formularium Wiskunde

13

Formularium wiskunde, 4e jaar

Formularium Wiskunde

Vlakke analytische meetkunde

1. VectorenDe vector A⃗B heeft

Een lengte, |AB| Een richting, die van de rechte AB Een zin, van A naar B ( pijl)

Gelijke vectoren

Zelfde lengte Zelfde richting Zelfde zin

2 vectoren zijn // als ze dezelfde zin hebben.

Tegengestelde vectoren

Zelfde lengte Zelfde richting Tegengestelde zin

Formule chasles-möbius:

A⃗B+ B⃗C= A⃗C

2. PlaatsvectorenVerband vectoren en plaatsvectoren

A⃗=O⃗A

A⃗B=B⃗−A⃗

Evenwijdige plaatsvectoren

Corresponderen met punten die collineair zijn met de oorsprong

Tegengestelde plaatsvectoren

Zijn vectoren die symmetrisch gelegen zijn t.o.v. de oorsprong

Midden van een lijnstuk

M⃗=12

( A⃗+ B⃗ )

13


Zwaartepunt van een driehoek

Z⃗= A⃗+B⃗+ C⃗3

Als ABCD een parallellogram is, dan geldt dat

A⃗+C⃗=B⃗+D⃗

In een willekeurige driehoek ABC geldt voor de middenparallel [ MN ] van [BC ] :

M⃗N=12B⃗C

3. Vectoriële vergelijkingenRichtingsvector van een rechte

Is elke vector ( verschillende v/d nulvector) die // is met de rechte.

Vectoriële vergelijking van een rechte bepaald door 2 punten

P⃗= (1−k ) A⃗+k B⃗

Vectoriële vergelijking van een rechte bepaald door 1 punt en een richtingsvector

P⃗= A⃗+k S⃗

Vectoriële vergelijking van een rechte door de oorsprong

P⃗=k S⃗

4. Cartesische CoördinatenMidden van een lijnstuk

M (x1+x22

,y1+ y22

)

Zwaartepunt van een driehoek

Z (x1+x2+x3

3,y1+ y2+ y3

3)

5. RichtingscoëfficiëntDefinitie richtingsgetallen

De coördinaat (a ,b ) van een richtingsvector S⃗ van een rechte.

13


Definitie richtingscoëfficiënt

1e getal van een koppel richtingsgetallen van een rechte gelijk aan 1 2e getal = richtingscoëfficiënt

Richtingsgetallen van een rechte door de punten A(x1 , y1) en B(x2 , y2)

(x2−x1 , y2− y1)

Richtingscoëfficiënt bepalen

Vorm v/d vergelijking = y=mx+q ricco = m

Vorm v/d vergelijking = ux+vy+w=0 ricco m=−uv

Richtingsgetallen 2e coördinaat als 1e = 1

2 punten m=y2− y1x2−x1

6. ParametervergelijkingenStelsel parametervergelijkingen van de rechte AB met A(x1 , y1) en B(x2 , y2)

{ x=(1−k ) x1+k x2y=(1−k ) y1+k y2

Stelsel parametervergelijkingen van de recht door A(x1 , y1) en met richtingsgetallen (a ,b)

{x=x1−kay= y1−kb

7. Cartesische vergelijkingen van rechtenCartesische vergelijking van een rechte bepaald door een punt A(x1 , y1) en een koppel

richtingsgetallen (a ,b)

x−x1a

=y− y1b

Cartesische vergelijking van een rechte bepaald door een punt A(x1 , y1) en een richtingscoëfficiënt m.

y− y1=m(x−x1)

Cartesische vergelijking van een rechte bepaald door 2 punten A(x1 , y1) en B(x2 , y2)

y− y1=y2− y1x2− x1

(x−x1)

8. Het Scalaire product of inproductNorm van een vector

13


Is de afstand van het beginpunt tot het eindpunt van een representant van die vector

Scalair product

A⃗ . B⃗=‖A⃗‖.‖B⃗‖.cos (^⃗A , B⃗)

9. Loodrechte stand2 rechten a en b met koppels richtingsgetallen (a1 , b1) en (a2 , b2)

a⊥b⇔a1a2+b1b2=0

2 rechten a en b met richtingscoëfficiënten m1 en m2

a⊥b⇔m1m2=−1⇔− 1m2

10. Afstanden en hoekenAfstand van het punt A(x1 , y1) tot de oorsprong

‖OA‖=√x12+ y12

Afstand tussen de punten A(x1 , y1) en B(x2 , y2)

‖AB‖=√ (x2−x1 ) ²+ ( y2− y1 ) ²

11. De cirkelEen cirkel met middelpunt M en straal r

Is de verzameling van alle punten van het vlak die op een afstand r van M liggen.

