Handleiding voor de DWO-auteursomgeving

voor het maken van eigen opdrachten

1

Inhoud Inleiding 3 Voorbereiding 3 Een bestaande activiteit aanpassen 4 Een volledig nieuwe activiteit ontwerpen 5 Berekeningen, herleidingen en andere opdrachten met een expressie als antwoord 6 Opdrachttekst 7 Het antwoordmodel 7 Scores 8 Een voorvoegsel gebruiken 8 Een startexpressie toevoegen 8 Opdrachten randomiseren 9 Definitie van de randomvariabelen 9 Gebruik van de randomvariabelen 10 Gerandomiseerde (decimale) breuken 11 Verschillende feedbackopties: oefenen of toetsen 11 Opdrachten met vergelijkingen 12 Verschillende opties binnen het antwoordmodel bij vergelijkingen 14 Tussenantwoorden en eindantwoorden 15 Afgeronde oplossingen 16 Ongelijkheden 17 Vergelijkingen zonder oplossing 18 Hulpmiddelen bij het oplossen van vergelijkingen 19 Bewerkingsknoppen 19 Abc-knop 19 Substitutieknop 20

2

Opdrachten ontwerpen met de auteursomgeving van de DWO

Inleiding De DWO (Digitale Wiskunde Oefenomgeving) is een webbased leeromgeving, ontworpen voor het vak wiskunde. Het biedt scholen de mogelijkheid om een deel van de wiskundestof digitaal aan te bieden aan leerlingen.

- Door registratiefaciliteiten op een centrale webserver wordt het werk van de leerling opgeslagen en vormt de DWO een soort digitaal werkboek. Docenten kunnen het leerlingwerk in scoreoverzichten bekijken, maar ook op gedetailleerd niveau per leerling.

- Een auteursomgeving biedt de docent de mogelijkheid om ook zelf activiteiten te ontwerpen. Dat kan door aanpassing van bestaande activiteiten, maar het is ook mogelijk volledig nieuwe activiteiten te ontwerpen.

We laten kort zien hoe bestaande activiteiten kunnen worden aangepast, maar deze handleiding gaat vooral over het ontwerpen van volledig nieuwe activiteiten.

Voorbereiding 1. Log (als docent) in op de DWO.

- Ga naar www.wisweb.nl en klik in de menubalk op de link naar de DWO. Je kunt ook het rechtstreekse adres gebruiken: www.fi.uu.nl/dwo

- Log in met behulp van je docentenaccount.

2. Ga naar de gewenste module (of maak indien nodig een nieuwe) - Klik op de knop Modules beheren. - Klik eventueel op Nieuwe module aanmaken en vul de gevraagde

gegevens in.

- Ga naar de activiteiten van de module door op te klikken.

3. Ga naar de gewenste activiteit - Klik op Nieuwe activiteit aanmaken - Kies een activiteit uit de lijst van basisactiviteiten

o Kies uit de lijst een activiteit die je wilt aanpassen en klik op Toevoegen

o Als je een volledig nieuwe activiteit wilt ontwerpen, kies dan de activiteit “Wiskundeopdracht” en klik op Toevoegen

- Kies een naam en klik op OK.

- De nieuwe activiteit kun je nu bewerken door te klikken op:

3

Een bestaande activiteit aanpassen Meestal betekent het aanpassen van een bestaande activiteit het veranderen van de items (formules, vergelijkingen enz). De geformuleerde opdracht die de leerling moet uitvoeren blijft hetzelfde. Kies bijvoorbeeld de activiteit “Functies raden” .

Klik op toevoegen en bewerken ( ). Klik op toon items (2x). Je krijgt dan het volgende scherm:

De formules voor de te raden functies kunnen hier worden aangepast. Randomisering van parameters gaat als volgt: vervang een parameter door bijvoorbeeld {1;2;3}. Bij het opstarten van de opdracht wordt er dan random een keuze gemaakt uit de getallen 1, 2 en 3. Na aanpassing kan de nieuwe activiteit worden opgeslagen. Andere activiteiten zijn op vergelijkbare wijze aan te passen.

