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8/14/2019 equacao_schroedinger_qq

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1

Equao de Schrdinger e

Suas Aplicaes

Andr Luis Bonfim Bathista e Silva

Instituto de Fsica de So Carlos Universidade de So PauloSo Carlos 2003


2/22

2

1 Introduo

Em 1926, o fsico austraco Erwin Schrdinger (1887-1961) publicou quatro trabalhosnos Annales de Physique Leipzig(1) nos quais desenvolveu a sua famosa Mecnica Quntica

Ondulatria, cujo resultado principal a equao para as rbitas estacionrias dos eltrons

atmicos, a igualmente famosa equao de Schrdinger:

( ) ( )[ ] ( ) 02 ,,,,2

,,2 =+ zyxzyxzyx VE

m

h[1]

Em relao ao trabalho de Bohr, o trabalho de Schrdinger foi bem mais completo. Uma

vez que prev tambm o seguinte:

As autofunes so correspondentes a cada autovalor.

Prev o clculo da probabilidade de um determinado estado.

Prev o clculo da probabilidade de transio de um estado para outro.

Calcula os momentos angulares orbitais.

A equao de Schrdinger nada mais que uma equao diferencial de segunda ordem,a

qual podemos aplicar para um sistema como o tomo de 1H e calcularmos os seus nveis de

energias correspondentes. Historicamente foi o primeiro sistema que Schrdinger tratou, onde os

autovalores de energia so os mesmos que previstos por Bohr.


3/22

3

2 Construo da Equao de Schrdinger

Primeiramente temos que resolver um problema de dois corpos. Neste caso, podemos

reduzir o sistema de dois corpos a um sistema de um corpo (2), considerando a massa reduzidado sistema:

21

21

mm

mm

+= [2]

Este o termo que introduzido na equao Schrdinger e podemos adquiri-lo atravs do

clculo do centro de massa e para acharmos o centro de massa temos que fazer a seguinte

igualdade m1r1=m2r2 e se variarmos r logo teremos o centro de massa. Considerando m2>>m12211 rmrm = [3]

21 rrr += [4]

21 rrr = ; 12 rrr = [4.1]

Substituindo [4.1] em [3] obtemos,

rmm

mr

12

21

+= e r

mm

mr

21

12

+= [5]

Como o prton e o eltron esto translacionando e girando com velocidades prprias. Podemos

obter a expresso da energia cintica total do sistema e a velocidade angular.

22

222

211 vmvmEK += [6]

1

1

r

v= e

2

2

r

v=

( )2222221121

rmrmEK += [7]

( )22

222

112

1rmrmEK +=


4/22

4

sendo ( )22221121

rmrmI += [8]

Substituindo [5] em [8]

2

21

21

2

1r

mm

mmI

+= [9]

21

21

mm

mm

+= [10]

22

2

1rEK = [11]

No tomo de 1H o ncleo massivo e o eltron tem massa reduzida dada pela eq. [10]

de tal maneira que gira em torno do ncleo estacionrio.

Figura 1: representao do tomo de hidrognio

O potencial de interao (coulombiano) do eltron-prton dado pela relao

( ) 2/12220

2

,, )(4

.

zyx

eZV zyx ++

=

[12]

Onde e- = carga do eltron, Z = carga do ncleo ( para o 1H, Z = 1)

A eq. de Schroedinger dependente do tempo para este sistema a seguinte relao,

conforme mostrado abaixo:

eltron


5/22

5

tiV

zyx

tzyx

tzyxzyxtzyx

=+

+

+

),,,(),,,(),,(),,,(2

2

2

2

2

22

2h

h

[13]

ou numa notao mais compacta: onde se consideramos o operador laplaciano

2

2

2

2

2

22

zyx

+

+

= [14]

Assim a eq. de Schroedinger pode ser reescrita assim:

22

2

tiV

=+ h

h

[15]

Cuja soluo dada:

e-iEt/z)y,(x,t)z,y,(x,h= [16]

Onde (x,y,z) a funo onda independente do tempo dada pela resoluo da eq. de Schroedinger

independente do tempo a seguir:

),,(),,(),,(),,(2

2

2zyxzyxzyxzyx EV =+

h[17]

ou

=+

+

+

EV

zyxzyxzyxzyx ),,,(),,(),,,(2

2

2

2

2

22

2h

(x,y,z) [18]

Para resolvermos a equao acima melhor escreve-la em coordenadas esfricas e usar o

mtodo de separao de variveis


6/22

6

eltron

Prtony

x

z

Figura 2: representao da interao coulmbiana entre o prton e o eltron,aplicando as notaes de coordenadas esfricas para resolver a equao deSchrdinger.