De straal r van een cirkel

Is de lengte van elk lijnstuk begrensd door het middelpunt v/d cirkel en een punt dat op de cirkel ligt

Een koorde

Is een lijnstuk dat 2 verschillende punten v/d cirkel verbindt.

De middellijn

Is een koorde die door het middelpunt gaat

De diameter van een cirkel

Is de lengte van de middellijn

Het apothema van een koorde

Is het lijnstuk dat vanuit het middelpunt loodrecht op de koorde staat

13


De raaklijn van de cirkel

Is een rechte die precies 1 gemeen punt heeft met de cirkel

De normaal in een punt van de cirkel

Is de loodlijn op de raaklijn in dat punt van de cirkel

Omtrek van de cirkel met straal r

2πr

Oppervlakte van een cirkel met straal r

π r2

Er is een rechte waarvoor geldt

Ze gaat door het middelpunt v/d cirkel Ze staat loodrecht op een koorde Ze deelt die koorde middendoor

Een middelpuntshoek van een cirkel

Is een hoek waarvan het hoekpunt het middelpunt van de cirkel is

Een omtrekshoek van een cirkel

Is een hoek waarvan het hoekpunt op de cirkel ligt en waarvan beide benen de cirkel snijden

Omtrekshoeken die op dezelfde boog staan zijn gelijk.

In een cirkel is een omtrekshoek de helft van de middelpuntshoek die op dezelfde boog staat.

Elke omtrekshoek die op een halve cirkel staat is recht

Cartesische vergelijking van de cirkel met middelpunt (x1 , y1 ) en straal r

(x−x1 ) ²+( y− y1 ) ²=r ²

Cartesische vergelijking van de cirkel door de oorsprong met straal r

x ²+ y ²=r ²

Onderlinge ligging van een cirkel en een rechte

Snijdend Rakend Geen gemeenschappelijke punten

13


13


Ruimtemeetkunde

1. InleidingPrisma

Is een ruimtelichaam waarbij 2 zijvlakken congruente veelhoeken zijn die bovendien // zijn en waarbij alle overige zijvlakken rechthoeken zijn.

Cilinder

Is een ruimtelichaam dat ontstaat als we een rechthoek laten wendelen om de drager van een zijde.

Piramide

Is een ruimtelichaam waarbij 1 zijvlak een veelhoek is en alle overige zijvlakken driehoeken met een gemeenschappelijk hoekpunt zijn.

Kegel

Ruimte lichaam dat ontstaat als we een rechthoekige driehoek laten wentelen om de drager van de rechthoekszijde.

Bol

Is een ruimte lichaam dat ontstaat als we een halve cirkel laten wentelen om de middellijn die de halve cirkel begrenst.

Veelvlakken

Zijn ruimtefiguren waarvan de zijvlakken veelhoeken zijn.

Lichaamsdiagonaal

Elk verbindingslijnstuk van 2 hoekpunten van een veelvlak dat niet in 1 van de zijvlakken ligt.

Diagonaalvlak

Elk vlak dat een lichaamsdiagonaal van het veelvlak bevat.

Regelmatige veelvlakken

Zijn veelvlakken waarbij alle zijvlakken congruente regelmatige veelhoeken zijn.

Formule van Euler

z+h=r+2

13


2. Onderlinge ligging van rechten en vlakken.Onderlinge ligging van rechten

Snijdend Kruisend Strikt // Samenvallend

Onderlinge ligging van een rechte en een vlak

Snijdend Rechte ligt in het vlak Strikt //

Onderlinge ligging van vlakken

Snijdend Strikt // Samenvallend

3. Vlakke voorstellingenVerschillende voorstellingen

Kavalierperspectief Aanzichten Uitslagen

4. Rekenen in de ruimteAfstand van een punt A tot een vlak α

Is gelijk aan de afstand van A tot het snijpunt van de loodlijn uit A op α met α.

