LEVENSVERZEKERINGSWISKUNDE EN PENSIOENCALCULATIES Uitwerkingen
41
LEVENSVERZEKERINGSWISKUNDE EN PENSIOENCALCULATIES Uitwerkingen derde druk D.P.G. van As J. Klouwen L.J. van de Leur
Transcript of LEVENSVERZEKERINGSWISKUNDE EN PENSIOENCALCULATIES Uitwerkingen
LEVENSVERZEKERINGSWISKUNDE
EN PENSIOENCALCULATIES
Uitwerkingen
derde druk
D.P.G. van As
J. Klouwen
L.J. van de Leur
Deze docentenhandleiding hoort bij:
Titel: Levensverzekeringswiskunde en pensioencalculaties
Auteur: D.P.G. van As, J. Klouwen, L.J. van de Leur
Druk: 3e druk, 2012
Uitgegeven door: Sdu Uitgevers / Academic Service, Den Haag
ISBN: 978 90 395 2686 6
Copyright © 2012 Sdu Uitgevers / Academic Service
ISBN 978 90 395 2686 D
Hoewel deze docentenhandleiding met zeer veel zorg is samengesteld, aanvaarden auteur(s) noch
uitgever enige aansprakelijkheid voor schade ontstaan door eventuele fouten en/of onvolkomenheden
in deze handleiding.
1
Inhoud
Hoofdstuk 1 ................................................................................................................ 2
Hoofdstuk 2 ................................................................................................................ 4
Hoofdstuk 3 ................................................................................................................ 6
Hoofdstuk 4 ................................................................................................................ 8
Hoofdstuk 5 .............................................................................................................. 10
Hoofdstuk 6 .............................................................................................................. 13
Hoofdstuk 7 .............................................................................................................. 17
Hoofdstuk 8 .............................................................................................................. 19
Hoofdstuk 9 .............................................................................................................. 21
Hoofdstuk 10 ............................................................................................................ 23
Hoofdstuk 11 ............................................................................................................ 26
Gemengde opgaven .................................................................................................. 32
2
Alle geldbedragen zijn in euro’s
Hoofdstuk 1
1.1 t10 = t1·rn−1 = 3·29 = 1.536; 10
10
2 1s 3 3.069
2 1
−= ⋅ =
−
1.2 t5 = 9·t3 dus t5/t3 = 9 = r2 dus r = 3; t6 = t1·r5 dus t1 = t6/r5 = 486/35 = 2
10
10
3 1s 2 59.048
3 1
−= ⋅ =
−
1.3 EW = 20.000·1,0457 = 27.217,24
1.4 100.000 = K·1,07530 dus K = 11.422,10
1.5 CW = 40.000·1,082-10 = 18.188,10
1.6 EW1 = 50.000·1,0059120 = 101.285,43; EW2 = 51.000·1,07210 = 102.215,80
Het antwoord is dus spaarvorm 2.
1.7 1,017513 = 1,253 dus 25,3%
1.8 1,082 = (1+i)2/1,0212 dus (1+i)2 = 1,12792 dus 1 + i = 1,0620 dus i = 0,0620 (6,20%)
1.9 1,04 = (1+i)/1,03 dus 1+ i = 1,04·1,03 = 1,0712 dus 7,12%
1.10 a 1,0831/4 =1,02013 dus 2,01%
b 1,0831/52 = 1,00153 dus 0,153%
1.11 a 30 0,04
S = 15 0,0816
S want 1,042 = 1,0816
b 10 0,05
A = 20 0,0247
A
c 0,01015
d 1,234
1.12 EWpre =15
15 0,067
1,067 14.000 s 4.000 1,067 104.804,71
0,067
−× = × × =ɺɺ
1.13 EWpost =15
15 0,067
1,067 14.000 s 4.000 98.223,72
0,067
−× = × =
Is een factor 1,067 kleiner dan het antwoord bij 1.12
1.14 a 25 0,09
sɺɺ
b 75 × 21 0,053
s
c 60 × 30 0,3225
sɺɺ
1.15 CWpost =15
15 0,069
1 1,06920.000 a 20.000 183.314,43
0,069
−−× = × =
3
1.16 CWpre =12,51 1,059
4.000 1,059 72.420,471,059 1
−−× × =
−
1.17 a 20 0,105
a
b 895 × 144 0,02
aɺɺ
c 1 0,06
A × 15 0,1236
aɺɺ
1.18 80.000 = T 120 0,01
a× ⇒ T = 1.147,77
1.19 a Bereken eerst de maandgroeifactor: 1,0751/12 = 1,0060449…
CWpre = 458,5012 0,006
a× =ɺɺ
121 1,0060...458,50 1,0060 5.323,77
0,0060...
−−× …⋅ =
b De betreffende verzekeringsmaatschappij bespaart bij het betalen van jaarpremies op
administratiekosten. De tweede reden is dat er een kans bestaat dat de verzekerde in de loop
van het jaar komt te overlijden, bij maandelijkse premiebetaling loopt de maatschappij dan
premies mis.
1.20 CW = 15.000 + 79536 0,015
a× ×ɺɺ24 0,015
A 30.613,88=
4
Hoofdstuk 2
2.1 a Ks = 1
4020200.000 A× =
man
60
40
D200.000
D× =
15.444200.000 102.977
29.995× =
b Ks = 1
4020200.000 A× =
vrouw
60
40
D200.000
D× =
15.854200.000 104.917
30.222× =
c Vrouw heeft hogere overlevingskans, dus hogere ‘gemiddelde koopsom’.
d Kapitaalverzekering bij in leven zijn.
2.2 a Verzekeraar: AGIO; verzekerde: de vrouw van de heer Donner; verzekeringnemer: de heer
Donner; begunstigde: de vrouw van de heer Donner.
b 10p55 =65
55
0,9152=ℓ
ℓ
c Ks = 1
4510200.000 A× = 60
45
D70.000
D× = 42.807
2.3 a 65
k
k 55
D=
=∑ N55 − N66 = 361.201 – 186.120 = 175.083
b k
k 62
Dω
=
=∑ N62 = 242.064
2.4 a Nx – Nx+1 = Dx = 19.161. Zoek in GBM: x = 54
b Dx+4 + Nx+5 = Nx+4 = 545.368. Dan is x = 41
2.5 27.286 = 150.000 30 62
32
(1 i)−× + ×ℓ
ℓ. Dus 1+ i = 62
30
32
150.0001,055
27.286
×=
×
ℓ
ℓ, dus 5,5%
2.6 a Ks = 60 61 62
37
D D D80.000
D
+ +× = 60 63
37
N N80.000 111.011
D
−× =
b -23 24 2560 61 62
37 37 37
Ks 80.000 1,04 1,04 1,04 88.058− − = × × + × + × =
ℓ ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ
2.7 a ..
b Ks = 40.000 × (N61 − N66)/D21 = 51.552
2.8 Ks = 60 65
32
N N25.000 46.715
D
−× =
2.9 a Ks = 25.000× ä60 60
60
N25.000 381.640
D= × =
b Ks = 25.000× a60 61
60
N25.000 356.640
D= × =
2.10 a 62
42
N25.000 T T 343
D= × ⇒ =
5
b 62
43
N25.000 T T 333
D= × ⇒ =
2.11 xx
30
D21.941 85.000 D 10.487 x 69
D= × ⇒ = ⇒ =
2.12 a Bij in leven zijn van een nu 35-jarige vrouw zal over 25 jaar eenmalig een bedrag van €
250.000,- worden uitgekeerd en ieder daaropvolgend jaar wordt een bedrag van € 25.000,-
uitgekeerd, zolang de vrouw in leven is.
b Ks = 60 61
35 35
D N250.000 25.000 295.834
D D× + × =
6
Hoofdstuk 3
3.1 a 34 64
34
−=
ℓ ℓ
ℓ 64
34
1 0,1128− =ℓ
ℓ
b 34 64
34
0,0740−
=ℓ ℓ
ℓ
c 1
3430Ks 200.000 A= × = 34 64
34
M M 10.319 8.110200.000 200.000 12.271
D 36.003
− −× = × =
3.2 a 66 67
56
0,0086−
=ℓ ℓ
ℓ
b Ks = 54
54
54
M 8.4768.000 A 8.000 8.000 3.488
D 19.438× = × = × =
3.3 a Verzekeringnemer: mevrouw Van Essen; verzekerde: de man van mevrouw Van Essen.
b Ks = 29 45
29
M M250.000 2.902
D
−× =
c Alleen de man zal moeten worden gekeurd; het tot uitbetaling komen is alleen afhankelijk van
het overlijden van de man.
