VAKWERKVOORBEELD_VERPLAATSINGENMETHODE

Hans Welleman - 1 - jan 2007

INTRODUCTIE VERPLAATSINGENMETHODE Vakwerk Met behulp van de verplaatsingenmethode zal de krachtsverdeling in het onderstaande vakwerk worden bepaald. Het vakwerk bestaat uit vijf staven en is opgelegd in A en B. Figuur 1 : Vakwerk Van dit vakwerk kunnen in principe de knopen in het platte vlak verplaatsen. De vrijheidsgraden in dit vakwerk zijn dan ook de horizontale verplaatsing, aangegeven met u en de verticale verplaatsing, aangegeven met w, van de knopen. In A en B geldt een beperking. Hier worden randvoorwaarden opgelegd. In A kan geen enkele verplaatsing optreden en in B kan alleen een horizontale verplaatsing optreden.

Als het vakwerk uit elkaar wordt genomen en wordt opgedeeld in staven en verbindingselementen (knopen) dan ontstaat de onderstaande situatie. Voor de eenvoud wordt even aangenomen dat in alle staven een trekkracht heerst. De krachten in de staven werken omgekeerd op de knopen volgens Newton’s principe van actie is reactie.

Figuur 2 : Vrijgemaakte lichamen Na vrijmaken resteren knopen en staafelementen. De knopen kunnen worden beschouwd als puntdeeltjes1 terwijl de staven starre lichamen voorstellen. 1 Er kunnen immers geen momenten vanuit de pendelstaven worden overgebracht op de knopen

40 kN

A B

3a

4a 4a

C

D

a = 1,0 m alle staven : EA = 6000 kN x

z

1

2

3

4

5

40 kN

A B

C

D

N (1)

N (2)

N (3)N (5)

N (4)

AV BV

AH


De constructie is in evenwicht als de vrijgemaakte delen in evenwicht zijn. Voor de delen geldt: Voor de staven, de starre lichamen geldt dat de normaalkracht constant is en dat deze langs

de staafas aangrijpt. Hier geldt Newton’s principe actie is reactie en daarmee is het evenwicht dus gegarandeerd2.

De knopen zijn alleen in evenwicht als het krachtenevenwicht is gegarandeerd. Hiervoor zijn in het platte vlak twee evenwichtsvergelijkingen per knoop op te stellen; Per knoop : H V0; 0;F F= =∑ ∑

Bij het opstellen van de evenwichtsvergelijkingen zullen we uitgaan van de krachten in de elementen die ontstaan t.g.v. de verplaatsingen in de knopen (dat zijn onze fundamentele onbekenden). Daarvoor is het nodig eerst de kracht in een vakwerkelement uit te drukken in de mogelijke verplaatsingen van de staafuiteinden. Figuur 3 : Vakwerkelement De verlenging van de staaf kan worden bepaald met behulp van de projectie van de knoopverplaatsingen op de oorspronkelijke staafrichting (methode Williot). De lengte verandering is de verplaatsing (in de richting van de staaf) van knoop j minus de verplaatsing (in de richting van de staaf) van knoop i en kan worden beschreven met:

[ ]

cos cos cos cos

of:

cos cos cos cos

j i j j i i

i

i

j

j

l u u u w u w

uw

luw

α γ α γ

α γ α γ

∆ = − = × + × − × − ×

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥∆ = − − ×⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(1)

De hoeken α en γ zijn afhankelijk van de stand van de staaf en zijn in feite de hoeken tussen de x- en z-as en de staaf en worden richtingscosinussen genoemd. De bepaling van deze hoeken komt later aan de orde.

