Reader - Meneer Riksenmeneerriksen.nl/onewebmedia/Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8 2013... ·...

1 1

1 1

ReaderWiskunde MBO Niveau 4 Periode 8

Transfer Database

M. van der Pijl

Noorderpoortcollege School voor MBO Stadskanaal

2 2

2 2

ThiemeMeulenhoff ontwikkelt leermiddelen voor Primair Onderwijs, Algemeen Voortgezet Onderwijs,Beroepsonderwijs en Volwasseneneducatie en Hoger Beroepsonderwijs.

Meer informatie over ThiemeMeulenhoff en een overzicht van onze leermiddelen: www.thiememeulen-hoff.nl of via onze klantenservice (088) 800 20 16.

© ThiemeMeulenhoff, Amersfoort, 2013.

Alle rechten voorbehouden. Niets uit deze uitgave mag worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geau-tomatiseerd gegevensbestand, of openbaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronisch,mechanisch, door fotokopieën, opnamen, of enig andere manier, zonder voorafgaande schriftelijke toe-stemming van de uitgever.

Voor zover het maken van kopieën uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16 Auteurswetjo het Besluit van 23 augustus 1985, Stbl., dient men de daarvoor wettelijk verschuldigde vergoedingente voldoen aan Stichting Publicatie- en Reproductierechten Organisatie (PRO), Postbus 3060, 2130 KBHoofddorp (www.cedar.nl/pro). Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in bloemlezingen,readers en andere compilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 1912) dient men zich tot de uitgever te wenden.Voor meer informatie over het gebruik van muziek, film en het maken van kopieën in het onderwijs ziewww.auteursrechtenonderwijs.nl.

De uitgever heeft ernaar gestreefd de auteursrechten te regelen volgens de wettelijke bepalingen. Degenendie desondanks menen zekere rechten te kunnen doen gelden, kunnen zich alsnog tot de uitgever wenden.

3 3

3 3

1 Rekenen met goniometrische eenheden 1

1.1 De eenheidscirkel 11.2 Het verband tussen sinus, cosinus en tangens 41.3 Radialen 91.4 Het decimale hoekstelsel 16

2 Grafieken van goniometrische verbanden 26

2.1 Het tekenen van de grafiek van de sinus, de cosinus en detangens 26

2.2 Grafieken met radialen 29

3 Formules opstellen bij goniometrische grafieken 54

3.1 Formules opstellen van goniometrische functies 54

4 Sinusregel en cosinusregel 63

4.1 Sinusregel 634.2 Cosinusregel 67

4 4

4 4

5 5

5 5

1 De eenheiDscirkel

In figuur 1 is een rechthoekige driehoek getekend die een schuine zijde heeft met een lengte 1. Deze driehoek noemen we de eenheidsdriehoek.

A

SZ = 1

B

C

α

AR

OR

Figuur 1

OR = overstaande rechthoekzijdeAR = aanliggende rechthoekzijdeSZ = schuine zijde

In deze eenheidsdriehoek geldt:

sinα = = =ORSZ

OROR

1 en cosα = = =AR

SZAR

AR1

In figuur 2a beweegt de lijn met de pijl zich tegen de wijzers van de klok in omhoog tot hij een hoek van 90° maakt met het horizontale vlak. In figuur 2b is te zien dat de lijn met de pijl te beschouwen is als de straal van een cirkelsector waarvan de middelpuntshoek achtereenvolgens 15 30 45 60 75°, °, °, °, ° en 90° is. De lengte van de straal is 1.

1 Rekenen met gonio-metrische eenheden

© ThiemeMeulenhoff — 8 april 2013

6 6

6 6

00

0,2

0,4

0,6

0,8

1,090o

75o

60o

45o

30o

15o

0o

0,2 0,4 0,6 0,8 1,0 00

0,2

0,4

0,6

0,8

1,090o

75o

60o

45o

30o

15o

0o

cos 15o

sin 15o

x-as

y-as

0,2 0,4 0,6

r = 1

0,8 1,0

Figuur 2a Figuur 2b

Vanuit het punt op de cirkelomtrek waar de middelpuntshoek 15° is, is een hoog-telijn getekend. Hierdoor ontstaat een rechthoekige driehoek. Zie figuur 2b. Hier geldt:

sinα = = = =ORr

OR yy

1 1

Met een eenheidsdriehoek kunnen we dus de sinus van een hoek aflezen op de verticale as.

We willen de sinus van 15° bepalen met een eenheidsdriehoek.Gegeven: eenheidsdriehoek met α °= 15 .Gevraagd: sin15° .Oplossing: we lezen af: sin ,15 0 26° = .Controle met de rekenmachine: sin ,15 0 259° = .Zo kan de cosinus worden afgelezen op de horizontale as, omdat geldt:

cosα = = = =ARr

AR xx

1 1

We willen de cosinus van 15° bepalen met een eenheidsdriehoek.

GegevenEenheidsdriehoek met α = 15° .

Gevraagdcos15°

OplossingWe lezen af: cos ,15 0 97° = .Controle met de rekenmachine: cos ,15 0 966° = .

Vb. 1


2 Rekenen met goniometrische eenheden

7 7

7 7

Oefeningen

1 Bepaal met behulp van figuur 2b de onderstaande waarden: a sin0° =

b sin30° =

c sin 45° =

d sin60° =

e sin90° =

f cos0° =

g cos30° =

h cos 45° =

i cos60° =

j cos90° =


Rekenen met goniometrische eenheden 3

8 8

8 8

2 het VerbanD tussen sinus, cOsinus en tangens

Uit oefening 1 kunnen we twee regels afleiden, namelijk: sin cos( )α α= −90° en cos sin( )α α= −90°

Oefeningen

2 Bereken de volgende hoeken: a sin cos....0° =

b sin cos....30° =

c sin cos....45° =

d sin cos....60° =

e sin cos....90° =

3 Bereken α : a cos( ) ,90 0 906° − =α

b sin( ) ,90 0 588° − =α

c cos( ) ,90 0 259° − =α

d sin( ) ,90 0 731° − =α



9 9

9 9

e cos( ) ,90 0 966° − =α

In figuur 3 is de cirkelsector uit figuur 2 aangevuld tot een hele cirkel met r = 1 . Deze cirkel noemen we de eenheidscirkel. Het middelpunt is het punt ( )0 0, ; de omtrek is 2π .Deze eenheidscirkel is verdeeld in vier kwadranten:› I van 0° tot 90° ;› II van 90° tot 180° ;› III van 180° tot 270° ;› IV van 270° tot 360° .

-0,6

-0,8

-1,0

0,6

0,8

1,090o

105o

120o

135o

150o

165o

75o

60o

45o

30o

15o

0o/ 360o180o

195o

210o

225o

240o

255o270o 285o

300o

315o

330o

345o

-0,4-0,6-0,8-1,0 0,4 0,6 0,8 1,0

0,2

-0,2

-0,4

0,4

0,2-0,2

III

III IV

Figuur 3

De sinus van een hoek wordt net als bij oefening 1 steeds afgelezen op de verti-cale as. De cosinus op de horizontale as. Als de draairichting tegen de wijzers van de klok in gaat, zijn de hoeken positief. Met de wijzers van de klok mee, noemen we de hoeken negatief. Dus: + =300 60° – ° .