3.4 Toevoegen in tekst: premiebetaling tot 75e.
a Rekenrente is 3% i.p.v. 4%. Met Ks = CW P (beter op zijn plaats in hoofdstuk 5) volgt:
18
man
18 75j j
18 18
N NM8.000 P P 33,96
D D
−× = × ⇒ =
Dus premie per maand is Pm = 2,83 voor een 18-jarige man
Voor de leeftijden 38 en 58 is dit respectievelijk 6,10 en 18,10.
Voor een vrouw zijn de premies: 2,46, 6,41 en 15,63.
b De premies zijn allemaal lager dan die in de tabel, waarschijnlijk veroorzaakt door kosten (zie
hoofdstuk 7).
c Blijkbaar kan de verzekeraar, met dezelfde premiebetaling, deze verzekering aanbieden.
Wegens de gestegen levensverwachting zal de verzekeraar een gemiddeld langere spaartijd
hebben.
3.5 3430
Ks 165.0000 A= × ( )1 1
3430 3430165.000 A A= × + = 6434 64
34
M M D165.000
D
− +×
= 69.838
3.6 70
70
MU 4.500 U 6.458
D× = ⇒ =
3.7 a 5530 55 30
30 5530 55
M M D 50.000 D50.000 U U 103.658
D M M D
− + ×= × ⇒ = =
− +
7
b 30 55 55 30
30 30 5530 55
M M D 50.000 D50.000 U 2 U U 53.027
D D M M 2 D
− ×= × + × × ⇒ = =
− + ×bij overlijden
en 106.055 bij in leven zijn aan het eind van de looptijd.
3.8 a Verzekerde: de heer Meyer; begunstigden: (1) de 58-jarige vriend; (2) de erfgenamen van de
heer Meyer; verzekeringnemer: de heer Meyer; verzekeraar: ZLM.
b 1p62 = 62 63
62
0,0109−
=ℓ ℓ
ℓ
c 1 1 12 2 2
62 63 64
0,035 1 0,035 2 0,03562 62 62
d d dKs 150.000 A A A
= × × + × + ×
ℓ ℓ ℓ
0,5 1,5 2,562 63 63 64 64 65
62 62 62
150.000 1,035 1,035 1,035 5.079− − − − − −= × × + × + × =
ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ
3.9 1528 43 43
28 28
M M DKs 150.000 Ks 1,03 Ks 116.891
D D
−= × + × × ⇒ =
3.10 a Een eenmalige uitkering van € 15.000,- over precies 22 jaar aan nader te omschrijven
begunstigde(n), mits de man dan niet meer in leven is.
b Ks = 22 22 47
25
150.000 1,07 1,07 72− − × − × =
ℓ
ℓ
8
Hoofdstuk 4
4.1 a Verzekerden: de heer en mevrouw Nelissen; verzekeraar: Noordelijke Nederlanden;
Verzekeringnemer: de heer Nelissen; begunstigden: De heer en mevrouw Nelissen
b 1
34 34 20Ks 350.000 A= ×
man vrouw30 63 64
33 34
350.000 1,05 66.832−= × × × =ℓ ℓ
ℓ ℓ
4.2 man
43 404340 | 43
43 43 40
NNKs 45.000 a 45.000 57.436
D D
= × = × − =
ɺɺ
4.3 a Verzekerd lichaam: de 28-jarige man.
b man15
man 29 44
15 2815
28
N N1 1,03Ks 7.500 (a a ) 7.500 4.686
0,03 D
− −−= × − = × − =
4.4 man vrouw
56 5656 5625 31 31
31 31 31 31
NN NKs 80.000 |a 80.000 780.386
D D D
= × = × + − =
ɺɺ
4.5 a man vrouw
34 3134 30
34 30 34 31
NN NKs 60.000 2 236.335
D D D
= × + − × =
b Bedoeld wordt het weduwe- en weduwnaarspensioen.
c vrouw
34 3030
30 34 30
NNKs(WP) 60.000 177.967
D D
= × − =
man
34 3034
34 34 30
NNKs(WnP) 60.000 58.368
D D
= × − =
d De kans dat de vrouw als eerste komt te overlijden, is veel kleiner dan de kans dat de man als
eerste komt te overlijden. Ten tweede is de levensverwachting van de vrouw groter, zodat ze
naar verwachting langer van haar pensioen zal genieten dan de man.
4.6
( )1 m 1 v 1 1
41 39 41394139 25 25 25 25
m v66 6466 64
41 39 4139 42 40
55.000 X A 55.000 X A A A
DD D55.000 X 116.347
D D N N
= ⋅ ⇒ = ⋅ + − ⇒
= ⋅ + − = −
4.7 a Een op het moment van ingang 42-jarige man en een 38-jarige vrouw zullen, mits ze dan
beiden in leven zijn, na 20 jaar een bedrag van € 150.000,- ontvangen; daarnaast zal over 21
jaar, en daarna jaarlijks € 40.000,- worden uitgekeerd zolang ten minste een van beiden in
leven is.
b man vrouw
62 58 63 5963 59
42 38 42 38 42 38
D NN NKs 150.000 40.000 471.171
D D D D
= × + × + − =
9
4.8
20 | 45 40 45 | 40
v65 60 45 4040
45 40 46 41 40 45 40 46 41
Ks 55.000 a 35.000 a
N NNKs 55.000 35.000
N N D N N
1.393.913 729.234 5.094.701Ks 55.000 35.000
5.094.701 4.841.408 30.222 5.094.701 4.841.408
K
= ⋅ + ⋅ ⇒
= ⋅ + ⋅ − ⇒ − −
= ⋅ + ⋅ − ⇒ − −
ɺɺ ɺɺ
s 443.212=
4.9 a man vrouw
60 55
37 32
1
× − +
ℓ ℓ
ℓ ℓ
man vrouw
60 55
37 32
1 0,1027 − × =
ℓ ℓ
ℓ ℓ
of: man
60
37
+ℓ
ℓ
vrouw
55 60 55
32 37 32
2 0,1027×
− × =×
ℓ ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ
b man vrouw
60 5560 55
37 32 37 32
ND DKs 35.000 2 1.821
D D D
= × + − × =
4.10 man vrouw vrouw
1 30 man 158 59 59
28 29 30 28 30
28 29 29
A 1,03 =A−= × × ×ℓ ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ
4.11 a vrouw
30 3030
30 30 30
NNKs(WP) 25.000 55.496
D D
= × − =
b Als de man eerder overlijdt dan verwacht, leidt dat tot zogeheten sterfteverlies; als de vrouw
eerder overlijdt dan verwacht, leidt dat tot sterftewinst. Dat betekent dat alleen de man gekeurd
dient te worden.
c man
30 3030
30 30 30
NNKs(WP) 50.000 62.403
D D
= × − =
d De koopsommen zullen lager zijn, omdat de intrest waarmee wordt opgerent hoger is.
e .vrouw
30 30 65 6530 65
30 30 30
N NN NKs 50.000 ( 24.760)
D D
−−= × − =
.
10
Hoofdstuk 5
5.1 a man vrouw
60 6060 60
34 34 34 34
NN NKs 50.000 433.585
D D D
= × + − =
b Ks = CWpremies 34 60
j j j
34
N N433.585= P 18,16279... P P 23.872,14
D
−⇒ × = × ⇒ =
c Ks = CWpremies 34 60
j j j
34
N N433.585= P 17,88166... P P 24.247,44
D
−⇒ × = × ⇒ =
dus Pm = 24.247,44/12 = 2.020,62
5.2 Ks = CW P dus 5429 54 29 54
29 29
M M D N N250.000 P
D D
− + −× = ×
Hieruit volgt P = 6.810,87
5.3 a Verzekeringnemer: de heer Drewes; verzekerden: de heer en mevrouw Drewes;
begunstigde: mevrouw Drewes.
b
vrouw
3130 3130 56 5530
30 3130 3130
N N NN12 3.000 P P 4.900,51
D D D
− × × − = × ⇒ =
5.4
( )v
18 4 4118 40 4118
1840 41 58 5942 60
41 40 41
18
60.000 a a P a
N NN N1 1,0360.000 P
0,03 D D
1 1,03 669.696 273.221 6.262.031 2.202.06460000 P
0,03 29.316 295.443
P 1.001,29
−
−
⋅ − = ⋅ ⇒
− −−⋅ − = ⋅ ⇒
− − −⋅ − = ⋅ ⇒
=
ɺɺ
5.5 a 65 40 65m m
40 40
N ND40.000 12 P P 81,83
D D
−× = × × ⇒ =
b Als de vrouw eerder zou komen te overlijden dan verwacht, vallen de uitkeringen eerder weg
dan verwacht, wat voordeel (sterftewinst) voor de verzekeraar oplevert.
