Wiris 2 handleiding deel 1 - Telenetusers.telenet.be/wiskunde/handleidingv2/Wiris 2 handleiding deel...

Integratie van de informatica in de wiskunde WIRIS 2.0

©2OO4 [email protected] website www.wirisonline.net 1

Wirisonline

Computer algebra systeem en meer…

Introductiehandleiding

Ivan De Winne Bosveldstraat 7 9230 Wetteren Websites: www.wirisonline.net www.mathelo.be www.math.be

E-mail: [email protected]



1 Inleiding

1.1 Werkbalken in Wirisonline

Na het opstarten van interface van Wiris zie jij bovenaan de werkbalk met verschillende tabbladen. Daarin staan knoppen die veelgebruikte commando’s, symbolen en invoersjablonen voorstellen. Dit maakt het invoeren van opdrachten en uitdrukkingen eenvoudiger.

De meeste opdrachten kan jij ook gewoon intypen en voor een aantal bestaan er sneltoets-combinaties.

De menubalk met de wiskundige sjablonen biedt slechts een overzicht van een beperkt aantal Wiris-opdrachten. Een groot aantal minder voorkomende opdrachten kan men via commando’s rechtstreeks in het werkblad ingeven.

Bovendien kan men zelf nieuwe opdrachten programmeren en toevoegen aan bibliotheken met extra functionaliteiten. In het kader van de nascholingssessies van het VVKSO werden zodoende een aantal bibliotheken geschreven met erg bruikbare opdrachten voor “de studie van functies” en “de methode van Gauss” bij het stap voor stap oplossen van stelsels van vergelijkingen.

Overloop nu kort de mogelijkheden van de werkbalk door te klikken op de verschillende tabbladen. Indien jij de muisaanwijzer plaatst boven een knop dan verschijnt een klein helpvenster met een korte verduidelijking.

Nieuw werkblad, afdrukken, bestandsbeheer…

Editeren van formules

Oplossen vergelijkingen, plotten grafieken



Vertrouwde wiskundige symbolen

Analyse

Matrixrekening

Natuurkundige eenheden

Combinatieleer

Meetkunde in 2D en 3D

Griekse letters

Programmeren

Weergave tekst en formules

Het ingeven van formules en het uitvoeren van opdrachten wordt in de volgende les besproken. Wij beperken ons hier tot het verkennen van de werkbalk.



1.2 De interface van Wirisonline

Na het starten van Wiris wordt het applet ingeladen in een webpagina en verschijnt de interface met als bedoeling;

• wiskundige opdrachten in te geven • de verbinding te maken met de centrale server voor het uitvoeren van de

berekeningen • het weergeven in de webpagina van de resultaten en de grafische voorstellingen.

Het venster van deze interface is verdeeld in 3 delen;

• de werkbalk met tabbladen en de sjablonen voor het ingeven van de opdrachten • het werkvenster • de statusbalk

Bemerk de foutmelding voor de laatste opdracht in de statusbalk van de Wiris-interface. Bovendien verschijnt de formule op een oranje achtergrond. Zodoende kan men ook vrij snel (bij leerlingen) syntax-fouten opmerken bij het ingeven van formules of bij het gebruik van verkeerde commando’s.

Bij het ingeven van (2de of 3de)-machten moet men de knop en niet de toets op het klavier (voor het ingeven van tekst)



1.3 De ingebouwde helpfunctie

In de werkbalk “Bestand” vind jij de helpknop

Een klik op deze knop opent de technische handleiding (manual) van Wiris.

In deze handleiding vind jij uitleg over de functies en commando’s van Wiris, gegroepeerd per onderwerp of alfabetisch gerangschikt.

In de onderwerpengedeelten worden alleen de meest gebruikte commando’s besproken

Jij kan het alfabetische onderdeel gebruiken voor een volledig overzicht.



2 Ingeven van formules

Opdracht 1: Start de interface van Wirisonline

De opdrachten en uitdrukkingen worden gegroepeerd in blokken, vόόr de regels aangegeven door vierkante haken.

