LES 3 :

Potentiële energieHans Welleman

Ir J.W. Welleman Arbeid, energie en invloedslijnen 2

Potentiële energie

Ep

h

Fg=mg

Fg=mg

referentie-vlak

mgh2

mgh1

h

hmgh2

mgh1

Geen kinetische energie (statica)

Ir J.W. Welleman Arbeid, energie en invloedslijnen 3

Energie-balans Som van de energie in een systeem is

constant

Som van de Potentiele energie = C

Potentiele energie van:– Belasting (energie van plaats, neemt af)– Vervorming (vormveranderingsenergie, neemt toe)

Ir J.W. Welleman Arbeid, energie en invloedslijnen 4

Stabiel evenwicht

evenwichtspositie

x

V

kleine verstoring

Stationair zijn van de energiefunctie V (hor. raaklijn)

Ir J.W. Welleman Arbeid, energie en invloedslijnen 5

Energie van plaats en vervorming

u

F

Situatie 0 Situatie 1

Fkracht

veerkarakteristiek

u

F

indrukking

F

Situatie 2

uFukEEV 221

pv

Ir J.W. Welleman Arbeid, energie en invloedslijnen 6

Energie functie moet stationair zijn en minimaal!

Extreem = afgeleide naar een toestandsvariabele ( u ) is nul

Extreem is een minimum = 2e afgeleide > 0

minimum) is 0 (d

d0

d

d2

2

ku

VenFuk

u

V

Principe van minimum potentiele energie

Ir J.W. Welleman Arbeid, energie en invloedslijnen 7

Toepassing Benader een verplaatsingveld Stationair zijn van de potentiele energie:

functieafgeleide(n) van V naar de toestandsvariabele(n) ai moet(en) nul zijn.

1 21 2

... 0ii

V V VV a a a

a a a

Ir J.W. Welleman Arbeid, energie en invloedslijnen 8

Voorbeeld

l

xaw

sin

F

l

w(x)

z, w

x

Ir J.W. Welleman Arbeid, energie en invloedslijnen 9

Uitwerking

FaxEIEEVl

0

221

pv d

"d

d2

2

wx

wFa

l

EIaV

Fall

EIaFax

l

x

l

EIaV

Faxl

x

l

EIaFaxwEIV

l

ll

3

24

21

4

24

21

04

24

21

0

24

24

21

0

221

4

d2

cos2

1

2

1

dsind"

2 1 12 2sin cos 2a a

Ir J.W. Welleman Arbeid, energie en invloedslijnen 10

Minimaliseren

EI

FlV

EI

Fl

EI

Flaw

Fl

EIa

a

V

midden

409,97

705,482/

02d

d

3

3

4

3

3

4

benaderingsoplossing

Ir J.W. Welleman Arbeid, energie en invloedslijnen 11

VOORBEELD STAR BLOK

kkk

4a 2a

F

a

Ir J.W. Welleman Arbeid, energie en invloedslijnen 12

Neem verplaatsingsveld aan

kkk

4a 2a

Fu1

u2 u3

)2(

46

3131

2

3112

uuu

aa

uuuu

22 21 1 1 1 11 1 3 3 1 32 2 3 2 2

2 210 134 11 1 3 3 1 318 18 18 2

( 2 ) ( )V ku k u u ku F u u

V ku ku u ku F u u

033

11

uu

Vu

u

VV

1 3

0; 0V V

u u

toestands variabelen u1 en u3

Ir J.W. Welleman Arbeid, energie en invloedslijnen 13

RESULTAAT20 4 1

1 318 18 2

264 11 318 18 2

0

0

ku ku F

ku ku F

k

Fu

k

Fu

k

Fu 28

8328

9228

111

exacte oplossing

83 111 ;u u

Voorbeeld

Ir J.W. Welleman Arbeid, energie en invloedslijnen 14

2( )

2

oEAEA x

xl

l

xaxu 1)(

Aangenomen verplaatsingsveld:

Ir J.W. Welleman Arbeid, energie en invloedslijnen 15

Toepassing Potentiële EnergieKnik … opnieuw

F EI, EA

l

u

uF

F

F

net voor knik optreedt

direct na uitknikken

aanname: sinx

w al

Minimum potentiële energie:

Ir J.W. Welleman Arbeid, energie en invloedslijnen 16

2 2 21 1 1F2 2 2

0 0 0

4 2 2 2

3

4 2 2

3 2

" d " d ( ') d

44

d0

d 22

l l l

k

V EI w x Fu EI w x F w x

EIa FaV

ll

V EIa Fa EIF

a ll l

> restart;> w:=a*sin(Pi*x/L);> V:=EI*int((1/2)*diff(w,x$2)^2,x=0..L)-F*int((1/2)*diff(w,x)^2,x=0..L);> eq:=diff(V,a)=0;> solve(eq,F);