April 19, 2023

Numerieke modellen voor water kwaliteit model

Presentatie literatuurstudie

als onderdeel van afstudeerwerk bij Deltares

Adilson Morais

April 19, 2023

Water kwaliteit in de praktijk

April 19, 2023

Inhoud

• Waterkwaliteit model

• Probleembeschrijvingen

• Eindige Volume Methode

• Huidige oplosmethoden

• Nieuwe methoden

• Conclusie

• Vervolg

April 19, 2023

Waterkwaliteit model

Waterkwaliteit bepaald door concentratie van stoffenIn water vinden allerlei processen tussen stoffen plaats

Voorbeelden van stoffen in water- Algen- Bacteriën - Nutriënten (voedingsstoffen)- Zoutgehalte

Voorbeelden van waterkwaliteitsprocessen- Sedimentatie- Absorptie- Groei en verval

April 19, 2023

Waterkwaliteit model

Waterkwaliteit modelleren door verandering in concentratie door

- Transport van stoffen

- Waterkwaliteit processen (fysisch, chemisch, biologisch) op stoffen

- Bronnen/Lozingen

Advectie-diffusie-reactie vergelijking

/

( ) ( ) ( , ) ( )BronnenDiffusie Advectie waterkwaliteitLozingenterm term processen

transportprocesse

R

n

cD c u c f c t S t

t

April 19, 2023

Probleembeschrijvingen

1. Tijdsafhankelijke situatie

ProbleemNumerieke modellen kosten veel rekentijd om tot nauwkeurig oplossing te komen

- Plaatsdiscretisatie

Lage orde schema: kost weinig rekentijd maar onnauwkeurig Hoge orde schema: nauwkeurig maar kost meer rekentijd

- Tijdsdiscretisatie

Expliciete schema: oplossen van lineair stelsel maar gebruik van kleine tijdstappen. Gevolg van stabiliteitseis

April 19, 2023

1.Tijdsafhankelijke situatie

- Tijdsdiscretisatie (vervolg)

CFL conditie:

Impliciete schema: gebruik van grote tijdstappen maar oplossen van niet-lineair stelsel

Afweging maken

DoelHet efficiënt+nauwkeurig oplossen van water kwaliteit model

2

2

xt

u x D

April 19, 2023

Probleembeschrijvingen

2. Stationaire situatie

Probleem

Lineaire en onafhankelijke Waterkwaliteitsprocessen (WKP) vormen geen probleem

WKP zijn echter niet-lineair en afhankelijk van meerdere stoffen

Oplossen van stationaire oplossing in laatste geval tijdrovend

Doel

Waterkwaliteitsprocessen impliciet benaderen om tot een efficiëntere oplosmethode te komen

( ) ( ) ( )RD c u c f c

April 19, 2023

Eindige Volume Methode

Continu model discreet model

Discretiseren van WQM m.b.v. FVM

1. Domein onderverdelen in disjuncte volume cellen V

2. Integratie toepassen per volume cel, waarbij toestandsvariabele en coëfficiënten uitgedrukt in gemiddeldes

1( , )

| |

1( , )

| |

i

i

ii V

ii V

c c x t dVV

p p x t dVV

1( , )

| |

1( , )

| |

ij

ij

ijij

ijij

c c x t d

u u x t d

April 19, 2023

Eindige Volume Methode

Afwijkingen voor concentratie en snelheid

Dit resulteert in

ˆ ( , ) ( , ) ,

ˆ ( , ) ( , ) ,

ij ij

ij ij

c x t c x t c

u x t u x t u

ij

ij

x

x

| |ˆ ˆ[ ( ) | | ] | |

iji Turbulente

diffusi

i iij ij ij ij ij ij ij i

e

J

m

ij

ter

d V c cD c u n d c u n V p

dt n

April 19, 2023

Huidige oplosmethoden: tijdsafhankelijk

Tijdens oplosprocedure levert advectie term problemen op i.v.m. steilegradiënten

Bestuderen van 1D homogene advectie vergelijking met homogene randvoorwaarden

Discretisatie van advectie vergelijking in tijd en ruimte gepresenteerd in conservatieve vorm

Met fluxapproximatie langs celrand

0c c

ut x

11/2 1/2( )n n n n

i i i i

tc c F F

x

nijF

April 19, 2023

Huidige oplosmethoden: tijdsafhankelijk

Eenvoudige flux-approximaties

Upwind voor u > 0

waarbij j = i+1

Lax-Wendroff voor u ≠ 0

waarbij j = i+1

n nij iF uc

21 1( ) ( )

2 2n n n n nij i j j i

tF u c c u c c

x

April 19, 2023

Huidige oplosmethoden: tijdsafhankelijk

Resultaten voor 1D voorbeeld

Upwind Lax-Wendroff

Voordelen: monotoon, positief Voordeel: geen diffusieNadeel: diffusie Nadelen: oscillaties, negatieve waarden

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 100

0.5

1

1.5

Exact

Upwind at T = 1

Upwind at T = 5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

Exact

LW at T = 1

LW at T = 5

April 19, 2023

Huidige oplosmethoden: tijdsafhankelijk

Betere approximatie voor de flux door combinatie van pluspunten

Pluspunten combineren d.m.v. flux-limiter

Flux-limiter methode gedefinieerd als

Zoveel mogelijk hoge orde, waar nodig lage orde

Hoe limiter te bepalen?

lim /

( , ) ( ( , ) ( , ))n n n n n n n nij L i j ij H i j L i

iter anti diffusie fluxcorrect

j

ie

F F c c l F c c F c c

nijl

April 19, 2023

Huidige oplosmethoden: tijdsafhankelijk

Limiter bepalen d.m.v. Flux Corrected Transport (FCT) methode

van Boris & Book.