4

Een volledig nieuwe activiteit ontwerpen Kies bij het toevoegen van de activiteit “Wiskundeopdracht” uit de lijst met basisactiviteiten.

Na toevoegen en bewerken ( ) krijg je het volgende scherm te zien. Hieronder zie je een globaal overzicht van de mogelijkheden:

Hier komt de tekst voor de opdracht. Met behulp van de knoppen kunnen formules, plaatjes, grafieken en extra antwoord-vakken, etc. worden toegevoegd.

Stel een grafiekentool beschikbaar.

Gebruik randomparameters om de opdrachten te randomiseren.

Vul hier het gewenste antwoord in.

Zowel de gelijkwaardig-heid als de vorm van het antwoord kunnen worden gecontroleerd.

Verschillende soorten feedback en punten-toekenning zijn instelbaar.

De volgorde van opdrachten kan worden aangepast.

Tussenstappen zijn mogelijk en worden gecontroleerd.

Extra faciliteiten voor het oplossen van vergelijkingen

Bekijk de opdracht zoals de leerling die ziet.

Opdrachten toevoegen en verwijderen.

5

Berekeningen, herleidingen en andere opdrachten met een expressie als antwoord Een belangrijke groep wiskundeopdrachten heeft een expressie als antwoord. Enkele voorbeelden:

- Maak deze berekening - Ontbind deze formule - Bereken de functiewaarde voor een bepaalde waarde van x - Herleid tot een breuk - Stel een formule op voor de inhoud als functie van de diameter - Geef de afgeleide functie.

In een digitale vorm aangeboden ontstaat de mogelijkheid van directe feedback op de juistheid van het antwoord. Als de achterliggende software de ‘betekenis’ van de expressies ‘begrijpt’, dan kan ook gelijkwaardigheid met het juiste antwoord worden gecontroleerd. Daarmee kunnen de stappen naar het antwoord toe worden gecheckt en ontvangt de leerling tussentijds feedback bij het uitvoeren van een strategie. Met name deze stapsgewijze feedback op een vrij te kiezen strategie blijkt krachtig te zijn en stond centraal in het ontwerp van de achterliggende software.

De opdracht zoals hierboven gemaakt, ondersteunt bijvoorbeeld de onderstaande strategie (maar ook andere). Bij elke stap wordt gelijkwaardigheid gecontroleerd en wordt een volgende stap gevraagd totdat de gewenste vorm (optie exact staat aan) bereikt is.

6

Opdrachttekst In het vak links kan de opdracht voor de leerling worden geformuleerd met behulp van een teksteditor. Binnen de gewone tekst kunnen ook op eenvoudige wijze formules worden gemaakt. De F-knop in de menubalk van de editor geeft toegang tot een formule-editor. Naast formules kunnen er ook plaatjes, links en extra antwoordvakken worden toegevoegd. In de toekomst zullen er steeds meer componenten beschikbaar komen (bijvoorbeeld grafieken, tabellen, animaties).

Het antwoordmodel Hier wordt het juiste antwoord ingevuld. Met behulp hiervan wordt het antwoord van de leerling gecontroleerd. Bij de controle wordt gekeken naar de aangevinkte opties. De optie ‘gelijkwaardig’ staat altijd aan. Als dit de enige optie is, wordt elk gelijkwaardig antwoord van de leerling goed gerekend als eindantwoord (de groene krul verschijnt). Met de optie ‘exact’ kan worden ingesteld dat het antwoord dezelfde vorm moet hebben als het antwoordmodel. Overigens worden bepaalde triviale varianten toegestaan (bijvoorbeeld als x + 3 gevraagd wordt, dan is 3 + x ook goed). Is het antwoord van de leerling gelijkwaardig, maar niet exact, dan verschijnt een oranje V en kan de leerling een nieuwe expressie invullen. Bij de optie exact kan de ontwerper ook meerdere vormen goed laten rekenen. De alternatieve vormen worden gescheiden door :: (tweemaal een dubbele punt). Zie het voorbeeld hieronder.