10 10

10 10

Oefeningen

4 Maak de juiste rondjes zwart.

Kwadrant 1 Kwadrant 2 Kwadrant 3 Kwadrant 4Sinus verticaal verticaal verticaal verticaal

horizontaal horizontaal horizontaal horizontaal positief positief positief positief negatief negatief negatief negatief

Cosinus verticaal verticaal verticaal verticaal horizontaal horizontaal horizontaal horizontaal positief positief positief positief negatief negatief negatief negatief

Tabel 1

5 Bepaal met behulp van figuur 3: a sin140°

b sin( )– °30

c sin250°

d sin330°

e sin75°

f sin360°

g cos140°



11 11

11 11

h cos( )– °120

i cos270°

j cos230°

k cos330°

l cos 45°

6 In welk kwadrant liggen de hoeken van: a sin140°

b sin( )– °30

c sin250°

d sin330°

e sin75°

f sin360°



12 12

12 12

g cos140°

h cos( )– °120

i cos270°

j cos230°

k cos330°

l cos 45°

Tussen sinus, cosinus en tangens bestaat een verband. Dit verband drukken we uit in de volgende formule:

tansincos

α αα

=

Oefeningen

7 Maak de tabel compleet voor de tangens.

kwadrant 1 kwadrant 2 kwadrant 3 kwadrant 4Sinus positief positief negatief negatiefCosinus positief negatief negatief positiefTangens

Tabel 2



13 13

13 13

3 raDialen

In de techniek drukken we de grootte van een hoek vaak uit in radialen in plaats van in graden. De eenheid radiaal korten we meestal af tot rad .We gaan nu het verband tussen hoeken en radialen bekijken. De grootte van een middelpuntshoek α is 1 radiaal als de bijbehorende booglengte even groot is als de straal. Zie figuur 4.

A

B

boog AB = r

= 1 radαM r

r

Figuur 4

De lengte van de cirkelboog AB kunnen we berekenen met de formule:

AB r= ⋅ ⋅ ⋅α π360

2

Daarbij moeten we α in graden uitdrukken! › Als we α in radialen uitdrukken, geldt:

α = 1rad als boog AB r= ; α = 2rad als boog AB r= ⋅2 ;α = 3rad als boog AB r= ⋅3 ;α π= 2 rad als boog AB r= ⋅2π .

Voor α in radialen geldt blijkbaar voor de lengte van de cirkelboog AB de volgende formule: AB r= ⋅α

We willen de booglengte AB berekenen van een cirkelsector met een straal van 1m en een middelpuntshoek van 0 5, rad .

Gegevenr = 1m en α = 0 5, rad

GevraagdAB

OplossingAB r AB= ⋅ ⇒ = × =α 0 5 1 0 5, ,rad m m

Vb. 2



14 14

14 14

Oefeningen

8 Hoe groot is de booglengte AB als r = 1m en: a α = 1 rad

b α = 2 rad

c α = 3 rad

d α π= 2 rad

We hebben gezien dat de grootte van de middelpuntshoek in de eenheidscirkel 2π rad is als de booglengte gelijk is aan 2π .Deze booglengte komt overeen met de omtrek van de hele eenheidscirkel, want: omtrek = ⋅ ⋅ = × × =2 2 1 2π π πrDe middelpuntshoek van een volledige cirkel is echter ook 360° . Hieruit volgt dus dat 360° overeenkomt met 2π rad , ofwel dat 180° overeenkomt met π rad . Dit noteren we als volgt: 360 2° rad� π , ofwel 180° rad� π .Nu we het verband tussen graden en radialen weten, kunnen we ze eenvoudig in elkaar omrekenen:

180 1180

° rad ° rad� �π π⇒

Dus door het aantal graden te vermenigvuldigen met π

180, krijgen we het aantal

radialen.

ππ

rad ° rad °= ⇒ =180 1180

.

Door het aantal radialen te vermenigvuldigen met 180

π, krijgen we de hoek in

graden.



15 15

15 15

We willen een hoek van 1 5, rad omrekenen in graden en een hoek van 32° in radialen.

Gegevena. α = 1 5, radb. β = 32°

Gevraagda. α in gradenb. β in radialen

Oplossing

a. α απ

= ⇒ × =1 5 1 5180

85 9, , ,rad °�

b. β β π= ⇒ × =32 32180

0 56° rad� ,

9 Reken de volgende hoeken om van graden naar radialen: a 48°

b 124°

c 270°

d 90°

e 225°

f 330°

Vb. 3



16 16

16 16

10 Reken de volgende hoeken om van radialen naar graden: a α = 0 78, rad

b α = 0 5, rad

c α π= 0 5, rad

d α π= 0 33, rad

e α = 5rad

f α = 4 42, rad

Als we met onze rekenmachine de sinus, cosinus of tangens van een hoek willen berekenen, moeten we eerst controleren of onze rekenmachine op de juiste een-heid ingesteld staat. Als we moeten rekenen met graden, moet de rekenmachine ingesteld staan op (DEG). Werken we in radialen, dan zetten we de rekenmachine op RAD.

Met de rekenmachines van CASIO werkt dit als volgt: Onze rekenmachine staat normaal op graden (DEG). We stellen onze machine in op radialen met mode mode [2] .We kunnen hem altijd opnieuw op graden instellen met mode mode [1] .

Werken we met een rekenmachine van TI, dan stellen we onze machine in op radialen met: DRG, kiezen vervolgens met de cursortoets voor RAD en eindigen met =. We kunnen hem opnieuw op graden instellen door: DRG, kiezen voor DEG en eindi-gen met =.



17 17

17 17

Oefeningen

11 Bereken in 3 decimalen nauwkeurig: a sin ,2 34

b sin114

π

c cos83°

d cos128°

e tan ,0 25π

f tan ,1 05

g sin335°

h sin 45°

i cos ,5 67

j cos ,2 25π



18 18

18 18

k tan60°

l tan150°

Gegevena. sin ,α = 0 356b. cos ,α = 0 342c. tan ,α = –2 345

Gevraagda. Bereken α in radialen.b. Bereken α in radialen.c. Bereken α in radialen.

Oplossing

x

y

-0,6

-1,0

0,4

-0,8

0,2

0

-0,4

0,6

-0,2

0,8

1,0

65π

32π

2π

3π

6π

6π 2π11π3

5π2

3π3

4π6

7π

Figuur 5

Vb. 4



19 19

19 19

x

y

-0,6

-1,0

0,4

-0,8

0,2

0

-0,4

0,6

-0,2

0,8

1,0

65π

32π

2π

3π

6π

6π 2π11π3

5π2

3π3

4π6

7π

Figuur 6

a. sin ,α = 0 356 , α = 0 36, rad of α π= − =0 36 2 78, , rad . Zie figuur 5.b. cos ,α = 0 342 , α = 1 22, rad of α π= − =2 1 22 5 06, , rad . Zie figuur 6.c. tan ,α = –2 345 , α = – rad1 17,

Oefeningen

12 Bereken α in radialen. a sin ,α = 0 825

b sin ,α = –0 5

c sin ,α = –0 866

d sin ,α = 0 532

e cos ,α = 0 4

f cos ,α = –0 866



20 20

20 20

g cos ,α = 0 024

h cos ,α = –0 5

i tan ,α = 1 138

j tan ,α = –1 138

k tanα = 1

4 het Decimale hOekstelsel

Bij het landmeten gebruiken we meestal nog een andere hoekmaat. Het hoekstel-sel met een rechte hoek van 90° blijkt niet handig in de praktijk. Daarom is in de landmeetkunde het decimale hoekstelsel ingevoerd met als eenheid de gon .In het decimale hoekstelsel is een rechte hoek niet 90 graden, maar 100gon . De middelpuntshoek van een cirkel is daarom geen 360 graden, maar 400gon .Dus: 90 100° gon� waaruit volgt dat: 360 400° gon�

Bij het omrekenen van graden naar gon gebruiken we de formule: α

360400

°gon× .

