Weber Anand 1988.pdf

7/27/2019 Weber Anand 1988.pdf

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C O M P U T E R M E T H O D S I N A P P L I E D M E C H A N I C S A N D E N G I N E E R I N G 79 (1 99 0) 1 7 3-2 02N O R T H - H O L L A N D

F I N I T E D E F O R M A T I O N C O N S T I T U T I V E E Q U A T I O N S A N D A T I M EI N T E G R A T I O N P R O C E D U R E F O R I S O T R O P I C ,H Y P E R E L A S T I C - V I S C O P L A S T I C S O L I D S

G u s t a v o W E B E R * a n d L a l l i t A N A N DDepartment of Mechanical Engineering, Massachusetts Institute of Technology, Cambridge,MA 02139, U.S.A.

R ece i ved 2 Sept embe r 1988

Con sti tute equations f or fini te defo rm ation , isotropic, elastic-viscoplast ic sol ids are form ulated. Th econ cept of a mult ipl icat ive deco m posit ion of the deform ation gradient into an elast ic and a plast ic partis used. Th e const i tut ive equ ation for stress is a hyperelast ic relat ion in term s of the logarithmic elast icstrain. Since the m aterial is assum ed to be isotropic in every local configurat ion determ ined b y theplastic pa rt of defo rm ation grad ient , the in ternal va riables are necessarily scalars. W e use a single scalaras an internal v ariable to re pre sent the isotropic resistance to plastic flow offered by the internal stateof the mater ia l . The consti tut ive equat ion for s tress i s of ten expressed in a ra te form , and for m eta l s i ti s com m on to appro xim ate this ra te eq uat ion, und er the assumpt ion of inf ini tes imal e last ic s tra ins , toarr ive a t a h ypoelas t ic equat ion for the s t ress. H ere , w e do n ot express the s t ress const itutive equat ionin a ra te form , nor d o w e mak e this approxim at ive assumpt ion. Fo r the tota l form of the s t ressequat ion we present a new impl ic i t procedure for updat ing the s t ress and other re levant var iables .Also , the principle o f virtual wo rk is l inearized to ob tain a consistent , closed-fro m elasto-visc oplast ictangent ope ra tor ( the ' Jaco bian ' ) for use in solving fo r global ba lance o f l inear ~aomentum in impl ic it ,two-point , deformation driven fini te element algori thms. The t ime integrat ion algori thm is im-plem ented in the f inite e lement prog ram A BA QU S. To check the accuracy and s tabil ity of thea lgori thm, some representa t ive problems involving la rge , pure e las t ic and combined e las t ic -plas t icdeform at ions a re solved.

I . l ~ r o d u c t i o n

T h e f ir s t o b j e c t i v e o f th i s p a p e r i s t o b r i e f ly r e v i e w a n i s o t r o p i c e l a s t ic - v i s c o p l a s t i cc o n s t i tu t i v e m o d e l f o r f i n it e d e f o r m a t i o n s o f p o l y c r y s ta l l i n e m e t a l s . W e s h a l l li m i t o u ra t t e n t i o n t o m a t e r i a l s w h i c h a r e i n i t ia l ly is o t r o p i c a n d r e m a i n s o . A l t h o u g h t h is w i ll r e s t r ic t t h eu s e o f t h e c o n s t i tu t i v e e q u a t i o n s t o d e f o r m a t i o n l e v e l s w h e r e s ig n i f ic a n t p o l y e r y s t a l t e x t u r i n gh a s n o t b e e n d e v e l o p e d , w e e m p h a s i z e t h a t t h e r e a r e st i l l a n u m b e r o f o p e n q u e s t i o n sc o n c e r n i n g t h e f u n d a m e n t a l s o f t h e t h e o r y a n d i ts i m p l e m e n t a t i o n i n c o m p u t a t i o n a l p r o g r a m s ,e v e n f o r i s o t r o p i c s o l i d s .

T h e c o n s t i t u t i v e m o d e l is e x c e r p t e d f r o m [ 1 ]. W e c o n f i n e o u r a t t e n t i o n h e r e t o t h e p u r e l ym e c h a n i c a l a s p e c t s o f t h e t h e o r y . T h e i n c lu s i o n o f t h e r m a l e f f e c ts i n t o th e g e n e r a l f o r m o f t h e

* No w at the Sibley School of Mechanical and A eros pac e Engineering, Corn el l University, Ithac a, New Yo rk14853-7501, U.S.A.0045-7825/90/$3.50 1990, Elsevier Science Publishers B .V. (N orth-H olland )


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174 G. W eber, L. An an d, Finite deformation constitutive equationst h e o r y is s tr a i g h tf o r w a r d a n d h a s b e e n c o n s i d e r e d p re v i o u s ly b y A n a n d . I n t h i s w o r k , A n a n du s e d t h e m u l t ip l ic a ti v e d e c o m p o s i t i o n o f t h e d e f o r m a t i o n g r a d i e n t i n t o a n e l as t ic a n d a p l a s ti cp a r t , a n d t h e s t re s s r e s p o n s e i n hi s w o r k w a s p r o p e r l y f o r m u l a t e d a s a t o t a l r e l a ti o n b e t w e e na n e l a s t i c ~ t r a i n m e a s u r e a n d i t s e l a s t i c w o r k - c o n j u g a t e s t r e s s m e a s u r e H o w e v e r , t o m a k ec o n n e c t i o n w i th t h e w i d e ly u s e d c u r r e n t e l a s ti c - p la s t i c m o d e l s , h e u s e d t h e a p p r o x i m a t i o n o fi n f i n i t e s i m a l e l a s t i c s t r a i n s ( f o r m e t a l s ) a n d t h e a s s u m p t i o n o f i s o t r o p y t o s h o w t h a t t h e r a t ef o r m o f t h e h y p e r e l a s t i c r e l a t i o n f o r s t r e s s r e d u c e s t o a h y p o e l a s t i c e q u a t i o n i n w h i c h t h eJ a u m a n n d e r i v a t i v e o f t h e s t r e s s is r e l a t e d t o t h e e l a st i c s t r e t c h i n g . T h i s s h o w e d ( s e e a l s o [ 2] )t h e c o n n e c t i o n b e t w e e n a t h e o r y b a s e d o n t h e m u l t ip l i ca t iv e d e c o m p o s i t i o n o f t h e d e f o r m a -t i o n g r a d i e n t i n t o a n e l a s t i c a n d a p l a s t i c p a r t , t o g e t h e r w i t h a h y p e r e l a s t i c c o n s t i t u t i v ee q u a t i o n f o r t h e s t r e s s , a n d t h e w i d e l y u s e d ( s e e , e . g . , [ 3 , 4 ] ) c o n s t i t u t i v e m o d e l s b a s e d o n a na d d i t i v e d e c o m p o s i t i o n o f t h e s t r e t c h i n g t e n s o r i n t o e l a s t i c a n d p l a s t i c p a r t s , i n w h i c h t h ee la s ti c st r e tc h i n g is r e l a t e d t o t h e J a u m a n n d e r i v a ti v e o f t h e s t r es s i n a n a d h o e m a n n e r .A l t h o u g h t h e h y p o e l a st ic f o r m o f t h e c o n s t i t u t iv e e q u a t i o n f o r s t r es s i s a g o o d a p p r o x i m a -t i o n f o r m e t a l s u n d e r s i t u a t io n s w h e r e e l a s t ic s t r a in s r e m a i n s m a l l , a s h a s lo n g b e e n r e c o g n i z e da n d r e c e n tl y e m p h a s i z e d b y a n u m b e r o f a u t h o r s ( s ee [ 5 - 7 ] ) , i n t h e a b s e n c e o f p ia s ti c fl owh y p o e l a s t i c e q u a t i o n s f o r s t r e s s l e a d t o d i s s i p a t i o n . H e r e , f o r t h i s r e a s o n , a n d a l s o s i n c e e v e nm e t a l s c a n u n d e r g o l a r g e e la s t ic d i la t i o n a l c h a n g e s u n d e r h i g h p r e s s u r e s , s u c h a s o c c u r i n h i g hv e l oc i ty im p a c t o r i n e x p l o s io n p h e n o m e n a , w e r e t a in t h e t o t a l h y p e r e l as t i c r e l a t io n f o r t h es t re s s . T h a t i s w e w i l l c o n s i d e r a n e l a s t i c - p l a s t i c c o n s t i t u t iv e m o d e l w i t h a f i n it e e la s t i c r a n g e .T h e p l a s t ic p a r t o f t h e c o n s t i t u t i v e m o d e l is b a s e d o n t h e f o l l o w i n g p h y s i c a l i d e a s :P l as ti c d e f o r m a t i o n d u e t o d i s lo c a t io n m o t i o n i s i n h e r e n t l y r a t e - d e p e n d e n t .u T h e i n s t a n t a n e o u s r e s p o n s e o f a m a t e r i a l is d e t e r m i n e d b y it s c u r r e n t s ta t e . T h e c u r r e n ts t a t e ( w h i c h i s p r o d u c e d b y t h e e n t i r e p a s t h i s t o r y o f d e f o r m a t i o n u n d e r g o n e b y t h em a t e r i a l) m a y b e a s s u m e d t o b e r e p r e s e n t a b l e b y a s m a l l n u m b e r o f m a c r o s c o p i c i n t e r n a l

v a ri ab l es a n d t h e i r e v o l u t i o n to b e r e p r e s e n t a b l e b y r a t e e q u a t i o n s .I n g e n e r a l , t h e a p p r o p r i a t e i n t e r n a l v a r ia b l es a n d t h e i r r a t e e v o l u t i o n e q u a t i o n s a r e n o te a s il y i d c n t if i a b le . H e r e , t o o b t a i n a f i r s t- o r d e r c o n s t i t u t iv e m o d e l f o r f i n i te d e f o r m a t i o n s , w ee m p l o y a s c a l a r a s a n i n t e r n a l v a r i a b l e t o r e p r e s e n t t h e i s o t r o p i c r e s i s t a n c e t o p l a s t i c f l o wo f f e r e d b y t h e i n t e r n a l s t a te o f t h e m a t e r i a l . W e d e n o t e t h i s i n t e r n a l v a r i ab l e b y ~ ( f o r s t a t e ) ,t a k e i t t o h a v e t h e d i m e n s i o n s o f st r e s s, a n d c a ll it t h e d e f o r m a t i o n r e s i s ta n c e . I t r e p r e s e n t s a na v e r a g e d i s o t r o p i c r e s i s ta n c e t o m a c r o s c o p i c p la s t ic f lo w o f f e r e d b y t h e u n d e r l y i n g ' is o t r o p i c 's t r e n g t h e n i n g m e c h a n i s m s s u c h a s d i s l o c a ti o n d e n s i t y , s o l id s o l u t i o n s t r e n g t h e n i n g , s u b g r a i na n d g r a i n s i z e e f f e c t s , e t c . T h e a s s u m p t i o n t h a t o n l y a s i n g l e s c a l a r m a y b e u s e d t oc h a r a c t e r iz e t h e i n t e r n a l s t r u c t u r a l c h a r a c t e r is t i cs o f a m a t e r i a l i s o f c o u r s e a g r o s s s i m p l if ic a -t i o n . N e v e r t h e l e s s , i n t h e s p i r i t o f t h e ' i s o t ro p i c h a r d e n i n g ' a s s u m p t i o n o f t h e c la s s ic a lr a t e - i n d e p e n d e n t p la s ti ci ty t h e o r y , w e p u r s u e t h e c o n s e q u e n c e s o f t h i s s i m p l e a s s u m p t i o n i nt h is p a p e r .

T h e s e c o n d , a n d p r i m a r y p u r p o s e o f t h is p a p e r i s t o r e p o r t o n a n e w , s t a b le , f u l ly im p l i c itp r o c e d u r e f o r i n t e g r a t i n g t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s a c r o s s a g e n e r i c ti m e s t e p . T h e p l a n o f th i sp a p e r i s a s f o l l o w s . A f t e r i n t r o d u c i n g o u r n o t a t i o n i n S e c t i o n 2 , w e r e v i e w o u r c o n s t i t u t i v em o d e l in S e c t i o n 3. I n S e c t i o n 4 w e d e t a i l o u r c o n s i s t e n t a n d s t a b l e t i m e i n t e g r a t i o n a l g o r i t h m ,a n d i n t h i s s e c t i o n w e a l so g i v e t h e c o n s t i t u ti v e c o n t r i b u t i o n t o t h e c o n s i s t e n t J a c o b i a n m a t ri r ,f o r a g l o b a l N e w t o n t y p e e q u i l i b r i u m i t e r a t i o n s c h e m e . I n S e c t i o n 5 w e b r i e fl y d is c u s s c e r t a i na s p e c t s o f t h e i m p l e m e n t a t i o n o f o u r c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s a n d i.r~ te gra tio n a l g o r i t h m i n a


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G. Weber, L. Anand, Fini te deformation const i tut ive equations 175f in it e e l e m e n t p r o g r a m , w e p r e s e n t a f e w e x a m p l e s w h i c h v e r if y th e a c c u r a c y o f o u r t im ei n t e g r a t i o n p r o c e d u r e a n d w e a l s o i l lu s t r a te s o m e i m p o r t a n t a s p e c t s o f o u r c o n s ti t u ti v e m o d e l .W e c o n c l u d e t h e p a p e r i n S e c t i o n 6 , w i t h s o m e c l o s i n g r e m a r k s .

