การประชมวชาการเครอขายวศวกรรมเครองกลแหงประเทศไทย ครงท 26 ตลาคม 2555 จงหวดเชยงราย

DRC 2037

การควบคมการสนของโครงสรางสองชนจ าลอง โดยวธ H∞ ความไวผสม

Vibration Control of a Two-floored Structure Model Based on H∞ Mixed Sensitivity Methodologies

ศกย บญชวทย1* และ และ วทต ฉตรรตนกลชย1

1หองปฏบตการควบคมหนยนตและการสนสะเทอน (CRV Lab) ภาควชาวศวกรรมเครองกล คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยเกษตรศาสตร เขตจตจกร กรงเทพฯ 10900

*ตดตอ: sakaya.bcw@hotmail.co.th , โทร 081-545-3510

บทคดยอ บทความนน าเสนอการหาแบบจ าลองทางพลวต (dynamic model) ของระบบโครงสรางสองชน (two-floor

structured model), การออกแบบการควบคมดวยวธ H∞ ความไวผสม (H∞ mixed sensitivity) และการสรางโครงสรางสองชนขนมาทดสอบประสทธภาพของตวควบคม เนองจากการสนสะเทอนมผลตอความเสยหายของโครงสรางจรง การศกษาการออกแบบระบบควบคมของโครงสรางทสรางขนมานสามารถชวยใหเขาใจพฤตกรรมของโครงสรางขนาดจรงได โดยทแบบจ าลองของโครงสรางนนประกอบดวย 3 สวนคอ 1) โครงสรางสองชน 2) มวลขบ (active mass driver) สองมวลท าหนาทตานการสนสะเทอนของโครงสรางในแตละชน และ 3) ตวตานทานชนดปรบคาได (potentiometer) ท าหนาทเปนเซนเซอรส าหรบวดมมเอยงของโครงสราง โครงสรางทถกควบคมสามารถลดขนาดการสนลง เมอเทยบกบไมมตวควบคม ค ำหลก: การลดการสนสะเทอน, โครงสรางสองชนจ าลอง, H∞ ความไวผสม Abstract

This paper presents the dynamic model of a two-floor structured model, the controller that designed by H∞ mixed sensitivity, and constructing the two-floor structured model to test the effectiveness of the proposed controllers. Since the effects of vibrating can cause to damage of the full-scale construction. Bench-scale models can be used to study aspect of full- scale structural vibration control implementation, including: 1) two-floor model, 2) two-active mass driver for countering the vibrated structure in each floor, and 3) potentiometers are used for measuring the tilt of the structure. When compared to the system without control, the H∞ mixed sensitivity method can be reduces the vibration magnitude . Keywords: vibration reduction, two-floored structure model, H∞ mixed sensitivity

1. บทน า การทดลองควบคมการสนของโครงสรางสองชน

จ าลองนน ชวยใหสามารถทจะเขาใจถงพฤตกรรมเดนทมตอโครงสรางได ส าหรบในโครงสรางนนในแตละชนจะเกดการเบยงเบนของมมเมอมการรบกวนจากภายนอก ซงตวตานทานชนดปรบคาได (potentiometer) ท าหนาทเปนตวตรวจร และสงสญญาณใหแกตวควบคม

จากนนตวควบคมจะน าขอมลทไดไปประมวลผล และสงสญญาณควบคมใหแกมวลขบ (active mass driver) ท าหนาทสรางแรงตานดวยการเคลอนตวของมวลขบ

การประชมวชาการเครอขายวศวกรรมเครองกลแหงประเทศไทย ครงท 26 ตลาคม 2555 จงหวดเชยงราย

รหสบทความ DRC 2037

2. อปกรณการทดลอง 2.1. โครงสราง

โครงสรางเปนแบบสองชน ท าจากอลมเนยม แตละชนมความสง 300 ม.ม. และกวาง 500 ม.ม. ดงแสดงในรปท1

รปท 1 โครงสรางสองชนจ าลอง และมวลขบ

ในแตละชนจะยดกนดวยบานพบ และสปรงจะท าหนาทรงใหโครงสรางสามารถตงตรงไดเมอไมม การรบกวนจากภายนอก 2.2. มวลขบ

ประกอบดวย DC servo motor ทตดตงบนมวลหนวงซงสามารถปรบคาน าหนกได เมอมอเตอรไดรบสญญาณควบคมจากตวควบคม จะท าใหเกดแรงผลกแกโครงสราง 2.3. เซนเซอร