Door het aantal graden te vermenigvuldigen met 400360

, krijgen we de hoek in gon .

Bij het omrekenen van gon naar graden draaien we de zaak om: α

400360

gon°× .

Door het aantal gon te vermenigvuldigen met 360400

krijgen we de hoek in graden.

Zoals we geleerd hebben, moeten we de rekenmachine instellen op DEG als we de sinus of cosinus van een hoek in graden willen berekenen. Als de hoeken in radialen zijn gegeven, stellen we de rekenmachine in op RAD. Op de meeste wetenschappelijke rekenmachines vinden we behalve deze twee in-steltoetsen nog een derde toets: de GRA-toets bij CASIO-machines of de GRD-toets bij TI-rekenmachines. Deze instelling hebben we nodig als we de sinus, cosinus of tangens van een hoek in gon willen berekenen.



21 21

21 21

Met de rekenmachines van CASIO werkt dit als volgt: Onze rekenmachine staat normaal op graden (DEG). We stellen onze machine in op gon met mode mode [ ]3 . We kunnen hem altijd opnieuw op graden instellen met mode mode [ ]1 .

Werken we met een rekenmachine van TI, dan stellen we onze machine in op gon met: DRG, kiezen voor GRD en bevestigen met =. We kunnen opnieuw op graden instellen met: DRG, kiezen voor DEG en bevestigen met =.In het volgende overzicht staat aangegeven hoe we in de verschillende hoekstel-sels de sinus van een rechte hoek berekenen:

Hoek: Bereken: Rekenmachine op: Intoetsen: Uitkomst:

90° sin90 DEG sin [90] 1

100gon sin100 GRA of GRD sin[100] 1

12

π rad sin12

π RAD sin ([0,5] x[ ]) 1

Tabel 3

Tip: als de rekenmachine geen GRA of GRD-toets heeft, zoals de grafische reken-machine TI-83/84, rekenen we de hoeken in gon eerst om naar graden. Vervolgens bepalen we daarvan de sinus, cosinus of tangens.

We willen een hoek α van 60° omrekenen in gon .

Gegevenα = 60°

Gevraagdα in gon

Oplossing

α α= ⇒ × =60 60400360

66 7° gon� ,

Vb. 5



22 22

22 22

Oefeningen

13 Reken om van graden naar gon : a 180° =

b 330° =

c 35° =

d 75° =

e 275° =

f 145° =

We willen een hoek α van 60gon omrekenen in graden.

Gegevenα = 60gon

Gevraagdα in graden.

Oplossing

6060400

360 54gongongon

° °� × =

Vb. 6



23 23

23 23

14 Reken om van gon naar graden: a 380gon =

b 65gon =

c 240gon =

d 150gon =

e 200gon =

f 80gon =

15 Bereken: a sin30°

b cos125°

c tan75°

d sin60gon

e cos140gon



24 24

24 24

f tan330gon

g sin ,0 3π

h cos π

i tan3

GegevenWe willen de hoek α in gon berekenen als:a. sin α = 0 356,b. cosα = 0 342,c. tan –α = 2 345,

Gevraagda. α in gonb. α in gonc. α in gon

Oplossinga. sin , ,α α= ⇒ =0 356 23 2gon of α = − =200 23 2 176 8gon gon gon, ,

(in plaats van 180° − α )b. cos , ,α α= ⇒ =0 342 77 8gon of α = − =400 77 8 322 2gon gon gon, ,

(in plaats van 360° − α )c. tan , ,α α= ⇒ =– – gon2 345 74 3

Oefeningen

16 Bereken α in gon : a sin ,α = 0 564

b cos ,α = –0 372

Vb. 7



25 25

25 25

c tan ,α = 0 451

d sin ,α = 0 751

e cos ,α = 0 893

f tan ,α = –0 257



26 26

26 26

antwoorden

1a 0 b 0 5, c 0 7, d 0 87, e 1 f 1 g 0 87, h 0 7, i 0 5, j 0

2a 90° b 60° c 45° d 30° e 0°

3a α = 72 2, ° b α = 60 0, ° c α = 16 7, ° d α = 47 8, ° e α = 83 4, °

4

Kwadrant 1 Kwadrant 2 Kwadrant 3 Kwadrant 4Sinus verticaal verticaal verticaal verticaal

horizontaal horizontaal horizontaal horizontaal positief positief positief positief negatief negatief negatief negatief

Cosinus verticaal verticaal verticaal verticaal horizontaal horizontaal horizontaal horizontaal positief positief positief positief negatief negatief negatief negatief

Tabel 3

5a 0 64, b –0 5, c –0 94, d –0 5, e 0 96, f 0 g –0 77, h –0 5, i 0 j –0 64,



27 27

27 27

k 0 87, l 0 7,

6a kwadrant 2 b kwadrant 4 c kwadrant 3 d kwadrant 4 e kwadrant 1 f kwadrant 1 g kwadrant 2 h kwadrant 2 i kwadrant 4 j kwadrant 3 k kwadrant 4 l kwadrant 1

7

kwadrant 1 kwadrant 2 kwadrant 3 kwadrant 4Sinus positief positief negatief negatiefCosinus positief negatief negatief positiefTangens positief negatief positief negatief

Tabel 4

8a 1m b 2m c 3m d 6 28, m

9a 0 84, rad b 2 16, rad c 4 71, rad d 1 57, rad e 3 93, rad f 5 76, rad

10a 45° b 28 8, ° c 90° d 59 4, ° e 286 2, ° f 253 8, °

11a 0 718, b –0 707, c 0 122, d –0 616, e 1



28 28

28 28

f 1 743, g –0 423, h 0 707, i 0 818, j 0 707, k 1 732, l –0 577,

12a α = 0 97, rad of α = 2 17, rad b α = – rad0 52, of α = 3 66, rad c α = – rad1 05, of α = 4 19, rad d α = 0 56, rad of α = 2 58, rad e α = 1 16, rad of α = 5 12, rad f α = 2 62, rad of α = 3 66, rad g α = 1 55, rad of α = 4 73, rad h α = 2 09, rad of α = 4 19, rad i α = 0 85, rad j α = – rad0 85, k α = 0 79, rad

13a 200gon b 38 9, gon c 305 6, gon d 366 7, gon e 83 3, gon f 161 1, gon

14a 342° b 58 5, ° c 216° d 135° e 180° f 72°

15a 0 5, b –0 574, c 3 732, d 0 809, e –0 588, f –1 963, g 0 809, h –1 i –0 143,



29 29

29 29

16a 38 1, gon of 161 9, gon b 124 3, gon of 275 7, gon c 27 0, gon d 54 1, gon of 145 9, gon e 29 7, gon of 270 3, gon f – gon16 0,



30 30

30 30

1 Het tekenen van de grafiek van de sinus, de cosinus en de tangens

We beginnen met het tekenen van de grafiek van de sinus, dus y x= sin . Eerst gaan we een assenstelsel tekenen met een x -as en een y -as. Vervolgens stellen we een tabel op waarin we voor een aantal waarden voor x de bijbehorende y berekenen. We nemen hierin voor x het interval [ ; ]0 360° ° met steeds stappen van 30°. De bijbehorende y -waarde kunnen we met onze rekenma-chine berekenen. Let op dat onze rekenmachine op graden (DEG) staat ingesteld.