Afstand tussen 2 evenwijdige vlakken

Is gelijk aan de afstand van een willekeurig punt van 1 van deze vlakken tot het ander vlak

Hoek tussen een rechte a en een vlak α

Is de hoek gevormd door a en zijn loodrechte projectie op α

Hoeken van 2 snijdende vlakken

Zijn de hoeken gevormd door de loodlijnen die getrokken worden in beide vlakken op de snijlijn in een punt van de snijlijn

13


5. Inhouden en oppervlaktenRecht prisma

A=2. A grondvlak+omtrek grondvlak .h

V=A grondvlak .h

Cilinder

A=2πr (r+h )

V=π r2h

Piramide

A=A grondvlak+12. omtrek grondvlak .apothema

V=13. A grondvlak . h

Kegel

A=πr (r+a )

V=13π r2h

Bol

V= 43πr ³

1 hl 100l1l 10dl1dl 10cl1m³ 1000dm³1dm³ 1000cm³1m² 100dm²1dm² 100cm²1dm³ 1l1 are 100m²

13


Beschrijvende statistiek

1. Gegevens verzamelenBeschrijvende statistiek

Verzamelt gegevens en beschrijft de toestand door die gegevens te ordenen in tabellen, te verwerken, samen te vatten en grafisch voor te stellen

Populatie

De verzameling van alle elementen waarvan we een bepaalde eigenschap willen bestuderen.

Steekproef

Een deel van de populatie waarvoor we waarnemingen uitvoeren om een bepaalde eigenschap te bestuderen

Omvang van de steekproef

Aantal elementen van de steekproef

Waarnemingsgetallen

Resultaten (waarnemingen) van een onderzoek

Kwantitatieve kenmerken

Kenmerken die kunnen uitgedrukt worden met een getal, eventueel gevolg door een eenheid

Kwalitatieve kenmerken

Kenmerken die een beoordeling uitdrukken of waarbij het gaat over het al dan niet aanwezig zijn van een eigenschap

Discrete gegevens

De uitkomstverzameling telt een bepaald aantal elementen, slechts welbepaalde afzonderlijke waarden zijn mogelijk

Continue gegevens

De uitkomstverzameling bevat alle reële waarden binnen een bepaald interval

2. Niet-gegroepeerde gegevens ordenen

Absolute frequentie a f i van het waarnemingsgetal x i

Is het aantal keren dat x i in de tabel voorkomt

13


Relatieve frequentie r f i van het waarnemingsgetal x i

Is de verhouding van de absolute frequentie van dat waarnemingsgetal tot het aantal gegevens

r f i=a f in

Cumulatieve absolute frequentie ca f i van het waarnemingsgetal x i

Is het aantal waarnemingsgetallen kleiner of gelijk aan x i

ca f i=a f 1+a f 2+a f 3+…+a f i

Cumulatieve relatieve frequentie crf i van het waarnemingsgetal x i

Is de verhouding van de cumulatieve absolute frequentie van dat waarnemingsgetal tot het totale aantal gegevens

cr f i=ca f i

n

Frequentie tabel

Is een tabel met gerangschikte gegevens waarin bij elke waarnemingsgetal de relatieve of absolute frequentie of beide vermeld worden

3. Grafische voorstellingenStaafdiagram

Schijfdiagram

De grootte van de corresponderende middelpunthoek is gelijk aan 360° vermenigvuldigd met de relatieve frequentie

r f i .360 °

13


Ogief

Horizontale as waarnemingsgetallen Verticale as cumulatieve absolute frequentie (ca f i)

Duid voor elk waarnemingsgetal het punt met bijhorende ca f i aan Verbind de punten met een vloeiende lijn

4. Gegroepeerde gegevens ordenenVariatiebreedte

Is het verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal.

Klassen

Zijn halfopen intervallen, zodanig dat elk waarnemingsgetal tot precies 1 klasse behoort.

