PREDIKATENLOGICA

§0. Inleiding

Kwantoren

• (∀x) Universele kwantor

Voor elke x geldt dat …

• (∃x) Existentiële kwantor

Er bestaat een x zodat …

Voorbeelden:

(∀x) (Mens(x) → Sterfelijk(x))

¬ (∃x) (Mens(x) ∧ ¬ Sterfelijk(x))

Voorrangsregels

Kwantoren binden sterker dan ¬ ∧ ∨ → ↔.Voorbeeld:

(∃x) (Mens(x) ∧ Kanibaal(x)) heeft andere betekenis dan

(∃x) Mens(x) ∧ Kanibaal(x)

((∃x) Mens(x)) ∧ Kanibaal(x)

Gebonden en vrije variabelen

• Een variabele x (op een bepaalde plaats in een formule) heet gebonden indien ze voorkomt in het bereik van de kwantor (∀x) of (∃x) (of er deel van uitmaakt).

• Het bereik van een kwantor is de deelformule waarop de kwantor betrekking heeft. Dit is de kleinste deelformule die erop volgt.

• x is vrij (op een bepaalde plaats) indien niet gebonden.

Voorbeeld: blauw is vrij:

(∃x) Mens(x) ∧ Kanibaal(x)

Mens(x) → (∃y) {Sterfelijk(x) ∧Vader(y,x)}

Interpretaties

• Relatie-identifiers: bijvoorbeeld:Mens, Sterfelijk, Kanibaal, Vader, …

• Een formule zonder vrije variabelen krijgt een waarheidswaarde (waar of vals) van zodra men vastlegt over welke verzameling de variabelen lopen (universum) en wat men precies bedoelt met de relatie-identifiers. Deze data noemt men een interpretatie.

• Aan vrije variabelen moet men eerst waarden geven alvorens waarheidswaarde te bepalen.

Universums

Voorbeeld:

(∀x) {Mens(x) → (∃y) Vader(y,x)}• Universum = {nu levende wezens}

Dan is de formule vals.• Universum = {wezens die ooit geleefd hebben}

Dan is de formule waar.

AFSPRAAK: een universum is niet leeg.

TARSKI-WERELDEN

Een Tarski-wereld bestaat uit figuren op een schaakbord

• Minstens 1 figuur• 8x8 velden• Driehoek (Triangle)• Vierkant (Square)• Vijfhoek (Pentagon)• Groot, middelmatig of klein• Sommige figuren hebben een naam: a, b, …

(hoogstens één)

De wereld 111.wld

De relaties

• … is een driehoek• … is een vierkant• … is een vijfhoek• … is klein• … is middelmatig• … is groot• … is (strikt) kleiner dan …• … is (strikt) groter dan …

Triangle (…)

Square (…)

Pentagon (…)

Small (…)

Medium (…)

Large (…)

Smaller (… , …)

Larger (… , …)

De relaties (vervolg)

• … ligt links van …• … ligt rechts van …• … ligt voor …• … ligt achter …• … ligt tussen … en …

LeftOf (… , …)

RightOf (… ,…)

FrontOf (…, …)

BackOf (…,…)

Between (…, …, …)

De Tarski-wereld-pred-taal• Relatie-identifiers: Triangle, Square, Pentagon, Small,

Medium, Large, Smaller, Larger, LeftOf, RightOF, FrontOf, BackOf, Between.

• Constanten: a, b, …, q (namen voor sommige figuren).• Variabelen: x, y, z, …• Gelijkheidssymbool: =• Kwantoren en connectieven: ∀, ∃, ¬, ∧, ∨, →, ↔ Formules van de Tarski-Wereld-pred-taal.

Universum = {de figuren op het schaakbord}

Vertaaloefeningen

Vertaal de volgende uitspraak over Tarski-werelden naar de Tarski-wereld-pred-taal:

Geen enkele vijfhoek heeft iets achter zich liggen.