Typ op de eerste regel de volgende uitdrukking en druk vervolgens op de ENTER-toets.;

Voor het ingeven van formules kan jij de beschikbare sjablonen gebruiken in de werkbalk “Bewerkingen” . Het editeren van formules gebeurt zoals bij de vergelijkingseditor. Gebruik de pijltjestoetsen op jouw toetsenbord om doorheen de formule te navigeren

Vul vervolgens op de tweede regel aan en druk opnieuw op de ENTER-toets

Typ het commando voor een plot-opdracht (of klik in de werkbalk op de knop plot) en klik

vervolgens op de knop .

De 3 opdrachten worden nu naar de server gestuurd om de berekeningen uit te voeren.

De resultaten verschijnen in het interface en de grafiek in een apart venster.



Merk op dat er een tweede blok wordt aangemaakt, met vooraan een rechte haak.

Typ in dit tweede blok en druk op de berekeningsknop.

Opdracht 2:

Men kan ook uitdrukkingen ingeven zonder de knoppen te gebruiken maar m.b.v. het toetsenbord.

Twee berekeningsblokken aangeduid door rechte haken.

Eerste berekeningsblok met 5 uitdrukkingen.

• 2 uitdrukkingen met toetsenbord ingegeven • 3 uitdrukkingen via menubalk

Tweede berekeningsblok met 1 uitdrukking.

Merk op dat indien de cursor zich in het eerste berekeningsblok bevindt, enkel de berekeningen in dit eerste blok worden uitgevoerd.

Voor de laatste opdracht gebruik je de knop in het analyse-palet



Sneltoetsen of berekeningsknop ?

Het ingeven van opdrachten wordt afgesloten met de ENTER -toets.

Voor het uitvoeren van de berekeningen kan men de knop gebruiken

of de sneltoetscombinatie CTRL ENTER

Na het gebruik van de sneltoetscombinatie, verdwijnt uiteraard de knop

voor het uitvoeren van berekeningen. Als gebruiker heb jij immers beslist om te werken met de sneltoetscombinatie

De knop voor het uitvoeren van berekeningen kan jij opnieuw laten

verschijnen door bovenaan rechts in de werkbalk te klikken op

Op één regel kunnen meerder opdrachten en uitdrukkingen geplaatst worden, als men

deze van elkaar scheidt met een puntkomma. Na het verzenden en uitvoeren van de berekening krijg jij op die regel enkel het resultaat van de laatste opdracht of uitdrukking (als er geen puntkomma achter staat)

Op één regel kun jij ook meerder uitdrukkingen scheiden door een komma. In dit geval krijg jij een opsomming van uitdrukkingen. In dit geval wordt er een opsomming van resultaten gemaakt. Dit kan enkel met uitdrukkingen, niet met opdrachten (zoals plot …)

Voorbeeld:

Voor het intypen van moet het vermenigvuldigingsteken * (asterisk) gebruiken tussen a en c maar niet voor de impliciete vermenigvuldiging met het getal 4.

De reden hiervoor is het feit dat Wiris ook variabelen aanvaardt met 2 of meer letters.



3 Basisbewerkingen met Wirisonline

Aan de hand van dit voorbeeld worden een aantal belangrijkste commando’s aangeleerd waarmee men heel wat wiskundige problemen kan oplossen. Je leert vooreerst hoe jij met Wiris een formule correct kan ingeven en hoe jij de resultaten kan berekenen.

Vervolgens wordt aangeleerd hoe jij vergelijkingen moet oplossen en het verschil tussen de commando’s plot en voorstelling van de grafiek van een functie

3.5 Kenmerken van een veeltermfunctie

Cédric heeft na zijn verjaardagsparty nog een vuurpijl over. Hij vuurt deze pijl af vanuit zijn slaapkamer. De pijl vliegt eerst naar beneden maar gaat vervolgens toch de lucht in om 5 seconden later te ontploffen.