2 Zolang er op de staaf (tussen de knopen) geen belasting aangrijpt.

x

z

i

j

ui

wi

uj

wj

α γ

j uj

wj γ α

cosju α×

cosjv γ×

ju


Als een lineair elastisch materiaalgedrag wordt aangenomen kan met behulp van de lengteverandering in de staaf de normaalkracht in de staaf worden bepaald:

[ ]

( )

( )

of :

cos cos cos cos

e

i

ie

j

j

EAN ll

uwEANulw

α γ α γ

= ×∆

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= × − − ×⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2)

Het knoopevenwicht is een eindeloze rij evenwichtsvergelijkingen waarbij we voor iedere knoop de horizontale en verticale componenten van de normaalkracht van de aansluitende staven nodig hebben en de belasting die aangrijpt op de knoop. Daarin moet ook de nog onbekende oplegreactie worden meegenomen zoals in figuur 2 is weergegeven. Voor een enkele staaf met daarin een aangenomen trekkracht N(e) geldt volgens actie is reactie dat op de knoop de hieronder aangegeven krachten moeten werken. Figuur 4 : Staafkrachten op de knopen Voor een specifieke staaf (e) kunnen de horizontale en verticale componenten van de staafkracht zoals deze op de knopen i en j werken als volgt worden gevonden: (ga dat zelf na!)

( ) ( ) cosei exF N α= ×

( ) ( ) cosei ezF N γ= × (3)

( ) ( ) cosej exF N α= − ×

( ) ( ) cosej ezF N γ= − ×

De krachten op de knopen kunnen echter met betrekking (2) worden uitgedrukt in de verplaatsingen van de knopen. Dit levert “onhandige” uitdrukkingen op die echter met behulp van matrixnotatie hanteer worden.

N (e)

i i

N (e)

α γ

( )eizF

( )eixF

j


Uitwerken van de substitutie van vergelijking (2) in (3) levert: Op knoop i :

( ) ( ) 2 2cos cos cos cos cos cos cos

i

e ii ex

j

j

uwEAF Nulw

α α α γ α α γ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤= × = × − − ×⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


i

e ii ez

j

j

uwEAF Nulw

γ α γ γ α γ γ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤= × = × − − ×⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Op knoop j :


i

e ij ex

j

j

uwEAF Nulw

α α α γ α α γ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤= − × = × − − ×⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


i

e ij ez

j

j

uwEAF Nulw

γ α γ γ α γ γ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤= − × = × − − ×⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Op deze wijze hebben we voor iedere staaf een uitdrukking gevonden voor de krachten op de knopen3. Deze krachten zijn uitgedrukt in de nog onbekende verplaatsingen van knoop i en j.

( )2 2

( ) 2 2

2 2( )

2 2( )

cos cos cos cos cos coscos cos cos cos cos cos

cos cos cos cos cos coscos cos cos cos cos cos

eix i

eiiz

ej jx

e jjz

F uwF EAulFw

F

α α γ α α γα γ γ α γ γα α γ α α γ

α γ γ α γ γ

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ − − ⎢ ⎥⎢ ⎥= × ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦

Door voor alle knopen de twee evenwichtsvergelijkingen op te stellen ontstaat een stelsel vergelijkingen dat moet worden opgelost. Aan de hand van het gegeven voorbeeld zal dit worden gedemonstreerd. Om dit stelsel op te kunnen stellen zal eerst worden ingegaan op de definitie van de richtingscosinussen. Door dit gelijk in 3D te doen zal blijken dat de hier beschreven 2D-aanpak eenvoudig op te schalen is naar toepassingen voor drie dimensionale vakwerken.

3 De krachten op het uiteinde van de staven zijn volgens het principe van actie is reactie juist het tegenovergestelde van de hier weergegeven krachten op de knopen.