Geen enkele vijfhoek heeft iets achter zich liggen Oef 4 (1) demo1.utxt

1. ¬(∃x)(Pentagon(x) ∧ (∃y)BackOf(y,x))

2. (∀x)(Pentagon(x) → ¬(∃y)BackOf(y,x))

3. (∀x)(∀y)(Pentagon(x) → ¬BackOf(y,x))

4. ¬(∃x)(Pentagon(x) → (∃y)BackOf(y,x)) Foutief. Dit is vals in elke wereld met een niet-vijfhoek.

Geen enkele vijfhoek heeft iets achter zich liggen.

Maar laatste zin van vorige slide is vals in deze wereld.

Geen enkele vijfhoek heeft iets achter zich liggen (*)

(1) ¬(∃x)(Pentagon(x) ∧ (∃y)BackOf(y,x))

(2) ¬(∃x)(Pentagon(x) ∧ (∃y)FrontOf(x,y))

(1) is een trouwe vertaling van (*)

(2) is een vertaling van (*) die niet trouw is

A is een vertaling van (*)

asa

A en (*) hebben zelfde waarheidswaarde

in elke Tarski-Wereld

Hier is (*) een bewering over Tarski-werelden in het Nederlands, en A een zin van de Tarski-pred-taal.

Een vertaling is een trouwe vertaling asa

correctheid van de vertaling is onafhankelijk vanprecieze betekenis van de relaties envan hoe Tarski-werelden er uit zien.

Trouwe vertalingen zijn logisch equivalent.Je eigen vertaling moet logisch equivalent met docent!!

Vertaaloefening 2

Geef een trouwe vertaling naar de Tarski-pred-taal voor de volgende uitspraak:

Het aantal driehoeken die achter alle vierkanten liggen is hoogstens één.

Het aantal driehoeken die achter alle vierkanten liggen is hoogstens één.

1. ¬(∃x)(∃y){ x ≠ y ∧ Triangle(x) ∧ Triangle(y) ∧ (∀z)(Square(z) → BackOf(x,z) ∧ BackOf(y,z)) }

2. (∀x)(∀y){ [ Triangle(x) ∧ Triangle(y) ∧ (∀z)(Square(z) → BackOf(x,z)∧BackOf(y,z))] → x = y }

3. (∃x)(∀y){ [ Triangle(y) ∧ (∀z)(Square(z) → BackOf(y,z)) ] → y = x }

Examen juni 2005, demo2.utxt

Het aantal driehoeken die achter alle vierkanten liggen is hoogstens één.

3. (∃x)(∀y){ [ Triangle(y) ∧ (∀z)(Square(z) → BackOf(y,z)) ]

→ y = x }

4. (∃x)(∀y){ Triangle(y) → [ (∀z)(Square(z) → BackOf(y,z))

→ y = x ] }

5. (∃x)(∀y){ Triangle(y) → (∀z)[ (Square(z) ∧ BackOf(y,z))

→ y =x ] } Foutief: ↔ aantal driehoeken die achter een vierkant liggen is hoogstens één.

2 driehoeken en 0 vierkanten → 4 vals, 5 waar.

Construeer een Tarski-wereld waarin 4 waar en 5 vals. (bv. 111.wld)

Vervolg

Software: Tarski’s World in LogicPalet

• De tool kan nagaan of een zin al dan niet waar is in een gegeven Tarski-wereld.

• De tool kan nagaan of jouw vertaling logisch equivalent is met die van de docent. (Ask Spass)

• Oefeningen, bv: zoek wereld waarin een gegeven zin waar is. Je oplossing verifiëren!