7

De optie ‘herleiding’ kan beter niet worden gebruikt omdat in de volgende versie een beter alternatief beschikbaar komt. (Hiermee kunnen algemenere kenmerken van het antwoord worden gecheckt.) Scores De score die moet worden toegekend kan worden opgesplitst. Bij de optie exact kan een deel van de score al worden toegekend als het antwoord slechts gelijkwaardig is Een voorvoegsel gebruiken Wanneer een leerling gevraagd wordt om een formule (of een getalsexpressie), bijvoorbeeld voor de afgeleide functie, dan is het meestal gewenst om als antwoord te geven in de vorm: f ´(x) = 2 cos x in plaats van gewoon: 2 cos x. Dit kan worden ‘afgedwongen’ door in het antwoordmodel op te geven:

In dit geval wordt het voorvoegsel f ´(x) = alvast neergezet voor de leerling.

Een startexpressie toevoegen Bij sommige opdrachten is het zinvol om in het antwoordvak (van de leerling) alvast een expressie neer te zetten. Als er een herleiding moet worden gemaakt, dan is dit zinvol, omdat het startpunt dan gegeven is:

Ook bij het oplossen van vergelijkingen is het zinvol om de gegeven vergelijking als startvergelijking toe te voegen. Over vergelijkingen later meer.

8

Opdrachten randomiseren Om verschillende redenen kan het gewenst zijn om opdrachten te voorzien van random parameters:

- We willen dat elke leerling een andere opdracht krijgt, zodat antwoorden niet gekopieerd kunnen worden.

- Het is een efficiënte manier om een reeks verschillende opdrachten van dezelfde soort te genereren.

- Leerlingen kunnen, als ze dat willen, meerdere keren gebruik maken van dezelfde serie opdrachten door deze opnieuw te initiëren (optie: oefenen eindeloos)

Hieronder staat een voorbeeld van een gerandomiseerde opdracht.

Definitie van de randomvariabelen De gebruikte randomvariabelen worden gedefinieerd in het vak rechtsboven. Het zijn altijd gehele getallen. Er zijn twee manieren van definiëren. Door middel van intervallen:

a = 2..9 (gebruik precies twee punten tussen de grenswaarden) Door middel van verzamelingen: a = 2,5,7 (de mogelijke waarden opgesomd, gescheiden door komma`s) Een combinatie is ook mogelijk, bijvoorbeeld: a = 1..9,11..19

9

Daarnaast is het mogelijk om eerder gedefinieerde variabelen te gebruiken in de definitie van nieuwe variabelen. Als we bijvoorbeeld willen dat b kleiner is dan a, dan kunnen we b definiëren als: b = 0..a Er kunnen ook formules gebruikt worden in de definities. Gebruik van de randomvariabelen De randomvariabelen kunnen gebruikt worden in het antwoord, in de startexpressie, maar ook in de opdrachttekst. Bij gebruik in de opdrachttekst moeten ze wel opgenomen zijn in een formulevak. De gedefinieerde randomvariabelen worden bij het opstarten van de activiteit ingevuld, maar dit gebeurt alleen indien ze tussen hekjes staan. De plaatsing van de hekjes is belangrijk. De expressie tussen de hekjes wordt namelijk, indien mogelijk, enigszins vereenvoudigd. In elk geval worden de numerieke waarden geëvalueerd. In het bovenstaande voorbeeld geven we #a+b# als oplossing, samen met de optie exact. Uiteraard willen we hier de uitgerekende waarde hebben. Zouden we #a# + #b# gebruiken dan lukt dit niet. Een bredere plaatsing van de hekjes, bijvoorbeeld #ax+b# in plaats van #a#x+#b# voorkomt ook expressies als “1x + 0” . Er dan wordt gewoon x van gemaakt (als a=1 en b=0). Het voorbeeld hieronder laat nog eens zien wat de invloed is van de verschillende posities van de hekjes (a,b en p hebben de waarde 1).

