TWIJFEL EN ZEKERHEID

Vierde bijeenkomst•Kleinste kwadraten methode

• Lineaire regressie

KLEINSTE KWADRATEN METHODE(LINEAIR VERBAND)

-

Uit de twee verkregen vergelijkingenBereken je v0 en a.

LINEAIRE REGRESSIE Stel, je meet een variabele y als functie van een

gekozen variabele x. Tussen deze twee variabelen is een lineair verband volgens y = ax + b, waarbij a en b constantes zijn.

Je voert een aantal metingen uit, waarbij je een aantal waarden van y meet bij verschillende waarden van x:

DE BESTE RECHTE LIJN?

Van elk meetpunt wordt het kwadraat van de afwijking Ten opzichte van de lijn bepaald.De lijn, die het meest waarschijnlijke verband geeft, isde lijn waarbij de som van die kwadraten het kleinst is.In wezen is dit dus een bewerking van de kleinste kwadratenmethode.

Achtereenvolgens worden berekend:en

Voor de correlatiecoëfficiënt geldt weer:

De richtingscoëfficiënt a en het snijpunt met de y-as bworden nu berekend met:

HET PROBLEEM VAN DE POSTBODE

aantal poststukken

tijd (minuten)

678 378752 401593 358832 480712 390

Veronderstel dat de tijd t die een postbode nodig heeft om zijn wijk te lopen afhangt van zijn voorbereidingstijd to , de tijd voor het bezorgen van een poststuk tb en de hoeveelheid post die hij moet bezorgen a. Neem aan dat to en tp bij benadering constant zijn. Er geldt dan natuurlijk t = tb a + to. De postbode meet gedurende vijf dagen de tijd die hij voor zijn wijk nodig heeft. De resultaten vind je in onderstaande tabel:Bepaal to en tb met behulp van lineaire regressie.

Open Excel (Office 2007)Tik in cel A1 “aantal poststukken” en in cel B1 “tijd (minuten)”. Tik in de cellen A2 t/m A6 het aantal poststukken van elke meting: zorg voor een oplopende volgorde in aantal. Tik in de cellen B2 t/m B6 de verschillende tijden van de metingen.Selecteer de cellen B2 t/m B6 door te slepen.Ga naar het tabblad “Invoegen” , kies “Spreiding” en onder “Spreiding” de eerste mogelijkheid. Klik rechts op de ontstane grafiek en kies “Gegevens selecteren” en klik daar op “Bewerken”.Klik in het vak onder “Reeks X-waarden” en selecteer door slepen de cellen A2 t/m A6. Klik op OK en nogmaals op OK.Ga op een punt in de grafiek staan en klik rechts.Kies “Trendlijn toevoegen”.In het blad dat nu opent staat is “lineair”al actief. Vink onderaan de twee onderste opties (vergelijking, R2) aan en vul bij “voorspelling terug” 593 in.

Open Excel (Office 2003)Tik in cel A1 “aantal poststukken” en in cel B1 “tijd (minuten)”. Tik in de cellen A2 t/m A6 het aantal poststukken van elke meting: zorg voor een oplopende volgorde in aantal. Tik in de cellen B2 t/m B6 de verschillende tijden van de metingen.Selecteer de cellen B2 t/m B6 door te slepen.Ga naar het tabblad “Invoegen” , kies “grafiek”, kies “Spreiding” en onder “Spreiding” de eerste mogelijkheid.

Klik rechts op de ontstane grafiek en kies “Gegevens selecteren” en klik daar op “Bewerken”.Klik in het vak onder “Reeks X-waarden” en selecteer door slepen de cellen A2 t/m A6. Klik op OK en nogmaals op OK.Ga op een punt in de grafiek staan en klik rechts.Kies “Trendlijn toevoegen”.In het blad dat nu opent, staat “lineair”al actief. Vink onderaan de twee onderste opties (vergelijking, R2) aan en vul bij “voorspelling terug” 593 in.

HET RESULTAAT

550 600 650 700 750 800 8500

100

200

300

400

500

600

f(x) = 0.491139418408545 x + 51.0211389073439R² = 0.864136067984881

NIET-LINEAIRE REGRESSIE In wezen doe je dat in Excel op dezelfde

manier als lineaire regressie. Je kiest eigenlijk alleen een andere functie bij het instellen van de trendlijn.

In de volgende dia vind je een (chemisch) voorbeeld over de reactiesnelheid van de reactie van magnesium met zoutzuur:

zoutzuurconcentratie reactiesnelheid0,1 0,002930,2 0,011060,5 0,072171,0 0,257102,0 0,82271

0 0.5 1 1.5 2 2.50

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9f(x) = 0.242407662532108 x^1.90046946785088R² = 0.998750463647073

Het verschil is dat je een andere wiskundig verbandmoet kiezen bij “Trendlijn toevoegen”. Speel eens metDe verschillende keuzes.

OPDRACHTEN 18, 19 EN 20