2

( 12) ²

=9 dit is niet juist, dezelfde fout als in b)

Het beeld is (x+1) ²+ ( y−1 )2/4=9

(e)Bepaal dus de beelden van 4 punten.


Antwoorden

(a)

(b) je bekomt weer dezelfde grafiek; het is een even functie OK

f (−x )= 10(−x )2+4

= 10x2+4

=f (x)

Antwoorden:

(a)

(b) Het is een oneven functie: f (−x )= 10(−x)(−x )2+4

=−10xx2+4

=−f (x ) OK


Antwoord

Berekening:

( 15 x (x+5))+(−15 (x2+5 x−20))2

= x2+5 x−x2−5 x+20

10=2010

=2 OK (volgens de

transformatieformules y+y’=4)

Antwoord

Berekening:aan te tonen: f (2a−x )+g ( x )=2bmet (a ,b )=(−4,1)

15

(−8−x ) (−8−x+5 )−15

( x2+11 x+14 )

¿ 15[(−8−x ) (−3−x )−(x2+11 x+14 )]


¿ 15

[24+11x+x2−x2−11 x−14 ]¿2 OK

de 2 uitdrukkingen gelijk te stellen, verkrijg je na wat rekenen dat het geheel gedeelte van (x+1)/2...

Documents

Transcript of de 2 uitdrukkingen gelijk te stellen, verkrijg je na wat rekenen dat het geheel gedeelte van (x+1)/2...