Als de man eerder zou komen te overlijden dan verwacht, dient er eerder te worden uitgekeerd
dan verwacht, wat nadeel (sterfteverlies) voor de verzekeraar oplevert.
Daarom dient de man wel, maar de vrouw niet te worden gekeurd.
c
vrouw
43 38 43 38 65 6038
38 41 38 43 38
N N N N50.000 P P 12.250,99
D D D
− × − = × ⇒ =
5.6 a 20q35 = 35 55
35
0,0337−
=ℓ ℓ
ℓ
b 35 55 35 55
35 35
M M N N1225.000 P P 337,34
D D1,03
− −× × = × ⇒ =
11
12
5.7 a
man vrouw
65 6065 60
25 20 25 20
NN N12 6.000 2
D D D
× × + − × =
man
25 65
25
N NP P 7.652,10
D
−× ⇒ =
b Hoger; de betaling van de jaarpremie wordt door middel van uitgestelde betalingen voldaan,
wat intrestverlies en hoger sterfterisico voor de verzekeraar oplevert.
c CW P is dan: man
25 25 x
25
N N3 7.652,10
D
+−× ×
Gelijkstellen aan de koopsom uit onderdeel a (178.357,93) levert: N25+x = 898.057. Opzoeken
in GBM levert: De volle premie moet dan gedurende 8 jaar betaald worden; het restant dient
(aan het begin van) het 9de jaar betaald te worden.
5.8 man vrouw
1060 70 45
60 60 35
N250.000 12.000 U 1,03 1 U 719.103
D
− = × + × × − × ⇒ =
ℓ ℓ
ℓ ℓ
13
Hoofdstuk 6
6.1 a 1 65
35 25
30
DKs 100.000 A 100.000 31.029
D= × = × =
b retro 303 30 3
33
DV 31.029 S 31.029 33.971
D= × = × =
c pro 653
33
DV 100.000 33.971
D= × =
d retro 65 65 333 30 3 30 3
30 33 30
D D DV 31.029 S 100.000 S 100.000
D D D= × = × × = × ×
pro653
30
D100.000 V
D= × =
6.2 30 65
25
M M 9297 752450.000 50.000 1870
D 47395
− −× = × =
6.3 a 65 30 55 65
30 30 30 55
N 24.000 NN N24.000 P P 5.263,90
D D N N
×−× = × ⇒ = =
−
b 0V = 0
c 65 40 5510
40 40
N N NV 24.000 5.236,90 62.458
D D
−= × − × =
65 50 5520
50 50
N N NV 24.000 5.236,90 148.469
D D
−= × − × =
6530
60
NV 24.000 245.517
D= × =
d ‘Doelvermogen’: 6535
65
NV 24.000 300.790
D= × =
e 7040
70
NV 24.000 246.255
D= × =
8050
80
NV 24.000 146.696
D= × =
f Grafiek:
14
6.4 - Het risico wordt naar verloop van tijd kleiner voor de verzekeraar.
- Vlak vóór de einddatum is er een kleinere kans op een uitkering, dus een kleinere
voorziening.
6.5 a 1 40
40 20
60
DS 1,94
D= =
Een inleg van € 1,- op 40-jarige leeftijd is € 1,94 waard na 20 jaar,
bij in leven zijn.
b € 3,19 is de uitkering bij in leven zijn op 43-jarige leeftijd bij 3 ingelegde termijnen van ieder
€ 1,- op respectievelijk 40-, 41- en 42-jarige leeftijd.
c 1/1
35 5S = 1/(D35/D40) = D40/D35 = 0,86
€1,- is de uitkering bij in leven zijn op 40-jarige leeftijd bij een inleg van € 0,86 op 35-jarige
leeftijd.
6.6 a 65 31 65
31 31
N N N50.000 P P 752,61
D D
−× = × ⇒ =
b 65 36 655
36 36
N N NV 50.000 752,61 4.124
D D
−= × − × =
c 655
36
NV 50.000 18.601
D= × =
d 34q31 = 65
31
1 0,1236− =ℓ
ℓ
6.7 a 60 35 55 60
35 35 35 55
N 20.000 NN N20.000 P P 9.942,86
D D N N
×−× = × ⇒ = =
−
b 60 45 55
10
45 45
N N NV 20.000 9.942,86 118.086
D D
−= × − × =
c 60 67 45 55
45 45
N N N N50.000 P 118.086 P 8.149,53
D D
− −× = × + ⇒ =
0
100000
200000
300000
400000
0 10 20 30 40 50 60
Vo
orz
ien
ing
t
15
d Ja; immers de premies blijven nagenoeg gelijk, terwijl de tijdstippen waarop de rentetermijnen
vervallen aar ‘voren’ worden gehaald, zodat wanneer de verzekerde een lagere
levensverwachting heeft dan de levensverwachting uitgaande van de sterftetabel, de kans op
sterfteverlies voor de verzekeringsmaatschappij ten gen gevolge van deze conversie groter
wordt.
6.8 a 56 28 65
28 28
N N N40.000 P P 15.844,46
D D
−× = × ⇒ =
b 56 43 6515
43 43
N N NV 40.000 15.844,46 306.057
D D
−= × − × =
c 56
43
N306.057 U U 27.569
D= × ⇒ =
d De grootte van de termijnen is groter dan in eerste instantie kan worden gedacht, omdat
premies betaald aan het begin van de verzekering ‘zwaarder’ wegen dan latere premies.
6.9 a 60
33
NKs 25.000 158.835
D= × = (GBM)
b Hoger; immers de kans dat de vrouw 60 jaar zal worden, is groter dan de kans dat de man 60
jaar zal worden, en eenmaal 60 geworden, zal het verwachte aantal rentetermijnen dat de
vrouw ontvangt, groter zijn dan het verwachte aantal van de man.
c Ja, want de uitkeringen zijn nu niet meer levenslang. Er is een grotere kans dat er meer
uitgekeerd dient te worden door de verzekeraar.
d 60 60 7510
43 43
N N NV 25.000 U U 33.999
D D
−= × = × ⇒ =
6.10 a 60
37
NKs 12.000 96.199
D= × =
b Hoger; het aantal jaren ‘te gaan’ is kleiner en de levensverwachting zal van een vrouw van 47
jaar hoger zijn en dus ook het verwachte aantal uit te keren termijnen.
c 60 50 60
50 50 50
N N N12.000 12 U U 1.000 584
D D N× = × × ⇒ = × =
6.11 a
vrouwman
40 41 40 41 55 5660 41
40 41 40 41 40 41
N N NNN150.000 30.000 P P 104.690
D D D D
− × + × − = × ⇒ =
b
vrouwman
50 51 50 51 55 5660 5110
50 51 50 51 50 51
N N NNNV 150.000 30.000 104.690 1.223.874
D D D D
− = × + × − − × =
c man
6010
50
NV 150.000 1.614.661
D= × =
d vrouw
5110
51
NV 30.000 619.764
D= × =
6.12 a 55 65
25
N NKs 10.000 34.152
D
−= × =
b Voor de verhoging T geldt: 55 65
35
N NT
D
−× = 35 55
35
N N500 T 1.648
D
−× ⇒ =
16
c Hoger; immers de levensverwachting van de man is lager dan die van een even oude vrouw,
zodat het verwachte aantal rentetermijnen kleiner is.
6.13 a 56 28 53
28 28
N N N15.000 P P 5.941,67
D D
−× = × ⇒ =
b 56 45 5317
45 45
N N NV 15.000 5.941,67 134.605
D D
−= × − × =
c 56 56 x17 56 x
45
N NV 15.000 N 73.006
D
++
−= × ⇒ =
Opzoeken in GBM2003-2008 geeft 17 < x < 18.