• Variabelen x, y, z, u, v, w, r, s, t• Twee soorten bestanden: .wld .utxt

Demonstratie

• Open: Make TarskiWorld• Fig. verplaatsen en creëren /// bewerken /// size?• Waarheidswaarde• Open 111.wld• Open demo2.utxt• Exporteren. Copy-paste vanuit pdf.• Vertaaloefening 2• AskSpass

§1. Structuren

Een relatie op een verzameling D is een deelverzameling van

Dn = {(x1, x2, …, xn) | x1, x2, …, xn ∈ D}.n is het aantal argumenten van de relatie (n = 1, 2, 3, …).

Voorbeeld: De relatie …is vader van …, op de verzameling

D = { nu levende mensen }.

Wiskundig bekeken is dit {(x1, x2) ∈ D2 | x1 is vader van x2}.

Voor n = 1: relatie met 1 argument = een deelverzameling van D.

Structuren (vervolg)

Een structuur D D bestaat uit::• Een niet lege verzameling D (universum).• Een eindig aantal relaties op D.• Een eindig aantal functies van Dn naar D.• Een eindig aantal elementen van D (constanten).

Voorbeeld: • Universum D = { mensen die ooit geleefd hebben }• Relaties: … is ouder dan … , … is mannelijk• Functies: de vader van … , de moeder van …• Constanten: Madonna, BritneySignatuur: < 2,1;1,1;2 > (geeft aantal argumenten, en aantal constanten)

§2. Predikatenlogicatalen

Vertrekkende van een eindig aantal relatie-identifiers, functie-identifiers, en constante-identifiers vormen we een formele taal (een pred-taal).

Een identifier is een rij bestaande uit letters en cijfers die start met een letter.

Voorbeeld:• Relatie-identifiers:

– ouderDan (met 2 argumenten)– mannelijk (met 1 argument)

• Functie-identifiers:– vader (met 1 argument)– moeder (met 1 argument)

• Constante-identifiers:– MADONNA– BRITNEY

Signatuur: < 2,1;1,1;2 >

Termen

• De variabelen van onze taal zijn x, y, z, … of eender welke identifiers die geen relatie-, functie-, of constante-identifier zijn.

• De termen:– Elke variabele is een term.– Elke constante-identifier is een term.

– Als G een functie-identifier voorstelt met n argumenten, en als t1, t2, …, tn

termen zijn, dan is G(t1, t2, …, tn) ook een term. Ook voor [ ] { }.

Voorbeelden:– vader(moeder(Madonna))– moeder(moeder(x))

Formules en zinnen• Als P een relatie-identifier voorstelt met n argumenten, en als

t1, t2, …, tn termen zijn, dan is P(t1, t2, …, tn) een formule.

• Als t1 en t2 termen zijn, dan zijn t1 = t2 en t1 ≠ t2 formules.

• Als A en B formules zijn, dan zijn ook de volgenden formules:( A ∧ B ) ( A ∨ B ) ( A → B ) ( A ↔ B )¬ A Ook voor [ ] { }

• Als A een formule is en x een variabele dan zijn (∀x) A en (∃x) A ook formules.

• Een zin is een formule zonder vrije variabelen.

Voorbeeld: (∃x) { ouderDan[moeder(MADONNA), vader(moeder(x))] ∧ mannelijk(x) }

ASCII versus Unicode-syntax

• ASCII-karakters = karakters op Amerikaanse toetsenborden + enkele controle karakters.

• ∀ ∃ ∧ ∨ ¬ → ↔ ≠ zijn geen ASCII, maar wel Unicode karakters. Niet ondersteund door alle tekstverwerkers en email clients.

• Daarom ASCII-syntax:A x in plaats van (∀x), E x in plaats van (∃x)

/ \ \ / ~ -> <-> <>

§3. Interpretaties van pred-talen• Zij LL een pred-taal, bepaald door het geven van zijn

relatie-, functie- en constante-identifiers. • Zij DD een structuur met zelfde signatuur als LL.• Elke zin A van LL kan geinterpreteerd worden in DD op

voor de hand liggende wijze:• De relatie-identifiers interpreteren door de relaties van D.D.

• De functie-identifiers interpreteren door de functies van D.D.