1.1. x1

1. x1

1. x x

10

Gerandomiseerde (decimale) breuken De randomvariabelen zijn altijd gehele getallen. Gerandomiseerde breuken kunnen worden gemaakt door twee randomvariabelen te delen. Via de functie: #rnd (..._n)# kan hier een decimale breuk van worden gemaakt. Indien nodig wordt afgerond op het opgegeven aantal (n) decimalen. Nullen aan het eind worden weggelaten.

Verschillende feedbackopties: oefenen of toetsen Stapsgewijze feedback is een krachtige optie, maar er zijn ook enkele nadelen. Soms lokt het ongewenst trial-and-errorgedrag uit. Bovendien kan de leerling teveel gaan ‘leunen’ op de feedback en wordt zelfcontrole ‘afgeleerd’. Om die reden zijn er verschillende mogelijkheden om feedback te beperken of uit te stellen en trial-and-errorgedrag te voorkomen. Er zijn vijf opties: - Oefenen. Elke stap wordt gecontroleerd. Verbeteren van fouten is onbeperkt

mogelijk zonder puntenafttrek. - Oefenen eindeloos. Er wordt een knop toegevoegd waarmee de oefening

opnieuw gemaakt kan worden (alleen zinvol bij gerandomiseerde opdrachten) - Oefenen met strafpunten. Elke fout kost 2 (van de 10) punten. - Zelftoets. Er wordt pas gecontroleerd bij het klikken op de nakijkknop na het

voltooien van de reeks opdrachten. Vaker keren nakijken gaat ten koste van de totaalscore.

- Eindtoets. De toets kan alleen worden nagekeken door een docent. Een gekozen optie geldt voor alle opdrachten van de activiteit.

11

Opdrachten met vergelijkingen Een andere categorie wiskundeopdrachten zijn vergelijkingen die moeten worden opgelost. Ook deze opdrachten kunnen, bij een digitale aanpak, profiteren van stapsgwijze feedback. De verschillende stappen zijn immers gelijkwaardige vergelijkingen (die, als het goed is, steeds eenvoudiger worden). Als de gelijkwaardigheid kan worden gecontroleerd, dan kan op dezelfde wijze feedback worden gegeven. Hieronder staat een voorbeeld.

De optie “Vergelijking” moet zijn aangevinkt.

De volgende strategie is een van de vele mogelijkheden die de leerling kan kiezen.

12

Elke gelijkwaardige vergelijking kan als tussenstap worden gebruikt. Dit biedt weer de vrijheid voor de leerling om een eigen weg naar de oplossing te volgen en met behulp van de feedback weet hij dat hij (nog) op de goede weg zit. De gelijkwaardigheid wordt gecontroleerd door het invullen van de opgegeven oplossingen van het antwoordmodel. Bij het oplossen van vergelijkingen geeft de software meer gedetailleerde feedback bij bepaalde fouten. Enkele voorbeelden:

Deze feedbackopties zij ingebouwd, dus die krijgt de ontwerper kado.

13

Verschillende opties binnen het antwoordmodel bij vergelijkingen De optie Gelijkwaardig is standaard aangevinkt. De optie Eindoplossing staat aan als de vergelijking moet worden opgelost. Er zijn opdrachten te bedenken waarop het antwoord alleen een vergelijking is (die niet hoeft te worden opgelost). Gedacht kan worden aan modelleeropdrachten. In dat geval staat deze optie uit. Met de optie Exact kan de vorm van de eindoplossing worden afgedwongen (de optie Eindoplossing moet dus ook aangevinkt zijn). Deze moet dan exact de vorm hebben van die in het antwoordmodel. Zo niet, dan wordt de volgende feedback gegeven:

Van de leerling wordt nu verwacht dat hij de wortels uitrekent. Ook bij vergelijkingen is het mogelijk om meerdere vormen goed te rekenen bij de optie Exact. Hieronder zie je hoe dat werkt:

Bij deze vergelijking worden (naast x=0) zowel x = 3

51 als x = 1,6 als eindoplossing

geaccepteerd, maar bijvoorbeeld x= 85 niet.