0° 30° 60° 90° 120° 150° 180°

0 0 5, 0 866, 1 0 866, 0 5, 0

210° 240° 270° 300° 330° 360°

–0 5, –0 866, –1 –0 866, –0 5, 0

Tabel 1

De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur 1.

Figuur 1

x

y

-1,5

1,0

0,5

0

-1,0

1,5

-0,560o 120o 180o 240o 300o 360o

2 Grafieken van gonio-metrische verbanden


31 31

31 31

Op dezelfde wijze kunnen we ook de grafiek van de cosinus tekenen.

Teken de grafiek van y x= cos op het interval [ ; ]0 360° ° .

Eerst gaan we een assenstelsel tekenen met een x-as en een y-as.Daarna maken we een tabel om bij de x-waarden de waarde voor y te berekenen.

0° 30° 60° 90° 120° 150° 180°

1 0 866, 0 5, 0 –0 5, –0 866, –1

210° 240° 270° 300° 330° 360°

–0 866, –0 5, 0 –0 5, 0 866, 1

Tabel 2


Figuur 2

We vervolgen met de grafiek van de tangens.

Teken de grafiek van y x= tan op het interval [ ; ]0 360° ° .Eerst tekenen we weer een assenstelsel met een x-as en een y-as.Daarna maken we een tabel om bij de x-waarden de waarde voor y te berekenen.

0° 30° 60° 90° 120° 150° 180°

0 0 577, 1 732, - –0 732, –0 577, 0

210° 240° 270° 300° 330° 360°

0 577, 1 732, - –0 732, –0 577, 0

Tabel 3

x

y

-1,5

1,0

0,5

0

-1,0

1,5

-0,560o 120o 180o 240o 300o 360o

vb. 1

vb. 2


Grafieken van goniometrische verbanden 27

32 32

32 32

Als we met onze rekenmachine tan90° en tan270° berekenen, krijgen we geen uitkomst (Math ERROR). Met andere woorden: deze waarde valt niet te berekenen. We zeggen ook wel dat tan90° en tan270° onbepaald zijn.De berekende punten tekenen we in het assenstelsel en verbinden we door een vloeiende lijn. Zie figuur 3.

Figuur 3

In de volgende paragraaf zullen we werken met radialen in plaats van graden. Let op dat bij alle berekeningen onze rekenmachine nu op radialen moet zijn ingesteld.Voor het verband tussen graden en radialen geldt: 360 2° = ·π radialen. Met dit verband kunnen we de volgende tabel opstellen:

graden radialen

0° 0

30°16

0 52π = ,

60°13

1 05π = ,

90°12

1 57π = ,

120°23

2 09π = ,

150°56

2 62π = ,

180° π =3 14,

Tabel 4

x

y

-8

-6

4

2

0

-4

8

6

-260o 120o 180o 240o 300o 360o

graden radialen

210° 116

3 67π = ,

240° 113

4 19π = ,

270° 112

4 71π = ,

300° 123

5 24π = ,

330° 156

5 76π = ,

360° 2 6 28π = ,


28 Grafieken van goniometrische verbanden

33 33

33 33

2 grafieken met radialen

Teken de grafiek van y x= sin op het interval [ ; ]0 2π .

Eerst gaan we een assenstelsel tekenen met een x -as en een y -as.Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal x -waarden de waarde van y uitrekenen.

De term 16

π benaderen we door 0 52, om deze x -waarde op de getallenlijn te

kunnen tekenen. Voor het berekenen van de bijbehorende y -waarde moeten we sin ( / )π 6 = intypen!

x 016

π = 0 52,

13

π = 1 05,

12

π = 1 57,

23

π = 2 09,

56

π = 2 62, π = 3 14,

y 0 0,5 0 866, 1 0 866, 0 5, 0

x 116

π = 3 67, 1

13

π = 4 19, 1

12

π = 4 71, 1

23

π = 5 24, 1

56

π = 5 76, 2π = 6 28,

y –0 5, –0 866, –1 –0 866, –0 5, 0

Tabel 5


Figuur 4

x

y

-4

-3

2

1

-2

4

3

-11 2 3 4 5 6 7-1

vb. 3



34 34

34 34

Bereken: sin ,x = 0 6

We berekenen dit op de volgende manier met de rekenmachine:1. We stellen onze rekenmachine in op radialen. 2. We typen in: SHIFT sin [ . ]0 6 = met als afgerond resultaat 0 64, .

Figuur 5

In figuur 5 zien we dat de grafieken y x= sin en y = 0 6, nog een tweede snijpunt x2 hebben.Dat tweede snijpunt x2 kunnen we als volgt berekenen: x2 0 64 2 50= − =π , , .Tussen 0 en 2π vinden we dus de antwoorden: x1 0 64= , rad en x2 2 50= , rad .Omdat y x= sin een periodieke functie is en y = 0 6, een horizontale lijn, zijn er oneindig veel uitkomsten. Dezelfde antwoorden komen steeds na 2π terug. Die waarde 2π noemen we de periode.Alle oplossingen kunnen we daarom kortweg noteren als: x k1 0 64 2= + ⋅, rad π en x k2 2 50 2= + ⋅, rad π .Daarbij is k een willekeurig geheel getal. Voor k = 0 vinden we x1 0 64 0 2 0 64= + × =, ,rad radπ of x2 2 50 0 2 2 50= + × =, ,rad radπ .Voor bijvoorbeeld k = 1 vinden we x3 0 64 1 2 6 92= + × =, ,rad radπ of x4 2 50 1 2 8 78= + × =, ,rad radπ .We controleren die laatste oplossing: sin rad8 78 0 60, ,= , en dat klopt!

Dus als we voor de vergelijking sin x a= met onze rekenmachine een oplossing α vinden, geldt: x k1 2= + ⋅α π of x k2 2= − + ⋅( )π α π .Het is handig om bij het oplossen van goniometrische vergelijkingen de grafiek van de betreffende goniometrische functie op het interval [ ; ]0 2π te schetsen. Op deze manier zien we eenvoudig hoe we aan de tweede oplossing moeten komen zonder een formule te onthouden.

x

y

-4

-3

2

1

-2

4

3

-11 2 3 4 5 6 7-1

vb. 4



35 35

35 35

oefeningen

1 Los de volgende vergelijkingen op: a sin ,x = 0 866

b sin ,x = 0 2

c sin x = 1

d sin ,x = –0 5

e sin x = 0

f sin ,x = –0 3

g sin ,x = –0 65



36 36

36 36

Teken de grafiek van y x= cos op het interval [ ; ]0 2π .