De hoogte van de vuurpijl h (gemeten in m) in functie van de tijd t (gemeten in seconden) wordt beschreven door de functie:

h(t) = t³ - 4.t² + 2.t + 8

a) Bepaal de nulpunten van h b) Bepaal het snijpunt met de y-as c) Hoe hoog vliegt de vuurpijl? d) Schets de grafiek van deze functie e) Wanneer is de vuurpijl op zijn laagste punt?

Opdrachten

Klik in het Wiris-appletvenster en typ h(t)=t

Om de macht in te tikken ga je naar het tabblad “Bewerkingen”

Kies uit het palet de knop voor macht en typ de macht 3 in

Indien je nu onmiddellijk het minteken zou ingeven dan wordt dit beschouwd als een macht. Klik één keer op de pijltjestoets naar rechts op je toetsenbord. Het gebruik van het maalteken (*) is bij de vermenigvuldiging met een getal overbodig. Spaties moeten evenmin ingegeven worden omdat Wiris zelf voor de juiste spaciëring en de afstand tussen de wiskundige symbolen in de formule zorgt

Vervolledig het voorschrift tot h(t)=t³-4t²+2t+8 en klik op de Enter –toets

Merk op dat de vierkante haak links groter wordt en een nieuwe regel voor het ingeven van formules wordt gecreëerd. De invoegpositie wordt aangegeven door een knipperende verticale streep.



Het is mogelijk om de nulpunten van h(t) te bepalen via de knop

in het “Bewerkingen”palet. Vul het linker- en rechterlid van deze vergelijking aan.

Voor het uitvoeren van deze berekening klik je op de knop of gebruik je de sneltoetscombinatie CTRL ENTER.

Een nieuwe haak werd aangemaakt. Bereken de functiewaarde in 0.

Typ binnen deze tweede rechte haak h(0) en druk op de knop of nog beter gebruik de sneltoetscombinatie CTRL ENTER.

Merk op dat er een derde rechte haak wordt aangemaakt en dat blijkbaar de berekening in de tweede haak niet wordt uitgevoerd omdat de functie h(t) binnen deze tweede haak niet gekend is!

Klik opnieuw binnen de eerste haak na de tweede formule en voeg een nieuwe opdrachtregel toe met de ENTER-toets.

Typ h(0), voeg een nieuwe opdrachtregel toe met ENTER en laat de berekening binnen de eerste haak uitvoeren met CTRL ENTER.

Vervolgens berekenen wij hoe hoog de pijl vliegt met de opdracht h(5)

Het tekenen van de grafiek doe je met de opdracht in het tabblad “Bewerkingen” Tik het functievoorschrift h(t) binnen de ronde haakjes. Voeg vervolgens eerst een lege opdrachtregel uit met ENTER en laat de grafiek tekenen met CTRL ENTER. Een nieuw grafiekvenster verschijnt!



Een nog krachtiger opdracht is voorstelling(h(t))

Met deze opdracht worden ook de kritische punten van de grafiek van h(t))voorgesteld zoals de maxima, de minima, de eventuele buigpunten, snijpunten met x-as en y-as alsook de horizontale, verticale en schuine asymptoten.

Klik binnen dit grafiekvenster op de knop waarde en verplaats de aanwijzer naar de kenmerkende punten van de grafiek waaronder het minimum.

Hou er dus in het vervolg rekening mee dat enkel berekeningen van één bepaalde blok apart naar de server worden gestuurd.



Overzicht van de sneltoetsen

Knop in werkbalk Sneltoets Commentaar

Ctrl ↑ Maken van een exponent

Ctrl ↓ Maken van een index (subscript)

Ctrl è Maken van een breuksjabloon

Ctrl q Vierkantswortel

Ctrl a nde machtswortel

Ctrl d De afgeleide-operator

Ctrl l (letter L) Het limietsjabloon

Ctrl p De exacte waarde van pi

Ctrl e De exacte waarde van e

Ctrl i De imaginaire eenheid

Ctrl < Kleiner of gelijk aan

Ctrl > Groter of gelijk aan

Ctrl = De booleaanse gelijkheidsoperator

<Ctrl t> Deze sneltoets schakelt tussen een

tekstregel en een berekening.