ใชตวตานทานปรบคาได ขนาดความตานทาน 10KΩ เปนเซนเซอรวดมมเอยง ดงรปท2 2.4. ตวควบคม

ใชตวควบคมแบบ ดจตอล ของ NI รวมกบ โปรแกรม LABVIEW รน 2009 2.5. คอมพวเตอร

แบงเปน Host Computer ส าหรบโปรแกรม และเกบขอมล Target Computer ส าหรบ ประมวลผลตว

ควบคมเพอใหประสทธภาพในการท างานของตวควบคมมความไวมากขน

รปท 2 ตวตานทานปรบคาไดส าหรบวดมม

3.แบบจ าลองทางคณตศาสตรของระบบ

แบบจ าลองทางคณตศาสตรของโครงสราง อางองหลกการของ ลากรานจ ในการสรางสมการทางพลวต 3.1. แบบจ าลองทางคณตศาสตรของโครงสราง

จากรปท 3 เมอพจารณาพลงงานตางๆของระบบสามารถสรางสมการไดดงน

รปท 3 โครงสรางสองชนจ าลอง และสญลกษณตวแปร

พลงงานจลน:

2222112

2

22

112

2

22112

2

1111

2

11

1

2

111

2

1

22

1

2

1

22

1

xhhm

hhmhhm

xhmh

mhmT

c

rb

crb

(1)

การประชมวชาการเครอขายวศวกรรมเครองกลแหงประเทศไทย ครงท 26 ตลาคม 2555 จงหวดเชยงราย

รหสบทความ DRC 2037

พลงงานศกยยดหยน: 2

22

2

112

1

2

1 ss kkU (2)

พลงงานภายนอก:

222111222

1112211

dcdcgdxmc

gdxmcdxFdxFdW

(3)

จากสมการ

niQq

U

q

T

q

T

dt

di

iii

,...,2,1,

(4)

และจากสมการ 1ถง 4 สามารถก าหนดสมการทางพลวตของระบบไดดงน

111111 Fhmxm cc (5)

1111

2212212212212

1

2

12

2

12

2

12

2

11

2

112

11

111

22

ck

hhmhhmhhmxhm

hmhmhmhmhm

hm

xhm

s

crbc

crbc

r

b

c

(6)

222222112 Fhmxmhm ccc (7)

2222

2

2

22

2

222

22222

1212212212

2

ck

hmhm

hmxhm

hhmhhmhhm

s

cr

bc

crb

(8)

3.2. เอกลกษณของระบบมวลขบ (system identification)

เมอพจารณา สมการท 5 และ7 จะเหนไดวาตวแปร F1 และF2 เปนแรงทเกดจากการขบเคลอนของมอเตอรซงแปรผนตรงกบแรงดนไฟฟาทไดรบจากตวควบคม

จากความสมพนธระหวางแรงดนไฟฟา และแรงบดของมอเตอร

rFcvc iiii 21 (9)

iiii

i

iii kvk

r

cvcF

21

21

(10)

i

iiiii

r

xkvkF

21 (11)

โดย 1c และ 2c คอคา คาคงทของมอเตอร (motor constant) และคาแรงดนไฟฟากลบ(back emf.) ตามล าดบ

พจารณาแรงทกระท าตอระบบดงรปท4

รปท 4 ระบบมวลขบ

จากกฎขอท 2 ของนวตน

mamgF

mafF

(12)

เนองจาก Fr ดงนนจากสมการท 9และ 10 จะได

21

21

cvcrmamg

cvcFr

(13)

จากสมการท 13 สามารถเขยนอยในรปสมการเมตรกซไดเปน

mar

c

cvmgr

2

1

(14)

จากนนท าการทดลองหาตวแปรท ไมทราบ คา คอ 21,, cc

3.2.1 ความเรง สามารถวดโดย ตวตรวจรความเรง รนADXL335 ซงตดตงบนมวลหนวง 3.2.2 ความเรวเชงมม สามารถวดโดย en-coder รน E6B2-CWZ6C ท าการเกบขอมลดงกลาว โดยโปรแกรม LABVIEW 2010 จากนนน าขอมลทไดมาท าการประมวลผล โดยโปรแกรม MATLAB 2009a ไดคาคงทตางๆ ดงนคอ c1=0.0078 ,c2=0.1565 ,µ=0.0078 4.การทดสอบความแมนย าของสมการทางคณตศาสตร

