Hoofdstuk 3 Maatstaven voor ligging en spreiding
52
Hoofdstuk 3 Maatstaven voor ligging en spreiding 3.1. Centrummaten – Gemiddelden 3.2. Kwantielen 3.3. De spreidingsmaten
description
Hoofdstuk 3 Maatstaven voor ligging en spreiding. 3.1. Centrummaten – Gemiddelden 3.2. Kwantielen 3.3. De spreidingsmaten. Centrummaten. het rekenkundig gemiddelde de mediaan de modus bij niet-gegroepeerde waarnemingen bij gegroepeerde waarnemingen of frequentieverdelingen. - PowerPoint PPT Presentation
Transcript of Hoofdstuk 3 Maatstaven voor ligging en spreiding
Hoofdstuk 3Maatstaven voor ligging en spreiding
3.1. Centrummaten – Gemiddelden
3.2. Kwantielen
3.3. De spreidingsmaten
Centrummaten
het rekenkundig gemiddelde de mediaan de modus
bij niet-gegroepeerde waarnemingen bij gegroepeerde waarnemingen of
frequentieverdelingen
Eigenschappen van kengetallen voor frequentieverdelingen
a. eenduidig gedefinieerd zijn (ondubbelzinnig)b. alle waarnemingen spelen een rol bij de
bepaling van het kengetalc. de interpretatie moet eenvoudig en inzichtelijk
zijnd. de kengetallen moeten niet al te gevoelig zijn
voor steekproeftoevalligheden, maar een grote steekproefstabiliteit bezitten
e. met de kengetallen moeten algebraïsche bewerkingen mogelijk zijn
Het rekenkundig gemiddelde
Wat?Het rekenkundig gemiddelde van een reeks waarnemingsresutaten is gelijk aan de som van alle resultaten gedeeld door het aantal waarnemingen (dit is de steekproef- of popultieomvang)
Symbool:
Formule: n
XX
N
ii
1
X
Het rekenkundig gemiddelde: eigenschappen (1)
1. Vermindert men alle waarnemingen met een zelfde getal, dan wordt ook het rekenkundig gemiddelde verminderd met dat getal men mag op de meetschaal een nieuwe oorsprong invoeren
2. Vermenigvuldigt men alle resultaten met een zelfde getal, dan wordt ook het rekenkundig gemiddelde met dit getal vermenigvuldigd (idem delen) men mag alle resultaten vereenvoudigen
Het rekenkundig gemiddelde: eigenschappen (2)
3. De som van de afwijking van alle waarnemingsresultaten ten opzichte van hun rekenkundig gemiddelde is nul
Opm. : het rekenkundig gemiddelde wordt in de statistiek altijd berekend op één rang meer dan de waarnemingsresultaten.
0 XX
Het gewogen rekenkundig gemiddelde (1)
Wat?Als niet aan alle waarnemingen een zelfde belang mag gehecht worden, vermenigvuldigt men elke waarde met een wegingsfactor en bepaalt men pas dan het rekenkundig gemiddelde
Het gewogen rekenkundig gemiddelde (2)
Voorbeeld: examenuitslagen student D.V.
Rekenkundig gemiddelde:
Gewogen rek.gemiddelde:
Vakken Resultaat op 10 studiepunten
Economie 5 6
Statistiek 7 3
Recht 9 4
0,73
975
X
7,6
436
493765
xxx
Xg
Het rekenkundig gemiddelde van gegroepeerde gegevens
Formule:
De klassemiddens worden representatief voor elke klasse: alle frequenties worden vermenigvuldigd met de overeenkomende klassemiddens
n
mfX ii
Centrummaten
het rekenkundig gemiddelde de mediaan de modus
bij niet-gegroepeerde waarnemingen bij gegroepeerde waarnemingen of
frequentieverdelingen
De mediaan (1)
Wat?De mediaan van een reeks waarnemings-resultaten is de middelste van de naar grootte gerangschikte resultaten.De mediaan verdeelt een reeks resultaten in twee gelijke groepen:
aantal waarden < Me = aantal waarden > Me
Symbool: MeSynoniem: midscore
De mediaan (2)
bij oneven aantal waarnemingen:Me = middelste van naar grootte gerangschikte
bij even aantal waarnemingen:Me = rek. gemiddelde van middelste twee
Bij gegroepeerde frequentieverdelingen: Me = tweede kwartiel (Q2) mediaanklasse: zie cumulatief frequentiehistogram
De modus
Wat?De modus van een reeks waarnemingsresultaten is de waarneming die het meest voorkomt (= de uitslag met de hoogste frequentie)