• De constante-identifiers door de constanten van D.D.

• (∀y) … ‘voor elk object y in het universum van DD geldt …’

• (∃x) … ‘er bestaat een object y in het universum van DD zodat …’

• x = y steeds interpreteren door ‘ x is gelijk aan y ’

• Ofwel is A waar in DD, notatie D D ⊨A , ofwel vals: DD ⊭A.

Bedelingen • Zij D het universum van de structuur DD.• Een bedeling s voor DD is een functie

s: {variabelen} → D.• Zij B een formule van LL met vrije variabelen. • B is waar in DD onder de bedeling s, als B waar is

in DD nadat men de vrije variabelen vervangen heeft door wat de bedeling s er aan associeert.

• Notatie: DD,s ⊨B • Anders is B vals in DD onder de bedeling s.

Zeer belangrijke definities

• Zij A en B formules van een pred-taal LL.• A is logisch waar asa A waar is in elke structuur D D

(met zelfde signatuur als LL) onder elke bedeling voor DD. Notatie ⊨A

Dit betekent dat A waar is in elke interpretatie.

• A en B zijn logisch equivalent asa A ↔ B logisch waar is. Dit wil zeggen dat A en B dezelfde waarheidswaarde hebben in elke interpretatie.

• Een theorie in LL is een verzameling van zinnen van LL. Een model voor een theorie T is een structuur waarin de zinnen van T waar zijn.

Al dan niet logisch waar ???

1. (∀y){(∀x)R(x,y) → (∃x)R(x,y)} 2. (∃x)(∀y) x = y3. ¬(∃x)(∀y) x = y4. (∀x){Small(x) ∨ Medium(x) ∨ Large(x)}

5. (∃x){W(x) → (∀y)S(y)}

→ {(∀x)W(x) → (∀y)S(y)}6. {(∀x)W(x) → (∀y)S(y)}

→ (∃x){W(x) → (∀y)S(y)} Oplossing: Alleen 1,5,6 zijn logisch waar.

Deca-werelden

• Een DecaWorld is een structuur met– universum {1,2,…,N}, met 1 ≤ N ≤ 9,– hoogstens 4 relaties met 1 argument,– hoogstens 5 relaties met 2 argumenten,– hoogstens 1 relatie met 3 argumenten,– geen functies,– willekeurig aantal constanten.

• Software-tool: DecaWorld in LogicPalet!!!

Oefening

Zij A de zin: (∀x)(∃y){ (Triangle(y) ∧ Square(x)) → ((∀z)Triangle(z) ∧ (∀z)Square(z)) }

1. Is A waar in elke Tarski-wereld?Ja, want als er een niet-triangle ligt neem die dan voor y, else ¬Square.

2. Is A logisch waar? Nee, vals in Deca-wereld met: Triangle altijd waar, Square waar voor sommige

maar niet voor alle. Bv: Universum = {1,2}, Triangle = {1,2}, Square = {1}.

3. Geef een zin B met slechts 1 kwantor zodat:• B is waar in elke Tarski wereld,• A is een logisch gevolg van B.

Oplossing: Neem voor B: ¬(∃x){Triangle(x) ∧ Square(x)}.

§4. Logische Equivalenties

¬(∀x)A ↔ (∃x)¬A ¬(∃x)A ↔ (∀x)¬A

Doorschuiven kwantoren I

(∃x)(A ∨ B) ↔ (∃x)A ∨ (∃x)B(∀x)(A ∧ B) ↔ (∀x)A ∧ (∀x)B(∃x)(A → B) ↔ ((∀x)A → (∃x)B) kwantor klapt om

Bewijs (3): (∃x)(A → B) equiv (∃x)(¬A ∨ B) equiv(∃x)¬A ∨ (∃x)B equiv ¬(∀x)A ∨ (∃x)B equiv(∀x)A → (∃x)B

Doorschuiven kwantoren II

Zij S formule waarin x niet vrij voorkomt.Zij A(x) formule waarin x vrij mag voorkomen.