4 Berekeningen met Wiris

4.1 Exact symbolisch of numeriek berekenen?

Wiris kan berekeningen met getallen op twee verschillende manieren uitvoeren; exact of numeriek benaderd. Standaard voert Wiris de berekeningen exact uit. Het verschil wordt duidelijk met het volgende voorbeeld.

Ga naar het sjabloon Bewerkingen en kies en typ vervolgens 2 43 5+

De werkwijze bij het ingeven van wiskundige uitdrukkingen vertoont heel wat gelijkenissen met de werkwijze bij de vergelijkingseditor. Gebruik de pijltjestoetsen om doorheen deze uitdrukking te navigeren. Druk na het ingeven van de uitdrukking eerst op de ENTER-toets voor het verkrijgen van een nieuwe opdrachtregel en vervolgens CTRL ENTER voor het uitvoeren van deze berekening.

Deze berekening wordt numeriek uitgevoerd van zodra in de opgave een getal met decimale schrijfwijze wordt ingegeven zoals 0.5 of 5.0 Het resultaat wordt dan eveneens in de decimale schrijfwijze weergegeven.

Typ de volgende uitdrukkingen. Decimale schrijfwijze volgens Amerikaanse puntnotatie.

De nauwkeurigheid van deze berekening kan uiteraard aangepast worden met de opdracht precisie(..) tot maximaal 15 beduidende cijfers. De standaardinstelling is 6.



Gebruik voor het ingeven van de exacte waarde voor π de knop in de werkbalk “Symbolen”

en voor de afgeronde waarde de knop

Indien het resultaat niet op een exacte wijze met radicalen (dit zijn uitdrukkingen met wortelvormen) kan worden weergegeven dan kiest Wiris automatisch voor een benaderd resultaat.

Exact of numeriek, wat heeft de voorkeur?

Exacte berekeningen zijn niet altijd te verkiezen boven numerieke benaderingen omdat het enerzijds niet steeds mogelijk om een resultaat exact weer te geven.

Anderzijds levert het benaderde resultaat soms meer informatie op dan de exacte waarde.

Standaard werkt Wiris in de verzameling der reële getallen met volgende foutmeldingen in de statusbalk tot gevolg.



4.2 Bewerkingen met reële getallen

De algebraïsche bewerkingen +, -, . , : , macht ; , na a kan men ofwel manueel ingeven of met behulp van het Bewerkingenpalet. Voor het vermenigvuldigingsteken gebruikt men het asteriksteken *

Exacte en numerieke berekeningen

4.3 Bewerkingen met complexe getallen

De imaginaire eenheid vindt men terug via het palet Symbolen.

Men kan ook de sneltoetscombinatie CTRL i gebruiken.

Voer de volgende berekeningen uit met complexe getallen.



Opmerking 1 Bij het berekenen van vierkantswortels kan men ook gebruik maken van de commando’s vierkantswortel, vierkantswortels en eventueel deze vierkantswortels bepalen in de verzameling der complexe getallen.

Opmerking 2

Het is uiteraard ook mogelijk om hogere machtswortels te berekenen in de verzameling der reële of complexe getallen. Men voegt aan de opdrachten wortel of wortels twee bijkomende parameters toe.

Opmerking 3

Omdat standaard Wiris berekeningen uitvoert in de verzameling der reële getallen zal met de opdrachtknop voor de nde-machtswortel uit het Bewerkingenpalet de volgende resultaten worden gegeven.