Klassenbreedte

Is het verschil tussen de bovengrens en de ondergrens van een klasse.

Klassengemiddelde

Is het rekenkundige gemiddelde van de 2 grenzen van een klasse.

Absolute frequentie van een klasse

Is het aantal waarnemingsgetallen dat tot die klasse behoort.

Relatieve frequentie van een klasse

Is de verhouding van de absolute frequentie van die klasse tot het totale aantal waarnemingsgetallen

Cumulatieve absolute frequentie van een klasse

Is het aantal waarnemingsgetallen dat tot die klasse of een lagere klasse behoort.

Cumulatieve relatieve frequentie van een klasse

Is de verhouding van de absolute cumulatieve frequentie van die klasse tot het totale aantal waarnemingsgetallen

Gegroepeerde frequentie tabel

Is een frequentie tabel waarbij de waarnemingsgetallen gegroepeerd zijn in klassen

5. Gegroepeerde gegevens grafisch voorstellenHistogram

Diagram waarin met elke klasse een rechthoek correspondeert. De breedte van de rechthoek komt overeen met de klassenbreedte. De hoogte komt overeen met de absolute frequentie.

13


Frequentiepolygoon

Breid het histogram links en rechts uit met een klasse frequentie 0. Neem het midden van de bovenste zijde van elke rechthoek. Gebroken lijn = frequentiepolygoon van de gegroepeerde frequentieverdeling.

Cumulatieve frequentiepolygoon

Begin de kromme bij het punt waarvan de 1e coördinaat de ondergrens van de 1ste klasse is en die als 2e coördinaat 0 heeft.

Voor elke klasse zoek je het punt met als 1e coördinaat de bovengrens van die klasse en als 2e

coördinaat de cumulatieve absolute of cumulatieve relatieve frequentie van die klasse. De gebroken lijn = cumulatieve frequentiepolygoon van de gegroepeerde

frequentieverdeling

6. CentrummatenRekenkundig gemiddelde

x=x1+x2+…+xn−1+xn

n

Mediaan (Me )

1. Het middelste waarnemingsgetal als het aantal waarnemingsgetallen oneven is.2. Het gemiddelde van de 2 middelste waarnemingsgetallen als het aantal waarnemingsgetallen

even is.

Modus (Mo )

Is het waarnemingsgetal met de grootste enkelvoudige absolute frequentie.

7. SpreidingsmatenVariatiebreedte

Verschil tussen het grootste en het kleinste waarnemingsgetal

Kwartielen

1e kwartiel Q1 = mediaan van de 1ste helft van de gerangschikte gegevens

2e kwartiel Q2 = mediaan van de gegevens

3e kwartiel Q3 = mediaan van de 2de helft van de gerangschikte gegevens

Percentielen

De getallen p1 , p2 ,…, p99 zodanig dat 1%,2%,…,99% van de waarnemingsgetallen kleiner zijn dan of

gelijk aan respectievelijk p1 , p2 ,…, p99

Interkwartielafstand

Q3−Q1

13


Boxplot

Schematische voorstelling die het kleinste en het grootste gegeven weergeeft en ook de drie kwartielen, de mediaan en het gemiddelde

Variatie

s ²=(x1−x )2+(x2−x )2+…+ (xn−x )2

n

Standaardafwijking

s=√ (x1−x )2+(x2−x )2+…+(xn−x )2

n

8. Vergelijken van gegevensVariatiecoëfficiënt

V= sx

Z-scores

z i=xi−x

s

9. Relatieve frequentie & kansToevals- of kansexperiment

Een experiment waarvan de uitkomst door het toeval wordt bepaald

Theoretische kans

Van sommige uikomsten kan men de kans exact op voorhand bepalen

Experimentele kans

Bij een herhaaldelijk uitvoeren van een kansexperiment, geeft de relatieve frequentie van een bepaalde uitkomst je een schatting van de kans op die gebeurtenis

Wet van de grote getallen of het principe van statistische stabiliteit

Schatting van een kans wordt betrouwbaarder naarmate je het experiment vaker uitvoert

Grootste waarde

3e kwartiel

GemiddeldeKleinste waarde

1e kwartiel

13


formularium Wiskunde

Documents

Transcript of formularium Wiskunde