(∃x)S ↔ S , (∀x)S ↔ S(∃x)(A(x) ∧ S) ↔ ((∃x)A(x) ∧ S)(∀x)(A(x) ∨ S) ↔ ((∀x)A(x) ∨ S)(∀x)(A(x) → S) ↔ ((∃x)A(x) → S) kwantor klapt om

(∀x)(S → A(x)) ↔ (S → (∀x)A(x))

Verwisselen van kwantoren

Logisch waar :

(∀x)(∀y)A ↔ (∀y)(∀x)A(∃x)(∃y)A ↔ (∃y)(∃x)A(∃x)(∀y)A → (∀y)(∃x)ANiet logisch waar voor sommige formules A :

(∀y)(∃x)A → (∃x)(∀y)A bv. Voor A de formule x = y

Gebonden variabele van naam veranderen

Zij x,t variabelen, A(x) formule.

Zij A(t) bekomen uit A(x) door substitutie van t voor x. (Vrije voorkomens x vervangen door t)

Veronderstel: t komt niet voor in A(x). Dan:

(∃x)A(x) ↔ (∃t)A(t) (∀x)A(x) ↔ (∀t)A(t)

t mag niet voorkomen in A(x)

Want anders, bijvoorbeeld:

• Neem voor A(x): ¬x = t

Dan is (∃x)A(x)↔(∃t)A(t) de formule:

(∃x)¬x = t ↔ (∃t)¬t = t

• Neem voor A(x): (∀t) x = t Dan is (∃x)A(x)↔(∃t)A(t) de formule:

(∃x)(∀t) x = t ↔ (∃t)(∀t) t = t

Prenex normaalvorm

Rij kwantoren, gevolgd door een formule B zonder kwantoren, met geen buitenste haakjes

weggelaten in B.

(∀x)(∃y)(Square(x) → RightOf(x,y)) prenex

(∀x)Square(x) ∧ Larger(x,a) geen prenex

Eigenschap: Elke formule is logisch equi-valent met een prenex normaalvorm.

Werkwijze: zie cursustekst!!!

§5. OefeningenAl dan niet logisch waar

Notatie:Zij DD een structuur met signatuur <2,1>.Zij a,b elementen van het universum van DD.

Zij s een bedeling voor DD met s(v1) = a, s(v2) = b.In plaats van

DD, s ⊨ (∃v1)(P(v1,v2) ∧ R(v2))mogen we ook schrijven

DD ⊨ (∃v1)(P(v1,b) ∧ R(b)).Maak alle oefeningen van §5 in de cursustekst!!!

§6. Logische gevolgen

• Zij T een verzameling zinnen en B een zin.• Definitie: B is een logisch gevolg van T asa B waar is

in elke structuur waarin alle zinnen van T waar zijn.• Zij T = {A1 , A2 , A3 , …, An}, dan geldt:

B is een logisch gevolg van Tasa

⊨ A1∧ A2 ∧…∧ An → B

Maak alle oefeningen van §6 in de cursustekst!!!

Logische gevolgen: motivatie

1. Britney is een ster.

2. Elke ster heeft talent of heeft een slimme manager.

3. Elke ster haat minstens één knappe ster zonder talent.

4. Christina haat alle sterren die een jaloerse manager hebben.

5. Slimme managers van knappe sterren zijn altijd jaloers.

6. Britney en Christina haten beiden een zelfde ster.

Is (6) een logisch gevolg van (1),(2),…,(5) ?