Eerst tekenen we een assenstelsel met een x -as en een y -as.Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal x -waarden de waarde van y uitrekenen.

x 016

π = 0 52,

13

π = 1 05,

12

π = 1 57,

23

π = 2 09,

56

π = 2 62, π = 3 14,

y 1 0 866, 0 5, 0 –0 5, –0 866, –1

x 116

π = 3 67, 1

13

π = 4 19, 1

12

π = 4 71, 1

23

π = 5 24, 1

56

π = 5 76, 2π = 6 28,

y –0 866, –0 5, 0 0 5, 0 866, 1

Tabel 6


Figuur 6

x

y

-4

-3

2

1

-2

4

3

-11 2 3 4 5 6 7-1

vb. 5



37 37

37 37

Bereken: cos ,x = 0 4

We gaan dit op de volgende manier met de rekenmachine berekenen:

We controleren of onze rekenmachine op radialen staat.

Vervolgens typen we in: SHIFT cos [ . ]0 4 = met als afgerond resultaat 1 16, .

Figuur 7

In figuur 7 zien we dat het eerste snijpunt van de grafieken y x= cos en y = 0 4, een x -waarde heeft van1 16, . Ook hier zien we een tweede snijpunt, dat we als volgt berekenen: x2 2 1 16 6 28 1 16 5 12= − = − =π , , , , .De antwoorden zijn: x1 1 16= , rad of x2 5 12= , rad .

Omdat y x= cos een periodieke functie is en y = 0 4, een horizontale lijn is, zijn ook hier weer oneindig veel uitkomsten. Dezelfde antwoorden komen steeds na 2π terug. Dit noteren we als:x k1 1 16 2= + ⋅, rad π of x k2 5 12 2= + ⋅, rad π .

Dus als we voor de vergelijking cos x a= met onze rekenmachine een oplossing α vinden, geldt: x k1 2= + ⋅α π of x k2 2 2= − + ⋅( )π α π .

x

y

-4

-3

2

1

-2

4

3

-11 2 3 4 5 6 7-1

vb. 6



38 38

38 38

oefeningen

2 Los de volgende vergelijkingen op: a cos ,x = 0 6

b cos ,x = 0 3

c cos x = 0

d cos x = –1

e cos ,x = –0 866

f cos ,x = –0 6

g cos ,x = –0 25



39 39

39 39

Teken de grafiek van y x= tan op het interval [ ; ]0 2π .


0 x16

π = 0 52,

13

π = 1 05,

12

π = 1 57,

23

π = 2 09,

56

π = 2 62, –π = 3 14,

y 0 0,577 1 732, - –1 732, –0 577, 0

x 116

π = 3 67, 1

13

π = 4 19, 1

12

π = 4 71, 1

23

π = 5 24, 1

56

π = 5 76, 2π = 6 28,

y 0 577, 1 732, - –1 732, –0 577, 0

Tabel 7


Figuur 8

x

y

-4

-3

2

1

-2

4

3

-11 2 3 4 5 6 7-1

vb. 7



40 40

40 40

Bereken: tan ,x = 1 25

We berekenen dit op de volgende manier met de rekenmachine:

We controleren of onze rekenmachine op radialen staat.

Vervolgens typen we in: SHIFT tan [ , ]1 25 = met als afgerond resultaat 0 90, .

Figuur 9

In figuur 9 zien we dat het eerste snijpunt van de grafieken y x= tan en y = 1 25, een x -waarde heeft van 0 90, . Het tweede snijpunt kunnen we als volgt berekenen: x2 0 90 0 90 3 14 4 04= + = + =, , , ,π .Omdat y x= tan een periodieke functie is en y = 1 25, een horizontale lijn is, zijn er ook hier weer oneindig veel uitkomsten. Het verschil met de sinus en cosinus is dat hier dezelfde antwoorden niet na 2π , maar steeds na π terugkomen. De tangens heeft dus een periode van π .We kunnen daarom de oplossingen, x k x k1 20 90 2 4 04 2= + ⋅ = + ⋅, ,rad of radπ π combineren en kortweg schrij-ven als x k= + ⋅0 90, rad π .

Dus als tan x a= , dan is x k= + ⋅α π .

oefeningen

3 Los de volgende vergelijkingen op. a tan ,x = 0 3

b tan x = 5

x

y

-4

-3

2

1

-2

4

3

-11 2 3 4 5 6 7-1

vb. 8



41 41

41 41

c tan x = 1

d tan x = –1

e tan ,x = –0 866

f tan ,x = –1 6

g tan ,x = –0 2

Teken de grafiek van y x= sin2 op het interval [ ; ]0 2π .

Eerst tekenen we een assenstelsel met een x-as en een y-as. Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal x-waarden de waarde van y uitrekenen.

x 016

π = 0 52,

14

π = 0 79,

13

π = 1 05,

12

π = 1 57,

y 0 0 866, 1 0 866, 0

Tabel 8

vb. 9

23

π = 2 09,

34

π = 2 36,

56

π = 2 62, π = 3 14,

–0 866, –1 –0 866, 0



42 42

42 42


Figuur 10

We zien nu op het interval [ ; ]0 2π twee sinussen getekend dus een volledige sinusgolf op het interval [ ; ]0 π . De periode is in dit geval π .

oefeningen

4 Teken de grafieken van de volgende functies op het interval 0 2, π .

a y x= sin3

b y x= sin12

c y x= sin 4

d y x= cos ,0 5

e y x= cos3

f y x= cos ,2 5

g y x= tan2

h y x= tan ,0 5

i y x= sin ,1 5

j y x= cos 4

x

y2

1

-2

-1

1 2 3 4 5 6



43 43

43 43

We hebben gezien dat y x= sin en y x= cos een periode hebben van 2π . De peri-ode van y x= tan is π . Als we een getal voor de x zetten, zoals bij y x= sin3 , zal ook de periode veranderen.

Los de volgende vergelijking op: sin ,4 0 5x =

OplossingWe gebruiken de grafiek van oefening 4c. Zie figuur 11.