De acordo com a Figura 2, r o raio vetor posio do eltron,

222 zyxr ++= [19]

o angulo polar, o qual cresce a partir do eixo z para o plano xy

222 yxarccos

z

z

++= [20]

e o ngulo azimutal, o qual cresce de x para y.

x

yarctg= [21]

onde temos

==

=

rcoszsenrseny

cossenrx

E o laplaciano em coordenadas esfricas dado assim:

2

2

2222

22

sen

1)(sen

sen

1)(

1

+

+

=rrr

rrr

[22]

A equao de Schroedinger em coordenadas esfricas fica assim aps aplicarmos o operadorlaplaciano esfrico: eq. [18]


7/22

7

),,(),,(),,(2

2

2222

2

2

sen

1sen

sen

11

2

rrr EV

rrrr

rr=+

+

+

h

[23

]

Nota importante: Podemos escrever a funo de onda ),,( r Como um produto de trs funes

(3) tal que

( ) )()()(,, = rRr

1. A primeira R(r) = dependncia em r ( radial afastamento do eltron)2. A segunda () = dependncia em (mostra a posio polar do eltron)

3. A outra funo () = mede a posio azimutal do eltron na sua trajetria

Podemos realizar esta representao porque h um campo de fora central na equao.

Aplicando agora a separao de variveis. A equao [23] pode ser reescrita (veja notao da

derivada e o que deriva parte constante fica fora da derivada)

=+

+

+

ER

sen

1sen

sen

11

2 ),,(2

2

2222

2

2

RVd

d

r

R

d

d

d

d

r

R

dr

dRr

dr

d

rr

h

=+

+

+

ER)(

sen

1sen

sen

11

2 2

2

2222

2

2

RrVd

d

r

R

d

d

d

d

r

R

dr

dRr

dr

d

r

h

[24]

Substituindo o potencial V(r )=- Rpordivindoe4 0

2

r

e

a equao [23] fica:

22

2

0

222

2

22

2

1

4sen

2sen

sensenm

d

d

r

eEr

d

d

d

d

dr

dRr

dr

d

R=

=

++

+

h[25]

)(constante

1 22

2

md

d

=


8/22

8

2

0

222

2

22

2

4sen

2sen

sensenm

r

eEr

d

d

d

d

dr

dRr

dr

d

R=

++

+

h[26]

Multiplicando por r2sen2 todos os membros fica

04

sen2

1sen

sen1sen

0

222

22

222

2

=

++

+

+

r

eEr

d

d

d

d

d

d

dr

dRr

dr

d

R

h

Ou

04

sen2

sen

sensen

sen

sen

sen

0

222

22

2

22

22

2

222

2

22

=

++

+

+

r

eEr

d

d

r

r

d

d

d

d

r

r

dr

dRr

dr

d

rR

r

h

Isolando os termos em (passando ao segundo membro)

Note : do lado direito a equao depende s de e do lado esquerdo a dependncia em e r.

Como temos uma igualdade a constante de separao (-m2) deve ser a mesma para ambas as

equaes.

22

2

0

222

2

22

2

1

4sen

2sen

sensenm

d

d

r

eEr

d

d

d

d

dr

dRr

dr

d

R=

=

++

+

h

)(constante

1 22

2

md

d=

2

0

222

2

22

2

4sen

2sen

sensenm

r

eEr

d

d

d

d

dr

dRr

dr

d

R=

++

+

h

[27]

2

2

0

222

2

22

2

1

4sen

2sen

sen1sen

d

d

r

eEr

d

d

d

d

dr

dRr

dr

d

R

=

++

+

h


9/22

9

imraizescujas0d

ou1 2

2

22

2

2

==+

=

m

dm

d

d

logo a soluo Ne)( im = [28]

que a soluo particular, sendo m nmero quntico magntico. () a funo onda tomo de1H que contm toda a dependncia em funo do Potencial . Onde varia de 0 a 2.