Vertalen naar pred-taal

ster(Britney)(∀x)(ster(x) → talent(x) ∨ (∃y)(manager(y,x) ∧ slim(y)))(∀x)(ster(x) → (∃y)(haat(x,y) ∧ ster(y) ∧ ¬talent(y) ∧ knap(y)))(∀x)(ster(x) ∧ (∃y)(manager(y,x) ∧ jaloers(y)) → haat(Christina,x))(∀x)((∃y)(manager(x,y) ∧ ster(y) ∧ knap(y) ∧ slim(x)) →

jaloers(x))(∃x)(ster(x) ∧ haat(Britney,x) ∧ haat(Christina,x))

Zo kan een computer dit probleem behandelen!

Toepassing: deductieve databanken.

§7. De Peano Axioma’s• LL+. is de pred-taal met 2 functie-identifiers PLUS en MAAL met

elk 2 argumenten, en 2 constante-identifiers ZERO en ONE. We kunnen in deze taal over ℕ spreken.

• PA is de verzameling der Peano axioma’s. Dit zijn zinnen van LL+. die de meest fundamentele eigenschappen van ℕ weergeven:

• Commutativiteit en associativiteit van + en •

• (∀x) 0+x = x , (∀x) 1 • x = x

• Distrubitiviteit van • ten op zichte van + (zin 3 in cursustekst).

• (∀x)(∀y)(∀z) ( x + y = x + z → y = z ) , (∀x) x + 1 ≠ 0

• Principe van de inductie (zie cursustekst).

• Alle klassieke eigenschappen van ℕ zijn logisch gevolg van PA.

§8. Waarheidsbomen: doel

Zij A1 , A2 , A3 , …, An , B zinnen.

Doel: aantonen dat B een logisch gevolg is van A1 ,…,An.Werkwijze: Bewijs uit ongerijmde:• Hypothesen: {A1 , A2 , A3 , …, An , ¬B} = Σ

• Gevolgtrekkingen maken. (Strikte regels.)• Gevalsonderscheidingen maken.• Totdat je contradictie bekomt in elk geval. Zo ontstaat een boom: De gevalsonderscheidingenleveren de takken van de boom.

Waarheidsbomen: voorbeeld A

Dus (¬2) is logisch gevolg van (1)

Waarheidsbomen: Definitie

Zij Σ een verzameling zinnen, bijvoorbeeld:

Σ = {A1 , A2 , A3 , …, An , ¬B}. Een waarheidsboom voor Σ is een boom

waarbij aan elk knooppunt een zin geassociëerd is, en die opgebouwd is door toepassing van een aantal regels.

De zinnen mogen nieuwe constante-identifiers bevatten die niet voorkomen in L.

WB-regels

• De regels laten toe om aan het uiteinde van een tak een nieuwe zin toe te voegen.

• Die nieuwe zin is dan een gevolgtrekking uit sommige zinnen in die tak.

WB1: Hypothesen

• Elke zin van Σ mag toegevoegd worden.• We spreken af dit eerst te doen, vooralleer

we andere regels toepassen (indien Σ eindig is).

WB2: Tautologisch gevolg

• Zin C toevoegen aan uiteinde tak, indien C tautologisch gevolg is van zinnen in die tak.– Een tautologisch gevolg is een logisch gevolg dat

alleen maar gebaseerd is op propositielogica.– Voorbeelden:

• B volgt uit: A , A → B beta-regel• A , ¬B volgen uit: ¬(A → B) alfa-regel• A , B volgen uit: A /\ B alfa-regel• B volgt uit A \/ B , ¬A beta-regel

WB3: PB-regel

Principe van de bi-valentie: gevalsonderscheiding.

Een tak splitsen door toevoeging van

• zin A (rechtertak)

• zin ¬A (linkertak)

Waarheidsbomen: voorbeeld A

Dus (¬2) is logisch gevolg van (1)

WB4: ∃-eliminatie (delta-regel)

• Indien (∃x)A(x) voorkomt in een tak, dan mag men aan die tak toevoegen A(c).

• Indien ¬(∀x)A(x) voorkomt in een tak, dan mag men aan die tak toevoegen ¬A(c).– c is een nieuwe constante-identifier.– A(c) bekomen uit A(x) door substitutie van c

voor x.