17
Hoofdstuk 7
7.1 63 43 6310
43 43
N NDV 150.000 12 285,76 24.939
D D
−= × − × × =
7.2 62
62
NV (12 2.500 12 35)
D= × + × × 62
62
N30.420 483.543
D= × =
7.3 a man vrouw
62 6462 645
39 41 39 41
NN NV 40.000 1,004 350.390
D D D
= × × + − =
b man vrouw
62 6462 6410
44 46 44 46
NN NV 40.000 1,004 407.226
D D D
= × × + − =
c man
6210
44
NV 40.000 1,004 311.270
D= × × =
d vrouw
6410
46
NV 40.000 1,004 340.479
D= × × =
7.4 a 61 40 50 50 60
40 40 40
N N N N N20.000 P 1,5 P P 9.325,96
D D D
− −× = × + × × ⇒ =
b 61 45 50 50 605
45 45 45
N N N N NV 20.000 9.325,96 1,5 9.325,96 51.186
D D D
− −= × − × + × × =
c 61 40 50 50 60
40 40 40
N N N N N(20.000 135) 375 0,975 BP 1,5
D D D
− −+ × + = × × + ×
(Hieruit volgt: BP = 9409,45)
d 61 45 50 50 605
45 45 45
N N N N NV 20.135 0,975 BP 1,5 ( 54.924)
D D D
− −= × − × × + × =
7.5 a 55 65
33
N NKs 20.000 1,0025 400 87.356
D
−= × × + =
b 55 655
38
N NV 20.000 1,0025 101.074
D
−= × × =
c Noem de verhoging van de uitkering T. Dan geldt:
55 65
43
N N50.000 T 1,0025 400 T 8.429
D
−= × × + ⇒ =
7.6 a vrouw22
21 43 21 42
20 20
N NN N1 1,0325.000 100 (12 BP 50) BP 11,14
0,03 D D
− − −−× − + = × − × ⇒ =
b vrouw14
29 43 28 428
28 28
N NN N1 1,03V 25.000 (12 11,14 50) 96
0,03 D D
− − −−= × − − × − × = −
c 14
8
1 1,03V 25.000 282.402
0,03
−−= × =
18
19
Hoofdstuk 8
8.1 Korting = �����
�� × 100% = 20%
8.2 Leeftijd deelnemer < pensioenleeftijd: pensioenaanspraak
Leeftijd deelnemer > pensioenleeftijd: pensioenrecht
8.3 Bij eindloonregelingen vindt correctie van de totale pensioenaanspraak plaats t.a.v. alle
voorafgaande jaren, dus de indexering is impliciet meegenomen in het laatstgenoten salaris.
8.4 Stel het aantal dienstjaren = n; nu moet gelden:
n × 1,75% × �63.500 − 15.000� = 30.555 ⟹ n = ��.����,��%×��.��� = 36 jaar
8.5a aangroei = 2% × �46.800 − 10.800� = 720 euro
b totale aanspraak per ultimo lopende jaar = 2350 + 720 = 3.070 euro
c totale aanspraak per ultimo lopende jaar = 1,02 × 2.350 + 720 = 3.117 euro
(indexering bedraagt 2% van 2.350 ofwel 47 euro)
8.6 Pensioenbreuk = 14,5 × 1,75% × 2.000 = 507,5 euro
8.7a Pensioengrondslag vorig jaar bedraagt 62.300 – 10.800 = 51.500
Opbouw per ultimo vorig jaar = 4.000 × 1,016 + 2,2% × 51.500 = 5.197 euro
b aangroei = 2,2% × �65.000 − 11.000� = 1188 euro
c aanspraak = recht = 5.197 + 1.188 + �66 − 39� × 1.188 = 38.461 euro
d aanspraak = 7 × 1,75% × 51.500 = 6.309 euro
e aangroei = 8 × 1,75% × �65.000 − 11.000� − 6.309 = 1.251 euro
8.8a waardevast: indexeren met prijsindex (corrigeren voor inflatie)
welvaartsvast: indexeren met loonindex voor lonen uit de betreffende sector
b aangroei = 2,1% × �41.000 − 11.000� + 2% × 4.500 = 720 euro
c aangroei = 11 × 1,80% × �41.000 − 13.000� − 4.500 = 1.044 euro
d backservice = 11 × 1,80% × �43.000 − 41.000� = 396 euro
e backservice = 11 × 1,80% × �43.000 − 41.000 − 300� = 337 euro
(Het verschil van de grondslagen is nu 300 euro kleiner dan bij d.)
8.9a pensioengrondslag vorig jaar: 51.700 – 11.400 = 40.300
uitgaande van gelijkblijvende pensioengrondslag in het lopende jaar zou de maximaal op te
bouwen aanspraak van N. gelijk zijn aan:
14.200 + 13 × 2% × 40.300 = 24.678 dus WP = 70% × 24.678 = 17.275 euro
(merk op dat geen rekening wordt gehouden met indexering)
b In het geval van echtscheiding wordt alleen de periode geteld tot aan de echtscheiding van N.
en P. dus: WP = 70% × 14.200 = 9.940 euro
c in beide gevallen met onmiddellijke ingang en in principe levenslang WP
8.10a Stel PG = pensioengrondslag, dan moet gelden:
18 × 1,75% × PG = 14.553 ⇒ PG = 46.200 euro
b Maximaal haalbaar OP = 37 × 1,75% × 46.200 = 29.914,5 ⇒
WnP = 70% × 29.914,5 = 20.940 euro
c Q. is deelnemer in de regeling van PFQ, dus R. is vereveningsgerechtigde echtgenoot
d bijzonder NP wordt uitgekeerd aan ex-partner van een deelnemer aan een pensioenregeling
vanaf het moment van overlijden van die deelnemer
e bijzonder NP = 70% × 18 × 1,75% × 46.200 = 10.187 euro
f OP = 50% × 12 × 1,75% × 46.200 = 4.851 euro
20
21
Hoofdstuk 9
9.1 Omslagdekking: actieven betalen premie voor de bekostiging van de uitkeringen van de
huidige uitkeringsgerechtigden.
Kapitaaldekking: actieven betalen premie voor de bekostiging van hun toekomstige
uitkeringen.
Als de aantallen actieven in verhouding tot het aantal uitkeringsgerechtigden te klein wordt,
ontstaan financieringsproblemen bij omslagdekking.
9.2a Figuur 9.1, december 2009:
dekkingsgraad = 789:;<=7>?8 @<AA8B8C D8:;C<9:;8 EFF?G<8C<CH8C × 100% ≈ JJ�
J�� × 100% ≈ 109%
Figuur 9.1, december 2010:
dekkingsgraad = 789:;<=7>?8 @<AA8B8C D8:;C<9:;8 EFF?G<8C<CH8C × 100% ≈ ���
��� × 100% ≈ 107%
b sterk afnemende technische voorzieningen bij licht afnemende beschikbare middelen leiden
tot een toename van de waarde van het quotiënt van de beschikbare middelen en de
technische voorzieningen en dus een toename van de dekkingsgraad
c hogere rente, die leidt immers tot een lagere contante waarde van de toekomstige
verplichtingen en dus tot een lagere waarde van de technische voorzieningen en dus tot een
toename van de dekkingsgraad
9.3a backservice = 14 × 1,75% × 1800 = 343 euro
b Ks = 343 × LM NOPQQ
= 2.472 euro
9.4 hier wordt in het midden gelaten of sprake is van een man of een vrouw; we gaan uit van
pensioenleeftijd 65, de voorziening wordt dan berekend uit
23.450 × LM NOPOO
(tabel 2003-2008; 3%)
is er sprake van een man, dan is de voorziening gelijk aan € 200.133;
is er sprake van een vrouw, dan is de voorziening gelijk aan € 240.348.
9.5a premie = 12% × 48.500 = 5.820 euro; er geldt dan 5820 = 12 × RS × LM NOPTT
ofwel
RS = ������ × PTT
LM NO= 113,91 euro per maand
b nu geldt: 5.820 = 12 × RS × LM NUPTT
⇒ RS = �.����� × PTT
LM NU= 134,44 euro per maand
c eerst de reguliere maandelijkse uitkering berekenen (100% dus):
1 mln = 12 × T@ × LM NUPNU
⇒ T@ = � @BC�� × PNU
LM NU= 7.170 euro per maand
CW van 120% van deze uitkeringen gedurende 5 jaar vanaf leeftijd 67:
12 × 1,2 × 7.170 × LM NU�LMUXPNU
= 456.369; de CW van de termijnen vanaf leeftijd 72 moet dan
gelijk zijn aan 1 mln. – 456.369 = 543.631; dus:
543.631 = 12 × T@ × LM UXPNU
⇒ T@ = ���.J���� × PNU
LM UX= 6.290 euro per maand
d Volgens de wet mag de hoogste uitkering niet meer bedragen dan 4/3 van de laagste; hier
geldt �.J��J.�Y� ≈ 1,37 dus de hoogste termijn is 37% hoger dan de laagste, dus meer dan 33%,
dus aan de wettelijke voorschriften is niet voldaan.