Normalizando a funo ()

1=

==

2

0

im- 1Ne* deN im

==

2

0

im-2 1e deN im [29]

ou

2

1N1]2[2 ==N

logo a funo vale

ime

2

1)( = [30]

como nica)2()( ela+=

mimeeee imimimim 2sen2cos11 22 +===

magntico)qunticonmero(inteirom3...210msesatisfaz ==queveja escolhe a

soluo = im (movimento de giro eltron sentido horrio).

Assim temos at o momento

)()(2

1),,(

= rRer im [31]


10/22

10

Tomando a equao [27] (5.15),

2

0

222

2

22

2

4sen

2sen

sensenm

r

eEr

d

d

d

d

dr

dRr

dr

d

R=

++

+

h

Dividindo por 2sen fica

sen4

2sen

112

2

0

22

22

m

r

eEr

d

d

d

d

dr

dRr

dr

d

R=

++

+

h

[32]

Separando os termos da R(r ) da funo () fica

sen

1

sen4

212

2

0

22

22

=

++

d

d

d

dm

r

eEr

dr

dRr

dr

d

R h[33]

mesmaaseparaodeconstanteaigualdadeadevido

)1(sen

1

sen4

212

2

0

22

22 +=

=

++

ll

d

d

d

dm

r

eEr

dr

dRr

dr

d

R

h

[34]

)1(4

21

0

22

22 +=

++

ll

r

eEr

dr

dRr

dr

d

R

h

[35]

Ou

)1(sen

1

sen 2

2

+=

lld

d

d

dm

[36]

Divide a [35] (5.19) porr2 e arrumando fica


11/22

11

0)1(4

21

)1(4

21

0

22

222

0

22

22

2

=

++

++

+=

++

Rllr

eEdr

dRrdr

d

r

ou

RllRr

eE

dr

dRr

dr

d

r

h

h

[37]

Esta a equao Radial cujas solues so as funes de Laguerre. Apresentaremos a soluo

que : Soluo particular:

)(2

)( 12 1212/3

+

+

= lnl

n Le

na

rR [38]

Sendo[ ]

=

+++ ++

+

+

=

1

0

21

2/1

312

!)!12()!1(

)!()1(.

])![(2

!)1()(

ln

p

ppl

lnpplpln

ln

lnn

lnL

Comna

r2=

n = 1,2,3..., l = 0,1,2,3..., m = l,-l+1,...l-1,l

Se n=1, l=0, area

rR /2/3

10 21

)(

=

Veja que se n=2, l=1 temos dois l=o e l=1, Nota2

2

mqa

h=

arl

ar ea

r

arRee

a

r

arR 2/

2/3

22/

2/3

2032

1)()2(

2

1)(

=

=

A outra equao:

( ) 0sen

1sensen

12

2

=

++

mell

d

d

d

d


12/22

12

As solues desta equao so as funes associadas de Legendre. Os harmnicos esfricos

so solues das equaes diferenciais: )().( representadas por

[ ]

cos

)1(

!2

1)(

)(cos

)(sen)(

)()!(4)!(12),(

2

2/1

=

=

=

++=

onde

d

d

lP

d

PdPonde

ePml

mllY

l

ll

ll

m

l

mmm

l

immllm

A soluo geral para o tomo de Hidrognio : ),()(),,( lmnnlm YrRr = e-(i/h)Et

Que pode ser escrita assim:

Comna

r2=

n =1,2,3... nmero quntico principal

l =0,1,2,3... nmero quntico de momento angular

m = l,-l+1,...l-1,l nmeroquntico magntico

[ ] tnEilm

ln

p

pplln

lnlm eY

pplpln

ln

lnn

lnLena

r)/(1

0

212/1

12212/3 ),(.!)!12()!1(

)!()1(.!][2!)1()()2(),,( h

=

+++

+++

+=


13/22

13

3 Nmeros Qunticos

Cada conjunto de n, l, m define uma funo de onda que um estado eletrnico do

tomo.