WB5: ∀-eliminatie (gamma-regel)

• Indien (∀x)A(x) voorkomt in een tak, dan mag men aan die tak toevoegen A(t).

• Indien ¬(∃x)A(x) voorkomt in een tak, dan mag men aan die tak toevoegen ¬A(t).– t is een willekeurige term zonder variabelen.– A(t) bekomen uit A(x) door substitutie van t

voor x.

Waarheidsbomen: voorbeeld B

Dus (¬2) is logisch gevolg van (1)

WB6: Gelijkheidsregels

Zij t1 en t2 termen zonder variabelen.

1. Dan mag men t1 = t1 toevoegen aan uiteinde van een tak.

2. Indien de zinnen t1 = t2 en A(t1) voorkomen in een tak, dan mag men A(t2) toevoegen aan uiteinde van die tak.

Sluiten van takken

• Een tak is gesloten indien er een contradictie in voorkomt: een zin A en ook ¬A.

• Dan plaatsen we een kruisje onderaan de tak.• Indien er een waarheidsboom voor

Σ = {A1 , A2 , A3 , …, An , ¬B} bestaat waarvan alle takken gesloten zijn dan

is B een logisch gevolg van A1 , A2 ,…, An .• Die waarheidsboom noemt men dan een

WB-bewijs.

WB-bewijzen

Zij T een verzameling zinnen en zij B een zin.Indien er een waarheidsboom voor

T {¬B}bestaat waarvan alle takken gesloten zijn, dan is B een logisch gevolg van T.

Die boom noemt men een WB-bewijs voor Buit T.

Volledigheidsstelling

Indien B een logisch gevolg is van T, dan bestaat

er een WB-bewijs voor B uit T.

Gevolg: De predikatenlogica is semi-beslisbaar.Zie cursustekst voor meer uitleg!!!

Stelling van Church (1936): De predikatenlogica is niet beslisbaar!

Zie cursustekst voor meer uitleg!!!

Opmerking over de WB-regels• Indien alle zinnen van de oorspronkelijke tak waar

zijn in een bepaalde structuur, dan is de toegevoegde zin ook waar in die structuur, mits men de nieuwe constante-identifier interpreteert door een gepast element van het universum.

• Dit geldt voor alle WB-regels, behalve PB.• Dus als Σ een model heeft, dan heeft minstens één

tak een model.• Dus als elke tak van een bepaalde waarheidsboom

voor Σ gesloten is, dan heeft Σ geen model.

Logische gevolgen en bestaan van modelllen

Zij T een verzameling zinnen van L.

Zij B een zin van L.

B is een logisch gevolg van T

asa

T {¬B} heeft geen model.

WinKE-waarheidsbomenAlleen maar de volgende tautologische gevolgen:

Dubbele negatie: ¬¬A ⇛ A

Alfa-regel: A ∧ B ⇛ A , B

¬(A ∨ B) ⇛ ¬A , ¬B

¬(A → B) ⇛ A , ¬B

Beta-regel: (A ∨ B) , ¬B ⇛ A

¬(A ∧ B) , B ⇛ ¬A

A → B , A ⇛ B

A → B , ¬B ⇛ ¬A

WinKE-waarheidsbomen: eta-regel

Eta-regel:

A ↔ B , A ⇛ B

A ↔ B , ¬A ⇛ ¬B

¬(A ↔ B) , A ⇛ ¬B

¬(A ↔ B) , ¬A ⇛ B

Dit geeft WinKE-bewijzen!

Software-tool WinKE

Waarheidsbomen: voorbeeld 1

Waarheidsbomen: voorbeeld 1+

Waarheidsbomen: voorbeeld 2

Voor Σ = { ¬( (∀x)W(x) ↔ (∀y)W(y) ) }

Waarheidsbomen: voorbeeld 3 Oefl.316

Σ = {(1),(2),(3)}