1 12 maart 2013

Wiskunde bij het modelleren van luchtverontreiniging

numerieke advectieschema's

2 Wislunde bij het modelleren van luchtverontreiniging | 12 maart 2013

Inhoud

numerieke advectieschema’s

tijdstappen t1, t2, … , tn

i-1 i+1i

i+1/2i-1/2

massa en transport in gridcellen

x

midden : xi

rand : xi+1/2

121

2/1 ixixi

x

concentratie c(x,t)

notatie: nicntixc ),(

Flux f

volume V= Δx Δy Δz, oppervlak S = Δy Δz (m3, m2)

massabehoud Sright

fleft

ft

M

concentratie c = M/V = M/(Δx Δy Δz) (g/m3)

flux f afspraak: outflow f > 0 g/(m2 s)

massa M (g)

Δx

Δy

ΔzS

Wiskunde bij het modelleren van luchtverontreiniging | 12 maart 2013

5

numerieke advectieschema’s

x

c

i+1i-1 i

numerieke advectieschema’s

massabehoud: Sright

fleft

ft

M

deel door volume V = Δx Δy Δz:

Euler forward: xi

fi

f

t

nic

nic

ΔΔ

2/12/1

1

<> : gemiddeld over interval [tn,tn+1]

xright

fleft

f

tc

Δ

Leonhard Euler, Institutionum calculi integralis, 1768–70

FluxFlux is evenredig met de windsnelheid u m/s

f = u c g/(m2 s)

21

2/12/1

nic

ni

cun

icu

if

centred

Veronderstel u constant en u > 0

evenredig met concentratie c g/m3

centred scheme (u > 0)

2/12/1

1i

fi

fxtn

icnic Δ

Δx

if

if

t

nic

nic

ΔΔ

2/12/1

1

2

111ni

cni

cxtun

icnic Δ

Δ

substitueer2

12/12/1

nic

ni

cun

icu

if

en2

12/12/1

ni

cnicun

icu

if

Courant number

x

tu

Δ

ΔCourant – Friedrich – Lewy number (CFL)

Courant, R.; Friedrichs, K.; Lewy, H. : "Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik", Mathematische Annalen 100 (1): 32–74, 1928.

numerieke advectieschema’s● MATLAB centred differences ....

FluxFlux is evenredig met de windsnelheid u m/s

f = u c g/(m2 s)

21

2/12/1

nic

ni

cun

icu

if

centred

nicu

if

2/1upwind

Veronderstel u constant en u > 0

evenredig met concentratie c g/m3

upwind scheme (u > 0)

2/12/1

1i

fi

fxtn

icnic Δ

Δx

if

if

t

nic

nic

ΔΔ

2/12/1

1

nic

ni

cxtun

icnic 1

1ΔΔ

nicu

if

2/1substitueer n

icu

if

12/1 en

R. Courant, E. Isaacson, M. Rees: Comm. Pure Appl. Math. 5 (1952), 243

numerieke advectieschema’s● MATLAB upwind differences ....

Wiskunde bij het modelleren van luchtverontreiniging | 12 maart 2013

14

numerieke advectieschema’s

x

c

i+1i-1 i volgende tijstap:stof staat al klaar voor cel i+2 numerieke diffusie

Wiskunde bij het modelleren van luchtverontreiniging | 12 maart 2013

15

van Leer

x

c

i+1i-1 i

Bram van Leer: Towards the Ultimate Conservative Difference Scheme, J. of Computational Physics 23, 276-299 (1977)

MUSCL scheme (van Leer, 1977): c lineaire functie van x

want: c(x,t+Δt) = c(x-uΔt,t)

)2/1

,2/1

(,),(

ix

ixxixxn

inicntxc , helling

),2/1

(),2/1

( ti

xucti

xf

)(2/1 nttuixi

xniun

icu

Gemiddelde flux over [tn,tn+1]

)(2/1 2

1nttuxn

iunicu

if Δ

tuxniun

icu ΔΔ2

1

2

1

MUSCL scheme, slope

centred slope: Fromm

x

ni

cni

cni Δ2

11

upwind slope: Beam-Warming

x

ni

cni

cni Δ

1

downwind slope: Lax-Wendroff

x

ni

cni

cni Δ

1

numerieke advectieschema’s● MATLAB van Leer ....

numerieke advectieschema’s● monotoniciteit extra checks op c ≥ 0 en c ≤ max

– let op massabehoud!

● minder numerieke diffusie helling steiler maken rond lokale pieken

Chris J. Walcek: Minor flux adjustment near mixing ratio extremes for simplified yet highly accurate monotonic calculation of tracer advection, J. of Geophysical Research, vol. 105, pp. 9335-9348, 2000

numerieke advectieschema’s, Walcek

● 1D Test met 14 verschillende vormen en verschillende Courant nummers.

● verschillende "steepening factors" 1 < α < 2 voor upwind en downwind helling.

● optimale α bepaald (minimale RMS error)

numerieke advectieschema’s, Walcek

ieder punt:

gemiddelde α voor 14 vormen

witte lijn:

αdown als functie van CFL

zwarte lijn:

αup als functie van CFL

numerieke advectieschema’s● MATLAB Walcek ....