FCT algoritme geherformuleerd door Zalesak:

1. Eerste orde benadering bepalen voor

2. Fluxcorrectie(anti-diffusie) bepalen

3. Bepalen van limiter met

4. Updaten van de oplossing

Gewenste resultaat monotone + minder diffusieve oplossing

1nic

0 1nijl

1ˆnic

April 19, 2023

Huidige oplosmethoden: tijdsafhankelijk

Locale theta methode

Tijdsdiscretisatie d.m.v. theta methode waarbij θ lokaal per flux

Methode voor 1D homogene advectie vergelijking luidt

θ zo klein mogelijk nemen om numerieke diffusie te verminderenmaar groot genoeg om stabiel, positief en niet-oscillatief te zijn

Combinatie met FCT methode locale theta FCT methodeGevolg: grotere reductie van numerieke diffusie

11 1 1 1 1 1

1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2 1/2| | [((1 ) ) ((1 ) )]n n

n n n n n n n ni ii i i i i i i i i

c cV F F F F

t

April 19, 2023

Huidige oplosmethoden: stationair

Stationaire oplossing bepaald door tijdsafhankelijk probleem op te

lossen met t → ∞

Niet-lineaire WKP expliciet benaderd

Per tijdstap N x M iteraties:

Oplossen van LHS kost N iteraties

Betrekken van WQP kost M iteraties

=> Inefficiënt voor grote waarden N en M

( ) ( ) ( )niet lineairmeerderestof n

R

fe

cD c u c f c

t

April 19, 2023

Nieuwe methoden

1. Tijdsafhankelijke situatie

Iteratieve FCT flux-limiter van Kuzmin toepassen

2. Stationaire situatie

Inexacte Newton methoden toepassen

April 19, 2023

Nieuwe methoden

1. Tijdsafhankelijke situatie

Fluxlimiter van Boris & Book is expliciet

Fluxlimiter van Kuzmin is impliciet

VoordeelMogelijk winst te behalen in nauwkeurigheid door fluxlimiter impliciet te nemen

NadeelExtra rekentijd i.v.m. oplossen van extra niet-lineair stelsel

April 19, 2023

Nieuwe methoden

2. Stationaire situatie

Oplossen van niet-lineair tijdsonafhankelijk probleem

m.b.v. Inexacte Newton Methoden

1.Newton’s methode

2.Inexacte Newton methode

3.Globalized Inexact Newton

4.Globalized Projected Newton methode

( ) 0F x ( ) ( ) ( ) 0RD c u c f c

April 19, 2023

Nieuwe methoden

2. Stationaire situatie

Kenmerken Newton’s methode- Nulpunt bepaald d.m.v. lineairisatie

- Bij goede startwaarde kwadratische convergentie

Kenmerken Inexact Newton methode:- Gelineairiseerde vergelijking niet exact opgelost

- Convergentie afhankelijk van forcing term

|| ( ) '( ) || || ( ) ||,n n n n nF x F x s F x

1

( ) '( ) 0n n n

n n n

F x F x s

x x s

1.

2.

[0,1)n

April 19, 2023

Nieuwe methoden

2. Stationaire situatie

Kenmerken Globalized Inexact Newton methode

- Voldoende afnemende conditie voor niet-lineaire functie

ter voorkoming van divergentie

Kenmerken Globalized Projected Newton methode

- Oplossing geprojecteerd naar positieve kwadrant

|| ( ) || (1 (1 )) || ( ) ||,n n n nF x s t F x 0 1t

1 ( )n n nx P x s

April 19, 2023

Conclusie

Tijdsafhankelijke situatie

• FCT methode handig voor verminderen numerieke diffusie

• Lokale theta methode verhoogt nauwkeurigheid+efficiëntie

Stationaire situatie

• Expliciete benadering van complexe WQP simpel

maar tijdrovend

April 19, 2023

Vervolg

Voor tijdsafhankelijke situatie

• Implementeren van FCT methode van Kuzmin voor testproblemen

• FCT methode Kuzmin combineren met local-theta methode

Voor stationaire situatie

• Niet-lineaire WKP betrekken in INM

• WKP afhankelijk van meerdere stoffen betrekken in INM

Nieuwe methoden toepassen voor Eems Dollard gebied

April 19, 2023

Eems Dollard gebied