เมอจดรปสมการทางคณตศาสตรในรปของสมการปรภมสถานะจ านวน 8 สเตตแลว ดงน

28271615

24231211

,,,

,,,

XxXXxX

XxXXxX

จากนนท าการทดลองเพอหาคา ตวแปรสถานะ X2 และX4 คอคามมทเบยงเบนของโครงสรางในชนท 1 และ2 ตามล าดบ 4.1การทดสอบโดยก าหนดเงอนไขเรมตน

จากการเปรยบเทยบผลการ เบ ย ง เบนมมโครงสราง กบการจ าลองผลดวยโปรแกรม MATLAB

การประชมวชาการเครอขายวศวกรรมเครองกลแหงประเทศไทย ครงท 26 ตลาคม 2555 จงหวดเชยงราย

รหสบทความ DRC 2037

2009a เนองจากการรบกวน โดยไมไดมการปอนสญญาณควบคม ผลการทดลองดงแสดงในรปท 5,6 และ7

รปท 5 เงอนไขเรมตนเมอ 102 x และ 154 x

รปท 6 เงอนไขเรมตนเมอ 152 x และ 104 x

รปท 7 เงอนไขเรมตนเมอ 152 x และ 154 x 4.2 การทดสอบโดยก าหนดสญญาณรปไซน

ท าการเปรยบเทยบผลการเบยงเบนของมมกบผลการจ าลองดวยโปรแกรม MATLAB 2009 ดงแสดงในรปท 8,9และ10

รปท 8 ปอนสญญาณในโครงสรางชนแรก

รปท 9 ปอนสญญาณในโครงสรางชนสอง

รปท 10 ปอนสญญาณในโครงสรางชนแรกและชนสอง จากรปท 5 ถง 10 ผลการเบยงเบนของมมเทยบกบแนวดง พบวาผลทวดไดจากการทดลอง และจากการจ าลองสมการทางคณตศาสตรพบวามความใกลเคยงกนมาก จงสามารถทน าสมการทางคณตศาสตรทไดเตรยมไวไปออกแบบตวควบคมตอไป 5. ทฤษฎการสงเคราะหตวควบคม H∞

การควบคม LQG ไดถกพฒนาขนโดยค านงถงสมรรถนะเปนหลก ถงแมองคประกอบยอยทงสองของ

การประชมวชาการเครอขายวศวกรรมเครองกลแหงประเทศไทย ครงท 26 ตลาคม 2555 จงหวดเชยงราย

รหสบทความ DRC 2037

LQG คอตวควบคมปอนกลบสเตต LQR และคารลมานฟลเตอรจะมการรบประกนเสถยรภาพทด แตเมอมการน ามาใชรวมกนเปนตวควบคม LQG สามารถทจะสญเสยการรบประกนดงกลาว ท าใหระบบปอนกลบ LQG อาจมความทนทานดานเสถยรภาพทแยมาก โดยแรงจงใจเพอแกไขขอเสยของการควบคม LQG นเอง ท าใหเกดการพฒนาระบบควบคมทนทานโดยอาศยการหาคาเหมาะทสด

H 5.1. การจดรปทวไปส าหรบปญหาการควบคม

เนองจากมหลากหลายวธในการทจะจดรปปญหาระบบควบคมปอนกลบ ใหเปนปญหาการหาคาเหมาะทสด H∞ ดงนนจงเปนประโยชนหากสามารถสรางกรอบการออกแบบทเปนทวไปส าหรบการแกปญหาใดๆ ดงรปท 11 แสดงบลอกไดอะแกรมของกรอบการออกแบบระบบควบคมดงทนยมเรยกวา “กรอบการออกแบบสมยใหม” โดย P คอพลานตวางนยทวไป (generalize plant) และ K เปนตวควบคมทตองการออกแบบ ในสวนอนพตของ P จะประกอบดวย ตวแปรควบคม (control variables) u ทก าเนดโดย

รปท 11 กรอบการออกแบบระบบควบคมสมยใหม

ตวควบคม และอนพดภายนอก (exogenous inputs) w ทรวมสญญาณค าสง และสญญาณรบกวนทจดตางๆ ของระบบ สวนทางดานเอาทพตประกอบดวย z เรยกวา เอาทพตสมรรถนะ (performance outputs) หรอเอาทพตคาตางๆ (error outputs) ซงอาจไมไดมการตดต งตวตรวจจบเพอวดคาจรงในทางปฏบต สวนเอาทพตจากการวด (measurement outputs) y คอเอาทพตทมการวดจรง และเปนคาทปอนใหกบตวควบคม จ านวนนของอนพต และเอาทพตดงกลาวจะมเทาใดกไดขนอยกบระบบทออกแบบ