2 . Not a t ionM o s t l y w e s h a l l u s e n o t a t i o n w h i c h i s s t a n d a r d i n m o d e m c o n t i n u u m m e c h a n i c s ( C f . , e . g . ,

[ 8 ] ) :P ,

x : ~ ( p , t ) ,~ 3 = i ( ~ o , t ) ,

p = ~ ( x , t ) ,F ( x , t ) - - ~ p i ( p , t ) , d e t F > 0 ,.~(p , t ) ~ - ~ .~ (p , t ) ,

v - ~ ( ~ ( x , t ) , t ) ,L ( x , t ) - ~ x v (x , t ),

D ( x , t ) - s y m L = L + L t ) ,W (x , t ) ----s k w L = ( L - L t ) ,r ( x , t ) ,

T ' = T - ~ ( t r T ) I ,b ( x , t ) ,= z ( p , ~ ) ,~ T = i ( ~ 0 , ~ ) ,u , ( p , ~ ) - g - x ,P ( p , r ) - { d e t F ( p , ~ ')} T ( ~ ( p , t ) , t ) { / ' ( p , t ) } - t,

b o ( P , z ) = - { d e t F ( p , ~ ' ) } b ( ( p , z ) , z ) ,

m a t e r i a l p o i n t o f a b o d y i n a r e f e r e n c ec o n f i g i r a t i o n G 0 a t t i m e 0 ,m o t i o n ; x p l a c e o c c u p i e d b y p a t t im e t ,c o n f i g u r a t i o n o f t h e b o d y a t t ,

r e f e re n c e m a p ,d e f o r m a t i o n g r a d i e n t ,v e l o c i t y ,s p a t i a l d e s c r i p t i o n o f v e l o c i t y ,v e l o c i t y g r a d i e n t ,s t r e t c h i n g ,s p i n ,C a u c h y s t r e s s ,C a u c h y s t r e s s d e v i a t o r ,b o d y f o r c e d p e r u n i t v o l u m e ,p l a c e o c c u p i e d b y p a t t i m e 7 > t ,c o n f i g u r a t i o n o f t h e b o d y a t t im e r ,i n c r e m e n t a l d i s p l a c e m e n t a t t i m e ~ - ,f i r s t P i o l a - K i r c h h o f f s t r e s s a t t i m e z ,r e f e r e n c e b o d y f o r c e a t t i m e z .

T h e r e f e r e n c e c o n f i g u r a ti o n G 0 is a s s u m e d t o b e s t r e ss -f re e . F o r b r e v it y , a n d w h e n e v e r t h e r ei s n o d a n g e r o f c o n f u s i o n , w e w i ll o m i t t h e a r g u m e n t s ( x , t ) , ( p , z ) e t c . , f o r t h e v a r i o u s f ie l dq u a n t i t i e s l i s t e d a b o v e .3. C onst i tut ive equat ions

T h e s i m p l e s t , a n d m o s t c o m m o n l y u s e d p h e n o m e n o l o g i c a l m o d e l f o r i n f i n i t e s i m a l e l a s t i c -p l a s ti c d e f o r m a t i o n s is t h e c l a s si c al J2 f lo w t h e o r y w i t h i s o t ro p i c h a r d e n i n g . T h e s e t o fc o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s f o r i s o t r o p i c e l a s t i c - v i s c o p l a s t i c s o l i d s c o n s i d e r e d h e r e , i s e s s e n t i a l l y ag e n e r a l i z a t i o n o f t h i s w i d e l y u s e d t h e o r y t o m o d e l f i n it e e l a s ti c a n d p l a st ic d e f o r m a t i o n s , a n dr a t e - d e p e n d e n c e o f p l a s t i c f l o w . T h i s s e t o f c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s c o n s i s t s o f :


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176 G. Weber, L . An and , Finite deformation constitutive equationsThe cons t i tu t ive equat ion for s tress :

H e r e= . f f [ ~ ] . ( 1 )

/ ~ e _ I n V e ( 2 )i s a l o g a r i t h m i c e l a s t i c s t r a i n m e a s u r e ;

~ - - - 2 /~ ,, + (K - ~ / z ) l l (3 )i s ,* he f o u r t h o r d e r i s o t r o p i c e la s t ic i ty t e n s o r , w i t h /x a n d K e l a s ti c s h e a r a n d b u l k m o d u l i ,r e s p e c ti v e l y , .9 t h e f o u r t h o r d e r , s y m m e t r i c i d e n t i t y t e n s o r a n d 1 t h e s e c o n d o r d e r i d e n t i t yt e n s o r ; a n d

_-- R ~t{ (d e t U e ) T } R e (4)i s t h e s t r e s s m e a s u r e w h i c h i s e l a s t i c w o r k c o n j u g a t e t o t h e l o g a r i t h m i c s t r a i n m e a s u r e E *d e f i n e d i n ( 2 ) . A l s o , T i s t h e s y m m e t r i c C a u c h y s t r e s s t e n s o r , a n d i n ( 2 ) a n d ( 4 ) , U e a n d R ea r e t h e e l a s t i c r i g h t s t r e t c h a n d e l a s t i c r o t a t i o n t e n s o r s , r e s p e c t i v e l y , i n t h e p o l a r d e c o m p o s i -t i o n o f a n e l a st ic d e f o r m a t i o n g r a d i e n t F *. T h e e l a s t i c d e f o r m a t i o n g r a d i e n t i s d e f i n e d i n t e r m so f t h e t o t a l d e f o r m a t i o n g r a d i e n t F a n d a p l a s t ic d e f o r m a t i o n g r a d i e n t F p, w i t h d e t F p --- 1 , b y

F e -- FF p-1 , d e t F e > O . ( 5 )T h e p l a s t i c d e f o r m a t i o n g r a d i e n t i s i n t u r n g i v e n b y t h e f l o w r u l e p r e s c r i b e d b e l o w .T h e e v o l u t io n e q u a t io n f o r f f P ; t he f lo w rule:

P = / -~ P /~ P , ( 6 )w i t h ~.r P ~_ s k w P = 0 ( 7 )a n d b p - - s y m P = t i P ( T , i f) = v r ~ ~ P N , ( g )w h e r e

/V = ~ ( T 7 6 ) ( 9 )i s t h e d i r e c t i o n o f p l a s t i c f l o w ,

6 - - ~ ' / ~ ' ( 1 0 )i s a n e q u i v a l e n t t e n s i l e s t r e s s , a n d ~P i s a n e q u i v a l e n t t e n s i l e p l a s t i c s t r a i n r a t e p r e s c r i b e d b yt h e c o n s t i t u t i v e f u n c t i o n

~ P = f ( # , g ) w i t h ~ < g . ( 1 1)

T h e s c a la r ~ i s a n i n t e r n a l v a r i a b l e w h i c h r e p r e s e n t s t h e i s o t r o p i c r e s is t a n c e t o p l a s t i c fl o w


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G. Weber, L. An an d, Finite deformation constitutive equations 177o f f e r e d b y t h e i n t e r n a l s ta t e o f t h e m a t e r i a l. W e t a k e i t t o b e d e f i n e d o n t h e r e l a x e dc o n f i g u r a t i o n , t o h a v e t h e d i m e n s i o n s o f s t re s s , a n d w e c a ll i t t h e d e f o r m a t i o n r e s is t a n c e . A sm e n t i o n e d p r e v i o u s l y , i t r e p r e s e n t s a n a v e r a g e d i s o t r o p i c r e s is t a n ce t o m a c r o s c o p i c p l as t icf lo w o f f e r e d b y t h e u n d e r l y i n g ' i s o tr o p i c ' s t r e n g t h e n i n g m e c h a n i s m s s u c h a s d i s l o c a ti o nd e n s i t y , s o l i d s o l u t i o n s t r e n g t h e n i n g , s u b g r a i n a n d g r a i n s i z e ef f e c ts , e t c . T h e r e s t r i c t i o n tr < se m b o d i e s t h e f a c t t h a t m e t a l p l a s t ic i t y b y d i s l o c a t i o n g l i d e i s t h e r m a l l y a c t iv a t e d a n d t h a t t h ea p p l i e d s t r e s s i s l e ss t h a n t h e d e f o r m a t i o n r e s i s t a n c e ( s e e , e . g . , [ 9 ]) . T h e d e f o r m a t i o nr e s i s t a n c e g e v o l v e s a c c o r d i n g t o i t s e v o l u t i o n e q u a t i o n g i v e n b e l o w .Ev o lu t io n equ a t ion fo r the de form at ion r e si stance ~ :

w h e r e~-= g ( ~ , s ) = h ~ p - f ,h = /~ (t~, g ) i s a ha rde n in g fun c t ion , andf = ~ (# ) i s a s ta t i c r eco ve ry func t io n .

(12 )(13 )(14 )

T o c o m p l e t e t h i s r a t e - d e p e n d e n t c o n s t i t u t i v e m o d e l f o r a p a r t i c u l a r m a t e r i a l t h e m a t e r i a lp r o p e r t i e s / f u n c t i o n s t h a t n e e d t o b e s p e c i fi e d a r e t h e e l a st ic s h e a r a n d b u l k m o d u l i , / ~ a n d r ,r e s p e c t i v e l y ; t h e f l ow f u n c t i o n f i n ( 1 1 ) f o r t h e e q u i v a l e n t t e n s i l e p l a st i c s t r a in r a t e ; a n d t h ei n i ti a l v a l u e , a n d e v o l u t i o n f u n c t i o n g i n ( 1 2 ) f o r t h e d e f o r m a t i o n r e s is t a n c e . E v e n f o r ap a r t i c u l a r m a t e r i a l i t i s n o t e x p e c t e d t h a t t h e s a m e s p e c i a l f o r m s f o r f a n d g w i l l b e a p p r o p r i a t ef o r a l l v a l u e s o f s t r a i n - r a t e s a n d t e m p e r a t u r e s . I n d e e d , d i f f e r e n t p a r t i c u l a r f o r m s f o r t h e s ef u n c t i o n s w il l in g e n e r a l b e n e c e s s a r y f o r d i f f e r e n t r e g i m e s o f s t r a i n -r a te a n d t e m p e r a t u r e .T h e s e f o r m s s h o u l d r e fl e ct t h e d o m i n a n t f e a t u r e s o f th e u n d e r l y i n g m i c r o s t r u c tu r a l m e c h a n -i s m s w h i c h g o v e r n t h e m a t e r i a l r e s p o n s e i n t h e r e g i m e u n d e r c o n s i d e r a t i o n . F o r h i g ht e m p e r a t u r e d e f o r m a t i o n o f m e t a l s a t m o d e r a t e s t r a in r a t e s , s p e c if ic f o r m s f o r t h e f lo wf u n c t i o n f a n d t h e e v o l u t i o n e q u a t i o n g , h a v e b e e n g i v e n re c e n t l y b y B r o w n e t a l. [1 0].N o t e t h a t i n t h e r a t e - d e p e n d e n t m o d e l t h e r e i s n o s w i tc h i ng p a r a m e t e r w h i c h t u r n s pl a st icf l o w o f f o r o n ; p l a s t i c f l o w i s a s s u m e d t o o c c u r a t a l l n o n - z e r o v a l u e s o f s t r e s s . F u r t h e r , t h ee q u i v a l e n t p l a s t i c s t r a i n r a t e , w h i c h i s t y p i c a l l y d e t e r m i n e d b y t h e c o n s i s t e n c y c o n d i t i o n i nr a t e - i n d e p e n d e n t m o d e l s , n e e d s t o b e p r e s c r ib e d b y a c o n s t i tu t i v e f u n c t io n . S i n ce t h e r e i s n oy i e l d c o n d i t i o n t o b e s a t i s f i e d i n t h i s r a t e - d e p e n d e n t m o d e l , t h e r e i s a l s o n o c o n s i s t e n c yc o n d i t i o n w h i c h n e e d s t o b e s a ti sf ie d in t h i s m o d e l . T h e o v e r a ll m a t h e m a t i c a l s tr u c t u r e o f t h isr a t e - d e p e n d e n t m o d e l is s i m p l e b e c a u s e t h e p l a st ic f lo w r u l e is a s m o o t h f u n c t i o n , a l t h o u g ht h e p a r t i c u l a r f o r m o f t h e c o n s t i t u t i v e f u n c t i o n f o r ~P m a y b e m a t h e m a t i c al l y v e r y s t i ff inc e r t a i n r e g i o n s o f p l a s ti c fl o w , r e q u i r i n g s p e c i a l c a r e i n f o r m u l a t i n g n u m e r i c a l a lg o r i t h m s .S i n c e t h e p r e c i s e f o r m u l a t i o n o f fi n it e d e f o r m a t i o n c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s f o r e l a s t i c - p l a s t i cs o l id s is s ti ll u n d e r i n t e n s e d i s c u s s i o n i n t h e l i t e r a t u r e , w e n o t e t h a t o u r c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n sh a v e t h e f o l l o w i n g m a j o r c h a r a c t e r is t ic s :

1. T h e f lo w r u l e u n i q u e l y d e t e r m i n e s t h e p l as t ic d e f o r m a t i o n g r a d i e n t 1 F P , a n d t h isu n i q u e l y a s s o c ia t es a l o c a l c o n f i g u ra t i o n f o r e a c h m a t e r i a l n e i g h b o r h o o d w h i c h is i n t e r m e d i a t eWe hav e put an overbar ov er F p to distinguish his definition of the plastic deformation gradient from the

definition of a similar quantity used by L ee [11], his co-workers and others, discussed ater in the text.