Figuur 11

4 0 52 21x k= + ⋅, rad π of 4 0 52 3 14 0 52 2 62 22x k= − = − = + ⋅ ⇒π π, , , , rad (delen door 4 ).x k1 0 13 0 5= + ⋅, ,rad π of x k2 0 66 0 5= + ⋅, , π

Zoals we ook aan de grafiek zien, is de periode van y x= sin 4 gelijk aan π2

.

oefeningen

5 Los de volgende vergelijkingen op: a cos ,3 0 6x =

b tan12

1x =

x

y2

1

-2

-1

1 2 3 4 5 6

vb. 10



44 44

44 44

c sin ,13

0 866x =

d cos , ,2 5 0 5x = –

e sin ,3 0 866x = –

f tan ,2 1 732x =

g sin ,0 5 1x = –

h cos ,0 25 1x = –



45 45

45 45

Teken de grafiek van y x= 2sin op het interval [ ; ]0 2π en bereken 2 1 5sin ,x =


x 016

π = 0 52,

13

π = 1 5,0

12

π = 1 57,

23

π = 2 09,

56

π = 2 62, π = 3 14,

y 0 1 1 732, 2 1 732, 1 0

x 116

π = 3 67, 1

13

π = 4 19, 1

12

π = 4 71, 1

23

π = 5 24, 1

56

π = 5 76, 2π = 6 28,

y –1 –1 732, –2 –1 732, –1 0

Tabel 9


Figuur 12

2 1 5sin ,x = ⇒ (links en rechts delen door ) sin , ,x x= ⇒ =0 75 0 851 en x2 0 85 3 14 0 85 2 29= − = − =π , , , ,x k1 0 85 2= + ⋅, rad π en x k2 2 29 2= + ⋅, rad πWe zien dat door het getal 2 voor de sinusfunctie de y -waarden zijn verdub-beld, de periode blijft onveranderd 2π .

x

y

2

1

-2

-1

1 2 3 4 5 6

vb. 11



46 46

46 46

oefeningen

6 Bereken: a 1 5 1, sin x =

b 2 1 5cos ,x =

c 0 5 1, tan x =

Teken de grafiek van f x x( ) sin( )= − 13

π op het interval [ ; ]0 2π en bereken

sin( ) ,x − =13

0 6π .


x 016

π = 0 52,

13

π = 1 05,

12

π = 1 57,

23

π = 2 09,

56

π = 2 62, π = 3 14,

y –0 866, –0 5, 0 0 5, 0 866, 1 0 866,

x 116

π = 3 67, 1

13

π = 4 19, 1

12

π = 4 71, 1

23

π = 5 24, 1

56

π = 5 76, 2π = 6 28,

y 0 5, 0 –0 5, –0 866, –1 –0 866,

Tabel 10

vb. 12



47 47

47 47


Figuur 13

sin( ) ,x − = ⇒13

0 6π

x113

0 64− =π , en x213

0 64 3 14 0 64 2 50− = − = − = ⇒π π , , , ,

x113

0 64− = ⇒π , (links en rechts –13

π )

x213

2 50− = ⇒π , (links en rechts –13

π )

x1 0 6413

0 64 1 05 1 69= + = + =, , , ,π en x2 2 5013

2 50 1 05 3 55= + = + = ⇒, , , ,π

x k1 1 69 2= + ⋅, rad π en x k2 3 55 2= + ⋅, rad π

We zien dat als er een getal achter de x staat zoals bij y x= −sin( )13

π , de grafiek langs de x-as verschoven wordt. De periode blijft weer gelijk.

oefeningen

7 Teken de grafiek van de volgende functies en los de bijbehorende vergelijkingen op.

a sin( ) ,x + =16

0 8π

x

y2

1

-2

-1

1 2 3 4 5 6



48 48

48 48

b cos( , ) ,x − =0 5 0 2–

c cos( ) ,x − =16

0 4π

d sin( ) ,x + =1 0 75–

e tan( )x − =16

2π

f tan( )x + =16

π –1,5

g 213

1 5sin( ) ,x − =π

h 316

2cos( )x + =π

i 213

3tan( )x − =π



49 49

49 49

Teken de grafiek van f x x( ) sin= +1 op het interval 0 2; π .

Eerst tekenen we een assenstelsel met een x-as en een y-as.Daarna maken we een tabel waarin we bij een aantal x-waarden de waarde van y uitrekenen.

x 016

π = 0 52,

13

π = 1 05,

12

π = 1 57,

23

π = 2 09,

56

π = 2 62, π = 3 14,

y 0 0,5 0,866 1 0 866, 0 5, 0

x 116

π = 3 67, 1

13

π = 4 19, 1

12

π = 4 71, 1

23

π = 5 24, 1

56

π = 5 76, 2π = 6 28,

y – ,0 5 –0 866, –1 –0 866, –0 5, 0

Tabel 11


Figuur 14

Door een getal bij de functie op te tellen, zoals bij f x x( ) sin= +1 , zien we een verschuiving van de grafiek langs de y-as.

x

y

-4

-3

2

1

-2

4

3

-11 2 3 4 5 6 7-1

vb. 13



50 50

50 50

oefeningen

8 Teken de grafieken van de volgende functies op het interval 0 2; π .

a f x x( ) cos= −1

b f x x( ) tan= +–1

c f x x( ) sin= +212



51 51

51 51

d f x x( ) cos= +–2 2



52 52

52 52

antwoorden

1a x k1 1 05 2= + ⋅, rad π of x k2 2 09 2= + ⋅, rad π b x k1 0 20 2= + ⋅, rad π of x k2 2 94 2= + ⋅, rad π c x k= + ⋅1 57 2, rad π d x k= + ⋅–0 rad,52 2π en x k= + ⋅3 66 2, rad π e x k= + ⋅0 rad π f x k= + ⋅–0 rad,30 2π en x k= + ⋅3 44 2, rad π g x k= + ⋅–0 rad,71 2π en x k= + ⋅3 85 2, rad π

2a x k1 0 93 2= + ⋅, rad π en x k2 5 35 2= + ⋅, rad π b x k= + ⋅1 27 2, rad π en x k= + ⋅5 01 2, rad π c x k1 1 57 2= + ⋅, rad π en x k2 4 71 2= + ⋅, rad π d x k= + ⋅3 14 2, rad π e x k= + ⋅2 62 2, rad π en x k= + ⋅3 66 2, rad π f x k= + ⋅2 21 2, rad π en x k= + ⋅4 07 2, rad π g x k= + ⋅1 82 2, rad π en x k= + ⋅4 46 2, rad π

3a x k= + ⋅0 29, rad π b x k= + ⋅1 37, rad π c x k= + ⋅0 79, rad π d x k= + ⋅– rad0 79, π e x k= + ⋅– rad0 71, π f x k= + ⋅–1 rad,01 π g x k= + ⋅– rad0 20, π

4a Zie figuur.

Figuur 15

x

y2

1

-2

-1

1 2 3 4 5 6



53 53

53 53

b Zie figuur.

Figuur 16

c Zie figuur.

Figuur 17

d Zie figuur.

Figuur 18

x

y2

1

-2

-1

1 2 3 4 5 6

x

y2

1

-2

-1

1 2 3 4 5 6

x

y2

1

-2

-1

1 2 3 4 5 6



54 54

54 54

e Zie figuur.

Figuur 19

f Zie figuur.

Figuur 20

g Zie figuur.

Figuur 21

x

y2

1

-2

-1

1 2 3 4 5 6

x

y2

1

-2

-1

1 2 3 4 5 6

x

y

-4

-3

2

1

-2

4

3

-11 2 3 4 5 6 7-1



55 55

55 55

h Zie figuur.

Figuur 22

i Zie figuur.

Figuur 23

j Zie figuur.