Binnen Wiris hebben de ontwerpers er voor gekozen om het aantal opdrachten (commando’s) zo klein mogelijk te houden. Eenzelfde opdracht kan door het toevoegen van parameters verschillende resultaten geven. Deze werkwijze is intuïtief snel duidelijk. Het gebruik van dialoogvensters waarbij men voortdurend instellingen moet aanpassen wordt hierdoor sterk verminderd. Deze werkwijze bevordert sterk de gebruiksvriendelijkheid van dit pakket.



4.4 Rekenkunde in

Quotiënt en rest van de deling van 2 gehele getallen met de knop in het palet Bewerkingen. Het quotiënt en de rest kan men opvragen met de opdrachten quotiënt en rest (eventueel afkortingen quo en res)

Berekening quotiënt en rest via het palet op door het ingeven van commando’s.

Het is ook mogelijk om in dit geval twee commando’s samen te nemen en te werken met afkortingen. Er wordt gebruik gemaakt van het symbool _ (underscore) indien een opdracht uit meerdere woorden bestaat.

Grootste gemeenschappelijke deler en kleinste gemeenschappelijke veelvoud

Natuurlijke delers van een getal opsporen, ontbinden in priemfactoren, berekening van priemgetallen

Opmerking: logische opdrachten m.b.v.

Onderzoek of een getal even, oneven of priemgetal is.



4.5 Wiskundige constanten en functies in Wiris

Voor de getallen e, π, i en de symbolen ∞ kan je de werkbalk met wiskundige symbolen gebruiken. Voor de exacte waarde van e, π, i kun je ook de sneltoetscombinaties CTRL e , CTRL p en CTRL i gebruiken. °, ‘ en ‘’ vind je terug in het Eenhedenpalet

De goniometrische functies;

sin(x), cos(x), tan(x), cotan(x) of cot(x), sec(x) en cosec(x)

Maar ook : sinus(x), cosinus(x), tangens(x), cotangens(x), secans(x), cosecans(x), csc(x)

De cyclometrische functies;

asin(x), acos(x) , atan(x), acot(x), asec(x), acsc(x)

Exponentiële en logaritmische functies;

exp(x) of CTRL e ^x of via sjabloon Bewerkingen xe

xa voor een willekeurige exponentiële functie met 0 < a < 1 of a > 1

ln(x) voor de neperiaanse logaritme met grondtal e

log(x) voor de Briggse logaritme met grondtal 10

log2(x) of log(x,2) voor de logaritme met grondtal 2

log(x,a) voor een willekeurige logaritme met grondtal a met 0 < a < 1 of a > 1

Speciale functies;

abs(x) of |x| , afronden(x) , ceil(x) , floor(x) , sign(x) ,

Uiteraard zijn er binnen Wiris nog heel wat andere functies gekend zoals functies op complexe getallen, hyperbolische, fibonnaci, tartaglia (getallen driehoek Pascal) e.d.



4.6 Algebraïsch rekenen

4.6.1 Uitwerken van uitdrukkingen

Wiris is in staat om ook symbolisch rekenwerk uit te voeren zoals ontbinden in factoren, vereenvoudigen van uitdrukkingen, werken met veeltermbreuken…

Na het ingeven van een uitdrukking probeert Wiris in de mate van het mogelijke deze uitdrukking te “vereenvoudigen”

Werk uit:

Het vereenvoudigen van een uitdrukking komt in dit geval overeen met “uitwerken” Dit levert wiskundig gezien niet steeds de “eenvoudigste” uitdrukking op.

4.6.2 Ontbinden in factoren

Opmerkingen:

In dit tweede voorbeeld moet voor de term 4ax expliciet het vermenigvuldigingsteken worden weergegeven als 4a*x omdat ax de naam van een veranderlijke kan zijn.

Men kan bepalen binnen welke verzameling C of R de ontbinding in factoren moet gebeuren.



4.6.3 Vereenvoudigen uitdrukkingen

4.6.4 De Euclidische deling van veeltermen

Een Euclidische deling van veeltermen via de knop in het palet Bewerkingen.