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178 G. Weber, L. Anand, Fini te deformation const i tut ive equationsb e t w e e n t h e p o s i ti o n x o f a m a t e r i a l n e i g h b o r h o o d i n t h e l o a d e d c o n f i g u r a ti o n a n d t h ep o s i t i o n p o f t h e s a m e m a t e r i a l n e i g h b o r h o o d i n t h e r e f e r e n c e c o n f i g u r a t io n . T h i s lo c a lc o n f i g u ra t io n i s t a k e n t o r e p r e s e n t t h e e f f e c ts o f o n l y p la s t ic ( o r in e l a st ic ) d e f o r m a t i o n ,c o m p l e t e l y u n c o u p l e d f r o m e l a s t i c d e f o r m a t i o n ; i t i s s t r e s s - f r e e . W e c a l l i t t h e l o c a l r e l a x e dc o n f ig u r a ti o n . W e n o t e t h a t t h e c o l l e c t i o n o f l o c a l r e l a x e d c o n f i g u r a t io n s a s s o c i a t e d w i t h t h em a t e r i a l p a r t i cl e s o f a b o d y d o n o t n e c e s s a r i l y c o n s t i t u t e a c o m p a t i b l e g l o b a l c o n f i g u r a t io n o ft h e b o d y .

2 . L e t Q b e a t i m e - d e p e n d e n t r o t a t i o n i n a c h a n g e i n o b s e r v e r ( r ig i d b o d y m o t i o ns c p e r p o s e d o n t h e l o a d e d c o n f i g u r a ti o n ) . T h e n , F a n d T t r a n s f o r m a s ( s e e , e . g . [ 8 ] )

F Qr; r - - , QrQ' .A c e n t r al a s s u m p t i o n 2 o f t h e m o d e l i s t h a t f fP re m a i n s u n a f f e c t e d b y a c h a n g e i n o b s e r v e r :

Pp P,.T h e n , u s i n g ( 5 ) a n d t h e t r a l ~ s fo r m a t i o n r u l e f o r F , t h e t r a n s f o r m a t i o n r u l e s f o r F e, U e a n d R ea r e

F ~ -- > Q F ~ , ue- -> U e , Re- - > QR e ,- ew h i l e t h e l o g a ri th m i c s t r a in m e a s u r e E , i ts e l a s ti c w o r k c o n j u g a t e s t re s s m e a s u r e T a n d t h e

d e f o r m a t i o n r e s i s ta n c e g r e m a i n i n v a r i a n t u n d e r a c h a n g e i n o b s e r v e r :

A s is c l e a r f ro m t h e s e t r a n s f o r m a t i o n r u l e s, t h e r e s p o n s e o f t h e i s o t r o p i c e la s t ic v i s c o p la s t ics o li d d e f i n e d b y t h e c o n s t it u t iv e e q u a t i o n s , is i n d e p e n d e n t o f t h e o b s e r v e r .

3 . W e u s e t h e H e n c k y o r l o g a r it h m i c m e a s u r e o f e la s ti c s tr a i n a n d i ts e la s t ic w o r kc o n j u g a t e 3 m e a s u r e o f s t re s s f o r f o r m u l a t i n g t h e h y p e r e l a s t i c c o n s t i t u t iv e e q u a t i o n f o r s t r e ss .

I t h a s b e e n s h o w n b y A n a n d [ 18 , 1 9] th a t f o r i s o t ro p i c e l a s t ic s o l id s t h e h y p e r e l a s t ic , l i n e a rs t r e s s - s t ra i n r e l a ti o n 4 ( 1 ) i s an e x c e l l e n t g e n e r a l i z a t io n o f t h e c la s si ca l H o o k e ' s l a w f o ri n f i n i t e s i m a l i s o t r o p i c e l a s t i c i t y t o ' m o d e r a t e l y l a r g e ' e l a s t i c s t r a i n s i n v o l v i n g p r i n c i p a l s t r e t c h -e s i n t h e r a n g e 0 . 7 t o 1 . 3 . I n t h i s e q u a t i o n / . ~ a n d ~ a r e t h e c l a s s i c a l e l a s t i c c o n s t a n t s w h i c h m a yb e d e t e r m i n e d f r o m e x p e r i m e n t a l d a t a a t in f in i te s im a l s t r ai n s. A l l m o d e r a t e s t ra i n n o n -l i n e a r i t i e s a r e i n c o r p o r a t e d i n t h e l o g a r i t h m i c s t r a i n m e a s u r e . A n a n d h a s d e m o n s t r a t e d t h a t

2Naghdi and co-workers (s ee e.g., [12 -14 ] propose to im po se the additional invariance requirement(Fe, ffP)--~(FQ, QtF p) w he re Q is an arbitrary time-dependent rotation . We do not im po se thi s restrictiverequirement h ere because we consider such a requirement more a statement regarding material symmetry ratherthan one regarding a change in observer. A lso see [15], and the d iscussion of [15] by C ase y [16] for ongoingdiscussions of this issue.3 For a detailed discussion of w ork conjugate stress-strain me asures see [17].4 W ith the superscripts e droppe d.


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G. Weber, L. Anand, Fini te deformation const i tut ive equations 179t h e p r e d i c t i o n s f r o m t h i s s i m p l e l i n e a r r e l a t i o n i n v o l v i n g a n o n - l i n e a r s tr a i n m e a s u r e a n d i t sw o r k c o n j u g a t e s t re s s m e a ~ , r e a r e i n e x c e ll e n t a g r e e m e n t w i t h a w id e v a r i e ty o f e x p e r i m e n t sw h i c h i n c l u d e s t a ti c c o m p r e s s i b il i ty e x p e r i m e n t s o n m e t a l s u n d e r h i g h p r e s s u r e s , l a r g ed e f o r m a t i o n u n i ax i a l t e n s i o n o f c o m p r e s s i b le p o l y u r e t h a n e f o a m r u b b e r s , a n d t h e i n c o m p r e s s -i b le v e r s i o n o f t h is r e l a t io n ( w h i ch i n v o lv e s o n l y t h e s h e a r m o d u l u s / z ) i s i n g o o d a g r e e m e n tw i t h s i m p l e t e n s i o n a n d c o m p r e s s i o n , p u r e s h e a r , t o r s i o n a n d c o m b i n e d e x t e n s i o n - t o r s i o n o fv u l c a n i z e d n a t u r a l r u b b e r s . F u r t h e r , f r o m a m o n g s t a v a r ie t y o f w i d e ly u s e d s t r a in m e a s u r e s ,h e s h o w e d t h a t i t w a s t h e l o g a r i th m i c s tr a in m e a s u r e w h i c h b e s t g e n e ra l iz e s t h e s t r a in e n e r g yf u n c t i o n f o r c la s si c al i n f i n i te s i m a l i s o t r o p i c e l a s ti c it y t o m o d e r a t e e l a s ti c s t r a in s .T h e u s e o f t h is s t r a in m e a s u r e a n d it s w o r k c o n j u g a t e s t re s s o f f o r m u l a t i n g c o n s t it u ti v ee q u a t i o n s f o r e l a s t i c - p l a s t i c m a t e d , l s w a s f i r s t s u g g e s t e d b y R i c e [ 2 0 ] .

4 . N o t e t h a t i n t h e p l a s t i c p a r t o f t h e s e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s( a) W e h a v e s p e c i f ie d t h e f l o w r u l e d i r e c t ly i n t e r m s o f L p, t h e p l a s ti c v e lo c i t y g r a d i e n t i nt h e r e l a x e d c o n f i g u r a t io n , a n d t a k e n i t t o b e g o v e r n e d b y t h e v a r i a b le s ( T , # ) w h i c h a rea ls o d e f i n e d o n t h e r e l a x e d c o n f i g u r a ti o n .( b ) S i n c e t h e e l a s t i c - v i s c o p l a s h c s o l i d i s t a k e n t o b e i s o t r o p i c i n e v e r y r e l a x e d c o n f i g u -r a t i o n , t h e p l a s t ic s p i n W p i s t a k e n t o v a n i s h .(c ) W e h a v e d e p a r t e d f r o m t h e c la s si ca l t h e o r i e s a n d h a v e n o t a s s u m e d t h e e x i s te n c e o f a n yy i e ld c o n d i t i o n s a n d a t t e n d a n t l o a d i n g c r i te r ia . F u r th e r~ t h e m o d e l b e l o n g s t o t h es o - c a l l e d c l a s s o f ' u n i f i e d c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s ' i n w h i c h ' p l a s t i c i t y ' a n d ' c r e e p ' a r eu n i f ie d , i n t h a t t h e y a r e d e s c r i b e d b y t h e s a m e s e t o f fl o w a n d e v o l u t i o n a r y e q u a ti o n s .

( d ) T h e r e s p o n s e f u n c t i o n s f o r / ~ , P a n d ~ / - h a v e b e e n a s s u m e d n o t t o d e p e n d o n : F , w h i c hm e a n s t h a t w e a s s u m e t h a t t h e r e i s n o i n s t a n t a n e o u s p la s ti ci ty .( e) T h e r e s t ri c t i o n d e t F p = 1 e m b o d i e s o u r a s s u m p t i o n t h a t p l as t ic d e f o r m a t i o n i n m e t a l si s e s s e n t ia l l y i n c o m p r e s s i b l e .

5 . E q u a t i o n ( 5 ) m a y b e r e a r r a n g e d t o y i e ld t h e f o ll o w i n g m u l t i p li c a ti v e d e c o m p o s i t i o n f o rF :

F = F ~ P p .T h i s m u l t ip l ic a t iv e d e c o m p o s i t i o n o f th e d e f o r m a t i o n g r a d i e n t w a s f ir st p r o p o s e d b y L e e a n dL i u [ 21 ]. H o w e v e r , w e n o t e t h a t L e e , O n a t a n d t h e i r c o - w o r k e r s (s e e [1 1, 2 2 - 2 4 ] ) a n d m o r er e c e n t l y P a r k s a n d h i s c o - w o r k e r s 5 ( s e e [ 2 5 - 2 7 ] ) a l s o u s e a m u l t ip l i c a t iv e o e c o m p o s i t i o n o f t h ed e f o r m a t i o n g r a d i e n t i n t o a n e l a s ti c a n d a p l a s t ic p a r t , h o w e v e r , t h e i r d e f i n i t i o n o f ' e la s t ic ' a n d' p l a s t i c ' d e f o r m a t i o n g r a d i e n t s d i f f e r f r o m t h e d e f i n i t i o n s a d o p t e d h e r e . T o m a k e t h i sd i f f e re n c e c le a r , w e d e n o t e t h e q u a n t i t y c a l le d t h e p l a s ti c d e f o r m a t i o n g r a d i e n t b y t h e s ea u t h o r s , F p, a s o p p o s e d t o o u r F p. T h e s e a u t h o r s f i r st c o n s i d e r a n ' e la s t ic d e s t r e s s i n g e v e n t 'f r o m t h e l o a d e d c o n f i g u r a t i o n , ca l l t h e d e f o r m a t i o n g r a d i e n t a s s o c i a t e d w i t h th i s el a s ti cd e s t r e s s i n g F e, a n d t h e n t o m a k e t h e p r o d u c t d e c o m p o s i t i o : a o f F i n t o a n e l a s t ic a n d a p l a s ti cp a r t u n i q ~ e , t h e y i m p o s e t h e c o n s t r a i n t F -= V ~ - v e t ; t h a t i s, t h e y a s s u m e t h a t t h e e l a st i c

s The w ork of these authors is directed at modeling he finite deformationelastic-plastic deform ationbehaviorof amorphous polymersbelow the glass transition temp erature.


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~ , 0 G . W e b e r , L . A n a n d , F i n i t e d e f o r m a t i o n c o n s t i tu t i v e e q u a t i o n s

d e s t r es s i n g is p e r f o r m e d w i t h o u t a n y r o t a t io n . T h e p l a s ti c d e f o r m a t i o n g r a d i e n t i n th e i r t h e o r yi s th e n d e f i n e d b y F p = - F V e-1. T h e y c a l l t h e c o n f i g u r a t i o n d e t e r m i n e d b y t h is F p t h e ' f a v o r e du n s t r e s s e d c o n f i g u r a t io n ' . I n t h is d e c o m p o s i t i o n o f F , V e a n d F p t r a n s f o r m u n d e r a c h a n g e i no b s e r v e r a c c o r d i n g t o

v e - - - > Q V e Q t a n d F P - - - > Q F p .

i t is i m p o r t a n t t o n o t e t h a t A g a h - T e h r a n i e t al . [2 4] c o n s i d e r t h a t , " . . . t h e d e f o r m a t i o ng r a d ie n t F p e x p r e ss e s p u r e p l as ti c d e f o r m a t i o n u n c o u p l e d f r o m d a s t i c d e f o r m a t i o n " . I np a s s in g w e n o t e t h a t i f w e a s s u m e t h a t t h e l e f t s t r e tc h t e n s o r V e i n t h e t h e o r y o f th i s g r o u p o fa u t h o r s i s t h e s a m e a s t h e l e f t s t r e t c h t e n s o r c o r r e s p o n d i n g t o t h e e l a s t i c d e f o r m a t i o n g r a d i e n td e f i n e d i n ( 5 ) , t h e n i t i s p o s s i b l e t o m a k e t h e c o n n e c t i o n t h a t

F p ~__R e p p .

