1 1

AANSLUITING PO-VOFEEDBACK / ONTWIKKELING

STAPPENPLAN VOOR PROBLEEMOPLOSSEND HANDELEN BIJ REKENEN

Deze informatiekaart biedt een onderbouwde, praktische handreiking voor zowel leerkrachten in

het primair onderwijs als docenten in het voortgezet onderwijs om een vaardig oplossingsproces te

ontwikkelen bij leerlingen en hen succesvol(ler) te laten zijn in het aanpakken van rekenvraagstukken

en –problemen.

Een vaardig oplossingsproces omvat doorgaans de volgende vier stappen:

1. Een oriëntatie op het probleem (Wat is het probleem?)

2. Het opstellen van een probleemaanpak (Wat kan ik doen? Wat ga ik doen?)

3. Het uitvoeren van de gekozen aanpak (Aan de slag)

4. Controleren van de oplossing en reflectie op de gekozen aanpak (Is het een

oplossing? Wat deed ik precies?)

1. Oriëntatie op het probleem (probleemanalyse)

Een juiste aanpak van een probleem kenmerkt zich allereerst door een goede

probleemoriëntatie. Dit betekent: een goede analyse gericht op het begrijpen van

het probleem. Het gaat erom dat we proberen greep te krijgen op de structuur en de

ingrediënten van het probleem (de taal, de getallen, de gegevens, de onbekende en hun

getalsmatige relaties) en proberen daaruit een juiste voorstelling (mentale representatie)

van het probleem te ontwikkelen. We zullen deze stap later benoemen als ‘Lezen en

begrijpen van het probleem’.

2

2. Opstellen van een probleemaanpak (richten van een uitwerking)

Nadat een mentale voorstelling of beeld van het probleem is ontwikkeld, is het zaak

om een passende aanpak te bedenken die richtinggevend is of kan zijn om tot een

oplossing van het probleem te komen. In deze fase richten we ons op het ‘vertalen’ van

het probleem tot een of meerdere routinetaken waarvoor we eenvoudige oplossingen ter

beschikking hebben, zoals het gebruik van algoritmes of formules of het opstellen van

vergelijkingen. We spreken dan van horizontaal mathematiseren. We zullen deze stap

later aanduiden met ‘Plannen van een aanpak’.

3. Uitvoeren van het oplossingsplan

Logischerwijs zijn we in een volgende stap gericht op het uitwerken van ons plan,

het uitvoeren van deze routinetaken om een oplossing van het probleem te vinden.

In deze fase vindt de daadwerkelijk toepassing plaats van de benodigde kennis en de

vereiste rekenkundige bewerkingen. De strategiekeuze, procedures en uitwerking zal

gebaseerd op onze eigen (voor)kennis en vaardigheden. We spreken dan van verticaal

mathematiseren. Efficiëntere procedures leiden sneller tot een oplossing. Doelmatigheid

is de korte weg naar het doel, wat wezenlijk iets anders is dan snelheid. Snelheid moet

geen doel zijn! In deze fase is het belangrijk om controle te houden op de uitwerking

van het probleem. Bijvoorbeeld door systematisch rekenstappen te noteren en het

maken van hulpnotaties. Ook bij de inzet van de rekenmachine. Een kladje op papier

(kladpapier) is niet hetzelfde als denken op papier (denkpapier). Vooral de leerlingen in

het basisonderwijs kunnen hierin nog een flinke verbeterslag maken. Indien gedurende

deze stap de uitwerkingen onsuccesvol zijn gebleken, kunnen we terugkeren naar stap

1. We kunnen dan een bijstelling maken op onze gekozen aanpak. We zullen deze stap

vervolgens aanduiden met ‘Uitvoeren van de aanpak’.

4. Oplossing controleren en reflecteren op de aanpak

In de laatste stap wordt de oplossing teruggekoppeld naar het oorspronkelijke probleem

binnen de oorspronkelijke context en vindt een verificatie plaats van de gevonden

oplossing. We gaan na of alle gegevens juist werden gehanteerd, of het resultaat met

redelijke schattingen en/of voorspellingen overeenkomt. Ook gaan we na of de resultaten

op een andere manieren bereikt hadden kunnen worden, en of onze oplossing voor

andere gelijksoortige problemen bruikbaar is. Wat hebben we van het oplossen van dit

probleem geleerd? Deze stap is een belangrijke stap voor het ontwikkelen metacognitieve

kennis. We zullen deze stap later aanduiden met ‘Controleren en reflecteren’.

