Leerwerkboek

Transformaties van het vlak

en gelijkvormigheden

3

Mark De Feyter

Filip Geeurickx

Jan Thoelen

Roger Van Nieuwenhuyze

Eric Willockx

bEWERkT VooR hET Go!

onderwijs van de Vlaamse Gemeenschap door

Wendy Luyckx

Els Sas

CaRTooNS

Dave Vanroye

Proe

fexe

mpla

ar

voorwoord

2Elk hoofdstuk eindigt met een samenvatting waarin duidelijk wordt gemaakt wat je moet kennen en kunnen, zodat je de oefeningen en de volgende hoofdstukken probleemloos kunt aanpakken.

3Bij het lampje vind je de herkomst van wiskundige woorden of symbolen.

2

ISBN: 978 90 8661 179 9Kon. Bib.: 0147/2006/118Bestelnr.: 94 303 0000 NUR: 126

Copyright by die keure brugge

Verantwoordelijke uitgever: N.V. die keure,

oude Gentweg 108 - 8000 brugge - belgië -

h.R. brugge 12.225

Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of

openbaar gemaakt worden door middel van druk,

fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder

voorafgaande schriftelijke toestemming van de

uitgever.

No part of this book may be reproduced in any form

by print, photoprint, microfilm or any other means

without written permission from the publisher.

Dit boek bestaat uit 3 grote delen. Elk deel is onderverdeeld in kleinere paragrafen. De volgende handige picto-grammen gebruiken we in het leerboek:

1Dit is leerstof die je én goed in je hoofd moet prenten én moet onthouden. Alle definities vind je op een rode achtergrond, eigenschappen en stellingen op een groene.

BEtEKENISWaar komen al die wiskundige begrippen vandaan?

SAmENvAttINg De belangrijkste eigenschappen, begrippen en regels van een leerstofonderdeel.

tE oNthoUDENDeze leerstof moet je goed kennen en begrijpen vooraleer je verder kunt.

voorwoord

2

ISBN: 978 904 860 930 7Kon. Bib.: D/2011/0147/184Bestelnr.: 94 303 0103 NUR: 126

Copyright by die keure brugge

Verantwoordelijke uitgever: N.V. die keure,

kleine Pathoekeweg 3 - 8000 brugge - belgië -

h.R. brugge 12.225

Niets uit deze uitgave mag verveelvoudigd en/of

openbaar gemaakt worden door middel van druk,

fotokopie, microfilm of op welke wijze ook zonder

voorafgaande schriftelijke toestemming van de

uitgever.

No part of this book may be reproduced in any form

by print, photoprint, microfilm or any other means

without written permission from the publisher.

Dit boek bestaat uit 3 grote delen. Elk deel is onderverdeeld in kleinere paragrafen. De volgende handige picto-grammen gebruiken we in het leerwerkboek:

Proe

fexe

mpla

ar

4De wiskunde die we vandaag kennen is het resultaat van een eeuwenlang groeipro-ces. onder de wereldbol vind je meer informatie over be-langrijke historische figuren en staan ook leuke anekdo-tes vermeld.

5het grafische rekentoestel is een onmisbaar hulpmiddel geworden. telkens dit toestel hulp kan bieden, vind je dit icoontje in de kantlijn. veel meer over het gebruik van het grafische reken- toestel vind je in het speciale ‘ICt practicumboek 5 tI-83(Plus)’.

3

6geen wiskunde zonder computer. Als computer-programma’s kunnen helpen,

zie je dit pictogram. veel meer over het gebruik van ICt vind je in het ‘ICt practicumboek 5 Computer’ .

Achteraan in het boek staat een trefwoordenlijst. om het gemakkelijker te maken zijn deze woorden cursief in de kantlijn gedrukt, telkens zij voor het eerst gebruikt worden.

Na ieder leerstofonderdeel vind je een reeks oefenin-gen. De moeilijkste zijn in het blauw gedrukt.

om iets gemakkelijk terug te vinden kun je terecht in het trefwoordenregister achteraan in het boek. Deze woorden staan ook voor de kantlijn afgedrukt, op de plaats waar ze het eerst gebruikt worden.

De schrijvers van dit boek wensen je veel plezier met het vak wiskunde op je nieuwe school.

REKENmAChINEHier wordt uitgelegd hoe je rekenmachine je kan helpen.

gESChIEDENISEen wiskundige terugblik in de tijd. Leuke wetenswaardigheden over hoe het vroeger was.