T h u s , w h a t is c a l le d p u r e p l a st ic d e f o r m a t i o n b y th e s e a u t h o r s d i f fe r s f r o m w h a t w e c al l p u r ep l a st ic d e f o r m a t i o n b y t h e r o t a t i o n R e. F r o m t h is r e l a ti o n b e t w e e n t h e t w o p l a s t i c d e f o r m a t i o ng r a d i e n ts w e o b t a i n t h e f o l lo w i n g re l a t io n s b e t w e e n t h e t w o p l a s ti c s tr e t c h in g s a n d s p in s :

a n dD p = e e / ) p e etW p = / l e R ' + RI~'PR ~t .

T h i s g r o u p o f a u t h o r s i s u n s e t t l e d a s t o h o w t o s p e c i f y t h e e v o l u t i o n o f w h a t t h e y c a ll t h e p u r ep la s ti c d e f o r m a t i o n g r a d ie n t . W i t h L p - / ~ P F p - ~ = D P + W p, i t t u rn s o u t t h a t t h e a s s u m e ds y m m e t r y o f F ~ i m p o s e s t h e c o n s t r a i n t

v e ( w - W p ) + ( W - W P ) V e = V e ( D + D p ) - ( D + D P ) V e .T h u s , i n t h e ir f o r m u l a t i o n , u n d e r a n i m p o s e d L - / b F - 1 = D + W , i f a c o n s t i t u t iv e e q u a t i o n f o rD p i s g i v e n, t h e n t h e c o n s t r a i n t e q u a t i o n a b o v e d i c t a t e s w h a t W p n e e d s t o b e i n o r d e r t om a i n t a in t h e a s s u m e d s y m m e t r y o f F ~. F u r t h e r , w h i l e P a r k s a n d c o - w o r k e r s g i v e a c o n s t it u t i v ee q u a t i o n f o r D p, L e e , O n a t a n d c o - w o r k e r s s p e c i f y a c o n s t i tu t i v e e q u a t i o n f o r a v a r i a b l e t h e yd e n o t e b y b p a n d d e f i n e b y

Ce/ ) p + / )P C e = 2 V e D P V e , w i t h C ~ = V ~2 .W e n o t e t h a t t h e i r w h o l e m a t h e m a t i c a l c o n s t r u c t i o n i s b a s e d o n t h e a s s u m p t i o n F e = V e = V e t.\ V e e m p h a s i z e , t h a t w e d o n o t a d o p t t h is k i n e m a t i c a l r e s t r i c ti o n o n t h e m u l t ip l i c a ti v ed e c o m p o s i t i o n o f F i n t o an e la s t ic a n d p la s t ic p a r t, o r t h e a t t e n d a n t m a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k ,w h i c h , b e c a u s e o f t h e c o m p l i c a t e d c o u p l i n g b e t w e e n t h e ' e la s t ic ' a n d ' p la s t ic ' q u a n t i t i e s ,m a k e s i t v e r y c u m b e r s o m e f o r n u m e r i c al i m p l e m e n t a t i o n s . I n o u r w o r k , w e h a v e t a k e n t h ev i e w p o i n t t h a t o n c e a c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n f o r t h e e v o l u t i o n o f a p l a s t i c d e f o r m a t i o n g r a d i e n tis s p e c i f ie d a n d F e i s d e f i n e d a s in ( 5 ) , t h e m u l t i p l i c a ti v e d e c o m p o s i t i o n o f F i s a u t o m a t i c a l l yu n i q u e ( s ee a ls o [ 6 ]) . I n a n y e v e n t , f o r i s o t ro p i c m a t e r i a l s ( t o w h i c h w e h a v e r e s t r i c t e d o u r


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G. Weber, L. Anand, Fini te deformation const i tut ive equatiot~ 18 1a t t e n t i o n i n t h is p a p e r ) t h e o r i e n t a t i o n o f t h e r e l a x e d c o n f i g u r a t i o n i s i m m a t e r i a l , a n d t h em a t h e m a t i c a l f r a m e w o r k a d o p t e d h e r e l e a d s t o a s t r a ig h t - fo r w a r d n u m e r i c a l t i m e - i n te g r a t io npr oc ed ur e , w hich we ~b::~vi~ '~c h i w ha t fo l low s .

4. Com putational aspectsI n t y p ic a l ' im p l i c i t' f i ni te c l e m e n t p r o c e d u r e s w h i c h u s e n o n l i n e a r c o n s t it u t iv e m o d e l s , t h ed i s c re t iz e d p r i n ci p l e o f v ir t u a l w o r k , w h i c h e n f o r c e s e q u i l ib r i u m a n d b o u n d a r y c o n d i t i o n s i n aw e a k s e n s e , g e n e r a t e s a n e s t i m a t e d i n c r e m e n t a l d i s p l a c e m e n t f i el d w h i c h i s u s e d t o c a l c t: !a t et h e i n t e g r a t i o n p o i n t v a l u e s o f t h e s t r e s s T a n d o t h e r f i e l d v a r i a b l e s a t t h e e n d o f a t i m ei n c r e m e n t . I f t h e s e s t r e s s e s d o n o t s a t i s f y t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k a t t h e e n d o f t h ei n c r e m e n t , t h e n t h e e s t i m a t e o f t h e i n c r e m e n t a l d is p l a c e m e n t f ie ld is r e v i se d a n d n e w e n d s o fi n c r e m e n t s t r e s s e s a r e c a l c u l a t e d ; i t e r a t i o n c o n t i n u e s u n t i l t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k i s

s a t i s f i e d t o w i t h i n a c c e p t a b l e t o l e r a n c e s .A c c o r d i n g l y , w e a s s u m e ( i ) t h a t w e a r e g i v e n F ( t ) a n d t h e l i s t o f v a r i a b l e sl ( t ) = ( T ( t ) , F P ( t ) , ~-(t)}, (15)

a t t i m e t , w i t h t h e C a u c h y s t r e s s T ( t ) , c o r r e s p o n d i n g t o T ( t ) , s a t is f y in g e q u i l i b r i u m ; a n d ( i i )t h a t w e a r e a l so g i v e n t h e d e f o r m a t i o n g r a d i e n t F ( r ) a t t i m e ~" = t + A t . W i t h t h e s e g i v e n s , w et a k e t h e c o m p u t a t io n a l p r o b le m s t o b e1 . A s t a b l e , a c c u r a t e a n d e f f i c ie n t c o m p u t a t i o n o f t h e t r i p l e t 1 0 %2 . T h e c o m p u t a t i o n o f a c o n s i s te n t J a c o b i a n m a t r i x t o b e u s e d i n a N e w t o n t y p e it e ra t iv em e t h o d f o r r e v i s i n g t h e e s t i m a t e d d i s p l a c e m e n t s s u c h t h a t t h e u p d a t e d s t r e s s e s b e t t e rs a t i s f y t h e p r i n c i p l e o f v i r t u a l w o r k a t t h e e n d o f t h e i n c r e m e n t .A s e m p h a s i z e d b y H u g h e s [4 ], t h e s e a r e t h e m a i n p r o b l e m s o f c o m p u t a t i o n a l p l a st ic i ty ,w i t h i t e m 1 b e in g t h e c e n t r a l p r o b l e m , b e c a u s e J a c o b i a n m a t r ic e s a r e u s e d o n l y in t h e s e a r c hf o r d i s p l a c e m e n t fi e ld s t h a t l e a d t o s a t is f a c ti o n o f t h e p r i n c i p l e o f v ir t u a l w o r k , b u t i n t h e e n dh a v e n o e f f e c t o n t h e a c c u r a c y o f t h e s o l u t i o n . I n d e e d , i n ' e x p li c i t' fi n it e e l e m e n t p r o c e d u r e s ,w h i c h a r e w i d e l y u s e d i n l a r g e s c a l e in e l a s ti c an a l y s is , J a c o b i a n m a t r i c e s a r e n o t r e q u i r e d , a n di t e m 1 i s t h e o n l y f u n c t i o n r e q u i r e d o f a ' c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s u b r o u t i n e ' .

Q u a s i - s t a t i c b o u n d a r y - v a l u e p r o b l e mA s s u m e t h a t t h e c u r r e n t c o n f i g u r a ti o n ~ , o f a b o d y w h i c h is in e q u i l ib r i u m is k n o w n , a n ds u p p o s e t h a t t h e e q u i l i b r i u m s t r e ss f ie l d T ( x , t ) t o g e t h e r w i t h t h e o t h e r f ie l d v a r i a b le s a n d t h er e l e v a n t m a t e r i a l p a r a m e t e r s a r e g i v e n . L e t D 0 a n d ,Yo b e c o m p l e m e n t a r y r e g u l a r s u b s u r fa c e s

o f t h e b o u n d a r y O ~ 0 o f ~ '0 - D e n o t e t h e r e f e r e n c e b o d y f o r c e a t t i m e z b y b 0( p , r ) , t h ei n c r e m e n t a l d i s p l a c e m e n t s u t ( p , 7 ) p r e s c r i b e d a t p o i n t s p o f D 0 b y f~ t (P , ~ ) , a n d d e n o t e t h esu r face t r ac t ions P ( p , r ) n ( p ) p r e s c r i b e d o n p o i n t s p o f 5 e b y i ( p , ~ ) . ( M o r e c o m p l i c a t e db o u n d a r y c o n d i t i o n s m a y b e e n v i s i o n e d , b u t w e d o n o t g o i n t o t h a t m a t t e r h e r e . )G i v e n t h e s e d a t a , a s u f f ic i e n tl y s m o o t h v e c t o r f i e ld u , ( p , ~ ' ) g e n e r a t e s k i n e m a t i c a l q u a n t i t i e sw h i c h t h r o u g h t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s a l l o w u s ( v i a a p p r o p r i a t e t i m e - i n t e g r a t i o n p r o c e -d u r e s ) t o c a l c u l at e t h e s t es s f i e ld T ( ~ , ~') a n d t h e o t h e r f ie l d v a r i a b le s o n t h e c o n f i g u r a t i o n ~ ,


10/30

18 2 G . W e b e r , L . A n a n d , F i n i te d e f o r m a t i o n c o n s t i t u t iv e e q u a t i o n sa t t i m e ~'. I f t h i s d i sp l ace m en t f i e l d u t ( p , ~ ) i s s u c h t h a t t h e s t r e ss f i e ld T ( ~ , ~ ') w h e n e x p r e s s e di n t e r m s o f t h e f i r s t P i o l a - K i r c h h o f f s t r e s s P ( p , ~ ) sat isf ies

L LP ( P ' 7 ) . - ~ p ~ ( p , ' r) d V - o bo ( P , 'r ) . gT(p , 'r ) d V - ~o ~ ( p , ' r ) - 17 (p , "r) d A = 0 ,( 1 6 )f o r e v e r y s u f f ic i e n t ly s m o o t h ' v a r i a t i o n a l ' v e c t o r f i el d ~ ( p , ~ ') ( w h i c h i s n o t i d e n t i c a l l y z e r o ,a n d w h i c h v a n i s h e s o n ~ 0 ) , t h e n i t is c a l le d a ( w e a k ) s o l u t i o n o f t h e m i x e d p r o b l e m .

I n o r d e r t o o b t a i n s u c h a s o l u ti o n w e f ir st n e e d t o a s s u m e a d e f o r m a t i o n p a t h b e t w e e n ~ ,a n d ~ , f o r p u r p o s e s o f d is c r e ti z a ti o n o f t h e r e l e v a n t k i n e m a t i c a l q u a n t it i e s, a n d t h e n t oi n t e g r a t e t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n s a c r o s s a ti m e - s t e p , A t = r - t , to o b t a i n

T ( 7 ) = T ( F ( 7 ) , A t ; F ( t ) , l ( t ) ) .S i n c e p l a s t i c i t y i s p a t h - d e p e n d e n t , w e m u s t r e s t r i c t t h e t i m e i n c r e m e n t A t a n d t h e r e l a t i v ed e f o r m a t i o n g r a d i e n t F t 0 " ) --- F ( z ) F ( t ) -1 t o b e ( i n s o m e s e n s e ) ' s m a l l ' .Ti m e i n t egra t i on procedure

F o r m o s t o f t h i s s e c t i o n i t w i ll b e m o r e c o n v e n i e n t t o m a k e t h e i d e n t i f i c a t io n s t n --- t a n dtn +l = z, t o i n d i c a te t h e i n c r e m e n t a l n a t u r e o f t h e t i m e - i n t e g r a t i o n p r o c e d u r e . T h e s o l u t io nb e i n g s u p p o s e d t o h a v e b e e n o b t a i n e d u p t o t i m e t n, a n d t h a t a t t i m e t n+ 1 b e i n g s o u g h t .F u r t h e r , s u b s c r i p t s ' n ' a n d ' n + 1 ' o n v a r i a b l e s w i ll i n d i c a t e t h a t t h e v a r i a b l e s a r e e v a l u a t e d a tt im es t~ and t~ +1, respe c t ive ly .