4.6.5 Splitsing in partiëelbreuken

Hierbij maakt men gebruik van de opdracht “partieelbreuken”. Men kan uiteraard ook eerst de Euclidische deling laten uitvoeren om te komen tot een echte breuk. Het resultaat wordt weergegeven als een lijst van lijsten.

4.6.6 Samennemen termen

4.6.7 Substitutie

Hiermee kan je in een uitdrukking een variabele vervangen door een andere variabel of een uitdrukking.



5 Vergelijkingen en ongelijkheden oplossen met Wiris

5.1 Oplossen van vergelijkingen

VERGELIJKINGEN EXACT (SYMBOLISCH) OPLOSSEN

In deze paragraaf gaat het enkel over het oplossen van één vergelijking of ongelijkheid. Het oplossen van stelsels komt later aan bod.

Voorbeeld 1:

Zoals bij de meeste computer algebra systemen kan men met Wiris ook vergelijkingen oplossen. Gebruik hiervoor de knop in het menu “Bewerkingen”. Er verschijnen 2 plaatshouders voor de beide leden van de vergelijking.

Opmerking: In Wiris versie 1 moest men bij het ingeven van een vergelijking een speciaal symbool gebruiken, met name een Booleaanse operator. In de nieuwste versie van Wiris 2 is het mogelijk om nog alleen gebruik te maken van het “gewone” gelijk-aan-teken. Dit verhoogt (naar leerlingen toe) sterk de gebruiksvriendelijkheid.

Het exact oplossen van vergelijkingen van de tweede graad vormt uiteraard geen enkel probleem. Via de gekende “abc-formule” krijgt men altijd de exacte oplossingen.

Indien men een numerieke benadering wenst, dan volstaat het om in de gegeven vergelijking, één van de getallen te schrijven in zijn decimale vorm. Praktisch volstaat het om een punt te plaatsen na een getal in de vergelijking. (in dit geval bvb 5. of 5.0 )

Voorbeeld 2: hogere graadsvergelijkingen

Bij veeltermvergelijkingen van een hogere graad is het dikwijls zo dat om de oplossingen exact weer te geven gigantische uitdrukkingen nodig zijn. In veel gevallen is het zelfs onmogelijk om de oplossingen exact voor te stellen d.m.v. radicalen (uitdrukkingen met wortels)



Wiris lost deze vergelijkingen symbolisch op en geeft standaard de oplossingen in de verzameling der reële getallen.

Opm. 1:

In sommige gevallen is de exacte oplossing een uitdrukking die vrij ingewikkeld is. De gevonden oplossing wordt dan automatisch numeriek weergegeven.

Opm. 2:

Bij veeltermvergelijkingen vanaf de 5de graad is het niet steeds mogelijk om met een algemene formule m.b.v. radicalen een oplossing voor te stellen. Bij dergelijke vergelijkingen schakelt Wiris over op een numerieke benadering.

Opm. 3:

Bij vergelijkingen van de eerste en de tweede graad met parameters moet men de veranderlijke x aangeven.

Voorbeeld 3: rationale en irrationale vergelijkingen

Een groot aantal algebraïsche vergelijkingen kunnen op deze wijze exact worden opgelost.

Uiteraard is het onmogelijk om alle vergelijkingen exact (algebraïsch) op te lossen.



In dat geval moet men beroep doen op een numerieke oplossingsmethode. Wiris zal enkel bij algebraïsche vergelijkingen automatisch een numerieke benadering geven indien er geen exacte oplossing kan gevonden worden.

VERGELIJKINGEN NUMERIEK OPLOSSEN

Heel wat vergelijkingen zijn helemaal niet symbolisch op te lossen. Vooral “gemengde” vergelijkingen met bvb een exponentieel en algebraïsch gedeelte zijn meestal niet symbolisch op te lossen. Uiteraard kan ook Wiris deze vergelijkingen niet symbolisch oplossen.

Bemerk de melding in de statussbalk !

Nochtans heeft deze vergelijking 2 oplossingen, zoals blijkt uit de volgende grafische voorstelling.