INTERMEZZO : Richtingscosinussen Om handig gebruik te kunnen maken van de richtingcosinussen zal eerst in zijn algemeenheid de richting van een staaf worden beschreven met behulp van de coördinaten van de punten waartussen de staaf zit bevestigd. Een staaf tussen de knopen i en j met coördinaten i (ix, iy, iz) en j (jx, jy, jz ) heeft een eenheidsrichtingsvector die kan worden aangeduid met de vector l:

1 x x x

y x y

z z z

j i ll j i l

Lj i l

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟= − =⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

met: 1.0l =

De lengte van de staaf is hierin L die wordt bepaald met:

2 2 2( ) ( ) ( )x x y y z zL i j i j i j= − + − + − De hoek die de staaf maakt met de x-, y- en z-as kan eenduidig worden bepaald met behulp van de cosinusregel. We nemen hiervoor eenheidsvectoren aan langs de x- y- en z-assen:

1 00 10 0

cos ( , ) cos ( , )1 1 1 1

01

cos ( , )1 1

x x

y y

z zx y

x

y

zz

l ll ll ll x l xl x l l y l

l x l x

llll xl z l

l x

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠∠ = = = ∠ = = =

× × × ×

⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∠ = = =

× ×

i ii i

ii

De richtingscosinussen van een staaf kunnen hiermee direct worden uitgedrukt in de knoopcoördinaten van de staaf. In de hiervoor beschreven 2D-aanpak geldt voor de hoeken α en γ dat dit de hoeken zijn tussen de staaf en respectievelijk de x- en de z-as: cos cos ( , )cos cos ( , )

x

z

l x ll z l

αγ= ∠ == ∠ =

met: 1x x x

z z z

l j il j iL

−⎛ ⎞ ⎛ ⎞=⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎝ ⎠ ⎝ ⎠

en L de lengte van de staaf.

De relatie tussen de krachten op de knoop vanuit een staaf (e) en de knoopverplaatsingen wordt hiermee:

( ) 2 2

( ) 2 2

2 2( )

2 2( )

eix x x z x x z i

eiix z z x z zz

ej jx x z x x zxe jj

x z z x z zz

F l l l l l l uwl l l l l lF EAul l l l l l lFwl l l l l lF

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− − ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥= × ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦− −⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦


Toepassing van de theorie op het voorbeeld Voor het uitwerken van het knoopevenwicht is een stukje boekhouding nodig. Van alle staven moeten de gegevens worden verzameld en de richtingscosinussen worden bepaald. In de onderstaande tabel zijn deze gegevens verzameld.

e i j ix iz jx jz L lx lz lx2 lz

2 lxlz EA/L 1 A C 0,0 0,0 4 -3 5.0 0,8 -0,6 0,64 0,36 -0,48 1200 2 A D 0,0 0,0 4 0 4.0 1,0 0,0 1,00 0,00 0,00 1500 3 C D 4,0 -3,0 4 0 3.0 0,0 1,0 0,00 1,00 0,00 2000 4 D B 4,0 0,0 8 0 4.0 1,0 0,0 1,00 0,00 0,00 1500 5 C B 4,0 -3,0 8 0 5.0 0,8 0,6 0,64 0,36 0,48 1200

Bij het opstellen van het knoopevenwicht zijn per knoop de horizontale- en verticale componenten van de aansluitende staafkrachten nodig alsmede de op de knoop aangrijpende (uitwendige) belasting. Hierbij kan het gaan om een bekende belasting of een nog onbekende oplegreactie. Voor de richting van de krachten wordt de positieve as-definitie aangehouden. In symbolen geldt voor het knoopevenwicht (zie ook figuur 2):

(1) (2)H

(1) (2)V

(4) (5)

(4) (5)V

(1) (3) (5)

(1) (3) (5)

(2) (3) (4)

(2) (3

0 0

0 0

0 0

0 0

0 40,0 0

0 0

0 0

0

A A Ax x x

A A Az z z

B B Bx x x

B B Bz z z

C C C Cx x x x

C C C Cz z z z

D D D Dx x x x

D D Dz z z

F F F A

F F F A

F F F

F F F B

F F F F

F F F F

F F F F

F F F

∑ = + + =

∑ = + + =

∑ = + =

∑ = + + =

∑ = + + + =

∑ = + + =

∑ = + + =

∑ = +) (4) 0D

zF+ =

Het uitwerken van deze vergelijkingen is met de hand omslachtig maar levert het onderstaande stelsel vergelijkingen op: knoop A: horizontaal evenwicht:

