Hans Welleman 1

Virtuele arbeid

Hfst 15

Hans Welleman 2

ARBEID

F

u

uF

FuFA

Arbeid = kracht maal verplaatsing langs de werklijn van de kracht

Hans Welleman 3

BELAST PUNTDEELTJE

Puntdeeltje

x

y

z

zzyyxx FuFuFuA

Bij een virtueel mogelijke verplaatsing leveren de krachten virtuele arbeid.

e.v. 1 e.v. 2 e.v. 3

neem virtuele verplaatsingen aan in x,y en z-richting:

, ,x y zu u u

evenwicht eist:

0A

Hans Welleman 4

STAR LICHAAMmogelijke verplaatsingen zijn: translaties en rotaties

verplaatsing v/h lichaam ligt vast

met 2 translaties en 1 rotatie

in een punt (b.v. O):

O

0 0 0, ,x y zu u

Hans Welleman 5

VERPLAATSING van punt i ?

Horizontale verplaatsing van O Verticale verplaatsing van O Rotatie om O

verplaatsingsbijdragen t.g.v. de rotatie !

0zr

Hans Welleman 6

VERPLAATSING door kleine rotaties

0

sin

cos

met en:

sin cos

z i

i i

i i

a c

b c

c r

y x

r r

0

0

i z

i z

a y

b x

c=

Horizontale verplaatsing = verticale afstand tot rotatiepunt maal de rotatie

Verticale verplaatsing = horizontale afstand tot rotatiepunt maal de rotatie

Hans Welleman 7

VERPLAATSING van punt i0 0 0

0 0 0

xi x x i z

yi y y i z

u u a u y

u u b u x

Hans Welleman 8

ARBEID OP STAR LICHAAM

Fxi

Fyi

0 0 0

0 0 0 0

:

xi xi yi yi

xi x yi y z i yi i xi

xi x yi y z

arbeid

A F u F u

A F u F u x F y F

A F u F u T

0 0 0

0 0 0

xi x x i z

yi y y i z

u u a u y

u u b u x

Hans Welleman 9

VIRTUELE ARBEIDvoor een star lichaam

0 0 0

0 0 0 0

algemeen geldt:

xi x yi y z i yi i xi

xi x yi y z

A F u F u x F y F

A F u F u T

e.v. 1 e.v. 2 e.v. 3kracht maal verplaatsing moment maal rotatie

evenwicht eist:

0A

Hans Welleman 10

CONCLUSIE

Beginsel van virtuele arbeid is het zelfde als het toepassen van het EVENWICHT

Hans Welleman 11

u

u

Virtuele arbeid voor mechanismen Arbeid verricht door de

interactiekrachten is samen nul

Krachten zijn evengroot en tegengesteld en beide delen hebben dezelfde (virtuele) verplaatsing

(1) (2)u uA A A

Alleen uitwendige krachten verrichten arbeid !

Hans Welleman 12

MECHANISMEN

Kinematisch onbepaald Welke mogelijkheden ?

Scharnier, N, V geen M

Glij-scharnier, N, M geen V

Telescoop, V, M geen N

Geen van de aanwezige verbindingskrachten levert

arbeid !

Hans Welleman 13

BIJZONDER GEVALglij- of schuifverbinding

arbeid door M is nul !

Arbeid door moment t.g.v. N :

A N u

kleine virtuele verplaatsingen en rotaties : arbeid = NUL

Kan vrij bewegen zonder dat er arbeid

wordt verricht !

Virtuele verplaatsingen zijn klein maar worden overdreven groot getekend

Geen cirkelbogen toepassen maar rechte hoeken (rotaties zijn ook klein maar worden groot getekend)

Hans Welleman 14

RESULTAAT

Voor mechanismen geldt dat de totale virtuele arbeid de arbeid is die wordt verricht door alleen de van buiten op de constructie aangrijpende krachten

Hans Welleman 15

MECHANISMEN ?????

Geen zinvolle constructie Dat is juist maar …….

=

M

arbeid = 0

M

alleen M kan arbeid verrichten !

Hans Welleman 16

NU MET BELASTING …....

Totale (virtuele) arbeid moet nul zijn !

F

=

FM M

eis totale arbeid = 0 !

levert : M

M FM

u

Hans Welleman 17

VOORBEELD : bepaal M(a)

l

F

a b

M

F

M

u

1

u

a

2

u

b

x-as

z-as

1 2 0

0

A F u M M

u uA F u M M

a b

1 10F M

a b

F abM

a b

Hans Welleman 18

AANPAK Laat de krachtsgrootheid die je wilt weten

(virtuele) arbeid verrichten Dit kan alleen door de bij de kracht of

moment behorende vrijheidsgraad een (virtuele) verplaatsing of rotatie te geven

Hierdoor ontstaat bij S.B. constructies een mechanisme. Alleen de belasting en de gevraagde grootheid verrichten arbeid. (geen vervorming in de constructie)

Hans Welleman 19

VOORBEELD : oplegreactie AV

AV

F

u

l

a bz-as

F

0V

V

u bA A u F

lF b

Al

ub

l

AV

Hans Welleman 20

“SMAKEN” VOOR LIGGERS

Oplegreacties - neem de oplegging weg Inklemmingmoment - scharnier Dwarskracht - schuifscharnier Moment - scharnier Normaalkracht - telescoop

u u

V

V

u

Hans Welleman 21

…is een FEEST !!

…en precies het zelfde als EVENWICHT

VIRTUELE ARBEID …..