Na ieder leerstofonderdeel vind je een reeks oefeningen.

om iets gemakkelijk terug te vinden, kun je terecht in het trefwoordenregister achteraan in het boek. Deze woorden staan ook in de marge afgedrukt, op de plaats waar ze het eerst gebruikt worden.

De schrijvers van dit boek wensen je veel plezier met het vak wiskunde.

3

Proe

fexe

mpla

ar

Welkom (opnieuw) in de wakkere wetenschappelijke wereld van de wiskunde.De boekenreeks ‘Van basis tot Limiet’ heeft als doel de wiskunde niet voor te stellen als een saaie en droge materie, maar wel als een levende en boeiende wetenschap waarmee je overal rondom je te

4maken hebt. Wiskunde in de realiteit dus.

Zoals je kunt zien bij de tandwielen op deze foto is elk onderdeeltje noodzakelijk om tot een degelijk resultaat te komen.

Zet de wiskundige machine maar in werking!

Proe

fexe

mpla

ar

1 EvenwijdigeprojectieendestellingvanThales

1.1 Evenwijdige projectie > 8 1.2 Stelling van Thales > 8 1.3 Samenvating > 9 1.4 oefeningen > 9

2 IsometriënenHomothetieën

2.1 Isometrieën > 24 2.2 homothetieën > 24

3 Gelijkvormigheden

3.1 Gelijkvormigheden, evenredigheden en schaal > 60 3.2 Gelijkvormige driehoeken > 61 3.3 Gelijkvormigheidskenmerken voor driehoeken > 62

inhoud

5

Proe

fexe

mpla

ar

6

Proe

fexe

mpla

ar

1.1 Evenwijdigeprojecie > 9

1.1.1 Inleiding > 9 1.1.2 beeld van een punt > 10 1.1.3 beeld van een lijnstuk > 10 1.1.4 beeld van een rechte > 10 1.1.5 beeld van een vlakke figuur > 10 1.1.6 behoud eigenschappen > 10 1.1.7 De loodrechte projectie > 10 1.1.8 Verband tussen de lengte van een lijnstuk en de lengte van de loodrchte projectie van het lijnstuk > 11

1.2 StellingvanThales > 12

1.2.1 Instap > 12 1.2.2 omgekeerde stelling van Thales > 13 1.3.3 Toepassingen op de stelling van Thales > 15 1.2.3.1 Een gegeven lijnstuk in een gelijk aantal delen verdelen > 15 1.2.3.2 Een lijnstuk verdelen in 2 lijnstukken die evenredig zijn met 2 gegeven lijnstukken > 16 1.2.3.3 De vierde evenredige construeren > 15 1.2.3.4 De stelling van Thales en het behoud van de ijk > 15 1.2.3.5 bijzonder geval van de stelling van Thales en het behoud van de ijk > 15 1.2.3.6 Thales in de ruimte > 15

1.3 Samenvatting > 17

1.4 Oefeningen > 18

Evenwijdige projectie en de stelling

van Thales

7

1

Proe

fexe

mpla

ar

transformaties

beeld

8

Evenwijdigeprojectieen1 destellingvanThales

1.1) Evenwijdigeprojectie

1.1.1Inleiding

Je maakte reeds kennis met een aantal transformaties van het vlak. bij een spiegeling, verschui-

ving, draaiing en puntspiegeling heeft elk element juist één beeld. het zijn transformaties van het

vlak die bovendien de grootte van een hoek, de lengte, de oppervlakte en de vorm van een figuur

behouden.

Deze drie

voorbeelden

illustreren

hoe je van

een voorwerp

een beeld

kunt maken.

De voorwerpen worden geprojecteerd. Telkens heb je een aantal elementen nodig:

een voorwerp dat geprojecteerd wordt,

de richting volgens welke je projecteert en

het vlak waarop je projecteert.

ook in de vlakke meetkunde kunnen we punten, rechten en vlakke figuren projecteren.Proe

fexe

mpla

ar

9

Deel 1 evenwijdige projectie en de stelling van Thales

projectieas

projectierichting

parallelprojectie

1.1.2Beeldvaneenpunt

Voorbeeld:

Y

X

M

Z

b

a

beschouwen we in het vlak twee rechten

a en b (a //\ b) en de punten X, Y en Z.

We kunnen het beeld van een punt zoeken door dit punt te prjecteren, evenwijdig met b en op a.