H1200 ( 0,64 0,48 0,64 0,48 ) 1500 ( 1,00 1,00 ) 0A A C C A Du w u w u u A× − + + − + × − + + = staaf (1) staaf (2) verticaal evenwicht:

V1200 (0,48 0,36 0,48 0,36 ) 1500 (0) 0A A C Cu w u w A× − − + + × + = staaf (1) staaf (2)


knoop B: horizontaal evenwicht: 1500 (1,00 1,00 ) 1200 (0,64 0,48 0,64 0,48 ) 0D B C C B Bu u u w u w× − + × + − − = staaf (4) staaf (5) verticaal evenwicht:

V1500 (0) 1200 (0,48 0,36 0,48 0,36 ) 0C C B Bu w u w B× + × + − − + = staaf (4) staaf (5) knoop C: horizontaal evenwicht: 1200 (0,64 0,48 0,64 0,48 ) 2000 (0)A A C Cu w u w× − − + + × + staaf 1 staaf 3 1200 ( 0,64 0,48 0,64 0,48 ) 40,0 0C C B Bu w u w× − − + + + = staaf 5 verticaal evenwicht: 1200 ( 0,48 0,36 0,48 0,36 ) 2000 ( 1,00 1,00 )A A C C C Du w u w w w× − + + − + × − + +

staaf 1 staaf 3 1200 ( 0,48 0,36 0,48 0,36 ) 0C C B Bu w u w× − − + + = staaf 5 knoop D: horizontaal evenwicht: 1500 (1,00 1,0 ) 2000 (0) 1500 ( 1,00 1,0 ) 0A D D Bu u u u× − + × + × − + =

staaf 2 staaf 3 staaf 4 verticaal evenwicht: 1500 (0) 2000 (1,00 1,00 ) 1500 (0) 0C Dw w× + × − + × = staaf 2 staaf 3 staaf 4 Deze brei aan vergelijkingen verhullen een beetje de structuur van het probleem. Door over te stappen op een matrixnotatie worden de vergelijkingen hanteerbaar en wordt de structuur helder zichtbaar.


Deze acht vergelijkingen kunnen “opgeschoond” worden tot het onderstaande stelsel vergelijkingen:

22,68 5,76 0,0 0,0 7,68 5,76 15,0 0,05,76 4,32 0,0 0,0 5,76 4,32 0,0 0,00,0 0,0 22,68 5,76 7,68 5,76 15,0 0,00,0 0,0 5,76 4,32 5,76 4,32 0,0 0,0

1007,68 5,76 7,68 5,76 15,36 0,0 0,0 0,05,76 4,32 5,76 4,32 0,0 28,64 0,0 20,0

15,0 0,0

− −− −

− −− −

×− −

− −

H

V

V

0,0

40,00,0

15,0 0,0 0,0 0,0 30,0 0,0 0,00,0 0,0 0,0 0,0 0,0 20,0 0,0 20,0 0,0

A

A

B

B

C

C

D

D

u Aw Auw Buwuw

−⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥× =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

In deze acht vergelijkingen zitten vijf onbekende verplaatsingen aangezien de verplaatsingen t.p.v. de opleggingen nul moeten zijn. Tevens zitten er nog drie onbekende oplegreacties in. Samen zijn er dus acht onbekenden. Indien het stelsel niet afhankelijk is moet het aantal vergelijkingen juist voldoen om de onbekenden op te kunnen lossen. Als in het stelsel links en rechts alles met –1,0 wordt vermenigvuldigd en de bekende verplaatsingen worden ingevoerd ontstaat het volgende stelsel:

22,68 5,76 0,0 0,0 7,68 5,76 15,0 0,05,76 4,32 0,0 0,0 5,76 4,32 0,0 0,00,0 0,0 22,68 5,76 7,68 5,76 15,0 0,00,0 0,0 5,76 4,32 5,76 4,32 0,0 0,0