A s s u m e t h a t F n a n d I n = { T , , Fp~ #~} a t t i m e t~ a r e k n o w n , a n d F , + I a n d A t a r e g i v e n ; t h e nt h e p r o b l e m is to i n t e g r a t e t h e e v o l u t i o n e q u a t i o n s f o r F P a n d g a c r o ss a t i m e i n c r e m e n tA t tn + 1 tn i n o r d e r t o c a lc u l a t e t h e v a l u e o f l n + 1 = { T n + l , - p- F ~ + I , g ~ + l} , t h e n t r a n s f o r m T ~+ It o T ~ + I , a n d t h u s m a r c h f o r w a r d i n t i m e . I n w h a t f o l l o w s , w e p r e s e n t a o n e - s t e p a l g o r i t h mw h i c h i s s u i t a b l e f o r f i n i t e e l e m e n t a p p l i c a t i o n s .I n o u r a l g o r i th m t h e e v o l u t i o n e q u a t i o n f o r t h e p l a s ti c d e f o r m a t i o n g r a d i e n t FP i s i n t e g r a t e db y m e a n s o f t h e o p e r a t o r 6

6 C o n s i d e r a s y s t e m o f o r d i n a r y d i f f e r e n t ia l e q u a t i o n s o f t h e f o r m, ~ = A ( y ) y ,

a n d c o n s i d e r a o n e - s t e p , i m p l ic i t i n t e g r a ti o n o p e r a t o r d e f i n e d b yY n + ] = e x p { A t A ( y , + ~ ) } y n . ( , )

T h e f ir st o r d e r a c c u r a c y r e q u i r e m e n t i n A t fo r c o n s i s t en c y o f t h is o p e r a t o r i s e a s i ly v e r if i ed . F r o m ( * )lira Yn + 1 = Yn At~O

A l s o , d i f f e r e n t i a t in g ( * ) w i t h r e s p e c t t o t . + ~ ( = t n + A t ) g i v e sdy~ +dt~+~ = A ( Y n + ~ ) Y n + O ( A t ) , ~

w h i c h y i e l d sdyn+ ~ dy~l i ra = - - = A ( y ~ ) y ~ .a~ 0 d tn+~ d t~


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G. Weber, L. Anand, Finite deformation constitutive equations 183-P =- D. +I }F . ,+1n+ 1 exp{At p - P D P = D P ( ~ + I , S n + I ) ( 17 )

w h i l e t h e i s o tr o p i c h a r d e n i n g v a r ia b l e i s i n t e g r a t e d v ia a n E u l e r b a c k w a r d o p e r a t o rYn+l = f in + At g ( ~ n + l , s ', + 1) ( 1 8 )

T h e n , u s i n g ( 5 ) a n d ( 1 7 ) , t h e e l a s t i c d e f o r m a t i o n g r a d i e n t i s g i v e n b yeF : + 1 = F , e x p ( - A t L ~ P+ I} , ( 1 9 )

w h e r eF : - F . ( 2 0 )

i s a ' t ri a l v a l u e ' o f t h e e l a s ti c d e f o r m a t i o n g r a d i e n t . T h e t e n s o r s F ~ + ~ , F ~ . a d m i t t h e p o l a rd e c o m p o s i t i o n s

e R e U e e e e= = R , U , ( 2 2)n+l n + l n + l ' F ,U s i n g ( 2 1 ) in ( i 9 ) a n d r e a r r a n g i n g , w e o b t a i n

e e e ( 2 2 )R n + x U n + 1 e x p { A t / ) P + I } = R : U , .L e t t h e b r a c k e t f u n c t i o n [ . , ] d e n o t e t h e o p e r a t i o n

[ A , B I - A n - B A

f o r a ll s e c o n d o r d e r t e n s o r s A a n d B . T h e n , d u e g o t h e i s o t r o p i c c h a r a c t e r o f th e s t r e s s - s t r a i ne q u a t i o n ( 1 ) ,

[2 Fn +~ , V ~ + l ] = 0 , ( 2 3 )a n d b e c a u s e o f t h e i s o tr o p i c c h a r a c te r o f t h e c o s t i tu t i v e e q u a t i o n ( 8 ) f o r / 3 p

e A p[U n + ~ , e x p {AtD (Tn+~, g , + l ) } ] = O . ( 2 4 )T h i s l a t t e r r e l a t i o n i m p l i e s t h a t t h e t e n s o r

U n +~ e x p { A t - pO n + l }is s y m m e t r ic . H e n c e , b e c a u s e o f th e u n i q u e n e s s o f t h e p o l a r d e c o m p o s i t i o n , ( 2 2) y i e ld s

R ~ + I = R , ~ , ( 2 5 )U : + I e x p ( A t/ ~,P + x } = U ~ . ( 2 6 )

E q u a t i o n ( 2 6 ) i m p l i e s t h a t U ~, a n d U ,~ +t h a v e t h e s a m e p r i n c i p a l d i r e c t io n s . T h u s , t a k i n g tl~ el o g a r i t h m o f b o t h s i d e s o f ( 2 6 ) a n d r e a r r an g i n g , w e g e t


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18 4 G. Weber, L. Anand, Fini te deformation const i tut ive equations

w h e r e- - e - - eE . + I = E , - A t D P I , ( 27 )

l ~ , e ___ n U ~, , ( 2 8 )

i s a ' t r i a l e l a s t i c s t r a in ' .S u b s t i W f i n g ( 2 7 ) i n ( 1 ) w e o b t a i n t h e s t r e s s u p d a t e

w h e r e- , _ . o ~ [ A t 6 P + , ]T n l + T . + ,

- * -= ~ e [ ~ : ]n + l( 2 9 )(30)

i s a ' t r i a l s t r e s s ' .F i n a ll y , u s i n g ( 3 ) a n d ( 8 ) - ( 1 1 ) i n (2 9 ) , a n d r e c a ll i n g ( I 8 ) , w e a r r i v e a t t h e f o l l o w i n g p a i r o fe q u a t i o n s f o r u p d a t i n g T a n d g :

T . + I = T * + I - ( X /- 6/ x A t ) ~ P + I N . + I , ( 3 1 )S-n+ 1 = S \ + A t g ( O . + , , . + , ) . ( 3 2 )

I n a d i s p l a c e m e n t b a s e d f i n it e e l e m e n t m e t h o d t h e t r ia l s t r e s s ~+ 1 c a n b e c a l c u l a t e d d ire ctly _i n te r m s o f q u a n t i t i es k n o w n a t t h e b e g i n n i n g o f th e s o l u t i o n p r o c es s . T h u s , t o u p d a t e t h e Ta n d g u s i n g ( 3 1 ) a n d ( 3 2 ) , w e n e e d t o c a l c u l a t e / V . + I , -'pn + l = f ( o r n + l , f f n + l ) a n d s . + 1.I t i s e a s i ly s h o w n t h a t N . + 1 i s g i v e n i n t e r m s o f T * + I b y

] V n + l - * t - - * tr .+ l/l lr .+ ~ ll V ~ - * ' - *= ( T . + l / o . . + ~ ) ( 3 3 )w h e r e- * V 3 @ * ' . T * ' ' . + l - = ~ * . + l .+ 1 , ( 3 4 )

a n d h e n c e N . +1 i s a l so k n o w n a t t h e b e g i n n i n g o f t h e s o l u t i o n p r o c e s s . E q u a t i o n ( 3 3 ) m a y b er e a r r a n g e d t o r e a dT ' .+ I - ' q . + ~ T * ' + , , w h e r e r/.+ ~ ~ ( ~ . + 1 1 ~ n * + 1 ) . ( 3 5 )

N e x t , f r o m t h e d e v i a t o r i c p a r t o f ( 3 1 ) w e o b t a i n_ _ * ~ Po . . + 1 = o . . + 1 - 3 / x A t . + 1 ( 3 6 )

T h u s , f r o m ( 3 2 ) , ( 3 6 ) a n d ( 1 1 ) , t h e p r o b l e m r e d u c e s t o s o l v in g f o r g . + t a n d t~ .+ 1 f r o m t h e p a i ro f s c a l a r e q u a t i o n s~ . + 1 - ~ * + l + 3 / ~ A t f ( ~ . + l , s n + l ) = 0 ,S'-n+1 - - f f n - - A l g ( 6 " n + l , f f n + l ) . ~ - O .

( 3 7 )(38)

I n t h e c o n t e x t o f a c o n s t i t u t i v e m o d e l f o r e l a s t o - v i s c o p l a s t i c i t y w h i c h u s e d a h y p o e l a s t i c


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G. Weber, L. Anand, Finite deformation constitutive equations 185e q u a t i o n f o r t h e s t r e s s , b u t i s o t h e r w i s e s i m i l a r t o t h e o n e c o n s i d e r e d h e r e , L u s t e t a l . [ 2 8 ]h a v e s h o w n t h a t o n e a r r i v e s a t a p a i r o f e q u a t i o n s s i m i l a r t o ( 3 7 ) a n d ( 3 8 ) , w h i c h n e e d t o b es o l v e d t o u p d a t e t h e s o l u t i o n . F o r t h e i r h y p o e l a s t i c b a s e d c o n s t i t u t i v e m o d e l 7 L u s h e t a l. [ 2 8]h a v e d e t a i l e d a r o b u s t a n d e f f ic i e n t i t e r a ti v e m e t h o d f o r o b t a i n i n g t h e s o l u t i o n f o r a l a r g e cl a sso f f u n c t i o n s f a n d g . T h e i r s o l u t i o n m e t h o d i s d i r e c tl y a p p l i c a b l e h e r e a s W ell.T h e C a u c h y s t r e s s t e n s o r i s o b t a i n e d b y i n v e r t i n g ( 4 )

Tn+l =_ide , 7 o x - l D e - ~ p e t~ n + l J ~ * * , + I A * , ( 39 )w h e r e i n w r i t in g ( 3 9 ) w e h a v e u s e d t h e f a c t t h a t R ~ + 1 = R ~ ( 2 5 ) . N e x t , u ~ in g th e i d e n t i t y

d e t ( e x p A ) = e x p ( t r A ) , ( 4 0 )f o r s e c o n d o r d e r t e n s o r s ( e . g . , [ 8 ] ), t h e t e r m ( d e t U ~ + I ) c a n b e w r i t t e n a s

d e t U , + 1 e x p ( t r -~E . + I ) , ( 4 1 )a n d s in c e t r E e + l = ( t r T ~ + I ) / ( 3 K ) , w h e r e K is t h e e la s ti c b u l k m o d u l u s , w e h a v e

d e t U : + I = e x p { ( tr ~ . + , ) ) / ( 3 K ) } . ( 42 )U s e o f ( 4 2 ) i n ( 3 9 ) c o m p l e t e s t h e i n v e r s i o n f o r m u l a f o r T ~+ 1.REMARK I . The i n t e g r a t io n o f t h e p l a st ic d e f o r m a t i o n g r a d i e n t c a n b e p e r f o r m e d v i a a nE u l e r b a c k w a r d o p e r a t o r y i e ld i n g a n u m e r i c a l s c h e m e s i m i la r ( b u t n o t i d e n ti c a l) t o t h e o n ep r e s e n t e d a b o v e . I n t h is ca s e

P = 1 - P -~ p = U ~ ( I - A t / ~ P + I ) . ( 43 )~ + 1 ( - A t D ~ + I ) F , , U : + 1H o w e v e r , t h e e x p r e s s i o n f o r t h e e l a s t i c s t r a i n i n c r e m e n t b e c o m e s

= E . + I n ( 1 - - A t / ) P + I ) ( 4 4 )w h i c h d i ff e r s f r o m ( 2 7 ) . I n o r d e r t o s i m p l if y ( 4 4 ) , t h e s e c o n d t e r m i n t h e l a st e q u a t i o n c a n b e

t ~ px p a n d e d i n s e ri es o f A D . + I , g i v in gI n ( 1 - A t / ~ P + ~ ) = -A t Dn+ 1p "1" O ( ( A t / ) P + I ) 2 ) . ( 4 5 )

S u b s t i t u t i n g ( 4 5 ) i n ( 4 4 ) , a~ rtd n e g l e c t i n g s e c o n d o r d e r t e r m s , w e r e c o v e r ( 2 7 ) .REMARK 2 . P l a s t i c i n c o m p r e s s i b i l i t y , t r ( / ) P ) = 0 , d e t (/ ~P ) = 1 , i s r e p r e s e n t e d e x a c t l y i n t h i si n t e g r a t i o n a l g o r i t h m . T h i s is t r iv i a ll y v e r t if i e d b y t a k i n g t h e d e t e r m i n a n t o f ( 1 7 a) a n d m a k i n gu s e o f ( 4 0 ) .