Daarvoor tekenen we door dit punt X een evenwijdige met b tot deze rechte a snijdt in X'.

het punt X' is het beeld van X door de projectie p. We noteren dit als volgt: pba (X) = X'

b

Y

Y’

X

X’M

M’

Z’

Z

a

hierbij noemen we a de projectieas of

drager en b de projectierichting.

Merk op dat elk punt van p juist één beeld

heeft, want:

- door een punt kan je maar één

evenwijdige tekenen met een

gegeven rechte b;

- deze rechte heeft juist één snijpunt

met a, want b //\ a.

Een evenwijdige projectie (parallelprojec-

tie) is dus een transformatie van het vlak.

Merk op:

Punten van de rechte a waarop we projecteren hebben zichzelf als projectie.

b

b

X XX : X X

: X’ X’ XX’a pa p met a en b a b6

6

' (g

!

!

=

=a

a

_ __i ii

Proe

fexe

mpla

ar

10

1.1.3Beeldvaneenlijnstuk

We onderzoeken het beeld van een lijnstuk [ab] door een evenwijdige projectie pba.

Er zijn twee mogelijkheden:

ab //\ b ab // b

b

a

A

B

A’ B’

b

a

B

A

A’ = B’

pba ([ab]) = [a'b'] pb

a ([ab]) = a' = b'

In dit geval is het beeld van een lijnstuk

opnieuw een lijnstuk

In dit geval is het beeld van een lijnstuk een

punt.

als je |ab| vergelijkt met |a'b'| dan merk je dat de evenwijdige projectie een transformatie is van

p die niet altijd de afstand bewaart. Dit in tegenstelling met andere transformaties zoals verschui-

vingen, spiegelingen, draaiingen en puntspiegelingen.

b

a

A

BC E

F

A’ B’ C’ D’

E

E’ F’

We stellen vast dat

• |a'b'| Œ |ab|

• |C'D'| = |CD|

• |E'F'| Õ |EF|

Eigenschap:

Elke parallelprojectie bewaart de lengte van een lijnstuk als het lijnstuk evenwijdig is met de

rechte waarop men projecteert.Proe

fexe

mpla

ar

11

Deel 1 evenwijdige projectie en de stelling van Thales

1.1.4Beeldvaneenrechte

We onderzoeken het beeld van een rechte x door een evenwijdige projectie pba.

ook hier zijn er twee mogelijkheden:

x //\ b x // b

b b

a a

x

x

A’

CD

E

AB = B’ C’ D’ E’

X

Y

Z

X’

U

b b

a a

x

x

A’

CD

E

AB = B’ C’ D’ E’

X

Y

Z

X’

U

pba (x) = a pb

a (x) = X' met X' C a en X' C x

In dit geval is het beeld van een rechte de

projectieas.

In dit geval is het beeld het snijpunt van

x en a.

Algemeen: de projectie van een rechte die niet evenwijdig is met de projectierichting is opnieuw

een rechte.

1.1.5Beeldvaneenvlakkefiguur

om een vlakke figuur te projecteren op een rechte, projecteer je eigenlijk elk punt van die figuur

op die rechte.

Voorbeelden:

a

Ab

C

B

A’ C’

P Q

S R

S’ Q’ U’T’

c

T

UO

Besluit: het beeld van elke bovenstaande figuur is een lijnstuk gelegen op de projectieas a.

Proe

fexe

mpla

ar

12

1.1.6Behoudeigenschappen

Stelling:

De evenwijdige projectie behoudt de gelijke grootte van evenwijdige lijnstukken.

Gegeven: ab // CD, |ab| = |CD|

pba [ab] = [a'b']

pba [CD] = [C'D']

Te bewijzen: |a'b'| = |C'D'|

b

A

B

C

D

A’ B’

B’’

C’ D’

D’’

a

Bewijs: Construeer de lijnstukken [a'b''] // [ab] en [C'D''] // [CD] zodat de

parallellogrammen abb''a' en CDD"C' ontstaan.

In D a'b''b' en D C'D''D' geldt:

| A’Y | = | B’Y| (overeenkomstige hoeken bij a'b'' // C'D'' en snijlijn a)

4 |a'b''| = |C'D''| (|a'b''| = |ab| = |CD| = |C'D''|) ⇒ D a'b''b' ≅ D C'D''D'

| B’Y| = |D’Y| (overeenkomstige hoeken bij bb' // DD' en snijlijn a) L

overeenkomstige

zijden in congruente

driehoeken |a'b''| = |C'D''|

gevolg:

als evenwijdige rechten aan een snijlijn lijstukken met dezelfde lengte afsnijden, dan snijden

ze ook lijnstukken met dezelfde lengte af van elke andere snijlijn.