22
9.6a aanspraak A per 1/1 a.s.:
11.400 × 1,015 + 2,10% × (68.000 – 14.000) = 12.705 euro
b aanspraak B per 1/1 a.s.:
11.400 × 1,015 + 0,5 × 2,10% × (68.000 – 14.000) = 12.138 euro
c KsZ = �12.705 − 11.400� × LM NOPTO
�V� = 7.156 euro
KsZ = �12.138 − 11.400� × LM NOPTO
�M� = 3.338 euro
d eerst de CW van de reguliere maandelijkse uitkering berekenen (100% dus):
CW = 12 × 3.450 × LM NOPNO
= 518.863
CW van 80% van deze uitkeringen gedurende 5 jaar vanaf leeftijd 65:
12 × 0,8 × 3.450 × LM NO�LMU^PNO
= 147.829; de CW van de termijnen vanaf leeftijd 70 moet dan
gelijk zijn aan 518.863 – 147.829 = 371.034; dus:
371.034 = 12 × T@ × LM U^PNO
⇒ T@ = ���.����� × PNO
LM U^= 3.832 euro per maand
e Volgens de wet mag de hoogste uitkering niet meer bedragen dan 4/3 van de laagste; hier
geldt �.����.�J� ≈ 1,39 dus de hoogste termijn is 39% hoger dan de laagste, dus meer dan 33%,
dus aan de wettelijke voorschriften is niet voldaan.
9.7a aanspraak ultimo dit jaar = 31.400 ×1,00 + 2% ×(62.000 – 13.200) = 32.376
b doelvermogen = 32.376 × LM NOPNO
= 405.766
c CW van het WP: 70% × 32.376 × _LM NOPNO
�`� − LM NO NOPNO NO a = 77.288
nu moet gelden voor de maandelijkse verhoging Vm van de pensioenuitkeringen van T:
77.288 = 12 × V@ × LM NOPNO
⇒ V@ = ��.����� × PNO
LM NO= 514 euro
23
Hoofdstuk 10
10.1 Het resultaat na 4 jaar zal zijn:
(144.303,83 + 82 × 1.100) × 1,03 – 9 × 10.000 × 1,030,5 = 150.198,92
De voorziening na 4 jaar is:
4V = 150.198,92 / 73 = 2.057,52
De ‘schade’ per overledene op t = 4 bedraagt:
10.000 × 1,030,5 – 2.057,52= 8.091,37; dit is het risicokapitaal voor jaar 4.
De risicopremie voor het 4de jaar (t = 3) bedraagt dus:
3 4 x 3 1
9 1PR KR q A 8.091,37 862,21
82 1,03+= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =
De spaarpremie wordt:
3 3PS P PR 1.100 862,21 237,79= − = − =
Of via:
( ) ( )4 3 3 3 3V V PS 1,03 2.057,52 1.759,80 PS 1,03 PS 237,79= + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ =
10.2 Het resultaat na 1 jaar: ½
1
0
½
1
1
0
100 1500 1,03 10 10.000 1,03 53.011,08
53,011,08V 589,01
90
589,01PS 571,85
1,03
KR 10.000 1,03 589,01 9559,88
10PR 9559,88 1,03 928,14
100
−
× × − × × =
= =
= =
= × − =
= × × =
Het resultaat na 2 jaar:
( ) ½
2
½
2
1
1
53.011,08 90 1500 1,03 15 10.000 1,03 41.418,04
41.418,04V 552,24
75
KR 10.000 1,03 552,24 9596,65
15PR 9596,65 1,03 1552,86
90
−
+ × × − × × =
= =
= × − =
= × × =
Er geldt verder: 2
1 1571,85 1,03 PS 1,03 552,24 PS 52,85× + × = ⇒ = −
10.3a 6 1 650 60 50 65
5010 5015
50 50
6
N N M MP a 5 10 A P 5 10
D D
424.659 235.762 9.675 7.938P 5 10
21.902 21.902
P 45.977,44
− −⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ ⋅ = ⋅ ⋅ ⇒
− −⋅ = ⋅ ⋅ ⇒
=
ɺɺ
24
b 6 1 6 51 65 51 601 5114 519
51 51
6
1
M M N NV 5 10 A P a 5 10 45.977,44
D D
9.604 7.938 402.757 235.762V 5 10 45.977,44 30.763,30
21.194 21.194
− −= ⋅ ⋅ − ⋅ = ⋅ ⋅ − ⋅ ⇒
− −= ⋅ ⋅ − ⋅ =
ɺɺ
c ( ) ( )1 0 0 0 0
0 0 0 0
V V PS 1,03 30763,30 0 PS 1,03 PS 29.867,28
P PR PS 45.977,44 PR 29.867,28 PR 16.110,16
= + ⋅ ⇒ = + ⋅ ⇒ =
= + ⇒ = + ⇒ =
Of:
( )
( )
½ 1510 1
50
½ 1
0
lPR 5.000.000 1,03 V 1 1,03
l
9.570.061PR 5.000.000 1,03 30.763,30 1 1,03 16.146,78
9.601.722
−
−
= ⋅ − ⋅ − ⋅ ⇒
= ⋅ − ⋅ − ⋅ =
d 6 51 65
½
50
6 ½
M MKs 5 10 0,10 A
D
9.604 7.938Ks 5 10 0,10 1,03 Ks 872.995
21.902
−
−= ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒
− = ⋅ ⋅ ⋅ + ⇒ =
10.4a 27 56 27 56
1 netto
27 27
1 netto
N NM MV 175.000 256,91
D D
10.488 9.168 1.171.893 303.566V 175.000 256,91 178,07
44.467 44.467
−−= × − × ⇒
− −= × − × =
b 1 0 0 0V PS 1,03 178,07 PS 1,03 PS 172,88= × ⇒ = × ⇒ =
c ( )
( )
1
0 1 1 26
½ 1
0
PR 'risicokapitaal ' V q 1,03
4.992PR 175.000 1,03 178,07 1,03 87,02
9.882.290
−
−
= − ⋅ ⋅ ⇒
= ⋅ − ⋅ ⋅ =
10.5a 35 60 60 35 60
35 35
M M D N N150.000 P
D D
102.94 8.705 15.444 851.008 235.762150.000 P P 4.152,73
34.929 34.929
− + −⋅ = ⋅ ⇒
− + −⋅ = ⋅ ⇒ =
b 40 60 60 40 605
40 40
5
M M D N NV 150.000 4152,73
D D
10.148 8.705 15.444 686.506 235.762V 150.000 4152,73 22.044,74
29.995 29.995
− + −= ⋅ − ⋅ ⇒
− + −= ⋅ − ⋅ =
Het risicokapitaal in (dus ultimo) het 5de jaar is: ½
5 5
½
5
KR 150.000 1,03 V
KR 150.000 1,03 22044,74 130188,63
= ⋅ − ⇒
= ⋅ − =
c De voorziening na 6 jaar:
41 60 60 41 606
41 41
6
M M D N NV 150.000 4152,73
D D
10.114 8.705 15.444 656.512 235.762V 150.000 4152,73 26.839,79
29.087 29.087
− + −= ⋅ − ⋅ ⇒
− + −= ⋅ − ⋅ =
25
Het risicokapitaal in (dus ultimo) het 6de jaar is: ½
6 6
½
6
KR 150.000 1,03 V
KR 150.000 1,03 26839,79 125393,58
= ⋅ − ⇒
= ⋅ − =
De risicopremie in het 6de jaar (dus na 5 jaar) volgt uit:
140 415 6
40
1
5
PR KR 1,03
9.784.331 9.773.015PR 125.393,58 1,03 140,80
9.784.331
−
−
−= ⋅ ⋅
−= ⋅ ⋅ =
ℓ ℓ
ℓ
De voorziening na 5 jaar:
40 60 60 40 605
40 40
5
M M D N NV 150.000 4152,73
D D
10.148 8.705 15.444 686.506 235.762V 150.000 4152,73 22.044,74
29.995 29.995
− + −= ⋅ − ⋅ ⇒
− + −= ⋅ − ⋅ =
De spaarpremie in het 6de jaar (dus na 5 jaar) volgt uit:
( )( )
5 5 6
5 5
PS V 1,03 V
PS 22.044,74 1,03 26.839,79 PS 4013,31
+ ⋅ = ⇒
+ ⋅ = ⇒ =
d 56 60 60 56 6021
56 56
21
M M D N NV 150.000 4152,73
D D
9.168 8.705 15.444 303.566 235.762V 150.000 4152,73 117.726,47
17.876 17.876
− + −= ⋅ − ⋅ ⇒
− + −= ⋅ − ⋅ =
Het risicokapitaal in (dus ultimo) het 21ste jaar is: ½
21 21
½
21
KR 150.000 1,03 V
KR 150.000 1,03 117.726,47 34.506,90
= ⋅ − ⇒
= ⋅ − =
De risicopremie in het 21ste jaar (dus na 20 jaar) volgt uit:
