Werkgroep Dynamische modellen

Paul Drijvers en Elwin SavelsberghFreudenthal Instituut voor Didactiek van Wiskunde en

NatuurwetenschappenUniversiteit Utrecht

NWD13, 2 februari 2007, 14:00 – 15:00

Indeling

1. Dynamische modellen

2. Voorbeeld: een lekkende emmer

3. Hands-on met Powersim

4. Nabespreking

5. Reacties en discussie

1 Dynamische modellen

Grafische modelleer- omgevingen:• Powersim• Stella• Coach6• CoLab• …

Dynamische modellen:• Greep krijgen op

complexe dynamische verschijnselen …

• … die zich niet houden aan disciplinegrenzen…

• … om samenhang en feedback te begrijpen,

• theorie teontwikkelen• en verloop te voorspellen

Modelleren, een proces

Resultaten

Wiskundig model

Fysisch model

Formaliseren

Analyseren

InterpreterenVereenvoudigen

Probleem definiëren

Toetsen aan experiment

DoorrekenenSchatten

Intrigerend verschijnsel

Waarom gaat het smelten steeds sneller?

Dynamische modellen in wiskunde D

Dynamische modellen(80)

Dynamische modellen(80)

Schoolmodel

Samenwer-kingsmodel

Vervolg Dyn. Mod (40)

Visie op dynamische modellen bij wiskundeGrafisch modelleren is een middel om dynamisch gedrag te onderzoeken en geleidelijk tot een wiskundige beschrijving in de vorm van differentiaalvergelijkingen komen. Je kunt …

• … het gedrag en de interacties binnen een dynamisch systeem eerst kwalitatief benaderen;

• … vervolgens dat gedrag kwantificeren met wiskundige beschrijvingen in de vorm van differentievergelijkingen;

• … de discrete modellen doorrekenen met het grafisch modelleertool;• … door ´onder de motorkap´ van de simulatie te kijken inzicht krijgen

in de onderliggende (stelsels van) differentiaalvergelijkingen.

Deze didactische lijn wordt echter niet gedeeld door de vernieuwingscommissie wiskunde cTWO.

Visie op dynamische modellen in NLT• Het modelleren is een verdiepende en verbredende activiteit en een

overzichtelijke methode om naar relaties binnen complexe systemen te kijken.

• Computermodellen worden bij natuurwetenschappelijk onderzoek veel ingezet.

• Andere NLT-modules kunnen uitgaan van een bepaalde basisvaardigheid op het gebied van modelleren.

• Er zit veel wiskunde in de modelrelaties (evenredig /omgekeerd evenredig), wiskunde hoort ook bij NLT.

• NLT Modules (draft!) Dynamische modellen voor havo en vwo

Deze visie wordt gedeeld door de stuurgroep NLT

2 Voorbeeld: een lekkende emmer

• Instroom: 0,1 liter/seconde• Uitstroom:• r = 0,5 cm• Vmax = 10 liter

-> Demonstratie Powersim

Vr 20,19

Variabelen en symbolen in Powersim

niveauvariabele stroomvariabele

stroompijl relatiepijl constante

water_in_emmer

instroom

r_gat

uitstroom

Bron / put

3 Hands-on met Powersim

• Start Powersim (bureaublad)

• Optie 1: Bouw het model van de lekkende emmer na (par 2.2)

• Optie 2: Bouw het model voor twee gekoppelde reservoirs (par 2.4-2.5)

• Zie ook symboolpagina aan het einde

4 Nabespreking

stroom

doorsnede

niveauverschil

snelheid

Evenredigheidsconstante

water_links water_rechts

Zie Ubuis en Ubuis2

Van grafisch model naar differentiaalvergelijking (1)• Grafisch model en modelvergelijkingen

water_in_emmer

instroom

r_gat

uitstroom

water_in_emmer0-dt*uitstroom+dt*instroom

uitstroom0.19*r_gat^2*SQRT(water_in_emmer)

instroom1

r_gat0.5

Van grafisch model naar differentiaalvergelijking (2)

tuitstroominstroomtwttw )()()(

2( ) ( ) 1 0,19 ( )w t t w t r w tt

)()(' twdctw

5 Reacties en discussie

• Kan grafisch modelleren een geschikte opstap zijn naar het begrip differentiaalvergelijking?

• Is Powersim toegankelijk en motiverend?