Figuur:

|ab| = |CD|

L�A

BC

D

A’ B’ C’ D’

A”

B”

C”

D”

|a'b'| = |C'D'|

L

|a''b''| = |C''D''|

Proe

fexe

mpla

ar

13

Deel 1 evenwijdige projectie en de stelling van Thales

1.1.7Deloodrechteprojectie

De loodrechte projectie is de projectie waarbijde projectierichting loodrecht staat op de projectieas.

a

A

B

C

S

P

Q

R

F G

G’F’Q’S’B’A’

b

We zeggen: de loodrechte van een punt X op de rechte a is het voetpunt X' van de loodlijn uit C op

a.

De orthogonale projectie is een bijzonder geval van de parallelprojectie.

bijgevolg bewaart elke orthogonale projectie de lengte van een lijnstuk als dit lijnstuk evenwijdig

is met de rechte waarop we projecteren.

X : XX : X X’

X’ met X’ en XX’a pa p

a ad

6

6

=g !

=

=a

a

__ii

loodrechte projectie

Proe

fexe

mpla

ar

14

1.1.8Verbandtussendelengtevaneenlijnstukendelengtevandeloodrechte

projectievanhetlijnstuk

Gegeven: b //\ a pa[ab] = [a'b']

[ab]cb

α

b

a

A

B

B”

B’A’

Te bewijzen: |a'b'| = |ab| · cos a

Bewijs: • Construeer ab" // a'b', noem BAB"\ • In D abb" geldt:

cos a = ABAB"

(definitie cos a in rechthoekige D abb")

• cos a = ABA’B’

(|ab"| = |a'b'| want dit zijn overstaande zijden in de rechthoek ab"b'a')

F cos a · |ab| = |a'b'| (beide leden vermenigvuldigen met |ab|)

Proe

fexe

mpla

ar

15

Deel 1 evenwijdige projectie en de stelling van Thales

1.2) StellingvanThales

1.2.1Instap

A

2,8 cm

3 cm

5,6 cm

6 cm

A’

B

C

B’ C’

op bovenstaande constructie merken we het volgende:

|ab| = 21|bC| en |a'b'| = 2

1|bC|

m.a.w. BCAB

= B’C’A’B’

= 21

We illusteren deze vaststelling met behulp van GeoGebra.

Proe

fexe

mpla

ar

16

stelling van Thales Stelling van thales:

De evenwijdige projectie behoudt de verhouding van de lengtes van evenwijdige lijstukken.

A

A’

B

B’

C

a b

C’

c

a b c' '

=BCAB

B’C’A’B’L

A

A’

B

B’

C

C’

a

b

Gegeven: aa' // bb' // CC'

Te bewijzen: BCAB

B’C’A’B’

=

Gegeven:

A

A’

B1

2

B’

Ca

p

bC’

C”A”

B”

Construeer door b de rechte p die evenwijdig is met b. Zo bekom je de punten a", b" en C".

|aW| = |CW| (verwisselende binnenhoeken) 4

hh

| 1BZ| = |B2Z| (overstaande hoeken)

⇒ D a"ba a D C"bC

⇒ C"B

A"BBCBA

B’C’ BCABA’B’

P= =

thales van milet

Thales van Milete leefde van ongeveer 624 tot 547 voor Christus aan de kust van Klein-Azië, wat

nu Turkije heet. Hij was bedreven handelaar die fortuin maakt met het verkopen van oliën. Door

dit beroep maakte hij vele reizen en maakte hij kennis met niet-Europese beschavingen zoals de

Egyptische farao's en de oosterse beschaving.

Op oudere leeftijd pas startte hij met zijn studie van de wetenschap en de filosofie. Thales bracht een

nieuwe manier van denken. Tot dan toe was wiskunde vooral van praktische aard, alleen het resultaat

telde. Thales gaf een verklaring!

Overstaande hoeken die gelijk zijn, gelijkbenige driehoeken die gelijke basishoeken hebben, een diameter die de cirkel in

twee gelijke delen verdeelt, het congruentiekenmerk HZH: het zijn allemaal voorbeelden van eigenschappen die aan hem

toegeschreven worden. Alleen over de "stelling van Thales" hebben geschiedkundigen geen zekerheid of die daadwerkelijk

van Thales afkomstig is.