5.2. การควบคม H∞ แบบความไวผสม ปญหาการควบคม

H ความไวผสม (mixed-sensitivity) เปนชอทตงใหกบปญหาการจดสณฐานว ง รอบฟ ง ก ช น ถ า ย โ อน โ ดย ท ฟ ง ก ช น ค ว าม ไ ว

1 GKIS จะถกจดรปรวมกบฟงกชนถายโอนวง

ปดตวอน เชน KS หรอ ฟงกชนเตมเตมความไว SIT

สมมตวามปญหาการคมคา จะท าการจดรปฟงกชนถายโอนวงปด S และ KS ในลกษณะหนงอนดบความอสระ โดย S เปนฟงกชนถายโอนจาก d ไปยงเอาทพต และ KS เปนฟงกชนถายโอนจาก d ไปยงเอาทพตของตวควบคม

โดยปกตแลวการรบกวน d จะเปนสญญาณในยานความถต าจงสามารถถกจ ากดไดหากท าใหคาเอกฐานสงสดของ S มคานอยในยานความถต า วธการจดรปดงกลาวกระท าโดยเลอกตวกรองความถต าผาน

1w ทมแบนดวทธเทากบของสญญาณรบกวน d และหาตวควบคมสรางเสถยรภาพทจะลดคา

Sw1 แตการจด

รปเพยงเทานจะไมเหมาะสมในทางปฏบต เพราะไดค านงถงแตฟงกชนถายโอนเพยงหนงตวเทานนส าหรบ พลานตทเปนแบบเฟสต าสดจะไดตวควบคมเหมาะทสดทมอตราขยายตลอดยานความถจนถงอนนต คอไมมการจ ากดแบนดวทธนนเอง หากพลานตเปนแบบเฟสไมต าสด ความตองการดานเสถยรภาพจะเปนตวจ ากดแบนดวทธของระบบโดยทางออม อยางไรกตาม ในทางปฏบตจะเหมาะสมกวาทจะหาคาต าสดของ

KSw

Sw

2

1 (15)

โดยท 2w เปนตวกรองความถสงผานทมความถตดขามประมาณเทากบแบนดวทธ ของระบบปดทตองการ

ในกรณทจะแสดงวธการจดปญหาความไวผสมใหอยในกรอบการออกแบบทวไป จะคดวาการรบกวน d เปนสญญาณรบกวนภายนอกตวเดยวของระบบ นยามเ อ า ท พ ต ค ว า ม แ ต ก ต า ง TTT ZZZ 21 โ ด ย

ywZ 11 และ uwZ 22 ดงแสดงในรปท 12 ซงจากรปแสดงใหเหนไดโดยงายวา SwwZ 11 และ

KSwwZ 22 ตามทตองการ และสมาชกของพลานตวางนยทวไป P จะถกก าหนดไดดงน

การประชมวชาการเครอขายวศวกรรมเครองกลแหงประเทศไทย ครงท 26 ตลาคม 2555 จงหวดเชยงราย

รหสบทความ DRC 2037

0

1

11

wP

2

1

12w

GwP

IP 21 GP 22

(16)

รปท 12 ปญหาความไวผสม KSS / ส าหรบ การคมคา

6.การสงเคราะหตวควบคม K

แมทฤษฎทอยเบองหลงของการควบคมสมยใหมอาจมความซบซอน แตขนตอนทางปฏบตโดยรวมเปนไปอยางอตโนมต เม ออาศยซอฟแวรคอมพ ว เตอรท มเครองมอสนบสนนเขาชวย 6.1. Scaling

การ Scaling เปนขนตอนเรมตนในการวเคราะหระบบ และออกแบบตวควบคม ในขนเรมตนตองท าการตดสนใจเลอกขนาดของการรบกวน และ คาผลตาง จากขนาดทยอมใหในแตละอนพต และเอาตพต ก าหนดใหสเกลเดมของระบบคอ

dGuGy dˆˆˆˆˆ , rye ˆˆˆ (17)