155 5620 21
55
1
20
PR KR 1,03
9.407.876 9.357.202PR 34.506,90 1,03 180,45
9.407.876
−
−
−= ⋅ ⋅
−= ⋅ ⋅ =
ℓ ℓ
ℓ
55 60 60 55 6020
55 55
20
M M D N NV 150.000 4152,73
D D
9267 8.705 15.444 322.077 235.762V 150.000 4152,73 110.331,52
18.512 18.512
− + −= ⋅ − ⋅ ⇒
− + −= ⋅ − ⋅ =
De spaarpremie in het 21ste jaar (dus na 20 jaar) volgt uit:
( )( )
20 20 21
20 20
PS V 1,03 V
PS 110331,52 1,03 117726,47 PS 3.966,02
+ ⋅ = ⇒
+ ⋅ = ⇒ =
26
Hoofdstuk 11
11.1a 66 67 79
65 65 65
D D DKs 50.000 51.000 +52.000× + +74.000× 590.090
D D D= + × =⋯
b 266 67
65 65
D DKs 50.000 50.000 1,02 +50.000×1,02 × + 761.563
D D= + × × =⋯
c Respectievelijk 632.636 en 899.603
11.2a 34 44
34
M MKs 30.000 197
D
−= × =
b 34 35
34
M MKs 30.000
D
−= × + 35 36
34
M M30.000 1,03
D
−× × + 2 35 36
34
M M30.000 1,03
D
−× ×
9 43 44
34
M M30.000 1,03 230
D
−+ + × × =⋯
c 34 35
34
M MKs 30.000
D
−= × + 35 36
34
M M31.000
D
−× + 35 36
34
M M32.000
D
−×
43 44
34
M M39.000 231
D
−+ × =
11.3a Vrouw leeft langer, dus WP moet langer worden uitgekkerd dan andersom. Bovendien gaat
(bij gelijke leeftijden) een WP eerder in dan een WnP.
b Uitschrijven van het quotiënt van een WP en een WnP, met beide dezelfde uitkering.
cd Zie onderstaande grafiek, bij x – y = 0.
e Zie grafiek hierboven, bij x – y = 5.
0
1
2
3
4
5
6
0 20 40 60 80 100
WP
/Wn
P
Leeftijd man
x - y = 0 x - y = 5
27
11.4
Leeftijd Voorziening Leeftijd Voorziening Leeftijd Voorziening
man vrouw man vrouw man vrouw
30 0 0 55 204827 245985 80 146696 180804
31 5425 6564 56 212115 254358 81 138203 170140
32 11016 13327 57 219787 263081 82 129974 159774
33 16780 20297 58 227884 272200 83 122045 149681
34 22720 27480 59 236438 281750 84 114387 140015
35 28845 34882 60 245517 291756 85 107090 130716
36 35159 42512 61 255148 302261 86 100147 121847
37 41670 50379 62 265418 313296 87 93525 113455
38 48385 58488 63 276387 324870 88 87350 105539
39 55312 66851 64 288150 337062 89 81559 98134
40 62458 75475 65 300790 349913 90 76170 91205
41 69836 84374 66 289865 339004 91 71319 84753
42 77451 93556 67 278940 327933 92 66757 78785
43 85314 103036 68 267995 316741 93 62746 73313
44 93438 112826 69 257081 305422 94 58964 68303
45 101832 122948 70 246255 294021 95 55299 63753
46 110511 133405 71 235511 282588 96 52214 59518
47 119500 144223 72 224867 271121 97 49116 55543
48 128800 155417 73 214366 259620 98 46255 52168
49 138448 167010 74 204012 248143 99 43059 49152
50 148469 179011 75 193844 236688 100 40800 45900
51 158869 191460 76 183898 225297
52 169681 204349 77 174149 213948
53 180919 217716 78 164679 202744
54 192626 231591 79 155519 191675
0
100000
200000
300000
400000
0 20 40 60 80 100
Vo
orz
ien
ing
Leeftijd
man
vrouw
28
11.5
vrouw
35 34 35 34 65 6434
34 34 34 35 34
N N NN20.000 P P 2.722,35
D D D
− × − = × ⇒ =
vrouw
x x 1 x x 1 65 54x 1
x 1 x x 1 x x 1
N N NNV 30.000 2.722,35
D D D
− −−
− − −
− = × − − ×
met x = leeftijd man, x = 35 t/m 64. Voor x ≥ 65 vervalt het premiedeel.
Leeftijd Voorziening Leeftijd Voorziening
man a b c man a b c
35 0 idem idem 60 69631 idem idem
36 2421 … … 61 72502 … …
37 4883 62 75358
38 7408 63 78216
39 9964 64 81063
40 12571 65 83930
41 15216 66 83941
42 17918 67 83798
43 20650 68 83510
44 23430 69 83055
45 26249 70 82404 264517
46 29112 71 81583 255018 0
47 31975 72 80580 245490 0
48 34868 73 79397 235935 0
49 37761 74 78022 226351 0
50 40642 75 76469 216786 0
51 43519 76 74723 207243 0
52 46415 77 72805 197748 0
53 49306 78 70676 188291 0
54 52216 79 68397 178953 0
55 55139 80 65926 169729 0
56 58049 81 63318 160670 0
57 60976 82 60616 151785 0
58 63883 83 57882 143145 0
59 66766 84 55080 134730 0
29
11.6
Leeftijd Voorziening Leeftijd Voorziening
42 -400 52 89154
43 7365 53 91857
44 15366 54 94650
45 23612 55 97521
46 32107 56 100485
47 40871 57 103535
48 49908 58 106678
49 59238 59 109906
50 68876 60 113229
51 78844 61 116645
52 89154 62,0 120150
11.7 De volgende tabel is in Excel gemaakt:
A B C D E
1 Salarisstijging: 1,5%
2 Franchisestijging: 1,0%
3 Opbouwpercentage: 2,2%
4
5 Jaar S F G OP
6 1 25000 14000 11000 242
7 2 25375 14140 11235 247
8 3 25756 14281 11474 252
9 4 26142 14424 11718 258
10 5 26534 14568 11966 263
11 6 26932 14714 12218 269
12 7 27336 14861 12475 274
… … … … … …
21 16 31256 16254 15002 330
… … … … … …
42 37 42728 20031 22698 499
43 38 43369 20231 23138 509
a OP6 = 242 + 247 +…+ 269 = 1.531
b OP16 = 4.547
c OPmax =13.742
d WP6 = 0,7 · n · p · G6 = 0,7 · 38 · 0,022 · 12.218 = 7.150
e WP16 = 0,7 · n · p · G6 = 0,7 · 38 · 0,022 · 15.002 = 7.929
f Percentage is: 38 38
38
OP AOW 13.742 0,7 20.231100% 100% 64,3%
S 43.369
+ + ×× = × =
30
11.9a Los de vergende vergelijking op met de Solver in Excel, met als variabele de rekenrente
(gebruik ‘GB2003-2008_significante cijfers’):
18 18 75
18 18
M N N5.000 12 4,07 0
D D
−× − × × =
Het resultaat is 2,07% voor een 18-jarige man. Voor de andere leeftijden en voor een vrouw
zijn de resultaten:
Casus Rendement (%)
Man, 18 jaar 2,07
Man, 38 jaar 1,81
Man, 58 jaar 2,59
Vrouw, 18 jaar 1,82
Vrouw, 38 jaar 1,50
Vrouw, 58 jaar 1,93
b Bereken van jaar tot jaar in Excel: x x 75
x x
M N NV 5.000 12 8,86
D D
−= × − × ×
Het resultaat is de volgende tabel en grafiek .Merk op dat de eerste jaren de voorziening
negatief is. De ‘knik’ in de grafiek is het gevolg van het stoppen van de premiebetaling.