Symbool: Mo
Opmerkingen: hebben alle resultaten in een reeks dezelfde frequentie, dan
is er geen modus de modus is de enige centrummaat ook te gebruiken voor
kwalitatieve kenmerken unimodale, bimodale, multimodale verdelingen
De modus bij gegroepeerde waarnemingen (1)
de modale klasse is de klasse met de hoogste frequentie
nauwkeuriger:
f = frequentie modale klassefl = frequentie (lagere) voorgaande klasse
fh= frequentie (hogere) volgende klasse
b = benedengrens modale klassei = klasse-interval
iffff
ffbMo
hl
l
De modus bij gegroepeerde waarnemingen (2)
Grafische bepaling van de modus bij frequentieverdelingen:
0
5
10
15
20
25
30
frequentie
Mo
modale klasse
Eigenschappen van kengetallen voor frequentieverdelingen
a. eenduidig gedefinieerd zijn (ondubbelzinnig)b. alle waarnemingen spelen een rol bij de
bepaling van het kengetalc. de interpretatie moet eenvoudig en inzichtelijk
zijnd. de kengetallen moeten niet al te gevoelig zijn
voor steekproeftoevalligheden, maar een grote steekproefstabiliteit bezitten
e. met de kengetallen moeten algebraïsche bewerkingen mogelijk zijn
Keuze van de centrummaten (1)
+ -Rekenkundiggemiddelde
voldoet in alle opzichten als centrummaateign: a,b,c,d,e
gevoelig voor uitbijters
Mediaan ongevoelig voor uitbijters
eign: a,b,c
kleine steekproef-stabiliteitalgebraïsch weinig mogelijkheden
Modus snel te bepalen
eign: a,c
nagenoeg geen positieve eigen-schappen
Keuze van de centrummaten (2)
De keuze hangt af van: het meetniveau de scheefheid van de verdeling extreme waarden
Keuze centrummaat in functie van het meetniveau
ratio interval ordinaal nominaal
Rek.gemidd. Mediaan Modus
Keuze van de centrummaten (3)
De keuze hangt af van: het meetniveau de scheefheid mogelijke extreme waarden
Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (1a)
Symmetrische verdelingen normale verdelingenb.v. IQ-scores, de meeste natuurlijke verschijnselen
0
10
20
30
40
50
60
f
MoMeX
Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (1b)
Bimodale symmetrische verdelingen
0
5
10
15
20
25
30
f
Mo1 Mo2
MeX
21 MoMeXMo
Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (2)
Scheef naar links (negatief scheef)b.v. lichaamsgewicht mannelijke 40-plussers in België
0
20
40
60
80
100
120
frequentie
Mo
Mo Me X
staart
Keuze centrummaat in functie van de scheefheid (3)
Scheef naar rechts (positief scheef)b.v. belastbaar inkomen Belgische bevolking in €
MoMeX
0
10
20
30
40
50
60
70
f
Mo
staart
Keuze van de centrummaten (4)
De keuze hangt af van: het meetniveau de scheefheid mogelijke extreme waarden
Keuze centrummaat in functie van mogelijke extreme waarden
Extreme waarden (= uitbijters):beïnvloeden het gemiddelde de mediaan is hier beter geschikt dan het rekenkundig gemiddelde
Voorbeeld:
1 2 2 3 4 5 5 7 9 118
= 15,6 Me= 4,5X
Hoofdstuk 3Maatstaven voor ligging en spreiding
3.1. Centrummaten – Gemiddelden
3.2. Kwantielen
3.3. De spreidingsmaten
Kwantielen
Wat?Kwantielen verdelen een frequentieverdeling in een aantal gelijke stukken (= stukken met gelijke frequentie)
Doel?Kwantielen dienen om een uitkomst te situeren ten opzichte van andere uitkomsten
Kwantielen (2)
Soorten kwantielen: Kwartielen: Q1, Q2 , Q3
verdelen de frequentieverdeling in 4 gelijke intervallen, elk met 25% van de uitkomsten
Decielen: D1, D2 , … , D9
verdelen de frequentieverdeling in 10 gelijke intervallen, elk met 10% van de uitkomsten
Percentielen: P01, P02 , … , P99
verdelen de frequentieverdeling in 100 gelijke intervallen, elk met 1% van de uitkomsten
Kwantielen (3)
5052 PDMeQ
257513 PPQQIKA
De interkwartielafstand (IKA) geeft de range aan van de middelste helft van de resultaten.De IKA is ongevoelig voor uitbijters.