2 3

In een schema zien de stappen van een vaardig oplossingsproces er als volgt uit:

Het proces van probleemoplossen heeft dus min of meer een vast stappenkader,

waarbij je elke stap gedetailleerde kunt beschrijven met een aantal ‘zoekregels’. Het

resultaat van elke deelstap binnen het proces bepaalt of we eerder uitgevoerde stappen

opnieuw moeten doorlopen of dat we doorwerken naar een volgende stap. Binnen

het stappenschema wordt dus heen en weer gependeld tussen de verschillende fasen

in het proces van probleemoplossen. Ter voorbeeld: als tijdens de uitwerking wordt

vastgelopen op het ontbreken van benodigde gegevens, zal je immers terugkeren naar

de probleemcontext.

Lezen & begrijpen van het probleem

- Definiëren van het probleem

- Visualiseren & organiseren van de informatie

- Verband & samenhang tussen gegevens

- ...

Plannen van een aanpak

- Selecteer strategieën, procedures

- Gebruikelijke heurstieken (vereenvoudig het probleem) concretiseer/

materialiseer, schat, test & controleer, herformuleer het probleem, werk

van achteren naar voren, maak een plaatje, etc.)

- ...

Uitvoeren van de aanpak

- Rekenvaardigheden

- Algebraïsche of geometrische vaardigheden

- Logisch redeneren

- ...

Controleren & reflecteren

- Controleer je oplossing & optimaliseer de gekozen aanpak

- Check op efficientere oplossingsaanpakken

- Test de aanpak in andere probleemsituaties

- Ontwikkelen van metacognitieve kennis

- ...

4

Als we met leerlingen naar efficiëntere en alternatieve oplossingswijzen zoeken, zullen

we ook terugkeren naar de fase van plannen, de exploratiefase oftewel het ‘heuristische

hart’.

Heuristische methoden

Heuristieken zijn aanwijzingen of zoekregels die het oplossen van problemen

ondersteunen. Heuristische methoden maken een planmatige en systematische aanpak

van een probleem mogelijk. Een systematische probleemaanpak via heuristieken geeft

leerlingen nog geen garantie op het vinden van een oplossing van een probleem, maar

vergroot wel de kans daarop. Een systematische probleemaanpak met een daaraan

gekoppeld gebruik van ‘zoekregels’ biedt een leerling in elk geval meer houvast richting

succes; in tegenstelling tot het blind werken via gissen en missen. Heuristieken leer je

niet op dezelfde manier als algoritmen, maar kunnen wel succesvol worden onderwezen.

Heuristieken worden jouw zoekregels door veel problemen op te lossen, daarbij samen

te werken en vooral veel na te denken over je eigen aanpak en die van anderen. Je kunt

in jouw onderwijs de vier stappen van probleemoplossen gedetailleerd invullen met een

aantal van deze zoekregels. In het volgende overzicht is dit vrij uitvoerig voorgedaan.

We hebben geen onderscheid gemaakt tussen PO en VO. Dat betekent dat sommige

zoekregels geschikter voor het VO dan het PO en andersom.

Overzicht van een aantal zoekregels uit de oplossingsmethode van Pólya

-György Pólya, How to solve it! (1945)

1. Lezen en begrijpen van het probleem

(Lees, organiseer, visualiseer en verbind de informatie)

• Lees de opgave. Begrijp ik alle woorden?

• Vertel het na in eigen woorden. Wat is het probleem?

• Kan ik een schets maken om de probleemsituatie te visualiseren? Kan ik mij er iets bij

voorstellen?

• Wat is de onbekende? Wat zijn de gegevens? Overtollige informatie?

• Welk woord geeft een hint voor de toe te passen bewerking?

• Kan ik verschillende voorwaarden onderscheiden waaraan de oplossing moet voldoen?

• Probeer een inschatting te maken van de oplossing.

• Zijn de gegevens toereikend om de onbekende te vinden?

• …

4 5

2. Plannen

(Selecteer strategieën, procedures en ‘gebruikelijke’ heuristieken)

• Heb je een soortgelijk probleem (wellicht andere condities) al eens eerder opgelost?

Zo ja, wat werkte?

• Ken je een verwant probleem?

• Als ik kijk naar de onbekenden, is er dan een probleem dat ik ken met dezelfde

analoge onbekenden?