Handig is de stelling wel, ze laat immers toe op de afstand tussen 2 schepen te vinden of de hoogte van een piramide…Proe

fexe

mpla

ar

17

Deel 1 evenwijdige projectie en de stelling van Thales

gevolg: Evenwijdige rechten bepalen op 2 snijdende rechten evenredige lijnstukken.

opmerking: In de formulering van de stelling van Thales staat " evenwijdige lijnstukken".

Volgende tekening maakt je duidelijk waarom dit niet opgaat bij niet-evenwijdige

lijnstukken.

A A’

B B’

S

a

b

cd

SB SB’SA’SA

=

a

b

X

YP

Q

X’ Y’ P’ Q’

PQXY

P’Q’X’Y’

!

want PQXY

= 1 omdat |XY| = |PQ|

en P’Q’X Y’’

≠ 1 omdat |X'Y'| ≠ |P'Q'|

1.2.2OmgekeerdestellingvanThales

als aa' // bb' en CBAC

C’B’A’C’

= dan is CC' // aa'.

Bewijs:

We bewijzen deze stelling in het geval dat C C [ab].

=

Bba

dc

a ba

c dc

+ +

=

Gegeven: aa' // bb'

CBAC

C’B’A’C’

=

Te bewijzen: CC' // aa'

Bewijs: Teken CD' // aa' (D' C [a'b'])

We kunnen nu de stlling van Thales toepassen.

Dus: CBAC

D’B’A’C’

=

L

C’B’A’C’

D’B’A’D’

=

L

A’C’ C’B’A’C’

A’D’A’D’

D’B’+ +=

L

A’B’A’C’

A’B’A’D’

=

L |a'C'| = |a'D'|

Dus: C' = D' en bijgevolg valt CD' samen met CC'.

Vermits wd CD' evenwijdig getekend hebben met aa' geldt ook: CC' // aa'Proe

fexe

mpla

ar

18

1.2.3ToepassingopdestellingvanThales

1.2.3.1Eengegevenlijnstukineengelijkaantaldelenverdelen

Voorbeeld: Verdeel het lijnstuk [ab] in drie gelijke delen.

Werkwijze: Constructie:

A B

A B

R

Q

P

A B

R

P

P' Q'''PP

PP

PP

PP

Construeer het lijnstuk [ab]

Teken een rechte door a die ab snijdt

en bepaal op deze rechte de punten

P, Q en R zodat |aP| = |PQ| = |QR|.

Gebruik je passer.

Verbind R met b en construeer de

evenwijdige met Rb door Q en P.

De punten P' en Q' verdelen het

lijnstuk [ab] nu in drie gelijke delen.

verklaring: PP' // QQ'

⇓ |aP'|

= |aP|

= 1 |P'Q'| |PQ|

⇓ |aP'| = |P'Q'|

op dezelfde wijze tonen we aan

dat |P'Q'| = |Q'b|

bijgevolg: |aP'| = |P'Q'| = |Q'b|

1.2.3.2Eenlijnstukverdelenin2lijnstukkendieevenredigzijnmet2gegeven

lijnstukken

A B

M

N

A B

M

N

X

m

A B

Voorbeeld: Verdeel het lijnstuk [ab] in 2 lijnstukken zodat XBAX

RSPQ

= .

A B

P Q

R S

Werkwijze: Constructie:

• Construeer [ab] en teken een rechte door a die ab snijdt.

• bepaal op deze snijlijn de punten M en N zodat |aM| = |PQ| en |MN| (1)Gebruik je passer!

• Verbind met b en teken de rechte m door M en evenwijdig met Nb.ab ∩ m = {X}

• Uit de stelling van Thales volgt nu dat

1( ) =MNAM

XBAX

RSPQ

XBRSP=Pr

oefe

xem

plaar

19

Deel 1 evenwijdige projectie en de stelling van Thales

1.2.3.3Devierdevenredigecontstrueren

–3–2

–10

12

3 a

0–1

–2–3

12

3 b

De stelling van Thales blijft natuurlijk

gelden als 0 de abscis is van het snijpunt

van de rechten a en b.

of: a

A||A'

b

B

C

B'C'

BCAB

B’C’A’B’

=

Er geldt ook:

ABAB

A’B’A’B’

BC B’C’+ +=

of:

ACAB

A’C’A’B’

=

besluit: Een evenwijdige aan een zijde van een driehoek bepaalt op de andere zijden

lijnstukken die evenredig zijn met die zijden.