14

Tussenantwoorden en eindantwoorden In de schoolpraktijk blijkt dat, bij het oplossen van vergelijkingen de tussenstappen niet altijd netjes gelijkwaardig zijn. Bij wortelvergelijkingen worden vaak beide kanten gekwadrateerd en ontstaan er extra oplossingen die later verworpen moeten worden. Die extra oplossingen moeten dus in de tussenstappen geaccepteerd worden.

Pas bij de laatste stap krijgt de leerling feedback dat hij nog niet klaar is. In de editor ziet deze opdracht er zo uit:

15

Eigenlijk worden twee oplossingen gegeven (gescheiden door een puntkomma). De eerste voldoet als tussenoplossing, de tweede is vereist als eindoplossing. Bij gebroken vergelijkingen kan een dergelijke aanpak ook nodig zijn.

Afgeronde oplossingen Regelmatig komt het voor dat leerlingen het eindantwoord moeten afronden. Wanneer we deze afrondingen als oplossing in het antwoordmodel zetten, dan ontstaat er een probleem in de tussenstappen. De antwoorden voldoen dan namelijk niet om de tussenstappen te controleren. Ook dit probleem kunnen we oplossen door tussenoplossingen en eindoplossingen te scheiden.

De tussenstappen kunnen nu zonder problemen gemaakt worden en als de leerling niet meteen de afronding maakt, dan wordt er in de feedback naar gevraagd. Overigens kan het systeem niet omgaan met tussentijdse afrondingen.

16

Ongelijkheden Lineaire ongelijkheden kunnen op dezelfde manier worden opgelost als gewone vergelijkingen. De ongelijkheidstekens kunnen gewoon gebruikt worden in het oplossingsmodel. En in de stappen van de leerling.

Kwadratische en andere niet-lineaire ongelijkheden worden eigenlijk nooit rechtstreeks opgelost. Eerst wordt de bijbehorende vergelijking opgelost. Daarna wordt (vaak grafisch) de oplossing van de ongelijkheid bepaald. Ook hier wordt in de editor gebruik gemaakt van het onderscheid in tussenoplossingen en eindoplossingen.

17

Vergelijkingen zonder oplossing Als er geen oplossing is, dan kan het volgende antwoordmodel worden gebruikt:

De leerling kan dan invullen: “geen....” en daarmee is de vergelijking correct opgelost: Maar vaak moet de leerling eerst enkele tussenstappen maken, voordat hij kan concluderen dat er geen oplossing is. Dit is problematisch, omdat de gelijkwaardigheid van de tussenstappen zonder een aanwezige oplossing niet gecontroleerd kan worden. Er zijn twee oplossingen voor dit probleem: - De eerste oplossing werkt alleen voor kwadratische vergelijkingen.

Als ‘tussenoplossing’ worden de coëfficiënten van de vergelijking opgegeven:

- Nu kunnen er ook tussenstappen gemaakt worden.

- Een oplossing die ook voor andere soorten vergelijkingen werkt, is het gebruik van complexe getallen. De complexe oplossingen worden in dat geval als tussenoplossing gebruikt:

18

Hulpmiddelen bij het oplossen van vergelijkingen In de editor kan de ontwerper een aantal hulpmiddelen eschikbaar stellen aan de

ng voor het oplossen van de opdracht: b

leerli

Bewerkingsknoppen Met deze knoppen kan de leerling bewerkingen laten uitvoere van de

rgelijkingen, bijvoorbeeld: aan beide kanten vijf erbij tellen.

eze knop geeft de leerling de gelegenheid om de discriminant uit te rekenen en te laten ntroleren:

n aan beide kantenve

Klik op de plus-knop.

Vul een getal in, gevolgd door Enter.

De volgende stap wordt berekend

abc-knop Dco

19

Substitutieknop Deze knop maakt een substitutie mogelijk, bijvoorbeeld voor het oplossen van vergelijkingen als hieronder:

20