n = 1 camada k

n = 2 camada l

n = 3 camada m

n = 4 camada n

n = 5 camada o

As funes de onda de cada camada so chamadas de orbitais.

a) para cada valor de n, h n-1 valor de l

n = 1 l= 0

n = 2 l= 1

n = 3 l= 2

n define o estado de energia

b) para cada valor de l h (2l+1) valor de m. -l< m < l

l = 0 m = 0

l= 1

=

=

=

1

0

1

m

m

m

c) para cada valor de n h n2 autofunes. Exemplo, se n = 3, h 9 autofunes


14/22

14

l= 2 -l


15/22

15

4 Funo de Onda na Concepo de Max Born

Born (1928) deu um passo a esta dificuldade propondo uma interpretao estatstica das

funes de ondas do eltron, qual, devido s inmeras vantagens apresentadas, tem sidoamplamente aceita. Born sups que as ondas no tm existncia real, e assim, as define como

ondas de probabilidade.

O produto * ou2

em um ponto representa a densidade de probabilidade de

encontrar o eltron, ou um outro corpsculo qualquer, em um ponto x, y, z, num dado instante te

igualdade

dvdxdydz22

=

Representando a densidade de probabilidade de encontrar o mesmo eltron em um

elemento de volume dv, e tambm o nmero de eltrons dentro do mesmo volume. Esta

interpretao teve um pleno acordo com as condies de Schrdinger (5).

Em processos vibratrios o conhecimento da amplitude importante como o

conhecimento da freqncia prpria; analogamente, de se esperar que, em mecnica

ondulatria, esteja ligado um importante significado fsico funo de onda ou antes, ao

quadrado do seu mdulo, visto ser evidente que o valor instantneo da prpria funo oscilatria

no pode desempenhar qualquer papel em virtude da sua alta freqncia. O motivo por que se

toma o quadrado do mdulo que a prpria funo de onda (devido ao coeficiente imaginrio da

derivada em ordem ao tempo da equao diferencial) uma quantidade complexa, enquanto as

grandezas suscetveis de interpretao fsica devem evidentemente ser reais (6).

Suponhamos que no estado caracterizado pela funo de onda 1 se efetua uma medio

que conduz com certeza a um determinado resultado, e que o mesmo fazendo o estado no estado

2, conduz ao resultado 2. Admite-se ento a combinao linear de 1 e 2, o que significa que

toda funo de forma C1 + C2 (C1 e C2 , constantes) representa um estado em que a mesma

medio pode dar um resultado 1 ou o resultado 2. Podendo afirmar, que se conhecemos a

dependncia dos estados com respeito ao tempo, dependncia a qual dada pela funo 1 (x,t)

e em outro, por 2 (x,t), pode-se notar que qualquer combinao linear destas d tambm a

possvel dependncia de um estado do tempo. Estas afirmaes constituem o contedo do

princpio de superposio dos estados um princpio positivo fundamental de mecnica quntica

(7).


16/22

16

5 Valor Esperado da Funo de Onda

Consideramos uma partcula e onda associada, a funo (r,t) e se essa funo no se

anula num intervalo entre re r+ dr, na medida de sua posio h uma probabilidade finita dessa

partcula ser encontrada. No podemos, atribuir a coordenada um valor bem definido, no entanto,

possvel especificarmos uma posio mdia da partcula.

Imaginemos a medida da posio da partcula no instante t, a probabilidade de encontr-

la entre re r+ dr dada pela equao.

),(),(),( trtrtrP = (16)

onde P(r,t) a probabilidade de encontramos a partcula. Repetindo essa experincia a uma certa

freqncia no mesmo instante e registrando os valores de P(r,t), podemos usar a mdia dos valores

observados para caracterizar a posio da partcula no instante t.

Este valor representado por , valor esperado da coordenada r. Veja abaixo como

podemos demonstrar matematicamente este clculo.

+

>=< drrPr tr ),( (17)

como: ),(),(),( trtrtrP = ,

substitumos (16) em (17) temos que: +

>=< drrr trtr ),(),( (18)


17/22

17

6 Aplicao da Equao de Schrdinger

Tabela 1: Exemplos do operador Hamiltoniano para o movimento de uma partcula de massa m emdiferentes campos de fora definidos pela funo (operador) potencial V.