Figuur 24

x

y

-4

-3

2

1

-2

4

3

-11 2 3 4 5 6 7-1

x

y2

1

-2

-1

1 2 3 4 5 6

x

y2

1

-2

-1

1 2 3 4 5 6



56 56

56 56

5a x k1 0 31 0 67= + ⋅, ,rad π en x k2 1 78 0 67= + ⋅, , π b x k= + ⋅1 58 2, π c x k1 3 15 6= + ⋅, rad π en x k2 6 27 6= + ⋅, π d x k1 0 84 0 8= + ⋅, ,rad π en x k2 1 68 0 8= + ⋅, , π e x k1 35 0 67= + ⋅–0, rad , π en x k2 1 39 0 67= + ⋅, , π f x k= + ⋅1 03 0 5, , π g x k= + ⋅– rad3 14 4, π h x k= + ⋅12 56 8, rad π

6a x k1 0 73 2= + ⋅, rad π en x k2 2 41 2= + ⋅, rad π b x k1 0 72 2= + ⋅, rad π en x k2 5 56= + ⋅, rad 2π c x k= + ⋅1 11, rad π

7a x k1 0 41 2= + ⋅, rad π en x k2 1 69 2= + ⋅, rad π b x k1 2 27 2= + ⋅, rad π en x k2 5 01 2= + ⋅, rad π c x k1 1 68 2= + ⋅, rad π en x k2 5 64 2= + ⋅, rad π d x k1 85 2= + ⋅–1 rad, π en x k2 2 99 2= + ⋅, rad π e x k= + ⋅1 63, rad π f x k= + ⋅– rad0 98, π g x k1 1 90 2= + ⋅, rad π en x k2 3 34 2= + ⋅, rad π h x k1 0 32 2= + ⋅, rad π en x k2 4 92 2= + ⋅, rad π i x k= + ⋅2 03, rad π

8a Zie figuur.

Figuur 25

x

y

-4

-3

2

1

-2

4

3

-11 2 3 4 5 6 7-1



57 57

57 57

b Zie figuur.

Figuur 26

c Zie figuur.

Figuur 27

d Zie figuur.

Figuur 28

x

y

-4

-3

2

1

-2

4

3

-11 2 3 4 5 6 7-1

x

y

-4

-3

2

1

-2

4

3

-11 2 3 4 5 6 7-1

y

x

-4

-5

-3

2

1

-2

3

-11 2 3 4 5 6 7-1



58 58

58 58

1 Formules opstellen van goniometrische Functies

Een goniometrische functie kunnen we weergeven met een van de volgende formules:

f x d cb

x a( ) sin ( )= + ⋅ ⋅ ±

2π

of

f x d cb

x a( ) cos ( )= + ⋅ ⋅ ±

2π

of

f x d cb

x a( ) tan ( )= + ⋅ ⋅ ±

2π

Hierbij is:a de verschuiving op de x-as;b de periode;c de amplitude of maximale uitwijking bij een sinus- en cosinusvorm; bij een

tangensvorm is c een vermenigvuldigingsfactor die meestal moeilijk af te lezen is;

d de verschuiving op de y-as.Bij het opstellen van de formule of functievoorschrift van een goniometrische grafiek doorlopen we de volgende stappen:

stap 1 Bepaal of de grafiek te herleiden is tot een sinus-, cosinus- of tangensvorm.

stap 2 Bepaal de amplitude of maximale uitwijking.

stap 3 Bepaal de verschuiving op de x-as: › verschuiving van a naar links: ( )x a+ › verschuiving van a naar rechts: ( )x a−

stap 4 Bepaal de verschuiving op de y-as.

3 Formules opstellen bijgoniometrische gra-fieken


59 59

59 59

stap 5 Bepaal de periode (dit is de afstand op de x-as waarin één volledige beweging wordt uitgevoerd).

Geef het functievoorschrift van de volgende goniometrische grafiek. Zie figuur 1.

6-1

y

x

-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

1 2 3 4 5 7

Figuur 1

Oplossing

stap 1 De grafiek is te herleiden tot een sinusvorm.

stap 2 De amplitude is 1 5, dus c = 1 5, .

stap 3 Verschuiving 0 5, naar rechts, dus ( , )x − 0 5 .

stap 4 Er is geen verschuiving op de y-as dus d = 0 .

stap 5 De periode is 2π , dus b = 2π .

Met de bovenstaande gegevens kunnen we het volgende functievoorschrift opstellen:

f x d c

bx a f x( ) sin ( ) ( ) , sin (= + ⋅ ⋅ ±

⇒ = + ⋅20 1 5

22

π ππ

xx

f x x

−

⇒

= ⋅ −

0 5

1 5 0 5

, )

( ) , sin( , )

vb. 1


Formules opstellen bij goniometrische grafieken 55

60 60

60 60

oefeningen

1 Geef het functievoorschrift van de volgende grafieken: a Zie figuur.

6-1

y

x

-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

1 2 3 4 5 7

Figuur 2

b Zie figuur.

6-1

y

x

-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

1 2 3 4 5 7

Figuur 3


56 Formules opstellen bij goniometrische grafieken

61 61

61 61

c Zie figuur.

6-1

y

x

-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

1 2 3 4 5 7

Figuur 4

d Zie figuur.

6-1

y

x

-1

-2

-3

-4

1

2

3

4

1 2 3 4 5 7

Figuur 5



62 62

62 62

e Zie figuur.

6-1

y

x

-1

-2

-3

1

2

3

1 2 3 4 5 7

Figuur 6

f Zie figuur.

6-1

y

x

-1

-2

-3

1

2

3

1 2 3 4 5 7

Figuur 7

g Zie figuur.

6-1

y

x

-1

-2

-3

1

2

3

1 2 3 4 5 7

Figuur 8



63 63

63 63

h Zie figuur.

6-1

y

x

-1

-2

-3

-4

-5

1

2

3

1 2 3 4 5 7

Figuur 9

2 Geef het functievoorschrift van de volgende grafieken: a Zie figuur.

6-1

y

x

-1

-2

-3

1

2

3

1 2 3 4 5 7

Figuur 10



64 64

64 64

b Zie figuur.

6-1

y

x

-1

-2

-3

1

2

3

1 2 3 4 5 7

Figuur 11

c Zie figuur.

6-1

y

x

-1

-2

-3

1

2

3

1 2 3 4 5 7

Figuur 12

d Zie figuur.

6-1

y

x

-1

-2

-3

1

2

3

1 2 3 4 5 7

Figuur 13



65 65

65 65

De hiervoor behandelde goniometrische vormen zijn voorbeelden van periodieke functies. Dat zijn functies die zich met een vaste periode herhalen. De meeste willekeurige periodieke functies, zoals een blokgolf of een zaagtandspanning, kunnen we wiskundig opvatten als een som van verschillende sinus- en/of cosinus vormen. We spreken dan van een Fourierreeks (spreek uit foerjee-reeks). De coëfficiënten kunnen we bepalen met een wiskundige techniek die we Fourier-analyse noemen.