• Wat zijn ideeën waarlangs ik het probleem kan aanpakken?

• Kan ik het probleem vereenvoudigen? Kleinere getallen of minder variabelen?

• Kan ik het probleem concretiseren, bijvoorbeeld met materiaal?

• Kan ik een schatten, testen en controleren?

• Is er een regelmaat? Kan ik een systematisch lijstje opstellen?

• Wat kan ik eerst doen? Wat daarna?

• Kan je een deel van het probleem oplossen?

• Kan ik van achteren naar voren werken?

• Wat kan je allemaal uit de gegevens afleiden?

• Heb je alle gegevens gebruikt?

• …

3. Uitvoeren

(Rekenvaardigheden, algebraïsche of geometrische vaardigheden, logisch redeneren)

• Controleer elke stap bij de uitwerking (zet je denk- of kladpapier in)

• Kan je duidelijk opmaken of wat je gedaan hebt ook juist is? Kan je de juistheid

bewijzen?

• Heb ik voldoende gegevens om de berekeningen te maken?

• …

4. Controleren & reflecteren

(Controleer, optimaliseer de gekozen aanpak, check op, meer passende en efficiëntere

oplossingsaanpakken, pas toe en test de aanpak in andere probleemsituaties)

• Wat was de vraag? Geeft mijn oplossing een antwoord op de vraag?

• Kan je het resultaat controleren? Komt de oplossing/antwoord overeen met mijn

schatting?

• Wat heb ik van het oplossen van het probleem geleerd?

• Ik heb dit goed aangepakt! Knap! Waar liep ik eerst vast? Hoe kwam ik toch verder?

• Zou je de oplossing ook op een andere manier kunnen bereiken?

• Acht je het resultaat of de gehanteerde werkwijze bruikbaar voor andere toekomstige

problemen?

• …

6

Meer ingrediënten van een oplossingsproces

Een oplossingsproces bestaat uit meerdere samenstellende informatievaardigheden: het

definiëren van het probleem, analyseren en verwerken van informatie, het organiseren,

presenteren en communiceren van informatie. Informatieverwerkingsvaardigheden

spelen zodoende een grote rol gedurende het oplossingsproces en dus ook

taalvaardigheid en woordenschat. Zo ook regulatieprocessen welke zorgen voor de

coördinatie van het gehele oplossingsproces. Het gaat om activiteiten als plannen,

oriënteren, proces bewaken of monitoren en bijsturen. Dit houdt ook in dat op

verschillende momenten in het proces de aanpak wordt gecontroleerd op effectiviteit en

efficiëntie. Een vaardig en effectief probleemoplossend handelen vereist een samenspel

tussen verschillende componenten. Om een dergelijk model voor probleemoplossend

handelen succesvol toe te passen en succes te laten hebben in de praktijk, zijn in elk

geval nog een aantal componenten van cruciaal belang, zoals:

Metacognitieve kennis

Bij metacognitie hebben we het over de kennis en vaardigheden die een leerling nodig

heeft om het eigen leergedrag (leerproces) te controleren en te sturen. Het betreft in een

notendop:

• kennis van strategieën om te leren, te denken en problemen op te lossen;

• kennis over cognitieve taken en weten welke strategie bij welke taak past;

• zelfkennis: kennis en inzicht in de eigen cognitieve bekwaamheden.

Een goed probleemoplosser zal tijdens het oplossen van een probleem naast ‘uitvoerder’

van het probleem ook als de eigen ‘controleur’ zijn. Je organiseert, werkt uit en

controleert je gevolgde oplossingsproces. Metacognitieve kennis en vaardigheden worden

Probleemoplossen

Algemene & specifiekekennis en vaardigheden Wiskundige houding

Metacognitie & denkvaardigheden

Taal & woordenschat

Overtuigingen

Attitudes

Emoties

Plezier

Aha-Eriebnissen

Logisch redeneren,communiceren, verbanden

leggen, ...

Jezelf bevragen

Proces bijsturen

Verifieren en evalueren

Reflecteren

Taakcontrole

Taakorientatie & plannen

... Volharding (Volgehoudenaandacht voor een taak)

Nieuwsgierigheid, belangstelling, tevredenheid, ...

...

Interesse

Zelfvertrouwen

Waardering...

Nut

Noodzaak

...

Definities, formules, algoritmes, strategieën

Procedurele kennisen vaardigheden

Feitenkennis

Conceptueel begrip...