7 Un de r th e a pproxim ative assump tion of infinitesimal elastic stretches, the hyperelastic mo del considered herereduces to their model.


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1 8 6 G. Weber , L . An an d, Fini te de form at ion cons ti tu t ive equat ionsSum m ary o f the time-integrat ion algori thm

S T E P 1 . C alcu l a t e t h e t r i a l e l a s t i c d e f o r m a t io n g r ad i en tp : = .

S T E P 2 . P e r f o r m t h e p o l a r d e c o m p o s i t io nF ~ e e= R , U , .

S T E P 3 . C o m p u te t h e t r i a l e l a s t i c s t r a in /~ . To d o t h i s , f i r s t co m p u te t h e s p ec t r a ldecompos i t ion o f U ,~3tT : "~" E ~( i)- (i) ~ e(i,)

i = 1

w h e r e A ~) a r e t h e e i g e n v a lu e s a n d e ~ ) a r e t h e e i g e n v e c t o r s o f U , , a n d t h e n3

- - eE , ~ ] ( l n ~ ') _~ 0 ~ .a , )i = 1

F o r l a t e r u s e w e n o t e t h a t E $ i s w e l l ap p r o x im a ted b yme eE , = 2 ( U , - 1 ) ( V : + 1 ) - ' . (46 )

A s s h o w n b y W eb e r [ 2 9 ] , t h e r a t i o n a l ex p an s io n ( l s t P ad 6 ap p r o x im a t io n ) o f t h e t en s o rlo g a r i t h m i s an ex ce l l en t ap p r o x im a t io n t o t h e t r u e v a lu e w h en th e p r in c ip a l s t r e t ch es o f Ua r e i n t h e r an g e 0 .7 < A ~ ) < 1 .3 . S in ce , in a t y p i ca l f in i te e l em en t s t ep t h e i n c r em en ta ls t r e tch es s h o u ld in g en e r a l b e ' s m a l l ' , ap p r o x im a t io n ( 4 6 ) m a y b e u s ed w i th im p u n i ty . S ee a l s o[4 ] fo r a d i scuss ion o f th i s approx imat ion to the logar i thmic func t ion in the con tex t o f a sca la req u a t io n .S T E P 4 . Calcu la te the t r ia l s t r ess

r . + , =

S T E P 5. C a l c u la t e t h e m e a n n o r m a l p r e s su r e c o r r e s p o n d i n g t o Tn+ 1P . I - ~ t r - *T n + 1

S T E P 6 . C alcu l a t e t h e d ev i a to r i c p a r t o f Tn+ 1/ ~ , ' = f , + - * .

n + l n + l P n + l I

S T E P 7 . Calcu la te the t r ia l equ iva len t tens i le s t r ess t~* lO ' n + 1 ~ - - V 3 ~ * t2 ~ n + l T n + l


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G. W eber, L . An and , Finite deformation constitutive equations 187S T E P 8 . Ca lcula te ~n+X an d s-~+1 by solving

~ . + , - ~ * + , + 3 /z A t f ( ~ + , , f i. + ,) = 0 ,f i n + l - - f in - - A t g ( ~ n + l ' f i n + l ) = O .

S T E P 9 . U p d a t e t h e s t r e s s i FT n + l - - * t - - * , - - - - *~/n+lTn+l - - Pn +l I w he re 7/n+1 = ( t rn+l / t rn +l ) .

S T E P I 0 . T r a n s f o r m T t o T- * R e ~ e t .Tn+ l = { e x p ( p n + l / k ) } * n +~ R,

S T E P 1 1 . U p d a t e / ~ P

~ * / F n ~ n . i t , l t , jJ a c o b i a n m a t r i x

R eca l l t h a t t h e q u as i - s t a t i c i n c r emen t a l b o u n d a r y v a l u e p r o b l em w as t o f i n d a r e l a t i v ed i s p l acem en t f ie l d u t ( p , z ) s u ch t h a t0f~ o~ '~ , ~ ~ ~ ' ~ , " o v - ( f ~ o ~ o , ~ ,~,-~,~, ~, ~ + fo~o~'~, ~ ' ~ '~, ~ ' O A )

= 0 , ( 4 7 )fo r eve ry var i a t i ona l vec to r f ie ld tT(p, z ) . In o rd er t o so lve the n on- l inea r se t o f equa t ionsg en e r a t ed f r o m ( 4 7 ) b y t h e f i n i t e e l emen t d i s c r e t i z a t i o n , i t e r a t i v e t e ch n i q u es mu s t b e u s ed .T h e m o s t c o m m o n l y u s e d i t e ra t iv e m e t h o d i s N e w t o n ' s m e t h o d . T h is m e t h o d r e q u i re s t h el i n ea r iza t i o n o f ( 4 7 ) a r o u n d t h e l a s t e s t ima t e f o r t h e s o l mi o n u , ( p , z) . L e t d4~ de no te a sm al lch an g e i n a q u an t i t y ~ , t h en t h e l i n ea r i zed f o r m o f ( 4 7 ) i s s i mp l y

f~o 0P(p, ~')" ~ ~ ( p , ~ ' ) d V- ( f~ o d b o ( p , r ) . ~ ,( p, z ) d V + fo ~o d i ( p , r ) " ~ ( p , r ) d A ) = O . ( 4 8 ,

I n o r d e r t o ach i ev e th e q u ad r a t i c co n v e r g en ce w h i ch i s ch a r ac t e r is t ic o f N ew t o n ' s m e t h o d , i ti s i mp o r t an t t o ev a l u a t e t h i s l i n ea r i zed f o r m accu r a t e l y . I n t h i s p ap e r w e co n cen t r a t e o nev a l u a t i n g o n l y t h e f i rs t t e r m i n t h e l i n ea r ized ex p r e s s io n ( 4 8 ) ab o v e ; ev a l u a t i o n o f t h e s e co n dt e r m d ep en d s o n t h e p a r t i cu l a r b o d y f o r ce s an d ap p l i ed s u r f ace t r ac t i o n s .U s i n g t h e d e f i n it io n o f t h e f ir st P i o l a - K i r c h h o f f st re s s

P ( r ) = ( d e t F O ' ) )T O ' ) F ( r ) - t ,


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188 G. Weber, L. A na nd , Finite deformation constitutive equationst h e r e s u l t s ( 3 9 )

TO ') = (d et U e(~ ' )) - IR:IF( 'r )R~, ta n d ( f r o m ( 4 2 ) )

d ( d e t U e ( ) ) ( d e t U e 0 " ) ) - I = t r c (~ -) [d E ~] / ( 3 k ) ,w h e r e 0 /~ ( r ) (49 )a r e t h e l i n e a r iz a t i o n m o d u l i s, a n d t h e i d e n t i t ie s

d F ( ) --t = __ ( d F ( ) F ( ) - I ) t F ( ~ . ) - t ,d ( d e t F ( ) ) = ( d e t F ( z ) ) t r ( d F ( ) F ( ) - I ) ,

w e o b t a i n0 d P ( ' r ) . -~pp 5 ( p , ) d V

= ( d e t F ( z ) ) [ { e x p ( /~ * /K)R ~() q~() [d /~ ~ ] R ~ ( ~ ' ) t }

+ { ( d R : R g t ) T ( ) - T ( ) ( d R : R : t ) } - ( T ( z ) ( d F ( z ) F ( ) - ~ ) }+ { T ( ) t r ( d F ( z ) F O ' ) - l ) } { T O ' ) ( t r q~0- ) [d ,~ ,~] / (3K))}]

0 F ( ' r ) - t . ~ -~ i T ( p , " r) d V . ( 5 0 )

I n o r d e r t o c o m p l e t e t h e l i n e a r i z a t i o n p r o c e d u r e , i t r e m a i n s t o d e r i v e t h e d i f f e r e n t i a l s a / /-.e,, td R , R , a n d t h e l i n e a ri z a ti o n m o d u l i q ~0 ") . W e p r o c e e d f ir st w i t h th e e v a l u a t i o n o f d l ~ , a n ddR~,R~, . I n w h a t f o ll o w s w e d e s c r i b e a n a p p r o x i m a t e 9, b u t e o m p u t a t i o n a l y e c o n o m i c e v a l u a -t i o n o f t h e s e d i f f e r e n t i a l q u a n t i t i e s .

D i f f e r e n t i a t i n g ( 4 6 ) a n d r e a r r a n g i n g t e r m s w e g e td i~ g = 4 ( U : + 1 ) - ' d U : ( U : + 1 ) -1 . ( 51 )

N e x t , d i f f e r e n t i a t i n g U $ 2 ( = F~,'F~,) a n d p r e m u l t i p l y i n g b y U ~, -1 , w e o b t a i n

s Note that these linearization m od uli depend on the constitutive equations as w ell as the time integrationprocedure used to obtain f() .9 Note that this approximation might affect the rate of conv ergence of the global iteration schem e but not theaccuracy of the algorithm.


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G. Weber. L. Anand. Fini te deformation const i tut ive equations 189U , l d ( U . 2) U , - I d U . U . + d U , 2 U , -~ et e .= s ym ( F , d F . ) (5 2 )

I n t r o d u c i n g t h e B l o t t r ia l s tr a in m e a s u r e E .B - - U ~ - 1 a n d e x p a n d i n g U , ~ n t e rm s o f E .B, w ea r r i v e a tv . 1 = l - E , + O ( E , ~ ) . ( 5 3 )

S u b s t i t u t i n g ( 5 3 ) i n ( 5 2 ) , a n d r e a r r a n g i n g t e r m s w e o b t a i n t h e e x p r e s s i o nO U . = s ym [ U . ~s y m ( F . t d F . ) ] + O ( E .B 2 ). ( 5 4 )

F i n a l l y s u b s t i t u t i n g ( 5 4 ) i n ( 5 1 ) w e o b t a i n- - e e e ed E , = 4 ( U , + 1 ) -1 s y m [ U ~ ~ s y m ( F , t d F , ) ] ( U , + 1 ) -1 . ( 5 5)

A l s o , d i f f e r e n ti a t in g F , = R.U~ n d u s i n g ( 5 4 ) w e g e td R e R e t ~ . c l j ~ , e i ~- , e - 1 e e e - 1 e t. . , . . , ~ - , - - , - R , s ym [ U . ~ s ym ( F , t d F , ) ] U , R , , ( 56 )

w h i c h i s o f t h e s a m e a c c u r ac y a s t h e e x p r e s s i o n fo r d U ~ a b o v e .T h e l in e a r i z a ti o n m o d u l i r~

F r o m ( 3 1 ) a n d ( 4 9 )[ 0 0 /V( r ) ] (57 )0 T * ( r ) - (V ~ /~ A t) /V(7) ~ 0/~----~,6 p (r ) + 6 p (r ) 0/~'--~, "

U s i n g (3 0 ) , ( 3 3 ) a n d ( 3 4 ) , s t r a i g h t f o r w a r d c a l c u l a t io n s g iv eo # , ( , ) = ~ , ( 5 8 )Or ? E . O * ( T ) = V ~ / 1 4 ( , ) , ( 5 9 )0 ~ ( r ) = ( V ~ / o * ( r ) ) [ 2 ~ ( ~ - 1 1 l ) - ~ ( r ) g ( r ) ] , ( 6 O )

w h e r e M ( r ) - - ~ [ / V ( r ) ] = 2 / M V ( r ). ( 6 1 )N e x t , l i n e a r i z a t i o n o f ( 3 6 ) g i v e s

d O ( r ) = d O * ( r ) - 3 /z A t d ; P ( ' r ) . ( 6 2 )T h e q u a n t i t y d O ( r ) is o b t a i n e d b y l i n e a ri z in g ( 3 7 ) a n d ( 3 8 ) a n d s o l v i n g t h e r e s u l ti n g p a i r o fe q u a t i o n s . T h i s g i v e s


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1 9 0 G. Weber, L. Anand, Fini te deformation const i tut ive equationsd ( ) = c (z) dc /* ( ) , (63)w h e r e ) - 1c ( ) = { a l + a z b l / b 2 1 , ( 6 4 )

with 0a 1 - 1 + 3 p A t ~ f ] , , ( 65 )a2 ~ 3 ~ A t ~ f l , , ( 6 6)h 1 --- At ~ g l , , (67)

0b2 ----1 - At ~ gl~. (68)Subs t itu t ing fo r dc / ( r ) f rom (63) in to (62 ) , so lv ing fo r d~P(~ ) and u s ing (59) w e o b ta in

O ~p() = V~M () (69)0 g : At{3/x(1 - c()) -1} "Fina l ly , subs t i tu t ing (58) , (60) and (69) in to (57) , us ing (61) and rear rang ing , we ob ta in

~ ( T ) = , ~ ( ~ ' ) - - 3 g ( , . / . ) - I / ~ ( T ) ~ / ~ ( ' T ) , (70)w h e r e *~0") - 2 /~( ' r)(J - ~ 1 1) + K1 1 , (71)

,5 (z) - - ~ ( , )p~ , (72)n ( ) = (a (7 ) / 5"(~-) ) , (73)- - ( 7 4 )

M () ~ .~[N (z)] = 2/.~/V(). (75 )Note that as At--->0 , ~ - -> ,~ . W he n the t ime s tep i s su f f ic ien tly l a rge , the d i f fe rence be tw eenth es e two m o d u l i c an b e s u b s tan ti a l. U s e o f t h e m o d u l i ~ i n s t ead o f t h e m o d u l i ~ i n t h eNewto n p ro ced u re can l ead t o v e ry s l o w co n v e rg en ce .