1.2.3.4DestellingvanThalesenhetbehoudvandeijk

Van de hieronder afgebeelde piramide TabC wordt gevraagd om de onbekende hoogte x te berekenen.T

A’B’

C’

A

C

B

N

M x

3 cm

5 cm 4 cm

A N

T

A’ M

3 cm

5 cm

x-4

4 cm

x

naar vlakke situatie

het probleem begrijpen:

Ik moet de hoogte berekenen. hiervoor maak ik een vlakke voorstelling.

Ik herken Thales in de driehoek TNa.

Oplossing:

• In het vlak TaN geldt:

aN ⊥ TN

a'M ⊥ TN

⇒ aN // a'M

• Volgens de stelling van Thales bepalen de

evenwijdige rechten aN en a'M op de snijlijnen

Ta en TN evenredige lijnstukken.

Dus: A’ATA’

MNMT

=

B x

53

44–=

B 3 · 4 = 5 · (x – 4) B 12 = 5x – 20 B 5x = 32 B x = 5

32 = 6,4

Antwoord:

• De hoogte van de piramide TabC is dus 6,4 cm.

Controle:

klopt de evenredigheid? ,53

46 4 4–=Pr

oefe

xem

plaar

20

1.3) Samenvatting

• Je kent de betekenis van een evenwijdige projectie pba en weet wat bedoeld wordt met

projectierichting en projectieas. b

a

• Y

• X

• X'• M

|| M'

• Z

• Z'

• Y' •

pba (X) = X' als X Ç a

pb

a (X) = X' als X C a a is de projectieas

b is de projectierichting

• Je kunt het beeld bepalen van een lijnstuk, een rechte en een figuur door een evenwijdige projectie.

• Je kent de betekenis van de loodrechte projectie op een rechte.

a

b

• Y

• X

X'

• Z

Y'Z'

p⊥a (X) = X' als X Ç a

p⊥

a (X) = X' als X C a projectieas a en de projectierichting b

staan loodrecht op elkaar.

• Je kent de stelling van Thales

De evenwijdige projectie behoudt de

B’C’

A’

AC B

verhouding van evenwijdige lijnstukken.

BCAB

B’C’A B’’

=

• Je kent de omgekeerde stelling van Thales

als aa' // bb' en BCAB

B’C’A B’’

=

dan is CC' // aa'.

• Je kan de stelling van Thales en de omgekeerde stelling van Thales toepassen.

Proe

fexe

mpla

ar

1.4) Oefeningen

1 Bepaal de beelden van de punten X, Y, Z, m en N door p ba en door p ab.

a

b

X

YZ

N

M

2 Bepaal de beelden van de volgende figuren…

a

ba

b

a

b

b

a

D

GF

G

HE

A

B

C

DE

B

C

D

A

O

a … door pba c … door pb

a

b … door pab d … door pa

b

21

Deel 1 Hoeken

Proe

fexe

mpla

ar

3 Indien X' en Y' de projecties X en Y, teken dan de projectieas a en de projectierichting b in de

volgende gevallen.

a c

X

Y'

Y

X' X

Y' Y

X'

X

Y = Y'

X'

X

X' = Y'

Y b d

Y"

Y' = X"

Z'

ab

X'

Z"

4 gegeven: rechten a en b

p1 = pba p2 = pa

b

X' = p1(X) en X'' = p2(X) Y' = p1(Y) Y'' = p2(Y) Z' = p1(Z) Z'' = p2(Z) gevraagd: Teken de driehoek XYZ.

22

Proe

fexe

mpla

ar

5 gegeven zijn een parallellogram ABCD en een rechte op a.

bepaal een projectierichting b zodat de evenwijdige projectie de vier hoekpunten op a

a in vier verschillende punten b in drie verschillende c in twee verschillende

afbeeldt; punten afbeeldt; punten afbeeldt.

a

A B

CD

a

A B

CD

a

A B

CD

6 gegeven: zie figuur

pba ([XY]) = [X'Y']

gevraagd: Teken een lijnstuk [XY] zodat:

a |XY| = |X'Y'| c |XY| < |X'Y'|

b

a

X'Y'

b

a

X'Y'

b |XY| > |X'Y'| ★d |XY| = |X'Y'| en [XY] //\ [X'Y']

b

a

X'Y'

b

a

X'Y'

23

Deel 1 Hoeken

Proe

fexe

mpla

ar

24

7 gegeven: D abC

gevraagd: bepaal het beeld van D abC

a door paa

Cb b door pa

bCC

A

B

C

A

B

C

8 gegeven: DabC A

B

C

gevraagd: bepaal p⊥

ab (C), p ⊥

aC (b) en p⊥

bC (a).