Leeftijd Voorziening
Leeftijd Voorziening
Leeftijd Voorziening
38 -648
58 1403
78 3986
39 -565
59 1527
79 4043
40 -480
60 1653
80 4097
41 -393
61 1781
81 4149
42 -304
62 1910
82 4200
43 -213
63 2042
83 4249
44 -119
64 2176
84 4296
45 -23
65 2312
85 4340
46 75
66 2449
86 4384
47 175
67 2589
87 4425
48 276
68 2732
88 4462
49 380
69 2876
50 486
70 3023
51 593
71 3173
52 703
72 3325
53 814
73 3481
54 928
74 3641
55 1044
75 3806
56 1162
76 3868
57 1282 77 3928
31
11.10a ex = 76,9 jaar
b Respectievelijk 47,8; 20,1 en 2,9
c Respectievelijk 81,3; 51,9; 23,8 en 3,7
11.11a Tijdelijke lijfrente op langstlevende
b U = 6.725,61
c Rendement Postbank, met Solver: 4,54%; Zwitserleven: 1,68%, SNS:3,51%
d
Jaar
Voorziening
(basis: 3%)
Jaar
Voorziening
(basis: 4,54%)
1 129553 1 125002
2 105161 2 102179
3 80032 3 78316
4 54144 4 53368
5 27476 5 27283
6 0 6 0
-1000
0
1000
2000
3000
4000
5000
38 48 58 68 78 88
Vo
orz
ien
ing
Leeftijd
32
Gemengde opgaven
G1a ( )1 0,9 0,2 0,02− ⋅ =
b 1 – 0,1·0,2 = -0,98
c Stel X = de kans dat een 30-jarige an binnen 20 jaar overlijdt ~ Bin(n=10;p=0,1). Dan is:
6 410
P(X 6) 0,1 (1 0,1) 0,00016
= = ⋅ ⋅ − =
d 1 0,3 7
1 0,1 9
−=
−
G2a m v
64 62 38 36 58 5664 62
38 36 38 36 38 36
N N NN N60000 2 800 0,95 P
D D D D
177.453 242.064 1.447.442 7.009.562 2.303.99760000 2 800 0,95 P
31.886 34.106 315.188 315.188
P 14.769,91
−⋅ + − ⋅ + = ⋅ ⋅ ⇒
− ⋅ + − ⋅ + = ⋅ ⋅ ⇒
=
b.
b De verschillen:
38 36a betreft een lijfrente op 2 levens, levenslang;
38 36a betreft een lijfrente op 1 leven, tijdelijk.
c De voorziening na 3 jaar (mits beiden in leven):
m v64 62 4139 58 5664 62
3
41 39 4139 4139
3
3
N N NN NV 60.000 2 0,95 14.769,91
D D D D
177.453 242.064 1.447.442 6.092.712 2.303.997V 60.000 2 0,95 14.769,91
29.087 31.152 286.972 286.972
V 41.762
−= ⋅ + − ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒
− = ⋅ + − ⋅ − ⋅ ⋅ ⇒
=
G3 Hier wordt bedoeld een verzekering met een uitkering bij in leven zijn op de einddatum.
a 65
35
D 12.606Ks 240.000 240.000 86.617
D 34.929= ⋅ = ⋅ =
b 35 65m
35
m
N N86.617 12 P
D
833.543 157.99086.617 12 P P 373,21
34.929
−= ⋅ ⋅ ⇒
−= ⋅ ⋅ ⇒ =
c 65 50 6515
50 50
15
D N NV 240.000 12 373,21
D D
12.606 413.708 157.990V 240.000 12 373,21 85.846
21.902 21.902
−= ⋅ − × ⋅ ⇒
−= ⋅ − × ⋅ =
d 6530 35
35
8.610.212p 0,8760
9.828.677= = =ℓ
ℓ
33
G4a Een weduwnaarspensioen is een reeks periodieke uitkeringen ingaande na overlijden van de
vrouw, zo lang de man in leven is (levenslang of tot maximaal de afgesproken tijdsduur).
b
( )
m v34 3234 32
34 32 34 32
NN NKs 15.000 30.000 45.000
D D D
869.009 987.610 8.372.272 8.015.731 / 2Ks 15.000 30.000 45.000
36.003 38.458 356.541
Ks 98.277
= ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒
+= ⋅ + ⋅ − ⋅ ⇒
=
c 34 32 59 57
34 32
N N98.277 P
D
8.372.272 2.145.59998.277 P P 5.627,37
356.541
−= ⋅ ⇒
−= ⋅ ⇒ =
d De premie wordt uitgerekend op grond van het zogeheten equivalentieprincipe; de contante
waarde van de baten (premies) zijn gelijk aan de contante waarde van de lasten (uitkeringen).
e
( )
m v49 47 49 47 59 5749 47
15
49 47 49 47 49 47
15
15
N N NN NV 15.000 30.000 45.000 5.627,37
D D D D
435.973 523.709 4.035.263 3.814.168 / 2V 15.000 30.000 45.000
22.627 24.356 221.095
4.035.263 2.145.5995.627,37
221.095
V
−= ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ ⇒
+= ⋅ + ⋅ − ⋅
−− ⋅ ⇒
= 786.097
f m
4915
49
15
NV 15.000
D
435.973V 15.000 289.017
22.627
= ⋅ ⇒
= ⋅ =
G5a m v m v
70 60 70 60
30 20 30 20
0,30 0,45 0,30 0,452 2 0,5042
0,70 0,85 0,70 0,85+ − ⋅ ⋅ = + − ⋅ ⋅ =
ℓ ℓ ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ ℓ
b 40Ks 100.000 0,5042 1,035 12.735−= ⋅ ⋅ =
c 5 6 762 63 64
57 57 57
5 6 7
Ks 10.000 1,035 1,035 1,035
38 37 36Ks 10.000 1,035 1,035 1,035 21.021
43 43 43
− − −
− − −
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⇒
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ =
ℓ ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ
d
( )
( )
5 6 4262 63 99
57 57 57
5 6 42
5 6 42
4
Ks 10.000 1,035 1,035 ... 1,035
10.000Ks 38 1,035 37 1,035 ... 1 1,035
43
10.000Ks 38 1,035 37 1,035 ... 1 1,035
43
10.0001,035 Ks 38 1,035 37 1,035
43
− − −
− − −
− − −
−
= ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⇒
= ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⇒
= ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅
⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅
ℓ ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ
( )5 41... 1 1,035− −
+ + ⋅
34
( )
( )( )
4 5 6 42
4
42 4
42 44
10.0000,035 Ks 38 1,035 1,035 1,035 ... 1 1,035
43
10.0000,035 Ks 38 1,035 a a
43
10.000 1 1,035 1 1,0350,035 Ks 38 1,035
43 0,035 0,035
Ks 99.355
− − − −
−
− −−
⋅ = ⋅ ⋅ − − − − ⋅ ⇒
⋅ = ⋅ ⋅ − − ⇒
− −⋅ = ⋅ ⋅ − − ⇒
=
G6a 55 65
33
N NKs 1,0025 20.000 400
D
361.203 199.339Ks 1,0025 20.000 400 87.356
37.322
−= ⋅ ⋅ + ⇒
−= ⋅ ⋅ + =
b 55 655
38
5
N NV 1,0025 20.000
D
361.203 199.339V 1,0025 20.000 101.074
32.109
−= ⋅ ⋅ ⇒
−= ⋅ ⋅ =
c. 55 65
43
N N1,0025 X 400 50.000
D
361.203 199.3391,0025 X 400 50.000 X 8.429
27.577
−⋅ ⋅ + = ⇒
−⋅ ⋅ + = ⇒ =
G7a 65 40 65m
40 40
m m
D N N40.000 12 P
D D
12.606 671.509 157.99040.000 12 P P 81,83
29.995 29.995
−⋅ = ⋅ ⋅ ⇒
−⋅ = ⋅ ⋅ ⇒ =
b Alleen de man dient te worden gekeurd; als de man eerder overlijdt dan verwacht, leidt de
maatschappij op deze polis verlies.