Operador

(a) Partcula livreV=0

x

2

22

2

dx

d

mH

h=

(b) barreira de

potencialV=V0

x0 a

2

22

2

dx

d

mH

h= (x0)

02

22

2 V

dx

d

mH +=

h (0 >==

++=i ij ij

n

i i ii

n

ir

eZZ

r

e

r

eZ

mmH

22

1

22

2

1

22

2

1

2 hh


18/22

18

6.1 Poo de Potencial no relativstico

Considerando um potencial degrau unidimensional definido por

( ) 0,0 = xVxV

V0x (0)= 0 x

Supor que uma energia incidente da esquerda para a direita tem energia E = 4V0. Neste exemplo

podemos calcular a probabilidade de que a onda ser refletida (coeficiente de reflexo).

Analisando o contorno do problema, para 0)( =xV quando x


19/22

19

0212 =+ k , 21

2 k= , 1ik=

xikxikI BeAe

11 +=

sendo

refletidaondaBe

incidenteondaAe

xik

xik

1

1

Soluo geral

h/iEtII e

=

) h/11 iEtIxikxikI eBeAe += ( ) ( )hh /1/1 EtxkiiEtxki

I BeAe+ +=

Na regio II h um potencial )(xV , sendo assim a partcula sofre uma ao do potencial.

IIIIII EVm

=+ 02

2

2

h

[ ] IIII VEm

= 02

2

2

h

[ ] 02

022 =+ IIII VE

m

h

Considerando [ ]022 2 VE

mkII =

h

022 =+ IIIIII k

Achando as razes da equao

0222 =+ k , 22

2 k= , 2ik=

)xikxikII DeCe 22 += A soluo aceitvel

xikII Ce

2=


20/22

20

Soluo geral

h/iEt

IIII e= h/2 iEtxik

II eCe=

( )h/2 EtxkiII Ce

=

logo temos as duas funes para as duas regies I e II

xikxikI BeAe

11 += para 0x

xikII Ce

2= para 0x

Analisando as condies de contorno

a) 00 || == = xIIxI xikxikxik

CeBeAe 211 =+

A+B=C deve ser contnua no ponto x=0

b) A sua derivada tambm

00 || ==

=

x

IIx

I

xx xikxikxik CeikBeikAeik 221111 =

( ) CikBAik 21 =

( ) Ck

kBA

1

2=

Montando o sistema


21/22

21

Achando B Achando C

=

=+

+C

k

kBA

CBA

1

2

CCk

kA +=

1

22

+=

1

212 k

kCA

=

=+

+)1(

1

2 Ck

kBA

CBA

=

1

212k

kCB

=

1

21

2 k

kkCB

CBk

kkC=+

+

1

21

2

021

1

21 =

++

kkk

CB

+=

1

212k

kkBC

Substituindo os valores de A, B e C em I e II

( ) ( )hh /1

1

21/1

1

21

22EtxkiEtxki

I ek

kkCe

k

kkC

+

+= x


22/22

22

BIBLIOGRAFIA:

(1) Bassalo, J. M. F. Nascimentos da Fsica (1901-1950), Belm: EDUFPA, 2000. 503 p

(2) Peixoto, E.M.A. Qumica Nova, (1978)

(3) Eisberg, R. Resnick, R. Fsica Quntica, Ed. Campus, Rio de Janeiro, 1979. 15 Edio.

(4) Bathista, A.L.B.S., Nogueira, J. S. Uma Breve Discusso da Mecnica QunticaIX Encontro

de Iniciao Cientfica, Cuiab, UFMT. 2001.

(5) Rey, A.B. Mecnica Quntica e Ondulatria, In: Fisica/Qumica Modernas. V. 3, SP, Ed.

Fortaleza, 1970.

(6) Born, M., Fsica Atmica, 1962, 4 Edio. Ed: Fundao Calouste Gulbenkian, Lisboa.

(7) Landau, L. Lifshitz, E. Mecnica Quntica, Teoria no relativista, 1985. Mir, Moscou. Vol.1.

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