9 vul volgende tabellen aan.

a aa'//bb'//CC' ★b aa'//CC'

A

B=B’C’

CA’

AB

A’ B’C’

C

|AB| |BC| |AC| |A'B'| |B'C'| |A'C'| |AB| |BC| |AC| |A'B'| |B'C'| |A'C'|

1 3 4 2 1 3 4 2

2 6 4 5 2 6 4 5

3 3 2 5 3 3 2 5

Proe

fexe

mpla

ar

25

Deel 1 evenwijdige projectie en de stelling van Thales

10 gegeven: a, b en C zijn collineair

a’, b’ en C’ zijn collineair

aa’ // bb’ // CC’

gevraagd: Maak telkens een passende tekening voor de volgende situaties:

a |ab| = 3 cm

|aC| = 4 cm

|a'b'| = 2 cm

b |bC| = 6 cm

|a'b'| = 4 cm

|b'C'| = 5 cm

c |bC| = 2 cm

|aC| = 1,5 cm

|a'C'| = 5 cm

Proe

fexe

mpla

ar

26

11 gegeven: trapezium abCD

gevraagd: |aP|

A

B

C

P

4D

5

7

12 In een trapezium ABCD (AB//CD) wordt een rechte getekend die [BC] snijdt in Q en [AD] in P.

In welke gevallen is PQ //AB?

A B

D C

|aP| |PD| |bQ| |QC|

a 3 4 4,5 6

b 9 6 10 7

c32

54 2

512

22 gegeven: trapezium abCD, EF // abE F

A B

CD

S

1,9

5,8

2,5

7,6 4,8 gevraagd: bereken |DS|, |aS| en |bF|.

Proe

fexe

mpla

ar

27

Deel 1 evenwijdige projectie en de stelling van Thales

14 gegeven: |ab| = 2,2 cm |bC| = 1,3 cm |CD| = 4,5 cm |a'b'| = 2,8 cm AA' // BB' // CC' // DD'

A

B

C

D

A'

B'C'

D'

gevraagd: Bepaal |B'C'| en |C'D'|

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

15 teken een lijnstuk [AB] van 12 cm. Bepaal P op [AB] zodat PBAP

= 35.

Proe

fexe

mpla

ar

28

16 het lijnstuk [AB] is gegeven met |AB| = 9 cm.

A

B

Bepaal het punt X op de rechte AB zodat

XBXA

25=

Bereken |XA| en |XB|. Zijn er meerdere oplossingen?

17 het lijnstuk [AB] is gegeven. Bepaal op AB de punten m, N en P zodat

a BMAB

= 43 b AN

AB = 4

3 c APBP

= 43

A

B

Proe

fexe

mpla

ar

29

Deel 1 evenwijdige projectie en de stelling van Thales

18 Als het snijpunt van 2 geijkte rechten a en b abscis 0 heeft voor beide rechten, dan zal elke rechte die twee punten met een zelfde abscis verbindt, evenwijdig zijn met de rechte door de punten met abscis 1.

maak een duidelijke tekening die deze uitspraak staaft.

19 a

Q

2,3

A

P

C

B

7,4 6,8

x

QP

A

C

B

x5

8

x+2

b

Proe

fexe

mpla

ar

30

20 a verdeel een lijnstuk [AB] van 8 cm in drie even lange delen.

b verdeel een lijnstuk [AB] van 13 cm in zeven even lange delen.

21 a teken een reële getallenas. Plaats daarop een ijk.

b Plaats op deze getallenas de punten met abscis , , , , .31

41

67

513

38– – 0

Proe

fexe

mpla

ar

31

Deel 1 evenwijdige projectie en de stelling van Thales

22 gegeven zijn drie lijnstukken:

|AB| = a cm

|CD| = b cm

A BC DE F

|EF| = c cm

a Construeer een lijnstuk [XY] met

|XY| = x cm en waarbij x de vierde

evenredige is tot a, b en c.

b Construeer een lijnstuk [ZU] met

|ZU| = z cm waarbij z de derde

evenredige is tot a en c.