c v
43 38 43 3838
38 43 38 43 38
N NN50.000 P
D D D
792.495 5.626.195 5.626.19550.000 P P 9.215,75
32.109 269.968 269.968
⋅ − = ⋅ ⇒
⋅ − = ⋅ ⇒ =
G8a 65
x
D
D is het symbool voor de koopsom voor een verzekering op een x-jarige, met een uitkering
op 65-jarige leeftijd bij in leven zijn.
x 65
x
M M
D
− is het symbool voor de koopsom voor een verzekering op een x-jarige, met een
uitkering direct bij overlijden indien dat overlijden geschiedt voor de 65-jarige leeftijd.
b 65 37 65
37 37
D M M3.000 U 3.000
D D
12.606 10.240 7.9383.000 U 3.000 U 7.275
32.872 32.872
−= ⋅ + ⋅ ⇒
−= ⋅ + ⋅ ⇒ =
35
c 65 37 65
37 37
D M M3.000 U 3.000
D D
6.320 4.735 3.4143.000 U 3.000 U 10.823
24.083 24.803
−= ⋅ + ⋅ ⇒
−= ⋅ + ⋅ ⇒ =
G9 (Hier gaat het om een ORV, waarbij voor het eerste jaar uitsluitend de risicopremie wordt
gevraagd)
a P� = 8 × 300.000 × BQb�BQXBQb
× 1,03��,� = 3.010
b P × LQX�LObPQX
= 2 × 300.000 × cM QX�cM ObPQX
→ P = 600.000 × cM QX�cM ObLQX�LOb
= 1.263
G10 (Hier gaat het om een eindloonregeling)
a OP = 37 × 1,75% × 20.312 = 13.152
b WnP = 70% × 13.152 = 9.206
c Grondslag wordt 20.312 × 1,05 = 21.328 (verhoging telt slechts voor 5% mee!)
OP = 37 × 1,75% × 21.328= 13.810
d bijzonder OP = 50% × 18 × 1,75% × 21.328 = 3.359
e WnP = 70% × 26 × 1,75% × 21.328 = 6793
G11 (Het gaat hier om een eindloonregeling)
De laatste pensioengrondslag van de vrouw bedraagt:
18.151 × (1,01523 + 1,01524 + 1,01525)/3 – 15.882 = 10.067
OP = 25 × 2% × 10.067 = 5033 per jaar, dus circa 419 euro per maand.
G12 60 35 60
35 35
D M MKs 100.000 Ks
D D
15.444 10.294 8.705Ks 100.000 Ks Ks 46.323
34.929 34.929
−= ⋅ + ⋅ ⇒
−= ⋅ + ⋅ ⇒ =
G13
x x
x x
y y
y y
N N100.000 6.800 14,70... x 62
D D
N N100.000 6.800 14,70... y 67
D D
> ⋅ ⇒ < ⇒ ≥
> ⋅ ⇒ < ⇒ ≥
G14a Deze lijfrente is bekend onder de naam ‘lijfrente op de langstlevende’.
b
( )
m v65 6265 62
45 42 45 42
NN NKs 40.000
D D D
157.990 234.682 1.350.418 1.234.084 / 2Ks 40.000 371.653
25.693 28.435 252.832
= ⋅ + − =
+= ⋅ + − =
c 45 42 65 62
45 42
N N371.653 P
D
5.032.528 1.350.418371.653 P P 25.519,54
252.832
−= ⋅ ⇒
−= ⋅ ⇒ =
d a = b = 0,7×40.000 = 28.000 & c = - 0,4×40.000 = 16.000
36
G15 Uit 35 65 35 55
35 35
M M N N10.000 P
D D
− −× = × volgt de jaarpremie: 44,54.
De voorzieningen zijn in onderstaande tabel en grafiek gegeven.
Leeftijd Voorziening Leeftijd Voorziening Leeftijd Voorziening
35 0 45 398 56 688
36 38 46 438 57 653
37 77 47 477 58 609
38 116 48 514 59 558
39 156 49 551 60 497
40 196 50 584 61 425
41 236 51 617 62 341
42 276 52 646 63 243
43 317 53 673 64 131
44 357 54 697 65 0
G16 (Er is verder nog gegeven dat het vermogen constant is)
a Omdat Vermogen V
D V i/UCW verplichtingen U/i
= = = ⋅ , geldt:
D, i
ΔD/D ΔD i iE (V/U) 1
Δi/i Δi D V i/U= = ⋅ = ⋅ =
⋅
b Dan is 1,02 V
D 1,02 V i/UU/i
⋅= = ⋅ ⋅ en dus
D, i
ΔD/D ΔD i iE (1,02 V/U) 1
Δi/i Δi D 1,02 V i/U= = ⋅ = ⋅ ⋅ =
⋅ ⋅
0
100
200
300
400
500
600
700
800
35 40 45 50 55 60 65
Vo
orz
ien
ing
Leeftijd
37
In beide gevallen is de elasticiteit van de dekkingsgraad ten gevolge van de rekenrente gelijk
aan 1, dat wil zeggen dat als de rekenrente bijvoorbeeld met 10% stijgt, bijvoorbeeld van 2%
naar 2,2%, de dekkingsgraad eveneens met 10% stijgt. De rekenrente heeft dus een grote
invloed op de dekkingsgraad van een pensioenfonds.
G17a
man
20man
20
20
MKs 4.750 923
D= × =
Op eenzelfde manier volgen de andere drie gevraagde koopsommen. Deze zijn respectievelijk
2.677, 813 en 2.401.
b In het geval dat de berekende koopsom en de UVZ-koopsom gelijk zijn, geldt:
man
20
20
M4.750 3.495
D× =
man
20
20
Mdus 0,736
D=
Bereken in Excel de leeftijd waarbij de verhouding
x
x
M
D
net overschreden wordt, zowel met GBM als GBV. Resultaat: respectievelijk 73 en 77 jaar.
c In GB2003-2008 wordt de grafiek voor een man:
In GB2003-2008_significante cijfers wordt met de niet-afgeronde waarden gerekend. De
grafiek krijgt hier een gladder verloop:
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 20 40 60 80 100 120
Vo
orz
ien
ing
Leeftijd
38
De grafiek van de voorziening van een 30-jarige vrouw heeft een nagenoeg identiek verloop.
G18
60 67 6012
44 44
12
N N N86.000 X X
D D
273.221 173.394 273.22186.000 X X X 12.329,38
26.741 26.741
−= ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒
−= ⋅ + ⋅ ⋅ ⇒ =
De uitkering bedraagt € 12.239,38 per jaar; vanaf haar 67ste wordt deze uitkering € 6.164,69
per jaar.
G19
a eindkapitaal = 2.500 × LTX�LQNPNX
�V� = 75.491
b netto premie �einddatum� × LTX�LQNPNX
�V� = 62.583 → netto premie = 2.073
dus ingehouden: 2.500 − 2.0732.500 × 100% = 17,1% van de bruto premie
G20a
½ 1½ 13½100 101 101 102 113 114
100 100 100
½ 1½
Ks 25.000 1,03 1,03 ... 1,03
38.707 22.832 22.832 12.921 1 0Ks 25.000 1,03 1,03 ...
38.707 38.707 38.707
− − −
− −
− − − = ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ + ⇒
− − − = ⋅ ⋅ + ⋅ + +
ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ ℓ
ℓ ℓ ℓ
( )
13½
½ 1½ 13½
½ 1½ 2½ 13½
1,03
15875 9.911 1Ks 25.000 1,03 1,03 ... 1,03
38.707 38.707 38.707
25.000Ks 15.875 1,03 9.911 1,03 5.929 1,03 ... 1 1,03 23.743
38.707
−
− − −
− − − −
⋅ ⇒
= ⋅ ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⇒
= ⋅ ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ =
0
1000
2000
3000
4000
5000
6000
0 20 40 60 80 100 120
Vo
orz
ien
ing
Leeftijd
39
b 15.875 ½ 9.911 1½ 5.929 2½ ... 1 1,03 13½
e 1,779338.707
⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ ⋅= =
c 1,7793
1,7793 .03Ks 25.000 A 25.000 1,03 23.719−= ⋅ = ⋅ =
