Model-Model Matematis:Daftar Fungsi-Fungsi Esensial

Buku Rujukan

Proses Pemodelan

Permasalahan kehidupan nyata

Model matematis

Kesimpulan matematis

Prediksi kehidupan nyata

Model Linear

Fungsi linear adalah fungsi yang dapat dinyatakan ke dalam bentuk𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑚𝑚𝑥𝑥 + 𝑐𝑐

Grafik fungsi tersebut berupa garis dengan gradien 𝑚𝑚 dan memotong sumbu-y di 𝑐𝑐.

Latihan Soal

a. Ketika udara kering naik, udara tersebut akan mengembang dan menjadi dingin. Jika suhu di permukaan tanah adalah 20℃ dan suhu pada ketinggian 1 km adalah 10℃, nyatakan suhu 𝑇𝑇 (dalam ℃) sebagai fungsi terhadap ketinggian (dalam km), dengan mengasumsikan bahwa model linear berlaku untuk masalah ini.

b. Gambarlah grafik fungsi pada bagian a. Apa yang direpresentasikan gradiennya?

c. Berapakah suhu pada ketinggian 2,5 km?

Latihan Soal

Tabel berikut mendaftar tingkat karbondioksida dalam atmosfer, yang diukur dalam ppm dari 1980 sampai 2012. Gunakan data dalam tabel tersebut untuk menentukan model tingkat karbondioksida.Tahun 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996Tingkat CO2

338,7 341,2 344,4 347,2 351,5 354,2 356,3 358,6 362,4

Tahun 1998 2000 2002 2004 2006 2008 2010 2012Tingkat CO2

366,5 369,4 373,2 377,5 381,9 385,6 389,9 393,8

Polinomial

Fungsi 𝑃𝑃 disebut polinomial jika𝑃𝑃 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛 + 𝑎𝑎𝑛𝑛−1𝑥𝑥𝑛𝑛−1 + ⋯+ 𝑎𝑎2𝑥𝑥2 + 𝑎𝑎1𝑥𝑥 + 𝑎𝑎0

dimana 𝑛𝑛 adalah bilangan bulat tidak negatif dan 𝑎𝑎0, 𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, …, 𝑎𝑎𝑛𝑛adalah bilangan-bilangan real. Bilangan-bilangan 𝑎𝑎1, 𝑎𝑎2, …, 𝑎𝑎𝑛𝑛 yang disebut koefisien dan 𝑎𝑎0 disebut konstanta.

Latihan Soal

Sebuah bola dijatuhkan dari gedung dengan ketinggian 450 m, dan tingginya dicatat setiap 1 detik dalam tabel di bawah. Temukan model yang cocok untuk data tersebut untuk memprediksi kapan bola tersebut sampai di permukaan tanah.

Waktu (detik) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Tinggi (meter) 450 445 431 408 375 332 279 216 143 61

Fungsi Pangkat

Fungsi yang memiliki bentuk 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥𝑎𝑎, dimana 𝑎𝑎 konstanta disebut sebagai fungsi pangkat.Beberapa kasus fungsi ini adalah sebagai berikut.1. 𝑎𝑎 = 𝑛𝑛 dimana 𝑛𝑛 bilangan bulat positif.2. 𝑎𝑎 = ⁄1 𝑛𝑛 dimana 𝑛𝑛 bilangan bulat positif.3. 𝑎𝑎 = −1.

Fungsi Rasional

Fungsi rasional 𝑓𝑓 merupakan rasio dari dua polinomial:

𝑓𝑓 𝑥𝑥 =𝑃𝑃 𝑥𝑥𝑄𝑄 𝑥𝑥

dimana 𝑃𝑃 dan 𝑄𝑄 adalah polinomial.Domain fungsi ini memuat semua nilai 𝑥𝑥 sedemikian sehingga 𝑄𝑄 𝑥𝑥 ≠ 0.

Fungsi Aljabar

Suatu fungsi 𝑓𝑓 disebut sebagai fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibentuk dengan operasi-operasi aljabar yang dimulai dari polinomial.Contoh:

𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥2 − 1

𝑔𝑔 𝑥𝑥 =𝑥𝑥2 − 6𝑥𝑥 + 𝑥𝑥

+ 𝑥𝑥 − 1 3 𝑥𝑥 + 1

Fungsi Trigonometri

Fungsi-fungsi sinus dan cosinus memiliki domain −∞,∞ dan range selang tutup −1, 1 .

−1 ≤ sin 𝑥𝑥 ≤ 1 −1 ≤ cos 𝑥𝑥 ≤ 1Fungsi-fungsi sinus dan cosinus merupakan fungsi-fungsi periodik dengan periode 2𝜋𝜋.

sin 𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋 = sin 𝑥𝑥 cos 𝑥𝑥 + 2𝜋𝜋 = cos 𝑥𝑥

Latihan Soal

Tentukan domain fungsi berikut.

𝑓𝑓 𝑥𝑥 =1

1 − 2 cos 𝑥𝑥

Fungsi Eksponensial

Fungsi eksponensial adalah fungsi yang memiliki bentuk 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏𝑥𝑥 , dimana basis 𝑏𝑏 merupakan konstanta positif.

Fungsi Logaritma

Fungsi logaritma 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = log𝑏𝑏 𝑥𝑥, dimana basis 𝑏𝑏 merupakan konstanta positif, adalah fungsi invers dari fungsi eksponensial.

Latihan Soal

Klasifikasikan fungsi-fungsi berikut sesuai dengan jenis-jenis fungsi yang telah dibahas sebelumnya.(a) 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 10𝑥𝑥

(b) 𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥10

(c) ℎ 𝑥𝑥 = 1+𝑥𝑥1+ 𝑥𝑥

(c) 𝑢𝑢 𝑡𝑡 = 5𝑡𝑡4 − 3𝑡𝑡2 + 9

Latihan Soal (Lagi)Biaya berkendara sebuah mobil setiap bulannya bergantung pada jarak tempuh. Pada bulan Mei, Maria mengeluarkan biaya Rp380.000,00 untuk berkendara sejauh 480 km dan pada bulan Juni dia mengeluarkan biaya Rp 460.000,00 untuk berkendara sejauh 800 km.a. Nyatakan biaya berkendara bulanan 𝐵𝐵 sebagai fungsi terhadap jarak 𝑠𝑠,

dengan asumsi bahwa relasinya linear.b. Gunakan bagian a untuk memprediksi biaya berkendara sejauh 1.500 km

per bulan.c. Gambarlah grafik fungsi linear tersebut. Apa yang direpresentasikan

gradiennya?d. Apa yang direpresentasikan perpotongan grafik terhadap sumbu vertikal?e. Mengapa fungsi linear cocok sebagai model pada permasalahan ini?

#HaveANiceDay