A B

C

D’

P

A’ B’

C’

Dx

Q

T

4 cm

8 cm

6 cm

23 De hiernaast afgebeelde figuur is een afgeknotte piramide. Bereken de onbekende hoogte x = |PQ|.

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________

__________________________________________________________________________Proe

fexe

mpla

ar

32

24 De vloer van de hiernaast afgebeelde zolder is

een vierkant met zijde 4 m. De hoogte van de

4 m

h

zolder is 2 3 m. om een zolderkamertje te

maken brengt men een plafond aan op een

hoogte h van 23 3 m. Bereken de oppervlakte

van het plafond.

Proe

fexe

mpla

ar

33

Deel 1 evenwijdige projectie en de stelling van Thales

25 In een parallellogram ABCD verbindt men een hoekpunt

B met een punt E op de zijde [AD] zo dat AE AD41= .

A

B C

DE

F

het lijnstuk [BE] snijdt de diagonaal [AC] in een punt F.

De verhouding ACAF

is dan

a 81 b 6

1 c 51 d 1

4 e 2 2

1

(JWo 2003, 1ste ronde, oefening 19, © Junior Wiskunde olymiade vzw.)

__________________________________________________________________________

26 In een driehoek ABC is BW = 90°, |AB| = 15 cm en A

B C

|BC| = 30 cm. In deze driehoek wordt een vierkant

ingeschreven zoals in de figuur.

hoe lang is de zijde van dit vierkant?

a 8 cm b 9 cm c 10 cm d 11 cm e 12 cm

(JWo 2003, 2de ronde, oefening 7, © Junior Wiskunde olymiade vzw.)

__________________________________________________________________________

27 Driehoek ABC is rechthoekig in B en zijde [AB] heeft

lengte 3. Door een punt P op de zijde [AB] trekt men

A B

C

Q

P

S 2S

een rechte evenwijdig aan BC die [AC] snijdt in Q.

Als de oppervlakte van het trapezium PBCQ tweemaal

zo groot is als die van de driehoek PQA, hoe lang is dan [AP]?

a 1 b 2 c 3 d 2 e 5

(JWo 2002, 2de ronde, oefening 11, © Junior Wiskunde olymiade vzw.)

__________________________________________________________________________

28 In een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden 4 en 6,

construeert men een halve cirkel met middelpunt op de schuine

zijde en raken aan de rechthoekszijden.

Wat is de straal van deze cirkel?

a 2 b 2,4 c 2,5

d 3 e 3 13

2

(JWo 2003, 2de ronde, oefening 12, © Junior Wiskunde olymiade vzw.)

_________________________________________________

_________________________________________________Proe

fexe

mpla

ar

34

28 onderzoeksopdracht

onderzoek met bestaande wiskundesoftware of de volgende uitspraken waar zijn.

a Gegeven: a, b en c zijn rechten die door o gaan.

a, a' C a

b, b' C b

C, C' C c

Gevraagd: als ab // a'b' en bC // b'C', dan is aC // a'C'.

(Dit is een bijzonder geval van de stelling van Desurgues)

b Door het hoekpunt a van driehoek abC trekt men de rechte a die doorhet midden M van de

zwaartelijn bE gaat en bC snijdt in D.

Dan is |bC| = 21|DC|.

c Trekt men in een convexe vierhoek de diagonalen, dan zijn de zwaartepunten van de 4 drie-

hoeken die zo ontstaan de hoekpunten van een parallellogram.

d Teken de driehoek abC en noem Mhet midden van [aC], N het midden van [bM] n X het snij-

punt van aN en bC.

Teken door M de rechte a evenwijdig met aN en noem Y het snijpunt van a en bC.

[bC] wordt nu door X en Y in drie even lange delen verdeeld.

e De deellijn van een hoek van een driehoek verdeelt de overstaande zijde in stukken, die

evenredig zijn met de aangrenzende zijden van de driehoek.

f abCD is een parallellogram.

E is het midden van [ab] en F is het midden van [CD].

Wat kan je besluiten over de stukken waarin [bD] door EC en aF verdeeld wordt?

g De middens van de zijden van een willekeurige vierhoek zijn de punten van een parallello-

gram.

Proe

fexe

mpla

ar