Het is wel mogelijk om deze oplossingen te benaderen met de opdracht “numeriek_oplossen”

Deze opdracht moet men zelf intypen ! Het symbool e ingeven via de knop en niet de letter e van het toetsenbord gebruiken die voorbehouden is voor tekst. Let ook op de underscore _ die gebruikt wordt bij opdrachten die uit meer dan één woord bestaan.

Opmerking: het kiezen van een passende startwaarde is hierbij van groot belang!



5.2 Oplossen van ongelijkheden

Eenvoudige (algebraïsche) ongelijkheden kunnen worden opgelost met de volgende opdracht “oplossen_ongelijkheid” die men manueel moet ingeven. De ongelijkheidstekens kan men ingeven met het toetsenbord of via de werkbalk “Symbolen”

Opmerking:

In versie 1 van Wiris deed zich een nogal vreemde bug voor in het programma. In sommige gevallen werden de ongelijkheden foutief opgelost. Indien men één coëfficiënt van de gegeven ongelijkheid schreef als een decimaal getal dan werd de oplossing wel correct weergegeven. De gemelde bug werd in Wiris versie 2 opgelost.



6 Variabelen en functies

Een variabele wordt in Wiris genoteerd als een letter of een opeenvolging van letters en cijfers (beginnende met een letter).

Men kan op 2 verschillende manieren een waarde koppelen aan een variabele;

• Definitie van een variabele m.b.v. = ( ). Bijvoorbeeld a = b + c. Bij een definitie heeft men te maken met een ogenblikkelijke variabele. Op het moment van de definitie wordt het rechterlid berekend en het resultaat eenmalig gekoppeld aan het linkerlid en opgeslagen in het geheugen. Wijzigt men later de waarde van b en/of c dan zal de waarde van a behouden blijven.

• Toekenning aan een variabele m.b.v. := ( ) Bijvoorbeeld a:= b + c In dit geval zal aan a op elk moment de waarde worden gekoppeld die b + c op dat moment heeft. Men heeft te maken met een dynamische variabele.

Het voorschrift van een functie kan men op de klassieke manier met = (ogenblikkelijke definitie) of met := (dynamische definitie) ingeven.

Onderzoek het verschil tussen = en := aan de hand van een voorbeeld. Ogenblikkelijke variabelen en definitie.

Combinatie van dynamische variabelen en definitie.

Opmerkingen:

Bij het vermenigvuldigen van twee variabelen moet je de vermenigvuldiging expliciet invoeren (met een * ) omdat variabelen ook namen kunnen krijgen die bestaan uit meerdere letters.

Meerdere variabelen en ook opdrachten kan men op één regel plaatsen, gescheiden door een komma ( , ) Voor het niet uitvoeren van een opdracht plaatst men na de opdrachtregel ( ; ).



7 Grafische voorstellingen

Grafische voorstellingen worden met Wiris in principe gemaakt met de opdracht plot. Voor sommige categorieën van functies is de krachtige opdracht voorstelling interessanter.

Beide opdrachten kan men manueel ingeven of via de knoppen in het bewerkingenpalet.

7.1 Grafiek van een reële functie

Een uitermate krachtige opdracht is “voorstelling” waarbij een volledige voorstelling wordt gemaakt van een (algebraïsche) functie waarbij het mogelijk is om de waarden op te vragen van de snijpunten met de x-as, het snijpunt met de y-as, de minima en maxima, de buigpunten. Desgevallend worden ook de asymptoten getekend.

Voorbeeld 1: een rationale functie

Deze opdracht voorstelling probeert zoveel mogelijk kenmerken van de functie op de grafiek aan te duiden; snijpunten met de assen, extrema, buigpunten, asymptoten.

Bij de opdracht voorstelling wordt een automatische kleurencode gebruikt: zwart voor de grafiek van de functie, blauw voor de snijpunten met de assen en ook de asymptoten, rood voor de extrema en roze voor de buigpunten

Indien het niet mogelijk is om een voorstelling te maken van een ( al dan niet algebraïsche) functie dan wordt automatisch overgeschakeld op de opdracht plot.