เมอสญลกษณ ^ แทนระบบทยงไมได scaling ประโยชนของการ scaling เพอใหตวแปรของระบบ

มคานอยกวา 1 นนเอง โดยการหารแตละตวแปรดวยคาสงสด หรอคาเปลยนแปลงทยอมให ส าหรบการรบกวน และสญญาณเขา สามารถไดตวแปรดงน

maxˆˆ ddd , max

ˆˆ uuu (18) โดย maxd คอ คาเปลยนแปลงการรบกวนสงสด maxu คอ คาเปลยนแปลงอนพตสงสด maxe คอ คาผดพลาดสงสด maxr คอ คาเปลยนแปลงอางอง สงสด จดประสงคหลกของการออกแบบคอตองการใหคา ผดพลาดมคาต าทสด โดยปกตแลวเราจงท าการ scaling เทยบกบ คาผดพลาด

maxˆˆ eyy , max

ˆˆ err , maxˆˆ eee (19)

และก าหนด

maxeDe , maxuDu , maxdDd , maxrDr (20) ดงนน

dDd dˆ1 , uDu u

ˆ1 , yDy eˆ1 , eDe e

ˆ1 rDr r

ˆ1 (21) และ Scaling พลานตได

ue DGDG ˆ1 , dded DGDG ˆ1 (22) เมอพจารณาสมการท 21 เราจงก าหนดคาตางๆดงน

09.0eD , 5.2*016.5uD , 1.0dD จากนนแทนคาทก าหนดไดลงในสมการท 22 เรากจะได พลานตของการรบกวน และพลานตวางนยทวไป 6.2 ก าหนดฟงกชนน าหนกส าหรบ S และ KS

เราสามารถก าหนดฟงกชนคาน าหนกจากสมการ

As

Msw

B

B

*

*

1

Iw 2 (23)

ก าหนดให *

B คอ คาแบนดวทธต าสด โดยทวไปแลว จะก าหนดคา 0A และ 1M จากการทดลองปรบคา ฟงกชนน าหนกแลว ท าใหไดฟงกชน 1W และ 2W ดงน

012.0

105.01

s

sW ,

10

00005.05.02

s

sW (24)

ขนตอนตอไปเปนการปอนคา พลานตท scaling แลว และคาฟงกชนน าหนก ทงสอง เพอใหโปรแกรมท าการสงเคราะหตวควบคม โดยใชโปรแกรม MATLAB 2009a ซงตวควบคมทได อยในรปสมการ สเตต 16 สเตต หรอสมการทมอนดบเปน 16 ซงในการอมพลเมนทจะท าใหเกดความยงยากมากขน 6.3 การลดอนดบตวควบคม ส าหรบพลานตทมสมการอยในรป

Cxy

BuAxx

(25)

เมอเตมแตงตวอนทกรลใหกบเอาตพตของพลานตจะไดสมการสเตตดงสมการท 26

การประชมวชาการเครอขายวศวกรรมเครองกลแหงประเทศไทย ครงท 26 ตลาคม 2555 จงหวดเชยงราย

รหสบทความ DRC 2037

q

xCy

rI

uB

q

x

C

A

q

x

0

0

00

0

(26)

ภายใตสมมตฐานทเหมาะสม จะสามารถสรางเสถยรภาพระบบแตงเตมโดยตวปอนกลบสเตต

q

xKKu 21 (27)

ตอมาสมมตวามตวสงเกตส าหรบสเตตของพลานต LyqBKxLCBKA

LyBuxLCAx

21ˆ

ˆ (28)

ดงนนจะสามารถอมพลเมนตตวควบคม

q

xKKK

q

xKu 21 (29)

ตวควบคมทงหมดทรวมตวอนทกรลและตวสงเกตจะม สเตตเปน

q

xKu

r

y

II

L

q

xBKLCBKA

q

x

c

cc

C

BA

ˆ

0ˆ

00

ˆ 21

(30) จะเหนไดวาตวควบคมนไมเสถยรเนองจากประกอบดวยตวอนทกรล ในการทจะใชวธการตดปลายอยางสมดล จะตองท าการแยกตวอนทกรลออกจากสวนทเหลอของตวควบคม ถาหากสวนทเหลอเสถยรกจะสามารถใชการตดปลายอยางสมดลได สงเกตวาจะสามารถแยกตวควบคมออกดงน

y

uIxKu

y

uLBxLCBKAx

r

y

IqK

y

u

r

yIIqq

q

q

q

0ˆ

ˆˆ

0

000

0

1

1

2

(31)

หลงจากการลดอนดบตวควบคมลงแลวท าใหตวควบคมมสเตตลดลงเหลอ 10 สเตต ท าใหงายตอการอมพลเมนทมากขน