6 7

verworven door goede voorbeelden, rijke ervaringen en expliciete begeleiding.

Didactische wenken

• Bied leerlingen goede voorbeelden van metacognitieve zelfinstructies door je als

leerkracht of docent als voorbeeld te stellen (modelen).

• Stel jezelf bijvoorbeeld hardop vragen en stel de leerlingen vragen. Hoe ga ik het

aanpakken? Waar ben je nu in je oplossing? Heb ik alle benodigde informatie? Is je

antwoord ook een antwoord op de vraag?

• Moedig leerlingen aan hardop te denken. Laat strategieën en procedures waarlangs zij

een probleem hebben aangepakt of opgelost verwoorden.

• Leg leerlingen geschikte probleemtaken en vraagstukken voor:

- die een planning vereisen alvorens over te gaan tot uitwerking;

- die reflectie uitlokken.

• Moedig leerlingen aan hun oplossing terug te vertalen naar het oorspronkelijke

probleem: kan de oplossing juist kan zijn en is het een antwoord op de vraag of

probleem.

• Moedig leerlingen aan om alternatieve, wellicht meer effectieve, oplossingsaanpakken

en strategieën te onderzoeken.

• Moedig leerlingen aan met elkaar te discussiëren over de probleemaanpak.

• Bespreek met de leerlingen heuristieken bij probleemoplossen. Leg telkens de

verbinding tussen denkvaardigheden en probleemoplossend handelen.

• Let op dat het trainen van metacognitieve vaardigheden geen negatieve effecten

oproept bij goede probleemoplossers. Het kan hun oorspronkelijke taakgedrag

verstoren.

Affectieve factoren

Ook overtuigingen, emoties en attitudes spelen een belangrijk rol in een vaardig

oplossingsproces. Onjuiste overtuigingen (vaak ook naïeve) van leerlingen ten aanzien

van het nut en toepassing van rekenen-wiskunde hebben een negatieve werking op

de manier waarop ze met rekenwiskundige taken en problemen aan de slag gaan.

Wees je er van bewust dat de overtuigingen, attitudes en emoties van leerlingen ten

aanzien van rekenen-wiskunde, worden gevormd op basis van hun leerervaringen.

Negatieve ervaringen van leerlingen beïnvloeden het beeld dat ze hebben van de eigen

bekwaamheid ongunstig met als gevolg dat zich een rekenangst kan ontwikkelen.

Didactische wenken

• Bied leerlingen meer kansen op succes bij leren door taken af te stemmen met

gewenst ontwikkelniveau en –doel van de leerlingen.

• Zorg ervoor dat leerlingen de taak als een uitdaging ervaren, een kans om van de

taak iets te leren.

• Leer leerlingen inzien dat rekenen-wiskunde bestaat uit gereedschap voor denken

8

en handelen: niet uit een set gememoriseerde regels en procedures en op een

mechanische toepassing daarvan.

• Concentreer je eerst op wat de leerlingen doen, zeggen of schrijven. Voorzie

de leerlingen dan van feedback op taakniveau, op procesniveau, op niveau van

zelfregulatie en op bekrachtiging. Feedback moet de kloof verkleinen tussen waar de

leerling is en waar hij of zij hoort te zijn.

• Houd voor ogen dat het minder gaat om de oplossing (het product), maar meer om

het proces (wat heb je ervan geleerd).

• Bied leerlingen de ervaring dat het wel of niet oplossen van problemen weinig met

geluk te maken heeft.

• Houd er rekening mee dat bij het leren oplossen van problemen tijd een minder

belangrijke factor is.

• Laat zien dat er zijn meerdere manieren om hetzelfde probleem aan te pakken en op

te lossen.

• Heb aandacht voor zelfbekrachtiging en leer leerlingen omgaan met fouten:

denkhoekjes. Word daar zelf als leerkracht en docent ook steeds beter in.

Algemene en meer specifieke kennis en vaardigheden (vooral ook taal)

Een vaardig oplossingsproces vraagt ook kennis van begrippen in de wereld om ons heen

en algemene oplossingsstrategieën of procedures die buiten het domein van rekenen-

wiskunde van pas komen. In een verbale probleemcontext dient de leerling bijvoorbeeld

de essentiële begrippen uit de opgave tekst te kennen om een juist ‘mentaal beeld’ van

het probleem op te bouwen. Wanneer essentiële begrippen in de probleemcontext voor

de leerling niet bekend zijn, dan verhindert dit het oplossingsproces. Vooral leerlingen

met een beperkte woordenschat en taalkennis ondervinden dan problemen bij hun

probleemaanpak. Indien leerlingen deze ‘ervaringen’ niet bezitten, is het juist belangrijk

voor de leraar of docent om dit te organiseren. Leerlingen leren veelal meer door te

doen dan te lezen. Domeinspecifieke rekenwiskundekennis, zoals feitenkennis, kennis

van symbolen, getallenkennis en het positiestelsel, definities, afspraken, formules

zijn van essentieel belang wil je succesvol zijn in het oplossen van een probleem.