1007,68 5,76 7,68 5,76 15,36 0,0 0,0 0,0

5,76 4,32 5,76 4,32 0,0 28,64 0,0 20,01

− − −− −

− − −− −

×− − −

− − − −−

H

V

V

0,00,0

0,00,0

40,00,0

5,0 0,0 15,0 0,0 0,0 0,0 30,0 0,0 0,00,0 0,0 0,0 0,0 0,0 20,0 0,0 20,0 0,0

B

C

C

D

D

AA

uB

uwuw

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥× =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

De vijf onbekende verplaatsingen zitten in rij 3,5,6,7 en 8. In die vergelijkingen worden de elementen in kolom 1,2 en 4 vermenigvuldigd met de bekende verplaatsing 0,0 van de oplegging. Deze kolomelementen doen in de genoemde vergelijkingen dus niet mee. Het bovenstaande stelsel kan hiermee gereduceerd worden tot een stelsel van vijf vergelijkingen met vijf onbekenden:

22,68 7,68 5,76 15,0 0,0 0,07,68 15,36 0,0 0,0 0,0 40,0

100 5,76 0,0 28,64 0,0 20,0 0,015,0 0,0 0,0 30,0 0,0 0,00,0 0,0 20,0 0,0 20,0 0,0

B

C

C

D

D

uuwuw

− − − ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥× × =− −⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

Van dit stelsel is met een lineair algebra pakket als bijvoorbeeld MAPLE de oplossing te bepalen:

0,026667 m; 0,039375 m; 0,017778 m0,013333 m; 0,017778 m

B C C

D D

u u wu w

= = == =


De reductie van het stelsel kan grafisch inzichtelijk worden gemaakt door de rijen met voorgeschreven verplaatsingen 0,0 weg te strepen en de daarbij behorende kolommen ook weg te strepen. (ga dat zelf eens na!)

22,68 5,76 0,0 0,0 7,68 5,76 15,0 0,05,76 4,32 0,0 0,0 5,76 4,32 0,0 0,00,0 0,0 22,68 5,76 7,68 5,76 15,0 0,00,0 0,0 5,76 4,32 5,76 4,32 0,0 0,0

1007,68 5,76 7,68 5,76 15,36 0,0 0,0 0,0

5,76 4,32 5,76 4,32 0,0 28,64 0,0 20,01

− − −− −

− − −− −

×− − −

− − − −−

H

V

V

0,00,0

0,00,0

40,00,0

5,0 0,0 15,0 0,0 0,0 0,0 30,0 0,0 0,00,0 0,0 0,0 0,0 0,0 20,0 0,0 20,0 0,0

B

C

C

D

D

AA

uB

uwuw

⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥× =⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

−⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

MAPLE code > restart; > with(linalg): > K:=matrix([[22.68,-7.68,-5.76,-15,0],[-7.68,15.36,0,0,0], [-5.76,0,28.64,0.0,-20], [-15,0,0.0,30,0], [0,0,-20,0,20]]); > F:=inverse(K); > load:=vector([0,40/100,0,0,0]); > disp:=multiply(F,load);

Hiermee zijn de onbekende verplaatsingen opgelost. De onbekende oplegreacties kunnen worden gevonden door de nu bekende verplaatsingen in te vullen in de vergelijkingen 1,2 en 3 die horen bij de voorgeschreven verplaatsingen 0,0 (opleggingen). De vergelijkingen voor de bepaling van de oplegreacties worden hiermee:

H

H

V

0,00,0

0,0266722,68 5,76 0,0 0,0 7,68 5,76 15,0 0,0

0,0100 5,76 4,32 0,0 0,0 5,76 4,32 0,0 0,0

0,039370,0 0,0 5,76 4,32 5,76 4,32 0,0 0,0

0,013330,017780,02667

ABB

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

− − −⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥= × − − ×⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥− − ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

Uitwerken levert:

H V V40,0 kN; 15,0 kN; 15,0 kNA A B= − = + = − De krachten in de staven kunnen bepaald worden door per staaf vergelijking (2) uit te werken met de verplaatsingen van de knopen waartussen de staaf is geplaatst.