7. การทดสอบผลตอบสนองตอสญญาณรบกวนของ ระบบ 7.1 ผลตอบสนองตอสญญาณรบกวนขนบนได

รปท 13 ผลตอบสนองตอสญญาณรบกวนขนบนไดเมอไม มตวควบคม

รปท 14 ผลตอบสนองตอสญญาณรบกวนขนบนไดเมอม ตวควบคม 7.2ผลตอบสนองตอสญญาณรบกวนรปไซน

รปท 15 ผลตอบสนองตอสญญาณรบกวนรปไซนเมอไมม ตวควบคม

รปท 16 ผลตอบสนองตอสญญาณรบกวนรปไซนเมอมตว ควบคม

การประชมวชาการเครอขายวศวกรรมเครองกลแหงประเทศไทย ครงท 26 ตลาคม 2555 จงหวดเชยงราย

รหสบทความ DRC 2037

7.3 ผลตอบสนองตอสญญาณรบกวนสเหลยม

รปท 17 ผลตอบสนองตอสญญาณรบกวนรปสเหลยมเมอ ไมมตวควบคม

รปท 18 ผลตอบสนองตอสญญาณรบกวนรปสเหลยมเมอ มตวควบคม

8.สรปผลแลวจารณ

บทความฉบบนมงเนนการศกษาในสองสวนหลกคอการศกษาสมการทางคณตศาสตรของระบบโครงสรางสองชน และการลดการสนโดยวธการสงเคราะหตวควบคม H∞ความไวผสม

ในส วนแรกได เรมตนท าการสรางสมการทางคณตศาสตร โดยใชหลกการของ ลากรานจ และท าการหาตวแปรไมทราบคาบางตว จากการทดลองและเกบขอมลในหองทดลอง จากนนจงท าการทดสอบความแมนย าของสมการโดยเปรยบเทยบผลการเคลอนตวจรงของโครงสรางเทยบกบ สมการทางคณตศาสตร ซงใหผลใกลเคยงกนมาก

สวนตอมาไดน าเสนอทฤษฎการสงเคราะหตวควบคม ซงแมวาในทางทฤษฎจะมสมการทางคณตศาสตรทซบซอน แตในเชงปฏบตแลวเราสามารถลดความยงยากนนโดยใชโปรแกรมคอมพวเตอรทมเครองมอส าหรบการสงเคราะหตวควบคมไดอยางเปนอตโนมต เพยงแตใสคาตวแปรทระบบตองการเทานน จากนนจงท าการหาผลตอบสนองของระบบตอสญญาณรบกวนแบบตางๆเปรยบเทยบกนระหวางการใช และไมใชตวควบคม ซงปรากฏวาเมอมการน าตวควบคมทไดมาควบคม ระบบสามารถลดการสนของโครงสรางลงได

9.กตตกรรมประกาศ ขอขอบคณ ผศ.ดร.วทต ฉตรรตนกลชย ส าหรบ

ทนการศกษาวจย และหองปฏบตการควบคมหนยนตและการสนสะเทอน(CRV Lab.) ภาควชาวศวกรรมเครองกล คณะวศวกรรมศาสตร มหาวทยาลยเกษตรศาสตร ส าหรบสถานทและอปกรณทดลอง

10.เอกสารอางอง [1] Anderson B.D.O. and J.B. Moore. 1971. LinearOptimal Control. Prentice Hall. Upper Saddle River,NJ. [2] Chilali M. and Gahinet P. 1996. H∞ design with pole placement constraints. :An LMI approach,IEEE Transactions on Automatic Control AC-41(3):358-367 [3] Francis B.A. and Zames G. 1984. On H∞ optimal sensitivity theory for SISO feedback systems. IEEE Transactions on Automatic Control AC-29(1):9-16 [4] Katsuhiko Ogata. Modern Control Engineering. 5th ed. Pearson. Singhapore [5] Sigurd Skogestad. and Ian Postlethwaite. 2007. Multivariable Feedback Control. 2nd ed.Johnson Wiley & sons,LtdChaichester,England [6]วโรดม ตจนดา. 2550. การวเคราะหและออกแบบ ระบบควบคมทางวศวกรรม. ส านกพมพ มหาวทยาลยเกษตรศาสตร, กรงเทพฯ [7]วบลย แสงวระพนธศร. 2548. การควบคมระบบ พลศาสตร. พมพครงท2. ส านกพมพแหงจฬาลงกรณ มหาวทยาลย. กรงเทพฯ