5. Numerical examplesT h e co n s ti tu t iv e eq u a t i o n s an d t im e- in t eg ra ti o n p ro ced u re s d e s c r i b ed in t h i s p ap e r h av eb een im p lem e n ted i n t h e im p l i c it f in i te e l em en t co d e A B A Q U S (Vers io n 4 . 7 ) [3 0], b y w r i ti n ga ' u se r m a t e r ia l ' s u b r ou t in e U M A T . T h e g e n e ra l it y o f t h e o t h e r f e a t u re s o f A B A Q U S ,co m b in ed wi th t h e p ro v i si o n fo r ad d in g a s ep a ra t e ' u s e r m a t e r i a l ' s u b ro u t i n e , m ak es i t anex t r em e ly u s e fu l t o o l fo r t h e d ev e lo p m e n t an d im p lem en ta t i o n o f n ew co n s t it u t iv e eq u a t i o n s .T h e s u b ro u t i n e L /M AT i s ca l l ed o n ce fo r each i n t eg ra t i o n p o in t i n t h e m o d e l fo r ev e ryg loba l i t e ra tion . Par t o f the inp u t p ro v ided to L /MA T cons i s ts o f the s t ress T . - - QHwT.Qnwt


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G. W eber, L . Ana nd, Finite deform ation constitutive equations 191a n d t h e u s e r - d e f i n e d v a r i a b le s - pF n , S n ) a t t h e b e g i n n i n g o f t h e i n c r e m e n t . T h e r e l a t iv e r o t a t i o nQ n w , b e t w e e n t h e l o c a l c o n f ig u r a t i o n o f a m a t e r i a l n e i g h b o r h o o d a t t i m e t n a n d t h a t a t t im etn + 1, c a lc u l a t e d b y u s i n g t h e H u g h e s a n d W i n g e t a l g o r i t h m [ 31 ], i s a ls o s u p p l i e d a s i n p u t . I no r d e r t o u s e o u r t i m e - i n t e g r a t i o n a l g o r i th m , w e f ir st h a v e t o c a l c u l a te T ~ f r o m T ~ a n d Q n w .N e x t , f r o m A B A Q U S i t is p os s ib l e t o o b t a i n t h e d e f o r m a t i o n g r a d ie n t s F ~ a n d F ~ +I a t t h eb e g i n n in g a n d t h e e n d o f a n in e r e m e n t l ~ W i t h t h e s e in p u ts , t h e o u t p u t s e x p e c t e d fr o m U M A T

F po n s i s ts o f t h e v a l u e s o f t h e s t re s s T n + ~ a n d t h e v a r i a b l e s ( ~ + ~ , s , ,+ t ) a t t h e e n d o f t h ei n c r e m e n t , p l u s t h e c o n s t i t u t i v e c o n t r i b u t i o n t o t h e J a c o b i a n m a t r i x u s e d i n t h e N e w t o ns c h e m e f o r g lo b a l e q u il ib r iu m . I n o u r i m p l e m e n t a t i o n , f o r r e as o n s i nt ri ns ic to A B A Q U S , i tw a s n o t p o s s i b l e t o i n c o r p o r a t e t h e J a c o b i a n m a t r i x d e r i v e d i n t h e p r e v i o u s s e c t i o n . I n s t e a d ,a s a n a p p r o x i m a t i o n , w e h a v e u s e d t h e J a c o b i a n d e r i v e d b y L u s h e t a l. [ 28 ] i n c o n n e c t i o n w i tha c o n s t i tu t i v e m o d e l w h i c h d i f fe r s f r o m o u r m o d e l o n l y in t h e m a n n e r t h e e l a s ti c it y o f t h ern at~ ;ria l is a c c o u n t e d f o r . I n t h e p a p e r b y L u s h e t a l . t h e e l a s t ic i t y i s m o d e l l e d a s h y p o e l a s t i ci v c o n t r a s t to h y p e r e l a s t i c , a s i n d o n e h e r e . U s i n g a n ' e x a c t i m p l e m e n t a t i o n ' o f t h e t i m ei n t e g r a t i o n p r o c e d u r e d e s c r i b e d i n t h i s p a p e r , a n d t h e ' a p p r o x i m a t e ' J a c o b i a n , w e p r e s e n ts o m e e x a m p l e s w h i c h i ll u s tr a te s o m e i m p o r t a n t f e a t u r e s o f o u r c o n s t i tu t i v e m o d e l , a n d v e r i f yt e e a c c u r a c y a n d s t ab i li ty o f t h e t i m e - i n t e g r a t i o n p r o c e d u r e .E. !as t i c de fo rma t ionsS i m p l e t e n s i o n

I n o r d e r t o i ll u s tr a te t h e e l as ti c s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n , s i m p l e t e n s i o n ( c o m p r e s s io n ) o f a na x i s y m m e t r i c b a r w a s c o n s i d e r e d . F o r t h is e a s e , w i t h T ij d e n o t i n g t h e c o m p o n e n t s o f t h eC a u c h y st re s s T , w i t h r e s p e c t t o a n o r t h o n o r m a l b a si s { e , I i = 1 , 2 , 3 } , w e _ i m p o s e T11 # 0 ,/'2 2 = 7"33 = 0 . F r o m t h e c o n s t i t u t i v e e q u a t i o n ( 1 ) , t h e e x a c t s o l u t i o n f o r t h e T n c o m p o n e n t o ft h e s t r e s s m e a s u r e T ( w h i c h i s w o r k - c o n j u g a t e t o t h e l o g a r i t h m i c s t r a i n m e a s u r e ) i s s i m p l y

f n = E ( l n A ~ ) , ( 7 6)w h e r e E i s t h e Y o u n g ' s m o d u l u s a n d A1 i s t h e s t r e t c h i n t h e d i r e c t i o n o f t e n s i o n e 1. T h en o r m a l i z e d s tr e ss ( T n l E ) v e r s u s s t r e t c h A ~ r e s p o n s e o b t a i n e d n u m e r i c a l l y is s h o w n i n F i g . 1 .T h i s n u m e r i c a l r e s u l t c o i n c i d e s w i t h t h e a n a l y t i c s o l u t i o n g i v e n i n ( 7 6 ) .S i m p l e s h e a rF o r a s im p l e s h e a r i n g d e f o r m a t i o n d e f i n e d b y

x = p + p 2 ) , e l , ( 7 7 )w i t h r e s p e c t t o t h e o r t h o n o r m a l b a si s { ei }, a n d w i t h y t h e a m o u n t o i s h e a r , th e c o m p o n e n t s o ft h e C a u c h y s t r e s s T a r e [ 3 2 ]

~oThis information is not currently routinely supplied as inpu t to UM AT . Instead, AB AQ US supplies a strainincrement calculated by using the Hu ghe s and W inget [31] algorithm. Appropriate subroutines that need to becalled to obta in .'vn and Fn+ ~ were kindly supplied to us by Dr. H.D. Hibbitt of H KS , Inc.


20/30

192 G. Weber, L. An and , Finite deformation consti tutive equations

0. 0

1. O

A n a l y t i c a l s o l u t i o no ~.~-mer ical so lut io n, t i i i I i t i ~ I . , i t

1 . 0 1 . 5 2 . 0 2 . 5- 0 . 5 0 . 5

i i-

F i g . 1 . S i m p l e t e n s i o n - c o m p r e s s i o n .s t r e s s - s t r a i n r e l a t i o n .

H y p e r e l a s t i c

,. , / /~ 0.5I,-

0 , 0 J ~ ~ ~ ! , ~ ~0,0 0 , 5 1 , 0'y

F i g . 2 . S i m p l e s h e a r . H y p e r e l a s t i c s t r e s s - s t r a in r e -l a t i o n .

1 (T 12 = / x 3 ' 3 ' ~ 1 + 3'------~ n 1 + + (7 8 )Tt~ = 3'1'12, T22 = - 3 'T1 2 ,

w i t h a l l o t h e r Tq = O.T h e n o r m a l i z e d s tr e s s c o m p o n e n t s ( T ~ 2 //z ) v e r s u s t h e a m o u n t o f s h e a r 3 ' o b t a i n e d n u m e r i -c a l l y a r e s h o w n i n F i g . 2 . T h i s n u m e r i c a l r e s u l t c o i n c i d e s w i t h t h e a n a l y t i c s o l u t i o n g i v e n i n( 78 ) .Test fo r path- independe nce o f elastic responseF o l l o w i n g K o j i c a n d B a t h e [ 7 ] , c o n s i d e r a b a r o f m a t e r i a l w i t h a s q u a r e c r o s s - s e c t i o n o fe d g e l e n g t h h , s u b j e c t e d t o t h e p l a n e h o m o g e n e o u s c y c l e o f d e f o r m a t i o n

/x = p + p ~ [ - ~ / e 2 , 0 ~ < ~ < ~ 1 ,e l + P 2 - ~ e2 , ,

( 7 9 )X = p + p 2 - ~ e l + P 2 [ ~ - - = . e 2 ' ,x : p + p 2 ( S I - S J ~ g - 3 ) ] e 3 ~< ~ ~


21/30

G . W eber , L . An an d, Fini te de format ion cons ti t~ . tive equat ions 193Fig . 3 . A s ina,.,_ 'ca ted the re , t he c ross -sec tior~ o f th e b a r i s ex te nd ed , she a red , co m pre sse d andshea red aga in un t i l t he v~ ,? ) .na l con f igu ra t ion i s r e cove red .K o j i c a n d B a t h e [ 7] h a v e e x az ::'.'.~ d t h e s t re s s r e s p o n s e o f t h e h y p o e l a s f i c c o n s t i t u t i v e m o d e l

X7 ~7r = ~ [ o ] , r - r - w r + r w , ( 8 0 )t o t h i s d e f o r m a t i o n c y c l e . F o r t h i s c o n s t i t u t i v e m o d e l t h e s e a u t h o r s h a v e r e p o r t e d t h a t t h er e l e v a n t s t re s s c o m p o n e n t s d i d n o t v a n i s h a f t e r t h e c y cl e o f d e f o r m a t i o n is c o m p l e t e d . T h e s es t re s s es b e c o m e u n a c c e p t a b l y l a r g e w h e n t h e e l a s ti c s t r e tc h e s a r e o f t h e o r d e r o f 3 0 - 6 0 % .H e n c e , t h e y c o n c l u d e t h a t t h e u s e o f a h y p o e l a s t ic c o n s t it u t iv e e q u a t i o n f o r t h e s t re s s , a n dt h e r e b y a l s o t h e w i d e l y u s e d ' u p d a t e d L a g r a n g i a n J a u m a n n f o r m u l a t i o n ' f o r t h e s o l u t i o n o ft h e w e a k f o r m f o r t h e b a l a n c e o f e q u i l i b r iu m i s s o m e t h i n g t o b e ' c o n c e r n e d ' a b o u t i ne l a s t i c - p l a s t i c a n a l y s e s . H o w e v e r , a s i s w e l l k n o w n , m e t a l l i c m a t e r i a l s u n d e r o r d i n a r yc o n d i t i o n s ra r e l y e x h i b i t e l a s ti c s t r e t c h e s l a r g e r t h a n 1 % . U n d e r t h e s e c o n d i t i o n s t h ep a t h - d e p e n d e n t c h a r a c t e r o f t h e h y p o e l a s t i c f o r m u l a t i o n i s n e g l i g i b l e . T i f f s i s a l s o c l e a r f r o mt h e r e s u l t s o f K o j i c a n d B a t h e ; f r o m t h e i r c a l c u l a t i o n s , o n e r e a d i l y o b t a i n s t h a t t h e r e l a t i v ee r r o r s i n t h e s t r e s s c o m p o n e n t s T l l a n d T~2 f o r v a l u e s o f ( U i / h ) = ( S , / h ) = 1 % a r e

T ~ l / t r l l < 1 % , TR12/ t r12< 0 .0 1 % , (81)w he re t r11 , 0"12 a re the m ax im um va lues o f T l l an d T12 ach ie ved in the cyc !: , ,aQ TI~ , T1~2 a ret h e v a l u e s o f t h e s e s t r e s s c o m p o n e n t s a t t h e e n d o f t h e d e fo r m a ti o r~ c v.J~~'~ E r r o r s o f t h i sm a g n i t u d e a r e n e g l i gi b le i n m o s t s i t u at io n s . T h i s i s p a rt ic u l ar l y t r u c w h e a t ~ e y a r e c o m p a r e dw i t h o t h e r e r r o r s t y p i c a l o f f i n it e e l e m e n t s i m u l a t i o n s s u c h a s e l e m e n t d i s to r t ~ ,, - , m e s h d e s i g n ,

. . . . a sU c s tr e t c h e s a r e o f t h e - d e ~ ' o f s e v e r a lt e N e v e r t h e l e s s , f o r t h o s e s i t u at i o n s w h e r e " ' "

hJ~ = 1 ~ 2 1 ~ ,~

e 3 S~

Fig. 3. Cycle of deform ation o check for path-independenceof elastic response.