Zonder benodigde en juiste kennis loop je vast in je uitwerking. Bij domeinspecifieke

vaardigheden gaat het met name om het kunnen uitvoeren van de juiste (deel)

handelingen op het juiste moment en in de juiste volgorde.

Didactische wenken:

• Houd er rekening mee dat leerlingen die moeite hebben met taal, lezen en rekenen

gebaat zijn bij visuele ondersteuning. Moedig het tekenen, schematiseren en gebruik

van visuele modellen aan. Demonstreer ook dit gebruik. Het brein neemt visuele

informatie veel sneller op!

• Organiseer dat leerlingen teksten hardop samen lezen. Zin voor zin afvragen: begrijp

ik wat er staat? Welke woorden zijn onbekend?

8 9

Kan ik een verbinding maken met de voorgaande zin? Welke vragen zijn nog

onbeantwoord?

• Laat leerlingen belangrijke woorden en getallen markeren en opschrijven op

denkpapier. Leer ze gegevens combineren met hun tekening van het probleem.

Kan ik met pijlen etc. de verbinding en volgorde herleiden? Helpt dit mij grip op het

probleem te krijgen?

• Wederom ‘modelen’! Voorbeeldgedrag door de leerkracht of docent is essentieel. Kan

ik de lastige woorden gebruiken in een andere context? In een andere zin? Begrijp ik

de probleemcontext nu wel?

• Stimuleer het notatiegedrag van leerlingen. Laat zien hoe:

- hulpnotaties ondersteunend werken om richting te geven om tot een oplossing

van een probleemsituatie te komen.

- hulpnotaties er voor zorgen dat je overzicht behoudt over je aanpak, fouten kunt

opsporen en je berekening achteraf nog eens kan langslopen op juistheid.

- Demonstreer dat denkpapier iets anders is dan kladpapier! Op een kladje noteer

even een berekening. Op denkpapier is je eigen wiskundige activiteit zichtbaar.

• Houd er rekening mee dat de aanwezige voorkennis van de leerlingen het startpunt

vormt voor de ontwikkeling van nieuwe kennis. Nieuwe kennis wordt geïntegreerd in

bestaande kennisstructuren.

• Heb aandacht voor de verschillende handelingsniveaus waarop leerlingen functioneren

en kennis verwerken. Zorg voor vloeiende fasen van concreet handelen, naar een fase

van analyse, beelden en modellen, naar een fase van logica & symboliseren.

• Samengevat: tussenstappen helder opschrijven, visualiseren en verwoorden zijn van

groot belang!

Deze publicatie is een uitgave van School aan Zet. De tekst voor deze kaart is samengesteld door Lionel Kole

in samenwerking met de PO-VO werkgroep van RSG Wiringherlant en OSG Willem Blaeu en de betrokken

basisscholen. Dank gaat uit naar Arlette Buter en Maaike Verschuren voor het kritisch nalezen van de inhoud.

PO- en VO-scholen werken samen in regionale netwerken om een soepele overgang te realiseren van het

basis- naar het voortgezet onderwijs. Aanknopingspunten voor deze samenwerking zijn te vinden in het door

School aan Zet ontwikkelde ontwikkel- en gespreksmodel ‘Afstemming Overgang van PO naar VO’. Dit model

beschrijft vijf ontwikkelaspecten: Koers, Afsluiting en start, Feedback, Ontwikkeling en Differentiatie. Voor

meer informatie over de aansluiting PO-VO kunt u contact opnemen met Gea Spaans, e-mail: g.spaans@

schoolaanzet.nl of School aan Zet, e-mail: secretariaat@schoolaanzet.nl

September 2015

School aan Zet

Lange Voorhout 20 | 2514 EE Den Haag

Postbus 556 | 2501 CN Den Haag

www.schoolaanzet.nl

Onderwijs Maak Je Samen