[ ]( )

i

iex z x z

j

j

uwEAN l l l lulw

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= × − − ×⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦


Uitwerken levert voor dit vakwerk:

(1) (2) (3)

(4) (5)

25,0 kN; 20,0 kN; 0,0 kN20,0 kN; 25,0 kN

N N NN N

= = =

= = −

Uit het voorbeeld mag blijken dat de verplaatsingenmethode een ongeschikte methode is voor een “snelle handberekening”. De gevolgde procedure laat zich echter goed programmeren en heeft als voordeel dat er geen onderscheid hoeft te worden gemaakt tussen statisch bepaalde en statisch onbepaalde vakwerken. De verplaatsingenmethode is generiek toepasbaar op ieder vakwerk dat kinematisch bepaald is. In een iets andere gedaante is de verplaatsingenmethode voor staafwerken verwerkt in de huidige rekenapplicaties. Deze methode volgt de procedure van de Eindige ElementenMethode (EEM) en is een van de onderwerp van het college CT3110 ConstructieMechanica 5. Met name het opstellen van het stelsel vergelijkingen kan bij de EEM op een zeer efficiënte wijze worden ingericht hetgeen in deze introductie buiten beschouwing is gelaten. De uitwerking hiervan is toegepast in het educatieve vakwerkprogramma TRUSS3D4 dat van de website kan worden gedownload.

Opschaling naar 3D Bij de opschaling naar drie dimensies verandert er aan de aanpak niets. In iedere knoop kunnen nu drie verplaatsingen optreden (u, v en w) en de hoek tussen de staaf en de x-, y- en z-as wordt nu aangeduid met:

cos cos ( , ) ; cos cos ( , ) ; cos cos ( , )x y zl x l l y l l z lα β γ= ∠ = = ∠ = = ∠ = De drie belangrijkste uitdrukkingen die uitgebreid moeten worden zijn de vergelijkingen (1), (2) en (3).

[ ]cos cos cos cos cos cos

i

i

i

j

j

j

uvw

luvw

α β γ α β γ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

∆ = − − − × ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(1b)

4 © 2007, J.W. (Hans) Welleman


Hiermee verandert vergelijking (2) tot:

[ ]( ) cos cos cos cos cos cos

i

i

ie

j

j

j

uvwEANuLvw

α β γ α β γ

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥

= × − − − × ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(2b)

De kracht op de knoop t.g.v. een normaalkracht in een staaf heeft nu drie componenten:

( ) ( ) cosei exF N α= ×

( ) ( ) cosei eyF N β= ×

( ) ( ) cosei ezF N γ= × (3b)

( ) ( ) cosej exF N α= − ×

( ) ( ) cosej eyF N β= − ×

( ) ( ) cosej ezF N γ= − ×

De krachten op de knopen uitgedrukt in de nog onbekende verplaatsingen van knoop i en j worden hiermee:

( )2 2

( )2 2

( ) 2 2

2 2( )

2 2( )

( )

eix

x x y x z x x y x zeiy x y y y z x y y y z

eiz x z y z z x z y z z

ej x x y x z x x y x zxej x y y y z x y y y z

yx z y z zej

z

Fl l l l l l l l l l

F l l l l l l l l l lF l l l l l l l l l lEA

l l l l l l l l l lLFl l l l l l l l l lFl l l l l

F

⎡ ⎤− − −⎢ ⎥

⎢ ⎥ − − −⎢ ⎥⎢ ⎥ − − −

= ×⎢ ⎥− − −⎢ ⎥

⎢ ⎥ − − −⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

2 2

i

i

i

j

j

jx z y z z

uvwuvwl l l l l

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

×⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥

− − −⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦

Het aantal evenwichtsvergelijkingen per knoop moet uitgebreid worden van twee naar drie. De systematiek blijft verder identiek.

VAKWERKVOORBEELD_VERPLAATSINGENMETHODE

Documents

Transcript of VAKWERKVOORBEELD_VERPLAATSINGENMETHODE