22/30

194 G. W eber, L. Anand , Finite deformation constitutive equations

0~4

m 0.2I* "

0.0

. . . . ~ ' ' ~ .2a' ~ . . . . ~ . . . . !

0.00 1,00 2.GO 3.0 0 4,0 0

Fig. 4. Hyp erelastic stress response corresponding to deform ation cycle of Fig . 3. N ote that the stress comp onentare zero valued at the end of the cycle.p e r c e n t , s u c h a s i n m e t a l s s u b j e c t e d t o h i g h p r e s s u r e s o r i m p a c t 1 o o ,~ , g , i t i s d e s i r a b l e t om o d e l e l as t ic i ty in a n a c c u r a t e m a n n e r , a n d o u r c o n s t i t u ti v e m o d e i a n d t i m e i n t e g r a t i o np r o c e d u r e a c h i e v e s t h is o b j e c t i v e . T o i l l u s t r a te t h i s , w e h a v e r ep ea te ,~ ! ~ h e n u m e r i c a l e x p e r i -m e n t c o n d u c t e d b y K o j i c a n d B a t h e , b u t w i t h o u r c o n s t i tu t i v e e q u a t i o n f o r s t r e ss (1 ) . I n o u re x p e r i m e n t w e h a v e s e t ( U y / h ) = ( S / h ) = 0 . 6 , a n d c o n s i d e r e d a m a t e r i ~ w i t h a P o i s s o n ' s r a t i oo f v = 0. 3. T h e s t re s s c o m p o n e n t s n o r r a a l i ze d b y t h e Y o u n g ' s m o d u l u s E , ( T ~ j / E ) , a r e p l o t t e dv e r s u s t h e d i m e n s i o n l e s s t im e ~ i n F ig . 4 . T h e p a t h i n d e p e n d e n t c h a r a c t e r o f o u r f o r m u l a t i o n( c o n s ti t ut iv e a n d t i m e - i n te g r a t io n ) is d e m o n s t r a t e d b y t h e f a c t th a t t h e s t re s s v a n i s h e s u p o nc o m p l e t i o n o f t h e c y c l e o f d e f o r m a t i o n .E l a s t i c - p l a s t i c d e f o r m a S o n sT h i c k ~ w a l l e d c y l i n d e r s u b j e c t e d t o a c o n s t a n t r a d i a l d i s p l a c e m e n t r a t e a t i t s i n n e r w a l l

A t h i c k - w ~ ] l e d c y l i n d e r , a s s h o w n s c h e m a t i c a l l y i n F i g . 5 , w a s s u b j e c t e d t o a c o n s t a n t r a d i a ld i s p l a c e m e n t r a t e 0 a t t h e i n n e r w a l l o f t h e c y li n d e r. T h i s e x a m p l e h a s b e e n p r e v i o u s l yc o n s i d e r e d b y P e i r c e e t a l. [ 33 ] i n th e c o n t e x t o f e v a l u a t i n g t h e a c c u r a c y o f a s e m i - i m p l i c i tt i m e - i n t e g r a t i o n s c h e m e f o r e l a ~ t o - v i s c o p l a s t i c m a t e r i a l s i n w h i c h t h e e l a s t i c b e h a v i o r i sm o d e l e d a s h yp o e 1. as ti c. F o r i n c o m p r e s s i b l e m a t e r i a l s , t h e ' s t e a d y s t a t e ' s o l u t i o n H , f o r a f l o wfunc t i on ( s ee (11 ) ) i~ l ' - t he power - l aw fo rm

f = 60(6L~0) 1/m , (8 2)w i t h E~ a n d m m a t e r i a l c o n s t a n t s , a n d s = s o =- c o n s t a n t ( t h a t i s n o h a r d e n i n g o r r e c o v e r y ) i se a s il y o b t a i n e d , a n d h a s b e e n g i v e n b y P e i r c e e t a!~ [ 33 ]. F r o m t h e i r e q u a t i o n ( A . 3 ) w e h a v et h a t th e s t r e ss c o m p o n e n t T , i n a c y li n d ri c al c o o r d i n a t e s y s t e m i s g i v e n b y

tl Wh ich is eq uivalent to a constitutive mode~ wh ich neglects elastic effects.


23/30

G . W e b e r , L . A n a n d , F i n i t e d e f o r m a t i o n c o n s t i t u t iv e e q u a t i o n s 195

i ! i

! i,i i

i iJ!

M j

I l m I l l0 = [ 1 1 1 1 1 1 1 1 1b .J

r

Fig. 5. Schem atic of a thick-walled cylinder under prescribed velocity conditions at its inne l wall.

T , = [ { S o ] ~ 2 a U ' l , m 1 '~-'~ j L V , ~b 2 j m V r j ] [ 1 - ( b ) 2 m ] . ( 8 3 )H e r e a a n d b a r e t h e r a d ii o f t h e i n n e r a n d o u t e r w a l ls o f t h e c y l i n d e r , r i s t h e r a d i a lc o o r d i n a t e a n d U is a c o n s t a n t e x p a n s i o n r a t e p r e s c r i b e d a t t h e i n n e r r a d i u s r = a .

W e u s e t h is s o lu r~ o n f o r e v a lu a t i n g t h e a c c u r a c y o f o u r i n t e g r a t i o n a l g o r i th m w h e n p l a s t i cd e f o r m a t i o n s a r e l a r g e c o m p a r e d t o t h e e l a s t i c d e f o r m a t i o n s . I n o u r n u m e r i c a l s o l u t i o n w et a k e

E / go = 5 0 0 , v = 0 . 4 9 9 , ~ o = 0 . 0 0 2 s e e - l , m = 0 . 2 . ( 8 4 )T h e s e l e c t i o n o f a P o i s s o n r a t i o c l o s e t o 0 .5 m a k e s t h e m a t e r i a l a l m o s t i n c o m p r e s s i b l e , a n dw i t h E / g o = 5 00 , th e ' yi el d s t r a i n ' - - ~ 0 - So /E i s o n l y 0 . 0 0 2 , a n d t h u s e l a s ti c s tr a in s b e c o m en e g l i g i b l e c o m p a r e d t o v i s c o p l a s t i c s t r a i n s a s d e f o r m a t i o n p r o g r e s s e s a n d (U / a o ) i n c r e a s e s t ov a l u e s o f 0 .0 2 a n d b e y o n d .

W ; , t b t h e s e m a t e r i a l p r o p e r t i e s , t h e f i n i t e e l e m e n t m o d e l w a s b u i l t u s i n g e i g h t n o d e da x i s y m m c t d c e l e m e n ts C A X 8 H f r o m A B A Q U S . T h is is a hy b r id e le m e n t w i th ~ n de p e n de n tp r e s s u r e a n d d i g p l a c e m e n t in t e r p o l a t i o n f u n c t i o n s d e s i g n e d f o r u s e w i t h i n c o m p r e s s i b l em a t e r i a l s. T e n e l e m e n t s i n t h e r a d ia l d i re c t i o n w e r e e m p l o y e d . T h e m e s h i s s h o w n in F i g . 5.T h e d i s p l a c e m e n t i s a p p l i e d a t c o n s t a n t n o r m a l i z e d r a t e o f (U/ao~o) = 1 .0 .

W i t h p = - T , , i , = a d e n o t i n g t h e p r e s s u r e a t t h e i n n e r w a l l o f t h e c y l in d e r , w e p l o t t h en o r m a l i z e d p r e s s u r e , ( p / S o ) v e r s u s t h e n o r m a l i z e d d i s p l a c e m e n t (U/aogo) i n F ig . 6 . I n t h i s


24/30

196 G. Weber, L. An an d, Finite deformatio,~ constitutive equations

0

el.

1 . 0 -

0 .5 0Id/-!

0 . 0 ~ . . a , .0 . 0

, , i i I i ; i i

f i ~ O ~ 0 0 0 - - - - - 0 0 - - _" R e f e r e n c e s o l u t io nO F . E . s o l u t i o n

I I I I I I - - J - _ '

0 . 5 1 . 0U / a o g e

Fig. 6. Normalized pressure (P/So) versus normalized 'strain ' (U/ao~o) for a thick-walled cylinder with prescr ibedradial velocity U at its inner wall. Small values of (U/ao~o). Th e finite e?ement solution was obtained by variabletime stepping.

c a l c u l a t i o n a t o t a l n o r m a l i z e d d i s p l a c e m e n t ( 's t~ a i n ' ) o f (U/aoeo) = 1 0 w a s c o n s i d e r e d 12. A l s os h o w n i n F i g . 6 is t h e f u l l l in e c o r r e s p o n d i n g t o t h e a n a l y t ic r i g id v i s c o p l a st i c s o l u t i o n o b t a i n e df r o m ( 8 3 ). T h e n u m e r i c a l r e s u lt is in e x c e l l e n t a g r e e m e n t w i t h t h is a n a l y ti c a l s o l u t i o n .

I n a s e c o n d a n al y si s, t h e s a m e m o d e l w a s s u b j e c t e d t o t h e s a m e c o n s t a n t d i s p l a c e m e n t r a t eo f (~l/ao~o) = 1 .0 , b u t w i t h a l a rg e v a l u e o f n o r m a l i z e d s t r ai n (U/ao~o) = 5 0 0 . T h e r e s u l t i n gp l o t o f n o r m a l i z e d p r e s s u r e , (p ~So), v e r s u s n o r m a l i z e d s t r a i n (U/ao~o) , i s s h o w n i n F i g . 7 . F o rt h e r e f e r e n c e s o l u t i o n w e u s e d ( 8 3 ) , a s a b o v e , b u t u p d a t e d t h e v a l u e o f t h e i n n e r r a d i u s a , a n du s e d t h e i n c o m p r e s s i b i l i t y c o n d i t i o n t o u p d a t e b a c c o r d i n g t o t h e f o r m u l a b = ~ / ( b ~ - a 2 ) + a 2.T h e a g r e e m e n t o f t h e f in i te e l e m e n t a n a l y si s w i t h la r g e d i s p l a c e m e n t i n c r e m e n t s A U / a o = 0 . 1 ,a n d t h e r e f e r e n c e s e l u t i o n i s e x c e l le n t . T h e c a p a b i l it y o f t a k i n g s u c h l a r g e s t e p s i n t h e f in i tee l e m e n t s o l u t i 6 n is a d i r e c t c o n s e q u e n c e o f t h e r o b u s t l y s t a b l e , i m p l i c i t t i m e i n t e g r a t i o np r o c e d u r e d e v e l o p e d h e r e .

Upset forging example:A s a s im p l e e x a m p l e o f a la r ge d e f o r m a t i o n m e t a l - fo r m i n g p r o b l e m , c o n s i d e r t h e p r o t o -t y p i c a l p r o b l e m o f i s o t h e r m a l u p s e t f o r g i n g o f a c y l in d r i c a l b i ll e t , F ig . 8 . F o r s i m p l i c i t y , t h ed i e s a r e m o d e l e d a s r i g i d , a n d s t i c k i n g fr i c t i o n i s a ss ure :le d t o b e i n e f f e c t b e t w e e n t h e b i l le t a n dt h e d i e f a ce s , w h e n t h e y a r e i n c o n t a c t . T h i s p r o b l e m h a s b e e n p r e v i o u s l y c o n s i d e r e d b y L u s h

12 In order for the solution to remain accurate in the region of the 'knee ', where the plastic flow experiences arapid change, the constitutwe equations have to be integrated by taking 'small' time steps. After the solution passesthe ' knee' region the flow function regularizes again and large time steps can be taken. An automatic time-steppingprocedure to achieve this goal has been previously described by Lush et al. [28].


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G. Weber, L. Anand, Fini te deformation const i tut ive equations 197

O.

1 .0

0 .5

- - - r " - - - ' I ' I . .. .. .. . , I ' " J . . . . . . . I ........R e f e r e n c e s o l u t io n0 A U / a o = 1 0 %

0 . 0 , I J I , I , I ,0 . 0 1 0 0 . 0 2 0 0 . 0 3 0 0 . 0 4 0 0 . 0 5 0 0 . 0

U / a o [ : oF i g . 7 . 7 T o r r a a l i z ed p r e s s u r e (p / So) v e r s u s n o r m a l i z e d ' s t r a i n ' (U/ao~o) f o r a t h i c k - w a l l e d c y l i n d e r w i t h p r e s c r i b e dr a d i a l v e I o c i t y U a t i ts i n n e r w a l l . L a r g e v a l u e s o f (Ulaoio). The f i n i t e e l e m e n t s o l u t i o n w a s o b t a i n e d b y t a k i n gf i x e d v a l u e s o f A U / a o = 1 0 % .

/ / / / / D i ea r ' l / / ~ l i l l e / ' ~

A x i s ~I _I O u t e r s u r f a c e(a)

M i d d l e p l a n e

(b )

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