Voorbeeld 2: een exponentiële functie

Voorbeeld 3: de hartkromme



Bovenste helft

Onderste helft

Volledige hartkromme

7.2 Grafische voorstellingen van kegelsneden

a) Indien de impliciete vergelijking van een kegelsnede gegeven is dan kan men met de opdracht “voorstelling” gebruiken.

Vanaf versie 2 van Wiris kan men gebruik maken van het gewone gelijk aan teken.

Het is niet meer nodig om gebruik te maken van de Booleaanse gelijk aan.



De voorstelling van een hyperbool

b) Men kan ook het voorschrift laten bepalen van een kegelsnede gaande door 5 punten met het meetkundepalet.

Brandpunten en assen worden eveneens getekend en desgevallend berekend met de opdrachten:

c) Men kan tenslotte ook de kegelsnede definiëren met de opdrachten kegelsnede, ellips, hyperbool en parabool. De vergelijking wordt dan berekend en aansluitend de kegelsnede getekend.



7.3 Parametervoorstelling van een kromme

Indien een vlakke kromme gegeven wordt m.b.v. een parametervoorstelling wil dit zeggen dat zowel de x -coördinaten als de y -coördinaten van de punten van de kromme kunnen uitgedrukt worden t.o.v. een reële parameter t.

Voorbeeld : figuur van Lissajous

7.4 Polaire vergelijking van een kromme

De polaire vergelijking van een kromme is een vergelijking waarin de modulus (dit is de afstand van een punt van de kromme tot de oorsprong) uitgedrukt wordt t.o.v. het argument (dit is de hoek die de rechte door het punt en de oorsprong maakt met de x-as). De modulus noteert men meestal met r en het argument met α .

Voorbeeld: een roset r = 3.cos(6. α )

Men definieert vooreerst de kromme met de (niet vertaalde) opdracht polaire_kromme

Het voorschrift moet worden ingegeven, het argument en de grenzen.



8 Rijen

8.1 Rekenkundige en meetkundige rijen

a) De functie rij( )

onderzoekt het begin van een rij getallen en probeert, indien mogelijk, het soort rij te bepalen; constante, rekenkundige of meetkundige rij. Indien de rij geen enkele van deze vormen heeft, dan probeert de functie rij een veeltermvoorschrift voor deze rij te vinden. Dit lukt uiteraard niet altijd. De rij van Fibonacci rij(1,1,2,3,5…) wordt niet als dusdanig herkend.

geeft standaard 3 termen van deze rij en de algemene term.

Indien men een rij de naam p geeft, dan wordt het i-de element van deze rij berekend door het de opdracht p(i) of pi De subindex bekom je met de knop in de werkbalk “Bewerkingen” of door een punt te typen tussen de variabele en de index.

b) De functie aantal_termen_rij( ) laat toe om het aantal weer te geven termen (standaard 3)van de rij te wijzigen

c) De functie som_van_termen( ) heeft 3 argumenten: de rij p, de onder- en de bovenlimiet van het somteken. Bvb som_van_termen(p,1,n) berekent de som van de eerste n termen Deze functie is enkel bruikbaar indien de rij werd bepaald met de functie rij()



8.2 Grafische voorstelling van een willekeurige rij

Een rij kan men ook bepalen met behulp van een expliciet voorschrift.

De overeenkomstige punten kan men grafisch laten voorstellen.

Door aanpassing van de attributen van het plotvenster (middelpunt, breedte en hoogte) krijgt men een duidelijk beeld.

Wiris 2 handleiding deel 1 - Telenetusers.telenet.be/wiskunde/handleidingv2/Wiris 2 handleiding deel...

Documents

Transcript of Wiris 2 handleiding deel 1 - Telenetusers.telenet.be/wiskunde/handleidingv2/Wiris 2 handleiding deel...