66 66

66 66

antwoorden

1a f x x( ) sin( , )= ⋅ +2 0 5 b f x x( ) sin= +1 c f x x( ) – , cos= +0 5 d f x x( ) cos( )= ⋅ −2 1 e f x x( ) – tan= +2 f f x x( ) – , tan( , )= + ⋅ −1 1 1 0 5 g f x x( ) , sin= + ⋅1 0 5 h f x x( ) – cos( , )= + ⋅ +2 2 0 5

2a f x x( ) sin , ( , )= −2 0 5 0 5 b f x x( ) cos ( )= + +2 2 1 c f x x( ) sin ( )= + −–1 4 1 d f x x( ) cos ( , )= +3 0 5



67 67

67 67

1 SinuSregel

De sinusregel kunnen we toepassen om zijden en hoeken te berekenen in een wille keurige driehoek. Deze driehoek hoeft dus niet rechthoekig te zijn. Zie figuur 1.

A B

C

b a

α

γ

β

c

Figuur 1

De volledige sinusregel luidt:

a b csin sin sinα β γ

= =

In een driehoek kunnen we de niet gegeven zijde(n) en hoek(en) berekenen met de sinusregel als gegeven zijn: › twee zijden en de hoek tegenover een van deze zijden; of › twee hoeken en de zijde tegenover een van deze hoeken.

4 Sinusregel en cosi-nusregel


68 68

68 68

Gegeven

A B

C

b a

α

c

Figuur 2

In figuur 2 is een driehoek getekend waarvan a = 3 8, cm , b = 4 4, cm en α = 49° .

GevraagdBereken de overige hoeken en zijde c .

Oplossing

a bsin sinα β

= ⇒ 3 849

4 4,sin

,sin

cm°

cm= ⇒β

Na kruislings vermenigvuldigen volgt:

3 8 4 4 49, sin , sin× = × ⇒β sin, sin

,,β = × = ⇒4 4 49

3 80 874

°

β = 60 9, °γ = − − =180 49 60 9 70 1° ° ° °, ,

a csin sinα γ

= ⇒ 3 8

49 70 1,

sin sin ,cm

° °= ⇒c

c = × =3 8 70 149

4 7, sin ,

sin,

°°

cm

Vb. 1


64 Sinusregel en cosinusregel

69 69

69 69

Oefeningen

1 In ABC is a = 10 cm , b = 6 cm en β = 30° . a Maak een tekening.

b Bereken de ontbrekende hoeken en zijde.

2 In ABC is a = 20 cm , α = 50° en β = 70° . a Maak een tekening.

b Bereken de ontbrekende hoek en zijden.


Sinusregel en cosinusregel 65

70 70

70 70

3 De kerktoren in stadje A is 350m verwijderd van de televisietoren in dorp B. Joop loopt vanaf de televisietoren 360m langs de rivier. Als hij in punt C is aangekomen, ziet hij beide torens onder een hoek van 55° . Zie figuur 3.Bereken de afstand tussen Joop en de kerktoren in stadje A.

A

B

C

55o

Figuur 3

4 Van ABC is gegeven: a = 4cm , b = 5cm en ∠ =A 50° . a Maak een tekening.

b Bereken ∠B en zijde c .



71 71

71 71

2 COSinuSregel

Bij de voorgaande opgaven hebben we gebruik gemaakt van de sinusregel. Het ging hierbij om driehoeken waar de volgende zaken bekend waren: › twee zijden + de hoek tegenover een van deze zijden; of › twee hoeken + de zijde tegenover een van deze hoeken.

Dit is niet altijd het geval. Soms kennen we: › drie zijden; of › één hoek + twee zijden die niet tegenover de gegeven hoek liggen.In deze gevallen kunnen we de sinusregel niet gebruiken en moeten we gebruik maken van de cosinusregel.De volgorde in de cosinusregel is afhankelijk van de bekende zijden en hun inge-sloten hoek. Zie figuur 4.

A B

C

b a

α

c

Figuur 4a

A B

C

b a

βc

Figuur 4b

A B

C

b aγ

cFiguur 4c

› Figuur 4a: b , c en α bekend ⇒ a b c b c2 2 2 2= + − ⋅ ⋅ ⋅ cosα › Figuur 4b: a , c en β bekend ⇒ b a c a c2 2 2 2= + − ⋅ ⋅ ⋅ cosβ › Figuur 4c: a , b en γ bekend ⇒ c a b a b2 2 2 2= + − ⋅ ⋅ ⋅ cos γAls er drie zijden gegeven zijn, berekenen we één hoek met de cosinusregel en de tweede hoek met de sinusregel. Die tweede hoek kunnen we ook met de cosinus-regel berekenen, maar de sinusregel werkt eenvoudiger. De derde hoek volgt ten slotte door beide berekende hoeken van 180° af te trekken.



72 72

72 72

GegevenIn een stomphoekige ABC geldt AB = 6 2, cm , AC = 4 6, cm en BC = 9 3, cm. Zie figuur 5.

AB

C

α

γ

β

Figuur 8

GevraagdBereken de drie hoeken.

Oplossinga b c b c2 2 2 2= + − ⋅ ⋅ ⋅ ⇒cosα( , ) ( , ) ( , ) , , cos9 3 4 6 6 2 2 4 6 6 22 2 2cm cm cm cm cm= + − × × × ⇒α86 49 21 16 38 44 57 04, , , , cos= + − × ⇒α26 89 57 04, , cos= × ⇒– α

cos,,

,α = = ⇒––

26 8957 04

0 471

α = 118°

De tweede hoek gaan we met de sinusregel berekenen:

a bsin sinα β

= ⇒

9 3118

4 6,sin

,sin

cm°

cm= ⇒β

sin, sin

,,β = × = ⇒4 6 118

9 30 437

°

β = 25 9, ° , γ = − − =180 118 25 9 36 1° ° ° °, ,

Oefeningen

5 Van ABC is gegeven: a = 4cm , b = 5cm en c = 7cm .Bereken de hoeken α , β en γ van deze driehoek (in 1 decimaal na de komma nauwkeurig).

Vb. 2



73 73

73 73

6 Van ABC is gegeven: a = 5cm , b = 6cm en c = 10cm.Bereken de hoeken α , β en γ van deze driehoek (in 1 decimaal na de komma nauwkeurig).

7 Van ABC is gegeven: b = 9cm , c = 6cm en α = 21° .Bereken de lengte van a en de hoeken β en γ van deze driehoek (in 1 decimaal na de komma nauwkeurig).

8 Van ABC is gegeven: a = 8cm , b = 9cm en γ = 140° .Bereken de lengte van c en de hoeken α en β van deze driehoek (in 1 decimaal na de komma nauwkeurig).



74 74

74 74

Antwoorden

1b α = 56 4, ° , γ = 93 6, ° , c = 12 0, cm

2b γ = 60° , b = 24 5, cm , c = 22 6, cm

3 AC = 395m

4b ∠ =B 73 2, ° , c = 4 4, cm

5 α = 34° , β = 44 3, ° , γ = 101 7, °

6 α = 33 3, °, β = 41 2, ° , γ = 105 5, °

7 a = 4 0, cm , β = 53 7, ° , γ = 105 3, °

8 c = 16 0, cm , α = 18 7, ° , β = 21 3, °



Reader - Meneer Riksenmeneerriksen.nl/onewebmedia/Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8 2013... ·...

Documents

Transcript of Reader - Meneer Riksenmeneerriksen.nl/onewebmedia/Reader Wiskunde MBO Niveau 4 Periode 8 2013... ·...