Percentiel percentiele rang
percentiel (P)
b.v. P57 = 173,5 cm57% van de resultaten zijn kleiner of gelijk aan 173,5 cm
percentiele rang (p)
b.v. p168cm = 48,3%een lengte van 168cm komt overeen met de 48,3% kleinste resultaten
resultaatFrel k .
resultaatFrel k .
5-getallen-résumé
Een frequentieverdeling kan omschreven worden met 5 kengetallen:
max31min ,,,, XQMeQX
Boxplot (boxdiagram)
Een boxplot is de grafische voorstelling van het 5-getallen-résumé: de randen van de box: Q1 (bodem)
Q3 (deksel) het tussenschot in de box: Me twee « bakkebaarden »:
van de box tot aan Xmin en Xmax
Doel:een snelle vergelijking van verschillende frequentieverdelingen
Boxplot (5-getallen-résumé)
Xmax
Q3
Me
Q1
Xmin
Vergelijking boxplots
Grafische bepaling van kwantielen
0
20
40
60
80
100
120
meetschaal
rel.F
percentiel:P27 = 133
percentiele rang:P528 = 96%
133 528
27
96
Hoofdstuk 3Maatstaven voor ligging en spreiding
3.1. Centrummaten – Gemiddelden
3.2. Kwantielen
3.3. De spreidingsmaten
Spreiding, dispersie, variatie
3 invalshoeken: de verschillen tussen de uitkomsten
onderling de range op de meetschaal, waarbinnen
een bepaald percentage van het totaal aantal waarnemingen ligt
de verschillen tussen de uitkomsten en de centrummaten
De variatiebreedte of de range (1)
Wat?het verschil tussen de uiterste resultaten
Voordelen: zeer snel en eenvoudig te bepalen
Nadeel: maximaal beïnvloed door uitbijters
min maxX X R
De variatiebreedte of de range (2)
Bij gegroepeerde gegevens is de range:
LH bBR 1
LH mmR 2
iRR 21
0
De interkwartielafsand (IKA)
Beter dan de range:
Voordeel:totaal ongevoelig voor uitbijters!
Ook: IDA = interdecielafstand (D9 – D1)
257513 PPQQIKA
Spreiding, dispersie, variatie
3 invalshoeken: de verschillen tussen de uitkomsten
onderling de range op de meetschaal, waarbinnen
een bepaald percentage van het totaal aantal waarnemingen ligt
de verschillen tussen de uitkomsten en de centrummaten
Spreiding
Algemeen: de afstand tussen een centrummaat C en de waarnemingsresultaten Xi
Spreiding:
waarin
n
CXq
i
MoMeXC ,,nq ,...,2,1
De gemiddelde absolute afwijking
Wat?het gemiddeld verschil tussen elke uitslag en het rekenkundig gemiddelde van alle uitslagen
Symbool:
Formule:
XXfn ii 1
voor gegroepeerde gegevens: Xi mi
im
De variantie en de standaardafwijking
Wat?de variantie van een reeks uitslagen geeft aan in hoeverre deze afwijken van het gemiddelde
Symbool:
Formule: n
XXS i
2
2
2Smi
De standaardafwijking (1)
Variantie: wordt uitgedrukt in de tweede macht van de meeteenheid
de standaardafwijking is de vierkantswortel uit de variantie
de standaardafwijking is de belangrijkste spreidingsmaat in de statistiek
De standaardafwijking (2)
Formule:
of
n
XXSS i
2
2
22
Xn
XS i
voor gegroepeerde gegevens: Xi fi .mi
fi . mi²
De standaardafwijking (3)De standaardafwijking is de meest
gebruikte spreidingsmaat: normale verdelingen worden gekarakteriseerd
door het rekenkundig gemiddelde en de standaardafwijking
in een Gauss-curve is de afstand van de buigpunten tot de symmetrieas steeds gelijk aan de standaardafwijking
in een normale verdeling ligt steeds een zelfde percentage van de waarnemingen tussen het gemiddelde vermeerderd/verminderd met 1, 2 of 3 keer de standaardafwijking
Normale verdelingen (1)
SXN ;
b.v. N(63;12,7)
16%
Normale verdelingen (2)
vlakke normale verdeling
spitse normale verdeling
Normale verdelingen (3)
156 164 172 180 188 196 204 cm NL
150 157 164 171 178 185 192 cm B
De variatiecoëfficiënt
Wat?Een relatieve spreidingsmaat, onafhankelijk van de meeteenheid, om de spreiding van verschillende steekproeven te vergelijken
Symbool:
Formule:
De standaardafwijking wordt uitgedrukt in verhouding tot het rekenkundig gemiddelde
V
X
SV
